Luận án Tiến sĩ Toán học: Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------------------

Nguyễn Mạnh Cường

XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG

PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHÔNG THÍCH NGHI TRONG

KHÔNG GIAN BESOV

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2020

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------------------

Nguyễn Mạnh Cường

XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG

PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHÔNG THÍCH NGHI TRONG

KHÔNG GIAN BESOV

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9460101.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS.TSKH. Đinh Dũng 2. TS. Mai Xuân Thảo

HÀ NỘI - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng

dẫn của tập thể cán bộ hướng dẫn. Các số liệu và kết quả là trung thực và chưa

từng được ai công bố trong bất kì một công trình nào khác.

Hà Nội, ngày tháng 9 năm 2020

Tác giả luận án

Nguyễn Mạnh Cường

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại

học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Đinh Dũng và

TS. Mai Xuân Thảo. Trước tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới

GS.TSKH Đinh Dũng và TS. Mai Xuân Thảo, các thầy đã đặt bài toán, giúp đỡ,

chỉ bảo tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận án.

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Tự

nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phòng Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học

và tập thể các thầy cô giáo tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc

gia Hà Nội, đặc biệt tại bộ môn Giải tích đã luôn quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện

thuận lợi và có những ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong quá trình học

tập và nghiên cứu. Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo Trường Đại học

Hồng Đức, các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ở Bộ môn Giải tích-Khoa

Khoa học Tự nhiên đã luôn động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập,

nghiên cứu.

Xin chân thành cám ơn PGS.TS. Ninh Văn Thu, TS. Lê Huy Chuẩn, TS. Vũ

Nhật Huy, PGS.TS. Đỗ Đức Thuận ..., các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đã góp

nhiều ý kiến quý báu trong thời gian tác giả tham dự Xêmina tại bộ môn Giải

tích, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Xin cảm ơn tập

thể cán bộ Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán đã tạo điều kiện để tác giả làm việc

cùng GS.TSKH Đinh Dũng trong thời gian GS.TSKH Đinh Dũng làm việc tại đây.

Cuối cùng, xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh và gia đình, bạn bè đã chia sẻ,

động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.

MỤC LỤC

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn

Mục lục 1

Các ký hiệu 3

Mở đầu 5

. . . . . . . . . . . . . .

Chương 1. CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU . . . . Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu . . . . . . 1.1 Không gian Besov . . . 1.2 1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu . . 1.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . 13 . 16 . 29 . 35

Chương 2. KHÔI PHỤC HÀM SỐ KHÔNG TUẦN HOÀN

. . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

CÓ ĐỘ TRƠN ĐẲNG HƯỚNG . . 2.1 Các đại lượng xấp xỉ và khôi phục hàm số . 2.2 Khôi phục hàm số bằng phương pháp tuyến tính . . 2.3 Khôi phục hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp thích nghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 . 37 . 40 45 2.3.1 Định nghĩa . . . 45 . 2.3.2 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi . 46 . 58 . 2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3. KHÔI PHỤC VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ TUẦN HOÀN

CÓ ĐỘ TRƠN HỖN HỢP 3.1 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp phi tuyến trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 không gian Ba p,θ

. . . . . . . . . . 69

. . 3.2 Xấp xỉ và khôi phục hàm số trong không gian BA p,θ . . . 3.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Kết luận và kiến nghị 83

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 84

Tài liệu tham khảo 85

CÁC KÝ HIỆU

ánh xạ từ X vào Y

F : X → Y R tập số thực

Id không gian Euclide d−chiều [0, 1]d

hình xuyến d chiều

Td := [0, 2π]d Z tập số nguyên

chuẩn của véc tơ x

(cid:107)x(cid:107) (cid:107)x(cid:107)X ∅

chuẩn của véc tơ x trong không gian X

tập rỗng

x ∈ A phần tử x thuộc tập A

x /∈ A phần tử x không thuộc tập A

A ⊂ B(B ⊃ A) tập A là con của tập B

A ∩ B giao của hai tập A và B

A ∪ B hợp của hai tập A và B

A \ B hiệu của tập A và tập B

|A|

A × B tích Descartes của hai tập A và B

lực lượng của tập hữu hạn A

mặt cầu đơn vị trong không gian X

không gian tuyến tính sinh bởi tập A

dãy số xn

i=1 αi

giá của hàm ϕ

một đa chỉ số đơn thức cấp |α| := ∑N không gian các hàm p−khả tích trên tập D

| f (x)|

SX span(A) {xn} supp(ϕ) α := (α1, α2, ..., αN) xα := xα1 2 ...xαN 1 xα2 N Lp(D), 0 < p < ∞ L∞(D) không gian các hàm f với chuẩn sup x∈D

C(A) không gian các hàm liên tục trên tập A

∃x

A := B A được định nghĩa bằng B

tồn tại x

(a, x)

∀x |x|1 := ∑d i=1 xi S(A, x) := sup a∈A

với mọi x chuẩn l1 của véc tơ x = (x1, x2, ..., xd) hàm giá của A

Ao +

+ : (a, x) ≤ 1, a ∈ A} +}

α := α(A)

+ : |x|1 = 1/α}

(x, y) An( f ) (cid:28) Bn( f ) An( f ) (cid:29) Bn( f ) An( f ) (cid:16) Bn( f )

s := s(A) tập hợp {x ∈ Rd 1/α := sup{|x|1 : x ∈ Ao số chiều của tập hợp {x ∈ Ao

tích vô hướng của hai véc tơ x và y ∃C > 0 độc lập với n thỏa mãn An( f ) ≤ C.Bn( f ) ∃C > 0 độc lập với n thỏa mãn An( f ) ≥ C.Bn( f ) An( f ) (cid:28) Bn( f ) và An( f ) (cid:29) Bn( f )

trang 5

tr. 5 (cid:50) kết thúc chứng minh

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán học

được ứng dụng một cách triệt để và có hiệu quả vào trong lĩnh vực xử lý tín hiệu,

xử lý ảnh và thị giác máy tính. Bài toán khôi phục tín hiệu (hàm số) là một bài

toán hết sức quan trọng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thực

tế không có một loại máy nào có thể cho ta thông tin chính xác của tín hiệu.

Bài toán khôi phục tín hiệu từ giá trị lấy mẫu có nguồn gốc từ Định lý Shannon-

Kotelnikov nổi tiếng, về khôi phục tín hiệu có giải tần hữu hạn từ giá trị lấy mẫu.

Một trong những vấn đề nền tảng được đặt ra là tìm phương pháp tối ưu để khôi

phục tín hiệu hoặc nén tín hiệu từ một số hữu hạn giá trị lấy mẫu. Lý thuyết sóng

nhỏ được hình thành và phát triển trong những năm 90 của thế kỷ trước, là một

trong những công cụ biểu diễn hiệu quả nhất trong xử lý tín hiệu, đặc biệt là

trong bài toán khôi phục hoặc nén tín hiệu từ giá trị lấy mẫu. Trong các bài toán

xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính, tín hiệu được mô hình hóa như một

hàm số một biến hoặc nhiều biến.

Trước tiên chúng ta xét một số bài toán truyền thống về khôi phục hàm số từ

giá trị lấy mẫu: Vấn đề đặt ra là chúng ta cần khôi phục gần đúng tín hiệu nhiều

chiều f từ n giá trị lấy mẫu. Trên cơ sở thông tin này chúng ta xây dựng một

phương pháp để khôi phục. Trong các cách tiếp cận truyền thống thông tin về

giá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số, nghĩa

là các điểm lấy mẫu và phương pháp khôi phục tín hiệu được chọn giống nhau

cho mọi tín hiệu. Các phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số từ

giá trị lấy mẫu tối ưu được nghiên cứu trong các công trình [9–11,27,28,32,36] do

các tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Tổng hợp South Carolina-Hoa

Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena-CHLB Đức,. . . Các tác giả của các công trình này đã

tính được tốc độ hội tụ của các đại lượng đặc trưng cho các phương pháp khôi

phục không thích nghi với hàm từ giá trị lấy mẫu tối ưu. Tuy nhiên, trong nhiều

trường hợp các phương pháp khôi phục không thích nghi không mềm dẻo linh

hoạt vì dáng điệu của các tín hiệu rất khác nhau.

Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu các phương pháp khôi phục tuyến tính không

thích nghi từ giá trị lấy mẫu và một cách tiếp cận mới cho bài toán khôi phục tín

hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu

và phương pháp khôi phục phải thích nghi với tín hiệu. Cách tiếp cận này do

Giáo sư Đinh Dũng đề xuất và nghiên cứu [15, 16] có ý nghĩa quan trọng trong

nén và lưu trữ tín hiệu. Cụ thể là các điểm lấy giá trị thử và phương pháp khôi

phục tín hiệu được chọn sao cho chúng thích nghi với từng tín hiệu. Đề tài sẽ

tập trung nghiên cứu các phương pháp khôi phục thích nghi với tín hiệu từ giá

trị lấy mẫu tối ưu bằng các tín hiệu đơn giản từ các tập hợp có dung lượng hữu

hạn được đo bằng số các phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension) của chúng,

hoặc bằng các tín hiệu đơn giản là tổ hợp tuyến tính của n số hạng từ một từ

điển. Giả chiều (pseudo-dimension) [15, 29] đóng một vai trò quan trọng trong

Lý thuyết nhận dạng, đánh giá hồi quy và Lý thuyết học máy [15, 30]. Luận án

nghiên cứu các đại lượng đặc trưng cho phương pháp khôi phục tối ưu có liên

quan đến (cid:101)-entropy [24], độ dày phi tuyến [36] và xấp xỉ bằng n số hạng [6].

Ngoài ra đề tài luận án cũng nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ và khôi phục

không thích nghi tốt nhất, đó là phương pháp tuyến tính. Để xây dựng phương

pháp khôi phục thích nghi và không thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối

ưu, chúng tôi xây dựng các biểu diễn B-spline giả nội suy và biểu diễn lượng giác

của hàm số qua giá trị lấy mẫu. Một biểu diễn hàm số như vậy sẽ được xây dựng

dựa trên cơ sở toán tử giả nội suy [2, 4, 7] bằng B-spline và nhân lượng giác de la

Vallée Poussin. Các phương pháp khôi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấy

mẫu tối ưu sẽ cho bậc tiệm cận của sai số xấp xỉ tốt hơn các phương pháp khôi

phục không thích nghi đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, độ phức tạp tính toán của

phương pháp thích nghi đôi khi lớn hơn các phương pháp không thích nghi, đặc

biệt là các phương pháp tuyến tính.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của Luận án là nghiên cứu một số vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm

số trong không gian Besov bằng phương pháp khôi phục thích nghi và không

thích nghi với hàm số, các phương pháp tuyến tính và phi tuyến.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu. Đề tài Luận án tập trung nghiên cứu khôi phục

và xấp xỉ hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu bằng các phương pháp thích nghi và

không thích nghi, cụ thể:

- Nghiên cứu các đại lượng đặc trưng cho các phương pháp khôi phục thích

nghi và không thích nghi tốt nhất với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu.

- Nghiên cứu các thuật toán (phương pháp) khôi phục thích nghi và không

thích nghi với hàm số thuộc không gian Besov từ giá trị lấy mẫu tối ưu, nghiên

cứu tốc độ hội tụ của thuật toán và tính ưu việt của chúng so với các phương

pháp khôi phục không thich nghi truyền thống.

- Nghiên cứu các biểu diễn lượng giác và B-spline giả nội suy và biểu diễn

lượng giác của hàm số một biến và nhiều biến thuộc không gian Besov và ứng

dụng trong việc xây dựng các thuật toán (phương pháp) khôi phục thích nghi và

không thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu.

- Nghiên cứu biểu diễn thuật toán tham lam của hàm số một biến và nhiều

biến và các bài toán xấp xỉ phi tuyến và tuyến tính có liên quan.

3.2. Phạm vi nghiên cứu. Luận án tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:

Khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc các không gian Besov bằng phương pháp

khôi phục thích nghi, phương pháp phi tuyến, phương pháp tuyến tính.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các vấn đề nghiên cứu của Luận án về khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu

bằng phương pháp không thích nghi và thích nghi là các hướng nghiên cứu mới,

sử dụng phương pháp mới trong lý thuyết xấp xỉ và ứng dụng. Kết quả của Luận

án là một đóng góp mới cho hướng nghiên cứu này. Vì thế đề tài Luận án có ý

nghĩa khoa học, được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm.

Đề tài Luận án có ý nghĩa thực tiễn trong ứng dụng các vấn đề xử lý tín hiệu, xử

lý ảnh, thị giác máy tính.

5. Tổng quan

Như phần đặt vấn đề đã nêu, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán học

được ứng dụng rất nhiều trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy

tính. Bài toán khôi phục tín hiệu và loại nhiễu là một bài toán hết sức quan trọng

trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thực tế không có một loại máy

nào có thể cho ta thông tin chính xác của tín hiệu, cũng như nhiễu luôn xuất hiện

trong quá trình truyền tải, số hóa, nhiễu xuất hiện do điều kiện tự nhiên. Sự phụ

thuộc của chất lượng tín hiệu và ảnh vào công nghệ xử lý thông tin đòi hỏi phải

phát triển rất mạnh và có hiệu quả các thuật toán xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và

ứng dụng của chúng. Biểu diễn một cách hiệu quả tín hiệu là vấn đề trọng tâm

của nhiều bài toán xử lý tín hiệu, xử lý ảnh như khôi phục, nén, khử nhiễu. Việc

tìm kiếm các công cụ toán học cho các vấn đề xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, thị giác

máy tính đóng vai trò nền tảng. Vấn đề này được nhiều nhà toán học trên thế

giới nghiên cứu, dựa trên các tính chất của tín hiệu thì tín hiệu được mô hình hóa

như một hàm số thuộc các không gian hàm Sobolev, Besov, H ¨older-Nikol’skii...,

khi đó việc khôi phục tín hiệu được đưa về khôi phục và xấp xỉ hàm số trong các

không gian hàm. Một trong những không gian thuận tiện cho việc khôi phục và

xấp xỉ hàm số là không gian Besov. Độ trơn Besov của hàm số là một trong những

độ trơn quan trọng phổ biến và được sử dụng rất nhiều trong các bài toán khôi

phục và xấp xỉ, khi hàm số có độ trơn càng cao thì tốc độ xấp xỉ cũng càng cao.

Khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu là một trong những bài toán cơ bản

của lý thuyết xấp xỉ, được nhiều nhà toán học quan tâm vì ý nghĩa lý thuyết cũng

như ứng dụng của nó. Bài toán tổng quát được phát biểu như sau: Giả sử f là một hàm xác định trên miền D trong không gian Rd và chúng ta biết được giá trị

của hàm số này tại n điểm thuộc D. Các vấn đề được đặt ra là xây dựng phương

pháp khôi phục f dựa trên thông tin n giá trị này của hàm số, đánh giá tốc độ

hội tụ của phương pháp theo n, nghiên cứu tính tối ưu của phương pháp. Đề

tài Luận án nghiên cứu các vấn đề này của bài toán khôi phục hàm số, cụ thể là

nghiên cứu các phương pháp không thích nghi (tuyến tính) và các phương pháp

thích nghi để khôi phục hàm số thuộc không gian Besov có độ trơn đẳng hướng

và hỗn hợp, đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp và nghiên cứu tính tối ưu

của phương pháp theo các đại lượng đặc trưng. Khôi phục hàm số từ giá trị lấy

mẫu bằng phương pháp tuyến tính là cách tiếp cận truyền thống được nhiều nhà

toán học nghiên cứu, tuy nhiên cho đến nay nó vẫn không mất tính thời sự vì có

nhiều ứng dụng. Trong một số trường hợp, phương pháp này không mềm dẻo

do các điểm lấy mẫu và phương pháp khôi phục được chọn giống nhau cho mọi

hàm số, dẫn đến sai số xấp xỉ của phương pháp không tốt. Khi đó các phương

pháp thích nghi phi tuyến được xây dựng cho từng hàm số có ưu thế hơn, đặc

biệt trong các bài toán nén và lưu trữ tín hiệu. Chính vì thế mà nội dung nghiên

cứu cũng như các kết quả dự kiến của Luận án có khả năng ứng dụng trong các

lĩnh vực thực tế nêu trên.

Những điều nêu trên dẫn đến bài toán khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc

các không gian khác nhau, điển hình là các không gian Sobolev, Besov, H ¨older-

Nikol’skii...Cần chú ý rằng bài toán khôi phục và xấp xỉ là bài toán gồm các bước

liên tiếp nhau, trước hết là khôi phục một hàm số dựa trên các giá trị lấy mẫu, sau

đó là xấp xỉ hàm số đó từ phương pháp khôi phục. Các nhà toán học Vladimir

p bằng phương pháp khôi phục không thích nghi, đánh giá tiệm cận sai số của phương pháp trong các trường hợp đặc biệt (xem [20, Chương 5]).

N. Temlyakov, Tino Ullrich nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc không gian Sobolev Wr

Trong [33,35], nhà toán học Vladimir N. Temlyakov nghiên cứu khôi phục hàm số

trong không gian Sobolev cho lớp hàm số tuần hoàn. Ngoài ra trong [21, 22], nhà

p. GS. Đinh Dũng nghiên cứu bài toán khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn với độ trơn không đẳng hướng thuộc không gian Sobolev Wr

p bằng phương pháp tuyến tính trên lưới Smolyak (xem [19]). Cụ thể, Giáo sư đã xây dựng phương pháp tuyến tính và ước lượng được sai số của phương pháp

toán học E. M. Galeev đã nghiên cứu khôi phục hàm số cho lớp hàm thuộc không gian H ¨older-Nikol’skii Hr

qua đại lượng đặc trưng cho lớp hàm số nêu trên. So với các không gian khác thì

không gian Besov thuận tiện cho biểu diễn qua giá trị thử và thích hợp cho xấp

xỉ và khôi phục thích nghi. Vì vậy trong Luận án này chúng ta nghiên cứu khôi

phục và xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov. Khi đó dựa trên thông tin về giá

trị lấy mẫu, một tín hiệu được mô hình hóa như một hàm số thỏa mãn một số

tính chất thuộc không gian Besov.

Luận án nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng các phương pháp

không thích nghi và thích nghi, nhìn chung phương pháp thích nghi cho ta sai số

xấp xỉ là tốt hơn phương pháp không thích nghi nhưng độ phức tạp trong tính

toán thì lớn hơn. Chẳng hạn, từ các Định lý 2.1, 2.5 và 2.6 của Chương 2 chúng

ta nhận thấy khi p < q thì phương pháp thích nghi cho sai số tốt hơn phương

pháp không thích nghi (phương pháp tuyến tính). Ngược lại với p ≥ q thì sai số

của phương pháp thích nghi và phương pháp không thích nghi là như nhau và

do đó trong trường hợp này phương pháp không thích nghi lại có ưu điểm hơn

phương pháp thích nghi vì độ phức tạp trong tính toán đơn giản hơn.

Đầu tiên, Luận án nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ lớp hàm số không tuần

hoàn thuộc không gian Besov có độ trơn đẳng hướng bằng phương pháp thích

nghi và không thích nghi (phương pháp tuyến tính). Khôi phục và xấp xỉ hàm số

bằng phương pháp tuyến tính đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và đã có

nhiều công trình được công bố. Trong [14] các tác giả đã nghiên cứu khôi phục

p,θ với modul trơn đẳng hướng, các tác giả đã xây dựng được phương pháp tuyến tính và đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp đó.

và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến tính cho lớp hàm số tuần hoàn thuộc không gian Besov Bω

Trong [17, 18] GS.TSKH Đinh Dũng đã nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số

p,θ và Bα,β

p,θ với modul trơn không đẳng hướng, Giáo sư đã xây dựng các phương pháp tuyến tính và đánh giá tiệm cận tốc độ hội tụ của phương pháp.

cho lớp hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp tuyến tính trong các không gian Besov Bα

Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số

Ω p,θ với modul trơn đẳng hướng, chúng tôi xây dựng được phương pháp tuyến tính qua

không tuần hoàn bằng phương pháp tuyến tính trong không gian Besov B

các B-spline và đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ của phương pháp. Chúng ta

nhận thấy rằng kết quả này là mở rộng các kết quả trong [17, 18], đây là kết quả

mới của luận án đã được đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica (xem

[CT2]).

Trong [15, 16], GS.TSKH Đinh Dũng đã xây dựng và đánh giá sự hội tụ của

p,θ bằng lực lượng hoặc giả chiều của một tập hợp hữu hạn. Một trong những kết quả của luận án là tổng quát và mở rộng kết quả này cho lớp

phương pháp khôi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu cho hàm số thuộc không gian Besov Bα

Ω p,θ với modul trơn đẳng hướng. Ở đây, chúng tôi xây dựng các phương pháp khôi phục thích nghi dựa trên thuật

hàm số một biến thuộc không gian Besov-type B

toán lấy trội n phần tử lớn nhất gọi là thuật toán tham lam. Vấn đề đặt ra tiếp

theo đối với hàm số nhiều biến, để giải quyết vấn đề này chúng tôi mở rộng và

chứng minh định lý biểu diễn trong [18] cho lớp hàm nhiều biến không tuần hoàn có độ trơn đẳng hướng xác định trên Id := [0, 1]d thuộc không gian Besov

Ω

p,θ, 0 < p, θ ≤ ∞, qua đó chúng tôi tổng quát và mở rộng kết quả trên cho trường hợp nhiều biến. Mặt khác, nhờ định lý biểu diễn B-spline giả nội suy

chúng tôi xây dựng và đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp tuyến tính để khôi

Ω p,θ với modul trơn đẳng hướng, đây

phục xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov B

cũng là một trong những kết quả chính của luận án.

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu về khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn

có độ trơn hỗn hợp bằng phương pháp phi tuyến. Phương pháp phi tuyến có thể

không thích nghi, nhưng trong luận án này chúng ta chỉ nghiên cứu phương pháp

phi tuyến thích nghi. Khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp phi tuyến

được nhiều nhà toán học nghiên cứu, chúng ta sẽ nghiên cứu sai số của phương

pháp phi tuyến qua các đại lượng đặc trưng entropy (cid:101)n và độ dày phi tuyến ρn.

Nhà toán học V. N. Temlyakov đã có những công trình nghiên cứu về đại lượng

entropy (cid:101)n(xem [34,37]). Trong [15], GS.TSKH Đinh Dũng đã nghiên cứu phương

p,θ với modul trơn đẳng hướng. Trong [13], p,θ với modul trơn hỗn hợp không đẳng hướng. Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên

pháp phi tuyến cho bài toán khôi phục và xấp xỉ hàm số không tuần hoàn bằng B-spline trong không gian Besov Bα Giáo sư nghiên cứu cho lớp hàm số tuần hoàn trong không gian Besov Br

p,θ với modul trơn +. Chúng tôi đạt được các kết quả +, cụ thể đó là xây dựng được phương pháp phi tuyến để khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn p,θ, 0 < p, θ ≤ ∞ bởi lực lượng hoặc giả chiều của một trong không gian Besov BA tập hợp hữu hạn, đánh giá được sai số, tốc độ hội tụ thông qua các đại lượng đặc

cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn bằng phương pháp phi tuyến cho lớp hàm số xác định trên Td := [0, 2π]d thuộc không gian Besov BA hỗn hợp, trong đó A là tập con hữu hạn của Rd mới cho trường hợp A = {a} và A là tập con hữu hạn bất kỳ của Rd

trưng.

Ngoài phần Mở đầu, luận án gồm 3 chương, Kết luận và kiến nghị, Danh mục

công trình của tác giả liên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo.

Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến luận

án. Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suy

qua giá trị lấy mẫu và Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác.

Chương 2: Nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số không tuần hoàn có độ

trơn đẳng hướng.

Chương 3: Nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn có độ

trơn hỗn hợp.

Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại:

- Xêmina tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa

học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

- Xêmina tại phòng thư viện, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán.

- Xêmina tại Bộ môn Toán giải tích, Khoa KHTN, Trường ĐH Hồng Đức.

Các kết quả chính của luận án đã được đăng trong 04 bài báo trên các tạp chí

Acta Mathematica Vietnamica , Journal of Computer Science and Cybernetics, Southeast

Asian Bulletin of Mathematics.

Chương 1

CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU

Chương này trình bày những kết quả mới của luận án, đó là các định lý biểu

diễn qua giá trị lấy mẫu một hàm số thuộc không gian Besov thành chuỗi bởi các

B-spline và đa thức lượng giác và chứng minh các tương đương chuẩn. Đây là cơ

sở để chúng ta xây dựng được phương pháp khôi phục và xấp xỉ hàm số, đánh

giá tiệm cận sai số của phương pháp đó qua các đại lượng đặc trưng ở các chương

tiếp theo. Trong Mục 1.1, chúng tôi trình bày các khái niệm về không gian Besov

của lớp các hàm số có độ trơn đẳng hướng và độ trơn hỗn hợp. Trong Mục 1.2,

chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn giả nội suy bởi các B-spline

cho lớp các hàm số không tuần hoàn có độ trơn đẳng hướng, đây là một phần

của bài báo [CT2] được công bố trên tạp chí Acta Math. Vietnamica. Trong Mục 1.3

chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn tương đương chuẩn bởi các

đa thức lượng giác cho lớp các hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗn hợp, trình bày

trên cơ sở bài báo [CT4] được chấp nhận đăng trên tạp chí Southeast Asian Bulletin

of Mathematics.

1.1 Không gian Besov

Cho 0 < p ≤ ∞ và D là một miền nào đó trong Rd. Để đơn giản ta ký hiệu

chuẩn trong Lp(D) là (cid:107).(cid:107)p,D.

(−1)l−j

h f (x) :=

l ∑ j=0

Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ Lp(Id) và l ∈ N. Toán tử sai phân cấp l được định nghĩa bởi (cid:19) ∆l f (x + jh). (cid:18)l j

Định nghĩa 1.2. Nếu f ∈ Lp(Id) thì

(cid:13) (cid:13)∆l h f (cid:13) (cid:13)p,Id(lh) ωl( f , t)p := sup |h|

(cid:110) được gọi là modul trơn cấp l của f , ở đây Id(lh) := x : x, x + lh ∈ Id(cid:111) .

Các Định nghĩa 1.1, 1.2 có thể xem trong [5]. Cho hàm số Ω : R+ → R+ thỏa mãn các điều kiện

(i) Ω(t) > 0, ∀t > 0,

(ii) Ω(t) ≤ c.Ω(t(cid:48)), ∀t, t(cid:48) ∈ R+, t ≤ t(cid:48),

(iii) ∀γ ≥ 1, ∃C(cid:48) = C(cid:48)(γ) sao cho Ω(γt) ≤ C(cid:48).Ω(t), t ∈ R+.

Chú ý rằng điều kiện (iii) chỉ cần thỏa mãn với một số γ > 1 cố định (chẳng hạn

Ω p,θ được định nghĩa là

γ = 2).

Định nghĩa 1.3. Cho 0 < p, θ ≤ ∞. Không gian Besov B tập hợp các hàm f ∈ Lp(Id) sao cho chuẩn Besov sau là hữu hạn

Ω p,θ

, (cid:13) (cid:13) f := (cid:107) f (cid:107)p + | f |B (cid:13) (cid:13)B

Ω p,θ

là nửa chuẩn Besov, xác định bởi ở đây | f |B

 (cid:32) (cid:33) 1 θ

θ < ∞ (cid:8)ωl( f , t)p (cid:14)Ω(t)(cid:9)θ dt t

(cid:82) I

| f |B

Ω p,θ

(cid:14)Ω(t)(cid:9) θ = ∞. (cid:8)ωl( f , t)p   sup t∈I

Trong Định nghĩa 1.2 thì modul trơn cấp l là hàm một biến với t nên gọi là

Ω p,θ gọi là không gian các hàm

modul trơn đẳng hướng, vì vậy không gian Besov B

Ω p,θ là hình cầu đơn vị của không gian B

Ω p,θ.

số có độ trơn đẳng hướng. Kí hiệu U

Định nghĩa 1.4. Hàm số tuần hoàn trên Rd có chu kỳ 2π theo từng biến được định nghĩa như hàm số trên hình xuyến d chiều Td := [0, 2π]d với các điểm mút

đồng nhất.

h và được xác định bởi

Định nghĩa 1.5. Cho f là một hàm số tuần hoàn thuộc không gian Lq(Td), e là tập con bất kỳ của [d] := {1, 2, . . . , d}, toán tử sai phân bậc (l, e) của hàm số nhiều biến xác định trên Td kí hiệu là ∆l,e

h := ∏ ∆l,e

h = I,

i∈e

, ∆l,Ø ∆l hi

là toán tử sai phân tương ứng với hàm số khi xem f là hàm số ở đây toán tử ∆l hi

một biến của biến xi với các biến còn lại cố định. Đặt

l ( f , t)p := sup

|hi|

ωe (cid:13) (cid:13)∆l,e h f (cid:13) (cid:13)p, t ∈ Td,

l ( f , t)p = (cid:107) f (cid:107)p.

là modun trơn hỗn hợp bậc (l, e) của f . Đặc biệt, ωØ

+. Chúng ta xây dựng

Cho 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < θ ≤ ∞, a = (a1, a2, . . . , ad) ∈ Rd

p,θ

của hàm số f ∈ Lp(Td) như sau: nửa chuẩn | f |Ba,e

(cid:82)

−ai i ωe

l ( f , t)p

 (cid:33)1/θ (cid:32) (cid:27)θ (cid:26) t , θ < ∞, t−1 i dt ∏ i∈e ∏ i∈e

Td

| f |Ba,e

p,θ

−ai i ωe

l ( f , t)p

:= (cid:26) (cid:27) t , θ = ∞.   ∏ i∈e sup t∈Td

Ba,Ø p,θ

= (cid:107) f (cid:107)p, l là một số tự nhiên thỏa mãn l > max 1≤i≤d

p,θ là tập hợp

Trường hợp đặc biệt, | f | ai.

Định nghĩa nửa chuẩn này không phụ thuộc vào l, hay nói cách khác các giá trị khác nhau của l xác định các nửa chuẩn tương đương. Không gian Ba tất cả các hàm số f ∈ Lp(Td) sao cho chuẩn Besov sau đây là hữu hạn

(cid:107) f (cid:107)Ba

| f |Ba,e

p,θ

. := ∑ e⊂[d]

+. Kí p,θ là không gian Besov của tất cả các hàm trên Td, với chuẩn Besov sau

Trong suốt luận án này ta luôn giả thiết A là một tập con hữu hạn của Rd hiệu BA

đây hữu hạn

(cid:107) f (cid:107)Ba

(cid:107) f (cid:107)BA

p,θ

:= ∑ a∈A Trong Định ngĩa này vì modul trơn hỗn hợp bậc (l, e) là hàm nhiều biến theo

p,θ gọi là không gian các hàm có độ trơn hỗn p,θ là hình cầu đơn vị của BA p,θ.

t1, t2, ..., td nên không gian Besov BA hợp (không đẳng hướng). Kí hiệu U A

Định nghĩa trên có thể xem trong [18].

Ví dụ 1.1. Chúng ta có thể lấy các ví dụ về hàm số thuộc không gian Besov như sau: f (x) = 0, ∀x ∈ I; g(x) = x, ∀x ∈ I; h(x) = sin x, ∀x ∈ T.

1.2 Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu

∞ (cid:90)

Định nghĩa 1.6. Ký hiệu Nr là B-spline chuẩn tắc bậc r với các nút tại các điểm 0, 1, . . . , r được xác định như sau: N1 là hàm đặc trưng trên nửa khoảng [0, 1); với r ≥ 2, Nr được định nghĩa bởi tích chập

−∞

Nr(x) := Nr−1(x − y)N1(y)dy.

Mr(x) := Nr(x + r/2) được gọi là B-spline trung tâm bậc r.

Định nghĩa 1.6 có thể xem trong các tài liệu [3, 5].

[−r, r] và các nốt là các điểm nguyên −r, . . . , 0, . . . , r. Định nghĩa d-biến B-spline

Cho một số nguyên dương r, gọi M là một B - spline trung tâm bậc 2r với giá

như sau

d ∏ i=0

(1.1) M(x) := M(xi), x = (x1, x2, . . . , xd),

và định nghĩa B - spline sóng nhỏ

Mk,s(x) := M(2kx − s),

(cid:110) (cid:111)

cho một số không âm k và s ∈ Zd. Ký hiệu M là tập hợp tất cả Mk,s không triệt tiêu trên Id. Cho λ = {λ(j)}j∈Pd(µ) là dãy chẵn hữu hạn, tức là λ(j) = λ(−j), ở j = (j1, . . . , jd) ∈ Zd : |ji| ≤ µ, i = 1, . . . , d đây Pd(µ) := và µ ≥ r − 1. Toán tử tuyến tính Q tác động lên hàm f xác định trên Rd được định nghĩa bởi

Λ( f , s)M(x − s), (1.2) Q( f , x) := ∑ s∈Zd

ở đây

j∈Pd(µ)

Λ( f , s) := ∑ λ(j) f (s − j). (1.3)

Khi đó, từ định nghĩa của B-spline suy ra toán tử Q bị chặn trên C(Rd) và

(cid:13)Q( f )(cid:13) (cid:13) (cid:13)C(Rd) ≤ (cid:107)Λ(cid:107)(cid:107) f (cid:107)C(Rd),

|λ(j)|.

j∈Pd(µ)

trong đó (cid:107)Λ(cid:107) = ∑

Ký hiệu P2r−1 là tập hợp các đa thức đại số có bậc không vượt quá 2r − 1. Toán tử Q được xác định từ (1.2 − 1.3) được gọi là toán tử giả nội suy trong C(Rd) nếu toán tử này tái tạo lại P2r−1, tức là

Q(p) = p, p ∈ P2r−1.

Ví dụ 1.2. Chúng ta có thể lấy một số ví dụ về toán tử giả nội suy như sau:

(i) Nếu M là B-spline có giá [−1, 1] thì

f (s)M(x − s). Q( f , x) := ∑ s∈Zd

{− f (s − 1) + 8 f (s) − f (s + 1)}M(x − s).

(ii) Nếu M là B-spline có giá [−2, 2] thì

1 6 Q( f , x) := ∑ s∈Zd

Giả sử Q là một toán tử giả nội suy từ (1.2 − 1.3), cho h > 0 và một hàm f xác

định trên Rd, chúng ta xác định toán tử Q(.; h) bởi

Q( f ; h) := σh ◦ Q ◦ σ1/h( f ),

ở đây σh( f , x) = f (x/h). Từ định nghĩa của Q( f ; h), ta có

Λ( f , k; h)M(h−1x − k),

j∈Pd(µ)

Q( f , x; h) = ∑ k∈Zd λ(j) f (cid:0)h(k − j)(cid:1). với Λ( f , k; h) = ∑

Toán tử Q(.; h) có các tính chất tương tự như toán tử Q, cũng được gọi là một toán tử giả nội suy trên C(Rd). Nhưng Q(.; h) không được định nghĩa cho f trên Id, và do đó không khôi phục được hàm số f với các điểm lấy mẫu trong Id.

Một cách tiếp cận được GS.TSKH Đinh Dũng đề xuất trong [15, 16] để xây dựng toán tử giả nội suy cho một hàm số trên Id là mở rộng nó bằng các đa thức nội

suy Lagrange.

Cho một số nguyên không âm k, đặt xj = j2−k, j ∈ Z. Với f là một hàm số trên I, ký hiệu Uk( f ) và Vk( f ) lần lượt là các đa thức nội suy Lagrange tại 2r điểm bên trái x0, x1, . . . , x2r−1 và 2r điểm bên phải x2k−2r+1, x2k−2r+3, . . . , x2k trên đoạn

I được xác định bởi:

(x − xj),

2−k f (x0) s!

2r−1 ∑ s=1

s−1 ∏ j=0

2sk∆s Uk( f , x) := f (x0) +

2−k f (x2k−2r+1)

(x − x2k−2r+1+j).

2r−1 ∑ s=1

s−1 ∏ j=0

2sk∆s Vk( f , x) := f (x2k−2r+1) + s!

Ký hiệu f k là hàm số mở rộng của f trên R và được xác định bởi:

 x < 0, Uk( f , x),

f (x), 0 ≤ x ≤ 1, f k(x) =

  x > 1.

Vk( f , x), Nếu f liên tục trên I thì f k liên tục trên R. Giả sử Q là một toán tử giả nội suy (1.2 − 1.3) trên C(R). Xây dựng toán tử Qk xác định bởi

Qk( f , x) := Q(cid:0) f k, x; 2−k(cid:1), x ∈ I,

với hàm f xác định trên I. Khi đó,

ak,s( f )Mk,s(x), ∀x ∈ I, Qk( f , x) = ∑ s∈J(k)

trong đó (cid:110) (cid:111) J(k) := s ∈ Z, −r < s < 2k + r

và

|j|≤µ

(cid:0)2−k(s − j)(cid:1). ak,s( f ) := Λ(cid:0) f k, s; 2−k(cid:1) = ∑ λ(j) f k

Chúng ta nhận thấy Qk cũng là toán tử giả nội suy trên C(I).

Cho f là hàm số trên Id. Giả sử Q là một toán tử giả nội suy có dạng (1.2)-(1.3)

xác định trên C(Rd). Xây dựng toán tử nhiều biến Qk được xác định bởi

ak,s( f )Mk,s(x), ∀x ∈ Id, Qk( f , x) = ∑ s∈J(k)

ở đây (cid:110) (cid:111) J(k) := s ∈ Zd, −r < si < 2k+k0 + r, i = 1, 2, . . . , d

( f ))),

là tập hợp các giá trị của s sao cho Mk,s không đồng nhất bằng 0 trên Id. Chú ý rằng

((ak,s2

(. . . ak,sd

(1.4) ak,s( f ) = ak,s1

ở đây các hàm hệ số ak,si được áp dụng tương tự cho hàm số một biến khi xem f là hàm số một biến xi với các biến còn lại cố định.

Tương tự như toán tử Q và Q(.; h), thì toán tử Qk là tuyến tính bị chặn trên

C(Id) và tái tạo P2r−1. Đặc biệt, ta có:

(1.5) (cid:13)Qk( f )(cid:13) (cid:13) (cid:13)C(Rd) ≤ C(cid:107)Λ(cid:107)(cid:107) f (cid:107)C(Rd),

∀ϕ ∈ P2r−1,

với mỗi f ∈ C(Id), với hằng số C không phụ thuộc k và

Qk(ϕ∗) = ϕ,

ở đây ϕ∗ là hạn chế của ϕ trên Id. Toán tử nhiều biến Qk được gọi là toán tử giả nội suy trên C(Id).

Cho k ∈ Z+, đặt qk := Qk − Qk−1 với quy ước Q−1( f ) = 0, ta có

qk(cid:48). Qk = ∑ k(cid:48)≤k

Bổ đề 1.1. Giả sử f ∈ C(Id). Khi đó, ta có

(cid:107) f − Qk ( f )(cid:107)∞ ≤ Cω2r( f , 2−k)∞.

(1.6)

Do đó,

(cid:107) f − Qk ( f )(cid:107)∞ → 0, k → ∞.

(1.7)

Chứng minh. Bất đẳng thức (1.6) được suy ra từ (2.29)-(2.31) trong [16] và bất (cid:3) đẳng thức (1.5).

Cho bất kỳ f ∈ C(Id), từ (1.7) hàm f có thể biểu diễn thành chuỗi

(1.8) qk( f ), f = ∑ k∈Z+

với

ck,s( f )Mk,s, qk( f ) = ∑ s∈J(k)

chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong L∞(Id), ở đây ck,s là các phiếm hàm hệ số của f , được xác định như dưới đây. Đầu tiên xác định ck,s cho hàm số một biến (d = 1). Cụ thể

k,s( f ), k ≥ 0,

ck,s( f ) := ak,s( f ) − a(cid:48)

(cid:19)

0,s( f ) := 0,

k,s( f ) := 2−2r+1 ∑ a(cid:48)

(m,j)∈Cr(k,s)

ak−1,m( f ), k > 0, a(cid:48) (cid:18)2r j

ở đây

Cr(k, s) := {(m, j) : 2m + j − r = s, m ∈ J(k − 1), 0 ≤ j ≤ 2r} ,

với k > 0, Cr(0, s) := {0} .

Trong trường hợp hàm nhiều biến, chúng ta xác định ck,s tương tự như (1.4)

( f ))),

((ck,s2

cho ak,s, tức là

(. . . ck,sd

ck,s( f ) = ck,s1

ở đây các hàm hệ số ck,si áp dụng cho hàm số một biến f khi xem f là hàm số với biến xi với các biến còn lại cố định.

Ký hiệu An( f ) (cid:28) Bn( f ) nếu An( f ) ≤ C.Bn( f ) ở đây C là hằng số độc lập

với n và f ∈ W; An( f ) (cid:16) Bn( f ) nếu An( f ) (cid:28) Bn( f ) và Bn( f ) (cid:28) An( f ).

Cho k ∈ Z+, ký hiệu Σ(k) là không gian sinh bởi các B-splines Mk,s, s ∈ J(k).

Nếu 0 < p ≤ ∞ thì g ∈ Σ(k) được biểu diễn bởi

as Mk,s g = ∑ s∈J(k)

và đẳng thức sau (xem [16])

(cid:107)g(cid:107)p (cid:16) 2−dk/p(cid:13)

(1.9) (cid:13) {as} (cid:13) (cid:13)p,k ,

1/p

ở đây 

|as|p

, (cid:13) {as} (cid:13) (cid:13)  (cid:13)p,k :=   ∑ s∈J(k)

với vế phải thay bằng supremum khi p = ∞.

Từ (1.9), với hàm số liên tục f trên Id, các nửa chuẩn sau đây tương đương với

nhau

(cid:107)qk( f )(cid:107)p/Ω(2−k)

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:111)θ (cid:110) , B2( f ) :=

∑ k∈Z+

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:111)θ (cid:110) . B3( f ) := 2−dk/p(cid:107) (cid:8)ck,s( f )(cid:9) (cid:107)p,k/Ω(2−k)

∑ k∈Z+

Bổ đề sau đây đã được chứng minh cho trường hợp hàm số tuần hoàn thuộc

p,θ(xem [14]).

không gian Besov Bω

Bổ đề 1.2. Cho 0 < p, θ ≤ ∞, ta có:

(cid:16)

| f |B

Ω p,θ

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:110) (cid:111)θ . ω2r( f , 2−k)p/Ω(2−k)

∑ k∈Z+

1/θ

Chứng minh. Theo định nghĩa của nửa chuẩn Besov, ta có

1 (cid:90)

 

{ω2r( f , t)/Ω(t)}θ dt/t

| f |B

Ω p,θ

.  

1 (cid:90)

2−k (cid:90)

Hơn nữa,

∞ ∑ k=0

2−k−1

(cid:110) (cid:110) (cid:111)θ (cid:111)θ dt/t = dt/t. ω2r( f , t)p/Ω (t) ω2r ( f , t)p /Ω (t)

Sử dụng các tính chất (i)-(iii) của hàm số Ω (t) với 2−k−1 ≤ t ≤ 2−k, ta có

Ω(2−k−1) (cid:28) Ω(t) (cid:28) Ω(2−k), Ω(2−k−1) (cid:16) Ω(2−k).

Do đó,

Ω(t) (cid:16) Ω(2−k), t ∈ [2−k−1, 2−k]. (1.10)

Rõ ràng rằng từ các tính chất của modulus thì ta có

ω2r( f , t)p ≤ ω2r( f , 2−k)p, t ∈ [2−k−1, 2−k],

ω2r( f , 2−k)p ≤ ω2r( f , 2t)p ≤ 22rω2r( f , t)p, t ∈ [2−k−1, 2−k].

Vì vậy,

(1.11) ω2r( f , t)p (cid:16) ω2r( f , 2−k)p, t ∈ [2−k−1, 2−k].

2−k (cid:90)

Từ (1.10), (1.11), chúng ta nhận được

2−k−1

(cid:110) (cid:111)θ (cid:110) (cid:111)θ dt/t (cid:16) . ω2r( f , t)p/Ω (t) ω2r( f , 2−k)p/Ω(2−k)

1 (cid:90)

Do đó,

∞ ∑ k=0

(cid:110) (cid:111)θ (cid:111)θ (cid:110) dt/t (cid:16) . ω2r( f , t)p/Ω (t) ω2r( f , 2−k)p/Ω(2−k)

(cid:16)

| f |B

Ω p,θ

Vì vậy, (cid:33)1/θ (cid:32) (cid:110) (cid:111)θ . ω2r( f , 2−k)p/Ω(2−k)

∑ k∈Z+

(cid:3)

ψ θ

Cho 0 < p, θ ≤ ∞ và ψ : Z+ → R. Giả sử {ak}k∈Z+ là một dãy số dương, như sau: chúng ta định nghĩa chuẩn (cid:107){ak}(cid:107)

(cid:107){ak}(cid:107)

ψ θ

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:17)θ (cid:16) . := 2ψ(k)ak

∑ k≥0

Ký hiệu x+ := max(0, x), x ∈ R.

Chúng ta cần bất đẳng thức về chuẩn trong Lp(D) như sau: Nếu τ là số thỏa mãn 0 < τ ≤ min(p, 1) thì với dãy hàm bất kỳ { fk} ⊂ Lp(D) thỏa mãn bất đẳng thức

τ p,D.

p,D

≤ ∑ k∈Z+

(1.12) (cid:13) (cid:13) fk (cid:13) (cid:13) fk (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ∑ (cid:13) k∈Z+

Định lý 1.1. Cho 0 < p, θ ≤ ∞ và hàm số Ω sao cho tồn tại các hằng số µ, ρ > 0 và

C1, C2 thỏa mãn

Ω(t(cid:48)).t(cid:48)−µ, t ≤ t(cid:48); t, t(cid:48) ∈ I, (1.13) Ω(t).t−µ ≤ C1

Ω(t(cid:48)).t(cid:48)−ρ, t ≤ t(cid:48); t, t(cid:48) ∈ I. (1.14) Ω(t).t−ρ ≥ C2

Khi đó, chúng ta có

p và ρ < 2r thì một hàm số f ∈ B

Ω p,θ có thể biểu diễn thành chuỗi (1.8)

(i) Nếu µ > d

và

Ω p,θ

(1.15) . B2( f ) (cid:28) (cid:107) f (cid:107)B

p ) và g là một hàm số được biểu diễn bởi

(ii) Nếu ρ < min(2r, 2r − 1 + 1

ck,s Mk,s g = ∑ k∈Z+ gk = ∑ k∈Z+

∑ s∈J(k)

< ∞,

thỏa mãn (cid:33)1/θ (cid:32) (cid:111)θ (cid:110)(cid:13) (cid:14)Ω(2−k) B4(g) := (cid:13)gk (cid:13) (cid:13)p

∑ k∈Z+

Ω p,θ và

(cid:28) B4(g).

(cid:107)g(cid:107)B

Ω p,θ

p và ρ < min(2r, 2r − 1 + 1

thì g ∈ B

p ) thì một hàm số f xác định trên Id thuộc (iii) Nếu µ > d Ω p,θ khi và chỉ khi f có thể biểu diễn thành chuỗi có dạng (1.8) thỏa mãn điều kiện B (1.15). Hơn nữa, chuẩn (cid:107) f (cid:107)B

Ω p,θ

là tương đương với chuẩn B2( f ).

Chứng minh. Đặt φ(x) = log2 [1/Ω(2−x)]. Từ (1.13), (1.14) ta suy ra được

(1.16)

(1.17) φ(x) − µx ≤ φ(x(cid:48)) − µx(cid:48) + log2 C1; x ≤ x(cid:48), x, x(cid:48) ∈ R+, φ(x) − ρx ≥ φ(x(cid:48)) − ρx(cid:48) + log2 C2; x ≤ x(cid:48), x, x(cid:48) ∈ R+.

(i) Từ (1.16), chúng ta có µk ≤ φ (k) + C, k ∈ Z+. Hơn nữa, theo Bổ đề 1.2 ta có

(cid:16)

| f |B

Ω p,θ

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:110) (cid:111)θ . 2φ(k)ω2r( f , 2−k)p

∑ k∈Z+

(cid:28) | f |B

Ω p,θ

Ta nhận được (cid:33)1/θ (cid:32) (cid:111)θ (cid:110) , 2µkω2r( f , 2−k)p

∑ k∈Z+

nghĩa là,

Ω p,θ.

(cid:107) f (cid:107)B

Ω p,θ

µ p,θ

f ∈ B ,

p,θ ⊂ Bµ . Do đó B

Ω p,θ ⊂ C

p,θ nhúng compact vào C

(cid:16) (cid:16) Id(cid:17) . Lấy bất kỳ f ∈ B

(cid:28) (cid:107) f (cid:107)B Ω p,θ. Do µ > d/p nên chúng ta dễ thấy Từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra B Id(cid:17) Ω rằng Bµ p,θ, thì f có thể xem như là một phần tử trong C(Id). Theo Bổ đề 1.1, hàm f được

biểu diễn thành chuỗi (1.8 ) bởi các B-spline,

∞ ∑ k=0

f = qk ( f ) = ck,s ( f ) Mk,s,

∑ s∈J(k)

(cid:16) Id(cid:17) . chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong L∞

Cố định τ ≤ min (p, 1). Nếu k ≥ 1 thì từ Bổ đề 2.4 trong [16], chúng ta nhận

(cid:107)qk ( f )(cid:107)p (cid:28) (cid:107) f − Qk ( f )(cid:107)p + (cid:107) f − Qk−1 ( f )(cid:107)p

được

(cid:28)

(cid:33)1/τ (cid:33)1/τ (cid:32) (cid:32) (cid:110) (cid:111)τ (cid:110) (cid:111)τ 2d(s−k+1)/pω2r( f , 2−s)p 2d(s−k)/pω2r( f , 2−s)p

∑ s(cid:62)k

∑ s(cid:62)k−1

(cid:28)

(cid:33)1/τ (cid:33)1/τ (cid:32) (cid:32) (cid:110) (cid:111)τ (cid:110) (cid:111)τ 2d(s+1−k)/pω2r( f , 2−s−1)p 2d(s−k)/pω2r( f , 2−s)p

∑ s(cid:62)k

∑ s+1(cid:62)k

(cid:28)

(cid:33)1/τ (cid:32) (cid:111)τ (cid:110) . 2d(s−k)/pω2r( f , 2−s)p

∑ s(cid:62)k

Do đó,

(cid:33)1/τ (cid:32) (cid:111)τ (cid:110) , ∀ k ≥ 1. (1.18) 2ds/pω2r( f , 2−s)p 2dk/p(cid:107)qk ( f )(cid:107)p (cid:28)

∑ s(cid:62)k

Nếu k = 0 thì (cid:107)q0 ( f )(cid:107)p (cid:28) (cid:107) f (cid:107)p + (cid:107) f − Q0 ( f )(cid:107)p. Bởi Bổ đề 2.4 trong [16], ta có

(cid:107) f − Q0 ( f )(cid:107)p (cid:28)

(cid:32) (cid:33)1/τ (cid:110) (cid:111)τ . 2dk/pω2r( f , 2−k)p

∑ k∈Z+

Do đó,

(cid:107)q0 ( f )(cid:107)p (cid:28) (cid:107) f (cid:107)p +

(cid:33)1/τ (cid:32) (cid:111)τ (cid:110) 2dk/pω2r( f , 2−k)p

∑ k∈Z+

(cid:28) (cid:107) f (cid:107)p + ω2r ( f , 1)p +

(1.19) (cid:32) (cid:33)1/τ (cid:110) (cid:111)τ . 2dk/pω2r( f , 2−k)

∑ k≥1

Lấy k ∈ Z+, xác định các dãy {ak}, {bk} như sau  

 a0 := (cid:107) f (cid:107)p + ω2r( f , 1)p ak := 2dk/pω2r( f , 2−k)p, k (cid:62) 1,

và bk := 2dk/p (cid:107)qk ( f )(cid:107)p , k ≥ 0. Từ (1.18) và (1.19) suy ra rằng

(cid:32) (cid:33)1/τ

(1.20) , ∀ k ∈ Z+. bk (cid:28) aτ s

∑ s≥k

Đặt ψ (k) = φ (k) − dk/p, k ∈ Z+. Từ bất đẳng thức µ > d/p và (1.16), dễ dàng

nhận thấy rằng

(1.21) ψ (k) − εk ≤ ψ (cid:0)k(cid:48)(cid:1) − εk(cid:48) + log2 C1; k ≤ k(cid:48), k, k(cid:48) ∈ Z+,

với 0 < ε < µ − d/p.

