TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====
NGÔ THỊ KHÁNH LINH
TÌM HIỂU TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG q Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI - 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====
NGÔ THỊ KHÁNH LINH
TÌM HIỂU TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG q Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS LƢU THỊ KIM THANH
HÀ NỘI - 2018
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa
Vật lí, Trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã quan tâm dạy dỗ và truyền đạt
kiến thức cho em trong suốt 4 năm học tập tại trƣờng cũng nhƣ trong quá
trình thực hiện khóa luận này.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS.TS Lƣu
Thị Kim Thanh, ngƣời đã đặt nền móng, tận tình hƣớng dẫn và động viên em
trong quá trình nghiên cứu để khóa luận đƣợc hoàn thành.
Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của
em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận đƣợc những đóng
góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên
Ngô Thị Khánh Linh
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan công trình nghiên cứu này là do sự cố gắng nỗ lực tìm
hiểu, nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo PGS.TS Lƣu
Thị Kim Thanh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả đã công bố.
Sinh viên
Ngô Thị Khánh Linh
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 2
6. Đóng góp của đề tài ....................................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH ........................... 3
1.1. Dao động tử điều hòa tuyến tính ................................................................ 3
1.1.1. Hàm sóng của dao động tử điều hòa tuyến tính ...................................... 3
1.1.2. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa tuyến tính lƣợng tử ............. 6
1.1.3. Quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều ................................ 15
1.1.4. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa
tuyến tính ......................................................................................................... 17
1.2. Dao động tử Boson ................................................................................... 19
1.2.1. Ngƣng tụ Bose-Einstein ........................................................................ 19
1.2.2. Các hệ thức giao hoán của toán tử Boson ............................................. 19
1.2.3. Biễu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson .............................. 22
1.2.4. Thống kê Bose-Einstein ........................................................................ 24
1.3. Dao động tử Fermion ............................................................................... 26
1.3.1. Nguyên lí loại trừ Pauli ......................................................................... 26
1.3.2. Các hệ thức phản giao hoán của toán tử Fermion ................................. 27
1.3.3. Thống kê Fermi-Dirac ........................................................................... 31
Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 32
CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG q ........................ 33
2.1. Dao động tử điều hòa biến dạng q ........................................................... 33
2.1.1. Lý thuyết q- số ...................................................................................... 33
2.1.2. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa biến dạng q ........................ 35
2.1.3. Tính phi điều hòa của dao động tử điều hòa biến dạng q ..................... 37
2.1.4. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa
biến dạng q ...................................................................................................... 39
2.2. Dao động tử Boson biến dạng q ............................................................... 41
2.2.1. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson biến dạng q .......... 41
2.2.2. Các hệ thức giao hoán của toán tử Boson biến dạng q ......................... 42
2.2.3. Thống kê Bose-Einstein biến dạng q .................................................... 43
2.3. Dao động tử Fermion biến dạng q ........................................................... 45
2.3.1. Các hệ thức phản giao hoán của toán tử Fermion biến dạng q ............. 45
2.3.2. Thống kê Fermi-Dirac biến dạng q ....................................................... 46
Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 48
KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 50
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý lý thuyết là một chuyên ngành của vật lý học, phát triển mạnh mẽ
trên cơ sở có nội dung vật lý và phƣơng pháp toán học. Vật lý lý thuyết
nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất, lý giải đƣợc bản chất của các hiện
tƣợng tự nhiên. Trải qua nhiều giai đoạn phát triển, các nhà khoa học nhiều
lần biến dạng các quy luật cơ bản để tạo ra các lý thuyết mới đáp ứng nhu cầu
nghiên cứu.
Ngày nay, việc nghiên cứu bằng phƣơng pháp đại số biến dạng nhận
đƣợc nhiều sự quan tâm của nhà khoa học bên vật lý lý thuyết và vật lý toán.
Chính với các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề trong vật
lý lý thuyết nhƣ: quang học phi tuyến, thống kê lƣợng tử, vật lý chất rắn
lƣợng tử,… Đặc biệt, ngƣời ta thấy phƣơng pháp này rất hiệu quả khi nghiên
cứu hình thức luận dao động tử biến dạng lƣợng tử. Dao động tử biến dạng
chính là sự biến dạng của các dao động tử điều hòa phụ thuộc vào một hay
nhiều thông số biến dạng và khi thông số biến dạng tiến đến một giá trị nào
đó thì dao động tử biến dạng lập tức trở lại dao động tử điều hòa. Xuất phát từ
lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài: “Tìm hiểu tổng quan về dao động tử
điều hòa biến dạng q” làm đề tài nghiên cứu của mình.
Với đề tài này, tôi mong muốn tìm hiểu tổng quan dao động tử điều hòa
biến dạng q trên cơ sở nghiên cứu các hệ thức giao hoán, phản giao hoán
tƣơng ứng, áp dụng lý thuyết trƣờng lƣợng tử để xây dựng các thống kê lƣợng
tử biến dạng q. Tìm hiểu và biểu diễn ma trận của các toán tử trong vật lý.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q.
1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày một số tính chất của dao động tử điều hòa tuyến tính.
- Nghiên cứu về dao động tử điều hòa biến dạng q.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động tử điều hòa tuyến tính.
- Nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng q bằng lí thuyết biến dạng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng các phƣơng pháp vật lý lý thuyết: Phƣơng pháp vật lý
thống kê, phƣơng pháp lý thuyết trƣờng lƣợng tử, phƣơng pháp nhóm lƣợng
tử và các phƣơng pháp giải tích khác.
6. Đóng góp của đề tài
Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q có những đóng
góp quan trọng trong lý thuyết lƣợng tử nói chung nói riêng và vật lý lý
thuyết nói chung.
2
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH
1.1. Dao động tử điều hòa tuyến tính 1.1.1. Hàm sóng của dao động tử điều hòa tuyến tính
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lƣợng m,
chuyển động dƣới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi dọc theo một
đƣờng thẳng nào đó.
Xuất phát từ phƣơng trình Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính có:
(1.1)
Với năng lƣợng trạng thái của hạt đƣợc biểu diễn bằng hàm sóng
thỏa mãn phƣơng trình Schrodinger:
Thay (1.1) vào phƣơng trình trên ta có :
(1.2)
Theo đó ta đặt
và dùng biến không thứ nguyên, phƣơng trình (1.2) trở thành:
3
(1.3)
Trong đó hữu hạn tại và giới nội khi . Khi
lớn thì hàm tƣơng ứng trong (1.2) sẽ có dạng nhƣ sau:
(1.4)
nghiệm tìm đƣợc chính xác dƣới dạng :
Thay (1.4) vào (1.3) có:
(1.5)
(1.6)
Tìm hàm dƣới dạng chuỗi:
( a0 ≠ 0)
trong đó:
4
Phƣơng trình (1.6) có trở thành :
Dễ dàng tìm đƣợc công thức truy hồi cho các hệ số khai triển:
(1.7)
Nếu hàm giới nội khi thì chuỗi (1.7) phải bị cắt ở một bậc n
hữu hạn nào đó. Từ đó ta có:
Với thay vào (1.6) đƣợc:
Mặt khác, là đa thức Hermite tƣơng ứng trong toán học thỏa mãn
phƣơng trình sau:
(1.8)
Tiếp theo, để xác định dạng tƣờng minh của hàm sóng ta so sánh hai
phƣơng trình trên với là một hệ số có kết luận:
suy ra:
(1.9)
Ta tính đƣợc hệ số nhờ việc đi chuẩn hóa hàm sóng:
5
kết hợp với tính chất của Hermite:
Dựa vào biểu thức (1.8) có:
Ví dụ nhƣ:
Hàm sóng tƣơng ứng:
Với biểu thức (1.9) rút ra đƣợc ý nghĩa của hàm sóng là khi xác định
xác suất của dao động tử có năng lƣợng tìm thấy đƣợc trong khoảng tới
bằng công thức:
(1.10)
1.1.2. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa tuyến tính lƣợng tử
Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng:
(1.11)
6
Để thuận tiện ta dùng các toán tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc:
là toán tử tọa độ
là toán tử xung lƣợng và toán tử xung lƣợng thỏa mãn hệ thức giao hoán: Toán tử tọa độ
Thật vậy, xét hệ thức giao hoán là: và
Khi đó Hamiltonian biểu diễn theo và nhƣ sau:
(1.12)
Ta đặt:
: Từ đó có thể biểu diễn theo
7
(1.13)
Mặt khác các toán tử và cũng đƣợc biểu diễn ngƣợc lại theo và
nhƣ sau:
Với
Kết hợp ta đƣợc : (1.14)
(1.15)
đã thỏa mãn hệ thức giao
Ta sẽ chứng minh đƣợc các toán tử ,
hoán:
(1.16)
Thật vậy:
Cuối cùng nhờ (1.16) thu đƣợc hàm Hamiltonian dạng nhƣ sau:
(1.17)
8
Nhƣ vậy khi tìm hiểu về phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa quy
về bài toán tìm các véctơ riêng và trị riêng Hamiltonian (1.17) và các toán tử
thỏa mãn hệ thức (1.16)
Đặt (1.18)
Và có các hệ thức giao hoán giữa toán tử với các toán tử và là:
(1.19) hay
(1.20) hay
Thật vậy:
Ký hiệu ứng với trị riêng n, khi đó ta có là véctơ riêng của
phƣơng trình hàm riêng và trị riêng của toán tử là:
(1.21)
(1.22) Suy ra:
Vì
Từ đó ta có định lí nhƣ sau:
Định lí 1: Các trị riêng của toán tử là các số không âm.
Tiếp theo, ta xét véctơ trạng thái â
bằng cách tác dụng các toán tử â . Áp dụng công thức (1.19) tác dụng lên véctơ trạng lên véctơ trạng thái
thái này toán tử có
9
(1.23)
Từ hệ thức trên ta thấy véctơ trạng thái cũng là véctơ trạng thái riêng
của toán tử ứng với trị riêng (n-1). Tƣơng tự nhƣ vậy, dễ dàng chứng tỏ
đƣợc rằng , … lần lƣợt là véctơ trạng thái của toán tử ứng với
trị riêng (n-2), (n-3),….
Xét véctơ trạng thái , tƣơng tự nhƣ vậy tác dụng lên véctơ trạng
thái này toán tử , áp dụng công thức (1.10) ta có:
(1.24)
Điều đó có nghĩa là véctơ trạng thái cũng là một véctơ trạng thái riêng của
toán tử ứng với trị riêng (n +1). Tƣơng tự ta có ,… cũng là
véctơ trạng thái riêng của toán tử ứng với các trị riêng (n +2), (n+ 3),...
Từ đó ta có định lí nhƣ sau:
Định lí 2: Nếu là véctơ trạng thái riêng của ứng với trị riêng n thì
cũng là một véctơ trạng thái riêng của toán tử ứng với trị riêng (n-p)
và cũng là một véctơ trạng thái trị riêng của toán tử ứng với trị
riêng (n+p) với p = 1, 2, 3 và (n- p) ≠ 0.
Kết hợp định lí 1 và định lí 2 ta xét nếu n là trị riêng của toán tử thì
chuỗi các số không âm n-1, n-2 , n-3,…cũng là trị riêng của toán tử. Do chuỗi
này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin :
Xét véctơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất ta có:
(1.25)
10
vì nếu ≠ 0 thì véctơ trạng thái ứng với trị riêng (nmin – 1) nmin, trái
với giả thiết là nmin là trị riêng nhỏ nhất. Từ (1.15) ta có:
(1.26)
Mặt khác, có định nghĩa nmin
(1.27)
So sánh 2 phƣơng trình (1.26) và (1.27) ta đi tới định lí nhƣ sau :
Định lí 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử là nmin có giá trị bằng 0.
Theo định lí 3, véctơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất đƣợc ký hiệu
là gọi là trạng thái chân không, véctơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện:
Khi đó: của ứng với trị riêng tỉ lệ với véctơ riêng
của ứng với trị riêng ,…, tỉ lệ với véctơ riêng
của ứng với trị riêng . tỉ lệ với véctơ riêng
Vì biểu thức:
Và
nên: là véctơ riêng của ứng với trị riêng
là véctơ riêng của ứng với trị riêng ,…..,
là véctơ riêng của ứng với trị riêng
11
Vậy ta có định lí sau:
Định lí 4 : Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được biểu
diễn bằng công thức:
(1.28)
Theo biểu thức (1.28), thấy rằng phổ năng lƣợng của dao động tử điều
hòa tuyến tính có đặc điểm: các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có
năng lƣợng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lƣợng giữa
hai trạng thái liền kề nhau luôn luôn bằng một lƣợng tử năng lƣợng .
Mức năng lƣợng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến tính là:
≠ 0.
Để tìm ý nghĩa của các toán tử ta làm nhƣ sau:
Xét trạng thái ứng với năng lƣợng thấp nhất là :
Trạng thái tiếp theo với năng lƣợng:
E0 +
Ta có thể xem đây là kết quả của việc thêm một lƣợng tử năng lƣợng vào
trạng thái .
Tiếp theo = E0 +2 cũng có thể xem ứng với năng lƣợng E1 +
nhƣ là kết quả của việc thêm một lƣợng tử năng lƣợng vào trạng thái hay
có nghĩa là thêm hai lƣợng tử năng lƣợng vào trạng thái .Nếu ta lấy gốc
là trạng thái không chứa tính năng lƣợng là E0, thì có thể coi trạng thái
lƣợng tử nào. Thật vậy đƣợc gọi là trạng thái chân không,
chứa 1 lƣợng tử, là trạng thái chứa 2 lƣợng tử,… là trạng thái là trạng thái chứa n
12
lƣợng tử. Toán tử với giá trị nguyên không âm, cách nhau 1 đơn vị nên
đƣợc đoán nhận là toán tử số lƣợng tử năng lƣợng. Toán tử â khi tác dụng lên
nên đƣợc đoán nhận là toán tử hủy lƣợng cho 1 trạng thái tỉ lệ với
tử năng lƣợng. Toán tử â+ khi tác dụng lên cho 1 trạng thái tỉ lệ với
nên đƣợc đoán nhận là toán tử sinh lƣợng tử năng lƣợng. Nếu cho rằng
lƣợng tử năng lƣợng là một hạt thì toán tử nhất định là toán tử số hạt, â
nhất định là toán tử hủy hạt, â+ nhất định là toán tử sinh hạt. Do đó toán tử
ứng với năng lƣợng sau:
sẽ là toán tử chứa n hạt. Trên đây là biểu diễn số hạt của dao động tử điều
hòa.
Trong cơ học lƣợng tử , trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa
tuyến tính đƣợc coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lƣợng bằng .
Khái niệm hạt ở đây thực ra là các giả hạt hay gọi là các “chuẩn hạt”.
Chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ 𝛼n , 𝛽n , 𝛾n trong các hệ thức:
Để các véctơ là trực giao và chuẩn hóa thì :
=
+ Tìm 𝛼n : Ta có:
Vì m= n nên 𝛿m,n = 1
13
=> = .
Mặt khác:
Cho nên:
coi 𝛼n là số thực nên 𝛼n =
+ Tìm 𝛽n :
Có:
Bên cạnh đó:
Vì vậy:
coi 𝛽n là số thực nên = n+1
=> 𝛽n =
+ Tìm 𝛾n :
Ta có :
Vậy ta thiết lập đƣợc các công thức sau:
(1.29)
14
1.1.3. Quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều
Dao động tử điều hòa một chiều đƣợc coi nhƣ một thí dụ đơn giản khi
nhắc đến quỹ đạo pha. Khi xét chất điểm chuyển động chỉ có một bậc tự do,
cho nên để làm tọa độ suy rộng q ta có thể lấy khoảng cách từ chất điểm tới vị
trí cân bằng dọc theo đƣờng thẳng đó.
Động năng của dao động tử đƣợc biểu diễn qua xung lƣợng suy rộng
nhƣ sau:
Thế năng biểu thị qua tọa độ suy rộng :
Khi đó, hàm Haminton đƣợc viết dƣới dạng:
(1.30)
Ta có hệ phƣơng trình chính tắc:
Đạo hàm ta tìm đƣợc phƣơng trình xác định :
Từ đó, với có
15
Đối với dao động tử điều hòa động năng trung bình bằng thế năng trung
bình. Thật vậy:
Có
p
p0
q
0
vì nên
q0
Hình 1: Đồ thị biểu diễn quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa 1 chiều.
Năng lƣợng toàn phần của dao động tử là không đổi
Ta biểu diễn trạng thái của dao động tử trong không gian pha. Phƣơng trình
quỹ đạo pha nhƣ sau:
(1.31)
Tóm lại, quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa có dạng elip với 2 bán
trục là và với các điều kiện khác nhau ta thu đƣợc các elip khác nhau.
