Giáo trình tính toán khoa học - Chương 4
lượt xem 103
download
Cho một ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại một số và một vector x0 sao cho Ax=x thì được gọi là trị riêng của ma trận A và x được gọi là vectơ riêng của A ứng với trị riêng . Có nhiều bài toán ứng dụng trong cơ học và vật lí được qui dẫn về việc tìm trị riêng và vector riêng của ma trận. Trong các bài toán tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận người ta chia ra làm 2 loại: - Bài toán nhỏ: tìm các trị riêng có...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Giáo trình tính toán khoa học - Chương 4
- Chương 4 TÍNH TRỊ RIÊNG VÀ VECTOR RIÊNG CỦA MA TRẬN 4.1 MỞ ĐẦU Cho một ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại một số và một vector x0 sao cho Ax=x thì đ ược gọi là trị riêng của ma trận A và x đư ợc gọi là vectơ riêng của A ứng với trị riêng . Có nhiều b ài toán ứng dụng trong cơ học và vật lí đ ược qui dẫn về việc tìm trị riêng và vector riêng của ma trận. Trong các bài toán tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận người ta chia ra làm 2 loại: - Bài toán nhỏ: tìm các trị riêng có modul lớn nhất và nhỏ nhất của ma trận và các vector riêng tương ứng. Bài toán này đ ến nay đã giải đ ược cho ma trận có cỡ n= 0(106). - Bài toán lớn: tìm tất cả các trị riêng và vector riêng của một ma trận. Bài toán này đến nay đã giải đ ược cho ma trận có cỡ n=0(102). Giải bài toán tìm trị riêng và vector riêng theo phương pháp đ ại số: - Đầu tiên phải giải phương trình đặc trưng của ma trận A: det(E-A) =0 để tìm các trị riêng . - Sau đó thế vào hệ phương trình thuần nhất: Ax=x hay (E-A)x = 0 để tìm vector riêng tương ứng. Chú ý rằng đ a thức đặc trưng của ma trận là đa th ức bậc cao (bằng cấp của ma trận A) đối với . Mặt khác do hệ phương trình thuần nhất (E-A )x =0 có ma trận hệ số suy biến và do đó tập nghiệm của hệ là không gian con của Rn, nên không thể giải bằng các phương pháp đã trình bày trong chương 3. Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp: - Phương pháp trực tiếp: dùng các phép biến đổi tương đương đưa ma trận A về ma trận có cấu trúc đơn giản hơn để dễ dàng tìm đ a th ức đặc trưng và các vectơ riêng. 93
- - Phương pháp lặp: khuếch đại sự khác biệt về modul của các trị riêng bằng lu ỹ thừa bậc cao. 4.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP 4.2.1 Phương pháp Krylov Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng là: n 1 n ( ) n pn k k . k 0 Do n(A)= det(E-A), nên theo đ ịnh lí Haminton -Kelly ta có n(A)=0. Xét dãy lặp vk+1= Avk , với k= 0, n 1 và vector ban đ ầu v0 ≠ 0 tu ỳ ý của Rn, ta có : n 1 n(A)v0= vn pn k vk = 0 (4.1) k 0 Do đó các hệ số pi chính là nghiệm của hệ phương trình (4.1). Việc giải hệ phương trình (4.1) để tìm các hệ số pi gọi là các phương pháp trực tiếp. Tuy nhiên nếu ma trận A có trị riêng bội th ì hệ phương trình (4.1) suy biến với mọi vector v0. Do đó phương pháp trực tiếp không ổn định. Một thay đổi nhỏ hệ số có thể làm cho hệ vô nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình cũng không ổn định nếu các trị riêng của ma trận A có modul gần nhau. Vì vậy khả năng ứng dụng của các phương pháp này không lớn. Để xây dựng hệ phương trình đại số tuyến tính (4.1) ta làm như sau: T vk = v1 , v2 ,..., vn k k k , k= 1, n . Đặt n 1 k n , với j= 1, n . Từ (4.1) ta có pnk v j v j k 0 v n 1 n 2 ... v 0 v n v1 1 p1 1 1 n 2 ... v 0 p2 n 1 n v2 v v2 . 