Do vế phải của (1.20) càng lớn khi τ càng nhỏ, nên có thể giả sử τ < θ. Lấy các số ε(cid:48), θ(cid:48) thỏa mãn các điều kiện 0 < ε(cid:48) < ε, 1/θ + 1/θ(cid:48) = 1/τ, tương ứng. Áp

dụng bất đẳng thức H ¨older, chúng ta có

(cid:28)

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:32) (cid:33)1/τ (cid:32) (cid:16) (cid:17)θ (cid:16) 2−ε(cid:48)s(cid:17)θ(cid:48)(cid:33)1/θ(cid:48) 2ε(cid:48)sas bk (cid:28) aτ s

∑ s≥k

∑ s≥k (cid:33)1/θ

(cid:28) 2−ε(cid:48)k

(cid:32) (cid:16) (cid:17)θ . 2ε(cid:48)sas

∑ s≥k

Theo (1.21), ta có

ψ (k) − ε(cid:48).k ≤ ψ (s) − ε(cid:48).s + (cid:0)ε − ε(cid:48)(cid:1) (k − s) + log2 C1.

Do đó,

(cid:107){bk}(cid:107)θ b

ψ θ

(cid:16) (cid:17)θ 2ψ(k)bk 2θ.ε(cid:48).saθ s

(cid:28) ∑ k≥0 2θ.ε(cid:48).saθ

(1.22)

s (cid:28) ∑ s≥0

s ∑ k≤s

= ∑ k≥0 (cid:28) ∑ k≥0

2θ.ψ(k)2−θ.ε(cid:48).k ∑ s≥k 2θ.ε(cid:48).saθ 2θ(ψ(k)−ε(cid:48).k). 2θ(ψ(k)−ε(cid:48).k) ∑ s≥k

Tiếp tục biến đổi (1.22), ta có

(cid:107){bk}(cid:107)θ b

ψ θ

(cid:28) ∑ s≥0

s ∑ k≤s

2θ.ε(cid:48).saθ 2θ(ψ(s)−ε(cid:48).s)2θ(ε−ε(cid:48))(k−s).

Do đó, ta nhận được

(cid:107){bk}(cid:107)θ b

s = (cid:107){ak}(cid:107)θ b

ψ θ

(cid:28) ∑ s≥0

2θ.ψ(s)aθ . (1.23)

Hơn nữa,

= B2 ( f ) ,

(cid:107){bk}(cid:107)

(1.24)

ψ θ (cid:33)1/θ

(cid:16) a0 +

(cid:107){ak}(cid:107)

ψ θ

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:32) (cid:17)θ (cid:16) (cid:17)θ (cid:16) 2ψ(k)ak 2ψ(k)ak

∑ k≥1

∑ k≥0

(cid:16) (cid:107) f (cid:107)p +

(1.25) (cid:32) (cid:33)1/θ (cid:110) (cid:111)θ . ω2r( f , 2−k)/Ω(2−k)

∑ k≥0

Từ Bổ đề 1.2 và (1.25), ta thấy rằng

(cid:107){ak}(cid:107)

(cid:16) (cid:107) f (cid:107)p + | f |B

(cid:16) (cid:107) f (cid:107)B

Ω p,θ

ψ θ

. (1.26)

Ω p,θ

Từ (1.23), (1.24) và (1.26), chúng ta suy ra B2 ( f ) (cid:28) (cid:107) f (cid:107)B (ii) Ta có

(1.27) ck,s Mk,s. gk = ∑ s∈J(k)

Cố định τ ≤ min (p, 1). Từ (1.12) suy ra

(cid:28)

h (gk)

h (g)

(cid:33)1/τ (cid:32) ∆2r ∆2r , (1.28) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)p

∑ k≥0

ở đây

h (Mk,s) .

h (gk) = ∑ ∆2r

s∈J(k)

∆2r ck,s

Chú ý rằng bất kỳ x ∈ Id, số lượng các B-splines khác không trong (1.27) là một

hằng số chỉ phụ thuộc vào r, d. Như vậy, dễ dàng nhận thấy rằng

h (Mk,s, x)

h (gk, x)

p (cid:12) (cid:12) (cid:12)

≤ C ∑ s∈J(k)

∆2r ∆2r , ∀ x ∈ Id. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)ck,s (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:90)

Ta nhắc lại bất đẳng thức được chứng minh trong [29, Định lý 4.8] như sau:

h (Mk,s)

∆2r dx (cid:28) 2−kd2−δp(− log|h|−k)+, (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Id(2rh)

1/p

ở đây δ = min(2r, 2r − 1 + 1/p). Do đó,



(cid:28) 2−kd/p2−δ(− log|h|−k)+

h (gk)

(cid:28) 2−δ(− log|h|−k)+ (cid:107)gk(cid:107)p .

∆2r (cid:12) (cid:12)  (cid:12) (cid:12)ck,s (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)p (1.29)   ∑ s∈J(k)

Từ (1.28) và (1.29), ta nhận được

≤ C

h (g)

(cid:32) (cid:33)1/τ (cid:110) (cid:111)τ ∆2r . 2−δ(− log|h|−s)+ (cid:107)gs(cid:107)p (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)p

∑ s≥0

Hơn nữa,

h (g)

∆2r . (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)p,Id(2rh) ω2r(g, 2−k)p = sup |h|<2−k

Do đó,

(cid:33)1/τ (cid:32) (cid:111)τ (cid:110) (1.30) . ω2r(g, 2−k)p (cid:28) 2−δ(k−s)+ (cid:107)gs(cid:107)p

∑ s≥0

Định nghĩa các dãy {ak}k∈Z+, {bk}k∈Z+ như sau  

 b0 := (cid:107)g(cid:107)p + ω2r(g, 1)p bk := ω2r(g, 2−k)p nếu k (cid:62) 1,

và ak := (cid:107)gk(cid:107)p , k ∈ Z+. Từ (1.30), ta nhận được

(cid:32) (cid:33) 1 τ (cid:111)τ (cid:110) , ∀k ≥ 1. (1.31) 2−δ(k−s)+.as bk (cid:28)

∑ s≥0

Từ (1.12) và (1.30) suy ra rằng

(cid:32) (cid:33)1/τ (cid:32) (cid:33)1/τ

(cid:107)gs(cid:107)τ p

, gs(cid:107)p ≤ aτ s

∑ s≥0

(cid:107)g(cid:107)p = (cid:107) ∑ s≥0

(cid:32) (cid:33)1/τ

, ω2r(g, 1)p (cid:28) aτ s

∑ s≥0

và do đó

(cid:32) (cid:33)1/τ

. (1.32) b0 (cid:28) aτ s

∑ s≥0

Từ (1.31) và (1.32) chúng ta dễ thấy rằng

(cid:32) (cid:33)1/τ (cid:110) (cid:111)τ (1.33) , ∀k ∈ Z+. 2−δ(k−s)+ as bk (cid:28)

∑ s≥0

(cid:32) (cid:33)1/τ (cid:18) (cid:110) (cid:111)τ(cid:19)1/τ . Tiếp tục ước lượng (1.33) 2−δ(k−s)as Đặt ck := , dk := aτ s ∑ s≥k ∑ s

như sau

(cid:28) ck + dk, ∀k ∈ Z+.

(cid:32) (cid:33)1/τ (cid:32) (cid:33)1/τ (cid:110) (cid:111)τ 2−δ(k−s)as bk (cid:28) aτ s

∑ s≥k

∑ s

27

Do đó,

(cid:107){bk}(cid:107)θ b

φ θ

k + ∑ k≥0

(cid:16) (cid:17)θ 2φ(k)cθ 2φ(k)bk 2φ(k)dθ k (1.34)

= ∑ k≥0 (cid:28) (cid:107){ck}(cid:107)θ b

(cid:28) ∑ k≥0 + (cid:107){dk}(cid:107)θ b

φ θ

φ θ

.

Lấy các số ε, β, θ(cid:48) thỏa mãn 0 < ε < µ, ρ < β < δ và 1/θ + 1/θ(cid:48) = 1/τ. Áp dụng

bất đẳng thức H ¨older, ta có

(cid:33)1/θ (cid:33)1/θ(cid:48) (cid:32) (cid:33)1/θ (cid:32) (cid:32)

(cid:28) 2−εs

(2εsas)θ

(2εsas)θ

(1.35) , (cid:0)2−εs(cid:1)θ(cid:48) ck ≤

∑ s≥k

∑ s≥k

∑ s≥k

(cid:28) 2−βk

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:33)1/θ (cid:32) (cid:32) (cid:16) (cid:16) (cid:17)θ (cid:16) (cid:17)θ 2(δ−β)s(cid:17)θ(cid:48)(cid:33)1/θ(cid:48) . 2βsas 2βsas dk ≤ 2−δk

∑ s
∑ s
∑ s

(1.36)

Từ (1.35), ta suy ra

(cid:107){ck}(cid:107)θ b

φ θ

s ∑ k≤s

s (cid:28) ∑ s∈Z+

(cid:28) ∑ k∈Z+

2θ.ε.saθ 2θ.ε.saθ 2θ(φ(k)−ε.k). (1.37) 2θφ(k)−θ.ε.k ∑ s≥k

Từ (1.16), ta có

φ (k) − ε.k ≤ φ (s) − ε.s + (µ − ε) (k − s) + log2 c1.

Từ bất đẳng thức này và (1.37) ta có

(cid:107){ck}(cid:107)θ b

φ θ

φ θ

s ∑ k≤s

(cid:28) ∑ s∈Z+

. 2θ.ε.saθ (1.38) 2θ(φ(s)−ε.s)+θ(µ−ε)(k−s) (cid:28) (cid:107){ak}(cid:107)θ b

Tương tự, từ (1.36) suy ra

(cid:107){dk}(cid:107)θ b

φ θ

s ∑ k>s

s (cid:28) ∑ s∈Z+

(cid:28) ∑ k∈Z+

2θ.β.saθ 2θ.β.saθ 2θ(φ(k)−βk). (1.39) 2θ(φ(k)−βk) ∑ s
Sử dụng (1.17), chúng ta có

φ (k) − βk ≤ φ (s) − βs + (ρ − β) (k − s) − log2 c2.

Do đó, từ bất đẳng thức cuối cùng và (1.39) ta được

(cid:107){dk}(cid:107)θ b

φ θ

φ θ

s ∑ k>s

(cid:28) ∑ s∈Z+

2θ.β.saθ . (1.40) 2θ(φ(s)−βs)+θ(ρ−β)(k−s) (cid:28) (cid:107){ak}(cid:107)θ b

28

Từ (1.34), (1.38) và (1.40), ta có

(cid:107){bk}(cid:107)

(cid:28) (cid:107){ak}(cid:107)

b

b

φ θ

φ θ

= B4 (g) và

.

b

φ θ

Hơn nữa, (cid:107){ak}(cid:107)

=

(cid:16) b0 +

(cid:107){bk}(cid:107)

b

φ θ

(cid:33)1/θ (cid:33)1/θ (cid:32) (cid:32) (cid:110) (cid:111)θ (cid:111)θ (cid:110) 2φ(k)bk 2φ(k)bk

∑ k≥1

∑ k∈Z+

(cid:16) (cid:107)g(cid:107)p +

(cid:16) (cid:107)g(cid:107)B

Ω pθ

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:111)θ (cid:110) . 2φ(k)ω2r(g, 2−k)p

∑ k≥0

(cid:28) B4 (g) .

(cid:107)g(cid:107)B

Ω p,θ

(cid:3)

Do đó,

(iii) Được suy ra từ (i) và (ii).

Ví dụ 1.3. Ngoài hàm số Ω(t) = tα, α > 0, thỏa mãn điều kiện Định lý 1.1, chúng ta

có thể lấy các hàm số sau đây:

(i) Ω(t) = tα ln(t + 1), α ≥ 0, (ii) Ω(t) = log3(log2(t + 2)),

tα|lnt|β if 0 < t < 1/2,   (iii) Cho α > 0, β ∈ R. Định nghĩa Ω(t) =

if 2−α lnβ 2 t ≥ 1/2. 

(cid:28) (cid:13)

Hệ quả 1.1. Cho 0 < p, θ ≤ ∞, Ω được định nghĩa trong Mục 1.1 và thỏa mãn giả thuyết ý (ii) của Định lý 1.1. Khi đó, với bất kỳ k ∈ Z+, ta có

(cid:107)g(cid:107)B

Ω p,θ

(cid:14)Ω(2−k), g ∈ Σ(k). (cid:13)gk (cid:13) (cid:13)p

1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu

Trong phần này chúng ta sẽ biểu diễn một hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗn

p,θ thành chuỗi các đa thức lượng giác và chứng

hợp thuộc không gian Besov BA

minh đẳng thức tương đương chuẩn.

Định nghĩa sau đây có thể xem trong [13].

29

p là không gian dãy x = {xk}m

k=1 các số thực

Định nghĩa 1.7. Cho 0 < p ≤ ∞, lm

với chuẩn (cid:33) 1 p

|xk|p

= (cid:107)x(cid:107)lm

(cid:107) {xk} (cid:107)lm

p :=

p

, (cid:32) m ∑ k=1

với chuẩn max khi p = ∞.

p là hình cầu đơn vị trong lm

p và E = {ek}m

k=1 là một cơ sở chính tắc

Ký hiệu Bm

trong lm p .

Cho f ∈ Lp(Td), như đã biết, (cid:98)f (k) là hệ số Fourier thứ k của f với 1 ≤ p ≤ ∞. +. Đặt Pk := {s ∈ Zd : (cid:98)2kj−1(cid:99) ≤ |sj| < 2kj, j = 1, ..., d}, ở đây (cid:98)a(cid:99) là

+, ta định nghĩa toán tử δk như sau

Cho k ∈ Zd phần nguyên của a ∈ R+. Cho k ∈ Zd

(cid:98)f (s)ei(s,·). δk( f ) := ∑ s∈Pk

Từ định lý Littlewood-Paley (xem [32]) với 1 < p < ∞, ta có đẳng thức



(cid:107) f (cid:107)p (cid:16)

|δk( f )|2

. 

1/2(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)p

  ∑ k∈Zd + (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Chúng ta nhắc lại tương đương chuẩn sau đây (xem [8]): Cho 1 < p < ∞ và θ ≤ ∞, khi đó

(cid:16)

(cid:107) f (cid:107)BA

p,θ

(cid:32) (cid:33)1/θ (cid:110) (cid:111)θ , (1.41) 2S(A,k)(cid:107)δk( f )(cid:107)p

∑ k∈Z+

trường hợp θ = ∞ thì vế phải đẳng thức trên được thay bằng supremum.

Cho số nguyên không âm m, nhân de la Vallée Poussin Vm bậc m được xác

định như sau:

2m−1 ∑ k=m

, Vm(t) := Dk(t) = 1 3m2 sin(mt/2) sin(3mt/2) 3m2 sin2(t/2)

ở đây

eikt Dm(t) := ∑ |k|≤m

là nhân Dirichlet một biến bậc m. Đặt V0 = 1.

30

(cid:90)

Cho hàm số một biến f ∈ Lp(T). Chúng ta định nghĩa hàm số Um( f ) bởi

Um( f ) := f ∗ Um = 3πm f (t) Vm(· − t)dt,

T

và hàm số Vm( f ) bởi

+, toán tử Vm của

(1.42) f (hk) Vm(· − hk), Vm( f ) := ∑ k∈Pm

ở đây h = 2π/3m và Pm := {k ∈ Z : 0 ≤ k < 3m}. Nếu m ∈ Zd hàm số nhiều biến f ∈ Lp(Td) được xác định bởi

d ∏ j=1

Vm( f ) := Vmj( f ),

ở đây toán tử một biến Vmj áp dụng tương tự khi xem f là một hàm số biến xj với các biến còn lại cố định. Chú ý rằng Vm( f ) là đa thức lượng giác bậc không vượt quá 2mj − 1 với mỗi biến xj, và

(1.43) Vm( f , hk) = f (hk), k ∈ Pd m,

m := {k ∈ Zd : 0 ≤ kj < 3mj, j = 1, . . . , d}.

1 , . . . , m−1

d ), Pd Đẳng thức sau đây(xem [9]) thỏa mãn:

ở đây h = (2π/3)(m−1

(cid:107)Vm( f )(cid:107)p (cid:16)

(cid:107){ f (hk)}(cid:107)lν

p, 1 ≤ p ≤ ∞,

−1/p j

d ∏ j=1

m| = 3d ∏d

j=1 mj. Ký hiệu Tm là không gian các đa thức lượng giác

m (1.44)

ở đây ν = |Pd bậc không vượt quá mj với mỗi biến xj, j = 1, . . . , d. Dễ dàng kiểm tra được

(1.45) Vm( f ) = f , ∀ f ∈ Tm.

Tiếp theo, với hàm số một biến f ∈ Lp(T), ta định nghĩa

v0( f ) := V1( f ),

+, định nghĩa toán tử vk cho hàm nhiều biến trong Lp(Td) tương tự

vk( f ) := V2k( f ) − V2k−1( f ), k = 1, 2, . . . .

+là tương tự khi thay Vm( f ) bởi Um( f ).

Cho k ∈ Zd như toán tử Vm . Toán tử uk, k ∈ Zd

Chú ý vk( f ) và uk( f ) là các đa thức lượng giác bậc không vượt quá 2kj+1 − 1

với biến xj, j = 1, . . . , d.

31

Đặc biệt, bất đẳng thức sau đây đã được chứng minh cho f ∈ Lp(T) (xem Bổ

đề 6.2 trong [36])

(cid:107)Vm(Vn( f )(cid:107)p ≤ C(cid:107) f (cid:107)p(n/m)1/p, n ≥ m.

(1.46)

Chúng ta sử dụng các ký hiệu: 2k := (2k1, ..., 2kd) với k ∈ Zd, 1 := (1, ..., 1) ∈

j, j = 1, .., d.

Rd. Cho k, k(cid:48) ∈ Zd, bất đẳng thức k ≥ k(cid:48) có nghĩa là kj ≥ k(cid:48)

1/θ

Định lý 1.2. Cho 1 < p < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α(A) > 1/p, ta có

(cid:16)

(cid:107) f (cid:107)BA

p,θ

 (cid:110) (cid:111)θ ,  2S(A,k)(cid:107)vk( f )(cid:107)p

  ∑ k∈Zd +

với vế phải được thay bằng supremum cho trường hợp θ = ∞.

Chứng minh. Chúng ta chứng minh định lý cho 0 < θ < ∞. Trường hợp θ = ∞

có thể được chứng minh theo cách tương tự với một sửa đổi rất nhỏ.

1/θ

Đầu tiên, ta xét cho trường hợp A = {a} và chứng minh bất đẳng thức sau

(cid:28) (cid:107) f (cid:107)Ba

p,θ

 (cid:110) (cid:111)θ . (1.47)  2(a,k)(cid:107)vk( f )(cid:107)p

  ∑ k∈Zd +

δk( f ). Do δk( f ) ∈ T2k−1, cho k ≤ k(cid:48) − 1 Chúng ta bắt đầu với chuỗi f = ∑ k∈Zd +

2k(cid:48)−1. Từ (1.45) suy ra rằng

chúng ta có δk( f ) ∈ T

V2k(cid:48) (δk( f )) = V2k(cid:48)−1(δk( f )) = δk( f ), k ≤ k(cid:48) − 1.

Do đó, vk(cid:48)(δk( f )) = 0, k ≤ k(cid:48) − 1, và

vk(cid:48)(δk( f )). vk(cid:48)( f ) = ∑ k≥k(cid:48)

Vì thế,

(cid:107)vk(cid:48)(δk( f ))(cid:107)p.

(cid:107)vk(cid:48)( f )(cid:107)p ≤ ∑ k≥k(cid:48)

(1.48)

(cid:107)vk(cid:48)(δk( f ))(cid:107)p (cid:28) 2(|k|1−|k(cid:48)|1)/p(cid:107)δk( f )(cid:107)p,

Từ bất đẳng thức (1.46), ta có

32

kết hợp với (1.48) nhận được

(cid:107)vk(cid:48)( f )(cid:107)p (cid:28) ∑ k≥k(cid:48)

(1.49) 2(|k|1−|k(cid:48)|1)/p(cid:107)δk( f )(cid:107)p.

al > 1/p. Áp dụng bất đẳng thức H ¨older, ta nhận được Nếu θ > 1, lấy θ(cid:48) sao cho 1/θ + 1/θ(cid:48) = 1. Từ định nghĩa của α({a}) ta có a0 := min l∈[d]

2|k|1/p(cid:107)δk( f )(cid:107)p

≤

2|k(cid:48)|1/p(cid:107)vk(cid:48)( f )(cid:107)p (cid:28) ∑ k≥k(cid:48) (cid:28) ∑ k≥k(cid:48) (cid:32) (cid:33)1/θ (cid:110) (cid:111)θ (cid:110) 2−|k|1(a0−1/p)2|k|1a0(cid:107)δk( f )(cid:107)p 2−|k|1(a0−1/p)(cid:111)θ(cid:48)(cid:33)1/θ(cid:48) (cid:32) 2|k|1a0(cid:107)δk( f )(cid:107)p

∑ k≥k(cid:48)

∑ k≥k(cid:48)

(cid:28) 2−|k(cid:48)|1(a0−1/p)

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:111)θ (cid:110) . 2|k|1a0(cid:107)δk( f )(cid:107)p

∑ k≥k(cid:48)

θ.

Do đó

(cid:107)vk(cid:48)( f )(cid:107)θ

p (cid:28) 2−|k(cid:48)|1a0θ ∑ k≥k(cid:48)

2|k|1a0θ(cid:107)δk( f )(cid:107)p

Từ bất đẳng thức suy ra rằng

(cid:111)θ (cid:110) 2(a,k(cid:48))(cid:107)vk(cid:48)( f )(cid:107)p 2|k|1a0θ(cid:107)δk( f )(cid:107)θ p

∑ k(cid:48)∈Zd +

(cid:28) ∑ k(cid:48)∈Zd +

2θ(a−a0,k(cid:48)) 2|k|1a0θ(cid:107)δk( f )(cid:107)θ 2θ(a,k(cid:48))2−|k(cid:48)|1a0θ ∑ k≥k(cid:48) p ∑ k(cid:48)≤k (1.50)

p2θ(a−a0,k)

2|k|1a0θ(cid:107)δk( f )(cid:107)θ

= ∑ k∈Zd + (cid:28) ∑ k∈Zd + (cid:28) ∑ k∈Zd +

(cid:110) (cid:111)θ . 2(a,k)(cid:107)δk( f )(cid:107)p

Từ (1.41), (1.50) chúng ta nhận được (1.47) cho θ > 1.

(cid:107)vk(cid:48)( f )(cid:107)θ

Nếu θ ≤ 1 thì từ (1.49) ta có

p (cid:28) ∑ k≥k(cid:48)

2θ(|k|1−|k(cid:48)|1)/p(cid:107)δk( f )(cid:107)θ p.

33

Do đó,

p

(cid:28) ∑ k(cid:48)∈Zd +

(cid:110) (cid:111)θ 2(|k|1−|k(cid:48)|1)θ/p(cid:107)δk( f )(cid:107)θ 2(a,k(cid:48))(cid:107)vk(cid:48)( f )(cid:107)p 2θ(a,k(cid:48)) ∑ k≥k(cid:48)

∑ k(cid:48)∈Zd +

2θ(a−1/p,k(cid:48)) 2|k|1θ/p(cid:107)δk( f )(cid:107)θ p

(1.51)

2|k|1θ/p(cid:107)δk( f )(cid:107)θ

∑ k(cid:48) l≤kl, l=1,...,d p2θ(a−1/p,k)

= ∑ k∈Zd + (cid:28) ∑ k∈Zd + (cid:28) ∑ k∈Zd +

2θ(a,k)(cid:107)δk( f )(cid:107)θ p.

Từ (1.41), (1.51) suy ra được (1.47) cho θ ≤ 1. Bất đẳng thức (1.47) hoàn toàn được

chứng minh.

Thay đổi vai trò của δk( f ) và vk( f ) trong chứng minh của bất đẳng thức (1.47)

1/θ

chúng ta chứng minh được bất đẳng thức ngược chiều:

(cid:29) (cid:107) f (cid:107)Ba

p,θ

 (cid:110) (cid:111)θ .  2(a,k)(cid:107)vk( f )(cid:107)p

  ∑ k∈Zd +

Như vậy định lý được chứng minh cho trường hợp A = {a}.

(a,k)

θ max a∈A

(cid:107) f (cid:107)θ

Bây giờ ta chứng minh định lý cho trường hợp tổng quát của A. Chúng ta có

(cid:107)vk( f )(cid:107)θ p.

(cid:107) f (cid:107)θ Ba

p,θ

BA p,θ

(cid:16) max a∈A

(cid:16) max a∈A

2 2θ(a,k)(cid:107)vk( f )(cid:107)θ

∑ k∈Zd +

p ≤ ∑ k∈Zd +

(1.52)

+ thành các tập con Zd

+(a), a ∈ A, sao cho Zd

+ = ∪a∈A

+(a) và

Zd Phân tích Zd

(a(cid:48), k) = (a, k)}.

+(a) := {k ∈ Zd

+ : max a(cid:48)∈A

Zd

Từ đó suy ra

|A| max a∈A

p ≥ max a∈A

(a,k)

θ max a∈A

2θ(a,k)(cid:107)vk( f )(cid:107)θ 2θ(a,k)(cid:107)vk( f )(cid:107)θ p

(cid:107)vk( f )(cid:107)θ p.

2

∑ k∈Zd + ≥ ∑ a(cid:48)∈A

∑ k∈Zd +(a(cid:48))

∑ ∑ a(cid:48)∈A k∈Zd +(a(cid:48)) 2θ(a(cid:48),k)(cid:107)vk( f )(cid:107)θ p ≥ ∑ k∈Zd +

Điều này và (1.52) cho ta chứng minh định lý cho trường hợp tổng quát của A. (cid:3)

34

Đặt ϕk,s := Vmk(· − shk), và

Qk := {s ∈ Zd : 0 ≤ sj < 3.2kj, j = 1, . . . , d}.

ở đây mk := (2k1, . . . , 2kd), hk := (2π/3)(2−k1, . . . , 2−kd).

Từ Định lý 1.2 và (1.42)-(1.45) chúng ta suy ra được biểu diễn bằng đa thức p,θ như sau. Cho 1 ≤ p ≤ ∞, 0 <

p,θ có thể biểu diễn thành chuỗi

lượng giác với giá trị lấy mẫu trong không gian BA θ ≤ ∞, và α > 0, với mỗi f ∈ BA

(1.53) fk,s ϕk,s,

∑ s∈Qk

f = ∑ k∈Zd +

trong đó có tương đương chuẩn sau đây

(cid:16)

(cid:107) f (cid:107)BA

p,θ

l

|Qk| p

(cid:32) (cid:26) (cid:27)θ(cid:33)1/θ (cid:9) (cid:107) (1.54) 2S(A,k)−|k|1/p(cid:107) (cid:8) fk,s

∑ k∈Z+

cho θ < ∞, với tổng ở vế phải được thay bằng supremum khi θ = ∞. Dựa trên

biểu diễn (1.53)-(1.54), ta có thể mở rộng không gian Besov với độ trơn hỗn hợp cho một tập hợp hữu hạn A ⊂ Rd và 0 < p, θ ≤ ∞, là không gian tất cả các hàm số f xác định trên Td có thể biễu diễn thành chuỗi (1.53) sao cho nửa chuẩn rời rạc vế phải của (1.54) hữu hạn. Ký hiệu Bp,θ = BA p,θ cho A = {(0, . . . , 0)}. Đặt 1 < q < ∞, ta có bất đẳng thức sau đây (có thể xem trong [13])

(cid:107) f (cid:107)Bq,max{q,2} ≤ (cid:107) f (cid:107)q ≤ (cid:107) f (cid:107)Bq,min{q,2}.

(1.55)

1.4 Kết luận

Trong chương này chúng tôi trình bày một trong những kết quả mới của Luận

án đó là các định lý biểu diễn qua giá trị lấy mẫu một hàm số thuộc không gian

Besov bởi các B-spline hoặc đa thức lượng giác. Các kết quả chính của Chương

này là Định lý 1.1 và Định lý 1.2. Định lý 1.1 phát biểu cho lớp hàm số thuộc

không gian Besov B lý biểu diễn phát biểu trong không gian Besov Bα

Ω p,θ với modul trơn đẳng hướng, định lý là tổng quát của định p,θ (xem [16]) và là mở rộng của Ω p,θ với modul trơn hỗn hợp (xem [18]). Định lý 1.2 phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn trong không p,θ với modul trơn hỗn hợp, trong đó A là tập con hữu hạn của Rd gian Besov BA +.

định lý biểu diễn hàm số thuộc không gian Besov B

35

Trong [13], Định lý 1.2 đã được chứng minh cho trường hợp tập A chỉ gồm một

p,θ sau đó mới chứng minh

véc tơ có các thành phần bằng nhau, tức là A = {(r, . . . , r)}. Để chứng minh Định

p,θ.

lý này trong trường hợp tổng quát, chúng ta phải sử dụng nhiều kỹ thuật khác nhau, đầu tiên là chứng minh cho không gian Besov Ba cho không gian BA

36

Chương 2

KHÔI PHỤC HÀM SỐ KHÔNG TUẦN HOÀN CÓ ĐỘ TRƠN ĐẲNG HƯỚNG

Trong chương này chúng ta sử dụng biểu diễn giả nội suy B-spline trong

Chương 1 để nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số không tuần hoàn có độ

Ω p,θ bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi (phương pháp tuyến tính), xây dựng được các phương pháp

trơn đẳng hướng thuộc không gian Besov B

khôi phục và ước lượng được tốc độ hội tụ của các phương pháp đó qua các đại

lượng đặc trưng cho phương pháp khôi phục tốt nhất.

Các kết quả chính của Chương 2 được trình bày ở các Mục 2.2, 2.3. Trong Mục

2.2 chúng tôi nghiên cứu khôi phục hàm số không tuần hoàn có độ trơn đẳng

hướng bằng phương pháp tuyến tính, xây dựng được phương pháp tuyến tính

và ước lượng sai số của phương pháp, đây là kết quả mới của luận án trên cơ

sở bài báo [CT2] được công bố trên tạp chí Acta Math. Vietnamica. Mục 2.3 chúng

tôi nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số không tuần hoàn có độ trơn đẳng

hướng bằng phương pháp khôi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu, xây dựng

được phương pháp và ước lượng được tốc độ hội tụ của phương pháp đó, kết

quả này trình bày dựa trên cơ sở bài báo [CT1] được công bố trên Acta Math.

Vietnamica.

2.1 Các đại lượng xấp xỉ và khôi phục hàm số

Chúng ta xét bài toán khôi phục xấp xỉ hàm số xác định trên Id = [0, 1]d. Hàm số cần khôi phục thuộc tập hợp W ⊂ Lq(Id), 0 < q ≤ ∞. Ở đây Lq(Id) là không gian định chuẩn các hàm xác định trên Id với chuẩn tích phân (cid:107) · (cid:107)q thông thường cho trường hợp 0 < q < ∞, và không gian định chuẩn C(Id) các hàm liên tục trên

37

j=1 là n điểm của Id, Φn = (cid:8)ϕj

Id với chuẩn max (cid:107) · (cid:107)∞ cho q = ∞.

(cid:9)n Định nghĩa 2.1. Cho Xn = {xj}n j=1 là họ n hàm số thuộc không gian Lq(Id). Khôi phục hàm số f xác định trên Id từ các giá trị lấy mẫu f (x1), . . . , f (xn) bằng phương pháp tuyến tính xác định bởi công thức sau

đây

n ∑ j=1

(2.1) Ln(Xn, Φn, f ) := f (xj)ϕj.

Cho W ⊂ Lq(Id). Chúng ta nghiên cứu tính tối ưu của phương pháp tuyến tính có dạng (2.1) để khôi phục hàm số f ∈ W từ n giá trị lấy mẫu trên bằng đại lượng

(cid:107) f − Ln(Xn, Φn, f )(cid:107)q.

sau

(cid:36)n(W, Lq(Id)) := inf Xn,Φn sup f ∈W

Định nghĩa 2.1 có thể xem trong [17].

Định nghĩa 2.2. (Xem [16]). Cho B là một tập hợp con trong Lq(Id), chúng ta sẽ định nghĩa phương pháp khôi phục thích nghi để khôi phục từng hàm f ∈ W từ

n ( f ) để khôi phục hàm f . Khi đó SB

n là một phương pháp khôi phục

B dựa trên thông tin về giá trị lấy mẫu. Cụ thể là đối với từng hàm f ∈ W ta chọn n điểm x1, . . . , xn, dựa trên thông tin về giá trị lấy mẫu f (x1), . . . , f (xn) ta chọn hàm g = SB

thích nghi.

n ( f ) được định nghĩa chính xác như sau. Đặt In là tập hợp bao gồm các tập hợp con ξ trong Id có số phần tử không quá n, Vn là tập hợp mà mỗi phần tử là một bộ các số thực aξ = {a(x)}x∈ξ , ξ ∈ In, a(x) ∈ R. Gọi In là một ánh xạ từ W đến In và P là ánh xạ từ Vn đến B. Khi đó cặp (In, P) xác định một ánh xạ SB n từ W đến B cho bởi công thức

Toán tử SB

{ f (x)}x∈In( f )

(cid:16) (cid:17) . (2.2) SB n ( f ) := P

Chúng ta muốn chọn một phương pháp khôi phục lấy mẫu SB

n mà các sai số n ( f )(cid:107)q càng nhỏ càng tốt. Rõ ràng một sự lựa chọn hiệu quả cần được thích nghi với từng hàm số f . Nói chung phương pháp khôi phục

của khôi phục này (cid:107) f − SB

hàm số thích nghi là phương pháp phi tuyến.

38

Định nghĩa 2.3. Cho một tập hợp B các hàm số xác định trên tập Ω. Khi đó giả chiều của B ký hiệu là dimp(B), được định nghĩa là số nguyên n lớn nhất sao cho tồn tại các điểm a1, a2, . . . , an trong Ω và b ∈ Rn để số phần tử của tập hợp

(cid:17) (cid:111) (cid:110) (cid:16) , f ∈ B sgn (y) : y = f (a1) + b1, f (a2) + b2, . . . , f (an) + bn

là 2n, ở đây sgn (x) = 1 với x > 0, sgn (x) = −1 với x ≤ 0 và nếu x ∈ Rn, sgn (x) = ( sgn (x1), sgn (x2), . . . , sgn (xn)).

Định nghĩa trên có thể xem trong các tài liệu [23, 29]. Khái niệm giả chiều này

được mở rộng từ số chiều Vapnik Chervonekis (xem [39]).

Định nghĩa 2.4. (Xem [16]). Cho B là một họ các tập con B trong Lq, khi đó sai số

(cid:107) f − SB

của phương pháp khôi phục thích nghi tối ưu được đo bằng đại lượng

n ( f )(cid:107)q,

(2.3) Rn(W, B)q := inf B∈B inf SB n sup f ∈W

n là tất cả các ánh xạ được định nghĩa ở (2.2).

trong đó SB

Ký hiệu Rn(W, B)q bằng en(W)q nếu B là họ tất cả các tập hợp con B trong Lq sao cho |B| ≤ 2n, và bằng rn(W)q nếu B là họ tất cả các tập hợp con B trong Lq có giả chiều không quá n.

Định nghĩa 2.5. (Xem [16]). Giả sử B và W là các tập hợp con của Lq. Các phần

(cid:107) f − ϕ(cid:107)q.

tử trong W được xấp xỉ từ B bởi

inf ϕ∈B E(W, B, Lq) := sup f ∈W

Cho họ B các tập con trong Lq, ta xét xấp xỉ tốt nhất của B ∈ B qua đại lượng sau

(2.4) E(W, B, Lq).

d(W, B, Lq) := inf B∈B Nếu B trong (2.4) là họ tất cả các tập con B của Lq thỏa mãn |B| ≤ 2n, thì d(W, B, Lq) ký hiệu là (cid:101)n(W, Lq). Nếu B trong (2.4) là họ tất cả các tập con B của Lq sao cho dimp(B) ≤ n, thì d(W, B, Lq) kí hiệu là ρn(W, Lq). Chúng ta sử dụng các ký hiệu viết tắt sau đây ρn(W)q = ρn(W, Lq(I)), (cid:101)n(W)q = (cid:101)n(W, Lq(I)).

Nhận xét 2.1. Từ định nghĩa về giả chiều có thể dễ dàng thấy rằng dimp(B) ≤ log |B|, và do đó, giả chiều của một tập hợp B có lực lượng ≤ 2n thì không vượt quá n, do đó ta

có các bất đẳng thức sau

(2.5) en(W)q ≥ rn(W)q, (cid:101)n(W)q ≥ ρn(W)q.

39

Ngoài ra theo Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 2.5, ta có các bất đẳng thức sau

(2.6) rn(W)q ≥ ρn(W)q, en(W)q ≥ (cid:101)n(W)q.

2.2 Khôi phục hàm số bằng phương pháp tuyến tính

Ω p,θ bởi

Cho số nguyên không âm m, đặt K(m) := {(k, s) : k ∈ Z+, k ≤ m, s ∈ Id(k)}, ở đây Id(k) = {s ∈ Zd + : 0 ≤ si ≤ 2k, i = 1, . . . , d} và ký hiệu M(m) là tập hợp gồm các B-splines Mk,s, k ≤ m, s ∈ J(k). Định nghĩa toán tử Rm của các hàm số f ∈ B

ck,s( f )Mk,s, Rm( f ) := ∑ k≤m qk( f ) = ∑ k≤m

∑ s∈J(k)

và lưới G(m) của các điểm trong Id,

G(m) := {2−ks : (k, s) ∈ K(m)}.

Hình 2.1: Lưới G(7)

Lưới Smolyak được định nghĩa đầu tiên bởi nhà toán học S.A. Smolyak (xem

[32]).

Bổ đề sau đây được chứng minh tương tự như Bổ đề 3.1 trong [17].

Bổ đề 2.1. Toán tử Rm xác định một phương pháp tuyến tính có dạng (2.1) trên lưới G(m). Cụ thể,

(k,s)∈K(m)

Rm( f ) = Ln(Xn, Φn, f ) = ∑ f (2−ks)ψk,s,

40

(k,s)∈K(m) ,

(2k + 1)d,

(cid:9) ở đây Xn := G(m), Φn := (cid:8)ψk,s

n := |G(m)| = ∑ k≤m

và ψk,s được xác định là tổ hợp tuyến tính của không quá N B-splines Mk,s ∈ M(m) với N độc lập với k, j, m và f .

Định lý 2.1. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞. Ω thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.1 và µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p). Giả sử với mỗi n ∈ Z+, m là số lớn nhất thỏa

|G(m)| ≤ n.

mãn

(2.7)

Ω p,θ, Lq) như

Khi đó, Rm xác định phương pháp tuyến tính lấy mẫu tối ưu cho (cid:36)n := (cid:36)n(U

sau

n, Φ∗

n, f ) = ∑

(k,s)∈K(m)

(2.8) Rm( f ) = Ln(X∗ f (2−ks)ψk,s,

n := (cid:8)ψk,s

n := G(m) = {2−ks : (k, s) ∈ K(m)}, Φ∗

(k,s)∈K(m) , và chúng ta có

(cid:9) ở đây X∗

đánh giá tiệm cận sau đây

(cid:107) f − Rm( f )(cid:107)q (cid:16) (cid:36)n (cid:16) Ω(n−1/d)n(1/p−1/q)+.

(2.9)

sup Ω f ∈U p,θ

Chứng minh. Đánh giá cận trên. Chúng ta dễ thấy rằng

(2k + 1)d (cid:28) ∑ k≤m

2dk (cid:28) 2dm. 2dm (cid:28) |G(m)| = ∑ k≤m

Do đó, từ (2.7) suy ra

Ω p,∞, ta chỉ cần chứng minh cận

2dm (cid:16) n. (2.10)

Trường hợp p ≥ q. Xuất phát từ bất đẳng thức (cid:107) f (cid:107)q ≤ (cid:107) f (cid:107)p dẫn đến chứng Ω p,θ ⊂ B

minh cho trường hợp này với q = p. Do B trên của (2.9) cho θ = ∞. Ta lấy tùy ý m ∈ Z+,

(cid:107) f − Qm( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(2−m).

(2.11)

sup Ω f ∈U p,∞

Ω p,∞. Đặt τ = min(p, 1), sử dụng Định lý 1.1 và (1.12), chúng ta

Lấy bất kỳ f ∈ U

41

(cid:107) f − Qm( f )(cid:107)τ

(cid:107)qk( f )(cid:107)τ p

p (cid:28) ∑ k>m

nhận được

(cid:28) sup k∈Z+

Ω(2−k)τ (2.12) (cid:2)(cid:107)qk( f )(cid:107)p/Ω(2−k)(cid:3)τ ∑ k>m

(cid:28) (cid:107) f (cid:107)τ B

Ω p,∞

Ω(2−k)τ.

∑ k>m

Ω(2−k)τ (cid:28) ∑ k>m

Từ (1.13) chúng ta suy ra rằng Ω(2−k) (cid:28) Ω(2−m) 2−µ(k−m) cho bất kỳ k > m. Do

{Ω(2−m)2−(k−m)µ}τ

(cid:107) f − Qm( f )(cid:107)τ

p (cid:28) ∑ k>m

{2−(k−m)µ}τ (cid:28) Ω(2−m)τ.

(cid:28) Ω(2−m)τ ∑ k>m

đó, tiếp tục đánh giá (2.12) như sau

(cid:107) f − Qm( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(n−1/d).

Điều này đồng nghĩa với việc chứng minh bất đẳng thức (2.11). Chú ý rằng số giá trị lấy mẫu trong Qm( f ) là |G(m)|. Xác định Rm( f ) = Qm( f ). Bởi (2.10), ta có

sup f ∈U

Trường hợp p < q. Đầu tiên chúng ta xem xét trường hợp p < q < ∞. Cho

Ω p,θ, bởi [17, Bổ đề 5.3] ta có

(cid:107) f − Rm( f )(cid:107)q

{2(d/p−d/q)k(cid:107)qk( f )(cid:107)p}q.

q (cid:28) ∑ k>m

f ∈ B

Nếu θ ≤ q thì

(cid:107) f − Rm( f )(cid:107)q (cid:28)

{2(d/p−d/q)k(cid:107)qk( f )(cid:107)p}θ

(cid:32) (cid:33)1/θ

∑ k>m

{(cid:107)qk( f )(cid:107)p/Ω(2−k)}θ

(cid:32) (cid:33)1/θ (2.13) 2(d/p−d/q)kΩ(2−k)

∑ k>m

(cid:28) (cid:13) (cid:13) f

(cid:28) sup k>m (cid:13) (cid:13)B

Ω p,θ

2(d/p−d/q)kΩ(2−k). sup k>m

Từ (1.13) ta nhận được

Ω(2−k)2µk (cid:28) Ω(2−m)2µm, k > m.

42

Do đó,

Ω(2−k)2(d/p−d/q)k (cid:28) Ω(2−m)2(d/p−d/q)m2(µ−(d/p−d/q))(m−k), k > m, (2.14)

suy ra, Ω(2−k)2(d/p−d/q)k (cid:28) Ω(2−m)2(d/p−d/q)m, k > m. Từ bất đẳng thức cuối

(cid:107) f − Rm( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(2−m)2(d/p−d/q)m.

cùng và (2.13) ta thấy rằng

Bởi bất đẳng thức cuối cùng và (2.10) suy ra được

(cid:107) f − Rm( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(n−1/d)n(1/p−1/q).

(2.15)

(cid:107) f − Rm( f )(cid:107)q

{2(d/p−d/q)k(cid:107)qk( f )(cid:107)p}q

{Ω(2−k)2(d/p−d/q)k}q{(cid:107)qk( f )(cid:107)p/Ω(2−k)}q.

q (cid:28) ∑ k>m = ∑ k>m

Đánh giá cận trên của ρn cho trường hợp θ ≤ q được chứng minh. Nếu θ > q thì

Hơn nữa, có một số q∗ thỏa mãn 1/q = 1/θ + 1/q∗. Áp dụng bất đẳng thức

H ¨older, ta có

(cid:107) f − Rm( f )(cid:107)q (cid:28)

{Ω(2−k)2(d/p−d/q)k}q{(cid:107)qk( f )(cid:107)p/Ω(2−k)}q

(cid:33)1/q (cid:32)

∑ k>m

(cid:28)

{Ω(2−k)2(d/p−d/q)k}q∗

{(cid:107)qk( f )(cid:107)p/Ω(2−k)}θ

(cid:33)1/q∗ (cid:32) (cid:33)1/θ (cid:32)

∑ k>m

(cid:32)

∑ k>m (cid:33)1/q∗

{Ω(2−k)2(d/p−d/q)k}q∗

(cid:28) (cid:13) (cid:13) f

Ω p,θ

. (cid:13) (cid:13)B

∑ k>m

(2.16)

Sử dụng (2.14) chúng ta tiếp tục ước lượng (2.16) như sau

{2(µ−(d/p−d/q))(m−k)}q∗

(cid:107) f − Rm( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(2−m)2(d/p−d/q)m

(cid:33)1/q∗ (cid:32)

(2.17)

∑ k>m

(cid:28) Ω(2−m)2(d/p−d/q)m.

Từ (2.17) và (2.10) suy ra (2.15). Đánh giá cận trên của ρn được chứng minh cho p < q < ∞.

43

Trong trường hợp p < q = ∞, chứng minh tương tự như trường hợp p < q <

∞ bằng cách sử dụng bất đẳng thức sau

(cid:107) f − Rm( f )(cid:107)∞ (cid:28) ∑ k>m

2dk/p(cid:107)qk( f )(cid:107)p.

Đánh giá cận dưới. Nếu W ⊂ Lq(Id) thì từ định nghĩa của ρn(W, Lq(Id)) chúng ta có

(cid:107) f (cid:107)q.

⊂Id

j=1

(2.18) ρn(W, Lq(Id)) (cid:29) inf Xn={xj}n sup f ∈W: f (xj)=0, j=1,...,n

Cố định một số r = 2m với số nguyên không âm m sao cho ρ < min(r, r − 1 + 1/p).

Cho một số nguyên η > m. Xem xét hình hộp J(s) ⊂ Id

J(s) := {x ∈ Id : 2−η+msj ≤ xj < 2−η+m(sj + 1), j = 1, . . . , d}, s ∈ Z(η),

ở đây

+ : 0 ≤ sj ≤ 2η−m − 1, j = 1, . . . , d}.

Z(η) := {s ∈ Zd

Với mỗi n cho trước, chúng ta tìm được η thỏa mãn

j=1 là một tập con tùy ý gồm n điểm trong Id. Do J(s) ∩ J(s(cid:48)) = ∅

n (cid:16) 2d(η−m) = |Z(η)| ≥ 2n. (2.19)

Đặt Xn = {xj}n với s (cid:54)= s(cid:48), và |Z(η)| ≥ 2n, có Z∗(η) ⊂ Z(η) thỏa mãn |Z∗(η)| ≥ n và

(2.20) Xn ∩ {∪s∈Z∗(η) J(s)} = ∅.

Trường hợp p ≤ q. Xem xét hàm số g∗ ∈ Σ(η) xác định bởi

g∗ := λΩ(2−η)2dη/p Mη,rs+r/2, s ∈ Z∗(η),

ở đây Mη,rs+r/2 là B-splines có bậc r. Từ (1.9) suy ra

(cid:107)g∗(cid:107)q (cid:16) λΩ(2−η)2(d/p−d/q)η,

(2.21)

(cid:107)g∗(cid:107)p (cid:16) λΩ(2−η).

và

44

Ω Do đó, từ Hệ quả 1.1 có λ > 0 độc lập với η và n sao cho g∗ ∈ U p,θ. Chú ý rằng Mη,rs+r/2(x), x /∈ J(s), cho bất kỳ s ∈ Z∗(η), và do đó, từ (2.20) g∗(xj) = 0, j = 1, . . . , n. Từ (2.18), (2.21) và (2.19) ta nhận được

(cid:36)n (cid:29) (cid:107)g∗(cid:107)q (cid:16) Ω(n−1/d)n(1/p−1/q).

Chúng ta chứng minh xong đánh giá cận dưới của (cid:36)n cho trường hợp p ≤ q.

Trường hợp p > q. xét hàm số g∗ ∈ Σ(η) xác định bởi

s∈Z∗(η)

g∗ := λΩ(2−η) ∑ Mη,rs+r/2.

Từ (1.9) ta thấy rằng

(cid:107)g∗(cid:107)q (cid:16) λΩ(2−η),

(2.22)

(cid:107)g∗(cid:107)p (cid:16) λΩ(2−η).

Ω p,θ. Chú ý

và

Do đó, từ Hệ quả 1.1 tồn tại λ > 0 độc lập với η và n sao cho g∗ ∈ U rằng g∗(xj) = 0, j = 1, . . . , n. Từ (2.18), (2.19) và (2.22) suy ra

(cid:36)n (cid:29) (cid:107)g∗(cid:107)q (cid:16) Ω(n−1/d).

(cid:3)

Đánh giá cận dưới của (cid:36)n cho trường hợp p > q được chứng minh.

2.3 Khôi phục hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp

thích nghi

Trong mục này, chúng ta nghiên cứu xấp xỉ và khôi phục hàm số không tuần

Ω p,θ với modul trơn

hoàn bằng phương pháp thích nghi trong không gian Besov B

đẳng hướng bởi các B-spline.

2.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.6. (Xem [13]). Cho 0 < p, θ ≤ ∞ và N = {Nk}k∈Q là một dãy các số tự nhiên, với Q là một tập hợp chỉ số hữu hạn. Ký hiệu bN p,θ là không

45

j }Nk

j=1}k∈Q sao cho nửa chuẩn hỗn hợp được xác

= (cid:107)x(cid:107)bN

j }}(cid:107)bN

p,θ

p,θ

p,θ định như sau

gian tất cả các dãy x = {xk}k∈Q = {{xk (cid:107){{xk là hữu hạn. Ở đây nửa chuẩn hỗn hợp (cid:107).(cid:107)bN

(cid:32) (cid:33)1/θ

(cid:107)x(cid:107)bN

p,θ

(cid:107)xk(cid:107)θ l

Nk p

:=

∑ k∈Q

p,θ là hình

p,θ.

p , đặt x =

cho θ hữu hạn, tổng được thay bằng supremum khi θ = ∞. Ký hiệu SN cầu đơn vị trong bN

k=1. Ta có x = {xk}m

p , xác định dãy (cid:8)kj

k=1 ∈ lm

Định nghĩa 2.7. (Xem [16]). Cho (cid:101) > 0, t ∈ R, ta định nghĩa hàm số [P](cid:101) (t) := m (cid:101) [t/(cid:101)] sgn (t). Cho x ∈ lm ∑ xkek, định nghĩa toán tử [P](cid:101) (x) := k=1 {[P](cid:101) (xk)}m

| ≥ . . . ≥ |xjm|.

| ≥ |xj2

|xj1

(cid:9)m j=1 sao cho

[S]G

n,(cid:101) (x) :=

)ekj.

[P](cid:101) (xkj

Khi đó cho (cid:101) > 0, n ≤ m chúng ta định nghĩa toán tử

n ∑ j=1 Định nghĩa 2.8. (Xem [16]). Bây giờ ta xem xét tất cả các cách chia đoạn I = [0, 1] thành các đoạn nhỏ, kí hiệu mỗi cách chia như vậy là ζ và |ζ| là số các đoạn trong ζ. Em là họ tất cả các cách chia ζ của đoạn [0, 1] mà |ζ| ≤ m. Q(ζ) là tập hợp tất cả các hàm f trên I sao cho trên mỗi đoạn của ζ thì f là một đa thức có bậc không quá 2r − 1. Qm là hợp của các Q(ζ) với ζ ∈ Em.

2.3.2 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi

Đầu tiên, chúng ta sẽ xây dựng phương pháp xấp xỉ và khôi phục thích nghi

với giá trị lấy mẫu tối ưu cho hàm số một biến (d = 1) thuộc không gian Besov

Ω p,θ bằng B-spline. Hơn nữa chúng ta đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ của phương pháp xấp xỉ tốt nhất thông qua các đại lượng en, rn. Sau đó chúng ta tổng

B

nk∑

quát cho trường hợp nhiều biến bằng kỹ thuật tương tự. Bổ đề 2.2. Cho k, k∗ là các số nguyên không âm với k ≤ k∗, và {nk}k∗ k=k+1 là dãy các số nguyên không âm với nk ≤ |J(k)|, k = k + 1, . . . , k∗. B là tập tất cả các hàm f có dạng

j=1

k∗ ∑ k=k+1

ck,sj Mk,sj, as Mk,s + f = ∑ s∈J(k)

46

k∗ ∑ k=k+1

với sj ∈ J(k). Khi đó B ⊂ Qm, ở đây m = 2k + 2r nk(k − k).

