TỔNG HỢP MỘT SỐ KINH NGIỆM GIẢI TOÁN
HÌNH KHÔNG GIAN
ng pháp : ươ
ẳ ể ủ
ặ ẳ ườ
ể ủ ế ủ ườ
ẳ ẳ ặ ặ ể ầ ượ ằ ẳ ng tìm hai đ ườ ế ể
ẳ ẳ ể ườ
ng th ng ẳ t n m trong hai m t ph ng đó . Giao đi m , n u có c a hai ủ ặ ng th ng và m t ph ng ẳ ủ ặ ủ ườ ng th ng này chính là đi m chung c a hai m t ph ng . ẳ
ể ng pháp :
ặ ẳ ể
ng th ng c c t A t ể ủ ng th ng a và m t ph ng (P) , ta tìm trong (P) m t ộ ể
ộ ọ ấ ẳ ặ ắ ư
ẳ ế ế ủ
ng th ng đ ng quy . ồ ẳ ể ứ ườ
ẳ ể ứ ng pháp : ươ ứ ố ứ ể
ệ
ườ ẳ ồ
ủ ế ủ ố ng nàylà đi m chung c a hai m t ph ng mà giao tuy n là đ ng th ng đ ng quy ta ch ng minh giao đi m c a hai ứ ủ ể ủ ẳ ng th ng ườ ể ế ặ ẳ
ng th ng di đ ng ườ ủ ể ậ ẳ ộ
ợ ng pháp : ươ
ể ng th ng di đ ng d và d' . Tìm t p h p các đi m ườ ủ ẳ ậ ộ ợ
ọ t ch a d và d'. M di đ ng ầ ượ ứ ầ ậ ẳ
ố ị ẳ ặ ủ ặ
ế ố ị i h n (n u có) ế
ng th ng c ẳ ố ư ể ộ
ố ị ẳ ố ị ặ ị
ế t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) là đa giác gi ặ i h n b i các giao ở t di n ệ ệ ủ ớ ạ
ặ ớ
t các giao tuy n c a (P) v i các m t c a hình chóp theo các ầ ượ ế ủ ặ ủ ớ
I. Đường thẳng và mặt phẳng . 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1) Ph - Tìm đi m chung c a 2 m t ph ng ặ - Đ ng th ng qua hai đi m chung đó là giao tuy n c a hai m t ph ng ể Chú ý : Đ tìm đi m chung c a hai m t ph ng ta th đòng ph ng l n l ẳ đ 2. Tìm giao đi m c a đ Ph ươ Đ tìm giao đi m c a đ ẳ ể ủ ườ i đi m A nào đó thì A là giao đi m c a a và (P) . đ ạ ườ Chú ý : N u c ch a có s n thì ta ch n m t m t ph ng (Q) qua a và l y c là ẵ giao tuy n c a (P) và (Q) . 3. Ch ng minh 3 đi m th ng hàng , ch ng minh 3 đ ẳ Ph ể - Mu n ch ng minh 3 đi m th ng hàng ta ch ng minh 3 đi m đó là các đi m chung c a hai m t ph ng phân bi t.Khi đó chúng s th ng hàng trên giao ẳ ẽ ẳ ặ tuy n c a hai m t ph ng đó . ẳ ặ - Mu n chúng minh 3 đ đ ườ th ba . ứ 4. Tìm t p h p giao đi m c a hai đ Ph M là giao đi m c a hai đ ể M. * Ph n thu n : Tìm hai m t ph ng c đ nh l n l trên giao tuy n c đ nh c a hai m t ph ng đó . * Gi ớ ạ * Ph n đ o ả ầ Chú ý : n u d di đ ng nh ng luôn qua đi m c đ nh A và c t đ ắ ườ ế đ nh a không qua A thì d luôn n m trong m t ph ng c đ nh (A,a) ằ 5. Thi Thi ế ẳ tuy n c a (P) v i các m t hình chóp . ế ủ ng pháp : Ph ươ Xác đ nh l n l ị c sau : b ướ
