Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549
Híng dÉn gi¶i ®Ò thi häc sinh giái thõa thiªn huÕ n¨m häc 2017 - 2018. (Lêi gi¶i gåm 07 trang)
y
,
H
.
m
C©u 1: (4,0 ®iÓm) Cho hµm sè
1,m
,Ox Oy lÇn lît t¹i hai ®iÓm A vµ
x m 2 mx 1 hµm sè ®· cho cã ®å thÞ
1H c¾t hai trôc
.OAB
0m
.B TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c b) Chøng minh r»ng víi mäi
a) Khi
x m t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
,
,Ox Oy lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm
S
mH c¾t ®êng th¼ng H cè ®Þnh. §êng .
S 3
,C D thuéc mét ®êng .M N T×m m ®Ó
: y 2 2 d d c¾t th¼ng
OMN
OCD
th× ®å thÞ hµm sè
H
y
.
1,m
1
Ox
1
a) Khi . . hµm sè ®· cho trë thµnh: Híng dÉn gi¶i: x 1 2 x 1
A
B
OA
;
OB
1.
0; 1
1 2
1 2
H
B
Oy
;0 ,
A H
1
Gäi
OA OB .
.1
OABS
1 4
1 1 . 2 2 d lµ:
x m 2
2
I ( )
x m
2
2
x m mx
2
2 x m mx 1
1
1 2 mH vµ b) Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña mx 1 0
x
x
I ( )
(®vdt). Tam gi¸c OAB vu«ng t¹i O nªn:
0m
2
2
2
1 m 2
1 m 2
2
mx
m x m
0
2
x
mx
1 0 (*)
2
Víi th× . .
2.
m 2 .
1
1 0,
m
0
m
2 2 0,
m
0
1 m
1 m
Ph¬ng tr×nh (*) cã vµ:
m
0
2 2 m 1 m
Suy ra ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt ®Òu kh¸c .
m
0
mH vµ
d lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. x m 2
x 1
.
,x x lµ 2 nghiÖm cña (*), theo ®Þnh lÝ Vi-Ðt th×:
VËy th×
2
x 2
x x 1 2
1 x 2 1
1 2
;
;
*Gäi 1
C x y D x y ,
1
1
2
2
Gäi lµ 2 giao ®iÓm cña
2
2
m
2
2
2
2.
y 1
x 1
x 1
x 1
x 2
x 2
1 x 2 1
1 x 1
d . mH vµ
Ta cã: .
y
H
.
.
,C D n»m trªn ®å thÞ hµm sè
y 2
1 x
1 x 2
T¬ng tù VËy hai ®iÓm (§PCM)
1
Ox
Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018
N
0; 2
OM m ON
;
2
m
2
m
.
M m
; 0 ,
m
Oy
N
2
*Ta cã:
OM ON .
m m m .
.2
OMNS
M d d 1 2
1 2
4
4 x 1
4 x 2
1
x x 1 2
4 x 2
Khi ®ã
OC OD .
2 x 1
2 x 2
4 x 1 2
1 2 x 1
1 2 x 2
1 2 2 x x 1 2
1
x x 1 2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
m
m
2
m
.
4 x 1
4 x 2
2 x 1
2 x 2
x x 1 2
x 1
x 2
x x 1 2
x x 1 2
1
1 2
1 2
4
2
Ta cã
4
2
4
2
1 m 2 m 1 2 1 16 OC OD . 4 m m 8 . VËy 25 4 1 4
S
3
S
4
m
m 8
2 m 3
OMN
OCD
25 4
1 2
4
2
2
Ta cã
128 m 32 m 25 0 m m . 2 3 6 16 2 3 6 4
1
C©u 2: (4,0 ®iÓm)
4 cos
.
4
x
cos
x
sin
x
2
1 3 2
3
2
2
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:
5 1
1
x
x
4
x
25
x
x
0.
18 ,
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:
Híng dÉn gi¶i:
k
x
tan
x
cos
x
sin
x
0
x
sin
x
k
k
2 2 cos
sin 2
x
1 sin
x
1 cos
x
2 2 sin cos
x
x
1
1 1 2
k
4 8 3 8
x 0 cos x 0 2 x k k . a) §iÒu kiÖn cos x 0 2 sin 0 x 3 2 sin Víi ®iÒu kiÖn ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi:
x
k ;
x
k ;
x x 4
8
§èi chiÕu víi §K ta ®îc ph¬ng tr×nh cã 3 hä nghiÖm lµ:
x
k
k
3 8
.
2
3
4
3
2
Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549 b) C¸ch 1: §a vÒ hµm ®Æc trng. Ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi:
3
4
2
3
4 x 25 x 18 x
2
3
2
2
3
x 5 1 x 4 x 18 x 20
3
5 1
x
0
x 5 1 x 2 x 4 2 x 4 (*) 5 5 1 25 1 25 1 x
2
2
x
4 0
a b
2
2
a
a
b
b
a
0
b .
a b a b
1
3
2
2
2
5 1
x
2
x
4
5 (1
x
)(1
x
x
)
2(1
x
) 2(1
x
x
)
*§Æt khi ®ã PT(*) trë thµnh:
2
1
x
2 1
x
x
5
37
2
x
5
x
3 0
x
x
0
*Víi a b ta cã:
2
2
2 1
x
1
x
x
.
3
4
3
2
(1)
5 1
x
x
4
x
25
x
18
x
x
10 1
5 10 1
2
4
3
2
5 1
x
1
x
x
2 1
x
4
x
25
x
18
x
10
x
15
C¸ch 2: Nh©n liªn hîp.
2
x
5
x
3
2
2
5 1
x
.
x
5
x
x
5
x
5
3 4
2
x
1
x
2 1
x
5
37
2
x
5
x
3 0
x
2
x
2
4
x
5
x
5
(**)
5 1 2
1
x
x
2 1
x
2
1
x
2 1
x
x
2
(**)
4
x
5
x
3
2
2 1
x
1
x
2
4
x
5
x
3
2
4
x
5
x
3
2
2
2 1
x
x
x
1
2 1
x
x
x x
1
Ta cã:
2
x 4
5
x
3 0
VN (
)
3
2
y
3
y
x
4
y
2 0
(1)
C©u 3: (4,0 ®iÓm)
x y ,
.
3
x
3 2
x
x
2
y
(2)
3 x
a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:
b) Cã 30 tÊm thÎ ®îc ®¸nh sè tõ 1 tíi 30. Rót ngÉu nhiªn 3 thÎ. TÝnh x¸c xuÊt ®Ó tæng sè ghi trªn 3 thÎ chia hÕt cho 3.
x
2;
y
.
3
3
2
(1)
3
x
x
y
3
y
4
y
3 x
2
x
y
y
Híng dÉn gi¶i: a) §iÒu kiÖn
1
1
Ta cã:
3
3
x
y
x
y
0
1
2
2
x
y
x
x y (
1)
y
0
1
1
1
y
x
1.
3
y
x
1
Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018 3 1
3 2
x
x
2
x
1
x
2
x
2
3
2
3
4 2
x
x
x
8 2
2
x
2 4
x
2
x
2
x
4
x
2 2
2
x
2
x
2
x
4
(*)
2 x
2
2
Thay vµo (2) ta cã:
2 x
VT
(*)
x
3 3;
VP
(*)
1
2 1
x y ;
x
2
y
3.
Víi mäi ta cã nªn PT(*) v« nghiÖm.
2 2 x 2;3 .
2
n
Víi VËy hÖ ®· cho cã 1 nghiÖm lµ:
3 C . 30
3
b) Gäi A lµ biÕn cè: “Rót ngÉu nhiªn 3 thÎ mang c¸c sè cã tæng chia hÕt cho 3”. Ta cã
3
*Ta chia 30 thÎ ®îc ®¸nh sè tõ 1 tíi 30 lµm 3 lo¹i sau: Lo¹i 1: 10 thÎ mang sè chia cho 3 d 1; Lo¹i 2: 10 thÎ mang sè chia cho 3 d 2; Lo¹i 3: 10 thÎ mang sè chia hÕt cho 3; *Rót 3 thÎ mang sè cã tæng chia hÕt cho 3 x¶y ra c¸c trêng hîp sau: TH1: 3 thÎ ®ã ®Òu lµ thÎ lo¹i 1 cã:
3
TH2: 3 thÎ ®ã ®Òu lµ thÎ lo¹i 2 cã:
TH3: 3 thÎ ®ã ®Òu lµ thÎ lo¹i 3 cã:
C 3
3 10
.
c¸ch.
P A
68 203
n
10C c¸ch 10C c¸ch 10C c¸ch TH4: 3 thÎ ®ã gåm 1 thÎ lo¹i 1; 1 thÎ lo¹i 2 vµ 1 thÎ lo¹i 3 th× cã: 10.10.10 1000
n A
1000 3 C 30
X¸c suÊt cña biÕn cè A lµ:
2
2
C©u 4: (3,0 ®iÓm)
C
y
2
5
M
,Oxy cho ®êng trßn
6; 2 .
1 .C
,A B sao cho
x : a) Chøng minh ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M c¾t
C t¹i hai ®iÓm
2
2
MA MB
50.
Trong mÆt ph¼ng täa ®é vµ ®iÓm
5.
I
C cã t©m
1; 2 ,
b¸n kÝnh Híng dÉn gi¶i: R
IM
5
5
R VËy ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn .
C .
.AB Ta cã
IH AB .
5; 0 b) Gäi H lµ trung ®iÓm cña
a) §êng trßn IM Ta cã:
4
Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549
I
d
H
A
M
B
2
2
2
2
2
2
2
MA MB
MH HA
MH HB
2
MH HA HB .
2
2
2
2
2
2
HA
2 IM IH
2
IA
IH
MH
2
2
2
MH
HA HB
2
2
2
2
IM
2
IA
4
IH
2
2
50 10 4
IH
60 4
IH
2
2
2
MA MB
60 4
50
IH
IH
50
.
