ĐHSLY 2012B
1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
Câu 1: Hãy trình bày về nội dung của phương pháp biểu diễn biến số lắp đầy thông
qua bài toán dao động tử điều hòa 1 chiều?
- Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng:
22
2
(1)
2 2
p m q
H
m
- Trong đó:
p i
q
là toán tử xung lượng
q
là toán tử tọa độ
- Phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa một chiều có dạng:
( ) ( ) (2)
n n n
H q E q
- Trong cơ học lượng tử, để tìm hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa một
chiều ta thay (1) vào (2) và giải phương trình, ta được:
2
21
( ) ( ) ; (3)
2
n n n n
q A e H E n
Với: + An là hệ số chuẩn hóa
+ n là số nguyên
+
là biến số mới liên hệ với tọa độ q theo biểu thức:
. (4)
i
mq
+ Hn là đa thức Hecmite có dạng:
2 2
( ) 1 (5)
n
n
nn
H e e
* Bây giờ ta sẽ dùng phương pháp khác để tìm biểu thức năng lượng và hàm sóng của dao
động tử điểu hòa một chiều để từ đó có được phương pháp biểu diễn biến số lắp đầy.
- Trước hết ta đưa ra biểu thức định nghĩa hai toán tử liên hợp
ˆ ˆ
.
a a
như sau:
1 1
(6)
2 2
a a
- Thay (4) vào (6), ta được:
(7)
2 2
m i p m i p
a q a q
m m
- Ta chứng minh các tính chất :
+ Tính chất 1: Giao hoán tử ˆ ˆ
, 1
a a
Ta có :
ˆ ˆ
, , (8)
2
m i p i p i p i p i
a a q q q q p q
m m m m
Trong đó :
, . .
p q p q q p i q qi i
q q
ĐHSLY 2012B
2
,
p q i
(9)
- Thay (9) vào (8), ta được :
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, 1
a a a a a a
(10)
(đpcm)
+ Tính chất 2: Phản giao hoán tử:
2
2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,a a a a a a
2
2
2
1
ˆ ˆ
, (11)
2
a a
(đpcm)
- Dựa vào hai tính chất trên ta biểu diễn toán tử Hamiltonian theo các toán tử
ˆ ˆ
,
a a
và từ
đó tìm hiểu ý nghĩa của các toán tử này:
- Từ (4) ta có :
2
2
2
(12)
i
qm
m
p i i
q
p m
- Thay (12) vào biểu thức Hamiltonian, ta được :
22
2 2
2
2
(13)
2 2 2
p m q
Hm
- Thay (11) vào (13), ta được :
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 (14)
2 2 2 2
H a a a a a a a a aa
- Ta tìm các giao hoán tử
,
H a
và
,
H a
+
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, . (15)
2 2
H a aa a a aa a a a aa a
+
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, . (16)
2 2
H a aa a a aa a a a aa a
- Tác dụng Hamiltonian lên các hàm
( )
n
a q
và
( )
n
a q
, ta được :
( ) ( ) ( ) (17)
( ) ( ) ( ) (18)
n n n n
n n n n
Ha q aH a q E a q
Ha q a H a q E a q
- Các phương trình (2), (17). (18) đều là các phương trình trị riêng của Hamiltonian
H
của
dao động tử điều hòa với :
+
n
E
là trị riêng ứng với hàm riêng
( )
n
q
+ n
E
là trị riêng ứng với hàm riêng
( )
n
a q
+ n
E
là trị riêng ứng với hàm riêng
( )
n
a q
ĐHSLY 2012B
3
-Ta giả thiết rằng giữa các trị riêng n
E
và
n
E
không có mức năng lượng trung gian
nào khác thì ta có thể viết :
1 1
/
1 1
(19)
(20)
n n n n
n n n n
E E E E
a C a C
- Trị trung bình của toán tử năng lượng :
22
, , ,
2
, ,
2
0 (21)
2
H H aa a a
a a a a
a a
- Như vậy phải tồn tại một trị riêng nhỏ nhất
0
E
ứng với hàm riêng 0
( )
q
thỏa mãn
phương trình trị riêng :
0 0 0
( ) ( ) (22)
H q E q
- Do
0
E
là giá trị năng lượng nhỏ nhất nên ta phải có :
0
( ) 0 (23)
a q
- Thay (14) vào (22) và chú ý đến (23) ta có thể tính được mức năng lượng thấp nhất
0
E
như sau :
0 0 0 0 0
ˆ ˆ
( ) 2 1 ( ) ( ) ( )
2 2
H q a a q q E q
0
(24)
2
E
Vậy: Biểu thức tính năng lượng dao động tử điều hòa một chiều có dạng:
(25)
- Ta tiếp tục xét ý nghĩa của toán tử
N a a
, ta có :
1
2
H aa
- Thay vào biểu thức (22) và chú ý đến (25), ta có :
1( ) ( )
2
1 1
( ) ( )
2 2
n n n
n n
N q E q
N q n q

- Hay:
( ) ( )
n n
N q n q
(phương trình trị riêng của tóan tử
N
)
- Từ (20) ta tìm được các hệ số khai triển :
2 2
1 1
, , , ,
n n n n n n n n
n N a a a a C C
1 1
(27)
n n
C n a n
- Chú ý rằng : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, 1 1
a a a a a a N a a a a
1
2
n
E n
ĐHSLY 2012B
4
- Nên ta có :
/ 2
ˆ ˆ
, , 1 , , 1
n n n n n n n n
n N a a aa C
- Từ đó ta suy ra :
/
1 1
1 1 (28)
1
n
n n n
a
C n a n n
- Ta có thể tìm được hàm riêng
n
bằng cách tác dụng liên tiếp n lần toán tử loán tử sinh
a
lên hàm sóng trạng thái chân không
0
như sau:
0
1
1 0
2
1
2 1.2
a
a a a
2 0
3
0
2 1.2.3
..........................
