ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THU HIỀN
BÀI TOÁN CALDERÓN
TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THU HIỀN
BÀI TOÁN CALDERÓN
TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐẶNG ANH TUẤN
Hà Nội - 2019
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Phòng Sau Đại Học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lời và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng
như nghiên cứu.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường
ĐHKHTN - ĐHQGHN về sự động viên khích lệ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Đặng Anh Tuấn, người đã luôn hướng
dẫn, chỉ bảo tận tình, sát sao tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới em Mai Thị Kim Dung, người đã giúp tôi trong việc sử
dụng Latex và hoàn thiện trình bày luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới người thân, bạn bè những người đã giúp đỡ,
động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Hà Nội, ngày 24 tháng 11 năm 2019.
Học viên
Nguyễn Thu Hiền
1
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Danh mục kí hiệu 3
Mở đầu 4
1 Chuẩn bị 6
1.1 Mộtsốkiếnthứcgiảitích ........................... 6
1.2 KhônggianSobolev............................... 9
1.2.1 Không gian Sobolev trên xuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Không gian Sobolev trên B...................... 17
2 Bài toán biên elliptic 26
2.1 Phươngtrìnhelliptic .............................. 26
2.2 Ánh xạ Dirichlet - Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Bài toán Calderón 35
3.1 VídụAlessandrini ............................... 35
3.2 Mở rộng ví dụ Alessandrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Mộtsốvídụkhác................................ 44
Kết luận 52
Tài liệu tham khảo ................................. 54
2
Danh mục kí hiệu
•N: Tập hợp số tự nhiên.
•Z+: Tập hợp số nguyên không âm.
•Zn
+: Tập hợp số nguyên không âm nchiều.
•α: đa chỉ số, α∈Zn
+, α = (α1, α2, ..., αn).
• |α|=α1+α2+... +αn.
•Dαu: được định nghĩa Dαu=∂|α|u
∂x1α1∂x2α2...∂xnαn.
•B={(x1, x2)∈R2|x2
1+x2
2<1},hình tròn đơn vị tâm tại gốc.
•Tnlà xuyến nchiều, Tn=Rn/2πZn.
•S1={eiθ|θ∈R} ⊂ R2.
•Với Acó thể là S1, B, Tnta định nghĩa:
Lp(A) = {u:Ađđ
−−−−−−−→
Lebesgue C|Z
A
|u(x)|pdx < ∞},1≤p < ∞.
•C(S1): Không gian các hàm liên tục trên R, tuần hoàn chu kì 2π.
•Cm(B): Không gian các hàm có đạo hàm tới cấp mliên tục trên B, với ∀|α| ≤ m.
•C∞(B): Không gian các hàm khả vi vô hạn trên B,C∞(B) =
∞
T
m=0
Cm(B).
•C0(B) = {u∈C(B),supp ulà tập compact trong B},supp u={x∈B:u(x)6= 0}.
•Cm
0(B) = {u∈Cm(B),supp ulà tập compact trong B}.
•C∞
0(B) =
∞
T
m=0
Cm
0(B).
•Cm(B): Không gian các hàm ucó đạo hàm Dαuliên tục đều trên B,∀|α| ≤ m.
•C∞(B) =
∞
T
m=0
Cm(B).
• ∇u= (ux1, ux2), uxj, j = 1,2là đạo hàm riêng của utheo xj.
3