Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 83
CHÆÅNG 16
PHÆÅNG PHAÏP TOAÏN TÆÍ LAPLACE TÊNH QUAÏ TRÇNH QUAÏ ÂÄÜ
MAÛCH TUYÃÚN TÊNH HÃÛ SÄÚ HÀÒNG
§1. Pheïp biãún âäøi Laplace
I. Pheïp biãún âäøi Laplace thuáûn
Nãúu haìm f(t) haìm biãún thæûc thoía maîn âiãöu kiãûn Âiriclet thç :
)p(Fdte)t(f
0
pt =
∫
∞
− häüi tuû (16 -1)
Haìm f(t) nhæ váûy goüi laì haìm gäúc. Caïc pheïp tênh lãn haìm gäúc laì âaûo haìm, têch
phán,... phán bäú trong khäng gian gäúc laì hãû phæång trçnh vi phán theo t.
Haìm F(p) goüi laì haìm aính Laplace cuía gäúc f(t), F(p) laì haìm biãún phæïc trong âoï p
= α + jω.
Váûy pheïp biãún âäøi Laplace thuáûn chuyãøn (aïnh xaû) haìm gäúc thæûc f(t) thaình haìm
aính F(p) biãún phæïc, phán bäú trong khäng gian aính, tæïc laì ta coï quan hãû doïng âäi :
f(t) ↔ F(p)
Biãún âäøi Laplace (16 -1) laì biãún âäøi mäüt phêa, aính cuía noï khäng phuû thuäüc vaìo
haìm f(t) åí t < 0.
II. Pheïp biãún âäøi Laplace ngæåüc :
Coï cäng thæïc Rieman - Mellin âãø tçm haìm gäúc f(t) theo haìm aính F(p) nhæ sau :
∫
ω+α
ω−α
π
=
j
j
pt dpe)p(F
j2
1
)t(f (16 -2)
cäng thæïc (16 -2) goüi laì pheïp biãún âäøi Laplace ngæåüc.
III. Caïc âënh lyï, tênh cháút cå baín cuía pheïp biãún âäøi Laplace. Caïc âënh lyï
aính gäúc :
1. Tênh cháút tuyãún tênh :
AÍnh cuía täø håüp tuyãún tênh caïc haìm fk(t) cuîng laì mäüt täø håüp tuyãún tênh cuía caïc
aính Fk(p) :
,...)2,1k,säúhàònglaìa(,)p(Fa)t(fa
)p(F)t(
f
k
kkk
kkk
kk
=↔
↔
∑∑
2. AÍnh Laplace cuía âaûo haìm haìm gäúc :
[][ ] []
?)
t
('
f
)0(
f
)
t
(?)
t
('
f
)
t
(1)0(
f
')
t
(1?')
t
(
f
)
t
(1')
t
(
f
↔+
δ
↔
↔=
Tçm aính Laplace cuía )
t
(δ:
⎩
⎨
⎧
≠
=δ
=δδ=↔δ −
∞
−
∫0tkhi0
0
t
khi)
t
(
)t(evçdt)t(e)p(F)t( pt
0
pt
nãn : . Váûy aính Laplace cuía
1dt)t(dt)t(e
00
pt =δ=δ ∫∫ ∞∞
−)
t
(
δ
laì 1.
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 84
)
t
(δ↔ 1 nãn coï )
t
(δ.f(0) ↔ f(0)
Tçm aính Laplace cuía
[]
∫∫ ∞
−
∞
−==Φ↔=
0
pt
0
pt )t(fdedte
dt
)
t
(df
)p(
dt
)
t
(df
)t('f
Duìng phæång phaïp phán âoaûn âãø thæûc hiãûn têch phán trãn :
[]
)t(fvvaì,dtpeducoïnãn
)
t
(
f
ddvcoìn,euÂàû
t
pt
p
t
=−=
==
−
−
thay vaìo biãøu thæïc têch phán ta âæåüc :
)p(pFdt)t(fepdt)t(fpe:coìn
)0(f0)t(fe,dt)t(fpe)t(fevduuvudv
0
pt
0
pt
0
pt
0
pt
0
pt
0
0
0
==
−=+=−=
∫∫
∫∫∫
∞
−
∞
−
∞−
∞
−∞−
∞
∞
∞
Âæåüc aính Laplace cuía âaûo haìm haìm gäúc : )0(
f
)
p
(
p
F)
p
(
−
=
Φ
(16 -3)
Phaït biãøu laì : AÍnh cuía âaûo haìm haûng 1 lãn gäúc bàòng têch p våïi aính haìm gäúc âoï
træì âi så kiãûn cuía gäúc (giäúng aính phæïc cuía âaûo haìm haìm âiãöu hoìa bàòng têch jω våïi aính
phæïc haìm âiãöu hoìa naìo âoï; coï khaïc laì aính phæïc gàõn våïi baìi toaïn xaïc láûp hçnh sin nãn
khäng quan tám âãún så kiãûn).
