Luận án Tiến sĩ Vật lý: Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:117

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án nhằm nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau, nghiên cứu các đặc trưng topo của nghiệm, tìm thêm một số nghiệm số và nghiệm giải tích mới; ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường chuẩn đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng dụng để xây dựng cách tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường hấp dẫn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Vật lý: Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác giả cho phép sử dụng. Hà Nội, tháng 3 năm 2014 Giáo viên hướng dẫn Tác giả luận án GS, TSKH. Nguyễn Viễn Thọ Nguyễn Quốc Hoàn i
Lời cảm ơn Nhìn lại một khoảng dài, với hơn 5 năm trên trục thời gian. Thời khoảng mà tôi đã nhận được những tình cảm tốt đẹp nhất từ các thầy cô, đồng nghiệp, bạn bè và gia đình. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng tôn kính và sự biết ơn của tôi đến GS.TSKH. Nguyễn Viễn Thọ - Một nhà khoa học nghiêm túc, thầy đã tận tình dạy bảo và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo Tô Bá Hạ, thầy đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bản luận án của tôi là lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Viện Vật lý Kỹ thuật, đặc biệt là các thầy, cô và các bạn ở Bộ môn Vật lý Lý thuyết, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Những bản nhận xét rất tỉ mỉ của các thầy (cô) phản biện đã giúp tôi hoàn thiện cuốn luận án này. Cá nhân tôi coi đó là những bài học quý báu trong học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi tới các thầy (cô) phản biện lời cảm ơn chân thành nhất. Nhân dịp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo và các đồng nghiệp Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Giang - nơi tôi công tác, về những quan tâm, ủng hộ và giúp đỡ quý báu. Gia đình là điểm tựa vững chắc cho tôi, là nơi mà tôi có thể bày tỏ mọi cảm xúc. Xin được gửi tới gia đình tôi lòng biết ơn sâu nặng và những tình cảm không thể nói bằng lời. Nguyễn Quốc Hoàn ii
Mục lục Lời cam đoan .................................................................................................... i Lời cảm ơn .......................................................................................................ii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ..........................................................vi Danh mục các hình vẽ và đồ thị.....................................................................vii MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1 1 Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 1 2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................ 4 3 Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 5 4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án............................................... 5 5 Bố cục của luận án.................................................................................... 7 1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI ABEL ........................................................................................................... 9 1.1 Hệ Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang ............... 11 1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và dyon Julia – Zee ............................................................................................ 16 1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov ................................... 16 1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee....................................................... 19 1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) .................................................................................................... 21 1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn .......................................................... 21 1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) ................. 23 1.4 Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton ... 24 iii
1.5 Kết luận chương 1 ................................................................................ 26 2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG TRỤC .................................................................................... 27 2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục ...................................... 27 2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm ................................................... 28 2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục .................................................... 31 2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng .. 32 2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ số topo cao ........................................................................................................ 34 2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục ................. 34 2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục .......................................... 35 2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV] ................................. 37 2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel [IV] ........................................................................................ 39 2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi Abel [III, IV] ......................................................................... 41 2.4 Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số và nghiệm giải tích .................. 42 2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng sợi dây.................................................................................... 43 2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình .............................................. 44 2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI] ..................................... 52 2.5 Kết luận chương 2 ................................................................................ 56 3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG TRƯỜNG CHUẨN ................................................................................... 58 3.1 Hạt màu trong trường chuẩn - Phương trình Wong ................. 59 3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và [V] ........................................................................................................ 65 iv
3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn .. 74 3.4 Kết luận chương 3 ................................................................................ 76 4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN . 77 4.1 Hạt trong trường Wu-Yang .................................................................. 77 4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS ... 84 4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft ............................................. 84 4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS ................................................ 88 4.3 Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills . 93 4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V] ...................... 93 4.3.2 Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V] .................................... 98 4.4 Kết luận chương 4 ................................................................................ 99 KẾT LUẬN .................................................................................................. 100 Danh mục các công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án ... 103 Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 104 Phụ lục......................................................................................................... 111 v
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt : Mật độ Lagrangian : Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng ma trận : Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng thành phần : Thế Yang-Mills : Tensor cường độ trường gauge dạng thành phần : Vector màu : Đạo hàm hiệp biến : Đạo hàm phản biến : Mật độ dòng nguồn ngoài : Điện trường phi abel dạng thành phần : Từ trường phi abel dạng thành phần : Số topo : Mật độ năng lượng trường phi abel : 4-xung lượng chính tắc : Spin đồng vị của hạt : Các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz : Hằng số cấu trúc của nhóm Lorentz : Cường độ trường của trường gauge Lorentz : Ma trận của phép quay các thông số không gian : Hàm ma trận của vi
