intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Cơ sở lý thuyết trường lượng tử

Chia sẻ: Quachvan Day | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST
Báo xấu
231
lượt xem 37
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn chuyên ngành Vật lý có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo nội dung "Cơ sở lý thuyết trường lượng tử" dưới đây. Nội dung tài liệu cung cấp cho các bạn những câu hỏi bài tập về trường lượng tử. Hy vọng tài liệu phục vụ hữu ích nhu cầu học tập của các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cơ sở lý thuyết trường lượng tử

  1. ĐHSLY 2012B CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Câu 1: Hãy trình bày về nội dung của phương pháp biểu diễn biến số lắp đầy thông qua bài toán dao động tử điều hòa 1 chiều? - Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng: p 2 m 2 q 2  H  (1) 2m 2  - Trong đó: p   i là toán tử xung lượng q q là toán tử tọa độ - Phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa một chiều có dạng:  ( q )  E  ( q ) H (2) n n n - Trong cơ học lượng tử, để tìm hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều ta thay (1) vào (2) và giải phương trình, ta được: 2    1  n ( q) An e 2 H n ( ) ; En    n   (3)  2 Với: + An là hệ số chuẩn hóa + n là số nguyên m  +  là biến số mới liên hệ với tọa độ q theo biểu thức:   .q i (4)   n  n  + Hn là đa thức Hecmite có dạng: H n ( )   1 e  n 2 e   2 (5) * Bây giờ ta sẽ dùng phương pháp khác để tìm biểu thức năng lượng và hàm sóng của dao động tử điểu hòa một chiều để từ đó có được phương pháp biểu diễn biến số lắp đầy. - Trước hết ta đưa ra biểu thức định nghĩa hai toán tử liên hợp aˆ . aˆ  như sau:  1     1    a   a    (6) 2   2    - Thay (4) vào (6), ta được:   a  m  q  i p  a   m  q  i p  (7) 2  m  2  m  - Ta chứng minh các tính chất : + Tính chất 1: Giao hoán tử  aˆ , aˆ   1 m    i p    i p    i p    i p   i     Ta có :  aˆ , aˆ      q    q     q    q      p, q  (8) 2   m   m   m   m    Trong đó :  p, q   p.q  q . p   i  q  qi     i   q q 1
  2. ĐHSLY 2012B   p, q   i (9)   - Thay (9) vào (8), ta được :  aˆ , aˆ    aˆ aˆ   aˆ  aˆ  1 (10) (đpcm) 2 + Tính chất 2: Phản giao hoán tử:  aˆ , aˆ     aˆ aˆ   aˆ  aˆ   2  2   1           2 2  aˆ , aˆ                      2 (11) (đpcm) 2               - Dựa vào hai tính chất trên ta biểu diễn toán tử Hamiltonian theo các toán tử aˆ , aˆ  và từ đó tìm hiểu ý nghĩa của các toán tử này: - Từ (4) ta có :   q i   m  m   p   i   i q    2 2  p   m 2 (12)  - Thay (12) vào biểu thức Hamiltonian, ta được : p 2 m 2 q 2   2   H    2  (13) 2m 2 2   2  - Thay (11) vào (13), ta được :     aˆ aˆ   aˆ  aˆ     2 aˆ  aˆ  1    aˆ  aˆ  1     aa  1 H    ˆˆ   (14) 2 2  2  2 - Ta tìm các giao hoán tử  H  , a  và  H  , a           1    1   +  H , a     aaˆ ˆ   a  a.  aa ˆ ˆ    a  aˆ  aˆ  aa ˆ ˆ      a (15)  2  2     1      1   +  H , a      aaˆ ˆ   a  a .  aa ˆ ˆ     a   aˆ  aˆ  aa ˆ ˆ     a  (16)  2  2   - Tác dụng Hamiltonian lên các hàm a n (q ) và a   n (q ) , ta được :     Ha n ( q)   aH   a   n ( q)   En    a  n (q ) (17)      Ha   n (q)   a  H   a    n (q)   En    a   n ( q) (18)  của - Các phương trình (2), (17). (18) đều là các phương trình trị riêng của Hamiltonian H dao động tử điều hòa với : + En là trị riêng ứng với hàm riêng  n (q ) + En   là trị riêng ứng với hàm riêng a  n (q ) + En   là trị riêng ứng với hàm riêng a   n (q) 2
  3. ĐHSLY 2012B -Ta giả thiết rằng giữa các trị riêng En   và En không có mức năng lượng trung gian nào khác thì ta có thể viết : En 1  En   En1  En   (19)   a  n  C  n1 a  n  C /  n1 (20) - Trị trung bình của toán tử năng lượng :      H   , H      , aa       , a  a   2        a  , a      a , a   2     2  2   a   a  0 (21) 2   - Như vậy phải tồn tại một trị riêng nhỏ nhất E0 ứng với hàm riêng  0 (q ) thỏa mãn phương trình trị riêng :  H  0 (q)  E0  0 (q) (22) - Do E0 là giá trị năng lượng nhỏ nhất nên ta phải có :  a  0 (q )  0 (23) - Thay (14) vào (22) và chú ý đến (23) ta có thể tính được mức năng lượng thấp nhất E0 như sau :    H  0 (q)  2  2 aˆ  aˆ  1  0 (q)  2  0 (q)  E0  0 (q)   E0  (24) 2 Vậy: Biểu thức tính năng lượng dao động tử điều hòa một chiều có dạng:  1 En    n   (25)  2    - Ta tiếp tục xét ý nghĩa của toán tử N  a  a , ta có :    1  H    aa     2 - Thay vào biểu thức (22) và chú ý đến (25), ta có :   1    N    n ( q )  En  n ( q )  2   1  1    N    n ( q )    n    n ( q )  2  2  - Hay: N  n (q )  n n ( q ) (phương trình trị riêng của tóan tử  N) - Từ (20) ta tìm được các hệ số khai triển :      n    n , N  n     n , a  a n     n a , a n   C 2   n 1 ,  n1   C 2  C  n  a  n 1  n  n 1 (27)  - Chú ý rằng :  aˆ , aˆ   aˆ aˆ  aˆ aˆ  1  N  aˆ  aˆ  aˆ aˆ   1    3
  4. ĐHSLY 2012B - Nên ta có :     n    n , N  n    n ,  aˆ aˆ   1  n    n , aa   n     n ,  n   C / 2  1 - Từ đó ta suy ra :  /  a n C  n 1  a  n  n  1  n 1   n1  (28) n 1 - Ta có thể tìm được hàm riêng  n bằng cách tác dụng liên tiếp n lần toán tử loán tử sinh  a  lên hàm sóng trạng thái chân không  0 như sau:  a 0 1  1    a 1 a  a   0 2   2 1.2     a 2 a a a 0 3   2 1.2.3 ..........................  n n   a   0 n! Các biểu thức (10), (14), (25), (26), (29) mô tả dao động tử điều hòa theo ngôn ngữ biến số lắp đầy. Hàm sóng chỉ phụ thuộc duy nhất vào một biến số lắp đầy n nên thường kí hiệu là  n hay n Câu 2: Từ biểu thức thế véctơ của trường điện từ hãy chứng minh sóng điện từ là sóng ngang? - Ta chọn hệ đơn vị sao cho vận tốc ánh sáng trong chân không là 1 đơn vị thì ta có các phương trình Maxwell  đối với trường điện từ là: div E   (1)  div H  0 (2)   H rot E   (3) t   E rot H  (4) t  - Định nghĩa thế vô hướng  và thế véc tơ A   A   E   grap  ; H  rot A (5) t - Điều kiện định cở  của Lorentz div A  0 (6) - Để lượng tử hóa trường điện từ, ta xét một thể tích hình hộp lập phương cạnh L, thể tích V  L3 có sóng điện từ. Thế véctơ có thể được biễu diễn dưới dạng chồng chất các sóng phẳng đơn sắc: 4
  5. ĐHSLY 2012B    a  e     1   a k* e    i  t  kr i  t  kr Ar ,t    (7)  k 2V   k  1 - Trong đó, số hạng thứ nhất là sóng tới, số hạng thứ hai là sóng phản xạ, hệ số 2V     xuất phát do chuẩn hóa, k là véctơ sóng, về độ lớn k   , ak là biên độ sóng. - Thay (7) vào (6), ta được:       1    it  kr   * it  kr   e  e  x 1 y 2 z 3    e  ak e  a k e 0 (8)   k 2V       - Trong đó e1 , e2 , e3 là các véctơ đơn vị trên các trục tọa độ. - Mặt khác:     ak  a1.e1  a2 .e2  a3 .e3     ak*  a1*.e1  a2* .e2  a3* .e3 (9)  k .r  k1.x  k2 . y  k3 .z - Thay (9) vào (8), ta được:        1      i t  k . x  k . y  k . z   x 1 y 2 z 3    e  e  e   k 2V   a .e 1 1  a .e 2 2  a .e 3 3 e   1 2 3 (10)    i t  k . x  k . y  k . z    a1*.e1  a2*.e2  a3*.e3 e     0  1 2 3    - Mà ei .ei  1; ei e j  0 nên (10) trở thành: 1      i  t  k . x  k . y  k . z      k  2V    x a1.e    i t  k . x  k . y  k . z   1 2 3  y  a2 .e     i  t  k . x  k . y  k . z   1  z a3 .e   2 3     1 2 3    * i t  k . x  k . y  k . z     x a1 .e  1 2 3   * i t  k . x  k . y  k . z  y  a2 .e  1   * i t  k . x  k . y  k . z  z a3 .e 2 3   1 2 3    0 1   k 2V     i  k1a1  k 2a2  k3a3  e  i t  k . x  k . y  k . z   1  2 3  i  k1a1*  k2 a2*  k3a3*  e  i t   k1 . x  k2 . y  k3 . z    0   - Muốn cho tổng trên bằng 0 thì:    i  k1a1  k 2 a2  k3 a3   0  k .a  0 k      i  k1a1  k2 a2  k3a3   0 * * * *  k .ak  0    k .ak  0  k  ak Vậy sóng điện từ là sóng ngang. Câu 3: Hãy trình bày aˆk . aˆk là các toản tử hủy và toán tử sinh của trường điện từ?  2  1 - Trước hết ta tìm các giao hoán tử giữa: Toán tử năng lượng H   k  aˆ k aˆ k   , toán k , 1  2  2  tử mật độ dòng năng lượng P   k .aˆ k aˆ k với các toán tử aˆk . aˆ k : k ,  1 5
  6. ĐHSLY 2012B    2   1     1    H , aˆk   Haˆk  aˆk H    k /  aˆ k  aˆ k    aˆk  aˆk  aˆ k  aˆ k  / / / / / / / /   k ,  1 / /  2  2  2    k  aˆk  aˆ k  aˆk  aˆk aˆk  aˆ k  / / / / / / / / /  k / , / 1 2    k  aˆk  aˆ k  aˆ k  aˆ k  aˆk aˆk  / / / / / / / / /  k / ,  / 1 2    k aˆ k   aˆk  aˆk  / / / / / / / k ,  1 - Mặt khác:  aˆ k  aˆ k    kk   / / / /  2 Vậy: H, aˆk     k aˆk  kk   k aˆk / / / / / (1) / / k , 1    2   1   1    H , aˆk   Haˆk  aˆk H    k /  aˆ k  aˆ k    aˆ k  aˆ k  aˆ k  aˆk     / / / / / / / / k ,  1 / /  2  2  2    k  aˆk  aˆ k aˆ k   aˆ k aˆ k  aˆk  / / / / / / / / /  k / , / 1 2    k  aˆ k  aˆk  aˆk  / / / / / / / k , 1  2 Vậy:  H , aˆk      k kk  aˆk    k aˆk / / / / / (2) / / k , 1    2  2    P, aˆk   Paˆk  aˆ k P    k / aˆk  aˆ k  aˆk  aˆ k   k / aˆk  aˆk  / / / / / / / / / / / / k ,  1 k ,  1 2     k /  aˆ k  aˆk  aˆ k  aˆk aˆk  aˆ k   / / / / / / / / k / ,  / 1 2     k /  aˆ k  aˆk  aˆk  aˆk aˆk  aˆk  / / / / / / / /  k / ,  / 1 2     k / aˆk   aˆ k  aˆ k  / / / / / / k ,  1  2   Vậy:  P, aˆk    k / aˆk /  /  kk/   /  k aˆk  (3) / / k , 1    2  2    P, aˆk   Paˆk  aˆ k P    k / aˆk  aˆ k  aˆk  aˆ k   k / aˆk  aˆk  / / / / / / / / / / / / k ,  1 k ,  1 2 /     k  aˆ k  aˆ k  aˆk  aˆ k aˆ k  aˆk   / / / / / / / / k / ,  / 1 2  2     k /  aˆ k  aˆk aˆk   aˆ k aˆk  aˆ k  / / / / / / / /     k /  aˆk  aˆ k  aˆ k  / / / / k / ,  / 1 k ,  1/ / 6
  7. ĐHSLY 2012B Vậy:  2    P, aˆ k      k /  kk   aˆk    k aˆ k  / / / / (4) / / k , 1   - Ta dễ dàng thử lại rằng các toán tử năng lượng H , toán tử mật độ dòng năng lượng P , toán tử số hạt N  ak ak là giao hoán nhau nên chúng có chung hàm riêng. Gọi véc tơ sóng điện từ  n cũng là hàm riêng của 3 toán tử trên thì ta có:,  H  n  E n   P n  P n  N  n  n n  - Trong đó: E, P, n là trị riêng của các toán tử tương ứng. - Ta tìm các phương trình toán tử sau:   H aˆ k  n   aˆ k H   aˆ k   n   E    aˆ k  n (5)   H aˆ k  n   aˆ k H   aˆ k   n   E    aˆ k  n (6)         P aˆ k  n  aˆ k P  kaˆ k  n  P  k aˆk  n  (7)         P aˆ k  n  aˆ k P  kaˆ k  n  P  k aˆk  n  (8) - Các phương trình (5), (6), (7), (8) cho thấy nếu hàm riêng  n mô trạng thái trường điện  từ có năng lượng E xung lượng P thì hàm sóng aˆk  n mô tả sóng điện từ có năng lượng   E   xung lượng P  k , ngược lại hàm sóng aˆ k  n mô tả sóng điện từ có năng lượng   E   xung lượng P  k . Với ý nghĩa này ta gọi toán tử aˆ k là toán tử sinh, aˆ k là toán tử hủy  * Ta tiếp tục xét ý nghĩa của toán tử N , ta có:       2 n    n , N  n     n , ak ak  n     n ak , ak  n   ak  n  0   - Như vậy trị riêng của toán tử N là không âm. Giao hoán tử của toán tử N với toán tử sinh, hủy được tính như sau:               N k  , ak   N k  ak  ak N k   ak  ak  ak  ak ak  ak  / / / / / / / / / / / / / /        ak  ak  ak  ak  ak ak  / / / / / / / /       ak   ak  ak  ak ak   / / / / / /     ak   ak  ak  / / / /   ak   kk   / /(9) / /               N k  , ak   N k  ak  ak N k   ak  ak  ak  ak ak  ak  / / / / / / / / / / / / / /        ak  ak ak   ak ak  ak  / / / / / / / /        ak  ak  ak ak   ak / / / /       ak  ak  ak   ak   kk   / / / / / / (10) 7
  8. ĐHSLY 2012B - Từ (9) và (10) ta có:       N k ak  n   ak N k  ak   n   n  1 ak  n (11)       N k ak  n   ak N k  ak   n   n  1 ak  n (12) - Các phương trình (11). (12) cho thấy nếu hàm riêng  n mô tả trạng thái có n hạt phôtôn của sóng điện từ thì hàm riêng ak  n mô tả trạng thái có  n  1 hạt, còn hàm riêng ak  n  mô tả trạng thái có  n  1 hạt. Từ đó ta nói N k  là toán tử số hạt. Vì trị riêng n phải không / / âm nên phải tồn tại trị riêng nhỏ nhất n0 thỏa mãn phương trình trị riêng:  N k  n  n0  n (13) - Ta xét phương trình toán tử:       N k ak  0   ak N k  ak   0   n0  1 ak  0 - Vì n0 là nhỏ nhất nên không thể có trị riêng n0  1, điều này dẫn đến phải có điều kiện:  ak  0  0 (14) - Từ (13), (14), ta có:    N k   0  ak ak  0  0  n0  0 (15) / /  - Từ đây suy ra trị riêng nhỏ nhất của toán tử N k  là n0  0 / / Câu 4: Hãy trình bày hàm sóng mô tả trạng thái nhiều phôtôn của trường điện từ? - Gọi  0 (ứng với n0  0 ) là trạng thái chân không. Ta có :  ak  0  0 - Ta phải chuẩn hóa véc tơ trạng thái chân không, nghĩa là : * 2   0  0 .dx    0 dx  1  - Nếu ta tác dụng toán tử sinh ak lên véctơ trạng thái chân không  0 thì sẽ thu được véctơ 1 1  trạng thái  k  mô tả trạng thái một hạt phôtôn có xung lượng k1 độ phân cực 1 1 1  ak  0   k  1 1 1 1 - Ta chuẩn hóa hàm sóng : 2  2    k   ak  0   0 ak , ak  0 1 1 1 1  1 1 1 1          0 , ak  ak   0      1 1 1 1          0 , ak  ak   1  0 1 1 1 1  2   0 , 0   0  1 - Nếu ta tiếp tục tác dụng toán tử sinh ak một lần nữa thì sẽ thu được trạng thái hai hạt 1 1 phôtôn     2 ak  k   ak ak  0  ak  0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - Ta chuẩn hóa hàm sóng : 8
  9. ĐHSLY 2012B       2 2    k11  2 1 1 1 1   ak ak  0   0 ak ak , ak ak  0 1 1 1 1 1 1 1 1           0 , ak  ak  ak ak  0   1 1  1 1 1 1  1 1          0 , ak  1 1 ak ak   1 ak  0 1 1 1 1 1 1               0 , ak  ak  1 1 1 1 ak  ak   0    0 , ak  ak  0   1 1 1 1  1 1 1 1             0 , ak  ak 1 1 1 1 ak  ak   1  0  1 1 1 1 1       0 , ak  ak  0  1 1 1 1 1   1  1 2 - Như vậy, hàm sóng trạng thái thứ hai đã được chuẩn hóa là : 1  2   k   2 ak   0 1 1 2   1 1  - Nếu ta tiếp tục tác dụng toán tử sinh ak một lần nữa thì sẽ thu được trạng thái ba hạt 1 1 phôtôn       3 ak ak   k   ak ak ak  0  ak  0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - Ta chuẩn hóa hàm sóng : 2    2         ak ak ak  0   0 ak ak ak , ak ak ak  0  k11  3 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1             0 , ak  ak  ak  ak ak ak  0   1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1            0 , ak  ak  1 1 1 1 ak ak   1 ak ak  0 1 1 1 1 1 1 1 1                    0 , ak  ak  ak  1 1 1 1 1 1  1 1  1 1 1 1  ak  ak  ak   0    0 , ak  ak  ak ak  0 1 1 1 1 1 1 1 1                0 , ak  ak  ak1 1 1 1 1 1 ak  ak   1 ak   0  2 1 1 1 1 1 1                 0 , ak  ak  ak ak  1 1 1 1 1 1 1 1   1 1 1 1  ak  ak  0    0 , ak  ak  ak ak  0  2 1 1 1 1 1 1 1 1             0 , ak  ak  ak ak 1 1 1 1 1 1 1 1 ak ak   1  0  2  2 1 1 1 1         0 , ak  ak  ak ak  0  2  2  2  2  2  6 1 1 1 1 1 1 1 1  9
