93
Chương 4
TÍNH TRỊ RIÊNG VÀ
VECTOR RIÊNG CỦA MA TRẬN
4.1 MỞ ĐẦU
Cho một ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại một số và một vector x0 sao
cho Ax=x thì được gọi là trị riêng của ma trận A và x được gọi là vectơ riêng
của A ứng với trị riêng .
Có nhiều bài toán ứng dụng trong cơ học và vật lí được qui dẫn về việc tìm
trị riêng và vector riêng của ma trận. Trong các bài toán tìm trị riêng và vectơ
riêng của ma trận người ta chia ra làm 2 loại:
- Bài toán nhỏ: tìm các trị riêng có modul lớn nhất và nhỏ nhất của ma trận
và các vector riêng tương ứng. Bài toán này đến nay đã giải được cho ma trận có
cỡ n= 0(106).
- Bài toán lớn: tìm tất cả các trị riêng và vector riêng của một ma trận. Bài
toán này đến nay đã giải được cho ma trận có cỡ n=0(102).
Giải bài toán tìm trị riêng và vector riêng theo phương pháp đại số:
- Đầu tiên phải giải phương trình đặc trưng của ma trận A:
det(E-A) =0
để tìm các trị riêng .
- Sau đó thế vào hệ phương trình thuần nhất:
Ax=x hay (E-A)x = 0
để tìm vector riêng tương ứng.
Chú ý rằng đa thức đặc trưng của ma trận là đa thức bậc cao (bằng cấp của
ma trận A) đối với . Mặt khác do hệ phương trình thuần nhất (E-A )x =0 có
ma trận hệ số suy biến và do đó tập nghiệm của hệ là không gian con của Rn, nên
không thể giải bằng các phương pháp đã trình bày trong chương 3.
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp:
- Phương pháp trực tiếp: dùng các phép biến đổi tương đương đưa ma trận
A về ma trận có cấu trúc đơn giản hơn để dễ dàng tìm đa thức đặc trưng và các
vectơ riêng.
94
- Phương pháp lặp: khuếch đại sự khác biệt về modul của các trị riêng bằng
luỹ thừa bậc cao.
4.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP
4.2.1 Phương pháp Krylov
Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng là:
1
0
( )
n
n k
n n k
k
p
.
Do
n(A)= det(E-A), nên theo định lí Haminton-Kelly ta có
n(A)=0. Xét
dãy lặp vk+1= Avk , với k=
0, 1
n
và vector ban đầu v0 ≠ 0 tuỳ ý của Rn, ta có:
n(A)v0=
1
0
n
n n k k
k
v p v
= 0 (4.1)
Do đó các hệ số pi chính là nghiệm của hệ phương trình (4.1). Việc giải hệ
phương trình (4.1) để tìm các hệ số pi gọi là các phương pháp trực tiếp. Tuy
nhiên nếu ma trận A có trị riêng bội thì hệ phương trình (4.1) suy biến với mọi
vector v0. Do đó phương pháp trực tiếp không ổn định. Một thay đổi nhỏ hệ số có
thể làm cho hệ vô nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình cũng không ổn định nếu
các trị riêng của ma trận A có modul gần nhau. Vì vậy khả năng ứng dụng của
các phương pháp này không lớn.
Để xây dựng hệ phương trình đại số tuyến tính (4.1) ta làm như sau:
Đặt vk =
1 2
, ,...,
T
k k k
n
v v v , k= n,1 .
Từ (4.1) ta có
1
0
n
k n
n k j j
k
p v v
, với j= n,1 .
Hoặc
1 2 0
1 1 1 1
1
1 2 0 2
2 2 2 2
1 2 0
...
...
...
... ... ... ...
...
n n n
n n n
n n n
n
n n n n
v v v v
p
p
v v v v
p
v v v v
. (4.2)
Vì vk+1 =Avk nên
1
1
n
k k k
i ij j
ij
v Av a v
với
i 1,n , 0, 1
k n
. (4.3)
95
Quá trình tính toán của phương pháp Krylov
- Chọn v0
tuỳ ý, sau đó lần lượt tính
k
j
v , j 1,n ; k 1,n
theo (4.3).
- Giải hệ (4.2) để tính các hệ số pk , k= n,1 . của phương trình đặc trưng.
Nếu hệ phương trình (4.2) không duy nhất nghiệm thì bài toán trở nên phức tạp.
Để khắc phục, thông thường người ta chọn v(0) mới và tính toán lại.
- Sau khi tính được các hệ số pk , giải phương trình đặc trưng 0)(
n
để tìm các trị riêng .,1, ni
i
- Tìm các vector riêng : Giả sử phương trình đặc trưng có n trị riêng phân
biệt .,1, ni
i
( ji
), khi đó trong Rn tồn tại một cơ sở gồm n vector riêng
n
ii
e1
}{ tương ứng. Phân tích vo theo cơ sở vừa nêu : vo=
1
n
j j
j
e
. Vì vậy:
vk = Akv0 =
1 1
n n
k k
j j j j j
j j
A e e
, k=1,2…
Bây giờ ta đặt
( ) n
i
i
. Do i là một nghiệm của
( )
n
nên
( )
i
là
một đa thức bậc n-1 của :
( )
i
in
n
i
nqq ,1
2
,1
1...
=
1
1,
0
n
k
n k i
k
q
Từ
( ) ( ) ( )
n i i
hay
1
0
n
n k
n k
k
p
( i
)
1
1,
0
n
k
n k i j
k
q
suy ra các hệ số qji có thể được tính theo sơ đồ Horner như sau:
jijiji
i
pqq
q
,1
01
.
Ta có
0
vA
i
vn-1+q1,ivn-2+...+qn-1,iv0
=
1 1
1, 1,
0 0 1
n n n k
n k i k n k i j j j
k k j
q v q e
1
1,
1 0 1
n n n
k
j n k i j j j i j j
j k j
q e e
.
96
Chú ý rằng
0 khi i
' 0 khi i j
i j n i
j
(4.4)
nên
0
vA
i
n
jjjij e
1
=
iiii e
.
Từ đó suy ra nếu 0
i
thì:
0
vA
i
vn-1+q1,ivn-2+...+qn-1,iv0
là một vector riêng của ma trận A tương ứng với trị riêng i
.
Thí dụ 1. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận theo phương pháp Krylov:
1234
2123
3 2 1 2
4 3 2 1
A
.
Giải. Chọn 0
1
0
0
0
v
. Tính vk=Avk-1 ta có:
12 3 4
1 30 208 2108
2 22 178 1704
, , ,
3 18 192 1656
4 20 242 1992
v v v v
.
Xây dựng được hệ phương trình:
1
2
3
4
208 30 1 1 2108
178 22 2 0 1704
192 18 3 0 1656
242 20 4 0 1992
p
p
p
p
.
Giải hệ phương trình trên ta được : p1 = -4, p2=-40, p3=- 56 , p4=-20 .
Từ đó đa thức đặc trưng của ma trận A là:
4 =
20
56
40
4
234
.
97
Để tìm nghiệm của đa thức
4 trong Matlab, có thể làm như sau:
>> p=[ 1 -4 -40 -56 -20];
>> roots (p) %% Tính các trị riêng
ans=
9.0990
-3.4142
-1.0990
-0.5858
4.2.2 Phương pháp Leverier
Phương pháp Leverier dùng để tính các hệ số của đa thức đặc trưng của một
ma trận vuông. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n và đa thức đặc trưng là:
1 2
1 2
( ) ...
n n n
n n
p p p
có các nghiệm ni
i,1,
kể cả bội. Đặt Sk =
n
i
k
i
1
, với nk ,0.
Theo công thức Newton ta có :
Sk + p1Sk-1+ p2Sk-2 + ...+ pk-1S1 = - kpk , với nk ,1
hay
1 1
2 2 1 1
1 1 1 1
1
2
...
1...
n n n n
p S
p S p S
p S p S p S
n
. (4.5)
Các hệ số Sk được tính theo công thức Sk =Trace(Ak) (Trace là hàm vết của
ma trận) với nk ,1.
Quá trình tính toán của phương pháp Leverier
- Tính Ak , Sk =Trace(Ak) =
n
i
k
ii
a
1
với nk ,1;
- Tính các pi,với ni ,1 theo công thức (4.5).