1 q − 1

q − 1 1

≤ C.m

p .2−n/m, với (cid:101) = C.m

p .2−n/m

(cid:12) ≤ 2n và Bổ đề 2.3. Cho 0 < p, q ≤ ∞, n ≥ m. Khi đó, tồn tại hằng số C = C(p) thỏa mãn p )(cid:12) (cid:12) (cid:12) [P](cid:101) (Bm

(cid:13)x − [P](cid:101) (x)(cid:13) (cid:13) (cid:13)q sup x∈Bm p

p )(cid:12) n,(cid:101) (Bm

1 q − 1

≤ C.n

p , ở đây (cid:101) = C.n

1 q − 1 p .

n ) và (cid:13) (cid:13)x − [S]G

n,(cid:101) (x)(cid:13) (cid:13)q

Bổ đề 2.4. Cho 0 < p ≤ q ≤ ∞, n ≤ m. Khi đó, tồn tại hằng số C = C(p) thỏa mãn (cid:12) (cid:12) [S]G (cid:12) ≤ 2n(m

sup x∈Bm p

Xem chứng minh các Bổ đề 2.2, 2.3, 2.4 trong [16].

Định lý 2.2. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞ và Ω thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.1, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p). Khi đó, ta có

(cid:29) Ω(1/n).

≥ ρn

Ω p,θ

Ω p,θ

q

q

(cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) U U (cid:101)n

Ω ∞,θ ⊂ βU

Ω p,θ, với một hằng số nhân β, điều đó có nghĩa chỉ

Chứng minh. Do U

(cid:28) (cid:107) f (cid:107)∞(cid:14)Ω(2−k),

(cid:107) f (cid:107)B

Ω ∞,θ

cần chứng minh cho trường hợp p = ∞. Từ Hệ quả 1.1 chúng ta có

f ∈ Σ(k). Sử dụng bất đẳng thức này và chứng minh tương với bất kỳ k ∈ Z+,

tự như Định lý 5.3 trong [16] ta nhận được

Ω p,θ)q (cid:29) Ω(1/n).

ρn(U

Hơn nữa, nếu tập hợp B có lực lượng không quá 2n thì giả chiều của nó không

vượt quá n. Do đó

(cid:29) Ω(1/n).

≥ ρn

Ω p,θ

Ω p,θ

q

q

(cid:3)

(cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:17) U U (cid:101)n

Sau đây là các kết quả chính nhận được khi chúng tôi nghiên cứu xấp xỉ và

khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu. Chúng ta ký hiệu Σn(M) là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của n phần tử trong M.

47

Định lý 2.3. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞ và Ω thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.1. Nếu µ > 1/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p) thì

Ω p,θ)q (cid:16) Ω(1/n).

(2.23) rn(U

n thỏa mãn

(cid:107) f − SB

Ngoài ra, chúng ta xây dựng được tập hợp B trong Σn(M) sao cho dimp(B) ≤ n và một phương pháp SB

n ( f )(cid:107)q (cid:16) Ω(1/n).

(2.24)

sup Ω f ∈U p,θ

Chứng minh.

Ω p,∞ nên ta chỉ cần chứng minh (2.24) cho U := U

Ω p,∞. Chúng

Ω p,θ ⊂ B

Cận trên. Do B

ta cần khẳng định sau đây: Tồn tại C = C(r) thỏa mãn

(2.25) dimp(Qm) ≤ Cm

(xem chứng minh của [16, Định lý 3.1]). Đầu tiên ta xét trường hợp p ≥ q. Do bất đẳng thức (cid:107) f (cid:107)q ≤ (cid:107) f (cid:107)p nên chỉ cần

chứng minh trường hợp này cho q = p. Thấy rằng với bất kỳ k ∈ Z+, ta có

(cid:107) f − Qk( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(2−¯k).

(2.26) sup f ∈U

(cid:107)qk( f )(cid:107)τ p

(cid:107) f − Qk( f )(cid:107)τ

p (cid:28) ∑ k>¯k

Lấy bất kỳ f ∈ U. Đặt τ = min(p, 1), từ Định lý 1.1 và (1.12) suy ra

(cid:28) sup k∈Z+

Ω(2−k)τ (2.27) (cid:2)(cid:107)qk( f )(cid:107)p/Ω(2−k)(cid:3)τ ∑ k>¯k

(cid:28) (cid:107) f (cid:107)τ B

Ω p,θ

Ω(2−k)τ.

∑ k>¯k

Ω(2−k)τ (cid:28) ∑ k>¯k

Bởi tính chất (ii) trang 12 của hàm số Ω, ta nhận thấy rằng Ω(2−k) (cid:28) Ω(2−k) khi k > ¯k. Từ (1.13), chúng ta suy ra Ω(2−k) (cid:28) Ω(2−k) 2−µ(k−k) khi k > ¯k. Do đó,

{Ω(2−k)2−(k−k)µ}τ

(cid:107) f − Qk( f )(cid:107)τ

p (cid:28) ∑ k>k

tiếp tục ước lượng (2.27) như sau

48

{2−(k−k)µ}τ (cid:28) Ω(2−k)τ.

(cid:28) Ω(2−k)τ ∑ k>k

Chúng ta chứng minh được bất đẳng thức (2.26).

Từ Bổ đề 2.2 chúng ta có kết quả sau: Đặt k, k∗ là các số nguyên không âm k=k+1là một dãy các số nguyên không âm thỏa mãn nk ≤

nk∑

sao cho k ≤ k∗, và {nk}k∗ |J(k)|, k = k + 1, . . . , k∗. Đặt B là tập hợp tất cả các hàm số f có dạng

j=1

k∗ ∑ k=k+1

(2.28) ck,sj Mk,sj, as Mk,s + f = ∑ s∈J(k)

k∗ ∑ k=k+1

Qm, ở đây m = 2k. Ta có dimp(Qm) ≤ C.m, C là một hằng số. Chú ý rằng số giá trị lấy mẫu trong Qk( f ) là 2k + 1. Cho trước một số n ∈ Z+ xác định k thỏa mãn

với sj ∈ J(k). Khi đó B ⊂ Qm, ở đây m = 2k + 2r nk(k − k). Do đó Qk( f ) ∈

C(cid:48).n < max{2k + 1, C2k} ≤ n.

Từ 1/n (cid:16) 2−k và các tính chất (ii)–(iii) của Ω suy ra

Ω(2−k) (cid:16) Ω(1/n). (2.29)

n ( f ) = Qk( f ) với B = Qm. Từ (2.26) và (2.29), suy ra

(cid:107) f − SB

n ( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(1/n).

Xác định SB

sup f ∈U

Ω p,θ)q. Tiếp theo, ta xét trường hợp p < q. Cho mỗi f ∈ U chúng ta có

Do đó, ta được cận trên của rn(U

∞ ∑ k=0

∞ ∑ k=k+1

f = qk( f ) , qk( f ) = Qk( f ) +

với bất kỳ k và

ck,s( f ).Mk,s. qk( f ) = ∑ s∈J(k)

(cid:107)qk( f )(cid:107)p (cid:16) 2−k/p(cid:107) (cid:8)ck,s( f )(cid:9) (cid:107)p,k (cid:28) Ω(2−k), ∀k ≥ 0.

Từ (1.15) ta suy ra được

49

Đặt mk = |J(k)| = 2k + 2r − 1, k, k∗ là các số nguyên không âm với k < k∗ và {nk}k∗ dãy các số nguyên không âm thỏa mãn nk ≤ mk. Xác định phương k=k+1 pháp khôi phục

k∗ ∑ k=k+1

(2.30) Gk(qk( f )), G( f ) := Qk( f ) +

( f )|,

( f )| ≥ |ck,s2

|ck,s1

( f )| ≥ . . . ≥ |ck,smk

ở đây Qk( f ) là phần tuyến tính không thích nghi của G( f ) và phần phi tuyến thích nghi được xác định là tổng của các thuật toán tham lam Gk. Cho mỗi k = k + 1, . . . , k∗, Gk(qk( f )) xác định như sau. Chúng ta sắp xếp dãy {ck,s( f )}s∈J(k) sao cho

nk∑

và xác định

( f ).Mk,sj.

j=1

Gk(qk( f )) = ck,sj

Đặt δ = 1/p − 1/q. Nếu k = k + 1, . . . , k∗, thì

|q

(cid:33)1/q

mk∑

(cid:107)q (cid:16) 2−k/q.

(cid:107)qk( f ) − Gk(qk( f ))(cid:107)q = (cid:107)

|ck,sj

j=nk+1

j=nk+1

(cid:32) mk∑

|p

( f ).Mk,sj ck,sj (cid:32) mk∑

|ck,sj

≤ 2−k/qn−δ k

j=1

(cid:33)1/p

(cid:28) 2δkn−δ k

.Ω(2−k). (2.31) .(cid:107)qk( f )(cid:107)p (cid:28) 2δkn−δ k

1/q

1/p

Nếu k > k∗ thì chúng ta có

≤ 2−k/q

 

(cid:107)qk( f )(cid:107)q = 2−k/q

|ck,s|q

|ck,s|p

    ∑ s∈J(k)   ∑ s∈J(k)

(cid:16) 2δk.(cid:107)qk( f )(cid:107)p ≤ 2δk.Ω(2−k).

(2.32)

Xem xét ánh xạ G từ U đến B xác định bởi (2.30). Đặt B là tập hợp của B-splines có dạng (2.28). Khi đó G( f ) ∈ B. Theo Bổ đề 2.2, ta có B ⊂ Qm với m =

k∗ ∑ k=k+1

2k + 2r nk(k − k). Do dimp(Qm) ≤ C.m nên ta nhận được dimp(B) ≤ C.m.

Chúng ta xác định k, k∗, và một dãy {nk} với nk ≤ mk như sau.

– k xác định bởi C1.2k ≤ n < C2.2k, ở đây C1, C2 là các giá trị hằng số được

chọn dưới đây.

50

– Số lượng các giá trị lấy mẫu trong G( f ) không vượt quá

k∗ ∑ k=k+1

m(cid:48) = (2k + 1) + (2µ + 2r) nk.

– Cố định một số (cid:101) sao cho 0 < (cid:101) < (µ − δ)/δ, chúng ta chọn k∗ và một dãy

{nk}k∗

k=k+1

với

k∗ = (cid:98)(cid:101)−1 log(λn)(cid:99) + k + 1,

và

nk = (cid:98)λn.2−(cid:101)(k−k)(cid:99), k = k + 1, . . . , k∗,

λ là một hằng số dương.

(cid:107) f − SB

(cid:107)qk( f ) − Gk(qk( f ))(cid:107)τ

n ( f )(cid:107)τ

q ≤

(cid:107)qk( f )(cid:107)τ q

q + ∑ k>k∗

(cid:28)

Xác định C1, C2, λ sao cho nk ≤ mk, k = k + 1, . . . , k∗, C.m ≤ n, m(cid:48) ≤ n. Do đó, phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SB n ( f ) = G( f ) có dạng (2.2) và dimp(B) ≤ n. Chúng ta ước lượng (cid:107) f − SB n ( f )(cid:107)q. Cố định τ với 0 < τ < min(q, 1). Từ (2.31), (2.32) và (1.12) ta thấy rằng với mỗi f ∈ U,

k

k∗ ∑ k=k+1 k∗ ∑ k=k+1

2τ.δk.n−δτ 2τ.δk.Ω(2−k)τ. .Ω(2−k)τ + ∑ k>k∗

Mặt khác, từ (1.13) chúng ta có

Ω(2−k) (cid:28) 2µ(k−k)Ω(2−k), k > k,

và

), k > k∗.

Ω(2−k) (cid:28) 2µ(k∗−k)Ω(2−k∗

51

(cid:107) f − SB

Từ hai bất đẳng thức cuối cùng ta thấy rằng

n ( f )(cid:107)τ

q (cid:28)

+

)}τ

2τ.δk.{(cid:98)λn.2−(cid:101)(k−k)(cid:99)}−δτ.{2µ(k−k)Ω(2−k)}τ

(cid:28)

2τ.δk.{2(k∗−k)µ.Ω(2−k∗

+

)

2τ.δk.n−δτ.2(cid:101).δ.τ.(k−k).2τ.(k−k)µ.Ωτ(2−k)

2τ.δk.2τ(k∗−k)µ.Ωτ(2−k∗

(cid:28)

(2.33)

+

)

2τ(k−k)((cid:101)δ−µ+δ).Ωτ(2−k)

k∗ ∑ k=k+1 ∞ ∑ k=k∗+1 k∗ ∑ k=k+1 ∞ ∑ k=k∗+1 k∗ ∑ k=k+1 ∞ ∑ k=k∗+1

(cid:28) Ωτ(2−k)

2τ(k∗−k)(µ−δ).2τδk∗ .Ωτ(2−k∗

k∗ ∑ k=k+1

)

+ 2τδk∗

2τ(k−k)((cid:101)δ−µ+δ)

∞ ∑ k=k∗+1

(cid:107) f − SB

).

.Ωτ(2−k∗ 2τ(k∗−k)(µ−δ).

(2.34) Do (cid:101)δ − µ + δ < 0, µ − δ > 0, từ (2.33) chúng ta nhận được n ( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(1/n) + 2δk∗Ω(2−k∗

Hơn nữa, từ 2δk∗ (cid:16) n(1+1/(cid:101))δ và (1.13) suy ra rằng

) (cid:28) 2−(k∗−k)µ.Ω(2−k) (cid:16) n−µ/(cid:101).Ω(2−k) (cid:16) n−µ/(cid:101)Ω(1/n).

Ω(2−k∗

Do đó,

) (cid:28) n(1+1/(cid:101))δn−µ/(cid:101)Ω(1/n) (cid:28) n((cid:101)δ−µ+δ)/(cid:101).Ω(1/n) (cid:28) Ω(1/n).

2δk∗Ω(2−k∗

Ω p,θ)q trong trường hợp p < q. Ω p,θ)q ≥ Ω(1/n). Do đó, ta được

Ước lượng này và (2.34) cho ta cận trên của rn(U

Ω p,θ)q.

(cid:3)

Cận dưới. Từ Định lý 2.2 và (2.6) ta nhận được rn(U cận dưới của rn(U

Định lý 2.4. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞ và Ω thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1. Nếu µ > 1/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p) thì chúng ta có

(cid:16) Ω(1/n).

Ω p,θ

q

(cid:17) (cid:16) U (2.35) en

52

n dạng (2.2) sao cho

(cid:16) Ω(1/n).

Đặc biệt, chúng ta xây dựng được tập hợp B trong Σn(M) có |B| ≤ 2n và một phương pháp SB

n ( f )(cid:13) (cid:13)q

(2.36) (cid:13) (cid:13) f − SB

sup Ω f ∈U p,θ

Chứng minh.

Cận trên. Để chứng minh (2.35), chúng ta cần chứng minh (2.36). Cũng như trong

Ω p,∞ là đủ. Bởi Định lý

chứng minh Định lý 2.3 ta chỉ cần chứng minh cho U := U

1.1 ta biểu diễn bất kỳ hàm số f ∈ U sau đây

∞ ∑ k=0

f = ck,s( f )Mk,s. qk( f ) = ∑ s∈J(k)

Hơn nữa, từ (1.15) của Định lý 1.1 ta nhận được

(cid:16) 2−k/p(cid:107) (cid:8)ck,s

(2.37) (cid:9) (cid:107)p,k (cid:28) Ω(2−k), ∀k ≥ 0. (cid:13)qk( f )(cid:13) (cid:13) (cid:13)p

n của (2.2) thỏa mãn đẳng thức (2.36).

Trên cơ sở của biểu diễn này ta sẽ xây dựng một tập hợp con B có |B| ≤ 2n, và một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SB

Trường hợp p < q. Cho một số nguyên dương n, chúng ta lấy k = k(n) thỏa mãn

(2.38) C1.2k ≤ n ≤ C2.2k,

ở đây C1, C2 là các hằng số sẽ được chọn sau.

Đặt δ = 1/p − 1/q, ta có 0 < δ < µ. Chúng ta chọn số (cid:101) cố định thỏa mãn

0 < (cid:101) < min {1, (µ − δ)/δ} . (2.39)

k=0 cho bởi

Đặt dãy số {nk}k∗

(cid:98)mk.2(1−(cid:101))(k−k)(cid:99) + 1 (cid:98)mk.2(1+(cid:101))(k−k)(cid:99)

nếu 0 ≤ k ≤ k   (2.40) nk := nếu k < k ≤ k∗, 

(Bmk

ở đây mk = |J(k)| = (2k + 2r − 1). Dễ dàng kiểm tra rằng nk > 0 với k ≤ k(1 + (cid:101))/(cid:101) − k0, ở đây k0 = k0((cid:101)) là một hằng số dương. Do (1 + (cid:101))/(cid:101) > µ/(µ − δ), chúng ta cố định một số γ sao cho (1 + (cid:101))/(cid:101) > γ > µ/(µ − δ).

p )(cid:12)

Đặt k∗ = (cid:98)γk(cid:99) và cho k đủ lớn, ta có nk > 0, ∀k ≤ k∗. Đặt 0 ≤ k ≤ k, thì (cid:12) ≤ 2nk và nk ≥ mk . Theo Bổ đề 2.3, có một hằng số C = C(p) sao cho (cid:12) (cid:12) [P](cid:101)k

≤ C.m−δ k

(x)(cid:13) (cid:13)l

l

mk q

mk p

.2−nk/mk(cid:107)x(cid:107) , (2.41) (cid:13) (cid:13)x − [P](cid:101)k

53

q và

.2−nk/mk. Chúng ta xác định một tập hợp con Bk của Lq và một

s∈J(k) như là một phần tử của lmk c∗ k,s( f )Mk,s,

ở đây (cid:101)k = c.m−δ k ánh xạ Sk : U → Bk như sau: Xem (cid:8)ck,s( f )(cid:9)

Sk( f ) := ∑ s∈J(k)

s∈J(k)

= [P](cid:101)k

s∈J(k)

(Bmk

(cid:17) (cid:110) (cid:111) ở đây . Đặt Bk := Sk(U), ta có c∗ k,s( f )

p )(cid:12)

(cid:12) ≤ 2nk, (cid:16)(cid:8)ck,s( f )(cid:9) |Bk| ≤ (cid:12) (cid:12) [P](cid:101)k

(cid:107)qk( f ) − Sk( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(2−k).2−nk/mk.

và do bởi (2.37), (2.41), cho mỗi f ∈ U,

Do đó, từ (2.40) ta nhận được

(cid:107)qk( f ) − Sk( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(2−k).2−2(1−(cid:101))(k−k)

. (2.42)

(Bmk

) và

nk,(cid:101)k

p )| ≤ 2nk(mk nk

(cid:107)x − [S]G

(x)(cid:107)

≤ C.n−δ

Đặt k < k ≤ k∗, thì nk < mk . Theo Bổ đề 2.4 có một hằng số C = C(p) sao cho | [S]G

k (cid:107)x(cid:107)

nk,(cid:101)k

l

l

mk q

mk p

, (2.43)

. Tương tự trường hợp 0 ≤ k ≤ k, chúng ta xác định một tập con

ở đây (cid:101)k = C.n−δ k Bk của Lq và một ánh xạ Sk : U → Bk như sau

c∗ k,s( f )Mk,s, Sk( f ) := ∑ s∈J(k)

= [S]G

(Bmk

p )(cid:12)

nk,(cid:101)k

nk,(cid:101)k

((cid:8)ck,s c∗ k,s( f ) ) và do bởi (2.37), (2.40), (2.43), cho mỗi f ∈ U

(cid:110) (cid:111) (cid:12) [S]G (cid:12) ≤ (cid:9)). Đặt Bk := Sk(U). Ta có |Bk| ≤ (cid:12)

ở đây 2nk(mk nk

(cid:107)qk( f ) − Sk( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(2−k).2δ(1+(cid:101))(k−k).

(2.44)

Từ (1.13), chúng ta thấy rằng Ω(2−k) (cid:28) Ω(2−k) 2−µ(k−k) với k > ¯k. Do đó, từ

(2.44) suy ra được

(cid:107)qk( f ) − Sk( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(2−k).2−β(k−k),

(2.45)

ở đây β = µ − δ(1 + (cid:101)) > 0. Cuối cùng, đặt k > k∗, từ (1.9) và (2.37) cho mỗi f ∈ U, thì

(cid:107)qk( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(2−k).2δk, k = k∗, k∗ + 1, . . .

(2.46)

54

k∗ ∑ k=0

Để xấp xỉ hàm số f ∈ U chúng ta xác định ánh xạ S := Sk. Chúng ta có,

{qk( f ) − Sk( f )} +

∞ ∑ k∗+1

k∗ ∑ k=0

f − S( f ) = qk( f ).

(cid:107) f − Sk( f )(cid:107)τ

(cid:107)qk( f ) − Sk( f )(cid:107)τ

q ≤

q +

(cid:107)qk( f )(cid:107)τ q

∞ ∑ k∗+1 Ωτ(2−k)2−τ2(1−(cid:101))(k−k)

Cố định 0 < τ ≤ min(q, 1). Do (2.42), (2.45), (2.46) và (1.12), ta suy ra

k∗ ∑ k=0 (cid:28) ∑ 0≤k≤k

+ ∑

(2.47)

k
Ωτ(2−k)2τδk. Ωτ(2−k)2−τβ(k−k) + ∑ k>k∗

Bởi (1.14) ta có

Ω(2−k).(2−k)−ρ (cid:28) Ω(2−k).(2−k)−ρ, k ≤ k.

Do đó,

Ω(2−k) (cid:28) 2ρ(k−k)Ω(2−k), k ≤ k. (2.48)

Từ (1.13), ta nhận được

), k > k∗,

Ω(2−k) (cid:28) 2µ(k∗−k)Ω(2−k∗

và

) (cid:28) 2µ(k−k∗)Ω(2−k).

Ω(2−k∗

Do đó,

(2.49) Ω(2−k) (cid:28) 2µ(k∗−k)2µ(k−k∗)Ω(2−k), k > k∗.

Vì vậy, từ (2.48), (2.49), ta tiếp tục ước lượng (2.47) như sau

(cid:107) f − Sk( f )(cid:107)τ

q (cid:28) Ωτ(2−k) ∑ 0≤k≤k

+ Ωτ(2−k) ∑

2τρ(k−k).2−τ2(1−(cid:101))(k−k)

k
2−τβ(k−k)

+ Ωτ(2−k) ∑ k>k∗

2τ.µ.k.2τ(δ−µ)(k−k∗)2τ(δ−µ)k∗ .

55

, k ≤ k và k∗ = (cid:98)γk(cid:99),

(cid:107) f − Sk( f )(cid:107)τ

q (cid:28) Ωτ(2−k) + Ωτ(2−k) + Ωτ(2−k).2τµk−τ(µ−δ).γ.k (cid:28) Ωτ(2−k) + Ωτ(2−k) + Ωτ(2−k)2τk[µ−(µ−δ)γ] (cid:28) Ωτ(2−k) (cid:16) Ωτ(1/n).

Mặt khác, chúng ta có 2τρ(k−k) (cid:28) 2τ2(1−(cid:101))(k−k) µ − (µ − δ)γ < 0. Do đó, với mỗi f ∈ U,

Điều này có nghĩa rằng

(2.50) (cid:13) f − S( f )(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:28) Ω(1/n). sup f ∈U

k∗ ∑ k=0

Chú ý rằng S là ánh xạ từ U vào B := Bk và số lượng giá trị lấy mẫu xác định

S( f ) không vượt quá

k∗ ∑ k=k+1

(2.51) m(cid:48) := (2k + 1) + (2µ + 2r) nk.

Hơn nữa, bởi (2.40) chúng ta nhận được

k∗ ∑ k=0

k
(cid:19)(cid:19) (cid:18) . log |B| ≤ 2−(cid:101)(k−k)2k + ∑ 2−(cid:101)(k−k)2k + log (cid:18)mk nk log |B| (cid:28) ∑ 0≤k≤k

≤ 2−(cid:101)(k−k)2k (cid:16)

≤ nk. log

(cid:19) (cid:17) b + (1 + (cid:101))(k − k) , log Áp dụng công thức Stirling ta được (cid:18)mk nk bmk nk

ở đây b là một hằng số. Do đó, log |B| ≤ C(cid:48).2k, với C(cid:48) là một hằng số. Từ bất đẳng

thức cuối cùng và (2.51) chúng ta có thể chọn C1, C2 sao cho số lượng giá trị lấy mẫu m(cid:48) ≤ n và |B| ≤ 2n.

không quá 2n và một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SB

Tóm lại, chúng ta xây dựng được một tập hợp con B trong Σn(M) có lực lượng n := S của (2.2) thỏa mãn bất đẳng thức (2.50) và do đó, ta được đánh giá chặn trên của (2.35) và

(2.36) cho trường hợp p < q.

Trường hợp p ≥ q. Để đơn giản, chúng ta sử dụng các ký hiệu giống như trong trường hợp p < q. Chúng ta cố định (cid:101) với 0 < (cid:101) < 1 và chọn {nk}k k=0 như trong (2.40) cho 0 ≤ k ≤ k. Khi đó chúng ta có thể xây dựng một tập hợp con Bk với

56

|Bk| ≤ 2nk trong Lq và một ánh xạ Sk : U → Bk thỏa mãn bất đẳng thức (2.42). Xác định ánh xạ

k ∑ k=0

S := Sk.

(cid:107) f − S( f )(cid:107)q (cid:28) Ω(1/n).

Cố định một số 0 < τ ≤ min(q; 1). Tương tự, từ (2.37), (2.42) và bất đẳng thức (cid:107)qk( f )(cid:107)q (cid:28) (cid:107)qk( f )(cid:107)p chúng ta chứng minh bất đẳng thức sau đây

sup f ∈U

k ∑ k=0

Chú ý rằng S : U → B := Bk, và số giá trị lấy mẫu xác định S( f ) là (2k + 1).

Hơn nữa, bởi (2.40) ta có

k ∑ k=0

log |B| ≤ 2−(cid:101)(k−k)2k (cid:28) C(cid:48).2k,

log |Bk| (cid:28) ∑ 0≤k≤k

Ω

ở đây C(cid:48) là một hằng số. Bởi bất đẳng thức cuối cùng chúng ta có thể chọn được giá trị của C1, C2 sao cho số giá trị lấy mẫu xác định S( f ) không quá n và |B| ≤ 2n. Do đó, chúng ta chứng minh được định lý cho trường hợp p ≥ q.

p,θ)q ≥ Ω(1/n). Do

Cận dưới. Từ Định lý 2.2 và (2.6) chúng ta nhận được en(U

Ω p,θ)q.

(cid:3)

đó, chúng ta chứng minh được cận dưới của en(U

Bằng cách chứng minh tương tự, chúng ta có thể tổng quát các kết quả cho trường hợp hàm số nhiều biến f ∈ Łq(Id), d > 1, cụ thể có thể phát biểu dưới các định lý sau đây.

Ω

Định lý 2.5. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞ và Ω là hàm số thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1. Nếu µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p) thì

p,θ)q (cid:16) Ω(n−1/d).

rn(U

n thỏa mãn

(cid:107) f − SB

n ( f )(cid:107)q (cid:16) Ω(n−1/d).

