Giáo trình Số học - TS. Phan Đức Tuấn

Số học, một nhánh cổ xưa và nền tảng của toán học, là lĩnh vực chuyên sâu nghiên cứu các tính chất và quy tắc của các tập hợp số. Môn khoa học này không chỉ khám phá những vấn đề cơ bản về số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ mà còn là cái nôi sản sinh nhiều lý thuyết toán học vĩ đại. Với sự phát triển không ngừng, số học ngày nay còn đóng vai trò trọng yếu trong nhiều ứng dụng công nghệ hiện đại, đặc biệt là mật mã học. Giáo trình này được biên soạn nhằm cung cấp một cái nhìn tổng quan và chuyên sâu về số học, từ các khái niệm cơ sở đến những lý thuyết phức tạp hơn, phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu của sinh viên và những người quan tâm.

Sinh viên ngành Toán, nghiên cứu sinh, giảng viên và những người có chuyên môn hoặc quan tâm sâu sắc đến lĩnh vực Số học và các ứng dụng của nó.

Giáo trình này cung cấp một nền tảng toàn diện về số học, bắt đầu bằng việc xây dựng và mở rộng các tập hợp số cơ bản như số tự nhiên, số nguyên và số hữu tỉ. Tài liệu đi sâu vào lý thuyết trường định chuẩn, bao gồm định lý Ostrowski quan trọng, chứng minh sự tồn tại hai kiểu chuẩn duy nhất trên trường số hữu tỉ là chuẩn giá trị tuyệt đối (dẫn đến số thực) và chuẩn p-adic. Từ đó, nó khẳng định sự bình đẳng của trường số thực và trường số p-adic như những mở rộng đầy đủ. Các chương tiếp theo trình bày chi tiết "Lý thuyết chia hết" trên tập số nguyên, khái niệm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất; "Số nguyên tố và ứng dụng", bao gồm định nghĩa, sàng Eratosthenes, và ứng dụng của chúng trong phân tích số. "Hàm số học" giới thiệu các hàm nhân tính, hàm Euler, và hàm đếm/tổng ước số. Hai chương cuối cùng tập trung vào "Phương trình Diophantine" và "Lý thuyết đồng dư", cung cấp các phương pháp giải quyết và ứng dụng cụ thể như giải "Hệ phương trình đồng dư" bằng Định lý phần dư Trung Hoa. Đặc biệt, giáo trình còn tích hợp phần thực hành trên Maple để minh họa các thuật toán và kiểm chứng kết quả. Nội dung không chỉ tập trung vào lý thuyết mà còn nhấn mạnh tầm quan trọng của số học trong các lĩnh vực hiện đại như vật lý học và mật mã.