Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy Toán ở trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

------------------------------------

LÂM THỊ NGỌC DUNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh-2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

------------------------------------

LÂM THỊ NGỌC DUNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

:

Thành phố Hồ Chí Minh-2009

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Lương Công

Khanh, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và đã

cho tôi những ý kiến đóng góp quý giá giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Xin trân trọng cám ơn: GS. Claude Comiti, GS. Annie Bessot, GS.

Alain Birebent, PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PSG.TS. Lê Văn Tiến, TS.

Nguyễn Chí Thành, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quý Thầy Cô đã

nhiệt tình và tận tâm khi tham gia giảng dạy lớp cao học chuyên nghành

Didacdtic Toán khóa 17.

Xin chân thành cám ơn : Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ

toán trường trung học chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (thành phố Vĩnh long)

đã giúp đỡ và tạo mọi điểu kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.

Xin chân thành cám ơn các bạn cùng lớp Didactic Toán khóa 17 đã

luôn chia sẻ với tôi những buồn vui và khó khăn trong suốt thời gian học

tập.

Cuối cùng, tôi cũng xin chân thành cám ơn gia đình và những người

thân thiết của tôi đã luôn động viên và ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.

Lâm Thị Ngọc Dung

MỞ ĐẦU

II. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Chúng tôi xin được bắt đầu bằng một bài toán hình học trong sách giáo khoa

Toán lớp 8 như sau:

“Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Tìm điều

kiện của ABCD để tứ giác MNPQ là:

a/ hình chữ nhật

b/ hình thoi

c/ hình vuông

Chúng tôi ghi nhận được lời giải của một số học sinh lớp 8 sau đây:

“Nếu tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (sau khi đã chứng minh được MNPQ là



hình bình hành) thì MN MQ

Mà MN// AC

Mà MQ// BD



Nên AC BD

Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì hai đường chéo AC và BD vuông góc

với nhau.”

Lí luận tương tự, các em cũng kết luận rằng:

“Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi thì hai đường chéo AC và BD bằng nhau”.

“ Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông thì hai đường chéo AC và BD vừa bằng

nhau vừa vuông góc với nhau”.

Như vậy, trong lời giải thật ra các em mới tìm được một điều kiện cần trong

khi yêu cầu của bài toán là phải tìm điều kiện cần và đủ. Nói cách khác, học

sinh chỉ mới đưa ra được một điều kiện để MNPQ là hình chữ nhật (tương

ứng hình thoi, hình vuông) mà chưa chứng minh được rằng ngoài điều kiện đã

nêu, bài toán không còn điều kiện nào khác. Vì vậy, học sinh đã nêu ra một

lời giải đúng về mặt kết quả nhưng sai lầm về mặt lập luận.

Từ những ghi nhận ban đầu đó, chúng tôi thấy cần thiết phải đặt ra các câu

hỏi sau đây:

- Phép kéo theo và phép tương đương được sách giáo khoa đưa vào ở

thời điểm nào, bằng cách nào, và nhằm mục đích gì?

- Quan hệ giữa phép kéo theo và phép tương đương được thể hiện như

thế nào trong sách giáo khoa?

- Cách trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng thế nào đến việc tiếp

thu của học sinh? Tri thức này được học sinh vận dụng như thế nào?

- Có những qui tắc nào của hợp đồng didactic về phép kéo theo và phép

tương đương đã ảnh hưởng sâu sắc đến việc dạy và học khái niệm này? Nó có

tạo những khó khăn cho học sinh khi vận dụng chúng để giải các bài tập cụ

thể hay không? Ứng xử của giáo viên trước những “sai lầm” về mặt lôgic như

đã nêu trong phần trên?

III. Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Để tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu

của mình trong lí thuyết didactic toán, cụ thể là :

 Lí thuyết nhân chủng học didactic

 mối quan hệ thể chế , cách tiếp cận sinh thái

 mối quan hệ cá nhân

 các tổ chức toán học

 Khái niệm hợp đồng didactic

IV.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ của phạm vi lí thuyết tham chiếu vừa lựa chọn, chúng tôi

trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm phép kéo theo, phép

tương đương có thể được phân tích và tổng hợp từ các công trình nghiên cứu

đã có? Những kiểu tình huống, những kiểu bài toán nào làm cho phép kéo

theo, phép tương đương được xuất hiện? Những đối tượng toán học nào có

ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển khái niệm này?

Q2: Khái niệm phép kéo theo, phép tương đương được trình bày như thế nào

trong chương trình và sách giáo khoa Toán lớp 7 nói riêng và các lớp ở trung

học cơ sở nói chung? Những dạng bài tập nào được sách giáo khoa, sách bài

tập ưu tiên đưa ra trong hệ thống bài tập mà ở đó phép kéo theo, phép tương

đương có khả năng vận hành tốt nhất?

Q3: Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái

niệm này của học sinh? Đâu là những chướng ngại của học sinh khi học khái

niệm này?

Q4: Những qui tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên

và học sinh trong quá trình dạy- học khái niệm này?

V. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã

nêu ra ở trên.

Để làm được điều đó, chúng tôi tiến hành các nghiên cứu sau đây:

- Phân tích, tổng hợp các tài liệu hoặc các công trình đã được công bố

về lịch sử toán học hay về khoa học luận để làm rõ nghĩa của phép

kéo theo, phép tương đương. Kết quả này sẽ là câu trả lời cho câu hỏi

Q1 và là cơ sở tham chiếu cho mối quan hệ thể chế nghiên cứu ở

phần sau.

- Phân tích chương trình và sách giáo khoa Việt Nam có so sánh, đối

chiếu với sách giáo khoa của Pháp. Đồng thời tiến hành phân tích các

tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm phép kéo theo, phép

tương đương để làm rõ các câu hỏi Q2, Q3, Q4. Từ đó, có thể đưa ra

các giả thuyết nghiên cứu.

- Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về tính thỏa đáng của các

giả thuyết nghiên cứu nêu ra ở trên và làm rõ ảnh hưởng của mối

quan hệ thể chế của khái niệm này lên mối quan hệ cá nhân của học

sinh.

VI. Tổ chức của luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm có bốn chương:

- Mở đầu: những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

- Chương 1: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo

theo, phép tương đương.

- Chương 2: Nghiên cứu khoa học luận về các khái niệm phép kéo

theo, phép tương đương.

- Chương 3: Nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo, phép tương

đương trong việc giải một số bài toán hình học tiêu biểu và trong việc

giải các phương trình có chứa căn, các phương trình có chứa ẩn ở

mẫu và các bài toán có tham số.

- Chương 4: Thực nghiệm để kiểm tra rính thỏa đáng của các giả

thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên.

-

Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3, 4 và

nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn .

Chương 1. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương

Chương này phân tích chương trình hiện hành, sách giáo viên, sách giáo

khoa, sách bài tập Toán các lớp 7, 8, 9 để làm rõ mối quan hệ thể chế với các khái

niệm phép kéo theo, phép tương đương và những điều kiện, ràng buộc của thể chế

đối với các khái niệm này. Trong khi phân tích, chúng tôi xem sách giáo viên không

những là văn bản chính thức giải thích cho chương trình và sách giáo khoa mà còn

là tài liệu cơ bản có ảnh hưởng lớn đến việc thực hành giảng dạy của giáo viên

trong lớp học.

1.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán

trung học cơ sở

Chương trình Toán trung học cơ sở không đưa vào các khái niệm Phép kéo

theo, phép tương đương như là hai đối tượng tri thức với đầy đủ tên gọi và định

nghĩa của chúng. Việc này được thực hiện trễ hơn ở trung học phổ thông. Tuy

nhiên, một số yếu tố liên quan đến phép kéo theo, phép tương đương được đưa dần

vào chương trình trung học cơ sở, bắt đầu từ phân môn Hình học lớp 7. Tại sao

chương trình lại chọn Hình học thay vì Đại số, chọn lớp 7 thay vì một lớp khác để

đưa vào phép kéo theo, phép tương đương? Chúng tôi sẽ phân tích sự lựa chọn này

trong phần sau.

1.1.1.Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 7 Tiến độ thực hiện chương trình Toán 7 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau:

Học kỳ 1 (72 tiết) 4 tiết x 19 tuần = 76 tiết

Hình học (34 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 1tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết

Học kỳ 2 (68 tiết) 4 tiết x 18 tuần = 72 tiết

Đại số (42 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Đại số (32 tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28

Hình học (40tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28tiết

3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết

tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Đại số (74 tiết)

Hình học (74 tiết)

Cả năm (148 tiết) 4 tiết x 37 tuần = 148 tiết

Định lí - bài đầu tiên liên quan đến phép kéo theo - được xếp cuối chương I

(Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song) của phân môn Hình học, rơi vào

tiết 12, tuần thứ 6 của học kỳ 1. Mục tiêu về kiến thức, kỹ năng cơ bản, tư duy của

bài học là “biết cấu trúc của một định lí (giả thiết, kết luận), biết thế nào là chứng

minh một định lí, biết đưa một định lí về dạng ‘Nếu... thì...’, làm quen với mệnh đề

lôgic p  q” [2, tr. 102]

Trong chương II (Tam giác), thông qua việc giới thiệu định lí Py-ta-go và

định lí Py-ta-go đảo, chương trình đưa vào các thuật ngữ định lí thuận, định lí đảo

nhằm “giúp học sinh biết quan hệ thuận, đảo của hai mệnh đề và hiểu rằng có

những định lí không có định lí đảo” [2, tr.133]. Đa số định lí trong chương II được

thừa nhận trong khi hầu hết các định lí trong chương III (Quan hệ giữa các yếu tố

của tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác) được chứng minh để học sinh

quen dần với phép chứng minh toán học. Tuy nhiên, chứng minh phản chứng và

một số chứng minh phức tạp không được đưa vào chương trình. Như vậy, chương

trình Toán 7 chưa sử dụng phép chứng minh phản chứng như là một kỹ thuật để

giải quyết cho kiểu nhiệm vu “Chứng minh một mệnh đề toán học” Có sự thiếu

vắng yếu tố công nghệ nào khiến kỹ thuật này không thể vận hành?. Điều này ảnh

hưởng thế nào đến các bài toán chứng minh trong phần bài tập? Chúng tôi sẽ cố

gắng trả lời câu hỏi này khi phân tích sách giáo khoa.

Tóm lại, thông qua các khái niệm định lí, định lí thuận, định lí đảo,

chương trình Toán 7 tìm cách đưa vào một số yếu tố ban đầu của phép kéo

theo, phép tương đương trong điều kiện không đề cập đến các thuật ngữ liên

quan. Sự xuất hiện của các khái niệm này tạo ra một yếu tố công nghệ mới

giúp nosphere tạo ra sự nối khớp giữa hình học trực quan của hình học lớp 6

và hình học suy diễn của hình học lớp 7, giúp học sinh rèn luyện năng lực tư

duy. Còn tại sao nosphere lại lựa chọn cách tiếp cận thông qua chương trình hình

học mà không phải là đại số? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi bắt buộc phải quan

tâm đến đặc trưng khoa học luận của các khái niệm này.

1.1.2.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 8

Tiến độ thực hiện chương trình Toán 8 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau:

Học kỳ 1 (72 tiết) 4 tiết x 19 tuần = 76 tiết

Hình học (34 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4tiết

Học kỳ 2 (68 tiết) 4 tiết x 18 tuần = 72 tiết

Hình học (40tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết

Đại số (42 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Đại số (32 tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Đại số (74 tiết)

Hình học (74 tiết)

Cả năm (148 tiết) 4 tiết x 37 tuần = 148 tiết

Phần hình học, trong chương I: Tứ giác, mục tiêu của chương là “ rèn luyện kỹ

năng lậpluận và chứng minh hình học do đó, hầu hết các định lí trong chương được

chứng minh hoặc gợi ý chứng minh” [4, tr.93].

Trong chương này, chúng tôi còn thấy xuất hiện một kiểu nhiệm vụ mới” dựng

”như sau:

hình” thông qua cấu trúc logic của bài toán dựng hình:” Dựng hình H có tính chất



- Phân tích: Chứng tỏ rằng nếu hình H có tính chất  thì hình H có tính chất

- Cách dựng: Dựng hình K có tính chất  (theo các phép dựng hình cơ bản và

các bài toán dựng hình cơ bản).

- Chứng minh: Chứng tỏ rằng hình K có tính chất  ( K ≡ H )

- Biện luận: Xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán.

Trong đó, sách giáo viên có nêu rõ “phân tích là điều kiện cần (đảm bảo không

dựng thiếu hình), chứng minh là điều kiện đủ (đảm bảo không dựng thừa hình) của

hình phải dựng”. Như vậy, thông qua bài toán dựng hình , sách giáo viên có giới

thiệu các thuật ngữ điều kiện cần và điều kiện đủ. Chúng tôi đặt câu hỏi có phải

đây là hai phần thuận và đảo của một vấn đề mà giáo viên cần phải làm rõ khi dạy

học khái niệm này?.Việc “giảm tải” cho học sinh trình bày phần phân tích và biện

luận trong bài làm nói lên mối ràng buộc nào của thể chế khi dạy học khái niệm

này? (có phài là hình luôn dựng được và khi đó, chỉ có một nghiệm hình…). Những

câu hỏi này là những định hướng cho chúng tôi khi đi vào phân tích sách giáo khoa

hình học lớp 8.

Sự xuất hiện của định lí Thales thuận , định lí Thales đảo trong chương II

:Tam giác đồng dạng, cùng với ghi nhận trong sách giáo viên “Chỉ cần cho học

sinh tiếp cận với định lí bằng cách nhận xét trên hình vẽ rồi rút ra các cặp tỉ số bằng

nhau, rồi cho học sinh thừa nhận định lí vì cách chứng minh dài dòng và phức tạp…

Đây không phải là chứng minh định lí mà chỉ cho học sinh tiếp cận dần với định

lí.” [4, tr.67-69] cho phép chúng tôi kết luận kỹ thuật chứng minh bằng phản

chứng vẫn chưa được sử dụng ở năm lớp 8. Như vậy, phải chăng trong chương

trình lớp 8, nosphere vẫn chưa giới thiệu yếu tố công nghệ cho phép kỹ thuật chứng

minh bằng phản chứng xuất hiện và vận hành cùng với kỹ thuật chứng minh trực

tiếp đã giới thiệu ở năm lớp 7?

Chuyển sang phần đại số, “Trong chương trình, có nêu định nghĩa hai

phương trình, bất phương trình tương đương nhưng không đưa vào các định lí về

các phép biến đổi tương đương mà chỉ giới thiệu các phép biến đổi tương đương

một số dạng phương trình cụ thể. “Lần đầu tiên, kí hiệu “  ” được sử dụng để chỉ

sự tương đương của hai phương trình, bất phương trình. Giáo viên cần lưu ý cho

học sinh không dùng kí hiệu này một cách tùy tiện: “Biết dùng đúng chỗ, đúng lúc

kí hiệu “  ” [4, tr.3, tr.53].

Như vậy, cùng với khái niệm phương trình, bất phương trình tương đương,

học sinh còn được tiếp cận với phép biến đổi tương đương và kí hiệu”  ” được

xem là hai công cụ chủ yếu của kỹ thuật giải các phương trình trong đại số. Đến

đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi: có những ràng buộc nào của thể chế được đặt ra ở đây,

khi sách giáo viên không đưa vào đầy đủ yếu tố công nghệ để biện minh cho kỹ

thuật giải phương trình, bất phương trình? mà vẫn đảm bảo kỹ thuật này vận hành

tốt nhất?

Việc đề nghị giáo viên lưu ý học sinh sử dụng kí hiệu ”  ” này một cách

hết sức cẩn trọng phải chăng là lưu ý có một quy tắc hợp đồng ngầm ẩn nào đó,

giữa giáo viên và học sinh khi dạy học khái niệm này? Đây là những câu hỏi giúp

chúng tôi định hướng khi phân tích chương trình lớp 8

1.1.3.Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 9 Tiến độ thực hiện chương trình Toán 9 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau:

Học kỳ 1 (72 tiết) 4 tiết x 19 tuần = 76 tiết

Hình học (34 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết

Học kỳ 2 (68 tiết) 4 tiết x 18 tuần = 72 tiết

Hình học (40tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết

Đại số (42 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Đại số (32 tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Đại số (74 tiết)

Hình học (74 tiết)

Cả năm (148 tiết) 4 tiết x 37 tuần = 148 tiết

Về kỹ năng, “ yêu cầu về chứng minh định lí được nâng cao hơn so với các

lớp dưới, nhiều định lí được chứng minh đầy đủ” [6, tr.121].

Giải thích cho nhận định trên, chúng tôi ghi nhận so với chương trình lớp 8, chương

trình lớp 9 có mật độ xuất hiện các định lí thuận và định lí đảo dày đặc hơn. Một vài

chứng minh, sách giáo khoa có trình bày bằng phương pháp phản chứng (ở

chương II: Đường tròn , bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn,

cách xác định đường tròn…) mà không thừa nhận như ở lớp 7 và lớp 8.Như vậy,

sách giáo khoa đã bổ sung yếu tố công nghệ nào để kỹ thuật nảy có thể vận hành?

Nó được trình bày ra sao? câu hỏi này sẽ được chúng tôi trả lời khi phân tích sách

giáo khoa .

Chương III: Góc với đường tròn, ở bài cung chứa góc , học sinh tiếp cận

với bài toán quỹ tích thông qua bài toán quỹ tích “ cung chứa góc”.Sách giáo viên

có đề nghị lời giải một bài toán quỹ tích bao gồm phần thuận, phần đảo và kết luận

Thuật ngữ “điều kiện ắt có và điều kiện đủ” được giới thiệu trong Sách giáo viên

ở bài tứ giác nội tiếp nhằm giới thiệu cho học sinh điều kiện để tứ giác nội tiếp

(điều kiện ắt có và điều kiện đủ). Tuy nhiên,” sách giáo khoa chưa sử dụng cụm từ

“điều kiện ắt có và đủ” [6, tr.106].

Như vậy, trong chương trình lớp 9

- Có xuất hiện thêm các thuật ngữ mới điều kiện ắt có và điều kiện đủ.

- Kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng được đưa vào giảng dạy cho

học sinh.

Qua phân tích chương trình các lớp 7, 8, 9, chúng tôi nhận thấy so với chương

trình trung học phổ thông, khái niệm phép kéo theo và phép tương đương được đưa

vào một cách không đầy đủ , nhiều tính chất, đặc trưng quan trọng của phép kéo

theo và phép tương đương cũng không được nêu rõ ràng trong cả sách giáo viên và

sách giáo khoa. Chính sự thiếu vắng các yếu tố công nghệ- lí thuyết này đã làm hạn

chế nhiều việc giảng dạy khái niệm này ở trung học cơ sở.

Nhằm có thể tìm kiếm câu trả lời cho một loạt các câu hỏi đã nêu ra và minh chứng

cho những điều ghi nhận ở trên chúng tôi xin được đi vào phân tích sách giáo khoa

1.2. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa

1.2.1. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa

Toán 7

. Ở chương I: Đường thẳng vuông góc- Đường thẳng song song, bài Định

lí, sách giáo khoa Toán 7, tập 1, tr99-100, có ghi:

Định lí

- Tính chất “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” được khẳng định là đúng không

phải bằng đo trực tiếp mà bằng suy luận. Một tính chất như thế là một định

lí. Ta có thể hiểu: Định lí là một khẳng định suy ra từ những khẳng định

được coi là đúng.

- Khi định lí được phát biểu dưới dạng “Nếu … thì …”, phần nằm giữa từ

“Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết (GT), phần sau từ “thì” là phần kết luận

(KL).

Chứng minh định lí

Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.

Sau đó, , sách giáo khoa giới thiệu chứng minh một định lí

Ví dụ: Chứng minh định lí:

Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông.

Giải (h.35)

xÔz và zÔy kề bù GT

Om là tia phân giác của xOz

On là tia phân giác của zOy mÔn = 900 KL

chứng minh

1 2

xÔz (1) (vì Om là tia phân giác của xÔz) mÔz =

1 2

zÔy (2) (vì On là tia phân giác của zÔy) zÔn =

Từ (1) và (2) ta có :

1 2

. (xÔz+ zÔy). (3) mÔz+ zÔn=

Vì tia OZ nằm giữa tia Om, On và vì xÔz và zÔy kề bù (theo giả thiết).

1 2

×1800 nên từ (3) ta có mÔn =

Vậy mÔn = 900

z

m

n

x

O

y

(h.35)

Qua trình bày của sách giáo khoa , ta nhận thấy thể hiện ngầm ẩn quy tắc hợp

đồng sau:

“ chứng minh một mệnh đề là :

-nêu các bước, mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó,

- nối chúng lại bằng các liên từ :…ta có, vì… nên, suy ra…”

Qua phần trình bày của sách giáo khoa, phép kéo theo được giới thiệu

thông qua định lí được viết dưới dạng “ Nếu … thì…” và học sinh ghi nhận

thông qua các ví dụ cụ thể. Một chú ý là sách giáo khoa không giới thiệu kí hiệu

“  ” khi nói về phép kéo theo nhưng trong các phần chứng minh về sau thì kí hiệu

này được sử dụng rất phổ biến, nhằm tạo ra sự nối khớp giữa các suy luận trong

chứng minh. Phải chăng sách giáo khoa ngầm quy ước việc giới thiệu kí hiệu này

thuộc về trách nhiệm của giáo viên?

Chương II: Tam giác, trước bài Định lí Py- ta- go, trong phần bài đọc

thêm, tr 128, sách giáo khoa có ghi:

GT và KL của định lí 1 và dịnh lí 2 ở tr 126 có thể viết như sau:

ĐỊNH LÍ 1 ĐỊNH LÍ 2

 ABC

 ABC

GT

ˆ ˆ  CB

AB=AC

ˆ ˆ  CB

AB=AC KL

ˆ ˆ  CB

Ta thấy, là GT của định lí 2 nhưng là KL của định lí 1.AB=AC là KL

của định lí 2 nhưng là GT của định lí 1. Nếu gọi định lí 1 là định lí thuận thì

định lí 2 là định lí đảo.

ˆ 

ˆ Với mọi  ABC: AB=AC  CB



Ta có thể viết gộp hai định lí 1 và 2 như sau:



Kí hiệu “ ” đọc là khi và chỉ khi.

 Y

Nếu có X Y và có Y X thì ta có thể viết X 

Sau đó, sách giáo khoa có đưa một số ví dụ về định lí thuận và định lí đảo

Ví dụ: xét hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ ba.

Định lí thuận: Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song

song.

Định lí đảo: Nếu hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng

nhau.

Chú ý rằng không phải định lí nào cũng có định lí đảo.

Chẳng hạn với định lí : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, câu phát biểu đảo :

Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh không đúng, nó không phải là một định lí.

Vậy làm thế nào để giải thích cho nhận định « Hai góc bằng nhau thì đối

đỉnh » là không đúng, sách giáo viên có ghi rõ : « Để chứng tỏ một mệnh đề toán

học là sai, ta bác bỏ nó. Cách bác bỏ thông dụng là dùng phản ví dụ, là một tình

huống thỏa mãn giả thiết nhưng không thỏa mãn kết luận ».[1, tr. 103].

Qua phần trình bày trên, sách giáo khoa đã cho HS tiếp cận với một tính chất

quan trọng của phép kéo theo, là không có tính giao hoán đồng thời giới thiệu

cho học sinh một kỹ thuật giải quyết cho kiểu nhiệm vụ « Giải thích một mệnh

đề toán học là sai » bằng bác bỏ thông qua phản ví dụ.

Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu Bài Định lí Py- ta- go cho HS bao gồm

định lí Py- ta- go và định lí Py- ta- go đảo.

Định lí Py- ta- go được giới thiệu thông qua hai hoạt động :

- HĐ 1 : Vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 3cm và 4cm. Đo

độ dài cạnh huyền.

- HĐ 2 : Gấp hình để rút ra nhận xét về quan hệ giữa c2, a2 + b2

Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu định lí Py- ta- go :

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình

C

2

2

2

BC

AB

AC







ABC vuông tại A 

B

A

phương của hai cạnh góc vuông.

Định lí Py- ta- go đảo được giới thiệu thông qua hoạt động

HĐ : Vẽ tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Hãy dùng thước đo

góc để xác định số đo của góc BAC.

Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu định lí Py- ta- go đảo :



Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương

∆ABC vuông tại A của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông. ∆ABC ,BC 2 = AB 2 + BC 2

Như vậy, phép tương đương được tiếp cận trong sach1 giáo khoa lớp 7

thông qua định lí thuận và định lí đảo, được giới thiệu cho học sinh bằng các ví

dụ cụ thể và được kí hiệu bằng dấu «  ” .

Ở chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng

quy trong tam giác, ở bài Tính chất tia phân giác của một góc có giới thiệu hai

định lí sau:

Định lí 1 (định lí thuận)

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Chứng minh: (h. 29)

x

A

M

O

z

B

y

hình 29

Hai tam giác vuông MOA và MOB có:

- Cạnh huyền OM chung,

- MÔA = MÔB (theo giả thiết).

Do đó, ∆MOA = ∆MOB (cạnh huyền, góc nhọn), suy ra MA = MB.

Định lí 2 (định lí đảo)

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia

phân giác của góc đó.

x

A

M

O

B

y

Hướng dẫn chứng minh: (h.30)

hình 30

- Kẻ tia OM.

- Chứng minh hai tam giác MOA và MOB bằng nhau.

Từ đó suy ra MÔA = MÔB hay OM là tia phân giác của góc xOy

Nhận xét: Từ định lí 1 và định lí 2, ta có: Tập hợp các điểm nằm bên trong một

góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

Sau đó, sách bài tập lớp 7 có đưa vào bài toán “ Cho hai đường thẳng AB và CD

cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD”. [10,

tr.29]

Như vậy, ở lớp 7, chúng tôi ghi nhận có một kiểu nhiệm vụ mới xuất hiện có

liên quan đến định lí thuận và định lí đảo. Đó là kiểu nhiệm vụ”Tìm tập hợp các

điểm có tính chất nào đó” mà kỹ thuật để giải quyết là chứng minh hai phần

thuận và đảo, như minh họa của sách giáo khoa .

Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy

trong tam giác, các định lí đảo xuất hiện nhiều hơn so với chương II, và các định lí

này được chứng minh hoặc gợi ý chứng minh.Tuy nhiên, chúng tôi ghi nhận có vài

định lí được thừa nhận mà không chứng minh, ví dụ: định lí:”Trong một tam giác,

cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” mà ta có thể chứng minh bằng phản

chứng dựa vào định lí 1 và tính chất của tam giác cân. Chính việc không đưa vào

khái niệm mệnh đề phản đảo của một mệnh đề và chỉ ra sự tương đương của

mệnh đề và mệnh đề phản đảo của nó, trong chương trình sách giáo khoa lớp 7,

mà phép chứng minh phản chứng đã không thể vận hành.

1.2.1 a. Bảng thống kê các định lí và định lí đảo được chứng minh hoặc

thừa nhận trong chương II và III, sách giáo khoa hình học 7

Chương Số dịnh lí Số địnhlí đảo Chứng minh Thừa nhận

II 11 02 08 (61,54) 05(38,46)

III 09 04 10 (76,92) 03 (23,07)

Các kiểu nhiệm vụ trong chương II và III trong sách giáo khoa và sách bài

1T : Chứng minh định lí

tập Toán lớp 7

τ1a: Chứng minh trực tiếp

τ1b: Chứng minh bằng phản chứng

τ1c: Chứng minh bằng quy nạp

θ1: Định nghĩa phép kéo theo

Ví dụ: Bài tập 43 , SBT ớp 7, t.1, tr. 80

Hãy chứng minh định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì

11T : Sắp xếp các câu hợp lí để giải bài toán

hai góc đồng vị bằng nhau.

Ví dụ : Bài tập 18,SGK lớp 7, t.1, tr. 114

Xét bài toán : « ∆AMB và ∆ANB có MA = MB, NA = NB. Chứng minh rằng góc

AMN = góc BMN. »

Hãy sắp bốn câu sau đây một cách hợp lí để giải bài toán trên :

a) Do đó, ∆AMN = ∆BMN (c.c.c)

b) MN: cạnh chung.

MA = MB (giả thiết)

NA = NB (giả thiết)

c) Suy ra, A Mˆ N = B Mˆ N (hai góc tương ứng)

M

N

B

A

d) ∆AMN và ∆BMN có:

hình 71

Mục đích của bài tập này là “ giúp học sinh biết cách trình bày một bài toán chứng

minh hình học, ở một số bài tập trong sách giáo khoa có trình bày lời giải chi tiết

(nhưng chưa sắp xếp đúng trình tự, yêu cầu học sinh sắp xếp lại cho đúng). Giáo

viên và học sinh có thể tham khảo cách trình bày đó để trình bày lời giải bài toán

chứng minh được gọn gàng và đầy đủ” [2, tr. 113]. Phần trình bày này, càng làm

rõ quy tắc hợp đồng sau:

“ chứng minh một mệnh đề là :

-nêu các bước, mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó,

2T : Giải thích một mệnh đề toán học là đúng hay sai

- nối chúng lại bằng các liên từ (từ…ta có, vì… nên, suy ra…)”

τ2a: Chứng minh trực tiếp

τ2b: Bác bỏ bằng phản ví dụ

θ1: Định nghĩa phép kéo theo

Ví dụ: Bài tập 6 SGK lớp 7, t.2, tr 87

Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác. Đúng hay sai? Tại

sao?

T31 : Vẽ hình ( nêu cách vẽ hình H) là kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3

« Dựng hình H có tính chất α » mà chúng tôi sẽ phân tích ở chương trình lớp 8.

τ31 : Cách dựng : Nêu tuần tự các bước dựng hình và thể hiện các nét dựng trên hình

vẽ.

Ví dụ : Bài tập 24 SGK lớp 7, t.1, tr. 118

Vẽ tam giác ABC biết Aˆ = 900, AB = AC = 3cm. Sau đó, đo các góc B và C

T4: Tìm tập hợp điểm có tính chất α

τ4 : Chứng minh phần thuận

Ví dụ : Bài tập 43 SBT lớp 7, t. 2, tr.29

Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai

đường thẳng AB và CD.

1.2.1.b. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của chương II và III trong

sách giáo khoa và Sách bài tập lớp 7

T1 T11 T2 T31 T4

SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT

51/58 2/33 4/33 1/58 6/33 6/58 0 0 0 II 20/33

60.61 87.93 6.06 12.12 1.73 18.18 10.34 0 0 0

46/53 7/43 2/53 3/43 3/53 0 0 0 2/53 III 33/43

76.74 86.79 16.28 3.77 6.98 5.67 0 0 0 3.77

Như vậy, trong chương trình lớp 7:

- Học sinh tiếp cận với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương thông

qua các thuật ngữ định lí, định lí thuận, định lí đảo, hệ quả..

- Sách giáo khoa có nói đến một đặc trưng của phép kéo theo là không có

tính giao hoán nhưng ngầm ẩn thông qua các định lí không có định lí đảo.

- Sách giáo khoa có nói đến hai kỹ thuật chứng minh: chứng minh trực

tiếp( hoặc bác bỏ) và chứng minh bằng phản chứng, nhưng chỉ vận hành kỹ

thuật chứng minh trực tiếp.

1.2.2. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa

Toán 8

Trong phần hình học, chương I: Tứ giác, có giới thiệu định nghĩa, tính chất

và các dấu hiệu nhận biết các loại tứ giác đặc biệt như: hình thang cân (sau khi giới

thiệu hình thang), hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông. Vì cách

trình bày của SGK khi dạy học các khái niệm này là tương tự nhau nên chúng tôi

chỉ lược trích một bài làm ví dụ để phân tích, chẳng hạn, bài hình vuông.[3, tr.107-

109]

Bài này được giới thiệu ngay sau khi học sinh học xong bài hình chữ nhật và hình

thoi.

1. Định nghĩa:

ˆ

ˆ

ˆ ˆ DCBA 





Tứ giác ABCD trên hình 104 có và AB = BC = CD = DA là một

hình vuông.

ˆ

ˆ

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.



DA

ˆ ˆ DCBA    AB BC CD 





  

Tứ giác ABCD là hình vuông

Từ định nghĩa hình vuông, ta suy ra:

- Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.

- Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.

Như vậy, hình vuông vừa là hình chữ nhật , vừa là hình thoi.

B

D

C

A

Xuất phát từ nhận xét trên, SGK suy ra tính chất của hình vuông.

2.Tính chất

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Như vậy, các dấu hiệu nhận biết một hình vuông cũng chính là dấu hiệu nhận

biết hình chữ nhật và hình thoi mà học sinh đã được giới thiệu trong các bài học

trước. Cụ thể:

3.Dấu hiệu nhận biết

1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

3. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình

vuông.

4. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Đến đây thì giáo viên có thể đề nghị học sinh tự chứng minh các dấu hiệu nhận

biết trên.

Cuối cúng, sách giáo khoa có nêu nhận xét sau:

Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.

Tuy nhiên, trong phần bài tập, sách giáo khoa có đưa ra một số bài tập có liên

quan đến việc tìm điều kiện để một tứ giác trở thành tứ giác đặc biệt, ví dụ bài 88,

SGK toán 8, t.1, tr.111

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EFGH là :

a) Hình chữ nhật? b) Hình thoi? c) Hình vuông?

Chúng tôi ghi nhận lời giải sau đây trong SGV toán 8, t.1, tr. 153

Học sinh đã được giao về nhà làm bài này. Trước hết cho học sinh chứng minh:

EFGH là hình bình hành, các cạnh của hình bình hành EFGH song song và bằng

nửa các đường chéo của tứ giác ABCD. Sau đó, gọi HS trả lời các câu hỏi a), b), c)

của bài 88.

a) Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật  EH  EF  AC  BD (vì EH

// BD, EF //AC).

Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

1 2

b) Hình bình hành EFGH là hình thoi  EF = EH  AC = BD (vì EF =

1 2

BD). AC, EH =

AC

BD

Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD bằng nhau.

AC

BD

 

  

c) Hình bình hành EFGH là hình vuông 

Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD bằng nhau và vuông góc với

nhau..

Qua phần trình bày của sách giáo viên, chúng tôi ghi nhận lời giải mong đợi

là học sinh tìm được điều kiện cần và đủ (sách giáo viên sử dụng kí hiệu “  ”) để

hình bình hành EFGH trở thành các tứ giác đặc biệt như hình chữ nhật, hình thoi,

hình vuông. Tuy nhiên, trong phần bài học, chúng tôi không tìm thấy thuật ngữ này

được đưa vào và sử dụng trong sách giáo khoa. Phải chăng có một sự quy ước ngầm

ẩn của sách giáo khoa khi nói về thuật ngữ này “  ”được hiểu là điều kiện cần và

đủ (hay khi và chỉ khi)?

Tiếp theo, nhằm hệ thống lại các bài toán dựng hình được giới thiệu rải rác

trong phần lí thuyết và bài tập ở lớp 6, lớp 7, sách giáo khoa lớp 8 giới thiệu bài

Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang, SGV Toán 8, t.1, tr.116 có

nêu: “Ở toán dựng hình, những hình cho trước coi là dựng được, việc dựng hình

dựa trên các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản.”

Giải bài toán dựng hình là chỉ ra một số hữu hạn các phép dựng hình cơ bản và các

bài toán dựng hình cơ bản, rồi chứng tỏ rằng hình dựng được có đủ các tính chất

mà bài toán đòi hỏi.”

Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu bài toán dựng hình thang sau:

3. Dựng hình thang

Dˆ

Ví dụ: Dựng hình thang ABCD biết đáy AB = 3cm, đáy CD = 4cm, cạnh bên AD =

2cm, = 700

a) Phân tích:

Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Tam giác

ACD dựng được vì biết hai cạnh và góc xen giữa. Điểm B phải thỏa mãn hai điều

kiện:

- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD. - B cách A một khoảng 3cm nên nằm trên đường tròn tâm A bán kính 3cm.

Dˆ

b) Cách dựng

- Dựng ∆ACD có = 700, DC = 4cm, DA = 2cm.

- Dựng tia Ax song song với DC (tia Ax và điểm C nằm trong cùng một nửa mặt

phẳng bờ AD).

- Dựng điểm B trên tia Ax sao cho AB = 3cm. Kẻ đoạn thẳng BC.

c) Chứng minh

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD Hình thang ABCD có CD = 4cm, D = 700, AD = 2cm, AB = 3cm nên thỏa mãn yêu

cầu của bài toán.

d) Biện luận

Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện của đề bài.

”như sau:

Thông qua cấu trúc logic của bài toán dựng hình:” Dựng hình H có tính chất



- Phân tích: Chứng tỏ rằng nếu hình H có tính chất  thì hình H có tính chất

- Cách dựng: Dựng hình K có tính chất  (theo các phép dựng hình cơ bản

và các bài toán dựng hình cơ bản).

- Chứng minh: Chứng tỏ rằng hình K có tính chất  ( K ≡ H )

- Biện luận: Xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán.

Trong đó, sách giáo viên có nêu rõ “phân tích là điều kiện cần (đảm bảo không

dựng thiếu hình), chứng minh là điều kiện đủ (đảm bảo không dựng thừa hình) của

hình phải dựng”.Tuy nhiên, “theo chương trình quy định, không yêu cầu học sinh

viết các phần phân tích và biện luận trong bài làm” [4, tr.113-117].

Như vậy, sách giáo khoa lớp 8 có trình bày một kỹ thuật để giải quyết cho kiểu

nhiệm vụ: T3“Dựng hình thỏa tính chất cho trước” mà kỹ thuật τ3 bao gồm hai

bước :

- Cách dựng: Nêu tuần tự các bước dựng hình và thể hiện các nét dựng trên

hình vẽ.

- Chứng minh: Bằng lập luận chứng tỏ rằng với cách dựng như trên, hình đã

dựng thỏa các điều kiện của đề bài.

Chúng tôi ghi nhận: “các bài tập trong sách giáo khoa đều cho độ dài đoạn

thẳng và số đo góc bằng số cụ thể để không phải xét nhiều trường hợp. sách giáo

khoa chỉ giới thiệu một bài (bài tập 34) có hai hình thỏa mãn đề bài để học sinh

làm quen với trường hợp hình thỏa mãn đề bài không phải là duy nhất” [4, tr.117 ]

Đây chính là ràng buộc của thể chế để đảm bảo cho kỹ thuật này vận hành tốt

nhất.

Sau đó, Trong bài Đường thẳng song song với một đường thẳng cho

trước , sau khi giới thiệu định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

SGK nêu tính chất:

Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song

song với b và cách b một khoảng bằng h. [3, tr.101]

Sau đó, sách giáo khoa xét bài toán: “ Xét các tam giác ABC có cạnh BC cố định,

đường cao ứng với cạnh BC luôn bằng 2cm (h.95). Đỉnh A của các tam giác đó nằm

A

A’

2cm

B

H

C

H’

trên đường nào?”, [3, tr.101]

h.95

Từ đó, sách giáo khoa nêu nhận xét : Tập hợp các điểm cách một đường

thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với

đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.

Ở đây chúng tôi ghi nhận có một kiểu nhiệm vụ con T41: ““ Cho một điểm

chuyển động trên một đường. Tìm xem một điểm khác (phụ thuộc vào điểm đó) di

chuyển trên đường nào”, của kiểu nhiệm vụ T4 “chứng minh quỹ tích (tập hợp) các

điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình H nào đó” mà chúng tôi sẽ phân tích trong

sách giáo khoa lớp 9.

1.2.2 a. Bảng thống kê các định lí và định lí đảo được chứng minh hoặc

thừa nhận trong chương II và III, sách giáo khoa hình học 8

Chương Số dịnh lí Số địnhlí đảo Chứng minh Thừa nhận

II 15 23 34/38 (89.47) 4/38 (10.53)

III 10 01 9/11 (81.82) 2/11 (18.18)

1.2.2 b. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của chương II và III trong

sách giáo khoa và sách bài tập lớp 8

T1 T12 T2 T3 T41

SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT

97/131 2/55 5/131 5/55 2/131 6/55 22/131 3/55 5/131 II 39/55

70.91 73.48 3.64 9.09 1.52 10.91 16.67 5.05 3.79 0

32/36 0 4/24 0 2/24 4/36 0 0 0 III 15/24

62.5 88.89 0 16.67 0 8.33 11.11 0 0 0

Vậy trong sách giáo khoa lớp 8,

- HS tiếp cận một cách ngầm ẩn với khái niệm phép kéo theo và phép

tương đương thông qua thuật ngữ điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện

cần và đủ (SGV có nói đến nhưng SGK không sử dụng)

- sách giáo khoa có xây dựng các kiểu nhiệm vụ mà kỹ thuật giải quyết là

chứng minh hai phần thuận và đảo.

- sách giáo khoa chỉ giới thiệu kỹ thuật chứng minh trực tiếp mà chưa đưa

vào kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng.

Chuyển sang phần Đại số, sách giáo khoa lớp 8 có giới thiệu thuật ngữ tương

đương thông qua khái niệm phương trình tương đương, bất phương trình tương

đương và các phép biến đổi tương đương trong chương III: Phương trình bậc

nhất một ẩn và chương IV: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Mục tiêu của chương là ”Học sinh có kỹ năng giải và trình bày lời giải các

phương trình, bất phương trình có dạng quy định trong chương trình. Biết dùng

đúng lúc, đúng chỗ kí hiệu “  ””.[4, tr.3]

Phương trình tương đương- Bất phương trình tương đương

Ta gọi hai phương trình có cùng tập nghiệm là hai phương trình tương

đương với nhau. [3, tr.6]

Để chỉ hai phương trình tương đương với nhau, ta dùng kí hiệu “  ” chẳng

hạn:

x+1= 0  x= -1

Ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương



đương với nhau. [3, tr. 42]



Để chỉ hai bất phương trình tương đương với nhau, ta dùng kí hiệu “ ” chẳng

x > 3 hạn:3< x

Như vậy, khái niệm phương trình , bất phương trình tương đương được xây

dựng dựa trên tập nghiệm của hai phương trình , bất phương trình đó.

Kí hiệu “  ” để chỉ hai phương trình, bất phương trình tương đương lần đầu tiên

xuất hiện trong sách giáo khoa.



Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn- Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình dạng ax+b= 0, với a và b là hai số đã cho và a 0 được gọi là



phương trình bậc nhất một ẩn[3, tr.7]

Bất phương trình dạng ax+b < 0 (hoặc ax+b> 0, ax+b 0, ax+b  0) trong

 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. [3,

đó, a và b là hai số đã cho, a

tr.43]

Để giải phương trình , bất phương trình này ta thường dùng quy tắc chuyển

vế và quy tắc nhân.

Hai quy tắc biến đổi phương trình- bất phương trình

a. Quy tắc chuyển vế

Trong một phương trình , bất phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ

vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

b. Quy tắc nhân với một số

Trong một phương trình , bất phương trình ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai

vế với cùng một số khác không

- giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

- đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm. [3, tr.8, tr.44]

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn- Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ta thừa nhận rằng: Từ một phương trình , bất phương trình dùng quy tắc

chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được phương trình , bất phương trình mới

tương đương với phương trình , bất phương trình đã cho.

Ví dụ 1: giải phương trình: 3x-9= 0

Phương pháp giải:



3x-9= 0  3x= 9 (chuyển -9 sang vế phải và đổi dấu)

x= 3 (chia cả hai vế cho 3)

 x < 3

- Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất x= 3 [3, tr. 9]

1 4

 x < 3

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

1 4



 x.(-4) > 3.(-4)

Giải:Ta có

1 4



(nhân hai vế với -4 và đổi chiều)

x > -12

[3, tr. 45] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x / x > -12}

Sách giáo khoa giới thiệu hai quy tắc biến đổi phương trình , bất phương

trình chứ không nêu các “định lí “ về các phép biến đổi tương đương. Qua ví dụ cụ

thể, sách giáo khoa đều ngầm thể hiện ý: biến đổi phương trình , bất phương trình

theo các quy tắc này đều giữ nguyên tập nghiệm. [3 ,tr. 53]

Các tác giả chỉ nêu ra hai phép biến đổi hay dùng và gọi chúng là quy tắc

chuyển vế và quy tắc nhân với một số, đồng thời thừa nhận chúng là các phép biến

đổi tương đương. Hai quy tắc này được sử dụng trong suốt chương như một công cụ

chủ yếu để giải phương trình , bất phương trình [4 , tr.8]

Ở đây sách giáo khoa có ghi :”chỉ xét các phương trình , bất phương trình mà hai vế

là hai biểu thức hữu tỉ của ẩn và không chứa ẩn ở mẫu. Điều đó loại trừ mọi hạn

chế khi thực hiện các phép tính đại số đã học để thu gọn các biểu thức có trong

phương trình ”.[4, tr.8 ]. Đây chính là ràng buộc của thể chế, yêu cầu GV có

trách nhiệm lựa chọn các phương trình, bất phương trình có dạng quy định

trong chương trình và HS có trách nhiệm giải bằng các sử dụng các quy tắc

biến đổi tương đương đã học.

