Giúp h c sinh phát hi n và tránh sai l mọ ệ ầ
trong khi gi i toán v căn b c haiả ề ậ
I – C s th c ti n c a sáng ki n kinh nghi m :ơ ở ự ễ ủ ế ệ
a) Nh c l i m t s tính ch t c a lu th a b c hai :ắ ạ ộ ố ấ ủ ỹ ừ ậ
- Bình ph ng hay lu th a b c hai c a m i s đu không âm.ươ ỹ ừ ậ ủ ọ ố ề
- Hai s b ng nhau ho c đi nhau có bình ph ng b ng nhau và ng c l i n uố ằ ặ ố ươ ằ ượ ạ ế
hai s có bình ph ng b ng nhau thì chúng b ng nhau ho c đi nhau.ố ươ ằ ằ ặ ố
- V i hai s a,b : N u a>b thì aớ ố ế 2 > b2 và ng c l i n u aượ ạ ế 2 > b2 thì a >b.
- Bình ph ng c a m t tích (ho c m t th ng) b ng tích (ho c th ng) cácươ ủ ộ ặ ộ ươ ằ ặ ươ
bình ph ng các th a s (ho c s b chia v i bình ph ng s chia).ươ ừ ố ặ ố ị ớ ươ ố
b) Căn b c hai c a m t s :ậ ủ ộ ố
* Xét bài toán : Cho s th c a. Hãy tìm s th c x sao cho xố ự ố ự 2 = a. Ta th y :ấ
- N u a< 0 thì không t n t i s th c x nào tho mãn xế ồ ạ ố ự ả 2 =a
- N u a > 0 có hai s th c x mà xế ố ự 2=a, m t s th c d ng xộ ố ự ươ 1>0 mà x12=a và m tộ
s th c âm xố ự 2<0 mà x22=a, h n n a đó là hai s đi nhau.ơ ữ ố ố
* Công nh n : Ng i ta ch ng minh đc r ng v i m i s th c a ≥ 0 luôn luônậ ườ ứ ượ ằ ớ ọ ố ự
t n t i s th c duy nh t x≥ 0 mà xồ ạ ố ự ấ 2 =a. Ta ký hi u x =ệ
a
và g i là căn b c hai sọ ậ ố
h c c a a.ọ ủ
* T đó đa ra đnh nghĩa : căn b c hai s h c (CBHSH) c a m t s a ≥ 0 là sừ ư ị ậ ố ọ ủ ộ ố ố
không âm x =
a
≥ 0 có bình ph ng b ng a :ươ ằ
aax
x
ax 22 )(
0
* Đa ra chú ý : a) S ư ố
a
<0, s đi c a CBHSH ố ố ủ
a
c a a (a>0) đc g i làủ ượ ọ
căn b c hai âm c a a. Nh v y m i s th c a> 0 có 2 căn b c hai là hai s đi nhau :ậ ủ ư ậ ỗ ố ự ậ ố ố
0a
g i là CBHSH hay còn g i là căn b c hai d ng c a a.ọ ọ ậ ươ ủ
0 a
g i là căn b c hai âm c a a.ọ ậ ủ
b) Căn b c hai s h c có th coi là k t qu c a phép toán sau :ậ ố ọ ể ế ả ủ
:)(
R+ R→+
a →
a
sao cho
aa
2
)(
phép toán đó g i là phép khai ph ng hayọ ươ
phép khai căn b c hai trên Rậ+, đó là phép toán ng c c a phép bình ph ng trên Rượ ủ ươ +.
4. Cách trình bày căn b c hai l p 9 (SGK m i) :ậ ở ớ ớ
a) Đa ra ki n th c đã bi t l p 7 :ư ế ứ ế ở ớ
- Căn b c hai c a m t s a không âm là s x sao cho xậ ủ ộ ố ố 2=a.
- S d ng a có đúng hai căn b c hai là hai s đi nhau : s d ng kí hi u làố ươ ậ ố ố ố ươ ệ
a
và s âm kí hi u là -ố ệ
a
- S 0 có đúng m t căn b c hai là chính s 0, ta vi t ố ộ ậ ố ế
0
= 0.
b) Đa ra đnh nghĩa : V i s d ng a, s ư ị ớ ố ươ ố
a
đc g i là căn b c hai s h cượ ọ ậ ố ọ
c a a. S 0 cũng đc g i là căn b c hai s h c c a 0.ủ ố ượ ọ ậ ố ọ ủ
c) Đa ra chú ý : V i a≥ 0, ta có :ư ớ
N u x=ế
a
thì x ≥ 0 và x2 =a;
N u x ≥ 0 và xế2 =a thì x=
a
. Ta vi t : ế
.
