intTypePromotion=3

Luận văn: Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT

Chia sẻ: Orchid_1 Orchid_1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:130

0
94
lượt xem
27
download

Luận văn: Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Việc nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học về một khái niệm toán học nào đó không chỉ cho phép làm rõ một số kiểu bài toán, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động một cách tường minh hay ngầm ẩn, mà còn cả những đối tượng, những khái niệm khác có mối quan hệ qua lại mật thiết với khái niệm này và góp phần vào sự nảy sinh và phát triển của nó. Một cách tổng quát, nó cho phép làm rõ những đặc trưng khoa học luận của...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT

  1. www.VNMATH.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG KHAÙI NIEÄM XAÙC SUAÁT TRONG DAÏY - HOÏC TOAÙN ÔÛ TRUNG HOÏC PHOÅ THOÂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: DIDACTIC TOÁN Mã số: 60.14.10 Người hướng dẫn: PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố HỒ CHÍ MINH Năm 2005
  2. www.VNMATH.com Lôøi Caûm Ôn Toâi xin traân troïng caûm ôn : Phoù giaùo sö Tieán só Leâ Thò Hoaøi Chaâu, ngöôøi ñaõ taän tình höôùng daãn toâi veà maët nghieân cöùu khoa hoïc, luoân ñoäng vieân giuùp toâi coù ñuû nieàm tin vaø nghò löïc trong suoát quaù trình thöïc hieän luaän vaên naøy. Phoù giaùo sö Tieán só Leâ Thò Hoaøi Chaâu, Tieán só Leâ Vaên Tieán, Tieán só Ñoaøn Höõu Haûi, Phoù giaùo sö Tieán só Claude Comiti, Phoù giaùo sö Tieán só Annie Bessot, Tieán só Alain Birebent ñaõ nhieät tình giaûng daïy, giaûi ñaùp caùc thaéc maéc, daãn daét chuùng toâi tìm hieåu nhöõng kieán thöùc ban ñaàu vaø truyeàn cho chuùng toâi söï höùng thuù ñoái vôùi chuyeân ngaønh Didactique Toaùn. Toâi xin chaân thaønh caûm ôn : Ban laõnh ñaïo vaø chuyeân vieân Phoøng Khoa hoïc coâng ngheä – Sau ñaïi hoïc, Ban chuû nhieäm vaø giaûng vieân khoa Toaùn–Tin tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm thaønh phoá Hoà Chí Minh, ñaõ taïo thuaän lôïi giuùp toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Ban Giaùm hieäu vaø caùc ñoàng nghieäp trong toå Toaùn tröôøng THPT Voõ Thò Saùu ñaõ taïo moïi thuaän lôïi cho toâi trong suoát thôøi gian theo hoïc cao hoïc taïi tröôøng ÑHSP. Ban Giaùm hieäu tröôøng THPT Nguyeãn Höõu Huaân ñaõ nhieät tình giuùp ñôõ vaø taïo ñieàu kieän cho toâi tieán haønh laøm Thöïc nghieäm taïi quyù tröôøng. Toâi xin toû loøng bieát ôn ñeán : Trôï lyù sö phaïm Andreù Simard ñaõ chia seû vôùi toâi nhöõng kinh nghieäm giaûng daïy vaø nhöõng thaéc maéc veà Xaùc suaát Thoáng keâ. Anh Voõ Theá Khoâi ñaõ tìm vaø cung caáp saùch tham khaûo cho nghieân cöùu trong luaän vaên naøy ñoàng thôøi cuõng luoân laø nguoàn ñoäng vieân lôùn veà maët tinh thaàn ñoái vôùi toâi. Caùc baïn cuøng lôùp cao hoïc Didactic Toaùn - Khoaù 3 : Nguyeãn Thò Phöông Mai, Traàn Anh Duõng, Phan Höõu Taøi, ñaõ cuøng chia seû nhöõng vui buoàn vaø khoù khaên vôùi toâi trong suoát thôøi gian theo hoïc taïi tröôøng ÑHSP Tp. HCM. Môï vaø caùc chò em trong gia ñình ñaõ luoân naâng ñôõ vaø laø choã döïa cho toâi veà moïi maët. Vuõ Nhö Thö Höông
  3. www.VNMATH.com MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ...................................................................................... 1 §I. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu ............................................. 1 §II. Khung lý thuyết tham chiếu....................................................................... 2 §III. Trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu ................. 5 §IV. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn .................................. 6 Chương 1 : ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM XÁC SUẤT 8 §I. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm xác suất ............. 10 §II. Vài kết luận ............................................................................................. 23 Chương 2 : NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG XÁC SUẤT ....................................................................................................... 27 §I. Phân tích chương trình thí điểm ............................................................. 29 §II. Phân tích sách giáo khoa ........................................................................ 30 §III. Kết luận ................................................................................................... 56 Chương 3 : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ........................................................ 59 A. THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT ......................................................................................... 59 §I. Giới thiệu thực nghiệm ........................................................................... 59 §II. Phân tích a priori các tình huống thực nghiệm ....................................... 62 §III. Phân tích a posteriori ............................................................................... 78 §IV. Kết luận ................................................................................................... 86 B. THỰC NGHIỆM THỨ HAI ............................................................................................. 87 §I. Mục đích ................................................................................................. 87 §II. Nội dung thực nghiệm ............................................................................ 88 §III. Kết luận ................................................................................................. 103 C. KẾT LUẬN PHẦN THỰC NGHIỆM ........................................................................... 104 KẾT LUẬN........................................................................................... 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................................... PHỤ LỤC ......................................................................................................................... PROTOCOLE..................................................................................................................
  4. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương PHẦN MỞ ĐẦU § I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU Ở Việt nam, trong một thời gian dài, Xác suất và Thống kê chỉ được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán ở cấp đại học. Gần đây, một bộ phận cơ bản của Thống kê là Thống kê mô tả được đưa dần vào chương trình toán ở cấp trung học cơ sở (lớp 9) kể từ năm 1990. Tuy nhiên, phần Xác suất thì vẫn chưa được đưa vào giảng dạy ở phổ thông (chúng tôi không kể đến chương trình toán thí điểm dành cho phân ban KHTN trong giai đoạn 1995-1997 vì chương trình này dù có đề cập đến khái niệm xác suất nhưng lại chỉ được thực hiện ở một số rất ít trường chuyên1 có phân ban KHTN và KHXH rồi sau đó, phần này bị bỏ hẳn). Ngược lại, Xác suất và Thống kê lại được đưa vào giảng dạy khá sâu trong chương trình phổ thông tại nhiều nước trên thế giới như Mỹ, Anh, Pháp, Úc, Brasil,… từ rất nhiều năm nay (chẳng hạn ở Pháp đã có một bề dày gần bốn mươi năm giảng dạy xác suất ở trung học). Điều này càng cho thấy tầm quan trọng của kiến thức về xác suất và thống kê, một ngành toán ứng dụng rất có giá trị sử dụng trong nhiều lĩnh vực như: Vật lý, Cơ học, Sinh học, Kinh tế, Y học, Xã hội học,… Thấy được xu thế của thời đại, các nhà giáo dục Việt nam bắt đầu quan tâm đến việc nên đưa khái niệm thống kê và xác suất vào giảng dạy ở trường phổ thông với mục đích nhằm tiến gần và bắt kịp với thế giới bên ngoài, đồng thời cũng là để đáp ứng với việc đổi mới chương trình giáo dục và phương pháp giảng dạy ở Việt nam. Cụ thể là theo chương trình cải cách gần đây nhất2 thì kể từ năm học 2003-2004, một số yếu tố cơ bản của Thống kê mô tả được đưa vào giảng dạy ở lớp 7 tại tất cả các trường trung học cơ sở và đồng thời một số kiến thức và kỹ năng về Thống kê mô tả cũng được đưa vào lớp 10 theo chương trình thí điểm phân ban KHTN và KHXH tại một số trường trung học phổ thông. Còn Xác suất thì mới được đưa vào giảng dạy lần đầu trong chương trình thí điểm phân ban của lớp 11 năm học này (2004-2005), cũng tại các trường nói trên (trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh có 4 trường). Do đi sau các nước khác trong việc đưa khái niệm xác suất vào giảng dạy ở phổ thông trung học nên các tác giả sách giáo khoa Việt nam có nhiều tư liệu, sách giáo khoa, chương trình,… của các nước khác để tham khảo cũng như có nhiều chọn lựa trong cách giới thiệu khái niệm xác suất. Điều này khiến chúng tôi tự hỏi: Khái niệm 1 Ở thành phố Hồ Chí Minh chỉ có duy nhất trường phổ thông trung học chuyên Lê Hồng Phong sử dụng chương trình phân ban thí điểm này trong giai đoạn 1995-1997 2 Chương trình cải cách được tiến hành đại trà từ năm học 2002-2003 và bắt đầu ở lớp 6. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -1-
  5. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương xác suất hình thành như thế nào ? Có những quan điểm nào về cách tiếp cận khái niệm xác suất ? Sách giáo khoa Việt nam đã chọn giới thiệu khái niệm xác suất như thế nào (theo quan điểm nào) ? Liệu cách giới thiệu này có giúp học sinh hiểu được « nghĩa thực tế » của khái niệm xác suất hay không ? Như đã nói, đây là lần đầu tiên khái niệm xác suất được chính thức đưa vào dạy thí điểm trước khi có thể được tiến hành dạy đại trà (từ năm học 2006-2007). Vì vậy chúng tôi càng quan tâm đến vấn đề này và quyết định chọn nghiên cứu việc dạy khái niệm xác suất ở trung học phổ thông. Chúng tôi hy vọng rằng những nghiên cứu nhỏ trong phạm vi luận văn này có thể giúp thấy được phần nào thực tế của việc đưa ra khái niệm xác suất trong sách giáo khoa bằng việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi ban đầu dưới đây: – Có những tiếp cận nào cho khái niệm xác suất ? – Khái niệm xác suất được sách giáo khoa trình bày như thế nào ? – Quan hệ giữa thống kê và xác suất được thể hiện ra sao trong sách giáo khoa ? – Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm xác suất của học sinh ? § II. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong khuôn khổ của lý thuyết didactique toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học, khái niệm hợp đồng didactique và đồ án didactique. II.1. Lý thuyết nhân chủng học Ở đây, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra. • Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân. Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, … trong I ? Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ? Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -2-
  6. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O). • Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng là một kiểu thực thế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ, θ, Θ] , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T; θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ. Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tồ chức toán học. Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nói rõ : « Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên ». Do đó, việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O. Việc chỉ rõ các tổ chức toán học liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số qui tắc của hợp đồng didactique: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như thế nào chẳng hạn. II.2. Hợp đồng didactique Hợp đồng didactique liên quan đến một đối tượng dạy–học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy. Khái niệm hợp đồng didactique cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -3-
  7. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactique, người ta có thể tiến hành như sau: • Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chính (giáo viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách : – Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức. – Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó. – Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà của tri thức đang xét không giải quyết được. – Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh. • Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách: – Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học. – Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức. – Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa. Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactique đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức vì việc sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactique) trong quá trình giảng dạy. Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactique. Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau, sự thương lượng này tạo ra một loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên chính, nhất là học sinh, đưa ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội. Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactique là cần thiết vì để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi. II.3. Đồ án didactique Theo Artigue M. (1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án didactique là một tình huống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việc Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -4-
  8. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương didactique tựa như công việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộc lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học. Sau đây là một số yếu tố về khái niệm đồ án didactique: • Chức năng kép của đồ án didactique Đồ án didactique cho phép thực hiện: – một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các nghiên cứu didactique trước. – một kiểm chứng về những xây dựng lý thuyết được thực hiện bằng việc nghiên cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy. • Các pha khác nhau của phương pháp đồ án : 1. Các phân tích ban đầu: dựa trên – Các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực – Một phân tích khoa học luận về tri thức trong trò chơi – Một phân tích các kiến thức của học sinh (các quan niệm), các khó khăn gặp phải trong việc học (các chướng ngại) – Một phân tích thể chế (chương trình, sách giáo khoa,…) 2. Quan niệm về lớp (kịch bản), phân tích a priori và việc tổ chức tập dữ liệu. 3. Thực nghiệm và tổ chức các quan sát. 4. Phân tích a posteriori và sự hợp thức hóa nội tại. § III. TRÌNH BÀY LẠI CÂU HỎI NGHIÊN CỨU – MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này: Q1. Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm xác suất có thể được phân tích và tổng hợp từ các công trình nghiên cứu đã có ? Những kiểu bài toán, kiểu tình huống nào cho phép khái niệm xác suất xuất hiện và tác động ? Những đối tượng toán học nào khác góp phần làm nảy sinh và tiến triển khái niệm này ? Q2. Khái niệm xác suất được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lớp 11 dùng cho chương trình thí điểm của phân ban KHTN hiện hành ? Theo những cách tiếp cận nào ? Cách tiếp cận nào chiếm ưu thế ? Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactique được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy–học khái niệm xác suất ? Nó được thể hiện cụ thể trong những kiểu nhiệm vụ nào, những kỹ thuật nào ? Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -5-
  9. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Q4. Những dạng bài tập nào được sách giáo khoa, sách bài tập ưu tiên đưa ra trong hệ thống bài tập ? Q5. Cách trình bày này của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm xác suất của học sinh ? § IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Chương 1 là phần mở đầu, bao gồm: lý do chọn đề tài, các câu hỏi ban đầu, mục đích nghiên cứu, khung lý thuyết tham chiếu, phần trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. Việc nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học về một khái niệm toán học nào đó không chỉ cho phép làm rõ một số kiểu bài toán, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động một cách tường minh hay ngầm ẩn, mà còn cả những đối tượng, những khái niệm khác có mối quan hệ qua lại mật thiết với khái niệm này và góp phần vào sự nảy sinh và phát triển của nó. Một cách tổng quát, nó cho phép làm rõ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm. Vì vậy, trong chương 2 của luận văn, chúng tôi điểm lại lịch sử hình thành khái niệm xác suất và tổng kết phần phân tích khoa học luận của khái niệm xác suất dựa trên các công trình: – các bài báo của Michel Henry, Bernard Parzysz, Jean-Claude Thiénard, Jean- François Pichard (1997). – luận án tiến sĩ của Cileda de Queiroz e Silva Coutinho (2001). Từ đó, chúng tôi cố gắng chỉ ra những đặc trưng khoa học luận và các cách tiếp cận khái niệm xác suất nhằm trả lời cho câu hỏi Q. 1 Chương 3 là phần nghiên cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên, sách giáo khoa. Và bằng cách phân tích sâu hơn sách giáo khoa, chúng tôi sẽ cố gắng chỉ rõ các kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật, … có mặt trong phần xác suất và các qui tắc hợp đồng ngầm ẩn liên quan đến việc dạy-học khái niệm xác suất. Những nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi xác định rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng « xác suất » đồng thời cho phép chúng tôi hình thành một số giả thuyết nghiên cứu, trong đó có các giả thuyết về qui tắc hợp đồng didactique liên quan đến việc dạy-học khái niệm này. Cùng với kết quả thu được từ chương 2 và 3, chúng tôi tìm hiểu xem sách giáo khoa đã dẫn dắt đến khái niệm xác suất theo những cách tiếp cận nào ? Tức đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi còn lại. Chúng tôi chọn phân tích hai bộ sách Đại số và Giải tích lớp 11 dùng cho phân ban KHTN, do nhóm tác giả Đoàn Quỳnh và do nhóm tác giả Trần Văn Hạo chủ biên, đang được thí điểm lần đầu tiên vào năm học 2004-2005 tại một số trường THPT (ở TP Hồ Chí Minh, có hai trường sử dụng bộ thứ nhất và hai trường sử dụng bộ thứ hai). Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -6-
  10. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Các giả thuyết này lại cần phải được kiểm chứng bằng một nghiên cứu thực nghiệm trong Chương 4. Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên học sinh, đối tượng chủ yếu của việc dạy-học. Chương này bao gồm hai thực nghiệm: – Thực nghiệm thứ nhất có dạng bộ câu hỏi, nhằm kiểm chứng tính xác đáng của các giả thuyết nghiên cứu trên. Ở đây, chúng tôi đặt học sinh lớp 11 tham gia thực nghiệm vào một tình huống « quen thuộc » hoặc « dường như quen thuộc », tức đặt chúng trước những kiểu nhiệm vụ quen thuộc hoặc dường như quen thuộc. Điều đó có nghĩa là chúng tôi tạo ra một tình huống phá vỡ hợp đồng vì cả hai loại tình huống: tình huống quen thuộc hay tình huống phá vỡ hợp đồng, như A. Bessot và C. Comiti đã nói, đều có thể giúp ta nhận ra hiệu ứng của hợp đồng didactique. – Trong thực nghiệm thứ hai, chúng tôi thực hiện một tiểu công nghệ didactique để bổ sung thêm một hoạt động nhằm mục đích tạo thêm cơ hội mới cho học sinh đi đến khái niệm xác suất theo quan điểm thống kê. Thực nghiệm này dành cho đối tượng học sinh lớp 11 phân ban KHTN đã được học khái niệm xác suất rồi và dựa trên tình huống cơ sở sau: « Tính xác suất của biến cố xuất hiện mặt ngửa (mặt ghi số) của khi gieo ngẫu nhiên gieo đồng tiền kim loại » Chương 5 là phần kết luận cùng với hướng mở rộng nghiên cứu cho luận văn. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -7-
  11. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương Chương 1 ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM XÁC SUẤT MỞ ĐẦU Trong chương này, chúng tôi không có mục đích thực hiện một nghiên cứu gốc về khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm xác suất. Chúng tôi sẽ điểm lại phần lịch sử hình thành khái niệm xác suất và tổng hợp các kết quả có được từ một số công trình, nhằm làm rõ những đặc trưng khoa học luận cơ bản của khái niệm này. Cụ thể, bằng cách tham khảo các công trình của Bernard Parzysz [7], Jean- François Pichard [8], Michel Henry [5] và [6], Jean-Claude Thiénard [9], Cileda de Queiroz e Silva Coutinho [3], chúng tôi cố gắng tìm những yếu tố cho phép trả lời cho các câu hỏi sau: - Khái niệm xác suất đã xuất hiện và tác động trong những kiểu bài toán, những kiểu tình huống nào ? Nó có những đặc trưng cơ bản nào ? - Những đối tượng, những khái niệm toán học nào có liên quan và góp phần làm nảy sinh và phát triển khái niệm xác suất ? - Khái niệm xác suất đã được tiếp cận theo những kiểu nào ? Tuy nhiên, cũng cần phải nói rõ rằng dù không thực hiện một nghiên cứu gốc về lịch sử, phân tích mà chúng tôi trình bày dưới đây cũng không đơn thuần là sự tóm tắt các công trình mà chúng tôi đã tham khảo. Trong [7], Parzysz tập trung nghiên cứu vấn đề dạy xác suất và thống kê ở Pháp từ năm 1965 đến nay. Mục đích của tác giả là nghiên cứu quá trình chuyển đổi didactique (theo nghĩa của Chevallard) của thống kê toán và xác suất từ tri thức bác học sang tri thức được giảng dạy trong trường hợp cụ thể của nước Pháp. Trong đó, ông có đề cập đến ba cách tiếp cận khái niệm xác suất. Khác với Parzysz, Pichard tiến hành nghiên cứu lịch sử lý thuyết xác suất từ bước ngoặt ở thế kỷ XVII cho đến khi các khái niệm cơ bản và lý thuyết giới hạn hình thành (tức đến 1/3 đầu tiên của thế kỷ XVII). Trong [8], ông nêu lên những cách đặt vấn đề và các dạng khác nhau của các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất nhưng lại không làm rõ các các đặc trưng khoa học luận cũng như các cách tiếp cận khái niệm xác suất. Nghiên cứu của Henry trong [6] bàn về việc dạy học xác suất ở bậc trung học từ các quan điểm lịch sử, khoa học luận và didactic. Ở đây, ông gắn liền vấn đề khoa học luận của xác suất với hình học Euclide khi thực hiện một so sánh nhỏ về các quá trình Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -8-
  12. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương mô hình hóa hai khái niệm này. Điều đó có phần khác với phân tích về đặc trưng khoa học luận thuần túy của khái niệm xác suất dưới đây của chúng tôi. Còn trong hội thảo với chủ đề Sự ngẫu nhiên, báo cáo [5] của Henry chủ yếu là một phân tích lịch sử về quá trình tiến triển của khái niệm xác suất và các ứng dụng của nó. Thienard trình bày chủ yếu trong [9] những vấn đề xoay quanh định nghĩa khái niệm xác suất theo Laplace, chẳng hạn như: những khó khăn về mặt lý thuyết, logic và didactique liên quan đến định nghĩa này, các nguồn gốc của định nghĩa Laplace và nhất là vấn đề làm sao để nhận ra rằng các trường hợp đồng khả năng. Luận văn tiến sĩ [3] của Coutinho nghiên cứu một số đồ án didactique thực hiện trong môi trường tin học Cabri để giả lập các thí nghiệm của Bernoulli. Bà cũng nêu lên một số cách tiếp cận khái niệm xác suất theo tiến triển lịch sử của khái niệm này và đặc biệt chú ý đến vấn đề mô hình hóa xác suất. Như đã nói ở trên, nghiên cứu của chúng tôi có phần khác với các công trình được tham khảo vì hướng đi của nghiên cứu này vừa theo tiến trình hình thành khái niệm xác suất theo trục thời gian vừa gắn liền với các tiếp cận khái niệm xác suất quen thuộc. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -9-
  13. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương §I. PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM XÁC SUẤT Lý thuyết xác suất chỉ thực sự hình thành và phát triển trong khoảng 3 thế kỷ rưỡi. Chính việc giải bài toán chia tiền cược khi cuộc chơi bị gián đoạn giữa chừng đã dẫn đến sự hình thành nên khái niệm xác suất vào đầu thế kỷ XVII, sau đó các phép tính về xác suất phát triển dần thành lý thuyết hiện đại được xây dựng theo một hệ tiên đề vào thế kỷ XX. Tuy nhiên, có thể nói rằng mầm mống của lý thuyết xác suất đã có từ thiên niên kỷ thứ III trước công nguyên, với các trò chơi may rủi. Dưới đây chúng tôi sẽ tổng kết lại những giai đoạn chủ yếu của lịch sử hình thành, phát triển lý thuyết xác suất và làm rõ đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất trong mỗi một giai đoạn đó. I.1. Từ thời Trung đại (Moyen-âge) đến nửa đầu thế kỷ XVII: nhu cầu tính toán các cơ hội I.1.1. Sự ngẫu nhiên Theo Michel Henry: « Không có sự ngẫu nhiên thì không có xác suất » (Henry, 2004, tr.1). Đã nói đến xác suất thì không thể không nói đến các hiện tượng ngẫu nhiên. Từ xa xưa, con người đã sớm ý thức được sự tồn tại của ngẫu nhiên khi nói rằng « Tất cả những gì tồn tại trong vũ trụ đều là kết quả của ngẫu nhiên và tất yếu ». Và người ta cũng ý thức được là con người không thể « điều khiển » được các hiện tượng ngẫu nhiên vì nó là « sự thể hiện ý muốn của thần thánh » (Pichard, 1997, tr.105). I.1.2. Trò chơi may rủi và một khai thác đầu tiên về “Đại số tổ hợp » Những con súc sắc hình lập phương và đồng chất bằng đất nung được tìm thấy trong các ngôi mộ cổ chứng tỏ rằng các trò chơi liên quan đến « phép thử ngẫu nhiên » đã có từ rất lâu qua các trò chơi với astragales, với súc sắc,… rất phổ biến ở vùng Lưỡng hà từ thời Ai cập cổ đại (tức thế kỷ III trước Công nguyên). Cho đến ngày nay, trò chơi này vẫn còn là một mô hình quen thuộc trong các bài toán về xác suất. Vào thời Hy lạp cổ đại, đạo luật cấm các trò chơi cờ bạc với súc sắc đã được ban hành. Nhà thờ Thiên chúa giáo cũng lên án các trò chơi đó. Dù vậy, chúng vẫn có sức hấp dẫn mãnh liệt và tồn tại một cách dai dẳng. Bài thơ có tựa đề De Vetula (của Richard de Fournival (1201-1260)), một tu sĩ uyên bác người Pháp, được ghi nhận là có từ khoảng năm 1250) là một bằng chứng về điều đó. Bài thơ mô tả trò chơi “ tung ba con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được” (tức là tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt của ba con xúc sắc). Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -10-
  14. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương Một trích đoạn của bài thơ (xem Annex 1) cho thấy tác giả đã sử dụng đến hoán vị khi nói rằng việc tung 3 súc sắc sinh ra 16 kiểu tổng1 các điểm, ứng với 56 dạng điểm2 và việc hoán vị3 mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có đến 216 cách rơi 3 súc sắc. Mặt khác trích đoạn cũng khẳng định: sự xuất hiện của các dạng điểm ứng với mỗi một trong 16 kiểu tổng các điểm là không đều nhau và tổng lớn nhất bằng 18 ứng với dạng điểm 6,6,6 hoặc tổng nhỏ nhất bằng 3 ứng với dạng điểm 1,1,1 rất hiếm khi xảy ra, trong khi các tổng trung bình lại thường xảy ra hơn. Để giải thích, cùng với bài thơ người ta đưa ra bảng sau đây (trích theo Henry, 2004, tr.4): 6,6,6 18 6,6,5 17 6,6,4 6,55 16 6,6,3 6,5,4 5,5,5 15 6,6,2 6,5,3 6,4,4 5,5,4 14 6,6,1 6,5,2 6,4,3 5,5,3 4,4,5 13 6,5,1 6,4,2 6,3,3 5,5,2 5,4,3 4,4,4 12 6,4,1 6,3,2 5,5,1 5,4,2 5,3,3 4,4,3 11 6,3,1 6,2,2 5,4,1 5,3,2 4,4,2 4,3,3 10 6,2,1 5,3,1 5,2,2 4,4,1 4,3,2 3,3,3 9 6,1,1 5,2,1 4,3,1 4,2,2 3,3,2 8 5,1,1 4,2,1 3,3,1 2,2,3 7 4,1,1 3,2,1 2,2,2 6 3,1,1 2,2,1 5 2,1,1 4 1,1,1 3 Mỗi dòng của bảng liệt kê các dạng điểm tương ứng với một tổng các điểm, theo thứ tự tổng các điểm giảm dần từ trên xuống (cột cuối cùng). Với bảng này, có thể thấy khả năng xảy ra trường hợp tổng các điểm bằng 9, hay 10, hay 11, hay 12 là lớn hơn cả (tức thường xảy ra hơn các trường hợp kia vì có đến 6 dạng điểm). Mặt khác, một vấn đề được đặt ra là tại sao tổng bằng 9 hay 12 cũng có cùng số dạng điểm như tổng bằng 10 hay 11 (6 dạng điểm), nhưng khả năng xảy ra của tổng 10 hay 11 lớn hơn khả năng xảy ra tổng 9 hay 12 ? Điều này có thể được giải thích phần nào4 qua thống kê theo số cách rơi của 3 súc sắc dưới đây: « …………… tổng: 3 hay 18 số dạng điểm: 1 cách rơi: 1 tổng: 4 hay17 số dạng điểm: 1 cách rơi: 3 1 Tổng số điểm của ba súc sắc lấy giá trị từ 3 đến 18. 2 Chẳng hạn, kiểu tổng các điểm là 3 có dạng điểm 1,1,1 tổng; kiểu tổng là 5 có các dạng điểm 3,1,1, và 2,2,1. 3 Ví dụ dạng điểm 1,1,2 có 3 hoán vị là (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1), tức có 3 cách rơi. 4 Chúng tôi nói « phần nào » vì bài thơ không liệt kê tất cả các cách rơi mà chỉ nói « do hoán vị ». Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -11-
  15. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương tổng: 5 hay16 số dạng điểm: 2 cách rơi: 6 tổng: 6 hay15 số dạng điểm: 3 cách rơi: 10 tổng: 7 hay14 số dạng điểm: 4 cách rơi: 15 tổng: 8 hay13 số dạng điểm: 5 cách rơi: 21 tổng: 9 hay12 số dạng điểm: 6 cách rơi: 25 tổng: 10 hay11 số dạng điểm: 6 cách rơi: 27 (trích theo Henry, 2004, tr.4) Thống kê trên cho thấy ứng với tổng bằng 9 hay 12 có 25 cách rơi, còn ứng với tổng bằng 10 hay 11 có 27 cách rơi. Bài thơ này được Henry đánh giá là « một khai thác đầu tiên về đại số tổ hợp trên các kết cục có thể để chỉ dẫn người chơi », vì đã « liệt kê các dạng khác nhau có thể quan sát được và gắn liền với khả năng nhận được chúng ». I.1.3. Bài toán các điểm và sự nảy sinh nhu cầu tính toán cơ hội • Bài toán các điểm đầu tiên được Luca Pacioli (1445-1509) đưa ra vào năm 1494, trong tác phẩm Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita: « Một lữ đoàn chơi bóng quần. Mỗi cú trúng được 10 điểm và được 60 điểm thì được xem là thắng. Tiền đặt cược trò chơi là 10 đồng đu-ca. Một tai nạn bỗng xảy ra buộc các binh lính phải dừng ván đang chơi khi phe thứ nhất đã được 50 điểm và phe thứ hai được 20 điểm. Bài toán đặt ra là phải trả lại cho mỗi phe bao nhiêu phần của số tiền đặt cược ? (trích theo Henry, 2004, tr.5) Giải pháp của Pacioli là chia số tiền cược tỉ lệ thuận với số bàn thắng của hai 5 phe. Về sau này, trong tác phẩm Liber de lulo aleae , Jérôme Cardan chứng tỏ rằng chia như vậy là sai và ông cho là phải dựa vào số ván mà họ có thể được chơi nữa. Thế nhưng giải pháp của Cardan cũng đã bị Tartaglia (1499-1557) bác bỏ. Điều đáng lưu ý là trong các tính toán của mình Cardan đã chú ý đến vấn đề đồng khả năng khi coi con súc sắc như một khối lập phương hoàn hảo. Vấn đề đồng khả năng của các kết quả của việc tung súc sắc cũng được Galilé dùng làm giả thiết trong tiểu luận về các trò chơi súc sắc của mình (nó còn có mặt trong trao đổi thư từ giữa Pascal và Fermat sau này nữa). • Trở lại với trò chơi gieo 3 súc sắc trong bài thơ De Vetula, một bài toán đáng chú ý thứ hai đã được Grand Duc de Toscane đặt lại cho Galilée vào năm 1620: 5 Được viết vào khoảng giữa năm 1526 và 1560, mãi đến 1663 mới được xuất bản. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -12-
  16. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương « Tại sao kinh nghiệm của những người chơi lại chỉ ra rằng cá cược tổng bằng 10 hay 11 thì có lợi thế hơn là tổng bằng 9 hay 12 (27 so với 25) trong khi mỗi một trong bốn tổng này đều có cùng số dạng (6) ? » (trích theo Henry, 2004, tr.5). Phân tích lời giải đáp cho câu hỏi này của Galilé, M. Henry nhận thấy chứng minh của ông cũng sử dụng phép đếm đã được thể hiện tường minh trong bài thơ De Vetula có từ bốn thế kỷ trước đó. Hơn thế, trong một nghiên cứu (được xuất bản năm 1718) Galilé kết luận: « … từ bảng này6, những người am hiểu trò chơi có thể đo lường rất chính xác tất cả mọi lợi thế của các ván chơi súc sắc, các cuộc tranh tài và tất cả các qui tắc riêng khác mà người ta quan sát được trong trò chơi ». (trích theo Henry, 2004, tr.5). Phân tích nghiên cứu của Galilé, M. Henry đã đánh giá rằng: « bằng cách đề nghị người chơi trò súc sắc « đo » cơ hội chiến thắng của họ, Galilé đã đến gần với xác suất trong gang tấc, nhưng tất nhiên là đã không diễn đạt được nó » (trích theo Henry, 2004, tr.5). Như vậy, cho đến nửa đầu thế kỷ XVII, khái niệm xác suất mới chỉ xuất hiện dưới dạng công cụ ngầm ẩn để so sánh cơ hội. Cũng như người ta đã nói « sự kiện này có cơ hội xảy ra lớn hơn sự kiện kia », hay « các sự kiện có cùng khả năng xảy ra ». Nhưng cụ thể « độ đo » cơ hội xảy ra của một sự kiện là bao nhiêu ? Được tính bằng cách nào ? Một số yếu tố của Đại số tổ hợp đã được khai thác khi người ta tìm kiếm câu trả lời cho trường hợp vài trò chơi may rủi. Tuy vậy, vẫn chưa có một câu trả lời tổng quát nào cho vấn đề đo cơ hội xảy ra của một sự kiện tùy ý. Và tất nhiên, cho đến lúc này, chưa một định nghĩa nào về xác suất được đưa ra. I.2 Nửa sau thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XIX: vấn đề tính xác suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng I.2.1. Những tính toán đầu tiên về « xác suất » với công cụ của Đại số tổ hợp • Mùa hè 1651, Chevalier de Méré đã hỏi Blaise Pascal (1623-1662) về vấn đề chia tiền cược như sau: có lần Méré cùng một người bạn gieo đồng tiền sấp ngửa ăn tiền, họ góp mỗi người 32 đồng tiền vàng làm tiền cược và qui ước nếu Méré gieo 3 lần được tất cả các mặt sấp thì ông được toàn bộ số tiền, còn nếu bạn của ông gieo 3 lần được tất cả các mặt ngửa thì tiền cược thuộc về người bạn ấy. Khi Méré được 2 lần 6 Bảng thống kê trong bài thơ De Vetula. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -13-
  17. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương mặt sấp và bạn của ông mới được 1 lần mặt ngửa thì cuộc chơi phải dừng vì nhà vua gọi Méré. Vậy nên chia tiền cược thế nào? Bài toán này khiến Pascal phải suy nghĩ và ông đã viết thư cho nhà toán học Pierre de Fermat (1601-1665). Qua thư từ trao đổi, họ đã “toán học hóa” các trò chơi cờ bạc và vào tháng 7 năm 1654, họ đi đến kết luận là Méré được 3/4 tiền cược. Hai ông đã giải đúng nhưng theo hai cách khác nhau. Pascal đã sử dụng tam giác số học các hệ số khai triển của nhị thức (a+b)n để giải bài toán. Phân tích lời giải do Pascal đề nghị, Henry cho rằng phương pháp của ông khá độc đáo và nó nhắc ta nghĩ đến kỳ vọng thắng cuộc. Thật vậy, theo lập luận của Pascal thì phải chia cho người thứ nhất 48 đồng và người thứ hai 16 đồng, và ta thấy: 3 1 3 1 48 = . 64 ; 16 = . 64, trong đó, và lần lượt là « xác suất » để người thứ nhất 4 4 4 4 và người thứ hai nhận được 64 đồng tiền cược. Theo ngôn ngữ hiện đại, kỳ vọng toán của người thứ nhất là 48, còn của người thứ hai là 16. Sau đó, trong một lá thư gửi Fermat (ngày 24/8/1654), Pascal còn nói đến tổ hợp khi chỉ ra tỉ lệ tiền cược phải chia cho hai người chơi: « … có bao nhiêu tổ hợp làm cho người thứ nhất thắng cuộc và có bao nhiêu cho người thứ hai thì chia tiền theo tỉ lệ này… » (Blaise Pascal, Œuvres complètes, Edition du Seuil, 1963, tr.47, trích theo Pichard, 1997, tr.111) • Khác với Pascal, bằng cách tưởng tượng là trò chơi tiếp tục với những ván giả nhằm đạt đến số ván cần chơi để xác định được người chiến thắng, Fermat sử dụng các tổ hợp để liệt kê các dãy kết quả thuận lợi có thể có của mỗi người chơi rồi chia tiền cá cược theo tỉ lệ đó. Ông giải thích: « … việc giả tưởng mở rộng trò chơi này đến một số ván nào đó chỉ nhằm làm cho qui luật dễ đi, và (theo cảm tính của tôi) sẽ khiến cho tất cả các sự ngẫu nhiên bằng nhau, hoặc dễ hiểu hơn là rút gọn tất cả các phân số về cùng mẫu số » (trích theo Henry, 2004, tr.6) Chẳng hạn, để giải quyết trường hợp: có ba người chơi, ai thắng ba ván sẽ là người chiến thắng, với giả thiết người thứ nhất đã được 2 ván, hai người kia mỗi người được 1 ván và cho là trò chơi sẽ kết thúc trong tối đa 3 ván nữa, Fermat đưa ra tính toán đầu tiên về xác suất như sau: Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -14-
  18. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương « … người thứ nhất có thể thắng sau một, hai hay ba ván. Nếu anh ta thắng chỉ sau một ván, thì phải có một con súc sắc có ba mặt và trong trường hợp đó anh ta gặp thuận lợi. Một con súc sắc tạo nên 3 ngẫu nhiên, nên người chơi này có được 1/3 sự ngẫu nhiên khi chỉ chơi một ván. Nếu chơi hai ván, anh ta có thể thắng hai cách, đó là khi người thứ hai thắng ván đầu và anh ta thắng ván thứ hai, hoặc là người thứ ba thắng ván đầu và anh ta thắng ván thứ hai. Nhưng hai con súc sắc tạo nên 9 ngẫu nhiên nên người chơi này được 2/9 sự ngẫu nhiên khi anh ta chơi hai ván. Nếu chơi ba ván, anh ta chỉ có hai cách thắng: hoặc là người thứ hai thắng ván đầu, người thứ ba thắng ván thứ hai và anh ta thắng ván thứ ba; hoặc là người thứ ba thắng ván đầu, người thứ hai thắng ván thứ hai và anh ta thắng ván thứ ba; bởi vì nếu như người thứ hai hay người thứ ba thắng ở hai ván đầu thì người đó sẽ chiến thắng trò chơi chứ không phải là người thứ nhất. Nhưng ba con súc sắc có 27 ngẫu nhiên nên người thứ nhất này có 2/27 sự ngẫu nhiên khi chơi ba lần. Khi đó, các ngẫu nhiên làm cho người thứ nhất thắng, lần lượt là 1/3, 2/9, 2/27 cho tổng cộng là 17/27 ». (trích dẫn bởi Henry, 2004, tr.6) Theo Henry, có thể hiểu ngầm là Pascal đã thừa nhận sự « đồng khả năng xuất hiện » của các biến cố qua lý lẽ trong thư khi nói « sự ngẫu nhiên là bằng nhau ». Về phần Fermat, ông dùng từ « ngẫu nhiên » để chỉ xác suất của một biến cố. Cũng như Pascal, ông sử dụng tổ hợp để liệt kê các trường hợp có thể và các trường hợp thuận lợi cho mỗi người chơi. Ông cũng thừa nhận giả thiết « đồng khả năng » khi giải quyết bài toán. Tuy nhiên, cần phải nói rằng trong những bức thư trao đổi, cả Pascal lẫn Fermat chưa đưa ra một thuật ngữ nào để chỉ tỉ số mà họ đề nghị dựa vào đó để chia tiền cá cược. Như chúng ta biết, tỷ lệ đó chính là tiền thân của « xác suất » sau này. Với những nghiên cứu chính thức về tính toán « xác suất » của hai nhà toán học Pascal và Fermat, có thể nói các trò chơi ngẫu nhiên đã chuyển thành đối tượng nghiên cứu của toán học và có mặt trong các bài toán tính « cơ hội » thắng cuộc. Lúc này, khái niệm « xác suất » còn đang hoạt động trong phạm vi của số học và đại số tổ hợp, chưa có tên, chưa có định nghĩa tường minh và được sử dụng như công cụ tính toán các « cơ hội ». • Do cả Pascal lẫn Fermat đều không chính thức xuất bản một cuốn sách nào nói về các tính toán « xác suất » của mình nên chỉ trong cuốn sách Lý thuyết trò chơi súc sắc do Christian Huygens xuất bản năm 1657, người ta mới được biết về phép tính mới này. Tuy vậy, thuật ngữ « xác suất » vẫn chưa xuất hiện và Huygens đã sử dụng từ « cơ hội » để chỉ « xác suất »: Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -15-
  19. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương « Dù trong các trò chơi thuần ngẫu nhiên, các kết quả có không chắc chắn đi nữa thì cơ hội mà người chơi thắng cuộc hay thua cuộc đều có một giá trị xác định » (Huygens, bản dịch tiếng Pháp Về các tính toán trong các trò chơi ngẫu nhiên, quyển 14, (Euvres complètes, 22 vol, 1888-1950, La Haye), trích theo Pichard, 1997, tr.112) Theo Pichard, « giá trị của cơ hội » mà Huygens nói đến ở đây chính là « kỳ vọng toán ». Bản thân Huygens cũng đồng quan điểm với Pascal về kỳ vọng toán và ông coi nó như nguồn gốc cho phép tính mới này. Ngày nay, ông có vinh dự được xem là cha đẻ của « lý thuyết xác suất ». • Phải đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và Pierre Nicole (các bạn của Pascal), thì thuật ngữ « xác suất » mới thật sự xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa đúng như chúng ta biết ngày nay: « … đừng chỉ cho rằng cái tốt và cái xấu là tự nó, mà còn là xác suất xảy ra hay không xảy ra và phải chú ý chính xác vào tỉ lệ mà tất cả những cái này có chung, điều này có thể được làm rõ như sau: có trò chơi gồm mười người, mỗi người góp 1 écu, chỉ một người ăn tất cả, còn chín người kia thua; cũng như mỗi người chỉ ngẫu nhiên mà mất 1 écu và có thể được 9 écu…Như vậy, mỗi người có hy vọng được 9 écu và mất 1 écu, chín mức độ của xác suất để mất 1 écu và chỉ một mức độ của xác suất để ăn được chín écu. Điều này đặt sự việc trong một sự công bằng hoàn hảo». (trích theo Henry, 2004, tr.6) • Một trong những định nghĩa tường minh đầu tiên của xác suất được tìm thấy trong Thử phân tích các trò chơi ngẫu nhiên của Pierre Raymond de Montmort, xuất bản năm 1708: 7 « Sự rủi may của Pierre là tỉ số của tất cả các lần thuận lợi với số tất cả các lần có thể,… Trong một trò chơi công bằng, số tiền đặt cược của hai người chơi phải cùng tỉ số với độ xác suất khác nhau hay với kỳ vọng chiến thắng của mỗi người » (Henry, 2004, tr.6-7) Cũng trong tác phẩm này, Montmort đã đưa ra lời giải cho 5 bài toán của Huygens và các bài toán về cơ hội khác. Ông cũng phát triển nhị thức và đa thức, sử dụng đại số tổ hợp để phân tích các trò chơi. 7 Pierre de FERMAT. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -16-
  20. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương Năm 1713, Montmort xuất bản tác phẩm thứ hai là Chuyên luận về các tổ hợp. Trong tác phẩm này ông đã nhóm các tính chất của đại số tổ hợp đã sử dụng trong tác phẩm đầu của mình theo lời khuyên của Jean Bernoulli. Như thế, trong vòng nửa sau của thế kỷ XVII, từ bài toán chia tiền cá cược mà khái niệm xác suất đã được nảy sinh, và để tính xác suất người ta sử dụng Đại số tổ hợp. Trong trường hợp này, hiển nhiên phải thừa nhận tính đồng khả năng xảy ra của các biến cố. I.2.2. Sự nảy sinh cách tiếp cận « thống kê » của xác suất • Nhà toán học Jacques Bernoulli đã dành suốt hai mươi năm của đời mình để hoàn thành tác phẩm Thuật suy đoán, nhưng năm 1713 (8 năm sau khi ông mất), tác phẩm này mới được người cháu là Nicolas Bernoulli xuất bản. Bernoulli đã lấy lại các kết quả của Huygens, nghiên cứu sâu các kết quả đó, phát triển lý thuyết chuỗi, làm sáng tỏ vai trò của công thức nhị thức, chỉ ra rằng tần suất của một biến cố tiến về một kết quả theo luật xác suất. Tác phẩm giá trị này gồm 4 phần chính: 1. Giải 5 bài toán do Huygens đặt ra 2. Học thuyết về các hoán vị và tổ hợp 3. Ứng dụng học thuyết trên trong các may rủi thay đổi và các trò chơi súc sắc 4. Áp dụng học thuyết trên vào các vấn đề hộ tịch, đạo đức và kinh tế. Một số kết quả đáng ghi nhận của Bernoulli trong phần cuối của tác phẩm đã được Henry và Coutinho tổng hợp lại như sau: - Bernoulli đã nêu lên một số định nghĩa liên quan đến xác suất: « Xác suất trong thực tế là mức độ chắc chắn… » « Dự đoán một điều gì đó chính là đo lường xác suất của nó…» (trích theo Henry, 2004, tr.7) - Bernoulli thừa nhận định nghĩa tiên nghiệm của xác suất trong các tình huống đồng khả năng: « Đặt b là số trường hợp mà một đối số nào đó tồn tại, đặt c là số trường hợp mà nó có thể không tồn tại, (…). Nhưng tôi cho là tất cả các trường hợp đều có khả năng như nhau, hay chúng có thể bất chợt xảy ra như nhau; (…) sao cho một đối số như vậy có thể chứng minh về sự việc hay về độ chắc chắn của sự việc ». (trích theo Henry, 2004, tr.7) Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -17-

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản