ĐHSLY 2012B
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
2
Câu 1: Hãy trình bày về nội dung của phương pháp biểu diễn biến số lắp đầy thông qua bài toán dao động tử điều hòa 1 chiều? - Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng: 2
2
H
(1)
p m 2
m q 2
là toán tử xung lượng
- Trong đó: p
i
q q là toán tử tọa độ
( ) q H
q ( )
(2)
E n
n
n
- Phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa một chiều có dạng: - Trong cơ học lượng tử, để tìm hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều ta thay (1) vào (2) và giải phương trình, ta được:
2 2
( ) ;
E
(3)
q A e H ( ) n
n
n
n
1 2
n
Với: + An là hệ số chuẩn hóa + n là số nguyên + là biến số mới liên hệ với tọa độ q theo biểu thức:
(4)
i
m . q
n
n
2
2
H
( )
e
e
(5)
+ Hn là đa thức Hecmite có dạng:
1
n
n
* Bây giờ ta sẽ dùng phương pháp khác để tìm biểu thức năng lượng và hàm sóng của dao động tử điểu hòa một chiều để từ đó có được phương pháp biểu diễn biến số lắp đầy. - Trước hết ta đưa ra biểu thức định nghĩa hai toán tử liên hợp ˆ
ˆ.a a như sau:
a
a
(6)
1 2
1 2
- Thay (4) vào (6), ta được:
a
a
(7)
m
2
i p m
m
2
i p m
q
q
a a ˆ ˆ,
1
Ta có :
ˆ ˆ, a a
q
q
p q ,
(8)
i
- Ta chứng minh các tính chất : + Tính chất 1: Giao hoán tử i p m
m
2
i p m
i p m
i p m
q
q
Trong đó : p q ,
p q .
q p .
i
q
qi
i
q
q
1
ĐHSLY 2012B
(9)
,p q
i
ˆ ˆ a a ,
ˆ ˆ a a
1
(10) (đpcm)
- Thay (9) vào (8), ta được : ˆ ˆ a a
2
2
+ Tính chất 2: Phản giao hoán tử:
ˆ ˆ ,a a
ˆ ˆ a a
ˆ ˆ a a
2
2
2
(đpcm)
ˆ ˆ, a a
(11)
2
1 2
ˆ,a a và từ
- Dựa vào hai tính chất trên ta biểu diễn toán tử Hamiltonian theo các toán tử ˆ đó tìm hiểu ý nghĩa của các toán tử này: - Từ (4) ta có :
iq
m
p
i
i
m
q
2
2 p
m
(12)
2
- Thay (12) vào biểu thức Hamiltonian, ta được :
2
2
2
2
2
H
(13)
2
p m 2
m q 2
2
H
ˆ ˆ a a
ˆ ˆ a a
2
ˆ ˆ a a
ˆ ˆ a a
ˆ ˆ aa
(14)
1
1 2
1 2
- Thay (11) vào (13), ta được : 2 2 - Ta tìm các giao hoán tử ,H a
và ,H a
+
, H a
ˆ ˆ aa
ˆ ˆ aa
a
(15)
ˆ ˆ ˆ ˆ a a a aa
1 2
. a a
+
, H a
a
a
ˆ ˆ aa
ˆ ˆ aa
ˆ ˆ ˆ ˆ a a a aa
a
(16)
1 2 1 2
, ta được :
a
n
q ( )
q ( )
(17)
q ( ) a
E n
n
n
1 . 2 q ( ) na và - Tác dụng Hamiltonian lên các hàm a q ( ) a
Ha Ha
q ( )
n a
E
(18)
q ( )
n
n
n
n
aH a H
na q ( ) a
q ( )
q ( ) - Các phương trình (2), (17). (18) đều là các phương trình trị riêng của Hamiltonian H của dao động tử điều hòa với : + + +
n
nE là trị riêng ứng với hàm riêng n q ( ) nE là trị riêng ứng với hàm riêng nE là trị riêng ứng với hàm riêng
2
nE và
ĐHSLY 2012B nE không có mức năng lượng trung gian
E
E
(19)
1
1
n
n
n
n
/
-Ta giả thiết rằng giữa các trị riêng nào khác thì ta có thể viết : E a
E a
C
(20)
1
n
n
n
1
aa
H
,
,
a a
,
C n - Trị trung bình của toán tử năng lượng : H
a a ,
a a ,
a
a
0
(21)
2 2 2
thỏa mãn
0E ứng với hàm riêng
0 ( )q
E
(22)
H
q ( )
0
0
0
q ( ) 0E là giá trị năng lượng nhỏ nhất nên ta phải có : (23)
q
a
0 ( ) 0
0E
- Như vậy phải tồn tại một trị riêng nhỏ nhất phương trình trị riêng : - Do - Thay (14) vào (22) và chú ý đến (23) ta có thể tính được mức năng lượng thấp nhất như sau :
H
q ( )
2
ˆ ˆ a a
q ( )
q ( )
E
q ( )
0
0
0
0
0
1
2
2
E
(24)
2 2
2
nE
1 2
n
, ta có :
H
0
Vậy: Biểu thức tính năng lượng dao động tử điều hòa một chiều có dạng: (25) - Ta tiếp tục xét ý nghĩa của toán tử N a a aa
1 2 - Thay vào biểu thức (22) và chú ý đến (25), ta có :
N
q ( )
q ( )
n
n
E n
n
N
q ( )
q ( )
n
n
1 2
(phương trình trị riêng của tóan tử N )
q ( )
q ( )
N
n
n
2
2
a a
N
n
,
,
, a a
C
,
C
n
n
n
n
n
n
n
1
n
1
1 2 1 2 n - Hay: - Từ (20) ta tìm được các hệ số khai triển :
1
1
n
n
a C
n - Chú ý rằng :
n ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a ,
ˆ ˆ a a
(27) ˆ ˆ N a a
1
ˆ ˆ a a
1
3
ĐHSLY 2012B
/ 2
ˆ ˆ a a
,
aa
,
,
C
1
- Nên ta có : n
N
,
n
n
n
n
n
n
n
1
n - Từ đó ta suy ra :
/
n
n
1
(28)
C
n
1
a
1
1
n
n
n
a n 1 n bằng cách tác dụng liên tiếp n lần toán tử loán tử sinh
0 như sau:
0
1
a
a a
0
1
2
1.2 a a a
a
0
2
3
1.2.3
n
0
n
- Ta có thể tìm được hàm riêng a lên hàm sóng trạng thái chân không a 1 2 2 .......................... a n
!
n hay n
Các biểu thức (10), (14), (25), (26), (29) mô tả dao động tử điều hòa theo ngôn ngữ biến số lắp đầy. Hàm sóng chỉ phụ thuộc duy nhất vào một biến số lắp đầy n nên thường kí hiệu là Câu 2: Từ biểu thức thế véctơ của trường điện từ hãy chứng minh sóng điện từ là sóng ngang? - Ta chọn hệ đơn vị sao cho vận tốc ánh sáng trong chân không là 1 đơn vị thì ta có các phương trình Maxwell đối với trường điện từ là:
(1)
0
(2)
div E div H rot E
(3)
rot H
(4)
H t E t - Định nghĩa thế vô hướng và thế véc tơ A
grap
E
H rot A
;
(5)
A t
0
3
- Điều kiện định cở của Lorentz div A (6) - Để lượng tử hóa trường điện từ, ta xét một thể tích hình hộp lập phương cạnh L, thể tích V L có sóng điện từ. Thế véctơ có thể được biễu diễn dưới dạng chồng chất các sóng phẳng đơn sắc:
4
ĐHSLY 2012B
a e
a e
(7)
A r t ,
1 V 2
- Trong đó, số hạng thứ nhất là sóng tới, số hạng thứ hai là sóng phản xạ, hệ số
1 2V
là biên độ sóng.
xuất phát do chuẩn hóa, k
, là véctơ sóng, về độ lớn k
ka
t kr
t kr
i
i
(8)
e
a e
a e
0
e
e
3
* k
k
k
x
1 V 2
- Thay (7) vào (6), ta được:
z là các véctơ đơn vị trên các trục tọa độ.
y e
2 e
,
,
2
3
1 - Trong đó 1 e - Mặt khác:
(9)
. a e 1 1 * a e . 1 1
. a e 2 2 * a e . 2 2
. a e 3 3 * a e . 3 3
a k * a k . k r
k y . 2
i t kr t kr i k * k k
2
e
e
e
. a e
. a e
y
x
z
k z k x . . 3 1 - Thay (9) vào (8), ta được: 1 V 2
(10)
i . k x k . 1 y k z . 3 t 1 2 3 1 1 2 2 3 3 k
2
. a e e . a e
. a e
0
. a e e
- Mà
nên (10) trở thành:
1;
0
e e . i i
e e i
i . . k x k . 1 y k z 3 t * 2 2 * 1 1 * 3 3
i
.
.
i
.
i
.
k x k . 1 2
y k z 3
k x k . 1
2
y k z . 3
k x k . 1
2
y k z . 3
t
t
t
a e .
a e .
a e .
1
2
3
k
x
y
z
1 V 2
i
.
i
.
i
.
k x k . 1 2
y k z . 3
k x k . 1
2
y k z . 3
k x k . 1
2
y k z . 3
t
t
t
a e .
a e .
a e .
0
* 1
* 2
* 3
x
y
z
i
.
k x k . 1
2
y k z . 3
t
k a
i k a
k a e
1 1
2
2
3
3
k
1 V 2
i
.
.
k x k . 1 2
y k z 3
t
0
k a 2
* 2
* i k a 1 1
* k a e 3 3
- Muốn cho tổng trên bằng 0 thì:
k a
0
0
2
2
1 1
3
3
k
k a
0
* 1 1
2
* 2
* 3
3
k a
k a . k a .
