Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng đạo hàm giải một số dạng toán sơ cấp trong chương trình Trung học phổ thông

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp đại học "Ứng dụng đạo hàm giải một số dạng toán sơ cấp trong chương trình Trung học phổ thông" trình bày các nội dung chính sau: Kiến thức chuẩn bị; Ứng dụng đạo hàm giải toán một số dạng toán sơ cấp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng đạo hàm giải một số dạng toán sơ cấp trong chương trình Trung học phổ thông

UBND TỈNH QUẢNG NAM ̉ TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUANG NAM KHOA: TOÁN ---------- TRIỆU THỊ LUẬN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 4 năm 2017
UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Sinh viên thực hiện TRIỆU THỊ LUẬN MSSV: 2113010122 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA: 2013 – 2017 Cán bộ hướng dẫn ThS. DƯƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34-15111-26647 Quảng Nam, tháng 4 năm 2017
LỜI CẢM ƠN Khóa luận đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo của cô giáo ThS. Dương Thị Thu Thúy. Em xin phép được gởi đến cô lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tâm của cô đối với bản thân em, không những trong quá trình làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập. Em cũng xin phép được gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã giảng dạy em trong suốt 4 năm học vừa qua, cũng như toàn thể thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Quảng Nam, những người đã cho em kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện khóa luận. Cuối cùng em xin phép được gởi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan tâm, động viên, giúp đỡ em trong suốt quãng đường học tập vừa qua. Quảng Nam, ngày 24 tháng 4 năm 2017 SVTH Triệu Thị Luận
M ỤC L ỤC MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài ..........................................................................................................1 2. Mục tiêu nghiên cứu ....................................................................................................1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...............................................................................1 4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................1 5. Lịch sử nghiên cứu ......................................................................................................2 6. Đóng góp của đề tài .....................................................................................................2 7. Cấu trúc đề tài ..............................................................................................................2 NỘI DUNG......................................................................................................................3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................................3 1.1. Một số khái niệm cơ bản ..........................................................................................3 1.1.1. Giới hạn của hàm số ..............................................................................................3 1.1.1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm .......................................................................3 1.1.1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực ...........................................................................4 1.1.1.3 Giới hạn một bên .................................................................................................4 1.1.2. Hàm số liên tục ......................................................................................................5 1.1.3. Đạo hàm của hàm số tại một điểm ........................................................................6 1.1.4. Đạo hàm một bên tại một điểm .............................................................................6 1.1.5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng .....................7 1.1.6. Ý nghĩa hình học của đạo hàm ..............................................................................8 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm .........................................................................................9 1.2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số .................................................9 1.2.2. Đạo hàm của hàm số hợp ......................................................................................9 1.2.3. Đạo hàm của hàm số ngược ................................................................................10 1.2.4. Bảng công thức đạo hàm .....................................................................................10 1.3. Đạo hàm cấp cao ....................................................................................................10 1.4. Một số định lí liên quan ..........................................................................................11 1.4.1. Định lí 1.4. (Định lí Weierstrass) ........................................................................11 1.4.2. Định lí 1.5. (Định lí Lagrange) ............................................................................11 1.4.3. Định lí 1.6. (Định lí Rolle) ..................................................................................12 1.5. Tính đơn điệu của hàm số.......................................................................................13 1.6. Cực trị của hàm số ..................................................................................................13 1.6.1. Khái niệm cực trị của hàm số ..............................................................................13 1.6.2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị ...........................................................................13
1.7. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số ...................................................................14 1.8. Sự tiếp xúc của hai đường cong .............................................................................14 2.1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm số .....................................15 2.1.1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số ...................................15 2.1.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước ...........................................................................................................18 2.1.3. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................21 2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số ........................................................22 2.2.1. Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên để tìm cực trị của hàm số ...............................22 2.2.2. Dạng 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của hàm số .............................25 2.2.3. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................27 2.3. Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ................28 2.3.1. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn ...........28 2.3.2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát trực tiếp............................................................................................................31 2.3.3. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp khảo sát gián tiếp ...........................................................................................................33 2.3.4. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................36 2.4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm ..........................37 2.5. Ứng dụng đạo hàm giải phương trình ....................................................................41 2.5.1. Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình .......................41 2.5.2. Dạng 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình ..................................................................................................................45 2.5.3. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................48 2.6. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình................................................................49 2.6.1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình ................................49 2.6.2. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................53 2.7. Sử dụng định lí định lí Lagrange, định lí Rolle để giải các bài toán về phương trình ................................................................................................................................53 2.7.1. Dạng 1: Sử dụng định lí định lí Rolle, định lí Lagrange để chứng minh phương trình có nghiệm ..............................................................................................................53 2.7.2. Dạng 2: Sử dụng định lí Rolle, định lí Lagrange để giải phương trình ...............56 2.7.3. Một số bài tập tự luyện ........................................................................................58 KẾT LUẬN ...................................................................................................................59 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................60
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Theo quy định mới của bộ Giáo Dục và Đào Tạo, kỳ thi tốt nghiệp và xét đại học, môn Toán được đánh giá theo hình thức trắc nghiệm. Vì thế khối lượng kiến thức được kiểm tra sẽ nhiều hơn, rộng hơn. Để giải quyết tốt được chúng, học sinh không chỉ cần nắm chắc kiến thức mà còn cần rất nhiều kỹ năng giải toán, biết giải một dạng toán bằng nhiều cách, biết giải cách nào để cho đáp số nhanh nhất…Trong chương trình toán bậc Trung học phổ thông một công cụ có thể áp dụng để giải quyết rất nhiều dạng toán như: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số… đó chính là đạo hàm của hàm số. Đạo hàm là một trong những kiến thức khá quen thuộc đối với học sinh Trung học phổ thông. Nội dung này đã được đề cập trong chương trình kì 2 của lớp 11. Và sau đó, nó được vận dụng xuyên suốt trong quá trình giải nhiều dạng toán trong chương trình lớp 12. Nó là một kiến thức không thể thiếu đối với mỗi học sinh trung học phổ thông. Mặc dù vậy để nắm vững khái niệm đạo hàm, tính chất của đạo hàm và sử dụng linh hoạt các kiến thức này vào giải quyết từng dạng toán khác nhau lại là một vấn đề hoàn toàn không đơn giản. Từ những lý do trên, với vai trò sẽ là một giáo viên tương lai, tôi mong muốn bản thân sẽ thuần thục và biết cách vận dụng linh hoạt các kiến thức đạo hàm vào giải quyết một số dạng toán sơ cấp, để sau này truyền lại cho học sinh của mình những phương pháp đó. Vì vậy, tôi chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm giải một số dạng toán sơ cấp trong chương trình Trung học phổ thông” cho khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu việc ứng dụng đạo hàm vào giải một số dạng bài tập trong chương trình phổ thông, từ đó giúp học sinh có nhiều hướng giải quyết một bài toán cụ thể liên quan đến hàm số. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối lượng nghiên cứu: Dùng đạo hàm để giải quyết một số dạng bài tập phương trình, hệ phương trình, khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình Trung học phổ thông. 4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp kiến thức. - Tham khảo ý kiến chuyên gia. 1
5. Lịch sử nghiên cứu 6. Đóng góp của đề tài Khóa luận sau khi hình thành sẽ là một tài liệu tham khảo về giải toán sơ cấp bằng phương pháp đạo hàm cho các bạn đọc quan tâm. 7. Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Ứng dụng đạo hàm giải toán một số dạng toán sơ cấp Phần tài liệu tham khảo và phụ lục. 2
NỘI DUNG Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số khái niệm cơ bản  4 1.1.1. Giới hạn của hàm số 1.1.1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1.1. Giới hạn hữu hạn Giả sử  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp  a; b  \  x0  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số ( xn ) trong tập hợp  a; b  \  x0  (tức là xn   a; b  và xn  x0 với mọi n ) mà lim xn  x0 , ta đều có lim f ( xn )  L . Khi đó ta viết: lim f ( x)  L hoặc f ( x )  L khi x  x0 . x  x0  1 Ví dụ 1.1. Tìm lim  x cos  . x 0 x   1 Giải: Xét hàm số f  x   x cos . Với mọi dãy số  xn  mà xn  0 với mọi n và x 1 lim xn  0 , ta có f  xn   xn cos . Vì: xn 1 f  xn   xn cos  xn và lim xn  0 . xn  1 Nên lim f  xn   0 . Do đó lim f  x   lim  x cos   0 . x 0 x 0 x   Định nghĩa 1.2. Giới hạn vô cực Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Chẳng hạn, lim f  x    có nghĩa là với mọi dãy x  x0  xn  trong tập hợp  a; b  \  x0  mà lim xn  x0 , ta đều có lim f  xn    . 3 Ví dụ 1.2. Tìm lim .  x  1 x 1 2 3 Giải: Xét hàm số f  x   . Với mọi dãy số  xn  mà xn  1 với mọi n và  x  1 2 3 lim xn  1 , ta có f  xn   . Vì lim 3  3  0 , lim  xn  1  0 và  xn  1  0 với 2 2  xn  1 2 3
3 mọi n nên lim f  xn    . Do đó lim f  x   lim   .  xn  1 x 1 x 1 2 1.1.1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa 1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực - Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a;   . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến  nếu với mọi dãy số  xn  trong khoảng  a;  (tức là xn  a với mọi n ) mà lim xn   , ta đều có: lim f  xn   L . Khi đó ta viết lim f  x   L hoặc f  x   L khi x   . x  - Các giới hạn lim f  x    , lim f  x    , lim f  x   L , x  x  x  lim f  x    , lim f  x    x  x  được định nghĩa tương tự. Ví dụ 1.3. 1 1 lim  0 , vì với mọi dãy số âm  xn  mà lim xn   , ta đều có lim  0 . x  x xn 1.1.1.3 Giới hạn một bên Định nghĩa 1.4. Giới hạn bên phải - Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  x0 ; b  ( x0  ). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số  xn  trong khoảng  x0 ; b  mà lim xn  x0 , ta đều có lim f  xn   L . Khi đó ta viết lim f  x   L hoặc f  x   L khi x  x0  . x  x0  - Các định nghĩa lim f  x    , lim f  x    được phát biểu tương tự. x  x0  x  x0  3x  6 Ví dụ 1.4. Tìm giới hạn lim . x   2   x2 Giải: Với x  2 , ta có 3x  6  3  x  2   0 . Do đó 3x  6 3x  6 lim   lim   lim 3  3 . x   2  x2 x  2  x  2 x  2 Định nghĩa 1.5. Giới hạn bên trái 4
- Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a; x0  ( x0  ). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số  xn  trong khoảng  a; x0  mà lim xn  x0 , ta đều có lim f  xn   L . Khi đó ta viết lim f  x   L hoặc f  x   L khi x  x0  x  x0  - Các định nghĩa lim f  x    , lim f  x    được phát biểu tương tự. x  x0  x  x0  x 2  3x  2 Ví dụ 1.5. Tìm giới hạn lim . x  2 2 x x 2  3x  2  x  1 x  2  Giải: Ta có   1  x  2  x , với mọi x  2 . 2 x 2 x x 2  3x  2 Do đó lim  lim 1  x  2  x  0 . x  2 2 x x  2 1.1.2. Hàm số liên tục Định nghĩa 1.6. Hàm số liên tục tại một điểm Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a; b  và x0   a; b  . Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu lim f ( x)  f ( x0 ) . x  x0 Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0 . Ví dụ 1.6. Hàm số f  x   x3  2 x  1 xác định trên và có : lim f  x   lim  x3  2 x  1  33  2.3  1  32  f  3 x 3 x 3 Nên hàm số f  x  liên tục tại x0  3 . Định nghĩa 1.7. Hàm số liên tục trên một khoảng Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó. Ví dụ 1.7. Hàm số f  x   8  2 x 2 xác định trên đoạn  2; 2 và x0   2;2  ta có: lim f  x   lim 8  2 x 2  8  2 x0 2  f  x0  . x  x0 x  x0 Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng  2; 2  . Định nghĩa 1.8. Hàm số liên tục trên một đoạn 5
Hàm số f xác định trên đoạn  a; b được gọi là liên tục trên đoạn  a; b nếu nó liên tục trên khoảng  a; b  và lim f ( x)  f (a) , lim f ( x)  f (b) . x a   x b Ví dụ 1.8. Ta có hàm số f  x   8  2 x 2 liên tục trên khoảng  2; 2  (VD 1.7) . Mặt khác: lim f  x   lim   8  2 x 2  0  f  2  ; x  2  x  2  lim f  x   lim 8  2 x 2  0  f  2  . x  2 x2 Do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn  2; 2 . 1.1.3. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa 1.9. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; b  và điểm x0 thuộc khoảng đó. f ( x)  f ( x0 ) Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x dần đến x0 được gọi x  x0 là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0 , kí hiệu là f ' ( x0 ) hoặc y ' ( x0 ) , nghĩa là f ( x)  f ( x0 ) f ' ( x0 )  lim . x  x0 x  x0 Trong định nghĩa trên, nếu đặt x  x  x0 và y  f ( x0  x)  f ( x0 ) thì ta có f ( x0  x )  f ( x0 ) y f ' ( x0 )  lim  lim . x  0 x x  0  x Ví dụ 1.9. Tính đạo hàm của hàm số y  x 2 tại điểm x0  2 . Giải: Đặt f  x   x 2 , ta có: y  f  x0  x   f  x0    2  x   22  x  4  x  2 y lim  lim  4  x   4 . x  0  x x  0 Vậy f '  2   4 1.1.4. Đạo hàm một bên tại một điểm Định nghĩa 1.10. Đạo hàm bên phải Cho hàm số f xác định trên nửa khoảng  x0 ; b  . Giới hạn bên phải (nếu có) f ( x)  f ( x0 ) của tỉ số khi x dần đến x0 được gọi là đạo hàm bên phải của hàm x  x0 số đã cho tại điểm x0 , kí hiệu f ' ( x0  ) hoặc y ' ( x0  ) . 6
f ( x)  f ( x0 ) f ' ( x0  )  lim . x  x0 x  x0 Ví dụ 1.10. Tính đạo hàm bên phải của hàm số f  x   x 2  2 x tại điểm x  0 . Giải: Ta có f  x   f  0 x2  2 x f '  0   lim  lim  2 .  x 0 x0 x  0 x Định nghĩa 1.11. Đạo hàm bên trái Cho hàm số f xác định trên nửa khoảng  a; x0  . Giới hạn bên trái (nếu có) của tỉ f ( x)  f ( x0 ) số khi x dần đến x0 được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số đã cho tại x  x0 điểm x0 , kí hiệu f ' ( x0  ) hoặc y ' ( x0  ) . f ( x)  f ( x0 ) f ' ( x0  )  lim . x  x0 x  x0 Đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải được gọi chung là đạo hàm một bên. Ví dụ 1.11. Tính đạo hàm bên trái của hàm số f  x   x 2  2 x tại điểm x  0 . f  x   f  0 x2  2 x Giải: Ta có f '  0   lim  lim  2. x 0 x0  x 0 x 1.1.5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng Định nghĩa 1.12. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng Cho hàm số f xác định trên tập J , trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó. - Hàm số f gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f ' ( x) tại mọi điểm x thuộc J . - Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f ' xác định bởi f ' : J  gọi là x f , ( x) đạo hàm của hàm số f . Đạo hàm của hàm số y  f ( x ) cũng được kí hiệu bởi y' . Ví dụ 1.12. Tìm đạo hàm của hàm số y  x3 trên khoảng  ;   . Giải: Với mọi x   ;   ta có: y   x  x   x3  x  3 x 2  3 x.x  x 2  . 3 y lim  lim  3 x 2  3 x.x  x 2   3 x 2 . x  0  x x  0 Vậy hàm số y  x3 có đạo hàm trên khoảng  ;   và y '  x   3x 2 . Định nghĩa 1.13. Đạo hàm của hàm số trên một đoạn Cho hàm số f xác định trên tập K , trong đó K một đoạn. 7
Hàm số f gọi là có đạo hàm trên đoạn K   a; b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng  a; b  , có đạo hàm bên phải tại a và có đạo hàm bên trái tại b . Ví dụ 1.13. Chứng minh hàm số y  x 2 có đạo hàm trên đoạn  2; 2 . Giải: Với mọi x   2; 2  ta có: y   x  x   x 2  x  2 x  x  . 2 y lim  lim  2 x  x   2 x . x  0  x x  0 Suy ra hàm số y  x3 có đạo hàm trên khoảng  2; 2  và y '  x   2 x . Ta có : f ( x)  f (2) f ' (2 )  lim   lim   x  2   4 . x  2  x   2  x  2  f ( x )  f (2) f ' (2  )  lim  lim  x  2   4 . x2 x2 x2 Vậy hàm số y  x có đạo hàm trên đoạn  2; 2 . 2 Định nghĩa 1.14. Đạo hàm của hàm số trên một nửa khoảng Cho hàm số f xác định trên tập K , trong đó K là một nửa khoảng. - Hàm số f gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng K   a; b  nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng  a; b  và có đạo hàm bên phải tại a . (Tương tự nếu K   a;   ). - Hàm số f gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng K   a; b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng  a; b  và có đạo hàm bên trái tại b . (Tương tự nếu K   ; b ). Ví dụ 1.14. Hàm số y  x có đạo hàm bằng 1 trên nửa khoảng  0;   và có đạo hàm bằng 1 trên nửa khoảng  ;0 . 1.1.6. Ý nghĩa hình học của đạo hàm y  f  x Ý nghĩa: Đạo hàm của hàm số tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 )) . Chú ý: Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 )) có phương trình là y  f '  x0  x  x0   f  x0  . Ví dụ 1.15. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 2 tại điểm M 0  2; 4  Giải: Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số f  x   x 2 tại x0  2 . 8
- Tính y y  f  x0  x   f  x0    2  x    2   x  4  x  . 2 2 - Tính giới hạn y lim  lim  4  x   4 . x  0 x x  0 Vậy f '  2   4 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  4  x  2   4 hay y  4 x  4 . 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm  4 1.2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Định lí 1.1. Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Nếu hàm số u  u ( x) và v  v ( x ) có đạo hàm trên J (tập con của gồm một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng) thì hàm số y  u  x   v  x  , y  u  x   v  x  , u  x y  u  x v  x , y  v  x  v  x   0  cũng có đạo hàm trên J , và a) u ( x)  v( x)  u ' ( x)  v ' ( x) ; ' b) u ( x)  v( x)  u ' ( x)  v ' ( x) ; ' c) u ( x).v( x)  u ' ( x).v( x)  u ( x).v ' ( x) ; ' (Đặc biệt nếu k là hằng số thì  k.u ( x)  k.u ' ( x) ) ' '  u ( x)  u ' ( x ).v( x)  u ( x).v ' ( x) d)    v 2 ( x) .  v( x)  1.2.2. Đạo hàm của hàm số hợp Định nghĩa 1.15. Hàm số hợp Cho hai hàm số y  f  x  và u  u  x  . Thay thế biến u trong biểu thức f  u  bởi biểu thức u  x  , ta được biểu thức f u  x   với biến x . Khi đó, hàm số y  g  x    với g  x   f u  x   được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u ; hàm số u gọi là   hàm số trung gian. Định lí 1.2. Cách tính đạo hàm của hàm số hợp a) Nếu hàm số u  u  x  có đạo hàm tại mọi điểm x0 và hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm u0  u  x0  thì hàm số hợp g  x   f u  x   có đạo hàm tại điểm x0 , và   g '  x0   f '  u 0  .u '  x0  . b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp y  g  x  có đạo hàm trên J , và g '  x   f ' u  x   .u '  x  .   9
1.2.3. Đạo hàm của hàm số ngược Định lí 1.3. Giả sử hàm số u  u  x  liên tục tăng nghiêm ngặt trong khoảng  a; b  và giả thiết rằng x    u  là hàm ngược xác định trong lân cận của điểm u0  u  x0  ( x0   a; b  ). Khi đó, nếu hàm số u  u  x  có đạo hàm tại x  x0 và u '  x0   0 thì hàm số 1 x    u  có đạo hàm tại u  u0 , ta có  '  u   . u  x0  ' 1.2.4. Bảng công thức đạo hàm TT Hàm số Đạo hàm theo x Đạo hàm theo u  u  x  1 Hàm (C )'  0 (C.u )'  C.u ' hằng 2 Hàm lũy ( x )'   .x 1 ,   1  u   u . .u  ' '  1 ,   1 thừa   1 ' x  , x0   u'' 2 x u  , u  u ( x)  0 2 u '  1  1 '  1  u '    2 , x0  2 , u  u ( x)  0 x x   u u 3 Hàm mũ e   e x ' x  e   u .e u ' ' u  a   a .ln a , 0  a  1 x ' x  a   u .a .ln a , 0  a  1 u ' ' u 4 Hàm 1 u'  ln x  '   ln u  ' x  logarit u  log   x ln a , x  0 1 '  log   u ln a , u  0 ' x a u u ' a 5 Hàm  s in x   sin u  ' '  cos x  u ' .cos u lượng  cos x   cos u  ' '   sin x  u ' .sin u giác 1 u'  tan x  '   1  tan 2 x  tan u   2  1  tan 2 u ' cos 2 x cos u 1  cot x    2   1  cot 2 x  ' u'  cot u      1  cot 2 u  ' sin x 2 sin u 1.3. Đạo hàm cấp cao  4 Định nghĩa 1.16. Đạo hàm cấp một f ' và đạo hàm cấp hai f '' của hàm số f còn được kí hiệu lần lượt là f (1) và f (2) . Nếu f (2) là một hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của 10
nó gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f , kí hiệu là f (3) . Tương tự, đạo hàm cấp n của một hàm số được định nghĩa như sau: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  1 (với n  , n  2 ) là f ( n 1) . Nếu f ( n 1) là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu ' f ( n ) . Nói cách khác, f ( n )   f ( n 1)  , ( n    , n  2 ). Đạo hàm cấp n của hàm số y  f ( x ) còn được kí hiệu là y ( n ) . Ví dụ 1.16. Đối với hàm số y  s inx , ta có: y '  cos x ; y ''   cos x    s inx ; y  3    s inx    cos x ; ' ' y  4    cos x   s inx ; y 5   s inx   cos x ; … ' ' 1.4. Một số định lí liên quan  7  1.4.1. Định lí 1.4. (Định lí Weierstrass) Nếu hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b thì nó đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trên đoạn đó. Chứng minh: Do f  x  bị chặn trên  a; b nên M  Sup  f  x  , giả sử f  x   M vì nếu trái x a ;b  lại thì M không đạt đến được. 1 1 Xét hàm   x   liên tục trên  a; b nên     f  x   M  (trái M  f  x  với M là cận trên đúng). Vậy x0   a; b  : f  x0   M , tức M là giá trị lớn nhất của f  x  trên  a; b . Chứng minh tương tự đối với giá trị bé nhất. Ví dụ 1.17. Hàm số y  x  2  x 2 liên tục trên đoạn   2; 2  thì nó có   Max y  2 khi x  1 ; Min y   2 khi x   2 . x  2 ; 2  x  2 ; 2      1.4.2. Định lí 1.5. (Định lí Lagrange) Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b và có đạo hàm trên khoảng  a; b  . Khi f (b)  f (a ) đó tồn tại ít nhất một giá trị c   a; b  sao cho  f ' (c) hay ba f (b)  f (a)  f ' (c).(b  a) . Chứng minh: f b  f  a Xét hàm số F  x   f  x   .x ba 11
Vì f ( x) liên tục, có đạo hàm nên F  x  là hàm liên tục trên đoạn  a; b , có đạo hàm trên khoảng  a; b  và F  a   F  b  . Theo định Rolle, c   a; b  sao cho F ' (c)  0 . f b  f  a f (b )  f ( a ) Mà F '  x   f '  x   suy ra f ' (c )  . ba ba Hay f (b)  f (a)  f ' (c).(b  a) . Vậy định lí được chứng minh. Ví dụ 1.18. Chứng minh rằng phương trình a cos x  b cos 2 x  c cos 3 x  0 có nghiệm với mọi a, b, c . b c Giải: Xét hàm số F  x   a sin x  sin 2 x  sin 3 x liên tục và có đạo hàm trên  0;   2 3 và + F '  x   a cos x  b cos 2 x  c cos 3x . + F    F  0   0 . Khi đó x0   0;   sao cho F    F  0  F '  x0    a cos x0  b cos 2 x0  c cos3x0  0 .  0 Vậy phương trình có nghiệm x0   0;   . 1.4.3. Định lí 1.6. (Định lí Rolle) Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục trong đoạn  a; b và khả vi trong khoảng  a; b  ; Khi đó, nếu f ( a )  f (b) thì tồn tại ít nhất một điểm c   a; b  để f ' (c )  0 . Chứng minh: Theo định lí Lagrange vì f ( x) liên tục trên đoạn  a; b và có đạo hàm trên f (b)  f ( a ) khoảng  a; b  nên tồn tại c   a; b  sao cho  f ' (c) . Nhưng vì ba f ( a )  f (b) nên ta có f ' (c)  0 . Nhận xét: Định lí Rolle là mở rộng của định lí Lagrange. a1 a2 a Ví dụ 1.19. Cho a0  0 và a0    ...  2017  0 . Chứng minh rằng phương trình 2 3 2017 a0  a1 x  ...  a2017 x 2017  0 có nghiệm thuộc khoảng  0;1 . Giải: Xét hàm số: 12
x2 x2018 F  x   a0 x  a1  ...  a2017 . 2 2018 Ta có hàm số F  x  liên tục và có đạo hàm trên và + F '  x   a0  a1 x  ...  a2017 x 2017 . a1 a2 a + F  0   0 ; F 1  a0    ...  2017  0 . 2 3 2017 Khi đó theo định lí Rolle x0   0;1 sao cho F '  x0   0 tức a0  a1 x  ...  a2017 x 2017  0 . Vậy phương trình a0  a1 x  ...  a2017 x 2017  0 có nghiệm x0   0;1 . 1.5. Tính đơn điệu của hàm số 5 Định lí 1.7. Tính đơn điệu của hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . - Nếu f '  0 với mọi x  I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I . - Nếu f '  0 với mọi x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I . - Nếu f '  0 với mọi x  I thì hàm số f không đổi trên khoảng I . 1.6. Cực trị của hàm số 5 1.6.1. Khái niệm cực trị của hàm số Định nghĩa 1.17. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ( D  ) và x0  D . + x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a; b  chứa điểm x0 sao cho  a; b   D và f ( x)  f ( x0 ) với mọi x   a; b  \  x0  . Khi đó f ( x0 ) gọi là các giá trị cực đại của hàm số f . + x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a; b  chứa điểm x0 sao cho  a; b   D và f ( x)  f ( x0 ) với mọi x   a; b  \  x0  . Khi đó f ( x0 ) gọi là các giá trị cực tiểu của hàm số f . Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị. 1.6.2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị Định lí 1.8. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '  x0   0 . Định lí 1.9. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng  a; x0  và  x0 ; b  . Khi đó 13
a) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; x0  và f '  x   0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 . b) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; x0  và f '  x   0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 . Định lí 1.10. Quy tắc tìm cực trị của hàm số nếu có đạo hàm cấp hai Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  a, b  chứa điểm x0 , f '  x0   0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 . a) Nếu f '  x0   0 và f ''  x0   0 thì x0 là điểm cực đại của hàm f . b) Nếu f '  x0   0 và f ''  x0   0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm f . 1.7. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số 5 Định nghĩa 1.18. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ( D  ). + Nếu tồn tại một điểm x0  D sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x  D thì số M  f ( x0 ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D , kí hiệu là M  max f ( x) . xD + Nếu tồn tại một điểm x0  D sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x  D thì số m  f ( x0 ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D , kí hiệu là m  min f ( x) . xD 1.8. Sự tiếp xúc của hai đường cong 5 Định nghĩa 1.19. Điều kiện tiếp xúc + Đường thẳng y  k .x  b tiếp xúc với đường cong y  f ( x ) khi và chỉ khi  f ( x )  k .x  b hệ phương trình sau có nghiệm:  . Khi đó nghiệm của hệ là hoành  f ( x)  k ' độ tiếp điểm của hai đường trên. + Hai đường cong (C1 ) : y  f  x  và (C2 ) : y  g  x  tiếp xúc với nhau khi và  f ( x)  g ( x) chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  . Khi đó nghiệm của hệ là  f ( x)  g ( x) ' ' hoành độ tiếp điểm của hai đường cong. Ví dụ 1.20. Chứng minh các đồ thị của hai hàm số y  x3  x 2  4  C1  và y   x 2  3x  6  C2  tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó. Giải: Hoành độ giao điểm của hai đường cong  C1  và  C2  là nghiệm của hệ phương 14
trình  3  x  x  4   x  3x  6 2 2  2 3 x  2 x  2 x  3   x3  3x  2  0   2 3x  3  0   x  1  x  2   0  2  x 1  0 2   x  1 Vậy hai đường cong  C1  và  C2  tiếp xúc với nhau tại điểm A  1; 2  . Chương 2. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP 2.1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm số 2.1.1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số * Phương pháp: Sử dụng định lí về tính đơn điệu của hàm số (Định lí 1.7). Cụ thể, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm miền xác định. Bước 2: Tính đạo hàm y ' rồi giải phương trình y '  0 . Bước 3: Lập bảng xét dấu của y ' và kết luận. * Một số bài toán: 4 x2  5x  2 Bài 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y  . x 1 Giải: 4 x2  5x  2 1 Ta có: y   4x 1  . x 1 x 1 Miền xác định: D  \ 1 . 1 Đạo hàm: y '  4  ;  x  1 2 1 y'  0  4  0  x  1 2 1 3 x hoặc x   . 2 2 Bảng xét dấu y ' : 15