,0
2ax
x
ax
d) Đa ra n i dung v phép khai ph ng : Phép toán tìm căn b c hai s h c c aư ộ ề ươ ậ ố ọ ủ
s không âm g i là phép khai ph ng.ố ọ ươ
e) Khi bi t căn b c hai s h c c a m t s , ta d dàng xác đnh đc các cănế ậ ố ọ ủ ộ ố ễ ị ượ
b c hai b c hai c a nó.ậ ậ ủ
II - T ng h p nh ng n i dung c b n v căn b c hai :ổ ợ ữ ộ ơ ả ề ậ
1. Ki n th cế ứ :
N i dung ch y u v căn b c hai đó là phép khai ph ng (phép tìm căn b c haiộ ủ ế ề ậ ươ ậ
s h c c a s không âm) và m t s phép bi n đi bi u th c l y căn b c hai.ố ọ ủ ố ộ ố ế ổ ể ứ ấ ậ
* N i dung c a phép khai ph ng g m :ộ ủ ươ ồ
- Gi i thi u phép khai ph ng(thông qua đnh nghĩa, thu t ng v căn b c haiớ ệ ươ ị ậ ữ ề ậ
s h c c a s không âm)ố ọ ủ ố
- Liên h c a phép khai ph ng v i phép bình ph ng(v i a≥0, có ệ ủ ươ ớ ươ ớ
;
v i a b t k có ớ ấ ỳ
)
- Liên h phép khai ph ng v i quan h th t (SGK th hi n b i Đnh lý v soệ ươ ớ ệ ứ ự ể ệ ở ị ề
sánh các căn b c hai s h c : “V i a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ậ ố ọ ớ
ba
”)
- Liên h phép khai ph ng v i phép nhân và phép chia(th hi n b i : đnh lý “ệ ươ ớ ể ệ ở ị
V i a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ớ
baab
” và đnh lý “ V i a ≥ 0, b > 0, ta có : ị ớ
b
a
b
a
”)
* Các phép bi n đi bi u th c ch a căn b c hai mà SGK gi i thi u cho b i cácế ổ ể ứ ứ ậ ớ ệ ở
công th c sau : ứ
2
A
= | A| (v i A là bi u th c đi s hay nói g n là bi u th c )ớ ể ứ ạ ố ọ ể ứ
BAAB
( v i A, B là hai bi u th c mà A ≥ 0, B ≥ 0)ớ ể ứ
B
A
B
A
( v i A, B là hai bi u th c mà A ≥ 0, B > 0)ớ ể ứ
BABA ||
2
( v i A, B là hai bi u th c mà B ≥ 0 )ớ ể ứ
AB
BB
A1
( v i A, B là hai bi u th c mà AB ≥ 0, B ≠ 0 )ớ ể ứ
B
BA
B
A
( v i A, B là bi u th c và B > 0)ớ ể ứ
2
)(
BA
BAC
BA
C
(v i A, B, C là bi u th c mà A≥ 0 và A ≠ Bớ ể ứ 2)
BA
BAC
BA
C
)(
( v i A, B, C là bi u th c mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )ớ ể ứ
* Tuy nhiên m c đ yêu c u đi v i các phép bi n đi này là khác nhau và chứ ộ ầ ố ớ ế ổ ủ
y u vi c gi i thi u các phép này là nh m hình thành k năng bi n đi bi uế ệ ớ ệ ằ ỹ ế ổ ể
th c( m t s phép ch gi i thi u qua ví d có kèm thu t ng . M t s phép g n v iứ ộ ố ỉ ớ ệ ụ ậ ữ ộ ố ắ ớ
trình bày tính ch t phép tính khai ph ng).ấ ươ
2. K năng : ỹ
Hai k năng ch y u là k năng tính toán và k năng bi n đi bi u th c.ỹ ủ ế ỹ ỹ ế ổ ể ứ
* Có th k các k năng v tính toán nh :ể ể ỹ ề ư
- Tìm khai ph ng c a m t s ( s đó có th là s chính ph ng trong kho ngươ ủ ộ ố ố ể ố ươ ả
t 1 đn 400 ho c là tích hay th ng c a chúng, đc bi t là tích ho c th ng c aừ ế ặ ươ ủ ặ ệ ặ ươ ủ
s đó v i s 100)ố ớ ố
- Ph i h p k năng khai ph ng v i k năng c ng tr nhân chia các s ( tínhố ợ ỹ ươ ớ ỹ ộ ừ ố
theo th t th c hi n phép tính và tính h p lý có s d ng tính ch t c a phép khaiứ ự ự ệ ợ ử ụ ấ ủ
ph ng)ươ
* Có th k các k năng v bi n đi bi u th c nh :ể ể ỹ ề ế ổ ể ứ ư
- Các k năng bi n đi riêng l t ng ng v i các công th c nêu ph nỹ ế ổ ẻ ươ ứ ớ ứ ở ầ
trên( v i công th c d ng A = B , có th có phép bi n đi A thành B và phép bi n điớ ứ ạ ể ế ổ ế ổ
B thành A). Ch ng h n k năng nhân hai căn(th c) b c hai có th coi là v n d ngẳ ạ ỹ ứ ậ ể ậ ụ
công th c ứ
BAAB
theo chi u t ph i qua trái.ề ừ ả
- Ph i h p các k năng đó( và c nh ng k năng có trong nh ng l p tr c) đố ợ ỹ ả ữ ỹ ữ ớ ướ ể
có k năng m i v bi n đi bi u th c ch a căn th c b c hai. Ch ng h n k năngỹ ớ ề ế ổ ể ứ ứ ứ ậ ẳ ạ ỹ
tr c căn th c m u.ụ ứ ở ẫ
Đi u quan tr ng nh t khi rèn luy n các k năng bi n đi bi u th c là tính m cề ọ ấ ệ ỹ ế ổ ể ứ ụ
đích c a các phép bi n đi. Đi u này, SGK chú ý thông qua các ng d ng sau khiủ ế ổ ề ứ ụ
hình thành ban đu k năng v bi n đi bi u th c. Các ng d ng này còn nh mầ ỹ ề ế ổ ể ứ ứ ụ ằ
phong phú thêm cách th c rèn k năng( đ so sánh s , gi i toán tìm x tho mãn đi uứ ỹ ể ố ả ả ề
ki n nào đó.)ệ
Ngoài hai k năng nêu trên ta còn th y có nh ng k năng đc hình thành vàỹ ở ấ ữ ỹ ượ
c ng c trong ph n này nh :ủ ố ầ ư
- Gi i toán so sánh s ả ố
- Gi i toán tìm xả
- L p lu n đ ch ng t s nào đó là căn b c hai s h c c a m t s đã choậ ậ ể ứ ỏ ố ậ ố ọ ủ ộ ố
- M t s l p lu n trong gi i toán so sánh s (c ng c tính ch t b t đng th cộ ố ậ ậ ả ố ủ ố ấ ấ ẳ ứ
nêu toán 8)ở
- M t s k năng gi i toán tìm x ( k c vi c gi i ph ng trình tích)ộ ố ỹ ả ể ả ệ ả ươ
- K năng tra b ng s và s d ng máy tính. ỹ ả ố ử ụ
Có th nói r ng, hình thành và rèn luy n k năng chi m th i gian ch y u c aể ằ ệ ỹ ế ờ ủ ế ủ
ph n ki n th c này( ngay c vi c hình thành ki n th c cũng chú ý đn các k năngầ ế ứ ả ệ ế ứ ế ỹ
t ng ng và nhi u khi, ch ng h n nh gi i thi u phép bi n đi, ch thông qua hìnhươ ứ ề ẳ ạ ư ớ ệ ế ổ ỉ
thành k năng).ỹ
2. Đi m khó v ki n th c so v i kh năng ti p thu c a h c sinhể ề ế ứ ớ ả ế ủ ọ :
- N i dung ki n th c phong phú, xu t hi n dày đc trong m t ch ng v i sộ ế ứ ấ ệ ặ ộ ươ ớ ố
ti t không nhi u nên m t s ki n th c ch gi i thi u đ làm c s đ hình thành kế ề ộ ố ế ứ ỉ ớ ệ ể ơ ở ể ỹ
năng tính toán, bi n đi. Th m chí m t s ki n th c ch nêu d ng tên g i màế ổ ậ ộ ố ế ứ ỉ ở ạ ọ
không gi i thích (nh bi u th c ch a căn b c hai, đi u ki n xác đnh căn th c b cả ư ể ứ ứ ậ ề ệ ị ứ ậ
hai, ph ng pháp rút g n và yêu c u rút g n )ươ ọ ầ ọ
- Tên g i ( thu t ng toán h c ) nhi u và r nh m l n, t o nguy c khó hi uọ ậ ữ ọ ề ễ ầ ẫ ạ ơ ể
khái ni m (ch ng h n nh căn b c hai, căn b c hai s h c, khai ph ng, bi u th cệ ẳ ạ ư ậ ậ ố ọ ươ ể ứ
l y căn, nhân các căn b c hai, kh m u, tr c căn th c).ấ ậ ử ẫ ụ ứ
III - Nh ng sai l m th ng g p khi gi i toán v căn b c hai :ữ ầ ườ ặ ả ề ậ
Nh đã trình bày trên thì h c sinh s m c vào hai h ng sai l m ch y uư ở ọ ẽ ắ ướ ầ ủ ế
sau :
1. Sai l m v tên g i hay thu t ng toán h cầ ề ọ ậ ữ ọ :
a) Đnh nghĩa v căn b c hai :ị ề ậ
* l p 7 : - Đa ra nh n xét 3ở ớ ư ậ 2=9; (-3)2 =9. Ta nói 3 và -3 là các căn b c hai c aậ ủ
9.