Coï thãø noïi pheïp âaûo haìm lãn gäúc doïng âäi våïi pheïp nhán våïi p aính cuía gäúc âoï
træì âi så kiãûn :
[]
)0(
f
)p(pF')
t
(
f
−↔ (16 -4)
[]
)0('
f
)0(pf)p(Fp")t(
f
2−−↔ (16 -5)
(16 -6)
[]
)0(f...)0("fp)0('fp)0(fp)p(Fp)t(f 1n3n2n1nn
n−−−− −−−−−↔
Chæïng minh âæåüc : f(0) = f(-0) nãn coï
Nãn :
[]
)0(
f
)p(pF')
t
(
f
−
↔
(16 -4a)
[]
)0('
f
)0(pf)p(Fp")t(
f
2+−−−↔ (16 -5a)
Tæì cäng thæïc tháúy så kiãûn baìi toaïn coï trong aính cuía âaûo haìm gäúc, tæïc laì thäng
tin vãö så kiãûn coï trong aính cuía âaûo haìm vaì vç chè cáön f(-0) nãn khäng phán biãût baìi
toaïn chènh hay khäng chènh khi giaíi quaï trçnh quaï âäü bàòng phæång phaïp toaïn tæí.
Khi âiãöu kiãûn âáöu bàòng 0 thç coï :
(
)
[
]
)
p
(
p
F'
t
f
↔
(16 -7)
Váûy muäún xaïc âënh aính cuía âaûo haìm gäúc cáön phaíi tênh så kiãûn cuía baìi toaïn.
3. AÍnh cuía têch phán gäúc :
p
)p(F
)p(nãn)p(p)p(Fdt)t(f
dt
d
)t(fmaì
)p()t(f
)
p
(F)
t
(
f
t
0
t
0
=ΦΦ=↔
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
Φ↔
↔
∫
∫
Váûy : p
)p(F
dt)t(f
t
0
↔
∫ (16 -8)
Ta coï aính cuía têch phán haìm gäúc bàòng aính cuía gäúc âoï chia cho p, hay pheïp têch
phán lãn gäúc (æïng) doïng âäi våïi pheïp chia aính cuía haìm gäúc âoï cho p.
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 85
4. Âënh lyï dëch gäúc (cháûm trãù) :
Âæåüc mä taí bàòng biãøu thæïc (16 -9) :
)
p
(Fe)t(
f
).t(1 pτ−
↔τ−τ− (16 -9)
Pheïp dëch gäúc thåìi gian τ æïng våïi pheïp nhán e-p.τ lãn aính.
5. Âënh lyï dëch aính :
Âæåüc biãøu diãùn bàòng biãøu thæïc (16 -10) :
)p(F)t(
f
e)t(1 tλ↔
λ± m (16 -10)
Pheïp nhán lãn gäúc æïng våïi pheïp dëch aính mäüt âoaûn lãn màût phàóng phæïc.
t
eλ± λm
6. Âënh lyï âäöng daûng : Mä taí båíi biãøu thæïc (16 -11) :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
↔a
p
F
a
1
)at(f)t(1 (16 -11)
7. Âënh lyï têch xãúp : Mä taí båíi biãøu thæïc (16 -12) :
(16 -12)
)p(F).p(Ff*fd)t(f)t(f 2121
t
0
21 ↔=ττ−
∫
8. Âënh lyï âaûo haìm aính : Mä taí båíi biãøu thæïc (16 -13) :
)t(f)t()p(F
dp
d
),...,t(f)t()p(F
dp
dn
n
n
−↔−↔ (16 -13)
9. Âënh lyï têch phán aính : Mä taí båíi biãøu thæïc (16 -14) :
t
)t(
f
dp)p(F
0
↔
∫
∞ (16 -14)
10. Âënh lyï vãö caïc giaï trë båì : Giaï trë åí t = 0, t = ∞
)p(pFlim)t(flim
)
p
(pFlim)t(
f
lim
0pt
p0t
→∞→
∞→→
=
=
(16 -15)
IV. Caïc daûng aính - gäúc thæåìng gàûp :
1. 1)
t
(↔δ
2. p
1
dt)t()t(1 t
0
↔δ↔ ∫ (aïp duûng âënh lyï têch phán gäúc)
3. ap
1
e).t(1e t.at.a
−
↔= (aïp duûng âënh lyï dëch aính)
4. ap
1
e).t(1e t.at.a
+
↔= −−
5.
k
k
t.p
kpp
A
eA k
−
↔ (daûng aính - gäúc ráút hay gàûp)
6. 22
p
p
tcos ω+
↔ω
7. 22
p
tsin ω+
ω
↔ω
Tæì : ω−
↔
ω+
↔ωω−
jp
1
evaì
jp
1
etjtj
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 86
Coï :
[]
22
tjtj
p
p
jp
1
jp
1
2
1
ee
2
1
tcos ω+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω+
+
ω−
↔+=ω ω−ω
Vaì : 22
pjp
1
jp
1
j2
1
tsin ω+
ω
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω+
−
ω−
↔ω
8. 32
t
0
2
2
t
0p
2
p.p
2
tdt2t,
p
1
p.p
1
dt)t(1t =↔==↔= ∫∫
1n
t.an
3
t.a2
2
at
1n
n
4
3
)ap(
!n
et;
)ap(
2
et
)ap(
1
e.t
p
!n
t,...,
p
3.2
t
+
−−
−
+
+
↔
+
↔
+
↔
↔↔
9. 1n
atn
)ap(
1
!n
et
+
−
+
↔
10. n
1
t.a
1
n
1
)ap(
A
e
)!1n(
t.
A
+
↔
−
−
−
11. p
E
E)t(1E ↔=
12. E)
t
(.E
↔
δ
13. 2
0
2
0
0p
cossinp
)tsin( ω+
Ψ
ω
+
Ψ
↔Ψ+ω
14. 2
0
2
0
0p
cossinp
)tcos( ω+
Ψ
ω
−
Ψ
↔Ψ+ω
15. 22
t.a
)ap(
tsine ω++
ω
↔ω
−
16. 22
t.a
)ap(
p
tcose ω++
↔ω
−
V. Tinh tháön phæång phaïp toaïn tæí Laplace giaíi baìi toaïn quaï trçnh quaï
âäü :
Thæûc cháút viãûc giaíi quaï trçnh quaï âäü laì giaíi hãû phæång trçnh vi phán cho thoía
maîn så kiãûn. Thay vç giaíi phæång trçnh vi phán cho thoía maîn så kiãûn ta váûn duûng caïc
tênh cháút cuía pheïp biãún âäøi Laplace âãø chuyãøn hãû phæång trçnh vi phán thaình hãû
phæång trçnh âaûi säú våïi aính toaïn tæí coï chæïa så kiãûn räöi giaíi hãû phæång trçnh âaûi säú naìy
bàòng caïc phæång phaïp âaî hoüc åí CSKTÂ I âãø cho ra nghiãûm aính quaï trçnh quaï âäü F(p).
thäng thæåìng ta hay xeït tênh cháút, daïng âiãûu cuía nghiãûm qua phán bäú thåìi gian vç váûy
cáön biãún âäøi ngæåüc laûi tæì nghiãûm aính væìa giaíi ra thaình nghiãûm gäúc F(p) → f(t). Váûy
theo phæång phaïp toaïn tæí Laplace giaíi QTQÂ ta phaíi giaíi quyãút caïc viãûc sau :
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
1. Chuyãøn tæì gäúc sang aính : gäöm chuyãøn caïc kêch thêch e(t), j(t) vaì hãû phæång
trçnh vi phán mä taí QTQÂ våïi så kiãûn thaình caïc aính Laplace E(p), J(p) vaì hãû phæång
trçnh âaûi säú våïi biãún toaïn tæí coï chæïa så kiãûn.
