Đề tài: Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng

Khaûo saùt ñoä cong Gauss - ñoä cong

trung bình vaø ñöôøng traéc ñòa cuûa lôùp

caùc maët thoâng duïng - maët cöïc tieåu

Hoaøng Coâng Phuùc Trường ĐHSP Tp.HCM, 2004

MUÏC LUÏC

Trang 1

3 3 Caùc khaùi nieäm cô baûn veà ñöôøng – maët trong E3

1.1. Cung trong En 1.2. Cung song chính quy trong E3 – Ñoä cong-

Ñoä xoaén

4 12 12 14 16

2.1. Maûnh tham soá – Caùc ñònh nghóa 2.2. AÙnh xaï Weingarten 2.3. Caùc daïng cô baûn I vaø II cuûa maët S – Ñoä cong phaùp daïng. Coâng thöùc Meusnier vaø coâng

2.4. Nhöõng ñöôøng ñaùng chuù yù treân maët S trong E3 2.5. Toùm taét sô löôïc veà maët- coâng thöùc tính toaùn 18 25

Khaûo saùt ñoä cong trung bình vaø ñoä cong Gauss 33

I. Maët baäc hai

33 51

III. Maët keû IV. Maët troøn xoay 52 61

Maët cöïc tieåu 1. Maët Scherk 2.Maët Enneper 68 72 75

LÔØI NOÙI ÑAÀU CHÖÔNG 1 1. Ñöôøng trong En 2. Maët trong E3 thöùc Euler. CHÖÔNG 2. Cuûa maët - Ñoä cong traéc ñòa – Cung traéc ñòa II. Maët sinh ra bôûi caùc ñöôøng tieáp tuyeán cuûa moät ñöôøng cong trong R3 CHÖÔNG 3. - Baûng toùm taét ñoä cong Gauss – Ñoä cong Trung bình 80 Ñoä cong traéc ñòa cuûa maët KEÁT LUAÄN TAØI LIEÄU THAM KHAÛO

LÔØI NOÙI ÑAÀU

Trong vaøi thaäp nieân gaàn ñaây Hình hoïc vi phaân phaùt trieån raát maïnh, ñoái

töôïng nghieân cöùu laø hình hoïc treân caùc ña taïp khaû vi maø cô sôû ban ñaàu cuûa noù laø

lyù thuyeát ñöôøng, maët trong E3. Vieäc naém vöõng caùc kieán thöùc ôû böôùc naøy seõ taïo

ñieàu kieän thuaän lôïi cho nghieân cöùu hình hoïc vi phaân sau naøy.

Khaûo saùt tính chaát noäi taïi laø moät trong nhöõng vaán ñeà ñöôïc quan taâm khi

nghieân cöùu hình hoïc vi phaân treân ña taïp vì vaäy khaûo saùt ñoä cong Gauss, ñoä cong

trung bình vaø ñöôøng traéc ñòa cuûa lôùp caùc maët thoâng duïng laø vaán ñeà khoâng theå

thieáu. Ñeà taøi cuûa toâi ñaëc bieät quan taâm ñeán vaán ñeà naøy.

Luaän vaên goàm 3 chöông

- Chöông 1:

Daønh cho vieäc nhaéc laïi moät soá pheùp tính lieân quan ôû treân ñaõ ñöôïc

chöùng minh ôû caùc saùch veà hình vi phaân. Ñaây laø moät coâng cuï khoâng theå thieáu cho

vieäc nghieân cöùu caùc phaàn sau.

- Chöông 2:

Daønh cho vieäc nghieân cöùu ñoä cong Gauss K, ñoä cong trung bình H ñoàng

thôøi tìm caùc ñöôøng tham soá hoùa cuûa löôùi ñöôøng toïa ñoä ñoùng vai troø laø ñöôøng traéc

ñòa treân maët thoâng duïng ñöôïc xeùt nhö maët caàu, Elipsoid Hyperboloid, eliptic

moät taàng, hai taàng, parabolid eliptic, parabolid Hyperbolic, maët keû helicoid,

Catenoid, xuyeán . . .

- Chöông 3:

Trong lôùp caùc maët ña taïp treân ta quan taâm ñaëc bieät ñeán maët coù ñoä

cong trung bình H = 0 maø ta goïi laø maët toái tieåu.

Toâi xin ñöôïc baøy toû loøng bieát ôn chaân thaønh ñoái vôùi thaày Nguyeãn Haø

Thanh Tieán só giaûng vieân khoa Toaùn – Tin tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp Hoà Chí

Minh ñaõ heát söùc taän tình giuùp ñôõ toâi trong suoát quaù trình thöïc hieän luaän vaên. Toâi

cuõng xin caûm ôn caùc Thaày Coâ trong khoa ñaõ nhieät tình giaûng daïy toâi trong suoát

quaù trình hoïc taäp, caûm ôn phoøng Khoa hoïc Coâng ngheä – Sau Ñaïi hoïc vaø baïn beø

trong lôùp ñaõ taïo ñieàu kieän giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy.

CHÖÔNG 1

CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VEÀ ÑÖÔØNG – MAËT TRONG E3

Chöông naøy daønh cho vieäc nhaéc laïi caùc kieán thöùc cô baûn veà lyù thuyeát

ñöôøng vaø maët cuøng vôùi caùc keát quaû ñaõ coù nhaèm laøm cô sôû cho vieäc tính toaùn vaø

khaûo saùt trong caùc chöông coøn laïi.

§1.ÑÖÔØNG TRONG En ( n = 2,3 )

1.1. Cung trong En

1.1.1. Ñònh nghóa cung tham soá: Moãi aùnh xaï γ : J → En töø moät khoaûng J ⊂ R

vaøo En goïi laø moät cung tham soá (hay moät quyû ñaïo) trongEn

→ (cid:54)

J : → γ (cid:54) t

E )( t

Ir : t

E )( tr

Hai cung tham soá vaø

: λ

(I , J laø nhöõng khoaûng trong R; γ vaø r khaû vi ) goïi laø töông ñöông neáu coù

→ (cid:54)

t )(

vi phoâi sao cho ro λ = γ

Deã thaáy ñoù laø moät quan heä töông ñöông. Moãi lôùp töông ñöông cuûa quan

heä ñoù goïi laø moät cung trong En ; moãi cung tham soá cuûa lôùp töông ñöông ñoù goïi laø

moät tham soá hoùa cuûa cung ; vi phoâi λ goïi laø pheùp bieán ñoåi tham soá cuûa cung.

1.1.2. Ñieåm chính quy vaø ñieåm kyø dò

→ (cid:54)

t )(

Cho cung xaùc ñònh bôûi

Ñieåm to cuûa Γ maø γ’ (t0) ≠ 0 goïi laø 1 ñieåm chính quy cuûa Γ

coøn neáu γ’ (t0) = 0 goïi laø 1 ñieåm kyø dò cuûa Γ

Cung maø moïi ñieåm laø chính quy goïi laø moät cung chính quy.

1.1.3. Ñoä daøi cung vaø tham soá hoùa töï nhieân cuûa moät cung chính quy.

a/- Ñoä daøi cung :

Cho cung tham soá γ : [ a ,b ] → En xaùc ñònh treân ñoaïn thaúng [ a ,b ],

(

)

(

)

giaû söû γ lieân tuïc. Vôùi moãi pheùp chia a = t0 < t1

−

∑

.Neáu caùc toång ñoù coù caän treân vôùi moïi pheùp chia

nhö vaäy thì noùi cung tham soá coù ñoä daøi cung vaø ñoä daøi cung ñoù laø caän treân aáy.

b/- Ñònh lyù :

Neáu γ : [ a ,b ] → En khaû vi lôùp C1 thì noù coù ñoä daøi cung vaø ñoä daøi

)('γ t

∫

cung aáy laø s =

c/- Tham soá hoùa töï nhieân cuûa moät cung chính quy

cuûa moät cung chính quy Γ

)(' t

Ñònh nghóa: Moät tham soá hoùa r :I → En

goïi laø moät tham soá hoùa töï nhieân cuûa noù neáu = 1 (coøn goïi laø tham soá

hoùa ñoä daøi cung )

Chuù yù :

-Moïi cung chính quy ( keå caû chính quy ñònh höôùng) ñeàu coù tham soá hoùa töï

nhieân.

-Tham soá hoùa γ : J → En cuûa cung chính quy ñònh höôùng laø moät tham soá

hoùa töï nhieân cuûa khi vaø chæ khi γ’ laø vectô tieáp xuùc ñôn vò T doïc Γ .

1.2.Cung song chính quy trong E3 – Ñoä cong – ñoä xoaén.

1.2.1. Ñoä cong.

Ñoä cong cuûa taïi ñieåm s trong tham soá töï nhieân s → r (s) cuûa noù laø

Dr' ds

DT ds

k(s) = (s) = (s). Vaäy ta ñöôïc haøm ñoä cong (goïi taét ñoä cong )

DT ds

(1) K doïc laø

1.2.2. Caùc ñònh nghóa

(cid:71) moät ñieåm song chính quy ( cuûa Γ ) neáu heä hai vectô γ

(cid:71) ’(t), γ

- Ñieåm cuûa Γ öùng vôùi t trong tham soá hoùa t (cid:54) γ (t) cuûa noù coøn goïi laø

’’(t) ñoäc laäp tuyeán

tính. Maët phaúng maät tieáp vôùi Γ taïi ñieåm ñoù laø 2 phaúng ñi qua γ (t) vôùi khoâng

→ γ

→ t )('' γ)(' ,

gian vectô chæ phöông < >.

- Cung Γ trong En goïi laø song chính quy neáu moïi ñieåm cuûa laø ñieåm

song chính quy.

- Moät cung song chính quy laø 1 cung chính quy.

- Cung chính quy laø moät cung song chính quy ⇔ ñoä cong cuûa noù khaùc 0 taïi

moïi ñieåm.

DT ds

Thaät vaäy trong tsh töï nhieân s → r(s) cuûa Γ , T (s) = r’(s), . T = 0

≠ 0

Dr ds

DT ds

Dr' ds

neân { r’ , } ñoäc laäp tuyeán tính khi vaø chæ khi

Dt ds

-Xeùt tröôøng vectô doïc cung song chính quy Γ trong E''

thì ñöôïc tröôøng vectô phaùp tuyeán ñôn vò doïc Γ .

DT /

Ñaët N = DT/ds

DT ds

Töø (1) ta vieát = k.N (2).

1.2.3. Tröôøng muïc tieâu Feùnet doïc moät cung song chính quy ñònh höôùng trong

E3 vaø ñoä xoaén cuûa noù.

a/- Ñònh nghóa : laø moät cung song chính quy ñònh höôùng trong En thì

ñaõ coù tröôøng vectô tieáp xuùc ñôn vò T vaø tröôøng vectô phaùp tuyeán chính ñôn vò N

∧

doïc . Neáu n = 3 vaø E3 ñaõ coù höôùng thì xaùc ñònh ñöôïc tröôøng Vectô ñôn vò B =

T N doïc Γ goïi laø tröôøng vectô truøng phaùp tuyeán ñôn vò doïc Γ .

Vaäy cho cung song chính quy ñònh höôùng Γ trong E3, coù tröôøng muïc tieâu

tröïc chuaån { T , N , B } doïc Γ goïi laø tröôøng muïc tieâu Freùnet doïc Γ

DB ds

. B = 0 Khi ñoù do : B.B = 1 neân

DB ds

DT ds

. T + B. = 0 Do BT = 0 neân

DB ds

DT ds

Maø = K.N vaø B.N = 0 neân . T = 0

DB ds

tröïc giao vôùi T vaø B Vaäy

DB ds

⇒ cuøng phöông vôùi N taïi moïi ñieåm

Γ Töø ñoù coù haøm soá T doïc Γ goïi laø (haøm) ñoä xoaén cuûa

DB ds

ñeå = - T. N .

- Coâng thöùc Freùnet

DT ds

= K . N (a)

DN ds

= - K .T + T B (b)

DB ds

= - T N (c)

Chöùng minh coâng thöùc (b)

DN ds

⇒

. N = 0 Vì N.N = 1 ⇒

DN ds

khai trieån ñöôïc theo T vaø B

DN ds

DT ds

= - . N = - K do T.N = 0 ⇒ T.

DN ds

DB ds

N.B = 0 ⇒ . B = -N = T

DN ds

Vaäy = - KT + T .B

b. Löu yù

Laáy moät tham soá hoùa töï nhieân s → r (s) cuûa Γ . Giaû söû raèng trong moät laân

caän môû U cuûa aûnh cuûa trong E3 coù tröôøng muïc tieâu tröïc chuaån { U1,U2 , U3 }

maø U1or = T. U2or = N, U3or = B khi ñoù töø phöông trình

ijw

∑

1j −

)

(

DUi = Uj ( wij = - wji )

⇒

3,1

∑

rUD oi ds

1j =

= wij(r) . ( Uj or) i =

So saùnh vôùi coâng thöùc Freùnet, ta ñöôïc

K = w12 ( T ) = - w21 ( T )

T = w23 ( T ) = -w32 ( T )

Coøn w13 (T ) = - w31 ( T ) = 0

1.2.4. Coâng thöùc tính ñoä cong vaø ñoä xoaén.

Cho cung song chính quy ñònh höôùng Γ trong E3 xaùc ñònh bôûi 1 tham soá

→ (cid:54)

J t

E )( t

Ir : s

E )( sr

→ (cid:54) γ

hoùa Laáy moät tham soá hoùa töï nhieân

γ = roλ (λ’ > 0 )

Cuûa thì coù pheùp ñoåi tham soá λ : J → I ñeå

Goïi { T , N , B } laø tröôøng muïc tieâu Freùnet doïc Γ .

Töø coâng thöùc Freùnet cho :

DT ds

rD ' ds

DN ds

DB ds

'γ = λ’ )

T = r’ ; = = KN ; = - KT + T B, = - T N

Ta coù : γ’ = λ’ ( r’0 λ ) = λ’ (T0 λ ) ( neân roõ raøng

oλ )

DT ds

γ’’ = λ’’ ( Toλ ) + λ’2 (

= λ’’( Toλ ) + λ’2 ( Koλ) ( Noλ )

Töø ñoù :

'γ 3 ( Ko λ ) ( Bo λ )

γ’ ∧ γ’’ = λ’3 ( Ko λ ) (Toλ) ∧ ( Noλ ) =

' '' γγ ∧ 3'

t )(''

)(' t γ ∧

neân ( Ko λ ) =

γ 3)(' t

Töùc laø K (λ (t) ) maø ta vieát taét : K (t) =

Tính ñoä xoaén T

Do γ’ ∧ γ’’ cuøng phöông vôùi B0 λ neân ñeå tính (γ’ ∧ γ’’) γ’’’ , chæ caàn xeùt

thaønh phaàn chöùa B0 λ trong khai trieån γ’’’ theo { T0 λ ; Noλ ; Boλ }

Töø γ’’ = λ’’ (T0 λ ) + λ’2 ( Ko λ ) (Noλ)

⇒ thaønh phaàn chöùa Boλ cuûa λ’’’ laø λ’3 ( Ko λ ) (T oλ ) (Boλ )

6'γ ( Ko λ )2 (T oλ )

' ∧

vaäy (γ’ ∧ γ’’). γ’’’ =

( )'' ''' γγγ 2''

' ∧ γγ

Do ñoù T oλ =

t )('

t )('''

( γ

∧

t ))('' γ 2)('' t

t )('

∧

Töùc laø T (t) =

1.2.5. Ñònh lyù cô baûn cuûa lyù thuyeát ñöôøng trong E3.

Cho hai haøm soá K vaø T ( Khaû vi lôùp C(cid:65) , (cid:65) ≥ 0 )

Treân khoaûng J ⊂ R vaø K coù giaù trò döông. Khi ñoù

+ Coù tham soá hoùa töï nhieân r : J → E3 (khaû vi lôùp C(cid:65)+2 ) cuûa moät cung

song chính quy ñònh höôùng trong E3 nhaän K vaø T laøm ñoä cong vaø ñoä xoaén .

+ Neáu coù hai tham soá hoùa r vaø γ cuûa 2 cung nhö theá thì coù ñaúng caáu afin

tröïc giao baûo toàn höôùng töùc moät pheùp dôøi hình f cuûa E3 maø r = foγ .

1.2.6. Cung trong E2 (cung phaúng )

Cung chính quy ñònh höùông trong E2 vaø ñoä cong cuûa noù.

Goïi T laø tröôøng vectô tieáp xuùc ñôn vò doïc cung chính quy ñònh höôùng Γ

trong E2. Giaû söû E2 ñaõ coù höôùng thì xaùc ñònh ñöôïc tröôøng veùctô doïc Γ sao cho

{ T , N } laø tröôøng muïc tieâu tröïc chuaån thuaän doïc Γ goïi laø tröôøng muïc tieâu

Freùnet doïc Γ ; N goïi laø tröôøng veùctô phaùp tuyeán ñôn vò doïc Γ .

DT ds

Vôùi moïi tham soá hoùa töï nhieân s → r (s) cuûa Γ, tröôøng vectô khoâng

DT ds

phuï thuoäc tham soá ñoù vaø do TT = 1 , = 0 neân = K N

K laø moät haøm soá doïc Γ goïi laø ñoä cong cuûa Γ .

DT ds

DN ds

. N + T. = 0 hay = - KT Töø T.N = 0 ⇒

DT ds

= K N Vaäy

DN ds

= - K T

Γ laø cung chính quy ñònh höôùng trong E2 ( coù höôùng) xaùc ñònh bôûi tham soá

Löu yù :

hoùa γ : J (cid:198) E2. Laáy moät tham soá hoùa töï nhieân

T (cid:54) γ (t)

r : I (cid:198) E2 thì Γ coù pheùp bieán ñoåi tham soá λ : J (cid:198) I ñeå γ = roλ.

S (cid:54) r(s) (λ’ >0 )

Goïi { T , N } laø tröôøng muïc tieâu Freùnet doïc Γ , coi noù laø tröôøng muïc tieâu

doïc cung tham soá r vaø coi ñoä cong K cuûa Γ laø haøm soá doïc Γ thì coâng thöùc

DT ds

Dr' ds

'γ = λ’ )

= = K N . Freùnet cho T = r’ ,

γ’’ = λ’’ ( Toλ ) + λ’2 ( Koλ ) (Noλ )

γ N (.''

Ta coù γ’ = λ’ ( r’oλ ) = λ’ ( Toλ ) ( neân roõ raøng

) λ 0 2

' γ

⇒ Koλ =

γ (t) = ( x (t) , y (t) ). Khi ñoù

Giaû söû trong toaï ñoä Descarter vuoâng goùc thuaän (x,y ) cuûa E2

→ T (λ (t) ) =

→ T (t) =

tx )('

ty )('

→ N (λ (t) ) =

→ N (t) =

. ( x’ (t) , y’(t) )

tx )('

ty )('

( - y’(t) , x’(t) )

yx '

−

γ’’(t) = ( x’’(t) , y’’(t) )

yx '' 3

x '(

)

ytx )('

t )(''

−

neân Koλ =

tyt )(')('' 3

x '(

t )(

t ))(

töùc K (t) =

§ 2. MAËT TRONG E3

2.1. Maûnh tham soá – Caùc ñònh nghóa.

+ AÙnh xaï r töø moät taäp môõ U trong R2 vaøo khoâng gian Euchide n chieàu En

r : U → En

( u , v ) (cid:54) r ( u , v )

Goïi laø moät maõnh tham soá trong En

+ Vôùi ñieåm ( uo , v0 ) ∈ U. Cung tham soá u (cid:54) r ( u , vo) trong En ( ôû ñaây u

thay ñoåi trong khoaûng J C R naøo ñoù , uo ∈J ) goïi laø ñuôøng toïa ñoä v = vo ( hay

ñöôøng toïa ñoä u qua ( uo , vo ) )

(cid:131) Cung tham soá v (cid:54) r ( uo , v ) trong En goïi laø ñöôøng toïa ñoä u = uo

( hay ñöôøng toïa ñoä v qua (uo , v0 )).

(cid:131) v (cid:54) r’ ( u , vo ) ≡ r1 ( u , v0 ) laø moät tröôøng vectô tieáp xuùc doïc

ñöôøng toaï ñoä u

(cid:131) v (cid:54) r’ ( uo , v ) ≡ r2 ( uo , v ) laø moät tröôøng vectô tieáp xuùc doïc

ñöôøng toaï ñoä v

(cid:131) ( u , v ) (cid:54) r1 ( u , v) , r2 ( u , v ) laø nhöõng vectô doïc r.

+ Ñieåm (uo , v0 ) goïi laø moät ñieåm chính quy cuûa maûnh tham soá r neáu r dìm

taïi (uo , v0 ) töùc laø neáu r1 (uo , v0 ), r2 (uo , v0 ) ñoäc laäp tuyeán tính ( 2 vectô naøy

)

( ur

thuoäc . n

Ñieåm khoâng chính quy goïi laø ñieåm kyø dò. Maûnh tham soá r goïi laø chính

quy neáu moïi ñieåm cuûa noù laø ñieåm chính quy.

+ Taïi ñieåm chính quy (uo , v0 ) cuûa maûnh tham soá r, goïi 2 phaúng trong En

→ 1r

→ 2r

ñi qua r (uo , v0 ), vôùi khoâng gian vectô chæ phöông < (uo , v0 ), (uo , v0 ) >

laø maët phaúng tieáp xuùc hay tieáp dieän cuûa r taïi (uo , v0 ) . Khi n = 3 , ñöôøng thaúng

qua r (uo , v0 ) thaúng goùc vôùi tieáp dieän taïi (uo , v0 ) goïi laøphaùp tuyeán cuûa r taïi

(uo , v0 ).

+ Trong toïa ñoä afin ( x , y , z ) cuûa E3 , vieát

r ( u , v ) = ( x (u , v ) , y ( u, v ) , z u , v ))

trong ñoù (u , v ) (cid:54) x (u , v) , y ( u, v ) , z (u , v) laø nhöõng haøm soá treân U )

)

(

)

(

o )

vuy − o o (u v, )

)

o )

)

( vuxX − o , ( vux 1 o ( vux 2 o

y 1 o ( vuy o

vuz − o o ( ) , vuz o o 1 ( , vuz 2

Phöông trình tieáp dieän cuûa r taïi (uo , v0 ) laø

vaø khi toïa ñoä ñoù laø Descartes vuoâng goùc thì phöông trình phaùp tuyeán cuûa r taïi

(uo, vo ) laø :

)

uyY − ( )

(

v (

)

uxX − ( ) )

) )

)

vuzZ − ( , ) o o , vuy ( ) 1 o o vuy ( 2 o

vux ( 1 o o vux ( 2 o

vuy ( , o 1 o , vuy ( o

v , ) o o ( vuz , o o 1 ( vuz , 2 o

vuz 1 o o vuz ( 2 o

, ) o o vux 1 o o vux ( 2 o

= =

~ + Hai maûnh tham soá trong En r : U → En , r~ ; U

→ En

o λ

goïi laø töông ñöông neáu coù vi phoâi λ : U → U ñeå r =

Ñoù laø moät quan heä töông ñöông; moãi lôùp töông ñöông ñoù goïi laø moät maûnh

trong En vaø r goïi laø moät tham soá cuûa maûnh.

∧ ∧

r 1 r 1

r 2 r 2

+ Neáu n = 3 vaø maûnh chính quy thì vectô ñôn vò taïi ñieåm öùng vôùi

(u,v) trong moät tham soá hoùa r cuûa noù laø hoaøn toaøn xaùc ñònh ( töùc khoâng phuï thuoäc

vaøo tham soá hoùa ñaõ choïn) vaø phöông cuûa noù chính laø phöông cuûa phaùp tuyeán cuûa

maûnh taïi ñieåm ñoù.

2.2. AÙnh xaï WEINGARTEN

2.2.1. Ñònh nghóa :

S laø moät maët trong E3 coù höôùng xaùc ñònh bôûi tröôøng vectô phaùp tuyeán ñôn

vò n treân S . Vì vôùi moïi α ∈ TpS Dαn. n = 0 ( do n2 = 1 ) neân Dαn ∈ TpS ; do ñoù

coù aùnh xaï

hp : TpS → TpS

α (cid:54) hp (α ) = - Dαn

goïi laø aùnh xaï Weingarten taïi p

Cuï theå laø laáy cung γ: J → S , γ’ (to) = α thì hp (α ) laø vectô buoäc taïi p maø

→ ( γon )'

→ (αph )

= - (to)

Roõ raøng hp laø moät töï ñoàng caáu (tuyeán tính) cuûa TpS. Khi p thay ñoåi kyù hieäu

chung caùc hp ñoù laø h . AÙnh xaï naøy ñoùng vai troø quan troïng trong nghieân cöùu hình

daïng S trong E3 neân ñoâi khi goïi laø aùnh xaï daïng.

Tính chaát:

Vôùi moïi p∈ s , aùnh xaï hp laø moät töø ñoàng caáu ñoái xöùng cuûa TpS töùc laø vôùi

moïi α , β ∈ TpS

hpα. β = α hp ( β )

2.2.2. Ñònh nghóa.

Moãi giaù trò rieâng cuûa hp goïi laø moät ñoä cong chính taïi p cuûa S; Moãi vectô

trace

rieâng cuûa hp xaùc ñònh moät phöông goïi laø phöông chính taïi p cuûa S . Ñònh thöùc

goïi laø ñoä cong cuûa töï ñoàng caáu hp goïi laø ñoä cong Gauss taïi p cuûa S ;

trung bình taïi p cuûa S.

Töø caùc tính chaát cuûa töï ñoàng caáu tuyeán tính ñoái xöùng ta suy ra coù moät vaø

chæ moät trong hai tröôøng hôïp sau:

a/- Tröôøng hôïp 1.

hp coù 2 giaù trò rieâng phaân bieät thöïc, khi ñoù hai phöông chính taïi p hoaøn

~ k thì coù heä 2

~ vectô rieâng tröïc chuaån {e1 , e2} cuûa TpS , hp(e1)= 1 k e1 , hp (e2) =

~ , 1 K ~ k e2. 2

~ Ñoä cong Gauss taïi p laø K(P) = 1 k .

~ k , ñoä cong trung bình taïi p laø 2

toaøn xaùc ñònh vaø vuoâng goùc vôùi nhau. Goïi hai giaù trò rieâng ñoù

~ ~ k ). k + 2 ( 1

1 2

H (p) =

b/- Tröôøng hôïp 2 :

hp coù ñuùng giaù trò rieâng (keùp, thöïc), khi ñoù moïi phöông laø phöông

chính. Töø ñoù vôùi moïi cô sôû tröïc chuaån {e1 , e2} cuûa TpS coù hp {e1 , e2} cuûa TpS coù

~ k e1, hp(e2) = hp(e1) = 1

~ k . e2 , 2

~ k = 1

~ p nhö theá goïi laø moät ñieåm roán cuûa S: khi 1 k =

~ ~ ~ k )2 , H (p) = 1 k . ÔÛ ñaây K (p) = ( 1 k . Ñieåm 2 ~ k = 0 p ñöôïc goïi laø ñieåm deït vaø 2

~ khi 1 k =

~ k ≠ 0 p coøn ñöôïc goïi laø ñieåm caàu cuûa S. 2

Ñieåm p ∈ S goïi laø ñieåm eliptic hay hyperbolic hay parabolic cuûa S tuyø -

K(p) döông, aâm hay baèng 0.

Löu yù :

Khi ñoåi höôùng cuûa S baèng caùch xeùt –n thay cho n thì hp ñoåi thaønh –hp,

neân ñoä cong trung bình ñoåi daáu coøn ñoä cong Gauss khoâng ñoåi.

2.3. Caùc daïng cô baûn I vaø II cuûa maët S – Ñoä cong phaùp daïng. Coâng thöùc

MeuSnier vaø coâng thöùc Euler.

2.3.1 + Caùc daïng cô baûn I vaø II cuûa maët S.

Vôùi moãi p ∈ S.

Ip : TpS x TpS → R IIp : TpS x TpS → R

( α , β ) (cid:54) α .β ( α , β ) (cid:54) hp(α ) .β

laø nhöõng daïng song tuyeán tính ñoái xöùng treân TpS ; chuùng ñöôïc goïi theo thöù töï laø

daïng cô baûn thöù nhaát vaø thöù hai cuûa S taïi p. Ngöôøi ta kyù hieäu Ip (α,α) =Ip (α) ,

IIp (α,α ) = II (α )vaø khi p thay ñoåi duøng kyù hieäu I vaø II.

Trong tham soá hoùa ñòa phöông ( u , v ) # f (u,v) cuûa S xeùt caùc haøm soá treân

U sau :

E = < f1 , f1 > F = G = < f2 , f2 >

L = < n , f11 > = < -n1 , f1 >

M = < n , f12 > = < -n1 , f2 > = < -n2 , f1 >

N = < n , f22 > = < -n2 , f2 >

Löu yù khi tham soá hoùa f töông thích vôùi höôùng cuûa S thì

f 1 f

f 2 f

∧ ∧

n =

2.3.2. Ñoä cong phaùp daïng – Coâng thöùc Euler – Coâng thöùc Meusnier

γ laø 1 cung chính quy naèm trong S , ρ : J → S

S laø moät maët coù höôùng trong E3

s (cid:54) ρ (s)

laø moät tham soá hoùa töï nhieân cuûa γ.

Vì ρ’. (noρ ) = 0 töùc T ( noρ ) = 0

( T laø tröôøng veùctô tieáp xuùc ñôn vò doïc ρ ) neân

DT ds

nD o ( ρ ) ds

= 0 . ( noρ ) + T .

DT ds

nD o ( ρ ) ds

= T . h(T) = II ( T) hay ( noρ ) = - T.

DT ds

vaäy neáu (So) = 0 thì II ( T (So)) ≡ 0

DT ds

coøn neáu (So) ≠ 0 ( töùc ñieåm öùng vôùi So laø ñieåm song chính quy cuûa γ ) thì

DT ds

(So) = K (So). N(So) trong ñoù K (So) laø ñoä cong γ taïi So, N (So) laø vectô phaùp

tuyeán chính ñôn vò cuûa γ taïi So vaø ta ñöôïc K (So) N (S0). n ( ρ (So) ) = II (T(So))

coâng thöùc naøy daãn ñeán ñònh nghóa.

Ñònh nghóa:

~ K

α laø vectô khaùc 0 cuûa TpS thì ñaët

II I

( ) α ) ( α

(α ) = soá ñoù khoâng ñoåi

khi thay α baèng λ α , λ laø soá thöïc khaùc 0 tuøy yù neân noù ñöôïc goïi laø ñoä cong phaùp

daïng cuûa S theo phöông xaùc ñònh bôûi α.

~ K

Khi ñoù coâng thöùc treân trôû thaønh.

K (So) N (S0). n (ρ (So)) = ( T (So)

~ e, thì k

Noù ñöôïc goïi laø coâng thöùc Meusnier.

~ = . k

~ - Vôùi moãi vectô rieâng e cuûa hp , hp (e) = k

~ eek . . ee .

II e )( eI ( )

e = =

~ cuûa hp thì k

Töø ñoù, neáu laáy moät cô sôû tröïc chuaån {e1 , e2 } cuûa TpS goàm nhöõng vectô rieâng

~ (e2) = k

2 laø caùc ñoä cong chính cuûa S taïi p.

~ ~ k , k 1

(e1) =

~ k

Neáu α = cosϕ e1 + Sin ϕ e2 thì.

(α ) = II (α ) = hp (α ). α

2 Sin ϕ e2 ) . (cosϕ e1 + Sin ϕ e2 )

~ = ( k ~ K

~ K

~ ,cosϕ e1 + k ~ K

= hp (cosϕ e1 + Sin ϕ e2 ) . (cosϕ e1 + Sin ϕ e2 )

1 cos2ϕ +

2 sin2ϕ.

Vaäy ta coù (α ) =

Ñoù laø coâng thöùc Euler

Töø coâng thöùc Euler, ta thaáy

~ a/- Caùc ñoä cong chính cuûa S taïi p laø caùc cöïc trò cuûa k

(α). Khi α thay ñoåi

trong TpS – { 0 }.

(α) cuõng coù daáu ñoù vôùi

~ b/- Neáu caùc ñoä cong chính k

~ 1 , k

~ moïi α ∈ TpS – {0};neáu caùc ñoä cong chính k

2 khaùc daáu thì coù α ∈ TpS -{0 }

~ 2 cuøng daáu thì k ~ 1 , k

~ ñeå k

(α) = 0

2.4. Nhöõng ñöôøng ñaùng chuù yù treân maët S trong E3.

2.4.1 Ñöôøng chính khuùc.

a/- Ñònh nghóa: Ñöôøng treân maët S trong E3 maø phöông tieáp xuùc taïi moïi

ñieåm laø moät phöông chính cuûa S taïi ñieåm ñoù goïi laø moät ñöôøng chính khuùc cuûa S.

→ (cid:54)

t )(

Cuï theå xaùc ñònh moät ñöôøng chính khuùc khi vaø chæ khi

( ρ ) nD o dt

song song vôùi ρ’. Roõ raøng ñònh nghóa naøy khoâng phuï thuoäc vieäc

ñoåi tham soá cuûa ñöôøng.

b/- Tính chaát

+ Neáu moïi ñieåm cuûa S laø ñieåm roán ( chaúng haïn S laø maët phaúng hay

maët caàu ) thì moïi ñöôøng treân S laø tröôøng chính khuùc cuûa noù.

+ Trong tham soá hoùa ñòa phöông ( u , v ) (cid:54) r ( u , v ) cuûa S heä soá F

cuûa daïng cô baûn I trieät tieâu taïi moïi ñieåm, coù nghóa caùc ñöôøng toïa ñoä thaúng goùc;

khi ñoù heä soá M cuûa daïng cô baûn II trieät tieâu taïi moïi ñieåm coù nghóa caùc ñöôøng

toaï ñoä laø ñöôøng chính khuùc cuûa S.

c/- PT vi phaân cuûa hoï caùc ñöôøng chính khuùc trong tham soá hoùa ñòa

phöông.

→ (cid:54)

vu ),(

vur ),(

* r : laø moät tham soá hoùa ñòa phöông cuûa ñòa phöông cuûa

maët S trong E3 thì phöông cuûa

a. Ru (ρ ) + bRv (ρ ) ( a , b ∈ R ; ⏐ a ⏐ + ⏐ b ⏐ ≠ 0 )

Xaùc ñònh moät phöông chính cuûa S taïi r (u , v ) = p khi vaø chæ khi coù soá

~ ñeå a . n1 + bn2 = - k

~ k ( a. r1 + br2 ) taïi (u ,v ) töùc khi vaø chæ khi heä phöông

~ trình sau coù nghieäm k

~ aL + b M = - k

(a E + b F )

~ aM + b N = - k

( a F + b G )

( taïi u , v ) Ñeå yù raèng aE + bF , aF + bG khoâng ñoàng thôøi trieät tieâu, ñieàu kieän ñoù coù

nghóa laø

aL aE

bM bF

aM aF

bN bG

+ +

= 0

2 − NML

taïi (u, v) ; noù coøn coù theå ñöôïc vieát daïng

= 0

Ldu

Mdv

Mdu

Ndv

taïi ( u , v ). Vaäy phöông trình vi phaân caàn tìm laø

Edu

Fdu

Gdv

+ +

= 0

dudv

2 − L

hay coøn coù theå vieát

= 0

* Taïi moïi ñieåm khoâng phaûi laø ñieåm roán cuûa S thì hai phöông chính hoaøn

toaøn xaùc ñònh neân deã thaáy trong laân caän moät ñieåm p khoâng phaûi ñieåm roán cuûa S,

coù tham soá hoùa ñòa phöông r : U → S cuûa S, p ∈ r ( U ) sao cho caùc ñöôøng toïa

ñoä laø ñöôøng chính khuùc cuûa S trong laân caän ñoù.

2.4.2. Ñöôøng tieäm caän

a/- Ñònh nghóa

~ taïi p neáu ñoä cong phaùp daïng cuûa S theo phöông ñoù laø 0 , k

Phöông xaùc ñònh bôûi α ∈ TpS – {0} goïi laø moät phöông tieäm caän cuûa S

(α ) = 0.

Ñöôøng treân S maø phöông tieáp xuùc taïi moïi ñieåm laø moät phöông tieäm caän cuûa S

taïi ñieåm ñoù goïi laø moät ñöôøng tieäm caän cuûa S.

- Moãi cung thaúng naèm treân S laø moät ñöôøng tieäm caän cuûa S. ( coâng thöùc

b/- Tính chaát.

- Neáu ñöôøng γ treân S coù ñoä cong khaùc o taïi moïi ñieåm thì noù laø moät

Meusnier)

tieäm caän cuûa S khi vaø chæ khi maët phaúng maät tieáp cuûa γ taïi moãi ñieåm

laø tieáp dieän cuûa S taïi p ( coâng thöùc Meusnier)

(cid:131) L = 0 khi vaø chæ khi caùc ñöôøng toïa ñoä u laø ñöôøng tieäm caän

(cid:131) N = 0 khi vaø chæ khi caùc ñöôøng toïa ñoä v laø ñöôøng tieäm caän

Löu yù:

Doïc ñöôøng tieäm caän γ cuûa S, ñoä cong Gauss cuûa S khoâng döông : K (p ) ≤ 0

vôùi moïi p ∈ γ ( coâng thöùc Euler).

c/- Phöông trình vi phaân cuûa hoï caùc ñöôøng tieäm caän trong tham soá hoùa

Ur :

ñòa phöông

→ (cid:54)

vu ,(

)

vu ,(

)

laø moät tham soá hoùa ñòa phöông cuûa maët S trong E3 thì

phöông cuûa aRu (p) + bRv ( p ) ( a , b ∈ R , ⏐a ⏐ + ⏐ b ⏐ ≠ 0 )

xaùc ñònh moät phöông tieäm caän cuûa S taïi r ( u , v ) = p khi vaø chæ khi

( an1 + bn2 ) ( a . r1 + b r2 ) = 0

taïi ( u , v ), töùc khi vaø chæ khi La2 + 2 M a b + N b2 = 0

taïi ( u , v ).Vaäy phöông trình vi phaân caàn tìm laø

Ldu2 + 2M dudv +N dv2 = 0

* Taïi moïi ñieåm p ∈ S maø ñoä cong Gauss K (p) < 0 , hai phöông tieäm caän hoaøn

toaøn xaùc ñònh ( xem laïi coâng thöùc Euler ) neân deã thaáy trong moät laân caän moät

ñieåm p nhö theá cuûa S, coù tham soá hoùa ñòa phöông : r : U → S , p∈r ( U ) sao cho

caùc ñöôøng toïa ñoä laø caùc ñöôøng tieäm caän cuûa S trong laøn caän ñoù.

2.4.3. Cung traéc ñòa – ñoä cong traéc ñòa.

a/- Ñoä cong traéc ñòa.

Xeùt tham soá hoùa t → ρ (t) ∈ S cuûa moät cung chính quy ñònh höôùng γ treân

→ ''ρ

(cid:54)

→ n

maët S trong E3 ( S ñònh höôùng bôûi tröôøng vectô phaùp tuyeán ñôn vò n ) thì haøm soá

→ 'ρ

t )('

→ ρ

( (t) ∧ (t) ). ( ρ (t) ) t

khoâng phuï thuoäc tham soá hoùa ñaõ choïn cuûa γ ( neân laø 1 haøm soá doïc γ )

λ’ > 0 ) ta coù:

Thaät vaäy, trong tham soá hoùa töông ñöông ρo λ (λ laø pheùp bieán ñoåi tham soá,

(.)''

→→ ∧ ρρ

(ρo λ )’ = λ’ (ρ’o λ ) , (ρo λ)’’ = λ’2 (ρ’’o λ ) + λ’’ (ρ’o λ )

→ ) n 0 ρ

neân ( (ρo λ )’ ∧ (ρo λ )’’) . (noρo λ ) = λ’3 (( )oλ

→ n

t )('

t )(''

→ ρ

→ ∧ ρ

Haøm soá doïc cung γ ñoù goïi laø ñoä cong traéc ñòa cuûa γ, noù ñöôïc kí hieäu bôûi kg ;

t )('

→ ρ

( ). (ρ (t) ) vaäy Kg (t) =

Chuù yù : + Khi ñoåi höôùng cuûa cung γ thì ñoä cong traéc ñòa cuûa noù ñoåi daáu.

+ Taïi ñieåm khoâng song chính quy cuûa cung γ, ñoä cong traéc ñòa cuûa noù

trieät tieâu.

+ Khi S laø moät boä phaän cuûa maët phaúng E2 (coi naèm trong E3) ñoä cong

traéc ñòa cuûa cung ñònh höôùng γ treân S chính laø ñoä cong cuûa cung phaúng.

b/- Vôùi moãi cung chính quy ñònh höôùng γ treân maët S trong E3. Goïi T laø

tröôøng vectô tieáp xuùc ñôn vò doïc γ , xaây döïng tröôøng vectô Y = ( noρ ) ∧ T thì

ñöôïc moät tröôøng muïc tieâu tröïc chuaån doïc γ laø ( T , Y , noρ ) goïi laø tröôøng muïc

tieâu Darboux doïc γ.

γ treân maët S thì ñoä cong traéc ñòa cuûa noù thoaû maõn.

Neáu s (cid:54) ρ(s) laø tham soá hoùa töï nhieân cuûa cung song chính quy ñònh höôùng

kg = K.N.Y

Trong ñoù K laø ñoä cong cuûa γ, N laø tröôøng vectô phaùp tuyeán chính ñôn vò

→ n

→ 'ρ

→ ''ρ

doïc γ.

→ N

→ n

Thaäy vaäy: Kg (s) = ( (s) ∧ (s) ) (ρ (s) )

→ T (s) ∧

→ n

→ N

= K (s) ( (s)) (ρ (s) )

→ T (s))

→ N

= K (s) ( (ρ(s)) ∧ (s)

→ Y (s) .

= K (s) . (s).

c/- Neáu cung song chính quy ñònh höôùng γ ( xaùc ñònh bôûi tham soá

t (cid:54) ρ (t) ) treân maët S coù ñoä cong traéc ñòa taïi t laø kg (t) ≠ 0 thì ñieåm

ρ (t) +

1 )( t

k g

laø taâm cong taïi t cuûa hình chieáu vuoâng goùc γ1, cuûa cung γ leân

γ1)

maët phaúng tieáp xuùc vôùi S taïi p = ρ(t) ( töùc kg (t) laø ñoä cong taïi ρ cuûa cung phaúng

d/ S laø moät maët trong E3 ñònh höôùng bôûi tröôøng vectô phaùp tuyeán ñôn vò n.

- Cung chính quy treân maët S goïi laø moät ñöôøng tieàn traéc ñòa cuûa S neáu ñoä

cong traéc ñòa cuûa noù ñoàng nhaát trieät tieâu.

Töø ñoù suy ra moïi cung thaúng treân S laø ñöôøng tieàn traéc ñòa cuûa S vaø cung

song chính quy treân S laø ñöôøng traéc ñòa cuûa S khi vaø chæ tröôøng vectô phaùp tuyeán

chính ñôn vò cuûa noù.

N = ± n oρ ( Kg ≡ 0 ⇔ k ( T ∧ N ) ( noρ )= 0

⇔ N vaø noρ cuøng phöông)

- Cung tham soá t (cid:54) ρ (t) treân maët S goïi laø moät cung traéc ñòa cuûa S neáu ρ’’

vaø noρ cuøng phöông. Coi t (cid:54) ρ (t) laø quyõ ñaïo chuyeån ñoäng cuûa moät chaát ñieåm

döôùi taùc ñoäng cuûa moät löïc thì ρ laø moät cung traéc ñòa cuûa S khi vaø chæ khi löïc taùc

ñoäng luoân thaúng goùc vôùi S doïc quyõ ñaïo ñoù.

)(' tρ laø haøm haèng do

Neáu t (cid:54) ρ ∈ S laø moät cung traéc ñòa cuûa S thì t →

luùc ñoù ρ’’. ρ’ = 0.

Cung haèng (ρ’= 0 ) laø cung traéc ñòa (taàm thöôøng) cuûa S ; aûnh cuûa noù laø 1

ñieåm thuoäc S.

Cung traéc ñòa khoâng taàm thöôøng cuûa S laø tham soá hoùa vaän toác haèng cuûa

moät ñöôøng tieàn traéc ñòa. Ngöôïc laïi, tham soá hoùa vaän toác haèng cuûa moät ñöôøng

tieàn traéc ñòa cuûa S laø moät cung traéc ñòa cuûa S vì trong tham soá hoùa t (cid:54) ρ(t) nhö

''ρ laø haèng, neân ρ’’. ρ’= 0 töø ñoù kg ≡ 0 ⇒ ρ’’vaø noρ cuøng phöông. Vaäy

theá, do

coù theå noùi : ñöôøng tieàn traéc ñòa cuûa S laø cung chính quy treân S thöøa nhaän moät

tham soá hoùa laø cung traéc ñòa cuûa S.

2.5 TOÙM TAÉT SÔ LÖÔÏC VEÀ MAËT- COÂNG THÖÙC TÍNH TOAÙN

Trong phaàn naøy chuùng ta seõ lieät keâ taát caû nhöõng kieán thöùc chi tieát quan

troïng veà maët moät caùch coù heä thoáng cuøng vôùi nhöõng tính chaát cuûa chuùng. Thoâng

thöôøng chuùng ta giôùi thieäu moät maët ñòa phöông nhö laø aûnh cuûa moät pheùp dìm f :

U (cid:198)R3, chuùng ta thu thaäp ôû ñoù nhöõng coâng thöùc töø nhöõng phaàn ñaõ hoïc vaø theâm

vaøo ñoù moät vaøi coâng thöùc cho vieäc tính toaùn thöïc teá.

∧

f 1

E = < f1 , f1 > F = < f1 , f2 > G = < f2 , f2 >

f f

∧ ∧

−

= n =

L = < - n1 , f1 > M = < - n1 , f2 > = < - n2 , f1 > N = < - n2 , f2 >

det

f 11 f f

f 12 f f

f 22 f f

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

= < n , f11 > = < n , f12 > = < n , f22 > (A)

−

= = =

Nhaéc laïi raèng :

Ma traän cuûa - hp : Mp (cid:198) Mp

− E

−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

= Vôùi söï lieân quan tôùi ( f1 )p , ( f2 )P = ( gij )-1 ( lij )

( fi , gij , Lij nhaän giaù trò taïi ( s, t ) ; ôû ñoù p = f ( s , t ) )

Nhöõng ñoä cong chính K1 , K2 laø nhöõng giaù trò rieâng cuûa ma traän naøy vaø ñoä

K + 1 2

cong Gauss K = K1 . K2 , ñoä cong trung bình H =

(B)

LN – M 2 Vì vaäy K= vaø H = EG – F2 EN - 2FM + Gl 2 (EG – F2 )

(Daáu cuûa H phuï thuoäc vaøo daáu cuûa n, daáu cuûa K thì khoâng phuï thuoäc )

Trong phöông trình (B) , nhöõng veá traùi H vaø K nhaän ñöôïc giaù trò taïi

p = f(s, t ) nhöõng veá phaûi nhaän ñöôïc giaù trò taïi ( s , t ) ; nhöõng quy öôùc töông töï

seõ ñöôïc söû duïng trong nhöõng phöông trình coøn laïi.

H −2

Do K1 , K2 laø nhöõng nghieäm cuûa phöông trình λ2 - 2 H λ + K = 0 . ta coù

( C ) K1, K2 = H±

(Daáu cuûa K1 , K2 thay ñoåi khi daáu cuûa n thay ñoåi )

Thoâng thöôøng ngöôøi ta thöïc söï khoù khaên ñeå tìm nhöõng höôùng chính cuûa

vectô rieâng cuûa - hp . Chuùng ta nhaéc laïi raèng :

−

2 2

2 a 1

af1 + a2f2 laø moät vectô chính neáu vaø chæ neáu

aa 21 det E F G = 0

(D)

L M N

2 Khi K1 = K2 thì moïi phöông laø phöông chính. ÔÛ ñaây K (p) = K1 . K2 =

vaø H (p) = K1. Ñieåm P nhö vaäy goïi laø moät ñieåm roán cuûa s.

Taïi moät ñieåm roán ta coù :

L = K E , M = KF N = KG vôùi K1 = K2 = K (E)

Daáu cuûa K phuï thuoäc vaøo n

Ñieàu naøy coù theå cuõng ñöôïc suy ra töø ( D ) bôûi vì ñònh thöùc phaûi baèng 0 vôùi

moïi söï löïa choïn cuûa a1 , a2 .

Cuõng roõ raøng laø

a1 f1 + a2 f2 laø moät vectô tieäm caän neáu vaø chæ neáu ( F )

2 2

1 + 2M a1a2 + N a = 0

La 2

Cuoái cuøng cuõng deã thaáy raèng

Neáu F = M = 0 taïi moät ñieåm thì f1 vaø f2 laø nhöõng vectô chính taïi ñoù vaø

L E

N G

- hp ( f1 ) = f1 , - hp ( f2 ) = . f2 (G)

Khi maët cuûa chuùng ta laø ñoà thò cuûa moät haøm h : R2 (cid:198) R töùc laø S xaùc ñònh

bôûi tham soá hoùa (s,t) → f(s,t) = (s,t,h(s,t)) trong toïa ñoä Descartes vuoâng goùc

(s,t,z) cuûa E3

f ( s , t ) = ( s , t , h (s , t ))

f1 = ( 1 , 0 , h1( s , t ))

f2 = ( 0 , 1 , h2 (s, t )) fij = ( 0 , 0, hij )

Ta coù caùc coâng thöùc sau :

2 1

2 G = 1 + h 2

(

)1,

−

h 1

h 2

E = 1 + h F = h1h2

2 2

− 2 h 1

h 11

h 12

n = (A’)

2 h 1

2 2

2 h 1

2 2

h 22 2 h 1

2 h 2

−

h 11

2 h 12

M = N = L =

)

2 h 1

2 2

)

−

2 h 1

hhh 21

K = ( B' )

h 11 2/3

)

22 1(2 +

1( 2 h 1

2 h 2 2 2

H =

H −2

( C' ) K1, K2 = H ±

aa 21

det

2 a 1 h

a1f1 + a2f2 = ( a1 , a2 , a1h1 + a2h2 ) laø moät veùctô chính neáu vaø chæ neáu :

2 2 2 h 1

2 2

+ h

+ h 11

− hh 21 h 12

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎣

(D’)

2 2

2 1

h11 = K (1 + h ) h12 = K h1 h2 h22 = K ( 1 + h )

2 h + 1

2 2

(E’) taïi moät ñieåm roán vôùi K1 = K2 = K .

a1f1 + a2f2 = (a1 , a2 , a1h1 + a2h2 ) laø moät vectô tieäm caän

neáu vaø chæ neáu : (F')

2 2

2 1

h11 a + 2h12 a1a2 + h22 a = 0

Nhöõng coâng thöùc treân cuõng hoaøn toaøn höõu ích ñeå coù theå tính K vaø H ñoái

vôùi maët M = p ∈ R2 : W (p) = 0 . ÔÛ ñoù w : R3 (cid:198) R

Z Z

Ta coù theå choïn n = vôùi Z = (w1 , w2 , w3 )

Neáu α = ( a1 , a2 , a3 )P thì

∇αZ - α (

Z Z

1 Z

− α

= - ) Z hp(α ) = - Dα n = - ∇α

)

wa 1 i

wa 2 i

wa 3 i i

∑

1 Z

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

= - ( ∑

vuoâng goùc vôùi M

Vì

i waa∑

1 Z

< hp (α ) , α > = - ( wi j xaùc ñònh taïi p )

1 Z

laàn cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa Nghóa laø nhöõng ñoä cong chính K1 , K2 taïi p baèng -

ia = 1 vaø ∑ i i wa

∑ 2

i waa∑

= 0 treân S = ( a1 , a2 , a3 ) :

( wi , wij xaùc ñònh taïi p )

Duøng nhaân töû lagrang, nhöõng cöïc trò ñoù xaõy ra taïi( a1 , a2 , a3 ) ∈ S neáu vaø

)

(

)

(

)

chæ neáu coù λ, μ sao cho .

wa KiKi

2 a i

wa i i

∑ a

∑

Dj (

vôùi moïi j

Do WiK = WKi . Ta tìm ñöôïc

i wa∑

μ 2

= λ aj + wj

vôùi μ , λ naøo ñoù

2 ia

∑ iwa1

= 0 ∑ = 1 ,

i waa∑

Vì ta coù = λ , ñieàu naøy chæ ra raèng muoán coù nhöõng giaù trò cöïc

i waa∑

ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa thì chính xaùc nhöõng soá λ phaûi thoaû.

∑ ij i wa

μ 2

= λ aj + wj

vôùi ( a1 , a2 , a3 ) ≠ 0 vaø soá μ naøo ñoù.

= 0 ∑ i i wa

w 1

a 1

(

)

Ta coù theå vieát ñieàu naøy nhö sau

w ji

μ 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

vôùi ( a1 , a2 , a3 ) ≠ 0 vaø soá μ naøo ñoù

= 0 ∗ ∑ i i wa

w 1

a 1

(

)

−

(

wij

wij λ ) −

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

w 1 w 2 w 3 0

⎤ ⎥ 2 ⎥ ⎥ a ⎦ 3 wa 11

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ a ⎣ ⎦ 3 wa 2 2

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ w ⎦ ⎣ 3 wa 33

3 t

www 3 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Maët khaùc, vì

)(∗ luoân chính xaùc khi coù toàn taïi (a1 , a2 , a3 , t ) ≠ 0.

Chuùng ta thaáy raèng

Vì vaäy veá phaûi cuûa phöông trình treân laø coät vectô 0. Nhö vaäy muoán coù

−

nhöõng giaù trò λ thì veá traùi ma traän 4 x 4 coù ñònh thöùc baèng 0 :

λ. i

1 2 w 2

2 w 1

2 w 3

Ki =

)

I λ

−

wij (

∗∗

ÔÛ ñoù λi laø nhöõng nghieäm cuûa phöông trình toaøn phöông

w 1 w 2 w 3 0

www 2 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

= 0 det

Vì vaäy :

1 Soá haïng haèng soá trong (**)

2 1w

2 3w

2 2w

K = + + Heä soá cuûa λ2 trong (**)

(B’’)

1 Heä soá cuûa λ trong (**) H = -

2 w 1

2 2

2 w 3

H −2

2 Heä soá cuûa λ2 trong (**)

(C’’) K1 , K2 = H ±

Ñaëc bieät

λ 2

λ 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

λ ⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

, thì Neáu ( wij ) =

2 w 1

λλ 3

2 w 2

λλ 31

= K

[

]21 2 w λλ 3

(

1 2 w 2

2 w 1

22 w ) 3

(

)

(

)

(

2 w 1

+ λλ 2

2 w 2

+ λλ 1

2 w 3

+ λλ 2

+ [

])

1 2 w 2

2 w 1

2/32 w ) 3

Trong taát caû caùc coâng thöùc ñaõ cho ôû treân, daáu cuûa K1 , K2 vaø cuûa H phuï

thuoäc vaøo daáu cuûa n nhö laø vectô ñaõ chuaån hoùa ( w1 , w2 , w3 ).

= 0 Vì α laø moät vectô chính neáu vaø chæ neáu < hp ( α) ∧ α ,n >

chuùng ta thaáy raèng :

a 1 a

= 0

α = (a1, a2, a3 )p laø moät vectô chính neáu vaø chæ neáu

i wa i

∑

2 w 3

wa i 1 1 wa i 2 wa 3 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ∑ w 1 ⎢ ∑ w ⎢ ⎢ ∑ ⎣

( D'' ) det vaø

= 0

Chuùng ta bieát raèng p laø moät ñieåm roán neáu vaø chæ neáu ñònh thöùc trong ( D'' )

i wa i

. Cuoái cuøng, ta coù laø 0 ñoái vôùi moïi ( a1 , a2 , a3 ) vôùi ∑

α = (a1, a2, a3 )P laø moät vectô tieäm caän neáu vaø chæ neáu

= 0

waa i j ij

i wa

(F'') ∑ vaø ∑

-33-

CHÖÔNG 2.

KHAÛO SAÙT ÑOÄ CONG TRUNG BÌNH VAØ

ÑOÄ CONG GAUSS CUÛA MAËT

ÑOÄ CONG TRAÉC ÑÒA - CUNG TRAÉC ÑÒA

(cid:99) Maët baäc hai

I. Maët caàu : x2 + y2 + z2 = R2

(cid:131) Ñoä cong Gauss, ñoä cong trung bình

w (x, y , z ) = x2 + y2 + z2 - R2 = 0

w1 = 2 x w11 = 2

w2 = 2 y w22 = 2 wij = 0 i ≠ j

w3 = 2 z w33 = 2

− 0

2 λ − 0

λ − z 2

⇔

2(2()12( −

λ−

Xeùt phöông trình

[ −−

]))

⇔

( 2 -λ) [(2-λ)(-4z2)-4y2( -2 λ)]-2λ = 0

⇔

( 2 -λ)2 ( -4x2 - 4y2 - 4z2 ) = 0

( 2 - λ)2 ( -4 R2) = 0 λ = 2

1 2

4 1

+ +

K =

-34-

4 1

1 R

+ −

H = -

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

x2 + y2 + z2 = R2

pt tham soá f( u , v ) = ( R cosu cosv , R sinu cosv , R sinv )

f1 = ( - R sinu cos v , R cosu cos v , 0 )

≠

f2 = ( - R cosu sin v , - R sinu sinv , R cosv )

n = ( Cosu cosv , sinu cosv , sinv) ( cos v 0 )

* u → f (u , v )

f11 = ( R cosu . cosv , - R sinu cosv , 0 )

)

f1Λ f11 = ( 0 , 0 , R2 cos2 v )

sin. 3

cos 3

sin v cos

cos

= Kg(u) =

Kg(u) = 0 ⇔ sinv = 0 ⇔ V = kπ

-35-

⇒ f(u) = (Rcosu, Rsinu, 0 )

f (u)= ( -R cosu, -Rsinu , 0 )

Ñöôøng traéc ñòa laø ñöôøng troøn naèm treân mp (oxy) coù phöông trình x2 + y2 = R2

* v → f (u , v )

f22 = (- R cosu . cosv , - R sinu cosv , - R sinv )

f2Λ f22 = (R2 sin u , - R2cosu , 0 )

Kg(v) = 0 ∀u , vôùi u = u0 f ( u0 , v )=( Rcosu0 cosv, R sinu0cosv,Rsinv)

Ñöôøng traéc ñòa laø nhöõng ñöôøng troøn taâm o, baùn kính R

2. Elipsoid = 1

(cid:131) Ñoä cong Gauss, ñoä cong trung bình

w (x ,y , z ) = - 1 = 0

x 2

2 a

2 2 a

w1 = w11 = wij = 0 vôùi i ≠ j

y 2

2 b

2 2 b

w2 = w22 =

z 2

2 c

2 2 c

w3 = w33 =

Xeùt phöông trình

−

2 2

a 2

−

2 2

x 2 y 2

b 2

−

2 2

z 2

y 2

x 2

()

)

(

()

⇔ (

−

) λ

2 2

y 2

2 2

4 4

⎤ ⎥ ⎦

⎡ () ⎢ ⎣

()

(

−

0) =

-36-

x 2

2 2

x 2

2 2

⇔ -

(

()

)

(

()

−

) λ

−

) λ

z 4

2 2

y 4

2 2

x 4

2 2

−

16 222 cba

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

16 222 cba 2

−

y 4

x 4

z 4

y 4

z 4

x 4

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

K = .

222 cba

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

(

)

(

)

(

)

z 4 4

2 2

y 4

2 2

x 2

2 2

c 2

(

2.)

−

x 4

y 4

z 4

x 2

y 4

z 4

H = -

(

)

(

)

(

)

1 2

-37-

b x

)

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

+ = 1

phöông trình tham soá f ( u , v ) = ( a cosu cosv , bsinu cosv , csinv )

f1 = ( - a sinu cosv , b cosu cosv , 0 )

( bc

sin

cos

sin

f2 = ( - a cosu sinv , - b sinu sinv , c cosv )

cos 2

u 2

, 2

cos

ac 22 ca

22 cb

cos

sin

cos

) v 22 ba

sin

n = ( cos v ≠ 0 )

* u → f (u , v )

f11 = ( acosu . cosv , - b sinu sinv , 0 )

f1Λ f11 = ( 0 , 0 , ab sin2u cos2v + ab cos2u cos2v )

= ( 0 , 0 , abcos2 v )

22 ba

sin

cos

22 cb

cos

22 cav

sin

cos

22 ba

sin

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

Kg(u) =

Kg(u) = 0 ⇔ sinv = 0 ⇔ V = kπ ( k ∈ z )

-38-

f(u) = ( acosu, bsinu , 0 )

f(u) = (-acosu , -bsinu , 0 )

⇒ Ñöôøng traéc ñòa laø ñöôøng elip naèm treân maët ( oxy ) coù phöông trình :

* v → f (u , v )

f22 = ( - acosu cosv , - b sinu cosv , - c sinv )

22 cb

sin

cos

22 ca

cos

f2Λ f22 = ( bc sinu , - ac cosu , 0 )

u 2

cos 2

sin 2

cos 2

22 cb

cos

− 22 ca

cos

v 22 ba

sin

−

Kg(v) =

2sin u 2

cos 2

22 cb

cos

22 ba

sin

cos u 22 ca

sin

cos

−

c 2

v 2

.2sin u 22 ca

22 cb

cos

sin

cos

22 ba

sin

π 2

( k ∈ z ) Kg(v) = 0 ⇔ sin2u = 0 ⇔ u = k

⇔ f ( v ) = ( 0 , ± bcosv , csinv )

f ( v ) = ( a cosv , 0 , csinv )

Ñöôøng traéc ñòa laø nhöõng elip coù phöông trình :

y b

z c

= 1

−

-39-

3. Hyperboloid eliptic ( moät taàng)

(cid:131) Ñoä cong Gauss, ñoä cong trung bình

−

= 0 w(x , y , z ) =

x 2

2 a

2 2 a

w1 = w11 =

y 2

2 b

2 2 b

w2 = w22 =

2 2

2 z− 2 c

− c

w3 = w33 =

−

2 2 a

−

2 2 b

Xeùt phöông trình

−

x 2 2 a y 2 2 b 2 − 2 c

y 2

x 2

2 − 2 c 2 − 2 c

2 b

2 a

(

)

λ−

λ+

()

)

(

)

= 0

−

⇔(

λ )

x 2

y 2

2 −2 a

2 a

2 2 b

2 2 c

2 a

z 4 4 c

2 2 b

2 b

2 2 c

2 b

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

(

()

)

)(

)

()

)

(

−

+ ( = 0

⇔

x 4 4 a

2 2 b

2 2 c

y 4 4 b

2 2 a

2 2 c

z 4 4 c

2 2 a

2 2 b

−

x 4

y 4

z 4

4 22 cb

4 22 ca

4 22 ba

−

x 4

y 4

z 4

x 4

y 4

z 4

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

K =

222 cba

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

(

)

(

)

(

)

−

x 4

2 2

y 4

2 2

z 4

2 2

-40-

a 2

y 4

z 4

x 4

y 4

x 4

z 4

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

b ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(

)

(

)

(

)

−

1 2

H = +

c 3

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

x a

y b

z c

(

)

cos

(

)

sin

(

)

−

= 1

1 v

a 2

b 2

c 2

1 v

(

sin)

(

)

pt tham soá :f( u , v ) = , ,

1 v

a 2

b 2

1 2v

cos

sin)

(

, cosu , 0 ) f1 = ( -

− 2

+ 2

va + 2

− v

b 2

vc 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

cos

sin

−

vcb . 2 2

+ 2

vca . 2 2

+ 2

vba . 2 2

− 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

f2 =

1 )

sin

(

)

cos

(

)

+ 2

− 2

c 4

a 4

+ 2

c 4

b 4

a 4

b 4

• u → f ( u , v )

(

)

cos

(

)

n =

1 v

a 2

b 2

, - sinu , 0 ) f11 = ( -

-41-

1 v

a 2

b 2

. ( v + )2 ) f1Λ f11 = ( 0 , 0 ,

(

sin

cos

)

1 v

a 4

b 4

−

a 4

b 4

− 2

(

1 )

sin

cos

(

1 )

− 2

c 4

a 4

+ 4

c 4

b 4

c 4

b 4

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

Kg(u) = .

Kg(u) = 0 ⇔ V = ± 1

f(u) = (acosu , bsinu , 0 )

⇒ Phöông trình ñöôøng traéc ñòa :

• V → f(u , v )

f(u) = ( - acosu , - bsinu , 0 ) 2 y Ñöôøng traéc ñòa laø elip coù phöông trình :

a 3v

b 3v

c− 3v

sin.

cos

−

cosu , sinu , ) f22 = (

bc 3

ac 3

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

⇒kg(v)=

1 3

au (.2 2

− 2

) 2

2. v

22 ca

(

sin

cos

vbau (

c sìn . 22 cbu +

−

f2Λ f22 =

π 2

(k∈ z) kg (v) = 0 ⇔ u = k

⇒ Phöông trình ñöôøng traéc ñòa .

-42-

b 2

1 v

c 2

1 v

(v + ) , (v - ) ) f(v) = ( 0 , ±

a 2

1 v

c 2

1 v

−

(v+ ) , 0 , (v - ) ) f(v) = (±

b x

c z

−

hay = 1

−

−=

= 1

4. Hyperboloid ( hai taàng)

(cid:131) Ñoä cong Gauss, ñoä cong trung bình

Töông töï nhö Hyperboloid eliptic moät taàng

222 cba

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

(

)

(

)

(

)

−

1 2

K =

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

H =

-43-

−

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

(

)

cos

(

)

sin

−

(

)

= -1

1 v

a 2

b 2

c 2

1 v

(

sin)

(

)

−

pt tham soá : f( u , v ) = , ,

1 v

a 2

b 2

sin

cos

, cosu , 0 ) f1 = ( -

+ 2

− 2

vc . 2

vb 2

va 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

f2 =

(

cos

sin

−

− 2

+ 2

vba . 2 2

-44-

vca . 2 2 2

vcb 2 2 2

)

(

cos

(

)

sin

(

)

+ 2

− 2

a 4

c 4

b 4

c 4

a 4

b 4

• u → f ( u , v )

(

)

cos

(

)

−

n =

1 v

a 2

b 2

, - sin u , 0 ) f11 = (

1 v

a 2

b 2

.( v - )2) f1Λ f11 = ( 0 , 0 ,

sin

cos

−

b 4

1 v

a 4

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

−

+ 2

a 4

b 4

(

1 )

sin

(

)

cos

(

1 )

+ 2

− 2

c 4

a 4

c 4

b 4

a 4

b 4

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

≠ 0 , ∀∨

⇒ khoâng coù ñöôøng traéc ñòa

• V → f(u , v )⇔

. Kg(u) =

a 3v

c 3v

b− 3v

−

cosu , sin u , ) f22 = (-

sin. 3

cos 3

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

f2Λ f22 =

(

)

−

⇒ Kg(v)=

c )1 2

3 v .2.

22 ca

(

v 2 sin.)1

(

cos

22 vba (

−

bu .(2sin. 22 cbu +

−

-45-

π 2

Kg(v) = 0 ⇔ μ = k k ∈ z

Phöông trình ñöôøng traéc ñòa

b 2

1 v

c 2

1 v

(v - ) , (v + )) f(v) = ( 0 , ±

c 2

1 v

a 2

1 v

−

f(v) = (± (v - ) , 0 , (v + ))

−

hay = -1

= - 1

x a

y b

5. Paraboloid eliptic

−

(cid:131) Ñoä cong Gauss, ñoä cong trung bình

x a

y + 2 b

= 0 w (x , y , z ) =

x 2

2 a

2 2 a

w1 = w11 =

y 2

2 b

2 2 b

w2 = w22 =

w3 = - 1 w33 = 0

Xeùt phöông trình

−

2 2 a

−

-46-

2 2 b

−

2 x 2 a 2 y 2 b 1 −

−

0 2 x 2 a

0 2 y 2 b

(

)

−

)

λ−

= 0

⇔ (

λ )

y 2

x 2

2 2 b

2 b

2 −2 a

2 a

2 2 b

xλ 2 2 a

⎡ ⎢ ⎣

y 2 λ ⎤ ⎥ 2 b ⎦

2 λ

+ . = 0

⇔

(

()

)

(

()

−

2 2

2 λ ) 4

2 2

= 0

−

4 x 4 a

4 y 4 b

4 x 4 a

4 y 4 b

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

4 − 2 2 ba ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠

K =

22 ba

x 4

y 4

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

(

)

2 2

1 2

x 8 24 ba

y 8 42 ba 1

z 4 22 ba 3

x 4

y 4

x 4

y 4

x 4

y 4

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

H =

+ ) Löu yù: Ta coù theå tính K1H theo coâng thöùc (B’) 2.5. vôùi f(x,y) = ( x, y ,

-47-

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

x a

y b

z =

x a

y b

f ( x , y ) = ( x , y , )

x 2

2 a

) f1 = ( 1 , 0 ,

y 2

2 b

) f2 = ( 0 , 1 ,

y− 2 2 b

x− 2 2 a

(

)1,

, , 1 ) f1 Λ f2 = (

(

2 − 2 a 2 4 x 4 a

2 − 2 b 2 4 y 4 b

n =

• x → ( f ( x , y )

-48-

2 2 a

)0,

) f11 = ( 0 , 0 ,

2 − 2a

f1 Λ f11 = ( 0 , -

)

(

x 4

y 4

Kg(x) =

Kg(x) = 0 ⇔ y = 0

x a

• y → f ( x , y )

Phöông trình ñöôøng traéc ñòa : z =

2 2 b

) f22 = ( 0 , 0 ,

2 2 b

−

, 0 , 0 ) f2 Λ f22 = (

2 ba .

)

(

y 4

x 4

y 4

Kg(y) =

Kg(y) = 0 ⇔ x = 0

y b

Phöông trình ñöôøng traéc ñòa : z =

−

6. Paraboloid Hyperbolic

−

(cid:131) Ñoä cong Gauss, ñoä cong trung bình

w (x , y , z ) = = 0

x 2

2 a

2 2 a

w1 = w11 =

-49-

2 2

y− 2 2 b

− b

w2 = w22 =

w3 = - 1 w33 = 0

−

2 2 a

−

2 2

Xeùt phöông trình

− b

−

2 x 2 a 2 − 2 b 1 −

−

0 2 x 2 a

0 2 − 2 b

(

)

(

)

λ+

⇔ (

λ )

= 0

y 2

x 2

2 2 b

2 b

2 a

2 2 b

2 −2 a

xλ 2 2 a

⎡ ⎢ ⎣

y 2 λ ⎤ ⎥ 2 b ⎦

2 λ

(

()

)

(

)

−

⇔

- ( ) = 0

2 2

2 λ 4

2 2

−

= 0

−

22 ba

x 4

y 4

x 4

y 4

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

4 22 ba ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

(

)

−

1 2

2 2

x 8 24 ba

K =

z 4 22 ba 3

a 2

x 4

y 4

x 4

y 4

x 4

y 4

y 8 42 ba ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

H = +

Löu yù: Ta coù theå tính K, H theo coâng thöùc (B’) – 2.5. vôùi f(x,y) = (x,y, - )

-50-

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

−

- z =

) f ( x , y ) = ( x , y ,

x+ 2 2

) f1 = ( 1 , 0 ,

y− 2 2

−

(

)1,

2 x 2

2 2

) f2 = ( 0 , 1 ,

(

b 2 y 4

a 2 x 4

n =

• x → f ( x , y )

-51-

2 2 a

)0,

) f11 = ( 0 , 0 ,

2 2a

−

f1 Λ f11 = ( 0 , -

2 ba .

)

x 4

y 4

Kg(x) =

Kg(x) = 0 ⇔ y = 0

• y → f ( x , y )

−

Phöông trình ñöôøng traéc ñòa : z =

2 2

−

) f22 = ( 0 , 0 ,

2 2

, 0 , 0 ) f2 Λ f22 = (

2 ba

)

y 4

x 4

y 4

Kg(y) =

Kg(y0 = 0 ⇔ x = 0

y− 2

Phöông trình ñöôøng traéc ñòa : z =

II.Maët sinh ra bôûi caùc ñöôøng tieáp tuyeán cuûa moät ñuôøng cong trong R3.

f(s, t) = c(s) + tc’(s)

f1 = c’(s) + tc’’(s)

f2 = c’(s)

f11 = c’’(s) + tc’’’(s)

-52-

f12 = c’’(s)

f22 = 0

E = < f1, f1 >

F = < f1, f2 >

G = < f2, f2 >

f ∧ 1

det

f 11 f

det

c s )('' sc )('

tc tc

s )('' )('' s

+ +

sc )('

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

EG – F2 =

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 2

−

= L = < n, f11 >=

f 12 f

det

s )(''

det

c s )('' sc )('

s )('' )('' s

sc )('

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

M = < n, f12 >

c ⎡ ⎢ tc ⎢ ⎢ ⎣ 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 2

−

= = = = 0

⇒ K = 0

N = 0

III -Maët keû

Maët keû laø maët sinh ra bôûi moät ñöôøng thaúng phuï thuoäc moät tham soá. Noùi

caùch khaùc ñoù laø caùc maët maø tham soá cuûa noù coù daïng

f (s,t) = c (s) + tδ (s)

vôùi c(s) , δ (s) laø hai ñöôøng cong

vì f1 = c’ + δ’

f2 = δ

-53-

* AÙnh xaï f laø moät pheùp dìm khi δ vaø c’ + δ’ laø ñoäc laäp tuyeán tính.

* Coá ñònh S, ta coù f (s,t) cho ta nhöõng ñöôøng thaúng ñi qua c(s). Caùc ñöôøng

thaúng naøy goïi laø ñöôøng thaúng sinh cuûa maët.

f(s, t) = c1 (s) + t. δ(s)

' 1c

(s) + tδ’(s) f1 =

f2 = δ (s)

f11 = c’’(s) + tδ’’(s)

f12 = δ’(s)

det

f 11 f

det

c s )('' sc )('

s )('' )(' s

+ +

t δ t δ

s )(

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

f22 = 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 2

−

= L = < n, f11 >

det

f 12 f

det

s )('

t δ

s )(

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

s )(' δ ⎡ ⎢ sc )(' ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

s )(' δ ⎡ ⎢ sc )(' ⎢ ⎢ ⎣

-54-

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 2

−

= = M = < n, f12 >=

del

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

N = < n, f22 > = 0

LN EG

M F

− −

s )(' δ ⎡ ⎢ sc )(' ⎢ ⎢ s )( ⎣ EG

⎞ ⎤ ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ ⎦ ⎠ 22 )

(

−

K = = -

Sau ñaây ta quan taâm ñeán moät soá maët keû thoâng duïng. Tröôùc treân ta quan

taâm ñeán baêng Mobius. Ta coù tham soá hoùa cuûa baêng Mobius laø

s 2

f(s,t) = (coss + t cos coss , sins + tcos sins , t sin )

c (s) = ( coss , sins , 0 )

s 2

⇒ c’(s) = ( - sins , coss , 0 )

⇒ δ’ (s) = ( -

coss , cos sins , sin ) δ (s) = ( cos

s 2

1 2

s 2

1 2

s 2

sin coss – sins cos , - sin . sins + coss cos ,

1 2

s 2

cos )

f ∧ 1

s 2

1 4

EG – F2 = ( 1 + t cos )2 + t2 =

sin

cos

sin

cos

sin

cos

−

1 − 2

s 2

1 − 2

s 2

1 2

det

−

cos

sin

sin s 2

s 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

-55-

cos s 2 2

)

cos

1( ++

s 2

1 4

⎤ ⎥⎦

⎡ ⎢⎣

−

K =

cos

)

1 4

s 2

⎡ ⎢⎣

⎤ ⎥⎦

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa cuûa baêng Mobius

s 2

f(s, t ) = ( coss + tcos coss , sin s + tcos sins , t sin )

s 2

1 2

s 2

1 2

s 2

t sin coss - tsins cos , coss - t sin sins f1 =(-sin s -

s 2

1 2

s 2

+ t cos coss, t cos )

s 2

coss , cos sins , sin ) f2 = ( cos

s 2

1 2

s 2

1 2

s 2

coss - tsin2 sin s + t.coss cos . sin - t cos2 sins, = ( sin

1 2

s 2

1 2

s 2

t. cos2 coss + sin sins + tsin2 coss + tsins. sin cos ,

s 2

1 2

s 2

- sin2s cos - t sin . cos . sins coss - t sin2s. cos2

s 2

1 2

s 2

- cos2s cos + t sin .cos sins cos - t. cos2 . cos2s )

s 2

1 2

s 2

1 2

coss + t sin s. coss - t sins , sin sins + t coss n = ( sin

f ∧ 1

1 2

s 2

+ t sin2s , - cos - t cos2 ) /

-56-

s 2

1 4

s 2

1 2

s 2

1 2

t. cos coss + t sin sins- t coss. cos + tsinssin , f11 = ( - coss -

s 2

1 2

s 2

1 4

s 2

1 2

s 2

– sins - t cos sins - t sin coss - t sins. cos - t. coss sin ,

1 4

s 2

t sin ) -

5 4

s 2

5 4

s 2

= (- coss - t cos coss + t sin sins , - sins - t cos sins

s 2

1 4

s 2

t sin coss , - t.sin )

s 2

1 4

s 2

1 4

s 2

1 8

s 2

t.sin coss + t2 sin2 sins - t2 sin cos coss f1Λ f11 = ( -

s 2

1 2

s 2

1 2

s 2

5 8

s 2

+ t cos sins + t2 cos2 sins + t2 sin . cos coss,

s 2

1 2

s 2

1 2

s 2

5 8

s 2

- t cos coss - t2 cos2 coss + t2 sin . cos . sins

s 2

1 4

s 2

1 4

s 2

1 8

s 2

t.sin sins - t2sin2 coss - t2 sin cos sins , -

1 2

s 2

5 4

s 2

sin2s + t cos . sin2s + tsin sins coss + t sin sins coss +

s 2

1 2

s 2

5 8

t2 sin cos sins coss + t2 sin2 . cos2s + t sin2s. cos +

s 2

5 4

t2 sin2s . cos2 + t2 sin cos sins coss + cos2s + t cos . cos2s

s 2

1 2

s 2

5 8

s 2

- tsin . sins coss - tsin sins coss - t2 sin cos sins coss

s 2

5 4

s 2

1 2

- t2 sin

t2 sin2 sin2s + tcos cos2s + t2 cos2 . cos2s +

s 2

.cos sins coss )

-57-

1 8

s 2

1 2

1 4

s 2

1 8

= (- tsin coss + t2sin2 sins + t2sins. coss + t. cos sins+

s 2

5 8

1 8

s 2

1 4

s 2

1 2

5 8

s 2

t2cos2 sins , - t. cos coss - t2cos2 . coss + t2sin2s - tsin sins

s 2

1 2

s 2

5 4

1 8

s 2

9 4

- t2sin2 . coss , 1 + t.cos + t2sin2 + t2cos2 )

* s → f(s, t )

s 2

1 8

s 2

1 8

1 4

t.sin2 . cos2s + t2 sin3 sins.coss + t2sin sins cos2s (f1∧ f11 ) n = -

s 2

5 8

s 2

1 2

+ tsin .cos sins.coss + t2sin .cos2 sins.coss

1 16

s 2

1 16

s 2

1 8

t2sin sins cos2s + t3 sin2 .sin2s.coss + t3sin2s. cos2s -

5 16

s 2

1 4

+ t2. cos . coss sin2s + t3 cos2 . sin2s. coss

s 2

1 16

s 2

1 8

+ t2sin sins.coss - t3 sin2 .sin2s - t3 sin2s coss

s 2

5 16

s 2

1 4

t2 cos .sin2s - t3. cos2 . sin2s -

5 8

s 2

1 2

- t.sin . cos sins.coss - t2sin .cos2 sins.coss

1 4

s 2

1 8

s 2

1 8

+ t2sin sin3s - t.sin2 . sin2s - t2 sin3 sins.coss

s 2

5 16

1 16

s 2

1 4

t2 cos . cos2s - t3. cos2 cos2s t3 sin2 s.coss -

s . cos2s - 2

1 4

s 2

1 16

s 2

1 8

- t2sin sins coss - t3 sin2 t2 cos .coss. sin2 s

1 16

1 8

s 2

5 16

t3cos2 coss. sin2 s t3 sin4s - t2sin . sin3s -

s 2

9 4

s 2

1 16

- t3sin2 sin2 s.coss - cos - t. cos2

-58-

s 2

1 2

s 2

9 4

s 2

5 4

- t2sin2s . cos - t2cos3 - t. cos2 t2cos3 -

f ∧ 1

s 2

1 2

s 2

5 4

t3 sin2 . cos2 - t3cos4 / -

1 4

s 2

14 4

s 2

1 4

s 2

= - cos - t - 3t. cos2 - t2.cos3 t2 cos -

1 4

s 2

1 8

5 4

s 2

1 16

t2sin sins + t3 sin2s- t3 sin2 - sin2s - t3.cos4 -

f ∧ 1

5 16

s 2

t3cos2 / -

1 16

s 2

3 4

s 2

1 4

= - t3( 4 cos2 +1)2 - cos (4 cos2 +1)t2 - cos - t

f ∧ 1

s 2

/ - 3t. cos2

s 2

Kg(s) = 0 ⇔ ( 4 cos2 +1)2.t3 + 12 cos (4. cos2 +1).t2 +48 cos2 .t

s 2

cos

22 t

)1 t

s 2

+ 4t + 16 cos = 0

cos

s 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

s 2 2 s 2

cos

−

cos

−

⇔

s 2 s cos

23 +

cos

s 2 s 2 + 2

⇔ t = =

Phöông trình ñöôøng traéc ñòa

− 2 cos

+ cos

sin cos s

s cos s +

s +

sin2 s 3 s +

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

f(s) =

* t → f (s , t )

-59-

f22 = ( 0 , 0 , 0 , )

(f2 ∧ f22 )n = 0

vôùi s = s0 phöông trình ñöôøng traéc ñòa

0s 2

) f(t) = ( coss0 + tcos coss0 , sins0 + tcos sinso , t sin

2. Helicoid

Maët sinh ra bôûi caùc ñöôøng thaúng vuoâng goùc truïc oz baèng caùch chuyeån

ñoäng xoaén. Ta coù phöông trình cuûa helicoid laø:

f(s, t) = ( t coss , tsins , bs ) ; b ≠ 0

δ(s) = ( coss , sin s , 0 ) --> δ’(s) = ( -sins , coss , 0 )

c (s) = ( 0 , 0 , bs ) --> c’(s) = ( 0 , 0, b )

, f1 = ( - tsins , tcoss , b ) f11 = ( - tcoss , – t sins , 0 )

, f2 = ( coss , sins , 0 ) f12 = ( - sins , coss , 0 ) ,

f22 = ( 0 , 0 , 0 )

, L = 0 , M = b , N = 0

E = < f1 , f1 > = t2+b2

⇒ EG – F2 = t2+b2

F = 0

det

sin 0 cos

0 b 0

−

⎡− ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

G = 1

t (

22 )

(

cos 0 s sin 22 )

−

K = - = , H = 0

-60-

Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

f(s,t) = ( t coss , t sins , bs )

f1 = ( - t sins , tcoss , b )

(

sin

)

−

f2 = ( coss , sins , 0 )

bs , 2

cos 2

f1 ∧ f2 = (- bsin , b coss , -t ) ⇒ n =

-61-

* s → f(s , t )

f11 = ( -t coss , - t sins , 0 )

2 tb

f1 ∧ f11 = ( btsins , - btcoss , t2 )

t − 2 +

− (

t − )22

Kg(s )= = (

Kg(s)= 0 ⇔ t = 0 ⇒ Phöông trình ñöôøng traéc ñòa f( s, 0 ) = (0 , 0 , bs )

* t → f(s , t )

f22 = ( 0 , 0 , 0 ) ⇒ Kg(t) = 0 , ∀s

⇒ Pt ñöôøng traéc ñòa

f (s0 , t ) = ( t coss0 , tsins0 , bs0 )

IV.Maët troøn xoay

Maët troøn xoay (s) laø maët coù ñöôïc do moät ñöôøng cong phaúng ( c ) quay quanh

moät ñöôøng thaúng L naèm trong cuøng maët phaúng cuûa ( c ).

cuûa (c) goïi laø ñöôøng kinh tuyeán (meridian) cuûa s, caùc ñöôøng troøn sinh bôûi moãi

ñieåm treân (c )goïi laø caùc ñöôøng vó tuyeán ( parallel ) cuûa s.

Trong khoâng gian oxyz, cho ñöôøng cong (c) naèm trong nöûa maët phaúng

(x,z); quay (c) quanh oz ta coù tham soá hoùa maët troønh xoay.

f(s,t) = ( c1(s) cost , c1(s)sint , c2(s) )

-62-

Caùc ñöôøng s = const goïi laø ñöôøng vó tuyeán ( parallel)

cos

sin)(

' 2

' sc 1

' sc )( 1

sin)(

cos

))( s )0,

sc− 1

sc )( 1

sin)(

cos

'' sc )( 1

'' sc 1

'' 2

sin)(

cos

Caùc ñöôøng t = const goïi laø ñöôøng kinh tuyeán. ( Meridian)

' sc− 1

' sc )( 1

sin)(

−

))( s c )0,

)0,

sc )( 1

sc 1

.)(

s )(

cos

s sin.)(

−

cos ( −

)

sc 1

' 2

scsc .)( )( 1

' 1

' 2

f(s,t) = c1 (s) cost , c1(s) sint , c2(s) f1 = ( f2 = ( f11 = ( f12 = ( f22 = ( −

f f

f 1 f

∧ ∧

s )(

csc ( ). 1 2' c 1

2' 2

sc ( 1

(

s )(

cos

s sin)(

))

−

' 2

' sct ( 1

n =

s )(

2' c 1

s )(

2' c 1

2' 2

E = < f1 , f1 > =

F = < f1 , f2 > = 0

2 1c

(s) G = < f2 , f2 > =

s )(

s .)(

s )(

−

' 2

' csc .)( 1

'' 2

'' c 1

-63-

s )(

2' c 1

2' 2

L = < n , f11 > =

.)(

' 2

M = < n , f12 > = 0

s )(

sc 1 2' c 1

s )( 2' 2

s .)(

s )(

s .)(

s )(

−

' 2

]

N = < n , f22 > =

−

[ c s .)(

' 2 c

' 1 c

s )(

'' 1 s )(

'' 2 +

s )( 2 1

s .)( 2' 1

[

] 2

− 2' 2

s )(

−

]

[ c

' 2

' 1 s .)(

'' 2 s )(

s .)( [ c

s .)( ] 2

c 2' 1

'' c 1 2' s )( 2

K =

Baây giôø chuùng ta khaûo saùt vaøi maët troøn xoay quen thuoäc.

1. Maët xuyeán ( Torus)

Baèng caùch quay ñöôøng troøn baùn kính r quanh truïc oz sao cho taâm cuûa noù

cos

)

cos

sin)

, bt

sin

ba +

taïo thaønh moät ñöôøng troøn baùn kính R.

sin

cos

−=

f (s, t) = ( (

' sc )( 1

'' sc )( 1

cos

sin

−=

s c1(s) = a + b cos s →

' sc )( 2

'' sc )( 2

.)(

s )(

.)(

s )(

−

' 2

'' 2

'' sc 1

' 2

b ]

s )(

K =

[

]2

2' 2

cos

sin

cos

)

c2(s) = b sin s → [ ' scs )( 1 2' csc )( 1 1

cos cos

(

s bs )

b ba +

(

s cos

)

cos bab +

(

cos

sin

cos

ba +

bs ( ( bs )

= = =

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

f (s, t ) = (( a + bcoss) cost , ( a + b coss ) sint , bsins )

-64-

f1 = ( -b sinscost , - bsinssint , bcoss)

f2 = ( - (a + b coss ) sint , ( a + b coss ) cost , 0 )

f 2 f

∧ ∧

f 1 f 1

= ( - coss cost , - coss sint , - sins ) n =

* s → f(s , t )

f11 = ( -b coss cost , -bcoss sint , - bsin s )

⇒ Kg(s) =

f1 ∧ f11 = ( b2 sint , - b2 cost , 0 )

∀t

vôùi t = t0

Ñöôøng traéc ñòa coù phöông trình tham soá

f(s, t0 ) = ( (a + bcoss ) cost0 , ( a + b coss ) sint0 , bsins )

* t → f ( s, t )

f22 = ( - ( a + b coss ) cost , - ( a+b coss ) sint , 0 )

(

cos

)

−

ba +

⇒ Kg(t) =

sin. 3

cos

ba +

f2 ∧ f22 = ( 0 , 0 , ( a +b coss)2 )

-65-

⇒ ñöôøng traéc ñòa: f (s, t ) = (( a +b ) cost , ( a + b )sint , 0 )

Kg(t ) = 0 ⇔ sins = 0 ⇔ s = 0 + kπ

f (s , t ) = (( a - b )cost , ( a - b ) sint , 0 )

2. Catenoid

z a

Laø maët troøn xoay sinh ra bôûi ñöôøng daây xích coù phöông trình x = ach ( )

quay chung quanh truïc oz

Phöông trình tham soá:

s a

f(s, t) = ( ach cost , ach sint, s )

s a

1 a

s a

⇒ (s) = sh , (s) = ch c1(s) = ach

sh2

(s) = 1 , (s) = 0 c2(s) = s ⇒

s a

1− a

sh2

, F = 0 , G= a2ch2 , L = ch / , M = 0 E = 1 + sh2

s a

−

N = ach /

s a

⎤ 1 ⎥⎦

⎡ ⎢⎣

K = , H = 0

-66-

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

s a

f(s, t ) = ( a ch . cost , a ch .sint , s )

s a

cost , sh .sint , 1 ) f1 = ( sh

s a

sint , a ch cost , 0 ) f2 = ( - ach

cha .

cos

ach

sin

ash

−

s a

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

-67-

s a f

f f

∧

∧ ∧

f 1 f 1

cos

sin

−

s a

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

n = =

s a

* s → f (s , t )

1 a

s a

1 a

s a

ch . cost , ch sint , 0 ) f11 = (

s a

1 a

s a

⇒

ch sint , ch , cost , 0 ) f1 ∧ f11 = ( -

Kg(s) = 0 , ∀t

s a

Vôùi t = t0 phöông trình ñöôøng traéc ñòa ( ach cost0 , ach sint0 , s )

+ t→ f (s , t )

s a

cost , - ach sint , 0 ) f22 = ( - ach

s a

2 cha

s a

) f2∧ f22 = ( 0 , 0 , a2ch2

s a 2

ach

3 cha

1(.

)

s a

s a s a

Kg(t) = =

Kg(t)= 0 ⇔ s = 0

Phöông trình ñöôøng traéc ñòa ( a cost , a sint , 0 )

-68-

CHÖÔNG 3.

MAËT CÖÏC TIEÅU

Khi nghieân cöùu veà maët, moät trong caùc vaán ñeà ñöôïc quan taâm laø nghieân

cöùu maët coù ñoä cong H = 0. Nhö ñaõ bieát maët coù dieän tích cöïc tieåu trong taát caû caùc

maët coù cuøng moät bieân C thì noù phaûi coù ñoä coù ñoä cong H = 0. Chính vì vaäy ta goïi

caùc maët naøy laø maët cöïc tieåu ( minimal).

Ta ñaõ gaëp hai maët trong quaù trình khaûo saùt ôû treân ta coù ñoä cong H = 0

Ñoù laø Helicoid vaø Catenoid. Ñaây laø 2 maët cöïc tieåu khoâng phaúng ñöôïc phaùt hieän

bôûi Meusnier vaø söï phaùt hieän naøy gôïi yù cho ta nghieân cöùu lôùp caùc maët cöïc tieåu

khaùc.

Ta coù keát quaû sau ñaây:

Moïi maët troøn xoay cöïc tieåu lieân thoâng hoaëc laø maët phaúng hoaëc laø

Catenoid.

Baây giôø ta nghieân cöùu ñeán maët keû

-69-

f(s,t) = σ (s) + tδ(s)

| δ | = | δ’| = 1 , < σ’ , δ’ > = 0 ; δ , σ’ ñoäc laäp tuyeán tính.

Ta coù: f1 = σ’ + tδ’ , f2 = δ

f11 = σ’’ + tδ’’ , f22 = 0

EG −

f12 = δ’

F = < δ , σ’ > , G = 1 . Ñaët W =

1 W

+ + δ

' δ + δ

'' σ ⎡ ⎢ ' σ ⎢ ⎢ ⎣

⎡ ⎢ ' σ ⎢ ⎢ ⎣

t '' δ ⎤ ⎥ t ' δ ⎥ ⎥ ⎦

⎤ ⎥ t ' δ ⎥ ⎥ ⎦

L = det , M = det , N = 0

' δ

Ta coù H = 0

+ δ

+ + δ

⎤ ⎥ t ' δ ⎥ ⎥ ⎦

t '' δ ⎤ ⎥ t ' δ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ' σ ⎢ ⎢ ⎣

'' σ ⎡ ⎢ ' σ ⎢ ⎢ ⎣

+ det Khi 0 = -2 < δ , σ’ > det

Khai trieån, ñoàng nhaát heä soá cuûa vôùi 0, ta coù:

' δ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ' σ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ δ ⎣ ⎦

= 0 (1) < δ , σ’ > det

'' σ ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ' δ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ δ ⎦ ⎣

'' δ ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ' σ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ δ ⎦ ⎣

(2) det + det = 0

'' δ ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ' δ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ δ ⎦ ⎣

(3) det = 0

phöông trình (3) cho ta δ’’ laø toå hôïp tuyeán tính cuûa δ , δ’.

Ta cuõng coù

< δ’ , δ’ > = 1 ⇒ < δ’ , δ’’ > = 0

-70-

⇒ < δ’ , δ’ > + < δ , δ’’ > = 0

⇒ < δ , δ’’ > = -1

< δ , δ > = 1 ⇒ < δ , δ’ > = 0

Ñieàu naøy cho ta δ’’ = - δ

Nghóa laø - δ laø vec tô phaùp tuyeán N cuûa ñöôøng cong δ vaø ñoä cong cuûa δ laø K = 1.

Hôn nöõa

⇒ B’ = - (δ’ ∧ δ)’ = - (δ’ ∧ δ’) - (δ’’ ∧ δ ) = 0

B = T ∧ N = δ’ ∧ ( - δ )

⇒ δ laø ñöôøng troøn baùn kính 1. Giaû söû

δ (s) = ( coss, sins , 0 )

Ñoä xoaén T = 0 ⇒ δ laø ñöôøng cong phaúng

Trong phöông trình (2), ñònh thöùc thöù hai baèng 0. Vaäy σ’’ laø toå hôïp tuyeán

σ (s) = ( α (s) , β (s) , bs + a )

σ’(s) = (α’(s) , β’(s) , b )

tính cuûa δ , δ’ nghóa laø σ’’naèm trong maët phaúng (x,y) neân σ coù daïng

Ta coù theå giaû thieát a = 0 ( tònh tieán doïc truïc Z )

Xeùt phöông trình (1)

δ’ (S0) vaäy b = 0. Trong tröôøng hôïp naøy moïi ñöôøng sinh thaúng σ (s) + tδ (s) naèm

Neáu thöøa soá thöù hai = 0 vôùi S = S0 naøo ñoù thì σ’ (So) laø toå hôïp cuûa δ (S0) ,

treân moät maët phaúng neân maët coù ñöôïc laø maët phaúng.

Neáu b ≠ 0 thì ∀s, ta coù:

⇒

0 = < δ (s) , σ’(s) > = α’(s) coss + β’(s) sins

0 = < δ’(s) , σ’(s) > = - α’ (s). sins + β’(s) coss

-71-

⇒

α’ = β’ = 0 ⇒ α , β = const

Vaäy maët ñaõ cho coù daïng f(s,t) = (α + tcoss , β + tsins , bs )

Tònh tieán trong maët phaúng (x,y) ñeå ñöôïc α = β = 0 ta coù phöông trình Helicoid

Cuõng neân noùi theâm laø khi caùc phöông cuûa ñöôøng sinh thaúng khoâng ñoåi ta

coù maët truï (môû roäng) vaø noù laø maët cöïc tieåu khi vaø chæ khi noù laø maët phaúng.

Ta coù caùc keát quaû sau

Moïi maët keû cöïc tieåu lieân thoâng laø moät phaàn maët phaúng hoaëc laø Helicoid.

Maët khaùc, ta coøn coù catenoid vaø Helicoid laø ñaúng cöï ñòa phöông. Thaäy

vaäy

Xeùt Helicoid f(s,t) = (scost, ssint, t )

Ta coù E = 1 , F = 0 , G = 1 + S2

Coøn Catenoid

1 s+

. cost , sint , Sh-1(s) ) g (s, t ) = (

Cuõng coù F = 1 , F = 0 , G = 1 + S2

pheùp ñaúng cöï naøy bieán

- Ñöôøng sinh thaúng cuûa Helicoid thaønh caùc ñöôøng kinh tuyeán cuûa

Catenoid ( t = const )

- Ñöôøng helice cuûa Helicoid bieán thaønh vó tuyeán cuûa catenoid ( S ≠ 0 ,

const)

- Truïc Z cuûa helicoid bieán thaønh ñöôøng troøn taâm cuûa catenoid ( S =0)

Trong Struik [9], moâ taû söï thay ñoåi nhö sau:

-72-

Ngoaøi catenoid vaø helicoid ta khaûo saùt caùc maët sau.

1. Maët scherk.

ez cos x - cos y = 0 ( cos x . cos y > 0 )

-73-

a. Ñoä cong trung bình

PT Maët Scherk coù theå vieát laïi döôùi daïng

cos cos

y x

f(x, y) = ( x , y , h ( x, y )) vôùi h ( x , y ) = ln

( cos y . cos x > 0 )

−

h1 = tgx

1 y2

cos

h2 = - tgy h22 =

1 x2 cos

h11 =

h12 = 0

)

1( ++

−

2 h 1

h 22

2 h 2

hhh 21

AÙp duïng coâng thöùc (B’)

h 11 3

1(2

)

2 h 1

2 h 2

)

1( +−

−

1 2 cos

H =

1(2

)

cos

)

= = 0 H =

-74-

-75-

ez. cosx = cosy ( cosx . cosy >0 )

Maët Scherk coù theå vieát laïi

cos cos

y x

) f(x , y ) = ( x, y , ln

tgx

tgy

−

f1 = ( 1 , 0 , tgx )

) 2

f f

∧ ∧

f 1 f 1

f2 = ( 0 , 1 , - tgy ) ( n = =

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

* x → f (x , y )

1 x2

cos

≠

) f11 = ( 0 , 0 ,

cos

1(.

)

1(.

)

Kg(x) =

Khoâng coù ñöôøng traéc ñòa

-76-

* y → f (x,y )

1 y2 cos

tgx

) f22 = ( 0 , 0 , -

cos

)

Kg(y) =

ππ , ) 2 2

Ñöôøng traéc ñòa coù phöông trình ez = cosy y ∈ (- + k2π

3 ππ , ) 2 2

+ k2π ez = - cosy y ∈ (-

−

2. Maët Enneper

x 6

xy 2

y 2

y 6

2 yx 2

x 2

y 2

x 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

−

f(x, y ) =

x 2

y 2

1 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

−

f1 =

1 2

y 2

x 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

f2 =

f 2 f

∧ ∧

f 1 f 1

)

2 yx

22 yx

−

1 4

1 2

2 yx 2

y 2

x 2

1 2

xy 2

x 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

= n =

∧

f 1

−

)

(

yx ,

(

)

y 2

2 y +

−

y 2 +

(

)

1 2

y 2

= =

f11 = ( -x , -y , 1 )

f12 = ( y , -x , 0 )

-77-

f22 = ( x , y , -1 )

1 4

E = ( 1 + y2 – x2 )2 + x2y2x2 = ( 1 + x2 + y2 )

1 2

xy 2

F = xy ( 1 – x2 + y2 ) - ( -1 + y2 – x2 ) - xy = 0

1 4

−

y 2

−=

G = ( -1 + y2 – x2)2 + x2y2 + y2 = ( 1 + x2 + y2 )2

(

1 2

L = < n , f11 > =

−

y 2

M = < n , f12 > = xy – xy = 0

(

1 2

−

N= < n , f22 ) =

+ 2F

)

−

42 )

2 x +

1 8

H = = = 0

−

(cid:131) Khaûo saùt ñöôøng traéc ñòa

x 2

x 6

xy 2

y 2

y 6

2 yx 2

x 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

f(x , y ) =

1 2

x 2

y 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−

f1 =

1 2

y 2

x 2

, -y ) f2 = ( xy , -

-78-

(

−

1 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

1 2

n =

* x → f (x , y )

f11 = ( -x , -y , 1 )

1 2

( 1 + x2 +y2 ) , - y ( 1 + x2 +y2 )) f1 ∧ f11 = ( 0 , -

)1 ( xy y + + . Kg(x) =

22 yx

22 )

2 x y x 1( − + + + 1 4 ⎤ ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣

(

,0,

)

−

Kg(x) = 0 ⇔ y = 0

x 2

x 6

x 2

Phöông trình ñöôøng traéc ñòa f(x) =

* y → f ( x , y )

f22 = ( x , y , -1)

1 2

)

( xx

y −+

xx (

1 2

⎤ ⎥⎦

(1 + x2 + y2 ) ( 1 , 0 , x ) f2 ∧ f22 =

+ 3

(

22 yx

⎡ ⎢⎣ 1 2

Kg(y) = =

−

Kg(y) = 0 ⇔ x = 0

y 2

y 6

y 2

) Phöông trình ñöôøng traéc ñòa ( 0 , -

Caùc hình veõ sau cho thaáy caùch phaùt sinh maët Enneper töø maët yeân ngöïa:

-79-

Maët Enneper

-80-

KEÁT LUAÄN

Baèng caùch döïa vaøo kieán thöùc cô baûn cuûa lyù thuyeát ñöôøng, maët ôû chöông 1,

chöông 2 cuûa luaän vaên daønh cho vieäc khaûo saùt ñoä cong Gauss, ñoä cong trung bình

cuûa caùc maët thoâng duïng goàm: maët baäc hai, maët sinh ra bôûi caùc tieáp tuyeán cuûa

moät ñöøông cong, maët keû, maët troøn xoay . . . Nhö ñaõ bieát treân maët cuï theå coù tham

soá hoùa r (u,v); löôùi caùc ñöôøng toïa ñoä u - tham soá , v - tham soá ñoùng vai troø raát

quan troïng trong vieäc nghieân cöùu maët. Vì vaäy vieäc khaûo saùt vaø chæ ra khi naøo caùc

ñöôøng treân laø ñöôøng traéc ñòa laø caàn thieát.

Luaän vaên ñaõ chæ ra ñöôïc ñoä cong Gauss, ñoä cong trung bình vaø chæ ra caùc

ñöôøng toïa ñoä treân töøng maët cuï theå laø ñöôøng traéc ñòa. Lyù thuyeát cuûa ñöôøng traéc

ñòa ñaõ ñöôïc giaûi quyeát trong toång quaùt, tuy nhieân vieäc tìm caùc ñöôøng toïa ñoä laø

ñöôøng traéc ñòa treân töøng maët cuï theå chöa ñöôïc ñeà caäp trong caùc taøi lieäu veà hình

hoïc vi phaân. Vì vaäy ngoaøi vieäc tìm ñoä cong Gauss K, ñoä cong trung bình , luaän

vaên taäp trung tìm caùc ñöôøng toïa ñoä laø ñöôøng traéc ñòa treân töøng maët cuï theå nhö :

maët baäc hai, maët sinh ra bôûi caùc tieáp tuyeán cuûa moät ñöôøng cong, maët keû, maët

troøn xoay . . . vaø vieäc nghieân cöùu naøy giuùp ta giaûi quyeát moät soá baøi toaùn cuï theå

trong vaät lyù vaø trong thöïc teá.

Nhö ñaõ bieát caùc maët coù ñoä cong H = 0 ñöôïc khaûo saùt ñaàu tieân bôûi

Meusnier, ta coù: neáu maët coù dieän tích cöïc tieåu trong taát caû nhöõng maët coù cuøng

bieân thì seõ coù H = 0. Vì vaäy maët coù H = 0 goïi laø maët cöïc tieåu. Lôùp caùc maët coù ñoä

cong H = 0 ñaõ ñöôïc quan taâm bôûi caùc nhaø toaùn hoïc. Ñaây laø ñeà taøi mang tính chaát

thôøi söï . Luaän vaên ñaõ chæ ra ñöôïc moät soá maët coù ñoä cong H = 0 vaø chöùng minh

-81-

moïi maët keû cöïc tieåu lieân thoâng laø moät phaàn cuûa maët phaúng hoaëc helicoid. Nhö

ñaõ bieát moïi maët troøn xoay cöïc tieåu lieân thoâng laø maët phaúng hoaëc Catenoid; pheùp

ñaúng cöï bieán helicoid thaønh Catenoid vaø ta khaûo saùt theâm caùc maët coù ñoä cong

H=0 laø Sherk vaø Enneper.

-82-

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO

1. Alekseevskij – Vinberg – Solodovnilov, Geometry of space of constant

curvature, Springer – Verlag 1993.

2. Borisovich – Bliznyakov – Izrailevich, Introduction to topology, Mir

Publishers. Moscow .1985.

3. Detlef Laugwitz, Differential and Riemannian geometry, Academic Press Inc

1965.

4. Eisenhart, An introduction to differential geometry, Princeùton, 1947.

5. Nguyeãn Thuùc Haøo, Hình hoïc vi phaân, NXB Giaùo duïc, 1968.

6. Martin Lipschultz, Differential geometry, M. Graw-Hill, 1969.

7. Postnikov , Smooth manifold, Mir Publishers Moscow 1987.

8. Ñoaøn Quyønh, Hình hoïc vi phaân, NXB Giaùo duïc, 2000.

9. Struik, D.J, Lectures on classical differential geometry, Second edition,

A ddison – wesley, Reading, Mass, 1961

10. Su Buchin, Lectures on differential geometry world Scientific Singapore

1980.

-68-

BAÛNG TOÙM TAÉT ÑOÄ CONG GAUSS – ÑOÄ CONG TRUNG BÌNH-

ÑÖÔØNG TOÏA ÑOÄ LAØ ÑÖÔØNG TRAÉC ÑÒA CUÛA MAËT.

MAËT Phöông trình chính taéc vaø tham soá Ñoä cong Gauss – ñoä cong TB Ñöôøng toïa ñoä laø

ñöôøng traéc ñòa

Ñöôøng troøn taâm o (cid:131) Maët caàu

;

1 2

1 R

baùn kính R x2 + y2 +z2 = R2 MAËT K =

f(u,v) = (R cosucosv , R sinucosv, R sinu) BAÄC

222 cba

(cid:131) Elipsoid HAI K =

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

(

)

(

)

(

)

1 2

f(u ,v) = ( a cosu cosv , b sinu cosv , c

a y

c z

b 2 x

)

sinu) H=

-69-

−

222 cba

(cid:131) Hyperboloid eliptic K =

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

= 1, -

(

)

(

)

(

)

−

1 2

a y

c z

b 2 x

)

f(u,v) = H=

(

cos

(

sin)

(

)

1 ) v

b 2

1 v

c 2

1 v

a 2

⎡ ⎢⎣

222 cba

Hyperboid ( hai taàng) K = - = -1 ,

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(cid:131) - - 1

- = -1

(

)

(

)

(

)

−

1 2

(cid:131) f(u,v)

a y

c z

b 2 x

)

(

cos

(

sin)

(

)

−

a 2

1 ) v

b 2

1 v

c 2

1 v

⎤ ⎥⎦

⎡ ⎢⎣

-70-

22 ba

Paraloid eliptic K= Z =

x 4

y 4

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎦

(cid:131) Z =

1 2

z 4 22 ba

Z = ) (cid:131) f(x,y) = ( x , y ,

b 4

(

a 4 x 4

y 4

−

22 ba

Paraboloid hyperbolic K = Z =

x 4

y 4

⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

−

(cid:131) Z = -

−

1 2

y− 2

z 4 22 ba

Z = ) (cid:131) f(x,y) = ( x , y ,

b 4

(

a 4 x 4

y 4

-71-

MAËT Toång quaùt :

s )('

det

δ ⎡ ⎢ sc )(' ⎢ ⎢ ⎣

KEÛ f (s, t) = C (s) + t δ (s)

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ (

⎤ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ s )( ⎦ ⎦ 22 )

−

f(s) = K = -

−

+ cos

cos s

s +

( ,

K =

)

tsos

1( ++

1 4

s 2

⎡ ⎢⎣

⎤ ⎥⎦

sin cos

s +s

(cid:131) Maët keû ,

s 2

coss, sins + tcoss sins, f(δ,t) = (coss+tcos

s sin2 − 3 s cos 2 +

s 2

) t sin )

f(t)= ( cosS0 +

0S 2

tcos sosS0 , SinSo

0S 2

+tcos . SinSo ,

0S 2

) tsin

-72-

Helicoid

−

(

22 )

f(s) = ( 0 , 0, bs) f(s,t) = ( tcoss, tsins, bs ) , H = 0 K =

b ≠ 0 f(t) = ( t cosS0 ,

t sinSo, bSo )

MAËT Toång quaùt

(

−

]

' 2

'' 2

' 2

'' 1

[ ' sCsCsC )( ). ( 1 [ sCsC )( )(

sCsC ). )( ]2

2' 1

2' sC )( 2

TROØN f(s,t) = ( C1(s)cost,C1(s)sint,C2(s) ) K= XOAY

(

s cos

)

cos bab +

(cid:131) Torus f(s)=((a+bcoss)cost0, K =

f(s,t) = ( a+bcoss)cost, (a+bcoss ) sint, (a+bcoss ) sinto,

bsins) bsins)

f(t) = ((a+b) cost ,

(a+b)sint, 0 )

f(t) =((a-b) cost ,

(a-b )sint, 0 )

-73-

s a

−

(cid:131) Catenoid f(s) = (ach cost0 ,

s a

K = cost , ach sint, S ) f(s,t) = (ach

s a

⎡ ⎢⎣

⎤ 1 ⎥⎦

ach sint0, S )

f(t) = H = 0

(a cost, a sint,0)

H = 0 MAËT ez = cosy (cosy > 0 ) (cid:131) Maët Scherk

CÖÏC ez = - cosy (cosy<0) ez. cosx – cosy = 0

TIEÅU ez. cosx = 1 , ( cosx . cosy > 0 )

ππ− , 2 2

)+k2π x∈ (

ez. cosx = -1 ,

3 ππ , 2 2

)+k2π x∈ (

-74-

f(x) = (cid:131) Maët Enneper

,0,

−

x 2

x 6

x 2

f(x,y) = ( )

−

x 2

x 6

xy 2

y − 2

y 6

2 yx 2

−

H = 0 , ( f(y)=

−

y 2

y 6

x 2

y 2

) (0, - ) ,

-87-