Như vậy,ở đây tồn tại một kiểu nhiệm vụ T: “Giải phương trình hoặc bất

phương trình “ mà kỹ thuật τ để giải phương trình , bất phương trình bậc nhất một

ẩn là phối hợp hai quy tắc biến đổi tương đương: quy tắc chuyển vế và quy tắc

nhân.

Như vậy, trong sách giáo khoa lớp 8, học sinh được tiếp cận một cách ngầm

ẩn với phép tương đương theo hai quan điểm :

- trong hình học : thông qua điều kiện cần và đủ

- trong đại số : thông qua định nghĩa hai phương trình (bất phương trình)

tương đương và phép biến đổi tương đương phương trình và bất

phương trình.

và cùng được biểu đạt thông qua kí hiệu “  ”.

Vì cách tiếp cận là ngầm ẩn, nên sách giáo khoa không tập trung làm rõ

nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương mà chủ yếu là giới thiệu cho học

sinh một đặc trưng quan trọng của phép tương đương là trong lí luận (lập

luận suy diễn) hoàn toàn có thể thay thế một mệnh đề bằng mệnh đề tương

đương với nó. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc chứng minh , trong

việc giải các phương trình và bất phương trình.

1.3. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Toán 9

Mục tiêu chung của chương trình vẫn là giúp học sinh phát triển khả năng tư

duy logic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình. Đến lớp 9, học sinh đã

được chuẩn bị kiến thức một cách căn bản từ các lớp 6, 7, 8. Vì vậy cần chú trọng:

- Tăng cường rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hiện các phép biến

đổi…

- Tăng cường rèn luyện suy luận, chứng minh.

- Mở rộng, đi sâu và hệ thống những kiến thức đã học ở các lớp 6, 7, 8. [6

,tr.9]

Như vậy, khái niệm phép kéo theo và phép tương đương đã được mở rộng,

đi sâu và hệ thống như thế nào để giúp học sinh tăng cường rèn luyện suy luận,

chứng minh? Những đặc trưng nào của phép kéo theo và phép tương đương được

tiếp tục làm rõ trong sách giáo khoa Toán 9? Những đặc trưng này có tạo nên yếu tố

công nghệ- lí thuyết mới để hình thành nên các kỹ thuật chứng minh mà sách giáo

khoa muốn rèn luyện cho học sinh ?

Trong chương III: Góc với đường tròn, bài Cung chứa góc có giới thiệu

bài toán quỹ tích “cung chứa góc”[5, tr.83-85]

1. Bài toán quỹ tích “cung chứa góc”

Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc α (00 < α < 1800). Tìm quỹ tích (tập

BMA ˆ = α. (Ta cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn

hợp) các điểm M thỏa mãn

đoạn thẳng AB cho trước dưới góc α).

Sách giáo khoa có nêu các hoạt động thực hành giúp học sinh dự đoán quỹ đạo

chuyển động của điểm M. Theo dự đoán, ta sẽ chứng minh quỹ tích cần tìm là hai

cung tròn.

Chứng minh:

M

m

M

y

α d

α

A

B

O

α

O

y

A

B

α

d

x

x

a) Phần thuận (h. 40).

h. 40

BMA ˆ = α và nằm trong nửa mặt phẳng đang xét. Xét

Giả sử M là điểm thỏa mãn

cung AmB đi qua ba điểm A, M, B.

Sau khi chứng minh tâm O của đường tròn chứa cung đó là một điểm cố định

(không phụ thuộc vào M). Vậy M thuộc cung tròn AmB cố định.

BMA 'ˆ

b) Phần đảo:

= α Lấy điểm M’ thuộc cung tròn AmB (h. 41), ta chứng minh được

Tương tự, trên nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng đang xét, ta còn có cung AmB

đối xứng với cung AmB qua AB cũng có tính chất như cung AmB (h. 42).

BMA ˆ = α.

Mỗi cung trên được gọi là cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB, tức là cung

M’

m

α

O

A

B

mà với mọi điểm M thuộc cung đó, ta đều có

BMA ˆ =  là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

c) Kết luận: Với đoạn thẳng AB và góc α (00 < α < 1800) cho trước thì quỹ tích các

điểm M thỏa mãn

2. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình

H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất τ đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất τ.

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất τ là hình H.

Như vậy, đến lớp 9, học sinh được làm quen với một kiểu nhiệm vụ mới T4:

“chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất τ là một hình

H nào đó” mà kỹ thuật τ4 là chứng minh :

- phần thuận: chứng minh điều kiện cần của bài toán.

- phần đảo: chứng minh điều kiện đủ của bài toán.

công nghệ là θ2: Đặc trưng của phép tương đương

Như vậy, học sinh tiếp cận với phép tương đương một cách ngầm ẩn

thông qua kiểu nhiệm vụ “giải bài toán quỹ tích”.Yếu tố công nghệ được sử

dụng để kỹ thuật này được vận hành chính là đặc trưng của phép tương

đương.

Trong chương II: Đường tròn, ở bài Sự xác định đường tròn. Tính chất

đối xứng của đường tròn, khi nêu cách xác định đường tròn:

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

Sách giáo khoa lớp 9 có trình bày một chứng minh bằng phản chứng như sau:

d1 d1

d2 d2

A

B

C

Thật vậy, giả sử có đường tròn (O) đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C (h. 54)

hình 54

thì tâm O là giao điểm của đường trung trực d1 của AB (vì OA = OB) và đường

trung trực d2 của BC (vì OB = OC). Do d1 // d2 nên không tồn tại giao điểm của d1

và d2 , mâu thuẫn.[5, tr. 98]

Ngoài ra, chúng tôi ghi nhận sách giáo khoa còn sử dụng chứng minh phản

chứng trong một vài chứng minh khác, ví dụ: đường thẳng và đường tròn tiếp xúc

nhau.

Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ

từ O đến đường thẳng a, khi đó OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a.

Khi đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung C, ta nói đường thẳng

a và đường tròn (O) tiêp xúc nhau. Ta còn nói đường thằng a là tiếp tuyến của



đường tròn (O). Điểm C gọi là tiếp điểm.

O

O

a

C=H

a

C

H

D

Khi đó, H trùng với C, OC a và OH = R

Thật vậy, giả sử H không trùng với C, lấy điểm D thuộc đường thẳng a sao

cho H là trung điểm của CD. Khi đó, C không trùng với D. Vì OH là đường trung

trực của CD nên OC = OD. Ta lại có OC = R nên OD = R.

Như vậy, ngoài điểm C ta còn có điểm D cũng là điểm chung của đường

thẳng a với đường tròn (O), điều này mâu thuẫn với giả thiết là đường thẳng a và

đường tròn (O) chỉ có một điểm chung.

Vậy H phải trùng với C. Điều đó chứng tỏ OC  a và OH = R. [5, tr. 108]

1.2.3 a. Bảng thống kê các định lí và định lí đảo được chứng minh hoặc

thừa nhận trong chương II và III, sách giáo khoa Toán 9

Chương Số dịnh lí Số địnhlí đảo Chứng minh Thừa nhận

II 18 09 20/27 (74.07) 7/27 (25.93)

III 09 03 9/12 (75) 3/12 (25)

1.2.3.b. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của chương II và III trong

sách giáo khoa và sách bài tậpToán 9

T

1

T12 T2 T3 T31 T4

SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT SGK SBT

0 47/57 0 0 1/57 3/20 9/57 0 0 0 0 II 17/20

0 85 82.46 0 0 1.75 15 15.79 0 0 0 0

27/40 1/44 2/44 0 4/44 4/40 5/40 5/44 4/40 0 0 III 32/44

72.73 67.5 2.27 4.55 0 9.09 10 12.5 11.36 10 0 0

Như vậy, trong chương trình lớp 9

- Có xuất hiện thêm các thuật ngữ mới điều kiện ắt có và điều kiện đủ.

- Kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng được đưa vào giảng dạy cho

học sinh.

1.3. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Pháp

Để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức trong mỗi

hệ thống dạy- học, chúng tôi xin được tiến hành so sánh đối chiếu với sách giáo

khoa của Pháp

Sách giáo khoa được chọn phân tích là:

1. Mathématiques 5e, COLLECTION TRIANGLE, 1998, Hatier [a]

2. Mathématiques 4e, COLLECTION TRIANGLE, 1998, Hatier [b]

3. Mathématiques 3e, COLLECTION TRIANGLE, 1998, Hatier [c]

Lí do lựa chọn:

Đây là sách giáo khoa làm căn cứ cho việc soạn thảo sách giáo khoa Toán lớp 7, lớp

8, lớp 9 dùng cho các lớp song ngữ ở Việt Nam.

3.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Pháp lớp 7

(5e)

Bài Lập luận suy diễn

1. Những quy tắc chứng minh toán học [[a], tr.127]

Trong toán học, để nhận biết một phát biểu là đúng hay sai, người ta sử dụng

một vài quy tắc:

(1) Một phát biểu toán học thì hoặc là đúng hoặc là sai.

(2) Những ví dụ để kiểm chứng cho một phát biểu chưa đủ để chứng minh rằng

phát biểu đó là đúng.

(3) Một ví dụ mà không kiểm chứng được phát biểu đủ để chứng minh rằng phát

biểu đó là sai. Ví dụ đó được gọi là phản ví dụ.

(4) Sự cảm nhận hoặc đo đạc trên một hình vẽ không đủ để chứng minh rằng

một phát biểu hình học là đúng.

2. Mệnh đề và mệnh đề đảo [[a], tr.127]

Trong toán học, người ta rất thường sử dụng những phát biểu dưới dạng “nếu … thì

…”.

Ví dụ: Nếu hai đường thẳng vuông góc thì chúng cắt nhau

Điều kiện của phát biểu trên đây là “ hai đường thẳng vuông góc” còn kết luận

của nó là “ chúng cắt nhau”

Mệnh đề đảo của phát biểu trên là:

Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì chúng vuông góc

Phát biểu này là sai

Người ta nhận được mệnh đề đảo của một mệnh đề bằng cách hoán vị điều kiện

và kết luận của phát biểu đó

Chú ý: mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không phải luôn luôn đúng. Ví dụ,

phát biểu trên đây là đúng nhưng mệnh đảo của nó lại sai

Như vậy, sách giáo khoa có nói đến một đặc trưng của phép kéo theo là không có

tính giao hoán, nhưng tiếp cận một cách ngầm ẩn, thông qua các ví dụ.

3. Phản ví dụ [[a], tr.128]

Đối với một phát biểu dưới dạng “nếu …thì…” một phản ví dụ là một trường

hợp thỏa điều kiện nhưng không thỏa kết luận

Ví dụ, đối với phát biểu: Nếu một số là chia hết cho 5 thì nó tận cùng bởi 5”, 10

là một phản ví dụ

Như vậy, phát biểu là sai

Như vậy, sách giáo khoa trình bày một kỹ thuật bác bỏ một mệnh đề toán

học là sai là tìm một phản ví dụ. Đó là một trường hợp thỏa điều kiện nhưng

không thỏa kết luận.

Như vậy, sách giáo khoa tiếp tục cho học sinh tiếp cận với nghĩa của

phép kéo theo là chỉ sai khi mệnh đề kéo theo sai. Nhưng cũng hoàn toàn ngầm

ẩn thông qua các ví dụ.

Ví dụ: ABC là một tam giác, kẻ đường cao xuất phát từ A, cắt BC tại H. Kẻ

đường thẳng (d) vuông góc với BC đi qua C.

Chứng minh rằng AH và (d) song song .

- Ta biết rằng AH vuông góc với BC, theo định nghĩa của đường cao trong tam

giác. Ta cũng biết rằng, (d) vuông góc với BC (đề bài cho)

- Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song

song

(tính chất )

- Vậy, AH và (d) song song ( kết luận )

Như vậy trong một luận chứng luôn sử dụng các tính chất.[ [a], tr. 92]

3. Chứng minh một phát biểu đại số là đúng

Những ví dụ không cho phép chứng minh những phát biểu đại số là đúng .

Để chứng minh một phát biểu đại số là đúng, ta thường sử dụng các phép biến

đổi đại số

Ví dụ: chứng minh rằng:

Cho một số, thêm 6 vào số đó, nhân kết quả với 3, trừ đi 3 lần số ban đầu .

Chứng minh rằng với mọi số đã cho ban đầu, ta luôn nhận được số 18.

Gọi x là số ban đầu.

x+6 Thêm 6 vào số đó

Nhân kết quả với 3 (x+6) x 3

Trừ đi ba lần số ban đầu (x+6) x 3 -3x

Đơn giản biểu thức này nhờ vào các tính chất của luật phân phối:

( x+6 ) x 3-3x = 18

Như vậy, ta luôn nhận được số 18, với mọi số đã chọn ban đầu

Ngoài ra trong chương 10 : Tam giác, sách giáo khoa có giới thiệu bất đẳng

thức tam giác và các đường đặc biệt trong tam giác như :các đường cao, các đường

phân giác, các đường trung trực, nhưng chỉ giới thiệu các định nghĩa mà không đưa

vào các tính chất. Chỉ đưa vào tính chất của đường trung trực trong tam giác để xây

dựng khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác.Sau đó, sách giáo khoa có giới thiệu

cách vẽ tam giác nếu biết :

- hai cạnh và một góc xen giữa ;

- hai góc và một cạnh kề với hai góc đó ;

- ba cạnh

Ở chương 13 : Tứ giác, sách giáo khoa giới thiệu tâm đối xứng của hình

bình hành là giao điểm của hai đường chéo. Sau đó, suy ra các tính chất của hình

bình hành và thiết lập các mệnh đề đảo của các tính chất cho phép :

- kiểm tra hình tính của một tứ giác ;

- nhận biết một hình bình hành ;

- kẻ một hình bình hành.

Các tổ chức toán học được xây dựng

T1: Chứng minh một mệnh đề toán học là đúng

τ11:Thực hiện chuỗi mắt xích suy luận sau :

- Ta biết rằng ... (giả thiết hoặc kết luận ở trên)

- Nếu ... thì ... (tính chất)

- Như vậy ... (kết luận)

T11: Hoàn thành chuỗi suy luận diễn dịch bằng cách điền vào chỗ trống..

Ví dụ : Bài tập 23 [[a], tr.133]

Hoàn thành chuỗi suy luận diễn dịch sau: a) Ta biết rằng (d) // (d’) và (d) // (d’’)

Nếu … thì … Như vậy,(d’) //(d’’).

T2: Kiểm tra tính đúng sai của một mệnh đề

τ21 : Dùng lập luận để chứng minh mệnh đề đúng

τ22 : Dùng một phản ví dụ để bác bỏ mệnh đề sai

Ví dụ : Bài tập 6 [[a], tr.131]

Đây là một phát biểu:” nếu một số là bội số của 4 thì nó là bội số của 8”

Phát biểu này là đúng hay sai ?.

T31 : « Vẽ hình H có tính chất α »

τ31 : - Nêu tuần tự các bước dựng hình và thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

- Kiểm tra lại tính chính xác của hình vẽ bằng cách kiểm tra rằng tất cả các số

đo là thỏa mãn đề bài.

1.3.1.a Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa Pháp lớp

7

Chương T1 T11 T2 T31

06 (23.08) 06 (23.08) 14 (53.84) 0 Suy luận diển dịch

0 0 0 35 (100) Tam giác

12 (25.53) 03 (6.38) 0 32 (68.09) Tứ giác

1.3.1.b. Phân tích sự chuyển đổi didactic của phép kéo theo và phép

tương đương trong sách giáo khoa Pháp & Việt Nam

sách giáo khoa Pháp sách giáo khoa Việt Nam

1. Mệnh đề và mệnh đề đảo 1. Định lí Cách tiếp

2. mệnh đề đảo của một mệnh đề 2. Không phải định lí nào cũng cận phép

đúng không phải luôn luôn đúng có định lí đảo. kéo theo

3. Phản ví dụ

4. Chứng minh định lí là dùng 3. Chứng minh định lí là dùng

những luận chứng được trình bày lập luận để từ giả thiết suy ra

dưới dạng: kết luận.

- Ta biết rằng …

- Nếu … thì …

- vậy …

1. Chứng minh một mệnh đề toán 1. Chứng minh một mệnh đề Các kiểu

học. toán học. nhiệm vụ

2. Giải thích mệnh đề toán học là 2. Giải thích mệnh đề toán học

đúng hay sai. là đúng hay sai.

3. Vẽ hình 3. Vẽ hình

Như vậy, qua phần trình bày của sách giáo khoa Pháp, học sinh nhận ra vai trò của

phép kéo theo là tạo sự nối khớp giữa giả thiết và kết luận trong một chứng

minh.

3.2. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Pháp lớp 8 (4e)

Khác với sách giáo khoa Việt Nam, sách giáo khoa Pháp trình bày định lí

Pythagore ở lớp 8.

Hoạt động 2: Tìm cách chứng minh định lí Pythagore

Hình này bao gồm hai tam giác EFK và KLM bằng với tam giác

E

A

L

c

c

b

a

C

M

b

F

a

K

B

b

vuông ABC vuông tại C sao cho ba điểm F, K, M thẳng hàng.

Những câu hỏi dưới đây cho phép chứng minh các điều dự đoán trong hoạt động 1, ở đây có nghĩa là a2 + b2 = c2

a. Chứng minh rằng góc EKL là góc vuông

b. Viết công thức tính diện tích các tam giác EFK, KLM, EKL theo a,b, c

c. Tính diện tích của EFLM theo hai cách khác nhau

d. Kết luận gì?

ˆ

BAC

ˆ BCA

ˆ 

MKLFKE

ˆ 

LKE ˆ = 1800- (

Lời giải dự kiến

) = 1800 ( ) = 1800 – 900 = 900 a.

1 2

1 2

ab, diện tích  EKL b. diện tích  EFK : A1= ab, diện tích  KLM : A2=

1 2

c2 A3=

c. hai cạnh EF và LM cùng vuông góc với FM nên song song với nhau

1 2

1 2

(a + b)2 = ( 2ab +c2) d. diện tích của hình thang EFML : A0=

Suy ra, (a + b)2 = 2ab + c2 kết luận: a2 + b2 = c2

1. Phát biểu định lý Pythagore

Nếu một tam giác là vuông thì bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng các

bình phương độ dài của hai cạnh còn lại Nếu ABC là tam giác vuông tại A thì BC2 = AB2 + AC2

Trong một tam giác vuông, định lí Pythagore cho phép tính độ dài của một cạnh

nếu biết độ dài của hai cạnh kia.

2. Định lí đảo của định lí Pythagore

Người ta thừa nhận mệnh đề đảo của định lí Pythagore là đúng

Nếu trong một tam giác, bình phương độ dài của cạnh lớn nhất thì bằng tổng

bình phương các độ dài của hai cạnh còn lại thì tam giác này là vuông và góc

vuông là góc đối diện với cạnh lớn nhất Nếu trong tam giác ABC, BC2 = AB2 + AC2thì tam giác này vuông tại A

Định lí đảo của định lí Pythagore cho phép chứng minh rằng một tam giác là

vuông

Ví dụ: Chứng minh rằng tam giác MNP sao cho MN = 3.3cm, NP = 6.5cm, PM

= 5.6cm là một tam giác vuông. Vì NP2 = MN2+ MP2 nên tam giác MNP vuông tại M

Ngoài các kiểu nhiệm vụ của SGK lớp 7, sách giáo khoa lớp 8 có giới thiệu một kiểu

nhiệm vụ mới T3: “ Dựng hình H có tính chất α”: Mục đích của bài toán này là tìm

một phương pháp để dựng một điểm, một đường thẳng hoặc một đường tròn khác với

việc dựng một cách mò mẫm. Trong bài tập này người ta yêu cầu:

-Phân tích.

- Cách dựng

- Chứng minh

- Biện luận”

Ví dụ: Bài tập 64, tr. 104

Kẻ một đường tròn không sử dụng compas (với một đồng tiền chẳng hạn). Dựng tâm

của đường tròn này.

1.3.2.a.Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa Pháp lớp

8

Chương T3 T31 T1 T11 T3

05 02 28 01 03 Tam giác vuông và đường tròn

(71.79) (2.56) (12.83) (5.13) (7.69)

23 0 0 02 0 Tam giác và các đường thẳng song

(92) (8) song

18 01 01 19 0 Các đường đặc biệt trong tam giác

(46.15) (2.56) (2.56) (48.73)

Chương 8: Phương trình

Giải phương trình ẩn x là tìm những giá trị mà khi thay vào x ta nhận được

đẳng thức

Những giá trị đó được gọi là những nghiệm của phương trình

Ví dụ: Cho phương trình 2x + 3 = x + 8

5 là nghiệm của phương trình vì 2  5 + 3 = 5 + 8

Chú ý: Có những phương trình không có nghiệm

Ví dụ: 0x = 7 không có nghiệm

Để giải một phương trình, người ta phải biến đổi nó, qua nhiều bước, để đưa về

một phương trình có dạng x = a hoặc 0x = a (ở đây a là một con số). Nhưng

phải chắc chắn rằng, ở mỗi bước, những phương trình nhận được luôn có

cùng tập nghiệm

Ba quy tắc cho phép biến đổi một phương trình về phương trình mới mà luôn có

cùng tập nghiệm:

- Đơn giản mỗi vế của phương trình.

- Cộng thêm (hoặc trừ bớt) với cùng một số vào hai vế của một phương trình.

- Nhân (hoặc chia) với cùng một số khác không vào hai vế của mỗt phương

trình.

 Đơn giản tối đa mỗi vế bằng cách sử dụng những tính chất

Giải một phương trình

1 6

- Nghiệm là

đã học của đẳng thức.