0
i k a i k a
* k
Vậy sóng điện từ là sóng ngang.
k
a k
k a k a . k
j
là các toản tử hủy và toán tử sinh của trường điện từ?
0 ˆ.k Câu 3: Hãy trình bày ˆ a a k
2
- Trước hết ta tìm các giao hoán tử giữa: Toán tử năng lượng
, toán
H
k
k
k
1 ,
k
1 2
ˆ ˆ a a
ˆ
tử mật độ dòng năng lượng
2
:
P
ˆ.k với các toán tử ˆ a a
k
ˆ k a a . k
k k 1 ,
5
ĐHSLY 2012B
2
ˆ H a ,
ˆ Ha
ˆ a
ˆ a
/
/
/
k
k
ˆ a H k
k
k
k
ˆ ˆ a a / / k
k
/
ˆ ˆ a a / / k
k
/
/
/ ,
k
1
1 2
1 2
2
/
k
k
k
ˆ ˆ ˆ a a a k
/ k
/ /
/
ˆ ˆ ˆ a a a / k
/
k
/ /
/
/ ,
k
1
2
ˆ a
/
/
k
ˆ ˆ a a k
k
ˆ ˆ ˆ a a a k
/ k
/ /
/
/ k
/
k
/
/
/ ,
k
1
2
ˆ a
/
/
k
k
/ / k
ˆ ˆ a a k
/
/
/ ,
k
1
- Mặt khác:
ˆ a
/
/
k
k
/
kk
/
ˆ a
Vậy:
(1)
/
2
/
ˆ H a , k
/
/ ,
ˆ a / / k k k ˆ a k / k kk 1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ H a ,
ˆ Ha
ˆ a H
ˆ ˆ a a
ˆ a
ˆ a
ˆ ˆ a a
a a a
a a a
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/ ,
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ a a a
ˆ ˆ a a
ˆ a
/
/
/
2 2 k k k k k k k k / k k / k k k k k k k k 1 , k 1 2
/
/
/
/
/ ,
ˆ a
ˆ a
ˆ a
/
/
k k k / / k k / k k k 1 2
/
/ /
/
/ ,
2
(2)
/
/
k
ˆ a k
ˆ H a , k
ˆ a k
/ /
k
/
k
/ ,
Vậy:
k k k k k 1
/ kk 1 ˆ a P
ˆ ˆ k a a
ˆ a
ˆ a
ˆ ˆ k a a
ˆ P a ,
ˆ Pa
/ /
/
/
/ /
/
/
/ ,
/ ,
ˆ
ˆ
ˆ k a a a
ˆ ˆ ˆ a a a
/
/
/
/
/ /
/
/ ,
ˆ
ˆ
ˆ k a a a
ˆ ˆ a a
ˆ a
/
/
/
/ /
/
/ ,
ˆ k a
ˆ ˆ a a
/
/ /
/
/ ,
2
/
ˆ k a
(3)
ˆ P a , k
/ ˆ k a / k
kk
/
/
k
/
k
/ ,
1
Vậy:
2 2 / / k k k k k / k k / k k 1 k k 1 2 / k k / k k / k k k 1 2 / k k / / k k / k k k 1 2 / k / k k k 1
ˆ a
ˆ a
ˆ P a ,
ˆ Pa
/
ˆ a P k
ˆ ˆ k a a / k
/
/ /
ˆ ˆ k a a / k
/
/
/
/
/ ,
/ ,
ˆ
ˆ
/
/
ˆ k a a a / / k k
/
/
/
/
/ ,
ˆ
ˆ
ˆ k a a a
ˆ ˆ ˆ a a a
ˆ ˆ k a a
ˆ a
/
/
/
/
/
/
/
/ /
/
/
/
/ ,
/ ,
2 2 / / k k k k k k k 1 k 1 2 / k k ˆ ˆ ˆ a a a / k k k 1 2 2 / / k k k / k k / k k k k k 1 k 1
6
ĐHSLY 2012B
2
/
/
/
ˆ P a ,
k
ˆ a
ˆ k a
(4)
k
kk
/
k
/
k
/
/ ,
k
1
Vậy:
N
, , toán tử mật độ dòng năng lượng P là giao hoán nhau nên chúng có chung hàm riêng. Gọi véc tơ
a a k
k
- Ta dễ dàng thử lại rằng các toán tử năng lượng H toán tử số hạt sóng điện từ
n
n
E P
n
n
n cũng là hàm riêng của 3 toán tử trên thì ta có:, H P N
n
n
n ,E P n
,
là trị riêng của các toán tử tương ứng.
ˆ a
ˆ a
(5)
(6)
E
ˆ a
n n n k k k
(7)
n n n k k k k
ˆ H a ˆ H a ˆ P a ˆ P a
(8)
n n n k k k k
- Trong đó: - Ta tìm các phương trình toán tử sau: ˆ a H E k ˆ a H ˆ ˆ ˆ a P ka P k a ˆ ˆ ˆ a P ka P k a
ˆ a - Các phương trình (5), (6), (7), (8) cho thấy nếu hàm riêng từ có năng lượng E xung lượng P
thì hàm sóng ˆ
n mô trạng thái trường điện mô tả sóng điện từ có năng lượng
E
, ngược lại hàm sóng ˆ
n mô tả sóng điện từ có năng lượng
n
ka ka
xung lượng P k xung lượng P k
. Với ý nghĩa này ta gọi toán tử ˆ
là toán tử sinh, ˆ ka
là toán tử ka
2
a a
N
n
,
,
,
a
a
0
n
n
n
n
n
n
, ta có: a
k
k
k
n là không âm. Giao hoán tử của toán tử N
với toán tử
N
/
/
/
/
a N k
a k
E hủy * Ta tiếp tục xét ý nghĩa của toán tử N k k - Như vậy trị riêng của toán tử N sinh, hủy được tính như sau: N a , / / k k
/
/
k
k
/
/
/
/
a a a / k k k
/
a / k
/ /
k
/
a a a / k k k a a / k a a k k
/ /
/
/
/
/
(9)
/
a a a / / k k k a a a / / / k k k a a a / k k k a / kk k
/
/
N
a
,
N a
/
/
/
/
k
k
k
a N k
k
/
k
/
/
/
/ k
/ k
k
/
k
/ /
k
/
/
/ /
/
k
/
(10)
/
/
a a a k a a a / / k k a a a / k k k a a k k
/
kk
/
a a a a a a / / k k k a a / / k k a a / / k k
n n n k k k k
7
ĐHSLY 2012B
n
(11)
n
n
n
k
n
(12)
1 1
n
n
n
- Từ (9) và (10) ta có: a N N a k k k a N N a k k k
k
a k a k
a k a k
mô tả trạng thái có
n
ka
N
/
n mô tả trạng thái có n hạt phôtôn 1n hạt, còn hàm riêng n là toán tử số hạt. Vì trị riêng n phải không
ka 1n hạt. Từ đó ta nói
/
k
- Các phương trình (11). (12) cho thấy nếu hàm riêng của sóng điện từ thì hàm riêng mô tả trạng thái có âm nên phải tồn tại trị riêng nhỏ nhất
0n thỏa mãn phương trình trị riêng:
(13)
n
n 0
n
kN
0
n 0
0
- Ta xét phương trình toán tử: a 0 k
N a k k
a N k
k
a k n , điều này dẫn đến phải có điều kiện: 0 1
1 0n là nhỏ nhất nên không thể có trị riêng
(14)
0
- Vì ka 0 - Từ (13), (14), ta có: a a
N
0
n
(15)
0
0
0
0
k k
k
/ /
N
/
là
n 0 0
/
k
- Từ đây suy ra trị riêng nhỏ nhất của toán tử Câu 4: Hãy trình bày hàm sóng mô tả trạng thái nhiều phôtôn của trường điện từ? - Gọi
0 (ứng với
n ) là trạng thái chân không. Ta có : 0 0 ka 0 0
2
- Ta phải chuẩn hóa véc tơ trạng thái chân không, nghĩa là :
dx .
dx
1
- Nếu ta tác dụng toán tử sinh
lên véctơ trạng thái chân không
0 thì sẽ thu được véctơ
1 1ka
trạng thái
độ phân cực 1
1 1k mô tả trạng thái một hạt phôtôn có xung lượng 1k
a 0 k 1 1
k 1 1
* 0 0 0
,
a k 1 1
a k 1 1
a k 1 1
- Ta chuẩn hóa hàm sóng : 2
,
2 0 0 0 k 1 1
a a k k 1 1 1 1
1
,
0 0
a a k k 1 1 1 1
0 0
,
2 0
1 0 một lần nữa thì sẽ thu được trạng thái hai hạt 1 1ka
phôtôn
2
0
0
k 1 1
a k 1 1
a a a k k k 1 1 1 1 1 1 - Ta chuẩn hóa hàm sóng :
0 - Nếu ta tiếp tục tác dụng toán tử sinh
8
ĐHSLY 2012B
2
2
a a
a a
,
a a
2
0
0
0
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
a
,
a
0
0
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
a a
a a
a
1
,
a
0
0
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
a a
,
,
0
0
0
0
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
a a a a
1
1
,
a a
0
0
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
,
a a
1
0
0
k 1 1
k 1 1
a a
1 1 2
2
2
0
k 1 1
- Như vậy, hàm sóng trạng thái thứ hai đã được chuẩn hóa là : a
k 1 1
1 2
- Nếu ta tiếp tục tác dụng toán tử sinh
một lần nữa thì sẽ thu được trạng thái ba hạt
1 1ka
phôtôn
3
0
0
k 1 1
a a a k k k 1 1 1 1 1 1
a k 1 1
a a k k 1 1 1 1 - Ta chuẩn hóa hàm sóng : 2
a a a
a a a
,
a a a
3
,
a a
2 0 0 0 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1
a a a a
,
1
0 0 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1
a a k k 1 1 1 1
a a k k 1 1 1 1
a a k k 1 1 1 1
,
,
0 0
a a a a a a k k k 1 1 1 1 1 1
k 1 1
a a a a k k k 1 1 1 1 1 1
k 1 1
k k 1 1 1 1
,
1
2
0 0 0 0
a a a k k k 1 1 1 1 1 1
a a k k 1 1 1 1
a k 1 1
0
,
,
2
0
k 1 1
k 1 1
a a a a k k k 1 1 1 1 1 1
k 1 1
0
a a a a a a k k k k 1 1 1 1 1 1 1 1
,
2 2
1
0 0 0
a a a a k k 1 1 1 1
k 1 1
k 1 1
,
2
2
2 2
2
6
0 0
a a a a k k k 1 1 1 1 1 1
k 1 1
a a k k 1 1 1 1
0 0
9
ĐHSLY 2012B
3
- Như vậy, hàm sóng trạng thái thứ ba đã được chuẩn hóa là : 3 a
1 6
1n phôtôn có cùng xung
- Tiến hành tương tự ta có thể chứng minh được hàm sóng có lượng
, độ phân cực
1k
n
a
n 1
0
k 1 1
1
k 1 1
1 đã được chuẩn hóa là : 1 n
!