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 87
2. Giaíi hãû phæång trçnh âaûi säú våïi biãún toaïn tæí âæåüc nghiãûm aính F(p).
3. Tæì nghiãûm aính F(p) tçm nghiãûm gäúc f(t) âãø xeït tênh cháút nghiãûm. Trãn thæûc
tãú cuîng coï træåìng håüp yãu cáöu thäng tin khäng nhiãöu, coï thãø nháûn biãút qua phán bäú
F(p) thç khäng nháút thiãút phaíi tçm f(t).
Váûy våïi phæång phaïp toaïn tæí Laplace laì giaíi quyãút váún âãö gäúc → aính vaì ngæåüc
laûi aính → gäúc. Váún âãö aính → gäúc laì ráút quan troüng, noï laì kháu khoï khàn nháút, khäng
giaíi quyãút âæåüc váún âãö naìy thç phæång phaïp toaïn tæí Laplace báút læûc.
VI. Caïch tçm gäúc theo aính Laplace
Coï 3 phæång phaïp âãø tçm nghiãûm gäúc theo nghiãûm aính Laplace
1. Thæûc hiãûn pheïp têch phán ngæåüc (Riman - Mellen) :
∫
∞+
∞−
π
=
j
a
ja
pt dpe)p(F
j2
1
)t(f
Viãûc sæí duûng træûc tiãúp cäng thæïc naìy âãø xaïc âënh haìm gäúc f(t) theo haìm aính
F(p) noïi chung khäng dãù daìng cho nãn trong thæûc tãú kyî thuáût âiãûn hay duìng 2 phæång
phaïp sau âáy :
2. Tra baíng aính gäúc (coï åí caïc cáøm nang toaïn, cáøm nang KTÂ)
Theo phæång phaïp naìy ta phaíi coï baíng aính - gäúc (xem pháön phuû luûc)
3. Duìng cäng thæïc khai triãøn Hãvisaid (âënh lyï phán têch)
Trong træåìng håüp thäng thæåìng ta coï nghiãûm aính Laplace F(p) laì mäüt phán thæïc
hæîu tè biãún p, hãû säú thæûc vaì báûc cuía tæí säú nhoí hån báûc cuía máùu säú(m < n) daûng ruït goün
nhæ : )p(F
)
p
(F
apa...papa
b
p
b...pbpb
)p(F
n
m
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m=
++++
++++
=−
−
−
− (16 -16)
Vç F(p) laì mäüt phán thæïc hæîu tè nãn bàòng caïch phán têch phán thæïc hæîu tè thaình
täøng caïc phán thæïc täúi giaín maì mäùi phán thæïc täúi giaín dãù daìng tçm âæåüc gäúc tæång æïng
vaì nhæ váûy seî xaïc âënh âæåüc gäúc æïng våïi phán thæïc hæîu tè.
Âãø phán têch phán thæïc hæîu tè (16 -16) thaình caïc phán thæïc täúi giaín cáön giaíi
nghiãûm cuía âa thæïc máùu Fn(p) = 0, âæåüc goüi laì caïc âiãøm cæûc. Trong træåìng håüp âa thæïc
coï báûc låïn hån 2 thç viãûc tçm caïc âiãøm cæûc ráút khoï khàn. Âáy chênh laì haûn chãú cuía
phæång phaïp toaïn tæí. Dæåïi âáy dáùn ra cäng thæïc tçm gäúc cho ba træåìng håüp thäng
thæåìng cuía caïc âiãøm cæûc giaíi tæì Fn(p) = 0
a. Træåìng håüp Fn(p) = 0 coï n nghiãûm thæûc, âån : p1, p2,..., pk thç :
∑−
=
−
++
−
+
−
==
kk
k
k
k
2
2
1
1
n
m
pp
A
pp
A
...
pp
A
pp
A
)p(F
)
p
(F
)p(F (16 -17)
Tæì phán thæïc aính täúi giaín
k
k
pp
A
−suy ra gäúc tp
kk
e
A
(âënh lyï aính - gäúc)
Nãn aính cuía F(p) =∑∑ +++=↔
−
kk
tp
k
tp
2
tp
1
tp
k
k
kk21k eA...eAeAeA
pp
A
(16 -18)
Cáön phaíi xaïc âënh Ak (gäöm A1, A2, ..., Ak) vaì våïi pk âaî coï khi giaíi Fn(p) = 0, ta
làõp âæåüc gäúc tp
kk
e
A
. Coï thãø xaïc âënh Ak bàòng phæång phaïp cán bàòng hãû säú báút âënh.
Song ta coï thãø bàòng cäng thæïc sau âáy :
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn