ĐẠ I HỌ C THÁI NGUYÊN
TRƯ Ờ NG ĐẠ I HỌ C SƯ PHẠ M
---------------------------------
LÝ ANH TIẾ N
LÝ THUYẾ T NEVANLINNA VÀ Ứ NG DỤ NG NGHIÊN CỨ U
PHƯ Ơ NG TRÌNH HÀM
Chuyên ngành: Giả i tích
Mã số: 60.46.01
LUẬ N VĂN THẠ C SĨ TOÁN HỌ C
Ngư ờ i hư ớ ng dẫ n khoa họ c:GS-TSKH Hà Huy Khoái
Thái nguyên 2008
1
MỞ ĐẦ U
Vấ n đề phân tích hàm phân hình, hàm nguyên là mộ t trong nhữ ng vấ n
đề quan trọ ng củ a lý thuyế t hàm và giả i tích phứ c, có nhiề u ứ ng dụ ng trong lý
thuyế t hệ độ ng lự c. Trong nhữ ng năm gầ n đây, các kết quả và công cụ củ a lý
thuyế t Nevanlinna đư ợ c áp dụ ng rộ ng rãi vào bài toán phân tích các hàm
nguyên và hàm phân hình.
Mụ c đích củ a luậ n văn là trình bày cơ sở lý thuyế t Nevanlinna, đặ c biệ t
là nhữ ng phầ n liên quan đế n bài toán phân tích hàm phân hình và trình bày
mộ t số kế t quả gầ n đây trong lý thuyế t phân tích hàm nguyên và hàm phân
hình.
Nộ i dung luậ n văn gồ m 2 chư ơ ng:
Chư ơ ng 1:Cơ sở lý thuyế t Nevanlinna, trong chư ơ ng này trình bày các
đị nh lý cơ bả n, quan hệ số khuyế t và mộ t số ví dụ ứ ng dụ ng.
Chư ơ ng 2:Phư ơ ng trình hàm
( ) ( )P f Q g
, trong chư ơ ng này trình
bày về sự tồ n tạ i nghiệ m
,f g
đố i vớ i phư ơ ng trình hàm
( ) ( )P f Q g
, khi
,P Q
là 2 đa thứ c thuộ c
[ ]z
.
Để hoàn thành đư ợ c luậ n văn này, tác giảxin bày tỏ lòng kính trọ ng và
biế t ơ n sâu sắ c tớ i GS-TSKH Hà Huy Khoái, ngư ờ i thầ y đã tậ n tình dạ y bả o,
hư ớ ng dẫ n tác giả trong suố t quá trình họ c tậ p và nghiên cứ u.
Tác giả xin trân trọ ng bày tỏ lòng biế t ơ n đế n các thầ y cô giáo trong
trư ờ ng Đạ i họ c sư phạ m Thái Nguyên, Đạ i họ c sư phạ m Hà Nộ i, Việ n toán
họ c Việ t Nam đã giả ng dạ y và giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá họ c.
Đồ ng thờ i tác giả xin chân thành cả m ơ n Sở giáo dụ c và đào tạ o tỉ nh
Bắ c Giang, trư ờ ng THPT Lụ c Ngạ n số 2 Bắ c Giang, gia đình và các bạ n
đồ ng nghiệ p đã tạ o điề u kiệ n giúp đỡ về mọ i mặ t trong suố t quá trình tác giả
họ c tậ p và hoàn thành luậ n văn.
Thái Nguyên tháng 9 năm 2008
2
CHƯ Ơ NG 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾ T NEVANLINNA
1.1. Hàm phân hình
1.1.1. Đị nh nghĩa.Điể m
a
đư ợ c gọ i là điể m bấ t thư ờ ng cô lậ p củ a hàm
( )f z
nế u hàm
( )f z
chỉ nh hình trong mộ t lân cậ n nào đó củ a a, trừ ra tạ i chính
điể m đó.
1.1.2. Đị nh nghĩa.Điể m bấ t thư ờ ng cô lậ p
củ a hàm
( )f z
đư ợ c gọ i là
a) Điể m bấ t thư ờ ng khử đư ợ c nế u tồ n tạ i giớ i hạ n hữ u hạ n củ a
( )f z
khi
z
dầ n đế n a.
b) Cự c điể m củ a
( )f z
nế u
lim ( )
z a f z
.
c) Điể m bấ t thư ờ ng cố t yế u nế u không tồ n tạ i
lim ( )
z a f z
.
1.1.3. Đị nh nghĩa.Hàm
( )f z
chỉ nh hình trong toàn mặ t phẳ ng phứ c
đư ợ c
gọ i là hàm nguyên.
Như vậ y, hàm nguyên là hàm không có các điể m bấ t thư ờ ng hữ u hạ n.
1.1.4. Đị nh nghĩa. Hàm
( )f z
đư ợ c gọ i là hàm phân hình trong miề n
D
nế u nó là hàm chỉ nh hình trong D, trừ ra tạ i mộ t số bấ t thư ờ ng là cự c điể m.
Nế u
D
thì ta nói
( )f z
phân hình trên
,hay đơ n giả n,
( )f z
là hàm phân
hình.
* Nhậ n xét. Nế u
( )f z
là hàm phân hình trên
D
thì trong lân cậ n củ a mỗ i
điể m
, ( )z D f z
có thể biể u diễ n đư ợ c dư ớ i dạ ng thư ơ ng củ a hai hàm chỉ nh
hình.
Vớ i các phép toán cộ ng và nhân các hàm số thông thư ờ ng trên lớ p các
hàm nguyên và phân hình, tậ p hợ p các hàm nguyên sẽ tạ o thành mộ t vành và
3
gọ i là vành các hàm nguyên, kí hiệ u là
( )
. Tậ p hợ p các hàm phân hình sẽ
tạ o thành mộ t trư ờ ng và gọ i là trư ờ ng các hàm phân hình, kí hiệ u là
( )
.
1.1.5. Đị nh nghĩa.Điể m
0
z
gọ i là cự c điể m cấ p
0m
củ a hàm
( )f z
nế u
trong lân cậ n củ a
0
z
, hàm
0
1
( ) ( )
( )m
f z h z
z z
, trong đó
( )h z
là hàm chỉ nh
hình trong lân cậ n củ a
0
z
và
0
( ) 0h z
.
1.1.6. Tính chấ t. Nế u
( )f z
là hàm phân hình trên
D
thì
( )f z
cũng là hàm
phân hình trên
D
. Hàm
( )f z
và
( )f z
cũng có các cự c điể m tạ i nhữ ng điể m
như nhau. Đồ ng thờ i, nế u
0
z
là cự c điể m cấ p
0m
củ a hàm
( )f z
thì
0
z
là
cự c điể m cấ p
củ a hàm
( )f z
.
* Nhậ n xét. Hàm
( )f z
không có quá đế m đư ợ c các cự c điể m trên
D
.
1.1.7. Tính chấ t. Cho hàm
( )f z
chỉ nh hình trong
,điề u kiệ n cầ n và đủ để
( )f z
không có các điể m bấ t thư ờ ng khác ngoài cự c điể m là
( )f z
là hàm hữ u
tỷ.
4
1.2. Đị nh lý cơ bả n thứ nhấ t
1.2.1. Công thứ c Poisson – Jensen
Đị nh lý: Giả sử
( ) 0f z
là mộ t hàm phân hình trong hình tròn
z R
vớ i
0R
. Giả sử
( 1,2,..., )a M
là các không điể m, mỗ i không điể m
đư ợ c kể mộ t số lầ n bằ ng bộ i củ a nó,
b
( 1,2,..., )v N
là các cự c điể m củ a
f
trong hình tròn đó, mỗ i cự c điể m đư ợ c kể mộ t số lầ n bằ ng bộ i củ a nó. Khi
đó nế u
. , (0 )
i
z r e r R
,
( ) 0; ( )f z f z
thì:
2 2
2
2 2
0
1
log ( ) log ( )
2 2 cos( )
iR r
f z f Re d
R Rr r
2 2
1 1
( ) ( )
log log
M N
v
vv
R z a R z b
R a z R b z
. (1.1)
Chứ ng minh.
*Trư ờ ng hợ p 1. Hàm
( )f z
không có không điể m và cự c điể m trong
{ }z R
. Khi đó ta cầ n chứ ng minh
2 2
2
2 2
0
1
log ( ) log ( )
2 2 cos( )
iR r
f z f Re d
R Rr r
. (1.1a)
*Trư ớ c hế t ta sẽ chứ ng minh công thứ c đúng tạ i
0z
, nghĩa là cầ n chứ ng
minh
2
0
1
log (0) log ( e )
2
i
f f R d
.
Do
( )f z
không có không điể m và cự c điể m trong hình tròn nên hàm
log ( )f z
chỉ nh hình trong hình tròn đó. Theo đị nh lý Cauchy ta có:
2
0
1 1
log (0) log ( ) log ( ) .
2 2
i
z R
dz
f f z f Re d
i z
Lấ y phầ n thự c ta thu đư ợ c kế t quả tạ i
0z