1
n 2
n 1
n r
a
a
a
...
n 1
n 2
nr
0
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
k 1 1
...
1 n n !
n !...
!
2
1
r
ˆ
0 k 1 1 k 1 1
của trường
a t a t ( ). ( )
i
i
- Mở rộng hệ thức này cho nhiều loại phôtôn ta có hàm sóng đã được chuẩn hóa là : Câu 5: Hãy chứng minh các quy luật giao hoán của các toán tử ˆ vô hướng? - Ta có :
ˆ ( ) a t i
q i
i
ip i
1 2 i
ip i
i
q i
ˆ ( ) a t i
1 2 i - Chứng minh các giao hoán tử:
10
ĐHSLY 2012B
ˆ
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( ),
ˆ a t a t ( ) ( )
i p
q
q
ip
q
ip
q
ip
j i i j j i
ˆ ˆ a t a t ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
ip
q
ip
q
ip
q
ip
q
i i i j j j j j j i i i i j j i
2
1
q q
i q p
i p q
p p
q q
i q p
i p q
p p
i j j j j j i j i i i i i j
2
1
i q p
i p q
i q p
i p q
i j i i j i j j i j i j i j j j i j i i i j i j i j
2
1
q p
p q
i
p q
q p
i i j i j J j j i j i i i j
i
2
1
i
q p ,
i
p q ,
i j j i j i J j i i i j
i i j j j i
2
1
i
.
i
i j
. i i
2
1
i ij j ij i i
2
1
i ij j ij i j
- Nếu i
j , thì:
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( ),
.1
0
.1
i
J
i
i
1 2
i
- Nếu i
j , thì:
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( ),
.0
.0
0
i
J
i
j
1
2
i
j
Vậy:
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( ),
0
J
i
ˆ
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( )
ˆ a t a t ( ) ( ), i
i p
q
q
ip
q
ip
q ip
J J i i J
ˆ ˆ a t a t ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
q
ip
q
ip
q
ip
q
ip
i i i j j j j j j i i i i j j i
2
1
q q
i q p
i p q
p p
q q
i q p
i p q
p p
i i i j j j j j i j i i i j
2
1
i j i j i i j j i j i j i j i j j j i j i i i j i j
11
ĐHSLY 2012B
i q p
i p q
i q p
i p q
i
i
j
j
i
J
j
j
i
j
i
i
2
1
i
j
i
p q
q p
i
q p
p q
i
j
i
i
j
j
j
i
i
J
2
1
i
j
i
p q ,
i
q p ,
i
j
i
j
j
i
2
1
i
j
.
i
ij
j
ij
i i
. i i
2
1
i
i
ij
i
j
ij
2
1
i
j
j
- Nếu
i , thì:
ˆ
.1
0
.1
ˆ a t a t ( ) ( ), i
J
i
i
1 2 i
- Nếu i
j , thì:
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( ),
.0
.0
0
J
i
i
j
1
2
i
j
Vậy:
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( ),
0
i
J
ˆ
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( ),
ˆ ˆ a t a t ( ) ( )
ˆ a t a t ( ) ( )
J
i
J
i
J
i
q
ip
q
ip
q
ip
q
ip
i
i
i
J
J
J
J
J
J
i
i
i
1 2
1 2
1 2
1 2
i
J
i
J
q
ip
q
ip
q
ip
q
ip
i
i
i
j
J
J
j
J
J
i
i
i
2
1
i
j
q q
i q p
i p q
p p
q q
i q p
i p q
p p
i
j
I
J
i
i
J
i
J
j
i
J
i
j
I
J
J
j
i
j
i
i
i
J
2
1
i
j
i q p
i p q
i q p
i p q
i
i
J
i
j
J
J
j
i
i
j
i
2
1
i
j
i
p q ,
i
q p ,
i
j
i
j
j
i
2
1
i
i
i
.
i
ij
j
ij
i
i i .
2
1
i
j
ij
i
j
ij
2
1
i
j
12
ĐHSLY 2012B
- Nếu i
j , thì:
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( ),
.1
1
.1
J
i
i
i
1 2
i
- Nếu i
j , thì:
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( ),
.0
.0
0
J
i
i
j
1
2
i
j
- Vậy:
khi
i
j
ˆ
ˆ a t a t ( ) ( ),
J
i
ij
0
khi i
j
1
ˆ.a a hãy chứng minh chúng là các toán tử
Câu 6: a) Từ các giao hoán tử của các toán tử ˆ sinh, hủy của trường vô hướng? - Biểu thức tính năng lượng và điện tích của trường vô hướng có dạng:
H
a t a t ( ) ( )
(1)
Q e
a t a t ( ) ( )
(2)
* i i i i
*
(3)
a
a
a t ( ) i
a t ( ) i
* a t ( ) i
a i
i
i
- Để lượng tử hóa trường vô hướng ta thay thế các biến động lực bằng các toán tử theo nguyên lí tương ứng: p p i i - Trong đó,
i
t
(4)
a a t ( ) q i i i quan hệ với nhau bằng biểu thức: a a t , ( ) i i t i a e . i i i
q i ( ), a t i a t ( ) i
a t ( ) i
a e . i
- Các toán tử xung lượng va tọa độ suy rộng tuân theo giao hoán tử đã biết:
(5)
q p , i
j
như sau:
j
i ij - Từ đó suy ra các giao hoán tử của các toán tử a t a t ( ), ( ) i a t a t ( ), ( )
a t a t ( ), ( )
a t a t ( ), ( )
0 :
(6)
i
i
i
i
i
i
ij
0 :
, a a i
, a a i
, a a i
ij
i
i
i
- Hay: (7) - Thay các kết quả vừa tìm được vào (1) và (2) ta được:
H
(8)
a a i i
* i i i
Q e
(9)
a a i i
i i
- Từ (7), (8), (9) ta có thể tính được các giao hoán tử sau:
i
13
ĐHSLY 2012B
H a ,
Ha
a H
a a a
a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a
i i i j j j i i j j j j j
a a
a a a ,
j j j i j i j j j i j j i j j j
a a a
a
j j i j i j j j i j j j
Vậy:
(10)
, H a i
a a i i
H a ,
Ha
a H
a a a
a
a a
j j ij i i j
a a a
a a a
i i i j j j i j j i j j j
a a a
a a a
j j i i j j j j
a a
j j j i i j j j
a a a
a
a a ,
j j j i i j j
a
j j j i j
j j ij j
(11)
, H a i
a a i i
Vậy:
Q a Qa
,
a Q e
a a a
a e
a a
i i
e
a a a
i i i j j i i j j j j
a a a
e
a a a
i j j j i j j
a a a
e
a a
j j i j i j j
a a a
e
a a a ,
j i j i j j
a
e
j i j j
e a
j ij j
Vậy:
(12)
, Q a i
e a i
i
14
ĐHSLY 2012B
Q a Qa
,
a Q e
a a a
a e
a a
a a a
e
i i i j j i i j j j j
a a a
e
a a a
j j i i j j j
a a a
e
a a
j j i i j j j
a a a
e
a
, a a
j j i i j j
a
e
j j i j
e a
j ij j
Vậy:
e
â
(13)
i
i
,â Q
,H Q N
,
ta dễ dàng thấy ba toán tử
E
n
n
(14)
Q
n
n
n
n
n
- Từ các biểu thức (1), (2) và toán tử N a a giao hoán nên ba toán tử này phải có chung hàm riêng. Gọi là hàm riêng chung của ba toán tử này ta sẽ có phương trình trị riêng: H Q N ,E Q n là trị riêng của các toán tử tương ứng. ,
- Trong đó: - Ta tìm các phương trình toán tử sau:
ˆ a
E
ˆ a
(15)
i
n
i
i
n
i
i
i
n
ˆ a
E
(16)
i
n
i
i
i
i
i
n
n
ˆ a H ˆ a H ˆ ˆ a Q e a
(17)
ˆ Q e a
n
n
n
i
i
i
i
ˆ H a ˆ H a ˆ Q a ˆ Q a
ˆ ˆ a Q e a
(18)
ˆ Q e a
i
i
n
n
n
i
a mô tả trạng thái hạt có năng lượng
n
n
n mô trạng thái hệ hạt E i điện E i i điện tích
i
i điện tích e , :
ˆ a i - Các phương trình (15), (16), (17), (18) cho thấy nếu hàm riêng có năng lượng E điện tích Q thì hàm sóng ˆi a mô tả trạng thái hạt có năng lượng điện tích Q e , ngược lại hàm sóng ˆi tích Q e Với ý nghĩa này ta gọi toán tử ˆia là toán tử sinh hạt có năng lượng e , ˆia là toán tử hủy hạt có năng lượng *Ta tiếp tục xét ý nghĩa của toán tử N Ta xét các giao hoán tử:
15
ĐHSLY 2012B
N a ,
Na
a N
i i i
j j j i i i
a a a a a a a a
j j j j i i
j j j i i
a a i
j
ij
j j i
Na
N a ,
a a a
j
j j i i i j i i i
j i j i i j
a a a a a a a
j i j i j
ij
(20)
a a j i
a a a a a a a a a a a a a (19) ij a N a a a a a a a a a a j i a j ij Từ (14) và (19), (20), ta có:
n
(21)
n
n
n
(22)
n
Na i Na i
a N a i i a N a i i
1 a i 1 a i
n
n
n Từ (21), (22) ta đoán nhận toán tử N a a
là toán tử số hạt.
1n hạt có năng lượng
1 ,
2n hạt có năng
r ?
2 ,… 0 (ứng với
j
b) Hãy lập luận để viết hàm sóng cho hệ gồm rn hạt có năng lượng lượng - Gọi n ) là trạng thái chân không. Ta có : 0 0 na 0 0
2
*
1
.
- Ta phải chuẩn hóa véctơ trạng thái chân không, nghĩa là :
0
dx
0 thì sẽ thu được véctơ
1a lên véctơ trạng thái chân không
1 mô tả trạng thái một hạt có xung lượng 1
0
1
1
- Nếu ta tác dụng toán tử sinh trạng thái
2
2
a Ta chuẩn hóa hàm sóng : a a ,
a
0 1
1
0
1
0
1
,
a a
a a
1
0
1
0
1
1
1
1
1
a a
a a
1
,
1
1
0
0
2
,
1
0
0
0 - Nếu ta tiếp tục tác dụng toán tử sinh
1a một lần nữa thì sẽ thu được trạng thái hai hạt :
16
ĐHSLY 2012B
2
1
a a 1 1
0
a 1
0
a a
a a a a ,
a 1 - Ta chuẩn hóa hàm sóng :
2 1
a a
1
1
1
1
1
,
2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0
a a a a
a a a a
0
1
1
a a a
1
a
,
1 1 1 1 0 0
a a a a
,
a a
,
1 1 1 1 0 0
1
1
,
1 1 0 1 1 0 1 1 0 0
1
,
1 0 1 1 1 0
a a a a a a
1 1
2
- Như vậy, hàm sóng trạng thái thứ hai đã được chuẩn hóa là :
1 1 0 0
a
2
1
1 2
3
1a một lần nữa thì sẽ thu được trạng thái ba hạt :
- Nếu ta tiếp tục tác dụng toán tử sinh a 1
0
1
0
a a a a a 1 1 1 1 1 - Ta chuẩn hóa hàm sóng : 2 2
a a a
a a a a a a ,
3
2 1 0
1
,
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0
a a a a a a
a a a a
,
1
a a
0 1 1 1 1 1 1 0
a a a a a a
,
a a a a
,
1 1 1 1 0 1 1 0
a a a a a
,
1
a
2
1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
a a a a
,
2
a a a a a a
,
1 1 1 1 1 0 1 0
1
,
2 2
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1
2 2
,
1 1 1 1 1 1 0 0
a a a a a a a a a a
2
2
2
6
3
- Như vậy, hàm sóng trạng thái thứ ba đã được chuẩn hóa là :
a
3
1
0
3
1 6
1 1 1 0 1 0
17
ĐHSLY 2012B - Tiến hành tương tự ta có thể chứng minh được hàm sóng có 1n có cùng năng lượng 1 đã được chuẩn hóa là :
n
a
n 1
1
0
1
1
1 n
!
1
n r
n 1
n 2
...
a
a
a
r
2
1
0
n
...
r
n 1
n 2
!
1 n !... n n !
r
2
1
ta tiến hành lập luận như sau:
ˆ c ,i
i
+ Gọi
0
- Mở rộng hệ thức này cho nhiều hạt ta có hàm sóng đã được chuẩn hóa là : Câu 7: Hãy lập luận để tìm quy tắc giao hoán của các toán tử sinh, hủy hạt của trường Spinor? ˆ c - Để tìm các quy tắc giao hoán của các toán tử 0 là trạng thái chân không, về nguyên tắc muốn tạo ra hai hạt lượng tử giống nhau ta phải tác dụng liên tiếp hai lần toán tử sinh ˆic lên véctơ trạng thái chân không . Nhưng theo nguyên lí loại trừ Pauli thì không thể tồn tại hai lượng tử giống nhau ic c ˆ ˆi nên đòi hỏi phải có điều kiện:
(1)
ic c ˆ ˆ i
0
(2)
0 + Điều kiện trên không những đúng cho trường hợp tác dụng toán tử sinh ˆic lên véctơ trạng thái chân không mà còn phải đúng cho trường hợp tác dụng toán tử sinh ˆic lên véc tơ trạng thái bất kì. Như vậy, điều kiện (1) được viết một cách tổng quát hơn:
0
ic c ˆ ˆ i
+ Việc tạo ra hai hạt lượng tử giống nhau không chỉ có tác dụng liên tục hai lần toán tử sinh lên véctơ sóng mà còn có thể do tác dụng ngắt quảng hai lần tác dụng toán tử sinh lên hàm sóng nên ta phải viết lại điều kiện này tổng quát hơn như sau:
(3)
0
ˆ ˆ c c i i
0
ˆ ˆ c c i i - Quy luật tác dụng toán tử theo (3) là quy tắc phản giao hoán, kí hiệu là: ˆ ˆ c c i j
ˆ ˆ c c j i
ˆ ˆ c c i j
- Lập luận tương tự ta tìm được:
0
ˆ ˆ c c i
j
ˆ ˆ c c i
j
ˆ ˆ c c i j
j
ˆ ˆ c c i
j
ˆ ˆ c c i ij
j
ˆ ˆ c c i
ˆ ˆ c c
ˆ ˆ c c
0
Chứng minh: ˆ ˆ c c 1) i j
i j
j i
j
+
N
,...
N
N
,...
,...,0 ,..., i
N 1
r
ˆ ˆ c c i i
,...,0 ,..., i
1
r
N 1
,...,0 ,..., i
r
*Xét trường hợp i iN 0 ˆ ˆ c c i i
ˆ c
,...,1 ,...,
N
,...
ˆ c
N
,...,1 ,...,
N
,...
N
,...
ˆ ˆ c c i i
N
i
i
1
r
i
1
i
r
0
0
0
0
(4)
ˆ ˆ c c i i
18
ĐHSLY 2012B
+
N
,...
N
N
,...
N
N
,...
N 1
,...,1 ,..., i
,...,1 ,..., i
,...,1 ,..., i
1iN ˆ ˆ c c i i
.0
.0
0
ˆ c i
r ˆ ˆ c c i i 1 r ˆ ˆ c c i i 1 r
(5)
0
ˆ c i
j
+
ˆ ˆ c c i i
*Xét trường hợp i N
N
j
,...,0 ,...,0 ,...,
N
,...
,..., 0 ,..., 0 ,...,
N
N
N
,...,0 ,...,0 ,...,
,...
r
j
i
j
r
1
ˆ ˆ c c i j
i
1
i
j
r
ˆ ˆ c c j i
i ˆ ˆ c c i j
N 1
0
,...,0 ,...,1 ,...,
N
,...,1 ,..., 0 ,...,
,...
r
i
j
j
N 1
i
r
N
N 1 N
...,
N
,...
,...
N
,...,1 ,...,1 ,...,
N
,...
0
1
,...,1 ,...,1 , j i
r
1
i
j
r
ˆ c i
ˆ c j
N
,... (6)
0
c c ˆ ˆ i
j
+
1
N
i
j
N
,...,1 ,...,1 ,...,
N
,...
,...,1 ,...,1 ,...,
N
,...
N
,...,1 ,...,1 ,...,
N
,...
ˆ ˆ c c i j
i
1
r
j
ˆ ˆ c c i j
N 1
i
j
r
ˆ ˆ c c j i
1
i
j
r
N
.0
ˆ c
.0
0
ˆ c i
j
(7)
0
ˆ ˆ c c i j
+
N
1
N
0
i
j
,...,1 ,...,0 ,...,
N
,...
,...,1 ,...,0 ,...,
N
,...,1 ,...,0 ,...,
N
,...
N
r
i
ˆ ˆ c c i j
N 1
r
j
ˆ ˆ c c i j
j
1
ˆ ˆ c c j i
N 1
r
i
j
i
,...
,...,1 ,...,1 ,...,
N
ˆ c
.0
i
ˆ c i
j
r
j
,...
N 1 0
0
0
(8)
0
ˆ ˆ c c i j
+
N
0
N
1
i
j
,..., 0 ,...,1 ,...,
N
,...
N
,...,0 ,...,1 ,...,
N
,...
,...,0 ,...,1 ,...,
N
,...
ˆ ˆ c c i j
N 1
i
j
r
ˆ ˆ c c i j
1
i
j
r
N 1
i
j
r
N ,...,1 ,...,1 ,...,
,...
N
.0
ˆ c j
j
i
r
1
ˆ c i
ˆ ˆ c c j i
0
0
0
0
(9)
ˆ ˆ c c i j
- Từ (4), (5), (6), (7), (8), (9), suy ra:
(đpcm)
0
ˆ ˆ c c i j
ˆ ˆ c c i j
ˆ ˆ c c j i
2)
0
ˆ ˆ c c i
j
ˆ ˆ c c i
j
ˆ ˆ c c i j
j
+
,...,0 ,...,
N
N
,...
ˆ ˆ c c
N
,...,0 ,...,
N
,...
ˆ ˆ c c
N
,...,0 ,...,
N
,...
1 i i i r i i 1 i r i i 1 i r
*Xét trường hợp i iN 0 ˆ ˆ c c
ˆ c
ˆ c
.0
.0
0
0
(10)
ˆ ˆ c c i i
i i
19
ĐHSLY 2012B
+
N
N
,...
N
N
N
,...,1 ,..., i
ˆ ˆ c c i i
N 1
,...,1 ,..., i
,...,1 ,..., i
1iN ˆ ˆ c c i i
N
,...
N
,...
,...
ˆ ˆ c c i i
,...
,...,0 ,..., i
1 r r 1 r
ˆ c i
N 1
,...,0 ,..., i
.0
.0
0
N 1 ˆ c i
ˆ c i ˆ c i
(11)
0
ˆ ˆ c c i i
r r
j
+
*Xét trường hợp i N
0
N
i
j
N
,...,0 ,...,0 ,...
N
,...
N
,...,0 ,..., 0 ,...,
N
,...
N
,...,0 ,...,0 ,...,
N
,...
ˆ ˆ c c i
ˆ ˆ c c i
ˆ ˆ c c i j
.0
ˆ c
.0
0
ˆ c i
j 1 j r i j 1 i j r 1 r j i
0
(12)
ˆ ˆ c c i
j
+
N
N
1
j
i
ˆ ˆ c c
N
,...,1 ,...,1 ,...,
N
,...
N
,...,1 ,...,1 ,...,
N
ˆ ˆ c c
,...,1 ,...,1 ,...,
N
,...
j
i
1
i
j
r
1
j
i
r
j
i
i
i
j
1
j
r
N
,...,1 ,...,0 ,...,
N
,...,0 ,...,1 ,...,
N
N
1
i
i
j
r
1
i
j
j
r
N
N
,...,0 ,..., 0 ,...,
N
,.
..
,...
ˆ ˆ c c ,...,0 ,...,0 ,...,
N
N
,...
1
j
i
r
1
j
i
r
ˆ c
,...
ˆ ˆ c c
ˆ c 0
,... (13)
j
N
1
N
+
0
i
j
ˆ ˆ c c
N
,...,1 ,...,0 ,...
N
,...
ˆ ˆ c c
N
N
,...
N
,...,1 ,...,0 ,...,
N
,...
i
j
1
j
r
i
i
j
1
i
j
r
i
j
1
r
i
j
ˆ c
.0
ˆ c
N
,...,0 ,...,0 ,...,
N
,...
i
j
1
j
i
r
,...,1 ,...,0 ,...,
ˆ ˆ c c
0
0
0
ˆ ˆ c c
0
(14)
i
j
N
0
N
+
1
i
j
N
,...,0 ,...,1 ,...,
N
ˆ ˆ c c
N
,...,0 ,...,1 ,...,
N
,...
ˆ ˆ c c
N
,...,0 ,...,1 ,...
N
,...
ˆ ˆ c c
1
i
j
r
j
i
1
i
j
r
i
j
1
j
r
i
i
j
,...,0 ,...,0 ,...,
N
,...
ˆ c
.0
ˆ c
N
i
j
r
j
i
1
,...
0
0
0
0
(15)
ˆ ˆ c c i
j
- Từ (10), (11), (12), (13), (14), (15), suy ra:
0
(đpcm)
ˆ ˆ c c i
j
ˆ ˆ c c i
j
ˆ ˆ c c i j
3)
ˆ ˆ c c i
j
ˆ ˆ c c i
j
ˆ ˆ c c i j ij
j
j
+
N
,...
N
,...
N
N
,...
,...,0 ,..., i
N 1
r
ˆ ˆ c c i i
N 1
,...,0 ,..., i
r
ˆ ˆ c c i i
,...,0 ,..., i
1
r
*Xét trường hợp i iN 0 ˆ ˆ c c i i
20
ĐHSLY 2012B
N
,...
ˆ c i
ˆ c i
N 1
r
N
,...
.0
,...,1 ,... i
N 1
,...,0 ,... i
r
(16)
1
c c ˆ ˆ i i
+
N
,...
N
N
N
,...
N 1
,...,1 ,..., i
,...,1 ,..., i
N 1
,...,1 ,..., i
1iN ˆ ˆ c c i i
N
.0
,...
N 1
,...,0 ,... i
r 1 r ˆ ˆ c c i i r ˆ ˆ c c i i
ˆ c i
N
N
,...
ˆ c i
,...
r
,...,1 ,... i
(17)
1
1 r
j
+
ˆ ˆ c c i i
*Xét trường hợp i N
0
N
i
j
N
,..., 0 ,..., 0 ,...,
N
,...
,..., 0 ,..., 0 ,...,
N
,...
N
,...,0 ,...,0 ,...,
N
,...
ˆ ˆ c c i
j
1
r
j
i
ˆ ˆ c c i
j
r
i
1
r
j
i
N 1
j
.0
N
,...,1 ,..., 0 ,...,
,...
N
ˆ c j
ˆ c i
i
1
j
r
ˆ ˆ c c i j
0 0
0
0
(18)
ˆ ˆ c c i
j
+
N
N
1
j
i
ˆ ˆ c c
N
,...,1 ,...,1 ,...
N
,...
N
,...,1 ,...,1 ,...,
N
ˆ ˆ c c
N
,...,1 ,...,1 ,...,
N
,...
ˆ ˆ c c
i
j
1
r
j
i
1
i
j
r
j
i
1
i
j
r
j
i
,...,1 ,...,0 ,...,
N
,...
ˆ c
.0
N
ˆ c
r
j
i
j
i
1
,...
0 0
0
ˆ ˆ c c
0
(19)
j
+
1
N
N
0
j
N
N
,...,1 ,...,0 ,...
N
,...
,...,1 ,...,0 ,...,
N
,...
N
,...,1 ,...,0 ,...,
N
,...
i ˆ ˆ c c i
j
1
1
j
r
i
ˆ ˆ c c i
j
i
j
r
ˆ ˆ c c i j
1
r
j
i
ˆ c
.0
.0
j
ˆ c i
0
0
0
ˆ ˆ c c
0
(20)
i
j
N
0
N
+
1
i
j
N
,..., 0 ,...,1 ,...
N
,...
N
,...,0 ,...,1 ,...,
N
,...,0 ,...,1 ,...,
N
,...
ˆ ˆ c c i
j
1
j
r
i
j
ˆ ˆ c c i
1
i
j
j
r
i
1
r
N
,...,0 ,...,0 ,...,
N
,...,1 ,...,1 ,...,
N
,...
1
j
i
r
1
i
j
r
N
,...,1 ,...,0 ,...,
N
,...
,...
ˆ ˆ c c i j ,...,1 ,...,0 ,...,
N
,...
N 1
r
j
i
N 1
r
j
i
ˆ c j
N
ˆ c i 0
,... (21)
c c ˆ ˆ i
j
Từ (16), (17), (18), (19), (20), (21), suy ra:
ˆ ˆ c c
ˆ ˆ c c
j
j
j
i
i
i
ij
khi i khi i
j j
1 0
ˆ ˆ c c HƯƠNG II
21
ĐHSLY 2012B
CHƯƠNG 2
Câu 1: Hãy viết biểu thức định nghĩa của toán tử sinh, hủy đối với hệ Bose. Từ đó chứng minh:
ˆ ˆ a a
ˆ ˆ a a
N
1
0
ˆ ˆ a a
m n
n
n
n
m n
mn
ˆ ˆ a a m n Biểu thức định nghĩa toán tử sinh, hủy:
,...,
N
,...,
N t ,
N
,...,
N
1,...,
C N
r
n
n
1
n
r
1
n
,...,
N
,...,
N t ,
N C N
,...,
N
1,...,
N t ,
1
N t ,
r
n
1
n
r
n
ˆ a C N ˆ a C N n 1 Chứng minh: 1 1)
N
ˆ ˆ a a n n
n
,...,
N
,...,
1
,...,
N
1,...,
C N
N t , r
ˆ a N n
N t , r
N
N
1
,...,
N
ˆ ˆ a a C N n 1 n n 1 n
N t , r
N
1
C N N
,...,
,...,
1
,...,
n n 1 n
C N 1
N t , r
N
n n
1
(đpcm)
ˆ ˆ a a n n
n
2)
0
,...,
N
,...,
N
,...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
,...,
N
,...,
N
,...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
,...,
N
,...,
N
,...,
N t ,
r
n
m
1
m n
1
r
n
m
n m
1
r
n
m
m na a ˆ ˆ ˆ ˆ a a C N m n
ˆ a N
1
,...,
N
,...,
N
1,...,
N t ,
ˆ a N
,...,
N
1,...,
N
,...,
N t ,
1
m
n
m
1
n
r
n
m
r
n
m
1
N
ˆ1
a C N
N
,...,
N
1,...,
N t ,
N
1
,...,
N
N
,...,
N t ,
ˆ a C N
C N
C N
n
m
n
r
m
1
m
n
r
n
m
1
N
1
N
1
,...,
N
1,...,
1,...,
N t ,
N
1
N
1
,...,
N
1,...,
N
1,...,
N t ,
,..., C N
n
m
1
m
r
m
n
m
n
r
1
n
N
1
N
1
N
1
N
,...,
N
1,...,
N
1,...,
N t ,
1
C N
1,..., C N
n
m
n
m
1
m
n
r
N
0
m na a ˆ ˆ
(đpcm)
22
ĐHSLY 2012B
0
3)
,...,
N
,...,
N
,...,
,...,
N
,...,
N
,...,
,...,
N
,...,
N
,...,
N t , r
ˆ ˆ a a C N m n 1
N t , r
ˆ ˆ a a C N n m
N t , r
ˆ ˆ m na a ˆ ˆ a a C N m n
,...,
N
,...,
N
1,...,
,...,
N
1,...,
N
,...,
ˆ a N C N m 1 n
n m 1 n m 1 n m
N t , r
ˆ a N C N n m 1
N t , r
ˆ
ˆ
,...,
N
,...,
N
1,...,
,...,
N
1,...,
N
,...,
N a C N 1 m
m n m n
N t , r
N a C N n
N t , r
,...,
N
N
1,...,
N
N C N
,...,
N
1,...,
N
1,...,
N N C N m 1
n m n m 1 m n
N t , r
N t , r
,...,
N
1,...,
N
1,...,
N N n
n m n m n 1 m n
N N n
N t , r
C N 1
1,...,
m m n m
(đpcm)
0
ˆ ˆ m na a
ˆ ˆ a a
3)
,...,
N
,...,
N
,...,
,...,
N
,...,
m n N t , r
n n
: ˆ ˆ a a C N n n
N t , r
N t , r
n 1 ˆ ˆ a a C N n 1 n n
m n mn * Xét trường hợp ˆ ˆ a a C N ,..., n 1
1
,...,
N
1,...,
,...,
N
1,...,
ˆ a N n
N t , r
ˆ a N C N n 1
ˆ
N
1
N
1,...,
N
1,...,
N t , r
n n n n
C N 1 ˆ a C N n 1
N t , r
N t , r
N
1
N
1
N N C N
,...,
N
,...,
N t ,
,...,
N
,...,
,...,
n n N a C N n n 1 n
N
1
,...,
N
,...,
N t ,
,..., C N N C N
N t ,
n n 1 n n 1 r n n r
n 1 n n r
(1)
1
n
na a ˆ ˆ
,...,
N
m n : N ,..., ,...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
,...,
N
,...,
N
,...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
,...,
N
,...,
N
,...,
N t ,
m n
m
1
n
r
m n
1
m
n
r
n m
1
m
r
n
Xét trường hợp
ˆ ˆ a a C N
1
,...,
N
,...,
N
1,...,
,...,
N
1,...,
N
,...,
ˆ a N m
n
m
n
N t , r
ˆ a N C N n m
1
m
N t , r
n
ˆ
N
ˆ1
,...,
N
,...,
N
1,...,
,...,
N
1,...,
N
,...,
C N 1
n
a C N 1
m
m
N t , r
n
N a C N n 1
m
m
n
N t , r
23
N
1
,...,
N
N
1,...,
N
N
1
,...,
N
1,...,
N
ĐHSLY 2012B
1,...,
n
N C N 1
m
m
n
N t , r
m
n
m
N t , r
n
N
1
N
N
N
,...,
N
1,...,
N
1,...,
N t ,
1
C N
C N 1
n
m
m
n
1
m
n
r
1,...,
(2)
0
m na a ˆ ˆ
=> Từ (1) và (2):
ˆ ˆ a a
m n
mn
khi m n khi m n
0 1
(đpcm)
0
Câu 2: Từ biểu thức định nghĩa của toán tử sinh, hủy đối với hệ Fermion, hãy chứng minh: ˆ ˆ a a m n
ˆ ˆ a a m n
ˆ ˆ a a m n
mn
0
m n :
ˆ ˆ a a
,...,1 ,...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
,...,1 ,...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
,...,1 ,...,
N t ,
C N
n
n
1
n
r
n
n
1
n
r
n
n
1
n
r
Chứng minh: m na a ˆ ˆ 1) * Xết trường hợp + Nn = 1
ˆ a
.0
ˆ a
.0
n
n
0
0
(1)
na a ˆ ˆ n
ˆ ˆ a a
,...,0 ,...,
N t ,
,...,0 ,...,
N t ,
n
n
1
n
r
n
n
n
1
r
n
n
n
1
r
+ Nn = 0 C N
,...,1 ,...,
N t ,
,...,1 ,...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N ˆ a C N
N t ,
ˆ ˆ a a C N ˆ a C N
,...,0 ,...,
n
1
n
r
n
n
1
r
0
0
(2)
na a ˆ ˆ n
24
ĐHSLY 2012B
m n :
ˆ ˆ a a
,...,1 ,...0 ...,
N t ,
,...,1 ,...0 ...,
ˆ ˆ a a C N
,...,1 ,...0 ...,
N t ,
m n
m
1
n
r
1
m
n
r
m n
n m
1
m
n
r
* Xết trường hợp + Nm = 1, Nn = 0 C N
,...,1 ,...1 ...,
N t ,
ˆ a
.0
N t ,
m
n
r
n
m
1
ˆ ˆ a a C N ˆ a C N 0
0
0
m na a ˆ ˆ (3)
ˆ ˆ a a
,...,0 ,...1 ...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
N t ,
,...,0 ,...1 ...,
N t ,
m n
m
1
n
r
m n
1
m
n
r
n m
1
m
n
r
+ Nm = 0, Nn = 1 C N
,...,1 ,...1 ...,
N t ,
ˆ a
.0
,...,0 ,...1 ..., ˆ a C N
ˆ ˆ a a C N
n
m
1
n
r
m
0
0
0
Từ (1), (2), (3), (4), suy ra:
0
m na a ˆ ˆ (4) (đpcm) m na a ˆ ˆ
0
2)
ˆ ˆ m na a
m n :
,...,1 ,...,
N t ,
,...,1 ,...,
,...,1 ,...,
n
1
n
n
r
n
1
r
n
n
1
n
r
n
n
* Xết trường hợp + Nn = 1
ˆ ˆ a a C N
,...,0 ,...,
N t ,
,...,0 ,...,
N t ,
N t ,
ˆ ˆ a a C N ˆ a C N
N t ,
n
r
n
1
n
r
1
n
ˆ ˆ a a C N ˆ a C N 0
0
0
(1)
ˆ ˆ na a n
25
ĐHSLY 2012B
n
,...,0 ,..., n
N t , r
ˆ ˆ a a C N n n
1
,...,0 ,..., n
N t , r
ˆ ˆ a a C N n n
,...,0 ,..., n
N t , r
1
+ Nn = 0
ˆ ˆ a a C N n 1
ˆ a
.0
.0
ˆ a n
n
0
(2)
0
n
ˆ ˆ na a
m n :
,...,1 ,...0 ...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
N t ,
,...,1 ,...0 ...,
N t ,
n
r
m n
1
m
n
r
n m
1
m
n
r
m n
m
1
* Xết trường hợp + Nm = 1, Nn = 0
ˆ ˆ a a C N
,...,0 ,...0 ...,
N t ,
ˆ a
.0
,...,1 ,...0 ..., ˆ a C N
ˆ ˆ a a C N
m
1
n
n
r
m
0
0
0
(3) ˆ ˆ m na a
,...,0 ,...1 ...,
ˆ ˆ a a C N
,...,0 ,...1 ...,
N t ,
,...,0 ,...1 ...,
N t ,
1
m
n
r
m n
n m
1
m
n
r
m n
m
1
n
r
+ Nm = 0, Nn = 1
ˆ ˆ a a C N
,...,0 ,...0 ...,
N t ,
ˆ a
.0
N t ,
m
n
r
n
m
1
ˆ ˆ a a C N ˆ a C N 0
0
0
ˆ ˆ (4) m na a
Từ (1), (2), (3), (4), suy ra:
(đpcm)
0
ˆ ˆ m na a
mn
ˆ ˆ a a m n
m n :
3) * Xết trường hợp + Nn = 1
26
ĐHSLY 2012B
n
,...,1 ,..., n
N t , r
ˆ ˆ a a C N n n
,...,1 ..., n
N t , r
1
,...,1 ..., n
ˆ ˆ a a C N n 1
,...,0 ...,
N t ,
ˆ a
.0
n
1
n
r
n
,...,1 ...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N n n 1 ˆ a N C N
N t , r
1
n
r
1
n
na a ˆ ˆ
,...,0 ,...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
ˆ ˆ a a C N
,...,0 ...,
N t ,
N t ,
n r 1 n n n n 1 n r r n 1 n n
+ Nn = 0 ˆ ˆ a a C N
,...,1 ...,
ˆ a
.0
N t ,
0
,...,0 ..., ˆ a N C N ,...,0 ...,
N t ,
1 n n r n
1
1 n r
na a ˆ ˆ n
1
na a ˆ ˆ
n
m n :
,...,0 ,...0 ...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
N t ,
,...,0 ,...0 ...,
N t ,
m n
m
1
n
r
m n
1
m
n
r
n m
1
m
n
r
Vậy khi n m thì: (1) * Xết trường hợp Khi Nm = Nn = 0
ˆ ˆ a a C N
,...,1 ,...0 ...,
N t ,
ˆ a
.0
,...,0 ,...0 ..., ˆ a C N
ˆ ˆ a a C N
n
m
1
n
r
m
0
0
0
m na a ˆ ˆ
Khi Nm = Nn = 1
27
ĐHSLY 2012B
,...,1 ,...1 ...,
N t ,
,...,1 ,...1 ...,
ˆ ˆ a a C N
,...,1 ,...1 ...,
N t ,
m n
1
m
n
r
m
n
1
n m
1
m
n
r
r
m n
ˆ ˆ a a C N
,...,1 ,...0 ...,
N t ,
ˆ a
.0
N t ,
m
n
r
n
m
1
ˆ ˆ a a C N ˆ a C N 0
0
0
m na a ˆ ˆ
N t ,
ˆ ˆ a a C N
,...,1 ,...0 ...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N
,...,1 ,...0 ...,
N t ,
,...,1 ,...0 ...,
r
m n
1
m
n
r
n m
1
m
n
r
m n
m
1
n
Khi Nm = 1, Nn = 0
ˆ ˆ a a C N
ˆ a
ˆ a
.0
.0
m
n
0
0
0
m na a ˆ ˆ
,...,0 ,...1 ...,
,...,0 ,...1 ...,
N t ,
1
m
n
m n
r
n m
r
n
1
m
m n
m
n
1
r
Khi Nm = 0, Nn = 1
ˆ ˆ a a C N
,...,0 ,...0 ...,
N t ,
ˆ ˆ a a C N ˆ a C N
N t , ,...,0 ,...1 ...,
m
n
m
1
n
r
1
m
n
r
,...,1 ,...0 ...,
..,
ˆ ˆ a a C N ˆ a C N C N
,...,1 ,...1 ...,
1
m
n
N t , r
N t , N t , C N 1
,rN t
,...,1 ,...0 . n m
0
m na a ˆ ˆ
Vậy khi n m thì:
(2)
0
na a ˆ ˆ n
Từ (1) và (2), suy ra:
(đpcm)
khi m n
ˆ ˆ a a
n
n
mn
0
khi m n
1
28
ĐHSLY 2012B
Câu 3: Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai cho hệ Bose : 3.1: Phương trình Scchoddinger trong x – biểu diễn Ta viết phương trình Schrodinger cho hệ N hạt Bose đồng nhất trong x – biểu diễn
(1)
i
,...
,
,
,...
,
,
t
t H
2 N
2 N
t
n
Trong đó: + Toán tử năng lượng: H
H i
W ik
i
1
i k
U
+ Hamintonian của hạt thứ i: H
1 1
i
1 2 2 i 2 m
iU
,
,... N t
1
,
2
- Về mặt ý nghĩa,
cho biết mật độ xác suất tìm thấy hạt thứ nhất ở tọa độ
1
,... N t
,
+ Thế năng trường ngoài: + Thế năng tương tác giữa hạt thứ I và hạt thứ k: ikW + Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ lượng tử gồm N hạt đồng nhất: 2
, hạt thứ hai nằm trong miền
1
, 2 1 , hạt thứ hai ở tọa độ 2 , hạt thứ N ở tọa độ N . - Xác suất tìm thấy hạt thứ nhất nằm trong miền
2
2
N
,
,...
,...
dW
1d 1 Nd như sau:
(2)
2
1
2
2
1
N
N
N
1
2
2
2
(3)
,...
,...
t
,
,
,
1
1
thì ta lấy tích phân theo
i
i
dW
,...
d
,
2
2d , hạt thứ N nằm trong miền N d d d ... , - Theo điều kiện chuẩn hóa: ... t d d d 1 , d 2 1 2 N N 2 N id - Nếu chỉ tính riêng hạt thứ i nằm trong miền tọa độ N-1 biến không gian trừ biến thứ i. i
2 N
d i
1
i
Với
d
i
d d
i
i
3.2: Phương trình Schrodinger trong F – biểu diễn - Ta có phương trình Schrodinger trong x - biểu diễn
(1)
i
,...
,
,
,...
,
,
t
t H
t
n
Trong đó: + Toán tử năng lượng: H
(2)
H i
W ik
i
1
i k
1 2
,
F
F
1
2
. F ,... N
1 2 N 1 2 N
+
F
F
,
2
1
Để chuyển từ x – biểu diễn sang F – biểu diễn, với F được xác định bởi 4N toán tử giao hoán nhau kí hiệu Trong đó: + = 1, 2, 3, 4 là ba tọa độ không gian và tọa độ Spin của hạt thứ i. là toán tử hạt lượng tử thứ nhất, thứ hai, … thứ N F ,... N Giả sử phổ trị riêng của các toán tử gián đoạn và được đặc trưng bằng bốn lượng tử số kí hiệu n1 , n2 , …, nN. - Hàm sóng của hệ khai triển theo các hàm riêng của toán tử
iF là:
29
ĐHSLY 2012B (3)
,
t
,...,
n t ,
,...
...
1
N
1
N
1
n
N
C n
n 1
N
n
,...,
N
n 1 là hệ số khai triển cũng là hàm sóng trong F – biểu diễn.
1 ,...,
n t ,N
C n - Trong đó: - Thay (2) và (3) vào (1), ta có:
i
,...,
...
n t , N
1
n
N
C n 1
n 1
N
,...,
n
N
n 1
t
n
(4)
,...,
...
H i
n t , N
1
n
N
C n 1
n 1
N
i
1
,...,
n
N
n 1
,...,
...
n t , N
1
n
N
C n 1
W ik
n 1
N
i k
,...,
n 1
N
- Nhân trái với
1 2 n , ta được :
* m
N
N
* m 1
...
i
,...,
...
1
* m
N
n t , N
1
n
N
C n 1
* m 1
N
n 1
N
,...,
n
n 1
N
1 ... t
n
(5)
...
,...,
n t ,
...
1
* m
N
i
1
N
1
n
N
C n
H
* m 1
N
n 1
N
i
1
,...,
n
N
n 1
...
,...,
n t ,
...
1
* m
N
ik
1
N
1
n
N
C n
* m 1
N
n 1
N
i k
,...,
n
n 1
N
1 W 2
ta lần lượt thu được các số hạng là : 1,..., N
...
i
,...,
n t ,
...
d ...
- Tích phân (5) theo + Số hạng thứ nhất :
d
* m
N
1
1
N
1
n
N
1
N
C n
* m 1
N
n 1
N
,...,
n
N
n 1
t
i
,...,
n t ,
...
...
d ...
d
1
N
1
* m
N
1
n
N
1
N
C n
* m 1
N
n 1
N
n
,...,
N
n 1
i
,...,
n t ,
1
N
C n
...
m n 1 1
m n N N
,...,
n
n 1
N
,...,
m t ,
(6)
1
N
...
,...,
d ...
t t i C m t + Số hạng thứ hai :
...
d
1
n
n t , N
1
1 N
C n 1
H i
N
N
N
,...,
i
H i
* m n N * m 1 n 1 i 1 ,..., n n 1 n
n t , N
d C n i 1
N
N
...
...
1
i * m i n i ,..., n i 1 n 1
N
1
m i
1
1
m i
1
N
...
...
d
1
* m * m 1 * m i * m i
N
d d ... 1 i i
d ... N
1
1
1
1
N
n i
n i
n 1 1 n 1 n i n i
,...,
n t ,
...
...
n
H C n
1
1
N
H C m
,...,
m n m ,
,
,...,
m t ,
(7)
1 N m n i i m n 1 i i m n 1 1 m n 1 i i m n N N i 1 ,..., n n 1 N
i 1 i 1 i 1 N m n i i i 1 n i
30
ĐHSLY 2012B
...
,...,
d ...
+ Số hạng thứ 3:
...
d
1
N
n t , N
1
1 N
C n 1
N
N
1 W ik 2
N
,...,
i
k
W i ik
d d i k
* m n N * m 1 n 1 i k ,..., n n 1
n t , N
C n 1
1 2
N
...
...
...
1
k * m i * m k n i n k i k ,..., n n 1
N
1
1
1
1
1
1
1
1
N
m i
m i
m k
m k
...
...
...
d
N
1
* m * m 1 * m i * m i * m k * m k
d d ... i i
d ... N
1
1
1
1
1
1
k
1
1
N
n i
n i
n k
n k
W
,...,
...
...
...
n t , N
C n 1
n n 1 1 1 n 1 n i n i n k
i
1
1
1
1
N
W
,...
,
,
,
,
(8)
C m m n m m n m m t , 1,...
m m n n k i k m n 1 i i m n 1 1 m n 1 i i m n 1 k k m n 1 k k m n N N i k ,..., n n 1
k i
i
1 2 1 2
k
i
N
H C m
m t ,
,...,
,...,
m n m ,
,...,
m t ,
N
1
1
i
1
i
,
i
1
N
- Thay (6), (7) và (8) vào (5), ta được :
m n i i
i
1
i C m t
n i
(9)
W
C m m n m m n m m t ,
,...
,
,
,
,
i
1,...
k
1
k
k
1,...
N
i
1
i
1
m m n n k i k
i
,
i k n n k
i
1 2
là yếu tố ma trận của toán tử năng lượng hạt lượng tử
i
H i
d i
i
* m i
n i
: là yếu tố ma trận của toán tử tương
d d i k
k
1,... 1 1 N 1 k k k i i i m m n n k i k n n ,
i
k m m n n k i k * m k * m i n k
- Phương trình (9) chính là phương trình Schrodinger trong F – biểu diễn. - Trong đó: + H m n i i thứ i. + W W i ik i n i tác giữa hạt lượng tử thứ i và thứ k. 3.3 : Phương trình Schrodinger trong biểu diễn biến số lấp đầy : Từ phương trình Schrodinger trong F – biểu diễn :
N
,...,
m t ,
H C m
,...,
m n m ,
,...,
m t ,
1
N
i
1
i
,
1
i
1
N
m n i i
i
1
i C m t
n i
(1)
W
C m m n m m n m m t ,
,...
,
,
,
,
i
1,...
k
1
k
k
1,...
N
i
1
i
1
m m n n k i k
i
i k n n
,
k
i
1 2 N N ,
,...,
N là số hạt lượng tử của hệ N hạt đồng nhất cùng ở
n 2
n 1
n r
cho biết xác
,...,
m t ,N
- Ta gọi tập hợp các số trạng thái lượng tử n1, n2, …, nr tương ứng là biến số lấp đầy của hệ lượng tử. 2 - Theo ý nghĩa thống kê hàm sóng trong F – biểu diễn:
C m m 1 ,
suất hạt thứ nhất ở trạng thái lượng tử m1, hạt thứ hai ở trang thái lượng tử m2, …, hạt thứ r ở trạng thái lượng tử mr. - Vậy xác suất để có
1mN hạt ở trạng thái lượng tử m1,
2mN ở trạng thái lượng tử m2,
…,
2
(2)
,...,
C m m
,
,...,
m t ,
1
2
r
rmN hạt ở trạng thái lượng tử mr là: ,
m 2
m 1
m r
- Ta kí hiệu
là hàm sóng trong biểu diễn biến số lấp đầy.
,
,...,
W N N C m m
N t ,
1
2
m t ,r
31
,...,
,
- Theo ý nghĩa thống kê hàm sóng 1mN hạt ở trạng thái lượng tử m1,
2 C m m ,r m t 1 2 2mN hạt ở trạng thái lượng tử m2,
ĐHSLY 2012B cho biết xác suất để hệ lượng tử rmN hạt ở trạng thái
có lượng tử mr.
2
2
(3)
,
,...,
,...,
,
m t , r
m 2
N t , m r
C N N m 1
C m m 1 2 - Do tổng dược lấy theo các hệ số khai triển nên nếu mỗi trạng thía lượng tử chỉ có duy nhất một hạt thì ta sẽ có N! số hạng tương ứng với N! cách hoán vị của N hạt. - Ta biết
2mN hạt cùng trạng thái m2, … nên số hạng sẽ giảm đi
1mN cùng trang thài m1, !...
N N !
!
một lượng là
N , nên ta có:
m 1
m 2
m r
2
2
N
(4)
,
,...,
m t ,
,
,...,
m t ,
C m m
C m m
1
2
r
1
2
r
! !...
N N !
N
!
m
m 1
m 2
r
- Từ (3) và (4), ta được:
2
2
N
(5)
C N N
,
,...,
N t ,
,
,...,
m t ,
C m m
1
2
r
m 1
m r
m 2
! !...
N N !
N
!
m
m 1
m 2
r
- Hay
N N !
!...
N
m
m 1
m 2
r
(6)
C m m
,
,...,
m t ,
C N N
,
,...,
N t ,
1
2
r
m
m
m 1
r
2
!
mô tả trạng thái lượng tử có
C m m
,...,
,
N - Ta chú ý hàm sóng trong F- biểu diễn : +
m t ,r
1
2
1mN hạt ở trạng thái lượng tử m1,
2mN hạt
ở trạng thái lượng tử m2,
,...,
m n m ,
,...,
rmN hạt ở trạng thái lượng tử mr. m t ,
mô tả trạng thái mi có số hạt giảm đi một hạt, ngược lại ở
i
1
1
1
N
i
i
,
C m
+ trạng thái ni thì tăng thêm một hạt. => Phương trình (6) được viết lại :
N
!...
N
N
N
1 ...
,...,
n m t ,... ,
C m
1 ! N !
,...
N
1,
N
1...,
N t ,
(7)
m 1 m i n i m r 1 r i
r
C N
!...
N
N
N
N
N
N
- Tương tự ta cũng viết cho trạng thái i và k: 1 !
1
1 !...
m m 1 m i n i
,...,
n
,...,
n m t , ...
C m
1 ! N !
,...
N
1,
N
1,
N
1,
N
1...,
N t ,
(8)
m 1 m i n i n k m r m k 1 k r i
C N - Thay (6), (7) và (8) vào (1), ta có:
m i m 1 m k n i m r n k
32
ĐHSLY 2012B
N
!...
!...
N
n
m 1
m r
i
,...,
N
,...,
N
,...,
n
m
m 1
N t , m r
C N
t
N N ! m N
!
N
!...
N
N
N
1 ...
m
n
m 1
m r
H
,...
N
1,
N
1...,
mn
m
n
C N .
m 1
N t , m r
m n ,
1 ! N !
N
!...
N
N
N
N
N
/
/
m
n
m 1
m r
1 !
1
1 !...
m
n
W
/
/ mm nn
/
/ m m n n ,
,
,
1 2
1 ! N !
,...
N
1,
N
1,...,
N
1,
N
1...,
/
/
m
n
m 1
rmN t ,
C N
n
m
N
!...
N N !
!...
N
m
n
m 1
m r
- Giản ước các hệ số bằng cách chia hai vế cho
, ta được :
N
!
,...,
N t ,
m r
m 1
i C N t
H
,...
N
1,
N
1...,
N t ,
mn
m
n
m 1
m r
C N .
m n ,
N
N
1 1 .
m
n
(9)
W
/
/ mm nn
/
/ m m n n ,
,
,
1 2
N
1 N
N N
/
/
n
m
n
m
1 N 1,...,
1 . N
,...
N
1,
1,
N
1...,
N t ,
/
/
n
m r
m 1
C N
n
m
m - Phương trình (9) là phương trình Schrodinger viết trong biểu diễn biến số lấp đầy.
33
ĐHSLY 2012B , toán tử số hạt , toán tử mật độ dòng năng lượng P
Chứng minh các toán tử năng lượng H là giao hoán nhau: N
a a k k
2
ˆ
; p
H
; ˆ N a a k
ˆ ˆ ka a
k
k
k
1 2
ˆ ˆ a a H p
pH
, 1 k H p ,
2 k k k k 1 ,
k
'
2 2
' '
' '
k 1 ,
1 2
1 2
' ,
ˆ ˆ a a k k ˆ ˆ a a k k ˆ ˆ a a ' ' k k ˆ ˆ a a ' ' k k k 1 ' k
ˆ
2 2
ˆ a k
' '
ˆ ˆ ˆ k a a a a ' ' k k
' k 1 ,
' ,
k k ' ' k ˆ ˆ ˆ a a a ' ' k k k 1 ' k
ˆ a
'
'
2 2
kk
kk
'
' '
'
ˆ a k
' '
ˆ k a ' ' k
' k 1 ,
' ,
ˆ
ˆ
'
'
ˆ a k
k ˆ a k k ˆ ˆ a a k k ˆ ˆ a a ' ' k k 1 ' k 2 2 2 2
ˆ k a
ˆ k a ' ' k kk
'
ˆ a k
' '
'
' '
' '
' k 1 ,
' k 1 ,
' ,
' ,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
'
'
k k ˆ a k kk ' ' k ˆ ˆ ˆ a a a k k ˆ ˆ a a a a ' ' k k k k k 1 ' k 1 ' k 2 2 2 2
k kk
'
' ' kk
'
ˆ ˆ k a a a a ' ' k k k
' '
' '
ˆ ˆ k a a ' ' k
' k 1 ,
' ,
' ,
0
' k 1 , ˆ ˆ k a a k k
k k ˆ ˆ a a k k ˆ ˆ a a a a ' ' k k k k k 1 ' k ' k 1 2
(
dpcm
)
k k 1 , 0 H p ,
0
H N N H
* ,H N
2
ˆ ˆ a a k k
ˆ ˆ a a k k
ˆ ˆ a a ' ' k k
' '
ˆ ˆ a a ' ' k k
' '
1 2
1 2
' ,
' k 1
' k
2
ˆ a
k
k
k
k
' ' k
' '
k
' ' k
k
' '
' k
ˆ ˆ ˆ a a a
ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a
' k
' ,
1
2
ˆ a
ˆ ˆ a a
ˆ a
ˆ a
ˆ ˆ a a
ˆ a
'
'
k
k
k
k
' ' k
kk
'
k
' '
' ' k
'
k
' '
kk
' k
' k
' ,
1
2
2
ˆ
ˆ
ˆ a
ˆ a
ˆ a
ˆ a
ˆ ˆ a a
'
'
k
k
k
k
k
ˆ ˆ a a
k
ˆ ˆ a a a a
'
' ' k
kk
'
kk
'
k
' '
' ' k
' '
k
' ' k
k
'
' k
' k
' k
' ,
1
' k
' 1 ,
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
'
'
ˆ ˆ a a ' ' k k kk
'
ˆ ˆ a a k k
' ' kk
'
ˆ ˆ a a a a ' ' k k k k
' '
' '
' ,
' k 1
' k
' ,
' k 1
' k
ˆ ˆ a a a a ' ' k k k k 0
ˆ ˆ a a k k
34
ĐHSLY 2012B
2
0 0
ˆ ˆ a a k k
ˆ ˆ a a k k
k
1 ,
(
dpcm
)
0
k H N ,
p N N p
* ,p N
ˆ
ˆ a
' '
' '
ˆ ˆ ˆ k a a a a
ˆ ˆ ˆ a a a
' ,
2 ' k k k k ' ' k k ' ' k k ' k 1
ˆ ˆ a a
ˆ a
ˆ a
ˆ ˆ a a
ˆ a
'
'
'
' '
'
' '
ˆ k a
' ,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ a
ˆ a
ˆ a
ˆ ˆ a a a a
'
'
ˆ k a
ˆ ˆ k a a a a
'
'
' '
' '
' '
' ,
' ,
ˆ
ˆ
ˆ ˆ a a
ˆ a
ˆ ˆ ˆ a a a
'
'
ˆ ˆ k a a
ˆ ˆ k a a a a
'
'
' '
' '
' '
' ,
' ,
ˆ ˆ a a
0
ˆ ˆ k a a
2 ' k k k k kk ' ' k kk k ' ' k k ' k 1 2 2 ' ' k k k k k k ' ' k kk kk k ' ' k k ' ' k k ' k 1 ' k 1 2 2 ' ' k k k k k k ' ' k kk k kk ' ' k ' ' k k k ' k 1 ' k 1 2
0
(
dpcm
)
H p ,
0
k k k k 1 , k