10 2
2
2
a b ;
a
b
0
0
6
2
Gäi lµ mét vect¬ ph¸p tuyÕn cña ®êng th¼ng d cÇn t×m. Ta cã n
a x
a 5
2
2
Ph¬ng trinh tæng qu¸t ®êng th¼ng d lµ: .
IH d I d
;
b
9
2
2
b y b b
b
Ta cã
0
3
3
y
12
0
3b
3 b
a 3 a a 3 x 2 6 2 6
3
0
y
x
x
3
y
0
*Víi
10 2 a a th× ph¬ng tr×nh d lµ: x a th× ph¬ng tr×nh d lµ:
y
,
a SA SB SC a vµ
0;
.S ABCD theo a vµ
*Víi
.x .S ABCD lín nhÊt.
C©u 5: (3,0 ®iÓm) Cho h×nh chãp .S ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi c¹nh x SD x a 0 a) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp b) TÝnh x theo a ®Ó thÓ tÝch khèi chãp
Híng dÉn gi¶i:
S
a
a
a
x
a
A
B
a
O
D
a
C
O AC BD
.
SO AC
(1)
(2)
a) Gäi *Tam gi¸c SAC c©n t¹i S cã SO lµ trung tuyÕn nªn: * ABCD lµ h×nh thoi nªn
AC
BD AC . SBD
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
5
Giải đề thi HSG TTHuế năm 2017 - 2018
V
V
V
CO S .
AC S .
AO S .
S ABCD
.
A SBD
.
C SBD
.
SBD
SBD
SBD
1 3
1 3
AD AB AS nªn chóng b»ng
Do ®ã: .
1 3 , SBD vu«ng t¹i
.S
2
SB SD .
BD
x
ax vµ
2 . a
*XÐt 3 tam gi¸c vu«ng nhau. Suy ra:
SBDS
OAD OAB OAS cã c¹nh OA chung vµ , OD OB OS 1 2
1 2
2
2
2
x
a
2
2
2
2
Khi ®ã:
AC
2
AO
2
AD DO
2
a
a 3
2 x .
2
2
2
2
V
xa
a . 3
x
ax
a 3
Ta cã:
2 x .
S ABCD
.
1 1 . 3 2
1 6
2
2
2
2
3
x
a 3
x
2
2
x
a 3
x
V
a .
.
VËy
S ABCD
.
2
2 a 3 2
1 6
a 3 2
a 4
2
a
6
2
2
2
b) Theo bÊt ®¼ng thøc C«-si th×:
x
a 3
x
x
x
.
V
.S ABCD
a 3 2
2
VËy lín nhÊt khi vµ chØ khi:
C©u 6: (2,0 ®iÓm)
,x y tháa m·n
x y ,
1 2
;1 .
5
5
P x y
xy
3
x
y
.
2
2
6
x
y
Cho c¸c sè thùc T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
x
y
xy
0
x
y
1
x y ,
1
Híng dÉn gi¶i:
1
1
2
2
2
2
2
Ta cã
x
y
x
y
2
xy
x
y
2
x
y
x
y
2
x
y
2
(1)
1
2
4
4
5
4
4
2
2
Khi ®ã nªn:
xy
5 x y
xy .
y
x
y
y
x
y
x
y
xy x
1
1 2
1 8
1 8
xy x Tõ c¸c ®¸nh gi¸ (1) vµ (2) nªn ta cã:
4
6
Vµ: (2)
P
x
y
x
y
3
x
y
1
2
1 8
x
y
2
x
y
2
.
t
t
x
y Do .
x y ,
1; 2 .
1 2
;1
§Æt nªn
P f
t
t 3
t
4 t 1
2
1 8
6 t 2
t
2
Ta cã
6
f
t
3
4
12
t
12
t
t 5
4
3
f
t 5
t 4
3
t
2
2
2
2
1 8
1; 2 cã: x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn ®o¹n 1 t 4 24 8 2
t 2
t
t
t 2
1 2
3
3
3
3
t 5
t
2
6
t
8
t 5
t
2
t 6
24
12
t
t
12
3
2
2
2
2
8
8
t
t 2
1 2
t 2
1 2
t
3
2
t
t 6
t 12
24
12
t
t 2 5
1
3
2
2
8
t
1
1
2
12
t
2
2
1
t
1 2
t
t
4
t
3 (
do t
2)
Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549 XÐt hµm sè
1
1
1
2 1
2
2
1
3
t
1
t
1
1
12
t
1
3
0,
t
Ta cã
1; 2 .
2
2
t
1
Suy ra:
f
f
t
1; 2 .
f
1 1; 2 . 1.
t f
VËy Nªn hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n
t 2
0, t 1.
P
x
y
1.
Do ®ã
VËy Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng -1 ®¹t ®îc khi vµ chØ khi
----- HÕt ------ (Lêi gi¶i ®îc thùc hiÖn trong thêi gian ng¾n nªn kh«ng tr¸nh khái sai sãt, nÕu cã sai sãt g× xin b¹n ®äc bá qua)
7