- Đnh nghĩa : Căn b c hai c a m t s a không âm là s x sao cho xị ậ ủ ộ ố ố 2 =a.
- S d ng a có đúng hai căn b c hai, m t s d ng ký hi u là ố ươ ậ ộ ố ươ ệ
a
và m t sộ ố
âm ký hi u là-ệ
a
.
* l p 9 ch nh c l i l p 7 r i đa ra đnh nghĩa căn b c hai s h c.ở ớ ỉ ắ ạ ở ớ ồ ư ị ậ ố ọ
b) Đnh nghĩa căn b c hai s h c :ị ậ ố ọ
V i s d ng a, s ớ ố ươ ố
a
đc g i là căn b c hai s h c c a a.ượ ọ ậ ố ọ ủ
Sau đó đa ra chú ý : v i a ≥ 0, ta có :ư ớ
N u x = ế
a
thì x ≥ 0 và x2 =a;
N u x ≥ 0 và xế2 =a thì x =
a
. Ta vi tế
x=
a
2
0x
x a
=
Phép toán tìm căn b c hai s h c c a s không âm g i là phép khai ph ngậ ố ọ ủ ố ọ ươ
(g i t t là khai ph ng).ọ ắ ươ
⋆ Nguy c d n đn h c sinh có th m c sai l m chính là thu t ng “ căn b cơ ẫ ế ọ ể ắ ầ ậ ữ ậ
hai” và"căn b c hai s h c”. ậ ố ọ
Ví d 1 :ụ Tìm các căn b c hai c a 16.ậ ủ
Rõ ràng h c sinh r t d dàng tìm ra đc s 16 có hai căn b c hai là hai s điọ ấ ễ ượ ố ậ ố ố
nhau là 4 và - 4.
Ví d 2ụ : Tính
16
H c sinh đn đây s gi i sai nh sauọ ế ẽ ả ư :
16
= 4 và - 4 có nghĩa là
16
=
4
Nh v y h c sinh đã tính ra đc sư ậ ọ ượ ố
16
có hai căn b c hai là hai s đi nhau là :ậ ố ố
16
=4 và
16
= -4
Do đó vi c tìm căn b c hai và căn b c hai s h c đã nh m l n v i nhau.ệ ậ ậ ố ọ ầ ẫ ớ
L i gi i đúngờ ả :
16
= 4 ( có th gi i thích thêm vì 4 > 0 và 4ể ả 2 = 16)
Trong các bài toán v sau không c n yêu c u h c sinh ph i gi i thích.ề ầ ầ ọ ả ả
c) So sánh các căn b c hai s h c :ậ ố ọ
V i hai s a và b không âm, ta có a < b ớ ố
ba
Ví d 3 :ụ so sánh 4 và
15
H c sinh s loay hoay không bi t nên so sánh chúng theo hình th c nào vì theoọ ẽ ế ứ
đnh nghĩa s ị ố
15
chính là căn b c hai s h c c a 15 do đó n u đem so sánh v i s 4ậ ố ọ ủ ế ớ ố
thì s 4 có hai căn b c hai s h c là 2 và -2 cho nên v i suy nghĩ đó ố ậ ố ọ ớ h c sinh s đaọ ẽ ư
ra l i gi i sai nh sauờ ả ư : 4 <
15
(vì trong c hai căn b c hai c a 4 đu nh h n ả ậ ủ ề ỏ ơ
15
).
T t nhiên trong cái sai này c a h c sinh không ph i các em hi u nh m ngay sauấ ủ ọ ả ể ầ