!
n
n
a a a a
a
n
Các biểu thức (10), (14), (25), (26), (29) mô tả dao động tử điều hòa theo ngôn ngữ
biến số lắp đầy. Hàm sóng chỉ phụ thuộc duy nhất vào một biến số lắp đầy n nên thường kí
hiệu là
n
hay
n
Câu 2: Từ biểu thức thế véctơ của trường điện từ hãy chứng minh sóng điện từ là sóng
ngang?
- Ta chọn hệ đơn vị sao cho vận tốc ánh sáng trong chân không là 1 đơn vị thì ta có các
phương trình Maxwell đối với trường điện từ là:
(1)
0 (2)
(3)
(4)
div E
div H
H
rot E t
E
rot H
t
- Định nghĩa thế vô hướng
và thế véc tơ
A
; (5)
A
E grap H rot A
t
- Điều kiện định cở của Lorentz
0 (6)
div A
- Để lượng tử hóa trường điện từ, ta xét một thể tích hình hộp lập phương cạnh L, thể tích
3
V L
có sóng điện từ. Thế véctơ có thể được biễu diễn dưới dạng chồng chất các sóng
phẳng đơn sắc:
ĐHSLY 2012B
5
*
1
, (7)
2
i t kr i t kr
k k
k
A r t a e a e
V
- Trong đó, số hạng thứ nhất là sóng tới, số hạng thứ hai là sóng phản xạ, hệ số
1
2
V
xuất phát do chuẩn hóa,
k
là véctơ sóng, về độ lớn k
,
k
a
là biên độ sóng.
- Thay (7) vào (6), ta được:
*
1 2 3
10
2
i t kr i t kr
k k
k
e e e a e a e
x y z V
(8)
- Trong đó
123
, ,
e e e
là các véctơ đơn vị trên các trục tọa độ.
- Mặt khác:
1 1 2 2 3 3
* * * *
1 1 2 2 3 3
1 2 3
. . .
. . .
. . . .
k
k
a a e a e a e
a a e a e a e
k r k x k y k z
(9)
- Thay (9) vào (8), ta được:
1 2 3
1 2 3
...
1 2 3 1 1 2 2 3 3
. . .
* * *
1 1 2 2 3 3
1. . .
2
. . . 0
i t k x k y k z
k
i t k x k y k z
e e e a e a e a e e
x y z V
a e a e a e e
(10)
- Mà
. 1; 0
i i i j
e e e e
nên (10) trở thành:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
. . . . . . . . .
1 2 3
. . . . . . . . .
* * *
1 2 3
1. . .
2
. . .
i t k x k y k z i t k x k y k z i t k x k y k z
k
i t k x k y k z i t k x k y k z i t k x k y k z
a e a e a e
x y z
V
a e a e a e
xyz
0
1 2 3
1 2 3
...
1 1 2 2 3 3
. . .
* * *
1 1 2 2 3 3
1
2
0
i t k x k y k z
k
i t k x k y k z
i k a k a k a e
V
i k a k a k a e
- Muốn cho tổng trên bằng 0 thì:
1 1 2 2 3 3
* * * *
1 1 2 2 3 3
0
. 0
0
. 0
k
k
i k a k a k a k a
i k a k a k a k a

. 0
k k
k a k a
Vậy sóng điện từ là sóng ngang.
Câu 3: Hãy trình bày
ˆ ˆ
.
k k
a a
là các toản tử hủy và toán tử sinh của trường điện từ?
- Trước hết ta tìm các giao hoán tử giữa: Toán tử năng lượng 2
, 1
1
ˆ ˆ
2
kk k
k
H a a
, toán
tử mật độ dòng năng lượng 2
, 1
ˆ ˆ
.
k k
k
P k a a
với các toán tử
ˆ ˆ
.
k k
a a
: