TÀI LIỆU THAM KHẢO
Ôn tập Cơ học lượng tử
Biên soạn: Triệu Đoan An
Sinh viên khóa 44 - Khoa Vật lý
Đại học Sư phạm TP.HCM
Phiên bản 2 - Ngày 28 tháng 12 năm 2019
lOMoARcPSD|42620215
.
lOMoARcPSD|42620215
.
Mục lục
Lời nói đầu 4
Một số lưu ý 5
Lịch sử phiên bản 6
1 Lý thuyết tiền lượng tử 7
1.1 Bức xạ của vật đen - lý thuyết Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Vậtđen .................................... 7
1.1.2 Sự bất lực của lý thuyết cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Lý thuyết Planck về sự lượng tử năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Hiện tượng quang điện và lý thuyết Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Hiện tượng quang điện và các định luật quang điện . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Khó khăn của lý thuyết cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Lý thuyết Einstein về sự lượng tử ánh sáng . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 HiệuứngCompton .................................. 8
1.3.1 Thí nghiệm tán xạ Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Khó khăn của lý thuyết cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Quang phổ vạch của nguyên tử Hydro và lý thuyết Bohr . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Quang phổ vạch của nguyên tử Hydro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Khó khăn của lý thuyết cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3 Lý thuyết Bohr về sự lượng tử hóa không gian . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Đặc điểm chung của các lý thuyết tiền lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Hoànchỉnh .................................. 9
1.5.2 Khôngchặtchẽ................................ 9
2 Hàm sóng - Phương trình Schrodinger 11
2.1 Lưỡngtínhsónghạt ................................. 11
2.1.1 Giả thuyết Louis de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Thí nghiệm Davisson-Germer kiểm chứng giả thuyết Louis de Broglie . . 12
2.2 Ý nghĩa thống kê hàm sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Nguyên lý chồng chất trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Bản chất của sự chồng chất trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng ở trạng thái chồng chất . . . . . . . . 13
2.3.3 Hệ số khai triển hàm sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Tính chất của hàm sóng vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 PhươngtrìnhSchrodinger .............................. 14
3 Toán tử và đại lượng vật lý 16
3.1 Mộtsốbiểuthứctoántử............................... 16
3.2 Một số đẳng thức toán tử thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Tính chất của toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermitic) . . . . . . . . . 18
3.4 Đođạilượngvậtlý.................................. 18
3.4.1 Cáctoántửcơbản.............................. 19
3.4.2 Bài toán hàm riêng - trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Hai đại lượng vật lý xác định đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6 Đại lượng bảo toàn - Bộ đủ mô tả hệ vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7 Nguyênlýbấtđịnh.................................. 22
3.7.1 Độbấtđịnh.................................. 22
1
lOMoARcPSD|42620215
.
3.7.2 Hệthứcbấtđịnh ............................... 22
3.7.3 Hệ thức bất định cho các cặp chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Bài tập 23
4.1 Hàm sóng - Hàm riêng, trị riêng, trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Nguyênlýbấtđịnh.................................. 34
5 Chuyển động một chiều 38
5.1 Hố thế vuông góc thành cao vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.1 Giải phương trình Schrodinger - hàm sóng toán học . . . . . . . . . . . . 38
5.1.2 Điều kiện hàm sóng vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.3 Hiệuứnglượngtử............................... 39
5.1.4 Các giá trị trung bình đại lượng vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Hố thế vuông góc thành cao hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.1 Giải phương trình Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.2 Hàmsóngvậtlý ............................... 42
5.2.3 Hiệuứnglượngtử............................... 42
5.2.4 Bàitập .................................... 43
5.3 Ràothếbậcthang .................................. 43
5.3.1 Giải phương trình Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.2 Trường hợp năng lượng thấp hơn hoặc bằng rào thế . . . . . . . . . . . . 43
5.3.3 Trường hợp năng lượng cao hơn rào thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.4 Hiệuứnglượngtử............................... 46
5.4 Ràothếchữnhật................................... 46
5.4.1 Giải phương trình Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4.2 Trường hợp năng lượng thấp hơn hoặc bằng rào thế . . . . . . . . . . . . 47
5.4.3 Trường hợp năng lượng của hạt lớn hơn chiều cao rào thế . . . . . . . . . 47
5.4.4 Hiệuứnglượngtử............................... 48
5.5 Hiệu ứng lượng tử đối với chuyển động một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.6 Phương pháp tách biến mở rộng cho chuyển động ba chiều . . . . . . . . . . . . 49
5.6.1 Quytrình ................................... 49
5.6.2 Bàitập .................................... 50
6 Dao động tử điều hòa một chiều 51
6.1 Thiết lập phương trình không thứ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Tóm tắt quy trình giải bằng phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3 Hiệuứnglượngtử................................... 54
6.4 Dao động tử điều hòa ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.5 Phươngphápđạisố.................................. 55
6.5.1 Toán tử sinh - toán tử hủy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.5.2 Các tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.5.3 Bra-vector và ket-vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5.4 Hàmsóngchânkhông ............................ 56
6.5.5 Phương trình hàm riêng - trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5.6 Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.5.7 Ý nghĩa của toán tử sinh - toán tử hủy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5.8 Tínhtoánđạisố ............................... 59
lOMoARcPSD|42620215
2
.
7 Moment động lượng - Hàm cầu 61
7.1 Biểu thức toán tử moment động lượng quỹ đạo trong hệ tọa độ Descartes . . . . 61
7.2 Biểuthứcgiaohoántử................................ 61
7.3 Thiết lập biểu thức toán tử trong hệ tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4 Hàm riêng - trị riêng của toán tử moment động lượng quỹ đạo . . . . . . . . . . 64
7.4.1 Hình chiếu moment động lượng trên trục Oz . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4.2 Bình phương moment động lượng quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.5 Phươngphápđạisố.................................. 65
7.5.1 Toántửbậcthang .............................. 65
7.5.2 Các tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.5.3 Hàmriêng-trịriêng ............................. 67
7.5.4 Tácdụnglênhàmcầu ............................ 67
7.5.5 Tínhtoánđạisố ............................... 68
7.6 Chuyển động trong trường xuyên tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.6.1 Thiết lập Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.6.2 Đạilượngbảotoàn.............................. 70
8 Nguyên tử Hydro 71
8.1 PhươngtrìnhSchrodinger .............................. 71
8.1.1 Thiết lập Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1.2 Đưa về bài toán một hạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1.3 Phương trình Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.1.4 Phương trình không thứ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2 Tóm tắt quy trình giải bằng phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.3 Bài toán nguyên tử Hydro và lý thuyết Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9 Spin 76
9.1 ThínghiệmStern-Gerlach .............................. 76
9.2 Tínhchấtcáctoántửspin.............................. 76
9.3 MatrậnPauli..................................... 77
9.4 Phương trình hàm riêng - trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.5 Bàitập......................................... 83
10 Lời giải tham khảo 84
10.1 Đề thi kết thúc học phần - Học kỳ II - năm học 2018-2019 . . . . . . . . . . . . 84
10.2 Đề thi kết thúc học phần - Học kỳ I - Năm học 2018-2019 . . . . . . . . . . . . 90
10.3 Đề thi kết thúc học phần - Học kỳ II - Năm học 2017-2018 . . . . . . . . . . . . 95
3
lOMoARcPSD|42620215
.