TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI HANOI UNIVERSITY OF INDUSTRY Tập san SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Số 14 ● 2024 140
KIỂM SOÁT CHỐNG RUNG DỰA TRÊN LÝ THUYẾT TỰA PHẲNG
KẾT HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN PID CHO HỆ THỐNG CẦU TRỤC
ANTISWAY CONTROL BASED ON FLATNESS THEORY COMBINED
WITH PID CONTROLLER FOR CRANE SYSTEM
Nguyễn Trọng Hiệp1,*, Phan Thanh Tú2, Nguyễn Duy Việt3,
Nguyễn Thế Anh4, Phùng Thị Vân5
1Lớp Điện 02 - K15, Khoa Điện, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội
2Lớp Điện 08 - K15, Khoa Điện, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội
3Lớp Điện 04 - K16, Khoa Điện, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội
4Lớp Điện 07 - K17, Khoa Điện, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội
5Khoa Điện, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội
*Email: Tronghiepnguyen0111@gmail.com
TÓM TẮT
Bài báo tập tập chung vào việc thiết kế quỹ đạo được đề xuất cho vấn đề chống rung của cầu trục. Đầu tiên, một bộ
điều khiển ứng dụng lý thuyết tựa phẳng được thiết kế sao cho phương trình động lực học của hệ thống cầu trục có thể
được biểu diễn bằng vi phân các biến đầu ra. Các ràng buộc liên quan được đưa ra để đảm bảo rằng xe đẩy có thể đến được
vị trí mong muốn trong một thời gian giới hạn với chiều dài dây thay đổi và góc xoay có thể bị triệt tiêu khi tải trọng được
nâng lên hoặc hạ xuống trong quá trình vận hành. Quỹ đạo dự kiến có được bằng cách giải quyết các thông số tối ưu của
đầu ra phẳng. Tiếp theo, để giảm thiểu độ lệch do gió gây ra nhiễu loạn trong việc điều khiển quỹ đạo thực tế, một bộ điều
khiển PID được thiết kế. Bộ điều khiển được xây dựng dựa trên đầu ra phẳng có thể điều khiển gián tiếp đầu ra của hệ
thống. Kết quả mô phỏng trên phần mềm MATLAB cho thấy rằng phương pháp đề xuất có hiệu quả và có độ tin cậy cao.
Từ khóa: Lý thuyết tựa phẳng, điều khiển PID, hệ thống cầu trục, thiết kế quỹ đạo, differential flatness
ABSTRACT
The article focuses on the proposed trajectory design for the anti-vibration problem of the crane. First, a controller
applying quasi-plane theory is designed so that the dynamic equation of the crane system can be expressed by
differentiating the output variables. The associated constraints are given to ensure that the cart can reach the desired
position in a limited time with the rope length varying and the rotation angle can be suppressed when the load is raised or
lowered down during operation. The expected trajectory is obtained by solving for the optimal parameters of the planar
output. Next, to minimize wind-induced turbulence deviations in actual orbit control, a PID controller is designed. The
controller is built on a planar output that can indirectly control the output of the system. Simulation results on MATLAB
software show that the proposed method is effective and highly reliable.
Keywords: Quasi-flat theory, PID control, crane system, orbit design, differential flatness
1. GIỚI THIỆU
Cầu trục là một thiết bị công nghiệp được sử dụng để
nâng hạ và di chuyển hàng hóa, các vật nặng từ vị trí này
đến vị trí khác. Ngày nay, cầu trục được sử dụng rộng rãi
để vận chuyển hàng hóa trong các nhà máy, nhà kho, cảng
và những nơi khác. Tại Việt Nam hiện nay phần lớn các cầu
này được vận hành bằng tay bởi người sử dụng. Hệ thống
cẩu trục thường điều khiển trực tiếp động cơ cho quá trình
nâng hạ tải, tuy nhiên phương pháp này dễ gây hiện tượng
va đập cơ khí, giật cục bộ làm giảm độ tin cậy, gây hao mòn
cơ khí và tăng chi phí bảo trì. Vì vậy, yêu cầu cao về hiệu
quả vận chuyển và tính ổn định là rất cần thiết. Bởi vì xích
đu tải trọng của cầu trục có tác động trực tiếp đến hiệu quả
vận chuyển và sự an toàn của quá trình vận chuyển,việc
nghiên cứu về điều khiển chống xoay của cầu trục có ý
nghĩa rất thực tế. Đặc tính dẫn động kém của cần trục khiến
việc điều khiển trở nên khó khăn hơn. Một số bộ điều khiển
được ứng dụng để kiểm soát và giải quyết vấn đề về chống
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI HANOI UNIVERSITY OF INDUSTRY Tập san SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Số 14 ● 2024 141rung dành cho hệ thống cầu trục như bộ điều khiển điều
chỉnh bậc hai tuyến tính (LQR)[8], bộ điều khiển dự đoán
mô hình (MPC), bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân - vi phân
(PID). Khó khăn trong thiết kế chủ yếu nằm ở cách đạt được
sự kiểm soát góc quay khi kích thước đầu vào nhỏ hơn kích
thước đầu ra. Một số tác giả đã đề xuất các phương án như:
đề xuất một phương pháp xác định đầu vào dựa trên phân
tích mặt phẳng pha và sử dụng các ràng buộc hình học để
xác định thời gian chuyển mạch của bộ định hình. Tuy
nhiên, phương pháp này chỉ tính gần đúng chiều dài dây
thay đổi so với chiều dài dây cố định mà không thể biểu
diễn phân tích động lực học của chiều dài dây. Nhằm giải
quyết vấn đề vận hành của cần trục trong môi trường làm
việc lộn xộn, ta cần thiết kế cẩn thận một đường cong spline,
giúp cần trục tránh chướng ngại vật một cách hiệu quả trong
khi vận chuyển tải trọng. Chúng tôi đã áp dụng lý thuyết tựa
phẳng vi sai để lập kế hoạch quỹ đạo dựa trên đa thức phân
đoạn cho bài toán vận chuyển tránh chướng ngại vật của cần
trục có ràng buộc.
Các sơ đồ kiểm soát phản hồi thường chỉ đề cập liên
quan đến điều khiển chống rung và không xem xét đến ảnh
hưởng của thời gian vận chuyển hoặc những thay đổi trong
sản xuất của hệ thống cầu trục. Vậy nên, bài báo này đề xuất
một phương pháp điều khiển kết hợp chuyển tiếp và phản
hồi, trong đó: chiều dài dây có thể thay đổi để nâng cao hiệu
quả và an toàn trong quá trình vận chuyển, phần chuyển tiếp
xây dựng một quỹ đạo thỏa đáng, phân tích và tóm tắt đầy
đủ các ràng buộc liên quan, và có ưu điểm là hiệu quả vận
chuyển cao và góc lắc nhỏ, phương pháp lùi được áp dụng
để điều khiển chống trượt của cần trục thiếu dẫn động trong
phần phản hồi với việc đưa ra lý thuyết phẳng vi phân.
phương pháp lùi được ứng dụng vào phần phản hồi của
kiểm soát chống rung của cầu trục kết hợp với lý thuyết tựa
phẳng. Một bộ kiểm soát chống rung lắc cho cầu trục được
thiết kế ra dựa trên bộ điều khiển PID kết hợp lý thuyết tựa
phẳng có hiệu suất điều khiển vận hành ổn định dưới sự
nhiễu loạn của môi trường.
Các phần sau của bài báo sẽ đề cập đến việc xây dựng
mô hình động lực học, thiết kế quỹ đạo chuyển động cho hệ
thống cầu trục kết hợp thiết kế bộ điều khiển PID, mô phỏng
hệ thống bằng phần mềm Matlab và cuối cùng là đưa ra kết
luận.
2. THIẾT KẾ QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG
Xây dựng mô hình toán học
Áp dụng phương trình Euler-Lagrage [2], ta có:
2 2
1
1 1
2 2
L mv mx
(1)
2 2
2
1
( sin ) ( cos )
2
cos
L m l x l x
mgl
(2)
Hình 1. Mô hình cầu trục 2D
Theo công thức Euler-Lagrage [3]:
d L L
F
dt x x
(3)
1
2
( ) sin 2 cos
cos sin
F M m x ml ml
ml ml
(4)
2
2
sin cos
F ml mx m l mg
(5)
2
0 2 cos sin
m l m ll mlx mgl
(6)
Trong đó: M và m là khối lượng của xe đẩy và tải trọng,
g là gia tốc trọng trường.
Phương trình trên có thể biểu diễn dưới dạng ma trận
sau:
( ) ( , ) ( )
M q q C q q q G q F
(7)
(với F là ma trận lực tác động
1
2
0
F
F
)
Trong đó:
2
sin cos
( ) sin 0
. cos 0
M m m ml
M q m m
ml ml
2
2
2 cos sin
( , )
2
ml ml
C q q m l
m ll
0
( ) cos
sin
G q mg
mgl
1
( ) ( ( , ) ( ))
q M q F C q q G q
(8)
Mô hình toán học nêu trên của cầu trục sẽ được sử dụng
để thiết kế quỹ đạo của cầu trục và thực hiện mô phỏng
trong phần 3.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI HANOI UNIVERSITY OF INDUSTRY Tập san SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Số 14 ● 2024 142Xây dựng đầu ra phẳng
Trong phần phía trên, bài báo đã nêu ra được mô hình
toán học của hệ thống cầu trục. Để giảm đi tính phức tạp, ta
ứng dụng lý thuyết phẳng. Độ phẳng vi phân đề cập đến một
hệ thống phi tuyến trong đó tất cả các biến trạng thái và biến
đầu vào có thể được biểu diễn bằng đại số bằng một tập hợp
các đầu ra phẳng và đạo hàm thứ tự của chúng. Bởi vì các
đặc tính của hệ thống được kích hoạt kém gây khó khăn cho
việc kiểm soát góc xoay tải trọng, nó có thể được chuyển
đổi để kiểm soát đầu ra phẳng bằng cách ánh xạ biến đầu ra
vào không gian đầu ra phẳng.
Như thể hiện trong hình 1, vị trí tải trọng (
,
p p
x y
) được
định nghĩa là đầu ra phẳng. Nó có thể thu được theo công
thức Newton và phân tích hình học [1] mà không cần xem
xét các yếu tố như nhiễu loạn gió và lực ma sát:
cos
p
my R mg
(9)
( sin )
p
mx R
(10)
sin
p
x x l
(11)
cos
p
y l
(12)
Với R là lực căng dây. Thay phương trình (10) vào (9),
cho kết quả:
arctan( )
p
p
x
y g
(13)
Bằng cách thay thế phương trình (12) và (13) thành (11),
chúng ta có thể thu được:
p p
p
p
x y
x x
y g
(14)
Cuối cùng, ta thu được
l
bằng phương trình (11),(12)
và (14):
2
2
p p
p
p
x y
l y
y g
(15)
Như đã trình bày ở phần I, bài báo sẽ xây dựng quỹ đạo
di chuyển của mô hình dựa trên việc ứng dụng lý thuyết
phẳng và áp dụng vào việc chống rung. Tiêu chí đánh giá
một hệ chống rung là tối thiểu góc dao động của tải khi di
chuyển (
0
θ
). Ngoài ra, thời gian đáp ứng cũng là yếu tố
cần xem xét, cầu trục có thời gian đáp ứng nhanh sẽ có thể
dừng lại hoặc thay đổi quỹ đạo nhanh chóng mà không gây
ra rung động.
Ứng dụng lý thuyết phẳng để tối giản hóa các biến có
trong phương trình động lực học để thuận tiện cho quá trình
tính toán tối ưu góc lắc khi giao động. Khó khăn thiết kế
chủ yếu nằm ở cách đạt được sự kiểm soát góc xoay khi bậc
của biến đầu vào nhỏ hơn đầu ra.
Các tác giả áp dụng lý thuyết độ phẳng vi sai để lập kế
hoạch quỹ đạo dựa trên các đa thức được phân đoạn cho bài
toán vận chuyển tránh chướng ngại vật của cần trục giàn với
các ràng buộc.
Xây dựng quỹ đạo di chuyển của cầu trục
Quỹ đạo của di chuyển có dạng liên tục do vị trí của cần
cẩu có thể thay đổi liên tục trong phạm vi hoạt động của nó.
Thiết kế quỹ đạo của cầu trục là quá trình xác định các
chuyển động của cầu trục cần thực hiện để đưa vật cần nâng
lên vị trí mong muốn.
Có nhiều phương pháp khác nhau để thiết kế quỹ đạo
của cầu trục. Một phương pháp phổ biến là sử dụng các
phương trình toán học để mô tả các chuyển động của cầu
trục.
Ta giả sử rằng ta có các giá trị đầu ra tại thời điểm
i
t
1 1
1 1
, . .
)
. , , . . ( ) ( ) ( ). , , . . . ,
(
r r
i i m i m i
y t y t y t y t
(16)
và tại thời điểm
f
t
:
1 1
1 1
, . . . , , . . . , , . . . ) ,
( ) ( ) ( ( )
r r
f f m f m f
a
y t y t y t y t
(17)
như vậy tính cả điểm đầu và điểm cuối ta cần biểu diễn
2(r + 2) hệ số ứng với mỗi
m
đầu ra
y
.
Nếu ta tìm
1
,...,
m
y y
theo dạng
m
đa thức theo thời
gian, với mỗi đầu ra
y
phải có ít nhất
2 2
r
hệ số để
thỏa mãn điểm đầu và điểm cuối, nên bậc thấp nhất của biểu
thức là
2 3
r
.
Chúng ta đặt
,
i
f i
t t
T t t t
T
và
2 3
,
0
, 1, . . .) ( )
.
(
,
r
k
j j k
k
y t a t j m
Chúng ta tính toán các hệ số
,
j k
a
bằng cách đồng nhất
các đạo hàm của
j
y
tại thời điểm đầu và cuối theo (16) và
(17):
2 3
,
.
( ) ( )
1 !
, 1, . . . ,
!
r
kl k
j j l
k
l k
l
y t a t j m
T l k
Tại
0
, tương ứng với
i
t t
,
,
!
, 0,...., 1, 1, . . . , ,
( )
k
j i j k
k
k
y t a k r j m
T
(18)
và tại
1
, hoặc
f
t t
,
2 3
,
1 !
, 0,..., 1, 1, . . . , .
!
( )
r
k
j f j l
k
l k
l
y t a k r j m
T l k (19)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI HANOI UNIVERSITY OF INDUSTRY Tập san SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Số 14 ● 2024 143Có tổng cộng
2 4
r
phương trình với
2 4
r
hệ số
,0 ,2 3
,....,
j j r
a a
, với mỗi
1,...,
j m
. Hệ thống này trên thực
tế có thể được giảm
2
r
phương trình tuyến tính theo
2
r
hệ số chưa biết
, 2 ,2 3
,....,
j r j r
, từ
2
r
ở phương
trình đầu (16) đã tính được với
,0 , 1
,....,
j j r
a a
:
,
, 0,..., 1.
!
k
k
j k j i
T
a y t k r
k
2
r
hệ số còn lại được tính bởi:
, 2
,2 3
1 1 1
2 3 2r 3
1 2 2 3 2r 2 2r 3
3 ! 2r 3 !
2 ! 2 2 !
j r
j r
r r a
r r r r
a
r
rr
1
0
1
1 1
1
!
!
l
rl
j f j i
l
l k
r
k l
k
j f j i
l k
r r
r
j f j i
T
y t y t
l
T
T y t y t
l k
T y t y t
(20)
Quỹ đạo rest - to - rest
Nếu điểm xuất phát
,
i i
x t u t
và điểm cuối cùng
,
f f
x t u t
là các điểm cân bằng, chúng ta có
0, 0
i i
x t u t
và
0, 0
f f
x t u t
. Chúng
ta có:
0
,0,...,0
i i
x t y t
,
1
,0,...,0
i i
u t y t
0
,0,...,0
f f
x t y t
,
1
,0,...,0 .
f f
u t y t
Việc xây dựng điều này là dễ dàng được thực hiện bằng
cách thay hết tất cả các đạo hàm của
y
bằng 0 tại
i
t
và
f
t
.
Ta có:
Mệnh đề: Phần còn lại của quỹ đạo có dạng:
2
1
,
0
,
1,...,
r
i
j j i j f j i
f i
k
r
i
j k
kf i
t t
y t y t y t y t t t
t t
t t
j m
(21)
với
,0 , 1
,...,
j j r
được tính:
,0
, 1
1 1 1
2 3 2r 3
1
1 2 2 3 2r 2 2r 3
0
3! 2r 3!
0
2 ! 2 2 !
j
j r
r r
r r r r
r
rr
(22)
nó thỏa mãn để thay thế các đạo hàm của
y
bằng 0
trong (20). Vì thế chúng ta có được
,0 ,
, 0
j j i j k
a y t a
với
1,..., 1,
k r
và các đa
thức nội suy
2 3
,
2
, ( ) ( ) (
1, . . . .
)
,
r
k
j j i j k
k r
y t y t a t j m
Ở
đây vế phải của hệ thống tuyến tính (20) là vector
0
0
j f j i
y t y t
. Vì vậy, đặt
,
, 2
j k
j k r
j f j i
a
y t y t
, chúng ta có được biểu thức
(21) và (22).
Từ đó ta thiết kế quỹ đạo của tải theo quỹ đạo rest – to
– rest. Ta giả định góc
đủ nhỏ, vì vậy ta có:
z l
(23)
Quỹ đạo mong muốn là một đường thẳng bắt đầu từ
điểm xuất phát
i i
x x
,
i i
l l
tại thời điểm
i
t
, với
( ) ( ) ( )
0, 0
0( )
i i i
i
t t x t
l t
và đến tại điểm cuối cùng
,
f f
x x l l
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI HANOI UNIVERSITY OF INDUSTRY Tập san SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Số 14 ● 2024 144tại thời điểm f
t
, với
0, 0, 0( ) ( ) ( ) ( )
f f f f
t t x t l t
Khi đó:
Điểm đầu
Điểm cuối
0
0
i
i
x
t R
0
f
f
x
t T R
Hình 2. Quỹ đạo di chuyển của tải
Điểm khởi đầu 0
0
i
i
x x
t l l
(24)
và điểm kết thúc
0
f
f
x x
t T l l
Ta có:
0 0
,0,...,0 , ,0,...,0
i i i i
x t x t l t l t
1 1
,0,..., 0 , ,0,...,0
f f f f
x t x t l t l t
Khi đó phần còn lại của quỹ đạo sẽ có dạng:
21
0
0,......, 1.
r k
r
i i
ref i f i k
k
f i f i
t t t t
x t x t x t x t t t t t
k r
(25)
với 0 r 1
,...,
được tính bở
0
1
1 1 1
2 3 2r 3 1
1 2 2 3 2r 2 2r 3 0
3 ! 2r 3 ! 0
2 ! 2 2 !
r
r r
r r r r
r
rr
(26)
Trong đó:
k: là bậc đạo hàm cao nhất của đầu ra.
r: là hệ số chạy của k.
Ta nhận thấy bậc đạo hàm cao nhất của đầu ra là bậc 4
nên:
Xét với 3 0,1...,4. r k Khi đó ta có:
0
1
2
3
4
1 1 1 1 1 1
5 6 7 8 9 0
20 30 42 56 72 0
60 120 210 336 504 0
120 360 840 1680 3024 0
0 1 2
3 4
126, 420, 540
315, 70.
(27)
Ta được quỹ đạo bậc 9 được thiết kể bởi:
5
2 3 4
126 420 540 315 70
ref i f i
t
x t x x x T
t t t t
T T T T
(28)
Ta lại có:
,
i i f f
l x l l x l
nên
i
i f i
f i
x x
l x l l l x x
Vậy nên:
ref i
ref i f i
f i
x t x
l t l l l x x
(29)
Thiết kế bộ điều khiển PID
Mặc dù quỹ đạo tối ưu thu được có hiệu suất tuyệt vời,
bao gồm thời gian vận chuyển ngắn và góc xoay tải trọng
nhỏ, việc điều khiển trở nên kém hiệu quả hơn dưới các
nhiễu loạn bên ngoài, chẳng hạn như nhiễu gió. Do đó, khả
năng điều khiển của hệ thống cần trục có thể được cải thiện
bằng cách sử dụng bộ điều khiển PID. Bộ điều khiển theo
dõi lý tưởng phải làm cho ( ) ( )
d
x t x t, ( ) ( )
d
l t l t,
( ) ( )
d
θ t θ t nhưng theo Phương trình (7), chuyển động
của xe đẩy, nâng dây và xoay tải trọng được kết hợp chặt
chẽ, điều này gây khó khăn đến việc kiểm soát trạng thái hệ
thống. Để giải quyết vấn đề này, một bộ điều khiển phản
hồi vòng kín dựa trên độ phẳng vi sai đã được thiết kế [6][7].
Lưu đồ điều khiển tổng thể được thể hiện trong hình 3.
Hình 3. Mô hình điều khiển, lập quỹ đạo di chuyển cầu trục