Danh mục các hình vẽ và đồ thị Hình 2.1 Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị 38 Hình 2.2 Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị 38 Hình 2.3 Sự phân bố không gian của điện trường phi Abel 40 Hình 2.4 Sự phân bố của đường từ trường phi Abel của vector với 40 nguồn ngoài kỳ dị Hình 2.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với 41 nguồn ngoài kỳ dị Hình 2.6 Sự biến thiên của năng lượng trường tổng cộng theo giá trị của tích 42 màu với nguồn ngoài kỳ dị Hình 2.7 Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây 46 Hình 2.8 Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây 47 Hình 2.9 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với 47 nguồn ngoài dạng sợi dây Hình 2.10 Các hàm profile vortex tĩnh và ; Mật độ tích màu và 49 mật độ năng lượng với nguồn ngoài dạng sợi dây Hình 2.11 Sự biến thiên của năng lượng tổng cộng vào tổng điện tích phi 52 Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây Hình 4.1 Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần theo 96 Hình 4.2 Đường biểu diễn thế hiệu dụng Schwarzschild-like theo 97 Hình 4.3 Đường cong thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, thế hiệu 98 dụng trong giới hạn Newton và thế hiệu dụng trong lý thuyết tổng quát của Einstein theo vii
MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Lý thuyết trường gauge do Yang-Mills [1] đề xướng vào năm 1954. Ý tưởng này dựa trên yêu cầu xây dựng các Lagrangian bất biến đối với các phép biến đổi đối xứng nội tại. Ngày nay lý thuyết trường gauge Yang-Mills đã được thừa nhận rộng rãi và là hình thức luận khung cho lý thuyết thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, cũng như cho sắc động lực lượng tử của tương tác mạnh. Đầu tiên là sự khám phá của Glashow vào năm 1960 về cách thức để thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu [2], với việc sử dụng mô hình nhưng chưa hoàn chỉnh về mặt vật lý vì các lượng tử của trường này đều không có khối lượng. Năm 1967, Weinberg [3] và Salam [4] đã kết hợp cơ chế Higgs [5, 6, 7] vào trong lý thuyết của Glashow giúp cho việc sinh khối lượng các boson gauge, kết quả là đã xây dựng thành công mô hình thống nhất tương tác điện - yếu, gọi là mô hình Weinberg-Salam và cơ chế Higgs được cho là nguyên nhân tạo nên khối lượng cho các hạt cơ bản. Sự thành công này đã thuyết phục hầu hết các nhà Vật lý rằng lý thuyết gauge phi Abel về tương tác điện - yếu là một lý thuyết vật lý khá hoàn hảo. Đặc biệt, sau khi tìm thấy dòng yếu trung hòa gây bởi sự trao đổi boson ở CERN năm 1973 [8, 9, 10], lý thuyết điện - yếu đã được chấp nhận một cách rộng rãi và Glashow, Weinberg, Salam đã được trao giải Nobel Vật lý năm 1979. Tiếp đó là những công trình xây dựng sắc động lực học lượng tử (viết tắt là QCD) là lý thuyết về tương tác mạnh dựa trên sự bất biến của phép biến đổi gauge đối với nhóm . Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về ba lực miêu tả bởi mô hình chuẩn đều đúng như những dự đoán của thuyết này. Tuy nhiên, mô hình chuẩn vẫn chưa là một thuyết thống nhất các lực tự nhiên một cách hoàn toàn, do sự vắng mặt của lực hấp dẫn. 1
Mô hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson. Fermion là những hạt có spin bán nguyên và tuân thủ theo nguyên lý loại trừ của Wolfgang Pauli, nguyên lý cho rằng không có hai fermion nào có cùng trạng thái lượng tử với nhau. Các hạt boson có spin nguyên và không tuân theo nguyên lý Pauli. Khái quát hóa, fermion là những hạt vật chất còn boson là những hạt truyền tương tác. Trong mô hình chuẩn, thuyết điện từ - yếu (bao gồm cả tương tác yếu lẫn lực điện từ) được kết hợp với thuyết sắc động lực học lượng tử. Tất cả những thuyết này đều là lý thuyết gauge, trong đó đưa vào các boson trung gian như là hạt truyền tương tác giữa các fermion. Hệ Lagrangian của mỗi tập hợp hạt boson trung gian bất biến dưới một phép biến đổi gọi là biến đổi gauge, vì thế các boson này còn được gọi là gauge boson. Mô hình chuẩn và rất nhiều hướng mở rộng khác nhau đã cho phép mô tả hiện tượng luận phong phú của tương tác hạt cơ bản. Cùng với việc khai thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn, một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính chất cơ bản của lý thuyết Yang-Mills như là các hệ động lực học phi tuyến. Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển rất mạnh mẽ trong thời gian gần đây. Các phương trình vật lý toán phi tuyến có nhiều tính chất rất khác so với các phương trình vật lý toán tuyến tính thông thường. Một trong những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton, có thể mô tả như các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặc xung. Soliton bảo toàn dạng theo thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chất topo của nghiệm, nghĩa là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau và đặc trưng topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động. Soliton là đối tượng được các nhà Vật lý thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm: Quang học phi tuyến, Vật lý hạt, Vũ trụ học và Vật lý chất rắn. Đối với lý thuyết trường của các hạt cơ bản, điều hấp dẫn nhất là, ngay ở mức độ cổ điển (chưa lượng tử hóa), hoặc ở gần đúng chuẩn cổ điển, các soliton của các phương trình trường phi tuyến đã có dạng gần đúng như các hạt: Mật độ năng lượng trường là hữu hạn, tập trung trong miền không gian và dịch chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton của các lý thuyết trường phi tuyến 2
được nghiên cứu nhiều và có nhiều ứng dụng vật lý nhất phải kể đến là các soliton của lý thuyết Skyrme (skyrmion), của lý thuyết Yang-Mills (nghiệm Wu-Yang), Yang-Mills trong không gian Euclid (instanton), lý thuyết Yang- Mills-Higgs (monopole ’t Hooft-Polyakov, soliton Bogomolny-Prasad- Sommerfield), …. Các nghiên cứu theo hướng này hiện hiện vẫn đang được tiếp tục phát triển và thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà Vật lý lý thuyết. Tuy nhiên chúng là những nghiệm của các phương trình trường phi tuyến nên hầu như không có phương pháp giải tổng quát mà phải sử dụng các tính chất đối xứng của hệ vật lý và đưa vào các ansatz riêng để tìm nghiệm cho từng trường hợp. Trên thế giới, một số trung tâm mạnh về các vấn đề này có thể kể đến là Đại học Princeton (Mỹ), Massachusetts (Mỹ), Viện Vật lý lý thuyết và thực nghiệm (Nga), Cambridge (Anh), Durham (Anh), v.v... Các lý thuyết Yang-Mills, Yang-Mills-Higgs, lý thuyết hiện đang được thừa nhận là sơ đồ khung nhất quán cho lý thuyết các hạt cơ bản. Liên quan đến các lý thuyết Yang-Mills, còn được gọi là lý thuyết chuẩn (gauge theories), trong nước có các nhóm nghiên cứu về các mở rộng khác nhau của mô hình chuẩn và các hệ quả đối với hạt cơ bản theo hướng hiện tượng luận và đã có nhiều kết quả mới được công bố. Gần nhất với hướng nghiên cứu của đề tài luận án này – Nghiên cứu về nghiệm của các phương trình Yang- Mills – Có tác giả Nguyễn Văn Thuận với đề tài luận án tiến sỹ “Nghiên cứu nghiệm của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills và ứng dụng vật lý của chúng” – Trong đó, tác giả đã nghiên cứu về các nghiệm tĩnh với đối xứng cầu của các phương trình Yang-Mills cổ điển với nhóm chuẩn và từ đó nghiên cứu về các ứng dụng có thể của các nghiệm cổ điển trong các bài toán lượng tử. Trong luận án này chúng tôi chọn đề tài “Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng”. Nhằm nghiên cứu sâu hơn các nghiệm soliton của các lý thuyết Yang-Mills và cả Yang-Mills-Higgs, tìm thêm một số nghiệm mới và các ứng dụng mới. Các kết quả và nội dung mới của chúng tôi về nghiên cứu nghiệm của các phương trình Yang-Mills so với các kết quả của các tác giả đã công bố có thể nêu vắn tắt như sau: 3
(i) Chúng tôi nghiên cứu để tìm nghiệm của các phương trình Yang- Mills cho bài toán có tính đối xứng trục - khi đó các hàm trường phụ thuộc vào hai biến không gian là và (trường hợp đối xứng cầu thì các hàm trường chỉ phụ thuộc một biến không gian, biến ). Đối với bài toán này chúng tôi đã tìm được cả nghiệm số và nghiệm giải tích, đồng thời xây dựng được bộ chương trình Fotran cho phép giải được các bài toán tương tự; (ii) Tiếp theo, chúng tôi khảo sát tính chất các nghiệm thuộc các lớp với chỉ số topo cao ( ); (iii) Cùng với lý thuyết Yang-Mills đối với nhóm , xét lý thuyết Yang-Mills đối với nhóm Lorentz , cũng là của – nhóm đẳng cấu địa phương – và đề xuất tiệm cận Yang-Mills đối với bài toán hạt trong trường hấp dẫn. Tóm lại, trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản mà công cụ nghiên cứu là Lý thuyết trường Yang-Mills, việc tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills và phương trình Wong cũng như phương trình Wong tổng quát là lĩnh vực còn nhiều vấn đề đang mở phải tiếp tục giải quyết. Với đề tài nghiên cứu đặt ra, có thể nói đã tiếp cận được các vấn đề thời sự của lý thuyết trường lượng tử hiện đại và hy vọng có đóng góp vào sự phát triển của hướng nghiên cứu đã chọn. 2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu a) Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau, nghiên cứu các đặc trưng topo của nghiệm, tìm thêm một số nghiệm số và nghiệm giải tích mới. Ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường chuẩn đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng dụng để xây dựng cách tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường hấp dẫn. 4
b) Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu về các lớp nghiệm của các phương trình Yang-Mills, Yang-Mills-Higgs và nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường Yang- Mills trong gần đúng cổ điển. c) Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các đối tượng trên trong phạm vi của nhóm đối xứng và nhóm đối xứng không-thời gian (nhóm Lorentz). 3 Phương pháp nghiên cứu Trong lý thuyết trường lượng tử hiện đại, song song với kỹ thuật nhiễu loạn và giản đồ Feynmann, tồn tại chiến lược giải khác, thay thế bài toán của lý thuyết trường bằng một phiếm hàm Lagrangian hiệu dụng, rồi tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng đó bằng cách suy ra từ phiếm hàm này. Sử dụng các ansatz, xây dựng mô hình tìm nghiệm, mô phỏng các nghiệm tìm được về đặc điểm của trường Yang-Mills với một số dạng nguồn ngoài ứng với các chỉ số topo khác nhau. Các bài toán lý thuyết trường nói chung là dẫn đến các phương trình phi tuyến khá phức tạp. Tuy nhiên, bằng cách khai thác triệt để tính đối xứng của các hệ vật lý và sử dụng phương pháp số hoá để giải các phương trình, chúng tôi đã thu được một số kết quả mới trong việc tìm và ứng dụng các nghiệm để làm sáng tỏ một số vấn đề động lực học của các tương tác. Tiếp theo, chúng tôi sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ cùng với việc tham số hóa vector đối với nhóm và tham số hóa vector phức đối với nhóm Lorentz, từ đó xây dựng phương trình Wong tổng quát, rồi tìm nghiệm của phương trình này để mô tả chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn. 4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Luận án nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của một số hệ trường Yang- Mills xem như là hệ động lực học phi tuyến: các soliton topo của hệ Yang- 5
Mills, Yang-Mills-Higgs, Yang-Mills với các nguồn màu ngoài, tương tác của hạt với các đối tượng này. Những kết quả với ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án có thể tóm tắt như sau: Chúng tôi đã xây dựng được thuật toán và lập chương trình giải phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng điểm, dạng sợi dây. Chương trình cho phép tìm được nghiệm với chỉ số topo tùy ý. Với các nghiệm tìm được, chúng tôi đã tính toán và vẽ tường minh điện trường, từ trường phi Abel cũng như mật độ năng lượng với các chỉ số topo khác nhau. Từ đó giúp ta hiểu rõ hơn về bức tranh tương tác của các hạt cơ bản. Tìm được lớp nghiệm giải tích dạng vortex cho nguồn ngoài dạng sợi dây. Đối với trường hợp nghiệm tĩnh đã chứng minh được hiện tượng rẽ nhánh của đồ thị năng lượng phụ thuộc độ lớn tích màu. Tìm được nghiệm phụ thuộc thời gian dạng sóng trụ và mang các đặc điểm như: có sự truyền tải năng xung lượng, nhưng không phát xạ màu, do đó tích màu tổng cộng của nguồn không đổi theo thời gian. Những nghiệm vortex này có thể giúp cho việc nghiên cứu các loại vật liệu mới. Đã tìm được hệ phương trình Wong mở rộng cho trường hợp hạt chuyển động trong trường Yang-Mills của các nhóm và . Dựa trên phương trình này nghiên cứu bài toán chuyển động của hạt điểm trong trường gauge đối với nhóm Lorentz, như là tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường hấp dẫn. Sự đóng góp này của luận án giúp cho việc liên kết giữa lý thuyết Yang-Mills và lý thuyết hấp dẫn của Einstein, trong đó có so sánh với lý thuyết hấp dẫn của Newton để đóng góp cho lý thuyết về sự thống nhất các tương tác. Các kết quả trên góp phần làm phong phú hơn các hiểu biết về cấu trúc lý thuyết Yang-Mills, mà hiện nay đang được thừa nhận là lý thuyết đóng vai trò nền tảng để xây dựng các mô hình lý thuyết mô tả các tương tác cơ bản của tự nhiên. 6
5 Bố cục của luận án Luận án gồm 4 chương, phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình và phần phụ lục. Nội dung 4 chương cơ bản như sau:  Chương 1. Soliton topo trong các hệ trường gauge Abel và phi Abel: Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về lý thuyết trường Yang-Mills . Trong đó, giới thiệu các soliton topo là các nghiệm của các phương trình Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs như: Nghiệm Wu-Yang trong hệ Yang-Mills không có trường Higgs; Với hệ Yang-Mills-Higgs, giới thiệu nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và nghiệm dyon Julia-Zee; Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS); Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton.  Chương 2. Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills với nguồn ngoài đối xứng trục: Trong chương này chúng tôi trình bày về nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục, nghiên cứu về các ansatz để tìm nghiệm đồng thời giới thiệu một số kết quả mới đã được công bố theo hướng nghiên cứu này; Trình bày phương pháp mà chúng tôi đã áp dụng để tìm nghiệm và mô phỏng một số kết quả mới đã tìm được từ phương pháp này cho bài toán về nghiệm của phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và nguồn ngoài dạng sợi dây với nghiệm vortex.  Chương 3. Phương trình chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn: Trong chương này chúng tôi chỉ ra cách suy ra phương trình chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn từ phương trình chuyển động của điện tích trong trường điện từ của điện động lực cổ điển – phương trình Wong; Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và ; Nghiên cứu bài toán chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn đối với đối xứng Lorentz địa phương; Sử dụng hình thức luận bó thớ để nghiên cứu động lực học Lagrangian của hạt màu trong trường chuẩn .  Chương 4. Thế hiệu dụng và quỹ đạo của hạt trong trường chuẩn: Trong chương này chúng tôi trình bày việc nghiên cứu các kết quả đã được công bố của một số tác giả. Đó là, bài toán về hạt trong trường Wu-Yang, bài 7
toán về hạt trong trường đơn cực ’t Hooft-Polyakov và trường soliton BPS. Từ đó, giải bài toán về chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn và so sánh cách tiếp cận hấp dẫn của lý thuyết Yang-Mills với lý thuyết hấp dẫn của Einstein và Newton. 8
Chương 1 1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI ABEL Một trong những đặc trưng cơ bản của điện động lực Maxwell là tính bất biến gradient (gradient invariance). Nghĩa là, điện động lực sẽ bất biến nếu thêm vào thế gradient một thế nào đó. Tuy nhiên, để tương tác của của vật chất tích điện với trường điện từ, bảo đảm được tính bất biến gradient cho trường điện từ, hàm sóng của hệ vật chất cũng phải chịu một phép biến đổi pha với pha chính là hàm xác định phép biến đổi gradient của hàm thế. Phép biến đổi xác định bởi cùng một hàm lên cả hàm sóng của vật chất lẫn thế của trường điện từ được gọi là phép biến đổi chuẩn – phép biến đổi gauge (gauge transformation). Như vậy, lý thuyết vật chất tương tác với trường điện từ phải bất biến chuẩn (gauge invariant). Tính chất này đã được tổng quát hóa cho cả tương tác yếu và tương tác mạnh. Tính bất biến chuẩn sẽ dẫn đến sự tồn tại một thế vector có vai trò tương tự như thế của trường điện từ, được gọi là thế chuẩn hay trường chuẩn (gauge field). Nếu nhóm cơ bản để xây dựng trường chuẩn cho Điện động lực là nhóm , và trường chuẩn tương ứng là thế điện từ, thì nhóm dùng để xây dựng trường chuẩn cho tương tác yếu là nhóm và trường chuẩn tương ứng được gọi là trường Yang-Mills, còn cho tương tác mạnh sẽ là nhóm , trường chuẩn tương ứng gọi là trường gluon. Bằng cách lựa chọn nhóm chuẩn , các nhà vật lý lý thuyết đã xây dựng được lý thuyết thống nhất cho tương tác điện từ - yếu (mô hình Weinberg - Salam), còn nếu chọn nhóm chuẩn là 9
, ta sẽ được lý thuyết thống nhất điện từ - yếu - mạnh (mô hình chuẩn – Standard Model). Nếu thay nhóm chuẩn của mô hình chuẩn bằng nhóm ta sẽ được lý thuyết thống nhất lớn (Grand Unified Theory). Như vậy, mặc dù có tới bốn tương tác cơ bản, nhưng trừ tương tác hấp dẫn, các tương tác còn lại đều được diễn tả thông qua một ngôn ngữ duy nhất, đó là ngôn ngữ trường chuẩn. Do tính phổ quát của lý thuyết Yang- Mills trong nghiên cứu vật lý hạt cơ bản mà dẫn đến việc tìm nghiệm của phương trình này trong những mô hình vật lý khác nhau luôn là đề tài hấp dẫn các nhà vật lý. Trong phần này ta sẽ điểm qua một số kết quả đã được công bố của các tác giả về việc tìm nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs. Soliton là những nghiệm của các phương trình trường cổ điển phi tuyến. Chúng được cho là định xứ, có năng lượng hữu hạn và cấu trúc ổn định giống như những đối tượng hạt thông thường. Những soliton và những đa soliton (multi-solitons) sở dĩ có cấu trúc ổn định là do chúng mang tích topo , đó là số nguyên đặc trưng cho hạt và chúng là đại lượng được bảo toàn. Sự bảo toàn của không phải do định lý Noether mà do cấu trúc topo của soliton. Mỗi soliton được mô tả bởi tập hợp các tọa độ trong mô hình. Tập hợp các tọa độ được coi như không gian moduli. Bogomolny [11] đã chỉ ra rằng, trong các lý thuyết trường thì năng lượng của soliton bị chặn dưới bởi một đa tích topo và dấu đẳng thức chỉ xảy nếu như trường thỏa mãn trật tự đầu tiên PDE. Bởi vì phương trình Bogomolny không chứa thời gian, những nghiệm của nó là những nghiệm tĩnh. Hơn nữa, chúng là những nghiệm ổn định trong cấu trúc topo chúng có năng lượng cực tiểu. Nếu một đơn soliton có tập hợp tọa độ thì soliton sẽ có một không gian moduli với chiều. Đa tạp chiều này có cấu trúc một ma trận, nó mô tả những sự tương tác của các soliton. Đôi khi thế của trường cũng được định nghĩa trên không gian moduli. Trong trường hợp không tồn tại thế, 10
không có lực tương tác giữa các soliton tĩnh và các tương tác bị chi phối bởi dạng hình học của không gian moduli thì năng lượng tỉ lệ với số lượng các soliton. Những thí dụ về các soliton được các nhà vật lý quan tâm nhiều:  Kinks với một chiều;  Vortices trong lý thuyết gauge với trường Higgs của trường hợp hai chiều [12];  Lumps trong những lý thuyết trường vô hướng phi tuyến ( - models) với hai chiều [13];  Monopoles trong ba chiều của những lý thuyết Gauge/Higgs [14, 15];  Solitons trong ba chiều -models (được biết đến như những Skyrmion) [16, 17];  Instantons trong những lý thuyết thuần gauge của bốn chiều [18] 1.1 Hệ Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang Phần này ta sẽ xem xét các nghiệm của phương trình Yang-Mills trong không gian Minkowski. Phương trình chuyển động của lý thuyết thuần gauge có dạng (1.1) nó bất biến dưới phép biến đổi của nhóm gauge . Các nghiệm của phương trình này được biết đến đó là: nghiệm sóng phẳng phi Abel [19], nghiệm monopole phi Abel, và một số các lớp nghiệm phức thu được từ các lớp ansatz. Một nghiệm thực tiêu biểu trong không gian Minkowski đó là cặp meron-phản meron. Hầu hết các nghiệm này đều mang tính thuần túy toán học mà ít có ý nghĩa vật lý thực tế. Tuy vậy cũng có những nghiệm quan trọng với ý nghĩa vật lý nhất định như nghiệm monopole Wu-Yang, nó được coi là một dây các monopole tự do trong trường hợp phi Abel. 11
Nghiệm monopole Wu-Yang là nghiệm monopole tự do của lý thuyết thuần . Nghiệm này đã được tìm ra đầu tiên bởi Wu và Yang [20] với trường hợp (sau đó được Jualia và Zee [21], Hsu và Mac [22] mở rộng cho trường hợp ) bằng cách đưa vào ansatz sau (gọi là ansatz Wu-Yang) (1.2) [ ] Thế các ansatz này vào (1.1), ta được hệ phương trình sau (1.3) ( ) Phương trình (1.3) có hai nghiệm hằng là và , chúng là những nghiệm vacuum với ( đối với nghiệm thứ nhất, còn đối với nghiệm thứ hai là thế gauge thuần). Nghiệm hằng số không tầm thường là (1.4) Khi , thì , ta có trong đó là những hằng số. Với thế gauge không triệt tiêu tại vô cùng ̂ Dù có sự đóng góp này của thế gauge nhưng nó có thể thay đổi bởi phép biến đổi gauge. Vì vậy, với sự tương đương gauge, phương trình (1.4) chỉ còn lại . Để có cách nhìn tổng thể hơn và thuận lợi cho việc so sánh các nghiệm của Wu-Yang trong hệ Yang-Mills không có trường Higgs này. Ta hãy chỉ ra đây một tam tuyến Higgs mà Lagrangian của nó trong lý thuyết gauge được cho bởi (1.5) ở đây 12
(1.6) (1.7) và thế Higgs là ( ) (1.8) chỉ số là chỉ số và bất biến dưới phép biến đổi cục bộ , còn cả và biến đổi như các biểu diễn phó. Mặt khác, thế Higgs phải không triệt tiêu tại vô cùng còn thế năng phải triệt tiêu tại đó. Do vậy, bất kể nghiệm vật lý nào cũng phải thỏa mãn ( ) ̂ (1.9) √ Điều này giống như việc phá vỡ đối xứng trong lý thuyết lượng tử, mà ở đó mong muốn rằng vacuum có giá trị khác không 〈 〉 . Bây giờ, ta sẽ nghiên cứu một Lagrangian của thế gauge thuần Yang- Mills, có dạng ( ) (1.10) (1.11) Để thế năng tại vô cùng phải triệt tiêu, đòi hỏi (1.12) Từ sự tương ứng Julia-Zee [21], nếu chọn (1.13) thì nghiệm của lý thuyết thuần Yang-Mills (1.10) và nghiệm của lý thuyết Yang-Mills-Higgs (1.5) sẽ giống nhau về mặt toán học. Trở lại với vấn đề nghiệm Wu-Yang. Phương trình (1.13) cho ta thấy rằng, bất kể nghiệm tĩnh nào của lý thuyết thuần cũng có thể coi như nghiệm của lý thuyết (1.5) mở rộng trong giới hạn nói trên. Do vậy mà 13