Khóa luận tốt nghiệp: Đường thẳng và đường tròn trong Hình học tọa độ lớp 10

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

---------------------------------------

I

P H Ạ M M N H T Â M

TRẦN NGỌC THANH TRÚC

T R Ầ N N G Ọ C T H A N H T R Ú C

PHẠM MINH TÂM

ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ LỚP 10

C H U Y Ê N N G À N H

:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H I Ệ P

S Ư P H Ạ M T O Á N

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

2 0 1 6

N Ă M

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2016

i

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

PHẠM MINH TÂM

TRẦN NGỌC THANH TRÚC

ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5 NĂM 2016

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu

của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu

trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả

cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong

bất kì một công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Trần Ngọc Thanh Trúc

Phạm Minh Tâm

iii

LỜI CẢM ƠN

Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

thầy Nguyễn Ái Quốc đã luôn giúp đỡ, hướng dẫn tận

tâm, động viên tinh thần chúng con trong suốt quá

trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.

Nhóm thực hiện

Trần Ngọc Thanh Trúc

Phạm Minh Tâm

1

MỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa .......................................................................................................................... i Lời cam đoan ......................................................................................................................... ii

Lời cảm ơn ............................................................................................................................ iii

Mục lục .................................................................................................................................. 1

Danh mục các cụm từ viết tắt ............................................................................................. 4

MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 5

Chƣơng 1

ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. Tóm tắt lý thuyết ........................................................................................................... 8 1.1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng ......................................................... 8 1.1.1. Tọa độ điểm trong mặt phẳng ............................................................................ 8 1.1.2. Tọa độ vectơ trong mặt phẳng ........................................................................... 8 1.1.3. Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ .................................................. 8 1.2. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng ........................................ 9 1.2.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng................................................................... 9 1.2.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ................................................................... 9 1.2.3. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến ................................. 9 1.3. Phương trình tham số của đường thẳng ................................................................. 10 1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng ............................................................... 10 1.5. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc .............................................................. 11 1.6. Phương trình tổng quát của đường thẳng ............................................................... 11 1.7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng ..................................................................... 12 1.8. Khoảng cách và góc ............................................................................................... 13 1.8.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ............................................ 13 1.8.2. Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng ...................................................... 13 1.8.3. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng .................................. 13 1.8.4. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ..... 13 1.8.5. Góc giữa hai đường thẳng ............................................................................... 14

2. Một số bài toán về đƣờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ ....................................... 14 2.1. Chuyển đổi các dạng phương trình đường thẳng ................................................... 14 2.2. Thiết lập phương trình đường thẳng....................................................................... 19

2

2.2.1. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước ............ 20 2.2.2. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước .......... 22 2.2.3. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước ........................................................................................... 23 2.2.4. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc khoảng cách ................................................................................................................... 25 2.2.5. Phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) và một điều kiện về khoảng cách hoặc góc ....................................................................................... 32 2.2.6. Phương trình đường thẳng được thiết lập bằng phương pháp quỹ tích ........... 33 2.2.7. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ..... 35 2.2.8. Các ví dụ tổng hợp ........................................................................................... 37 2.3. Vị trí tương đối ....................................................................................................... 41 2.4. Xác định tọa độ điểm ............................................................................................. 45 2.5. Các bài toán cực trị ................................................................................................. 48

Chƣơng 2

ĐƢỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. Tóm tắt lý thuyết ......................................................................................................... 51 1.1. Phương trình đường tròn ........................................................................................ 51 1.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn ................................................................. 51 1.3. Phương tích, vị trí tương đối của điểm và đường tròn ........................................... 52 1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.................................................... 52 1.5. Vị trí tương đối của hai đường tròn ........................................................................ 52 1.5.1. Trục đẳng phương của hai đường tròn ............................................................ 52 1.5.2. Vị trí tương đối của hai đường tròn ................................................................. 53 1.5.3. Tọa độ giao điểm của hai đường tròn .............................................................. 54

2. Một số bài toán về đƣờng tròn trong mặt phẳng tọa độ .......................................... 55 2.1. Xác định tâm, bán kính và điều kiện của đường tròn............................................. 55

2.2. Lập phương trình đường tròn theo dạng

........................ 56 2.2.1. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm .................................................. 56 2.2.2. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn, lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác ........................................................................................................... 57

2.3. Lập phương trình đường tròn theo dạng

.......................... 58 2.3.1. Lập phương trình đường tròn bằng cách xác định tâm và bán kính ................ 58 2.3.2. Lập phương trình đường tròn bằng cách gọi tâm và bán kính ........................ 60 2.4. Vị trí tương đối ....................................................................................................... 70 2.4.1. Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường tròn .............................................. 70 2.4.2. Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng ........................................... 74

3

2.5. Tiếp tuyến của đường tròn ..................................................................................... 75 2.5.1. Tiếp tuyến tại một điểm với đường tròn .......................................................... 75 2.5.2. Tiếp tuyến đi qua một điểm ............................................................................. 76 2.5.3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương, hệ số góc ......................................................................................................... 77 2.5.4. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn .................................. 79 2.6. Đường tròn và tập hợp điểm .................................................................................. 84 2.6.1. Tập hợp tâm đường tròn .................................................................................. 84 2.6.2. Tập hợp điểm là đường tròn ............................................................................ 86

Chƣơng 3

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO

Chƣơng 4

NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN

VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN

TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10

1. Các quan niệm sai lầm .............................................................................................. 110

2. Thực nghiệm .............................................................................................................. 112

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 117

PHỤ LỤC

4

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

VTCP VTPT : Véctơ chỉ phương : Véctơ pháp tuyến

: Véctơ

//

PTTQ PTTS PTCT : Véctơ 0 : Khác : Song song : Vuông góc : Thuộc : Không thuộc : Chứa trong : Chứa : Giao : Tương đương : Suy ra : Phương trình tổng quát : Phương trình tham số : Phương trình chính tắc

5

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

“Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” là một trong những kiến thức trọng

tâm của chương trình hình học lớp 10. Kiến thức này cũng là một trong những vấn đề

chính trong bài thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Các bài toán thường phải áp dụng tính

chất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ không còn là kĩ thuật tính toán đại số

thông thường như trước kia. Vì vậy để học tốt nội dung này, học sinh cần có sự nỗ lực

phối hợp nhiều thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc

biệt hóa,... Tuy nhiên, mỗi học sinh lại có khả năng học tập, tiếp thu khác nhau. Hơn nữa,

các bài toán về “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” thường rất khó nên

việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập đối với học sinh là khá khó khăn.

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Đường thẳng và đường tròn trong hình học

tọa độ lớp 10” với mong muốn giúp đỡ các học sinh hiểu được và nắm chắc những kiến

thức, đồng thời phát hiện và giúp các em khắc phục những sai lầm khi giải bài toán về

đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ.

2. Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh hiểu, sử dụng tri thức “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ

lớp 10” một cách đúng đắn, đồng thời nhận ra những sai lầm và cách giải quyết khắc phục

những sai lầm đó.

Giúp giáo viên mang lại hiệu quả dạy học hình học ở trường trung học phổ thông.

3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu. Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10.

3.2 Đối tƣợng nghiên cứu. Học sinh trung học phổ thông.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

4.1 Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết

Thu thập, phân loại, tổng hợp các tài liệu có liên quan về phần đường thẳng và đường

tròn trong hình học tọa độ lớp 10.

4.2 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm

Chọn khối lớp 10, tiến hành khảo sát phát phiếu in sẵn những bài tập về đường thẳng

và đường tròn trong hình học tọa độ để học sinh làm bài. Sau đó, kiểm tra kết quả và đúc

kết những sai lầm của học sinh dễ mắc phải khi làm bài.

4.3 Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia

6

Gặp mặt, trao đổi và xin ý kiến của các thầy cô khoa Toán - Ứng dụng trường đại học

Sài Gòn về đề tài đang nghiên cứu để thu thập những thông tin cần thiết cho đề tài, thu

lượm những ý kiến đánh giá từ các thầy cô trưởng Bộ môn về thực trạng và phương hướng

giải quyết đối với các vấn đề nghiên cứu.

4.4 Phƣơng pháp ứng dụng toán học

Sử dụng phương pháp thống kê trong xử lý các số liệu cụ thể để đảm bảo tính khoa học

của đề tài.

5. Phạm vi nghiên cứu

5.1 Giới hạn về nội dung.

Đề tài nghiên cứu đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10.

5.2 Giới hạn về địa bàn

Thực nghiệm:

- Thời gian: Ngày 30/03/2016

- Địa điểm: Trường THPT Lương Thế Vinh, Quận 1, TPHCM

6. Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.

Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, khách thể và đối

tượng nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và cấu trúc khóa luận.

Phần nội dung: Gồm bốn chương

Chương 1: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Chương 2: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Chương 3: Một số bài toán tổng hợp

Chương 4: Nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải các bài toán về đường thẳng và

đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Phần kết luận.

- Trình bày những kết quả nghiên cứu đã đạt được.

- Hướng mở rộng cho nghiên cứu.

Để phát huy tính tư duy, mang lại niềm hứng thú học tập cho học sinh chúng tôi cố

gắng thể hiện các vấn đề sau:

Ở mỗi chương đều có tóm tắt kiến thức cơ bản, khái niệm kiến thức được đề cập tới nhằm mục đích chỉ rõ mạch kiến thức hoặc mối liên quan giữa các vấn đề để người đọc tiện theo dõi, nắm được tính hệ thống của tài liệu nghiên cứu.

7

Sau phần khái niệm, kiến thức cơ bản của mỗi chương có một số dạng bài toán cơ bản được phân tích, hướng dẫn, vận dụng giải từ các khái niệm đã nêu ở trước đó, nhằm giúp người đọc hiểu rõ hơn.

Khi phân tích mỗi một khái niệm, đặc biệt là những khái niệm khó, hầu hết chúng tôi dẫn dắt từ các khía cạnh khác nhau bằng những ví dụ cụ thể, bằng những minh hoạ hình học để người đọc có thể dễ dàng nắm được khái niệm đó.

Hệ thống các dạng toán được chúng tôi soạn thảo kĩ lưỡng, đảm bảo tính phong phú, đa

dạng và mức độ từ dễ tới khó, hướng dẫn chi tiết từng bước giải, nêu ra nhiều cách làm nhằm giúp các em học sinh dễ hiểu, nắm được cách trình bày và phân tích bài toán.

Chúng tôi có soạn thảo một chương cho những bài toán tổng hợp ở mức độ khó và hướng dẫn giải chi tiết với nhiều cách phân tích khác nhau sẽ giúp học sinh củng cố những hiểu biết chưa thấu đáo cùng với cách nhìn nhận vấn đề để trả lời cho câu hỏi “Tại sao biết phải làm như vậy?” một cách thoả đáng.

Trong chương cuối, chúng tôi dự kiến một số sai lầm của học sinh có thể mắc phải trong việc giải bài toán về đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng toạ độ, dự kiến những nguyên nhân dẫn đến sai lầm cùng với phần thực nghiệm trên học sinh.

Cuối cùng, dù đã rất cố gắng tham khảo nhiều loại tài liệu để viết khoá luận này,

nhưng việc thiếu sót là điều khó tránh khỏi do những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế

từ chúng tôi. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến, đóng góp quý báu từ các quý

thầy cô và bạn đọc.

8

PHẦN NỘI DUNG

CHƢƠNG 1

ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng

1.1.1. Tọa độ điểm trong mặt phẳng

Định nghĩa. Trong mặt phẳng tọa độ , tọa độ của vectơ được gọi là tọa

độ của điểm

Vectơ được biểu diễn theo và bởi hệ thức có dạng: với

. Cặp số là duy nhất và được gọi là tọa độ của điểm

Kí hiệu: hoặc . Số được gọi là hoành độ của điểm , số

được gọi là tung độ của điểm .

1.1.2. Tọa độ vectơ trong mặt phẳng

Định nghĩa. Đối với hệ trục tọa độ , nếu thì cặp số được

gọi là tọa độ của vectơ , kí hiệu là hay . Số thứ nhất gọi là hoành

độ, số thứ hai gọi là tung độ của vectơ .

1.1.3. Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ , cho , các điểm

, và số thực . Khi đó, một cách tổng quát, ta có:

a)

b)

c)

d) Vectơ cùng phương vectơ khi và chỉ khi tồn tại số thực sao cho

và hay nếu và ;

e)

9

f) là trung điểm

g) là trọng tâm của tam giác

1.2. Vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng

1.2.1. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng

Định nghĩa. Vectơ khác , có giá song song hoặc trùng với đường thẳng

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Nhận xét

i. Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì mọi vectơ khác

vectơ đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng ;

ii. Nếu (với ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì hệ

số góc của đường thẳng là ;

iii. Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua

và một vectơ chỉ phương của nó.

1.2.2. Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng

Định nghĩa. Vectơ khác , có giá vuông góc với đường thẳng gọi là vectơ

pháp tuyến của đường thẳng .

Nhận xét

i. Nếu là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì mọi vectơ khác

vectơ đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ;

ii. Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua

và một vectơ pháp tuyến của nó.

1.2.3. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến

10

i. Nếu đường thẳng có vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương thì

ii. Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì

hoặc là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ;

iii. Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì

hoặc là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ;

iv. Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp

tuyến;

v. Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là

vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.

1.3. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng

Định lý. Trong mặt phẳng , đường thẳng đi qua điểm và nhận

vectơ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

.

Nhận xét

Nếu và thì phương trình tham số của là . Khi đó,

là đường thẳng vuông góc với trục , cắt tại điểm có hoành độ bằng

Nếu và thì phương trình tham số của là . Khi đó,

là đường thẳng vuông góc với trục , cắt tại điểm có tung độ bằng

1.4. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng

Định lý. Trong mặt phẳng , đường thẳng đi qua điểm và nhận

vectơ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là

.

11

Nhận xét. Nếu hoặc thì đường thẳng không có phương trình

chính tắc.

1.5. Phƣơng trình đƣờng thẳng theo hệ số góc

Định nghĩa

Xét đường thẳng có phương trình tổng quát . Nếu thì

phương trình trên đưa được về dạng với và . Khi đó là hệ

số góc của đường thẳng và gọi là phương trình của theo hệ số góc.

Định lý

Phương trình đường thẳng đi qua và có hệ số góc có dạng:

.

1.6. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng

Định lý

Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng

với .

Trong mặt phẳng , phương trình của đường thẳng đi qua điểm

và có vectơ pháp tuyến là .

Nhận xét

Từ phương trình ta luôn suy ra được

1. Vectơ pháp tuyến của là ;

2. Vectơ chỉ phương của là hoặc ;

3. .

Mệnh đề được hiểu là: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên một đường

thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng.

Các dạng đặc biệt của phƣơng trình tổng quát

Cho đường thẳng , với .

12

i. Nếu thì . Khi đó đường thẳng vuông

góc với trục tại điểm có tung độ ;

ii. Nếu thì . Khi đó đường thẳng vuông

góc với trục tại điểm có hoành độ ;

iii. Nếu thì . Đường thẳng đi qua gốc tọa độ;

iv. Nếu đồng thời khác thì cắt và tại hai điểm

và . Khi đó phương trình có thể viết:

với . Phương trình

được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

Hệ quả

Cho đường thẳng .

i. Nếu song song với thì phương trình có dạng:

với ;

ii. Nếu vuông góc với thì phương trình có dạng:

hoặc .

1.7. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình tổng quát

và . Vì số điểm chung của hai đường

thẳng bằng số nghiệm của hệ , nên từ kết quả của đại số ta có

i. Hệ vô nghiệm song song ;

ii. Hệ có nghiệm duy nhất cắt ;

13

iii. Hệ vô số nghiệm trùng với .

Trong trường hợp đều khác 0, ta có

i. cắt nhau

ii. song song

. iii. trùng với

1.8. Khoảng cách và góc

1.8.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng

Định lý. Trong mặt phẳng cho đường thẳng và điểm

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng , ký hiệu là ,

được tính bởi công thức .

1.8.2. Vị trí tƣơng đối của điểm và đƣờng thẳng

Cho điểm và đường thẳng .

i. ;

ii. .

1.8.3. Vị trí tƣơng đối của hai điểm đối với một đƣờng thẳng

Cho đường thẳng và hai điểm không

nằm trên . Khi đó

i. Hai điểm nằm cùng phía đối với khi và chỉ khi

;

ii. Hai điểm nằm khác phía đối với khi và chỉ khi

.

1.8.4. Phƣơng trình đƣờng phân giác của góc tạo bởi hai đƣờng thẳng cắt

nhau

14

Cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trình và

. Khi đó, phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai

đường thẳng và có dạng .

1.8.5. Góc giữa hai đƣờng thẳng

Định nghĩa. Góc giữa hai đường thẳng là góc không tù tạo bởi hai đường thẳng đó.

Định lý

Cho hai đường thẳng và . Góc

giữa hai đường thẳng và được tính bởi công thức

, trong đó lần lượt là

vectơ pháp tuyến của và .

Hệ quả

i. .

ii. Cho hai đường thẳng và . Khi đó

; + song song

; trùng với +

+ cắt ;

+ vuông góc .

2. Một số bài toán về đƣờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ

2.1. Chuyển đổi các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng

Ví dụ 1. Cho đường thẳng .

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng .

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng .

c) Viết phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng .

15

Phân tích

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng với

mà phương trình của là nên ta chỉ cần chuyển tất cả các số

hạng của phương trình về một vế.

b) Để đưa phương trình về dạng phương trình tham số

, ta cần tìm được một điểm cố định và một vectơ chỉ phương

của đường thẳng . Ngoài ra, ta có thể đưa phương trình về dạng phương

trình tham số bằng cách đặt , khi đó , nghĩa là và

c) Để đưa phương trình của về dạng phương trình theo đoạn chắn

, ta cần tìm giao điểm của với và giao điểm

của với . Ngoài ra, vì phương trình có dạng nên ta có thể

đưa phương trình của về dạng phương trình theo đoạn chắn bằng cách đưa các số

hạng chứa chứa về cùng một vế và hằng số ở vế còn lại rồi chia hai vế phương trình

cho .

Các bƣớc giải

a) Để đưa đường thẳng về dạng phương tổng quát, ta cần

chuyển sang cùng một vế với , ta được phương trình đúng dạng với dạng của

phương trình tổng quát của đường thẳng.

b) Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.

Cách 1

Bước 1. Từ câu a) ta tìm được một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là

;

Bước 2. Từ vectơ pháp tuyến vửa tìm được ta suy ra vectơ chỉ phương của đường

thẳng là ;

Bước 3. Tìm một điểm thuộc đường thẳng ;

16

Bước 4. Từ vectơ chỉ phương và điểm thuộc ta suy ra được phương trình

tham số của đường thẳng .

và . Đặt , thay vào phương trình ta được Cách 2 Tham số hóa

. Vậy ta được phương trình tham số của đường thẳng .

c) Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.

Cách 1

Bước 1. Từ phương trình tổng quát , ta chuyển hệ số tự do

sang vế phải, ta được ;

Bước 2. Vì phương trình theo đoạn chắn có dạng nên để

vế phải bằng ta cần chia hai vế của phương trình cho . Khi đó, ta được

;

Bước 3. Biến đổi phương trình vừa tìm được về đúng dạng phương trình theo đoạn

chắn .

Cách 2

Ta lần lượt tìm giao điểm của đường thẳng với trục và . Từ đó suy ra

phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

Bài giải

a) Ta có:

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng .

b) Cách 1

Ta có

vtpt vtcp

Mà

17

Nên phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có

vtcp có dạng .

Cách 2

Đặt

Thay vào phương trình , ta được .

Vậy PTTS của đường thẳng có dạng .

c) Cách 1

Ta có: .

Đây là phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng .

Cách 2

Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với .

Ta có:

Vậy phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng là .

Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng biết

Phân tích

Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng với

. Để lập được phương trình đường thẳng dạng chính tắc ta cần có tọa độ một

điểm thuộc đường và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Các bƣớc giải

Ta có hai cách giải.

Cách 1

18

Bước 1. Từ phương trình đề ta tìm được một vectơ chỉ phương của đường thẳng

là ;

Bước 2. Tìm tọa độ một điểm thuộc là ;

Bước 3. Ta lập phương trình chính tắc của đường thẳng theo dạng

.

Cách 2

Bước 1. Từ hai phương trình , ta suy ra được ;

Bước 2. Từ hai phương trình , ta suy ra được

Bước 3. Cho , biến đổi về đúng dạng, ta tìm được phương trình chính

tắc của đường thẳng .

Bài giải

Cách 1. Ta có đường thẳng đi qua điểm và có vtcp .

Suy ra .

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng .

Cách 2. Ta có .

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng .

Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng biết

Phân tích

19

Từ phương trình tham số của ta tìm được vectơ chỉ phương của , từ vectơ

chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến. Đồng thời, ta tìm một điểm thuộc đường thẳng

, như vậy ta có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng .

Ngoài ra, ta có thể lập phương trình tổng quát của đường thảng bằng cách

khác. Chọn một trong hai phương trình, ta tìm theo biến hoặc rồi thế vào

phương trình còn lại, ta được phương trình tổng quát của đường thẳng.

Các bƣớc giải

Cách 1

Bước 1. Chọn một trong hai phương trình để tìm theo biến hoặc . Giả sử ta

chọn . Ta tìm được

; vào phương trình Bước 2. Thay , rút gọn ta được phương trình

tổng quát .

Cách 2

Bước 1. Xác định một điểm thuộc đường thẳng ;

Bước 2. Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng , từ vectơ chỉ phương

suy ra vectơ pháp tuyến của .

Bước 3. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ

pháp tuyến có dạng

Bài giải

Cách 1

Ta có: .

Vậy phương trình tổng quát của là .

Cách 2

Ta có: vtcp vtpt

Đường thẳng đi qua và có vtpt .

Vậy phương trình tổng quát của là

2.2. Thiết lập phƣơng trình đƣờng thẳng

20

2.2.1. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có phƣơng cho trƣớc

Ví dụ 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng biết đi qua điểm

và có vectơ pháp tuyến .

Phân tích

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến

có dạng nên để lập được phương trình tổng quát

của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyến của

đường thẳng đó. Trong ví dụ này, đường thẳng qua và có vectơ pháp tuyến

, như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng.

Các bƣớc giải

Bước 1. Xác định điểm thuộc đường thẳng ;

Bước 2. Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ;

Bước 3. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ

pháp tuyến có dạng

Bài giải

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến . Vậy

phương trình đường thẳng .

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng biết qua và

có vectơ chỉ phương .

Phân tích

Đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ chỉ

phương có phương trình tham số là nên để lập được phương

trình tham số của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ

chỉ phương của đường thẳng đó. Trong ví dụ này, đường thẳng qua và có

vectơ chỉ phương , như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tham số

của đường thẳng.

21

Các bƣớc giải

Bước 1. Xác định điểm thuộc đường thẳng ;

Bước 2. Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng ;

Bước 3. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ

làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

Bài giải

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Vậy

phương trình đường thẳng .

Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng

đi qua 2 điểm và .

Phân tích

Để lập được phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng

ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng, một vectơ pháp tuyến, một vectơ chỉ phương

của đường thẳng . Trong ví dụ này, đường thẳng đi qua hai điểm và nên có

vectơ chỉ phương là , từ vectơ chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến của

đường thẳng . Như vậy ta đã có đủ các yếu tố để lập phương trình tổng quát và phương

trình tham số của đường thẳng .

Các bƣớc giải

Phương trình tổng quát

Bước 1. Xác định điểm hoặc thuộc đường thẳng ;

Bước 2. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng , ;

Bước 3. Từ vectơ chỉ phương suy ra vectơ pháp tuyến ;

22

Bước 4. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ

Từ đó, ta viết phương trình pháp tuyến có dạng

tổng quát của đường thẳng .

Phương trình tham số

Bước 1. Xác định điểm hoặc thuộc đường thẳng ;

Bước 2. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng , ;

Bước 3. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ

làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

Từ đó, ta viết phương trình tham số của đường thẳng .

Bài giải

Đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của đường thẳng là

Ta có: vectơ chỉ phương vectơ pháp tuyến

Đường thẳng qua và có vectơ pháp tuyến

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là .

2.2.2. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trƣớc

Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng biết đi qua và có hệ số

. góc

Phân tích Khi đề bài yêu cầu viết phương trình một đường thẳng thì ta có thể viết phương

trình đường thẳng đó dưới dạng tổng quát. Từ phương trình đường thẳng theo hệ số góc, ta

có thể chuyển nó sang phương trình tổng quát như sau:

Các bƣớc giải

Bước 1. Xác định một điểm thuộc đường thẳng và hệ số góc ;

Bước 2. Lập phương trình đường thẳng .

23

Bài giải

Đường thẳng đi qua và có hệ số góc có dạng

. Vậy phương trình đường thẳng là

2.2.3. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông

góc với một đƣờng thẳng cho trƣớc

Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương và cùng vectơ pháp tuyến.

Hai đường thẳng vuông góc có vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ

pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng biết đi qua và song song

với đường thẳng .

Phân tích

Đường thẳng song song với đường thẳng nên hai đường thẳng có cùng

vectơ pháp tuyến. Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng kết hợp

với giả thiết đi qua ta lập được phương trình đường thẳng .

Các bƣớc giải

Bước 1. Vì đường thẳng song song với đường thẳng nên phương trình

đường thẳng có dạng ;

Bước 2. Giả thiết điểm thuộc đường thẳng . Thay tọa độ điểm

vào phương trình , ta tìm được ;

Bước 3. So điều kiện với giá trị vừa tìm được. Nếu , ta nhận giá

trị và thay vào phương trình , ta tìm được phương trình đường thẳng

thỏa yêu cầu bài toán. Nếu , ta loại giá trị này vì với ta tìm được

phương trình đường thẳng trùng với phương trình đường thẳng

không thỏa yêu cầu bài toán.

Bài giải

Vì song song với nên có dạng

Ta có: (nhận).

24

Thay vào , ta được

Vậy phương trình đường thẳng .

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng biết đi qua và vuông

góc với đường thẳng .

Phân tích

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng nên vectơ chỉ phương của

là vectơ pháp tuyến của . Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng

kết hợp với giả thiết đi qua ta lập được phương trình đường thẳng .

Các bƣớc giải

Bước 1. Vì đường thẳng vuông góc với đường thẳng nên phương trình

đường thẳng có dạng ;

Bước 2. Giả thiết điểm thuộc đường thẳng . Thay tọa độ điểm

vào phương trình , ta tìm được ;

Bước 3. Thay giá trị vừa tìm được vào phương trình , ta tìm được

phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Bài giải

Vì vuông góc với nên có dạng

Ta có: .

Thay vào , ta được

Vậy phương trình đường thẳng .

Ví dụ 3. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng biết

và .

Phân tích

Đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng nên đường thẳng đi

qua trung điểm của đoạn và vuông góc với . Do đó, vectơ pháp tuyến của là

vectơ chỉ phương của đường thẳng . Để lập phương trình đường thẳng ta cần thêm

một điểm thuộc đường thẳng , điểm đó là trung điểm của .

25

Các bƣớc giải

Bước 1. Gọi là trung điểm của , tìm tọa độ điểm bằng công thức tính tọa

độ trung điểm;

Bước 2. Tìm vectơ chỉ phương . Suy ra vectơ pháp tuyến ;

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến

.

Bài giải

Gọi là trung điểm của

Tọa độ điểm thỏa .

Vì vuông góc với nên

Phương trình đường thẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến là

. Vậy phương trình đường thẳng

2.2.4. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc

khoảng cách

Phƣơng pháp

Đường thẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến có dạng

với ;

Từ điều kiện của góc hay khoảng cách được cho trong giả thiết bài toán, ta tìm ra

một phương trình với hai ẩn và . Tìm , suy ra hoặc ngược lại. Thay và

vừa tìm được vào phương trình , ta được phương trình đường

thẳng cần tìm.

Ví dụ 1. Cho hai điểm và . Viết phương trình đường thẳng

đi qua biết rằng khoảng cách từ đến đường thẳng bằng 3.

26

Phân tích

Giả sử đường thẳng có phương trình là

. Từ giả thiết khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng , ta sử

dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, tìm ra một phương trình

hai ẩn là , giải phương trình đó ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng

. Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp

tuyến .

Các bƣớc giải

Bước 1. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ

pháp tuyến có dạng

;

Bước 2. . Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp tuyến

;

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng .

Bài giải

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có dạng

Ta có:

Trường hợp 1. , vì nên chọn

27

Thay vào , ta được phương trình đường

thẳng .

Trường hợp 2. , vì nên chọn

, ta được phương trình đường Thay vào

thẳng .

Ví dụ 2. Cho ba điểm . Viết phương trình đường thẳng

qua và cách đều .

Phân tích

Giả sử phương trình đường thẳng đi qua điểm có dạng

. Giả thiết đường thẳng cách đều hai điểm

và , điều này có nghĩa là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng với

khoảng cách từ điểm đến đường thẳng . Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một

điểm đến một đường thẳng, tìm ra một phương trình hai ẩn là và , giải phương trình

tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng . Khi đó, ta lập được phương trình

đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .

Các bƣớc giải

Bước 1. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ

pháp tuyến có dạng

;

Bước 2. . Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp

tuyến ;

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng .

Bài giải

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có dạng

Ta có: đường thẳng cách đều hai điểm

28

nên chọn . , vì

, ta được phương trình đường Trường hợp 1. Thay vào

thẳng .

Trường hợp 2. , vì nên chọn

Thay vào , ta được phương trình đường

thẳng .

Nhận xét Ngoài ra, ta có thể sử dụng tính chất hình học tổng hợp để giải bài toán trên.Vì

không thẳng thàng nên ta chia hai trường hợp.

Trường hợp 1

và cùng phía với đường thẳng mà hai điểm cách đều đường thẳng

nên song song với đường thẳng . Kết hợp với giả thiết đường thẳng đi

qua điểm , ta lập được phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với

.

Trường hợp 2

29

và khác phía với đường thẳng mà hai điểm cách đều đường thẳng

nên đi qua trung điểm của . Vậy đường thẳng đi qua điểm và trung

điểm của .

Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng và . Viết

phương trình đường thẳng đối xứng với qua .

Phân tích

Nhận thấy hai đường thẳng và cắt nhau, vì đường thẳng đối xứng

với đường thẳng qua đường thẳng nên giao điểm của hai đường thẳng và

cũng thuộc đường thẳng .

Vì đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua đường thẳng nên

mọi điểm thuộc đường thẳng đều cách đều hai đường thẳng và . Giả sử

, ta có , giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp

tuyến của đường thẳng . Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳng đi

qua giao điểm của hai đường thẳng và có vectơ pháp tuyến .

Các bƣớc giải

Bước 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và , ta được hai đường

thẳng và cắt nhau;

Bước 2. Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và , tìm tọa độ điểm

bằng cách giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng và . Suy ra

cũng thuộc đường thẳng

Bước 3. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp

tuyến có dạng ;

30

Bước 4. Tìm điểm thuộc đường thẳng ;

Bước 5. Vì đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua đường thẳng

. Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp tuyến nên

;

Bước 6. Viết phương trình đường thẳng .

Bài giải

Xét hai đường thẳng và .

Ta có: cắt nhau.

Gọi . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình:

.

Vậy

Vì đối xứng qua nên .

Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến

. có dạng

Gọi

đối xứng qua

Trường hợp 1. (không thỏa )

Trường hợp 2. . Chia hai vế phương trình cho

31

Với , chọn .

Thay vào , ta được phương trình đường thẳng

.

Với , chọn .

Thay vào , ta được phương trình đường thẳng

.

Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng biết qua và tạo với

đường thẳng một góc .

Phân tích

Từ giả thiết đường thẳng tạo với đường thẳng một góc ,

ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng, tìm ra một phương trình hai ẩn, giải

phương trình tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng . Khi đó, ta lập được

phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .

Các bƣớc giải

Bước 1. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ

pháp tuyến có dạng

;

Bước 2. . Giải phương trình này ta tìm

được vectơ pháp tuyến ;

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng .

Bài giải

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có dạng

Ta có:

32

Trường hợp 1. (không thỏa )

Trường hợp 2. . Chia hai vế phương trình cho , ta có:

Pt .

Với , chọn .

Thay vào , ta được phương trình đường thẳng

.

, chọn Với

Thay vào , ta được phương trình đường thẳng

.

2.2.5. Phƣơng trình đƣờng thẳng khi biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) và một

điều kiện về khoảng cách hoặc góc

Phƣơng pháp

Nếu giả thiết cho vectơ pháp tuyến , ta gọi phương trình

;

Nếu giả thiết cho hệ số góc , ta gọi phương trình ;

Từ điều kiện về khoảng cách hoặc góc, ta suy ra hoặc .

Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng

và cách một khoảng bằng .

Phân tích

33

Vì đường thẳng song song với đường thẳng nên vectơ pháp tuyến của

cũng là vectơ pháp tuyến của . Phương trình đường thẳng có dạng

, . Đường thẳng song song với đường thẳng nên khoảng

cách từ đến bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng đến

đường thẳng . Ta dễ dàng tìm được một điểm thuộc đường thẳng , khi đó

khoảng cách từ đến bằng , sử dụng công thức tính khoảng cách, ta lập được

một phương trình có ẩn , giải phương trình này ta tìm được m. Như vậy, ta tìm được

phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Các bƣớc giải

Bước 1. Lập phương trình đường thẳng song song với . Đường thẳng

có dạng ;

Bước 2. Tìm điểm .

Bước 3. . Giải phương trình này ta tìm được

m.

Bước 4. So sánh giá trị m vừa tìm được với điều kiện . Nếu , ta nhận

giá trị vào phương trình , ta tìm được phương trình đường và thay

thẳng thỏa yêu cầu bài toán. Nếu , ta loại giá trị m này vì với ta tìm được

phương trình đường thẳng trùng với phương trình đường thẳng

không thỏa yêu cầu bài toán.

Bài giải

Phương trình đường thẳng song song với có dạng

,

Gọi

Ta có:

(nhận)

Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán

và .

2.2.6. Phƣơng trình đƣờng thẳng đƣợc thiết lập bằng phƣơng pháp quỹ tích

Phƣơng pháp

34

Giả sử cần lập phương trình đường thẳng . Gọi là điểm bất kì thuộc

đường thẳng . Từ giả thiết bài toán đưa ra, ta tìm được phương trình với hai ẩn x và y.

Đó chính là phương trình của đường thẳng .

Ví dụ. Cho hai đường thẳng và . Viết

phương trình đường thẳng cách đều và .

Phân tích

Đường thẳng cách đều hai đường thẳng nên khoảng cách từ một

điểm bất kì thuộc đường thẳng đến hai đường thẳng là bằng nhau. Từ đó, sử

dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta tìm được một

phương trình hai ẩn x và y. Đó chính là phương trình đường thẳng cần tìm.

Các bƣớc giải

Bước 1. Gọi điểm bất kì thuộc ;

, biến đổi ta được Bước 2.

một phương trình hai ẩn và . Đây là phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu bài

toán.

Bài giải

Gọi

Ta có:

(vì (1) vô lý)

35

Vậy phương trình đường thẳng là .

Nhận xét

Bài toán trên có thể đưa về bài toán lập phương trình đường thẳng khi biết vectơ

pháp tuyến và một điều kiện về khoảng cách. Dễ thấy song song , cách đều

hai đường thẳng nên có cùng vectơ pháp tuyến với . Từ đó, lập

phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến

, sử dụng giả thiết bài toán tìm . Như vậy, ta tìm được phương trình

đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.

2.2.7. Phƣơng trình đƣờng phân giác của góc tạo bởi hai đƣờng thẳng cắt

nhau

Ví dụ. Cho tam giác có . Viết phương trình tổng

quát các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc . Trong đó,

D,E lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài trên BC.

Phân tích

Hai đường thẳng cắt nhau có phương trình lần lượt là

và . Khi đó, phương trình hai đường

phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng có dạng

. Như vậy, để viết được phương trình đường phân giác

thỏa yêu cầu bài toán, ta cần tìm hai phương trình đường thẳng .

Các bƣớc giải

Bước 1. Viết phương trình đường thẳng và phương trình đường thẳng ;

Bước 2. Lập phương trình các đường phân giác của góc ;

Bước 3. Xét vị trí tương đối của hai điểm B, C với hai đường phân giác, ta suy ra

phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc .

Bài giải

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng là

36

vectơ pháp tuyến .

Đường thẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến

ptđt .

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ pháp

tuyến .

Đường thẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến .

ptđt

Phương trình hai đường phân giác của góc là

và Suy ra hai đường phân giác là

Xét hai điểm và đường thẳng

Ta có:

nằm khác phía so với đường thẳng

là đường phân giác trong

là đường phân giác ngoài .

Nhận xét

Ngoài cách giải như trên, ta có thể giải bài toán bằng cách dựa vào tính chất đường

phân giác trong của tam giác để tìm tọa độ chân đường phân giác trong. Khi đó, bài toán

tìm phương trình đường phân giác trong trở thành bài toán viết phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm. Như vậy ta tìm được phương trình đường phân giác trong. Đồng thời ta sử

dụng tính chất hai đường phân giác trong và ngoài vuông góc với nhau để lập phương trình

đường phân giác ngoài.

37

Các bƣớc giải

Bước 1. Gọi là chân đường phân giác trong của góc . Tìm tọa độ bằng

hệ thức ;

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và . Đó là phương

trình đường phân giác trong;

Bước 3. Viết phương trình đường phân giác ngoài đi qua A và vuông góc với đường

phân giác trong.

2.2.8. Các ví dụ tổng hợp

Ví dụ 1. Cho tam giác , biết

a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh .

b) Viết phương trình đường cao của tam giác .

c) Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác .

Phân tích

a) Đường thẳng đi qua hai điểm cho trước nhận vectơ tạo bởi hai điểm đó làm

VTCP.

38

b) Vì là đường cao của tam giác nên , suy ra VTCP của

là VTPT của . Bài toán trở thành viết ptđt qua điểm và có VTPT

.

c) Vì là trung điểm của nên ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm bằng

công thức tính tọa độ trung điểm. Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng đi qua

hai điểm và .

Các bƣớc giải

a) , suy ra VTPT ; Bước 1. Tìm VTCP

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua và có VTPT .

Tương tự viết ptđt .

b) Bước 1. Gọi của tam giác ; là chân đường cao kẻ từ đỉnh

Bước 2. Ta có ;

Bước 3. Viết ptđt đi qua và có VTPT .

c) Bước 1. Gọi là trung điểm của , tìm tọa độ điểm bằng công thức

tìm tọa độ trung điểm;

, suy ra VTPT ; Bước 2. Tìm VTCP

Bước 3. Viết ptđt đi qua và có VTPT .

Bài giải

a) Đường thẳng VTCP . VTPT

Phương trình đường thẳng đi qua điểm có và có VTPT

dạng .

Đường thẳng có VTCP VTPT

Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có VTPT

có dạng .

Đường thẳng có VTCP VTPT

39

Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có VTPT

có dạng .

b) Gọi là chân đường cao kẻ từ của tam giác .

Suy ra đi qua và vuông góc với

Vì vuông góc với nên phương trình đường thẳng

có dạng

Thay vào ta được .

c) Gọi là trung điểm của .

.

Đường thẳng đi qua và có VTCP VTPT

Phương trình đường thẳng .

Ví dụ 2. Cho tam giác có và trực tâm , phương trình các đường

cao và lần lượt là và .

a) Viết phương trình đường thẳng và đường thẳng .

b) Viết phương trình đường thẳng .

Phân tích

Vì là trực tâm của tam giác nên . Đường thẳng vuông

góc với đường thẳng nên vectơ chỉ phương của là vectơ pháp tuyến của

. Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng kết hợp với giả thiết

đi qua ta lập được phương trình đường thẳng .

Với cách giải tương tự, ta tìm được phương trình đường thẳng .

40

Vì là trực tâm nên là giao điểm của hai đường cao và . Từ đó, ta

tìm được tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình gồm hai phương trình đường cao.

Bài toán viết phương trình đường thẳng trở thành bài toán viết phương trình đường

và

thẳng đi qua hai điểm Các bƣớc giải

a) Bước 1. Vì vuông góc với nên phương trình đường thẳng

có dạng: ;

Bước 2. Giả thiết điểm thuộc đường thẳng . Thay tọa độ điểm

vào phương trình , ta tìm được m;

Bước 3. Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình , ta tìm được

phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Với cách giải tương tự, ta tìm được phương trình đường thẳng .

b) Bước 1. Giải hệ phương trình , ta tìm được tọa độ điểm H;

Bước 2. Tìm vectơ chỉ phương , suy ra vectơ pháp tuyến ;

Bước 3. Viết ptđt đi qua và có VTPT .

Bài giải

a) Vì vuông góc với nên phương trình đường thẳng có

dạng: .

Ta có:

Thay vào , ta được .

Vậy ptđt .

b) Vì vuông góc với nên phương trình đường thẳng có

dạng: .

Ta có:

Thay vào , ta được .

Vậy phương trình đường thẳng .

41

Ta có: . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình:

Đường thẳng qua và có VTCP .

Suy ra VTPT

Phương trình đường thẳng

2.3. Vị trí tƣơng đối

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và . Nếu chúng cắt

nhau thì tìm tọa tộ giao điểm của chúng.

, a) .

, b) .

c) , .

Bài giải

a) Xét hai đường thẳng và .

Ta có: và cắt nhau.

Gọi . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình:

.

và . b) Xét hai đường thẳng

Ta có: song song với

c) Ta có: .

42

Xét hai đường thẳng và .

Ta có: cắt nhau.

Gọi Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình:

Ví dụ 2. Cho và đường thẳng .

a) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng .

b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng .

c) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với qua .

Phân tích

a) Giả thiết cho tọa độ điểm và phương trình đường thẳng

. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường

thẳng, ta tìm được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng .

b) Điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng nên đường thẳng

là đường trung trực của đoạn thẳng , suy ra đường thẳng vuông góc với đoạn

thẳng MN tại trung điểm E của đoạn MN.

Để tìm được tọa độ điểm N ta cần tìm tọa độ trung điểm E. Vì là giao điểm của

đường thẳng và nên tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình gồm hai

phương trình đường thẳng và đường thẳng . Ta dễ dàng lập được phương trình

43

đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng . Giải hệ

phương trình ta tìm được tọa độ điểm . Từ đó, ta áp dụng công thức tọa độ trung điểm

để tìm tọa độ điểm

c) Vì đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua điểm nên

đường thẳng song song với đường thẳng và bất kì điểm nào thuộc đường thẳng

cũng có điểm đối xứng qua điểm thuộc đường thẳng . Ta tìm một điểm tùy

ý thuộc đường thẳng , suy ra tọa độ điểm đối xứng với điểm qua điểm và

điểm thuộc đường thẳng . Ta có là trung điểm của , dễ dàng tìm được tọa

độ điểm . Mặt khác, vì đường thẳng song song với đường thẳng nên ta tìm

được phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng .

Các bƣớc giải

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

là , thực hiện tính toán và kết luận.

b) Bước 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và

vuông góc với đường thẳng ;

Bước 2. Gọi là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng . Tìm tọa

độ điểm bằng cách giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng và

đường thẳng ;

Bước 3. Vì đối xứng với qua đường thẳng nên là trung điểm của

Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm, ta suy ra tọa độ điểm cần tìm;

Bước 4. Kết luận.

44

Bài giải

a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:

.

Vậy .

b) Phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với

đường thẳng có dạng .

. Ta có:

Thay vào ta được phương trình đường thẳng là

.

Gọi . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có: là trung điểm của .

.

Vậy tọa độ điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng là

c) Ta có: .

Gọi là điểm đối xứng của qua , mà đối xứng với qua nên

.

Ta có: là trung điểm của .

Đường thẳng qua và song song có dạng:

45

Ta có: (nhận).

Thay vào ta được đường thẳng .

2.4. Xác định tọa độ điểm

Phƣơng pháp

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm và tọa độ trọng tâm. 1)

2) Quy về bài toán tương giao

Điểm là giao điểm của và khi và

chỉ khi tọa độ điểm thỏa mãn hệ .

3) Phương pháp đặt ẩn

, ta giả sử ;

, ta giả sử ;

, ta giả sử , khi đó ;

Từ điều kiện bài toán ta đưa ra phương trình hoặc hệ phương trình. Từ đó suy ra

tọa độ điểm cần tìm.

Ví dụ 1. Cho tam giác có . Xác định tọa độ trọng

tâm .

Phân tích

Giả thiết đã cho tọa độ ba đỉnh của tam giác . Ta có là trọng tâm của tam

giác , áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác để tìm tọa độ điểm

Bài giải

Ta có: là trọng tâm của tam giác .

Ví dụ 2. Trong hệ trục tọa độ , cho tam giác , biết phương trình

, . ,

a) Xác định tọa độ các đỉnh

46

b) Xác định tọa độ trực tâm của tam giác

Phân tích

a) Vì là giao điểm của và nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ

phương trình gồm hai phương trình đường thẳng . Tương tự ta tìm được tọa

độ điểm và

b) Gọi lần lượt là chân đường cao kẻ từ và của tam giác .

là giao điểm của và nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình gồm hai

phương trình đường thẳng và . Vậy ta cần tìm phương trình đường thẳng

và . Đường thẳng đi qua và vuông góc với . Tương tự

với đường thẳng

Các bƣớc giải

a) Bước 1. Giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng và

. Nghiệm của hệ là tọa độ điểm ;

Bước 2. Tương tự tìm tọa độ điểm và ;

Bước 3. Kết luận.

b) Bước 1. Gọi lần lượt là chân đường cao kẻ từ và của tam giác

. Viết phương trình đường thẳng và ;

Bước 2. Giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng và .

Nghiệm của hệ phương trình là tọa độ điểm ;

Bước 3. Kết luận.

Bài giải

a) Ta có: Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Ta có: . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

47

Ta có: . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Vậy

b) Gọi lần lượt là chân đường cao kẻ từ của tam giác

Đường thẳng qua và vuông góc với có dạng:

.

.

Đường thẳng qua và vuông góc với có dạng:

.

.

Suy ra phương trình đường thẳng .

Gọi . Suy ra là trực tâm của tam giác . Tọa độ điểm là

nghiệm của hệ phương trình

Vậy

Ví dụ 3. Cho Xác định điểm C thuộc đường thẳng

sao cho tam giác vuông tại

Phân tích

nên tọa độ điểm là . Tam giác Điểm thuộc

vuông tại khi và chỉ khi tích vô hướng của và bằng . Từ đó, ta suy ra

được tọa độ điểm

Các bƣớc giải

48

Bước 1. ;

. Giải phương trình này ta tìm được t, thay t Bước 2.

vào suy ra tọa độ . Kết luận.

Bài giải

Ta có: .

Tam giác vuông tại .

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán hoặc

2.5. Các bài toán cực trị

Bài toán 1. Tìm trên đường thẳng những điểm sao cho: lớn

nhất, nhỏ nhất.

Phương pháp đại số hóa

Bước 1. Chuyển phương trình về dạng tham số;

Bước 2. Gọi Chuyển về biểu thức đại số ;

Bước 3. Tìm Min, Max của theo (điều kiện để có dấu là );

Bước 4. Thế vào tọa độ . Suy ra điểm cần tìm.

Ví dụ. Tìm trên đường thẳng điểm sao cho

nhỏ nhất.

Phương trình tham số của đường thẳng là .

Ta có: .

.

49

Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

Suy ra . Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán.

Bài toán 2. Với là những điểm có tọa độ cho trước. Tìm trên đường thẳng

những điểm sao cho: là nhỏ nhất.

Phương pháp

Sử dụng tính chất hình học tổng hợp.

Bước 1. Xét vị trí tương đối của và với ;

Bước 2. Nếu khác phía với . Gọi là giao điểm của với . Suy ra

. Dấu “ ” xảy ra khi .

Nếu cùng phía với . Gọi là điểm đối xứng với qua , là giao điểm

của với , suy ra . Vậy

khi là giao điểm của và .

Bước 3. Quy về bài toán tương giao để tìm điểm

50

Đại số hóa (tương tự bài toán 1).

Ví dụ. Tìm trên trục hoành điểm sao cho nhỏ nhất. Với có tọa độ là

a)

b)

a) Ta có và nằm về hai phía so với trục hoành.

Đường thẳng đi qua điểm và có VTCP là VTPT

.

. Ptđt

. Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình Gọi

Ta có:

Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Suy ra

Vậy thì nhỏ nhất.

và nằm khác phía so với trục hoành.

b) Ta có: Gọi là điểm đối xứng của qua trục hoành, suy ra .

Đường thẳng đi qua điểm và có VTCP

. VTPT

Ptđt

. Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình Gọi

.

Ta có:

. Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Suy ra

Vậy thì nhỏ nhất.

51

CHƢƠNG 2

ĐƢỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phƣơng trình đƣờng tròn

Định lý 1

Trong mặt phẳng toạ độ , cho đường tròn có

tâm và bán kính . Ta có điểm thuộc đường

tròn khi và chỉ khi

.

Định nghĩa: Phương trình được gọi là phương trình đường tròn tâm

bán kính .

Nhận xét: Trường hợp đặc biệt, nếu và thì phương trình trở thành

. Đây là phương trình đường tròn có tâm là góc tọa độ và bán kính .

Định lý 2

Phương trình , với điều kiện , là phương trình

đường tròn tâm . và bán kính

Ngoài ra đường tròn còn có thể biểu diễn dưới dạng tham số là

.

1.2. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn

Định lý. Trên mặt phẳng toạ độ, đường thẳng tiếp

tuyến tại điểm trên đường tròn có tâm

và bán kính là :

.

Nhận xét. Cho đường thẳng và đường tròn có tâm

và bán kính . Khi đó

52

tiếp xúc .

1.3. Phƣơng tích, vị trí tƣơng đối của điểm và đƣờng tròn

Định nghĩa. Cho đường tròn có tâm , bán kính và một điểm cố định.

Một cát tuyến thay đổi đi qua , cắt đường tròn tại hai điểm và . Khi đó tích

được gọi là phương tích của điểm đối với đường tròn . Kí hiệu là

Nhận xét. Cho đường tròn có tâm , bán kính và điểm , khi đó ta

có

nằm ngoài đường tròn i.

nằm trên đường tròn ii.

nằm trong đường tròn iii.

iv. Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại ( không trùng

). Khi đó, nếu thì bốn điểm cùng thuộc một đường

tròn.

1.4. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và đƣờng tròn

Cho đường tròn có tâm , bán kính và đường thẳng , khi đó ta có

i. không cắt đường tròn

ii. tiếp xúc đường tròn

iii. cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Nhận xét. đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi và chỉ khi

.

1.5. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng tròn

1.5.1. Trục đẳng phƣơng của hai đƣờng tròn

Định lý. Cho hai đường tròn không đồng tâm lần lượt có phương

trình

, với

53

, với

Khi đó, tập hợp những điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn

là đường thẳng gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn . Trục đẳng

phương của hai đường tròn có phương trình là

Tính chất. Cho hai đường tròn từ định lý trên ta có các tính chất sau

i. Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm ;

ii. Nếu điểm có cùng phương tích đối với thì đường thẳng qua

vuông góc với đường thẳng là trục đẳng phương của hai đường tròn.

Nhận xét

Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm

i. Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt . Khi đó đường thẳng đi

qua hai điểm là trục đẳng phương của hai đường tròn ;

ii. Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại . Khi đó tiếp tuyến chung tại là trục

đẳng phương của hai đường tròn.

iii. Hai đường tròn không có điểm chung. Dựng đường tròn cắt cả hai

đường tròn. Trục đẳng phương của các cặp đường tròn và cắt nhau tại

. Đường thẳng qua vuông góc với là trục đẳng phương của hai đường tròn.

1.5.2. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng tròn

Cho hai đường tròn ta có

i. lồng nhau;

54

ii. tiếp xúc trong;

iii. cắt nhau;

iv. tiếp xúc ngoài;

v. rời nhau.

1.5.3. Tọa độ giao điểm của hai đƣờng tròn

55

Cho hai đường tròn lần lượt có phương trình

, với

, với

Khi đó toạ độ giao điểm (nếu có) của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình

sau:

.

2. Một số bài toán về đƣờng tròn trong mặt phẳng tọa độ

2.1. Xác định tâm, bán kính và điều kiện của đƣờng tròn

Ví dụ. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình đường

tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn đó (nếu có) :

a)

b)

c)

d)

Phân tích Đưa phương trình về dạng (1)

hoặc (2)

Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi Phương trình (2) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi Các bƣớc giải Bước 1. Đưa phương trình về dạng hoặc

;

hoặc tìm ;

Bước 2. Tính Bước 3. Kết luận. Bài giải a)

Ta có :

Vậy phương trình trên là phương trình đường tròn với tâm và bán kính

b)

56

Ta có :

Vậy phương trình trên không là phương trình đường tròn. c)

Vì hệ số của và khác nhau nên phương trình trên không là phương trình

đường tròn.

d)

Ta có:

Vậy phương trình trên là phương trình đường tròn với tâm và bán kính

2.2. Lập phƣơng trình đƣờng tròn theo dạng

2.2.1. Lập phƣơng trình đƣờng tròn đi qua ba điểm

Ví dụ. Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau

a) Đường tròn đi qua ba điểm

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác với

Phân tích

Để lập phương trình đường tròn dạng ta cần tìm tâm

và bán kính . Để lập phương trình đường tròn dạng

ta cần toạ độ của 3 điểm thuộc đường tròn để lập hệ phương

trình có ba ẩn là .

Trong bài này ta sử dụng cách 2 vì bài toán cho đường tròn qua 3 điểm có toạ độ

cho trước.

Các bƣớc giải

Bước 1. Phương trình đường tròn có dạng : (1);

của phương trình (1) ;

Bước 2. Thay tọa độ các điểm đã cho vào Bước 3. Giải hệ phương trình vừa tìm được ; Bước 4. Kết luận. Bài giải

a) Qua ba điểm

57

Phương trình đường tròn có dạng :

Ta có :

Suy ra phương trình đường tròn : .

b) Ngoại tiếp tam giác với .

. Phương trình đường tròn có dạng :

Ta có : đường tròn ngoại tiếp tam giác

Suy ra phương trình đường tròn : .

2.2.2. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đƣờng tròn, lập phƣơng trình đƣờng

tròn ngoại tiếp tứ giác

Ví dụ. Cho ba điểm

a) Xác định m để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn biết ;

b) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác nói trên.

Phân tích Khi cho toạ độ ba điểm phân biệt ta có thể lập được phương trình đường tròn ngoại

tiếp ba điểm đã cho. Vậy từ ba điểm A, B, C ta lập được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Để tứ giác ABCD cùng nội tiếp một đường tròn thì điểm D phải thuộc đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC.

Các bƣớc giải a) Bước 1. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ;

.

Bước 2. Thay toạ độ điểm D vào phương trình trên từ đó tìm được b) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD cũng là phương trình đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài giải

a) Xác định m để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn biết

58

Phương trình đường tròn có dạng : .

Ta có : đường tròn ngoại tiếp tam giác

Suy ra phương trình đường tròn :

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi D thuộc đường tròn :

b) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác nói trên

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD : Nhận xét. Để thuận tiện trong việc giải toán về lập phương trình đường tròn, ta sử khi giải các bài toán về vấn

dụng phương trình đường tròn dạng đề đường tròn ngoại tiếp tam giác, đường tròn ngoại tiếp tứ giác, chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, tìm m để bốn điểm đã cho cùng thuộc một đường tròn.

2.3. Lập phƣơng trình đƣờng tròn theo dạng

2.3.1. Lập phƣơng trình đƣờng tròn bằng cách xác định tâm và bán kính

Ví dụ. Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm và bán kính ;

b) Có tâm và qua điểm ;

c) Có đường kính với ;

d) Có tâm và tiếp xúc với .

Phân tích Câu a) Bài đã cho tâm đường tròn và bán kính từ đó áp dụng công thức tìm phương

trình đường tròn ;

Câu b) Đề bài cho tâm đường tròn ta cần tìm bán kính, dựa vào điểm cho trước ta

xác định bán kính của đường tròn ;

Câu c) Có đường kính ta xác định được tâm của đường tròn và bán kính bằng độ

dài đường kính chia đôi ;

59

Câu d) Ta cần tìm bán kính của đường tròn. Dựa vào giả thiết đường tròn tiếp xúc

với đường thẳng, ta sẽ có khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng đó bằng với bán

kính của đường tròn.

Các bƣớc giải Câu a)

Bước 1. và ;

Bước 2. Áp dụng vào công thức ta tìm được phương trình

đường tròn.

Câu b)

Bước 1. và ;

Bước 2. Áp dụng vào công thức ta tìm được pt đường tròn.

Câu c)

Bước 1. Xác định tâm I của đường tròn với I là trung điểm của AB ;

Bước 2. Tìm ;

Bước 3. Lập phương trình đường tròn. Câu d)

Bước 1. Tìm ;

Bước 2. Lập phương trình đường tròn. Bài giải

a) Có tâm và bán kính

Phương trình đường tròn là :

b) Có tâm và qua điểm

Ta có :

Phương trình đường tròn là :

c) Có đường kính với

AB là đường kính suy ra tâm của đường tròn là trung điểm của AB.

Ta có :

Bán kính

60

Phương trình đường tròn là :

d) Có tâm và tiếp xúc với

Đường tròn tiếp xúc

Phương trình đường tròn là :

2.3.2. Lập phƣơng trình đƣờng tròn bằng cách gọi tâm và bán kính

Ví dụ. Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau :

đi qua và tiếp xúc với đường thẳng tại ; a)

và có tâm nằm trên đường thẳng ; b) đi qua

và tiếp xúc với đường thẳng c) đi qua

d) đi qua và tiếp xúc với đường thẳng ,

;

e) tiếp xúc với đường thẳng , và có

tâm nằm trên đường thẳng ;

f) nội tiếp tam giác ABC với .

Phân tích Ta cần xác định tâm I và bán kính R của đường tròn.

Câu a) đi qua và tiếp xúc với đường thẳng nên ta

có nhưng phương trình này là phương trình hai ẩn nên ta kết hợp giả

thiết tiếp xúc với đường thẳng tại suy ra được hai vectơ

và cùng phương với là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ;

61

Câu b) đi qua tức là nhưng phương trình này có hai

ẩn nên ta kết hợp giả thiết nằm trên đường thẳng để gọi toạ độ tâm

dưới dạng một ẩn;

Câu c) đi qua và tiếp xúc với đường thẳng ta

suy ra giải hệ phương trình này ta tìm được toạ độ tâm I và bán

kính R; hoặc từ giải thiết đi qua ta có thể suy ra đường trung trực

của đoạn MN đi qua tâm I, bài toán trở về dạng tương tự như câu b ;

Câu d) đi qua và tiếp xúc với đường thẳng ,

ta suy ra giải hệ phương trình này ta tìm

được toạ độ tâm I và bán kính R tương tự câu c ;

62

, Câu e) tiếp xúc với đường thẳng tức là

đây là phương trình có hai ẩn nên ta kết hợp giả thiết tâm I nằm

trên đường thẳng để đưa toạ độ tâm dưới dạng một ẩn, bài toán tương tự

như câu b ;

Câu f) Từ toạ độ ba đỉnh của tam giác ABC ta lập được phương trình đường thẳng

các cạnh của tam giác ABC và phương trình đường phân giác trong của các góc trong tam

giác .. Giao điểm của hai đường phân giác trong là toạ độ tâm I và bán kính ;

hoặc ta có thể áp dụng để giải hệ phương trình tìm

toạ độ tâm I và bán kính R.

Các bƣớc giải

63

Câu a)

Bước 1. Gọi là tâm đường tròn ;

Bước 2. và cùng phương suy ra toạ độ tâm I theo một ẩn;

Bước 3. suy ra toạ độ tâm tâm I và bán kính R;

Bước 4. Lập phương trình đường tròn. Câu b)

Bước 1. Gọi là tâm đường tròn ;

Bước 2. thuộc suy ra toạ độ tâm I theo một ẩn;

suy ra ra toạ độ tâm tâm I và bán kính R;

Bước 3. Bước 4. Lập phương trình đường tròn. Câu c) Cách 1

Bước 1. Gọi là tâm đường tròn ;

Bước 2. Giải hệ phương trình suy ra toạ độ tâm tâm I và bán kính

; Bước 3. Lập phương trình đường tròn. Cách 2

Bước 1. Gọi là tâm đường tròn ;

Bước 2. Lập phương trình đường thẳng (d) là đường trung trực của đoạn thẳng MN;

Bước 3. thuộc suy ra toạ độ tâm I theo một ẩn;

Bước 4. suy ra toạ độ tâm tâm I và bán kính R;

Bước 5. Lập phương trình đường tròn. Câu d)

Bước 1. Gọi là tâm đường tròn ;

Bước 2. Giải hệ phương trình suy ra toạ độ tâm tâm I và

bán kính ;

Bước 3. Lập phương trình đường tròn. Câu e)

Bước 1. Gọi là tâm đường tròn ;

Bước 2. thuộc suy ra toạ độ tâm I theo một ẩn;

Bước 3. suy ra ra toạ độ tâm tâm I và bán kính R;

Bước 4. Lập phương trình đường tròn. Câu f) Cách 1

64

Bước 1. Gọi là tâm đường tròn ;

Bước 2. Lập phương trình đường thẳng AB, BC, AC;

Bước 3. Lập phương trình đường thẳng lần lượt là đường phân giác trong

của góc A và góc B trong tam giác ABC ;

Bước 4. suy ra toạ độ tâm I;

Bước 5. Tìm ;

Bước 6. Lập phương trình đường tròn. Cách 2

Bước 1. Gọi là tâm đường tròn ;

Bước 2. Giải hệ phương trình suy ra toạ độ tâm I và bán

kính ;

Bước 3. Lập phương trình đường tròn. Bài giải

a) đi qua và tiếp xúc với đường thẳng tại

Gọi là tâm đường tròn

Đường thẳng có một VTPT

tiếp xúc với đường thẳng tại suy ra và

cùng phương

Ta có :

65

Phương trình đường tròn :

b) đi qua và có tâm nằm trên đường thẳng

Gọi là tâm đường tròn

Ta có :

Phương trình đường tròn :

c) đi qua và tiếp xúc với đường thẳng

Cách 1

Gọi là tâm đường tròn

Ta có :

66

hay

Khi ta có , phương trình đường tròn

Khi ta có , phương trình đường tròn

Cách 2

Gọi là tâm đường tròn

Gọi (d) là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Suy ra (d) qua trung điểm của MN và có một VTPT

Suy ra phương trình đường thẳng

Ta có :

hay

Khi ta có , phương trình đường tròn ;

Khi ta có , phương trình đường tròn

d) đi qua và tiếp xúc với đường thẳng ,

67

Gọi là tâm đường tròn

Ta có :

hay

Khi ta có , phương trình đường tròn ;

Khi ta có , phương trình đường tròn

e) tiếp xúc với đường thẳng , và có

tâm nằm trên đường thẳng

Gọi là tâm đường tròn

68

Ta có :

hay

Khi ta có , phương trình đường tròn

Khi ta có , phương trình đường tròn

f) nội tiếp tam giác ABC với

Cách 1

Gọi là tâm đường tròn

Gọi là chân đường phân giác trong tại A.

Ta có :

Đường thẳng AD qua điểm và có VPCP

Suy ra phương trình đường thẳng

69

Gọi là chân đường phân giác trong tại B.

Ta có :

Đường thẳng BE qua điểm và có VPCP

Suy ra phương trình đường thẳng

Ta có :

Đường thẳng AB qua điểm và có VPCP

Suy ra phương trình đường thẳng

Suy ra phương trình đường tròn :

Cách 2

70

Gọi là tâm đường tròn

Đường thẳng AB qua điểm và có VPCP

Suy ra phương trình đường thẳng

Tương tự :

Ta có :

Vì I nằm trong tam giác ABC nên

Suy ra phương trình đường tròn :

Nhận xét. Để thuận tiện trong việc giải toán về lập phương trình đường tròn, ta sử

dụng phương trình đường tròn dạng khi giải các bài toán về vấn đề

đường tròn nội tiếp tam giác, khoảng cách, tiếp xúc, cho đường kính, đường tròn đi qua một điểm, hai điểm,...

2.4. Vị trí tƣơng đối

2.4.1. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng tròn và đƣờng tròn

71

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn ,

Phân tích Dựa vào toạ độ hai tâm ta tìm độ dài đoạn thẳng nối hai tâm và so sánh đoạn thẳng

đó với bán kính

Các bƣớc giải Bước 1. Tìm toạ độ tâm bán kính của hai đường tròn;

Bước 2. So sánh độ dài đoạn thẳng với ;

Bước 3. Kết luận. Bài giải

có tâm , bán kính .

có tâm , bán kính

Ta có: .

Vậy và cắt nhau.

Ví dụ 2. Biện luận số giao điểm của hai đường tròn và , với:

Phân tích Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn ta so sánh đoạn thẳng nối hai tâm và

, số nghiệm của hệ

các bán kính; và Hoặc biện luận số nghiệm của hệ phương trình phương trình trên cũng chính là số giao điểm của hai đường tròn. Các bƣớc giải Cách 1 Bước 1. Tìm toạ độ tâm bán kính của hai đường tròn;

Bước 2. So sánh độ dài đoạn thẳng với

khi và chỉ khi (C1) cắt (C2) tại 2 điểm;

khi và chỉ khi (C1) tiếp xúc ngoài với (C2); khi và chỉ khi (C1) tiếp xúc trong với (C2);

khi và chỉ khi (C1) và (C2) ở rời nhau;

khi và chỉ khi (C1) và (C2) ở lồng nhau;

Bước 3. Kết luận. Cách 2 Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình:

Hệ (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (C1) cắt (C2) tại 2 điểm; Hệ (*) có một nghiệm khi và chỉ khi (C1) tiếp xúc với (C2); Hệ (*) vô nghiệm khi và chỉ khi (C1) và (C2) không có điểm chung.

72

Bài giải Cách 1

có tâm , bán kính .

có tâm , bán kính ,

với hay .

.

và cắt nhau tại 1 điểm khi và chỉ khi và tiếp xúc nhau

So với (*): .

cắt tại 2 điểm khi và chỉ khi

73

So với (*): .

Vậy thì và cắt nhau tại 1 điểm;

thì và cắt nhau tại 2 điểm;

hay thì và không cắt nhau.

là các đường tròn thì và hay .

Cách 2 Để Toạ độ các giao điểm (nếu có) của và là nghiệm của hệ phương trình:

Hệ phương trình (I) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Hệ phương trình (I) có 1 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có 1 nghiệm

So với (*): .

So với (*): .

Vậy thì và cắt nhau tại 1 điểm;

74

thì và cắt nhau tại 2 điểm;

hay thì và không cắt nhau.

2.4.2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng tròn và đƣờng thẳng

Ví dụ. Biện luận số giao điểm của hai đường thẳng và

đường tròn .

và

Phân tích Để biện luận số giao điểm của đường tròn và đường thẳng ta so sánh khoảng cách từ tâm đường thẳng đến đường thẳng với bán kính;

Hoặc biện luận số nghiệm của hệ phương trình , số nghiệm của hệ

phương trình trên cũng chính là số giao điểm của hai đường tròn.

bán kính

Các bƣớc giải Cách 1 Bước 1. Tìm toạ độ tâm Bước 2. So sánh khoảng cách của đường tròn; với bán kính

khi và chỉ khi (d) cắt (C) tại 2 điểm;

khi và chỉ khi (d) tiếp xúc với (C);

khi và chỉ khi (d) và (C) không cắt nhau;

Bước 3. Kết luận. Cách 2 Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (d) và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

Hệ (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (d) cắt (C) tại 2 điểm; Hệ (*) có một nghiệm khi và chỉ khi (d) tiếp xúc với (C); Hệ (*) vô nghiệm khi và chỉ khi (d) và (C) không có điểm chung. Bài giải Cách 1

có tâm , bán kính

và cắt nhau tại 2 điểm khi và chỉ khi

vì

75

và cắt nhau tại 1 điểm khi và chỉ khi

vì

và không cắt nhau khi và chỉ khi

vì

Vậy thì và cắt nhau tại 2 điểm;

thì và cắt nhau tại 1 điểm;

thì và không cắt nhau.

2.5. Tiếp tuyến của đƣờng tròn

2.5.1. Tiếp tuyến tại một điểm với đƣờng tròn

76

Ví dụ. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

tại .

Phân tích Ta xác định được tâm và bán kính của đường tròn, áp dụng phương trình tiếp

tuyến tại điểm nằm trên đường tròn. Các bƣớc giải Bước 1. Xác định tâm của đường tròn;

.

Bước 2. Viết phương trình đường tiếp tuyến qua điểm A và có một VTPT Bài giải

có tâm

Tiếp tuyến qua điểm A và có một VTPT

Suy ra phương trình tiếp tuyến :

2.5.2. Tiếp tuyến đi qua một điểm

Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

biết tiếp tuyến đi qua điểm .

Phân tích

Ta xác định được tâm I và bán kính R của đường tròn. qua nên để

giải bài toán ta cần tìm một VTPT của . Vì là tiếp tuyến của đường tròn nên

.

Các bước giải

Bước 1. Xác định tâm của đường tròn;

Bước 2. Gọi một vectơ pháp tuyến của là với , viết

phương trình tổng quát của với ẩn ;

Bước 3. , tìm ;

Bước 4. Viết phương trình tiếp tuyến .

Bài giải

có tâm và bán kính

Giả sử một VTPT của là (với )

Suy ra phương trình của có dạng :

Ta có :

77

Nếu thì trái với điều kiện

Nếu , chia hai vế phương trình cho , ta được phương trình:

Khi chọn

Suy ra phương trình tiếp tuyến :

Khi chọn

Suy ra phương trình tiếp tuyến :

.

2.5.3. Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn biết vectơ pháp tuyến,

vectơ chỉ phƣơng, hệ số góc

Ví dụ. Cho đường tròn viết phương trình tiếp tuyến

của trong các trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ;

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng ;

c) Tiếp tuyến có hệ số góc là 1.

Phân tích

Ta xác định được tâm I và bán kính R của đường tròn. Vì là tiếp tuyến của

đường tròn nên . Áp dụng bài toán lập phương trình đường thẳng khi biết

VTPT (VTCP, hệ số góc) và một điều kiện về khoảng cách.

Các bƣớc giải Bước 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn;

Bước 2. vectơ pháp tuyến (hay hệ số góc) của ;

78

Bước 3. Viết phương trình tổng quát của với ẩn ;

Bước 4.

Bước 5. Viết phương trình tiếp tuyến .

Bài giải

có tâm và bán kính

a) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

suy ra một VTPT của là

Phương trình của có dạng :

Ta có :

Khi , phương trình tiếp tuyến :

Khi , phương trình tiếp tuyến :

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng

suy ra một VTPT của là

Phương trình của có dạng :

Ta có :

Phương trình tiếp tuyến :

c) Tiếp tuyến có hệ số góc là 1

Phương trình của có dạng :

Ta có :

79

: Khi , phương trình tiếp tuyến

: Khi , phương trình tiếp tuyến

và Nhận xét. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi

. Mà ở đây ta chỉ sử dụng điều kiện cần nên sau khi ra kết quả ta cần

loại phương trình đường thẳng trùng với phương trình đường thẳng đã cho.

2.5.4. Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn

Ví dụ. Cho đường tròn , viết phương trình tiếp tuyến

chung của với :

a) ;

b) .

Phân tích đề Đây là dạng toán lập phương trình đường thẳng khi biết hai điều kiện về khoảng

cách. Để tiện lợi cho quá trình tính toán ta xét vị trí tương đối của hai đường tròn.

Nếu hai đường tròn lồng nhau thì hai đường tròn này không có tiếp tuyến chung; Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong ta tìm tiếp điểm, bài toán trở về dạng viết phương

trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm. Ta sẽ tìm được 1 tiếp tuyến chung;

Nếu hai đường tròn cắt nhau ta tìm giao điểm của tiếp tuyến và đường thẳng nối hai

tâm (nếu có), bài toán trở về dạng viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết điểm đi qua; nếu không tìm được giao điểm thì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng nối hai tâm, bài toán trở về dạng viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng cho trước. Ta sẽ tìm được 2 tiếp tuyến chung;

80

Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài ta tìm tiếp tuyến chung như trường hợp hai đường tròn tiếp xúc trong và hai đường tròn cắt nhau. Ta sẽ tìm được 3 tiếp tuyến chung;

Nếu hai đường tròn rời nhau ta tìm 2 tiếp tuyến nằm giữa hai đường tròn (tiếp tuyến trong) bằng cách tìm giao điểm của tiếp tuyến và đường thẳng nối hai tâm, bài toán trở về dạng viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết điểm đi qua; 2 tiếp tuyến nằm ngoài hai đường tròn (tiếp tuyến ngoài) tìm tương tự trường hợp hai đường tròn cắt nhau. Ta sẽ tìm được tất cả là 4 tiếp tuyến.

81

Các bƣớc giải Bước 1. Xác định tâm và bán kính các đường tròn; Bước 2. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn;

Bước 3. Tìm giao điểm của tiếp tuyến và đường thẳng nối hai tâm (nếu có);

Bước 4. Viết phương trình tiếp tuyến dưới dạng với

(nếu có);

a)

Bước 5. Sử dụng điều kiện khoảng cách của tiếp tuyến (nếu có); Bước 6. Kết luận. Bài giải

có tâm bán kính .

có tâm bán kính

Ta có :

cắt nhau.

Gọi : là giao điểm của tiếp tuyến chung và đường thẳng

lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đường tròn

nằm cùng phía so với

Nên

82

Tiếp tuyến chung qua có dạng :

Ta có:

.

Khi , chọn

Suy ra phương trình

.

, chọn Khi

Suy ra phương trình

b)

có tâm bán kính .

có tâm bán kính

Ta có :

rời nhau.

Gọi : là giao điểm của tiếp tuyến trong và đường thẳng

lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đường tròn

83

nằm giữa so với

Nên

Tiếp tuyến trong qua có dạng :

Ta có:

thì trái với điều kiện Nếu

, chia hai vế phương trình cho , ta được phương trình: Nếu

.

Khi , chọn

Phương trình

84

.

Khi , chọn

Phương trình

Gọi : là giao điểm của tiếp tuyến ngoài và đường thẳng

lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đường tròn

nên (vô lý) nằm cùng phía so với

Vậy có hai tiếp tuyến ngoài song song với đường thẳng suy ra VTCP của

là

Suy ra phương trình có dạng: .

Ta có:

Khi , phương trình tiếp tuyến

Khi , phương trình tiếp tuyến

Nhận xét. Khi tìm giao điểm của tiếp tuyến và đường thẳng nối hai tâm đường tròn

ta cần lưu ý xét vị trí của giao điểm cần tìm với hai tâm.

2.6. Đƣờng tròn và tập hợp điểm

2.6.1. Tập hợp tâm đƣờng tròn

a)

;

b)

;

Ví dụ. Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C) có phương trình (m là tham số)

85

c) (C) tiếp xúc với hai đường thẳng .

Phân tích Từ phương trình đường tròn đã cho ta tìm được toạ độ tâm I theo tham số m. Vì đây là phương trình có chứa tham số nên ta cần tìm điều kiện để đó là một phương trình đường tròn. Để tìm được tập hợp các điểm I ta cần tìm mối liên hệ giữa hoành độ và tung độ của điểm I.

Các bƣớc giải Bước 1. Tìm giá trị của

để tồn tại tâm

Bước 2. Tìm tọa độ tâm . Giả sử ;

Bước 3. Khử giữa và , ta được phương trình

ở Bước 1 để giới hạn miền của x

Bước 4. Tìm giới hạn: dựa vào điều kiện của hoặc y; Bước 5. Kết luận. Bài giải

a)

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

hay .

Ta có :

Vì hay

Vậy tập hợp tâm I của đường tròn là parabol với .

a) Phương trình đã cho là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

Ta có :

86

Vậy tập hợp tâm I của đường tròn là elip có phương trình là

b) (C) tiếp xúc với hai đường thẳng

Gọi là tâm đường tròn (C)

(vì

là điều vô lý)

(C) tiếp xúc với hai đường thẳng

Vậy tập hợp tâm I của đường tròn là đường thẳng

2.6.2. Tập hợp điểm là đƣờng tròn

Ví dụ. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy tìm tập hợp điểm M thoả mãn :

với ; a)

với b)

Phân tích Từ giả thiết đề bài ta tìm được một hệ thức liên hệ giữa x và y, từ hệ thức đó suy ra

quỹ tích cần tìm.

Các bƣớc giải

Bước 1. Giả sử điểm thoả mãn bài toán;

Bước 2. Biểu diễn các hệ thức đã cho dưới dạng toạ độ để thiết lập hệ thức liên hệ

giữa x và y;

87

Bước 3. Kết luận. Bài giải

a) với

Giả sử điểm thoả mãn bài toán.

Ta có :

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm bán kính

b) với

Giả sử điểm thoả mãn bài toán.

Ta có :

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm bán kính

Nhận xét. Đối với dạng toán tập hợp điểm ta cần khéo léo trong việc tìm mối liên

và nhìn dạng đồ thị của quỹ tích.

hệ giữa

88

CHƢƠNG 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn , đường

thẳng và điểm . Gọi là một điểm thay đổi trên và là

điểm sao cho tứ giác , biết trọng là hình bình hành. Tính diện tích tam giác

tâm của tam giác thuộc và có tung độ dương.

Phân tích

Vì là hình thoi nên vuông

và tại cùng nằm trên đường tròn nên ta có . góc với

Vì đây là bài toán khá khó nên ta sẽ phân tích từ yêu cầu bài toán. Diện tích tam

và bằng 2 lần diện tích tam giác bằng diện tích tam giác

. Đây là tam giác vuông tại nên ta sẽ tìm độ dài đoạn , vì vậy ta

giác sẽ tìm diện tích tam giác và .

Vì là trọng tâm của tam giác nên ta có . Ta lại có

. Từ dữ kiện này ta sẽ dựng song song với (với ) từ đó ta thuộc trục

sẽ tìm được tọa độ điểm . Mặt khác, thuộc đường tròn đường kính và đường

thẳng ta dễ dàng suy ra được tọa độ điểm .

ta tính được diện tích tam giác vuông và suy ra

Từ tọa độ 3 điểm . diện tích tam giác

Các bƣớc giải

89

Bước 1. Gọi là giao điểm của và . Chứng minh vuông góc với

tại ;

Bước 2. Qua dựng đường thẳng song song với cắt trục tại , suy ra tọa

độ của điểm ;

Bước 3. Tìm tọa độ điểm là giao điểm của đường tròn đường kính và đường

thẳng , có tung độ dương;

Bước 4. Tính diện tích tam giác , suy ra diện tích tam giác và .

Bài giải

Gọi là giao điểm của và .

(vì ) nên là hình thoi. Ta có:

tại . Suy ra

Qua dựng đường thẳng song song với cắt trục tại .

Ta có: .

Tam giác vuông tại suy ra tam giác nội tiếp đường tròn đường

kính .

có tâm bán kính .

Phương trình đường tròn

Ta có:

(vì ).

90

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có

, điểm thuộc đường thẳng . Đường thẳng đi qua và trung

điểm của đoạn có phương trình: , biết điểm và . Tìm tọa độ của có hoành độ dương.

Phân tích

Nhận thấy bài toán không cho ta dữ kiện gì về điểm

. Bài toán chỉ cho ta tọa độ điểm

là trung điểm của . Gọi , và các điểm khác thuộc đường thẳng đã cho. Vậy ta cần lập tam giác đồng dạng hoặc tỉ số để tìm tọa độ các điểm khác trong hình chữ nhật.

Nhận thấy đường thẳng và đường chéo

đồng dạng tam giác . Từ đó ta lập tọa độ điểm ta sẽ có tam giác . Hơn nữa vì và cắt nhau tại theo điểm

ta tìm được tọa độ điểm . Suy ra tọa độ điểm .

Ta có vậy ta cần đưa tọa độ điểm là hình chữ nhật nên

một ẩn. là trung điểm của , ta xác định được tọa độ điểm về dưới

dạng 1 ẩn từ đó suy ra tọa độ điểm theo ẩn của tọa độ điểm .

Các bƣớc giải

Bước 1. Gọi là trung điểm của , là giao điểm của và ;

Bước 2. . và , suy

ra tọa độ điểm ;

Bước 3. Tìm tọa độ điểm ;

91

Bước 4. Viết tọa độ dưới dạng 1 ẩn suy ra tọa độ điểm với ẩn theo tọa độ

điểm . là hình chữ nhật nên , tìm tọa độ điểm .

Bài giải

Gọi là trung điểm của , là giao điểm của và .

.

là trung điểm của nên

là hình chữ nhật nên

Suy ra

92

vì

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác vuông tại có đường

cao là đường tròn tâm bán kính . Tiếp tuyến của tại cắt . Gọi

tại . Đường thẳng vuông góc với tại vuông góc và đường thẳng đi qua

với cắt nhau tại . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

biết đường thẳng có phương trình

Phân tích

Để viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ta cần tọa độ 2

đỉnh

Ta có phương trình đường thẳng và tọa độ điểm từ đó viết được

phương trình đường thẳng suy ra tọa độ điểm với là giao điểm của và

.

93

Vì là hai tiếp tuyến của đường tròn ta dể dàng thấy được là

đường trung trực của đoạn thẳng . Như vậy ta viết được phương trình đường thẳng

khi biết điểm đi qua là trung điểm của và một VTPT là .

và Từ phương trình đường thẳng tìm được tọa độ điểm , để tìm tọa

. độ điểm ta cần dựa vào dữ kiện

Để giải quyết bài toán ta cần tọa độ điểm . Dựa vào hình vẽ ta dễ dàng thấy được

là giao điểm của hai đường thẳng và , hơn nữa ta đều có tọa độ của hai

điểm trên mỗi đường thẳng. Việc tìm tọa độ điểm trở nên đơn giản.

Các bƣớc giải

Bước 1. Gọi là giao điểm của và , viết phương trình đường thẳng

suy ra độ độ điểm ;

Bước 2. Gọi là trung điểm của , tìm tọa độ điểm suy ra phương trình

đường thẳng ;

Bước 3. Tìm tọa độ điểm và ;

Bước 4. Viết phương trình đường thẳng và suy ra tọa độ điểm ;

Bước 5. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác khi biết đường kính

Bài giải

Gọi là giao điểm của và .

Đường thẳng vuông góc nên phương trình đường thẳng có

dạng:

Suy ra phương trình đường thẳng

94

Gọi là trung điểm của . thì

Đường thẳng đi qua điểm và một VTPT là

nên ptđt là:

Ta có:

Phương trình đường thẳng .

Đường thẳng đi qua điểm và một VTCP là suy ra

một VTPT là

nên phương trình đường thẳng là:

95

Gọi và là trung điểm thì

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác là

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác biết đường cao kẻ từ ,

trung tuyến kẻ từ và đường phân giác trong kẻ từ

có phương trình lần lượt là Xác định tọa độ tâm và bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác .

Phân tích

Ta kí hiệu đường cao kẻ từ , trung tuyến kẻ từ và đường phân giác trong kẻ từ

lần lượt là

Để tìm đường tròn ngoại tiếp tam giác ta tìm tọa độ 3 điểm

Bài toán chỉ cho ta phương trình ba đường thẳng trong tam giác, việc tìm tọa độ các

giao điểm của các đường thẳng không giúp ích để giải bài toán này. Nên ta dựa vào tính chất các đường thẳng đã cho để tìm dữ kiện có ích phục vụ cho việc giải quyết bài toán.

là đường cao nên ta tìm được một VTPT của BC. Mặt khác CD là đường phân

giác trong nên góc giữa hai đường thẳng và bằng nhau, hơn nữa ta

lại có một VTPT của CD nên ta tìm được một VTPT của CA.

96

và ta ghi được tọa độ các điểm dưới dạng 1 ẩn, lại có VTPT

của CA ta tìm được mối liên hệ giữa tọa độ điểm , suy ra độ độ trung điểm . và

nên suy ra tọa độ và tìm được tọa độ điểm và .

Nhận thấy là giao điểm của 2 đường thẳng ta tìm đường thẳng

đường thẳng suy ra tọa độ điểm .

Việc tìm tọa độ tâm và bán kính khi biết 3 điểm đi qua là bài toán cơ bản.

Các bƣớc giải

Bước 1. Tìm một VTPT của đường thẳng BC và CD, suy ra một VTPT của đường

thẳng CA;

Bước 2. Tìm mối liên hệ giữa tọa độ điểm và , suy ra tọa độ trung điểm ;

Bước 3. Tìm tọa độ điểm suy ra tọa độ điểm và ;

Bước 4. Viết phương trình đường thẳng , tìm tọa độ điểm ;

Bước 5. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác , suy ra tọa độ tâm

và bán kính.

Bài giải

Đường cao kẻ từ , trung tuyến kẻ từ và đường phân giác trong kẻ từ lần lượt

là

nên một VTPT của là

Một VTPT của là

Gọi một VTPT của là với .

Vì nên

97

Với , chọn

Với , chọn loại trường hợp này vì trùng với

.

.

nên Vì

là trung điểm của nên

Suy ra

Phương trình đường thẳng là:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có dạng

98

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là và bán kính .

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ hình bình hành với . Biết

tam giác có và nội tiếp trong đường tròn có tâm và bán

kính . Hình chiếu của điểm xuống cạnh

. Hãy tìm tọa độ các đỉnh thuộc đường thẳng biết hoành độ hình chiếu của lớn

hơn 1 và hoảnh độ điểm bé hơn hoành độ điểm .

Phân tích

Do đề bài cho , hình chiếu của

và bán kính đường tròn ngoại tiếp, tất cả dữ kiện này cùng liên quan tới tính diện tích tam giác nên dựa vào công thức tính điện tích

tam giác ta tìm được độ dài với là hình chiếu của xuống cạnh .

Với kết vừa tìm được và giả thiết ta tìm được tọa độ suy ra phương

trình đường thẳng

và đường tròn tâm bán kính suy ra

là giao điểm của đường thẳng . tọa độ

là hình bình hành khi đã biết tọa độ 3 đỉnh thì việc tìm tọa độ đỉnh thứ 4 trở

thành bài toán đơn giản.

Các bƣớc giải

99

Bước 1. Tìm độ dài đoạn thẳng ;

Bước 2. Tìm tọa độ điểm ;

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng . suy ra tọa độ

điểm ;

Bước 4. Tìm tọa độ điểm .

Bài giải

Ta có:

hay

vì

Đường thẳng đi qua điểm và có một VTPT nên

phương trình đường thẳng là:

.

Phương trình đường tròn là .

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

100

Vì nên và .

là hình bình hành nên

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình thoi có đường

chéo nằm trên đường thẳng Điểm nằm trên đường thẳng

chứa cạnh , điểm nằm trên đường thẳng chứa cạnh , . Xác

định tọa độ các đỉnh của hình thoi biết điểm có hoành độ âm.

Phân tích

Vì là giao điểm của và nên ta có thể tìm được tọa độ điểm bằng cách

giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng và , mà giả thiết

nằm trên đường thẳng nên ta cần tìm phương trình đường thẳng .

Do đề bài đã cho điểm thuộc nên ta cần tìm thêm một điểm thuộc để viết

phương trình đường thẳng . Vì là phân giác của góc (do là hình

thoi ) nên bất kì điểm nào thuộc cũng có điểm đối xứng thuộc . Suy ra là điểm

đối xứng của qua và . Vậy ta tìm được phương trình đường thẳng .

Từ đó, ta tìm được tọa độ điểm .

101

Giả thiết cho độ dài bằng mà ta vừa tìm được tọa độ điểm nên ta tìm

bằng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.

được tọa độ điểm Vì nên tọa độ điểm thỏa hệ phương trình gồm hai phương trình

đường thẳng . Ta đã tìm được phương trình đường thẳng ở trên, mặt

khác dễ dàng tìm được phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng

và đi qua trung điểm của . Vậy ta tìm được tọa độ điểm . Đồng thời, là trung

điểm của nên ta cũng suy ra được tọa độ điểm

Các bƣớc giải

Bước 1. Gọi là điểm đối xứng của qua . Tìm tọa độ điểm ;

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua và ;

Bước 3. . Giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng

, suy ra tọa độ điểm ;

Bước 4. suy ra . Ta có:

. Giải phương trình này ta tìm được tọa độ điểm ;

là trung điểm của . Suy ra tọa độ điểm bằng công thức tính

Bước 5. Gọi tọa độ trung điểm;

Bước 6. Viết phương trình đường thẳng qua và vuông góc với ;

Bước 7. . Giải hệ phương trình suy ra tọa độ điểm ;

là trung điểm của . Suy ra tọa độ điểm ;

Bước 8. Ta có Bước 9. Kết luận. Bài giải

Gọi là điểm đối xứng với qua

Vì là phân giác của góc nên thuộc

đi qua điểm và vuông góc với nên có

dạng: .

Thay vào . Ta được phương trình đường thẳng

.

Gọi . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

.

Ta có: là trung điểm của .

102

và Đường thẳng qua có VTCP là

VTPT

Phương trình đường thẳng

Ta có: Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Ta có:

.

Do hoành độ điểm âm nên .

Gọi là trung điểm của . Suy ra

Đường thẳng qua và vuông góc với có dạng:

.

Ta có:

Suy ra đường thẳng .

Ta có: Tọa độ điểm là nghiệm của hệ

Ta có: là trung điểm của Suy ra

Vậy

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có điểm ,

trung tuyến , điểm thuộc đường thẳng . Điểm là trung

điểm của đoạn , điểm không nằm trên đường thẳng và khác phía với

so với đường thẳng đồng thời khoảng cách từ và tới đường thẳng bằng

nhau. Xác định tọa độ các điểm .

Phân tích

103

Ta có và nên tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình gồm

hai phương trình đường thẳng và . Vì nên ta cần tìm thêm một

điểm thuộc đường thẳng để viết phương trình đường thẳng .

Do nằm khác phía so với và cách đều nên đi qua trung điểm

và lần lượt là hai đường trung tuyến, gọi là

của giao điểm của . Xét tam giác và có , vậy là trọng tâm của tam giác và . Từ đó,

suy ra , ta tìm được tọa độ điểm Ta có tọa độ điểm và nên dễ dàng

viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm . Sau đó giải hệ phương

trình gồm phương trình đường thẳng và , ta tìm được tọa độ điểm .

Vì là trung điểm của nên suy ra tọa độ điểm

là trung điểm của nên ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm bằng công thức tính tọa độ

nằm khác phía so với và cách đều nên

trung điểm. Mặt khác, Các bƣớc giải Bước 1. Do . Gọi là trung điểm của , gọi , suy ra đi qua trung là trọng tâm của

điểm của tam giác . Tìm tọa độ điểm ;

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng qua và ;

Bước 3. . Giải hệ phương trình suy ra tọa độ điểm

của . Từ đó, suy ra tọa độ điểm

là trung điểm của

nằm khác phía so với và cách đều

Bước 4. Tìm tọa độ trung điểm Bước 5. Kết luận. Bài giải Gọi Ta có: Gọi

là trọng tâm của tam giác .

104

Ptđt qua và có VTCP VTPT

Ptđt : .

Ta có: . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình

Ta có: là trung điểm của

Ta có: là trung điểm của .

Vậy và

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho đường tròn

và đường thẳng . Từ điểm thuộc kẻ

hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với tại và . Tìm tọa độ điểm biết rằng diện

tích tam giác bằng

Phân tích

105

Ta có là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đường tròn , từ tính chất tiếp

vuông góc với . Từ giả thiết ta chỉ biết

tuyến suy ra tọa độ điểm tại nên ta sẽ tìm tọa độ điểm là trung điểm của bằng cách tìm độ dài . Giả sử

. Diện tích tam giác bằng suy ra mà nên

, từ đó ta được một phương trình hai ẩn và .

Mặt khác, tam giác vuông tại , có

là đường cao, ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông là “bình phương một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó lên cạnh huyền”, ta tìm được thêm một phương trình hai ẩn . Từ hai phương trình trên, ta giải tìm được và .

. Giải phương Ta có ,

trình này ta tìm được tọa độ điểm

Các bƣớc giải

Bước 1. Từ phương trình đường tròn suy ra tọa độ tâm và bán kính ;

Bước 2. Từ tính chất tiếp tuyến suy ra vuông góc với tại là trung điểm

của ;

Bước 3. Giả sử . Tính theo ;

Bước 4. mà

;

Bước 5. Tam giác vuông tại , là đường cao, sử dụng hệ thức lượng

trong tam giác vuông, ta có ;

Bước 6. Từ giải và tìm ;

Bước 7. , . Giải

phương trình ta tìm được , suy ra tọa độ điểm và kết luận.

Bài giải

Đường tròn có tâm , bán kính

Ta có: lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn tại

vuông góc tại ( là trung điểm của ).

Giải sử

Ta có: Tam giác vuông tại có là đường cao.

106

Thay vào , ta có:

(loại vì ).

Suy ra

Ta có:

Ta có:

Vậy hoặc thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông có đỉnh

thuộc đường thẳng , đường thẳng đi qua điểm , đường

thẳng đi qua điểm Biết tam giác cân tại , viết phương trình

đường thẳng

Phân tích

Phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường

thẳng . Để viết được phương trình đường thẳng ta cần tìm phương trình đường

thẳng . đi qua điểm nên phương trình có dạng

. Từ đó, suy phương trình đường thẳng có dạng:

107

. Mặt khác, vì tam giác cân tại nên ta có

thể tìm được tọa độ điểm . Do là hình vuông nên khoảng cách từ , từ đó ta có đến hai

đường thẳng bằng nhau, nghĩa là ta có

. Giải phương trình này ta tìm được

, từ đó suy ra phương trình đường thẳng

Các bƣớc giải Bước 1. Tam giác cân tại , suy ra . Tìm tọa đô điểm ;

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ;

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với đường

thẳng ;

Bước 4. là hình vuông nên . Ta được phương

trình hai ẩn và . Giải phương trình tìm . Từ đó, suy ra phương trình đường thẳng

. Kết luận.

Bài giải

Ta có: Tam giác cân tại .

.

Đường thẳng đi qua nên phương trình có dạng:

.

Đường thẳng đi qua và vuông góc với có dạng:

.

.

Suy ra phương trình đường thẳng .

Ta có: là hình vuông.

) . Nếu , chọn (vì

Suy ra phương trình đường thẳng

) . Nếu , chọn (vì

108

Suy ra phương trình đường thẳng

Vậy hoặc

Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn

và điểm . Tìm trên đường thẳng điểm sao cho từ kẻ

được hai tiếp tuyến đến (với là hai tiếp điểm) và đường thẳng đi

qua

Phân tích

Điểm thuộc đường thẳng nên . Nếu là

một tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ đến thì , do đó ta có hệ phương

trình . Từ hệ phương trình ta trừ vế với

vế của cho , ta được , tọa độ các tiếp điểm của tiếp

tuyến kẻ từ đến đều thỏa mãn . là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến

kẻ từ đến đường tròn nên cũng chính là

phương trình đường thẳng . Mặt khác, thuộc đường thẳng nên ta thay

tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng để tìm . Từ đó suy ra tọa độ điểm

Các bƣớc giải

Bước 1. ;

109

Bước 2. Giả sử là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ đến . Giải hệ

;

Bước 3. là hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ đến , suy ra phương trình

đường thẳng ;

Bước 4. . Thay tọa độ của vào phương trình đường thẳng , tìm

;

cần tìm và kết luận.

Bước 5. Suy ra tọa độ điểm Bài giải

Đường tròn có tâm , bán kính .

Ta có:

Giả sử là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ đến .

là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ đến

.

Trừ vế với vế của cho ta được

Ta có: là các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ đến .

Suy ra tọa độ của thỏa mãn nên phương trình đường thẳng là

.

Vậy

110

CHƢƠNG 4

NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10

Trong chương này, chúng tôi dự kiến những sai lầm của học sinh có thể mắc phải

trong việc giải một số bài toán về đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Sau

đó, chúng tôi tiến hành thực nghiệm ở ở lớp 10 để kiểm chứng các sai lầm đã dự đoán,

đồng thời tìm hiểu, phân tích các quan niệm sai lầm của học sinh cũng như làm rõ các

nguyên nhân của các sai lầm này.

1. Các quan niệm sai lầm

Xuất phát từ phân tích các dạng toán, chúng tôi dự đoán các quan niệm sai lầm sau

ở học sinh.

Quan niệm sai lầm 1. Học sinh áp đặt điều kiện cho số hạng trong phương trình

trong bài toán lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc

với một đường thẳng cho trước.

Bài toán. Viết phương trình đường thẳng biết đi qua và vuông

góc với đường thẳng .

Vì vuông góc với nên có dạng ,

Ta có (nhận)

Vậy phương trình đường thẳng .

Nguyên nhân dự kiến

Học sinh áp dụng điều kiện của hai đường thẳng song song

và tương tự cho điều kiện vuông góc của hai

đường thẳng.

Quan niệm sai lầm 2. Học sinh quan niệm các VTPT của một đường thẳng đều

bằng nhau.

Bài toán. Cho và đường thẳng . Tìm hình chiếu của

lên .

Gọi là hình chiếu của lên

là VTPT của

111

.

Nguyên nhân dự kiến Học sinh quan niệm một đường thẳng chỉ có một VTPT duy nhất. Quan niệm sai lầm 3. Học sinh quan niệm góc giữa hai đường thẳng là góc giữa

hai VTPT của hai đường thẳng đó.

Bài toán. Cho đường thẳng và . Tính góc

giữa hai đường thẳng và .

có VTPT

có VTPT

.

Nguyên nhân dự kiến Học sinh không phân biệt được khái niệm góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai

VTPT của hai đường thẳng.

Quan niệm sai lầm 4: Học sinh không quan tâm đến điều kiện để phương trình

là phương trình của đường tròn.

Bài toán. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm và

biết tâm của đường tròn nằm trên đường thẳng .

Gọi là tâm đường tròn

(1)

Giả sử

(2)

(3)

Từ

112

Vậy .

Nguyên nhân dự kiến Học sinh quan niệm rằng tất cả phương trình dạng được

cho bởi giáo viên luôn là phương trình đường tròn.

2. Thực nghiệm

2.1. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm trên học sinh dưới đây nhằm kiểm chứng sự tồn tại ở học sinh bốn

quan điểm sai lầm được nêu ở trên.

2.2. Tổ chức thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm với 126 học sinh lớp 10A3, 10A4 và 10A5 trường

THPT Lương Thế Vinh (TPHCM) sau khi học xong chương “Phương pháp tọa độ trong

mặt phẳng”. Thực nghiệm được tổ chức dưới dạng giải các bài toán như hình thức kiểm tra

viết. Học sinh làm bài cá nhân trên tờ giấy làm bài, bài làm của học sinh sẽ được chúng tôi

thu lại để phân tích.

2.3. Nội dung thực nghiệm

Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng biết đi qua và vuông

góc với đường thẳng .

Mục đích: Chúng tôi muốn kiểm chứng sự tồn tại của sai lầm 1 ở học sinh.

Bài toán 2. Cho và đường thẳng . Tìm hình chiếu của

lên .

Mục đích: Chúng tôi muốn kiểm chứng sự tồn tại của sai lầm 2 ở học sinh.

Bài toán 3. Cho đường thẳng và . Tính góc

giữa hai đường thẳng và .

Mục đích: Chúng tôi muốn kiểm chứng sự tồn tại của sai lầm 3 ở học sinh.

Bài toán 4. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm và

biết tâm của đường tròn nằm trên đường thẳng .

Mục đích: Chúng tôi muốn kiểm chứng sự tồn tại của sai lầm 4 ở học sinh.

2.4. Kết quả thực nghiệm

113

Sau khi tổ chức thực nghiệm, chúng tôi thống kê số liệu các để dựa vào đó chúng

tôi đưa ra những đánh giá, nhận xét chung về việc giải toán hình học trong mặt phẳng toạ

độ của các em học sinh sau khi tiếp thu tri thức này.

Đối với thực nghiệm, chúng tôi chỉ quan tâm đến những quan niệm sai lầm đã nêu

mà không quan tâm đến kết quả đúng sai của lời giải.

Kết quả thực nghiệm bài toán 1

Sai lầm 1 Khác Không trả lời

Số học sinh 88 38 0

Tỷ lệ 69,84% 30,16% 0%

Với kết quả 88 học sinh mắc sai lầm 1 (chiếm tỉ lệ 69,84%) và 38 học sinh có câu

trả lời khác (chiếm tỉ lệ 30,16%), chúng tôi nhận thấy phần lớn học sinh bị ảnh hưởng bởi

những kiến thức tương đồng với nhau, cụ thể ở THCS học sinh được học mối quan hệ giữa

song song và vuông góc dẫn đến sự hình thành quan niệm lập phương trình đường thẳng

có quan hệ song song tương tự với việc lập phương trình đường thẳng có quan hệ vuông

góc.

Qua đó, chúng tôi đề xuất một số biện pháp khắc phục như sau:

i. Cho phương trình đường thẳng có dạng: . Nếu hai đường thẳng

song song nhau ta cần quan tâm đến các hệ số . Nếu hai đường thẳng vuông góc

nhau ta cần quan tâm đến các hệ số ;

ii. Dùng hình ảnh để minh hoạ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và chú ý hơn.

Kết quả thực nghiệm bài toán 2

Sai lầm 2 Khác Không trả lời

Số học sinh 54 48 24

Tỷ lệ 42,86% 38,1% 19,04%

Với kết quả 54 học sinh mắc sai lầm 2 (chiếm tỉ lệ 42,86%) , 48 học sinh có câu trả

khác (chiếm tỉ lệ 38,1%) và 24 học sinh không trả lời (chiếm tỉ lệ 19,04%) , chúng tôi nhận

thấy học sinh áp đặt tính duy nhất cho VTPT của một đường thẳng. Qua phỏng vấn lấy ý

kiến từ các em mắc sai lầm này, chúng tôi nhận được đa số câu trả lời dẫn đến nguyên

114

nhân sai lầm là: vì chúng ta chỉ kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho

nên VTPT của đường thẳng cũng chỉ có một.

Qua đó, chúng tôi đề xuất một số biện pháp khắc phục sau:

i. Chỉ ra một phương trình đường thẳng có nhiều phương trình tương đương khi ta

nhân hai vế cho một hằng số khác 0 từ đó rút ra được kết luận: một đường thẳng có vô số

VTPT;

ii. Nếu và là VTPT của một đường thẳng thì cũng là VTPT

của đường thẳng đó;

ii. Dùng hình ảnh để minh hoạ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và chú ý hơn.

Kết quả thực nghiệm bài toán 3

Sai lầm 3 Khác Không trả lời

Số học sinh 65 46 15

Tỷ lệ 51,59% 36,51% 11,9%

Với kết quả 65 học sinh mắc sai lầm 3 (chiếm tỉ lệ 51,59%) , 46 học sinh có câu trả

lời khác (chiếm tỉ lệ 36,51%) và 15 học sinh không trả lời (chiếm tỉ lệ 11,9%) , chúng tôi

nhận thấy học sinh nhập nhằn trong quan niệm góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai

vectơ, dẫn tới việc quan niệm góc giữa hai VTPT hoặc góc giữa hai VTCP của đường

thẳng là góc giữa hai đường thẳng đó

Qua đó, chúng tôi đề xuất một số biện pháp khắc phục sau:

i. Cho học sinh so sánh sự khác nhau góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai vectơ;

ii. Dùng hình ảnh để minh hoạ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và chú ý hơn.

Kết quả thực nghiệm bài toán 4

Sai lầm 4 Khác Không trả lời

Số học sinh 101 25 0

Tỷ lệ 80,16% 19,84% 0%

Với kết quả 101 học sinh mắc sai lầm 4 (chiếm tỉ lệ 80,16%) và 25 học sinh có

câu trả lời khác (chiếm tỉ lệ 19,84%), chúng tôi nhận thấy phần lớn học sinh cho rằng

phương trình dạng luôn là phương trình của đường thẳng vì các

phương trình dạng này mà giáo viên đưa ra trong lớp đều mặc nhiên là phương trình của

115

một đường tròn và do bài tập về kiểm tra sự tồn tại của đường tròn đối với phương trình

này còn rất ít. Hơn nữa, học sinh chỉ quan tâm cách giải mà không quan tâm đến những

điều kiện kèm theo trong bài.

Qua đó, chúng tôi đề xuất một số biện pháp khắc phục sau:

i. Lưu ý học sinh xét điều kiện tồn tại của đường tròn khi xem xét phương trình

;

ii. Cho ví dụ không tồn tại đường tròn để học sinh ghi nhớ sâu;

Nhận xét

Qua bảng số liệu trên, bốn quan niệm sai lầm chúng tôi đưa ra đều tồn tại. Trong

đó, sai lầm 4 xảy ra nhiều nhất (80,16%), kế tiếp là sai lầm 1 (69,84%), sai lầm 3 (51,19%)

và ít nhất là sai lầm 2 (42,86%). Điều đó chứng tỏ ở học sinh tồn tại nhiều nhận biết sai

lệch về kiến thức, trong đó quan niệm “phương trình luôn là

phương trình đường tròn” chiếm tỉ lệ cao. Học sinh chỉ quan tâm việc viết phương trình

đường tròn mà không quan tâm sự đường tròn đó có tồn tại hay không. Nguyên nhân chủ

yếu dẫn đến sai lầm này là:

i. Hầu hết các bài tập về phương trình dạng mà giáo viên

cho trong lớp luôn là phương trình đường tròn;

ii. Sách giáo khoa có ít bài tập dạng này;

iii. Quan niệm chủ quan của học sinh “phương trình

luôn là phương trình đường tròn”.

Tiếp theo là tồn tại kiểu sai lầm ở quan niệm sai lầm 1, học sinh quan niệm “hai đường thẳng song song có điều kiện và nên hai

đường thẳng vuông góc nhau cũng có điều kiện này”; kiểu sai lầm ở quan niệm sai lầm 3, học sinh quan niệm “góc giữa hai VTPT của đường thẳng cũng là góc giữa hai đường thẳng đó”; kiểu sai lầm ở quan niệm sai lầm 2, học sinh quan niệm “một đường thẳng chỉ có một VTPT duy nhất”.

116

KẾT LUẬN

1. Những kết quả nghiên cứu đạt đƣợc

Trong khoá luận này, chúng tôi đã làm được những việc sau đây:

i. Trình bày các dạng toán viết phương trình đường thẳng và đường tròn trong mặt

phẳng thường gặp ở các bài toán THPT, các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, đề thi tuyển

sinh Đại học, Cao đẳng;

ii. Đưa ra hướng phân tích, phương pháp giải các ví dụ cho từng dạng toán cụ thể;

iii. Dự đoán được một số sai lầm ở học sinh khi giải các bài tập trong hình học toạ

độ phẳng, đồng thời kiểm chứng được sự tồn tại của sai lầm này cũng như làm rõ nguyên

nhân của chúng.

Tuy nhiên, bên cạnh những kết quả đạt dược, chắc chắn còn tồn tại một số hạn chế

như chưa nghiên cứu đầy đủ các dạng toán về đường thẳng và đường tròn vì sự hạn hẹp về

thời gian.

2. Hƣớng mở rộng cho nghiên cứu

Có phải tất cả các bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn trong mặt

phẳng toạ độ đều có thể giải bằng cách áp dụng các công thức đã học?

Học sinh sẽ xử lí như thế nào nếu không tìm được mối liên hệ từ các dữ kiện đã

cho?

117

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Sách giáo khoa hình học 10 cơ bản, nhà xuất bản giáo dục.

[2]. Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao, nhà xuất bản giáo dục.

[3]. Các đề thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học và cao đẳng các năm.

[4]. Diễn đàn toán học, http://www.vnmath.com.

118

PHỤ LỤC

Một số bài làm của học sinh

119

120

121