2 Hoặc (4.2) 2 ... ... ... ... ... p v n 1 n 2 ... v 0 n v n vn n n n n Vì vk+1 =Avk nên vi Av aij v jk với i 1,n , k 0, n 1 . k 1 k (4.3) i j 1 94
- Quá trình tính toán của phương pháp Krylov k - Chọn v0 tu ỳ ý, sau đó lần lượt tính v j , j 1,n ; k 1,n theo (4.3). - Giải hệ (4.2) để tính các hệ số p k , k= 1, n . của phương trình đặc trưng. Nếu hệ phương trình (4.2) không duy nhất nghiệm thì bài toán trở n ên phức tạp. Để khắc phục, thông thường người ta chọn v(0) mới và tính toán lại. - Sau khi tính được các hệ số pk , giải phương trình đặc trưng n ( ) 0 để tìm các trị riêng i , i 1, n. - Tìm các vector riêng : Giả sử phương trình đ ặc trưng có n trị riêng phân biệt i , i 1, n. ( i j ), khi đó trong Rn tồn tại một cơ sở gồm n vector riêng n {ei }in1 tương ứng. Phân tích vo theo cơ sở vừa nêu : vo= j e j . Vì vậy: j 1 n n vk = Akv0 = j Ak e j j jk e j , k=1,2… j 1 j 1 n . Do i là một nghiệm của n ( ) nên i ( ) là Bây giờ ta đặt i ( ) i một đa thức bậc n -1 của : n 1 i ( ) n 1 q1,i n 2 ... qn1,i = qnk 1,i k k 0 n 1 n 1 Từ n ( ) ( i ) i ( ) h ay n pn k k ( i ) qnk 1,i jk k 0 k 0 suy ra các hệ số q ji có th ể được tính theo sơ đ ồ Horner như sau: q0i 1 . q q i j 1,i p j ji i A v0 vn-1+q1,ivn-2+...+qn-1,iv0 Ta có n 1 n 1 n = qn k 1,i vk qn k 1,i j k e j j k 0 k 0 j 1 n 1 n n j qn k 1,i k e j j i j e j . j k 0 j 1 j 1 95
- khi i j 0 Chú ý rằng i j (4.4) n ' i 0 khi i j n nên i A v0 j i j e j = i i i ei . j 1 Từ đó suy ra nếu i 0 thì: i Av0 vn-1+q1,ivn-2+...+qn-1,iv0 là một vector riêng của ma trận A tương ứng với trị riêng i . Thí dụ 1. Tìm đ a thức đặc trưng củ a ma trận theo phương pháp Krylov: 1 2 3 4 2 1 2 3 A . 3 2 1 2 4 3 2 1 1 0 Giải. Chọn v 0 . Tính vk=Avk-1 ta có: 0 0 1 30 208 2108 2 , v 22 , v 178 , v 1704 . v1 3 2 18 3 192 4 1656 4 20 242 1992 Xây dựng được hệ phương trình: 1 p1 208 30 1 2108 p 178 22 2 0 2 1704 . 0 p3 192 1656 18 3 242 20 4 0 p4 1992 Giải hệ phương trình trên ta được : p1 = -4, p 2=-40, p3=- 56 , p4=-20 . Từ đó đa thức đặc trưng của ma trận A là: 4 = 4 43 402 56 20 . 96
- Để tìm nghiệm của đa thức 4 trong Matlab, có thể làm như sau: >> p=[ 1 -4 -40 -56 -20]; %% Tính các trị riêng >> roots (p) ans= 9.0990 -3.4142 -1.0990 -0.5858 4.2.2 Phương pháp Leverier Phương pháp Leverier dùng để tính các hệ số của đa thức đặc trưng của một ma trận vuông. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n và đa thức đặc trưng là: n ( ) n p1 n 1 p2 n 2 ... pn n có các nghiệm i , i 1, n kể cả bội. Đặt Sk = k , với k 0, n . i i 1 Theo công thức Newton ta có : Sk + p1Sk-1+ p2Sk-2 + ...+ p k-1S1 = - kpk , với k 1, n p1 S1 p2 1 S 2 p1S1 2 hay . (4.5) ... 1 pn S n p1S n 1 ... pn 1S1 n Các hệ số Sk đ ược tính theo công thức S k =Trace(Ak) (Trace là hàm vết của ma trận) với k 1, n . Quá trình tính toán của phương pháp Leverier n - Tính Ak , Sk =Trace(Ak) = aiik với k 1, n ; i 1 - Tính các pi,với i 1, n theo công thức (4.5). 97
- Công thức tính của phương pháp tương đối đơn giản, không cần xây dựng và giải hệ phương trình như phương pháp Krylov. Tuy nhiên, khối lượng tính toán của phương pháp này rất lớn. Thí dụ 2. Tìm đa th ức đặc trưng của ma trận theo phương pháp Leverier: 1 2 3 4 2 1 2 3 A . 3 2 1 2 4 3 2 1 Giải: 30 208 18 * 148 * 2 , A3 , Tính các ma trận A * 18 * 148 30 208 2108 1388 * 4 . và A * 1388 2108 Sau đó, dùng hàm vết tính được S1=4, S2=96, S 3 =712, S 4=6992. Tính tiếp theo công thức (4.5) ta được: p1=-4, p2=- 40 , p3=-56, p4=-20. 4 = 4 43 402 56 20 Do đó 4.2.2 Một số hàm dùng để tính hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận Hàm POLY Cú pháp : p = poly(A) Giải thích. Hàm POLY dùng để tính hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận. Hàm POLY còn dùng đ ể tính hệ số của một đa thức khi biết các nghiệm của nó. - Nếu A là vector, thì p là vector hệ số của đa thức có nghiệm là vector A. - Nếu A là ma trận vuông th ì p là vector h ệ số của đa thức đặc trưng của ma trận A: det(E-A). 98
- Thí dụ 3. Tính hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận: 1 2 3 4 2 1 2 3 A . 3 2 1 2 4 3 2 1 Giải. >> A=[ 1 2 3 4; 2 1 2 3; 3 2 1 2 ; 4 3 2 1]; >> p = poly(A) p= 1.0000 -4.0000 -40.0000 -56.0000 -20.0000 Chú ý: Hàm ROOTS và hàm POLY là hai hàm ngược của nhau. Thí dụ 4. >> x =[ 2 3 4]; >> poly(x) ans = 1 -9 26 -24 >> roots([1 -9 26 -24]) ans = 4.0000 3.0000 2.0000 Hàm TRACE Cú pháp : s = trace (A) Giải thích. Hàm TRACE dùng để tính vết (tổng các phần tử trên đường chéo chính) của một ma trận vuông. Nếu gọi s = trace (A) thì hàm trả sẽ về s là tổng của các phần tử trên đường chéo gốc của ma trận vuông A, đổng thời đó cũng chính là tổng các trị riêng của ma trận A. 99
- Thí dụ 5. >> A=pascal(5); >> trace(A) ans = 99 >> sum(eig(A)) ans = 99.0000 4.3 PHƯƠNG PHÁP LẶP Giả sử ma trận A có một trị riêng trội và các trị riêng được đánh số thứ tự 1 2 3 ... n và họ các vector riêng tương ứng e1, e2,...,en ( ei 1 ) lập thành cơ sở của không gian Rn. Ta cần tính trị riêng có modul lớn nhất 1 . n Khi đó với giả thiết trên, mọi vectơ x(0)Rn đều có khai triển x (0) ci ei . i 1 (k+1) (k) Xét dãy lặp x =Ax k=1,2,... Ta có: n n k x(k)= ci Ak ei = ci k ei = c11 e1 0( 2 ) . k i 1 i 1 Do đó các tích vô hướng: 2 2k k = c1 1 0( 1 2 ) k 1 2 2k k = 1 c1 1 0( 1 2 ) . và k k 1 , x k 2 k x Đặt 1 1 0 . 2 1 x k Rõ ràng 1k 1 n ếu c10. k Để tìm vector riêng tương ứng ta đ ặt: 100
- k k c11 e1 n 0 2 ci ik ei k 1 k c11 k x i 1 . e1 k k k k c11 0 x 2 1 0 2 1 k c e Nếu đặt k= arg(c1 k ) thì 1 1 1 eik e1 . 1 k c11 e1 k k , do đó e e i k e k 0 2 e1 0 2 . k i k Như vậy e1 e 1 1 1 1 Xét m ột trường hợp phức tạp hơn: 1 2 3 ... n , trong đó 1 0 và 2 1 0 là hai trị riêng thực của ma trận A. và k k Khi đó x(k) = c11 e1 c 2 1 e2 0 3 k x(k+2) = c11 2e1 c2 1 k 2 e2 0 3 k 2 k 0 } k k 1 { c11 e1 c2 1 e2 2 k 3 k x k 2 , x k k 2 1 0 3 , Đặt 2 1 x k k k k k k , z1,2 x k 1 1,.2 x . và 1,2 - Nếu k chẵn th ì : k 1 x k 1 k 1 k 1 1 k ) x (k ) c11 1e1 c2 1 ( k e2 0 3 z1 k / 2 c11 e1 c2 1 k e2 0 3 k k 1 0 3 1 k 1 = 2c11 1e1 0 3 k 101
