Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu một đồ án Didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Nga

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người

đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,

TS. Đoàn Hữu Hải, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain

Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản

và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để

thực hiện việc nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giúp tôi dịch

luận văn này sang tiếng Pháp.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban chủ nhiệm và các thầy cô, đồng nghiệp trong Khoa Toán - Tin học

Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi

hoàn thành tốt khóa học của mình.

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM

đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.

- Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THPT Trần Đại

Nghĩa, Trường Trung học thực hành ĐHSP đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành

thực nghiệm.

Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những

người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong

gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt.

NGUYỄN THỊ NGA

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT : Trung học phổ thông

THCS : Trung học cơ sở

SGK : Sách giáo khoa

SBT : Sách bài tập

SGV : Sách giáo viên

CLHN : Chỉnh lý hợp nhất

TCTH : Tổ chức toán học

: bài tập bt

[a] : Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov

: Toán học cao cấp, tập 2, Nguyễn Đình Trí [b]

[c] : Vật lý đại cương, tập 2, Lương Duyên Bình

F1 : Maths seconde, COLLECTION TERRACHER

V1 : Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 năm 2000

P1 : Tài liệu hướng dẫn giảng dạy 11 năm 2000

E1 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11 năm 2000

V2 : Sách giáo khoa thí điểm năm 2003 Đại số và giải tích 11, bộ 1

: Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 1 P2

E2 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 1

V3 : Sách giáo khoa thí điểm năm 2003 Đại số và giải tích 11, bộ 2

: Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 2 P3

E3 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 2

MỞ ĐẦU

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Hàm số là một đối tượng luôn chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán ở trường Trung học cơ sở (THCS) và Trung học phổ thông (THPT). Trong các loại hàm số, chúng tôi quan tâm đặc biệt tới hàm số tuần hoàn với các lí do sau:

+ Thuật ngữ tuần hoàn, gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn, không chỉ được đề cập trong toán học, mà còn xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khác như vật lí, hóa học, đời sống thường ngày,... Điều này kéo theo nhiều câu hỏi cần thiết được đặt ra:

 Khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các khoa học khác có gì

giống và khác nhau?

 Ở trường phổ thông, khái niệm tuần hoàn có xuất hiện trong các môn

học ngoài toán học không?

 Có sự nối khớp nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong

các môn học đó?

+ Chủ đề hàm số tuần hoàn luôn xuất hiện trong cuốn sách nhan đề “Kiến thức giới hạn ôn thi tốt nghiệp môn Toán THPT” của Bộ GD&ĐT. Nói cách khác, nó là một chủ đề có thể xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT.

Tuy nhiên, trong chương trình và SGK Toán phổ thông Việt Nam, vị trí của hàm số tuần hoàn ngày càng suy giảm qua các thời kỳ thay đổi chương trình và SGK. Hơn thế nữa, ở cấp độ phổ thông, người ta chỉ hạn chế vào duy nhất một loại hàm số tuần hoàn, đó là hàm lượng giác. Như sách giáo viên Đại số và giải tích 11 của các tác giả Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991) nhấn mạnh: “Trong chương trình phổ thông chỉ có hàm số lượng giác mới có tính tuần hoàn”.

Vậy, khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn xuất hiện như thế nào trong chương trình toán ở trường phổ thông? với vai trò gì? liệu có thể đề cập các hàm số tuần hoàn khác với các hàm số lượng giác không?

Một cách hệ thống hơn, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra những câu hỏi sau:  Ở cấp độ tri thức khoa học, các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn được đề cập như thế nào? chúng có những đặc trưng gì? chúng chịu những ràng buộc nào?

 Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, chúng xuất hiện ra sao? với những ràng buộc nào? vai trò và chức năng của chúng? những ràng buộc này ảnh hưởng thế nào trên các chủ thể của hệ thống dạy học (giáo viên và học sinh)?

 Có sự tương đồng và khác biệt nào trong tổ chức kiến thức gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông? lí do của sự khác biệt đó?

 Có sự khác nhau nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các

môn khoa học khác? có sự nối khớp nào giữa các lĩnh vực này?

 Có thể xây dựng một tình huống tiếp cận khái niệm hàm số tuần hoàn với

các đặc trưng chủ yếu của nó?

2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu

Mục đích nghiên cứu trong luận văn này là tìm câu trả lời cho những câu hỏi

đã đặt ra ở trên.

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lí thuyết Didactic toán. Cụ thể, đó là các khái niệm của lí thuyết nhân chủng học (chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, tổ chức toán học), của lí thuyết tình huống (hợp đồng didactic, đồ án didactic) và cách đặt vấn đề sinh thái học.

Việc nghiên cứu các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học đặt cơ sở trên việc phân tích các giáo trình ở bậc đại học, mà chúng tôi xem như một “xấp xỉ” của tri thức khoa học.

Trong phạm vi lí thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

của mình như sau:

- Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng?

- Mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học (TCTH) gắn liền với khái niệm này? Các TCTH đó tiến triển ra sao qua các thời kỳ đổi mới SGK? Có những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên khái niệm này và các khái niệm gắn liền với nó? Có những quy tắc hợp đồng

nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về hàm số tuần hoàn?

- Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế

với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông?

- Có thể xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh tiếp cận và vận dụng các đặc trưng của hàm số tuần hoàn trước khi định nghĩa của khái niệm này chính thức được giảng dạy?

3. Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp

nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY: Thể chế dạy học toán ở Pháp

NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC: Toán học + Vật lí

NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY: Thể chế dạy học Hóa, Sinh, Vật lí, Toán ở Việt Nam

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Quan hệ cá nhân của học sinh

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM TIỂU ĐỒ ÁN DIDACTIC

Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu như sau: - Trước hết, chúng tôi nghiên cứu tri thức khoa học thông qua phân tích một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học. Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu cách trình bày các vấn đề về khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và chu kỳ ở cấp độ tri thức khoa học.

- Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học toán ở Pháp

liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn.

- Kết quả phân tích tri thức khoa học và phân tích thể chế dạy học toán ở Pháp sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học phổ thông ở Việt Nam. Cụ thể, chúng tôi sẽ phân tích khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn trong các SGK Hóa học, Sinh học, Vật lí và Toán học.

- Những kết quả đạt được ở trên cho phép đề ra các câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm chứng bằng các thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với đối tượng tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Từ đó, chúng tôi sẽ xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với các đặc trưng của hàm số tuần hoàn và vận dụng chúng một cách ngầm ẩn trong việc giải toán.

4. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương. + Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.

+ Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc phân tích khái niệm hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể là đề cập một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn, phân tích cách trình bày khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn trong một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học.

+ Mở đầu chương 2 là sự phân tích một bộ SGK Toán của Pháp. Tiếp đó, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế của thể chế dạy học ở trường phổ thông Việt Nam với khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn.

+ Chương 3 trình bày hai thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất trên học sinh lớp 10 nhằm tìm hiểu quan hệ cá nhân của họ đối với khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Thực nghiệm thứ hai là triển khai tiểu đồ án didactic đã xây dựng.

+ Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn.

Chương 1: KHÁI NIỆM HÀM SỐ TUẦN HOÀN Ở CẤP

ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

Mục tiêu của chương

Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích một số giáo trình toán, vật lí ở bậc đại học chúng tôi cố gắng làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào các khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và chu kì, vai trò và chức năng của chúng, cũng như sự nối khớp (nếu có) giữa các lĩnh vực toán và vật lí thể hiện qua các khái niệm này. Do thiếu tư liệu tham khảo, chúng tôi không thể đi sâu vào một nghiên cứu khoa học luận. Tuy nhiên, một vài nét về lịch sử của các khái niệm nêu trên sẽ được đề cập với mục đích làm rõ hơn cho phân tích các giáo trình ở bậc đại học.

1.1. Vài nét lịch sử về khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn

Phần này được trình bày dựa vào việc tham khảo các nguồn tài liệu sau đây: + Présentation du pendule de Foucault à Tours, Cahier Animateur. + Phép tính vi tích phân, tập 2: Toán cao cấp A2, Dùng cho sinh viên đại học

và cao đẳng, Phan Quốc Khánh, NXBGD, 1998.

+ Cơ sở giải tích toán học, tập 2, G.M.Fichtengôn, 1977. + http://perso.orange.fr/guy.chaumeton/2d07ph.htm + http://fr.wikipedia.org/wiki Phân tích các tài liệu trên cho thấy, lượng giác có nguồn gốc từ nghiên cứu thiên văn và đến thế kỉ XVII, nó đã trở thành một công cụ không thể thiếu cho nhu cầu tìm hiểu và điều khiển thế giới vật lí xung quanh của con người.

Trong thế kỉ XVII và XVIII, một nhánh của cơ học phát triển mạnh mẽ liên quan đến dao động cao tần. Những cuộc đi biển dài ngày của thời đại này đòi hỏi những kĩ thuật hàng hải chính xác hơn, những đồng hồ chính xác hơn. Điều này thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự dao động của quả lắc và nhiều loại lò xo khác nhau.

Bằng cách quan sát con lắc, người ta thấy sự đều đặn, cân đối của chuyển động. Galilée nhận ra rằng con lắc dường như dao động “tuần hoàn”. Ông gọi chu kỳ T là khoảng thời gian mà con lắc dao động một vòng. Ông là người đầu tiên diễn

tả ý tưởng về sự đẳng thời của những dao động nhỏ (bằng cách quan sát những đèn chùm ở nhà thờ) nghĩa là chu kỳ dao động thì không phụ thuộc vào biên độ góc của con lắc.

Năm 1658 – 1659, Christiaan Huygens nghiên cứu lí thuyết về dao động của con lắc. Ông có ý tưởng điều tiết các đồng hồ bằng một con lắc để làm cho việc đo thời gian chính xác hơn. Đồng hồ quả lắc của ông được điều chỉnh theo một cơ chế với một sự tuần hoàn tự nhiên của dao động cao tần. Huygens đã khám phá ra quả lắc cầu mà chu kỳ dao động của nó không phụ thuộc vào biên độ. Còn Robert Hooke đã cải thiện lò xo uốn khúc, cơ sở của đồng hồ lò xo nhíp hiện đại.

Ở một cấp độ khác, sự phát triển các kĩ năng sử dụng và sự tinh tế trong việc thiết kế các dụng cụ âm nhạc - từ bọc gỗ và đồng thau đến các dụng cụ bàn phím và đại phong cầm - đã thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự rung của các dụng cụ âm nhạc như đàn violon, kèn khí,...Tất cả các hiện tượng này là tuần hoàn, theo nghĩa lặp đi lặp lại một cách đều đặn.

Như vậy, trong khoa học và kĩ thuật, người ta thường gặp các hiện tượng tuần hoàn, tức là các hiện tượng mà cứ sau một khoảng thời gian T xác định, mọi yếu tố được lặp lại hoàn toàn. Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần hoàn, đặc trưng bởi đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x.

t  ) là hàm tuần hoàn đơn giản nhất, trong đó,  là

Đại lượng sinxôit Asin(

t  ) biểu diễn một dao động điều hòa,

2 

tần số và T = là chu kỳ. Hàm Asin(

cũng gọi là dao động hình sin.

Có thể lập các hàm tuần hoàn phức tạp hơn từ các hàm tuần hoàn đơn giản nhất như vậy. Cộng các hàm hình sin với chu kỳ khác nhau: y0 = A0, y1 =

t  1

2 t  2

T 2

2 

),... (1) (có chu kỳ là T = ,…) thì ta vẫn , A1sin( ), y2 = A2sin(

( )t với chu kỳ T dưới

được một hàm tuần hoàn chu kỳ T.

Vấn đề ngược lại: Có thể biểu diễn một hàm tuần hoàn

dạng tổng của một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các đại lượng sinxôit dạng (1) không?

Đối với một lớp khá rộng các hàm, với câu hỏi đó có thể trả lời là “biểu diễn



t ( )

sin(

n t

)







A 0

A n

   n



1 

được” nhưng chỉ khi ta thu hút toàn bộ dãy vô hạn các đại lượng dạng (1).

Về mặt hình học, điều này có nghĩa là: đồ thị của hàm tuần hoàn có thể thu

được bằng cách chất đầy các chuỗi sinxôit.

Trong vật lí ta thường gặp những vấn đề tương tự như vậy, chẳng hạn phân tích một âm phức tạp thành các âm cơ bản, phân tích một dòng điện xung thành những dòng điện dao động điều hòa.

Sau đó, nhà toán học Pháp Joseph Fourier (1768 – 1830) đã chứng minh rằng một hàm số tuần hoàn chu kỳ T có thể phân tích thành “tổng” của một hằng số với

T n

(n là số những hàm số tuần hoàn có đồ thị là những đường hình sin với chu kỳ



(

cos

sin

)

nguyên dương).

A n

nx B  n

f(x) = A0 +



1 

Lí thuyết Fourier ra đời đã đánh dấu một thành tựu quan trọng của giải tích thế kỉ XIX. Trong giải tích, chuỗi Fourier là một công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu các hàm số tuần hoàn. Lí thuyết chuỗi Fourier thiết lập một sự tương ứng giữa hàm số tuần hoàn với các hệ số Fourier. Do đó, phân tích Fourier có thể xem như một cách thức mới để nghiên cứu các hàm số tuần hoàn. Việc xây dựng một hàm số tuần hoàn là nghiệm của một phương trình hàm có thể dẫn đến việc xây dựng các hệ số Fourier tương ứng.

Đặc biệt, lí thuyết Fourier chỉ ra rằng chỉ với hàm số sin và cosin là đủ để

nghiên cứu tất cả các hiện tượng tuần hoàn.

Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật. Nhìn từ góc độ toán học thì nó được áp dụng nhiều nhất trong các lĩnh vực nghiên cứu và giải phương trình vi phân, tính toán xấp xỉ,...

 Kết luận: + Trong lịch sử, thuật ngữ “tuần hoàn” xuất hiện từ việc nghiên cứu các hiện tượng lặp đi lặp lại trong vật lí, trong âm nhạc,… Một hiện tượng tuần hoàn là hiện tượng được lặp lại như cũ sau một khoảng thời gian xác định T, gọi là chu kỳ.

+ Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần hoàn và được

đặc trưng bởi đẳng thức f(x +T) = f(x) với mọi x.

t  ) biểu diễn một dao động điều hòa. Trong toán học, các hàm số có đồ thị là đường hình sin - hàm sin và hàm cosin - là cơ sở để nghiên cứu tất cả các hàm số tuần hoàn khác. Một hàm số

+ Hàm số tuần hoàn đơn giản nhất là hàm Asin (

f(x) tuần hoàn chu kỳ T luôn có thể phân tích được thành tổng của một hằng số với

T n



(

cos

sin

)

những hàm số có đồ thị là đường hình sin có chu kỳ (n là số nguyên dương).

A n

nx B  n

f(x) = A0 +



1 

1.2. Đặc trưng của khái niệm hàm số tuần hoàn trong phạm vi toán ở bậc đại

học Ở đây, chúng tôi chọn phân tích đồng thời hai giáo trình sau : - Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov, M.I.Skanavi (1978), Mir publishers Moscow, a review course Translated by George Yankowsky (kí hiệu là [a])

- Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, Nguyễn Đình Trí (1995), NXBGD (kí

hiệu là [b]).

Mục đích của việc lựa chọn hai giáo trình này là do việc trình bày các vấn đề liên quan đến hàm số tuần hoàn trong hai giáo trình này là tương đối phong phú hơn các giáo trình khác. Hơn nữa, việc so sánh giữa hai giáo trình sẽ cho phép làm rõ các cách khác nhau trong việc trình bày khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ cũng như các đặc trưng của chúng ở cấp độ đại học. Điều này sẽ làm phong phú hơn cơ sở tham chiếu để chúng tôi thực hiện phân tích SGK phổ thông ở chương 2.

1.2.1. Hàm số tuần hoàn trong giáo trình [a] Trong giáo trình này, hàm số được đề cập ở chương 4. Nhưng ở đó, [a] chỉ trình bày định nghĩa và đồ thị hàm số, tính chẵn lẻ, tính đơn điệu và đặc trưng đồ thị của các hàm số có các tính chất đó, còn tính chất tuần hoàn hoàn toàn không được đề cập đến.

Mãi đến chương 8, nhan đề “Hàm số lượng giác của một góc”, định nghĩa hàm số tuần hoàn mới xuất hiện trong mục “Tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác”. Điều này cho thấy, trong toán học, tính tuần hoàn là một tính chất đặc trưng của các hàm số lượng giác và luợng giác là nơi khởi đầu cho việc nghiên cứu khái niệm tuần hoàn.

Định nghĩa hàm số tuần hoàn được cho ở trang 292 như sau:

“Một hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T (T  0) nếu cho bất kỳ giá

trị của x, điều kiện sau được thỏa mãn:

Nếu hàm số xác định tại điểm x hoặc tại x + T thì nó xác định tại điểm còn lại

và giá trị của nó tại cả hai điểm đều bằng nhau: f(x) = f(x + T).

Số T được gọi là chu kỳ của hàm số f(x)”. Như vậy, khái niệm hàm số tuần hoàn được định nghĩa trên tập xác định D của hàm số. Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T  0 thỏa mãn 2 điều kiện:

+ Nếu x thuộc D thì x + T thuộc D và ngược lại + f(x) = f(x + T) Theo đó, chu kỳ của hàm số có thể không duy nhất. Sự liên hệ giữa các chu kỳ

được thể hiện qua một mệnh đề trình bày ngay sau định nghĩa:

“Nếu T là chu kỳ của f(x) thì bất kỳ số nT với n =-1, n =  2, ..., cũng là chu kỳ của f(x). Chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số (nếu như chu kỳ tồn tại) được gọi là chu kỳ cơ sở.”

Như vậy, [a] đã phân biệt hai khái niệm chu kỳ và chu kỳ cơ sở của hàm số. Như đã nói ở trên, khái niệm hàm số tuần hoàn chỉ được đưa vào khi nghiên cứu các hàm số lượng giác. Tuy vậy, sau khi đưa ra định nghĩa, [a] trình bày 3 ví dụ minh hoạ cho khái niệm hàm số tuần hoàn, trong đó các hàm số liên quan đều không phải là hàm lượng giác.

Ví dụ 1: “Hàm số f(x) = c (c là hằng số) có mọi số đều là chu kỳ của nó nhưng

không có chu kỳ cơ sở”.

Ví dụ 2: “Gọi phần nguyên của số x (kí hiệu [x]) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Phần thập phân của số x (kí hiệu (x)) là độ chênh lệch giữa x và phần nguyên của nó: (x) = x – [x].

khi

x  

Phần thập phân của x là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T =1”. Ví dụ 3: “Xem xét hàm số f(x) được xác định với các giá trị của x thỏa mãn: 0  x < 2

khi

x  

1 2

   

f(x) =

Sử dụng hàm số này và lấy T = 2 là chu kỳ cơ sở, chúng ta sẽ xây dựng được

x [ ]

khi



x  



2,...



một hàm số tuần hoàn F(x) sau:

khi

  



1 2

   

F(x) = (n = 0, 1, )”

Có lẽ [a] giới thiệu 3 ví dụ này để chứng tỏ sự đa dạng của các hàm số tuần hoàn, cũng như chu kỳ và chu kỳ cơ sở của chúng. Hơn nữa, ví dụ 1 và ví dụ 2 là các hàm số rất đặc biệt. Ví dụ 3 minh hoạ cho việc chuyển đổi một hàm số không tuần hoàn thành một hàm số tuần hoàn. Tuy nhiên, kĩ thuật chuyển đổi đó không được đề cập một cách tường minh.

Một điều đáng lưu ý là tất cả các hàm số được nói đến trong 3 ví dụ này đều có kèm theo minh hoạ đồ thị, thể hiện đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn: đó là sự lặp lại hình dạng của đồ thị trên từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Thật vậy, ở ví dụ 3, đồ thị hàm số F(x) có sự lặp lại giống nhau trên các khoảng cách đều còn đồ thị hàm số f(x) thì không có tính chất đó.

Sau khi trình bày định nghĩa tổng quát và các ví dụ, [a] nhấn mạnh:

“Một trong những tính chất quan trọng của các hàm số lượng giác là tính chất tuần hoàn. Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí sau về tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác.

Định lí. Hàm số lượng giác sin , cos , tan , cot , sec và cosec  là

các hàm số tuần hoàn. Chu kỳ cơ sở của các hàm số sin , cos , sec  và cosec  bằng 2(3600) và chu kỳ cơ sở của các hàm số tan  và cot  bằng  (1800)”

Ở cuối trang, [a] lưu ý:

“Ở đây chúng ta xem xét các hàm số lượng giác của một góc và chu kỳ T được nhìn nhận như một góc, lưu ý này sẽ đúng cho đến mục 107 khi chúng ta đưa vào hàm số lượng giác của một biến số”.

Như vậy, trong [a], hàm số lượng giác ban đầu được định nghĩa cho các góc gắn với số đo độ hoặc radian, sau đó mới định nghĩa các hàm số lượng giác của một biến số thực tổng quát không có đơn vị1.

Định lí trên được chứng minh cho trường hợp hàm số sin . Kết luận hàm số

sin  là tuần hoàn được đưa ra khi [a] chứng minh được đẳng thức sin (2n +) =

1 Việc phân tích các cách định nghĩa hàm số lượng giác cũng là một vấn đề thú vị nhưng không phải là trọng tâm trong luận văn này. Vì vậy, chúng tôi không đi sâu vào phân tích vấn đề này mà có thể nó sẽ được đề cập đến trong một nghiên cứu khác.

sin  với mọi n là số nguyên. Từ đó, [a] chứng minh T = 2 là số dương nhỏ nhất thoả mãn sin(x + T) = sin x với mọi x để kết luận về chu kỳ cơ sở. Chứng minh đó như sau:

A )



“Giả sử có số A sao cho 0 < A < 2 và sin(+A) = sin. Vì  là tổng quát

 sin

 . Nhưng sin= 1 khi và chỉ khi

 2

n n ,

0, 1,

2, ...







2 



 

A  



2 n 

 có dạng

nên đẳng thức sau cũng đúng sin (

 2

Như vậy, ta phải có tức là

A = 2n. Điều này mâu thuẫn với 0 < A < 2. Như vậy, định lí được chứng minh

cho hàm số sin . Chứng minh tương tự cho các hàm số lượng giác khác”.

Về mặt đồ thị, đồ thị của các hàm số lượng giác chỉ được đề cập trong mục 107: Hàm số lượng giác của một biến số. [a] không trình bày tính chất đồ thị của hàm số tuần hoàn tổng quát mà khảo sát tính chất và vẽ đồ thị của từng hàm số lượng giác cụ thể. Chẳng hạn, đối với hàm sin x, sau khi đưa ra tính chất tuần hoàn

với chu kỳ cơ sở là 2 (tính chất 3) và tính chất lẻ (tính chất 4) của hàm số, [a] đưa ra kết luận về việc vẽ đồ thị như sau:

“Dựa trên tính chất 3 và 4, chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn [0; ] và sau đó tiếp tục vẽ trên đoạn [-; 0] bằng tính chất hàm số lẻ. Sau đó, với

đồ thị trên đoạn [-;], ta có thể dùng tính chất tuần hoàn để tiếp tục vẽ nó trên

toàn bộ trục số”.

Ở đây, [a] đã đề cập đến một lợi ích của tính tuần hoàn và chu kỳ trong việc nghiên cứu hàm số y = sin x. Với hàm số này, người ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị

của nó trên một chu kỳ [-;]. Sau đó, dựa vào tính tuần hoàn có thể tịnh tiến phần đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài bằng chu kỳ để suy ra đồ thị hàm số trên R. Như vậy, cùng một lúc hai chức năng sau đây của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ được đề cập tới thông qua một hàm số cụ thể:

- Chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” - Chức năng “cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một

chu kỳ”.

Tuy nhiên, [a] không đề cập đến phép tịnh tiến một cách tường minh. Việc sử

dụng đồ thị hàm số sin x trên đoạn [-;] để tiếp tục vẽ đồ thị của nó trên toàn bộ trục số đã không được giải thích rõ. Làm thế nào có thể vẽ tiếp đồ thị hàm số trên toàn bộ trục số? Việc lí giải kĩ thuật này thuộc về trách nhiệm của giáo viên hay sinh viên?

Đồ thị hàm số y = tan x được trình bày tương tự như hàm số y = sin x, còn đồ thị các hàm số y = cos x, y = cot x được suy ra từ đồ thị của hai hàm số trên bằng các phép tịnh tiến đồ thị.



Trong phần lí thuyết, sự lặp lại giá trị của hàm số tuần hoàn trên từng khoảng cách đều một số lần chu kỳ không được đề cập một cách tường minh mà chỉ thể hiện ngầm ẩn qua đẳng thức f(x) = f(x + T) với mọi x thuộc D. Tuy nhiên, ở phần sau chúng tôi cũng tìm thấy một số ví dụ thể hiện việc ứng dụng tính chất tuần hoàn để tính giá trị của hàm số.

13  3

2.2







Ví dụ 3 trang 303: Cho . Tìm sin , cos , tan , cot 

   2

 3

sin

sin(2.2

sin









Giải. Biểu diễn

13  3

3 2

 ) 3

 3

cos

cos(2.2

cos









 ) 3

 3

1 2

tan

tan(4

tan









13  3 13  3

 3

 ) 3

cot

cot(4

cot









13  3

 3

 ) 3

1 3

Ta có:

Ta thấy, để tính giá trị lượng giác của góc trên, [a] không tính trực tiếp mà

sử dụng (ngầm ẩn) tính tuần hoàn của hàm số để quy về tính giá trị lượng giác của

 2

). Kĩ thuật này có tác dụng gì? các góc trong khoảng (0;

Theo chúng tôi, việc chuyển về tính giá trị lượng giác của các góc trong

 2

khoảng (0; ) cho phép sử dụng bảng lượng giác hoặc bảng giá trị lượng giác các

cung góc đặc biệt để cho ra kết quả. Ngoài ví dụ trên, trong [a] còn có thêm 4 ví dụ khác và một bài tập thuộc dạng này.

Qua các ví dụ này chúng ta thấy rằng, với một hàm số tuần hoàn, ta có thể tính giá trị của hàm số tại một điểm bất kỳ khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Như vậy, chức năng thứ ba của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ là “cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ”. Chức năng này không được đề cập tường minh cho một hàm số tổng quát trong [a].

● Tổ chức toán học gắn liền với hàm số tuần hoàn có mặt trong [a] Kiểu nhiệm vụ T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = f(x). Chẳng hạn, bài tập (bt) 6 trang 297: “Chỉ ra các hàm số tuần hoàn trong số những hàm số sau:

1 x

y = cos2x, y = cos x2, y = x tan x, y = cos , y = sin x + cos x, y = 2 cot x + 3,

y = 4, y = log cos x.” Kĩ thuật 1 :

+ Chỉ ra số T  0 sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định D. Kết

luận hàm số là tuần hoàn.

+ Hoặc, chứng minh không tồn tại số T như vậy. Kết luận hàm số không tuần

hoàn.

Công nghệ 1 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn.

Kiểu nhiệm vụ T2: Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số y = f(x) (nếu nó tồn tại). Ví dụ (bt 7 trang 297): “Tìm chu kỳ cơ sở (nếu tồn tại) của những hàm số sau:

x 2

sin 2 y = 5sinx,

, y = sin 2x, y = sin , y = cos x + cot x, y = 2 tan x + 3 cos x, y =

x 3

y = sin (2x - ), y = sin x + sin , y = 7, y = cos 2x.

 6 2 :

Kĩ thuật

  + Tìm số T dương nhỏ nhất thỏa mãn f(x + T) = f(x), x D - Nếu tồn tại số T đó thì T là chu kỳ cơ sở của hàm số - Nếu không tồn tại số T đó thì hàm số không có chu kỳ cơ sở.

+ Xét tính tuần hoàn của hàm số : - Nếu hàm số không tuần hoàn thì kết luận không có chu kỳ cơ sở. - Nếu hàm số tuần hoàn thì thực hiện tiếp bước sau.

2 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn, định nghĩa chu kỳ cơ sở.

Công nghệ

Kiểu nhiệm vụ T3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Ví dụ (bt 2 trang 321): “Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

log cos 2

y = sec x, y = 3 cos x, y = cos 3x, y = cos x , y = cos x , y = log cos x, y = -

2x , y =

x .”

x 2

x 2 Xem xét số lượng ví dụ và bài tập, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T3

cos , y = x cos , y = sin

chiếm vị trí quan trọng nhất với các kĩ thuật tương ứng sau:

Kĩ thuật 31 :

+ Tìm mối quan hệ giữa hàm số được đề nghị với các hàm số đã biết đồ thị,

chẳng hạn như các hàm số lượng giác cơ bản.

+ Sử dụng các phép biến đổi đồ thị để suy ra đồ thị hàm số được yêu cầu.

31 : Các phép biến đổi đồ thị.

Công nghệ

Ví dụ 1 trang 317: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin x Giải. Đồ thị hàm số y = 2sin x nhận được từ đồ thị hàm số y = sin x bằng cách nhân mỗi tung độ của nó với 2. Số 0 của hàm số sin x tương ứng với số 0 của hàm số 2sin x. Suy ra đồ thị của hàm số y = 2sin x.

Kĩ thuật 32 :

+ Tìm tập xác định của hàm số + Chứng minh hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn + Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số + Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ cơ sở + Tịnh tiến phần đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài

bằng chu kỳ để suy ra toàn thể đồ thị hàm số.

32 : Đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn.

Công nghệ

Ví dụ 1 trang 318: Vẽ đồ thị hàm số y = log sin x Giải: + Tập xác định của hàm số gồm những giá trị x mà sin x > 0

+ sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2. Do đó, với mọi giá trị x

mà log sin x xác định ta có log sin(x + 2) = log sin x, nghĩa là hàm số này cũng có

chu kỳ 2. Từ tính tuần hoàn, chỉ cần khảo sát hàm số trên đoạn nào đó dài 2,

chẳng hạn [0; 2]. Nhưng trên đoạn [0; 2], hàm số không xác định tại mọi điểm

mà chỉ xác định trên khoảng (0; ) và do đó, sau đây ta chỉ khảo sát hàm số trên

khoảng (0; ) […].