Hơn nữa, chúng ta xây dựng được tập hợp con B trong Σn(M) sao cho dimp(B) ≤ n và một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SB

sup Ω f ∈U p,θ

57

Định lý 2.6. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1. Nếu µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), thì chúng ta có

(cid:16) Ω(n−1/d).

Ω p,θ

q

(cid:17) (cid:16) U en

n của (2.2) sao cho

(cid:16) Ω(n−1/d).

Ngoài ra, chúng ta xây dựng được một tập hợp con B trong Σn(M) có |B| ≤ 2n và một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SB

n ( f )(cid:13) (cid:13)q

(cid:13) (cid:13) f − SB

sup Ω f ∈U p,θ

2.4 Kết luận

Trong chương này chúng tôi đạt được những kết quả mới về khôi phục hàm

số không tuần hoàn có độ trơn đẳng hướng bằng phương pháp tuyến tính và

Ω p,θ. Các kết quả chính của Chương này là các Định lý 2.1, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6. Kết quả về khôi

phương pháp thích nghi với giá trị lấy mẫu trong không gian Besov B

phục hàm số bằng phương pháp tuyến tính cho lớp hàm số không tuần hoàn có

trơn hỗn hợp thuộc không gian Besov B

p,θ. Vì mở rộng, tổng quát cho không gian Besov B

Ω p,θ nên việc chứng minh các định lý gặp nhiều khó khăn, đòi hỏi phải sử dụng các kỹ thuật tùy theo tính chất của hàm Ω và phù hợp với không gian đang nghiên cứu.

độ trơn đẳng hướng là mở rộng kết quả của lớp hàm số không tuần hoàn có độ Ω p,θ (xem [18]). Kết quả về khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi là tổng quát kết quả trong không gian Besov Bα

58

Chương 3

KHÔI PHỤC VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ TUẦN HOÀN CÓ ĐỘ TRƠN HỖN HỢP

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một trong những phương pháp khôi

p,θ (xem Định nghĩa 1.5), vì vậy ta dùng đa thức lượng giác là công cụ để khôi phục và xấp xỉ hàm số. Chúng

phục thích nghi cho lớp hàm số tuần hoàn f ∈ BA

tôi xây dựng được phương pháp phi tuyến thích nghi, đồng thời đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ qua các độ dày entropy (cid:101)n(U A p,θ, Lq) và độ dày phi tuyến ρn(U A p,θ, Lq) và các đại lượng khôi phục thích nghi khác.

Các kết quả chính của Chương 3 được trình bày trong các mục 3.1, 3.2. Trong

+. Cụ thể là xây dựng được phương pháp phi tuyến thích nghi để khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov Ba

p,θ, đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp qua các đại lượng đặc trưng. Trong trường hợp này chúng tôi đề xuất được

Mục 3.1, chúng tôi nghiên cứu cho trường hợp đặc biệt A = {a}, a ∈ Rd

cách chứng minh đơn giản hơn so với trường hợp tổng quát. So với các công trình

đã được công bố gần nhất thì việc mở rộng cho một véc tơ a có các thành phần

khác nhau đòi hỏi sử dụng nhiều kỹ thuật biến đổi, nhiều bổ đề bổ trợ để đưa về

trường hợp quen thuộc là véc tơ có các thành phần bằng nhau. Đây là một kết quả

mới đã được trình bày ở bài báo [CT3] công bố trên tạp chí Journal of Computer

p,θ, vấn đề đặt ra là chúng ta không thể sử dụng các kỹ thuật như trong p,θ được nữa, mà cần dùng các kỹ thuật phức tạp hơn, cách chia miền hợp lý và tính chất các chỉ số của A. Kết quả này là một trong những kết

Science and Cybernetics. Trong Mục 3.2, chúng tôi nghiên cứu cho không gian tổng quát BA không gian Ba

quả mới của luận án, trình bày trên cơ sở bài báo [CT4] đã được chấp nhận đăng

trên tạp chí Southeast Asian Bulletin of Mathematics.

Đặt Φ = {ϕk}k∈Q là một họ các phần tử trong Lq. Ký hiệu Mn(Φ) là đa tạp

59

ak ϕk, trong đó K là phi tuyến tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính có dạng ϕ = ∑ k∈K

một tập hợp con của Q có số phần tử là n. Ta gọi Lq-xấp xỉ từ n phần tử của hàm số f ∈ Lq liên quan đến họ Φ là Lq-xấp xỉ của f bởi các phần tử từ Mn(Φ). Để đánh giá cận trên cho các ước lượng tiêm cận của (cid:101)n(U A p,θ, Lq), chúng ta sử dụng một xấp xỉ phi tuyến Lq-xấp xỉ đối với họ

+

. V := {ϕk,s}s∈Qk,k∈Zd

Chú ý rằng họ V được xây dựng từ tịnh tiến bản nguyên của các cặp đôi tích hỗn

hợp tensor nhân nhiều biến de la Vallée Poussin.

+, ký hiệu Ao

+ := {x ∈ Rd

+ : (a, x) ≤ 1, a ∈ A} và + : |x|1 =

+}, s := dim{x ∈ Ao

Cho một tập con A ⊂ Rd

α = α(A), s = s(A), ở đây 1/α := sup{|x|1 : x ∈ Ao (a, x) gọi là hàm giá của A. 1/α}. Đặt S(A, x) := sup a∈A

3.1 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp phi tuyến

trong không gian Ba

p,θ

+. khi đó chúng ta xây dựng được phương pháp phi tuyến thích nghi để xấp xỉ và khôi phục lớp hàm số tuần hoàn thuộc không gian Besov Ba

p,θ, đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ của phương pháp đó, đây là một kết quả mới của Luận án trên cơ sở bài báo [CT3]

Trong phần này ta xét trường hợp A = {a}, a ∈ Rd

được công bố trên tạp chí Journal of Computer Science and Cybernetics.

+ : S(A, k) ≤ ξ}. Chúng ta có

Bổ đề 3.1. Đặt Dξ := {k ∈ Zd

2|k|1 (cid:16) 2ξ/αξs.

∑ k∈Dξ

+ : (a, k) ≤ ξ}, ξ > 0. Khi đó tồn tại các hằng số

Bổ đề này đã được chứng minh trong [12].

Bổ đề 3.2. (i) Đặt Gξ := {k ∈ Zd dương C1 và C2 sao cho

(3.1) 2|k|1 ≤ C12ξ/rξs. C22ξ/rξs ≤ ∑ k∈Gξ

60

j=1 là một dãy số dương bất kỳ

(ii) Cho một số cố định λ > r log2 C1/C2, đặt {ξ j}∞

thỏa mãn ξ j+1 − ξ j ≥ λ, j ≥ 1. Khi đó ta có

\Gξj

(3.2) 2|k|1 (cid:16) 2ξ j/rξs j .

∑ k∈Gξj+1

Chứng minh. (i) Kết quả này được suy ra từ Bổ đề 3.1.

(ii) Từ (3.1), chúng ta có

\Gξj

2|k|1 = ∑ 2|k|1

∑ k∈Gξj+1

k∈Gξj+1 ≥ C22ξ j+1/rξs ≥ C22(ξ j+λ)/r(ξ j + λ)s − C12ξ j/rξs j ≥ (C22λ/r − C1)2ξ j/rξs j .

2|k|1 − ∑ k∈Gξj j+1 − C12ξ j/rξs j

Do đó

\Gξj

2|k|1 (cid:16) 2ξ j/rξs j .

∑ k∈Gξj+1

(cid:3)

∞ → M thỏa mãn

Chứng minh được hoàn thành.

(cid:107)x − S(x)(cid:107)lm∞ ≤ C(p)m−1/ρ2−n/m.

Bổ đề 3.3. Cho 0 < p ≤ 1, và một số nguyên dương m. Với bất kỳ số nguyên dương ∞ có lực lượng không quá 2n n ≥ m chúng ta có thể xây dựng được tập hợp con M của lm và một ánh xạ S : lm

sup x∈Bm p

∞,τ có lực lượng không quá 2n(m

Nk, chúng

Bổ đề 3.4. Cho 0 < p, θ, τ ≤ ∞. Với bất kỳ số nguyên dương n < m = ∑ k∈Q n ) và một ánh

p,θ → M thỏa mãn

≤ C(p)n−1/p |Q|1/τ+(1/p−1/θ)+.

(cid:107)x − S(x)(cid:107)bN∞,τ

ta có thể xây dựng một tập hợp con M ⊂ bN xạ S : bN

sup x∈SN p,θ

Bổ đề 3.3 và Bổ đề 3.4 đã được chứng minh trong [13].

Các kết quả chính về phương pháp xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương

p,θ được phát biểu trong các định lý sau

pháp phi tuyến trong không gian Besov Ba

đây.

61

Định lý 3.1. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Chúng ta có

p,θ, Lq) (cid:28) (n/ logs n)−r(log n)s(1/2−1/θ).

p,θ, Lq) ≤ en(Ua

(3.3) (cid:101)n(Ua

n : Ua

p,θ → B có dạng (2.2) thỏa mãn

Ngoài ra, xây dựng được một tập con hữu hạn V∗ của V, một tập hợp con B trong Mn(V∗) có |B| ≤ 2n, và một ánh xạ SB

(cid:107) f − SB

n ( f )(cid:107)q (cid:28) (n/ logs n)−r(log n)s(1/2−1/θ).

p,θ, B, Lq) ≤ sup f ∈Ua p,θ

E(Ua

Định lý 3.1 được suy ra từ định lý:

Định lý 3.2. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, 0 < τ ≤ θ và r > 1/p. Ta có

p,θ, Bq,τ) (cid:28) Eθ,τ(n),

p,θ, Bq,τ) ≤ en(Ua

(3.4) (cid:101)n(Ua

ở đây Eθ,τ(n) = (n/ logs n)−r(log n)s(1/τ−1/θ).

Ngoài ra, xây dựng được một tập hợp con V∗ trong V, một tập hợp con B trong

n : Ua

p,θ → B có dạng (2.2) thỏa mãn

Mn(V∗) có |B| ≤ 2n và một ánh xạ SB

(cid:107) f − SB

n ( f )(cid:107)Bq,τ (cid:28) Eθ,τ(n).

p,θ, B, Bq,τ) ≤ sup f ∈Ua p,θ

E(Ua (3.5)

+. Ký hiệu Λ = {

d ∑ aiki : ki ∈ i=s+2 j=1 ⊂ Λ thỏa mãn ν2,j −

Chứng minh. Ta thấy rằng (3.4) suy ra từ (3.5), và do đó, nó đủ để chứng minh

(3.5). Lấy k = (k1, k2, ..., ks+1, ks+2, ..., kd) ∈ Zd Z+, i = s + 2, ..., d }. Cố định một dãy con Λ(cid:48) := {ν2,j}∞ ν2,j−1 > max{ad, λ} (số λ được xác định trong Bổ đề 3.2).

= Gν2,j \ Gν2,j−1, j ≥ 2 và

ν2,j

d ∑ i=s+2

aiki ≤ ν2,j}, D(cid:48)

D(cid:48)

p,θ là biểu diễn được thành chuỗi

Đặt Gν2,j := {(ks+2, ..., kd) : ν2,1 := Gν2,1. Từ (1.53), (1.54) suy ra rằng bất kỳ f ∈ Ba

ν=(ν1,ν2)

f = ∑ (3.6) fν,

hội tụ theo chuẩn trong Bq,τ, với bất kỳ ν = (ν1, ν2) ∈ Z+ × Λ và

(3.7) fk,s ϕk,s, fν = ∑ k∈Dν

∑ s∈Qk

62

ν := {(k1, k2, ..., ks+1) : k1 + k2 + · · · + ks+1 = ν1}.

ν2,j, D(cid:48)(cid:48)

ν ∩ D(cid:48) ở đây Dν := D(cid:48)(cid:48) Ngoài ra, có các tương đương chuẩn

(cid:107) fν(cid:107)Ba

(cid:16) 2rν1+ν2(cid:107){{2−|k|1/p fk,s}}(cid:107)

p,θ

,

bNν p,θ

(cid:107) fν(cid:107)Bq,τ (cid:16) (cid:107){{2−|k|1/q fk,s}}(cid:107)

(3.8)

, Nν := {Nk}k∈Dν = {|Qk|}k∈Dν.

bNν q,τ

Các biểu diễn (3.6) – (3.7) với các tương đương chuẩn (3.8) đóng vai trò cơ bản

trong việc chứng minh định lý. Lưu ý rằng trong trường hợp độ mịn hỗn hợp

+ = ∪ν∈Z+×ΛDν. Chúng ta có

đồng nhất, nó cần một biểu diễn đơn giản hơn (xem [13]).

|D(cid:48)

d−s−2, |D(cid:48)(cid:48)

ν| (cid:16) ν2

ν | (cid:16) νs 1

Dễ thấy, Dν ∩ Dν(cid:48) = Ø nếu ν (cid:54)= ν(cid:48) và Zd

d−s−2.

|Dν| = |D(cid:48)

sν2

ν | (cid:16) ν1

ν||D(cid:48)(cid:48) Đặt r(cid:48) = as+2 = . . . = as+s(cid:48)+2 < as+s(cid:48)+3 ≤ . . . ≤ ad. Từ (3.2) ta nhận được

và do đó,

12ν12ν2/r(cid:48)

|Qk|. Cho một số nguyên dương n, chúng ta lấy một số nguyên

2|k|1 (cid:16) νs (3.9) νs(cid:48) 2 , mν = 3d ∑ k∈Dν

ở đây mν := ∑ k∈Dν

dương ξ = ξ(n) thỏa mãn điều kiện

C2ξξs ≤ n (cid:16) 2ξξs, (3.10)

ở đây C là một hằng số được chọn sau cho phù hợp.

∞ ν=0 được xác định bởi

Chú ý rằng chúng ta có bất đẳng thức (cid:107) f (cid:107)Bq,τ ≤ (cid:107) f (cid:107)B∞,τ và bao hàm Ua p,θ ⊂ Ua p,max{p,θ}. Do đó, nó đủ để chỉ cần chứng minh định lý cho trường hợp p ≤ θ và q = ∞. Chọn cố định các số δ, α, ε thỏa mãn 0 < δ < min{1, p(r − 1/p)}, max{r, (1 + δ)r(cid:48)/pr} < α < r(cid:48), (1 + δ)/pr < ε < α/r(cid:48). Định nghĩa dãy số {nν}

(cid:98)mν2(1−δ)(ξ−ν1−ν2/α)(cid:99) + 1 (cid:98)mν2(1+δ)(ξ−ν1−ν2/α)(cid:99)

  nếu 0 ≤ ν1 + ν2/α < ξ, (3.11) nν :=

 nếu ν1 + ν2/α ≥ ξ.

Dễ dàng kiểm tra được rằng nν > 0 cho ν1 + ν2/α ≤ ξ(1 + δ)/(1 + δ − ε) − ν0, ở đây ν0 = ν0(δ, d) là một hằng số dương. Do (1 + δ)/(1 + δ − ε) > r/(r − 1/p),

63

ta có thể cố định một số γ sao cho r/(r − 1/p) < γ < (1 + δ)/(1 + δ − ε). Đặt ξ∗ = (cid:98)γξ(cid:99) và cho ξ đủ lớn, chúng ta có nν > 0, ∀ ν1 + ν2/α ≤ ξ∗.

Đặt 0 ≤ ν1 + ν2/α ≤ ξ. Khi đó nν ≥ mν. Lấy một số ρ sao cho 0 < ρ ≤

(cid:107)· (cid:107)

(cid:107)· (cid:107)

≤ |Dν|1/ρ−1/θ N1/ρ−1/p

0

:= N0, ∀k ∈ Dν. Từ bất đẳng thức min{1, p, θ} và Nk = 2|k|1 ≤ 2ν12ν2/r(cid:48)

bNν ρ,ρ

bNν p,θ

(cid:107)· (cid:107)

≤ |Dν|1/τ(cid:107)· (cid:107)

và

∞,∞, bNν bNν ∞,τ ∞,τ và ánh xạ Gν : bNν với bất kỳ tập hợp con Mν ⊂ bNν p,θ → Mν ta có

(cid:107)x − Gν(x)(cid:107)

≤ |Dν|1/ρ−1/θ+1/τ N1/ρ−1/p

(cid:107)x − Gν(x)(cid:107)

0

∞,∞. bNν

bNν ∞,τ

ρ,ρ và bNν

∞,∞ như Bmν

ρ và lmν∞ và áp dụng Bổ đề 3.3 như sau: Cho số nguyên ∞ cho n ≥ m có lực lượng

sup x∈SNν ρ,ρ sup x∈SNν p,θ

ρ → M thỏa mãn

(cid:107)x − S(x)(cid:107)lm∞ ≤ C(p)m−1/ρ2−n/m.

Xem SNν dương n ta xây dựng được một tập hợp con M của lm không quá 2n và một ánh xạ S : lm

∞,τ có lực lượng không vượt quá 2nν và một

sup x∈Bm p

p,θ → Mν thỏa mãn

Do đó, tồn tại một tập hợp Mν ⊂ bNν ánh xạ Gν : bNν

(cid:107)x − Gν(x)(cid:107)

≤ |Dν|1/ρ−1/θ+1/τ N1/ρ−1/p

−1/ρ ν

0

m 2−nν/mν.

bNν ∞,τ

sup x∈SNν p,θ

p,θ → Bν như sau. Từ (1.54),

Xác định một tập hợp con Bν của B∞,τ và ánh xạ Sν : Ba

=

(cid:107) f (cid:107)Ba

p,θ

l

|Qk| p

(cid:32) (cid:26) (cid:27)θ(cid:33)1/θ (cid:9) (cid:107) , 2(a,k)−|k|1/p(cid:107) (cid:8) fk,s

∑ k∈Z+

=

(cid:107) fν(cid:107)Ba

p,θ

l

|Qk| p

(cid:32) (cid:26) (cid:27)θ(cid:33)1/θ (cid:9) (cid:107) , 2(a,k)−|k|1/p(cid:107) (cid:8) fk,s

∑ k∈Dν

≤ (cid:107) f (cid:107)Ba

}k∈Dν

p,θ thì fν ∈ Ba

p,θ, và do đó {{ fk,s}s∈Qk

p,θ

p,θ

. Do đó, nếu f ∈ Ba

p,θ. Đặt

suy ra (cid:107) fν(cid:107)Ba nằm trong bNν

f ∗ k,s ϕk,s Sν( f ) = ∑ k∈Dν

∑ s∈Qk

64

}k∈Dν). Dễ thấy rằng

}k∈Dν = Gν({{ fk,s}s∈Qk

k,s}s∈Qk

(cid:107) fν − Sν( f )(cid:107)B∞,τ (cid:16) (cid:107){{ fk,s − f ∗

k,s}}(cid:107)

và Bν = Sν(Mν), ở đây {{ f ∗ |Bν| ≤ |Mν| ≤ 2nν và

bNν ∞,τ

(cid:28) |Dν|1/ρ−1/θ+1/τ N1/ρ−1/p

(cid:107) fν(cid:107)Ba

0

p,θ

0 2(r/α−1)ν2ν

µ 2 (cid:107) fν(cid:107)Ba

p,θ

2−nν/mν2−rν1−ν2 N1/p

−1/ρ m ν 2−rξ2r(ξ−ν1−ν2/α)2−2(1−δ)(ξ−ν1−ν2/α) s(1/τ−1/θ) (cid:28) ν 1 (cid:28) ξs(1/τ−1/θ)2−rξ2r(ξ−ν1−ν2/α)2−2(1−δ)(ξ−ν1−ν2/α)

(cid:107) fν(cid:107)Ba

p,θ

,

ở đây µ = (d − s − 2)(1/ρ − 1/θ + 1/τ) − s(cid:48)/ρ.

Do đó

(cid:107) fν − Sν( f )(cid:107)B∞,τ (cid:28) A(ν)(cid:107) fν(cid:107)Ba

p,θ

, (3.12)

ở đây A(ν) = ξs(1/τ−1/θ)2−rξ2r(ξ−ν1−ν2/α)2−2(1−δ)(ξ−ν1−ν2/α) .

Đặt ξ < ν1 + ν2/α ≤ ξ∗. Khi đó nν < mν. Áp dụng Bổ đề 3.4 như sau: Cho Nk, xây dựng được 0 < p, θ, τ ≤ ∞, với bất kỳ số nguyên dương n < m = ∑ k∈Q

∞,τ có lực lượng không quá 2n(m

n ) và ánh xạ S : bN

p,θ → M

một tập hợp con M ⊂ bN

≤ C(p)n−1/p |Q|1/τ+(1/p−1/θ)+.

(cid:107)x − S(x)(cid:107)bN∞,τ

thỏa mãn

), cũng như một ánh xạ Sν : Ba

p,θ → Bν sao cho

sup x∈SN p,θ

(cid:107) fν − Sν( f )(cid:107)B∞,τ (cid:16) (cid:107){{ fk,s − f ∗

k,s}}(cid:107)

Do đó, ta có thể xây dựng một tập hợp con Bν của B∞,τ có lực lượng không vượt quá 2nν(mν nν

(cid:28) nν

(3.13) .

bNν ∞,τ −1/p |Dν|1/τ+(1/p−1/θ)+(cid:107){{ fk,s}}(cid:107)

bNν p,θ

≥ 2rν1+ν22−ν1/p2−ν2/pr(cid:48)

Chúng ta có |k|1 ≤ ν1 + ν2/r(cid:48), do đó

(cid:107) fν(cid:107)Ba

(cid:16) 2rν1+ν2(cid:107){{2−|k|1/p fk,s}}(cid:107)

(cid:107){{ fk,s}}(cid:107)

p,θ

,

bNν p,θ

bNν p,θ

(cid:28) 2−rν1−ν22ν1/p2ν2/pr(cid:48)(cid:107) fν(cid:107)Ba

p,θ

. Tiếp tục đánh giá (3.13), và do đó (cid:107){{ fk,s}}(cid:107)

bNν p,θ

(cid:107) fν−Sν( f )(cid:107)B∞,τ (cid:16) (cid:107){{ fk,s − f ∗

k,s}}(cid:107)

bNν ∞,τ

(cid:28) nν

(cid:28) {νs

bNν p,θ )µ2 2−rν1−ν22ν1/p2ν2/pr(cid:48)

(cid:107) fν(cid:107)Ba

−1/p |Dν|1/τ+(1/p−1/θ)+(cid:107){{ fk,s}}(cid:107) 12ν12ν2/r(cid:48)

1νd−s−2

2

p,θ

νs(cid:48) 2 2(1+δ)µ1}−1/p(νs

65

(d−s−2)µ2−s(cid:48)/p 2(r−(1+δ)/p)µ1ν 2

p,θ

2−(1−r/α)ν2(cid:107) fν(cid:107)Ba

s(1/τ−1/θ) (cid:28) 2−rξν 1 (cid:28) 2−rξνs(1/τ−1/θ) 1

p,θ

2(r−(1+δ)/p)µ1(cid:107) fν(cid:107)Ba

(cid:28) C(ν)(cid:107) fν(cid:107)Ba

p,θ

,

1

2−β(ν1+ν2/α−ξ), β = r − (1 + δ)/p > 0, µ1 = ξ −

ở đây C(ν) = 2−rξνs(1/τ−1/θ) ν1 − ν2/α, µ2 = 1/τ + 1/p − 1/θ. Dễ dàng kiểm tra rằng

2−rξξs(1/τ−1/θ)2−β(ν1+ν2/α−ξ)   nếu ν1 ≤ ξ, C(ν) ≤

 2−rξξs(1/τ−1/θ)(ν1 + ν2/α − ξ)s(1/τ−1/θ)2−β(ν1+ν2/α−ξ) nếu ν1 > ξ.

Cuối cùng, với ν1 + ν2/α > ξ∗. Đặt µ = r − 1/p, từ (3.8) và bất đẳng thức

p,τ

(cid:107) fν(cid:107)Ba |Dν|1/τ−1/θ(cid:107) fν(cid:107)Ba

p,θ

(ξ∗)s(1/τ−1/θ)(ν1 + ν2/α − ξ∗)s(1/τ−1/θ)2−µ(ν1+ν2/α−ξ∗)(cid:107) fν(cid:107)Ba

p,θ

(cid:107) fν(cid:107)B∞,τ (cid:28) 2−(rν1+ν2)2ν1/p2ν2/pr(cid:48) (cid:28) 2−(rν1+ν2)2ν1/p2ν2/pr(cid:48) (cid:28) 2−µξ∗ (cid:28) 2−rξξs(1/τ−1/θ)(ν1 + ν2/α − ξ∗)s(1/τ−1/θ)2−µ(ν1+ν2/α−ξ∗)(cid:107) fν(cid:107)Ba

p,θ

H ¨older, ta suy ra

(cid:28) E(ν)(cid:107) fν(cid:107)Ba

p,θ

,

(3.14)

với E(ν) = 2−rξξs(1/τ−1/θ)(ν1 + ν2/α − ξ∗)s(1/τ−1/θ)2−µ(ν1+ν2/α−ξ∗).

p,θ, chúng ta xác định ánh xạ S bởi

Cho một hàm số f ∈ Ua

ν∈Z+×Λ

S( f ) := ∑ Sν( f ).

Ta nhận được

( f − Sν( f )) + ∑

ξ∗ ∑ ν1+ν2/α=0

ν1+ν2/α>ξ∗

f − S( f ) = fν.

(cid:28) (cid:107) f (cid:107)Ba

p,θ

p,θ

suy ra ước

(cid:107) f − S( f )(cid:107)B∞,τ ≤

(cid:107) f − Sν( f )(cid:107)B∞,τ + ∑

(cid:107) fν(cid:107)B∞,τ

ξ∗ ∑ ν1+ν2/α=0

ν1+ν2/α>ξ∗

Do đó, từ (3.12), (3.13)–(3.14) và bất đẳng thức (cid:107) fν(cid:107)Ba lượng sau đây cho bất kỳ f ∈ Ua p,θ

66

(cid:28)

ν1+ν2/α>ξ∗

A(ν) + C(ν) + ∑ E(ν)

∑ 0≤ν1+ν2/α≤ξ (cid:28) 2−rξξs(1/τ−1/θ)

+ 2−rξξs(1/τ−1/θ)

(ν1 + ν2/α − ξ)s(1/τ−1/θ)2−β(ν1+ν2/α−ξ)

2r(ξ−ν1−ν2/α)2−2(1−δ)(ξ−ν1−ν2/α)

∑ ξ<ν1+ν2/α≤ξ∗ ∑ 0≤ν1+ν2/α≤ξ ∑ ξ<ν1+ν2/α≤ξ∗

+ 2−rξξs(1/τ−1/θ) ∑

(ν1 + ν2/α − ξ∗)s(1/τ−1/θ)2−µ(ν1+ν2/α−ξ∗)

ν1+ν2/α>ξ∗ (cid:28) 2−rξξs(1/τ−1/θ) (cid:16) Eθ,τ(n).