16
1.1.4. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa
tuyến tính
Để đơn giản ta đi tìm các đại lƣợng đối với 1 dao động tử sau đó mở
rộng ra với hệ gồm N dao động tử tuyến tính độc lập. Đầu tiên, việc tìm tổng
trạng thái đối với một dao động tử của hệ, dao động tử đó có thể nằm trong
các trạng thái: ,
với n=0,1,2…
Năng lƣợng của dao động tử điều hòa nhận các giá trị gián đoạn và xác định:
là mức “ không”
Tổng trạng thái của một dao động tử đƣợc xác định nhƣ sau:
(1.32)
Với công thức , công bội và số hạng đầu tiên a=1
khi đó (1.32) trở thành:
Xét đối với hệ N dao động tử ta có:
Vậy tổng trạng thái của hệ các dao động tử là:
Tiếp theo, năng lƣợng trung bình của 1 dao động tử là:
17
(1.33)
Nhận xét: Ở nhiệt độ thấp thì
Ở nhiệt độ cao thì (giá trị cổ điển)
Năng lƣợng trung bình của hệ N dao động là nội năng U. Từ đó ta rút ra đƣợc
nội năng của hệ nhƣ sau:
(1.34)
Một dao động tử có nhiệt dung đƣợc xác định bằng công thức:
Xét với N dao động tử:
Với là số Avogadro) có: (
(1.35)
18
Ở nhiệt độ thấp thì
Ở nhiệt độ cao thì giá trị cổ điển
1.2. Dao động tử Boson
1.2.1. Ngƣng tụ Bose-Einstein
Hàm sóng mô tả hệ các boson nhƣ sau:
(1.36)
Theo (1.36) ta thấy khác với các fermion, hệ các boson không hề triệt tiêu khi
có các chỉ số trùng nhau. Có nghĩa là mỗi trạng thái của hệ các boson có
thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng đƣợc. Khi ở nhiệt độ đủ thấp các
boson có tính chất khác hẳn các fermion, chúng dồn hết xuống trạng thái cơ
bản, tƣơng ứng đó là trạng thái có năng lƣợng thấp nhất. Tiếp đó, mật độ
boson ở trạng thái cơ bản có thể đạt tới mức vĩ mô tạo thành một trạng thái
vật chất đặc biệt gọi là trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein.
Ý nghĩa: Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein tồn tại chính là một hệ quả
của nguyên lí bất khả phân biệt các hạt boson đồng nhất.
1.2.2. Các hệ thức giao hoán của toán tử Boson
Tìm hiểu về các hệ nhiều hạt có một phƣơng pháp đƣợc áp dụng nhiều
chính là phƣơng pháp diễn tả các trạng thái của hệ bởi các véctơ chuẩn hóa trong
một không gian Hilbert, đồng thời sử dụng các toán tử sinh hạt và huỷ hạt trong
dao động tử điều hoà để kiến tạo các véctơ trạng thái nhiều hạt.
Gọi , lần lƣợt là các toán tử hủy, toán tử sinh của dao động tử
boson, thỏa mãn các giao hoán tử sau:
(1.37)
Ở nhiều trạng thái khác nhau ta mở rộng các giao hoán tử trên cho hệ nhiều
hạt:
19
,
(1.38)
Ta xét hai véctơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau và
đó là:
(1.39)
(1.40)
với là trạng thái chân không không chứa hạt nào. Do các toán tử sinh hạt
thoả mãn(1.38) nên:
Suy ngay ra:
Thật vậy có hệ thức giao hoán (1.38) nên véctơ trạng thái của hệ hai hạt
đồng nhất có tính chất đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt: chúng là các
boson. Mặt khác, ta đã biết do có các hệ thức giao hoán (1.38) nên trị riêng
của toán tử số hạt trong một trạng thái có thể nhận bất cứ giá trị
nguyên không âm nào, phù hợp hoàn toàn với hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-
Einstein. Từ hai công thức (1.39) và (1.40) ngƣợc lại cũng đúng: các toán tử
sinh, hủy boson phải tuân theo các hệ thức giao hoán (1.38)
Lại có toán tử số dao động dạng:
(1.41)
Kết hợp (1.37),(1.41) có hệ thức giao hoán giữa chúng là:
20
Xét không gian Fock có không gian mà véctơ cơ sở của chúng là những
trạng thái với số hạt xác định, trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện:
(1.42)
Xét trạng thái là trạng thái riêng của toán tử số hạt có n dao động tử ứng
với trị riêng n. Khi đó trong không gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng
có dạng:
với n= 0,1,2… (1.43)
Dễ dàng chứng minh đƣợc:
Thật vậy:
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh: (1.44)
có
có
21
Suy ra biểu thức (1.44) đúng với
Giả sử nếu đúng tiếp với ta có
(phƣơng pháp quy nạp)
Dó đó, ta phải chứng minh (1.44) đúng với
Nghĩa là (1.44) đúng với . Vậy (1.44) đúng với mọi
1.2.3. Biễu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson
Chúng ta biết rằng, trong biểu diễn số hạt các dao động tử boson đƣợc
đặc trƣng bởi các toán tử sinh, hủy hạt tuân theo hệ thức giao hoán:
Tác dụng toán tử , lên các vectơ trạng thái đƣợc:
(1.45)
(1.46)
Để biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson và toán tử số hạt
ta áp dụng liên tiếp (1.45) và (1.46) đƣợc các đẳng thức:
Từ các đẳng thức trên, ta thấy trị riêng của các tích những toán tử
có . Suy ra ma trận của những toán tử này trong biểu giá trị lần lƣợt là ,
diễn riêng của chúng là những ma trận chéo.
22
Giả sử ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson đƣợc biển diễn
nhƣ sau:
(1.47)
Mặt khác, ta có:
khi mà
Do đó khi
Tƣơng tự ta có:
khi mà
khi Do đó
Cuối cùng, biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson và toán
tử số hạt có dạng:
23
1.2.4. Thống kê Bose-Einstein
Để xây dựng thống kê Bose-Einstein có rất nhiều hƣớng phát triển, một
cách làm từ việc sử dụng linh hoạt các phƣơng pháp trong lý thuyết trƣờng
lƣợng tử. Sử dụng phƣơng pháp này ta xuất phát từ công thức tính giá trị
trung bình của đại lƣợng vật lí tƣơng ứng với toán tử đƣợc xác định:
(1.49)
Tƣơng tự ta thay toán tử bằng toán tử số dao động vào (1.63) đƣợc
công thức tính số hạt trung bình trên cùng một mức năng lƣợng là:
(1.50)
có và với lần lƣợt là các toán tử hủy,
toán tử sinh của dao động tử. Đặt
gọi đó tổng thống kê (tổng trạng thái) xác định tính chất nhiệt động của hệ.
(1.51) hay
Trong đó: , là toán tử Hamiltonian năng lƣợng của một dao
động tử, , k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ của hệ, là thế hóa
học.
Ta có điều kiện trực chuẩn:
Ta áp dụng tính chất:
có:
24
Mà
Suy ra:
Đặt
Nên ta có
Mặt khác:
Suy ra:
Đƣợc (1.52)
Tính tiếp:
Vì nên
25
Trong toán học, là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với
: gọi là công bội của cấp số nhân và có số hạng đầu tiên ứng với
có giá trị bằng 1 nên ta có kết quả cuối cùng nhƣ sau :
(1.53)
Thay (1.52),(1.53) vào (1.50) ta đƣợc:
(1.54)
Biểu thức (1.54) chính là công thức tính số hạt trung bình ở trên cùng
một mức năng lƣợng cần tìm. Nói cách khác đây là phân bố thống kê Bose-
Einstein đối với hệ đồng nhất các hạt boson.
1.3. Dao động tử Fermion
1.3.1. Nguyên lí loại trừ Pauli
Đƣợc đánh giá phù hợp hoàn toàn với cơ học lƣợng tử, rút ra từ tính
phản đối xứng của hàm sóng của các fermion, một nguyên lí cấm do Pauli
đƣa ra có nội dung đƣợc phát biểu nhƣ sau: “Nếu có một bộ 4 đại lƣợng động
lực ( ) bất kì đủ để đặc trƣng cho trạng thái của một hạt, thì trong
hệ fermion không thể có hai hạt có trạng thái đặc trƣng bởi 4 số ( )
giống nhau ”
Thật vậy, giả sử trong hệ có 2 hạt k và j ở trong hai trạng thái giống
nhau:
26
Theo giả thiết: nên nên suy ra:
và nghĩa là một trạng thái của hệ nhƣ thế không
tồn tại. Mặt khác, đối với hệ các Fermion hàm sóng có dạng phản đối xứng:
(1.55)
trong đó là hệ số chuẩn hoá. Từ đó, ta suy ra nguyên lí loại trừ
Pauli vì nếu hai hạt có trạng thái giống nhau, hai dòng định thức sẽ giống
nhau, nhƣ vậy định thức bằng 0.
Ý nghĩa: Nguyên lí loại trừ Pauli là một hệ quả của nguyên lí bất khả
phân biệt các hạt đồng nhất, đóng vai trò quan trọng trong sự phân loại vật
liệu thành các chất bán dẫn, kim loại và điện môi. Ngoài ra, nguyên lí này cho
phép giải thích đƣợc sự phân bố các điện tử theo các trạng thái trong nguyên
tử và thiết lập cơ sở lý thuyết của sự sắp xếp các nguyên tố trong bảng phân
hạng tuần hoàn Mendeleev.
1.3.2. Các hệ thức phản giao hoán của toán tử Fermion
Gọi lần lƣợt là các toán tử hủy, toán tử sinh của dao động tử
fermion. Với là trạng thái chân không không chứa hạt nào, ta xét hai véctơ
trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau và
(1.56)
(1.57)
xét trong trƣờng hợp các fermion véctơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất là phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt:
(1.58)
27
Kết hợp (1.56) (1.57) và (1.58) suy ra các toán tử sinh hạt fermion phải thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán sau:
Với hệ thức trở thành:
(1.59)
Véctơ trạng thái chứa hai hạt fermion đồng nhất cùng ở một trạng thái là
Theo tính chất (1.59) có , rất phù hợp với nguyên lí suy ra:
loại trừ Pauli.
Xét lên véctơ trạng thái và tác dụng toán tử diễn tả
trạng thái chỉ chứa một hạt fermion đặc trƣng bởi số lƣợng tử
(1.60)
Nếu ta tác dụng toán tử có: lên
(1.61)
So sánh hai vế của (1.60) với (1.61) ta thu đƣợc hệ thức phản giao hoán sau
với các toán tử sinh và hủy hạt fermion. Với có:
Truờng hợp theo (1.59) có:
(1.62)
(1.63)
(1.64)
(1.65)
28
Cộng các phƣơng trình (1.62) - (1.65) theo từng vế ta đuợc:
Do bất kỳ suy ra:
Tóm lại từ tất cả các kết quả nêu trên ta có các hệ thức phản giao hoán
nhƣ sau đối với các hạt fermion:
(1.66)
trong đó ta định nghĩa: và gọi đó là phản giao hoán tử của
hai toán tử và
Ngoài ra, nhờ (1.66) ta có thể chứng minh đuợc nguyên lí loại trừ Pauli theo
cách khác, từ toán tử số hạt có:
Thật vậy, theo (1.66) cho truờng hợp trong trạng thái ta có:
nghĩa là:
Khi đó mọi trị riêng của toán tử
thoả mãn phuơng trình: Do đó là chỉ có thể bằng 0 hoặc 1 hay trong mỗi trạng thái chỉ có thể có nhiều
nhất một hạt fermion.
Hệ thức phản giao hoán của dao động tử fermion thỏa mãn hệ thức:
29
(1.67)
Mà toán tử số dao động có dạng:
(1.68)
Theo đó, toán tử số dao động thỏa mãn hệ thức giao hoán sau:
Vậy (1.69)
Đại số (1.67) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là véctơ đã
chuẩn hóa của toán tử số dao động có dạng:
(1.70) với n= 0,1
(Do phải thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli ứng với hệ hạt fermion nên n chỉ
lấy giá trị là 0 và 1).
Xét trạng thái , tác dụng các toán tử lên trạng thái ta có:
30
1.3.3. Thống kê Fermi-Dirac
Tƣơng tự nhƣ cách xây dựng thống kê Bose-Einstein, ta cũng đi từ công
thức tính giá trị trung bình của đại lƣợng F tƣơng ứng với toán tử xác định
nhƣ sau:
(1.71)
Thay toán tử bằng toán tử số dao động vào (1.71) đƣợc công thức tính
số hạt trung bình trên cùng một mức năng lƣợng:
(1.72)
có và với là các toán tử hủy, toán tử
sinh của dao động tử fermion. Đặt
gọi đó tổng thống kê (tổng trạng thái) xác định tính chất nhiệt động của hệ.
ta đƣợc:
(1.73)
31
Trong đó: là năng lƣợng của một dao là toán tử Hamiltonian ,
động tử, , k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ của hệ, là thế hóa
học.
Áp dụng:
Ta có:
(1.74)
Tính tiếp:
(1.75)
Từ (1.74),(1.75) thay vào (1.73) ta đƣợc:
(1.76)
Biểu thức (1.76) chính là công thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một
mức năng lƣợng cần tìm. Nói cách khác đây là phân bố thống kê Fecmi-Dirac
đối với hệ đồng nhất các hạt fermion.
Kết luận chƣơng 1
Trong chƣơng này tôi đã nêu đƣợc tổng quan lý thuyết về dao động tử
điều hòa tuyến tính. Đƣa ra đƣợc hàm sóng, phổ năng lƣợng, quỹ đạo pha,
tổng trạng thái, nội năng, nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa tuyến tính.
Tìm hiểu một số dao động tử là boson và fermion. Trong đó, khi tìm hiểu về
hai dao động tử trên tôi đi sâu tới các hệ thức giao hoán của toán tử boson,
phản giao hoán của các toán tử fermion, hai thống kê tƣơng ứng là Bose-
Einstein và Fermi-Dirac. Những kết quả trên sẽ là cơ sở cho chƣơng 2.
32
CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÕA BIẾN DẠNG q
2.1. Dao động tử điều hòa biến dạng q
2.1.1. Lý thuyết q- số
Lý thuyết q- số tƣơng ứng với số thông thƣờng x đƣợc định nghĩa:
(2.1)
Xét q là một tham số, nếu x là một toán tử thì định nghĩa giống với (2.1). Chú
ý rằng q- số là bất biến với phép biến đổi nghịch đảo , có thể xảy ra
hai trƣờng hợp:
+ Nếu tham số q là thực, q- số có thể biểu diễn nhƣ sau:
(2.2)
Trong đó với là thực
+ Nếu q là hệ số pha, q- số có thể viết nhƣ sau:
(2.3)
Trong đó với là thực
Cả hai trƣờng hợp trên thì trong giới hạn (hoặc tƣơng ứng ) q- số
trở về số thông thƣờng nghĩa là:
(2.4)
Thật vậy:
33
Từ (2.1) có một số trƣờng hợp sau:
Khi q- số thỏa mãn các đồng nhất thức khác với các đồng nhất thức quen
thuộc của các biểu thức thông thƣờng:
Thật vậy:
Xét (2.5)
q- giai thừa:
q- nhị thức hệ số:
q- nhị thức tổng quát:
Xét giới hạn thì ta có:
và với và là giai thừa chuẩn
Các hàm cơ bản của biến dạng q:
34
Đối với fermion biến dang q ta có:
Lý thuyết q- số là cơ sở toán học của lý thuyết biến dạng lƣợng tử mà tiếp
theo ta sử dụng để tìm dạng ma trận của các toán tử boson, xây dựng các đại
số biến dạng và các thống kê lƣợng tử biến dạng.
2.1.2. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa biến dạng q
Dao động tử biến dạng q đƣợc định nghĩa theo các toán tử sinh hạt ,
toán tử hủy hạt và toán tử số dao động tử . Với q là thông số biến dạng,
các toán tử dao động trên phải thỏa mãn hệ thức giao hoán phụ thuộc vào
tham số biến dạng q nhƣ sau:
+ - qâq
+âq =
. (2.6) âq âq
, toán tử hủy hạt
và toán tử số
Xét mối quan hệ giữa các toán tử sinh hạt
dao động tử có biểu thức nhƣ sau:
; (2.7)
Nếu xét trong không gian Fock, khi ta sử dụng toán tử sinh hạt tác
dụng liên tiếp lên trạng thái chân không thì thu đƣợc một số hệ thức sau:
(2.8)
35
Gọi , lần lƣợt là toán tử tọa độ và toán tử xung lƣợng, hệ thức liên
hệ với các toán tử sinh, hủy nhƣ sau:
Và dễ dàng chứng minh đƣợc chúng còn thỏa mãn hệ thức giao hoán:
(2.9)
Biểu thức Hamiltonian của dao động tử điều hòa biến dạng q nhƣ sau:
Vậy (2.10)
Cuối cùng phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng q nhƣ sau:
(2.11)
36
Biểu thức (2.11) cho chúng ta biết phổ năng lƣợng của dao động tử điều
hòa biến dạng q với q là số thức q = eτ ( τ là thực) có các đặc điểm là:
+ Đặc điểm 1: Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa biến dạng q có
thể nhận các giá trị gián đoạn.
+ Đặc điểm 2: Các mức năng lƣợng không cách đều nhau mà đƣợc giãn
rộng hơn khi số lƣợng tử chính n tăng lên.
+ Đặc điểm 3: Năng lƣợng “ không” ứng với n=0 là nói về năng lƣợng
thấp nhất của dao động tử điều hòa biến dạng q. Với mức “ không” của năng
lƣợng bằng >0.
+ Đặc điểm 4: Các mức năng lƣợng của dao động tử điều hòa biến dạng
q không suy biến, tức là bậc suy biến của mức năng lƣợng đó bằng 1.
2.1.3. Tính phi điều hòa của dao động tử điều hòa biến dạng q
Viết lại công thức (2.11) mô tả phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa
biến dạng q nhƣ sau:
(2.12)
Thật vậy, áp dụng lý thuyết q-số thay vào biểu thức có:
37
Sử dụng khai triển chuỗi Taylor của q- số, [n]q theo các số hạng bậc của
τ2 (với tham số biến dạng τ có giá trị nhỏ) có kết quả nhƣ sau:
Nhƣ vậy, có phổ năng lƣợng của dao động tử diều hòa biến dạng q có thể là:
(2.13)
Bên cạnh đó, thế năng của dao động tử điều hòa phi tuyến đƣợc tính bằng:
(2.14)
Với k, λ, μ, ξ là những hệ số nhỏ hơn k. Khảo sát thế năng này tƣơng tự nhƣ
cách đi khảo sát thế năng của dao động tử điều hòa tuyến tính cộng với các số
hạng nhiễu loạn với đo x trong đơn vị của .
Dựa vào lí thuyết nhiễu loạn có phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa
biến dạng q:
(2.15)
Từ (2.8) và (2.11), ta sẽ đồng nhất thức các hệ số để từ đó xác định đƣợc thế
năng của dao động tử điều hòa biến dạng q, diễn tả dao động tử điều hòa biến
dạng nhƣ sau :
(2.16)
Tƣơng ứng số hạng tiếp theo sẽ tỷ lệ với τ4x10. Ta thấy đƣợc điểm khác biệt
lớn khi ta so sánh với phổ năng lƣợng dao động tử điều hòa tuyến tính, kết
38
quả ở chƣơng 1 có các mức năng lƣợng cách đều nhau. Còn ở đây phổ năng
lƣợng của dao động tử điều hòa biến dạng q không cách đều nhau mà còn
đƣợc giãn rộng hơn khi số lƣợng tử chính n tăng lên.
Xét trong giới hạn q→1 (τ→0), kết hợp với (2.8) ta lại thu đƣợc phổ
năng lƣợng của dao động tử điều hòa tuyến tính đã biết:
(2.17)
2.1.4. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa
biến dạng q
Theo (2.13) ta đã thu đƣợc phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa
biến dạng q:
Năng lƣợng trung bình của dao động tử điều hòa biến dạng q theo bậc một
của số hạng là:
(2.18)
Tổng thống kê của dao động tử điều hòa biến dạng q ứng với bậc một của số
hạng là:
(2.19)
39
Nội năng của hệ là
(2.20)
Nhận xét:
Nếu nhiệt độ của hệ T > thì nội năng của hệ phụ thuộc tuyến tính vào nhiệt
độ theo công thức sau:
(2.21)
Khi đó, nhiệt dung mol đẳng tích không phụ thuộc vào nhiệt độ:
(2.22)
Với nhiệt độ của hệ T < thì nội năng phụ thuộc vào nhiệt độ
theo công thức sau:
(2.23)
Do đó, nhiệt dung mol sẽ phụ thuộc vào nhiệt độ theo công thức sau:
(2.24)
40
Tất cả các biểu thức trên đúng với dao động tử điều hòa biến dạng q còn
khi
các biểu thức đó sẽ trở thành các kết quả của dao động tử
điều hòa tuyến tính mà ta đã đƣa ra ở chƣơng 1.
2.2. Dao động tử Boson biến dạng q
2.2.1. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson biến dạng q
Ở chƣơng 1, có biểu diễn ma trận của các toán tử hủy, toán tử sinh
của dao động tử boson nhƣ sau:
(2.25)
Các dao động tử điều hòa biến dạng q đƣợc đƣa vào bởi sự mở rộng các
ma trận nêu trên bằng cách thay với lý thuyết q-số:
Thay vào trong ma trận (2.25) các số nguyên thì ta thu đƣợc các ma trận biểu
diễn của các toán tử sinh, hủy dao động tử boson biến dạng q nhƣ sau:
(2.26) ;
(2.27)
41
2.2.2. Các hệ thức giao hoán của toán tử Boson biến dạng q
Sau một loạt các phép tính ma trận, ta thu đƣợc các hệ thức cho toán tử
sinh, hủy của dao động tử boson biến dạng q và toán tử số là:
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Thật vậy:
(Điều phải chứng minh)
42
Biểu thức đại số (2.30) đƣợc đƣa vào trong không gian Fock có các véctơ
cơ sở là các véctơ trạng thái riêng của toán tử số phải thỏa mãn phƣơng
trình sau:
(2.34)
Với là trạng thái đƣợc xác định bởi sự tác dụng liên tiếp của toán tử sinh
lên trạng thái chân không:
Khi các véctơ cở sở bị tác dụng bởi các toán tử thì ta có:
2.2.3. Thống kê Bose-Einstein biến dạng q
Trƣớc tiên để xây dựng thống kê Bose-Einstein biến dạng q ứng với các
dao động tử boson biến dạng q, ta đi từ công thức tính giá trị trung bình của
đại lƣợng vật lý F tƣơng ứng với toán tử ,biểu thức đó nhƣ sau:
(2.35)
Ta tính đƣợc số hạt trung bình trên cùng một mức năng lƣợng là:
(2.36)
Đặt thì công thức (2.36) gọn hơn, khi đó Z ngƣời ta gọi là
tổng thống kê (hoặc tổng trạng thái).
43
Trong đó: là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối, ,
là năng lƣợng của một dao động tử và là thế hóa học.
Ta đƣợc:
(2.37)
Để tìm đƣợc giá trị ta cần tính thêm biểu thức sau:
Ta đƣợc:
(2.38)
Thay (2.37), (2.38) biểu thức (2.36) ta đƣợc:
44
Vậy cuối cùng chúng ta đã thu hàm phân bố thống kê Bose-Einstein biến
dạng q nhƣ trên và có thể viết lại theo cách sau:
(2.39)
Khi q=1, chúng ta thu đƣợc phân bố thống kê Bose-Einstein đã biết:
(2.40)
2.3. Dao động tử Fermion biến dạng q
2.3.1. Các hệ thức phản giao hoán của toán tử Fermion biến dạng q
Dao động tử Fermion biến dạng q đƣợc định nghĩa nhờ các toán tử hủy
hạt , toán tử sinh hạt . Khi đó các cùng với toán tử số dao động
toán tử phải thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán phụ thuộc vào tham số biến
dạng q nhƣ sau:
(2.41)
Mặt khác, giữa các toán tử sinh, toán tử hủy và toán tử số hạt còn đƣợc biển
diễn thông qua các hệ thức:
; (2.42)
Có thể chứng minh (2.41) bằng cách ta tác dụng lên hai vế của phƣơng trình
(2.41) lên không gian vectơ đƣợc:
(2.43)
45
Thay các hệ thức của (2.42) vào ta có:
Tƣơng ứng với đó có:
(2.44)
Thật vậy:
2.3.2. Thống kê Fermi-Dirac biến dạng q
Trƣớc tiên để xây dựng thống kê Fermi-Dirac biến dạng q ứng với các
dao động tử fermion biến dạng q ta đi từ công thức tính giá trị trung bình của
đại lƣợng vật lí F tƣơng ứng với toán tử , biểu thức đó nhƣ sau:
(2.45)
Sau đó, tƣơng tự ta tính tiếp đƣợc số hạt trung bình trên cùng một mức năng
lƣợng:
(2.46)
Đặt giúp biểu thức (2.46) gọn hơn. Khi đó ngƣời ta gọi Z là
tổng thống kê.
46
Trong đó: là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ của hệ, là thế hóa
học, là năng lƣợng của một dao động tử. với
(2.47)
Nhƣ vậy để tính đƣợc ta cần tính thêm:
(2.48)
Thay (2.47), (2.48) vào biểu thức (2.46) ta đƣợc:
Vậy cuối cùng chúng ta đã thu hàm phân bố thống kê Fermi-Dirac biến
dạng q nhƣ trên và có thể viết lại theo cách sau:
(2.49)
47
Khi q=1, ta thu đƣợc biểu thức chính là phân bố thống kê Fermi-Dirac:
(2.50)
Kết luận chƣơng 2
Trong chƣơng này tôi đã đi tìm hiểu tổng quan lí thuyết về dao động tử
điều hòa biến dạng q. Đƣa ra đƣợc lý thuyết q-số làm cơ sở tìm hiểu phổ năng
lƣợng, tính phi điều hòa và tổng trạng thái, nội năng, nhiêt dung của hệ dao
động tử điều hòa biến dang q. Tìm hiểu về dao động tử boson biến dạng q,
dao động tử fermion biến dạng q với các hệ thức giao hoán, phản giao hoán,
hai thống kê tƣơng ứng là thống kê Bose-Einstein biến dạng q và thống kê
Fermi-Dirac biến dạng q.
48
KẾT LUẬN CHUNG
Đề tài “Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q” sau khi
hoàn thiện tôi đã thu đƣợc những kết quả nhƣ sau:
- Đƣa ra một cách lôgic về dao động tử điều hòa tuyến tính trong đó có
nhắc đến phổ năng lƣợng, hàm sóng, tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung
của hệ các dao động tử, quỹ đạo pha. Các hệ thức liên quan về toán tử sinh,
hủy boson và fermion, biểu diễn ma trận của toán tử sinh, hủy boson, xây
dựng thống kê Bose-Einstein, thống kê Fermi-Dirac cũng nhƣ hệ nhiều hạt
tạo cơ sở tính toán cho chƣơng sau.
- Tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q: trình bày lí thuyết q-số
làm cơ sở toán học đƣa ra đƣợc phổ năng lƣợng, tính phi điều hòa của dao
động tử điều hòa biến dạng q đồng thời trên cơ sở đó xây dựng thống kê
Bose-Einstein biến dạng q, thống kê Fermi-Dirac biến dạng q bằng phƣơng
pháp lí thuyết trƣờng lƣợng tử.
49
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân, Cơ sở lý thuyết của vật lý lượng tử,
NXB ĐHQG Hà Nội (2003)
Trần Thái Hoa, Giáo trình Cơ Học Lượng Tử, NXB ĐHSP Hà Nội II
(2014)
Vũ Thanh Khiết, Nhiệt động lực học và vật lí thống kê, NXB ĐHQG Hà
Nội (2002)
Dao Vong Duc, Generalized q- deformed oscillator and their statistics,
Preprint ENSLAPP-A-494/94, Annecy France (1994)
50
