Khóa luận tốt nghiệp đại học: Xây dựng một số bài tập song ngữ chương Các định luật bảo toàn trong cơ học

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài khóa luận gồm có những nội dung nghiên cứu sau đây: Xây dựng hệ thống từ vựng phần các định luật bảo toàn trong cơ học, trình bày logic khoa học lý thuyết phần các định luật bảo toàn, phân dạng các bài toán bằng song ngữ. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Xây dựng một số bài tập song ngữ chương Các định luật bảo toàn trong cơ học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== ĐOÀN THỊ DUNG XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TẬP SONG NGỮ CHƯƠNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ HỌC Chuyên ngành: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học GV.ThS HOÀNG VĂN QUYẾT HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo – ThS. Hoàng Văn Quyết người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô đã giảng dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập, nghiên cứu khóa luận cũng như trong công việc sau này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Đoàn Thị Dung
LỜI CAM ĐOAN Tôi hoàn thành khóa luận này dưới sự hướng dẫn của của ThS. Hoàng Văn Quyết và sự lỗ lực của bản thân. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chúng tôi và không trùng với kết quả nghiên cứu của tác giả nào đã công bố trước đây. Mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận này đã được ghi rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Đoàn Thị Dung
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu đề tài ........................................................................... 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2 CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................. 3 1. Động lượng. Định luật bảo toàn động lượng ................................................ 3 1.1. Khái niệm động lượng................................................................................ 3 1.2. Định lý biến thiên động lượng của chất điểm ............................................ 3 1.3. Định luật bảo toàn động lượng của hệ cô lập ............................................ 5 1.3.1. Thiết lập................................................................................................... 5 1.3.2. Bảo toàn động lượng theo phương .......................................................... 5 2. Công và công suất ......................................................................................... 5 2.1. Công ........................................................................................................... 5 2.2. Công suất .................................................................................................... 8 3. Động năng ..................................................................................................... 8 4. Thế năng ...................................................................................................... 10 4.1. Định nghĩa ................................................................................................ 10 4.2. Tính chất................................................................................................... 10 5. Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng.................................................... 10 6. Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lượng ................................. 11 6.1. Định lý về momen động lượng của chất điểm ......................................... 11 6.2. Momen động lượng của một hệ chất điểm............................................... 12 6.2.1. Định nghĩa ............................................................................................ 12