  10. ĐHSLY 2012B - Như vậy, hàm sóng trạng thái thứ ba đã được chuẩn hóa là : 1  3   k   6 k a 0 1 1 3   1 1 - Tiến hành tương tự ta có thể chứng minh được hàm sóng có n1 phôtôn có cùng xung  lượng k1 , độ phân cực 1 đã được chuẩn hóa là : 1  n   1   ak   0 n1 k   n1 ! 1 1 1 1 - Mở rộng hệ thức này cho nhiều loại phôtôn ta có hàm sóng đã được chuẩn hóa là : 1  n1  n2  nr    k11 n1    k11 n2    ... k11  nr  n1 !n2 !...nr !      ak 1 1 ak  1 1 ... ak 1 1 0 Câu 5: Hãy chứng minh các quy luật giao hoán của các toán tử aˆi (t ). aˆi (t ) của trường vô hướng? - Ta có :   i qi  ipi  1 aˆi (t )  2 i  i qi  ip i  1 aˆi (t )  2 i - Chứng minh các giao hoán tử: 10
  11. ĐHSLY 2012B   aˆi (t ), aˆ j (t )   aˆi (t ) aˆ j (t )  aˆ j (t ) aˆi (t )      i qi  ipi  1 1 1 1   i q i  i p i    j q j  ip j     j q j  ip j  2 i 2 j 2 j 2 i   i qi  ip i   j q j  ip j    j q j  ip j    i qi  ipi   1  2  i j     i j qi q j  i i qi p j  i j p i q j  p i p j     i j qi q j  i j q j pi  i i p j qi  pi p j   1  2  i j   1        2  i j  i i qi p j  i j pi qJ  i j q j pi  i i p j qi  i i  qi p j  p j qi   i j  pi qJ  q j p i   1  2  i j 1  i i  qi ,   p j   i j   pi , qj   2  i j     1  i i . i ij   i j . i ij   2  i i   1  2  i j   i ij   j ij  - Nếu i  j , thì: 1  aˆi (t ), aˆ J (t )   2   i .1   i .1  0 i - Nếu i  j , thì: 1  aˆi (t ), aˆ J (t )   2  i j   i .0   j .0   0 Vậy:  aˆi (t ), aˆ J (t )   0   aˆ i(t ), aˆ J (t )   aˆ i(t ) aˆ J (t )  aˆ J (t )aˆ i(t )      i qi ipi  1 1 1 1    i q i  i p i    j q j  ip j     j q j  ip j  2 i 2 j 2 j 2 i   i qi  ipi    j q j  ip j     j q j  ip j    i qi  ip i   1  2  i j   i j qi q j  i i qi p j  i j p i q j  pi p j     i j qi q j  i j q j pi  i i p j qi  p i p j   1  2  i j   11
  12. ĐHSLY 2012B 1        2  i j  i i qi p j  i j pi qJ  i j q j pi  i i p j qi  i i  p j qi  qi p j   i j  q j pi  pi qJ   1  2  i j   1  i i    p j , qi   i j  qj ,  pi   2  i j     1  i i . i ij   i j . i ij   2  i i   1  2  i j  i ij   j ij  - Nếu i  j , thì: 1  aˆi (t ), aˆ J (t )    i .1   i .1  0 2 i - Nếu i  j , thì: 1  aˆi (t ), aˆ J (t )   2  i j  i .0   j .0  0 Vậy:  aˆ i(t ), aˆ J (t )   0  aˆ i (t ), aˆ J (t )   aˆ i (t )aˆ J (t )  aˆ J (t )aˆ i (t )   i qi  ip i   J qJ  ip J    J qJ  ip J   i qi  ipi  1 1 1 1  2 i 2 J 2 J 2 i   i qi  ip i   j qJ  ip J     j qJ  ip J    i qi  ip i   1  2  i j     i j qI qJ  i i qi p J  i j p i qJ  p i p J    i j qI qJ  i j qJ pi  i i p j qi  p i p J   1  2  i j   1        2  i j  i i qi pJ  i j pi qJ  i j qJ pi  i i p j qi  1  i i    p , q   i j  qj ,  pi   2  i i  j i   1  i i .  i ij   i j .  i ij  2  i j   1  2  i j   i ij   j ij  12
  13. ĐHSLY 2012B - Nếu i  j , thì: 1  aˆi (t ), aˆ J (t )    i .1   i .1  1 2 i - Nếu i  j , thì: 1  aˆi (t ), aˆ J (t )   2  i j  i .0   j .0  0 - Vậy: 1 khi i  j  aˆ i (t ), aˆ J (t )    ij   0 khi i  j Câu 6: a) Từ các giao hoán tử của các toán tử aˆ . aˆ  hãy chứng minh chúng là các toán tử sinh, hủy của trường vô hướng? - Biểu thức tính năng lượng và điện tích của trường vô hướng có dạng: H   ai* (t ) ai (t ) i (1) i Q  e ai* (t )ai (t ) (2) i - Để lượng tử hóa trường vô hướng ta thay thế các biến động lực bằng các toán tử theo nguyên lí tương ứng:       pi  pi qi  qi ai (t )  ai (t ) ai  ai a*i (t )  a i(t ) a*i  a i (3) - Trong đó, ai(t ), ai , a i (t ) quan hệ với nhau bằng biểu thức:     a i(t )  a i.e i t i a i (t )  a i .e  i t i (4) - Các toán tử xung lượng va tọa độ suy rộng tuân theo giao hoán tử đã biết:   qi , p j  i ij (5) - Từ đó suy ra các giao hoán tử của các toán tử ai (t ), a j (t ) như sau:       a i (t ), a i (t )  a i(t ), a i(t )  0 : a i (t ), a i(t )   ij (6) - Hay:       a i , a i  a i, a i  0 : a i , a i   ij (7) - Thay các kết quả vừa tìm được vào (1) và (2) ta được:    H    i ai ai (8) i    Q  e ai ai (9) i - Từ (7), (8), (9) ta có thể tính được các giao hoán tử sau: 13
  14. ĐHSLY 2012B              H , ai   Hai  ai H    j a j a j ai  ai   j a j a j j j               j  a j a j ai  ai a j a j     j  a j ai a j  ai a j a j  j j           j  a j ai  ai a j  a j    j  a j , ai  a j j j       j ija j    i ai   j  Vậy:  H , ai     i ai (10)              H , ai   Ha i  ai H    j a j a j a i  a i  j a j a j j j          j  a j a j a i  a i a j a j  j          j  a j a j a i  a j ai a j  j        j a j  a j ai  ai a j  j       j a j  a j , ai  j     j a j  ij j    i ai Vậy:     H , ai    i ai (11)             Q, ai  Qai  aiQ  e a j a j ai  ai e a j a j j j        e   a j a j ai  ai a j a j  j             e   a j ai a j  ai a j a j  j      e   a j ai  ai a j  a j j     e   a j , ai  a j j    e   ija j j    e ai Vậy:    Q, ai    e ai (12) 14
  15. ĐHSLY 2012B             Q, a i  Qa i  aiQ  e  a j a j a i  a ie  a j a j j j         e   a j a j a i  a i a j a j  j             e  a j a j a i  a j ai a j  j      e a j  a j ai  ai a j  j     e a j  a j , ai  j   e  a j  ij j   e ai Vậy: Q ,â    e â  (13)  i  i     - Từ các biểu thức (1), (2) và toán tử N  a  a ta dễ dàng thấy ba toán tử H , Q, N giao hoán nên ba toán tử này phải có chung hàm riêng. Gọi  là hàm riêng chung của ba toán tử này ta sẽ có phương trình trị riêng:  H n  E n  Q  n  Q  n (14)  N n  nn - Trong đó: E, Q, n là trị riêng của các toán tử tương ứng. - Ta tìm các phương trình toán tử sau:   H aˆi  n   aˆi H   i aˆi   n   E   i  aˆi  n (15)   H aˆi  n   aˆi H   i aˆi   n   E   i  aˆi  n (16)     Q aˆi  n  aˆi Q  e aˆi  n   Q  e  aˆi  n (17)     Q aˆi  n  aˆi Q  e aˆi  n   Q  e  aˆi  n (18) - Các phương trình (15), (16), (17), (18) cho thấy nếu hàm riêng  n mô trạng thái hệ hạt có năng lượng E điện tích Q thì hàm sóng aˆi  n mô tả trạng thái hạt có năng lượng E   i điện tích Q  e , ngược lại hàm sóng aˆi  n mô tả trạng thái hạt có năng lượng E   i điện tích Q  e Với ý nghĩa này ta gọi toán tử aˆi là toán tử sinh hạt có năng lượng  i điện tích e , aˆi là toán tử hủy hạt có năng lượng  i điện tích e ,  *Ta tiếp tục xét ý nghĩa của toán tử N : Ta xét các giao hoán tử: 15
  16. ĐHSLY 2012B        N , ai   Nai  ai N        a j a j ai  ai ai a j        a j a j ai  a j ai a j       a j  a j ai  ai a j      a j  a j ai      ai a j    ij  a j  ij (19)               N , ai   Nai  ai N  a j a j ai  ai ai a j        a j ai a j  ai ai a j        a j ai  ai a j  a j      a j ai  a j      a j  ij (20)  a j ai    ij Từ (14) và (19), (20), ta có:      Nai  n   ai N  ai   n   n  1 ai  n (21)      Nai  n   ai N  ai   n   n  1 ai  n (22)  Từ (21), (22) ta đoán nhận toán tử N  a  a là toán tử số hạt. b) Hãy lập luận để viết hàm sóng cho hệ gồm n1 hạt có năng lượng 1 , n2 hạt có năng lượng  2 ,… nr hạt có năng lượng  r ? - Gọi  0 (ứng với n0  0 ) là trạng thái chân không. Ta có :  an  0  0 - Ta phải chuẩn hóa véctơ trạng thái chân không, nghĩa là : * 2   .dx   0  1 - Nếu ta tác dụng toán tử sinh a1 lên véctơ trạng thái chân không  0 thì sẽ thu được véctơ trạng thái 1 mô tả trạng thái một hạt có xung lượng 1  a1  0   1 Ta chuẩn hóa hàm sóng : 2  2      a1  0    0 a1 , a1  0  1            0 , a1 a1  0  a1 a1  a1 a1  1           0 , a1 a1  1  0  2   0 , 0   0  1 - Nếu ta tiếp tục tác dụng toán tử sinh a1 một lần nữa thì sẽ thu được trạng thái hai hạt : 16
  17. ĐHSLY 2012B     2 a1 1  a1 a1  0  a1  0 - Ta chuẩn hóa hàm sóng : 2   2        a1 a1  0    0 a1 a1 , a1 a1  0  1 2           a1 a1  a1 a1  1    0 , a1 a1 a1 a1  0       a1 a1  0          0 , a1 a1 a1  1 a1  0             0 , a1 a1 a1 a1  0     0 , a1 a1  0            0 , a1 a1 a1 a1  1  0   1      0 , a1 a1  0   1  11 2 - Như vậy, hàm sóng trạng thái thứ hai đã được chuẩn hóa là : 1  2     2  a1   0 1 2 - Nếu ta tiếp tục tác dụng toán tử sinh a1 một lần nữa thì sẽ thu được trạng thái ba hạt :       3 a1 a1 1  a1 a1 a1  0  a1  0 - Ta chuẩn hóa hàm sóng : 2    2           a1 a1 a1  0    0 a1 a1 a1 , a1 a1 a1  0  3 1            0 , a1 a1 a1 a1 a1 a1  0                0 , a1 a1 a1 a1  1 a1 a1  0                 0 , a1 a1 a1 a1 a1 a1  0     0 , a1 a1 a1 a1  0                0 , a1 a1 a1 a1 a1  1 a1  0   2                0 , a1 a1 a1 a1 aa  0     0 , a1 a1 a1 a1  0   2 1 1            0 , a1 a1 a1 a1 a1 a1  1  0   2  2        0 , a1 a1 a1 a1  0   2  2  222  6 1  3 - Như vậy, hàm sóng trạng thái thứ ba đã được chuẩn hóa là :     3  a1   0 3 6 17
  18. ĐHSLY 2012B - Tiến hành tương tự ta có thể chứng minh được hàm sóng có n1 có cùng năng lượng 1 đã được chuẩn hóa là : 1  n      a1   0 n1 1 n1 ! 1 - Mở rộng hệ thức này cho nhiều hạt ta có hàm sóng đã được chuẩn hóa là :  a1   a2  ... ar   0 1 n 1 n 2 n r   n  n ... n   1 2 r n1 !n2 !...nr ! Câu 7: Hãy lập luận để tìm quy tắc giao hoán của các toán tử sinh, hủy hạt của trường Spinor? - Để tìm các quy tắc giao hoán của các toán tử cˆi ,  cˆi  ta tiến hành lập luận như sau: + Gọi  0 là trạng thái chân không, về nguyên tắc muốn tạo ra hai hạt lượng tử giống nhau ta phải tác dụng liên tiếp hai lần toán tử sinh cˆi lên véctơ trạng thái chân không cˆi cˆi  0 . Nhưng theo nguyên lí loại trừ Pauli thì không thể tồn tại hai lượng tử giống nhau nên đòi hỏi phải có điều kiện: cˆi cˆi  0  0 (1) + Điều kiện trên không những đúng cho trường hợp tác dụng toán tử sinh cˆi lên véctơ trạng thái chân không mà còn phải đúng cho trường hợp tác dụng toán tử sinh cˆi lên véc tơ trạng thái  bất kì. Như vậy, điều kiện (1) được viết một cách tổng quát hơn: cˆi cˆi  0 (2) + Việc tạo ra hai hạt lượng tử giống nhau không chỉ có tác dụng liên tục hai lần toán tử sinh lên véctơ sóng mà còn có thể do tác dụng ngắt quảng hai lần tác dụng toán tử sinh lên hàm sóng nên ta phải viết lại điều kiện này tổng quát hơn như sau: cˆi cˆi  cˆi cˆi  0 (3) - Quy luật tác dụng toán tử theo (3) là quy tắc phản giao hoán, kí hiệu là: cˆi cˆ j    cˆi cˆ j  cˆ j cˆi  0 - Lập luận tương tự ta tìm được: cˆi cˆ j    cˆi cˆ j  cˆ j cˆi  0 cˆi cˆ j    cˆi cˆ j  cˆ j cˆi   ij Chứng minh: 1) cˆi cˆ j    cˆi cˆ j  cˆ j cˆi  0 *Xét trường hợp i  j + Ni  0 cˆi cˆi     N1 ,...,0i ,..., N r ,...  cˆi cˆi   N1 ,...,0i ,..., N r ,...  cˆi cˆi   N1 ,...,0i ,..., N r ,...  cˆi   N1 ,...,1i ,..., N r ,...  cˆi   N1 ,...,1i ,..., N r ,... 000   cˆi cˆi    0 (4) 18
  19. ĐHSLY 2012B + Ni  1 cˆi cˆi     N1 ,...,1i ,..., N r ,...  cˆi cˆi   N1 ,...,1i ,..., N r ,...  cˆi cˆi   N1 ,...,1i ,..., N r ,...  cˆi .0  cˆi .0  0   cˆi cˆi    0 (5) *Xét trường hợp i  j + Ni  N j  0  cˆi cˆ j    N1 ,...,0i ,...,0 j ,..., N r ,...  cˆi cˆ j   N1 ,..., 0i ,..., 0 j ,..., N r ,...  cˆ j cˆi   N1 ,...,0i ,...,0 j ,..., N r ,...   cˆi   N1 ,...,0i ,...,1 j ,..., N r ,...  cˆ j   N1 ,...,1i ,..., 0 j ,..., N r ,...    N1 ,...,1i ,...,1 j , ..., N r ,...    N1 ,...,1i ,...,1 j ,..., N r ,...  0   cˆi cˆ j    0 (6) + Ni  N j  1  cˆi cˆ j    N1 ,...,1i ,...,1 j ,..., N r ,...  cˆi cˆ j   N1 ,...,1i ,...,1 j ,..., N r ,...  cˆ j cˆi   N1 ,...,1i ,...,1 j ,..., N r ,...   cˆi .0  cˆ j .0  0  cˆi cˆj   0 (7)  + Ni  1 Nj  0  cˆi cˆ j    N1 ,...,1i ,...,0 j ,..., N r ,...  cˆi cˆ j   N1 ,...,1i ,...,0 j ,..., N r ,...  cˆj cˆi   N1 ,...,1i ,...,0 j ,..., N r ,...   cˆi   N1 ,...,1i ,...,1 j ,..., N r ,...  cˆ j .0 000   cˆi cˆ j    0 (8) + Ni  0 Nj 1  cˆi cˆ j    N1 ,..., 0i ,...,1 j ,..., N r ,...  cˆi cˆ j   N1 ,...,0i ,...,1 j ,..., N r ,...  cˆj cˆi   N1 ,...,0i ,...,1 j ,..., N r ,...   cˆi .0  cˆj   N1 ,...,1i ,...,1 j ,..., N r ,... 000   cˆi cˆ j    0 (9) - Từ (4), (5), (6), (7), (8), (9), suy ra: cˆi cˆ j    cˆi cˆ j  cˆ j cˆi  0 (đpcm) 2)  cˆi cˆ j    cˆi cˆ j  cˆ j cˆi  0 *Xét trường hợp i  j + Ni  0 cˆi cˆi     N1 ,...,0i ,..., N r ,...  cˆi cˆi   N1 ,...,0i ,..., N r ,...  cˆi cˆi   N1,...,0i ,..., N r ,...  cˆi .0  cˆi .0  0  cˆi cˆi    0 (10) 19
  20. ĐHSLY 2012B + Ni  1 cˆi cˆi     N1 ,...,1i ,..., N r ,...  cˆi cˆi   N1 ,...,1i ,..., N r ,...  cˆi cˆi   N1 ,...,1i ,..., N r ,...  cˆi   N1 ,...,0i ,..., N r ,...  cˆi   N1 ,...,0i ,..., N r ,...  cˆi .0  cˆi .0  0   cˆi cˆi    0 (11) *Xét trường hợp i  j + Ni  N j  0 cˆi cˆ j    N1 ,...,0i ,...,0 j ,... N r ,...  cˆi cˆ j   N1 ,...,0i ,..., 0 j ,..., N r ,...  cˆ j cˆi   N1 ,...,0i ,...,0 j ,..., N r ,...   cˆi .0  cˆ j .0  0  cˆi cˆ j    0 (12) + Ni  N j  1 cˆi cˆ j     N1 ,...,1i ,...,1 j ,..., N r ,...  cˆi cˆ j   N1 ,...,1i ,...,1 j ,..., N r ,...  cˆ j cˆi   N1 ,...,1i ,...,1 j ,..., N r ,...  cˆi   N1 ,...,1i ,...,0 j ,..., N r ,...  cˆ j   N1 ,...,0i ,...,1 j ,..., N r ,...    N1 ,...,0i ,..., 0 j ,..., N r ,...    N1 ,...,0i ,...,0 j ,..., N r ,...  cˆ cˆ j    0 (13) + Ni  1 Nj  0 cˆi cˆ j     N1 ,...,1i ,...,0 j ,...N r ,...  cˆi cˆ j   N1 ,...,1i ,...,0 j ,..., N r ,...  cˆ j cˆi   N1 ,...,1i ,...,0 j ,..., N r ,...  cˆi .0  cˆ j   N1 ,...,0i ,...,0 j ,..., N r ,... 000  cˆi cˆ j    0 (14) + Ni  0 Nj 1 cˆi cˆ j     N1 ,...,0i ,...,1 j ,...N r ,...  cˆi cˆ j   N1 ,...,0i ,...,1 j ,..., N r ,...  cˆ j cˆi   N1 ,...,0i ,...,1j ,..., N r ,...  cˆi   N1 ,...,0i ,...,0 j ,..., N r ,...  cˆ j .0 000  cˆi cˆ j    0 (15) - Từ (10), (11), (12), (13), (14), (15), suy ra: cˆi cˆ j    cˆi cˆ j  cˆ j cˆi  0 (đpcm) 3) cˆi cˆ j    cˆi cˆ j  cˆ j cˆi   ij *Xét trường hợp i  j + Ni  0 cˆi cˆi     N1 ,...,0i ,..., N r ,...  cˆi cˆi   N1 ,...,0i ,..., N r ,...  cˆi cˆi   N1 ,...,0i ,..., N r ,... 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
24=>0