CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

SỞ GD&ĐT HÀ NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2013-2014

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1(5,0 điểm).

y

3

y

24 x

1

Cho Parabol (P) có phương trình

 , đường thẳng d có phương trình

x  .

a. Lập phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d sao cho  cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và AB=1.

b. Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt thuộc (P) và không trùng với I sao cho IA vuông góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của đoạn AB khi A, B thay đổi.

Câu 2 (5, 0 điểm).

2

x

  1

x

  1

x x

.

1. Giải phương trình

2

2

x

21

y

  1

y

2. Giải hệ phương trình

2

2

y

21

x

  1

x

.

   

Câu 3 (5, 0 điểm).

 AC b BC a AB c b

(

,

,

a

)

1. Cho tam giác ABC có

. Gọi

,D E lần lượt là trung điểm của

,AB AC . Đường phân giác trong của góc C cắt DE tại P . Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với

,AB BC lần lượt tại

,N M .

,

   BM BN BP

,

,

  ,BA BC

a.Tính

theo hai vectơ

và theo

,a b c .

,

,

b. Chứng minh rằng

P M N thẳng hàng.

,

 AC b BC a AB c

,

,

2. Cho tam giác ABC có

 là độ dài ba cạnh của tam giác;

a

,

là độ dài ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ tiếp, diện đường

tròn ngoại

tích của

m m m , c b ,A B C . Gọi R, S lần lượt là bán kính tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu

1

thì tam giác ABC đều.

c

  3 RS 2 1  abm bcm a 1 acm b

Câu 4 (3,0 điểm).

Trang | 1

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có phương trình x+2y-17=0, đường cao CK có phương trình 4x+3y-28=0, đường cao BH qua điểm M(1; 6). Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC.

Câu 5 (2,0 điểm).

2

2

2

,

Cho ba số dương

,a b c thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

a

b

c

12

    

.

2

2

2

1  a b 1  b c 1  c a 8  a 28 b 28 c 28 8  8 

Hết

Trang | 2

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Nội dung

Điểm

x m m

 

y

.

0,5

0(1).

24 x

m

1

x

3)

Câu 1(5,0 điểm). a. (3,0 điểm) Lập phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d sao cho  cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và AB=1. Đường thẳng  song song với d có dạng ( Phương trình hoành độ giao điểm    Để  cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt, điều kiện

0,5

    m 0 .

là

15 16

Gọi

,x x là hai nghiệm phân biệt của (1). Theo định lý Viet, ta có 1

1 m .   ; 

0,5

2 1 4 

x 1 x 2 x x 1 2  4

A x x m B x x m ),

(

(

;

;

)

2

2

1

1

2

2

AB

  1

2(

x

)

  1

x

)

4

1

x 1

2

2

x 1

x x 1 2

 2 ( 

 

1,0

1

m

2

4.

  

m

1

1 16

 4

23 16

  

  

m 

Kết hợp điều kiện ta được

.

23 16

b. (2, 0 điểm) Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt, không trùng với đỉnh và nằm trên (P) sao cho IA vuông góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của AB khi A, B thay đổi.

2

( ;4

1)

0,5

A a a  nằm trên (P), đỉnh I(0;1). 2 ( ;4 )

 IA a a

là vectơ pháp tuyến. Phương trình của

ay

4

4

a

x

Gọi Đường thẳng IB qua I(0;1), nhận  . đường thẳng IB là 0

2

4

x

1

Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình

B

;

1

0,5

2

1 a 64

4

ay

4

a

0

 1  16 a 

  

  y   x 

2

N

1

a ;2

N là trung điểm của AB, suy ra

0,5

2

1 a 128

a 2

1 a 32

  

  

2

y

x 8

y

x 8

Nhận xét

 . Vậy quĩ tích của điểm N là Parabol

0,5

2 N

N

5 4

5  . 4

Câu 2 (5, 0 điểm).

2

x

  1

x

  1

x x

.

0,5

1. (2,0 điểm). Giải phương trình x  Điều kiện: 1.

Trang | 3

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

x x

x

  1

0

pt

2    x

1

x x

x

1

2

3

2

x

  1

x

  

1 2

x

x x

x

     

1,0

1

 

1) 2

x x (

  1) 1 0

1)

1

5

1

  x

 2

1

 x   ( x x   ( x x    x

0,5

5

1

x

.

Vậy phương trình có nghiệm

 2

2

2

x

21

y

  1

y

(1)

2.(3,0 điểm) Giải hệ phương trình

2

2

y

21

x

  1

x

(2)

   

y 1;

vế

(1)

cho

(2)

ta

có

2

2

Điều kiện: Trừ 2 x

x vế  y

21

 1. với 

21

y

  1

x

  1

x

của 2 y

0,5

2

2

x

y

x

(

y

x y )(

x

)

2

2

 y   1

y

x

1

x

21

y

21

x

y

  x

y

0

  x (

y

)

0,5

2

2

1   1

y

x

1

x

21

y

21

   

   

x

y

  x

y

  

0

x

1;

y

1.

x

y  vì

0,5

2

2

1   1

y

x

1

21

x

y

21

   

    Thay x = y vào (1) ta có

2

2

2

2

x

21

x

   

1

x

x

21 5

 

x

   1 1

x

4

0,5

2

4

(

x

2)(

x

2)

x 2

x  2   1 1 x

x

2

21 5    

2

 2 x   x ( 2)    2 x  0 1   1 1 x x   21 5   

0,5

2

 21 4

(

x

2)

   21 4   x ( x  2)  0  x 2 1   1 1 x x   21 5           2) (      

2

x  vì

<0.

x 2

0,5

1   1 1

x

x

 21 5

   

   

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 2). Câu 3 (5, 0 điểm).

,

 AC b BC a AB c b

a

)

,

. Gọi

,D E lần lượt là trung ( ,AB AC . Đường phân giác trong của góc C cắt DE tại P . Đường tròn

,N M .

,

   BM BN BP

,

,AB BC lần lượt tại ,a b c .

và theo

theo hai vectơ ,

,

1.Cho tam giác ABC có điểm của nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với a.Tính , b. Chứng minh rằng

  ,BA BC P M N thẳng hàng.

Trang | 4

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

A

N

P c D E b

I

B Q M C a

0,5

  .

   , BA BM

 BC  

a. Gọi Q là giao điểm của AP và BC, suy ra P là trung điểm của AQ, tam giác  suy ra BQ BC CQ a b ACQ cân tại C. CQ CA b     a c b BN 2 a

1,5



  b MN BN BM .

 BA

 BC

  a c b 2 a

  a c b c 2  BA  (  BP   BC ) 1 2  a b a

0,5

  a c b 2 c  BA

 BC

   PM BM BP

 1 2  MN

 PM

c 2 a  suy ra PM

 cùng phương với MN

do đó P, M, N thẳng hàng.

0,5

 AC b BC a AB c

,

 c   a c b

,

,

,

a

b

c

2). (2,0 điểm)  là độ dài ba cạnh của tam giác, 2.Cho tam giác ABC có , m m m là độ dài ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ ,A B C . Gọi R, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, diện tích của tam giác. Chứng minh

1

rằng nếu

thì tam giác ABC đều.

c

1

1

3 RS

2

2 3 abc

1  abm bcm a

c

1 acm b

1  abm bcm a

c

1 acm b

  3 RS 2 1  abm bcm a 1 acm b

0,5

2

c m 3 c

a m 3 a

b m 3 b

2

2

a

a 2

2 2

2

2

2

2

0,5

2

b

a

a 3

2

b

2

c

a

a m 3 a

a 3

c 2 4

2

2

2

2

2

a 3

2

b

2

c

a

2

2

2

2

2

2

Vì

nên

.

a 3 . 2

b

2

c

a

a

b

c

2

2

 2

2 a 2  b a  c a m 3 a

0,5

2

 

;

.Vậy

 2

2

2

2

2

Chứng minh tương tự ta có 2 2 b 2  b

a m 3 a

b m 3 b

c m 3 c

Trang | 5

 a c 2 c 2  b a  c b m 3 b c m 3 c

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

2

2

2

2

2

2

2

2

a 3  2 b  2 c  a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a 3  2 b  2 c     a b a c

0,5

2

2

2

2

a 3  2 b  2 c  a     

Hay tam giác ABC đều.

Câu 4 (3, 0 điểm)Cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có phương trình x+2y-17=0, đường cao CK có phương trình 4x+3y-28=0, đường cao BH qua điểm M(1;6). Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC.

A

K

H

M

B

C

0,5

BC BH ,

c os(

c

)

)

Vì tam giác ABC cân tại A nên góc CBH bằng góc BCK. Suy ra os( BC CK ,

(1;2).

 BCn  CKn

2

2

a b ( ; ) (

a

b

0)

(4;3).  BHn

0,5

Đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến Đường thẳng CK có vectơ pháp tuyến Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng BH là c

BC

BC

BC CK , os(  c ) )

2

2

BC

BH

BC

CK

 n . CK  n

2

2

2

2

a  2 b     10 5.5 BC BH ,   n n . BH   n n . os(  n  n . 5. a  b

a

b

4(

a 3

b 2 )

ab 4

  

 0

0,5

CK

BH

suy ra

3b  suy ra a=0 hoặc a=4.   BHn n

 n

   ) ( a Nếu b=0 thì a=0 (loại). Nếu 0b  , chọn (loại). Nếu a=4; b=3 thì (4;3) Nếu b=3, a=0 suy ra phương trình của BH là y-6=0. y

2

x

 17 0

Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình

4

x

3

y

 28 0

  

0,5

0,5

Suy ra C(1;8). Phương trình của AC: x=1. B là giao điểm của BH và BC suy ra B(5;6). Phương trình của BA: 3x - 4y + 9 = 0 A là giao điểm của AB, AC suy ra A(1;3)

Trang | 6

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

BC

20

  1 6 17

d A BC ,

(

)

2 5

0,5

5

S

BC d A BC

. (

,

 ) 10

ABC

1 2

Câu 5 (2,0 điểm).

2

2

2

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn

. Chứng minh rằng

b

c

12

    

.

2

2

2

a 8 

1  a b 1  b c 1  c a a 28 b 28 c 28 8  8 

  1  a b 1  b c 4  b c 2 a 

Chứng minh tương tự ta có

  a 

0,5

2

  1 b c  1  a b b

Suy ra

1  a c 2

1  b c 2

a

b

1  c a 2

  

1 a c  1  a c 1  a b 4 2  c b 4  a c 2 1  a c  1  c b

Ta chứng minh

2

  b  4 

2

1  a c 2 b  a 28

1,0

2

2

2

1   a a c b 2 2  28 4   b a

4  

28 a 8

  

4

2

a

c

b

c

 16 4 b

a 8

4

c

0

2

2

2

2)

0

(

(

c

b

a

2)

2)

    

Vậy

2

2

2

 a b b  a 28 b 28 c 28 4 

0,5

    

Suy ra

2

2

2

   2( (Điều này luôn đúng). 1 b c  2 1  c a

1 a c  2 1  a b  1  b c 28 b a 1 c a  2 8  4  8  4  8  c 28 28 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.

……………………Hết…………………….

Lưu ý +) Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương ứng với biểu điểm.

+) Điểm tổng toàn bài không làm tròn.

Trang | 7

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU

- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên

môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.

- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt

giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.

- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh

kiến thức và tối ưu kết quả học tập.

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ

- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung

thời gian tốt nhất để học.

- Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.

+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM

-

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.

- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ

động thời gian học tập của mình.

- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời

gian ngắn nhất.

- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề

nhanh hơn - hiệu quả hơn.

- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán

trên toàn quốc.

- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá

trình học.

Trang | 8

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807