Nhận xét: Các hàm số được đề cập trong các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ trên tương đối đa dạng bao gồm các hàm số lượng giác, hàm hằng, hàm hợp của hàm số lượng giác và hàm đa thức hoặc hàm hợp của hàm số lượng giác và hàm logarít,...

Việc sử dụng tính chất tuần hoàn để giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tuần hoàn được đặc biệt nhấn mạnh. Với các hàm số đã cho trong các ví dụ và bài tập 2 trang 321 thì kĩ thuật khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên chu kỳ cơ sở rồi sử dụng tính tuần hoàn để suy ra toàn thể đồ thị (kĩ thuật 32 ) là rất cần thiết.

1.2.2. Hàm số tuần hoàn trong giáo trình [b] Trong giáo trình này, định nghĩa hàm số tuần hoàn được đưa vào trang 39 như

  (*) x X

“Giả sử hàm y = f(x) xác định trên tập X. Nếu f(x) = f(x + a),

trong đó a là một hằng số nào đó thì hàm f(x) được gọi là hàm tuần hoàn trên X.

f x ( )

f x (

)

f x (

a 2 )

....

f x (

)

...













 , với kN.

Vì (*) đúng với mọi xX nên ta có:

Vậy nếu hàm f(x) tuần hoàn trên X thì không phải chỉ có một hằng số a sao cho ta có đẳng thức (*) mà có vô số hằng số như vậy. Hằng số dương bé nhất (nếu có) sao cho ta có hệ thức (*) với mọi x X được gọi là chu kỳ của hàm f(x).”

Vậy hàm số tuần hoàn cũng được định nghĩa trên tập xác định của nó. Mặc dù [b] nhấn mạnh nếu hàm số f(x) tuần hoàn thì không phải chỉ có 1 số a thỏa mãn (*) mà có vô số hằng số như vậy nhưng chu kỳ của hàm số được định nghĩa là duy nhất. Nó là số dương nhỏ nhất trong các hằng số thỏa (*) (tương ứng với chu kỳ cơ sở trong [a]).

f x ( )

f x (

)

f x (

a 2 )

....

f x (

)

...















Ở đây ta thấy, thông qua đẳng thức:

, với kN, [b] Với mọi x X ,

đã cho thấy rõ hơn sự lặp lại giá trị của hàm số tuần hoàn tại những điểm cách nhau 1 số lần chu kỳ. Tuy nhiên, chức năng “cho phép tính giá trị hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ đã không được nêu lên một cách tường minh.

Tiếp đó, đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn cũng chỉ được đề cập ngầm ẩn

thông qua nhận xét sau:

“Từ đẳng thức (*) suy ra đồ thị của hàm tuần hoàn chu kỳ T có thể suy ra từ

T T ; 2 2

  

  

đồ thị của hàm đó trong một khoảng dài T, chẳng hạn [0; T] hay bằng

những phép tịnh tiến song song với trục Ox những đoạn  kT”.

Như vậy, [b] đã nhấn mạnh lợi ích của việc xem xét tính tuần hoàn của hàm số khi vẽ đồ thị của nó. Điều đó có nghĩa là chức năng thứ hai của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ (chức năng “cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ”) đã được đề cập tường minh trong phần lí thuyết. Chức năng thứ nhất (giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số) không được đề cập tường minh mà chỉ thể hiện ngầm ẩn qua đoạn trích trên.

Tiếp đó, khi đề cập đến những hàm sơ cấp cơ bản, [b] đã đưa vào các hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x. Tính tuần hoàn, chu kỳ và đồ thị của các hàm số này chỉ được trưng ra mà không có bất cứ giải thích nào kèm theo.

● Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số tuần hoàn có mặt trong [b] Trong giáo trình [b], chỉ có 1 bài toán liên quan đến hàm số tuần hoàn và chu

kỳ thuộc vào hai kiểu nhiệm vụ sau:

T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số. T2: Tìm chu kỳ của hàm số. Sự tồn tại duy nhất hai kiểu nhiệm vụ T1, T2 cho thấy trong giáo trình này, tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số chỉ là đối tượng nghiên cứu. Chúng không được sử dụng như những công cụ để giải toán. Các chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ không được thể hiện trong phần bài tập.

1.3. Khái niệm tuần hoàn trong giáo trình Vật lí ở bậc Đại học

Tài liệu phân tích: Vật lí đại cương, Tập 2: Điện, Dao động, Sóng, Lương

Duyên Bình, Dư Trí Công, Nguyễn Hữu Hồ (2001), NXBGD (kí hiệu là [c]).

Bắt đầu từ việc nghiên cứu dao động của một con lắc, [c] khảo sát sự phụ thuộc của độ dời x theo thời gian t để đi đến định nghĩa dao động điều hòa như sau: “Dao động điều hòa là dao động trong đó độ dời là một hàm số sin của thời

t  )

gian t:

t  )

x = A cos ( , A > 0 (1)

dx dt

Suy ra v = = - Asin ( (2)

t  )

dv dt

a = = - A 2 cos ( (3)

Các phương trình (1), (2), (3) chứng tỏ độ dời x, vận tốc v và gia tốc a đều là

2  Ở đây, hàm số tuần hoàn (cụ thể là hàm cosin và hàm sin) được sử dụng để mô tả dao động điều hòa. Việc kết luận độ dời x, vận tốc v và gia tốc a đều là những

[…].” những hàm tuần hoàn của t với chu kỳ T0 =

2 

được giải thích như sau: hàm số tuần hoàn với chu kỳ T0 =

(4)

“Quả vậy, dễ dàng nhận thấy rằng: x(t + T0) = x(t), v(t + T0) = v(t), a(t + T0) = a(t) [...].” Như vậy, để kết luận T0 là chu kỳ của các hàm số trên, [c] không đề cập đến tính dương và nhỏ nhất của T0 mà chỉ giải thích do T0 thỏa mãn các đẳng thức (4). Từ đó, [c] gọi T0 là chu kỳ dao động của con lắc.

Ta thấy, chu kỳ của hàm số tuần hoàn mô tả độ dời, vận tốc, gia tốc của con lắc (chu kỳ theo nghĩa toán học) chính bằng chu kỳ dao động của nó (chu kỳ theo nghĩa vật lí). [c] đã đồng nhất hai khái niệm chu kỳ này là một, sau đó mới đưa vào định nghĩa tổng quát về chu kỳ dao động như sau:

“Chu kỳ của một dao động là thời gian ngắn nhất để hệ biến đổi từ một trạng

thái chuyển động nào đó lại trở lại trạng thái ấy”.

Tương ứng với giáo trình [b] (Toán học cao cấp, Nguyễn Đình Trí), chu kỳ được định nghĩa là số T dương bé nhất sao cho giá trị của hàm số lặp lại (f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D thì trong [c], chu kỳ dao động là thời gian ngắn nhất để trạng thái của vật lặp lại như cũ. Nói cách khác, định nghĩa chu kỳ của hàm số trong [b] hoàn toàn tương thích với định nghĩa chu kỳ dao động trong [c].

Kết luận chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và làm rõ một số cách trình bày những khái niệm này trong các giáo trình Toán ở bậc đại học. Ngoài ra, chúng tôi cũng đã phân tích sự hiện diện của khái niệm tuần hoàn trong môn Vật lí ở cấp độ này và sự nối khớp giữa Toán học và Vật lí.

Sau đây là một số kết quả chính của phân tích trong chương 1. - Về định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kỳ:

Hàm số tuần hoàn luôn được định nghĩa trên tập xác định D, là hàm số thoả mãn điều kiện f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D (T là một hằng số nào đó). Riêng về chu kỳ của hàm số, có thể định nghĩa nó theo những cách khác nhau.

+ Trong giáo trình [a] (Elementary mathematics), chu kỳ của hàm số là mọi số

T thoả mãn hai điều kiện :

• Nếu x thuộc D thì x + T thuộc D và ngược lại • f(x) = f(x + T) Do đó, một hàm số tuần hoàn có thể có vô số chu kỳ. Chu kỳ dương nhỏ nhất

(nếu có) được gọi là chu kỳ cơ sở.

+ Trong giáo trình [b] (Toán học cao cấp), chu kỳ của hàm số là số dương nhỏ nhất thoả mãn hai điều kiện trên. Do đó, chu kỳ của một hàm số nếu có là duy nhất, nó trùng với định nghĩa chu kỳ cơ sở trong [a]. - Về các đặc trưng của hàm số tuần hoàn: Đặc trưng lặp đi lặp lại giá trị và đồ thị hàm số trên từng khoảng cách đều của hàm số tuần hoàn không được đề cập một cách tường minh ở cấp độ đại học. Tuy vậy, đặc trưng đồ thị được sử dụng ngầm ẩn để giải quyết rất nhiều các ví dụ và bài tập liên quan đến việc vẽ đồ thị của hàm số trong [a].

- Về các chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ: Khái niệm tuần hoàn và chu kỳ xuất hiện với các chức năng sau đây. • Cho phép giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. • Cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ

dài bằng chu kỳ.

• Cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có

độ dài bằng chu kỳ.

Trong giáo trình [a], các chức năng thứ nhất và thứ hai được nhấn mạnh trong việc khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số. Ngược lại, trong giáo trình [b], chức năng thứ nhất và thứ ba chỉ thể hiện ngầm ẩn. Chức năng thứ hai được đề cập tường minh trong phần lí thuyết nhưng nó không thể hiện trong phần bài tập cũng như khi nghiên cứu các hàm số lượng giác cơ bản.

- Liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó,

chúng tôi thấy sự xuất hiện của những kiểu nhiệm vụ sau:

T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số. T2: Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số (nếu nó tồn tại). T3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Trong đó, kiểu nhiệm vụ T3 chiếm ưu thế và là kiểu nhiệm vụ quan trọng nhất trong [a]. Tuy nhiên, nó lại hoàn toàn vắng mặt trong [b]. Như vậy, chỉ có trong [a], khái niệm tuần hoàn và chu kỳ mới được đề cập với vai trò công cụ trong việc giải toán.

t  ), A > 0. Do đó, chu kỳ dao động là khoảng thời gian ngắn nhất để

- Trong giáo trình [c] (Vật lí đại cương), hàm số tuần hoàn được sử dụng để mô tả các dao động điều hòa : dao động mà độ dời là một hàm số sin của thời gian t:

x = A cos (

hệ biến đổi từ một trạng thái nào đó lại trở lại trạng thái ấy. Như vậy, chu kỳ dao động này tương ứng với chu kỳ (toán học) đã được định nghĩa trong [b]. Chu kỳ dao động chính bằng chu kỳ của hàm số mô tả dao động.

Những kết quả đã đạt được ở chương 1 sẽ là cơ sở cho việc phân tích SGK mà

chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 2 tiếp theo của luận văn.

Chương 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ TUẦN HOÀN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Mục tiêu của chương Chương này nhằm mục đích làm rõ: - Các đặc trưng của mối quan hệ thể chế với các khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn cũng như vai trò, vị trí và chức năng của chúng trong thể chế dạy học toán ở trường trung học phổ thông Việt Nam.

- Những điều kiện và ràng buộc của thể chế trên các khái niệm này. Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn phân tích CT và SGK Việt Nam qua

một số thời kì khác nhau: thời kì CLHN năm 2000 và thời kỳ thí điểm năm 2003.

Những kết quả đã đạt được trong chương 1 sẽ hình thành nên cơ sở tham chiếu

đầu tiên cho phân tích trong chương này.

Ngoài ra, chúng tôi cũng phân tích một SGK của thể chế dạy học Pháp nhằm mục đích hình thành nên cơ sở tham chiếu thứ hai cho phân tích. Lựa chọn này dựa trên giả thuyết công việc sau đây. Giả thuyết công việc: Việc phân tích so sánh SGK của hai hệ thống dạy học khác nhau cho phép làm rõ hơn đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức trong mỗi hệ thống.

SGK được chọn phân tích là: Maths seconde, COLLECTION TERRACHER,

1995, HACHETTE Éducation (chúng tôi kí hiệu là [F1]).

Việc không chọn một SGK hiện hành xuất phát từ hai lí do chủ yếu sau: - Đây là cuốn SGK làm căn cứ cho việc soạn thảo SGK Toán lớp 10, dùng cho

các lớp song ngữ hiện nay ở Việt Nam.

- Đối tượng hàm số tuần hoàn chiếm một vị trí quan trọng trong cả phần lí

thuyết và bài tập của SGK này.

Phần A. Hàm số tuần hoàn trong SGK Pháp

Trong bộ SGK TERRACHER trên, khái niệm hàm số tuần hoàn được đề cập

lần đầu tiên ở lớp 10 (Seconde) trong chương 8: Lượng giác và hàm số lượng giác.

Ngay từ đầu chương, SGK trình bày mục tiêu của chương như sau:

“Như đã thể hiện ở tựa đề, chương này được xây dựng xung quanh 2 chủ đề

chính:

+ Đưa vào những khái niệm đơn giản nhưng quan trọng của lượng giác trong phạm vi gần gũi với tam giác vuông. Chúng ta định nghĩa một đơn vị đo mới, được ưu tiên về mặt toán học: radian, sau đó, chúng ta sẽ đo góc định hướng, từ đó cho phép đưa vào cosin, sin và tang của một số thực.

+ Nghiên cứu các hàm số lượng giác: sin và cosin sẽ làm phong phú hơn “bộ sưu tập” của chúng ta về các hàm số thông thường và dẫn đến đưa vào một khái niệm mới: tính tuần hoàn.”

Một trong hai mục tiêu chính của chương là giới thiệu các hàm số lượng giác và từ đó đưa vào tính chất tuần hoàn của hàm số. Như vậy, hàm số lượng giác (đặc biệt là hàm sin và cosin) cho một tiếp cận đầu tiên khái niệm tuần hoàn. Điều này phù hợp với kết quả phân tích trong lịch sử và trong giáo trình [a] (Elementary mathematics) đã trình bày ở chương 1.

Trước khi xuất hiện định nghĩa hàm số tuần hoàn, khi đề cập đến tính chất cơ

bản của hàm số sin và cosin, SGK đã đưa vào tính chất :

“Với mọi số thực x và mọi số nguyên k ta có: sin(x+k2) = sinx, cos(x+k2)

= cosx”.

Tính chất này chính là cơ sở đề cập tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác.

Quả thực, xuất phát từ nhận xét: Với mọi x, sin(x+2) = sin x, cos(x+2) =

“Ta nói rằng các hàm số này là tuần hoàn và 2là một chu kỳ ”. Còn định nghĩa tổng quát về hàm số tuần hoàn xuất hiện ngay sau đó:

cos x, SGK đề cập đến tính tuần hoàn và chu kỳ của chúng như sau:

“Cho f là hàm số xác định trên R và T là một số thực khác 0. Ta nói rằng f là tuần hoàn, chu kỳ T nếu với mọi x, f(x+T) = f(x). Chú ý rằng T là một chu kỳ của f thì tất cả các bội của T cũng là chu kỳ của f.” Như vậy, SGK chỉ trình bày định nghĩa hàm số tuần hoàn có tập xác định là R.

Tuy nhiên, một chú thích nhỏ ở cuối trang lại lưu ý rằng:

“Ở lớp 10, người ta chỉ xem xét những hàm số tuần hoàn xác định trên R.

Nhưng thực ra, định nghĩa có thể mở rộng cho một hàm số xác định trên D bằng cách bổ sung: Với mọi số thực x thuộc D thì x + T thuộc D và f(x+T) = f(x)”.

Định nghĩa trên cho thấy, SGK không định nghĩa chu kỳ là số dương T nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x (*) như sách [b] (Toán học cao cấp - Nguyễn Đình Trí) mà là mọi số T khác 0 thỏa mãn (*). Nếu T là một chu kỳ

của hàm số f thì tất cả các bội của T cũng là chu kỳ của f. Nói cách khác, định nghĩa chu kỳ của hàm số tương tự như định nghĩa được cho trong [a], có điều ở đây không đưa vào khái niệm chu kỳ cơ sở.

Như vậy, chu kỳ của hàm số y = sin x có thể là 2, 4, 6,…và như trên đã

trình bày, SGK gọi 2 là một chu kỳ của hàm số đó.

Tại sao SGK này lại chọn cách định nghĩa chu kỳ như vậy? Theo chúng tôi, lí do thứ nhất có thể xuất phát từ mong muốn của noosphere nhằm giảm tính phức tạp của vấn đề chứng minh một số T là chu kỳ của hàm số (chỉ cần chứng minh đẳng thức (*) mà không cần kiểm tra tính dương và nhỏ nhất của T).

Lí do thứ hai có thể là do việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số tuần hoàn trong SGK này chỉ cần vận dụng một cách ngầm ẩn sự duy nhất và tính dương nhỏ nhất của chu kỳ. Nghĩa là người ta vẫn sử dụng chu kỳ cơ sở nhưng không cần thiết đề cập tường minh đến khái niệm này.

Sau khi đưa ra định nghĩa nêu trên, SGK đưa vào một mục nhan đề : “Tiết kiệm công việc” (Une économie de travail) như dưới đây, trong đó trình bày đặc trưng của tính tuần hoàn của hàm số trên hai phương diện khác nhau.

“Tiết kiệm công việc + Từ quan điểm số: Một hàm số tuần hoàn nhận cùng những giá trị trên những khoảng cách đều. Nói rõ hơn, một hàm số tuần hoàn chu kỳ T được biết hoàn toàn khi người ta biết những giá trị của nó trên một khoảng có độ dài T ([0; T) chẳng hạn).

+ Từ quan điểm đồ thị: Cho f là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ T và Cf là đường biểu diễn của nó. Nếu M(x; y) là một điểm trên Cf (nếu y = f(x)), thì M’(x+T; y) cũng nằm trên Cf vì y = f(x) = f(x+T). Vì vậy, đường cong Cf là bất biến một cách

 toàn bộ bởi phép tịnh tiến theo vectơ T i

. Điều đó cho phép tạo ra toàn thể đồ thị

khi biết dạng của nó trên một khoảng có độ dài T”.

Từ quan điểm số ta thấy, chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ là:“cho

phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ”. Đó chính là chức năng thứ ba của nó như đã được đề cập ở chương 1. Tuy nhiên, ở cấp độ tri thức khoa học, chức năng này chỉ thể hiện ngầm ẩn qua những ví dụ cụ thể còn trong SGK này, nó đã được nhấn mạnh một cách tường minh.

Chức năng này sẽ dẫn đến một sự “tiết kiệm” công việc gì?

Đó chính là: khi muốn nghiên cứu, khảo sát một hàm số tuần hoàn, người ta

chỉ cần nghiên cứu nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ là đủ.

 (T là chu kỳ), tức là hình dạng của của nó bất biến qua phép tịnh tiến theo vectơ T i đồ thị cũng lặp lại trên những khoảng cách đều. Do đó, ta có thể vẽ được toàn thể đồ thị của hàm số tuần hoàn khi biết dạng của nó trên một khoảng có độ dài bằng một

 . Đây chính là chức năng thứ hai đã chu kỳ bằng cách tịnh tiến nó theo các vectơ T i nêu trong chương 1 của khái niệm tuần hoàn và chu kì, chức năng“cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ”.

Xuất phát từ quan điểm đồ thị, đặc trưng khác của hàm số tuần hoàn là đồ thị

Đặc trưng và chức năng này của hàm số tuần hoàn cũng cho phép một sự “tiết kiệm” công việc thứ hai: khi muốn vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn, người ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng một chu kỳ là đủ.

Như vậy, kết hợp cả hai quan điểm số và quan điểm đồ thị ở trên cho thấy một chức năng “tiết kiệm” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ là chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”. Đây là chức năng thứ nhất mà chúng tôi đã bàn đến trong chương 1.

Đặc biệt, chức năng “tiết kiệm” này được nhấn mạnh hơn sau khi SGK giới thiệu tính chẵn lẻ của hàm số. Thật vậy, khi đưa vào định lí: “Hàm số cosin là chẵn còn hàm sin là lẻ”, SGK nhấn mạnh:

]  ,

“Lợi ích tuyệt vời mà tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn mang lại là: chỉ cần

] để biết chúng trên [

nghiên cứu hàm số cosin và sin trên đoạn [0, nhờ

vào tính chẵn lẻ và cuối cùng trên R nhờ vào tính tuần hoàn”.

Như vậy, về mặt lí thuyết, SGK này đã đề cao vai trò của tính tuần hoàn của

hàm số trong việc khảo sát và vẽ đồ thị của nó.

Tiếp đó, từ việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sin x, cos x

trên đoạn [0, ], SGK đưa ra đồ thị của chúng trên R mà không có một sự giải thích rõ ràng nào. SGK chỉ nói rằng do sử dụng tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn mà ta có đồ thị như vậy.

Liệu việc sử dụng tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn được thực hiện như thế nào?

Giải thích vấn đề này có lẽ thuộc về trách nhiệm của giáo viên.

● Tổ chức toán học gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn Trước hết, ta nhắc lại các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số tuần

hoàn và chu kỳ ở cấp độ tri thức khoa học. Đó là ba kiểu nhiệm vụ sau đây.

T1: “Xét tính tuần hoàn của hàm số”. T2: “Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số (nếu nó tồn tại)”. T3: “Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”. Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, kiểu nhiệm vụ T1 không xuất hiện tường minh trong SGK Pháp. Dấu vết của T1 chỉ thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T’1:

“Chứng minh một hàm số là tuần hoàn chu kỳ T”.

sin 2

cos 2

Ví dụ (bt 40 trang 191):



“Chứng minh rằng các hàm số Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: + Chu kỳ được đề cập đến chính là chu kỳ cơ sở. + Các hàm số được cho đều là các hàm lượng giác cho bằng công thức. Như vậy, mặc dù SGK định nghĩa chu kỳ là mọi số T thỏa mãn đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc R, nhưng tồn tại ở đây một ràng buộc ngầm ẩn của thể chế đối với kiểu nhiệm vụ T’1 là: chu kỳ T luôn luôn là chu kỳ cơ sở.

, là tuần hoàn chu kỳ ”

Nói cách khác, chúng tôi dự đoán sự tồn tại ngầm ẩn một quy tắc hợp đồng của

thể chế:

RP1: “Chu kỳ của hàm số cho trước luôn là chu kỳ dương và nhỏ nhất”. Theo hợp đồng này, thể chế mong muốn giáo viên đề nghị cho học sinh các bài toán liên quan đến chu kỳ của hàm số, trong đó chu kỳ là dương và nhỏ nhất (chu kỳ cơ sở).

11 tương ứng với kiểu nhiệm vụ T’1:

Kĩ thuật

+ Tính f(x + T) + Chứng minh f(x + T) = f(x) với mọi x + Kết luận hàm số tuần hoàn với chu kỳ T.

Công nghệ 1 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số.

Vì SGK không định nghĩa chu kỳ cơ sở mà chỉ có khái niệm một chu kỳ của hàm số, do đó, kiểu nhiệm vụ T2 cũng không tồn tại. Dấu vết của T2 được tìm thấy qua kiểu nhiệm vụ T’2: “Tìm một chu kỳ của hàm số”.

sin

“Tìm một chu kỳ của hàm số f:

”



  997 

  

Ví dụ: bt 42 trang 191:

Để giải quyết bài toán này, cần chỉ ra một số thực T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc R. Đáng tiếc là phần hướng dẫn giải các bài toán ở cuối sách không có

lời giải cho bài tập này. Tuy vậy, chúng tôi dự đoán kết quả mà thể chế mong đợi sẽ là chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số (tức là chu kỳ cơ sở theo [a]).

sin

2 997

sin









Thật vậy, với cách trình bày ở phần lí thuyết (kết luận 2 là một chu kỳ của hàm số y = sin x) ta có thể dự đoán một kết quả mà thể chế mong đợi trong bài toán này là T = 2x997 vì





 997

  

  

 2   

  

  

  

với mọi x.

t  )

Việc tìm ra số T = 2x997 không hề đơn giản. Hàm số đã cho thuộc dạng hàm

2 

số y = A sin ( + B. Đây là hàm số tuần hoàn có một chu kỳ là . Tuy

nhiên, SGK không trình bày bài toán tổng quát này mà chỉ đưa vào một hàm số cụ thể cần tìm một chu kỳ. Liệu học sinh sẽ làm thế nào để tìm ra số T ở trên?

Kiểu nhiệm vụ T3 chỉ tồn tại trong phần lí thuyết khi SGK khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sin x và cos x. Như vậy, thể chế mong muốn giáo viên trình bày kiểu nhiệm vụ này cho học sinh còn học sinh không có trách nhiệm thực hiện T3.

y 1

-1

Trong phần bài tập, dấu vết của T3 thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T’3: “Vẽ đồ

thị của hàm số trên đoạn [a; b]” Ví dụ: bt 43 trang 205: “Cho hàm số f tuần hoàn chu kỳ 3 và biểu diễn đồ thị trên đoạn [-1, 2] được cho bởi hình vẽ sau: Hãy vẽ đường biểu diễn của f trên mỗi đoạn sau: [11, 14], [-8, -4], [14, 18] và [39, 45]”. Đây là một hàm số tuần hoàn được cho bằng đồ thị trên một chu kỳ. Hơn nữa, đồ thị của hàm số là những đoạn thẳng trên từng khoảng có độ dài 1 đơn vị, giá trị hàm số tại các đầu mút là những số nguyên. Do đó, để vẽ đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài 1, ta chỉ cần xác định giá trị hàm số tại hai đầu mút nguyên rồi nối chúng lại thành một đoạn thẳng.

Do đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn, ta có thể suy ra được đồ thị của hàm số này trên R. Ở đây, đề bài yêu cầu vẽ đồ thị hàm số trên 4 đoạn. Chúng tôi sẽ phân tích đặc trưng của các đoạn cần vẽ đồ thị.

+ Đoạn [11, 14] có độ dài đúng bằng 1 chu kỳ (độ dài 3). Hơn nữa, giá trị hàm số tại các đầu mút của đoạn này «trùng» với giá trị hàm số tại các đầu mút của đoạn cho trước:

f(11) = f(-1 + 4.3) = f(-1), f(14) = f(2 + 4.3) = f(2)

Khi một đầu mút của khoảng có tính chất này ta sẽ gọi nó là “bội” của đầu mút của khoảng đã cho. Như vậy, đoạn [11, 14] có hai đầu mút đều là “bội” của hai đầu mút của đoạn [-1, 2].

+ Đoạn [-8, -4] và [14, 18] có độ dài lớn hơn 1 chu kỳ (độ dài 4). Mỗi đoạn chỉ

có một đầu mút là “bội” của đầu mút cuối của đoạn cho trước [-1, 2]. Cụ thể, đối với đoạn [-8, -4] ta có: f(-4) = f(2 – 2.3) = f(2). Đối với đoạn [14, 18] ta có: f(14) = f(2 + 4.3) = f(2) + Đoạn [39, 45] có độ dài bằng hai lần chu kỳ (độ dài 6). Hai đầu mút của

đoạn đều không là “bội” của các đầu mút của đoạn cho trước.

Do các đặc trưng nêu trên, ta có thể dự kiến các chiến lược giải bài toán này

như sau:

 C[-1,2]) theo vectơ 12 i

+ Đối với đoạn [11, 14], có thể có các chiến lược sau: • Chiến lược “đồ thị”: Tịnh tiến phần đồ thị hàm số trên đoạn [-1, 2] (kí hiệu

. Phần đồ thị nhận được là C[11, 14].

• Chiến lược “số”: Ta có: f(11) = f(-1 + 4.3) = f(-1) = 2, f(12) = f(0 + 4.3) =

f(0) = 2, f(13) = f(1 + 4.3) = f(1) = 0, f(14) = f(2 + 4.3) = f(2) = 2.

Biểu thị các điểm (11; 2), (12; 2), (13; 0), (14; 2) lên hệ trục tọa độ rồi nối chúng lại theo các đường gấp khúc trên từng khoảng có độ dài 1 ta có C[11,14] cần vẽ.

 , -9 i

 • Chiến lược “đồ thị”: Tịnh tiến C[-1,2] theo các vectơ -6 i

+ Đối với đoạn [-8, -4]:

ta có C[-10, -4].

Xóa C[-10, -8], ta có C[-8, -4] cần vẽ.

 theo vectơ -6 i

• Chiến lược hỗn hợp “số + đồ thị”: Do f(-4) = f(2 – 2.3) = f(2), f(-8) = f(-2 – 2.3) = f(-2) nên C[-8, -4] giống hệt C[-2, 2]. Do f(-2) = f(1) = 0, ta có C[-2, 2]. Tịnh tiến C[-2, 2]

ta có C[-8, -4] cần vẽ.

f(-5) = f(1 – 2.3) = f(1) = 0 f(-4) = f(2 – 2.3) = f(2) = 1

• Chiến lược “số”: Ta có: f(-8) = f(1 – 3.3) = f(1) = 0 f(-7) = f(-1 – 2.3) = f(-1) = 1 f(-6) = f(0 – 2.3) = f(0) = 0 Do đó, trên hệ trục tọa độ lấy các điểm có tọa độ (-8 ; 0), (-7 ; 1), (-6 ; 0), (-5 ; 0), (-4; 1) và nối chúng lại theo các đường gấp khúc trên từng khoảng có độ dài 1 ta có C[-8, -4] cần vẽ.

Do đoạn [14, 18] có cùng đặc trưng với đoạn [-8, -4] nên có các chiến lược

tương tự như trên.

+ Đối với đoạn [39, 45], ta có các chiến lược sau: • Chiến lược hỗn hợp “số + đồ thị”: f(39) = f(0 + 13.3) = f(0) f(45) = f(6+ 13.3) = f(6) Do đó, C[39, 45] có hình dạng giống hệt C[0, 6]. Đầu tiên, ta cần vẽ C[0, 6] .(Do f(3)

 = f(0) = 0, ta có C[0, 3] , từ đó C[3, 6] có được do tịnh tiến C[0, 3] theo vectơ 3 i

). Sau

, ta có C[39, 45].

 đó tịnh tiến C[0, 6] theo vectơ 39 i • Chiến lược “số”: f(39) = f(0 + 13.3) = f(0) = 0 f(40) = f(1+13.3) = f(1) = 0 f(41) = f(2 + 13.3) = f(2) = 1 f(42) = f(0 +14.3) = f(0) = 0 Do đó, trên hệ trục tọa độ lấy các điểm có tọa độ (39; 0), (40; 0), (41; 1), (42; 0), (43; 0), (44; 1), (45; 0) và nối chúng lại theo các đường gấp khúc trên từng khoảng có độ dài 1 ta có C[39, 45] cần vẽ.

f(43) = f(1 + 14.3) = f(1) = 0 f(44) = f(2 + 14.3) = f(2) = 1 f(45) = f(0 + 15.3) = f(0) = 0

Từ các chiến lược ở trên ta rút ra được các kĩ thuật có thể được sử dụng để giải

quyết kiểu nhiệm vụ T’3 như sau:

31 (kĩ thuật “tịnh tiến”):

 Tịnh tiến phần đồ thị đã cho theo vectơ nT i

• Kĩ thuật

để được đồ thị hàm số trên

khoảng yêu cầu.

31 : Đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn

Công nghệ

32 (kĩ thuật “tịnh tiến dư và cắt”):

 Tịnh tiến phần đồ thị đã cho theo các vectơ nT i

 , (n+1)T i

 , (n-1)T i

• Kĩ thuật

,...Sau đó,

cắt bỏ những phần không cần thiết để được đồ thị hàm số trên khoảng cần vẽ.

32 : Đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn.

Công nghệ

33 (kĩ thuật “giá trị các điểm mốc”):

• Kĩ thuật

Tính giá trị hàm số tại các điểm mốc. Đó là các điểm nguyên trong khoảng cần vẽ đồ thị. Sau đó, biểu diễn các điểm này lên trục số và nối chúng lại thành các đường gấp khúc trên từng khoảng có độ dài 1.

33 : Đặc trưng số của hàm số tuần hoàn.

Công nghệ

31 đặc biệt phát huy tác dụng trong trường hợp khoảng cần vẽ đồ thị

Kĩ thuật

có độ dài bằng một chu kỳ và có hai đầu mút đều là “bội” của hai đầu mút của khoảng cho trước. Có hai trường hợp xảy ra:

+ Nếu khoảng cần vẽ đồ thị gần với khoảng đã cho (chẳng hạn [-7, -4] so với

[-1, 2]), ta có thể tịnh tiến trên giấy để được đồ thị cần vẽ.

+ Ngược lại, nếu khoảng cần vẽ đồ thị cách khá xa khoảng cho trước (chẳng hạn [41, 44] so với [-1, 2]) thì không thể biểu thị cả hai phần đồ thị trên hình vẽ để mô tả phép tịnh tiến. Khi đó, ta chỉ cần biểu thị đoạn [41, 44] trên hệ trục tọa độ rồi vẽ đồ thị trên đoạn này giống hệt đồ thị hàm số trên đoạn [-1, 2]. Ở đây, coi như phép tịnh tiến đã được sử dụng một cách ngầm ẩn.

Trong kĩ thuật này, đặc trưng đồ thị đóng vai trò quan trọng. Tuy nhiên, kĩ thuật này không vận hành được khi các khoảng cần vẽ đồ thị không có các đầu mút là “bội” của các đầu mút của khoảng cho trước.

32 và '

33 . Kĩ thuật

32 cũng chủ yếu

Khi đó, cần thiết sử dụng đến các kĩ thuật

dựa vào đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn. Đặc biệt, kĩ thuật này vận hành tốt trong trường hợp khoảng cần vẽ đồ thị có một đầu mút là “bội” của một đầu mút của khoảng đã cho.

33 đặc trưng số đóng vai trò đặc biệt quan trọng. Cần thiết xác

Trong kĩ thuật

định được giá trị các điểm mốc và dựa vào hình dáng đồ thị của hàm số để vẽ đồ thị trên khoảng yêu cầu. Khi đó, phép tịnh tiến cũng đã được sử dụng một cách ngầm ẩn. Kĩ thuật này có thể áp dụng cho mọi khoảng bất kỳ có các đầu mút nguyên.

Như vậy, tính chất tuần hoàn và chu kỳ của hàm số góp phần quan trọng vào việc giải quyết kiểu nhiệm vụ T’3. Đặc biệt, kiểu nhiệm vụ này cho phép nối liền đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn. Chức năng “cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” và chức năng “cho phép vẽ đồ thị hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ đã được nhấn mạnh.

Kiểu nhiệm vụ T4: “Xác nhận một số T có phải là một chu kỳ của hàm số

y = f(x) không”

cos

Ví dụ: bt 41 trang 205:



x 3

  

  

không?” “Số thực 3 có là một chu kỳ của hàm số

cos





 

x 3

3 x    3 

  

  

   

cos

1, cos



 

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: + Hàm số được cho là hàm lượng giác cho bằng công thức + Số cho trước có thể là một chu kỳ hoặc không là một chu kỳ của hàm số Theo chúng tôi, bài toán này có thể được giải như sau :

x 3

x  3 3

  

  

  

  

Do đó, với x = 0 thì

Suy ra 3 không phải là một chu kỳ của hàm số đã cho. Như vậy, kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T4 là:

4 :

Kĩ thuật

+ Tính f(x + T) + Nếu f(x + T) = f(x) với mọi x thì T là một chu kỳ. + Hoặc lấy một giá trị đặc biệt của x và chứng tỏ đẳng thức f(x +T) = f(x) không xảy ra với trường hợp đặc biệt này. Từ đó, kết luận được T không phải là một chu kỳ của hàm số.

4 : Định nghĩa chu kỳ của hàm số

Công nghệ

Một điều lưu ý là chúng tôi chỉ tìm thấy các kiểu nhiệm vụ trên trong phần bài

tập của SGK. Chúng hoàn toàn vắng mặt trong các ví dụ và bài tập có hướng dẫn.

Bảng 2.1. Thống kê số lượng bài tập liên quan đến hàm số tuần hoàn.

Kiểu nhiệm vụ Số bài tập

5 T’1

1 T’2

1 T’3

3 T4

10 Tổng

♦ Kết luận Việc phân tích SGK Pháp ở trên cho phép rút ra một số đặc trưng chính sau

đây của mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn.

+ Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T thỏa mãn đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc R. Do đó, một hàm số tuần hoàn sẽ có vô số chu kỳ. Nếu T là một chu kỳ thì mọi số có dạng nT (n là số nguyên) cũng là một chu kỳ của hàm số.

+ Đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn được đề cập tường minh trong phần lí thuyết. Từ đó, SGK nhấn mạnh đến lợi ích của việc nghiên cứu tính tuần hoàn của hàm số. Cả ba chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ đều được đề cập trong SGK.

+ Hàm số tuần hoàn được tiếp cận và nghiên cứu dưới dạng biểu thức giải tích và dạng đồ thị, bao gồm cả các hàm số lượng giác và hàm số bậc nhất, hàm hằng trên từng khoảng.

+ Kiểu nhiệm vụ chiếm vị trí quan trọng nhất là kiểu nhiệm vụ T’1: “Chứng minh một hàm số là tuần hoàn chu kỳ T” chiếm 5 trên tổng số 10 bài tập. Tiếp đó là kiểu nhiệm vụ T4: “Xác nhận một số T có phải là một chu kỳ của hàm số y = f(x) không” chiếm 3/10 bài.

Hai kiểu nhiệm vụ này đều nhắm tới củng cố định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số và các tính chất của các hàm lượng giác, đặc biệt là hàm sin và cosin. Ở đây, tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số vẫn là đối tượng nghiên cứu chứ không đóng vai trò “công cụ”. Vai trò “công cụ” của nó chỉ được nhấn mạnh qua duy nhất một bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T’3 mà chúng tôi đã phân tích ở trên.

Kiểu nhiệm vụ T3 (Vẽ đồ thị hàm số) thể hiện chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ chỉ được trình bày trong phần lí thuyết cho hai hàm số sin x và cos x. Điều đó chứng tỏ thể chế mong muốn giáo viên trình bày cho học sinh còn học sinh không có trách nhiệm giải quyết các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ này.

Xét các kiểu nhiệm vụ xuất hiện trong SGK, chúng tôi nhận thấy tất cả các chu kỳ T được đề cập đến đều là chu kỳ dương và nhỏ nhất của hàm số. Điều này cho phép dự đoán sự tồn tại ngầm ẩn một quy tắc hợp đồng của thể chế đối với giáo viên:

RP1: “Chu kỳ của hàm số cho trước luôn là chu kỳ dương và nhỏ nhất”.

Phần B. Hàm số tuần hoàn trong SGK Việt Nam

2.1. Khái niệm «tuần hoàn» ở trường phổ thông trước khi đưa vào khái niệm

hàm số tuần hoàn ở lớp 11 Như đã đề cập ở chương 1, trong lịch sử, trước khi xuất hiện khái niệm hàm số tuần hoàn trong toán học, thuật ngữ tuần hoàn đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như vật lí, âm nhạc,…,kể cả trong đời sống thường ngày.

Vậy, ở trường phổ thông, trước khi đưa vào khái niệm hàm số tuần hoàn trong

SGK Toán lớp 11, thuật ngữ tuần hoàn đã được sử dụng chưa? Nó mang nghĩa gì?

Qua phân tích một số SGK phổ thông của các môn học khác, đặc biệt là các

môn tự nhiên, chúng tôi rút ra được một số ghi nhận như sau:

Thuật ngữ “tuần hoàn” xuất hiện lần đầu tiên ở bài 6: Máu và cơ quan tuần hoàn của SGK Tự nhiên và xã hội lớp 3 (Bùi Phương Nga, Lê Thị Thu Dinh, Đoàn Thị My, Nguyễn Tuyết Nga, 2006, NXBGD) qua định nghĩa cơ quan tuần hoàn:

“Trong cơ thể, máu luôn được lưu thông. Cơ quan vận chuyển máu đi khắp cơ

thể được gọi là cơ quan tuần hoàn”.

SGK đưa vào định nghĩa và sơ đồ vòng tuần hoàn lớn, vòng tuần hoàn nhỏ trong đó có các mũi tên chỉ sự lưu thông của máu từ tâm thất phải qua động mạch phổi,..., đến tĩnh mạch chủ rồi trở lại về tâm thất phải:

“Vòng tuần hoàn lớn: đưa máu chứa nhiều khí oxi và chất dinh dưỡng từ tim đi nuôi các cơ quan của cơ thể, đồng thời nhận khí CO2 và chất thải của các cơ quan rồi trở về tim.

Vòng tuần hoàn nhỏ: đưa máu từ tim đến phổi lấy khí oxi và thải khí CO2 rồi

trở về tim.”

Hình vẽ và sự mô tả hai vòng tuần hoàn của SGK cho thấy: vòng tuần hoàn máu là một chu trình khép kín của sự lưu thông máu, bắt đầu xuất phát từ tim và cuối cùng trở lại về tim, cứ thế tiếp tục lặp đi lặp lại. Tuy nhiên, điều này không được nhắc đến một cách tường minh.

Tiếp theo, SGK Khoa học lớp 4, ở bài 22 nhan đề: Mây được hình thành như

thế nào? Mưa từ đâu ra?, đã giới thiệu vòng tuần hoàn của nước trong tự nhiên.

“Hiện tượng nước bay hơi thành hơi nước, rồi từ hơi nước ngưng tụ thành

nước xảy ra lặp đi lặp lại tạo ra vòng tuần hoàn của nước trong tự nhiên”.

Cụ thể, vòng tuần hoàn đó như sau: “Nước ở sông hồ bay lên cao gặp lạnh tạo

thành hạt nước. Ở trên cao, nhiều hạt nước hợp thành mây. Mây bay lên cao, nhiều

hạt nước nhỏ hợp thành hạt nước lớn hơn, trĩu nặng rơi xuống tạo thành mưa. Cùng với những hạt mưa khác, giọt nước trở về sông hồ nơi nó đã ra đi”.

Ở đây, SGK cũng sử dụng khái niệm “vòng tuần hoàn” để mô tả một chu trình khép kín, lặp đi lặp lại. Cụm từ lặp đi lặp lại đã được sử dụng một cách tường minh. Khái niệm vòng tuần hoàn máu tiếp tục được đề cập trong SGK Sinh học lớp 8. SGK cũng đưa vào sơ đồ hai vòng tuần hoàn và chú thích chi tiết hơn từng giai đoạn trong chu trình khép kín, lặp lại của sự lưu thông máu.

Tóm lại, cho đến lớp 8, từ “tuần hoàn” luôn xuất hiện chung trong cụm từ

“vòng tuần hoàn” để mô tả một chu trình khép kín, lặp đi lặp lại.

Kể từ chương trình lớp 9, khái niệm vòng tuần hoàn không còn được đề cập tới. Trong SGK Hóa học 9 xuất hiện khái niệm Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học (gọi tắt là bảng tuần hoàn). Đó là một bảng các nguyên tố được sắp xếp theo chiều tăng của điện tích hạt nhân nguyên tử. Chu kỳ trong bảng tuần hoàn là dãy các nguyên tố mà nguyên tử của chúng có cùng số lớp electron và được sắp xếp theo chiều điện tích hạt nhân tăng dần.

Liệu từ bảng tuần hoàn có mang nghĩa là một sự lặp đi lặp lại? Khái niệm chu

kỳ ở đây có giống khái niệm chu kỳ trong toán học?

SGK Hóa học 10 trình bày những đặc trưng của bảng tuần hoàn như sau: “Cấu hình electron lớp ngoài cùng của nguyên tử các nguyên tố trong cùng

một nhóm A được lặp đi lặp lại sau mỗi chu kỳ, ta nói rằng: chúng biến đổi một cách tuần hoàn.

Như thế, sự biến đổi tuần hoàn về cấu hình electron lớp ngoài cùng của nguyên tử các nguyên tố khi điện tích hạt nhân tăng dần chính là nguyên nhân của sự biến đổi tuần hoàn tính chất của các nguyên tố”.

“Trong một chu kỳ, theo chiều tăng dần của điện tích hạt nhân, tính kim loại của các nguyên tố yếu dần, đồng thời tính phi kim mạnh dần. Quy luật trên được lặp lại đối với mỗi chu kỳ”.

“Trong một chu kỳ, đi từ trái sang phải, hóa trị cao nhất của các nguyên tố

trong hợp chất với oxi tăng lần lượt từ 1 đến 7, còn hóa trị của các phi kim trong hợp chất với hidro giảm từ 4 đến 1. Quy luật trên được lặp lại đối với mỗi chu kỳ”.

SGK nhấn mạnh sự lặp đi lặp lại sau mỗi chu kỳ. Cứ sau một chu kỳ, cấu hình electron nguyên tử của lớp ngoài cùng các nguyên tố lại lặp lại, sự tăng, giảm tính kim loại, tính phi kim hay hóa trị của các nguyên tố trong hợp chất với oxi cũng lặp lại. Vậy bảng tuần hoàn cũng thể hiện ngầm ẩn một sự lặp đi lặp lại.

Đối với môn Toán, thuật ngữ “tuần hoàn” xuất hiện lần đầu tiên trong SGK Toán 7, Tập 1, do tác giả Phan Đức Chính làm tổng chủ biên. Từ «tuần hoàn» xuất hiện trong khái niệm “Số thập phân vô hạn tuần hoàn” ở bài 9: Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn trang 32 qua tình huống sau đây.

37 3 , 20 25

Ví dụ 1: Viết các phân số dưới dạng số thập phân.[...]

5 12 12 0,4166...

dưới dạng số thập phân. Ví dụ 2: Viết phân số

Ta có: 5,0 20 80 80 8 . . .



Phép chia này không bao giờ chấm dứt. Nếu cứ tiếp tục chia thì trong thương, chữ số 6 sẽ được lặp đi lặp lại. Ta nói rằng khi chia 5 cho 12, ta được một số (số 0,4166...), đó là một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số 0,4166...được viết gọn là 0,41(6). Kí hiệu (6) chỉ rằng chữ số 6 được lặp lại vô hạn lần. Số 6 gọi là chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,41(6)

17 11

Tương tự, = -1,5454... = -1,(54)

-1,(54) là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kỳ là 54. Ta thấy, trong số thập phân vô hạn tuần hoàn có một số các chữ số liên tiếp lặp

đi lặp lại vô hạn lần. Số tạo thành bởi các chữ số đó chính là chu kỳ.

Như vậy, trong SGK phổ thông, từ tuần hoàn luôn được sử dụng để mô tả một sự lặp đi lặp lại, một chu trình khép kín. Điều này dẫn chúng tôi đến việc đặt ra giả thuyết nghiên cứu sau mà tính thích đáng của nó sẽ được kiểm chứng trong chương 3 của luận văn.

Giả thuyết H1: Trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy chính thức ở lớp 11, khái niệm tuần hoàn đã tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại.

2.2. Hàm số tuần hoàn trong SGK Toán lớp 11

Tại thời điểm chúng tôi phân tích, ở trường phổ thông đang sử dụng ba bộ SGK theo hai chương trình khác nhau: chương trình chỉnh lí hợp nhất (CLHN) năm 2000 và chương trình thí điểm năm 2003.

Trong phần này, dựa trên cơ sở tham chiếu là các phân tích ở chương 1 và phân tích SGK Pháp, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các bộ SGK của cả hai chương trình nói trên. Mục đích là làm rõ việc trình bày khái niệm hàm số tuần hoàn, vai trò, chức năng của khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và các tổ chức toán học xung quanh chúng trong từng SGK. 2.2.1. SGK CLHN năm 2000 Tài liệu phân tích: + Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, NXBGD [V1] + Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo,

Ngô Thúc Lanh, 2000, NXBGD [P1]

+ Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh,

2000, NXBGD [E1]

Tương tự SGK Pháp, trước khi đưa ra định nghĩa hàm số tuần hoàn, SGK V1 đã trình bày các tính chất cơ bản của các hàm số lượng giác, trong đó có các đẳng thức sau:

(

k Z

k 

sin (x + k2) = sin x, cos(x + k2) = cos x với mọi x thuộc R

 )

 2

(

tg(x + k) = tg x với mọi x khác

  k k Z )

cotg(x + k) = cotg x với mọi x khác

Các tính chất này được được sử dụng trong các ví dụ và bài tập về tính giá trị

lượng giác của một góc cho trước, chẳng hạn, ví dụ 2 trang 22:

21  4

“Tính tg

21  4

   4 

 5   

 4 Hoặc ví dụ 3 trang 23: “Tính sin(-10500)

= tg = tg = 1”. Giải: Ta có: tg

1 2

Giải: Ta có: sin(-10500) = sin(300 – 3.3600) = sin 300 = ”.

Ta thấy, trước khi được trình bày một cách tường minh, tính chất tuần hoàn của hàm số đã được sử dụng ngầm ẩn để tính giá trị của nó. Như vậy, chức năng

“cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” đã được thể hiện ngầm ẩn thông qua các ví dụ cụ thể trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ chính thức xuất hiện.

Định nghĩa hàm số tuần hoàn được trình bày ở trang 25 như sau: “Một hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số

dương T sao cho, với mọi xD ta có: x +T  D và x -T  D (1) f(x+T) = f(x) (2) Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có tính chất trên được gọi chu kỳ của hàm

số tuần hoàn f(x)”.

Khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ được định nghĩa trên tập xác định D một cách tường minh. Đặc biệt, số T trong định nghĩa bị ràng buộc là một số dương. Chu kỳ của hàm số là số dương nhỏ nhất thỏa mãn hai tính chất 1), 2). Như vậy, các định nghĩa này có sự khác biệt rõ ràng so với SGK Pháp đã phân tích ở trên.

 vectơ v = (T; 0) có độ dài bằng T (chu kỳ của hàm số). Điều này cho thấy SGK V1 đã đề cập tường minh đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn giống như SGK Pháp. Đặc trưng này cho phép vẽ được toàn bộ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ.

Tiếp đó, SGK đã chứng minh đồ thị của hàm số tuần hoàn trên đoạn [a + T; a + 2T] là ảnh của phần đồ thị hàm số trên đoạn [a; a + T] trong phép tịnh tiến theo

 , 2 ,..., v

 2 ,... v

 v ,  

“Muốn vẽ đồ thị hàm số tuần hoàn chu kỳ T ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số này trên đoạn [a; a + T] sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo vectơ  v ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.”

Như vậy, chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ cũng đã được đề cập một cách tường minh. Để vẽ đồ thị của hàm số tuần hoàn, người ta chỉ cần nghiên cứu và vẽ đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ, sau đó sử dụng các phép tịnh tiến. Ở cấp độ tri thức khoa học, điều này chỉ được thể hiện ngầm ẩn trong [a] và [b].

Đặc trưng số của hàm số tuần hoàn (giá trị hàm số lặp lại trên những khoảng

cách đều) không được đề cập trong SGK.

● Tổ chức toán học gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn SGK này chỉ đề cập 2 kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số tuần

hoàn và chu kỳ của hàm số.

Kiểu nhiệm vụ T’1: “Chứng minh hàm số là tuần hoàn chu kỳ T” Ví dụ: bt 3 trang 35

“Chứng minh hàm số y = sin x là tuần hoàn với chu kỳ .

R

    và:

Giải. Hàm số f(x) = sin x có tập xác định là R.

f x (

sin(

sin

f x ( )



) 





) 

 



Ta có: x R

(1)

Vậy f(x) là hàm số tuần hoàn. Ta sẽ chứng minh chu kỳ của nó là , tức là 

là số dương nhỏ nhất thỏa mãn (1).

)

sin

x a 



Giả sử còn có số dương a < thỏa mãn (1) với mọi x, tức là

  ( x R )

a  hay sin a = 0

sin(

Cho x = 0 ta được sin

Suy ra: a = k (kZ)

Điều này trái với giả thiết 0 < a < . Vậy chu kỳ của hàm số đã cho là ”.

12 để giải quyết T’1 là:

Kĩ thuật

+ Chứng minh f(x + T) = f(x) với mọi x, kết luận hàm số là tuần hoàn + Chứng minh T là số dương nhỏ nhất thoả mãn đẳng thức trên.

Công nghệ 1 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số

1 :

Như vậy, đối với kiểu nhiệm vụ T’1, cùng dựa trên yếu tố công nghệ là

12 trong SGK này

Định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số nhưng kĩ thuật

11 trong SGK Pháp một bước. Đó là phải chứng minh thêm T

phức tạp hơn kĩ thuật

là số dương nhỏ nhất thoả mãn điều kiện f(x + T) = f(x).

Phân tích các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T’1 trong SGK cho thấy ràng buộc ngầm ẩn của thể chế đối với kiểu nhiệm vụ này là các hàm số được đề nghị luôn là

hàm số lượng giác cho bằng công thức và chu kỳ của chúng luôn luôn chứa . Các hàm số tuần hoàn được đề cập trong phần lí thuyết và trong các kiểu nhiệm vụ khác cũng luôn thể hiện ngầm ẩn sự ràng buộc đó. Như vậy, giáo viên có trách nhiệm chỉ

đưa vào các hàm số lượng giác mà chu kỳ của chúng có chứa . Do đó, chúng tôi dự đoán sự tồn tại ngầm ẩn của quy tắc hợp đồng sau đây về phía học sinh:

x sin ,

sin



 

RE1: “Chu kỳ của hàm số lượng giác phải là một biểu thức số chứa ” Kiểu nhiệm vụ T3: “Vẽ đồ thị hàm số” xuất hiện trong 2 bài tập của SGK với

3 hàm số, đó là các hàm số .

Trước hết, chúng tôi sẽ nhắc lại hai kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này đã

được đề cập trong [a] (Elementary mathematic).

• Kĩ thuật 31 :

+ Tìm mối quan hệ giữa hàm số được đề nghị với các hàm số đã biết đồ thị,

chẳng hạn như các hàm số lượng giác cơ bản.

+ Sử dụng các phép biến đổi đồ thị để suy ra đồ thị hàm số được yêu cầu. • Kĩ thuật 32 :

+ Tìm tập xác định của hàm số + Chứng minh hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn + Tìm chu kỳ của hàm số + Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ + Tịnh tiến phần đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài

bằng chu kỳ để suy ra toàn thể đồ thị hàm số.

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T3 trong SGK V1: + Các hàm số được cho đều là hàm số tuần hoàn. + Chúng được cho bằng công thức, hơn nữa, đó là các hàm số lượng giác có

liên quan đặc biệt với hàm số y = sin x.

31 và

có thể suy ra được từ đồ thị hàm số y = sin x. Do đó, cả hai kĩ thuật Từ các đặc trưng trên ta thấy, đồ thị của tất cả các hàm số được đề nghị đều 32 đều

vận hành được. Việc vận dụng kĩ thuật 31 sẽ hiệu quả hơn. Vậy thể chế mong muốn

giáo viên và học sinh sử dụng kĩ thuật nào?

Đối với hàm số y = sin x , câu hỏi đặt ra trong bài tập 3 trang 35 như sau:

“Chứng minh hàm số y = sin x là tuần hoàn với chu kỳ . Vẽ đồ thị hàm số.”

SGK đã đặt ra yêu cầu «chứng minh hàm số là tuần hoàn chu kỳ T» trước khi

yêu cầu vẽ đồ thị của hàm số. Liệu tính chất tuần hoàn chu kỳ  có được ứng dụng trong việc vẽ đồ thị của hàm số?

 và cho hình ảnh đồ thị của hàm số mà không có giải thích gì kèm theo. Chúng tôi

Lời giải trong SBT trình bày chi tiết phần chứng hàm số là tuần hoàn chu kỳ

32 đã được sử dụng tương tự như khi nghiên cứu hàm số y = sin x

dự đoán kĩ thuật

trong lí thuyết. Nghĩa là sau khi chứng minh được hàm số có chu kỳ , người ta

  ; 2 2

  

  

khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một chu kỳ, chẳng hạn, rồi sử dụng

phép tịnh tiến để suy ra toàn thể đồ thị.

sin



 

Khẳng định đó càng được củng cố hơn khi xem xét những bài toán còn lại

thuộc kiểu nhiệm vụ T3 này. Với các hàm số , ngay sau yêu

cầu vẽ đồ thị của chúng là câu hỏi: “Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa đồ thị của mỗi hàm số trên với đồ thị của hàm số y = sin x?”. Điều này chứng tỏ việc vẽ đồ thị của các hàm số trên hoàn toàn không cần dùng đến các phép biến đổi đồ thị. Cần thiết phải chứng minh hàm số là tuần hoàn, tìm chu kỳ, vẽ đồ thị hàm số trên một chu kỳ rồi sử dụng phép tịnh tiến để suy ra toàn thể đồ thị.

31 không hề được vận dụng để giải quyết kiểu nhiệm vụ T3 mặc dù

Kĩ thuật

32 . Như vậy, khi gặp kiểu

với các bài toán đã cho, kĩ thuật này vận hành tốt hơn

nhiệm vụ này, thể chế mong muốn giáo viên và học sinh sử dụng kĩ thuật 32 để giải

quyết. Ở đây, khái niệm tuần hoàn và chu kỳ đóng vai trò công cụ.

Trong chương trình Giải tích lớp 12, thuật ngữ tuần hoàn được nhắc đến duy nhất một lần khi người ta đề cập đến các bước khảo sát và vẽ đồ thị một hàm số. Bên cạnh việc xét tính đơn điệu, lập bảng biến thiên (một bước không thể thiếu trong quy trình khảo sát và vẽ đồ thị hàm số) người ta có đưa vào bước xét tính tuần hoàn của hàm số.

Mặc dù vậy, dường như bước này chỉ được đưa vào cho “có lệ”. Trong toàn bộ chương trình lớp 12 không xuất hiện hàm số nào được đề nghị khảo sát và vẽ đồ thị mà lại là hàm số tuần hoàn. Điều đó cho phép giáo viên và học sinh không cần quan tâm đến bước xét tính tuần hoàn của một hàm số cần khảo sát và vẽ đồ thị. Ngược lại, vấn đề này đã từng được nhấn mạnh trong SGK Lượng giác trước đây.

Bảng 2.2. Thống kê số lượng bài tập và ví dụ liên quan đến hàm số tuần hoàn.

Số bài tập và ví dụ Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Bài tập

2 2 T’1

0 0 T2

4 2 T3

6 4 Tổng

♦ Kết luận Trong SGK này, hàm số tuần hoàn được định nghĩa trên tập xác định D với

chu kỳ là số dương nhỏ nhất thỏa mãn f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D.

Mặc dù SGK có đưa vào định nghĩa tổng quát về hàm số tuần hoàn cũng như nhấn mạnh đặc trưng đồ thị và lợi ích của nó nhưng số lượng bài tập liên quan đến hàm số tuần hoàn và chu kỳ rất ít. Tổng số chỉ có 4 bài tập liên quan đến hàm số tuần hoàn. Đặc biệt, SBT tương ứng không có đề nghị thêm bất cứ bài tập nào như vậy. Đặc trưng số của hàm số tuần hoàn thì hoàn toàn vắng bóng.

Tất cả các hàm số tuần hoàn chỉ xuất hiện dưới một hình thức biểu diễn duy nhất là biểu thức giải tích. Hơn nữa, đó là các hàm số lượng giác với chu kỳ luôn

luôn chứa . Do đó, chúng tôi dự đoán tồn tại ngầm ẩn quy tắc hợp đồng sau về phía học sinh:

và học sinh sử dụng kĩ thuật RE1: “Chu kỳ của hàm số lượng giác phải là một biểu thức số chứa ” Đối với kiểu nhiệm vụ T3: “Vẽ đồ thị hàm số”, thể chế mong muốn giáo viên 32 để giải quyết mặc dù trong các trường hợp đã cho,

kĩ thuật 31 có khả năng vận hành tốt hơn.

Chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ chủ yếu thể hiện ở sự cho phép giới hạn khoảng nghiên cứu hàm số và suy ra đồ thị của các hàm số lượng giác cơ bản bằng phép tịnh tiến. SGK có đề cập đến vai trò «công cụ» của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ thông qua kiểu nhiệm vụ T3. 2.2.2. SGK thí điểm năm 2003 Trong chương trình thí điểm có hai bộ SGK được lưu hành song song. Bộ sách thứ nhất do tác giả Đoàn Quỳnh làm tổng chủ biên và bộ sách thứ hai của nhóm tác giả Trần Văn Hạo.

Dựa vào việc phân tích bộ sách thứ nhất, chúng tôi sẽ so sánh và chỉ đề cập đến một số nét khác biệt trong việc trình bày về hàm số tuần hoàn ở bộ sách thứ hai.

2.2.2.1. Bộ sách thứ nhất + Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Bộ 1, SGK thí điểm, Đoàn Quỳnh (tổng

chủ biên), 2003, NXBGD [V2].

