BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2007
Lớp 12 Bổ túc THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi:13/3/2007 Chú ý: - Đề thi gồm 4 trang
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này Các giám khảo (Họ, tên và chữ ký) Điểm của toàn bài thi Bằng chữ Bằng số
Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi)
Giám khảo 1: Giám khảo 2:
Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân.
Bài 1 (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: 4cos2x + 3sinx = 2
0
+
k
360
0
+
k
360
2
0
+
k
360
0
+
k
360
Cách giải Kết quả
2 +
=
− xx
++ 3
xf )(
2
3
2
≈ x 1 ≈ x ≈ x 3 ≈ x 4
Bài 2 (5 điểm). Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: x
max
≈)( xf
min
≈)( xf
3
2
=
+
+
y
xa
xb
+ dxc
Cách giải Kết quả
−
0;
1;
đi qua các Bài 3 (5 điểm). Tính giá trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số
1 3
3 5
điểm A , B , C ( 2; 1) , D ( 2, 4; 3,8 ) .
Cách giải Kết quả
a = b = c = d =
Bài 4 (5 điểm). Tính diện tích tam giác ABC nếu phương trình các cạnh của tam giác đó là : AB: x + 3y = 0; BC: 5x + y – 2 = 0; AC: x + y - 6 = 0.
Cách giải Kết quả
S =
x
y
y
+ +
= =
4 16
5 19
3 x 9
Bài 5 (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình
≈ ≈
Cách giải Kết quả
2
≈ ≈
2
x y
x 1 y 1
y
x
3 +−=
Bài 6 (5 điểm). Tính giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(5; - 4) và là
2 x
tiếp tuyến của đồ thị hàm số
= =
Cách giải Kết quả
2
= =
a b 2
a 1 b 1
Bài 7 (5 điểm). Tính gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD nếu BC = 6 dm, CD = 7 dm,
BD = 8 dm, AB = AC = AD = 9 dm.
Cách giải Kết quả
3dm
10
10
=
+
S
a
b
V ≈
nếu a và b là hai nghiệm khác nhau của
01
− x 3
2 2 x
Bài 8 (5 điểm). Tính giá trị của biểu thức =− phương trình .
Kết quả Cách giải
S =
Bài 9 (5 điểm). Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD nếu đáy ABCD là
hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy, AB = 5 dm, AD = 6 dm, SC = 9 dm.
2dm
≈tpS
Kết quả Cách giải
2
2
+
=
2 =
y
x
1
2
Bài 10 (5 điểm). Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của
y 4
x 9
elip tại giao điểm có các tọa độ dương của elip đó và parabol
Cách giải Kết quả
≈a ≈b
-------------HẾT--------------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2007
Lớp 12 Bổ túc THPT
CÁCH GIẢI, ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN CHO ĐIỂM
Bài Cách giải Đáp số
,
,,
0
−=
≤≤−
≈
+
t
x
2
1
1
cos
221 t
k
46
0 10
43
360
Điểm toàn bài Điểm từng phần
x 1
0
,,
0
.
≈
+
k
133
49
, 17
360
2
=−
02
− t 3
2,5 .
,
,,
0
−≈
+
5 1
x x
k
20
0 16
24
360
3
sin
sin
x = và t 1
,,
0
,
≈
+
x
k
200
24
360
4
Đặt t = sinx thì và Phương trình đã cho chuyển thành phương trình 8 2 t Giải phương trình này ta được hai nghiệm 1t và 2t Sau đó giải các phương trình x = . t 2 2,5
0 16
=
−
2 +
x
x
x
xf )(
2
3
2
−
+
3
17
3
17
max
≈xf )(
,10
6098
Hàm số liên tục trên
;
2
2
++ 3
2,5 đoạn .
≈xf
min
,1)(
8769
5 2
2,5
Tính đạo hàm của hàm số rồi tìm nghiệm của đạo hàm. Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn trên và tại nghiệm của đạo hàm. So sánh các giá trị đó để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.
=d
2
3
+
+
=
+ dxc
bx
ax
1
−=a
1 3 937 252
=d
1 3
=b
Thay tọa độ của các điểm đã cho vào phương trình , ta được 4 phương trình bậc y nhất 4 ẩn, trong đó có một phương trình cho 1,5 . 5 3
=d
1571 140
1 3
−=c
1,5 vào 3 phương trình còn lại, ta được 3 Thay
4559 630
)3;9( −A
1
0,5
−
B
;
phương trình bậc nhất của các ẩn a, b, c. Giải hệ 3 phương trình đó, ta tìm được a, b, c. Tìm tọa độ các điểm A , B , C bằng cách giải các hệ phương trình tương ứng. 4
3 7
1 7
0,5
AB
;
C (-1; 7) 0,5
−=
60 7
20 7
0,5
5 4
Tìm tọa độ các vectơ AB và AC Tính diện tích tam giác ABC theo công thức 0,5
)10;10−=AC (
2
2
=
−
S
AB
AC
AC
.
( AB .
)2
1 2
=S
200 7
x
y
u
v
3=
4=
2,5
Đặt và
2
≈ −≈
,1 ,0
3283 2602
x 1 y 1
+ +
= =
5 19
u 2 u
2,5 nghiệm của hệ phương trình thì u > 0, v > 0 và u , v là v v
+
=
5
5 5 Hệ phương trình đó tương đương với hệ phương
=
v vu
3
−≈ ≈
u
x 2 y
,0 ,1
3283 0526
2
trình 2,5
Từ đó tìm được u, v rồi tìm được x, y.
−=
1
a 1
Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (5; - 4) nên b = - 5a - 4.
=
y =
)(xf
1
b 1
x
xf (
;
5 6 2,5
))
0
0
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( có phương trình điểm tại
=
+
y
f
x
− xx
xf (
)
('
()
).
0
0
0
=
a
2
=
x 0 −
−
) f
x
x
a =− 4
a 5
('
)
0
0
0
−=
b 2
7 25 27 5
3
V ≈
dm
,54
1935
2,5 và chỉ khi Đường thẳng y = ax – 5a – 4 là tiếp tuyến trên khi f (' xf ( )
5 5 7
−
+
3
17
3
17
=
=
b
a
,
.
4
4
10
10
c
10
10
=
+
=
c
a
d
S
a
b
2=
2= b
.
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được giá trị của a rồi tìm được giá trị tương ứng của b. Tính diện tích của tam giác BCD theo ba cạnh nhờ công thức Hê-rông. Sau đó tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó theo ba cạnh và diện tích trên. Vì AB = AC = AD nên chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy BCD. Từ đó tính đường cao và tính thể tích của khối tứ diện. Gọi a là nghiệm nhỏ của phương trình đã cho thì
+ d 1024
10
10 B
và thì Đặt
=S
ta
S
3
n
328393 1024
n
n
+
=
=
b
a
S
S
.n
.
+
n
n
2
5 5 8 Có thể đặt Khi đó
+=1 S
S
S
3
2
2
1
=
−
=
S
ab
S
2
,
,
...,
( + ba
)
2
3
+ 2
S
S
3
9
8
=
=
S
S
.
10
+ 2
2
dm
,93
4296
Gán c và d vào hai ô nhớ A và B. Tính A + được 328393. Từ đó tính được giá trị của S. + S + 1 2 , ba Dùng công thức đó tính dần dần
Stp ≈
5 5 9
2
2
+
=
1
,0−≈a
3849
Chú ý rằng các mặt bên của hình chóp đã cho đều là tam giác vuông. Tính các cạnh bên còn lại của hình chóp rồi tính tổng diện tích các mặt của hình chóp. Tính tọa độ giao điểm có tọa độ dương của elip và parabol đã cho bằng cách giải hệ phương trình
x 9
2
x
y 4 = 2 thì phương trình tiếp tuyến
5 10 2,5
y )oyx ;0
Gọi tọa độ đó là (
+
=
x
y
1
xo 9
y 0 4
0
−=
+
y
x
.
,2≈b
3094
của elip tại điểm đó là hay là
x y
4 9
0
0
a −=
b =
2,5
4 y
4 y 0 x 4 y 9
0
0
Do đó và .
Cộng 50
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2007
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Lớp 12 THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi:13/3/2007 Chú ý: - Đề thi gồm 3 trang
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này Các giám khảo (Họ, tên và chữ ký)
Điểm của toàn bài thi Bằng chữ Bằng số
Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi)
Giám khảo 1: Giám khảo 2:
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy
− 1
=
+
≠
ax
x
xf )(
(,1
. Giá trị nào của a thoả mãn hệ thức 1
+
=
f
)0 −f
f [6
− )]1(
)2(
3
Bài 1. Cho các hàm số
Cách giải
Kết quả
2
=
xf )(
Bài 2. Tính gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số
.
x 2 2 x
− + x 7 1 + + x 4 5
Cách giải
Kết quả
=
−
+
x
x
x
(sin3
cos
cos
sin
2
)
Bài 3. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình x
Cách giải
Kết quả
n
n
=
u
n
cos n
+ 1
] 2≥
− l m u
∞→n
)
Bài 4. Cho dãy số { }nu với (a) Hãy chứng tỏ rằng, với N = 1000, có thể tìm ra cặp hai chỉ số l,m lớn hơn N sao cho [ u (b) Với N = 1000 000 điều nói trên còn đúng hay không ? (c) Với các kết quả tính toán như trên. Em có dự đoán gì về giới hạn của dãy số đã cho (khi
Cách giải
Kết quả
Bài 5. Tìm hàm số bậc 3 đi qua các điểm A(-4 ; 3), B(7 ; 5), C(-5 ; 6), D(-3 ; -8) và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của nó.
Cách giải
Kết quả
3cm
Bài 6. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 314
Cách giải
Kết quả
+
=
x
y
x
y +
x
log 2 = x
y
log
log 2 72
log
3 y 2
+ log 2 + log
2
2
2
Bài 7. Giải hệ phương trình:
Cách giải
Kết quả
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A(-1; 2 ; 3) cố định, còn các đỉnh B và C di chuyển trên 030 . Hãy tính tọa độ đường thẳng đi qua 2 điểm M(-1 ; 3 ; 2), N(1 ; 1 ; 3). Biết rằng góc ABC bằng đỉnh B.
Cách giải
Kết quả
Bài 9. Cho hình tròn tâm O bán kính 7,5cm, hình viên phân AXB, hình chữ nhật ABCD với hai cạnh AD = 6,5cm và DC =12cm có vị trí như hình bên.
a) Số đo radian của góc AOB là bao nhiêu ? b) Tìm diện tích hình AYBCDA
Cách giải
Kết quả
Bài 10. Tính tỉ số giữa cạnh của khối đa diện đều 12 mặt (hình ngũ giác đều) và bán kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện đó.
Cách giải
Kết quả
--------------HẾT-------------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2007
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Lớp 12 THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi:13/3/2007
SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài
Cách giải
Điểm
- Có:
=
≠
f
f
a
(
− ))1(
(
)1
+
0,5
a
=
≠
f
f
a
(
− ))1(
(
)1
−
a
=
1 a
f
)2(1
Kết quả 1 −
−
=
1 a
f
1 −
)2(1
+
±
−
1
3
28
32
1
=
+
a 2,1
2
2
−
−
+
−
=
a
a
)3
)3
0
- Giải phương trình tìm a: 1( 6(
0,5 2,0 1,0 1,0
1 ≈a ,3 8427 −≈a ,1 1107
+
2
2,5
CT
2 Áp dụng đạo hàm để tìm cực trị
−≈ ≈
f f
x )( x )(
,0 ,25
4035 4034
CD
2,5
0
0
2,5
3
Theo cách giải phương trình lượng giác
0
0
≈ ≈
+ +
67 54 ' 33'' 202 5' 27 ''
k 360 k 360
x 1 x 2
2,5
Chọn MODE Rad, chọn trong 10 số tiếp theo N có:
2,0
〉
〉
−u
,2
2179
2
a)
4
〉
〉
1002 −u
,2
2
u 1005 u 1000007
1000004
2,0 1,0
b) 1342 c) Giới hạn không tồn tại
a) m = 1005 , l = 1002 b) m = 1000007, l = 1000004 c) Áp dụng định nghĩa giới hạn của dãy
=
=
a
b
;
563 1320
123 110
2
=
+
≠
d
bx
ax
xc
)0
xf )(
5
−=
−=
c
d
;
1395 22
≈kc
1791
25019 1320 105 ,
1,50 1,50 2,0
3
=
≈
r
,3
6834
157 π
2
và diện + r h
r hπ= 2 = π r 2
π 2
2
+
≈
S π = r 2
255
,
7414
6
628 r
2
+
S
r
π= 2
và đạt giá trị nhỏ nhất
ta có
Tìm các hệ số của hàm số bậc 3: ( 3 + + a , Tìm các điểm cực trị, tìm khoảng cách giữa chúng Gọi r và h theo thứ tự là bán kính và chiều cao hộp sữa. Khi ấy thể tích hộp sữa là tích vỏ hộp là V . Từ đây, bằng phép thế, S 628 r
( ) =rS
'
0
π − r 4
khi
= 0
, tức là khi
628 2 r
2,0 3,0
Bài
Điểm
=x
log2
cho hệ phương trình
log 2 = 3
=y
Cách giải - Áp dụng công thức đổi sang cơ số 10 của logarit, ta có: 3 2
log log
log2
7
+
+
y
x
2
2
x +
= +
3 =
x
log x
log + y
y
4608 9217
,0≈x ,0≈y
y ) 3
2
2 log
log
Kết quả 1 2 − 13 2 2 − 13
1,5 1,5 1,0 1,0
2
2
2
log ( log23 - Suy ra: y = 2x
Điểm B chia MN theo tỷ số
3
=k
2,0
1 ±− 3
Tìm tọa độ đỉnh B nhờ xác định tỷ số điểm B chia đoạn MN
8
1,0
=x
Tọa độ của B là :
7 ±
7 ±
2,0
=y
=z
,
1 ±− 32 3 32 3
32 3
∠
∠
AOB
rad
,1≈
8546
2,0
=
sin
AOB 2
9
3,0
,73≈S
5542
−
=
S
S
S
)phV
trV
Ch
nh
AB r 2 . −
.
( S Trước hết cần chỉ ra rằng tỷ số này bằng
0
+ 21
108
=k
2
,0≈k
7136
5,0
10
cos 3
(Xem thêm lời giải chi tiết kèm theo)
0
0
2
2
−
=
−
=
a
a
a
b
108
108
cos
1(2
2
2
)
0
−
Lời giải bài số 10: Giả sử các mặt hình ngũ giác đều có độ dài cạnh bằng a. Ta thấy mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện được xác định bởi 4 đỉnh bất kỳ không đồng phẳng. Ta có thể tính ra được bán kính R của quả cầu ngoại tiếp đa diện dựa trên 4 điểm là: một đỉnh tùy ý và 3 đỉnh khác nằm trên ba cạnh kề với đỉnh này. Rõ ràng, 4 điểm đã nói lập thành một “ hình chóp cân” có đáy là tam giác đều và 3 mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Cạnh của tam giác đều ở đáy lại là đường chéo của mặt ngũ giác đều, cho nên tính được nhờ định lý hàm số cô-sin, cụ thể là cos Bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác đều được tính qua cạnh theo công thức: b
108
1(2
)
=
=
=
r
a
0
b cos
2
30
cos 3
3
0
Số đo góc a giữa cạnh của hình chóp cân và mặt phẳng đáy được xác định nhờ công thức: −
108
1(2
)
=
=
a
cos
r a
cos 3 Lưu ý rằng đường vuông góc hạ từ đỉnh của “hình chóp cân” xuống mặt đáy của nó sẽ đi qua tâm của mặt cầu ngoại tiếp đa giác, cho nên bán kính R của mặt cầu này được xác định từ công thức
0
+
1
2
108
2
=
=
−
=
=
a
a
sin2
12
cos
2
R
, và do đó
a R
cos 3
a
a sin2
Dùng máy tính ta tính được
,0≈k
7136441807