- Chuyển số hạng chứa ẩn số về một trong hai vế bằng cách thêm số hạng đối

của nó vào mỗi vế. Chuyển số hạng không chứa ẩn số về vế còn lại.

- Chia mỗi vế cho hệ số của ẩn (nếu nó khác không).

- Kết luận.

Ví dụ: Giải phương trình 9(x + 1) – 4x = 5 – (x – 3)

Những phương trình sau có cùng tập nghiệm

9x + 9 – 4x = 5 – x + 3

5x + 9 = 8 – x

6x = -1

x = -1/6

1.3.2.b. Phân tích sự chuyển đổi Didactic của khái niệm phép kép theo

và phép tương đương trong sách giáo khoa Pháp (5e) và SGK Việt Nam (lớp 9)

sách giáo khoa Pháp sách giáo khoa Việt Nam

* Trong hình học: Cách tiếp * Trong hình học:

1. Định lí Pythagore thuận có 1. Định lí Pythagore thuận được cận Phép

chứng minh thừa nhận. tương đương

2. Định lí Pythagore đảo được 2. Định lí Pythagore đảo được

thừa nhận. thừa nhận.

3. Điều kiện cần và điều kiện đủ,

điều kiện cần và đủ.

* Trong đại số: * Trong đại số:

1. Hai phương trình, hai bất 1. Hai phương trình, hai bất

phương trình tương đương. phương trình có cùng tập

2. Hai quy tắc biến đổi tương nghiệm.

đương của phương trình và bất 2. Ba quy tắc chuyển đổi

phương trình. phương trình, bất phương trình

thành phương trình, bất phương

trình mới có cùng tập nghiệm

với phương trình, bất phương

trình ban đầu. 3. kí hiệu “ ” 

Ngoài các kiểu nhiệm vụ đã có Ngoài các kiểu nhiệm vụ đã có Các kiểu

trong SGK lớp 7 còn có: trong SGK lớp 7 còn có: nhiệm vụ

4. Tìm tập hợp điểm có tính 4. Tìm tập hợp điểm có tính chất

chất α α

Như vậy, sách giáo khoa Pháp (5e) và SGK Việt Nam (lớp 7)

đều tiếp cận với phép tương đương thông qua định lí Pythagore thuận và định

lí Pythagore đảo nhưng tại hai thời điểm khác nhau, SGK Pháp ở lớp 8, SGK

Việt Nam ở lớp 7. “Việc đưa định lí Pythagore vào lớp 7 nhằm mục đích tăng

cường tính toán trong hình học (bên cạnh rèn luyện suy diễn logic), trong đó có

cả tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ, đồng thời giới thiệu

sớm được một định lí có ý nghĩa lớn trong hình học (ơ- clit).”[2, tr 7]

3.3.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Pháp lớp

9 (3e)

Khác với sách giáo khoa Việt Nam, sách giáo khoa Pháp giới thiệu định lí

Thales thuận và đảo ở lớp 9. sách giáo khoa không đưa vào bài toán quỹ tích, cũng

không giới thiệu kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng cho học sinh.

1.3.3.a.Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa Pháp lớp

9

Chương T1 T11 T2 T31

22 01 01 02 Định lí Thales

84,62 3,85 3,85 7,68

1.3.3.b. Phân tích sự chuyển đổi Didactic của khái niệm phép kéo theo và

phép tương đương trong sách giáo khoa Pháp (3e) và sách giáo khoa Việt Nam

(9)

sách giáo khoa Pháp sách giáo khoa Việt Nam

* Trong hình học: * Trong hình học: Cách tiếp

1. Định lí Thales thuận có 1. Định lí Thales thuận được thừa cận Phép

chứng minh nhận. tương đương

2. Định lí Thales đảo được thừa 2. Định lí Thales đảo được thừa

nhận. nhận.

3. Điều kiện cần và điều kiện đủ,

điều kiện cần và đủ.

* Trong đại số: * Trong đại số:

1.Hệ hai phương trình tương 1. Hệ hai phương trình có cùng

đương. tập nghiệm.

2. Hai quy tắc biến đổi tương 2.Quy tắc chuyển đổi hệ

đương hệ phương trình: phương trình có cùng tập

- phương pháp cộng đại số nghiệm với hệ ban đầu:

- phương pháp khử. - phương pháp thế.

3. kí hiệu “ ” 

Ngoài các kiểu nhiệm vụ đã có Ngoài các kiểu nhiệm vụ đã có Các kiểu

trong SGK lớp 7, lớp 8, còn có: trong SGK lớp 7, lớp 8 còn có: nhiệm vụ

4. Giải hệ hai phương trình bậc 3. Tìm tập hợp điểm có tính

nhất hai ẩn chất α

4. Giải hệ hai phương trình bậc

nhất hai ẩn

Kết luận chương I

Việc phân tích chương I giúp chúng tôi làm rõ những đặc trưng và ràng buộc của

thể chế dạy học Việt Nam đối với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương.

1. Học sinh ở trung học cơ sở được tiếp cận với khái niệm phép kéo theo và

phép tương đương thông qua các thuật ngữ: định lí, định lí thuận, định lí đảo,

điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện ắt có và đủ.

Cụ thể , học sinh tiếp cận với phép kéo theo thông qua định lí viết dưới dạng

Q

P 

“Nếu P thì Q” theo nghĩa nếu có P thì suy ra có Q.

Với phép tương đương, thông qua mệnh đề

2. Đặc trưng của phép kéo theo là không có tính giao hoán được tiếp cận

thông qua các ví dụ về các định lí không có định lí đảo.

Đặc trưng của phép tương đương là có tính giao hoán được tiếp cận thông

qua việc chứng minh phần thuận và phần đảo của bài toán hoặc thay phương

trình (bất phương trình, hệ phương trình) bằng phương trình (bất phương

trình, hệ phương trình) tương đương.

3. Chức năng của phép kéo theo và phép tương đương chỉ được sử dụng

ngầm ẩn để lập luận chứng minh trong hình học hoặc lí luận trong lời giải

của các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứ không được

nêu rõ trong các sách giáo khoa. Qua đó cho thấy vai trò công cụ của khái

niệm phép kéo theo và phép tương đương trong việc chứng minh ở trung học

cơ sở. Ngoài ra, khái niệm này không lấy cơ chế là đối tượng ở trung học cơ sở.

4. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm phép kéo theo và phép tương

đương xuất hiện trong các sách giáo khoa Việt Nam:

T1: Chứng min h một mệnh đề toán học.

T11: Sắp xếp các câu hợp lí để giải bài toán.

T12: Tìm điều kiện của hình.

T2: Giải thích các mệnh đề toán hoc là đúng hay sai.

T3: Dựng hình H có tính chất α.

T31: Vẽ một hình H có tính chất α.

T4: Tìm quỹ tích của điểm M thỏa mãn tính chất α

T41: Cho một điểm chuyển động trên một đường. tìm xem một điểm

5T : Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bậc nhất.

khác (phụ thuộc vào điểm đó) di chuyển trên đường nào?

Trong đó kiểu nhiệm vụ T1 chiếm ưu thế với kỹ thuật được ưu tiên sử

dụng là phương pháp chứng minh trực tiếp dựa trên yếu tố công nghệ -

lí thuyết là định nghĩa của phép kéo theo, trong khi đó kỹ thuật chứng

minh bằng phản chứng thì hầu như hiếm khi được sử dụng..

Mặt khác việc phân tích các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến khái niệm phép

kéo theo và phép tương đương, đã làm rõ một số ràng buộc ngầm ẩn của

thể chế lên đối tượng này:

1. Đối với kiểu nhiệm vụ T3: “Dựng hình H có tính chất α” Trong sách

giáo khoa không có bài tập nào đòi hỏi vẽ thêm hình (những bài tập

vẽ thêm hình có trong sách bài tập). Các bài tập trong sách giáo khoa

đều cho độ dài đoạn thẳng và số đo góc bằng số cụ thể để không phải

xét nhiều trường hợp. Sách giáo khoa chỉ giới thiệu một bài (bài tập

34) có hai hình thỏa mãn đề bài để học sinh làm quen với trường hợp

hình thỏa mãn đề bài không phải là duy nhất. Do đó, ở trung học cơ

sở không yêu cầu học sinh biện luận số nghiệm hình.

4T : “Tìm tập hợp điểm có tính chất α” phần

2. Đối với kiểu nhiệm vụ

giới hạn quỹ tích thường được nêu trước khi kết luận quỹ tích, nhưng

sách giáo khoa lại đưa vào phần chú ý, sau khi kết luận quỹ tích, vì

kiến thức về giới hạn quỹ tích là khó đối với học sinh lớp 9.Trong tiết

luyện tập, học sinh được làm vài bài tập dễ về quỹ tích cung chứa góc,

có chứng minh cả hai phần thuận và đảo.

Từ đó, cho phép chúng tôi dự đoán về sự tồn tại ngầm ẩn của các quy tắc

hợp đồng sau:

1T

“ Chứng minh một mệnh đề toán học”, học RE1: Để giải quyết kiểu nhiệm vụ

sinh cần thực hiện các bước :

-nêu các bước, mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó,

2RE : Để giải quyết kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình, bất phương trình hoặc

- nối chúng lại bằng các liên từ (từ…ta có, vì… nên, suy ra…)

hệ phương trình”, học sinh thực hiện hai quy tắc biến đổi tương đương: quy tắc

chuyển vế và quy tắc nhân, rồi sử dụng kí hiệu “  ” để tạo sự nối khớp giữa các

phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.

Để làm sáng tỏ các nhận xét trên, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu đặc trưng khoa học

luận của phép kéo theo và phép tương đương trong chương II.

Chương 2:ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP KÉO THEO VÀ

PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG

Việc nghiên cứu đặc trưng khoa học luận cho phép trả lời các câu hỏi sau:

- Nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương là gì?

- Đặc trưng của khái niệm này là gì?

- Chức năng của phép kéo theo và phép tương đương trong dạy học toán?

Phần này được trình bày dựa vào việc tham khảo các nguồn tài liệu dưới đây:

- - http://ww.momes.net/education/problemes/problemes.html

- http://serge.mehl.free.fr/chrono.

2.1 Vài nét lịch sử về phép kéo theo và phép tương đương

2.1.1. Giai đoạn 1: Trước thế kỷ XIX

Nghiên cứu tài liệu cho thấy, Aristote (-384/-322) được xem là bậc thầy của

phép biện chứng và phép suy luận logic. Ông là người sáng lập ra lí luận của phép

biện chứng cho phép tìm ra chân lí gọi là phép tam đoạn luận. Ngoài khái niệm

của phép tam đoạn luận, ngày nay, người ta còn biết đến Aristote về những từ ngữ

liên kết với phép suy luận diễn dịch. Đó là sự kết hợp của hai mệnh đề, được gọi

là tiền đề và hậu đề, là lí luận xuất phát từ giả thiết để suy ra kết luận.Được trình

bày trong Les Topiques và trong các tác phẩm của ông về logic.

Topiques Livre 1.1: Suy luận diễn dịch là một dạng thức của luận chứng

trong đó, có một vài sự việc đã xảy ra, thì một sự việc khác phân biệt với các

sự việc đó tất yếu sẽ xảy ra, bởi hiệu năng của sự việc đó.

Đó là một chứng minh từ những điểm xuất phát của phép suy diễn là những

tiên đề hoặc những tri thức suy ra từ các tiên đề, mang lại sự thuyết phục,

không bằng những lí lẽ bên ngoài nó, mà bằng chính nó.

Theo Aristote, lần đầu tiên, ngôn ngữ mệnh đề có dạng nếu P thì Q xuất

hiện (P, Q được dùng để biểu thị các mệnh đề). Logic mệnh đề của Aristote là phát

minh đầu tiên của logic hình thức, có nghĩa là khả năng thiết lập nên qui luật của vũ

trụ, chi phối tư duy của con người.

Logic này đặt cơ sở trên Đúng- Sai đã biết. Suy luận diễn dịch sử dụng các liên từ

và trạng từ VÀ, HOẶC, NẾU… THÌ…. Ông đưa ra bốn quy tắc logic cơ bản sau:

Phép hội của hai mệnh đề P, Q là P và Q

Phép tuyển của hai mệnh đề P, Q là P hoặc Q (hoặc ở đây có nghĩa là bao

gồm, không phải là loại trừ, P và Q có thể cùng tồn tại).

Phép phủ định của mệnh đề P là không P (là điều trái ngược với P, nếu P là

đúng thì không P là sai và ngược lại).

Phép kéo theo một chiều hay phép kéo theo được biểu thị bởi nếu P thì Q,

hay P suy ra Q. Trong tự điển “impliquer” đồng nghĩa với “insinuer” cũng có

nghĩa là gợi ý. Điều này muốn nói rằng “ Nếu sự việc P xảy ra thì làm cho sự việc

thứ hai Q xảy ra hoặc sẽ xảy ra”. Trong tiến trình lí luận của chúng ta, chúng ta

muốn nói bằng sự chắc chắn rằng cái này được theo sau cái kia. Trong thực

hành, ta nói rằng cái này xảy ra như vậy cái kia phải xảy ra.

Như vậy, xét mệnh đề P kéo theo Q (P suy ra Q) là mệnh đề đúng.Ta có các

trường hợp sau:

- Nếu P xảy ra thì chắc chắn Q xảy ra

- Nếu Q xảy ra thì P chưa chắc xảy ra.

- Nếu P không xảy ra thì không kết luận gì về Q.

- Nếu Q không xảy ra thì chắc chắn P không xảy ra.

Như vậy, mệnh đề P kéo theo Q chỉ sai trong trường hợp khi P xảy ra nhưng Q

lại không xày ra.

Nhận xét :

- Theo quy tắc kéo theo một chiều khi sự việc thứ nhất (P) xảy ra thì sự việc

thứ hai (Q) chắc chắn xảy ra. Nhưng khi sự việc thứ hai (Q) xảy ra thì sự

việc thứ nhất (P) chưa chắc xảy ra.

- Mệnh đề P kéo theo Q chỉ sai trong trường hợp P xảy ra nhưng Q lại không

xảy ra.

- Khi ta có mệnh đề P kéo theo Q thì ta cũng có mệnh đề không Q kéo theo

không P

Phép kéo theo hai chiều hay phép tương đương logic (nếu và chỉ nếu) : khi sự

việc thứ nhất (P) xảy ra thì sự việc thứ hai (Q) chắc chắn xảy ra và ngược lại, tức là

khi ta có hai mệnh đề P kéo theo Q và Q kéo theo P đồng thời đúng thì ta có

phép kéo theo hai chiều hay còn gọi là phép tương đương.Khi đó ta nói rằng hai

mệnh đề P và Q tương đương nhau.

Ông đưa ra hai luật logic cơ bản sau là luật bài trung và luật phi mâu

thuẫn,làm cơ sở cho phép suy luận bằng phản chứng.

Luật phi mâu thuẫn, luật bài trung và phép suy luận bằng phản chứng

- Luật bài trung (loại trừ cái thứ ba)

Nếu P là một mệnh đề và không P là phủ định của P thì P hoặc không P,

biểu thị rằng hai mệnh đề là mâu thuẫn nhau, cái này là đúng thì cái kia là sai.

Phủ định của mệnh đề P được xác định như không thể tồn tại chung với P (có

nghĩa là đúng đồng thời), nếu cái này tồn tại thì cái kia là không. Luật này không

thừa nhận những mệnh đề không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ.

Trong toán học, ta sử dụng luật bài trung khi chứng minh bằng phản chứng.

- Luật phi mâu thuẫn:

Nếu P là một mệnh đề và không P là phủ định của P thì nếu cái này tồn tại

thì cái kia là không, tức là P và không P không thể đồng thời cùng đúng.Dùng

luật bài trung và luật phi mâu thuẫn ta chứng minh được phủ định của phủ

định của P là P.

- Phép suy luận bằng phản chứng

Được dựa trên luật bài trung, tiền đề cơ bản của logic học thuộc trường phái

Aristote. Người ta tìm thấy chứng minh này trong tác phẩm Premiers

Analytiques, Livre II, về điều phi lí của căn bậc hai.

Nếu T là một phát biểu mà ta có thể chứng minh tính đúng đắn dưới

dạng H (giả thiết) suy ra C (kết luận).Ta giả sử giả thiết H là đúng và phủ

nhận kết luận. Ta có (H và không C). Giả sử rằng sự kết hợp của( H và

không C) dẫn đến một mâu thuẫn. Vậy ( H và không C) là sai dẫn đến phủ

định của (H và không C) là đúng (theo luật bài trung) . Vậy (không H hoặc

C) là đúng. Mà H đúng như vậy ta phải có C, có nghĩa là tính xác thực của

kết luận chúng ta.

2.1.2. Giai đoạn 2 : Sau thế kỉ XIX

Sau Aristote, logic bị lãng quên ở thời Trung cổ của Châu Âu và được phục

hồi vào cuối thế kỷ XIX.

Mãi đến thế kỷ XIX, De Morgan (1806- 1871) xuất hiện như một nhà tiên

phong của logic hình thức hiện đại.Ngoài vô số các tác phẩm ấn hành về số học

và đại số, còn có vô số các tác phẩm liên quan đến logic hình thức đã tạo nên

danh tiếng của ông : On the study and difficulties of mathematics, 1831, Formal

logic or Calculus of Inference, Logique formelle ou Calcul de l inference, ...

Ông đưa ra qui tắc De Morgan như sau : Nếu gọi A và B là hai mệnh đề và

không A và không B lần lượt là phủ định của A và B.Ta có :

- không (A hoặc B) = không A và không B

- không (A và B) = không A hoặc không B

Dấu “=” ở đây là sự tương đương logic. Ở chỗ dấu “=” ta có thể đọc “tương

đương với nói”. Trong suy luận, ta được phép thay thế mệnh đề A bằng mệnh đề

tương đương với A.

Theo quy tắc này, ta có luật bài trung và luật phi mâu thuẫn của Aristote

tương đương với nhau: P hoặc không P = không ( không P và P)

(Vế trái là luật bài trung, còn vế phải là luật phi mâu thuẫn).

Nhờ vào quy tắc này mà ta có thể làm sáng tỏ các cơ sở lí luận của phép phản

chứng của Aristote.

Ông đưa ra các khái niệm về mệnh đề phản đảo và mệnh đề hằng đúng.

Phép kéo theo và mệnh đề phản đảo

Mệnh đề kéo theo nếu A thì B để chỉ rằng nếu A đúng thì B đúng. Nó hình

thành nên cơ sở chính của phép suy luận diễn dịch. Ta có giả thiết H như vậy ta

suy ra kết luận R.

Mệnh đề phản đảo tương đương với cách nói rằng H suy ra R là không R

suy ra không H. Việc sử dụng mệnh đề phản đảo có thể tỏ ra đơn giản hơn

trong việc tìm kiếm chứng minh cho một phát biểu.

Mệnh đề hằng đúng: một mệnh đề có thể luôn đúng với mọi phần tử thuộc

tập hợp mà nó bao gồm, khi đó ta có mệnh đề hằng đúng. Trong lí thuyết toán,

phép hằng đúng là một tiên đề hoặc là một định lí ( là tính chất được suy ra từ

các tiên đề hoặc một định lí đã được thiết lập trước đó). Chú ý rằng, ở đây là lí

thuyết chặt chẽ, nó không bao gồm các tiên đề mâu thuẫn với các tiên để khác

hoặc một định lí đã được chứng minh trước đó.

Năm 1847, bài giảng của ông được chú ý bởi việc xuất hiện của ngôn ngữ kí

hiệu có thể chứng minh được trong phép tính của các mệnh đề. Trong tác phẩm

Logic hình thức, ông viết:

1. Khẳng định: “Mọi X là Y” được kí hiệu là X)Y, theo nghĩa tập hợp đó là

X  Y

2. Khẳng định “Không có X nào là Y” được kí hiệu X.Y, theo nghĩa tập hợp đó

là X Y

3. Khẳng định “Một vài X là Y” được kí hiệu XY

4. Khẳng định “Một vài X không là Y” được kí hiệu X:Y

Sự lặp lại rườm rà này đã làm phức tạp ngôn ngữ logic diễn dịch của De

Morgan. Một trong những người bạn đồng hương và cùng thời với ông, George

Boole, đã đặt tất cả lại trong một thứ tự vào một chỗ trong đại số logic của mình.

Được khuyến khích bởi De Morgan, Boole ( 1815- 1864) là người khai sinh các

khái niệm về tập hợp và các phép tính trên tập hợp khi nối liền logic toán học

với các phép tính đại số .Trong tác phẩm the Mathematical Analysis of logic

(1847), ông đã giải quyết được một trong những vấn đề cơ bản về sự bất đồng

giữa ngôn ngữ và lí luận đã được Leibniz đặt ra cho các nhà toán học trước đó.

Ông là người sáng tạo ra logic hiện đại. Môn đại số logic hay đại số Boole được

ông biểu thị trong tác phẩm An investigation of the laws of thought, cũng còn

được sử dụng ngày nay trong các sơ đồ mạch điện, điện tử và thuật toán của máy

tự động

Đại số Boole:

Một tập hợp E có cấu trúc đại số Boole nếu nó được trang bị hai phép toán

có tính kết hợp và tính giao hoán được kí hiệu bởi + và *:

1. Các phép toán + và * thì có tính phân phối và nhận một phần tử trung hòa (kí

hiệu lần lượt là 0 và 1với 0 ≠1).

2. Mọi phần tử của E thì không đổi đối với mỗi luật: x + x = x và x * x = x

3. Mọi phần tử x của E có duy nhất một phần tử gọi là bù của x, kí hiệu là x ,

thỏa luật bài trung và luật phi mâu thuẫn: x + x = 1, x * x = 0

4. Luật hấp thụ của phép nhân đối với phép cộng x + x* y = x và ngược lại x *

(x+ y) = x

5. Luật giản ước: x + x * y = x + y và luật đối ngẫu x * (x + y) = x * y.

Đại số logic này cho một cấu trúc đại số trên các phần tử của một tập hợp :

phép hội là phép cộng (+)

phép giao là phép nhân (*)

x là phần bù của x ( phủ định của x)

0 là phần tử rỗng

yx

x

y

*

x

yx

y

*

yx,

Trong đại số Boole, ta có tính chất biểu thị cho quy tắc De Morgan:

trong đó, lần lượt là phần bù của x và của y.

Với x được liên kết với P và y được liên kết với Q có nghĩa là:

không (x và y ) = không x hoặc không y

không ( x hoặc y) = không x và không y

Như vậy, một mẫu của đại số này là logic mệnh đề cổ điển. Đại số Boole hay

logic kí hiệu ra đời đã đánh dấu một bước tiến cơ bản của logic học, với việc

đưa ngôn ngữ kí hiệu vào logic đã mang lại ý nghĩa quyết định đối với sự

phát triển của logic học.

Đại số Boole cho phép làm sáng tỏ những tình huống logic phức tạp nơi có sự

can thiệp của vô số các mệnh đề. Những hàm mệnh đề có thể trở nên cực kỳ

phức tạp và việc thay thế chúng bởi một phép tính đại số để đơn giản hóa đã

đem lại một thuận lợi to lớn.

Sau đó, Frege (1848- 1925) đã ý thức được những khó khăn và những mâu

thuẫn (từ nhận thức) khi hình thành nên ý thức hệ nếu chỉ sử dụng duy nhất luật

bài trung, ông tấn công vào cơ sở của toán học, trong tác phẩm Fondements de l’

arithme’tique (1884) khi thử xây dựng lại toàn bộ số học chỉ dựa vào logic.

Với sự xuất hiện của các biến số trong logic mệnh đề và việc sử dụng các dấu

lượng , Frege đã thực hiện các phép toán trên các mệnh đề chứa biến. Những

, 

khái niệm và các kí hiệu này được hoàn thiện bởi Peano từ năm 1888 đến

,  , , 

,

,

1908 : Peano đưa ra các kí hiệu ,  . Sau đó, Boubaki đề nghị đổi

các kí hiệu thành .

Đối với phép kéo theo và phép tương đương logic, được ông đánh giá là quy

tắc cơ bản của logic mệnh đề. Ít trực giác hơn so với phép hội và phép tuyển( và,

hoặc), dạng thức của cách viết A  B được định nghĩa bởi sự kiện là B phải

đúng nếu A đúng, nhưng không tiên đoán được điều gì về B khi mà A sai.

Điều này không có ý nghĩa gì : từ A sai không rút ra được một kết quả gì, do đó,

thông thường khi xét mệnh đề A  B , ta không xét trường hợp này. Frege đề

nghị lập bảng chân trị để thấy sự tương đương logic của hai mệnh đề sau :

A

A  B A B

A  B đ

đ đ s đ

đ s s s s

s đ đ đ đ

A

B





s s đ đ đ

. được kí hiệu , có nghĩa là Ông còn chứng minh tương đương logic là tương ứng với hai lần phép kéo theo, 

A 

 

 B  

Trong quá trình phát triển, nhất là từ cuối thế kỷ XIX trở đi, đối tượng

nghiên cứu của logic học có những thay đổi. Ví dụ,Russell( 1872- 1970) quan

tâm nhiều đến những mâu thuẫn gắn liền với những nghịch lí đầu tiên của lí

thuyết tập hợp , đã định nghĩa khái niệm về lớp để loại trừ các nghịch lí. Sau đó,

Godel (1906- 1978) quan tâm đến các mệnh đề không thể chứng minh cũng

không thể bác bỏ và tính đầy đủ của một lí thuyết, ông đưa ra khái niệm của hàm

đệ quy và định lí về tính không đầy đủ của một hệ tiên đề. ông chứng minh

được lí thuyết số học là không đầy đủ, còn hình học Lobtchevki là đầy đủ...,

đồng thời ông còn chỉ ra những hạn chế trong suy luận logic của Frege, của

Russell...Các công trình của ông sau này được phát triển bởi Tarski (1902-

1983), Robison (1918- 1974) và Ackermann (1896-1962) đưa logic học phát

triển theo nhiều hướng khác nhau.

Với đối tượng như vậy của logic học, người ta nói đến logic diễn dịch (logic

truyền thống, cổ điển) và logic quy nạp ( logic hiện đại). Trong quá trình phát

triển, logic quy nạp trở thành logic xác suất, logic đa trị, logic lưỡng trị...

Kết luận

Từ nghiên cứu trên ta thấy :

- Phép kéo theo và phép tương đương ra đời từ yêu cầu của việc cần thiết

phải chứng minh các mệnh đề trong hình học , trong số học.

- Cần phải phân biệt sự khác nhau giữa phép kéo theo và phép tương

đương dựa vào nghĩa của chúng :

Theo quy tắc kéo theo giả thiết rằng tình huống thứ nhất xảy ra thì tình huống

thứ hai cũng xảy ra. Nhưng khi tình huống thứ hai xảy ra thì tình huống thứ nhất

chưa chắc xảy ra. Trong tiến trình lí luận của chúng ta, chúng ta muốn nói bằng

sự chắc chắn rằng cái này được theo sau cái kia. Trong thực hành, ta nói rằng cái

này xảy ra như vậy cái kia phải xảy ra.

Theo quy tắc tương đương, ta giả thiết rằng tình huống thứ nhất xảy ra thì tình

huống thứ hai cũng xảy ra. Và khi tình huống thứ hai xảy ra thì tình huống thứ

nhất cũng xảy ra.

2.2. Đặc trưng của khái niệm phép kéo theo và phép tương đương trong

phạm vi toán ở bậc đại học

Ở đây chúng tôi chọn phân tích theo giáo trình :

- Logic học phổ thông, Hoàng Chúng( 1994), NXBGD

 a

- Toán học cao cấp, tập 1 : Đại số và Hình học giải tích, Nguyễn Đình Trí

(1995), NXBGD

 b

2.2.1. Mệnh đề với phép kéo theo

Q

P  ( nếu có P thì có Q) sai khi P đúng mà Q sai, đúng trong mọi trường

Định nghĩa phép kéo theo

hợp khác.

Q

P

P 

Q 

Phép kéo theo không có tính giao hoán- Mệnh đề đảo

Q

P

P 

Q 

. Trong mệnh đề , nếu ta hoán vị tiền đề P và hậu đề Q, ta được

Hai mệnh đề và gọi là hai mệnh đề đảo của nhau.

Q

P

Q 

P  

Khác với phép hội và phép tuyển, phép kéo theo không có tính giao hoán,

tức là không phải bao giờ cũng có cùng giá trị chân lí, ta viết

Ví dụ : Xét mệnh đề : Nếu hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

P : hai góc đối đỉnh và Q : hai góc bằng nhau.

Mệnh đề này đúng vì khi P đúng thì Q cũng đúng.

Xét mệnh đề đảo của nó : Nếu hai góc bằng nhau thì đối đỉnh

Mệnh đề này sai vì khi Q đúng thì P có thể sai.

Mệnh đề phản đảo

P

P 

Q  luôn có cùng giá trị chân lí

Một cách tổng quát, từ định nghĩa của phép kéo theo và phép phủ định, ta

chứng minh được mệnh đề và Q

P 

Q  P

(cùng đúng hoặc cùng sai)

P

P 

Ta có = Q

Q  gọi là hai mệnh đề phản đảo của nhau, tiền

Hai mệnh đề và Q

đề của mệnh đề này là phủ định hậu đề của mệnh đề kia và ngược lại. Hai

mệnh đề phản đảo của nhau thì tương đương logic với nhau.

Q

P  : Nếu có P thì có Q nhiều khi được diễn đạt dưới dạng

Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ. Phép tương đương

- Mệnh đề

Có P là đủ để có Q

Muốn có Q thì có P là đủ

Có Q khi có P

P

Q  : nếu không có Q thì không có P nhiều khi được diễn đạt

Như vậy, P còn gọi là điều kiện đủ của Q

- Mệnh đề

dưới dạng

Có Q là cần để có P

Muốn có P thì cần phải có Q

Có Q chỉ khi có P

Q

P 

Như vậy, Q còn gọi là điều kiện cần của P

P

Q  )

Vì vậy, ta có khi P là điều kiện đủ để có Q thì Q là điều kiện cần để có P

(

Trong mệnh đề trên,

P là điều kiện đủ nhưng không cần của Q

Q là điều kiện cần nhưng không đủ của P

Trong trường hợp, nếu có P thì có Q và ngược lại, nếu có Q thì có P thì

có thể diễn đạt dưới dạng P là điều kiện cần và đủ để có Q hay có Q khi và chỉ

Q

P 

Q  P

khi có P.

Lúc đó, ta viết hay

Qua những trình bày trên đây về phép kéo theo , phép tương đương ta thấy :

- Khác với phép hội và phép giao, phép kéo theo không có tính giao hoán.

- Trong các phép toán logic, phép kéo theo và phép tương đương là khó nhất,

phức tạp nhất vì ít trực quan hơn so với phép hội và phép tuyển lại được diễn

đạt bằng nhiều cách khác nhau.Nhưng lại quan trọng nhất vì được xem là cơ sở

của phép suy luận diễn dịch. Cùng với ngôn ngữ, logic là công cụ, là phương

tiện để con người hiểu biết nhau, trao đổi tư tưởng với nhau.

2.2.2. Suy luận diễn dịch

Suy luận là rút ra mệnh đề (phán đoán) mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có.

Mệnh đề đã có gọi là tiền đề, mệnh đề mới được gọi là kết luận của suy luận.

Suy luận diễn dịch là suy luận theo những quy tắc tổng quát, xác định rằng

nếu tiền đề là đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng.

Q

P 

2.2.2.a. Phép suy diễn từ một tiền đề

Xét mệnh đề (từ P suy ra Q) tức là ta đã suy luận từ tiền đề P để có kết

P Q

Q

P  hằng đúng (luôn đúng, bất kể các thành phần của P

luận Q, theo sơ đồ (có P vậy có Q)

- trong trường hợp

Q

P  . ta nói Q là kết luận logic của P.

và Q lấy giá trị gì) thì ta có một phép suy diễn hay phép suy luận hợp logic

Q

với quy tắc suy diễn

P  không hằng đúng tức là có thể chỉ ra một trường

- trong trường hợp

hợp P đúng mà Q sai, thì phép suy luận là không hợp logic, Q không là kết

luận logic của P.

Tam đoạn luận và quy tắc suy diễn

Trong các sách logic, thường dẫn ra suy luận sau :

(A) Mọi người đều phải chết.

(B) Socrate là người thì Socrate phải chết.

quy tắc suy diễn ở đây là : Nếu một mệnh đề là đúng với mọi phần tử thuộc một tập

hợp nào đó thì mệnh đề ấy cũng đúng với một phần tử bất kì thuộc tập hợp đó.

2.2.2.b. Phép suy diễn từ nhiều tiền đề và quy tắc suy diễn

Q

P 

Quy tắc kết luận (Quy tắc modus ponens)

(A)

P (B)

------ ---

Q

P 

Q (C)

Đây là một quy tắc suy diễn : Khi đúng và P đúng thì theo định

nghĩa của phép kéo theo, Q cũng phải đúng. Vậy Q là kết luận logic của hai

Q

P 

tiền đề và P.Trong sinh hoạt, trong khoa học. ta thường xuyên sử dụng quy

tắc suy diễn này.

P

Q

Quy tắc kết luận ngược (Quy tắc modus tollens)

Q

(A)

(B)

P

-------- ----

Q

P 

(C)

Q đúng tức Q sai thì

đúng và Đây là một quy tắc suy diễn : Khi

Q

P 

Q .

theo định nghĩa của phép kéo theo, thì P cũng phải sai, vậy P đúng. Vậy P là

kết luận logic của hai tiền đề và

QP

Quy tắc bắc cầu của phép kéo theo

Q

R

(A)

(B)

P

R

-------- -----

(C)

2.2.2.c. Những suy luận không hợp logic thường gặp

P 

Nhiều khi ta gặp những suy luận không hợp logic theo sơ đồ sau :

Trường hợp 1 : Q

Q

--------

P

Ví dụ : Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.

Mà 27 chia hết cho 3.

P 

Vậy 27 chia hết cho 6( !!)

P

Trường hợp 2 : Q

Q

------

Aˆ

Ví dụ : Nều hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau.

Bˆ không phải là hai góc đối đỉnh.

Aˆ

Mà và

Bˆ không bằng nhau (thật ra hai góc này vẫn có thể bằng nhau vì lí do

Vậy và

khác chẳng hạn chúng là hai góc đối của hình bình hành).

2.2.2.d. Suy luận hợp logic và chứng minh.

Các quy tắc suy diễn trong logic học khẳng định rằng :

Nếu thừa nhận các mệnh đề có cấu trúc logic xác định trong các tiền đề là đúng

thì phải thừa nhận mệnh đề có cấu trúc logic xác định trong kết luận cũng đúng, bất

kể nội dung của các tiền đề và của kết luận là gì.

Vì vậy, logic học được xét ở đây là logic hình thức, chỉ nghiên cứu hình thức

hay cấu trúc của suy luận, không phụ thuộc vào nội dung cụ thể của các mệnh đề

trong suy luận.

- Nếu một suy luận là hợp logic (theo đúng một quy tắc suy diễn) thì có mấy

tình huống thường gặp sau :

a) Ta biết rõ mọi tiền đề đều đúng. Vậy, kết luận phải đúng. Trong trường hợp

này, ta nói kết luận đã được chứng minh.

b) Ta biết rõ có ít nhất một tiền đề sai. Lúc đó, kết luận có thể đúng mà cũng có

thể sai.

c) Ta biết rõ kết luận đúng. Lúc đó, có thể mọi tiền đề đều đúng mà cũng có thể

có tiền đề sai.

d) Ta biết rõ kết luận là sai. Vậy phải có ít nhất một tiền đề là sai.

- Chứng minh một mệnh đề A là vạch rõ rằng A là kết luận logic của những

tiền đề đúng. Một phép chứng minh bao gồm ba bộ phận :

Luận đề (phán đoán phải chứng minh)

Luận cứ (các tiền đề dùng trong chứng minh)

Luận chứng (các quy tắc suy luận dùng trong chứng minh).Từ đó,

hình thành các phương pháp chứng minh.

Nhiệm vụ chủ yếu của logic học là làm rõ các luận chứng dùng trong chứng

minh.

2.3. Kết luận chương 1

Trong chương 1, chúng tôi đã tìm hiểu một vài nét lịch sử liên quan đến khái

niệm phép kéo theo và phép tương đương và làm rõ một số cách trình bày những

khái niệm này trong giáo trình ở bậc đại học. Sau đây, là một số kết quả mà chúng

tôi ghi nhận được :

Phép kéo theo (Implication) Phép tương đương

(equivalence)

- trong lịch sử, ra đời dựa trên - trong lịch sử, ra đời dựa trên Định nghĩa

hai phép kéo theo « P kéo theo mệnh đề dạng « Nếu P thì Q » thông qua

Q và Q kéo theo P » theo nghĩa theo nghĩa nếu P xảy ra thì chắc ngôn ngữ

nếu P xảy ra thì chắc chắn Q mệnh đề chắn Q xảy ra.

xảy ra và ngược lại.

- Trong lí thuyết logic mệnh đề, - Trong lí thuyết logic mệnh đề,



phép tương đương được định phép kéo theo được định nghĩa

nghĩa dựa trên bảng chân trị dựa trên bảng chân trị P Q chỉ

P  Q đúng khi P và Q đồng sai khi P đúng và Q sai và đúng

thời đúng hoặc đồng thời sai. trong các trường hợp còn lại.

- Trong phép suy luận diễn - Trong phép suy luận diễn dịch,

dịch, phép tương đương được phép kéo theo được xác định là



xác định là điều kiện cần và đủ điều kiện cần và điều kiện đủ

P  Q thì P là điều kiện cần và P Q thì P là điều kiện đủ

đủ của Q và ngược lại. (nhưng không cần) của Q, Q là

điều kiện cần (nhưng không đủ)

của P.



- Có tính giao hoán (theo định - Không có tính giao hoán (theo Đặc trưng

theo nghĩa) P  Q = Q P định nghĩa) P Q≠ Q  P theo 

nghĩa P xảy ra thì chắc chắn Q nghĩa P xảy ra thì chắc chắn Q

xảy ra nhưng khi Q xảy ra thì xảy ra và ngược lại.

chưa chắc P cũng xảy ra.

- Trong lí luận, có thể thay thế - Trong lí luận, có thể thay thế

mệnh đề P bằng mệnh dề tương mệnh đề P  Q bằng mệnh đề



đương với P. phản đảo không Q không P

Chức năng Giá trị công cụ Giá trị công cụ

Xây dưng các quy tắc suy diễn và Xây dựng :

các phương pháp chứng minh - Quan hệ tương đương

trong toán học. Cụ thể : để xây dựng và phát triển

1/ Quy tắc kết luận tương ứng với lí thuyết các tập hợp số.

- Các phép biến đổi tương PP chứng minh trực tiếp hoặc

đương đóng vai trò quan bác bỏ bằng phản ví dụ.

2/ Quy tắc kết luận ngược tương trọng trong việc giải các

ứng với PP chứng minh gián tiếp phương trình, bất phương

( PP phản chứng). trình, hệ phương trình….

3/ Quy tắc bắc cầu tương ứng với

PP chứng minh quy nạp( diễn

dịch).

Giá trị biểu đạt Giá trị biểu đạt

Tạo ra sự nối khớp giữa các Tạo ra sự nối khớp giữa các

mệnh đề trong một chuỗi suy phương trình trong quá trình

luận logic ( suy ra, do đó, nên, thực hiện các phép biến đổi .

vậy…)

Chương 3: NGHIÊN CỨU SỰ VẬN HÀNH CỦA PHÉP KÉO THEO VÀ

PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIÊU BIỂU

Ở THCS

Để xét sự vận hành của phép kéo theo và phép tương đương trong việc giải

các bài toán ở trung học cơ sở, chúng tôi đặt ra câu hỏi:

1. Những kiểu nhiệm vụ nào được ưu tiên đưa vào trong chương trình ở đó

có sự vận hành của phép kéo theo hoặc phép tương đương?

2. Sách giáo khoa có trang bị được đầy đủ các yếu tố công nghệ để khi

chuyển sang cơ chế công cụ phép kéo theo và phép tương đương thể hiện đươc các

chức năng của chúng một cách tốt nhất như mong muốn của sách giáo khoa?

Qua phân tích chương 1, chúng tôi thấy có các kiểu nhiệm vụ sau:

Phép kéo theo Phép tương đương

Trong hình học Trong đại số

- Chứng minh các tính chất hình - Giải phương trình, bất phương

học. trình, hệ phương trình, hệ bất

- Tìm điều kiện của hình. phương trình.

- Tìm quỹ tích các điểm di động - Giải và biện luận các bài toán có

trong mặt phẳng. chứa tham số.

- Giải bài toán bằng cách lập

phương trình, bất phương trình,

hệ phương trình.

Tuy nhiên, trong giới hạn của luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ xét một số bài

toán tiêu biểu sau:

Trong hình học:

 Tìm điều kiện của hình.

 Tìm quỹ tích các điểm di động trong mặt phẳng.

Trong đại số: Giải các phương trình

 Có chứa ẩn số ở mẫu thức.

 Có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

 Có chứa ẩn số dưới dấu căn bậc hai.

Lí do lựa chọn của chúng tôi là:

 Trong hình học, với cách đặt câu hỏi không rõ ràng của sách giáo khoa đã

dẫn đến những quan điểm sai lầm của Giáo viên- Học sinh. Ngoài ra, nghĩa

của phép kéo theo và phép tương đương không được giới thiệu đầy đủ dẫn

đến học sinh vận dụng khái niệm này một cách máy móc.

 Trong đại số, có sự ngắt quảng và phá vỡ hợp đồng về phép tương đương khi

học sinh giải các bài tập này. Nó thể hiện ứng xử của học sinh khi đối mặt

với tình huống phá vỡ hợp đồng và cho phép đánh giá được sự tiến triển

nhận thức của học sinh về khái niệm phép tương đương.

3.1. Các bài toán hình học tiêu biểu

Ví dụ 1: Bài tập 160, SBT Toán 8, tập 1, trang 77:

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, DC, DB.

B

E

A

F

H

C

G

D

Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình chữ nhật?

Chúng tôi ghi nhận lời giải của SBT như sau:

Lời giải tóm tắt của SBT Sai lầm

Sau khi chứng minh được EFGH là hình Thật ra EF  EH và EFGH là hình chữ

EF

EH 

bình hành nhật không là hai mệnh đề tương

BC

AD 



đương. EFGH là hình chữ nhật

Ở đây có sự vận hành của phép tương đương (sử dụng dấu “ ”), nhưng

sách bài tập không giải thích rõ điều kiện cần và điều kiện đủ để EFGH là hình chữ

nhật là gì? Từ cách đặt câu hỏi không rõ ràng và trình bày lời giải như trên đã dẫn

đến sai lầm của học sinh trong lời giải sau:

Sai lầm Lời giải của học sinh



Nếu EFGH là hình chữ nhật thì EF - Trong lí luận học sinh tìm được

một điều kiện cần để EFGH là EH

Mà EF // BC hình chữ nhật.

EH //AD - Trong kết luận, học sinh lại nói



Nên suy ra AD  BC vể điểu kiện đủ để EFGH là hình

Vậy nếu AD BC thì EFGH là hình chữ nhật.

chữ nhật.

Chính cách đặt câu hỏi không rõ ràng của sách bài tập cộng với lời giải

không kèm theo hướng dẫn chi tiết đã dẫn đến sai lầm là học sinh đưa ra kết quả

đúng nhưng hoàn toàn sai lầm về mặt lí luận.

3.1.a. Bảng thống kê số kiểu bài tập trên trong SGK và SBT Toán lớp 8:

Số bài tập Tổng số bài tập của Tỉ lệ

chương

90 02 2.22 BTSGK

164 05 3.05 BTSBT

Tương tự, chúng tôi cũng tìm thấy trong SGK, toán 9, tập 2, trang 86 có giới thiệu

bài toán “ tìm quỹ tích của một điểm thỏa điều kiện cho trước”

SGK Toán 9, tập 2, tr.86 có trình bày cách giải bài toán quỹ tích như sau:

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất là

một hình nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất  đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất .

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất  là hình H.

(Thông thường với bài toán “ Tìm quỹ tích …” ta nên dự đoán hình H

trước khi chứng minh).

Qua phần trình bày của sách giáo khoa, chúng ta hiểu phần thuận và phần

đảo là hai mệnh đề tương đương với nhau.

Như vậy, phép tương đương vận hành một cách tường minh trong lời giải

của các bài toán quỹ tích qua hai phần thuận và đảo.Nó góp phần làm rõ dấu hiệu

đặc trưng của một hình. Đó là tập hợp các điểm chuyển động nhưng luôn thỏa

mãn tính chất  nào đó.

Tuy nhiên, trong SBT Toán 9, tập 2, tr.86 có đưa ra bài tập sau

Ví dụ 2: bài tập 36, SBT Toán 9, tập 2, tr.79

Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn,

trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C

chạy trên nửa đường tròn đó.

0B

C

D

B

A

045

Sách bài tập đưa ra lời giải hướng dẫn như sau:

Phần thuận: Điểm D chuyển động trên cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng

AB cố định.

Giới hạn quỹ tích - Phần đảo:

0B

0B

045

Điểm D chỉ di động trên cung B với là giao điểm của cung chứa góc

và tia tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn.

0B

045

Kết luận:Quỹ tích điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn là cung B nằm trên

cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa

điểm C (bị giới hạn bởi tiếp tuyến Ax).

Như vậy, không phải lúc nào phần thuận và đảo cũng tương đương với

nhau. Có nghĩa là có những điểm thuộc hình H nhưng không thỏa tính chất

.Trong trường hợp này ta phải giới hạn quỹ tích.

Như vậy, có một sự trình bày chưa rõ ràng của sách giáo khoa và sách bài tập

khi trình bày phần thuận và phần đảo của một bài toán quỹ tích.Trên thực tế, có một

số trường hợp phần thuận và đảo không tương đương nhau.Nhưng trong phần

trình bày cách giải sách giáo khoa không nói gì đến khả năng này. Điều này đôi khi

gây sự ngộ nhận cho học sinh khi trình bày lời giải.

3.1.b. Bảng thống kê số bài tập trên trong SGK và SBT Toán lớp 9:

Số bài tập Tổng số BT của chương Tỉ lệ

04 99 4.04 BTSGK

03 79 3.8 BTSBT

3.2.Các bài toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, phương trình

chứa dấu giá trị tuyệt đối và phương trình chứa dấu căn bậc hai.

3.2.1. Các bài toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Đối với các phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, phép khử mẫu thường chỉ cho

phương trình hệ quả. Do đó, ta không thể sử dụng kí hiệu “  ”, mà phải dùng dấu



“  ”. Kí hiệu này thường gắn với phương trình hệ quả. Tuy vậy, vì lí do sư phạm,

sách giáo khoa không đi sâu vào khái niệm này cũng như kí hiệu” ”. Thực tế,

trong chương trình, phương trình hệ quả chỉ xuất hiện khi khử mẫu trong phương

trình chứa ẩn ở mẫu và giải phương trình hệ quả có thể làm xuất hiện các nghiệm

ngoại lai, là các giá trị của ẩn nhưng không phải là nghiệm của phương trình. Vấn

đề là làm thế nào để phát hiện các giá trị như vậy. Câu trả lời là thử trực tiếp vào

phương trình. Nhưng trên thực tế, cách làm đó không phải bao giờ cũng thuận lợi.

Chẳng hạn khi thực hiện các phép tính số học phức tạp hay khi số giá trị cần phải

thử là quá nhiều.

Bởi vậy, ta phải chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định

(ĐKXĐ) của phương trình.

Trên cơ sở đó, SGK Toán 8, tập 2, tr.19 có đưa ra cách giải phương trình

chứa ẩn ở mẫu như sau:

B1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.

B2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

B3: Giải phương trình vừa nhận được.

B4: Trong các giá trị tìm được của ẩn ở B3, các giá trị thỏa mãn điều kiện

xác định (ĐKXĐ) chính là nghiệm của phương trình đã cho.





Ví dụ 3: SGK toán 8, tập 2, tr.20

(2

)3

2

2

(

)3

x

x

x 2 x )(1

x x 



x 







Giải phương trình

)3



Giải: -ĐKXĐ: x -1 và x 3

xx ( (2

 )3

x 4 )(1

(2

)3

x

x

)1  x )(1 

xx ( x 





- Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:

Suy ra x(x+1) + x(x-3) = 4x (1)





Giải phương trình x(x+1) + x(x-3) = 4x

(1) 2x(x- 3) = 0 x= 0 hoặc x = 3

1) x = 0 thỏa mãn điều kiện xác định

2) x = 3 loại vì không thỏa ĐKXĐ. - Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S =  0

Như vậy, qua phần trình bày của sách giáo khoa, phép biến đổi tương đương

được vận hành một cách ngầm ẩn .Việc đối chiếu các giá trị tìm được của ẩn với

ĐKXĐ của phương trình là điều kiện cần đảm bảo cho việc khử mẫu thức của

phương trình vẫn còn là phép biến đổi tương đương.

Tuy nhiên, trên thực tế chúng tôi ghi nhận được sai lầm của học sinh như

sau:

Sai lầm Lời giải của học sinh





ĐKXĐ: : x  -1 và x  3

(2

)3

2

2

(

)3

x

x

x 2 x )(1

x x 



x 



Ta có :

)3

-Khử mẩu số có chứa ẩn là phép biến





xx ( (2

 )3

x 4 )(1

(2

)3

x

x

)1  x )(1 

xx ( x 





đổi không tương đương nhưng học sinh

 x(x+1) + x(x-3) = 4x



 2x(x- 3) = 0

vẩn sử dụng dấu “  ”



x= 0 hoặc x = 3 - Mặc dù sử dụng dấu “ ” nhưng học x = 3 loại vì không thỏa ĐKXĐ. sinh lại thừa nhận giá trị x= 3 là nghiệm

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình ngoại lai của phương trình .

là S =  0

3.2.a. Bảng thống kê các bài tập trên trong sách giáo khoa và sách bài tập

Toán 8

Số BT Tổng số BT của chương Tỉ lệ

08 56 14.29 BTSGK

10 71 14.08 BTSBT

3.2.2.Các bài toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Khi vận dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối vào giải phương trình chứa dấu

giá trị tuyệt đối , nảy sinh yêu cầu phân loại các khả năng xảy ra để xét theo mỗi

khả năng mà khử dấu giá trị tuyệt đối, sau đó phải tổng hợp kết quả theo các khả

năng đó. Đây là nội dung thể hiện yêu cẩu bồi dưỡng tư duy logic nhưng không

ghi tường minh.

)(xA

Trên cơ sở đó, SGK Toán 8, tập 2, tr.50 có đề nghị cách giải phương trình chứa

dấu giá trị tuyệt đối = B(x) như sau:

- Nếu A(x) ≥ 0 (1) thì phương trình trở thành A(x) = B(x)

Giải phương trình vừa nhận được và nhận nghiệm thỏa mãn điều kiện (1).

- Nếu A(x) < 0 (2) thì phương trình trở thành – A(x) = B(x)

Giải phương trình vừa nhận được và nhận nghiệm thỏa mãn điều kiện (2).

- Kết luận: Nghiệm của phương trình ban đầu là tất cả các nghiệm vừa tìm

được trong các trường hợp trên.

Thật ra đây chưa phải là cách thuận tiện nhất trong một số phương trình. Nhưng

dụng ý của sách giáo khoa là muốn giúp học sinh nắm vững định nghĩa giá trị tuyệt

đối của một biểu thức.

Ví dụ 4: SGK Toán 8, tập 2, tr. 50-51

3x

3x

Giải phương trình = 9 – 2x.

3x

= x – 3 khi x – 3 ≥ 0 hay x ≥ 3 Giải: Ta có

= -(x – 3) khi x – 3 < 0 hay x < 3

Vậy để giải phương trình này, ta quy về giải hai phương trình sau



 x = 4

a) x – 3 = 9 – 2x với ĐK x ≥ 3

Ta có x – 3 = 9 – 2x 3x = 12

x = 4 thỏa ĐK x ≥ 3, nên x = 4 là một nghiệm của phương trình.



 x = 6

b) – (x – 3) = 9 – 2x với ĐK x < 3

– (x – 3) = 9 – 2x -x + 3 = 9 – 2x

x = 6 không thỏa ĐK x < 3 , nên x = 6 không là nghiệm của phương trình. Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  4

Như vậy, phép biến đổi tương đương được vận hành một cách ngầm ẩn.

Việc đối chiếu giá trị tìm được của ẩn với ĐKXĐ của phương trình là điều kiện

cần đảm bảo cho việc khử dấu giá trị tuyệt đối trong phương trình vẫn còn là phép

biến đổi tương đương

Tuy nhiên, trên thực tế chúng tôi ghi nhận được sai lầm của học sinh như sau:

Lời giải của học sinh Sai lầm

- Khử dấu giá trị tuyệt đối là phép biến khi x – 3 ≥ 0 hay x ≥ 3

3x

đổi không tương đương nhưng học sinh = 9 – 2x  x – 3 = 9 – 2x



 3x = 12

vẫn sử dung dấu «  » . x = 4 (nhận)

3x

khi x – 3 < 0 hay x < 3



= 9 – 2x  - (x – 3) = 9 – 2x

 -x + 3 = 9 – 2x  x = 6 (loại)

- Mặc dù sử dụng dấu “ ” nhưng học

sinh lại thừa nhận giá trị x= 6 là nghiệm

ngoại lai của phương trình . Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  4

3.2.b. Bảng thống kê số các bài tập trên trong SGK và SBT Toán 8

Số BT Tổng số BT của chương Tỉ lệ

45 04 8.89 BTSGK

88 10 11.36 BTSBT

3.2.3. Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Nếu chỉ xét giá trị không âm của căn bậc hai, ta đi đến phép khai phương ( là

phép toán ngược của phép bình phương).

 Định nghĩa của căn bậc hai nêu lên mối quan hệ giữa phép khai phương và

0

x





phép bình phương

2

x

a



   

x = a

Mối liên hệ này cho thấy không phải bao giờ căn bậc hai của một số cũng

tồn tại.

a

a 2

 Định lí về mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương

2

a

a



Xét trên tập hợp số thực :

Xét trên tập hợp các số không âm : 



Mối liên hệ này cho thấy bình phương một số rồi khai phương kết quả đó,

chưa chắc sẽ nhận lại được số ban đầu.

Do đó, các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai luôn gắn với điều kiện

có nghĩa của biểu thức.

Trên cơ sở đó, SBK Toán 9, tập 1, tr.41 có trình bày cách giải các phương

trình có chứa ẩn ở dưới dấu căn bậc hai như sau :

B1 : Đặt điều kiện cho căn thức bậc hai có nghĩa (ĐKXĐ) .

B2 : Bình phương hai vế phương trình để khử căn thức.

B3 : Giải phương trình vừa nhận được.

B4 : Kết luận : trong các giá trị của ẩn tìm được ở B3, các giá trị thỏa

mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình.

2

x

3



Ví dụ 5 : SBT Toán 9, tập 1, tr. 41

x

1



= 2 Giải phương trình

Giải : - ĐKXĐ của PT 2x – 3 ≥ 0 và x – 1 > 0 ta tìm được x ≥ 3/ 2

2

x

3



Theo quy tắc chia hai căn bậc hai ta có :

x 2 x

3  1 

x

1



=

Do đó, theo định nghĩa căn bậc hai số học :

x 2 x

x 2 x

3  1 

3  1 

= 2 suy ra = . 22

1 2

Giải phương trình này ta được x =

Tuy nhiên giá trị này không thỏa mãn điều kiện x ≥ 3/ 2.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Như vậy, qua phần trình bày của sách giáo khoa và sách bài tập Toán lớp 9,

ta thấy phép biến đổi tương đương được vận hành một cách ngầm ẩn. Việc

đối chiếu giá trị tìm được của ẩn với ĐKXĐ của phương trình là điều kiện cần

đảm bảo cho việc khử dấu căn bậc hai trong phương trình vẫn còn là phép biến

đổi tương đương.

Tuy nhiên chúng tôi ghi nhận được sai lầm của học sinh như sau :

Lời giải của học sinh Sai lầm

ĐKXĐ : 2x-3 ≥0 và x – 1 > 0 - Phép bình phương hai vế của

 x ≥3/2 và x > 1

phương trình không là phép biến

 x ≥ 3/2

đổi tương đương, nhưng học sinh

vẫn sử dụng dấu «  » trong các Theo định nghĩa căn bậc hai số học :

2

3

x



x 2 x

3  1 

1

x





 2x – 3 = 4 (x – 1)

bước biến đổi. = 2  = 22 - Mặc dù sử dụng dấu “  ”

 x =

2x = 1 nhưng học sinh lại thừa nhận giá

1 2

1 2

(loại) trị x= là nghiệm ngoại lai của

Vậy phương trình vô nghiệm. phương trình.

3.2.c. Bảng thống kê các bài tập trong SGK và SBT Toán 9

Số BT Tổng số BT của chương Tỉ lệ

05 76 6.58 BTSGK

15 108 13.89 BTSBT

Kết luận chương 3 :

Qua nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo và phép tương đương trong việc

giải các bài toán tiêu biểu ở trung học cơ sở, cũng như qua một số kết quả ghi

nhận được ở chương 1 và chương 2, chúng tôi đã làm rõ một số ràng buộc ngầm

ẩn của thể chế trên khái niệm này như sau :

1. Sách giáo khoa đã ưu tiên giới thiệu các nghĩa sau của phép kéo

theo và phép tương đương :

Phép kéo theo Phép tương đương

P

QQ

P

 ,



- Nếu P thì Q được giới thiệu một cách - Dựa trên hai phép kéo theo

tường minh. , một cách tường minh.

- Điều kiện cần và điều kiện đủ được - Điều kiện cần và đủ (khi và chỉ khi)

giới thiệu một cách ngầm ẩn. được giới thiệu một cách ngầm ẩn.

- Định nghĩa hình thức bằng bảng chân - Định nghĩa hình thức bằng bảng chân

trị không được đưa vào chương trình trị không được đưa vào chương trình

THCS mặc dù đây là cơ sở của việc xây THCS mặc dù đây là cơ sở của việc xây

dựng các phép chứng minh. dựng các phép biến đổi tương đương.

Hệ quả 1 : Do không được giới thiệu đầy đủ và rõ ràng nghĩa của phép kéo

theo và phép tương đương, học sinh đã vận dụng khái niệm này một cách máy móc

dẫn đến những kết quả đúng nhưng sai lầm về mặt lí luận.

2. SGK ưu tiên các chức năng sau của phép kéo theo và phép tương

đương :

Phép kéo theo Phép tương đương

- Trong hình học, phép kéo theo có vai - Trong đại số, phép (biến đổi) tương

trò quan trọng trong các chứng minh đương có vai trò quan trọng trong việc

hình học ( giá trị công cụ). giải các phương trình, bất phương trình,

hệ phương trình,... (giá trị công cụ).

- Tạo sự nối khớp giữa các chuỗi suy - Tạo sự nối khớp giữa các phương

luận logic (giá trị biểu đạt). trình, bất phương trình, hệ phương

trình, ... trong quá trình biến đổi(giá trị

biểu đạt).

Hệ quả 2 : Sách giáo khoa không giải thích rõ các yếu tố công nghệ của việc

vận dụng khái niệm phép kéo theo và phép tương đương, (giá trị công cụ) trong

việc giải toán ở trung học cơ sở, dẫn đến học sinh chỉ quan tâm đến giá trị biểu đạt

của khái niệm này. Do đó, nhiều bài giải học sinh chỉ quan tâm đến kết quả mà xem

nhẹ tiến trình lí luận,dẫn đến những kết quả đúng nhưng sai lầm về mặt lí luận.

Việc phân tích các ràng buộc ngầm ẩn của thể chế về dạy học khái niệm phép

kéo theo và phép tương đương ở trung học cơ sở đã dẫn đến việc hình thành một số

câu hỏi liên quan đến quan hệ cá nhân của học sinh lên khái niệm này :

1. Học sinh có nhận thức được hết các « nghĩa » của phép kéo theo và phép

tương đương mà sách giáo khoa muốn truyền thụ cho học sinh ?

2. Sự tiến triển trong nhận thức của học sinh khi học khái niệm này khi chuyển

từ lớp 8 sang lớp 9 ?

Để có thể làm sáng tỏ các câu hỏi trên, chúng tôi đưa ra một số giả thuyết nghiên

cứu sau :

 H1 : Trước khi khái niệm phép kéo theo và phép tương đương được

đưa vào định nghĩa tường minh ở lớp 10, khái niệm này tồn tại trong

nhận thức của học sinh theo nghĩa :

- Phép kéo theo : Cái này xảy ra thì suy ra (kéo theo) cái kia xảy ra. Với học

sinh, đây là một quan hệ “nhân quả” mà việc kiểm chứng không phải bao giờ

cũng được học sinh thực hiện theo nghĩa toán học mà đôi khi theo kinh

nghiệm và trực giác.

- Phép tương đương : Cái này xảy ra thì cái kia chắc chắn xảy ra và ngược lại.

Với học sinh, đây là một quan hệ “bình đẳng” mà việc kiểm chứng cũng

được thực hiện giống như phép kéo theo nói trên.

 H2 : Nghĩa này tạo thuận lợi cho học sinh :

- Phép kéo theo : Tạo ra chuỗi suy luận logic trong chứng minh hình học.

- Phép tương đương : Biến đổi phương trình phức tạp thành phương trình đơn

giản hơn nhưng luôn có cùng tập nghiệm.

 H3 : Về sự tồn tại ngầm ẩn của các quy tắc hợp đồng sau :

RE 1 : Chứng minh các tính chất hình học nói riêng hay chứng minh một

mệnh đề nói chung là thực hiện tuần tự chuỗi suy luận logic A suy ra B1, B1

suy ra B2, ..., suy ra điều phải chứng minh. Trong đó, phép kéo theo có vai trò

nối khớp trong chuỗi suy luận này.

RE 2 : Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương

trình ... là thực hiện tuần tự các phép biến đổi tương đương .Ttrong các trường

hợp « đặc biệt », học sinh đặt thêm điều kiện xác định cho phương trình và vẫn

sử dụng dấu «  » tạo ra sự nối khớp giữa các phương trình trong quá trình

biến đổi .

RE 3 :Kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng không là một kỹ thuật được « ưu

tiên » lựa chọn ở học sinh.

Để làm rõ các giả thuyết nghiên cứu này, chúng tôi xin chuyển sang chương 4 là

thực nghiệm.

CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM

4.1. Mục đích thực nghiệm

Mục đích của thực nghiệm là nghiên cứu mối quan hệ cá nhân của học sinh

về khái niệm phép kéo theo và phép tương đương cũng như ảnh hưởng của mối

quan hệ thể chế trên mối quan hệ này. Cụ thể, qua thực nghiệm này, chúng tôi muốn

tìm câu trả lời cho các câu hỏi mà chúng tôi đã đặt ra trong chương 1, chương 2 và

kiểm chứng tính thỏa đáng các giả thuyết nghiên cứu nêu ra ở chương 3.

4.2. Hình thức thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành hai thực nghiệm:

- Thực nghiệm 1: trên đối tượng học sinh lớp 8

- Thực nghiệm 2: trên đối tượng học sinh lớp 9

Cả hai thực nghiệm đều được tổ chức dưới dạng câu hỏi và giải thích như hình thức

kiểm tra viết.

THỰC NGHIỆM 1

4.3. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm

4.3.1. Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm:

Câu 1a) Nêu một định lí được phát biểu dưới dạng “ nếu … thì… “ . Ghi rõ giả

thiết và kết luận của định lí.

1b) Nêu một định lí có định lí đảo. Sau đó, phát biểu định lí đảo của định lí.

Ghi rõ giả thiết và kết luận của mỗi dịnh lí

Câu 2: Bạn Nam phát biểu: “Với mọi điểm A, B và M, nếu M là trung điểm của

đoạn AB thì AM = MB”.

a) Phát biểu của bạn Nam là đúng hay sai? Giải thích cho câu trả lời của em.

b) Viết mệnh đề đảo của mệnh đề trên.

c) Mệnh đề đảo là đúng hay sai? Nếu sai thì cho một phản ví dụ. Nếu đúng thì

chứng minh.

1

1

1 x

1 x

Câu 3: Giải phương trình: x + 3 + = 2 +

Sau đây là lời giải của ba học sinh lớp 8:

Bạn Thanh:

1

1

1 x

1 x

= 2 + Ta có phương trình x + 3 +

hay x + 3 = 2 nên x = -3 + 2 vậy x = -1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1}



Bạn Hoa:

ĐKXĐ: x + 1 ≠ 0 x ≠ -1

1

1

1 x

1 x

x

(

1)1

(2







)(3 x

 1

x 

x 1)1  x 1 

 (x + 3)(x +1) +1 = 2(x +1) +1

 x +4x +4 = 2x + 3

 x + 2x + 1 = 0

 (x + 1) = 0

 x + 1 = 0

 x = -1 (loại)

= 2 + Ta có x + 3 +

Vậy tập nghiệm của phương trình là Ø



Bạn Tâm:

ĐKXĐ: x + 1 ≠ 0 x ≠ -1

1

1

1 x

1 x

Ta có x + 3 + = 2 +

Suy ra x + 3 = 2

vậy x = -1

So với điều kiện thì x = -1 bị loại

Vậy tập nghiệm của phương trình là Ø

Hãy cho điểm lời giải của ba bạn học sinh trên (thang điểm 10) và giải thích vì sao

em đánh giá như vậy.

Lời giải Điểm Giải thích

Bạn Thanh

Bạn Hoa

Bạn Tâm

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2CD

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.

Gọi M là giao điểm của AF và DE

Gọi N là giao điểm của BF và CE

a) chứng minh tứ giác EMFN là hình chữ nhật.

b) Hình bình hành nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình

A

E

B

N

M

D

F

C

vuông

4.3.2. Phân tích các câu hỏi thực nghiệm

Câu 1 và câu 2 :

 Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh về nghĩa , về các đặc trưng,

của phép kéo theo và phép tương đương.

 Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh về các đặc trưng của phép kéo

theo và phép tương đương.thông qua mệnh đề với mệnh đề phản đảo của

nó.

Câu 3:

Phần đánh giá, bình luận về cách giải của HS tham gia thực nghiệm sẽ :

 kiểm chứng sự tồn tại của quy tắc hợp đồng RE2  kiểm tra tính thỏa đáng của giả thuyết H1, H2

Câu 4:

 Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm phép kéo theo

và phép tương đương thông qua thuật ngữ điều kiện cần và điều kiện đủ.

 kiểm chứng quy tắc hợp đồng RE1

4.3.3. Phân tích kết quả có thể nhận được và cái có thể quan sát

Câu 1a:

A. Các kết quả có thể nhận được

S1a 1:Nêu đúng định lí và ghi đúng giả thiết, kết luận

S1a 2 Nêu đúng định lí nhưng không ghi hoặc ghi sai giả thiết, kết luận

S1a 3: Không nêu đúng định lí

S1a 4: Không có ý kiến

C. Các biến

V1: Mệnh đề toán học hoặc vật lí hoặc hóa học hoặc sinh học

V2: Mệnh đề được viết dưới dạng nếu … thì…

V3: Mệnh đề có mệnh đề đảo đúng hoặc không có mệnh đề đảo đúng

Câu 1b:

A. Các kết quả có thể nhận được và những cái có thể quan sát

Các kết quả có thể nhận được Những cái có thể quan sát

S1b 1: Nếu đúng định lí và định lí đảo  HS nêu đúng nội dung của định lí

được phát biểu dưới dạng nếu …

thì …

 HS nêu đúng nội dung của định lí

đảo bằng cách đổi chỗ GT và Kl

trong định lí (thuận)

S1b 2: Nêu đúng định lí nhưng không  HS nêu đúng nội dung của định lí

ghi hoặc ghi sai định lí đảo được phát biểu dưới dạng nếu …

thì …

 HS không nêu được định lí đảo.

 HS thay các mệnh đề GT và KL

bằng các mệnh đề mới không

tương đương.

S1b 3: Nêu sai cả định lí và định lí đảo  HS nêu sai nội dung của định lí.

 HS nêu sai định lí đảo

S1b 4: Không có ý kiến  HS không có câu trả lời

Câu 2b:

Các kết quả có thể nhận được & những cái có thể quan sát

S2b1: Viết đúng mệnh đề đảo

S2b2: Viết sai mệnh đề đảo

S2b3: Không có ý kiến

Những cái có thể quan sát

Học sinh đổi chỗ giả thiết và kết luận để tạo mệnh đề đảo của mệnh đề đã có.

Câu 2c:

Các chiến lược & những cái có thể quan sát

Các kết quả có thể nhận được Những cái có thể quan sát

S2c1: Đánh giá đúng Vẽ ba điểm A, B và M thẳng hàng với M

là trung điểm của đoạn AB.

S2c2: Đánh giá sai Vẽ ba điểm A, B và M không thẳng

hàng và M cách đều hai điểm A và B.

S2c3: Có thể đúng và có thể sai Vẽ cả hai trường hợp trên

S2c4: Không có ý kiến HS không có câu trả lời

Câu 3:

Các chiến lược & những cái có thể quan sát

Trong bài toán này, chúng tôi đưa ra yêu cầu “ cho điểm và giải thích cho

đánh giá của em”. Học sinh không phải giải phương trình mà phải dùng lập

luận để giải thích cho sự lựa chọn của mình. Việc học sinh tham gia làm thực

nghiệm chấp nhận và cho điểm cao lời giải của bạn Hoa đồng thời không

chấp nhận và cho điểm thấp lời giải của bạn Thanh và bạn Tâm sẽ giúp

chúng tôi khẳng định tính thỏa đáng của giả thuyết H1, H2 và kiểm

chứng sự tồn tại của quy tắc hợp đồng RE2

Ngoài ra, chúng tôi chọn giá trị của các biến didactic như sau:

V1

 V1a: phương trình có dạng mẫu mực mà HS đã được học trong chương

trình,

 V1b: phương trình có chứa căn bậc hai,

 V1c:phương trình có chứa ẩn số ở mẫu thức

V2

 V2a: không cần đặt điều kiện xác định cho phương trình.

 V2b:cần đặt điều kiện xác định cho phương trình .

V3

 V3a: không sử dụng ký hiệu tương đương “  ”.

 V3c: không sử dụng ký hiệu kéo theo “  ”.  V3d: có sử dụng ký hiệu kéo theo “  ”

 V3b: có sử dụng ký hiệu tương đương “  ”.

Phân tích các lời giải giả định

Biến V1 Biến V2 Biến V3 Đánh giá

Lời giải sai phương trình Không có đặt Không sử dụng Lời giải của

do nhận có chứa ẩn số ở ĐKXĐ cho bạn Thanh ký hiệu “ ” 

nghiệm mẫu thức phương trình

ngoại lai là

nghiệm của

PT

Lời giải phương trình Có đặt ĐKXĐ Sử dụng ký

đúng về kết có chứa ẩn số ở cho phương Lời giải của hiệu “  ”

quả nhưng mẫu thức trình bạn Hoa

sai lầm về lí

luận

Lời giải phương trình Có đặt ĐKXĐ Không sử dụng Lời giải của

đúng có ẩn số ở mẫu cho phương bạn Tâm ký hiệu “ ” 

thức trình

Tuy nhiên việc học sinh chấp nhận lời giải của Hoa và không chấp nhận lời giải của

Tâm là cơ sở để kiểm tra tính thỏa đáng cho các giả thuyết nghiên cứu H3

Những cái cần quan sát

Vấn đề không phải là điểm số học sinh đã cho mà trong khi đánh giá các lời giải

học sinh thể hiện quan điểm của mình: học sinh có hiểu rõ nghĩa của phép tương

đương và sử dụng đúng kí hiệu “  ” trong bài toán giải các phương trình.

Những câu trả lời có thể liên quan đến lời giải của bạn Tâm

- S3a: Đồng ý và cho điểm tuyệt đối (điểm 10).

- S3b: Đồng ý nhưng cho điểm không tuyệt đối(điểm 8, 9) vì không sử dụng dấu

“  ”.

- S3c: Đồng ý nhưng cho điểm không tuyệt đối (điểm 7 trở xuống) và không giải

thích hoặc giải thích không rõ ràng.

- S3d: Không đồng ý và cho điểm thấp (dưới điểm 5)

Câu 4:

Điều mà chúng tôi quan tâm là quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm phép

kéo theo và phép tương đương thông qua thuật ngữ điều kiện cần và điều kiện đủ.

Các chiến lược & những cái có thể quan sát



Các chiến lược Những cái có thể quan sát

S4a: Tìm được điều kiện cần để EMFN Học sinh sử dụng dấu “ ” trong lời giải

là hình vuông. và lập luận như sau:





 ME = MF DE = AF

Hình chữ nhật EMFN là hình vuông

hình thoi

AEFD là hình vuông  Â = 90  hình



bình hành ABCD là hình chữ nhật.

S4b: Tìm được điều kiện đủ để EMFN là Học sinh sử dụng dấu “ ” trong lời giải

hình vuông và lập luận như trên. Tuy nhiên, trong

kết luận học sinh ghi nhận “ Vậy nếu

hình bình hành ABCD là hình chữ nhật



thì tứ giác EMFN là hình vuông.

S4c: Tìm được điều kiện cần và đủ để Hoc sinh sử dụng dấu “ ” trong lời

EMFN là hình vuông giải và lập luận như sau:



 ME = MF  DE = AF

Hình chữ nhật EMFN là hình vuông



 hình

hình thoi

AEFD là hình vuông  = 90 bình hành ABCD là hình chữ nhật.

4.4. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm

4.4.1. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 1

Câu 1a:

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các câu trả lời nhận được S1a 1 S1a 2 S1a 3 S1a 4

Số lượng 52 (46%) 09 (8%) 26 (23%) 26 (23%)

Phân tích kết quả nhận được

Có 46% học sinh biết phát biểu đúng nội dung của định lí và phân biệt được

giả thiết (điều đã biết) và kết luận (điều phải chứng minh, được suy ra từ cái đã

biết), cho thấy học sinh có nắm được nghĩa của phép kéo theo: từ giả thiết đúng

thì kết luận rút ra cũng đúng.

Tuy nhiên, có 8% học sinh có phát biểu được định lý dưới dạng “Nếu … thì

… “ nhưng không phân biệt được giả thiết và kết luận của định lí hoặc 23% học

sinh không có câu trả lời cho phép chúng tôi kết luận nghĩa của phép kéo theo đã

được trình bày không tường minh và khá mờ nhạt ở lớp 8. Chính điều này đã giải

thích cho việc học sinh đã không khai thác hết được các giá trị công cụ và giá trị

biểu đạt của phép kéo theo và phép tương đương khi chúng thực sự trở thành công

cụ để giải toán ở trung học cơ sở nói chung và ở lớp 8 nói riêng.

Câu 1b.

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các câu trả lời nhận được S1b1 S1b2 S1b3 S1b4 S1b5

Số lượng 46 20 08 03 36

(40,7%) (17,7%) (7,1%) (2,7%) (31,8%)

Phân tích kết quả thực nghiệm

Có 40.7% học sinh phát biểu đúng định lý và thiết lập đúng định lý đảo ,( đa

số học sinh chọn định lý Thales và định lý Thales đảo) tức là “biết đổi chỗ giả

thiết và kết luận “của định lý ban đầu, để được một mệnh đề toán học mới. Tuy

nhiên, việc đổi chỗ hai mệnh đề này không làm thay đổi” tính đúng dắn “của định lý

đảo”.

Có 17.7% học sinh chỉ nêu đúng được định lí nhưng phát biểu sai định lý

đảo, và 2.7% học sinh đã nêu sai cả định lý và định lý đảo cùng với 31.8% không

có ý kiến về câu hỏi này, cho phép chúng tôi kết luận việc dạy học tính chất đặc

trưng của phép kéo theo được giới thiệu nhưng khá mờ nhạt ở THCS. Giáo viên chỉ

có nhiệm vụ giới thiệu phép kéo theo và phép tương đương như là những công cụ

để tạo ra sự nối khớp giữa các suy luận trong chứng minh mà không quan tâm đến

nghĩa của các khái niệm này.

Kết quả này cho phép chúng tôi khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết H1

và H2 mà chúng tôi đã nêu ra ở chương 3.

4.4.2. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 2

Câu 2b:

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các câu trả lời nhận được S2b1 S2b2 S2b3

Số lượng 73 17 23

(64,6%) (15%) (20,4%)

Phân tích kết quả thực nghiệm

Kết quả nhận được có 64,6% học sinh thiết lập đúng mệnh đề đảo cho thấy

học sinh có hiểu được ý nghĩa của mệnh đề đảo của một mệnh đề .

Tuy nhiên, 15% học sinh chưa biết cách thiết lập một mệnh đề đảo của một

mệnh đề và 20,4% học sinh không có câu trả lời cho thấy việc hiểu được nghĩa của

phép kéo theo là chưa thật sự được giáo viên lưu ý khi dạy học khái niệm này.

Câu 2c:

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các câu trả lời nhận được S2c1 S2c2 S2c3 S2c4

Số lượng 20 58 01 34

(17,7%) (51,3%) (0,9%) (30%)

Phân tích kết quả thực nghiệm

Chỉ có 17.7% học sinh nhận xét mệnh đề đảo là đúng .

Có đến 51.3% học sinh cho nhận xét mệnh đề đảo là sai, khi chỉ ra một phản

ví dụ , điểm M nằm ngoài đoạn thẳng AB.

Như vậy, học sinh có nhận ra một tính chất quan trọng của phép kéo theo là

không có tính giao hoán: tức là mệnh đề đảo của mệnh đề không phải luôn

đúng.

Một phản ví dụ được hiểu là một trường hợp thỏa mãn giả thiết nhưng lại

không thỏa mãn kết luận .

Tuy nhiên, có đến 30% học sinh tham gia thực nghiệm không có câu trả lời

trong câu hỏi này, cho thấy phần lớn học sinh chưa nắm được khái niệm mệnh đề

đảo của một mệnh đề và không biết cách bác bỏ một mệnh đề thông qua các phản

ví dụ.

Kết quả này giúp chúng tôi khẳng định được tính đúng đắn của các giả

thuyết H1 và H2 là SGK chỉ quan tâm đến việc giới thiệu giá trị biểu đạt của

phép kéo theo và phép tương đương mà không quan tậm đến việc giới thiệu

đầy đủ nghĩa của các khái niệm này trong quá trình dạy học ở THCS nói

chung và ở lớp 8 nói riêng.

4.4.3. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 3

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các câu trả lời nhận được S31 S32 S33 S34

Lời giải của bạn Thanh 00 02 103 08

(0%) (1.8%) ( 91.2%) (7%)

Lời giải của bạn Hoa 94 09 02 08

(83.2%) (8%) (1.8%) (7%)

Lời giải của bạn Tâm 31 32 42 08

(27.4%) (28.3%) (37.3%) (7%)

Phân tích kết quả thực nghiệm

Số học sinh không chấp nhận lời giải của em Thanh là tuyệt đối 91.2%

Số học sinh chấp nhận lời giải của em Hoa và cho điểm tuyệt đối (điểm 10)

là 83.2% mặc dù đây là lời giải sai về suy luận logic

Số học sinh chấp nhận lời giải của em Tâm và cho điểm tuyệt đối (điểm 10)

là 27.4%, chấp nhận nhưng cho điểm không tuyệt đối 28.3%, tuy nhiên có đến

37.3% không chấp nhận lời giải này, mặc dù đây là lời giải đúng về suy luận logic.

Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Thanh

Tất cả đều đánh giá lời giải của Thanh là sai vì

– không đặt ĐKXĐ của phương trình

– nhận nghiệm ngoại lai là nghiệm của phương trình

Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Hoa

Đa số 83.2% đánh giá lời giải của Hoa là đúng vì

– đặt ĐKXĐ của phương trình

– có sử dụng kí hiệu “  ”

– kết luận đúng về tập nghiệm của phương trình.

Điều này cho thấy tính thỏa đáng của giả thuyết H3 về sự tồn tại ngầm ẩn quy tắc

hợp đồng 2RE

Các câu trả lời liên quan đến lời giải của Tâm

28.3% chấp nhận nhưng cho điểm không tuyệt đối vì

– Có đặt ĐKXĐ của phương trình

– Không sử dụng ký hiệu “  ”

Kết quả thực nghiệm cho phép kiểm tra tính thỏa đáng của giả thuyết H1 và hợp

đồng RE 1. Đó là khi tham gia giải các phương trình, cụ thể là các phương

trình có chứa ẩn số ở mẫu thức, HS chỉ quan tâm đến giá trị biểu đạt của phép

tương đương là tạo ra sự nối khớp giữa các phương trình trong quá trình biến

đổi mà không quan tâm đến giá trị công cụ của phép tương đương là tạo ra

phương trình mới nhưng không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình.

Chính điều này đã làm hạn chế việc sử dụng phép tương đương như là một

công cụ giải toán khi mà việc vận dụng chúng đã đưa đến những lời giải đúng

về kết quả nhưng sai lầm hoàn toàn về mặt lí luận.

4.4.4. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 4

Câu 4b:

Thống kê kết quả thực nghiệm

S4b1 S4b2 S4b3 S4b4 S4b5 Các câu trả lời nhận được

Số lượng 08 10 03 20 72

(7,1%) (8,8%) (2,7%) (17,7%) (63,7%)

Phân tích kết quả thực nghiệm

7.1% học sinh tham gia thực nghiệm tìm được điều kiện cần và đủ để tứ giác

MNPQ là hình vuông. Có 8.8% học sinh tìm ra điều kiện cần và 2.7% tìm ra điều

kiện đủ nhưng lại kết luận điều kiện cần. Tuy nhiên lại có đến 63.7% học sinh

không có câu trả lời cho thấy học sinh không nắm được nghĩa của phép kéo theo

và phép tương đương thông qua khái niệm “điều kiện cần, điều kiện đủ và điều

kiện cần và đủ”

Kết luận 1:

Kết quả này giúp chúng tôi khẳng định được tính đúng đắn của các giả thuyết H1,

H2 và H3 là:

 Sách giáo khoa chỉ quan tâm đến việc giới thiệu giá trị biểu đạt của phép kéo

theo và phép tương đương mà không quan tâm đến việc giới thiệu đầy đủ

nghĩa của các khái niệm này trong quá trình dạy học ở trung học cơ sở nói

chung và ở lớp 8 nói riêng.

 Khi giải các phương trình, cụ thể là các phương trình có chứa ẩn số ở mẫu

thức, học sinh chỉ quan tâm đến giá trị biểu đạt của phép tương đương là tạo

ra sự nối khớp giữa các phương trình trong quá trình biến đổi mà không quan

tâm đến giá trị công cụ của nó là tạo ra phương trình mới nhưng không làm

thay đổi tập nghiệm của phương trình. Chính điều này đã đưa đến những lời

giải đúng về kết quả nhưng sai lầm hoàn toàn về mặt lí luận

 Học sinh không nắm được nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương

thông qua khái niệm “điều kiện cần, điều kiện đủ và điều kiện cần và đủ”.

Chính điều này đã đưa đến những lời giải đúng về kết quả nhưng sai lầm

hoàn toàn về mặt lí luận

THỰC NGHIỆM 2

4.5. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm

4.5. 1. Giới thiệu các bài toán thực nghiệm

Câu 1a) Nêu một định lí được phát biểu dưới dạng “ nếu … thì… “ . Ghi rõ giả

thiết và kết luận của định lí.

1b) Nêu một định lí có định lí đảo. Sau đó, phát biểu định lí đảo của định lí.

Ghi rõ giả thiết và kết luận của mỗi dịnh lí

Câu 2: Bạn Nam phát biểu: “Với mọi điểm A, B và M, nếu M là trung điểm của

đoạn AB thì AM = MB”.

d) Phát biểu của bạn Nam là đúng hay sai? Giải thích cho câu trả lời của em.

e) Viết mệnh đề đảo của mệnh đề trên.

f) Mệnh đề đảo là đúng hay sai? Nếu sai thì cho một phản ví dụ. Nếu đúng thì

(

x

3)(1

x

)1

(

x

)(1

x

)3











chứng minh.

Câu 3: Giải phương trình :

(

x

3)(1

x

)1

(

x

)(1

x

)3











Sau đây là lời giải của các bạn học sinh lớp 9:

Câu 3: Giải phương trình :

Sau đây là lời giải của các bạn học sinh lớp 9:

(

x

3)(1

x

)1

(

x

)(1

x

)3











Bạn Mai:

x

3.1

x

1

x

.1

x

3











Ta có :

1



3 x

3x

=

 3x- 1 = x + 3



 3x – x = 3 +1

=

2x = 4 vậy x = 2

(

x

3)(1

x

)1

(

x

)(1

x

)3











Bạn Tâm:

x

3.1

x

1

x

.1

x

3









Ta có :

3

x

x

3

1x

1 



= nên

3

x

x

3

1x

1 



suy ra ( ) = 0

1x





= 0 hoặc = 0 do đó,

3

x

x

3

3

x

x

3

1 



1 



* = 0 x + 1 = 0 x = -1

 x = 2

* = 0   3x – 1 = x +3  3x – x = 3 + 1

(

x

3)(1

x

)1

(

x

)(1

x

)3











Thử lại:

ta có 0 = 0 đúng. Vậy Thay x = -1 vào phương trình

ta nhận giá trị x = -1

(

x

3)(1

x

)1

(

x

)(1

x

)3

15











15 

Thay x = 2 vào phương trình ta có đúng.

Vậy ta nhận giá trị x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = 2

Bạn Thanh:

(

x

3)(1

x

)1

(

x

)(1

x

)3











ĐKXĐ: (x + 1)(3x – 1) 0 và (x + 1)(x + 3)  0 (1) 

x

3.1

x

1

x

.1

x

3











Ta có :

3

x

x

3

1x

1 





=

3

x

x

3

1x

1 





( ) = 0

3

x

x

3

1x

1 





( ) = 0

1x





= 0 hoặc = 0

= 0 x + 1 = 0 x = -1 thỏa điều kiện (1). Vậy x = -1 là một nghiệm của *

3

x

x

3

3

x

x

3

1 



1 



PT.

 x = 2 thỏa điều kiện (1). Vậy x = 2 là một nghiệm của PT.

* = 0   3x – 1 = x +3  3x – x = 3 + 1

Tập nghiệm của PT là {-1 ; 2}



Bạn Nga

(

x

3)(1

x

)1

(

x

)(1

x

)3











ĐKXĐ: (x + 1)(3x – 1) 0 (1)

Ta có :

Suy ra (x +1)(3x -1) = (x + 1)( x + 3) = 0

Do đó, (x + 1)(3x – 1 – x – 3) = 0

Hay (x + 1)(2x – 4) = 0

Vậy x = -1 hoặc x = 2

Cả hai nghiệm này đều thỏa điều kiện (1).

Vậy tập nghiệm của PT là {-1 ; 2}

Hãy cho điểm lời giải của ba bạn học sinh trên (thang điểm 10) và giải thích vì sao

em đánh giá như vậy.

Lời giải Điểm Giải thich

Lời giải của bạn Mai

Lời giải của bạn Tâm

Lời giải của bạn Thanh

Lời giải của bạn Nga

Câu 4: Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung,

cụ thể là:

Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số

đo bằng nửa số đo cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh

Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.

O

B

A

x

Em hãy giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau.

4.5.2. Phân tích các câu hỏi thực nghiệm

Câu 1 và câu 2: Nhận xét sự tiến triển nhận thức của HS trong mối quan hệ cá nhân

với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương thông qua định lý và định lý đảo.