+ SGV Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Bộ 1, SGK thí điểm, Đoàn Quỳnh

(tổng chủ biên), 2003, NXBGD [P2].

+ SBT Đại số và giải tích 11, Bộ 1, SGK thí điểm, Đoàn Quỳnh (tổng chủ

biên), 2003, NXBGD [E2]

Tương tự SGK V1 của thời kỳ trước, trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn

xuất hiện thì ở lớp 10, các tính chất sin(x + k2) = sin x, cos (x + k2) = cos x,

tg(x + k) = tg x, cotg (x + k) = cotg x (với mọi x làm cho biểu thức xác định) đã được giới thiệu và áp dụng để tính giá trị lượng giác của các góc.

SGK V2 trình bày khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ trong chương 1:

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.

Đầu tiên, SGK đưa vào tính chất tuần hoàn và chu kỳ của hàm số y = sin x

như sau:

“Ta đã biết với mỗi số nguyên k, số k2 thỏa mãn sin (x + k2) = sin x với

mọi x.

Ngược lại có thể chứng minh rằng số T sao cho sin(x + T) = sin x với mọi x

phải có dạng T = k2, k là một số nguyên.

Rõ ràng trong các số dạng k2 (k Z), số dương nhỏ nhất là 2.

Vậy đối với hàm số y = sin x, số T = 2 là số dương nhỏ nhất thỏa mãn

sin (x + T) = sin x với mọi x (**)

Ta nói hàm số đó là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2”. Tiếp đó, SGK đưa ra nhận xét:

“Từ tính chất tuần hoàn với chu kỳ 2, ta thấy giá trị các hàm số y = sin x,

y = cos x hoàn toàn được xác định khi biết giá trị của chúng trên một đoạn có độ dài 2. Nói cách khác, khi biết giá trị của hàm số y = sin x, y = cos x trên một

đoạn có độ dài 2, thì ta tính được giá trị của chúng tại mọi x. Khi biến số được

cộng thêm 2thì giá trị của hàm số trở về như cũ (điều này giải thích từ “tuần

hoàn”).”

Như vậy, từ tuần hoàn cũng mang nghĩa là một sự lặp đi lặp lại. Khi biến số được cộng thêm T (chu kỳ) thì giá trị hàm số trở lại như cũ. Nhận xét này cũng thể hiện đặc trưng số của hàm số tuần hoàn như đã được trình bày trong SGK Pháp. SGK Pháp trình bày đặc trưng này cho một hàm số tuần hoàn tổng quát còn SGK V2 đề cập cho các hàm số cụ thể là hàm sin và hàm cosin.

SGK đã nhấn mạnh có thể tính giá trị của hàm số tại một điểm bất kì khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Như vậy, chức năng “cho

phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ đã được đề cập một cách tường minh.

Tuy nhiên, trong SGK, không có một ví dụ hay bài tập nào minh họa cho chức năng này của khái niệm tuần hoàn. Nó chỉ xuất hiện ngầm ẩn trong phần Lượng giác được trình bày ở lớp 10 trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn, chu kỳ chính thức được đề cập.

Đặc trưng đồ thị, lợi ích của việc nghiên cứu tính tuần hoàn từ quan điểm đồ thị không được đề cập tường minh. Đối với hàm số y = sin x, sau khi chỉ ra chu kỳ

của nó là 2, SGK vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [-;] và đồ thị hàm số trên R mà không có một sự giải thích nào. Như vậy, chức năng “cho phép vẽ đồ thị hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” và chức năng “giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” của khái niệm tuần hoàn không được đề cập.

Ngoài ra, SGK có đưa vào nhận xét sau:

  ; 2 2

  

  

"Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng . Từ đó, do tính chất tuần



k Z 

2 ; 

hoàn với chu kỳ 2, hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng

   2

 2

  

 2   

”.

Ta thấy, SGK đã chú ý đến việc sử dụng tính chất tuần hoàn để suy ra sự biến thiên của hàm số trên một khoảng. Điều này chưa hề được đề cập tường minh trong các SGK đã phân tích ở trên. Nhận xét của SGK thể hiện ngầm ẩn tính chất về sự biến thiên của hàm số tuần hoàn:

“Giả sử f là hàm số tuần hoàn chu kỳ T.

Nếu f đồng biến trên khoảng (a; b) thì f đồng biến trên khoảng (a + T; b + T) Nếu f nghịch biến trên khoảng (a; b) thì f nghịch biến trên khoảng (a + T; b + T)” Tính chất này dẫn đến một chức năng khác của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ - chức năng “cho phép suy ra sự biến thiên của hàm số khi biết sự biến thiên của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ”.

Định nghĩa tổng quát về hàm số tuần hoàn chu kỳ T được trình bày ở cuối bài để tổng kết lại và tổng quát hóa tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác cơ bản. SGV P2 giải thích sự trình bày này có mục đích làm giảm nhẹ tính “hàn lâm”. Định nghĩa này tương tự như định nghĩa đã được trình bày trong giáo trình [b] đã phân tích ở chương 1. Sau đó, SGK giới thiệu đồ thị của các hàm số tuần hoàn y =

x 2

2sin 2x, y = sin và một hàm số không có công thức biểu diễn tương ứng. Đồ thị

của hàm số này là một đường gấp khúc tương tự trong SGK Pháp, điều này là hoàn toàn mới mẻ so với SGK V1.

,  là các hằng số, A,  khác 0.

Như vậy, mặc dù cách cho hàm số bằng biểu thức giải tích vẫn chiếm ưu thế nhưng đã có sự xuất hiện của một hàm số tuần hoàn cho bằng đồ thị và không phải hàm lượng giác. Tuy nhiên, nó cũng chỉ có tính chất minh họa cho định nghĩa hàm số tuần hoàn chứ chưa phải là đối tượng để nghiên cứu, làm toán. Trong phần bài tập sau đó, hình thức biểu diễn hàm số bằng đồ thị hoàn toàn vắng bóng.

 x 

+ B với A, B, SGK giới thiệu bài đọc thêm về “Dao động điều hòa” trong đó có nhiều ví dụ về các hiện tượng tự nhiên mang tính tuần hoàn (lặp đi, lặp lại sau khoảng thời gian xác định) như: chuyển động của các hành tinh, thời tiết của các mùa trong năm, quả lắc đồng hồ,... Hàm số mô tả dao động điều hòa được đề cập tới là hàm: y = A  sin

Mục “Em có biết” giới thiệu về âm thanh có dao động tuần hoàn theo thời gian. Những vấn đề này góp phần làm cho toán học gần gũi hơn với các lĩnh vực khác trong cuộc sống, cho phép học sinh hiểu hơn về nghĩa của khái niệm tuần hoàn. Đây là một trong những điểm mấu chốt của tinh thần đổi mới theo chương trình thí điểm. Yêu cầu của chương trình là:

“Đảm bảo tính liên môn sao cho các môn học hỗ trợ lẫn nhau, tránh trùng lặp, mâu thuẫn. Gắn nội dung của SGK với thực tiễn cuộc sống nhưng không làm cho việc học tập trở nên nặng nề”.( SGV P2, trang 10).

● Tổ chức toán học liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn Trong chương trình thí điểm, các bài tập trong SBT là không bắt buộc đối với học sinh. Do đó, khi phân tích tổ chức toán học liên quan đến hàm số tuần hoàn, chúng tôi sẽ tách riêng các bài tập trong SGK và SBT.

* Trong SGK Kiểu nhiệm vụ T’1: «Chứng minh một hàm số là tuần hoàn chu kỳ T» (dấu vết của kiểu nhiệm vụ T1) không được trình bày một cách tường minh. Qua việc phân tích các bài tập, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T’’1 sau đây chiếm ưu thế trong SGK (chiếm 5/11 bài tập).

T’’1: “Cho hàm số y = f(x). Chứng minh với mỗi số nguyên k, f(x + kT) =

f(x) với mọi x”

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T’’1: + Các hàm số được cho đều là các hàm lượng giác

+ T là biểu thức luôn có chứa  (ngoại trừ một bài tập duy nhất trong phần ôn

tập chương mà chúng tôi sẽ đề cập sau).

+ Chu kỳ của hàm số chính là T (ứng với k = 1)

x 2

Ví dụ (bt13 trang 16): “Cho hàm số y = f(x) = cos .

( f x

cos

(

cos(

cos

( ) f x













4 ) 

2 ) 

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x + k4) = f(x) với mọi x.

x 2

1 2

x 2

Giải. ”

1 : - Tính f(x + kT)

Kĩ thuật

- Sử dụng tính tuần hoàn chu kỳ 2 của hàm số y = sin x hoặc y =

cos x để suy ra f(x + kT) = f(x) với mọi x.

1 : Định lí về tính chất tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số y = sin

Công nghệ

x, y = cos x.

Kiểu nhiệm vụ T’’1 chính là vết của kiểu nhiệm vụ T’1: “Chứng minh hàm số

là tuần hoàn chu kỳ T”. Thật vậy, định nghĩa hàm số tuần hoàn trong SGK là:

“Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu

có số T  0 sao cho với mọi xD ta có: x + TD, x - TD và f(x + T) = f(x)”.

Do đó, nếu với mỗi số nguyên k, f(x + kT) = f(x) với mọi x thì hiển nhiên hàm

số đã cho là tuần hoàn (bằng cách chọn k là một số nguyên cụ thể).

Tại sao SGK không đưa vào kiểu nhiệm vụ T’1 mà chỉ có kiểu nhiệm vụ T’’1? Theo chúng tôi, noosphère muốn tránh nhắc đến tính tuần hoàn, chu kỳ của hàm số. Hơn nữa là tránh việc chứng minh một số T là chu kỳ của hàm số. Đây là một vấn đề không dễ đối với học sinh. SGK Pháp cũng đã tránh việc chứng minh đó bằng cách định nghĩa chu kỳ của hàm số khác với SGK Việt Nam.

Mặt khác, sự xuất hiện nhiều bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T’’1 (có yếu tố công nghệ là tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số sin x và cos x) cho thấy thể chế mong muốn học sinh nắm được tính tuần hoàn và chu kỳ của hai hàm số này. Định nghĩa tổng quát về hàm số tuần hoàn và chu kỳ không đóng vai trò gì ở đây.

Trường hợp ngoại lệ mà chúng tôi đề cập ở trên là bt 57 trang 59 sau đây:

“Xét hàm số y = f(x) = sin x .

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên chẵn m ta có f(x + m) = f(x) với mọi x”. Đây là bài toán duy nhất trong SGK thuộc kiểu nhiệm vụ T’’1 mà số T cho

trước không chứa . Chu kỳ của hàm số là 2. Tuy nhiên, SGK không đề cập tường

minh đến chu kỳ của hàm số. Do đó, chúng tôi dự đoán quy tắc hợp đồng RE1:

“Chu kỳ của hàm số lượng giác phải là một biểu thức số chứa ” vẫn tồn tại ngầm ẩn ở học sinh.

Từ đặc trưng của các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T’’1 cho thấy ràng buộc ngầm ẩn của thể chế đối với kiểu nhiệm vụ này là số T chính là chu kỳ của hàm số. Như vậy, thể chế mong muốn giáo viên khi đề cập đến các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ này, số T luôn là chu kỳ của hàm số. Kiểu nhiệm vụ T3: “Vẽ đồ thị hàm số” Khác với SGK V1 ở thời kỳ trước, một số các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ

T3 trong SGK này luôn luôn có kèm theo yêu cầu sử dụng phép biến đổi đồ thị.

Chẳng hạn, bt 11 trang 16: “Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy suy ra đồ thị hàm

số y = - sin x, y = sin x , y = sin x ”

Hay bt 12 trang 16: “Từ đồ thị hàm số y = cos x, hãy suy ra đồ thị hàm số y =

 x  4 

  

. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không?” cos x + 2, y = cos

Các bài toán trên đều yêu cầu sử dụng phép biến đổi đồ thị. Việc xem xét tính tuần hoàn của các hàm số chỉ được đặt ra sau khi yêu cầu vẽ đồ thị hàm số đã được thực hiện. Điều này chứng tỏ tính chất tuần hoàn và chu kỳ của hàm số không có vai trò gì trong việc giải quyết các bài toán trên.

 ( j

Thật vậy, lời giải câu a) bt 12 trang 16 trong SGV P2 như sau: “Đồ thị hàm số y = cos x + 2 có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cos x

 lên trên một đoạn có độ dài bằng 2, tức là tịnh tiến theo vectơ 2 j

là vectơ đơn

vị của trục tung)”.

Như vậy, kĩ thuật 31 đã được sử dụng để giải quyết bài toán này.

31 là

Đặc trưng của các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T3 mà sử dụng kĩ thuật

trong yêu cầu của bài toán có nêu rõ phải sử dụng đồ thị của một hàm số khác để suy ra đồ thị hàm số cần vẽ. Vậy nếu trong bài toán không có yêu cầu trên thì kĩ thuật nào sẽ được ưu tiên để giải quyết T3?

Xét bt 6 trang 15 sau đây: “Cho hàm số y = f(x) = 2sin 2x

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x + k) = f(x) với mọi x

 2

b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin 2x trên đoạn [- ; ]

c) Vẽ đồ thị hàm số y = 2sin 2x” Như đã phân tích ở trên, câu a) của bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T’’1. Việc chứng minh câu a) đã ngầm ẩn chứng tỏ hàm số đã cho là tuần hoàn. Ràng buộc của

thể chế đối với bài toán là T =  chính là chu kỳ của hàm số. Do đó, yêu cầu ở câu b) chính là lập bảng biến thiên của hàm số trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ.

Lời giải trong SGV không đề cập đến chu kỳ của hàm số. Tuy nhiên, sau khi

 2

khảo sát sự biến thiên của hàm số trên đoạn [- ], đồ thị được cho như sau: ;

y

x

-3/2

-

-/2

/2



3/2

-2

-4

Làm thế nào mà SGV P2 có được đồ thị trên đoạn [-;]? Chúng tôi dự đoán có hai khả năng xảy ra:

 i

 2

+ Tịnh tiến phần đồ thị trên đoạn [- ] theo các vectơ , - . ;

+ Dựa vào tính chất đồ thị hàm số là một đường hình sin để vẽ. Dù xảy ra khả năng nào cũng chứng tỏ rằng SGV P2 đã sử dụng đến tính tuần

hoàn của hàm số. Như vậy, kĩ thuật 32 đã được vận dụng một cách ngầm ẩn.

Như vậy, trong SGK này kiểu nhiệm vụ “Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số2” đã

được phân nhỏ thành 3 kiểu nhiệm vụ cụ thể sau:

2 Trong tri thức khoa học và trong SGK V1, kiểu nhiệm vụ T3: “Vẽ đồ thị hàm số” được hiểu là “Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”.

+ Chứng minh hàm số là tuần hoàn (dưới dạng T’’1) + Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ + Vẽ đồ thị hàm số Theo chúng tôi, việc phân thành 3 kiểu nhiệm vụ trên cũng nhằm mục đích tránh dùng đến thuật ngữ tuần hoàn và chu kỳ của hàm số, tránh việc chứng minh một số T là chu kỳ của hàm số. Như vậy, chức năng giới hạn khoảng khảo sát hàm

số, suy ra đồ thị của hàm số bằng phép tịnh tiến của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ không được đề cập tường minh trong SGK.

Kiểu nhiệm vụ T5: “Xem xét tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số trên

khoảng (a; b) cho trước”

Ví dụ: Hoạt động 4 trang 9:

“Hỏi khẳng định sau có đúng không? Vì sao? Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (0; ) và nghịch biến trên mỗi

khoảng (k2; (2k + 1)), k là số nguyên.

Trả lời. Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng (0; ), từ đó do tính chất tuần hoàn với chu kỳ 2, nó nghịch biến trên mọi khoảng

(k2; (2k + 1)), k là số nguyên.”

Kĩ thuật 5 tương ứng với kiểu nhiệm vụ T5:

+ Phân tích a, b theo chu kỳ T của hàm số, chẳng hạn a = m + kT, b = n + kT + Xét xem trên khoảng (m; n) hàm số đồng biến hay nghịch biến. + Kết luận về tính đồng biến (hay nghịch biến) của hàm số trên khoảng (a; b)

5 : Tính chất biến thiên của hàm số tuần hoàn.

Công nghệ

Yếu tố công nghệ này hoàn toàn vắng mặt trong SGK. Chức năng “cho phép suy ra sự biến thiên của hàm số khi biết sự biến thiên của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ đã được đề cập một cách ngầm ẩn. Kiểu nhiệm vụ này cũng thể hiện được một phần vai trò công cụ của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ trong việc giải toán.

* Trong SBT Kiểu nhiệm vụ T’1: “Chứng minh hàm số tuần hoàn chu kỳ T” chiếm ưu

thế với số lượng 5/ 9 bài toán. Chẳng hạn, bt 1.6 trang 7 sau đây:

Từ tính chất của hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2, hãy

sin (

y A 



x )   

chứng minh rằng :

A B  là hằng số,

A là một hàm

a) Hàm số với

2 

cos (

y A 



x )   

số tuần hoàn với chu kỳ

A B là hằng số,

A là một hàm số

với b) Hàm số

2 

tuần hoàn với chu kỳ

Các hàm số trên chính là các hàm số mô tả dao động điều hòa mà SGK đã đưa

(

x R

x T

) 

x ),  

x )  

vào trong bài đọc thêm. Lời giải câu a) trong SBT như sau:

 ) = A sin (

  . Đặt (

 u

)

k T

2 

T



“Giả sử A sin(

  . Suy ra,

2  



2 )     

x  )

Ta được sin ( u = sin u, u R hay , k nguyên.

2  

   

  

  

   

Ngược lại, A sin = A sin ( = A sin ( .

2 

(

x R

x T

) 

x ),  

 ) = A sin (

  . Do đó, ta có điều phải chứng minh”.

là số dương bé nhất thỏa mãn: Vậy số T =

A sin(

13 để giải quyết kiểu nhiệm vụ T’1 là:

Từ lời giải trên, có thể rút ra kĩ thuật

+ Chứng minh nếu f(x + T0) = f(x) với mọi x thì T0 = kT, k là số nguyên. + Chứng minh với mọi số nguyên k thì f(x + kT) = f(x) với mọi x

+ Kết luận hàm số là tuần hoàn và T là chu kỳ của hàm số.

13 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kỳ.

Công nghệ

Kiểu nhiệm vụ T2: “Tìm chu kỳ của hàm số” Ví dụ: bt 1.7 trang 7:

“Chứng minh rằng các hàm số sau là hàm số tuần hoàn, tìm chu kỳ của mỗi

y = sin22x + 1 y = cos2x – sin2x y = cos2x + sin2x”

sin (

y A 

x )   

 và dựa vào kết quả của bài 1.6

hàm số. a) b) c) Lời giải trong SBT cho thấy kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này là biến đổi

các hàm số đã cho về dạng

trang 7 ở trên để kết luận về chu kỳ của chúng. Đặc biệt, hàm số ở câu c) là một hàm hằng, do đó nó là hàm số tuần hoàn nhưng không có chu kỳ.

Như vậy, trong SBT, các kiểu nhiệm vụ chứng minh hàm số tuần hoàn chu kỳ

T, tìm chu kỳ hàm số được đề cập một cách tường minh.

Kiểu nhiệm vụ T3: “Vẽ đồ thị hàm số” chỉ xuất hiện trong hai toán của SBT.

Một bài toán được giải quyết dựa vào kĩ thuật 31 , bài còn lại dựa vào kĩ thuật 32 .

Bảng 2.3. Thống kê số lượng bài tập trong SGK và SBT

liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn

Số bài tập Kiểu nhiệm vụ SGK SBT

0 5 T’1

5 0 T’’1

0 2 T2

5 2 T3

1 0 T5

11 9 Tổng

♦ Kết luận Khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ được định nghĩa tương tự trong SGK V1. Điểm khác biệt duy nhất là số T trong định nghĩa hàm số tuần hoàn chỉ bị ràng buộc bởi điều kiện khác 0 thay vì T > 0 như trong SGK V1.

Bảng thống kê số lượng bài tập ở trên cho thấy kiểu nhiệm vụ chiếm ưu thế

trong SGK là T’’1 và T3. Các kiểu nhiệm vụ T’1, T2 chỉ xuất hiện trong SBT.

Kiểu nhiệm vụ T’’1: “Cho hàm số y = f(x). Chứng minh với mỗi số nguyên k, f(x + kT) = f(x) với mọi x” đề cập đến tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác một cách ngầm ẩn. Số T luôn bị ràng buộc chính là chu kỳ của hàm số.

31 ,

Các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T3 hoặc được yêu cầu sử dụng kĩ thuật

32 ngầm ẩn) để

hoặc được chia nhỏ thành 3 kiểu nhiệm vụ cụ thể (sử dụng kĩ thuật

tránh việc nhắc đến tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số.

Như vậy, mặc dù các kiểu nhiệm vụ T’’1 và T3 đều có liên quan đến tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số nhưng thuật ngữ tuần hoàn và chu kỳ hoàn toàn vắng bóng trong đề toán. Điều này cho thấy trong SGK, tính chất tuần hoàn và chu kỳ của hàm số không phải là đối tượng để nghiên cứu. Thật vậy, ở trang 22, SGV có lưu ý như sau:

“Tuần hoàn là tính chất nổi bật của các hàm số lượng giác nên mặc dù chương trình không yêu cầu trình bày tổng quát về hàm số tuần hoàn, các tác giả vẫn giới thiệu định nghĩa hàm số tuần hoàn nhằm nhắc nhở học sinh chú ý tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác”.

Qua lưu ý này và qua việc phân tích các bài tập trong SGK cho thấy thể chế mong muốn giáo viên trình bày định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kỳ như một sự tổng kết tính chất chung của các hàm số lượng giác. Đối với học sinh, thể chế mong muốn họ nắm được tính chất tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số lượng giác cơ bản.

Học sinh không có trách nhiệm nắm vững và vận dụng định nghĩa tổng quát về hàm số tuần hoàn và chu kỳ trong việc giải toán.

Vì vậy, các đặc trưng của hàm số tuần hoàn cũng không được trình bày một cách tường minh trong SGK. Chỉ có đặc trưng số được nhắc đến khi SGK đề cập đến tính chất tuần hoàn của hàm số y = sin x và y = cos x. Đặc trưng đồ thị hoàn toàn vắng bóng. Do đó, chỉ có chức năng “cho phép tính giá trị hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ được đề cập tường minh. Các chức năng khác được thể hiện ngầm ẩn trong phần lí thuyết khi SGK khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác cơ bản. Đặc biệt SGK này có đề cập đến kiểu nhiệm vụ T5 thể hiện chức năng “cho

phép suy ra sự biến thiên của hàm số khi biết sự biến thiên của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn.

Các hàm số tuần hoàn được nghiên cứu vẫn chỉ xuất hiện dưới một hình thức

biểu diễn là biểu thức giải tích và là hàm số lượng giác có chu kỳ chứa . Điều này cho phép dự đoán quy tắc hợp đồng RE1 cũng tồn tại ngầm ẩn ở học sinh.

Vai trò công cụ của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ không được nhấn mạnh. Nó chỉ được thể hiện ngầm ẩn qua việc nghiên cứu các hàm số sin x, tg x và các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T5. 2.2.2.2. Bộ sách thứ hai + Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Bộ 2, SGK thí điểm, Trần Văn Hạo (tổng

chủ biên), 2003, NXBGD [V3].

+ SGV Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Bộ 2, SGK thí điểm, Trần Văn Hạo

(tổng chủ biên), 2003, NXBGD [P3].

+ Bài tập Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Bộ 2, SGK thí điểm, Trần Văn

Hạo (tổng chủ biên), 2003, NXBGD [E3].

Trong SGK V3, tính tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số lượng giác được đưa

vào thông qua hoạt động sau:

“Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các

hàm số sau:

a) y = sin x b) y = tg x” Sau đó, SGK đưa ra chu kỳ của hàm số y = sin x:

  (1). Hàm số y = sin x thỏa mãn đẳng thức (1)

“Người ta chứng minh được rằng T = 2 là số dương nhỏ nhất thỏa mãn

đẳng thức: sin (x + T) = sin x, x R

được gọi là tuần hoàn và 2 được gọi là chu kỳ của nó.

Tương tự: Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2. Các hàm số

y = tg x và y = cotg x là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ .”

Như vậy, chu kỳ của hàm số y = sin x cũng là số T dương nhỏ nhất thỏa mãn

sin (x + T) = sin x với mọi x thuộc R.

Tính tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số y = cos x, y = tg x, y = cotg x cũng

được trưng ra mà không có một sự giải thích nào kèm theo trong bài học.

Định nghĩa tổng quát về khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ không được trình bày trong phần bài học. Do đó, các đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn cũng không được đề cập tới .

Với hàm số y = sin x, SGK khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên

đoạn [0;] rồi suy ra đồ thị hàm số trên đoạn [-;] nhờ tính chất hàm số lẻ. Đồ thị trên R được trình bày như sau:

x R

k Z

    . Vì vậy, ta có đồ thị hàm số y = sin x trên toàn bộ tập xác định

“Hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2, nghĩa là sin (x + k2) =

sin x,

R của nó bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số trên đoạn [-;] song song với trục

hoành từng đoạn có độ dài 2”.

Như vậy, chức năng “cho phép suy ra đồ thị hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ được đề cập tường minh đối với hàm số y = sin x. Ở trang 22, SGV P3 giải thích:

“Trước đây, trong các SGK về lượng giác thường trình bày khá đầy đủ về tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác, rồi đi kèm với những bài tập tìm chu kỳ của các hàm số lượng giác khác nhau. Trình bày như vậy rất nặng nề, hơn nữa mức độ trình bày chi tiết như vậy là không cần thiết đối với học sinh…SGK dẫn tới khái niệm hàm số tuần hoàn một cách trực giác,…”.

Tất cả những vấn đề tổng quát về khái niệm hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số đều được đưa vào trong Bài đọc thêm phía sau bài học. Ở đó, SGK trình bày định nghĩa hàm số tuần hoàn, chu kỳ của hàm số tương tự trong SGK V2. SGK cũng chứng minh đồ thị của hàm số tuần hoàn lặp lại trên từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ và giới thiệu một số ví dụ về các hàm số tuần hoàn khác các hàm số

lượng giác. Tuy nhiên, không có một ví dụ thực tiễn nào được nêu ra cũng như việc mô tả, giải thích thuật ngữ “tuần hoàn” là sự lặp lại cũng hoàn toàn vắng bóng. Tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số y = sin x và y = tg x được nêu lại trong các định lí kèm theo các chứng minh trong Bài đọc thêm này.

● Tổ chức toán học liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn Trong SGK này chỉ xuất hiện duy nhất một bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ

T’’1: “Cho hàm số y = f(x). Chứng minh với mỗi số nguyên k ta luôn có f(x + kT) = f(x)”. Đó là bt 4 trang 18 sau đây:

“Chứng minh rằng sin 2(x + k) = sin 2x với mọi số nguyên k. Từ đó, vẽ đồ

thị của hàm số y = sin 2x”.

Bài toán này thể hiện đầy đủ các đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T’’1 mà chúng tôi đã phân tích trong SGK V2. Đặc biệt, điều cần nhấn mạnh lại là số T bị ràng buộc chính là chu kỳ của hàm số.

Ngoài ra, bài toán này cũng chứa kiểu nhiệm vụ T3: “Vẽ đồ thị hàm số”. Yêu

cầu vẽ đồ thị được đặt ra sau yêu cầu chứng minh đẳng thức sin 2(x + k) = sin 2x chứng tỏ thể chế mong muốn giáo viên và học sinh áp dụng kĩ thuật 32 .

Thật vậy, lời giải trong SGV P3 trang 26 như sau:

“Ta có sin 2(x + k) = sin (2x + k2) = sin 2x, k  Z. Từ đó, ta suy ra hàm

số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ .

Hơn nữa y = sin 2x là hàm số lẻ. Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x trên

 2

  ; 2 2

đoạn [0; ] rồi lấy đối xứng qua O được đồ thị trên đoạn [- ]. Cuối cùng tịnh

tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài , ta được đồ thị của hàm số y = sin

2x trên R”.

Làm thế nào kết luận được  là chu kỳ của hàm số? Có phải chu kỳ được chọn chính là số T, tương ứng với k = 1 do ràng buộc của thể chế hay việc lí giải đó thuộc về trách nhiệm của giáo viên?

Kiểu nhiệm vụ T2 (Tìm chu kỳ của hàm số) không xuất hiện độc lập trong

SGK mà nó chỉ xuất hiện trong kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T3 nói trên.

Tuy vậy, xem xét SGV P3 chúng tôi nhận thấy tồn tại một sự mâu thuẫn. Ở

“Chứng minh chặt chẽ một số T > 0 là chu kỳ của hàm số tuần hoàn y = f(x) là việc làm khó. Chương trình quy định không yêu cầu trình bày lí thuyết tổng quát về

trang 10, P3 nhấn mạnh:

hàm số tuần hoàn. Tuy nhiên, giáo viên nên hướng dẫn học sinh cách tìm chu kỳ của một số hàm số tuần hoàn dựa trên chu kỳ của các hàm số quen thuộc.

 4

2  3













Chẳng hạn, hàm số y = sin (3x - ) có chu kỳ là vì:

 4

  

 sin 3  

 2   

 sin 3  

  

 sin 3  

2        3 4  

[..]”

Ta thấy, từ việc chứng minh đẳng thức f(x + T) = f(x) nhờ vào chu kỳ của hàm

2  3

số y = sin x, SGV kết luận T = chính là chu kỳ của hàm số đã cho. Tính dương

và nhỏ nhất của số T hoàn toàn không được đề cập tới. Phải chăng khái niệm chu kỳ ở đây được xem như khái niệm chu kỳ trong SGK Pháp?

Trong phần lí thuyết, khi trưng ra chu kỳ của các hàm số lượng giác cơ bản, tính dương và nhỏ nhất của chu kỳ cũng chỉ được lưu ý duy nhất với trường hợp hàm số y = sin x. Điều này cho phép chúng tôi dự đoán sự tồn tại ngầm ẩn của quy tắc hợp đồng sau về phía học sinh:

RE2: “Nếu hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện f(x + T) = f(x) với mọi x thì f(x)

là hàm số tuần hoàn chu kỳ T”

Do đó, khi tìm chu kỳ của hàm số, học sinh không quan tâm đến tính dương và

nhỏ nhất của nó.

Tất cả các hàm số lượng giác được đề cập trong phần lí thuyết và phần bài tập

đều là hàm số cho bằng công thức và chu kỳ có chứa . Như vậy, có khả năng quy tắc hợp đồng RE1 vẫn tồn tại.

Kiểu nhiệm vụ T5: “Xem xét tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số trên

khoảng (a, b) cho trước” chỉ xuất hiện trong duy nhất một bài toán của SBT.

Bảng 2.4. Thống kê số lượng bài tập liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn.

Số bài tập Kiểu nhiệm vụ SGK SBT

2 1 T’’1

0 0 T2

1 2 T3

1 0 T5

4 3 Tổng

♦ Kết luận Nói chung, các vấn đề về hàm số tuần hoàn được trình bày trong SGK này rất sơ lược. Trong phần bài học, không có định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kỳ, không có đặc trưng đồ thị và đặc trưng số của hàm số tuần hoàn. Tất cả những vấn đề đó được đưa vào trong bài đọc thêm. SGK chỉ trưng ra tính tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số lượng giác cơ bản như một tính chất đặc trưng của chúng và phục vụ cho việc đưa vào đồ thị của các hàm số đó.

Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ xuất hiện rất ít trong SGK. Tổng cộng chỉ có 2 bài toán thuộc vào các kiểu nhiệm vụ T’’1 và T3. Điều đó cho thấy chức năng, vai trò của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ trong SGK này rất mờ nhạt. Chức năng “cho phép suy ra đồ thị hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ được đề cập đối với hàm số y = sin x và được vận dụng để giải quyết một bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T3. Các chức năng còn lại không được thể hiện trong SGK.

2.3. Khái niệm tuần hoàn trong sách giáo khoa Vật lí

Bài đọc thêm trong SGK V2 đã giới thiệu sơ lược về một số hiện tượng tuần hoàn trong tự nhiên như đu quay, guồng nước quay, quả lắc đồng hồ,...Phân tích ở chương 1 cho thấy các hiện tượng tuần hoàn thường xuất phát từ việc nghiên cứu các hiện tượng vật lí. Giáo trình Vật lí ở bậc đại học cũng đề cập đến một số dao động tuần hoàn. Vậy ở trường phổ thông, học sinh có được học về các hiện tượng tuần hoàn trong vật lí không? Có sự nối khớp nào giữa khái niệm tuần hoàn trong Vật lí và trong toán học?

Để trả lời các câu hỏi trên và cũng là để tìm hiểu thêm lí do tồn tại của khái niệm hàm số tuần hoàn trong chương trình Toán THPT, chúng tôi đã xem xét SGK Vật lí lớp 12 của chương trình CLHN năm 2000 và rút ra được một số ghi nhận sau: Thuật ngữ tuần hoàn xuất hiện trong khái niệm dao động tuần hoàn được

định nghĩa ở trang 3 như sau:

“Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau. Khoảng thời gian T ngắn nhất sau đó trạng thái dao động lặp lại như cũ gọi là chu kỳ của dao động tuần hoàn.

Ví dụ: Dao động của một quả lắc đồng hồ là dao động tuần hoàn, cứ sau một khoảng thời gian nhất định bằng 0,5s nó lại đi qua vị trí thấp nhất và chuyển động từ trái sang phải. T = 0,5s là chu kỳ của dao động”.

Như vậy, từ tuần hoàn ở đây cũng thể hiện một sự lặp đi lặp lại. Chu kỳ dao động được định nghĩa là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại như cũ. Do đó, chu kỳ dao động có đơn vị là giây. Ngược lại, trong SGK toán mà chúng tôi đã phân tích ở trên, chu kỳ của hàm số là một số thực, không có đơn vị. SGK Vật lí đã thực hiện sự nối khớp giữa hai khái niệm chu kỳ này như thế nào?

t  )

Sau khi định nghĩa dao động tuần hoàn và chu kỳ dao động, SGK khảo sát dao động của con lắc lò xo và xây dựng phương trình biểu diễn độ dịch chuyển của hòn

,  là những hằng số.

trong đó A, bi khỏi vị trí cân bằng là x = A sin (

Từ đó, SGK dẫn tới khái niệm dao động điều hòa như sau: “Vì hàm sin là một hàm điều hòa, ta nói rằng dao động của hòn bi (tức là dao

động của con lắc lò xo) là một dao động điều hòa”.

Định nghĩa dao động điều hòa: “Dao động điều hòa là một dao động được mô tả bằng một định luật dạng sin

,  là những hằng số”

(hoặc cosin) trong đó A,

Ở đây, ta gặp tính chất hàm sin là một hàm điều hòa. SGK không có giải thích gì về điều này. Chúng tôi thử tìm hiểu tính chất này trong các SGK Vật lí của các lớp trước thì hoàn toàn không có. Như vậy, đây là một tính chất mới của hàm sin x mà học sinh phải thừa nhận.

Ở phần tiếp theo, tính chất hàm sin là một hàm tuần hoàn chu kỳ 2 (trong

toán học) được sử dụng để suy ra chu kỳ của dao động điều hòa như sau:

“Chúng ta biết rằng hàm sin là một hàm tuần hoàn có chu kỳ 2. Vì vậy ta



t  )

t   2 )

viết được:



t [ ( 

x = A sin ( = A sin (

 ” ] 

2  ) 



x = A sin

2  

cũng bằng li độ của nó ở thời điểm t. Li độ dao động ở thời điểm

2 

Khoảng thời gian T = được gọi là chu kỳ của dao động điều hòa”



Ta thấy, từ chu kỳ 2 của hàm y = sin x, SGK biến đổi để đi đến khẳng định:

2  

li độ dao động ở thời điểm cũng bằng li độ của nó ở thời điểm t. Từ đó dẫn

t  )

đến khái niệm chu kỳ của dao động. SGK không đề cập đến chu kỳ của hàm số mô

tả dao động điều hoà x = A sin ( như trong giáo trình [c] (Vật lí đại cương).

Chu kỳ dao động được định nghĩa là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái

2 

của vật lặp lại như cũ. Tuy nhiên, trong đoạn trích trên, T = không được giải

thích là khoảng thời gian ngắn nhất, SGK chỉ nhấn mạnh sau khoảng thời gian đó thì trạng thái của vật lặp lại như cũ. Đoạn trích trên chính là điểm nối khớp giữa khái niệm chu kỳ của hàm số tuần hoàn trong toán học và chu kỳ của dao động trong vật lí.

Như vậy, ngoài những vai trò của khái niệm hàm số tuần hoàn đã được trình bày ở trên, việc đưa vào khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ của hàm số trong SGK V1 còn nhằm mục đích phục vụ cho việc nghiên cứu các khái niệm trong Vật lí. Việc định nghĩa chu kỳ là số dương nhỏ nhất trong các số T thỏa mãn f(x + T) = f(x) trong SGK V1 là tương thích với khái niệm chu kỳ dao động của Vật lí.

Kết luận chương 2

Việc phân tích trong chương này đã cho phép chúng tôi làm rõ những đặc trưng và ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam đối với khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Chúng tôi sẽ tóm tắt lại sau đây một số đặc trưng cơ bản đó.

- Trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy ở lớp 11, thuật ngữ tuần hoàn đã được xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như hóa học, sinh học, toán học,… Từ tuần hoàn luôn được sử dụng để mô tả một sự lặp đi lặp lại, một chu trình khép kín.

- Khái niệm hàm số tuần hoàn luôn được định nghĩa trên tập xác định D với

chu kỳ là số T dương nhỏ nhất thỏa mãn f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D.

- Vị trí, vai trò của khái niệm hàm số tuần hoàn ngày càng mờ nhạt trong các SGK. Trong chương trình CLHN, định nghĩa hàm số tuần hoàn được đưa vào trước khi nghiên cứu các hàm số lượng giác cụ thể, được trình bày như một tính chất đặc trưng của hàm số. Đến chương trình Thí điểm, ở bộ sách thứ nhất, nó được giới thiệu như một sự tổng kết lại các tính chất chung của 4 hàm số lượng giác cơ bản. Còn ở bộ sách thứ hai, định nghĩa này chỉ được đưa vào trong bài đọc thêm.

- Đặc trưng của hàm số tuần hoàn về cả hai phương diện số và đồ thị đều không được đưa vào đầy đủ và không thể hiện được mối liên hệ giữa chúng trong các SGK. Trong SGK CLHN chỉ có đặc trưng đồ thị được đề cập tường minh, đặc trưng số được sử dụng một cách ngầm ẩn. Ngược lại, trong SGK thí điểm bộ 1, chỉ có đặc trưng số mới được nhắc đến tường minh. SGK Thí điểm bộ 2 thì hoàn toàn không đề cập đến hai đặc trưng này trong phần bài học.

- Các chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ cũng chỉ được sử dụng ngầm ẩn để nghiên cứu các hàm số lượng giác cơ bản trong phần lí thuyết chứ không được đề cập tường minh trong các SGK.

- Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn xuất hiện trong

SGK Việt Nam là:

T’1: “Chứng minh hàm số là tuần hoàn với chu kỳ T” T’’1: “Cho hàm số y = f(x). Chứng minh với mỗi số nguyên k ta luôn có f(x

+ kT) = f(x)”

T3: “Vẽ đồ thị hàm số” T5: “Xem xét tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số trên khoảng (a; b)

cho trước”

Trong số các kiểu nhiệm vụ trên, kiểu nhiệm vụ T3 và T’1 (hoặc T’’1 – vết

của T’1) luôn luôn có mặt trong cả ba cuốn SGK được phân tích.

Tuy nhiên, kiểu nhiệm vụ T’1: “Chứng minh hàm số tuần hoàn chu kỳ T” chỉ xuất hiện trong SGK CLHN dựa trên yếu tố công nghệ là định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kỳ của hàm số. Trong SGK Thí điểm, kiểu nhiệm vụ này không xuất hiện tường minh, nó được thể hiện dưới dạng T’’1: “Chứng minh rằng với mọi số nguyên k ta luôn có f(x + kT) = f(x)”. Yếu tố công nghệ lúc này là tính chất tuần hoàn của các hàm số sin x và cos x. Như vậy, định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kỳ không còn cần thiết trong chương trình thí điểm. Nó có xuất hiện trong phần bài học hoặc bài đọc thêm nhưng không có vai trò gì cả.

Kiểu nhiệm vụ T3 cũng xuất hiện với hai kĩ thuật cơ bản để giải quyết là 31

và 32 giống như trong [a] (Elementary Mathematics). Chúng tôi xin nhắc lại là kĩ

31 dựa trên phép biến đổi đồ thị còn kĩ thuật

32 dựa trên tính chất tuần hoàn

thuật

32 thể hiện vai trò

và chu kỳ của hàm số. Do đó, kiểu nhiệm vụ T3 với kĩ thuật

“công cụ” của khái niệm tuần hoàn. Tuy nhiên, trong mỗi SGK chỉ có 1 đến 2 bài toán như vậy.

Tương tự, kiểu nhiệm vụ T5: “Xem xét tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số trên khoảng (a, b) cho trước” cần thiết vận dụng đến tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số như một công cụ cũng chỉ xuất hiện trong 4 câu hỏi và 1 bài tập của SGK thí điểm bộ 1.

Điều đó cho thấy vai trò “công cụ” của khái niệm tuần hoàn không được nhấn mạnh. Mục đích của các SGK là giới thiệu tính chất tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số lượng giác cơ bản như là một tính chất đặc trưng của chúng, từ đó suy ra đồ thị của chúng trên toàn tập xác định.

- Qua việc phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn, chúng tôi đã làm rõ được một số ràng buộc ngầm ẩn của thể chế trên đối tượng này như sau:

+ Đối với kiểu nhiệm vụ T’1 (Chứng minh một hàm số tuần hoàn chu kỳ T),

hàm số f(x) cho trước luôn luôn là một hàm số lượng giác với chu kỳ có dạng m (m là một số nguyên hoặc phân số).

+ Đối với kiểu nhiệm vụ T’’1: “Cho hàm số y = f(x). Chứng minh với mọi số nguyên k ta luôn có f(x + kT) = f(x)”, hàm số f(x) cho trước cũng luôn là một hàm

số lượng giác, chu kỳ hàm số luôn chứa  và T chính là chu kỳ của hàm số.

Như vậy, các hàm số lượng giác được đề cập trong phần lí thuyết và bài tập

của các SGK luôn có chu kỳ chứa .

+ Với kiểu nhiệm vụ T3 (Vẽ đồ thị hàm số), các hàm số được đề nghị cũng luôn là hàm số lượng giác cho bằng công thức. Không có một bài toán nào thuộc T3 mà hàm số được cho bằng đồ thị trên một chu kỳ như SGK Pháp.

Việc phân tích các ràng buộc ngầm ẩn của thể chế cho phép chúng tôi dự đoán

sự tồn tại ngầm ẩn của các quy tắc hợp đồng sau:

RE1: Chu kì của hàm số lượng giác phải là một biểu thức số chứa .

RE2: Nếu hàm số y = f(x) thoả mãn điều kiện f(x + T) = f(x) với mọi x thì

f(x) là hàm số tuần hoàn chu kỳ T.

Những kết quả đạt được ở trên dẫn đến việc nhắc lại và đặt ra một số câu hỏi liên quan đến mối quan hệ cá nhân của học sinh về đối tượng tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và các giả thuyết nghiên cứu sau đây:

- Những đặc trưng nào về đối tượng “tuần hoàn” hiện diện ở học sinh trước và sau khi khái niệm hàm số tuần hoàn được đưa vào chính thức ở lớp 11? Nó được hình thành và tiến triển ra sao?

- Học sinh có cho rằng nếu hàm số f(x) thỏa mãn f(x + T) = f(x) với mọi x thì

f(x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T?

- Liệu họ có cho rằng chu kỳ của hàm số lượng giác là luôn luôn chứa ? - Có thể xây dựng một tình huống cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với các đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn? Họ có vận dụng được các đặc trưng này một cách ngầm ẩn để giải toán?

Giả thuyết nghiên cứu: H1: Trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy chính thức ở lớp

11, khái niệm tuần hoàn tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại.

H2 (hệ quả của H1): Sự xuất hiện ở học sinh khái niệm tuần hoàn với nghĩa “lặp đi lặp lại” tạo thuận lợi cho họ trong việc tiếp cận đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn.

H3: Giả thuyết về sự tồn tại của các quy tắc hợp đồng RE1, RE2 Để trả lời các câu hỏi nêu trên và kiểm chứng tính thích đáng của các giả thuyết H1, H2, H3 đòi hỏi phải tiến hành thực nghiệm trên cả hai đối tượng học sinh trước và sau khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy ở lớp 11.

Tuy nhiên, trong giới hạn của một luận văn thạc sĩ, chúng tôi sẽ chỉ hạn chế vào việc trả lời một phần các câu hỏi nêu trên và kiểm chứng tính thích đáng của các giả thuyết nghiên cứu H1, H2 bằng các thực nghiệm trên đối tượng học sinh lớp 10 (trước khi học hàm số tuần hoàn). Các thực nghiệm đó sẽ được trình bày trong chương 3 tiếp theo của luận văn.

Chương 3: THỰC NGHIỆM

Mục tiêu của chương Chương này có mục đích tìm câu trả lời cho một số câu hỏi đã đặt ra ở cuối chương 2 và kiểm chứng tính thích đáng của các giả thuyết nghiên cứu. Chúng tôi nhắc lại những câu hỏi và giả thuyết đó như sau:

- Những đặc trưng nào về đối tượng “tuần hoàn” hiện diện ở học sinh trước

khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy chính thức ở lớp 11?

- Có thể xây dựng một tình huống cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với các đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn? Họ có vận dụng được các đặc trưng này một cách ngầm ẩn để giải toán?

Giả thuyết nghiên cứu: H1: Trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy chính thức ở lớp

11, khái niệm tuần hoàn tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại.

Để đạt được mục đích trên, chúng tôi thấy cần thiết tiến hành lần lượt hai

thực nghiệm sau đây.

Thực nghiệm A: tìm hiểu quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm tuần

hoàn và kiểm chứng giả thuyết H1.

Thực nghiệm B: xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh tiếp cận và vận dụng các đặc trưng của hàm số tuần hoàn, kiểm chứng giả thuyết H2.

Như vậy, thực nghiệm A là cơ sở để tiến hành thực nghiệm B. Việc hợp thức giả thuyết H1 trong thực nghiệm A sẽ cho phép xây dựng và triển khai thực nghiệm B sau đó.

THỰC NGHIỆM A

3.1. Mục đích thực nghiệm

Như ở trên đã đề cập, thực nghiệm này có mục đích nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Cụ thể, thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết H1 đã đặt ra ở cuối chương 2, là cơ sở để xây dựng và triển khai tiểu đồ án didactic.

3.2. Hình thức thực nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành với học sinh lớp 10 THPT trước khi học khái

niệm hàm số tuấn hoàn ở lớp 11.

Tổng thời gian dành cho 4 câu hỏi thực nghiệm là 35 phút, được chia làm hai

pha:

+ Pha 1 (25 phút) : Học sinh trả lời cá nhân hai câu hỏi 1 và 2. + Pha 2 (10 phút): Học sinh trả lời cá nhân hai câu hỏi 3 và 4. Việc tách thực nghiệm thành hai pha nhằm mục đích sau: - Trong pha 1, chúng tôi không đề cập đến thuật ngữ “tuần hoàn”. Việc phát đồng thời phiếu câu hỏi của pha 1 và pha 2 có thể gợi ý cho học sinh sử dụng từ tuần hoàn ở pha 2 để mô tả đặc trưng của các biểu đồ và đồ thị trong pha 1.

- Cho phép quan sát được những cụm từ mà học sinh sử dụng để mô tả đặc trưng tuần hoàn của các biểu đồ, đồ thị trong pha 1. Điều này cũng sẽ bổ sung và làm rõ hơn nghĩa của từ “tuần hoàn” được họ giải thích ở pha 2.

3.3. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm

3.3.1. Xây dựng câu hỏi thực nghiệm Các câu hỏi trong thực nghiệm được xây dựng dựa trên sự lựa chọn giá trị

của một số biến tình huống sau đây.

V1: Phạm vi tác động của khái niệm tuần hoàn. Các giá trị có thể của biến: + Phạm vi vật lý + Phạm vi sinh học + Phạm vi toán học + Phạm vi hóa học + Phạm vi đời sống thường ngày V2: Cách biểu diễn hàm số: + Hàm số cho bằng biểu thức giải tích + Hàm số cho bằng đồ thị + Hàm số cho bằng bảng biến thiên 3.3.2. Hệ thống câu hỏi thực nghiệm (xem phụ lục số 1)

PHA 1

Câu 1. Xét các biểu đồ dưới đây. a) Biểu đồ 1 : Biểu đồ nhịp đập quả tim của một bệnh nhân (điện tâm đồ)

b) Biểu đồ 2: Biểu đồ mô tả tác động của một sóng (cơ học) tại một vùng.

c) Biểu đồ 3: Biểu đồ tăng trưởng kinh tế Đài Loan từ năm 1991 đến năm 2001 (Theo trang web “Hỗ trợ các doanh nghiệp TP.HCM hội nhập kinh tế thế

giới”)

Em hãy quan sát các biểu đồ trên và nêu nhận xét về đặc trưng (tính chất) của

từng biểu đồ.

Câu 2. Cho các hàm số có đồ thị được biểu diễn như sau đây. - Đồ thị hàm số thứ nhất:

y

1.5

0.5

x

-3/2

-

-/2

/2



3/2

2

-0.5

-1

-1.5

-2

-1

-3

-5

-4

-6

- Đồ thị hàm số thứ 2: - Đồ thị hàm số thứ 3:

y

x

-2

-1

-2

-4

-6

-8

- Đồ thị hàm số thứ 4:

y

x

-2

-3/2

-

-/2

/2



3/2

2

-5

-10

-15

Hãy quan sát các đồ thị trên và nêu nhận xét về đặc trưng của từng hàm số đó.

PHA 2

Câu 3. Em hãy viết 3 câu có chứa từ “tuần hoàn”. Câu 4. Theo em, “tuần hoàn” có nghĩa là gì? 3.3.3. Phân tích chi tiết các câu hỏi và bài toán thực nghiệm 3.3.3.1. Câu 1 và Câu 2 Hai câu hỏi này đặt học sinh trước tình huống mô tả đặc trưng của các biểu đồ, đồ thị cho trước. Trong câu 1, chúng tôi cố ý đưa vào cả hai loại biểu đồ, gồm các biểu đồ mô tả các hiện tượng tuần hoàn và hiện tượng không tuần hoàn.

Thật vậy, biểu đồ 1 và 2 có sự lặp lại đều đặn sau những khoảng thời gian cách đều. Biểu đồ 3 không có đặc trưng đó. Các đồ thị trong câu 2 cũng có đặc trưng tương tự.

Chúng tôi muốn tìm hiểu học sinh sẽ sử dụng những cụm từ nào để mô tả đặc trưng tuần hoàn và không tuần hoàn của các đồ thị, biểu đồ? Đâu là cụm từ được sử dụng nhiều nhất? Thuật ngữ “tuần hoàn” có xuất hiện không?

Giá trị của biến V1 được chọn trong câu 1 là Phạm vi vật lý, Phạm vi đời sống thường ngày và trong câu 2 là Phạm vi toán học. Lựa chọn này sẽ cho phép làm rõ quan hệ cá nhân của học sinh về khái niệm tuần hoàn trong các phạm vi khác nhau.

Trong câu 2, biến V2 nhận giá trị Hàm số cho bằng đồ thị. Nó cho phép minh họa trực quan sự lặp đi lặp lại của đồ thị hàm số. Để hạn chế việc học sinh đưa ra những đặc trưng không mong muốn, chúng tôi tránh đưa vào hình ảnh các đồ thị đối xứng qua trục hoành, trục tung, đồ thị luôn nằm trên (hoặc dưới) trục hoành,...

Câu trả lời mong đợi là học sinh nêu ra được đặc trưng tuần hoàn và không

tuần hoàn của các biểu đồ, đồ thị đã cho bằng những cách diễn tả khác nhau.

Chúng tôi dự đoán những câu trả lời có thể nhận được: + Câu trả lời thể hiện tính tuần hoàn của các biểu đồ, đồ thị: - 1a1: lặp đi lặp lại - 1a2: tuân theo một quy luật (một chu kỳ) nhất định. - 1a3: lên xuống đều đặn Ở đây, có thể hiểu sự lên xuống đều đặn là một cách mô tả khác của sự lặp đi

lặp lại.

+ Câu trả lời thể hiện đặc trưng không tuần hoàn: - 1b1: không lặp đi lặp lại.

- 1b2: không tuân theo một quy luật nhất định. - 1b3: lên xuống không đều + Những câu trả lời khác: chẳng hạn, câu trả lời liên quan đến chức năng của

biểu đồ, sự biến thiên của hàm số, số giao điểm của đồ thị với trục hoành,…

3.3.3.2. Câu 3 Như đã phân tích trong chương 2, khái niệm tuần hoàn xuất hiện ở trường phổ thông trong rất nhiều lĩnh vực như: toán học, vật lý, hóa học, sinh học. Câu hỏi này nhằm tìm hiểu quan hệ cá nhân của học sinh về khái niệm tuần hoàn trước khi họ được học về hàm số tuần hoàn ở lớp 11.

Cụ thể, học sinh sẽ gán từ tuần hoàn cho những đối tượng, hiện tượng nào?

thuộc lĩnh vực gì? Thuật ngữ “tuần hoàn” lấy nghĩa như thế nào?

Câu trả lời cho câu hỏi này có thể thuộc vào các phạm vi sau đây. + Toán học (Mã hóa bởi TH): số thập phân vô hạn tuần hoàn, hàm số tuần

hoàn,...

+ Vật lý (Mã hóa bởi VL): dao động tuần hoàn, chuyển động tuần hoàn,... + Sinh học (Mã hóa bởi SH): vòng tuần hoàn máu, hệ tuần hoàn,… + Hóa học (Mã hóa bởi HH): bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học,... + Đời sống thường ngày (Mã hóa bởi ĐS): Những hiện tượng trong tự nhiên,

trong đời sống xã hội diễn ra lặp đi lặp lại,...

Tất cả các đối tượng, các hiện tượng trên đều chứa đựng một sự lặp đi lặp lại, một chu trình khép kín. Những câu trả lời của học sinh sẽ thể hiện phần nào nghĩa của khái niệm tuần hoàn và phạm vi tác động của khái niệm này.

Ở trường phổ thông, khái niệm vòng tuần hoàn máu, hệ tuần hoàn được đề cập cả ở bậc tiểu học và THCS. Vì vậy, với học sinh lớp 10, có thể dự đoán câu trả lời thuộc phạm vi sinh học (SH) sẽ chiếm ưu thế. Ngoài ra, trong đời sống thường ngày, có rất nhiều các các hiện tượng tự nhiên, xã hội diễn ra lặp đi lặp lại nên các câu trả lời thuộc phạm vi đời sống (ĐS) cũng có nhiều khả năng xuất hiện.

3.3.3.3. Câu 4 Cùng với câu hỏi 3, câu 4 cũng nhắm tới mục đích tìm hiểu quan hệ cá nhân của học sinh về khái niệm tuần hoàn nhưng nó tập trung hơn vào việc nghiên cứu nghĩa của khái niệm này.

Việc phân tích khái niệm tuần hoàn trong các SGK trước lớp 11 cho thấy thuật ngữ “tuần hoàn” luôn gắn liền với những đối tượng có sự lặp đi lặp lại theo

một chu trình khép kín, một quy luật nào đó. Vì vậy, những giải thích cho từ tuần hoàn có thể nhận được là:

+ sự lặp đi lặp lại + diễn ra theo một vòng tròn khép kín + diễn ra theo một quy luật (một chu kỳ) nhất định. Chúng tôi dự đoán những câu trả lời thể hiện tường minh cụm từ “lặp đi lặp

lại” sẽ xuất hiện với tần xuất khá lớn.

3.4. Phân tích hậu nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành với 106 học sinh lớp 10 thuộc trường THPT

Trần Đại Nghĩa tại TP. Hồ Chí Minh.

Sau đây là phân tích chi tiết sản phẩm thu được từ thực nghiệm. 3.4.1. Đặc trưng tuần hoàn của các biểu đồ, đồ thị

Bảng 3.1. Thống kê số câu trả lời cho câu 1 và câu 2.

+ Câu trả lời thể hiện tính tuần hoàn của các biểu đồ, đồ thị:

1a3 (lên xuống đều đặn) Không trả lời 1a1 (lặp đi lặp lại) 1a2 (tuân theo một quy luật nhất định)

Biểu 70 0 32 30 đồ 1

Biểu 72 0 16 20 đồ 2

Đồ 65 0 18 12 thị 1

Đồ 55 2 24 13 thị 2

+ Câu trả lời thể hiện tính không tuần hoàn của các biểu đồ, đồ thị:

Đồ 58 2 5 10 thị 4

Không trả lời 1b1 (không lặp 1b2 (không tuân 1b3 (lên xuống không đều)

đi lặp lại) theo quy luật)

Biểu 1 47 41 0 đồ 3

Như vậy, phần lớn học sinh đã nhận ra đặc trưng tuần hoàn của các biểu đồ 1, 2 và các đồ thị 1, 2, 4. Cụm từ mà họ sử dụng nhiều nhất để mô tả đặc trưng này là sự “lên xuống đều đặn” (mô tả sự lặp đi lặp lại một cách ngầm ẩn) của các đồ thị, biểu đồ.

Đồ 2 9 12 4 thị 3

Chẳng hạn, câu trả lời của H31 như sau: - Biểu đồ 1: lên xuống cao thấp tương đối đều

- Biểu đồ 2: có tính đối xứng, lên xuống đều đặn - Biểu đồ 3: là 1 đường biểu diễn không đều H49:

- Đồ thị 1: các đường cong đều nhau từ trái sang phải - Đồ thị 2: giống đồ thị 1 nhưng là các đường gấp khúc nhọn - Đồ thị 3: cong không theo quy luật nào cả, có hướng hướng lên trên - Đồ thị 4: nhiều đường cong đều nhau, mỗi đường cách đường khác một

Có 30 học sinh đã sử dụng tường minh từ “lặp đi lặp lại” để mô tả đặc trưng của biểu đồ 1. Với biểu đồ 2 là 20 học sinh. Tuy nhiên chỉ có 1 học sinh cho rằng biểu đồ 3 không có sự lặp đi lặp lại. Câu trả lời chiếm ưu thế trong biểu đồ 3 là sự thay đổi thất thường, không theo một quy luật nào cả (47 học sinh) và sự lên xuống không đều (41 học sinh).

khoảng bằng nhau

Trích câu trả lời của H63:

- Biểu đồ 1 và 2: lặp lại một cách rất đều - Biểu đồ 3: các đường gấp khúc không đều, lộn xộn. Với các đồ thị ở câu 2, câu trả lời nhận được cũng tương tự. Chỉ có 2 học sinh cho rằng đồ thị 3 không lặp đi lặp lại. Đa số học sinh nêu ra các đặc trưng liên quan đến hình dạng đồ thị, sự biến thiên của hàm số,…

Câu trả lời của H63:

- Đồ thị 1: các parabol đều, lặp lại đều đặn - Đồ thị 2: các đường thẳng gấp khúc lặp lại đều đặn

- Đồ thị 3: gần giống parabol nhưng nhánh dưới chĩa xuống - Đồ thị 4: các đường bán parabol, lặp lại một cách đều đặn H18:

- Đồ thị 1, 2, 4: lặp lại giống nhau - Đồ thị 3: có hình chữ S Chúng tôi nhận thấy rất nhiều học sinh quy các đồ thị 1, 2, 4 về các đường parabol. Điều này có thể giải thích là do đến thời điểm thực nghiệm, họ chỉ mới được làm quen với hai dạng đồ thị là đường thẳng và parabol. Vì vậy, những đồ thị đã cho mà không là đường thẳng và đường gấp khúc đều được họ quy về các parabol.

Trong cả hai câu hỏi, chỉ có 6 học sinh nhắc đến thuật ngữ tuần hoàn. Chẳng hạn, câu trả lời của H19:

- Biểu đồ 1 tuần hoàn theo chu kỳ - Đồ thị 1, 2, 4 tuần hoàn theo chu kỳ Theo chúng tôi, “tuần hoàn theo chu kỳ” có thể được hiểu là sự lặp đi lặp lại sau một khoảng nhất định. Điều này xuất phát từ khái niệm chu kỳ của bảng hệ thống tuần hoàn các nguyên tố hóa học hoặc chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn mà họ đã được học ở các lớp trước.

Ví dụ, câu trả lời của H15:

- Biểu đồ 1: tính chất lặp đi lặp lại nhiều lần theo chu kỳ thời gian - Biểu đồ 2: tính chất lặp đi lặp lại theo chu kỳ - Biểu đồ 3: đây là biểu đồ không có tính chu kỳ Như vậy, tính tuần hoàn của các biểu đồ, đồ thị được học sinh mô tả bằng nhiều cách khác nhau như sự lặp đi lặp lại, tuân theo một quy luật hay sự lên xuống đều đặn. Ở đây, thuật ngữ “tuần hoàn” được sử dụng rất ít. Điều này có thể giải thích do vấn đề thuật ngữ. Phải chăng tuần hoàn là một từ Hán Việt nên ít được sử dụng? Hơn nữa, trước đây, học sinh đã được tiếp xúc với khái niệm tuần hoàn luôn gắn liền với sự lặp đi lặp lại. Do vậy, họ thường sử dụng cụm từ này (tường minh hoặc ngầm ẩn) để mô tả các hiện tượng tuần hoàn.

3.4.2. Phạm vi tác động của khái niệm tuần hoàn

Bảng 3.2. Thống kê số câu trả lời nhận được trong câu hỏi 3

Câu trả lời thuộc SH

phạm vi HH VL TH ĐS

Số lượng

Kết quả trên cho thấy, quan hệ cá nhân của học sinh về phạm vi tác động của khái niệm tuần hoàn rất phong phú. Câu trả lời thuộc cả 5 phạm vi mà chúng tôi dự đoán đều xuất hiện. Trong đó, câu trả lời thuộc phạm vi đời sống thường ngày (ĐS) và phạm vi sinh học (SH) chiếm ưu thế. Có thể do học sinh lớp 10 chưa được học về dao động tuần hoàn nên phạm vi vật lý (chuyển động tuần hoàn, dao động tuần hoàn) ít được nhắc đến. Chỉ có 13 câu trả lời thuộc phạm vi này.

95 32 13 31 98

Một số câu trả lời tiêu biểu:

- Trong năm các mùa tuần hoàn với nhau: xuân hạ thu đông (tuần hoàn khép

kín) (H75)

- Trong cơ thể, máu di chuyển theo một hệ tuần hoàn để đưa chất dinh dưỡng

đi nuôi cơ thể (H86)

- Lá rụng xuống đất rồi trở thành chất dinh dưỡng nuôi sống cây, cây phát

triển ra lá rồi lá lại rụng xuống, đó là một vòng tuần hoàn (H52)

- Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học do Mendeleev phát minh (H26) - 0,6666…là số thập phân vô hạn tuần hoàn (H76) - Vạn vật trên trái đất này đều theo một vòng tuần hoàn nhất định, con mạnh ăn thịt con yếu để rồi khi chết đi xác lại về với đất làm dinh dưỡng cho cỏ nuôi sống con yếu (H83)

Các ví dụ về các hiện tượng tuần hoàn trong đời sống thường ngày đều là các hiện tượng lặp đi lặp lại theo một chu trình khép kín. Tuy nhiên, nó không thể hiện tính chất tuần hoàn chặt chẽ như toán học. Nghĩa là không tồn tại chu kỳ T cố định để sau đó hiện tượng lặp lại. Chu kỳ ở đây chỉ là tương đối. Học sinh chỉ nhấn mạnh trên sự lặp đi lặp lại theo một chu trình khép kín mà không quan tâm đến sự cách đều giữa các lần lặp lại đó. Có lẽ khái niệm chu kỳ không được định nghĩa tường minh trong khái niệm số thập phân vô hạn tuần hoàn ở lớp 7 cũng ảnh hưởng đến sự thiếu vắng khái niệm này ở học sinh.

3.4.3. Khái niệm tuần hoàn với nghĩa lặp đi lặp lại

Bảng 3.3. Thống kê số câu trả lời nhận được trong câu hỏi 4

Câu lặp đi vòng tròn

lặp lại một quy luật khép kín Không trả lời trả lời

94 29 26 1 Số lượng

Đúng như dự đoán, cụm từ lặp đi lặp lại xuất hiện tường minh trong lời giải

thích của hầu hết học sinh (94/106 học sinh).

Một số câu trả lời tiêu biểu:

- Tuần hoàn có nghĩa là lặp đi lặp lại một quy trình, vấn đề nào đó theo một

quy luật nhất định (H86).

- Tuần hoàn có nghĩa là liên tiếp, không ngừng nghỉ, dùng để chỉ một quy trình luôn luôn lặp đi lặp lại trong một vòng khép kín, không bao giờ dừng lại trừ phi có một ngoại cảnh lớn tác động vào (H83).

- Tuần hoàn có nghĩa là luôn lặp lại, nếu như đã bắt đầu ở một điểm thì dù sau đó có đi đến đâu vẫn trở về chỗ cũ, lặp lại không bao giờ dứt như một vòng tròn mà vòng tròn không có kết thúc (H76).

Ngoài việc mô tả sự lặp đi lặp lại, học sinh còn sử dụng các cụm từ khác như “theo một quy luật nhất định”, “theo một vòng tròn khép kín”, “liên tiếp”, “không bao giờ dứt”,...

Như vậy, mặc dù rất ít học sinh sử dụng tường minh từ tuần hoàn để mô tả đặc trưng lặp đi lặp lại của các biểu đồ, đồ thị trong câu 1, câu 2 nhưng kết quả của câu 3, câu 4 cho thấy khái niệm tuần hoàn đã tồn tại trong quan niệm của họ với nghĩa là sự lặp đi lặp lại. Điều này cho phép khẳng định tính thích đáng của giả thyết H1 đã đặt ra ở cuối chương 2.

3.5. Kết luận

Việc thực nghiệm trên học sinh lớp 10 đã cho phép làm rõ quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm tuần hoàn trước khi họ được học chính thức khái niệm hàm số tuần hoàn.

Cụ thể, khái niệm tuần hoàn tác động trong nhiều phạm vi như hóa học, toán học, sinh học, đời sống,…Đặc biệt, phạm vi đời sống thường ngày và phạm vi sinh học chiếm ưu thế hơn cả.

Tính chất tuần hoàn của các đối tượng thường được mô tả bằng những cụm từ “lặp đi lặp lại”, “lên xuống đều đặn”, “quy luật”,…Thuật ngữ “chu kỳ” được sử dụng theo nghĩa là một khoảng mà sau đó biểu đồ, đồ thị lặp lại.

Kết quả thực nghiệm đã chứng tỏ khái niệm tuần hoàn tồn tại ở học sinh với

nghĩa là sự lặp đi lặp lại. Nói cách khác, giả thuyết H1 đã được kiểm chứng.

THỰC NGHIỆM B

3.6. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm A đã chứng tỏ trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy ở lớp 11, khái niệm tuần hoàn đã tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại. Hơn nữa, việc phân tích mối quan hệ thể chế ở chương 2 cho thấy SGK Việt Nam không đưa vào đầy đủ và tường minh đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn. Mối liên hệ giữa các đặc trưng này chưa thực sự được thiết lập.

Vì vậy, ngoài thực nghiệm A, chúng tôi tiến hành thực nghiệm B trên đối

tượng học sinh lớp 10 nhằm những mục đích sau:

+ Thiết lập một tình huống cho phép học sinh tiếp cận khái niệm hàm số tuần hoàn, chu kỳ và vận dụng chúng như một công cụ để giải quyết bài toán đặt ra trong tình huống.

+ Thông qua hoạt động, học sinh phát hiện được các đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn cũng như mối liên hệ giữa chúng, từ đó rút ra các chức năng của khái niệm tuần hoàn và khái niệm chu kỳ trong việc nghiên cứu hàm số.

Thực nghiệm này sẽ cho phép khẳng định (hay bác bỏ) một phần giả thuyết

H2 mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2.

3.7. Nội dung thực nghiệm

3.7.1. Giới thiệu tình huống thực nghiệm (phụ lục số 2) Thông báo bài toán: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh

bằng 6 (cm).

Bắt đầu từ đỉnh A, một điểm M chuyển động

trên cạnh của hình vuông, theo lộ trình:

A  B  C  D  A B  C  …

Kí hiệu x là khoảng cách AM mà điểm M di

chuyển được trên cạnh của hình vuông tính từ A

và y là độ dài OM tương ứng. Gọi f là hàm số đặt tương ứng mỗi giá trị x = AM với độ dài y = OM.

( ) f x

y 

Hãy nghiên cứu tính chất của hàm số f, bằng cách giải quyết các nhiệm vụ ghi

trong các phiếu sau đây mà người ta sẽ lần lượt phát cho các em.

Phiếu số 1: 1.1. Giá trị nhỏ nhất của x là bao nhiêu? Giá trị lớn nhất của x là bao nhiêu? 1.2. Khi x = 0, x = 3, x = 7, x = 12 hoặc x = 21, thì M tương ứng với những vị

trí nào trên cạnh hình vuông?

1.3. Giá trị lớn nhất của OM bằng bao nhiêu? Giá trị nhỏ nhất của OM bằng

bao nhiêu?

Phiếu số 2: 2.1. Hãy điền giá trị thích hợp vào các ô trống trong bảng sau đây:

1 2

y =

2.2. Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0; 12]. 2.3. Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [18; 24]. 2.4. Em có thể tính f(248) và f(9433) được không? - Nếu không, giải thích vì sao? - Nếu có, hãy tính các giá trị đó. 2.5. Em có thể vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [154; 162] được không? - Nếu không, giải thích vì sao? - Nếu có, hãy vẽ đồ thị hàm số trên đoạn đó.

Phiếu số 3: Hãy liệt kê tất cả các tính chất của hàm số f đã cho mà nhóm phát hiện ra.

Nhóm thắng cuộc là nhóm liệt kê được nhiều tính chất đúng của hàm số.

3.7.2. Dàn dựng kịch bản Thực nghiệm được tiến hành trong thời gian 90 phút, bao gồm các hoạt động

được chia thành 5 pha sau đây.

Pha 1 (Làm việc cá nhân – 13 phút): Giáo viên phát thông báo bài toán và phiếu số 1. Học sinh làm việc cá nhân để

nghiên cứu bài toán và trả lời phiếu số 1.

Pha 2 (Làm việc theo nhóm – 40 phút): Giáo viên phát cho mỗi nhóm phiếu số 2, một số giấy nháp và 1 tờ giấy croquis. Các nhóm thảo luận và trình bày lời giải chung của nhóm vào tờ giấy croquis đã có.

Pha 3 (Làm việc tập thể cả lớp - 20 phút): Giáo viên điều khiển cho cả lớp tranh luận và đánh giá lời giải của các nhóm ở

pha 2. Sau đó, giáo viên tổng kết số điểm mà các nhóm đã đạt được.

Pha 4 (Làm việc theo nhóm - 7 phút): Giáo viên phát cho mỗi nhóm phiếu số 3. Học sinh thảo luận nhanh và viết câu

trả lời của nhóm trên phiếu số 3 đó.

Pha 5 (Hợp thức hoá - 10 phút): Giáo viên điều khiển cho cả lớp tranh luận về các tính chất của hàm số f mà các nhóm đã liệt kê ra. Cuối cùng, giáo viên tổng kết những đặc trưng của hàm số, tính điểm của các nhóm và chọn ra nhóm thắng cuộc.

3.7.3. Biến tình huống và biến didactic 3.7.3.1. Biến tình huống và giá trị của chúng V1: Bản chất của hình và số đo của cạnh: Hình vuông, Hình tam giác

đều,…với số đo là một số chẵn hay lẻ.

Việc chọn hình vuông với số đo chẵn (6) có mục đích làm dễ dàng cho các tính toán của học sinh. Thật vậy, tương ứng với các vị trí của điểm M trên cạnh hình vuông, các đoạn OM có thể được tính dễ dàng bằng định lý Pithagor.

V2: Phương thức làm việc: Cá nhân, theo nhóm, cả lớp. + Làm việc cá nhân: cho phép học sinh hiểu rõ thông báo bài toán và tạo ra một số sản phẩm cá nhân, từ đó làm thuận lợi hơn và phong phú hơn cho công việc của nhóm.

+ Làm việc theo nhóm: tăng cường sự trao đổi, thảo luận, giúp tạo ra sự được

thua trong học tập.

+ Làm việc tập thể cả lớp: tạo ra sự tranh luận, cho phép thực hiện pha hợp

thức hóa.

V3: Các giá trị cần tính trong bảng: + Có đầy đủ các giá trị x tương ứng với các vị trí ‘‘đặc biệt’’ của M. + Không có đầy đủ các giá trị x tương ứng với các vị trí ‘‘đặc biệt’’ của M.

Trong luận văn “Khái niệm liên tục – Một nghiên cứu khoa học luận và didactic” của tác giả Trần Anh Dũng, 2005, tác giả đã kiểm chứng được sự tồn tại của quy tắc hợp đồng sau đây liên quan đến việc vẽ đồ thị của hàm số ở cấp độ trước lớp 11.

“Để vẽ đồ thị của hàm số, học sinh chỉ cần nối các điểm rời rạc thuộc đồ thị để đạt được một đường liền nét, mà không cần quan tâm đến tính liên thông của tập xác định.”

Ở đây, chúng tôi giả định là quy tắc hợp đồng này tồn tại ở học sinh. Do đó, đồ thị hàm số trên đoạn [0; 12] ở câu hỏi 2.2 chính là kết quả của việc nối các điểm đã tính trong câu hỏi 2.1 thành một đường liền nét. Việc lựa chọn giá trị của biến V3 là có đầy đủ các giá trị x tương ứng với các vị trí “đặc biệt” của M (tức là M trùng các đỉnh A, B, C và trung điểm của đoạn AB, BC) thì đồ thị hàm số trên đoạn [0; 12] có thể được vẽ như sau:

y

x

Đây đúng là “hình dạng” đồ thị của hàm số trên đoạn [0; 12]. Hoặc học sinh có thể nối các điểm thành những đường gấp khúc và được

hình dạng gần đúng của đồ thị:

y

x

Chúng tôi mong muốn học sinh vẽ được gần đúng đồ thị hàm số trên đoạn này

để có thể sử dụng cho việc trả lời những câu hỏi tiếp theo.

Mặt khác, ngoài các giá trị x tương ứng với các vị trí đặc biệt của M, trên mỗi đoạn [0; 6] và [6; 12], học sinh được yêu cầu tính thêm hai giá trị khác nữa. Như vậy, số các giá trị x được tính trong mỗi đoạn là 5 giá trị.

Sở dĩ chúng tôi chọn 5 giá trị mà không phải 3 giá trị là nhằm tránh việc học

sinh vẽ đồ thị như hình dưới đây:

y

x

Ngược lại, nếu biến V3 nhận giá trị còn lại, chẳng hạn trong bảng chỉ cho tính giá trị hàm số tại các điểm x = 0, x = 6, x = 9, x = 12 (M trùng A, B, C, trung điểm BC) thì theo quy tắc hợp đồng trên, đồ thị hàm số trên đoạn [0; 12] có thể được vẽ như sau:

y

x

Sai lầm này sẽ dẫn đến hệ quả là học sinh không thấy được sự lặp đi lặp lại của đồ thị hàm số trên những khoảng có độ dài 6. Điều đó sẽ gây khó khăn cho họ trong việc giải quyết những câu hỏi tiếp theo.

V4: Yêu cầu tìm biểu thức giải tích xác định hàm số hay không? Chúng tôi không yêu cầu học sinh tìm biểu thức giải tích xác định hàm số vì hàm số f đã cho được xác định bởi khoảng. Đây là một nhiệm vụ tương đối khó đối với học sinh. Hơn nữa, nếu học sinh xác định được biểu thức của hàm số thì sẽ làm thay đổi toàn bộ chiến lược giải. Họ có thể tính giá trị và vẽ đồ thị hàm số hoàn toàn dựa vào biểu thức xác định nó mà không cần quan tâm đến tính chất tuần hoàn.

3.7.3.2. Biến didactic và giá trị của biến V5: Độ lớn của x0 trong yêu cầu tính f(x0): x0 nhỏ hay khá lớn “x0 nhỏ” được hiểu theo nghĩa: có thể xác định được x0 một cách dễ dàng bằng cách cho điểm M di chuyển trên các cạnh của hình vuông để tìm vị trí của M tương ứng với giá trị x0.

Ngược lại, x0 khá lớn theo nghĩa là kỹ thuật trên khó có khả năng thực hiện được. Việc cho điểm M trượt trên cạnh hình vuông để tìm vị trí của M tương ứng với x0 khá lớn sẽ mất rất nhiều thời gian, thậm chí không thực hiện được.

V6: Tính chia hết của x0 cho 3 và 6: • x0 chia hết cho 3 hoặc cho 6 • x0 không chia hết cho 3 và không chia hết cho 6. V7: Đặc trưng độ dài của đoạn cần vẽ đồ thị: Bằng chu kỳ hay khác chu kỳ. V8: Độ xa của đoạn cần vẽ đồ thị so với đoạn [0; 12]: Gần hay khá xa.

V9: Tính chất của các đầu mút của đoạn cần vẽ đồ thị: + Hai đầu mút là “bội”3 của hai đầu mút của đoạn [0; 6] + Chỉ một đầu mút là “bội” của một đầu mút của đoạn [0; 6] + Không có đầu mút nào là “bội” của các đầu mút của đoạn [0; 6]

Chúng tôi đề cập đến đoạn [0; 6] là do đồ thị hàm số trên [0;   ) hoàn toàn

có thể suy ra được từ đồ thị hàm số trên đoạn này. Hơn nữa, trên đoạn này thì hàm số chỉ có một công thức biểu diễn.

Đặc trưng của tình huống nhìn qua cách lựa chọn các giá trị của biến

didactic:

Biến V5 V6 V7 V8 V9

Câu 2.1 x0 nhỏ Cả hai giá trị

Câu 2.2 Khác chu kỳ Hai đầu mút là bội

Câu 2.3 Bằng chu kỳ Gần Hai đầu mút là bội

3 Một đầu mút là “bội” của đầu mút của đoạn cho trước nếu giá trị hàm số tại đó «trùng» với giá trị hàm số tại đầu mút cho trước

Câu 2.4 x0 khá x0 không chia hết

lớn cho 3 và cho 6

Câu 2.5 Khác chu kỳ Khá xa Chỉ một đầu mút là bội

3.7.4. Chiến lược và cái có thể quan sát được, ảnh hưởng của biến 3.7.4.1. Pha 1 (Phiếu số 1) Pha 1 nhằm mục đích giúp học sinh hiểu rõ hơn thông báo bài toán. Cụ thể, câu 1.1 làm cho học sinh ý thức về sự di chuyển của điểm M trên cạnh hình vuông có thể lặp đi lặp lại vô hạn lần. Do đó, miền xác định của hàm số

là [0; +). Như vậy, giá trị nhỏ nhất của x là 0 và không tồn tại giá trị lớn nhất.

Có khả năng học sinh sẽ kết luận giá trị lớn nhất của x là 24. Điều này có thể giải thích là do họ quan niệm khi M đi hết 1 vòng qua các cạnh hình vuông và trùng lại điểm A lần thứ 2 thì khoảng cách x bắt đầu tính lại từ đầu.

Câu 1.2 giúp học sinh thấy được sự tương ứng giữa giá trị x và vị trí của điểm M trên cạnh hình vuông. Có hai giá trị M trùng với trung điểm các cạnh và hai giá trị M trùng với các đỉnh. Nó cho phép học sinh phát hiện ra những vị trí khác nhau của M mà độ dài OM bằng nhau. Các vị trí đặc biệt đó cũng tạo thuận lợi cho họ trong việc trả lời câu hỏi 1.3.

Câu 1.3 có mục đích làm cho học sinh ý thức về tập giá trị của hàm số là [3;

3 2 ]. Điều này giúp họ kiểm soát được việc tính giá trị và vẽ đồ thị hàm số ở những câu hỏi tiếp theo.

3.7.4.2. Pha 2 (Phiếu số 2) Toàn bộ các câu hỏi ở pha 2 xoay quanh hai kiểu nhiệm vụ T1: “Tính giá trị

của hàm số” và T2: “Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [a; b]”.

 T1: Tính giá trị của hàm số Đối với kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi dự đoán có thể có các chiến lược sau: + S1: Chiến lược “Trượt theo cạnh hình vuông” Cho điểm M di chuyển trên các cạnh hình vuông để tìm vị trí của M tương ứng với giá trị x0. Sau đó, sử dụng định lý Pithagor (hoặc đo đoạn thẳng OM bằng thước khắc vạch) để kết luận về giá trị y tương ứng.

+ S2: Chiến lược “tuần hoàn số”

Dựa vào quy luật tuần hoàn của hàm số: giá trị của hàm số lặp lại đều đặn nếu ta thêm vào biến x, 6 đơn vị (hoặc 12, 18, 24). Có thể tính f(x0) bằng cách quy về tính giá trị hàm số tại các điểm trong đoạn [0; 6] (hoặc [0; 12],...).

Chẳng hạn, nếu x0 = x1 + 6k thì f(x0) = f(x1). + S3: Chiến lược “tuần hoàn đồ thị” Để tính f(x0), có thể vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn chứa x0, sau đó, nhìn vào

đồ thị để đọc giá trị cần tính.

+ S4: Chiến lược khác Chúng tôi nhóm vào đây tất cả các chiến lược khác với các chiến lược kể

trên.

Chẳng hạn, học sinh sẽ xây dựng biểu thức giải tích xác định hàm số, sau đó,

dựa vào các biểu thức này để tính giá trị của nó.

)

x

Các biểu thức mà họ có thể nghĩ đến là y = ax + b hoặc y = ax2 (hoặc y = ax2 + bx+c). Đây là những dạng hàm số quen thuộc mà họ đã được học ở trường THCS. Hoặc có thể họ sẽ dựa vào định lý Pithagor để tìm biểu thức xác định hàm số trên

 với mọi x  [0; 6], …

 Sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng đến các chiến lược: + Trong câu 2.1, chúng tôi cố ý đưa vào trong bảng các giá trị lặp lại, chẳng hạn f(8) = f(2), f(9) = f(3), f(11) = f(5),...Lựa chọn này một mặt giúp học sinh thấy được đặc trưng số của hàm số tuần hoàn f (có giá trị lặp đi lặp lại khi thêm vào biến x, 6 đơn vị). Mặt khác, nó tạo cơ hội làm nảy sinh chiến lược S2.

từng khoảng, ví dụ f(x) =

Tuy nhiên, giá trị x0 nhỏ của biến V5 trong câu hỏi này lại tạo điều kiện cho chiến lược S1 xuất hiện với tần xuất lớn và chiến lược S2 ít có khả năng xuất hiện hơn. Chiến lược “tuần hoàn đồ thị” S3 và chiến lược xây dựng biểu thức xác định hàm số dạng bậc nhất hay bậc hai bị ngăn cản vì bài toán không cho trước đồ thị hay bảng giá trị của hàm số. Chúng tôi dự đoán việc tìm biểu thức giải tích xác định hàm số trên từng khoảng (Chiến lược S4) cũng ít có khả năng xuất hiện vì đây là một vấn đề không dễ đối với học sinh.

+ Ngược lại, ở câu 2.4, giá trị x0 khá lớn của biến V5 sẽ làm cho việc vận dụng chiến lược S1 trở nên đắt giá. Nó sẽ tạo thuận lợi cho chiến lược “tuần hoàn số” S2, tức là chia x0 cho 24 hoặc 6. Sự lựa chọn trên cũng dẫn đến việc áp dụng chiến lược S4 bị thất bại và gây khó khăn cho chiến lược “tuần hoàn đồ thị” S3.

Giá trị của biến V6 là x0 không chia hết cho 3 và không chia hết cho 6. Trong đó, với x0 = 248 có f(248) = f(2) đã tính trong bảng. Riêng x0 = 9433 thì f(9433) = f(1) chưa được tính trước đó. Lựa chọn này sẽ tạo điều kiện xuất hiện chiến lược “tuần hoàn số” S2 một cách tường minh.

Thật vậy, nếu biến V6 nhận giá trị là x0 chia hết cho 3 hoặc cho 6 thì M sẽ trùng với trung điểm các cạnh hoặc các đỉnh của hình vuông. Khi đó, học sinh có thể dựa vào bảng đã tính ở câu 2.1 hoặc đồ thị ở câu 2.2 để rút ra quy luật là f(x0) =

 Phân tích chi tiết cái có thể quan sát:  Câu 2.1 Cái có thể quan sát gắn liền với chiến lược “trượt theo cạnh hình vuông” S1 là các vị trí của điểm M mà học sinh có thể cho trên hình vuông. Các giá trị của y được điền vào bảng là các giá trị chính xác (nếu tính bằng định lí Pythagor) hoặc gần đúng (kết quả của việc dùng thước đo độ dài OM).

3 (nếu x0 chỉ chia hết cho 3) và f(x0) = 3 2 (nếu x0 chia hết cho 6). Do vậy, họ có thể đưa ra câu trả lời chính xác mà không làm rõ được đặc trưng số cũng như chu kỳ của hàm số tuần hoàn f. Đây không phải là chiến lược mà chúng tôi mong đợi.

Chiến lược “tuần hoàn số” S2 có thể cho lời giải như sau:

x = 8, có f(8) = f(2) = 10 , x = 9, f(9) = f(3) = 3

x = 11, f(11) = f(5) = 13 , x = 12, f(12) = f(6) = 3 2

Chiến lược này chỉ áp dụng được sau khi đã tính các giá trị y tương ứng với x

thuộc đoạn [0; 6] theo chiến lược S1 hoặc chiến lược S4.

 Câu 2.4 Những câu trả lời có thể nhận được: - 1a: Trả lời không tính được với một trong các lý do sau: + Không có công thức hàm số + Không có đồ thị hàm số tại những điểm cần tính giá trị - 1b: Trả lời tính được theo một trong các chiến lược sau: S1: Chiến lược “trượt theo cạnh hình vuông”

1 3

BC). Suy ra OM = OH = 10 Với x = 248 thì M  H (H thuộc BC, HB =

1 6

Với x = 9433 thì M  K (K thuộc AB, AK = AB). Suy ra OM = OK = 13

S2: Chiến lược “tuần hoàn số”

f(248) = f(2 + 41.6) = f(2) = 10 (hoặc f(248) = f(8 + 10.24) = f(8) = 10 )

f(9433) = f(1 + 1572.6) = f(1) = 13

Lời giải này chứng tỏ học sinh đã nắm được quy luật tuần hoàn của hàm số (giá trị hàm số lặp lại khi biến x tăng lên 6 hoặc 24 đơn vị) và vận dụng vào việc tính giá trị của nó.

Cái quan sát được gắn liền với chiến lược “tuần hoàn đồ thị” S3 là đồ thị của hàm số được vẽ trên một đoạn chứa điểm x = 248 (tương tự với x = 9433). Chẳng hạn, vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [246; 252] (giống hệt đồ thị trên đoạn [0; 6]) và suy

ra f(248) = 10 (hoặc  3,2) dựa vào đồ thị.

S4: Chiến lược khác Việc tìm công thức của hàm số dạng bậc hai trong bài toán này sẽ dẫn đến thất bại. Quả thực, do các điểm đã tính ở câu 2.1 không thẳng hàng nên học sinh có thể suy nghĩ đến biểu thức của parabol. Nếu sử dụng biểu thức dạng y = ax2 và đồ

thị hàm số đi qua điểm (0; 3 2 ) sẽ không tìm được công thức biểu diễn hàm số.

Hơn nữa, dù họ tìm được một biểu thức của parabol có dạng y = ax2 + bx + c

thì việc tính giá trị hàm số tại x = 248 và x = 9433 là hết sức khó khăn.

 T2: Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [a; b] Dự đoán các chiến lược có thể: + S’1: Chiến lược “số” Tính giá trị của hàm số tại một số điểm thuộc đoạn [a; b] và biểu thị lên hệ

trục tọa độ, sau đó nối chúng lại thành một đường liền nét.

+ S’2: Chiến lược “đồ thị” Chiến lược này dựa vào sự lặp đi lặp lại của đồ thị hàm số trên những khoảng cách đều. Để vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [a; b], trước hết có thể tịnh tiến (ngầm ẩn hoặc tường minh) đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ để có toàn bộ đồ thị hàm số trên các khoảng khác. Sau đó, đánh dấu phần đồ thị hàm số trên khoảng yêu cầu.

+ S’3: Chiến lược hỗn hợp “số + đồ thị” Tính giá trị hàm số tại x = a, x = b, sau đó dựa vào hình dáng đồ thị để vẽ đồ thị hàm số trên đoạn này. Chiến lược này sử dụng kết hợp cả hai đặc trưng số và đặc trưng đồ thị.

+ S’4: Chiến lược khác

Tương tự như khi tính giá trị hàm số, học sinh sẽ xây dựng biểu thức giải tích xác định hàm số và dựa vào công thức này để vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn [a; b].

 Giá trị của biến và ảnh hưởng trên các chiến lược: + Trong câu hỏi 2.3, sự lựa chọn giá trị của các biến là: V7: độ dài của đoạn cần vẽ đồ thị bằng chu kỳ. V8: đoạn cần vẽ đồ thị gần đoạn [0; 12]. V9: hai đầu mút của đoạn đều là bội của hai đầu mút của đoạn [0; 6]. Sự lựa chọn này làm thuận lợi nhiều cho chiến lược “đồ thị” S’2 xuất hiện. Đồ thị trên đoạn [18; 24] lặp lại y hệt đồ thị trên đoạn [0; 6]. Nếu học sinh nhận ra được tính chất này chứng tỏ họ đã nắm được đặc trưng đồ thị của hàm số f đã cho. Khi đó, có thể vẽ ngay đồ thị trên đoạn [18; 24] mà không cần tính bất cứ giá trị nào.

+ Ngược lại, trong câu 2.5, giá trị của biến V7: độ dài của đoạn khác chu kỳ, V8: đoạn cần vẽ đồ thị cách khá xa đoạn [0; 12] và V9: chỉ có đầu mút thứ hai của đoạn là “bội” của đầu mút thứ 2 của đoạn [0; 6], sẽ ngăn cản chiến lược đồ thị S’2 xuất hiện.

Thật vậy, giá trị của biến V7 và biến V9 làm cho việc tịnh tiến ngầm ẩn đồ thị hàm số trên đoạn [0; 6] để được ngay đồ thị trên đoạn [154; 162] bị thất bại. Giá trị của biến V8 khiến việc tịnh tiến đồ thị trên đoạn [0; 12] để được đồ thị trên đoạn [150; 162] khó khăn vì đoạn này cách khá xa đoạn [0; 12]. Các giá trị này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược “số” S’1 và chiến lược hỗn hợp S’3 xuất hiện.

 Phân tích chi tiết cái có thể quan sát:  Câu 2.2 Chúng tôi dự đoán phần lớn học sinh sẽ tuân theo quy tắc hợp đồng đã trích dẫn ở trên, nghĩa là họ vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0; 12] bằng cách nối các điểm đã tính trong câu 2.1 thành một đường liền nét.

Cái quan sát được gắn với chiến lược “số” S’1 là các điểm trong bảng được biểu thị trên hệ trục tọa độ và được nối lại thành những đường gấp khúc hoặc đường cong. Chúng tôi cho rằng chiến lược này sẽ chiếm ưu thế.

Nếu trên đồ thị không có các điểm trên đoạn [6; 12], có thể dự đoán là học sinh đã vận dụng chiến lược đồ thị S’2 một cách ngầm ẩn. Tức là họ dựa vào hình dạng đồ thị trên đoạn [0; 6] để vẽ đồ thị hàm số trên đoạn này. Tuy nhiên, chiến

lược này ít có khả năng xuất hiện trong câu hỏi 2.2. Hơn nữa, vì bảng giá trị đã có trong câu 2.1 nên chiến lược S’4 cũng không có khả năng xuất hiện.

 Câu 2.3 S’1: Chiến lược “số” Cái quan sát được của chiến lược S’1 trong câu 2.3 là việc tính toán một số

giá trị sau: f(18) = 3 2 ,..., f(21) = 3, f(24) = 3 2 . Tuỳ theo số giá trị được tính (có đầy đủ các giá trị x tương ứng với các vị trí đặc biệt của M hay không) mà có thể nhận được hình dạng đồ thị đúng hay không. Chẳng hạn, nếu học sinh chỉ tính giá trị hàm số tại x = 18 và x = 24 thì có khả năng đồ thị nhận được là 1 đoạn thẳng đi qua hai điểm đó. Điều này cho thấy họ chưa quan tâm đến đặc trưng đồ thị của hàm số f .

S’2: Chiến lược “đồ thị” Dấu hiệu của việc vận dụng chiến lược này là đồ thị hàm số được vẽ tiếp trên đoạn [12; 18] và [18; 24] giống hệt đồ thị trên đoạn [0; 6]. Hoặc đồ thị được vẽ chỉ trên đoạn [18; 24] trong khi không cần tính bất cứ giá trị nào. Như vậy, họ đã sử dụng ngầm ẩn phép tịnh tiến. Chiến lược này cho phép dự đoán là học sinh đã nhận ra sự lặp đi lặp lại của đồ thị hàm số sau những đoạn có độ dài 6.

S’3: Chiến lược hỗn hợp “số + đồ thị”

f(18) = f(0) = 3 2 , f(24) = f(6) = 3 2 . Biểu thị hai điểm này lên hệ trục toạ

độ và nối lại theo hình dạng của đồ thị trên đoạn [0; 6].

S’4: Chiến lược khác Như trên đã nói, việc tìm biểu thức của hàm số có dạng y = ax2 (hoặc y = ax2 + bx + c) sẽ dẫn đến thất bại và bị bỏ lửng. Học sinh có thể xây dựng biểu thức xác định hàm số trên đoạn [18; 24] để tính các giá trị đặc biệt, sau đó vẽ đồ thị của nó.

 Câu 2.5 Tương tự câu 2.4, có thể nhận được câu trả lời từ chối hoặc chấp nhận việc vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [154; 162] kiểu 1a hoặc 1b. Những cái có thể quan sát gắn liền với câu trả lời có thể vẽ được đồ thị là:

S’1: Chiến lược “số”

f(154) = f(4) = 13 , ...,f(156) = f(0) = 3 2 ,...

f(159) = f(3) = 3, f(162) = f(0) = 3 2 . Đồ thị nhận được có thể là một đoạn thẳng, những đường gấp khúc hoặc

những đường cong trên từng khoảng,...

S’2: Chiến lược “đồ thị” Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [150; 156] và [156; 162]. Sau đó phần đồ thị trên

đoạn [154; 162] được đánh dấu chọn.

S’3: Chiến lược hỗn hợp “số + đồ thị” f(154) = f(4), f(162) = f(12). Suy ra đồ thị trên đoạn [154; 162] giống hệt đồ

thị trên đoạn [4; 12].

3.7.4.3. Pha 4 (Phiếu số 3) Có thể dự đoán những câu trả lời nhận được từ các nhóm học sinh về tính

)  (x  0).

chất của hàm số f như sau:

1) Hàm số có miền xác định là [0;

2) Giá trị lớn nhất là 3 2 , giá trị nhỏ nhất là 3. 3) Hàm số có giá trị lặp lại nếu ta thêm vào biến x, 6 đơn vị (hoặc 12, 18, 24). 4) Hàm số có đồ thị lặp lại sau mỗi khoảng có độ dài 6 (hoặc 12, 18, 24). 5) Có thể tính giá trị của hàm số tại một điểm x bất kì thuộc miền xác định của

nó bằng việc quy về tính f(x0) với x0  [0; 6]. Nếu x1 = x0 + 6k thì f(x1) = f(x0).

6) Từ đồ thị hàm số trên đoạn [0; 6], có thể vẽ được đồ thị của nó trên một

khoảng bất kì.

7) Các câu trả lời khác. Qua các pha trên, chúng tôi dự đoán nhiều khả năng học sinh phát hiện được các tính chất 1), 2). Các tính chất 3) và 5) cũng có khả năng xuất hiện vì chúng liên quan đến đặc trưng số của hàm số f. Đặc trưng này được thể hiện qua sự lặp lại giá trị của y trong bảng giá trị ở câu 2.1 và các tính toán ở các câu sau. Tính chất 4) và 6) liên quan đến đặc trưng đồ thị của hàm số có thể sẽ khó phát hiện hơn.

3.8. Phân tích kịch bản

Như đã đề cập ở trên, pha 1 nhắm đến mục đích giúp học sinh hiểu thông báo bài toán và làm phong phú hơn cho việc thảo luận nhóm ở pha sau. Thông qua việc nghiên cứu và trả lời các câu hỏi, học sinh sẽ nắm vững hơn quy luật chuyển động của điểm M và sự tương ứng giữa vị trí M, giá trị x và giá trị y. Trong quá trình học sinh làm việc, giáo viên sẽ quan sát và nếu học sinh có sự hiểu nhầm nào về đề toán, giáo viên sẽ có sự can thiệp kịp thời để điều chỉnh.

Pha 2 nhằm đưa vào ngầm ẩn đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn f, đồng thời cho phép vận dụng các đặc trưng này để tính giá trị và vẽ đồ thị của hàm số.

Cụ thể, thông qua bảng giá trị tính được ở câu 2.1, chúng tôi mong muốn học sinh có thể nhận ra sự lặp đi lặp lại giá trị của hàm số khi thêm vào biến số 6 đơn vị. Câu 2.2 yêu cầu học sinh vẽ đồ thị trên đoạn [0; 12] đã được tính một số giá trị đặc biệt trong câu 2.1. Điều này làm thuận lợi cho việc vẽ đồ thị của học sinh. Mục đích là thông qua đồ thị trên đoạn này, họ sẽ phát hiện ra đặc trưng đồ thị của hàm số f. Đồ thị hàm số trên đoạn [0; 6] và [6; 12] là hoàn toàn giống nhau. Như vậy, sau mỗi khoảng có độ dài 6, đồ thị hàm số có sự lặp lại.

Các câu 2.3, 2.4, 2.5 đặt học sinh vào tình huống có thể vận dụng các đặc trưng của hàm số f như một công cụ để giải quyết bài toán. Chúng tôi muốn tìm hiểu liệu họ có phát hiện ra các đặc trưng số, đặc trưng đồ thị của hàm số f? Họ có vận dụng được chúng để tính giá trị và vẽ đồ thị hàm số? Đặc trưng nào được họ ưu tiên hơn? Họ có nối khớp được hai đặc trưng đó?

Pha 3 là pha tranh luận giữa các nhóm về các kết quả đã đạt được ở pha 2. Mục đích của pha này là đánh giá kết quả của các nhóm và cho phép hợp thức hoá. Mỗi câu trả lời đúng của nhóm sẽ được tính 1 điểm. Số điểm này sẽ góp phần vào việc quyết định nhóm thắng cuộc cuối cùng. Mặt khác, sự tranh luận của các nhóm có thể làm nảy sinh các phát biểu liên quan đến các tính chất của hàm số f. Điều này sẽ làm phong phú hơn cho các câu trả lời của học sinh ở pha 4.

Pha 4 nhằm tìm hiểu những đặc trưng của hàm số tuần hoàn f mà học sinh

phát hiện được sau khi thực hiện 3 pha ở trên.

Pha 5 là pha tranh luận của cả lớp và tổng hợp của giáo viên (Thể chế hoá). Mục đích là kết luận về các đặc trưng của hàm số f: đặc trưng số, đặc trưng đồ thị, chu kỳ,...Từ đó, có thể đề cập đến các chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ trong việc nghiên cứu một hàm số tuần hoàn:

• cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có

độ dài bằng chu kỳ

• cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ

dài bằng chu kỳ

• giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Mỗi phát biểu đúng của nhóm về tính chất của hàm số f cũng được tính 1 điểm. Số điểm này được cộng với số điểm ở pha 3 để có tổng điểm của nhóm. Nhóm thắng cuộc là nhóm có số điểm cao nhất và sẽ dành được một phần quà do giáo viên chuẩn bị trước.

3.9. Phân tích hậu nghiệm

Thực nghiệm được triển khai tại lớp 10A3 (26 học sinh) của trường Trung

học thực hành Đại học Sư Phạm TP. HCM vào khoảng thời gian đầu tháng 10.

Dữ liệu thu được qua thực nghiệm bao gồm: Bài làm cá nhân của học sinh trên phiếu số 1, lời giải phiếu số 2 và phiếu số 3 của 5 nhóm được trình bày trên các áp phích, protocole của pha 2 và pha 3 cùng một số giấy nháp của học sinh.

3.9.1. Ghi nhận tổng quát Mặc dù hàm số f đã cho không quen thuộc đối với học sinh (hàm số cho bằng cách mô tả, được xác định bởi khoảng,…) nhưng qua pha 1, hầu hết học sinh đã hiểu được sự tương ứng của hàm số và trả lời được các câu hỏi đặt ra.

Ở pha 2 và pha 3, các nhóm học sinh thảo luận rất sôi nổi để giải quyết các

câu hỏi và bảo vệ ý kiến của nhóm mình.

Bảng 3.4. Thống kê chiến lược giải của các nhóm ở pha 2

Câu Câu Câu Câu Câu

2.2 2.3 2.4 2.5 2.1

Nhóm S’1 S’1 S2 S’1 I S4 và S2

Nhóm S1 S’1 S’1 S2 S’1 II

Nhóm S1 S’1 S’1 S2 S’1 III

Nhóm S1 S’1 S’1 S2 S’1 IV

Ta thấy, 4/5 nhóm học sinh đã đưa ra đầy đủ câu trả lời cho pha 2 theo các

Nhóm Không Không Không S1 S’1 V trả lời trả lời trả lời

chiến lược dự kiến. Chỉ có nhóm V chưa giải quyết được câu 2.3, 2.4 và 2.5.

Trong pha 4, học sinh nêu ra được nhiều tính chất của hàm số f trong đó có các tính chất liên quan đến sự tuần hoàn, chu kỳ, đặc trưng số của hàm số và chức năng của khái niệm tuần hoàn, chu kỳ.

Thông qua các pha thực nghiệm, đa số học sinh đã tiếp cận được các đặc trưng số, đặc trưng đồ thị của hàm số f và vận dụng được chúng trong việc giải toán.

3.9.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm 3.9.2.1. Sự xuất hiện và tiến triển của đặc trưng số của hàm số tuần hoàn

 Sự phát hiện và tiếp cận đặc trưng số Trong pha 1, tất cả học sinh đều tìm được giá trị nhỏ nhất của x là 0. Tuy

nhiên, có đến 18 học sinh kết luận giá trị lớn nhất là x = 24.

Giá trị này đã được dự đoán trong phân tích tiên nghiệm. Có thể học sinh hiểu sự di chuyển lặp đi lặp lại vô hạn lần của điểm M trên các cạnh hình vuông nhưng khi M trùng với A lần thứ hai, thứ ba,…thì giá trị của x được họ tính lại từ đầu.

Có 6 học sinh hiểu nhầm x là độ dài đoạn thẳng AM nên cho rằng giá trị lớn

nhất của x là AC = 6 2 . Tuy nhiên, sau đó, giáo viên đã có sự nhắc nhở (giải thích rõ x là quãng đường AM mà điểm M đi được trên cạnh hình vuông) để học sinh điều chỉnh. Sự hiểu nhầm trên có thể là do chúng tôi đã sử dụng từ “khoảng cách AM” trong thông báo bài toán. Nếu thay cụm từ này bằng cụm từ “quãng đường AM” có lẽ sẽ ít gây ra nhầm lẫn hơn.

2 6 x



Chỉ có duy nhất 1 học sinh (H11) đã tìm biểu thức xác định hàm số dựa vào

(



6) 18 

định lý Pithagor, theo đó y = với x[0; 6]. Học sinh này cũng đưa ra

công thức y = với x[6; 12]. Điều này chứng tỏ H11 đã

nhận ra sự lặp lại độ dài đoạn thẳng OM (lặp lại giá trị của hàm số) khi x tăng lên 6 đơn vị. Việc tính giá trị hàm số tại các x  [6; 12] được quy về tính giá trị hàm số trên đoạn [0; 6] bằng cách trừ bớt x đi 6 đơn vị.

Trong câu 1.2 và 1.3, đa số học xác định được vị trí của điểm M tương ứng với các giá trị của x và tìm được giá trị nhỏ nhất của OM là 3 (khi M trùng với trung

điểm các cạnh), giá trị lớn nhất là 3 2 (khi M trùng với các đỉnh của hình vuông).

Như vậy, qua pha 1, học sinh đã có những hiểu biết ban đầu về sự tương ứng của hàm số f và một số tính chất của nó. Hầu hết họ (ngoại trừ H11) chưa phát hiện ra và chưa quan tâm đến sự lặp đi lặp lại giá trị của hàm số.

Trong pha 2, ở câu 2.1, tất cả các nhóm đều điền đúng và đầy đủ vào bảng trong thời gian rất nhanh. 4 trong 5 nhóm sử dụng chiến lược “trượt theo cạnh hình vuông” S1. Có lẽ do ở pha 1 làm việc cá nhân, họ đã xác định được một số vị trí của điểm M tương ứng với x và việc sử dụng định lý Pithagor để tính độ dài đoạn thẳng là khá quen thuộc đối với học sinh. Xem xét giấy nháp của các nhóm, chúng tôi thấy các vị trí của điểm M được học sinh đánh dấu trên cạnh hình vuông.

Ở câu hỏi này, một thành viên nhóm V đã phát hiện ra sự lặp đi lặp lại của

- H4: (chỉ số 11), giá trị này lớn, mình trừ 6 là nó ra giá trị tương đối ở bên

hàm số nhưng chưa phát biểu được một cách rõ ràng.

kia (Protocole câu 53, nhóm V).

Qua câu 2.3, ba nhóm II, III, IV vẫn tính giá trị hàm số tại các điểm nguyên x

= 18, x = 19,…, x = 24 bằng chiến lược “trượt theo cạnh hình vuông” S1.

Như vậy, cho đến câu 2.3, hầu hết các nhóm chưa phát hiện ra sự lặp đi lặp lại giá trị hàm số trên những đoạn có độ dài 6 và chưa vận dụng được đặc trưng đó để tính giá trị hàm số. Có lẽ các giá trị x0 cần tính f(x0) ở đây là tương đối nhỏ. Do đó, họ chưa có nhu cầu sử dụng đến chiến lược “tuần hoàn số” S2.

Tuy nhiên, sau khi tính giá trị hàm số tại các điểm nguyên thuộc đoạn [18;

24], các nhóm đã bắt đầu phát hiện ra đặc trưng này.

- H12: 18 ứng với 0, 20 ứng với 2, 21 ứng với 3, 24 ứng với 6 (Protocole câu

21, nhóm II)

2 6 x



- H1: cách 6 đơn vị thì bằng nhau (Protocole câu 30, nhóm III)  Sự vận dụng đặc trưng số Nhóm I là nhóm phát hiện ra đặc trưng số của hàm số f sớm nhất và vận dụng nó vào tính giá trị hàm số ngay từ câu 2.1. Thật vậy, do trong nhóm này có mặt học sinh H11 (đã tìm được biểu thức xác định hàm số trên đoạn [0; 6] là y =

) nên nhóm sử dụng biểu thức này để tính y tương ứng với x.

Sau đó, các giá trị x trên đoạn [6; 12], [18; 24] đều được tính theo chiến lược

“tuần hoàn số” S2.

f(8) = f(2), f(9) = f(3), f(12) = f(6). (Protocole câu 1, 2, nhóm I). Đến câu 2.4, có sự tiến triển rõ ràng trong nhận thức của các nhóm học sinh. Cả 4 nhóm I, II, III và IV đều tính được chính xác các giá trị yêu cầu bằng chiến lược “tuần hoàn số” S2. Điều này thể hiện qua lời giải thích của các nhóm ở pha tranh luận sau đó.

- Lấy 248 chia 6 dư 2, ta có f(248) = f(2) = 10 (Protocole câu 72, 74, 76)

- M đi hết 1 hình vuông là 24 đơn vị, lấy 248 chia 24 dư 8, f(248) = f(8) = 10

(Protocole câu 81)

(Protocole câu 85)

- Nếu x (6;  ) thì x = 6k + a, f(x) = f(a) Ta thấy sự lựa chọn giá trị của biến V5: x0 khá lớn trong câu hỏi này đã làm cho chiến lược S2 chiếm ưu thế. Trừ nhóm V, tất cả các nhóm còn lại đã quy việc tính f(x0) với x0 khá lớn về việc tính f(x1) với x1 là số dư trong phép chia x0 cho 24 hoặc 6. Điều này chứng tỏ các nhóm học sinh đã phát hiện ra sự lặp lại giá trị của hàm số khi biến số tăng lên 24 hay 6 đơn vị. Nghĩa là họ đã tiếp cận và vận dụng được đặc trưng số của hàm số tuần hoàn f để tính giá trị của nó.

Nhận xét trên càng được khẳng định hơn khi xem xét câu 2.5. Cả 4 nhóm đều tính giá trị hàm số tại các điểm nguyên thuộc đoạn [154; 162] theo chiến lược “tuần hoàn số” S2 rồi sau đó vẽ đồ thị hàm số trên đoạn này.

(Protocole câu 8, nhóm I)

- tính f(162), lấy 162 chia 6 cho dễ tính - đoạn [154; 162] lấy tương ứng đoạn [4; 8], 4 ứng với 154, 8 ứng với 162

(protocole câu 26, nhóm II)

- 154 : 6 dư 4 suy ra 10

162 : 6 = 27 suy ra 3 2 (do chia hết)

155 : 6 dư 5 suy ra 13 (Protocole câu 34, nhóm III)

Như vậy, đến câu hỏi 2.4, 2.5, thì 4/5 nhóm học sinh đã vận dụng tường minh đặc trưng số của hàm số tuần hoàn f trong lời giải và giải thích của nhóm mình. Các tính chất được phát biểu ở pha 4 của cả 5 nhóm cũng thể hiện đặc trưng đó:

- y có tính tuần hoàn: xZ+ còn y biến đổi tuần hoàn từ

(nhóm III) 3 2  13  10  3  3 2  13  10  3

(nhóm III)

2 6 x



- f(x) = f(x + 6) - Giá trị của y theo chu kỳ của x (x từ 1 đến 6, 6 đến 12,…) (nhóm IV)

y = f(x) = - Khi x [0; 6],

2 6 r



x[6;   ), x viết dưới dạng x = 6k + r, kN, r [0; 6]

thì f(x) = f(r) =

(nhóm I)

- Hàm số tuần hoàn theo chu kỳ, luân phiên tăng giảm (nhóm II)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 đến 3, 6 đến 9, 12 đến 15,…, đồng biến

(nhóm

trên khoảng 3 đến 6, 9 đến 12,… V)

Ta thấy nhóm I và nhóm III đã phát biểu đặc trưng số của hàm số tuần hoàn f dưới dạng đẳng thức tổng quát. Đặc biệt, nhóm I đã mô tả được chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ: cho phép tính giá trị hàm số tại một điểm bất kỳ bằng cách quy về tính giá trị hàm số trên đoạn [0; 6].

Các nhóm còn lại cũng đã đề cập được đến sự lặp đi lặp lại giá trị của hàm số bằng những cách mô tả khác nhau (y biến đổi tuần hoàn qua các giá trị

3 2  13  10  3  3 2  13  10  3, giá trị của y theo chu kỳ của x,

luân phiên tăng giảm,…). Theo giải thích của học sinh, thuật ngữ tuần hoàn, chu kỳ được sử dụng ở đây với nghĩa là sự lặp đi lặp lại sau một khoảng cố định nào đó.

Tóm lại, qua các pha thực nghiệm, 4/ 5 nhóm học sinh thật sự đã tiếp cận và

vận dụng được đặc trưng số của hàm số tuần hoàn f.

3.9.2.2. Sự xuất hiện và tiến triển của đặc trưng đồ thị của hàm số tuần

hoàn f

Sự xuất hiện và vận dụng đặc trưng đồ thị theo các nhóm được tóm tắt trong

bảng sau:

Nhóm I Nhóm II Nhóm III Nhóm IV Nhóm V

Tiếp cận x x x

Vận dụng x x x

Như vậy, 3/5 nhóm học sinh đã tiếp cận và vận dụng được đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn f. Nhóm III không quan tâm đến đặc trưng đồ thị và giải quyết tất cả các câu hỏi hoàn toàn dựa vào đặc trưng số.

Thật vậy, ở câu 2.1, từ sự lặp đi lặp lại giá trị của y trong bảng giá trị, các

nhóm học sinh bắt đầu phát hiện ra sự lặp đi lặp lại của đồ thị hàm số.

(Protocole câu 3, nhóm I)

- Đồ thị là những đường - Nó giống như xung điện từ, cứ đi lên đi xuống hoài - Lấy đúng một chu kỳ thôi, những cái kia lặp lại, lấy đối xứng (Protocole câu

16, 17, nhóm II)

- Nó như vầy: - Vẽ 3 điểm đầu là ra, các cái sau trùng lại (Protocole câu 44, 46, nhóm IV)

2 6 x



Mặc dù vậy, trong câu 2.2 và 2.3, tất cả các nhóm đều sử dụng chiến lược “số” S’1 (trừ nhóm V chưa vẽ được đồ thị ở câu 2.3). Chiến lược “đồ thị” S’2 và chiến lược hỗn hợp “số + đồ thị” S’3 không xuất hiện. Chỉ có 2 nhóm (I và IV) nối các điểm thành những đường cong, các nhóm còn lại nối thành đường gấp khúc. Câu 68 trong protocole cho thấy nhóm IV cũng phát hiện ra biểu thức của hàm số

(tương tự nhóm I) cho nên họ vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0; 6] là y =

là những đường cong.

Tại sao chiến lược S’1 lấn át hoàn toàn các chiến lược khác? Phải chăng học sinh không nhận ra đồ thị hàm số trên đoạn [6; 12] và [18; 24] lặp lại y hệt đồ thị trên đoạn [0; 6]?

Chúng ta xem xét protocole tranh luận của các nhóm:

- M di chuyển hết 1 vòng thì giá trị lặp lại, câu 2.2 và 2.3 tương tự, chỉ cần vẽ

một hình.

- Đồ thị trên đoạn [6; 12] giống đồ thị trên [0; 6] - Đồ thị trên đoạn [18; 24] giống đồ thị trên [0; 6]. (Protocole câu 4, 5, 6,

nhóm I)

- Vẽ đồ thị trên [0; 6] rồi lấy đối xứng ra [6; 12], đồ thị cứ lên xuống hoài - Nghĩa là nó lặp lại theo chu kỳ (Protocole câu 18, 19, nhóm

II)

Như vậy, sau khi có đồ thị trên đoạn [0; 12], các nhóm đã phát hiện ra sự lặp đi lặp lại của đồ thị hàm số trên những đoạn có độ dài 6. Việc họ giải quyết các câu 2.2 và 2.3 theo chiến lược “số” có thể giải thích là do họ tìm cách tuân theo một quy tắc ngầm ẩn khác của hợp đồng:

“Để vẽ đồ thị hàm số, cần phải tính giá trị hàm số tại một số điểm đặc biệt” Việc dùng đồ thị trên một đoạn này để suy ra đồ thị trên đoạn khác (bằng phép tịnh tiến ngầm ẩn) là một kỹ thuật không quen thuộc đối với họ. Vì vậy, mặc dù đã phát hiện ra sự lặp đi lặp lại của đồ thị hàm số và biết được hình dạng đồ thị, họ vẫn tính giá trị hàm số tại các điểm đặc biệt và biểu thị chúng lên hệ trục tọa độ.

Câu 2.5, cả 4 nhóm đều sử dụng chiến lược “số” S’1. Trong đó, nhóm III và IV lập bảng tính giá trị hàm số tại các điểm nguyên trong đoạn [154; 162] và vẽ được hình dạng gần đúng của đồ thị. Hai nhóm I, II chỉ tính một vài giá trị rồi nối lại và hình dạng đồ thị không chính xác.

Tuy nhiên, theo ghi nhận của những người quan sát và các ghi âm, các nhóm này đã phát hiện ra đồ thị hàm số trên đoạn [154; 162] giống hệt đồ thị trên 1 đoạn thuộc đoạn [0; 12] đã vẽ.

- Đoạn [152; 164] lấy tương ứng đoạn [4; 8], 4 ứng với 154, 8 ứng với 162.

Vẽ đoạn [4; 8] thôi đừng vẽ khoảng bự. (Protocole câu 26, nhóm II)

- Vẽ đồ thị trên đoạn [154; 162] giống trên đoạn [2; 12] (Protocole câu 9,

nhóm I)

Mặc dù hai nhóm này đã tính sai một đầu mút nhưng họ đã phát hiện ra sự lặp đi lặp lại của đồ thị hàm số. Họ đã biết quy việc vẽ đồ thị trên một đoạn có đầu mút lớn về một đoạn có đầu mút nhỏ hơn đã biết đồ thị. Điều này cho thấy sự tiến triển trong nhận thức của họ về đặc trưng đồ thị của hàm số f. Việc họ kết luận sai về một đầu mút và vẽ không đúng hình dạng đồ thị có lẽ là do vấn đề về thời gian.

Ở pha tranh luận sau đó, học sinh đã nhận ra hình dạng đúng của đồ thị trên

đoạn [154; 162] để đánh giá về tính đúng sai của đồ thị của các nhóm.

Tuy vậy, trong pha 4, tính chất lặp đi lặp lại của đồ thị hàm số không được nêu lên một cách tường minh. Nhóm III và nhóm V không đề cập đến đặc trưng đó trong pha thảo luận nhóm nhưng câu trả lời ở pha 4 cho thấy họ cũng nhận ra đặc trưng này một cách ngầm ẩn.

- Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 đến 3, 6 đến 9, 12 đến 15,…, đồng biến

trên khoảng 3 đến 6, 9 đến 12,… ( nhóm III, nhóm V)

Tóm lại, qua các pha thực nghiệm, 3/5 nhóm học sinh đã phát hiện ra đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn f và có thể vận dụng nó trong việc vẽ đồ thị của hàm số. Tuy nhiên, khi trình bày lời giải, họ đã không sử dụng đặc trưng này mà chủ yếu thiên về đặc trưng số.

 Giải thích việc bỏ trống câu 2.3, 2.4, 2.5 của nhóm V Quan sát giấy nháp, các ghi chép của những người quan sát và các ghi âm cho thấy nhóm V không giải quyết được 3 câu trên là do họ mất quá nhiều thời gian vào việc tìm biểu thức xác định hàm số – chiến lược S4.

- Cái này giống như là parabol đó, 6 là điểm đối xứng đó. (Protocole câu 55,



nhóm V)

b a 2

- Trục đối xứng là là 1 đường thẳng. (Protocole câu 56)

- Có thể là đường thẳng hoặc parabol (Protocole câu

57)

(Protocole câu

- Giờ mình đi tìm hàm số y = f(x) đi. Phải tìm hàm số xong mới vẽ được. 58) - Xác định hàm số của nó là gì? (Protocole câu



59)



b   a 2    a 4

- Tìm ra được c là 18 , tọa độ đỉnh . Giải hệ tìm a, b đi (Protocole

câu 63)

Các tính toán trong giấy nháp chứng tỏ họ thất bại trong việc tìm biểu thức

hàm số dạng y = ax2 + bx + c vì các hệ số quá lẻ.

Như vậy, mặc dù ngay từ câu 2.1, một học sinh trong nhóm đã phát hiện ra sự lặp lại của hàm số nhưng phát hiện đó không được phát triển trong nhóm. Học sinh tập trung quá nhiều vào việc tìm biểu thức xác định hàm số mà không phát hiện ra các đặc trưng của nó. Điều này có thể là do ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế: hầu hết các bài tập về tính giá trị và vẽ đồ thị hàm số trong SGK phổ thông thì hàm số luôn được cho trước bằng một công thức. Vì vậy, học sinh luôn tìm cách xác định công thức của hàm số rồi mới tính giá trị và vẽ đồ thị của nó.

3.9.2.3. Sự nối khớp giữa đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số

tuần hoàn f

Các phân tích ở trên chứng tỏ sau khi có bảng giá trị hàm số trên đoạn [0; 12] và biểu thị lên hệ trục tọa độ, các nhóm I, II, IV đã nhận ra sự lặp đi lặp lại của đồ thị hàm số. Như vậy, đặc trưng đồ thị của hàm số f được phát hiện trước hết.

- Đồ thị là những đường

(protocole câu 3, 5, nhóm I)

- Đồ thị trên [6; 12] giống trên [0; 6] - Nó giống như xung điện từ, nó cứ đi lên đi xuống hoài - Vẽ đồ thị trên [0; 6] rồi lấy đối xứng ra [6; 12], đồ thị cứ lên xuống hoài.

(Protocole câu 16, 18, nhóm II)

Qua câu 2.3, học sinh đã nối khớp được đặc trưng số và đặc trưng đồ thị với nhau. Sự lặp đi lặp lại giá trị hàm số được gắn liền với sự lặp đi lặp lại của đồ thị.

Giá trị hàm số bằng nhau tại những điểm x hơn kém nhau 6 đơn vị tương ứng với đồ thị hàm số giống nhau trên những đoạn cách nhau 6 đơn vị.

- M di chuyển một vòng thì giá trị lặp lại, đồ thị ở câu 2.2, 2.3 giống nhau nên

chắc chỉ vẽ một đồ thị

(Protocole câu 4, 6, nhóm I) - Đồ thị trên [18; 24] giống [0; 6] Đặc biệt, sự nối khớp đó tiến triển rõ rệt qua câu 2.5 của thực nghiệm. Để vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có các đầu mút khá lớn và có độ dài khác chu kỳ ([154; 162]), học sinh đã quy về vẽ đồ thị trên một đoạn có đầu mút nhỏ hơn đã biết đồ thị. Việc tìm các đầu mút tương ứng là kết quả của việc sử dụng đặc trưng số. Đặc trưng đồ thị cho phép khẳng định đồ thị trên các đoạn đó là giống nhau.

Vẽ đoạn [4; 8] thôi đừng vẽ khoảng bự

- Vẽ đồ thị trên [154; 162] giống trên đoạn [2; 12] (Protocole câu 9, nhóm I) - Đoạn [154; 162] lấy tương ứng đoạn [4; 8], 4 ứng với 154, 8 ứng với 162. (Protocole câu 26, nhóm II) Như vậy, học sinh đã thiết lập được mối liên hệ giữa các đặc trưng của hàm số tuần hoàn f. Tuy nhiên, đặc trưng số vẫn chi phối lời giải của họ. Đặc trưng đồ thị chỉ được đề cập trong pha thảo luận nhóm.

3.9.2.4. Sự xuất hiện của thuật ngữ tuần hoàn và chu kỳ Trong pha 2 và pha 4, một số nhóm học sinh đã phát hiện ra chu kỳ của hàm số f và sử dụng tường minh các từ tuần hoàn, chu kỳ để mô tả tính chất của hàm số.

(Protocole câu 17, 19, 25, nhóm II)

- Lấy đúng một chu kỳ thôi, những cái kia lặp lại, lấy đối xứng - Nghĩa là nó lặp lại theo chu kỳ - Chu kỳ 6 thôi tính - y có tuần hoàn: xZ+ còn y biến đổi tuần hoàn từ

3 2  13  10  3  3 2  13  10  3 (nhóm III)

(nhóm IV)

- Giá trị của y theo chu kỳ của x (x từ 1 đến 6, 6 đến 12,…) - Hàm số tuần hoàn theo chu kỳ, luân phiên tăng giảm (nhóm II) Như trong chương 2 đã làm rõ, học sinh đã được tiếp xúc với các khái niệm tuần hoàn và chu kỳ ở trường THCS qua khái niệm vòng tuần hoàn máu, số thập phân vô hạn tuần hoàn, chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn,… Khái niệm tuần hoàn tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại. Vì vậy, thuật ngữ tuần hoàn ở đây cũng được họ sử dụng để mô tả sự lặp đi lặp lại, luân phiên tăng giảm,…của hàm số. Chu kỳ của hàm số f là 6, là độ dài nhỏ nhất trong các độ dài mà sau đó giá trị của hàm số lặp lại.

3.10. Kết luận

Những phân tích trên chứng tỏ thực nghiệm B đã cho phép hợp thức giả thuyết

nghiên cứu H2 đề ra cuối chương 2.

Qua các pha thực nghiệm, chúng tôi ghi nhận được trong nhận thức của học

sinh đã xuất hiện các đặc trưng sau của hàm số tuần hoàn f:

- Đặc trưng số: giá trị hàm số lặp đi lặp lại khi thêm vào biến x, 6 đơn vị. - Đặc trưng đồ thị: đồ thị hàm số lặp đi lặp lại sau những khoảng có độ dài

bằng 6.

Phần lớn học sinh đã tiếp cận được các đặc trưng này và thiết lập được một cách ngầm ẩn sự liên hệ giữa chúng. Đồng thời họ cũng đã vận dụng được chúng như một công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toán đặt ra trong tình huống.

KẾT LUẬN

Việc phân tích đồng thời khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy cũng như các kết quả thu được từ 2 thực nghiệm A và B cho phép chúng tôi có câu trả lời thỏa đáng cho những câu hỏi đặt ra từ đầu luận văn và khẳng định các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra. Sau đây là một số kết quả chính của nghiên cứu.

1. Trong chương 1, qua việc tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn và phân tích một số giáo trình Toán, Vật lý ở bậc đại học, chúng tôi đã làm rõ được đặc trưng của mối quan hệ thể chế dạy học ở bậc đại học với khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn.

- Hàm số tuần hoàn luôn được định nghĩa trên tập xác định D, là hàm số thoả mãn điều kiện f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D (T là một hằng số nào đó). Chu kỳ của hàm số có thể định nghĩa là mọi số T (hoặc là số T dương nhỏ nhất) thoả mãn hai điều kiện:

• Nếu x thuộc D thì x + T thuộc D và ngược lại • f(x) = f(x + T) - Hàm số tuần hoàn có hai đặc trưng cơ bản: đặc trưng số và đặc trưng đồ thị.

Các đặc trưng này được thể hiện ngầm ẩn thông qua định nghĩa hàm số tuần hoàn.

- Các chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ: • Cho phép giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. • Cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một khoảng có độ

dài bằng chu kỳ.

• Cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có

độ dài bằng chu kỳ.

2. Trong chương 2, chúng tôi đã làm rõ đặc trưng và ràng buộc của thể chế dạy

học ở trường phổ thông với khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn.

với mọi x thuộc R.

+ Đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn được đề cập tường minh và có sự nối khớp giữa chúng. SGK nhấn mạnh đến lợi ích của việc nghiên cứu tính tuần hoàn

4 Chúng tôi chỉ hạn chế trong một bộ SGK Toán của Pháp là bộ Collection Terracher, 1995

- Trong thể chế dạy học toán ở Pháp4 + Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T thỏa mãn đẳng thức f(x + T) = f(x)

của hàm số. Nghĩa là nhấn mạnh các chức năng cho phép vẽ đồ thị (tính giá trị) hàm số tuần hoàn khi biết đồ thị (giá trị) của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ.

- Trong thể chế dạy học Việt Nam + Trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy ở lớp 11, thuật ngữ tuần hoàn đã được xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như hóa học, sinh học, toán học,… Từ tuần hoàn luôn được sử dụng để mô tả một sự lặp đi lặp lại, một chu trình khép kín.

+ Khái niệm hàm số tuần hoàn luôn được định nghĩa trên tập xác định D với chu kỳ

là số T dương nhỏ nhất thỏa mãn f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc D.

+ Các SGK chỉ nghiên cứu một loại hàm số tuần hoàn duy nhất, đó là các hàm số

lượng giác với chu kỳ luôn luôn chứa .

Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc dự đoán sự tồn tại các

quy tắc hợp đồng RE1, RE2 và các giả thuyết nghiên cứu H1, H2, H3.

+ Vị trí, vai trò của khái niệm hàm số tuần hoàn ngày càng mờ nhạt trong các SGK. Đặc trưng của hàm số tuần hoàn về cả hai phương diện số và đồ thị không được đưa vào đầy đủ và không thể hiện được mối liên hệ giữa chúng. Do đó, các chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ cũng không được nhấn mạnh.

RE1: Chu kì của hàm số lượng giác phải là một biểu thức số chứa .

RE2: Nếu hàm số y = f(x) thoả mãn điều kiện f(x + T) = f(x) với mọi x thì f(x) là

hàm số tuần hoàn chu kỳ T.

Giả thuyết nghiên cứu: H1: Trước khi khái niệm hàm số tuần hoàn được giảng dạy chính thức ở lớp

11, khái niệm tuần hoàn tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại.

H2 (hệ quả của H1): Sự xuất hiện ở học sinh khái niệm tuần hoàn với nghĩa “lặp đi lặp lại” tạo thuận lợi cho họ trong việc tiếp cận đặc trưng số và đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn.

H3: Giả thuyết về sự tồn tại của các quy tắc hợp đồng RE1, RE2 3. Chương 3 dành cho hai nghiên cứu thực nghiệm. Thực nghiệm A trên học sinh lớp 10 đã làm rõ quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm tuần hoàn trước khi họ được học chính thức khái niệm hàm số tuần hoàn. Kết quả thực nghiệm đã chứng tỏ khái niệm tuần hoàn tồn tại ở học sinh với nghĩa là sự lặp đi lặp lại. Điều này cho phép khẳng định giả thuyết H1 và là cơ sở để xây dựng thực nghiệm B sau đó.

Thực nghiệm B bao gồm việc xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với các đặc trưng cơ bản của hàm số tuần hoàn và

vận dụng chúng để giải toán. Kết quả thu được chứng tỏ tính hợp thức của giả thuyết H2.

Để xây dựng được một tình huống dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn thỏa mãn hơn các đặc trưng khoa học luận của nó, cần phải tiến hành phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm này. Tuy nhiên, do không tìm được nguồn tư liệu thích ứng và do khuôn khổ giới hạn của một luận văn thạc sĩ, chúng tôi chưa thực hiện được nghiên cứu này, cũng như chưa tiến hành thực nghiệm kiểm chứng sự tồn tại của các quy tắc hợp đồng RE1, RE2. Đó là những hướng nghiên cứu có thể gợi ra từ luận văn này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Bùi Phương Nga, Lê Thị Thu Dinh (2006), Tự nhiên và xã hội 3, Nxb giáo dục. 2. Đào Văn Phúc, Dương Trọng Bái, Nguyễn Thượng Chung, Vũ Quang (2005),

Vật lý 12, Nxb giáo dục.

3. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2004), Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Nxb

giáo dục.

4. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2004), Sách bài tập Đại số và giải tích 11, Ban

KHTN, Nxb giáo dục.

5. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2004), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, Ban

KHTN, Nxb giáo dục.

6. G.M.Fichtengôn (1977), Cơ sở giải tích toán học, Nxb Đại học miền nam. 7. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy học toán: Đồ án didactic trong môi trường máy tính bỏ túi, Luận văn thạc sĩ giáo dục học.

8. Lương Duyên Bình, Dư Trí Công, Nguyễn Hữu Hồ (2001), Vật lý đại cương,

Nxb giáo dục.

9. Nguyễn Bá Kim (1994), Phương pháp dạy học môn Toán (những vấn đề cụ

thể), Nxb giáo dục.

10. Nguyễn Bá Kim (1994), Phương pháp dạy học môn Toán (phần đại cương),

Nxb giáo dục.

11. Nguyễn Đình Trí (1995), Toán học cao cấp, Nxb giáo dục. 12. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học.

13. Phan Đức Chính (chủ biên) (2006), Toán 7, Tập 1, Nxb giáo dục. 14. Phan Quốc Khánh (1998), Phép tính vi tích phân, Nxb giáo dục. 15. Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục – Một nghiên cứu khoa học luận và

didactic, Luận văn thạc sĩ giáo dục học.

16. Trần Văn Hạo (chủ biên) (2000), Đại số và giải tích 11, Nxb giáo dục. 17. Trần Văn Hạo (chủ biên) (2000), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, Nxb

giáo dục.

18. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) (2004), Đại số và giải tích 11, Ban KHTN, Nxb

giáo dục.

19. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) (2004), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11,

Ban KHTN, Nxb giáo dục.

20. Trần Văn Hạo, (tổng chủ biên) (2004), Sách bài tập Đại số và giải tích 11, Ban

KHTN, Nxb giáo dục.

21. Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991), Đại số và giải tích 11, Nxb giáo dục. 22. Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11,

Nxb giáo dục.

23. Vũ Như Thư Hương (2005), Khái niệm xác suất trong dạy – học toán ở trung

học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học.

Tiếng Pháp

24. BAREK Miloud (1995), Introduction et utilisation de la notion de fonction en classe de seconde en tant qu’outil mathématique, Mémoire professionnel de mathématiques.

25. David LECARME (2000), Lien entre fonctions usuelles et fonctions deduites dans le carde géometrique en classe de seconde, Mémoire professionnel de mathématiques.

26. Elodie FOREL, Ludovic BOUCHERON (2002), Les registres attachés à la notion de fonction: leur importances et leurs relations entre eux, Mémoire professionnel de mathématiques.

27. Hélène Olivé, Premiere rencontre avec une fonction prériodique. 28. Lê Văn Tiến (2001), Étude didactique des lien entre fonctions et équations dans l’enseignement des mathématiques au lycée en France et au Vietnam, Thèse de docteur de l’Université Joseph Fourier – Grenoble.

29. Michèle Artigue (1992), Ingénierie didactique, Recherche en didactique des

mathématiques, La pensée sauvage édition.

30. Nicolas LEGATELOIS, Olivier RUINAT (1997), Le changement de cardes, Sa réalisation à travers l’étude d’une situation géométrique à l’aide d’une fonction, Mémoire professionnel de mathématiques.

31. P.-H. TERRACHER – R. FERACHOGLOU (1995), Math seconde,

HACHETTE Éducation.

32. Présentation du pendule de Foucault à Tours, Cahier Animateur (2006). 33. Samuel Johsua, Jean – Jacque Dupin (1993), Introduction à la didactique des

siences et des mathématique, Quadrige PUF.

34. Yves Chevallard (1991), La transposition didactique du savoir savant au savoir

enseigné, La pensée sauvage édition.

Tiếng Anh

35. V.V.ZAITSEV, V.V.RYZHKOV, M.I.SKANAVI

(1976), Elementary Mathematics, A review course, Translated from the Russian by George Yankovsky, Mir Publishers Moscow.

PHẦN PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Các câu hỏi và bài toán trong thực nghiệm A

Phụ lục 2: Một số bài làm của học sinh trong thực nghiệm A

Phụ lục 3: Các câu hỏi và bài toán trong thực nghiệm B

Phụ lục 4: Bài giải của các nhóm trong pha 2

Phụ lục 5: Protocole pha 2 và pha 3

Phụ lục 6: Câu trả lời của các nhóm trong pha 4

PHỤ LỤC 1: Các câu hỏi và bài toán trong thực nghiệm A

Họ và tên học sinh: .............................................................................................................

Lớp : .....................................................................................................................................

PHA 1

(Làm việc cá nhân, thời gian 20 phút)

Câu 1. Xét các biểu đồ dưới đây.

a) Biểu đồ 1 : Biểu đồ nhịp đập quả tim của một bệnh nhân (điện tâm đồ)

b) Biểu đồ 2 : Biểu đồ mô tả tác động của một sóng (cơ học) tại một vùng.

c) Biểu đồ 3 : Biểu đồ tăng trưởng kinh tế Đài Loan từ năm 1991 đến năm 2001

(Theo trang web “Hỗ trợ các doanh nghiệp TP.HCM hội nhập kinh tế thế giới”)

Em hãy quan sát các biểu đồ trên và nêu nhận xét về đặc trưng (tính chất) của

từng biểu đồ.

Trả lời

...............................................................................................................................................

Câu 2. Cho các hàm số có đồ thị được biểu diễn như sau dây.

- Đồ thị hàm số thứ nhất:

y

1.5

0.5

x

-3/2

-

-/2

/2



3/2

2

-0.5

-1

-1.5

- Đồ thị hàm số thứ 2:

1 -2 -1 -3 -5 -4 -6

x O

- Đồ thị hàm số thứ 3:

y

x

-2

-1

-2

-4

-6

-8

- Đồ thị hàm số thứ 4:

y

x

-2

-3/2

-

-/2

/2



3/2

2

-5

-10

-15

Hãy quan sát các đồ thị trên và nêu nhận xét về đặc trưng của từng hàm số đó.

Trả lời

...............................................................................................................................................

Họ và tên học sinh: .............................................................................................................

Lớp : .....................................................................................................................................

PHA 2

(Làm việc cá nhân, thời gian 10 phút)

Câu 3. Em hãy viết 3 câu có chứa từ “tuần hoàn”.

Trả lời

...............................................................................................................................................

Câu 4. Theo em, “tuần hoàn” có nghĩa là gì ?

Trả lời

...............................................................................................................................................

PHỤ LỤC 3: Các câu hỏi và bài toán trong thực nghiệm B

THÔNG BÁO BÀI TOÁN

Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng 6 (cm). M x A B Bắt đầu từ đỉnh A, một điểm M chuyển động trên

y cạnh của hình vuông, theo lộ trình:

A  B  C  D  A B  C  … 6 O Kí hiệu x là khoảng cách AM mà điểm M di

chuyển được trên cạnh của hình vuông tính từ A

và y là độ dài OM tương ứng. D C

Gọi f là hàm số đặt tương ứng mỗi giá trị x = AM

f x ( )

với độ dài y = OM.

y 

Hãy nghiên cứu tính chất của hàm số f, bằng cách giải quyết các nhiệm vụ ghi rõ

trong các phiếu sau đây mà người ta sẽ lần lượt phát cho các em.

PHIẾU SỐ 1

(làm việc cá nhân trong 13 phút)

1.1. Giá trị nhỏ nhất của x là bao nhiêu? Giá trị lớn nhất của x là bao nhiêu?

1.2. Khi x = 0, x = 3, x = 7, x = 12 hoặc x = 21 thì M tương ứng với những vị trí

nào trên cạnh hình vuông?

1.3. Giá trị lớn nhất của OM bằng bao nhiêu? Giá trị nhỏ nhất của OM bằng bao

nhiêu?

TRẢ LỜI

..........................................................................................................................................

PHIẾU SỐ 2

(làm việc theo nhóm trong 35 phút)

2.1. Hãy điền giá trị thích hợp vào các ô trống trong bảng sau đây :

x 2 3 6 8 9 11 12 0 5

y = OM

2.2. Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0; 12].

2.3. Vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [18; 24].

2.4. Em có thể tính f(248) và f(9433) được không?

- Nếu không, giải thích vì sao?

- Nếu có, hãy tính các giá trị đó.

2.5. Em có thể vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [154; 162] được không?

- Nếu không, giải thích vì sao?

- Nếu có, hãy vẽ đồ thị hàm số trên đoạn đó.

PHIẾU SỐ 3

(làm việc theo nhóm trong 7 phút)

Hãy liệt kê tất cả các tính chất của hàm số f đã cho mà nhóm phát hiện ra. Nhóm

thắng cuộc là nhóm liệt kê được nhiều tính chất đúng của hàm số.

TRẢ LỜI

..........................................................................................................................................

......................................................................................................................................

PHỤ LỤC 5: Protocole pha 2 và pha 3

PHA 2

2 6 x



NHÓM I (Gồm các học sinh H3, H7, H11, H17, H19)

(1) với x  [0; 6] 1. H11: Sử dụng định lý Pitago lập hàm số y =

Để tính f(12) lấy 12 – 6 = 6, thay 6 vào (1) tính f(12) Để tính f(8) lấy 8 – 6 = 2, thay 2 vào (1) tính f(8)

2. H3: Để tính f(9) lấy 9 – 6 = 3, thay 3 vào (1) tính f(9) Nhóm phân công mỗi thành viên tính một vài giá trị. Sau đó, nhóm xác định những điểm vừa tính trên hệ trục và vẽ đồ thị. 3. H7: Đồ thị là những đường cong: 4. H3: M di chuyển một vòng thì giá trị lặp lại, đồ thị ở câu 2.2, 2.3 giống nhau nên

chắc chỉ vẽ một đồ thị. 5. H3: Đồ thị trên [6; 12] giống trên [0; 6] 6. H11: Đồ thị trên [18; 24] giống [0; 6] Các thành viên phân công H11 tính f(248), f(162), …, các thành viên khác vẽ đồ thị 7. H11: Tính f(248), M đi được hơn 10 vòng. Chia 248 cho 24 dư 8.

Tính f(248) = f(8) = 10 (đã tính f(8) ở câu trên)

8. H19: Tính f(162), lấy 162 chia 6 cho dễ tính 9. H3: Vẽ đồ thị trên [154; 162] giống trên đoạn [2; 12] 10. H17: Các đoạn đều là cạnh của hình vuông nên chỉ xét trên [0; 6] NHÓM II (Gồm các học sinh H2, H12, H21, H25, H26) 11. H25: Sử dụng định lý Pitago tính các giá trị của hàm số 12. H2: Đồ thị là đường thẳng y = ax + b, chỉ cần tìm a, b 13. H21: Đồ thị luôn luôn thay đổi theo tính biến thiên. Các giá trị hàm số tăng đều? 14. H26: Không phải! Đồ thị là một parabol 15. H12: Nó là những đường cong 16. H25: Nó giống như xung điện từ, nó cứ đi lên đi xuống hoài 17. H26: Lấy đúng một chu kỳ thôi, những cái kia lặp lại, lấy đối xứng 18. H25: Vẽ đồ thị trên [0; 6] rồi lấy đối xứng ra [6; 12], đồ thị cứ lên xuống hoài 19. H25: Nghĩa là nó lặp lại theo chu kỳ 20. H25: Câu 2.4 vẽ được vì nó đi dòng dòng qua chu kỳ, chỉ cần chia cho 6 21. H12: 18 ứng với 0, 20 ứng với 2, 21 ứng với 3, 24 ứng với 6 Nhóm tính từng giá trị ra giấy nháp trong khi H2 vẽ đồ thị của câu 2.2, H2 cố gắng kẻ ra đường thẳng. 22. H25: Tại sao lại là đường thẳng mà không phải là đường cong gấp khúc? 23. H26: Không nhất thiết là đường thẳng, nó xuống lên, xuống lên vậy, lặp lại hoài 24. H26: 5 ứng với một chu kỳ 25. H25: Không, chu kỳ 6 thôi, 248 chia cho 6 coi, 248 = 41.6 + 2 nên f(248) = f(2)

26. H2: Đoạn [154; 162] lấy tương ứng đoạn [4; 8], 4 ứng với 154, 8 ứng với 162.

Vẽ đoạn [4; 8] thôi đừng vẽ khoảng bự

) , (248 – 2) : 6 (= 10 ) => chọn

27. H25: Nếu 4 trùng với giá trị khác? 28. H21: y tại 7 giống y tại 1, giống y tại 19 29. H2: Vẽ đồ thị trên [4; 8] đi NHÓM III (Gồm các học sinh H1, H8, H10, H14, H18) Học sinh tính từng giá trị của hàm số tại x = 18, 19, … , 24 30. H1: Cách 6 đơn vị thì bằng nhau Học sinh biểu thị các điểm lên hệ trục tọa độ và nối thành đường gấp khúc. 31. H1: (248 – 0) : 6 ( 3 2  32. H10: 9433 : 6 = 1,5 33. H18: Lấy số chia cho 6 và lấy số dư tính. 9433:6 dư 1 nên lấy 13 (học sinh tính

ra 13 dựa vào hình vuông vẽ trên bài toán)

34. H14: 154 : 6 dư 4 suy ra 10

3 => 3=> 13 => 3 2 => 10 154 155 156 157 158

162 : 6 = 27 suy ra 3 2 (do chia hết) 155 : 6 dư 5 suy ra 13

H1 phát hiện: Học sinh biểu thị các điểm này lên hệ trục tọa độ và nối chúng lại thành những đường gấp khúc.

NHÓM IV (Gồm các học sinh H5, H6, H9, H15, H23) 35. H5: Xem tính đồng biến, nghịch biến 36. H6: Lâp bảng biến thiên 37. H23: Nếu chắc, vẽ luôn 38. H15: Lớn nhất 3 2 39. H23: Trục ngang lấy bao nhiêu? 40. H6: 12 đơn vị 41. H9: Ra đường tròn, vẽ cong như vầy 42. H6: x = 2, y = 10 x = 8, y = 10 Cái này cũng bằng như vậy

43. H9: Xuống tiếp rồi lên tiếp 44. H6: Nó như vầy: 45. H5: Xem có trục đối xứng không? 46. H15: Vẽ ba điểm đầu là ra, các cái sau nó trùng lại, cẩn thận x từ 0 đến 2 47. H15: Sao kỳ vậy, sao bạn nối đường thẳng? 48. H23: Vẽ đường núi… 49. H9: Vẽ parabol

50. H6: Giống parabol 51. H5: Giống 2 đường cong phải không? NHÓM V (Gồm các học sinh H4, H13, H16, H20, H22, H24) 52. H20: x = 2, M ở đây là H, đoạn này bằng 1, đoạn này bằng 3,

Theo Pitago có OM = 10



Nhóm tiếp tục tìm vị trí của M tương ứng với các x còn lại và dùng định lý Pitago để tính y tương ứng. 53. H4: (chỉ số 11), giá trị này lớn, mình trừ 6 là nó ra giá trị tương đối ở bên kia 54. H20: Đồ thị là đường thẳng hay parabol? 55. H16: Cái này giống như là parabol đó, 6 là điểm đối xứng đó.

b a 2

là 1 đường thẳng. 56. H22: Trục đối xứng là



57. H24: Có thể là đường thẳng hoặc parabol 58. H20: Giờ mình đi tìm hàm số y = f(x) đi. Phải tìm hàm số xong mới vẽ được. 59. H4: Xác định hàm số của nó là gì? 60. H16: Giảm trong khoảng này, tăng trong khoảng này 61. H20: Không có hàm số lấy gì giải thích, lấy gì tính 62. H13: Thôi, xác định các điểm rồi vẽ đi



b   2 a    4 a

. Giải hệ tìm a, b đi 63. H22: Tìm ra được c là 18 , tọa độ đỉnh

64. H16: Lấy máy tính bấm ra đi Việc tính toán dẫn đến thất bại, học sinh tiếp tục thảo luận đồ thị là đường thẳng hay parabol 65. H16: Nó có thể là những đường thẳng, không nhất thiết là parabol đâu Cả nhóm đồng ý và vẽ đồ thị trong câu 2.2 là những đường gấp khúc 66. H4: Hai câu dưới không tìm ra hàm số lấy gì mà tính

PHA 3

67. GV: Đồ thị có hai dạng, những đường gấp khúc và những đường cong. Ai nghĩ

đồ thị là đường gấp khúc? Nhiều học sinh đồng ý đồ thị là đường gấp khúc 68. H6 (nhóm IV): Đồ thị là một đường cong. Tính bằng định lý Pitago, x nằm trong căn bậc hai GV giải thích đồ thị không phải đường thẳng: nếu lấy điểm M(1; 13 ) trên đồ thị thì M không thuộc đoạn thẳng này (giáo viên chỉ đoạn thẳng trên hình vẽ) Học sinh đồng ý 69. GV: Đề nghị nhóm I trình bày cách vẽ đồ thị trên đoạn [18; 24] 70. H7 (nhóm I): Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị (tại x = 18, …, 24) rồi nối lại

Các nhóm khác cũng đồng ý với cách vẽ đồ thị của nhóm I 71. GV: Các nhóm đều tính f(248) = 10 , nhóm III nêu cách tính? 72. H8 (nhóm III): Lấy 248 chia 6, ta tìm được số dư, xác định trên hình vuông rồi

dùng định lý Pitago để tính

73. GV: 248 chia 6 dư bao nhiêu? 74. H8: Dư 2 ạ 75. GV: Dư 2 thì làm thế nào để tính f(248)? 76. H8: Dư 2 thì đoạn AM = 2. Gọi F là trung điểm AB thì MF = 1, OF = 3,

Suy ra OM = 10

77. GV: Như vậy tính f(248) giống như tính f(2)? H8 đồng ý 78. GV: Để tính f(4933) thì nhóm làm như thế nào? 79. H8: Cũng tương tự như tính f(248) 80. GV: Có nhóm nào có cách tính khác nhóm III không? 81. H23 (nhóm IV): M chuyển động hết một hình vuông là 24 đơn vị. Lấy 248 chia

2 6 x



24 dư 8, lấy giá trị của 8 là 10 đã tính ở câu trên 82. GV: 248 chia 24 dư 8, suy ra f(248) = f(8) đúng không? Học sinh trong lớp đồng ý H11 (nhóm I) xung phong trình bày cách tính khác 83. H11: Nếu x [0; 6] thì M trên cạnh AB. Gọi N là trung điểm của AB,

OM2 = MN2 + ON2, mà MN = 3 – x, ON = 3 suy ra y = OM =

84. GV: Nếu x [0; 6] thì nhóm I tính y bằng công thức trên.

Vậy nếu x > 6 thì tính y như thế nào?

85. H11: Nếu x (6;  ) thì x = 6k + a, thế a vào công thức trên ta tính được y 86. GV: Như vậy y = f(x) = f(a)? H11 đồng ý 87. GV: Cả lớp có đồng ý với cách tính của nhóm I không? Học sinh trong lớp đồng ý 88. GV: Trong câu 2.5 nhóm IV có đồ thị đẹp nhất, nhóm IV hãy nêu cách vẽ đồ thị? 89. H15 (nhóm IV): Tính f(154), f(155), …, f(162) và nối lại 90. GV: Các nhóm khác có làm như nhóm IV không? Các nhóm khác đồng ý 91. GV chỉ vào hình vẽ của nhóm I (hình vẽ sai) và yêu cầu nhóm I giải thích cách

vẽ của nhóm mình

92. H3: Nhóm em cũng xác định những điểm đặc biệt để vẽ, nhưng làm nhanh nên

chỉ lấy 4 điểm đặc biệt nên nối lại thành đồ thị như vậy 93. GV: Như vậy hình vẽ của nhóm I hay nhóm IV chính xác? 94. Cả lớp: Đồ thị của nhóm IV là đúng