Điều này có nghĩa rằng

(3.15) (cid:13) f − S( f )(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:28) Eθ,τ(n). sup f ∈Ua p,θ

p,θ đến B :=

ξ∗ ∑ ν1+ν2/α=0

Chú ý rằng S là ánh xạ từ Ua Bν. Hơn nữa, từ (3.9), (3.11)

chúng ta có

ξ∗ ∑ ν1+ν2/α=0

log |B| ≤ log |Bν| (cid:28) 2ξξs2−δ(ξ−ν1−ν2/α)2−ν2(1/α−1/r(cid:48))νs(cid:48) 2

∑ 0≤ν1+ν2/α≤ξ

+

2 + log

(cid:18) (cid:19)(cid:19) . 2−δ(ν1+ν2/α−ξ)2ξξs(ν1 + ν2/α − ξ)s2−ν2(1/α−1/r(cid:48))νs(cid:48) (cid:18)mν nν

∑ ξ<ν1+ν2/α≤ξ∗

Áp dụng công thức Stirling, ta có

≤ nν log

≤ 2−δ(ν1+ν2/α−ξ)2ξξs(ν1 + ν2/α − ξ)s2−ν2(1/α−1/r(cid:48))νs(cid:48)

2 (b + (1δ)(ν1 + ν2/α − ξ)),

(cid:19) log (cid:18)mν nν bmν nν

với b là một hằng số. Do đó,

∞ ∑ t=0

log |B| ≤ C(cid:48)2ξξs 2−δtts,

2−δtts, ta nhận được

∞ ∑ s=0 ˚ , ở đây V∗

ở đây C(cid:48) là một hằng số không phụ thuộc. Lập C(cid:48)(cid:48) := C(cid:48) log |B| ≤ n, và do đó |B| ≤ 2n. Đặt V∗ = ∪νV∗ ˚ = {ϕk,s}s∈Qk, k∈Dν. Theo cách xây dựng ta thấy rằng V∗ là một tập con hữu hạn của V và B là một tập hợp con của Mn(V∗).

không vượt quá 2n và một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SB Tóm lại, chúng ta xây dựng được tập hợp con B trong Mn(V∗) có lực lượng n := S có

67

dạng (2.2) thỏa mãn bất đẳng thức (3.15), do đó có cận trên của (3.4) và (3.5). (cid:3)

Chứng minh của Định lý 3.1. Chú ý rằng

(cid:107).(cid:107)q1 (cid:28) (cid:107).(cid:107)q2, q1 ≤ q2.

(3.16)

Từ (3.16), ta chỉ cần chứng minh (3.3) cho q > 2 là đủ. Theo (1.55), chúng ta dễ

dàng kiểm tra được rằng

p,θ, Bq,min{q,2}).

p,θ, Lq) (cid:28) en(Ua

p,θ, Lq).

en(Ua

Sử dụng bất đẳng thức này và Định lý 3.6, ta nhận được cận trên của en(Ua (cid:3)

p,θ, Lq) nhận được từ định lý sau đây.

Cận dưới của ρ(Ua

Định lý 3.3. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Chúng ta có

p,θ, Lq) (cid:29) (n/ logs n)−r(log n)s(1/2−1/θ).

ρ(Ua

p,θ(Ts+1) là hình cầu đơn vị trong không gian Ba∗

p,θ(Ts+1) + . Trong [13] đã

⊂ Lq(Ts+1), ở đây a∗ := (a1, a2, . . . , as+1) = (r, r, . . . , r) ∈ Rs+1 chứng minh được

Chứng minh. Ký hiệu Ua∗

p,θ(Ts+1), Bq,τ(Ts+1)) (cid:29) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ).

ρn(Ua∗

p,θ(Td) . Do đó, ta suy ra

p,θ(Ts+1) thì g ∈ Ua

Chú ý rằng cho bất kỳ hàm số f ∈ Lq(Ts+1), thì hàm số g : Td → R được xác định bởi g(x1, x2, . . . , xd) = f (x1, . . . , xs+1), nằm trong Lq(Td). Ngoài ra, nếu f ∈ Ua∗

p,θ(Td), Bq,τ(Td)) ≥ ρn(Ua∗

p,θ(Ts+1), Bq,τ(Ts+1)).

ρn(Ua

Vì vậy,

p,θ(Td), Bq,τ(Td)) (cid:29) (n/ logs n)−r(log n)s(1/2−1/θ).

(cid:3)

ρn(Ua

Chứng minh được hoàn thành.

Từ các đánh giá cận trên, cận dưới trong các định lý nêu trên, chúng ta có ước

lượng tiệm cận sai số của phương pháp khôi phục như sau:

68

Định lý 3.4. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Ta có

p,θ, Lq) (cid:16) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ).

p,θ, Lq) (cid:16) ρn(Ua

(cid:101)n(Ua

Hơn nữa, chúng ta cũng đánh giá tiệm cận của phương pháp khôi phục thích nghi với

giá trị lấy mẫu tối ưu

p,θ, Lq) (cid:16) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ).

p,θ, Lq) (cid:16) rn(Ua

en(Ua

Chứng minh. Từ Định lý 3.1, Định lý 3.3 và (2.5), ta có

p,θ, Lq) (cid:29) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ)

p,θ, Lq) ≥ ρn(Ua

(cid:101)n(Ua

và

p,θ, Lq) (cid:28) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ).

p,θ, Lq) ≤ (cid:101)n(Ua

ρn(Ua

Do đó,

p,θ, Lq) (cid:16) ρn(Ua

p,θ, Lq) (cid:16) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ).

(cid:101)n(Ua

Sử dụng Định lý 3.1 và (2.5), chúng ta nhận được

p,θ, Lq) ≤ en(Ua

p,θ, Lq) (cid:28) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ).

rn(Ua

Do Định lý 3.7 và (2.6) nên ta suy ra

p,θ, Lq) ≥ ρn(Ua

p,θ, Lq) (cid:29) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ).

rn(Ua

Từ hai bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta có

p,θ, Lq) (cid:16) rn(Ua

p,θ, Lq) (cid:16) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ).

(cid:3)

en(Ua

3.2 Xấp xỉ và khôi phục hàm số trong không gian BA p,θ

Trong phần này chúng tôi nghiên cứu xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng

p,θ với A là một tập +, không gian này có thể xem là giao của các không gian p,θ. Kết quả chính nhận được là chúng tôi xây dựng được các phương pháp phi

phương pháp phi tuyến trong không gian Besov tổng quát BA con hữu hạn trong Rd Ba

69

p,θ, Lq), rn(U A

tuyến thích nghi và đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp qua các đại p,θ, Lq) và độ dày phi tuyến ρn(U A lượng (cid:101)-entropy (cid:101)n(U A p,θ, Lq). Ngoài ra chúng ta cũng đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ của phương pháp khôi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu qua các đại lượng en(U A p,θ, Lq). Các kết quả này dựa trên cơ sở bài báo [CT4] đã được chấp nhận đăng trên tạp chí Southeast

Asian Bulletin of Mathematics.

Định lý 3.5. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α = α(A) > 1/p, s = s(A), ta có

p,θ, Lq) ≤ en(U A

p,θ, Lq) (cid:28) (n/ logs n)−α(log n)s(1/2−1/θ).

(3.17) (cid:101)n(U A

n : U A

p,θ → B có dạng (2.2) sao cho

Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng tường minh một tập con hữu hạn V∗ của V, một tập con B trong Mn(V∗) có |B| ≤ 2n, và một ánh xạ SB

(cid:107) f − SB

n ( f )(cid:107)q (cid:28) E(n),

p,θ, B, Lq) ≤ sup f ∈U A p,θ

E(U A

trong đó E(n) là ký hiệu vế phải của (3.17).

Định lý này sẽ được suy ra từ định lý sau đây:

Định lý 3.6. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, 0 < τ ≤ θ và α = α(A) > 1/p, s = s(A). Ta có

p,θ, Bq,τ) ≤ en(U A

p,θ, Bq,τ) (cid:28) Eθ,τ(n),

(3.18) (cid:101)n(U A

n : U A

trong đó Eθ,τ(n) = (n/ logs n)−α(log n)s(1/τ−1/θ).

Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng tường minh một tập con hữu hạn V∗ của V, một p,θ → B có dạng (2.2) sao

tập con B trong Mn(V∗) có |B| ≤ 2n, và một ánh xạ SB cho

(cid:107) f − SB

n ( f )(cid:107)Bq,τ (cid:28) Eθ,τ(n).

p,θ, B, Bq,τ) ≤ sup f ∈U A p,θ

E(U A (3.19)

α a : a ∈ A}, Dξ := {k ∈ Zd

α A = { α(cid:48)

ξ := {k ∈ Zd

Để chứng minh Định lý 3.6, ta cần bổ đề:

Bổ đề 3.5. Ký hiệu 1 := (1, 1, . . . , 1) ∈ Rd, A(cid:48) := A − 1/p = {a − 1/p : a ∈ A}, α = α(A), α(cid:48) = α − 1/p, B := α(cid:48) + : S(A(cid:48), k) ≤ ξ}, D(cid:48) + : S(B, k) ≤ ξ}. Khi đó tồn tại một số C > 0 sao cho với một số cố định λ > Cα(cid:48) điều kiện sau thỏa mãn

ξs. 2|k|1 (cid:16) 2ξ/α(cid:48)

∑ k∈Dξ+λ\D(cid:48) ξ

70

Chứng minh. Với α(cid:48) = α(A(cid:48)) = α(B). Áp dụng Bổ đề 3.1 tồn tại các số thực

dương C1 và C2 sao cho C1 < C2 và

ξs. 2|k|1 ≤ C22ξ/α(cid:48) 2|k|1 ≥ C12ξ/α(cid:48)

∑ k∈Dξ

ξs, ∑ k∈D(cid:48) ξ

C1 − C2 > 0. Do

Đặt C := log2(C2/C1). Với một số cố định λ > Cα(cid:48), ta có 2λ/α(cid:48) đó,

2|k|1 ≥ ∑ 2|k|1

∑ k∈Dξ+λ\D(cid:48) ξ

2|k|1 − ∑ k∈D(cid:48) ξ

(ξ + λ)s − C22ξ/α(cid:48) ξs

k∈Dξ+λ ≥ C12(ξ+λ)/α(cid:48) ≥ (2λ/α(cid:48) (cid:29) 2ξ/α(cid:48)

ξs

C1 − C2)2ξ/α(cid:48) ξs.

Hơn nữa,

(ξ + λ)s (cid:16) 2ξ/α(cid:48)

k∈Dξ+λ

2|k|1 (cid:16) 2(ξ+λ)/α(cid:48) 2|k|1 ≤ ∑ ξs.

∑ k∈Dξ+λ\D(cid:48) ξ

Từ hai bất đẳng thức cuối suy ra

2|k|1 (cid:16) 2ξ/α(cid:48) ξs.

∑ k∈Dξ+λ\D(cid:48) ξ

(cid:3)

p,θ ⊂ U A

Chứng minh bổ đề được hoàn thành. Chứng minh Định lý 3.6. Chú ý rằng các bất đẳng thức sau (cid:107) f (cid:107)Bq,τ ≤ (cid:107) f (cid:107)B∞,τ và U A p,max{p,θ} luôn đúng. Do đó, chỉ cần chứng minh trong trường hợp p ≤ θ và q = ∞ là đủ. Rõ ràng, (3.18) được suy ra từ (3.19), do đó ta sẽ chứng

minh (3.19).

p,θ và một số ξ > 0. Từ (1.53) suy ra

Cho f ∈ U A

S(B,k)>ξ

S(B,k)≤ξ

fk,s ϕk,s =: f1 + f2. fk,s ϕk,s + ∑ fk,s ϕk,s = ∑

∑ s∈Qk

∑ s∈Qk

∑ s∈Qk

f = ∑ k∈Zd +

Để xấp xỉ hàm f , chúng ta xấp xỉ từng hàm f1 và f2.

+ : S(A(cid:48), k) ≤ 1}, w := {k ∈ Zd

+ : S(B, k) ≤ 1}

Với ν ∈ Z+, đặt v := {k ∈ Zd

và

σ(ξ, ν) := (ξ + ν)v\ξw.

71

Cho trước một số nguyên dương n, ta lấy một số nguyên dương ξ = ξ(n) thỏa

mãn điều kiện

C2ξ/α(cid:48) ξs ≤ n (cid:16) 2ξ/α(cid:48) ξs, (3.20)

trong đó C là một hằng số dương sẽ được chọn sau.

j=1 là một dãy số dương cố định sao cho λj+1 − λj ≥ λ, j ≥ 1, λ1 = 0 (số λ > 0 được định nghĩa trong Bổ đề 3.5). Với ν1, ν2 ∈ {λj}∞

j=1, tồn tại i, j sao cho ν1 = λi và ν2 = λj.

Chúng ta bắt đầu với việc xấp xỉ hàm f1. Lấy {λj}∞

+ : ξ − λi+1 < S(B, k) ≤ ξ − λi},

Đặt

+ : ξ − λj+1 < S(A(cid:48), k) ≤ ξ − λj},

∆ν1 := {k ∈ Zd

∆ν2 := {k ∈ Zd

j=1, ν2 ≤ ν1 ≤ ξ}. Ta có {k ∈ Zd + chúng ta định nghĩa

và ∆ν = ∆ν1 ∩ ∆ν2, trong đó ν = (ν1, ν2). Ký hiệu J(ξ) := {(ν1, ν2) : ν1, ν2 ∈ {λj}∞ + : S(B, k) ≤ ξ} = ∪ν∈J∆ν. Cho một tập con ∆ trong Zd

fk,s ϕk,s, f∆ := ∑ k∈∆

∑ s∈Qk

Từ (1.54), suy ra được hệ thức sau

(cid:16) (cid:107){{2S(A,k)−|k|1/p fk,s}}(cid:107)

p,θ

,

bNν p,θ

(cid:107) f∆ν(cid:107)BA (cid:107) f∆ν(cid:107)Bq,τ (cid:16) (cid:107){{2−|k|1/q fk,s}}(cid:107)

(3.21)

, Nν := {Nk}k∈∆ν = {|Qk|}k∈∆ν.

bNν q,τ

ν. Từ chứng minh

ν := σ(ξ − ν1 − 1, ν1 − ν2 + 1) ∩ ∆ν1. Hiển nhiên, ∆ν ⊂ ∆∗

Đặt ∆∗

|∆∗

ν| ≤ |σ(ξ − ν1 − 1, ν1 − ν2 + 1)| ≤ (ξ − ν1 − 1)s(ν1 − ν2 + 1)r,

⊂ ∆∗

\ D(cid:48)

ν. Do đó,

của Định lý 1.5 trong [8], ta có

ξ−λi+1

|Qk| (cid:16) 3d ∑ k∈∆∗ ν

2|k|1. Chúng ta có Dξ−λi trong đó r = d − 1 − s. Đặt mν := ∑ k∈∆∗ ν

từ Bổ đề 3.5 ta nhận được

|2|k|1 (cid:16) 2(ξ−λi)/α(cid:48)

(ξ − λi)s = 2(ξ−ν1)/α(cid:48)

(ξ − ν1)s.

2|k|1 (cid:29)

∑ \D(cid:48)

k∈Dξ−λi

ξ−λi+1

mν (cid:16) 3d ∑ k∈∆∗ ν

Đặt nν = (cid:98)mν2(1−δ)/α(cid:48)ν1(cid:99) + 1. Khi đó nν ≥ mν.

72

:= Lấy một số ρ sao cho 0 < ρ ≤ min{1, p, θ} và Nk = 2|k|1 ≤ 2(ξ−ν1)/α(cid:48)

ν. Từ bất đẳng thức

≤ |∆∗

(cid:107)· (cid:107)

(cid:107)· (cid:107)

N0, ∀k ∈ ∆∗

ν|1/ρ−1/θ N1/ρ−1/p

0

,

bNν ρ,ρ

bNν p,θ

(cid:107)· (cid:107)

≤ |∆∗

ν|1/τ(cid:107)· (cid:107)

và

∞,∞, bNν bNν ∞,τ ∞,τ và ánh xạ Gν : bNν suy ra, với mỗi tập con Mν ⊂ bNν p,θ → Mν thỏa mãn

≤ |∆∗

(cid:107)x − Gν(x)(cid:107)

(cid:107)x − Gν(x)(cid:107)

ν|1/ρ−1/θ+1/τ N1/ρ−1/p

0

∞,∞. bNν

bNν ∞,τ

sup x∈SNν ρ,ρ sup x∈SNν p,θ

+, chúng ta định nghĩa

Với mỗi tập con ∆ của Zd

f ∗ k,s ϕk,s , S∆( f ) := ∑ k∈∆

∑ s∈Qk

}k∈∆).

}k∈∆ := Gν({{ fk,s}s∈Qk

k,s}s∈Qk

trong đó {{ f ∗

∞ có lực lượng lớn nhất là 2n và một ánh xạ S : lm

Áp dụng Bổ đề 3.3: Với mỗi số nguyên dương n ≥ m, ta xây dựng được một

ρ → M sao cho

(cid:107)x − S(x)(cid:107)lm∞ ≤ C(p)m−1/ρ2−n/m.

tập con M của lm

ρ,ρ và bNν

∞,τ có lực lượng

sup x∈Bm p

ρ và lmν∞ , khi đó tồn tại một tập Mν ⊂ bNν p,θ → Mν sao cho

≤ |∆∗

Xem SNν ∞,∞ như Bmν lớn nhất là 2nν và một ánh xạ Gν : bNν

(cid:107)x − Gν(x)(cid:107)

−1/ρ ν

ν|1/ρ−1/θ+1/τ N1/ρ−1/p

0

m 2−nν/mν.

bNν ∞,τ

(Mν). Ta có thể thấy rằng |Bν| ≤ |Mν| ≤ 2nν và

sup x∈SNν p,θ

( f )(cid:107)B∞,τ (cid:28) (cid:107){{ fk,s − f ∗

(cid:107) f∆ν − S∆ν( f )(cid:107)B∞,τ ≤ (cid:107) f∆∗

ν

Đặt Bν := S∆∗ ν

(cid:28) |∆∗

(cid:107)

−1/ρ ν

(3.22) m .

bNν ∞,τ }k∈∆∗

− S∆∗ ν ν|1/ρ−1/θ+1/τ N1/ρ−1/p

k,s}}(cid:107) 2−nν/mν(cid:107){{ fk,s}s∈Qk

ν

0

bNν p,θ

− α

(cid:107)

α(cid:48) S(B,k)N1/p

Mặt khác, từ (3.21) suy ra rằng

(cid:28) 2

}k∈∆∗

(cid:107) f∆∗ ν

(cid:107){{ fk,s}s∈Qk

ν

(cid:107)BA

0

p,θ

.

bNν p,θ

73

( f )(cid:107)B∞,τ

ν

− α

(cid:107) f∆ν − S∆ν( f )(cid:107)B∞,τ ≤ (cid:107) f∆∗ (cid:28) |∆∗

Do đó, ta tiếp tục đánh giá (3.22) như sau

α(cid:48) S(B,k)N1/p

− S∆∗ ν −1/ρ ν

ν|1/ρ−1/θ+1/τ N1/ρ−1/p

(cid:107) f∆∗ ν

(cid:107)BA

0

0

p,θ

)1/ρ−1/p

m 2−nν/mν2

)1/p(cid:107) f∆∗

ν

(cid:107)BA

p,θ

α

(3.23)

(cid:28) (ξ − ν1 − 1)s(1/ρ−1/θ+1/τ)(ν1 − ν2 + 1)λ(2(ξ−ν1)/α(cid:48) − α (2(ξ−ν1)/α(cid:48) α(cid:48) (ξ−ν1)(2(ξ−ν1)/α(cid:48) α(cid:48) ν12−2(1−δ)/α(cid:48)ν1 (cid:107) f∆∗

(ξ − ν1)s)−1/ρ2−2(1−δ)/α(cid:48)ν1 2 (cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ)(ν1 − ν2 + 1)λ2

ν

(cid:107)BA

p,θ

,

ν

≤ (cid:107) f (cid:107)BA

(cid:107)BA

p,θ

p,θ

ν∈J(ξ)

(cid:107) f∆ν − S∆ν( f )(cid:107)B∞,τ

α

(cid:28) ∑

trong đó λ = r(1/ρ − 1/θ + 1/τ). Chúng ta đánh giá sai số của xấp xỉ f1 bởi S1( f ) := ∑ ta có S∆ν( f ). Từ (3.21), (3.23) và bất đẳng thức (cid:107) f∆∗

α(cid:48) ν12−2(1−δ)/α(cid:48)ν1 (cid:107) f (cid:107)BA

p,θ

0≤ν1≤ξ

α

(cid:107) f1 − S1( f )(cid:107)B∞,τ ≤ ∑ ν∈J(ξ) ∑ ν2≤ν1 (cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ) ∑

2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ)(ν1 − ν2 + 1)λ2

α(cid:48) ν12−2(1−δ)/α(cid:48)ν1

0≤ν1≤ξ

(cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ).

2 νλ+1 1

(3.24)

j=1, khi đó tồn tại i sao cho µ = γi

Bây giờ ta sẽ đề cập đến số hạng f2. Lấy {γj}∞ j=1 là một dãy số dương cố định sao cho γ1 = λ, γj+1 − γj = λ(cid:48), j ≥ 1, trong đó λ(cid:48) là một hằng số dương có giá trị được chọn sau. Lấy µ ∈ {γj}∞

∆v(ξ + µ) = (ξ + γi+1)v\(ξ + γi)v,

Dµ = ∆v(ξ + µ)\ξw.

\D(cid:48)

\D(cid:48)

ξ).

ξ)\(Dξ+γi

Suy ra Dµ ⊂ σ(ξ, µ) và |σ(ξ, µ)| ≤ µrξs (r = d − 1 − s). Dễ thấy,

Dµ = ((ξ + γi+1)v\ξw) \ ((ξ + γi)v\ξw) = (Dξ+γi+1

2|k|1. Chúng ta chứng minh mν (cid:16) 2(ξ+µ)/α(cid:48)(ξ + µ)s như sau. Đặt mµ = ∑ k∈Dµ

Từ Bổ đề 3.1 khi đó tồn tại các hằng số dương C3, C4 và C5 sao cho

(ξ + γi+1)s,

2|k|1 ≥ C32(ξ+γi+1)/α(cid:48)

∑ k∈Dξ+γi+1

74

(ξ + γi)s,

2|k|1 ≤ C42(ξ+γi)/α(cid:48)

∑ k∈D(cid:48)

(ξ + γi)s.

ξ+γi ∑ k∈Dξ+γi Với một số cố định λ(cid:48) > α(cid:48) log2(C4 + C5)/C3, ta có

2|k|1 ≤ C52(ξ+γi)/α(cid:48)

2|k|1 = 2|k|1

∑ k∈Dµ

\D(cid:48) ξ

2|k|1 − ∑ k∈Dξ+γi

∑ k∈Dξ+γi+1

(cid:29) ∑

ξ+γi

(ξ + µ)s.

k∈Dξ+γi+1 (cid:29) (C32λ/α(cid:48)

k∈Dξ+γi (ξ + γi)s (cid:16) 2(ξ+µ)/α(cid:48)

\D(cid:48) ξ 2|k|1 − ∑ k∈D(cid:48) − C4 − C5)2(ξ+γi)/α(cid:48)

(3.25) 2|k|1 − ∑ 2|k|1

Mặt khác,

(ξ + µ)s.

(ξ + γi+1)s (cid:16) 2(ξ+µ)/α(cid:48)

2|k|1 (cid:16) 2(ξ+γi+1)/α(cid:48) (3.26) 2|k|1 ≤ ∑

∑ k∈Dµ

k∈Dξ+γi+1

Từ (3.25), (3.26) chúng ta nhận được mν (cid:16) 2(ξ+µ)/α(cid:48)(ξ + µ)s.

Đặt nµ = (cid:98)mµ2−(1+δ)/α(cid:48)µ(cid:99). Khi đó nµ > 0 chỉ cần với µ ≤ µ∗ = (cid:98)ξ/δ(cid:99). Chọn

∞ ∑ µ=0

0 < δ < pα − 1, ta có f2 = fDµ. Đặt

µ∗ ∑ µ=0

S2( f ) := SDµ( f ).

Xấp xỉ hàm f2 bằng S2( f ), ta nhận được

(cid:107) f2 − S2( f )(cid:107)B∞,τ ≤

(cid:107) fDµ(cid:107)B∞,τ.

(cid:107) fDµ − SDµ( f )(cid:107)B∞,τ + ∑ µ>µ∗

µ∗ ∑ µ=0

(3.27)

) và một ánh xạ Gµ : bNµ

p,θ → Mµ sao cho

Giả sử 0 ≤ µ ≤ µ∗, nµ < mµ. Áp dụng Bổ đề 3.4: Cho 0 < p, θ, τ ≤ ∞, khi đó Nk, ta xây dựng được một tập con Mµ ⊂ bNµ ∞,τ

≤ C(p)nµ

−1/p |Dµ|1/τ+(1/p−1/θ)+.

(cid:107)x − Gµ(x)(cid:107)

với mỗi số dương nµ < mµ = ∑ k∈Dµ có lực lượng lớn nhất bằng 2nµ(mµ nµ

bNµ ∞,τ

). Do đó từ (3.21),

sup x∈SNµ p,θ

(cid:107) fDµ−SDµ( f )(cid:107)B∞,τ = (cid:107){{ fk,s − f ∗

k,s}}(cid:107)

Ký hiệu Bµ := SDµ(Mν), có thể thấy rằng |Bν| ≤ |Mν| ≤ 2nµ(mµ nµ ta có

bNµ ∞,τ

75

(cid:28) nµ

−1/p |Dµ|1/τ+(1/p−1/θ)+(cid:107){{ fk,s}}(cid:107)

bNµ p,θ (ξ + µ)s}−1/p 2(1+δ)/(pα(cid:48))µ(µrξs)1/τ+1/p−1/θ2−ξ2−µ(cid:107) fDµ(cid:107)BA

p,θ

(cid:28) {2(ξ+µ)/α(cid:48) (cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ)2−(1−δ/(pα(cid:48)))µµr(1/τ+1/p−1/θ)(cid:107) f (cid:107)BA

p,θ

.

Vì vậy,

(cid:107) fDµ − SDµ( f )(cid:107)B∞,τ (cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ)

µ∗ ∑ µ=0

µ∗ ∑ µ=0

(cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ).

2−(1−δ/(pα(cid:48)))µµr(1/τ+1/p−1/θ)

(3.28)

(cid:28) 2−ξ−µ(ξsµr)1/τ−1/θ

(cid:107) fDµ(cid:107)B∞,τ (cid:28) 2−ξ−µ|Dµ|1/τ−1/θ(cid:107) fDµ(cid:107)BA

p,θ

(cid:28) 2−ξ2−ξ/(pα(cid:48))ξs(1/τ−1/θ)2ξ/(pα(cid:48))2−µµr(1/τ−1/θ) (cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ)2δµ/(pα(cid:48))2−µµr(1/τ−1/θ).

Nếu µ > µ∗ thì ta có

Do đó,

2(δ/(pα(cid:48))−1)µµr(1/τ−1/θ)

∑ µ>µ∗

(cid:107) fDµ(cid:107)B∞,τ (cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ) ∑ µ>µ∗

(cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ).

(3.29)

Từ (3.28), (3.29) chúng ta tiếp tục đánh giá (3.27)

(cid:107) f2 − S2( f )(cid:107)B∞,τ (cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ).

(3.30)

p,θ, ta định nghĩa

Với mỗi xấp xỉ của f ∈ U A

µ∗ ∑ µ=0

SDµ( f ). S∆ν( f ) + S( f ) := S1( f ) + S2( f ) = ∑ ν∈J(ξ)

p,θ vào B := ∑

µ∗ ∑ µ=0

ν∈J(ξ)

Chú ý rằng S là một ánh xạ từ U A Bν + Bµ.

Ta có

f − S( f ) = ( f1 − S1( f )) + ( f2 − S2( f )).

(cid:107) f − S( f )(cid:107)B∞,τ ≤ (cid:107) f1 − S1( f )(cid:107)B∞,τ + (cid:107) f2 − S2( f )(cid:107)B∞,τ

Do đó, từ (3.24), (3.30) và (3.20) suy ra đánh giá sau

(cid:28) 2−α/α(cid:48)ξξs(1/τ−1/θ) (cid:16) Eθ,τ(n).

(3.31)

76

Ta có

µ∗ ∑ µ=0

log |Bν| + log |Bµ| log |B| ≤ ∑ ν∈J(ξ)

(cid:18) (cid:19)(cid:19)

(cid:28) ∑ ν∈J(ξ)

nν + nµ + log (cid:18)mµ nµ

µ∗ ∑ µ=0 µ∗ ∑ µ=0

µ∗ ∑ µ=0

(cid:28) ∑ ν∈J(ξ)

(cid:19) log . nν + nµ + (cid:18)mµ nµ

Hơn nữa,

(ξ − ν1)s2(1−δ)/α(cid:48)ν1

2(ξ−ν1)/α(cid:48) nν (cid:28) ∑

∑ ν∈J(ξ)

∑ ν2≤ν1 ξs ∑

0≤ν1≤ξ (cid:28) 2ξ/α(cid:48)

0≤ν1≤ξ

ν12−δ/α(cid:48)ν1 (cid:28) n,

và

(ξ + µ)s2−(1+δ)/α(cid:48)µ (cid:28) 2ξ/α(cid:48)

(cid:28) n.

µ∗ ∑ µ=0

µ∗ ∑ µ=0

µ∗ ∑ µ=0

ξs 2(ξ+µ)/α(cid:48) 2−δµ/α(cid:48) nµ (cid:28)

Mặt khác, theo công thức Stirling ta có

≤

µ∗ ∑ µ=0

≤

(cid:19) log nµ log (cid:18)mµ nµ bmµ nµ

(ξ + µ)s2−(1+δ)/α(cid:48)µ(b + (1 + δ)/α(cid:48)µ)

(cid:28)

2(ξ+µ)/α(cid:48)

(c + (1 + δ)/α(cid:48)µ) (cid:28) n,

µ∗ ∑ µ=0 µ∗ ∑ µ=0 µ∗ ∑ µ=0

2ξ/α(cid:48) ξs2−δµ/α(cid:48)

¯ ), trong đó V∗

≤ 2n và một phương pháp phục hồi xấp xỉ SB

trong đó c là một hằng số không âm. Vì thế, chúng ta thu được log |B| (cid:28) n, dẫn đến |B| ≤ 2n. Đặt V∗ = (∪ν∈JV∗ ˚ ) ∪ (∪0≤µ≤µ∗V∗ ˚ = {ϕk,s}s∈Qk, k∈∆ν ¯ = {ϕk,s}s∈Qk, k∈Dµ. Theo cách xây dựng, ta suy ra được V∗ là một tập con và V∗ hữu hạn của V và B là một tập con của Mn(V∗).

Tóm lại, chúng ta đã xây dựng được một tập con B trong Mn(V∗) có lực lượng n := S có dạng (2.2) thỏa mãn bất (cid:3) đẳng thức (3.31) và do đó, nhận được cận trên của (3.19).

77

Chứng minh Định lý 3.5. Chú ý rằng

(cid:107).(cid:107)q1 (cid:28) (cid:107).(cid:107)q2, q1 ≤ q2.

(3.32)

Do đó, ta chỉ cần chứng minh (3.17) khi q ≥ 2. Từ (1.55) suy ra

p,θ, Lq) (cid:28) en(U A

p,θ, Bq,min{q,2}).

en(U A

p,θ, Lq).

Sử dụng bất đẳng thức này và Định lý 3.6, chúng ta thu được đánh giá cận trên (cid:3) của en(U A

Định lý 3.7. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α > 1/p. Khi đó, ta có

p,θ, Lq) (cid:29) (n/ logs n)−α(log n)s(1/2−1/θ).

ρ(U A (3.33)

Định lý này sẽ được chứng minh từ định lý:

Định lý 3.8. Cho 0 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α > 1/p. Khi đó, chúng ta có

p,θ, Bq,τ) (cid:29) (n/ logs n)−α(log n)s(1/τ−1/θ).

ρ(U A

∞,θ ⊂ U A

p,θ nên ta chỉ

Chứng minh. Sử dụng kỹ thuật trong [31] và [13]. Vì U A

cần chứng minh trường hợp p = ∞.

Đặt Ξ := {ξ ≥ 0 : ∃k, S(A, k) = ξ}. Với ξ ∈ Ξ, ký hiệu ∆(ξ) := {k ∈ Zd + : S(A, k) = ξ, |k|1 = (cid:98)ξ/α(cid:99) + 1}, trong đó α = α(A). Đặt B(ξ) là không gian tất cả các hàm f có dạng

fk,s ϕk,s, f = ∑ k∈∆(ξ)

∑ s∈Qk và với 0 < ζ, η ≤ ∞, chúng ta đặt B(ξ)ζ,η là không gian con của Bζ,η bao gồm tất cả f ∈ B(ξ). Từ định nghĩa của ϕk,s và tính chất nội suy (1.43) suy ra với mọi f ∈ B(ξ) ta có

f (shk)ϕk,s. f = ∑ k∈∆(ξ)

∑ s∈Qk

≤ 2ξ|∆(ξ)|1/θ(cid:107) f (cid:107)B∞,∞

= 2ξ(cid:107) f (cid:107)B∞,θ

(cid:107) f (cid:107)BA ∞,θ

Ta có

78

với mỗi f ∈ B(ξ)∞,θ. Điều này kéo theo 2−ξ|∆(ξ)|−1/θSB(ξ)∞,∞ ⊂ SBA ∞,θ, trong đó SB(ξ)∞,∞ là hình cầu đơn vị trong B(ξ)∞,∞. Do đó với mỗi M ⊂ Bq,τ, chúng

ta nhận được

∞,θ, M, Bq,τ) ≥ 2−ξ|∆(ξ)|−1/θE(SB(ξ)∞,∞, M, Bq,τ).

E(SBA (3.34)

Xét lưới Γ := {shk}s∈Qk,k∈∆(ξ) như một tập con của Td. Ký hiệu f ∗ là hạn chế của ζ,η là không gian tất cả các hàm f ∗, với f trên Γ. Đặt W∗ := { f ∗ : f ∈ W} và B(ξ)∗ chuẩn tương ứng được xác định bởi vế phải của (1.54) khi A = {0}. Đặt dimp(M) ≤ n. Khi đó từ định nghĩa suy ra dimp(M∗) ≤ n và

∞,∞, M∗, B(ξ)∗

q,τ).

(3.35) E(SB(ξ)∞,∞, M, Bq,τ) ≥ E(SB(ξ)∗

Lấy một số cố định ρ sao cho 0 < ρ ≤ min{1, q, τ}. Từ hệ thức |∆(ξ)| (cid:16) ξs dễ

(cid:107) · (cid:107)B(ξ)∗

(cid:29) ξs(1/τ−1/ρ)(cid:107) · (cid:107)B(ξ)∗

ρ,ρ.

q,τ

dàng kiểm tra được rằng

ζ,η chúng ta có

Do đó, bằng định nghĩa nửa chuẩn của B(ξ)∗

∞,∞, M∗, B(ξ)∗

q,τ) (cid:29) ξs(1/τ−1/ρ)E(SB(ξ)∗

∞,∞, M∗, B(ξ)∗

ρ,ρ)

E(SB(ξ)∗

Do đó, từ (3.34) và (3.35), ta nhận được

∞,∞, M∗, B(ξ)∗

ρ,ρ).

∞,θ, M, Bq,τ) (cid:29) 2−ξξs(1/τ−1/θ−1/ρ)E(SB(ξ)∗

E(SBA (3.36)

Chúng ta định nghĩa ánh xạ F : B(ξ)ρ,ρ → SB(ξ)∞,∞ như sau. Nếu

fk,s ϕk,s, f = ∑ k∈∆

∑ s∈Qk

ξ

thì

ξ

f (cid:48) k,s ϕk,s, F( f ) = ∑ k∈∆

∑ s∈Qk k,s = sgn( fk,s) min{1, | fk,s|}. Ánh xạ F sinh ra một ánh xạ F∗ : B(ξ)∗ ρ,ρ → ∞,∞ xác định bởi công thức F∗( f ∗) = (F( f ))∗. Hiển nhiên, F( f ) = f với mọi

(cid:107)F∗( f ∗)(cid:107)B(ξ)∗

≤ (cid:107) f ∗(cid:107)B(ξ)∗

ρ,ρ

ρ,ρ

trong đó f (cid:48) SB(ξ)∗ f ∈ SB(ξ)∞,∞, và do đó từ bất đẳng thức

79

ρ,ρ và g∗ ∈ M∗, ta có

(cid:107) f ∗ − F∗(g∗)(cid:107)B(ξ)∗

≤ (cid:107) f ∗ − g∗(cid:107)B(ξ)∗

ρ,ρ

ρ,ρ

suy ra với mỗi f ∗ ∈ SB(ξ)∗

Điều này có nghĩa là

∞,∞, M∗, B(ξ)∗

ρ,ρ) ≥ E(SB(ξ)∗

∞,∞, M(cid:48), B(ξ)∗

ρ,ρ),

ρ,ρ. Chú ý rằng, từ định nghĩa của nửa chuẩn trong

E(SB(ξ)∗ (3.37)

|∆

ξ|−1/ρ(cid:107) · (cid:107) = (cid:107) · (cid:107)Lp(Γ,µ(cid:48)).

B(ξ)∗ trong đó M(cid:48) = F∗(M∗). Hơn nữa, từ định nghĩa của giả chiều dễ dàng suy ra rằng dimp(M(cid:48)) ≤ dimp(M∗) ≤ n. Ký hiệu (cid:107) · (cid:107) = (cid:107) · (cid:107)B(ξ)∗ ζ,η chúng ta có thể tìm được một độ đo xác suất ω sao cho

Với mỗi tập con M của không gian nửa chuẩn tuyến tính X, đặt Hε(M, X) là lực lượng của tập con cực đại M ε-tách được (một tập A được gọi là ε-tách được, nếu (cid:107) f − f (cid:48)(cid:107)X > ε với mỗi f , f (cid:48) ∈ A sao cho f (cid:54)= f (cid:48)).

Do đó, từ [13, Bổ đề 5] suy ra rằng

ξ|1/ρ/ε)n.

ρ,ρ) ≤ e(n + 1)(4e|∆

∞,∞ có lực lượng lớn nhất 2u/16

(3.38) Hε(M(cid:48), B(ξ)∗

(cid:107) f ∗ − g∗(cid:107) ≥ 2−ξ/(αρ)(u/2)1/ρ ≥ C|∆

Từ [13, Bổ đề 2], tồn tại một tập con U ⊂ SB(ξ)∗ sao cho với mỗi f ∗, g∗ ∈ U, f ∗ (cid:54)= g∗, ta có

ξ|−1/ρ,

(3.39)

ξ|. Rõ ràng,

trong đó u := dim B(ξ) = 3d2ξ/α|∆

∞,∞, M(cid:48), B(ξ)∗

ρ,ρ) ≥ E(U, M(cid:48), B(ξ)∗

ρ,ρ).

E(SB(ξ)∗ (3.40)

Cho δ > 0 bất kỳ, chúng ta đặt

ρ,ρ) + δ.

σ = E(U, M(cid:48), B(ξ)∗

(cid:107) f ∗ − G( f ∗)(cid:107) ≤ σ.

Bằng định nghĩa, tồn tại một ánh xạ G : U → M(cid:48) sao cho với mỗi f ∗ ∈ U, ta có

(cid:107)G( f ∗) − G(g∗)(cid:107) ≥ (cid:107) f ∗ − g∗(cid:107) − (cid:107) f ∗ − G( f ∗)(cid:107) − (cid:107)g∗ − G(g∗)(cid:107) ≥ 2ε(cid:48) − 2σ,

Sử dụng (3.39), với mỗi f ∗, g∗ ∈ U, ta có

80

ξ|1/ρ. Giả sử rằng σ ≤ ε(cid:48)/2. Khi đó với mỗi f ∗, g∗ ∈ V = G(U),

trong đó 2ε(cid:48) = C|∆ ta nhận được (cid:107) f ∗ − g∗(cid:107) ≥ ε(cid:48). Điều này có nghĩa rằng |V| = |U| > 2u/16 và

ρ,ρ) > 2u/16.

Hε(cid:48)(V, B(ξ)∗

Mặt khác, từ (3.38) suy ra

ρ,ρ) ≤ e(n + 1)(4e|∆(ξ)|1/ρ/ε(cid:48))n.

Hε(cid:48)(V, B(ξ)∗

Do đó,

2u/16 < e(n + 1)(4e|∆(ξ)|1/ρ/ε(cid:48))n ≤ e(n + 1)(4e/C)n.

Vì vậy, với số n tùy ý đủ lớn, ta có u < 16n(2 + log(e/C)). Ký hiệu ξ = ξ(n), từ

điều kiện

n (cid:16) 2ξ/αξs = u > 16n(2 + log(e/C)),

suy ra bất đẳng thức u > 16n(2 + log(e/C)). Điều này là mâu thuẫn, vì vậy σ > ε(cid:48)/2 với ξ = ξ(n) và δ > 0 tùy ý. Do đó,

ρ,ρ) ≥ ε(cid:48)/2 (cid:29) |∆(ξ)|1/ρ.

E(U, M(cid:48), B(ξ)∗

Kết hợp đánh giá cuối cùng với (3.36), (3.37) và (3.40) suy ra rằng với tập M tùy ý

có giả chiều lớn nhất n, chúng ta có

∞,θ, M, Bq,τ) (cid:29) 2−ξξs(1/τ−1/θ) (cid:16) Eθ,τ(n).

(cid:3)

E(SBA

Chứng minh Định lý 3.7. Từ (3.32), ta chỉ cần chứng minh (3.33) với q < 2. Có thể

kiểm tra, từ (1.55) rằng

p,θ, Bq,max{q,2}) (cid:28) ρn(U A

p,θ, Lq).

p,θ, Lq) có thể được chứng minh bằng bất đẳng thức (cid:3)

ρn(U A

Khi đó cận dưới của ρn(U A cuối cùng và Định lý 3.8.

Từ các Định lý 3.1, 3.7 và (2.5), (2.6) chúng ta suy ra kết quả chính sau đây:

Định lý 3.9. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α = α(A) > 1/p, s = s(A). Đặt

γn là một trong số các đại lượng en, rn, (cid:101)n và ρn. Khi đó ước lượng tiệm cận sau đây thỏa

mãn

p,θ, Lq) (cid:16) n−α(log n)s(α+1/2−1/θ).

γn(U A

81

3.3 Kết luận

Chương này trình bày những kết quả mới về vấn đề khôi phục lớp hàm số

tuần hoàn trong không gian Besov với modul trơn hỗn hợp bằng phương pháp

phi tuyến thích nghi. Nếu như đối với hàm số có độ trơn đẳng hướng, các phương

pháp khôi phục hàm số thường có nhiều tính chất chung, thì đối với hàm số có độ

trơn hỗn hợp, các phương pháp khôi phục hàm số cần được xây dựng cho từng

p,θ, chúng ta trình bày cách chứng minh đơn giản hơn nhiều so với trường hợp tổng quát, mặc dù kết quả

độ trơn hỗn hợp cụ thể. Các kết quả chính của Chương này là các Định lý 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.7, 3.9. Đầu tiên, đối với không gian Besov Ba

này là tổng quát kết quả trong [13] nhưng vì trong [13] véc tơ a có các thành phần

bằng nhau nên việc tổng quát cho véc tơ a bất kỳ gặp nhiều khó khăn, chúng ta

p,θ với A là tập con +; Chúng ta không thể sử dụng phương pháp trên được nữa mà cần đến những kỹ thuật phức tạp hơn, chia miền biến số một cách phù hợp và

đã sử dụng kỹ thuật biến đổi và nhiều bổ đề để khéo léo đưa về cách chứng minh thông thường. Tiếp theo là tổng quát cho không gian Besov BA hữu hạn của Rd

tính chất các chỉ số đặc trưng của tập hợp A.

82

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Các kết quả chính của luận án bao gồm:

1. Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn qua giá trị lấy mẫu bởi các

B-spline hoặc đa thức lượng giác trong không gian Besov.

2. Xây dựng được các phương pháp khôi phục thích nghi và không thích nghi

Ω p,θ và đánh giá được tốc độ hội tụ của các phương pháp đó qua các đại lượng đặc trưng.

với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu trong không gian Besov B

Cụ thể là xây dựng được phương pháp tuyến tính, đánh giá được tốc độ

hôi tụ của phương pháp tuyến tính. Nghiên cứu thuật toán tham lam, xây

dựng được các phương pháp khôi phục thích nghi và ước lượng tiệm cận

sai số của phương pháp.

3. Xây dựng được phương pháp phi tuyến để xấp xỉ và khôi phục hàm số,

đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp trong không gian Besov BA p,θ. Đặc biệt, trong trường hợp A = {a} đưa ra được cách chứng minh đơn giản hơn

so với trường hợp tổng quát.

Có thể phát triển các kết quả của luận án như sau:

p,θ với A là một

1. Nghiên cứu các vấn đề trên đối với các không gian Besov BA

tập compact trong Rd +.

83

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

VÀ ĐỒNG TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

[CT1] Cuong N.M., Thao M.X. (2017), "Adaptive sampling recovery of func-

tions with bounded modulus of smoothness", Acta Math. Vietnamica, 42, pp. 113-

127.

[CT2] Cuong N.M., Thao M.X. (2018), "Quasi-interpolation representation

and sampling recovery of multivariate functions", Acta Math. Vietnamica, 43, pp.

373-389.

[CT3] Cuong N.M. (2019), "Nonlinear approximations of functions having

mixed smoothness", Journal of Computer Science and Cybernetics, 35, pp. 119-134.

[CT4] Cuong N.M., "Adaptive sampling recovery and nonlinear approxima-

tions of multivariate functions in Besov-type spaces", Southeast Asian Bulletin of

Mathematics, accepted 30-4-2019.

84

Tài liệu tham khảo

[1] Byrenheid G., Dung D., Sickel W. and Ullrich T. (2016), "Sampling on energy-

norm based sparse grids for the optimal recovery of Sobolev type functions in Hγ", J. Approx. Theory, 207, pp. 207-231.

[2] Chui C.K., Diamond H. (1987), "A natural formulation of quasi-interpolation

by multivariate splines", Proc. Amer. Math. Soc, 99, pp. 643-646.

[3] Chui C.K. (1992), "An Introduction to Wavelets", Academic Press, New York.

[4] De Boor C., Fix G.J. (1973), "Spline approximation by quasiinterpolants", J.

Approx. Theory, 8, pp. 19-45.

[5] DeVore R.A., Lorentz G.G. (1993), "Constructive Approximation", Springer,

Berlin.

[6] DeVore R.A. (1998), "Nonlinear approximation", Acta Numerica, 7, pp. 51-150.

[7] DeVore R.A., Popov V.A. (1988), "Interpolation of Besov spaces", Trans. Amer.

Math. Soc, 305, pp. 397–413.

[8] Dung D. (1988), "Approximation by Trigonometric Polynomials of Functions

of Several Variables on the Torus", Mathematics Sbornik, 59, pp. 247-267.

[9] Dung D. (1991), "On optimal recovery of multivariate periodic functions",

In: Harmonic Analysis (Satellite Conference Proceedings, Ed. S. Igary), Springer,

Berlin, pp. 96-105.

[10] Dung D. (1991), "On interpolation recovery for periodic functions", In: Func-

tional Analysis and Related Topics (Ed. S. Koshi), World Scientific, Singapore, pp.

224-233.

85

[11] Dung D. (1992), "Optimal recovery of functions of a certain mixed smooth-

ness", Vietnam J. Math., 20, No2, pp. 18-32.

[12] Dung D. (2000), "Continous algorithms in n-term approximation and non-

linear widths", J. Approx. Theory, 102, pp. 217-242.

[13] Dung D. (2001), "Non-linear approximations using sets of finite cardinality

or finite pseudo-dimension", J. Complexity., 17, pp. 467-492.

[14] Dung D., Thao M.X. (2002), "Approximate recovery of periodic functions

using wavelet decompositions", Acta Math. Vietnamica, 27, pp. 185-195.

[15] Dung D. (2009), "Non-linear sampling recovery based on quasi-interpolant

wavelet representations", Adv. Comput. Math., 30, pp. 375 -401.

[16] Dung D. (2011), "Optimal adaptive sampling recovery", Adv. Comput. Math.,

34, pp. 1–41.

[17] Dung D. (2011), "B-spline quasi-interpolant representations and sampling

recovery of functions with mixed smoothness", J. Complexity., 27, pp. 541-

567.

[18] Dung D. (2016), "Sampling and cubature on sparse grids based on a B-spline

quasi-interpolation", Found. Comp. Math., 16, pp. 1193-1240.

[19] Dung D. (2018), "B-Spline Quasi-Interpolation Sampling Representation and

Sampling Recovery in Sobolev Spaces of Mixed Smoothness", Acta Math.

Vietnamica, 43, pp. 83-110.

[20] Dung D., Temlyakov V. N. and Ullrich T. (2018), "Hyperbolic Cross Approx-

imation", Advanced Courses in Mathematics – CRM Barcelona, Birkh¨auser.

[21] Galeev E.M. (1990), "Kolmogorov widths of classes of periodic functions of

one and several variables", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 54:2, pp. 418–430.

[22] Galeev E.M. (1996), "Linear widths of H ¨older-Nikol’skii classes of periodic

functions of several variables", Mat. Zametki, 59, pp. 189-199.

86

[23] Haussler D. (1982), "Decision theoretic generalization of the PAC model for

neural net and other learning applications", Inform. Comput., 100, pp. 78-150.

[24] Kolmogorov A. N., Tikhomirov V.M. (1959), "(cid:101)-entropy and (cid:101)-capacity of

sets in function space", Uspekhi Mat. Nauk, 14, pp. 3-86; English transl. in Amer.

Math. Soc. Transl, 17(1961).

[25] Kydryatsev S.N. (1998), "The best accuracy of reconstruction of finitely

smooth functions from their values at a given number of points", Izv. Math.,

2, pp. 19-53.

[26] Nikol’skii S. (1975), "Approximation of Functions of Several Variables and

Embedding Theorems", Springer, Berlin.

[27] Novak E. (1988), "Deterministic and Stochastic Error Bounds in Numerical

Analysis", Lecture Notes in Mathematics 1349, Springer, Berlin.

[28] Novak E., Triebel H. (2006), "Function spaces in Lipschitz domains and op-

timal rates of convergence for sampling", Constr. Approx., 23, pp. 325-350.

[29] Pollard D. (1989) , "Empirical processes: theory and applications, NSF-CBMS

Regional Conference Series in Probability and Statistics", Inst. Math., Stat. and

Ann. Stat. Assoc., Providence, RI, vol. 2.

[30] Ratsaby J., Maiorov V. (1998), "The degree of approximation of sets in Eu-

clidean space using sets with bounded Vapnik–Chervonekis dimension",

Discrete Applied Math., 86, pp. 81–93.

[31] Ratsaby J., Maiorov V. (1999), "On the degree of approximation by manifolds

of finite pseudo-dimension", Constr. Approx., 15, pp. 291-300.

[32] Smolyak, S.A. (1963), "Quadrature and interpolation formulas for tensor

products of certain classes of functions", Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 148, pp.

1042–1045.

[33] Temlyakov V. (1985), "Approximation recovery of periodic functions of sev-

eral variables", Mat. Sb., 128, pp. 256-268.

87

[34] Temlyakov V. (1989), "Estimates of the asymptotic characteristics of classes

of functions with bounded mixed derivative of difference", Trudy Mat. Inst.

Steklov, 189, pp. 138-167.

[35] Temlyakov V. (1993), "On approximate recovery of functions with bounded

mixed derivative", J. Complexity, 9, pp. 41-59.

[36] Temlyakov V. (1993), "Approximation of Periodic Functions", Nova Science

Publishers, Inc., New York.

[37] Temlyakov V. (1995), "An inequality for trigonometric polynomials and its

application for estimating the entropy numbers", J. Complexity, 11, pp. 293-

307.

[38] Temlyakov V. (2018), "Multivariate Approximation", Cambridge Univ. Press.

[39] Vapnik V. N., Chervonekis A. Y. (1981), "Necessary and sufficient conditions

for the uniform convergence of means to their expectations", Theory Prob.

Appl., vol. 26, pp. 264-280.

[40] Vibíral J. (2006), "Function spaces with dominating mixed smoothness", Dis-

sertationes Math., 436, pp. 73.

[41] Whittaker, Kotelnikov, Shannon (1990), "The Whittaker-Kotelnikov-Shannon

theorem, (cid:101)-entropy and (cid:101)-dimension", Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 312, pp. 524-

528.

88