6.2.2. Định lý về momen động lượng của một hệ chất điểm .......................... 13 6.3. Định luật bảo toàn momen động lượng.................................................... 15 6.3.1. Thiết lập................................................................................................. 15 6.3.2. Trường hợp hệ quay xung quanh một trục cố định ............................... 15 Kết luận chương 1 ........................................................................................... 17 CHƯƠNG 2. PHÂN DẠNG BÀI TẬP PHẦN CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ HỌC ............................................................................... 18 1. Từ vựng - vocabulary .................................................................................. 18 2. Phân dạng bài tập bằng song ngữ................................................................ 18 2.1. Bài tập về định luật bảo toàn và biến thiên động lượng .......................... 19 2.1.1. Bài tập mẫu............................................................................................ 19 2.1.2. Bài tập áp dụng...................................................................................... 25 2.2. Công và công suất .................................................................................... 26 2.2.1. Bài tập mẫu............................................................................................ 26 2.2.2. Bài tập áp dụng...................................................................................... 29 2.3. Bài tập về động năng – định lý biến thiên động năng.............................. 32 2.3.1. Bài tập mẫu............................................................................................ 32 2.3.2. Bài tập áp dụng...................................................................................... 34 2.4. Bài tập về định luật bảo toàn cơ năng ...................................................... 37 2.4.1. Bài tập mẫu............................................................................................ 37 2.4.2. Bài tập áp dụng...................................................................................... 40 2.5. Bài tập về định luật bảo toàn và biến thiên momen động lượng ............. 41 2.5.1. Bài tập mẫu............................................................................................ 41 2.5.2. Bài tập áp dụng...................................................................................... 46 Kết luận chương 2 ........................................................................................... 49 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 51
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Thế giới đang xảy ra sự bùng nổ tri thức khoa học – công nghệ. Cứ mỗi giây, mỗi phút trôi qua có hàng nghìn ý tưởng được nảy sinh, hàng trăm phát minh được ra đời và biết bao sự thay đổi của khoa học – công nghệ đang diễn ra. Để có thể vươn lên cùng với sự thay đổi của khoa học – công nghệ đó, chúng ta không những phải học hỏi kinh nghiệm của các nước tiên tiến mà còn phải biết vận dụng những kinh nghiệm đó một cách sáng tạo, tìm ra con đường phát triển riêng của đất nước. Trong chiến lược xây dựng và phát triển, Nhà nước ta luôn xem nhân tố con người có tầm quan trọng đặc biệt quyết định sự thành công. Để làm được điều đó, chúng ta cần tạo ra bước tiến mới trong sự nghiệp phát triển giáo dục – đào tạo, không ngừng đổi mới tổ chức, nội dung nâng cao chất lượng giáo dục sao cho phù hợp nhất nhằm bồi dưỡng và phát triển nguồn nhân lực đáp ứng yêu cầu của xã hội. Cùng với sự hội nhập của các nước trên thế giới, sự tiến bộ không ngừng của khoa học – công nghệ, đã đòi hỏi Đảng và Nhà nước ta phải đổi mới giáo dục cả về nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức giáo dục. Cụ thể trong việc Bộ giáo dục xuất bản và đưa sách song ngữ vào giảng dạy thay thế cho sách sử dụng tiếng mẹ đẻ trước đây. Sở giáo dục cho biết sẽ thí điểm đưa sách này vào các trường phổ thông theo chủ trương nâng cao năng lực tiếng anh cho học sinh và dự kiến đến năm 2020, sách song ngữ sẽ được đưa vào dạy đại trà. Trên thực tế giảng dạy ở trường phổ thông, ta thấy rằng việc lồng ghép tiếng Anh vào các môn khác nói chung và Vật lý nói riêng là điều cần thiết và càng trở nên cấp bách hơn bao giờ hết. Không những bổ sung kiến thức chuyên môn mà còn nâng cao khả năng ngoại ngữ, hướng đến đọc được sách 1
và tài liệu nước ngoài. Xuất phát từ những nhu cầu thực tế đó của xã hội, tôi sử dụng đề tài nghiên cứu khoa học theo xu hướng: “Xây dựng một số bài tập song ngữ chương Các định luật bảo toàn trong cơ học” với mong muốn nghiên cứu nâng cao chất lượng dạy học vật lý và củng cố kiến thức tiếng Anh chuyên ngành giúp các em tránh khỏi những bỡ ngỡ trong hình thức dạy học mới. 2. Mục đích nghiên cứu đề tài Phân dạng bài tập phần các định luật bảo toàn trong cơ học bằng song ngữ 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Các kiến thức phần định luật bảo toàn và tiếng Anh cho chuyên ngành Vật lý - Phạm vi: Xét trong Vật lý cổ điển 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng hệ thống từ vựng phần các định luật bảo toàn trong cơ học. - Trình bày logic khoa học lý thuyết phần các định luật bảo toàn. - Phân dạng các bài toán bằng song ngữ. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc, tra cứu và tổng hợp tài liệu 6. Cấu trúc khóa luận Phần 1. Mở đầu Phần 2. Nội dung Phần 3: Kết luận 2
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Động lượng. Định luật bảo toàn động lượng 1.1. Khái niệm động lượng Khi một lực 𝐹⃗ tác dụng lên một vật trong khoảng thời gian ∆𝑡 thì tích 𝐹⃗ . ∆𝑡 được định nghĩa là xung lượng của lực 𝐹⃗ trong khoảng thời gian ∆𝑡 ấy. Giả sử lực 𝐹⃗ (không đổi) tác dụng lên một vật khối lượng m đang chuyển động với vận tốc ⃗⃗⃗⃗⃗. 𝑣1 Trong khoảng thời gian tác dụng ∆𝑡, vận tốc của vật biến đổi thành 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 nghĩa là vật đã có gia tốc: 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 𝑎⃗ = ∆𝑡 Theo định luật II Niuton: 𝑚𝑎⃗ = 𝐹⃗ 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 𝑚 = 𝐹⃗ ∆𝑡 Suy ra 𝑚𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗1 = 𝐹⃗ ∆𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗2 − 𝑚𝑣 (1.1) Vế phải của (1.1) chính là xung lượng của lực trong khoảng thời gian ∆𝑡, còn về trái là độ biến thiên của đại lượng 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ Đại lượng 𝑝⃗ được gọi là động lượng của một vật Động lượng của một vật khối lượng m đang chuyển động với vận tốc 𝑣⃗ là đại lượng được xác định bởi công thức: 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ 1.2. Định lý biến thiên động lượng của chất điểm Theo định luật Newton II, nếu một chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của một lực 𝐹⃗ (hay của nhiều lực, lực tổng hợp là 𝐹⃗ ) thì sẽ có gia tốc 𝑎⃗ cho bởi: 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ Từ biểu thức của gia tốc ta có thể viết lại biểu thức trên như sau: 3
𝑑𝑣⃗ 𝑚= 𝐹⃗ 𝑑𝑡 vì m không đổi nên ta có thể viết lại là: 𝑑(𝑚𝑣⃗) = 𝐹⃗ (1.2) 𝑑𝑡 Vectơ 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ gọi là vectơ động lượng của chất điểm. Vậy biểu thức (1.2) có thể viết thành: 𝑑𝑝⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝐹 (1.3) 𝑑𝑡 Định lý 1: Đạo hàm động lượng của một chất điểm đối với thời gian có giá trị bằng lực (hay tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm đó. Từ (1.3) ta suy ra: 𝑑𝑝⃗ = 𝐹⃗ 𝑑𝑡 (1.4) Tích phân 2 vế của biểu thức (1.4) trong khoảng thời gian từ t 1 đến t2 ứng với sự biến thiên của động lượng từ p1 đến p2 ta được: 𝑡2 ∆𝑝⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝2 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝1 = ∫ 𝑝⃗ 𝑑𝑡 (1.5) 𝑡1 Theo định nghĩa tích phân của lực F theo t từ t 1 đến t2 gọi là xung lượng của F trong khoảng thời gian đó. Vậy biểu thức (1.5) có thể phát biểu như sau: Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay tổng hợp lực) tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. Trong trường hợp F không đổi theo thời gian, (1.5) trở thành: ∆𝑝⃗ = 𝐹⃗ ∆𝑡 (1.6) ∆𝑝⃗ Hay = 𝐹⃗ (1.7) ∆𝑡 Theo (1.7) ta có thể phát biểu: Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong một đơn vị thời gian có giá trị bằng lực tác dụng lên chất điểm đó. 4
1.3. Định luật bảo toàn động lượng của hệ cô lập 1.3.1. Thiết lập Đối với một hệ chất điểm chuyển động, ta có định lý về động lượng: 𝑑 (𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 + 𝑚2 𝑣 𝑣𝑛 = 𝐹⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗2 + ⋯ + 𝑚𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗) 𝑑𝑡 1 1 trong đó 𝐹⃗ là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ (theo định luật Newton III thì tổng các nội lực tương tác trong hệ bằng 0). Nếu hệ đang xét là một hệ cô lập (F = 0) thì: 𝑑 (𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 + 𝑚2 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 + ⋯ + 𝑚𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗) 𝑣𝑛 = 0 𝑑𝑡 1 1 Nghĩa là 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝑚2 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 + ⋯ + 𝑚𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (1.8) Phát biểu: Tổng động lượng của một hệ cô lập là một đại lượng bảo toàn. 1.3.2. Bảo toàn động lượng theo phương Trong trường hợp một hệ chất điểm không cô lập nghĩa là 𝐹⃗ ≠ 0 nhưng hình chiếu của 𝐹⃗ lên một phương x nào đó luôn luôn bằng 0, khi đó nếu chiếu phương trình vectơ 𝑑 (𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 + 𝑚2 𝑣 𝑣𝑛 = 𝐹⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗2 + ⋯ + 𝑚𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗) 𝑑𝑡 1 1 lên phương x ta được: 𝑚1 𝑣1𝑥 + 𝑚2 𝑣2𝑥 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Vậy, hình chiếu của tổng động lượng của hệ lên phương x là một đại lượng bảo toàn. 2. Công và công suất 2.1. Công Xét một vật nằm yên trên bàn. Nó chịu tác dụng của hai lực: trọng lực và phản lực của mặt bàn, tổng hình học của các ngoại lực bằng không. Do đó, theo định luật bảo toàn động lượng thì động lượng của vật bảo toàn. Suy ra, vật phải giữ nguyên trạng thái nằm yên trên bàn. 5
Lại xét một ôtô chuyển động thẳng đều trên đường, ôtô chịu tác dụng của lực kéo của động cơ, lực cản của không khí, lực ma sát của mặt đường, trọng lượng của ôtô phản lực của mặt đường. Vì ôtô chuyển động thẳng đều, nên theo định luật I Newton thì tổng hình học của tất cả các lực tác dụng lên ôtô phải bằng 0. Do đó, theo định luật bảo toàn động lượng thì động lượng của ôtô không thay đổi theo thời gian. Như vậy, trạng thái chuyển động của ôtô và vật nằm trên mặt bàn là như nhau. Tuy nhiên, động cơ của ôtô phải hoạt động liên tục, tiêu tốn nhiên liệu để sản sinh ra lực kéo nhằm duy trì trạng thái chuyển động cơ học không thay đổi theo thời gian, trái lại vật nằm trên mặt bàn lại không cần tiêu tốn một tí năng lượng nào cả. Nghiên cứu kỹ, ta thấy có sự khác nhau rất cơ bản giữa hai ví dụ nêu ra ở trên, đó là: điểm đặt của các lực tác dụng lên vật nằm trên mặt bàn không dịch chuyển, còn điểm đặt của lực kéo của động cơ ôtô liên tục dịch chuyển cùng ôtô. Vậy, ta có thể nói rằng: một lực sinh công khi điểm đặt của nó chuyển dời. Thí nghiệm chứng tỏ rằng, lượng nhiên liệu tiêu thụ bởi động cơ ôtô tỷ lệ với tích số của lực kéo 𝐹⃗ và quãng đường dịch chuyển x của điểm đặt của lực kéo (quãng đường dịch chuyển của ôtô). Công là đại lượng vô hướng được đo bằng tích số của lực và quãng đường dịch chuyển của điểm đặt của lực. Ví dụ trên cho thấy rằng năng lượng nhiệt chứa trong nhiên liệu khi bị đốt cháy trong động cơ ôtô đã ⃗ 𝛼 𝐹 chuyển thành công cơ học làm cho ôtô chuyển động. . 𝑑𝑠⃗ Vậy công chính là đại lượng đặc trưng cho phần năng Hình 1.1 lượng chuyển đổi từ dạng năng lượng này sang dạng năng khác, hay chính là phần năng lượng trao đổi giữa các vật. 6
Dưới tác dụng của lực 𝐹⃗ giả sử chất điểm dịch chuyển được một đoạn đường vi phân d𝑠⃗ . Công vi phân 𝜕A mà lực 𝐹⃗ thực hiện được trên đoạn đường 𝑑𝑠⃗ là tích vô hướng của hai vectơ: 𝜕𝐴 = 𝐹⃗ . 𝑑𝑠⃗ = 𝐹. 𝑑𝑠. cos 𝛼 (1.9) Nếu: α < π/2 thì 𝜕A > 0: công hữu ích α < π/2 thì 𝜕A = 0: lực tác dụng vuông góc với chuyển động nên không sinh công. α > π/2 thì 𝜕A < 0: công cản (ví dụ công của lực ma sát) Từ biểu thức (1.9) ta suy ra đơn vị của công là Jun (J): 1J = 1Nm. Biểu thức này chỉ đúng cho trường hợp lực 𝑑𝑠⃗ 𝐹⃗ không đổi và chuyển dời của s là thẳng. 𝛼 Q Trong trường hợp tổng quát điểm đặt của lực 𝐹⃗ P 𝐹⃗ chuyển dời từ điểm P đến điểm Q trên quỹ đạo, Hình 1.2 trong quá trình này lực thay đổi. Để tính công trong trường hợp này ta chia đoạn đường PQ thành nhiều đoạn nhỏ, rồi áp dụng công thức (1.9) tính công vi phân dA trên đoạn 𝑑𝑠⃗ đó, rồi cộng tất cả các công vi phân lại ta sẽ tính được công mà lực 𝐹⃗ thực hiện được trên đoạn đường PQ: 𝑄 𝑄 𝜕𝐴 = 𝐹⃗ 𝑑𝑠⃗ → 𝐴 = ∫ 𝜕𝐴 = ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑠⃗ (1.10) 𝑃 𝑃 Nếu phân tích vectơ 𝐹⃗ và d𝑠⃗ thành các thành phần theo các trục toạ độ của hệ toạ độ Descarst thì ta có thể biểu diễn công A dưới dạng: 𝑄 𝐴 = ∫(𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧) (1.11) 𝑃 7
2.2. Công suất Khi định nghĩa công mà lực 𝐹⃗ thực hiện được trên một đoạn đường nào đó ta không tính đến thời gian thực hiện công. Để đặc trưng cho khả năng sinh công nhanh hay chậm của một máy sinh công (Ví dụ: một động cơ) người ta đưa vào một đại lượng vật lý mới gọi là công suất. Công suất trung bình Ptb của một máy sinh công là tỷ số của công ΔA và thời gian Δt để thực hiện công đó, ta có: ∆𝐴 𝑃𝑡𝑏 = (1.12) ∆𝑡 Về mặt ý nghĩa, công suất trung bình có giá trị bằng công trung bình của lực sinh ra trong đơn vị thời gian. ∆𝐴 Để tính công suất tại từng thời điểm, ta cho Δt → 0. Giới hạn của khi ∆𝑡 Δt → 0 theo định nghĩa gọi là công suất tức thời (gọi tắt là công suất) của lực, được ký hiệu là: ∆𝐴 𝑑𝐴 𝑃 = lim = (1.13) ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 Vậy: công suất có giá trị bằng đạo hàm của công theo thời gian. 𝑑𝐴 𝑑𝑠⃗ 𝑃= = 𝐹⃗ = 𝐹⃗ . 𝑣⃗ (1.14) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Vậy: công suất bằng tích vô hướng của lực tác dụng với vectơ vận tốc của chuyển dời. Đơn vị của công suất là Woat (W), 1W = 1J/s = 1 Nm/s. 3. Động năng 𝑦⃗ 𝑑𝑠⃗ (2) Động năng là phần cơ năng tương ứng (1) với sự chuyển động của các vật. Muốn xác 𝐹⃗ định biểu thức của động năng ta hãy tính Hình 1.3 công của lực ngoài tác dụng lên vật. Xét một chất điểm khối lượng m, chịu tác dụng của một lực 𝐹⃗ và chuyển rời 8
từ vị trí 1 sang vị trí 2 (hình 1.3). Công của lực 𝐹⃗ trong chuyển rời từ 1 sang 2 là: (2) 𝐴 = ∫(1) 𝐹⃗ 𝑑𝑠⃗ ⃗⃗ 𝑑𝑣 Mà ta lại có: 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ = 𝑚 , thay vào biểu thức của A ta được: 𝑑𝑡 (2) (2) (2) (2) 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑠⃗ 𝑚𝑣 2 𝐴 = ∫ 𝑚. . 𝑑𝑠⃗ = ∫ 𝑚. . 𝑑𝑣⃗ = ∫ 𝑚𝑣⃗ 𝑑𝑣⃗ = ∫ 𝑑 ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 (1) (1) (1) (1) Thực hiện phép tích phân ta được: 𝑚𝑣22 𝑚𝑣12 − =𝐴 (1.15) 2 2 trong đó: v1 và v2 là vận tốc của chất điểm tại các vị trí 1 và 2. Theo (1.13) công A có trị số bằng độ biến thiên động năng. Vậy ta có định nghĩa: 𝑚𝑣12 = động năng chất điểm tại vị trí 1 = 𝑊đ1 2 𝑚𝑣22 = động năng chất điểm tại vị trí 2 = Wđ2 2 Tổng quát, biểu thức động năng của chất điểm có khối lượng m, vận tốc 𝑣⃗ cho bởi: 𝑚𝑣 2 𝑊đ = (1.16) 2 Biểu thức (1.15) trở thành:𝑊đ2 − 𝑊đ1 = 𝐴 Định lý về động năng: Độ biến thiên động năng của một chất điểm trong một quãng đường nào đó có giá trị bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất điểm sinh ra trong quãng đường đó. Kết luận: Khi động năng của một vật giảm thì ngoại lực tác dụng lên vật sinh một công cản; như thế nghĩa là vật đó tác dụng lên vật khác một lực và lực đó sinh công dương. 9
4. Thế năng 4.1. Định nghĩa Khi một chất điểm dịch chuyển từ vị trí M sang vị trí N trong trường lực thế thì công AMN của trường lực chỉ phụ thuộc vào hai vị trí đầu và cuối M, N. Tính chất này ta có thể định nghĩa: Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là một hàm Wt phụ thuộc vào vị trí của chất điểm sao cho: AMN = Wt(M) – Wt(N) (1.17) Từ định nghĩa ta thấy rằng: nếu đồng thời cộng Wt(M) và Wt(N) với cùng một hằng số thì hệ thức định nghĩa trong (1.17) vẫn được nghiệm đúng, nói cách khác: "thế năng của chất điểm tại một vị trí được định nghĩa sai khác một hằng số cộng". 4.2. Tính chất Thế năng tại một vị trí được xác định sai khác một hằng số cộng nhưng hiệu thế năng giữa hai vị trí thì hoàn toàn xác định. Giữa trường lực và thế năng có hệ thức sau: 𝐴𝑀𝑁 = ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑠⃗ = 𝑊𝑡 (𝑀) − 𝑊𝑡 (𝑁) (1.18) 𝑀𝑁 Nếu cho chất điểm địch chuyển theo một vòng kín (M ≡ N) thì hệ thức trên đây trở thành: ∮ 𝐹⃗ 𝑑𝑠⃗ = 0 5. Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng Khi chất điểm khối lượng m chuyển động từ vị trí M đến vị trí N trong một trường lực thế thì công của trường lực cho bởi: AMN = Wt(M) – Wt(N) Nếu chất điểm chỉ chịu tác dụng của trường lực thế thì theo định lý về 10
động năng, ta có: 𝐴𝑀𝑁 = 𝑊đ (𝑁) − 𝑊đ (𝑀) Vậy: Wt(M) – Wt(N) = Wđ(N) – Wđ(M) Hay Wđ(M) + Wt(M) = Wđ(N) + Wt(N) (1.19) Vậy tổng: Wđ(M) + Wt(M) = const (1.20) Tổng này có giá trị không đổi, không phụ thuộc vào vị trí của chất điểm. Tổng động năng và thế năng của chất điểm được gọi là cơ năng của chất điểm. Khi chất điểm chuyển động trong một trường lực thế (không chịu tác dụng của một lực nào khác) thì cơ năng của chất điểm là một đại lượng bảo toàn. Đây chính là định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế. Ví dụ: Khi chất điểm khối lượng m chuyển động trong trọng trường đều thì: 𝑚𝑣 2 𝑊= + 𝑚𝑔ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (1.21) 2 Hệ quả: Vì W = Wđ + Wt = const nên trong quá trình chuyển động của chất điểm trong trường lực thế nếu động năng Wđ tăng thì thế năng Wt giảm và ngược lại; ở chỗ nào Wđ đạt giá trị cực đại thì Wt cực tiểu và ngược lại. Chú ý: Khi chất điểm chuyển động trong trường lực thế còn chịu tác dụng của một lực khác 𝐹⃗ (ví dụ lực ma sát) thì nói chung cơ năng của chất điểm không bảo toàn: độ biến thiên của cơ năng chất điểm sẽ bằng công của lực 𝐹⃗ đó. 6. Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lượng 6.1. Định lý về momen động lượng của chất điểm Một chất điểm M chuyển động trên một quỹ O 𝐹⃗ đạo (C) dưới tác dụng của một lực 𝐹⃗ (hình 1.4). Theo định lý về sự biến thiên động lượng ta 𝑟⃗ (C) có: M 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ Hình 1.4 11
𝑑𝑝⃗ 𝑑(𝑚𝑣⃗) = = 𝐹⃗ (1.22) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Nhân hữu hướng cả hai vế của (1.22) với t = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 (O là gốc tọa độ) ta được: 𝑑(𝑚𝑣⃗) 𝑑 𝑑 𝑟⃗ ∧ = (𝑟⃗ ∧ 𝑚𝑣⃗) = (𝑟⃗ ∧ 𝑝⃗) = 𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗ (1.23) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑟⃗ ⃗⃗) 𝑑(𝑚𝑣 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑟⃗ (Vì (𝑟⃗ ∧ 𝑚𝑣⃗) = ∧ 𝑚𝑣⃗ + 𝑟⃗ ∧ 𝑣à = 𝑣⃗ ∧ 𝑚𝑣⃗ → ∧ 𝑚𝑣⃗ = ⃗0⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 Hay: 𝑑𝑡 (𝐿⃗⃗) = 𝑀 ⃗⃗⃗(𝑂, 𝐹⃗ ) (1.24) Trong đó 𝐿⃗⃗ = 𝑟⃗ ∧ 𝑝⃗ là mômen động lượng của chất điểm M đối với điểm ⃗⃗⃗(𝑂, 𝐹⃗ ) = 𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗ là mônmen của lực 𝐹⃗ đối với điểm O. O và 𝑀 Phương trình (1.24) cũng chính là biểu thức của định lí về mômen động lượng, định lí đó được phát biểu như sau: "Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng đối với điểm O của một chất điểm chuyển động bằng tổng mômen đối với điểm O của các lực tác dụng lên chất điểm". Hệ quả: Trong trường hợp chất điểm chuyển động luôn luôn chịu tác dụng của một lực xuyên tâm ( 𝐹⃗ luôn có phương đi qua điểm O) thì M(O,𝐹⃗ ) = 0 và do đó: 𝑑 ⃗⃗ → 𝐿⃗⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (𝐿⃗⃗) = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1.25) 𝑑𝑡 Từ (1.25) ta thấy 𝐿⃗⃗ không đổi. Mặt khác, L luôn vuông góc với mặt phẳng tạo bởi O và 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗, do đó, mặt phẳng chứa O và 𝑝⃗ là một mặt phẳng cố định. Điều đó có nghĩa là chất điểm M luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định 6.2. Momen động lượng của một hệ chất điểm 6.2.1. Định nghĩa Một hệ chất điểm M1, M2,…,Mi,… lần lượt có khối lượng m1, m2,..., 12
mi,... và chuyển động với những vận tốc ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , 𝑣 𝑣𝑖 , . .. đối với một hệ quy ⃗⃗⃗⃗⃗2 , . . . , ⃗⃗⃗⃗ chiếu gốc O. Tại thời điểm t vị trí những chất điểm ấy được xác định bởi các vector bán kính 𝑟1 , ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟2 … , ⃗𝑟⃗,𝑖 … Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O được định nghĩa bởi: 𝐿⃗⃗ = ∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐿𝑖 = ∑ ⃗𝑟⃗𝑖 ∧ 𝑚𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑖 (1.26) bằng tổng các mômen động lượng của các chất điểm trong hệ đó với O. Chúng ta hãy xét một số trường hợp riêng a. Hệ chất điểm quay xung quanh một trục cố định Δ Khi đó, ta có mômen động lượng của một chất điểm ( mi, ⃗𝑟⃗): 𝑖 ⃗⃗⃗⃗ 𝐿𝑖 = 𝐼𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜔𝑖 (1.27) trong đó I = 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 là mômen quán tính của chất điểm đối với trục quay Δ, ωi là vận tốc góc của chất điểm trong chuyển động quay xung quanh Δ. Khi đó mômen động lượng của hệ được xác định bởi: 𝐿⃗⃗ = ∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐿𝑖 = ∑ 𝐼𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜔𝑖 (1.28) 𝑖 𝑖 b. Trường hợp vật rắn quay xung quanh một trục cố định Δ. Khi đó mọi chất điểm của vật rắn quay đều có cùng vận tốc góc. 𝜔1 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜔2 = ⋯ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜔𝑖 = ⋯ = 𝜔 ⃗⃗ (1.29) Vậy 𝐿⃗⃗ = ∑𝑖 𝐼𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜔𝑖 = (∑𝑖 𝐼𝑖 ) 𝜔 ⃗⃗ = 𝐼𝜔 ⃗⃗ (1.30) Trong đó 𝐼 = ∑𝑖 𝐼𝑖 = ∑𝑖 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 là momen vật rắn đối với trục quay ∆. 6.2.2. Định lý về momen động lượng của một hệ chất điểm Đối với chất điểm (m, r) của hệ khi áp dụng định lí về mômen động lượng ta được: 13
⃗⃗⃗⃗𝑖 𝑑𝐿 ⃗⃗⃗(𝑂, ⃗⃗⃗ =𝑀 𝐹𝑖 ) (1.31) 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗(𝑂, ⃗⃗⃗ 𝑀 𝐹𝑖 ) là tổng mômen đối với gốc O của các lực tác dụng lên chất điểm (mi). Cộng các phương trình trên theo I ta được: ⃗⃗⃗⃗𝑖 𝑑𝐿 ∑ ⃗⃗⃗(𝑂, ⃗⃗⃗ = ∑𝑀 𝐹𝑖 ) (1.32) 𝑑𝑡 𝑖 𝑖 𝑑 Vế trái (1.32) 𝐿⃗⃗ là đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của 𝑑𝑡 hệ. Vế phải của (1.32) biểu thị tổng mômen đối với gốc O của các lực tác dụng lên các chất điểm của hệ. Các lực tác dụng lên các chất điểm của hệ bao gồm các ngoại lực tác dụng và các nội lực tương tác của các chất điểm trong hệ. Chú ý rằng các nội lực tương tác của các chất điểm trong hệ từng đôi một đối nhau (cùng phương, ngược chiều và cùng độ lớn), do đó, tổng mômen đối với O của những lực này sử bằng 0. Vậy vế phải của (1.32) chỉ còn là tổng mômen đối với O của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Kết quả ta thu được công thức sau: 𝑑𝐿⃗⃗ 𝑑(𝐼𝜔 ⃗⃗) = ⃗⃗⃗ =𝑀 (1.33) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Định lí: Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của một hệ chấm điểm bằng tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với một điểm gốc O bất kì). Chúng ta hãy xét một trường hợp riêng: hệ chất điểm là một vật rắn quay ⃗⃗𝐼 = 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗ xung quanh một trục cố định Δ. Có:𝐿⃗⃗ = 𝐼𝜔 𝑟𝑖2 , do đó định lí về mômen động lượng có thể viết: 𝑑𝐿⃗⃗ 𝑑(𝐼𝜔 ⃗⃗) = ⃗⃗⃗ =𝑀 (1.34) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗ là tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay. trong đó 𝑀 Tích phân phương trình (1.35) từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 tương ứng 14
với sự biến thiên của t từ L1 đến L2 ta được: 𝑡2 ∆𝐿⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐿2 − ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑑𝑡 𝐿1 = ∫ 𝑀 (1.35) 𝑡1 𝑡 ⃗⃗⃗ 𝑑𝑡 được gọi là mômen xung lượng của mômen lực M Đại lượng ∫𝑡 2 𝑀 1 trong khoảng thời gian Δt = t2 – t1: ⃗⃗⃗ = không đổi thì ta được: Nếu 𝑀 ∆𝐿⃗⃗ = 𝑀 ⃗⃗⃗∆𝑡 (1.36) Chú ý: đối với vật rắn quay xung quanh một trục cố định, mômen quán tính I = const. Vì vậy, ta có thể viết: 𝑑𝐿⃗⃗ 𝑑(𝐼𝜔 ⃗⃗) 𝑑𝜔 ⃗⃗ = =𝐼 = 𝐼𝛽⃗ → 𝐼𝛽⃗ = 𝑀 ⃗⃗⃗ (1.37) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝜔 trong đó 𝛽 = là gia tốc góc và phương trình (1.37) là phương trình 𝑑𝑡 cơ bản của chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục mà ta đã biết. 6.3. Định luật bảo toàn momen động lượng 6.3.1. Thiết lập Giả sử có một hệ chất điểm không chịu tác dụng của các ngoại lực (hệ chất điểm cô lập) hoặc có chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng tổng mômen của các ngoại lực ấy đối với điểm gốc O bằng 0. Khi đó theo định lí về mômen động lượng ta có: 𝑑𝐿⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 0 → 𝐿⃗⃗ = ̅̅̅̅̅̅̅ =𝑀 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (1.38) 𝑑𝑡 Vậy: Đối với một hệ chất điểm cô lập hay chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng tổng mômen của các ngoại lúc ấy đối với điểm gốc O bằng 0, thì tổng mômen động lượng của hệ là một đại lượng bảo toàn. 6.3.2. Trường hợp hệ quay xung quanh một trục cố định Định lí về mômen động lượng đối với hệ trong trường hợp này: 15