ị ộ ớ ủ ừ ể ế ầ
ặ
ặ ắ ủ
c các ẽ ượ c các giao ị ừ ượ ủ ặ ế ớ ủ
ặ
c thi ớ ế ượ ể ế ế ụ i khi các giao tuy n khép kín ta đ ế t di n . ệ
ộ
ồ ẳ ườ ng pháp : ươ ể ứ
ng pháp ươ ng trung bình, ọ ẳ ư ứ ng th ng đó đ ng ph ng , r i áp d ng ph ụ ẳ ấ ườ
ị
ng th ng đó cùng song song song v i đ ứ ng th ng th 3 ẳ ẳ ứ ườ ớ ườ
ị ụ
ạ ẳ
ng th ng cho tr c . ệ ộ ườ ế ặ ẳ ộ ườ ướ ẳ ớ
ế ươ
ủ ẳ
ề ế ủ t di n qua m t đ ng pháp : ể ộ ị ứ ủ ụ
ng th ng đã có)
ng c a giao tuy n (t c ch ng ứ ế ươ ẳ ng th ng qua đi m chung và song song v i đ ộ ườ ể ế ế ẽ ớ ườ ng ớ ẳ ườ
ể
ế ể ươ ế
ng giao tuy n) ta t di n c a hình chóp . ệ ủ ườ ế ị
ố ợ ườ ẳ
ể ấ
ự ọ ở ọ
ạ ữ ng giác c a góc trong tam giác vuông ho c dùng ỉ ố ượ ặ
ng . ủ ườ ị
ườ ặ ớ
ươ
ng pháp : ứ ứ ng th ng a ch a ớ ườ ằ ẳ
ặ - T đi m chung có s n , xác đ nh giao tuy n đ u tiên c a (P) v i m t m t ẵ c a hình chóp (Có th là m t trung gian) ể ủ - Cho giao tuy n này c t các c nh c a m t đó c a hình chóp ta s đ ạ đi m chung m i c a (P) v i các m t khác . T đó xác đ nh đ ớ tuy n m i v i các m t này . ớ ớ - Ti p t c nh th cho t ư ế II.Đường thẳng // . 1. Chứng minh hai đường thẳng song song Ph Có th dùng m t trong các cách sau : - Ch ng minh hai đ ồ ch ng minh song song rong hình h c ph ng (nh tính ch t đ đ nh lý đ o c a đ nh lý Ta-lét ...) ả ủ ị - Ch ng minh hai đ . - Áp d ng đ nh lý v giao tuy n . 2 . Tìm giao tuy n c a hai m t ph ng (cách 2 / d ng 1) Thi ng th ng song song v i m t đ Ph * Tìm m t đi m chung c a hai m t ph ng ặ * Áp d ng đ nh lý v giao tuy n đ tìm ph ế ể ề minh giao tuy n song song v i m t đ Giao tuy n s d là đ th ng y . ẳ ấ Ghi chú : Ta có 2 cách đ tìm giao tuy n : Cách 1(2 đi m chung) và cách 2 (1 đi m chung + ph ể ng s d ng ph i h p 2 cách khi xác đ nh thi th ử ụ 3 . Tính góc gi a hai đ ng th ng a,b chéo nhau. ữ ng pháp : Ph ươ Tính góc : L y đi m O nào đó . Qua O d ng a' // a và b' // b Góc nh n ho c góc vuông t o b i a',b' g i là góc gi a a và b . ặ Tính góc : S d ng t s l ử ụ đ nh lý hàm s côsin trong tam giác th ố ẳ . III.Đ ng th ng // v i m t ph ng ẳ 1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P Ph Ta ch ng minh d không n m trong (P) và song song v i đ trong (P) .
ộ ọ ẳ ặ ẵ ế
ấ ế ủ
ớ ẳ ệ ặ ẳ ộ ườ ạ c c th ng cho tr ướ
ặ ẳ ộ
i m t h qu : N u đ ẳ ắ
ộ ệ ả ặ ớ ị ặ ẳ
ế ng th ng cho tr ng pháp đã bi c theo ph t di n c a hình chóp c t b i m t ph ng song song v i ớ ắ ở ươ ệ ủ ẳ ừ ộ t . ế ướ
ẳ
ặ
ẳ
ớ t song song v i
ầ ượ
ườ
ứ
ặ
ẳ
ẳ
ặ ứ ng pháp : ươ ứ ườ
ng th ng c t nhau l n l ắ ẳ
ắ
ằ
ứ Ghi chú : N u a không có s n trong hình thì ta ch n m t m t ph ng (Q) ch a d và l y a là giao tuy n c a (P) và (Q) . 2. Tìm giao tuy n c a hai m t ph ng(Cách 2 / d ng 2) ế ủ t di n song song v i m t đ Thi ế Ph ng pháp : ươ ng th ng d song song v i m t m t ph ng (P) Nh c l ớ ẳ ế ườ ắ ạ ế thì b t kỳ m t ph ng (Q) nào ch a d mà c t (P) thì s c t (P) theo giao tuy n ẽ ắ ứ ấ song song v i d . T đây xác đ nh thi m t ho c hai đ ườ ặ IV.M t ph ng // . 1. Ch ng minh hai m t ph ng song song Ph * Ch ng minh m t ph ng này ch a hai đ ng th ng c t nhau n m trong m t ph ng kia . hai đ ặ ẳ Chú ý :S d ng tính ch t ử ụ
ấ
(P) .
ng th ng a song song v i m t ph ng
ớ
ẳ
ặ
ẳ
ứ
ể ư
ặ
c .
ộ
ẳ
ạ ớ
ệ ắ ở
ướ
ặ
ẳ
ộ
t di n c t b i m t m t ph ng song song v i m t m t ph ng cho tr ng pháp : ươ
ế ủ
ủ
ề
ế
ế
ị
ị ắ ở
ặ ặ
ằ ứ
ế
ộ
ặ t di n c a hình chóp c t b i m t m t
ử ụ
ườ
ế
ộ
ng pháp đã bi
c theo ph
ng s d ng đ nh lý này đ xác đ nh thi ặ
ệ ủ ươ
ắ ở t . ế
ể ẳ
ướ
ớ
ta có cách th 2 đ ch ngs minh đ ườ 2. Tìm giao tuy n c a hai m t ph ng (cách 2 / d ng 3) ẳ ế ủ Thi ế ặ Ph ươ ng c a giao tuy n c a hai m t ph ng b ng đ nh lý v giao tuy n :"N u hai - Tìm ph ẳ m t ph ng song song b c t b i m t m t ph ng th ba thì hai giao tuy n song song v i ớ ẳ ẳ ặ nhau " . - Ta th ị ị ph ng song song v i m t m t ph ng cho tr ộ ẳ - Chú ý : Nh tính ch t ấ ớ
ớ ẳ ặ ẳ
ặ ẳ ườ ứ
ng th ng vuông góc v i m t ph ng ng th ng vuông góc v i nhau ẳ ẳ ườ ườ
ng th ng a vuông góc v i m t ph ng (P) ẳ ớ ặ ẳ
ứ ẳ
ườ ắ ng th ng b vuông góc v i (P) . ng th ng c t nhau ch a trong (P). ẳ ớ
ớ
ườ ườ ng th ng vuông góc v i nhau . ứ ng th ng này vuông góc v i m t m t ph ng ch a ộ ặ ẳ ớ
V.Đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng. 1. Ch ng minh đ ớ Ch ng minh hai đ ứ ớ ng pháp : Ph ươ * Ch ng minh đ ứ ườ - Ch ng minh a vuông góc v i hai đ ứ ớ - Ch ng minh a song song v i đ ứ ớ ườ * Ch ng minh hai đ ứ ẳ - Ch ng minh hai đ ứ ẳ ng th ng kia . đ ẳ ườ
ụ ươ ườ ứ ng pháp ch ng
ẳ
t di n qua 1 đi m cho tr ng th ng y c t nhau thì có th áp d ng các ph ọ c và vuông góc v i m t đ ớ ệ ướ ộ ườ ng th ng cho ẳ
ớ ẳ ế
c . ẳ ể ướ ộ ườ t di n c a (S) v i m t ph ng (P) , (P) qua ặ ng th ng d cho tr ớ
ắ ẳ ệ ủ c và vuông góc v i m t đ ớ ng th ng c t nhau hay chéo nhau a,b cùng vuông góc v i d
c trình bày nh ng bài trên . ế ượ ở ữ
ươ ự
ớ ấ ệ ư ắ
ẳ ườ ng th ng qua M .
c xác đ nh b i hai đ ng th ng trên chính là (P) . ở ẳ ườ ự ườ ặ
t di n theo ph ẳ ng pháp đã h c . ế ườ ươ ị ệ ọ VI.Đ ng vuông góc và
ườ
ẳ ể ướ ẳ c và vuông góc v i m t ph ng ặ ớ
ng th ng qua m t đi m A cho tr ộ c .
m t đi m đ n m t m t ph ng ừ ộ ể ế ặ ẳ ộ
ươ ự ướ
ng th ng d, r i d ng m t ph ng (Q) qua A vuông ặ ẳ ẳ ọ
ễ ự ọ
ng th ng ẳ ườ ị
ạ
ng th ng qua A vuông góc v i (P) . i H ẳ ớ ườ ớ
A đ n (P) ế ừ ạ ả
c khi ch n d và d ng (Q) nên xét xem d và (Q) đã cío s n trên hình v ẽ ự ẵ ọ
ng th ng m vuông góc v i (P), khi đó ch c n d ng Ax // ỉ ầ ự ẵ ườ ẳ ớ
ng tròn
Đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng ch a đ ng tròn t i tâm ứ ườ ủ ườ ặ ẳ ạ ớ
ấ ủ
ng tròn đ ch ng minh đ ẳ ng th ng ể ứ ườ ặ m t đi m đ n m t m t ộ ế ừ ộ ụ ườ ả ể ớ
- Nêú hai đ ể ẳ ấ ắ minh vuông góc đã h c trong hình h c ph ng . ọ 2. Thi ể ế c . tr ướ Cho kh i đa di n (S) , ta tìm thi ệ ố đi m M cho tr ướ - N u có hai đ ườ ế thì : (P) // a (hay ch a a)ứ (P) // b (hay ch a b)ứ Ph t di n lo i này đã đ ng pháp tìm thi ạ - D ng m t ph ng (P) nh sau : ẳ ặ D ng hai đ ộ ng th ng c t nhau cùng vuông góc v i d , trong đó có ít nh t m t đ ẳ m t ph ng đ ượ Sau đó xác đ nh thi ị ng xiên. đ 1. D ng đ ườ ự (P) cho tr ướ Tính kho ng cách t ả Ph ng pháp : c sau : Th c hi n các b ệ *Ch n trong (P) m t đ ồ ự ộ ườ góc v i d (nên ch n d sao cho (Q) d d ng ). ớ *Xác đ nh đ * D ng AH vuông góc v i c t ự - Đ ng th ng AH là đ ườ ẳ - Đ dài c a đo n AH là kho ng cách t ủ ộ Chú ý : - Tr ướ ch a.ư - N u đã có s n đ ế m thì - N u AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P)) ế - N u AB c t (P) t i I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB ế ạ ắ 2. ng d ng c a tr c đ ụ ườ ụ Ứ Đ nh nghĩa : ẳ ị ng tròn đó . c a đ ủ ườ Ta có th dùngn tính ch t c a tr c đ ể vuông góc v i m t ph ng và tính kho ng cách t ẳ ặ ph ng .ẳ
ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và M là m t đi m cách ộ ế ườ
ề ườ ạ ế ẳ
ớ ụ ủ ườ ẳ
ể
ể
ng tròn qua ba đi m A,B,C i tâm O c a đ ẳ ể ủ ươ
ộ ể ế ủ ộ ườ
ợ ộ ố ị ng g p bài toán : Tìm t p h p hình chi u vuông góc M c a đi m c ợ ể ẳ ủ ng th ng di đ ng ố
ế ng th ng d di đ ng trong m t ph ng (P) c đ nh và luôn đi qua ẳ ặ ẳ ậ ộ ố ị
ng vuông góc ta có ng tròn đ ng kính OH ặ , theo đ nh lý ba đ ườ ị nên M thu c đ ộ ườ ườ
ứ
ố ị ế ể ặ ẳ ợ ộ
ườ ặ ậ ợ
ng g p bài toán : Tìm t p h p hình chi u vuông góc H c a m t đi m ể ng th ng d c đ nh . ộ ố ị ộ ườ ủ ẳ ế ứ ặ ẳ ộ
ng pháp : ẳ ặ ớ
ế ủ ể ế
nên H ể ặ ẳ
ng tròn đ
ữ ươ ẳ
ươ
- N u O là tâm đ ể ng th ng MO là tr c c a đ đ u 3 đi m A,B,C thì đ ng tròn ngo i ti p tam ạ ế ể giác ABC; khi đó MO vuông góc v i m t ph ng (ABC) và MO = d(M,(ABC)) ặ ẳ - N u MA=MB=MC và NA=NB=NC trong đó A,B,C là ba đi m không th ng ế ng th ng MN là tr c đ hàng thì đ ng tròn qua ba đi m A,B,C; khi đó MN ẳ ụ ườ ườ vuông góc v i m t ph ng (ABC) t ạ ặ ớ . 3. T p h p hình chi u c a m t đi m c đ nh trên m t đ ậ Ta th ặ ườ đ nh A trên đ ườ ị đi m c đ nh O . ể ố ị Ph ng pháp : ươ - D ng ự - Trong m t ph ng (P), ẳ ch a trong (P) . 4. Tìm t p h p hình chi u vuông góc c a m t đi m c đ nh trên m t ph ng di ủ ậ đ ng . ộ Ta th c d nh A trên m t ph ng (P) di đ ng luôn ch a m t đ ố ị Ph ươ - Tìm m t ph ng (Q) qua A vuông góc v i d - Tìm - Chi u vuông góc A lên c, đi m chi u là H thì H cũng là hình chi u c a A trên ế (P) . G i E là giao đi m c a d v i (Q). Trong m t ph ng (Q), ớ ọ ủ ng kính AE . thu c đ ươ ộ ườ 5. Góc gi a đ ng th ng và m t ph ng ẳ ặ Cách xác đ nh góc gi a a và (P) . ị ữ ng pháp : Ph - Tìm giao đi m O c a a v i (P) ể - Ch n đi m ớ ủ và d ng ự ể ọ
ặ
ị ệ ữ
ẳ ế ố ủ ặ ẵ ư ị
ế i đây . ng pháp d ẳ i các bài toán liên quan đ n s đo nh di n hay góc gi a hai m t ph ng ng xác đ nh góc ph ng c a nh di n. N u góc này ch a có s n trên ị ệ ườ ướ ươ
ng pháp : ươ
ị ệ ứ ặ ạ ẳ
khi đó VII. M t ph ng vuông góc ẳ ặ 1. Nh di n góc gi a hai m t ph ng ữ ị ệ Khi gi ả thì ta th ẳ hình ta có th d ng nó theo ph ể ự Ph - Tìm c nh c c a nh di n (giao tuy n c a hai m t ph ng (P) và (Q) ch a hai ế ủ m t c a nh di n ) ủ ị ệ ặ ủ
ộ ạ ự ở trên hai m t c a nh di n và ặ ủ ị ệ
ị ệ ớ ộ
- D ng m t đo n th ng AB có hai đ u mút ầ ẳ vuông góc v i m t m t c a nh di n . ặ ủ - Chi u vuông góc A ( hay B ) trên c thành H . ta đ là góc ph ng c a nh di n . ế c ượ ị ệ ủ ẳ
ặ ủ ắ
ng th ng d c t hai m t c a nh di n t ẳ ị ệ ẳ
t vuông góc v i hai m t ph ng (P), (Q) thì Chú ý : i A, B và vuông - N u đã có m t đ ị ệ ạ ộ ườ ế góc v i c nh c c a nh di n thì ta có th d ng góc ph ng c a nh di n đó nh ư ể ự ớ ạ ị ệ ủ ủ sau ; Chi u vuông góc A ( hay B hay m t đi m trên AB ) trên c thành H . Khi ế ể ộ là góc ph ng c a nh di n . đó ị ệ ủ ng th ng a , b l n l - N u hai đ ầ ượ ẳ ẳ ườ ế ặ ẳ ớ
ế ị ệ ầ ượ
ứ ể ủ t ch a hai tam giác cân MAB và NAB có ị ệ ( I là trung đi m c a AB ) là góc ph ng c a nh di n ủ ẳ
ị ệ ủ ặ ị
ặ ng pháp : ươ
. - N u hai m t c a nh di n l n l ặ ủ chung đáy AB thì đó . 2. M t phân giác c a nh di n , cách xác đ nh m t phân giác . Ph C1 :
. ộ ị ệ
là m t qua c nh c c a nh di n và ạ ặ ặ ủ ẳ ủ ị ệ
ị ệ ẳ
. ộ ể ị ệ
ạ ủ ủ ị ệ
ẳ ặ ặ
ng th ng vuông góc v i m t ph ng . ẳ ặ ẳ ứ ườ
ẳ
ứ ng pháp : ươ ứ ớ ng th ng vuông góc v i ộ ườ ứ ẳ ẳ
ặ
ứ ữ ẳ ằ
ườ ứ ẳ ớ
ng th ng c t nhau ch a trong ặ ố ng th ng vuông góc v i m t ph ng ẳ . ẳ ớ ặ ườ ứ ứ ắ
ng th ng b vuông góc v i (P) . ớ
ớ ườ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC v i A, B, ẳ ạ ế ụ ườ ứ ứ ớ
ử ụ ế ặ ẳ ộ ị
- Tìm m t góc ph ng c a nh di n ủ - M t phân giác c a nh di n phân giác Ot c a góc ph ng xOy . ủ C2 : - Tìm m t đi m A cách đ u hai m t c a nh di n ặ ủ ề - M t phân giác c a nh di n trên là m t qua A và c nh c c a nh di n . ặ ị ệ 3. M t ph ng vuông góc Ch ng minh đ ớ * Ch ng minh hai m t ph ng vuông góc . ặ Ph - Cách 1 : Ch ng minh m t ph ng này ch a m t đ ặ m t ph ng kia . ẳ - Cách 2 : ch ng minh góc gi a hai m t ph ng có s đo b ng 90 . * Ch ng minh đ - Cách 1 : Ch ng minh a vuông góc v i hai đ (P) . - Cách 2 : Ch ng minh a song song v i đ - Cách 3 : Ch ng minh a là tr c đ C thu c (P) . ộ - Cách 4 : S d ng đ nh lý : " N u a ch a trong m t m t ph ng (Q) vuông góc ứ v i (P) và a vuông góc v i giao tuy n c a (P) và (Q) thì a vuông góc v i (P) " . ế ủ ớ ớ ớ
ẳ ặ ế ế ủ
ử ụ ớ
ứ ộ ườ ộ ng th ng và vuông góc v i m t ớ
ng th ng a không vuông góc v i (P) . Xác ẳ t di n . ệ c m t ph ng (P) và đ ẳ ườ ẳ ớ
ớ
ươ ừ ộ ể ẳ ớ
- Cách 5 : S d ng đ nh lý : " N u a là giao tuy n c a hai m t ph ng cùng ị vuông góc v i (P) thì a vuông góc v i (P) " . ớ 4. Xác đ nh m t ph ng ch a m t đ ẳ ặ ị m tph ng . Thi ế ẳ ặ Cho tr ặ ướ đ nh m t ph ng (Q) ch a a và vuông góc v i (P) . ặ ứ ẳ ị ng pháp : Ph - T m t đi m trên a d ng b vuông góc v i (P) thì (Q) là m t ph ng (a, b) . Chú ý : N u có đ thì (Q) // d hay (Q) ch a d . ự ng th ng ẳ ặ ứ ườ ế