- k 1 k 1 k z1 ei k e1 0 3 , trong đó k arg(c11 1 ) . k và e1 k 1 1 z 1 Tương tự nếu k lẻ thì z2 x k 1 2 x k và k k - k 1 k 1 k z2 eik e2 0 3 k arg(c11 1 ) . k trong đó e2 k 1 1 z 2 4.4 CÁC HÀM TÍNH TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN TRONG MATLAB 4.4.1 Hàm EIG Cú pháp: [V,D] = eig(A,B) Giải thích. Hàm EIG được dùng để tính tất cả các trị riêng và các vector riêng của ma trận. E = eig (A) : Sinh ra một vector E gồm các trị riêng của ma trận vuông A; : Sinh ra ma trận đường chéo D, trên đường chéo là các [V,D] = eig(A) trị riêng của ma trận A và ma trận vuông V gồm các vector riêng tương ứng sao cho AV=VD; : Sinh ra một vector chứa các trị riêng suy rộng của các E = eig (A,B) ma trận vuông A và B sao cho A.V= B.V.D; [V,D] = eig(A,B) : Sinh ra ma trận đường chéo D gồm các trị riêng suy rộng và ma trận vuông V chứa các vectơ riêng tương ứng. Thí dụ 6. Tính tất cả các trị riêng và vector riêng của ma trận: 1 2 3 4 2 1 2 3 A . 3 2 1 2 4 3 2 1 Giải. 102
- >> A=[ 1 2 3 4; 2 1 2 3; 3 2 1 2 ; 4 3 2 1]; >> [ V, D] = eig(A) V= 0.2706 0.4483 0.6533 0.5468 -0.6533 -0.5468 0.2706 0.4483 0.6533 -0.5468 -0.2706 0.4483 -0.2706 0.4483 -0.6533 0.5468 D= -0.5858 0 0 0 0 -1.0990 0 0 0 0 -3.4142 0 0 0 0 9.0990 >> B=pascal(4); >> [ V, D] = eig(A,B) V= -0.3003 -0.9789 -0.7395 -0.4417 0.7258 -0.1382 0.2644 -0.3299 -0.5957 -0.1498 0.5591 -0.4726 0.1678 -0.0168 -0.2659 0.6875 D= -15.7482 0 0 0 0 1.3804 0 0 0 0 -2.2172 0 0 0 0 -0.4150 4.4.2 Hàm EIGS Cú pháp: [V,D,F] = eigs(A,B,K,SIG) Giải thích. Hàm EIGS tính một số trị riêng có modul lớn nhất hoặc nhỏ nhất bằng phương pháp lặp. 103
- Hàm dùng để giải từng b ước bài toán tìm trị riêng Av = v hoặc tìm trị riêng suy rộng theo nghĩa Av = Bv. Tuy nhiên chỉ một vài trị riêng hoặc vector riêng được tính toán. Trong đó A là một ma trận vuông (thực hay phức), là đ ối số bắt buộc phải có. Các đối số còn lại là tu ỳ chọn và có thể như sau: : là một ma trận đối xứng xác định dương, có cùng cỡ với A. Nếu -B B không xác định thì xem B như ma trận đơn vị cùng cấp với A; Còn n ếu B xác định th ì phương pháp phân tích Cholesky đư ợc sử dụng để tính. : là số trị riêng cần tính. Nếu K không xác định th ì K = m in(N,6) -K trị riêng được tính. - S IG : là một số thực hoặc phức hay một xâu gồm 2 chữ cái. Nếu S IG không xác định thì K trị riêng có modul lớn nhất được tính. Nếu SIG=0, thì K trị riêng có modul nhỏ nhất sẽ được tính. Nếu S IG là một số thực hay số phức khác 0 thì K trị riêng gần SIG sẽ được tính và phương pháp phân tích LU đối với A- SIG*B đ ược sử dụng. Nếu SIG là một trong các xâu hai chữ cái sau đây thì các trị riêng cần tính được xác định như sau: SIG Các trị riêng cần tính Modul lớn nhất (Mặc định, Largest Magnitude). ‘LM’ Modul nhỏ nhất (Smallest Magnitude, n hư SIG = 0). ‘SM’ Phần thực lớn nhất (Largest Real part). ‘LR’ Phần thực nhỏ nhất (Smallest Real part). ‘SR’ Tính K/2 trị riêng từ mỗi phía của phổ trị riêng (Both Ends, ‘BE’ thêm 1 từ phía lớn nếu K lẻ). Khi gọi h àm: - với 1 tham số ra th ì D là một vector chứa K trị riêng; - với 2 tham số ra thì D là ma trận đường chéo cấp K và V là một ma trận gồm K cột sao cho A*V=V*D hay A*V=B*V*D; - với 3 tham số ra, F chỉ ra rằng liệu các trị riêng có hội tụ đến sai số cho phép hay không. F = 0 là hội tụ, F = 1 là không hội tụ và F = 2 là thông báo hàm EIGS bị đ ình trệ, nghĩa là hai bước lặp liên tiếp đ ưa đến cùng một kết cục nhưng chưa phải là kết quả mong muốn. 104
- Thí dụ 7. >> A=[ 1 2 3 4; 2 1 2 3; 3 2 1 2; 4 3 2 1]; >> [V,D,F] = eigs(A) iter = 1 eigs = 9.0990 -3.4142 -1.0990 -0.5858 stopcrit = 8.2712e-016 ========================== iter = 2 eigs = 9.0990 -3.4142 -1.0990 -0.5858 stopcrit = 1.7764e-016 ========================== V= -0.5468 -0.6533 0.4483 -0.2706 -0.4483 -0.2706 -0.5468 0.6533 -0.4483 0.2706 -0.5468 -0.6533 -0.5468 0.6533 0.4483 0.2706 D= 105
- 9.0990 0 0 0 0 -3.4142 0 0 0 0 -1.0990 0 0 0 0 -0.5858 F= 0 >> B=pascal(4); >> [ V, D, F] = eigs(A,B,2) V= -0.8770 0.8899 0.1808 -0.2484 0.4146 -0.3522 -0.1622 0.1491 D= 101.5543 0 0 -83.4936 F= 2 4.4.3 Hàm SVD (Singular Value Decomposition: Phân tích trị kì dị) Giả sử A là ma trận thực cấp n thì ATA là ma trận thực đối xứng xác định không âm. Do đó nó có n trị riêng thực khôn g âm. Nếu j là một trị riêng của ma trận ATA thì j còn được gọi là một trị kì dị (Singular Value) của ma trận A. Như vậy nếu A là ma trận thực đối xứng thì một trị kỳ dị của A chính là trị tuyệt đối của một trị riêng của nó. Phân tích trị kỳ dị đư ợc sử dụng để tính chuẩn Euclide của ma trận. Cú pháp: [U,S,V] = svd(A) Giải thích. 106
- : Sinh ra một ma trận đường chéo S, có cùng cỡ với [U,S,V] = svd(A) ma trận A, các phần tử đường chéo đều không âm, sắp xếp giảm dần; Hai ma trận trực giao U và V sao cho A = U*S*V'. : Trả về vector S chứa các trị kì dị. S = svd (A) [U,S,V] = svd (A,0) : Thực hiện sự phân tích “ cỡ tiết kiệm”. Nghĩa là nếu A là một ma trận cỡ m×n và m > n thì chỉ có n cột đầu của ma trận U được tính, và ma trận S sẽ có cỡ nn. Thí dụ 8. >> A=[ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> eig(A) ans = 16.1168 -1.1168 -0.0000 >> svd(A) ans = 16.8481 1.0684 0.0000 >> C=[ 1 2 3 4; 5 6 7 8]; >> svd(C) ans = 14.2274 1.2573 >> [U,S,V] = svd (C,0) U= -0.3762 -0.9266 -0.9266 0.3762 107
- S= 14.2274 0 0 0 0 1.2573 0 0 V= -0.3521 0.7590 -0.5400 0.0917 -0.4436 0.3212 0.7883 0.2803 -0.5352 -0.1165 0.0434 -0.8355 -0.6268 -0.5542 -0.2917 0.4636 Khi A là ma trận thực đối xứng xác định không âm thì trị kỳ dị cũng chính là trị riêng. Thí dụ 9. >> B=pascal(4); >> svd(B) ans = 26.3047 2 .2034 0 .4538 0.0380 >> eig(B) ans = 0.0380 0.4538 2.2034 26.3047 108
- BÀI TẬP A. Cài đặt chương trình và lập hàm 1. Cài đặt h àm Krylov.m tìm hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận vuông theo phương pháp Krylov. Lệnh gọi h àm có dạng: p = Krylov(A) 2. Cài đặt h àm Leverier.m tìm hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận vuông theo phương pháp Leverier. Lệnh gọi h àm có dạng: p = Leverier(A) 3. Giả sử biết được một trị riêng L của ma trận A, hãy cài đ ặt hàm EigVec.m tìm vectơ riêng tươn g ứng của ma trận theo phương pháp Krylov. Lệnh gọi h àm có dạng: V = EigVec(A,L), trong đó : - A là ma trận vuông; - L là trị riêng đ ã biết; - V vector riêng tương ứng cần tìm ( V 1 ). 4. Nếu ma trận A có một trị riêng thực trội. Cài đ ặt h àm tìm trị riêng có modul lớn nhất đó và vector riêng tương ứng của ma trận vuông A theo phương pháp lặp với sai số 10-8. Lệnh gọi h àm có dạng: [L,V] = MaxEig(A), trong đó : - A là ma trận vuông; - L là trị riêng trội cần tính và V là vector riêng tương ứng ( V 1 ). B. Sử dụng các hàm nội trú của Matlab 1. Tìm 3 trị riêng có modul lớn nhất và 2 trị riêng có modul nhỏ nhất của ma trận Ma phương cấp 30. 2. Tính hệ số của đa thức đặc trưng, chu ẩn và số điều kiện loại 2; 109
- Tìm 2 trị riêng có modul lớn nhất của ma trận Hilbert cấp 20. 3 . Tính hệ số của đa thức đặc trưng, tất cả các trị riêng và vector riêng tương ứng của các ma trận: 1 1 1 3 0 1 3 4 5 0 1 4 1 2 2 0 1 3 23 0 8 1 3 A , B , C . 3 1 0 2 3 1 6 7 3 2 1 5 3 5 1 1 3 2 0 9 0 7 2 4 4. Tính h ệ số của đa thức đặc trưng, chu ẩn và số điều kiện loại + của ma trận vuông cấp 50 có dạng: 4 2 0 0 ... 0 0 0 1 4 2 0 ... 0 0 0 0 0 1 4 2 ... 00 0. A0 0 1 4 ... 00 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 1 4 2 0 4 0 0 0 ... 0 1 5. Tìm ma trận P làm chéo hoá ma trận : 2 1 0 3 3 1 1 1 2 1 11 1 3 1 1 A . , B -1 2 3 1 1 1 3 1 0 1 2 1 1 1 1 3 6. Tìm ma trận P làm chéo hoá trực giao ma trận: 1 2 3 4 2 1 1 2 1 2 3 A 1 2 1 , B . 3 2 1 2 1 1 2 4 3 2 1 110
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
GIÁO TRÌNH CƠ SỞ KHOA HỌC MÔI TRƯỜNG part 2
19 p | 366 | 129
-
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 3
31 p | 309 | 91
-
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 5
24 p | 304 | 86
-
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 1
21 p | 248 | 74
-
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 9
17 p | 334 | 67
-
Giáo trình tính toán thiết kế - Chương 7
14 p | 186 | 54
-
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 8
23 p | 154 | 45
-
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 10
6 p | 163 | 41
-
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 7
40 p | 150 | 38
-
Giáo trình tính toán thiết kế - Chương 2
9 p | 142 | 28
-
Giáo trình tính toán thiết kế - Chương 4
25 p | 98 | 20
-
Giáo trình tính toán thiết kế - Chương 5
29 p | 111 | 19
-
Giáo trình tính toán thiết kế - Chương 3
27 p | 87 | 9
-
Giáo trình tính toán thiết kế - Chương 10
13 p | 120 | 8
-
Giáo trình tính toán thiết kế - Chương 1
13 p | 91 | 7
-
Giáo trình Tính toán khoa học: Phần 2
205 p | 10 | 3
-
Giáo trình Tính toán khoa học: Phần 1
198 p | 11 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn