Động học chất lưu 1
ĐỘNG HỌC CHẤT LƯU
Biên soạn: Lê Quang Nguyên
1. HẠT CHẤT LƯU
Trong cơ học chất lưu khái niệm chất điểm vẫn được dùng,
dưới tên gọi khác đi là hạt chất lưu. Cũng như chất điểm hay
điện tích điểm, hạt chất lưu phải có kích thước rất nhỏ so với
các khoảng cách đặc trưng của bài toán đang xét, nhưng không
nhỏ đến mức độ nguyên tử, phân tử. Mỗi hạt chất lưu phải
chứa một số lớn các nguyên tử, phân tử vật chất, để cho chất
lưu vẫn có thể coi như một môi trường liên tục.
Chẳng hạn, khi xét dòng nước chảy trong một ống nước thì
kích thước của hạt chất lưu phải nhỏ hơn nhiều so với đường
kính của ống nước, nhưng lại lớn hơn nhiều so với khoảng
cách trung bình giữa các phân tử nước. Nếu đường kính ống
nước là cỡ 10-1 m, và biết rằng khoảng cách trung bình giữa
các phân tử nước là 10-10 m, người ta có thể chọn hạt chất lưu
có kích thước khoảng 10-6 m. Một hạt nước như thế vẫn còn
chứa đến 1010 phân tử nước!
Để mô tả chuyển động của các hạt chất lưu trong một dòng
chảy, người ta có thể chọn khảo sát quỹ đạo của từng hạt chất
lưu một (phương pháp Lagrange) hay dùng khái niệm trường
vận tốc (phương pháp Euler).
2. PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE
Như đã nói ở trên, cách mô tả Lagrange đòi hỏi phải biết quỹ
đạo của các hạt chất lưu, đó cũng chính là cách mô tả quen
thuộc trong cơ học, dựa vào các vectơ vị trí
( )
r t
, vận tốc
( ( ), )
v r t t
và gia tốc
( ( ), )
a r t t
của từng hạt.
Nói một cách hình tượng, thì phương pháp Lagrange tương
đương với việc đánh dấu các hạt chất lưu trong một dòng chảy,
bằng cách nhuộm màu chúng chẳng hạn, rồi chụp ảnh dòng
chảy với thời gian mở ống kính thật dài để có thể thấy được
đường đi của các hạt đánh dấu. Hình 2.1 cho thấy một ảnh
chụp như thế của một dòng chảy quanh một ống trụ.
Do số lượng hạt quá lớn nên phương pháp Lagrange gặp nhiều
trở ngại trong các tính toán thực tế. Trong các ứng dụng người
ta hầu như chỉ dùng cách mô tả dòng chảy bằng trường vận tốc
do Euler đề ra.
3. PHƯƠNG PHÁP EULER
Chúng ta hẳn đã rất quen thuộc với cách mô tả tính chất điện
và từ của một môi trường bằng các khái niệm điện trường và từ
trường. Theo đó các vectơ điện trường và từ trường được xác
định tại mọi điểm của không gian cần khảo sát. Đối với điện
trường và từ trường tĩnh thì
E
và
B
chỉ là các hàm của vị trí,
còn khi điện từ trường biến thiên thì chúng là hàm của cả vị trí
lẫn thời gian.
3.1 TRƯỜNG VẬN TỐC
Theo phương pháp Euler người ta cũng làm tương tự như vậy
đối với dòng chảy. Vận tốc tức thời của dòng chảy tại các điểm
Hình 2.1
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Động học chất lưu 2
khác nhau trong dòng chảy, tức là biểu thức
( , )
v r t
, phải được
xác định. Như vậy dòng chảy tương ứng với một trường vận
tốc. Lưu ý là ở đây
r
là vị trí của các điểm trong dòng chảy,
chứ không phải là vị trí của các hạt chất lưu, vì thế
r
và t là
các biến số độc lập. Một cách hình tượng thì cách mô tả Euler
tương ứng với việc chụp hình nhanh dòng chảy ở các thời điểm
khác nhau.
Hình 3.1.1 cho ta thấy một ví dụ về trường vận tốc; đó là kết
quả mô phỏng trên máy tính cho trường vận tốc tại tâm một
cơn lốc.
3.2 ĐƯỜNG DÒNG
Để mô tả điện từ trường người ta thường dùng các đường sức,
là các đường tiếp tuyến tại mọi điểm với vectơ điện trường hay
từ trường. Tương tự như vậy người ta dùng khái niệm đường
dòng để mô tả trường vận tốc của một dòng chảy: đường dòng
là đường sức của trường vận tốc.
Nói chung thì đường dòng không trùng với quỹ đạo, chúng chỉ
trùng nhau khi trường vận tốc là dừng (không thay đổi theo
thời gian, vận tốc tại mỗi điểm luôn có một giá trị duy nhất).
3.3 GIA TỐC CỦA HẠT CHẤT LƯU
Theo cách mô tả Euler, mặc dù không dùng biểu thức tường
minh của vận tốc hạt, người ta vẫn có thể xác định được gia tốc
hạt chất lưu.
Thật vậy, xét một hạt chất lưu ở vị trí
r
vào thời điểm t, tới lúc
t+dt thì hạt di chuyển tới vị trí
r dr
. Vậy vận tốc của hạt lúc
t và t+dt là
( , )
v r t
và
( , )
v r dr t dt
. Độ biến thiên vận tốc
của hạt sẽ là:
( , ) ( , ) ( . )
v
dv v r dr t dt v r t dt dr v
t
(3.3.1)
Chia biểu thức trên cho dt ta thu được gia tốc của hạt chất lưu:
( . )
v
a v v
t
(3.3.2)
Về mặt hình thức, biểu thức trên cũng giống như đạo hàm toàn
phần của vận tốc theo thời gian, nếu coi vị trí là hàm của thời
gian. Nhưng sự thật là chúng ta đã không lấy đạo hàm toàn
phần của vận tốc, vì vị trí ở đây không phụ thuộc vào thời gian.
Để chỉ rõ rằng đấy không phải là đạo hàm toàn phần theo thời
gian, một số tác giả đã dùng khái niệm đạo hàm theo hạt, định
nghĩa như sau:
( . )
D
v
Dt t
(3.3.3)
Như vậy theo cách mô tả của Euler thì gia tốc của hạt chất lưu
ở một vị trí nào đó là đạo hàm theo hạt của trường vận tốc tại
vị trí đó:
Hình 3.1.1. Trường vận tốc tại tâm lốc xoáy.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Động học chất lưu 3
Dv
a
Dt
(3.3.4)
Có tên gọi đạo hàm theo hạt là vì, như trình bày trên đây,
chúng ta đã đi theo hạt chất lưu trong quá trình tính toán độ
biến thiên của vận tốc. Trong cách mô tả của Euler, nếu muốn
tính tốc độ biến thiên của một đại lượng nào đó dọc theo
đường đi của một hạt, thì nhất thiết phải dùng đạo hàm theo
hạt.
4. SỰ BẢO TOÀN KHỐI LƯỢNG
4.1 MẬT ĐỘ DÒNG
Xét một dòng chảy đều có khối lượng riêng
chuyển động với
vận tốc v
. Vectơ mật độ dòng j
được định nghĩa như sau:
j v
(4.1.1)
Giả sử có một hình phẳng, diện tích bằng đơn vị, vuông góc
với dòng chảy (hình 4.1.1). Khối lượng nước đi qua hình
phẳng ấy trong một đơn vị thời gian chính bằng khối lượng
nằm trong hình hộp có đáy là hình phẳng và chiều cao bằng
vận tốc dòng chảy. Khối lượng đó bằng khối lượng riêng nhân
với thể tích của hình hộp:
1
v v
(4.1.2)
Vậy j
có độ lớn bằng khối lượng nước đi qua một đơn vị diện
tích vuông góc với dòng chảy trong một đơn vị thời gian, và
lưu lượng nước đi qua một diện tích phẳng S vuông góc với
dòng chảy là jS
. Nếu S không vuông góc với dòng chảy
(hình 4.1.2) thì ta lập luận như sau:
Lưu lượng qua S = lưu lượng qua S’ = jS’ = jScos
Vậy:
Snj
(4.1.3)
Lưu ý rằng lưu lượng là một số đại số, lưu lượng là dương nếu
các hạt đi theo chiều dương của bề mặt (chiều của vectơ đơn vị
pháp tuyến n
), và âm trong trường hợp ngược lại.
Nếu dòng chảy có khối lượng riêng thay đổi và bề mặt S cũng
có hình dạng bất kỳ (hình 4.1.3) thì ta chia bề mặt ra làm nhiều
phần nhỏ dS, mỗi phần nhỏ như vậy có thể coi như phẳng và
mật độ dòng tại đó cũng có thể coi là không đổi. Như vậy
thông lượng hạt qua dS là:
dSnjd
(4.1.4)
Lưu lượng qua S là tổng các lưu lượng sơ cấp qua các phần
nhỏ dS trên mặt S:
SS dSnjd
(4.1.5)
dS
S
j
Hình 4.1.3
Hình 4.1.1
v
S
’
S
n
j
Hình 4.1.2
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Động học chất lưu 4
Trong trường hợp S là một mặt khép kín, người ta quy ước
chọn n
hướng ra ngoài, như thế lưu lượng ra khỏi mặt là
dương, còn lưu lượng vào mặt là âm
4.2 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC
Xét một mặt kín S trong một dòng chảy (hình 4.2.1). Vì khối
lượng được bảo toàn, nên nếu trong thời gian dt bên trong mặt
S khối lượng chất lưu giảm đi dm, thì cũng phải có một khối
lượng tương ứng đi ra khỏi mặt S trong cùng thời gian ấy. Hay
nếu tính trong một đơn vị thời gian, thì tốc độ giảm khối lượng
bên trong S phải bằng lưu lượng ra khỏi S. Như thế:
S
dm
j ndS
dt
(4.2.1)
Có dấu trừ trong hệ thức trên vì dm < 0, còn lưu lượng ra khỏi
mặt S lại là một số dương. Hệ thức trên cũng đúng trong
trường hợp khối lượng trong S tăng lên, tức là dm > 0, khi đó
lưu lượng qua S sẽ âm, tương ứng với dòng chảy đi vào trong
mặt S.
Gọi V là thể tích giới hạn bởi mặt S, ta có:
V V
dm d
dV dV
dt dt t
(4.2.2)
Mặt khác, theo định lý Ostrogradsky-Gauss, lưu lượng qua mặt
kín S có thể biến đổi thành tích phân theo thể tích V của jdiv
:
S V
dVjdSnj
(4.2.3)
Thay (4.2.2) và (4.2.3) vào (4.2.1) rồi chuyển vế, ta thu được:
0
V
j dV
t
(4.2.4)
Hệ thức trên đúng với một thể tích V bất kỳ, nên hàm dưới dấu
tích phân phải bằng không tại mọi điểm:
0
j
t
(4.2.5)
Tương tự như phương trình (4.2.1), phương trình (4.2.5) cũng
mô tả sự bảo toàn của khối lượng. Chỉ có điểm khác biệt là nó
diễn tả sự bảo toàn khối lượng trong một thể ích nhỏ dV bao
quanh một vị trí xác định, bởi vì j
chính là lưu lượng qua
bề mặt bao quanh dV chia cho dV (lưu lượng hạt trên một đơn
vị thể tích). Phương trình bảo toàn khối lượng định xứ (4.2.5)
còn được gọi là phương trình liên tục.
Nếu dùng hệ thức:
. ( ) ( . ) .
j v v v
(4.2.6)
dm < 0
Hình 4.2.1. Khối lượng ra bằng khối
lượng giảm đi trong mặt S.
Dòng ra
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Động học chất lưu 5
và nhớ lại định nghĩa của đạo hàm theo hạt (3.3.3) thì phương
trình liên tục còn có thể viết dưới dạng:
. 0
Dv
Dt
(4.2.7)
Khi dòng chảy là dừng thì khối lượng riêng của chất lưu ở từng
vị trí không phụ thuộc vào thời gian (
0
t
), phương trình
liên tục trở thành:
. 0
j
(4.2.8)
Nghĩa là: lưu lượng khối lượng của một dòng chảy dừng qua
một mặt kín luôn luôn bằng không khối lượng vào bằng khối
lượng ra trong cùng một khoảng thời gian.
Khi dòng chảy là không nén được (thể tích của hạt chất lưu khi
nó chuyển động là không đổi,
0
D Dt
), phương trình liên
tục dưới dạng (4.2.7) biến đổi thành:
. 0
v
(4.2.9)
Nghĩa là: lưu lượng thể tích của một dòng chảy không nén
được qua một mặt kín luôn luôn bằng không thể tích chất lưu
đi vào bằng thể tích chất lưu đi ra trong cùng một thời gian.
5. CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT HẠT
CHẤT LƯU
Xét một hạt chất lưu có khối tâm C, có vận tốc là vận tốc của
khối tâm. Gọi M là một điểm bất kỳ trong hạt chất lưu. Do kích
thước của hạt là rất nhỏ nên ta có thể viết vận tốc tại M như
sau:
( ) ( ) .
v M v C CM v

(5.1)
Ta có hệ thức:
. . .
a b b a a b b a a b
(5.2)
Với
a CM
và
b v
ta có:
. .
CM v CM v CM v
(5.3)
Dùng (5.3), ta có thể viết lại hệ thức (5.1) dưới dạng:
( ) ( ) 2
v M v C CM D
(5.4)
Trong đó ta đã định nghĩa vectơ xoáy
:
1
2
v
(5.5)
Và vectơ biến dạng
D
:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.