 Kiểm chứng quy tắc hợp đồng RE 2  Kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết H1,H2

Câu 3:

Câu 4:

 Kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết H3

 Kiểm chứng sự tồn tại của các quy tắc hợp đồng RE 1, RE 3

4.5. 3. Phân tích các chiến lược và cái có thể quan sát

Câu 3:

A.Các chiến lược & những cái có thể quan sát

Trong bài toán này, chúng tôi đưa ra yêu cầu “ cho điểm và giải thích cho

đánh giá của em”. Học sinh không phải giải phương trình mà phải dùng lập

luận để giải thích cho sự lựa chọn của mình. Việc học sinh tham gia làm thực

nghiệm chấp nhận và cho điểm cao lời giải của bạn Thanh đồng thời không

chấp nhận và cho điểm thấp lời giải bạn Tâm sẽ giúp chúng tôi khẳng định

tính thỏa đáng của giả thuyết H1, H2 và kiểm chứng sự tồn tại của quy

tắc hợp đồng RE2

C.Các biến

Ngoài ra, chúng tôi chọn giá trị của các biến didactic như sau:

V1:

 V1a: phương trình có dạng mẫu mực được học trong chương trình,

 V1b: phương trình có chứa căn bậc hai,

 V1c: phương trình có chứa ẩn số ở mẫu thức,

V2:

 V2a: không cần đặt điều kiện xác định cho phương trình,

 V2b:cần đặt điều kiện xác định cho phương trình ,

V3:

 V3a: không sử dụng ký hiệu tương đương “  ”

 V3c: không sử dụng ký hiệu kéo theo “  ”  V3d: có sử dụng ký hiệu ký hiệu kéo theo “  ”

 V3b: có sử dụng ký hiệu tương đương “  ”

Phân tích các lời giải giả định

Biến V1 Biến V2 Biến V3 Đánh giá

Quá trình biến Phương trình Không đặt Có sử dụng kí Lời giải của

đổi làm mất chứa căn bậc ĐKXĐ cho bạn Mai hiệu “  ”

nghiệm của hai phương trình

PT. Lời giải

sai

Kết quả đúng Phương trình Không đặt Có sử dụng kí Lời giải của

nhưng sai lầm chứa căn bậc ĐKXĐ cho bạn Tâm hiệu “  ”

về mặt lí luận hai phương trình

Kết quả đúng Phương trình Có đặt ĐKXĐ Có sử dụng kí Lời giải của

nhưng sai lầm chứa căn bậc cho phương bạn Thanh hiệu “  ”

về mặt lí luận hai trình

Lời giải đúng Phương trình Có đặt ĐKXĐ Không sử Lời giải của

chứa căn bậc cho phương dụng kí hiệu bạn Nga

hai trình “  ”

Câu 4:

A.Các chiến lược và những cái có thể quan sát

Các chiến lược Những các có thể quan sát

ˆ

ˆ

 BA

BCAxAB 



1 2

S41“ Kẻ đường kính AC 

rồi nối BC”

ˆ

BBCA

ˆ CA

v 1





 nội tiếp nửa đường tròn đường kính ABC

ˆ

BCAB

ˆ xA

1 v





AC nên

hay OA  Ax nên Ax là  Vậy



tiếp tuyến của (O)

ˆ

ˆ

ˆ xABBACxAO

v 1











  ACABBC 2

 2

S42:’ Kẻ đường kính AC” 

 Vậy OA  Ax nên Ax là tiếp tuyến của (O)

ˆ

ˆ

 BA

BOHHOA 



1 2

OAB



S43:”Kẻ đường cao OH 

xAB

ˆ BA

ˆ 

của ”

1 2

ˆ

ˆ

AO

BBAO

ˆ xA

1 v

ˆ  xABB







 suy ra nên OA

 Vậy OA  Ax nên Ax là tiếp tuyến của (O)

ˆ

ˆ

 ABCD là hình chữ nhật nên S44:” Kẻ hai đường kính

BACACD 

ˆ

ˆ

 BA

xABBCA 



1 2

    

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

DBCAACDxABBAC

ˆ BC

1 v











AC và BD”

C

1 v

ˆ  xA

 suy ra

 Ax nên Ax là tiếp

hay OA  Vậy

tuyến của (O)

 Giả sử cạnh Ax không phải là tiếp tuyến tại A S45:” Phản chứng”

mà là cát tuyến đi qua A

ˆ CAB

 BA

 Giả sử cát tuyến này cắt (O) tại C

1  2

(trái giả thiết)  Suy ra

 Vậy Ax không phải là cát tuyến mà là tiếp

tuyến tại A.

OAB



xAB

 BA

ˆ 

1 2

ˆ BOA

xBA ˆ 

1 2

0

ˆ

ˆ

ˆ ABOBAOBOA







S46:” Nối O với B”  cân tại O, nên

180 (tổng các góc trong

0

ˆ BAO 2

180

ˆ BOA





ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

BAOxAB 



090

BAOBOA 



tam giác) Suy ra

090

1 2

 hay

 hay OA  Ax nên Ax là tiếp tuyến của (O)

 kẻ các đướng kính AC và BD, rồi áp dụng S47 Chiến lược khác

ˆ

BBAO

ˆ xA

1 v





điều kiện của tứ giác nội tiếp suy ra

 vậy OA  Ax nên Ax là tiếp tuyến của (O)

HS không có câu trả lời S48: không có ý kiến

4.6. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm

4.6.1. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 1

Câu 1a:

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các câu trả lời nhận được Sa 1 Sa 2 Sa 3 Sa 4

Số lượng 76 17 13 03

(69.7%) (15.6%) (11.9%) (2.8%)

Phân tích kết quả nhận được

Có 69.7% học sinh tham gia thực nghiệm trả lời đúng câu hỏi này, so với

46% học sinh lớp 8 , thì có một sự tiến triển trong nhận thức của học sinh khi

học khái niệm này: học sinh có nhận ra được nghĩa của các khái niệm này thông

qua khái niệm định lý “ Từ giả thiết đúng suy ra kết luận cũng đúng”

.Điều này giúp chúng tôi khẳng định được giả thuyết H1 đã nêu ra ở trên.

Câu 1b.

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các câu trả lời nhận được Sb1 Sb2 Sb3 Sb4 Sb5

Số lượng 69 19 08 05 08

(63.4%) (17.4%) (7.3%) (4.6%) (7.3%)

Phân tích kết quả thực nghiệm

Có 63.4% học sinh tham gia thực nghiệm phát biểu đúng cả nội dung của

định lý và định lý đảo ( đa số học sinh chọn phát biểu là định lý Pythagore và định

lý Pythagore đảo).

Có 17.4% học sinh phát biểu đúng nội dung định lý nhưng thiết lập sai định

lý đảo ( hoặc không biết đổi chỗ hai mệnh đề giả thiết và kết luận hoặc thay thế

bằng mệnh đề mới không tương đương với mệnh đề đã cho)

Có 7.3% học sinh không có câu trả lời, nếu so sánh với 40.7% câu trả lời

đúng của học sinh lớp 8 và 31.8% không có câu trả lời ở lớp 8, thì chúng tôi ghi

nhận có một bước tiến triển trong nhận thức của học sinh về khái niệm này khi

chuyển từ lớp 8 sang lớp 9

4.6.2. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 2

Câu 2b:

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các câu trả lời nhận được S2b1 S2b2 S2b3

Số lượng 77 11 21

(70.6%) (10.1%) (19.3%)

Phân tích kết quả thực nghiệm

Có 70.6% học sinh cho câu trả lời đúng, tức là phát biểu đúng mệnh đề đảo

của mệnh đề đã cho. Chỉ có 10.1% thiết lập sai mệnh đề đảo và 19.3% không có câu

trả lời. So với 15% câu trả lời sai và 20.4% không có câu trả lời của học sinh lớp 8,

chúng tôi ghi nhận có một sự tiến triển đối với học sinh lớp 9 khi học về khái

niệm này.

Câu 2c:

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các câu trả lời nhận được S2c1 S2c2 S2c3 S2c4

Số lượng 04 89 00 16

(3.7%) (81.7%) (0%) (14.6%)

Phân tích kết quả thực nghiệm

Có 81.7% câu trả lời nhận xét mệnh đề đảo là sai và chứng minh bằng một

phản ví dụ, chẳng hạn điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn AB. Có 14.6%

không có câu trả lời. So với 51.3% câu trả lời nhận xét mệnh đề đảo là sai và 30%

không có câu trả lời của lớp 8, cho phép chúng tôi kết luận có sự tiến triển trong

nhận thức của học sinh lớp 9 về khái niệm này. Đó là

-một mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng (định lý) thì chưa chắc đúng.

-kỹ thuật chứng minh một mệnh đề sai là chỉ ra một phản ví dụ là trường hợp

thỏa giả thiết nhưng không thỏa kết luận.

Qua kết quả thực nghiệm này chúng tôi kiểm chứng được giả thuyết H1,

H2 đã nêu ra ở trên.

4.6.3. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 3

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các câu trả lời nhận được S31 S32 S33 S34

Lời giải của bạn Mai 00 29 75 05

(00%) (26.6%) (68.9%) (4.5%)

Lời giải của bạn Tâm 08 95 01 05

(7.3%) (87.2%) (0.9%) (4.6%)

Lời giải của bạn Thanh 85 19 00 05

(78.0%) (17.4%) (00%) (4.6%)

Lời giải của bạn Nga 04 100 00 05

(3.7%) (91.7%) (00%) (4.6%)

Phân tích kết quả thực nghiệm

Số học sinh chấp nhận lời giải của em Thanh và cho điểm tuyệt đối (điểm

10) chiếm tỉ lệ khá cao(78.0% )chỉ có 17.4% cho điểm không tuyệt đối .

Số học sinh chấp nhận lời giải của em Tâm và cho điểm tuyệt đối (điểm 10)

chiếm tỉ lệ khá thấp (7.3%), có 87.2% chấp nhận nhưng cho điểm không tuyệt đối .

Số học sinh chấp nhận lời giải của em Nga và cho điểm tuyệt đối (điểm 10)

chiếm tỉ lệ thấp (3.7% ), 91.7% chấp nhận nhưng cho điểm không tuyệt đối

Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Mai

Tất cả đều đánh giá lời giải của Mai là sai vì

– Không đặt ĐKXĐ của phương trình

Ví dụ H24:-Đánh giá lời giải của bạn Mai điểm 3 và nhận xét:

– Làm mất nghiệm của phương trình

– Thiếu ĐKXĐ của phương trình.

– Thiếu một nghiệm của phương trình

và chỉ ra chỗ sai

31

1

3

x

x

x

x



1 





3

0

x

x



1 

3 

1

3

x

x 



Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Tâm

Đa số đánh giá lời giải của Tâm là đúng vì

– Có sử dụng kí hiệu “  ”

– Kết luận đúng tập nghiệm của phương trình

nhưng cho điểm không tuyệt đối

Ví dụ H47:đánh giá bài của bạn Tâm là đúng nhưng cho điểm không tuyệt đối ( điểm 8) vì:

(

x

3)(1

x

(,0

x

)(1

x

)3

0

- Không đặt ĐKXĐ cho phương trình là



)1 







- Không giải các bất phương trình trên tìm ĐKXĐ của phương trình

– Không đặt ĐKXĐ của phương trình

Điều này cho thấy HS rất tuân theo hợp đồng RE 2 khi giải các phương trình không

mẫu mực

Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Thanh

Đa số đánh giá lời giải của Thanh là đúng và cho điểm tuyệt đối (điểm 10) vì

– Có đặt ĐKXĐ của phương trình

– Có sử dụng kí hiệu “  ”

– Kết luận đúng tập nghiệm của phương trình

Điều này cho thấy HS rất tuân theo hợp đồng RE 2 khi giải các phương trình không

mẫu mực

Các câu trả lời liên quan đến lời giải của em Nga

Đa số đánh giá lời giải của Nga là đúng vì

– Có đặt ĐKXĐ của phương trình

– Kết luận đúng về tập nghiệm của phương trình

nhưng không cho điểm tuyệt đối vì

– Không sử dụng kí hiệu “  ”

(

x

)(1

x

)3

0







– Thiếu một điều kiện

vì:

“làm đúng nhưng thiếu ĐKXĐ và giải vắn tắt”(không có sử dụng ký hiệu

) 

Ví dụ H47: đánh giá bài của bạn Nga là đúng nhưng cho điểm không tuyệt đối ( điểm 8)

vì:

“ thiếu ĐKXĐ và không giải điều kiện”

Ví dụH33: đánh giá bài của bạn Nga là đúng nhưng cho điểm không tuyệt đối ( điểm 8)

Điều này cho thấy HS rất tuân theo hợp đồng RE 2 khi giải các phương trình không

mẫu mực

4.6.4. Phân tích s ản phẩm thu được của câu hỏi 4

Thống kê kết quả thực nghiệm

Các S41 S42 S43 S44 S45 S46 S47 S48

chiến

lược

Số 35/109 26/109 34/109 05/109 0/109 06/109 09/109 21/109

lượng 32.11% 23.85% 31.19% 4.59% 0% 5.5% 8.26% 19.27%

Phân tích kết quả thực nghiệm

So với các chiến lược khác, chiến lược “phản chứng “ tỏ ra khá thuận lợi ở

các điểm:

 Không phải kẻ thêm các đường phụ

 Lời giải lại khá ngắn gọn hơn so với các chiến lược khác

 Bài toán hướng dẫn là “ có thể giải bằng phương pháp phản

chứng”(SGK, Toán 9, tập 2, tr.79)

Tuy nhiên, qua thực nghiệm không có học sinh nào sử dụng phương pháp này

để chứng minh. Đa số các em sử dụng phương pháp phân tích –tổng hợp (chứng

minh trực tiếp), mặc dù các phương pháp này đòi hỏi một số kỹ năng:

 Kẻ thêm một số đường phụ,

 Lời giải khá dài vì phải sử dụng nhiều tính chất hình học đã biết trước đó,

 Đề toán không có gợi ý phương pháp chứng minh trực tiếp

Như vậy, kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng không được học sinh ưu

tiên lựa chọn ở đây, mặc dù được đặt trong môi trường” khá thuận lợi” hơn các

chiến lược khác.

Qua kết quả thống kê cho thấy:

 kỹ thuật chứng minh phản chứng không được ưu tiên trong thể chế dạy

học

 kỹ thuật này cũng không được ưu tiên lựa chọn trong lời giải của HS .

Kết luận 2

Qua phân tích các kết quả của thực nghiệm 2 trên đối tượng HS lớp 9, chúng tôi

kiểm tra tính thỏa đáng của các giả thuyết nêu ra ở trên:

 H1 : Khái niệm phép kéo theo và phép tương đương tồn tại trong nhận

thức của học sinh theo nghĩa :

- Phép kéo theo : Cái này xảy ra thì suy ra (kéo theo) cái kia xảy ra. Với học

sinh, đây là một quan hệ “nhân quả” mà việc kiểm chứng không phải bao giờ

cũng được học sinh thực hiện theo nghĩa toán học mà đôi khi theo kinh

nghiệm và trực giác.

- Phép tương đương : Cái này xảy ra thì cái kia chắc chắn xảy ra và ngược lại.

Với học sinh, đây là một quan hệ “bình đẳng” mà việc kiểm chứng cũng

được thực hiện giống như phép kéo theo nói trên.

 H2 : Nghĩa này tạo thuận lợi cho học sinh :

- Phép kéo theo : Tạo ra chuỗi suy luận logic trong chứng minh hình học.

- Phép tương đương : Biến đổi phương trình phức tạp thành phương trình đơn

giản hơn nhưng luôn có cùng tập nghiệm.

 H3 : Về sự tồn tại ngầm ẩn của các quy tắc hợp đồng sau :

RE 1 : Chứng minh mệnh đề là thực hiện chuỗi suy luận logic A suy ra B1,

B1 suy ra B2, ..., suy ra điều phải chứng minh. Trong đó, phép kéo theo có vai

trò nối khớp trong chuỗi suy luận này.

RE 2 : Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương

trình ... là thực hiện tuần tự các phép biến đổi tương đương và sử dụng dấu

«  » tạo ra sự nối khớp giữa các phương trình trong quá trình biến đổi .

KẾT LUẬN

KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC

 Ở chương 1, chúng tôi đã phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm

phép kéo theo và phép tương đương trong dạy học toán ở trung học cơ sở

ở Việt Nam cũng như ở Pháp thông qua việc phân tích chương trình và

sách giáo khoa. Quá trình phân tích này đã làm rõ nghĩa, các đặc trưng

cũng như các giá trị biểu đạt, giá trị công cụ của phép kéo theo và phép

tương đương..

 Ở chương 2, chúng tôi phân tích và tổng hợp một số tài liệu và các giáo

trình đang được giảng dạy ở bậc đại học để làm rõ đặc trưng khoa học

luận của khái niệm phép kéo theo và phép tương đương.

 Ở chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo và phép

tương đương trong việc giải một số bài toán tiêu biểu ở trung học cơ sở

Quá trình phân tích và tổng hợp trên đã giúp chúng tôi rút ra các kết quả

sau:

1. SGK đã không giới thiệu đầy đủ các nghĩa của phép kéo theo và

phép tương đương

2. SGK chỉ ưu tiên giới thiệu giá trị biểu đạt của phép kéo theo và

phép tương đương là : tạo sự nối khớp giữa các chuỗi suy luận logic

(Phép kéo theo ) hoặc tạo sự nối khớp giữa các phương trình, bất

phương trình, hệ phương trình,( Phép tương đương ) ... trong quá

trình biến đổi

Từ đó, chúng tôi đưa ra các giả thuyết nghiên cứu sau:

Trước khi khái niệm phép kéo theo và phép tương đương được đưa vào

định nghĩa tường minh ở lớp 10, khái niệm này tồn tại trong nhận thức

của học sinh theo nghĩa :

 Phép kéo theo : Cái này xảy ra thì suy ra (kéo theo) cái kia xảy ra. Với học

sinh, đây là một quan hệ “nhân quả” mà việc kiểm chứng không phải bao

giờ cũng được học sinh thực hiện theo nghĩa toán học mà đôi khi theo

kinh nghiệm và trực giác.

 Phép tương đương : Cái này xảy ra thì cái kia chắc chắn xảy ra và ngược

lại. Với học sinh, đây là một quan hệ “bình đẳng” mà việc kiểm chứng

cũng được thực hiện giống như phép kéo theo nói trên.

Để làm rõ các giả thuyết nghiên cứu này, chúng tôi đã tiến hành một thực nghiệm

và kết quả thu được từ phân tích thực nghiệm trong chương 4 đã giúp chúng tôi

kiểm tra tính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu đã nêu trên.

HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI:

Giả thuyết sẽ được kiểm chứng chặt chẽ hơn nếu chúng tôi tiến hành thực

nghiệm trên cả hai chủ thể của hệ thống dạy học: giáo viên và học sinh. Tuy

nhiên vì lí do thời gian,nên chúng tôi không thể tiến hành trên đối tượng giáo

viên.

HƯỚNG MỞ RA CỦA LUẬN VĂN

Từ các kết quả nghiên cứu và kết quả nhận được khi tiến hành thực nghiệm,

chúng tội nhận thấy:

 Tiến trình đưa vào khái niệm phép kéo theo và phép tương đương

trong các giáo trình ở trung học cơ sở đã làm hạn chế nghĩa của

chúng

 Điều này làm cho học sinh chỉ quan tâm đến giá trị biểu đạt của

khái niệm này mà không nắm được giá trị công cụ của chúng, dẫn

đến hàng loạt sai lầm của học sinh trong giải toán.

Từ đó, chúng tôi thấy có thể mở ra một số hướng nghiên cứu mới như sau:

 Xây dựng một tiểu đồ án didactic để giới thiệu đầy đủ nghĩa của

phép kéo theo và phép tương đương

 Xây dựng một tiểu đồ án didactic để để điều chỉnh mối quan hệ cá

nhân của học sinh với khái niệm phép kéo theo và phép tương

đương

MỤC LỤC

1.3

Trang phụ bìa Lời cám ơn Danh mục các bảng Mở đầu……………………………………………………………………1 Chương 1: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI CÁC KHÁI NIỆM PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG 1.1. Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán trung học cơ sở …………………………………………………………………5 1.1.1: Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán lớp 7 ………………………………………………………………5 1.1.2: Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán lớp 8 ………………………………………………………………7 1.1.3: Phép kéo theo và phép tương đương trong chương trình toán lớp 9 ………………………………………………………………9 1.2. Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa Toán Việt Nam …………………………………………………………………….10 1.2.1: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán lớp 7 ……………………………………………………………….10 1.2.2: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán lớp 8 ………………………………………………………………19 1.2.3: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán lớp 9 ………………………………………………………………..28 Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa Toán Pháp …………………………………………………………………......32 1.3.1: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán Pháp lớp 7 …………………………………………………………33 1.3.2: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán Pháp lớp 8 …………………………………………………………37 1.3.3: Phép kéo theo và phép tương đương trong sách giáo khoa toán Pháp lớp 9 ………………………………………………………….42 1.4 Kết luận ……………………………………………………………44 Chương 2: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG 2.1: Vài nét lịch sử về phép kéo theo và phép tương đương ………………47 2.1.1: Giai đoạn 1: Trước thế kỷ XIX ……………………………...47 2.1.2: Giai đoạn 2: Sau thế kỷ XIX…………………………………50

2.2: Đặc trưng của khái niệm phép kéo theo và phép tương đương trong phạm vi toán ở bậc đại học …………………………………………………………55 2.2.1: Mệnh đề với Phép kéo theo và Phép tương đương ………….55 2.2.2.: Suy luận diển dịch …………………………………………..57 2.2.2.a: Phép suy diễn từ một tiền đề …………………..…...57 2.2.2.b: Phép suy diễn từ nhiều tiền đề và quy tắc suy diễn…57 2.2.2.c: Những suy luận không hợp logich thường gặp……..58 2.2.2.d: Suy luận hợp logich va chứng minh………………...59 2.3: kết luận ………………………………………………………………...60 Chương 3: NGHIÊN CỨU SỰ VẬN HÀNH CỦA PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TIÊU BIỂU Ở THCS 3.1: Các bài toán hình học tiêu biểu ………………………………………..63 3.2: Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới mẫu thức , phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai….67 3.2.1: Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới mẫu thức ...........67 3.2.2.:Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối .............................................................................................................69 3.2.3: Các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai....71

3.3: Kết luận …………………………………………………………………73 Chương 4: THỰC NGHIỆM 4.1. Mục đích thực nghiệm ………………………………………………….76 4.2. Đối tượng, hình thức thực nghiệm ……………………………………...76 Thực nghiệm 1 4.3. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ………………………..76 4.3.1. Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm …………………………...76 4.3.2. Phân tích các câu hỏi thực nghiệm …………………………....78 4.3.3. Phân tích các chiến lược và cái có thể quan sát ……………….79 4.4. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ………………………...83 4.4.1. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 1 ……………………83 4.4.2. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 2 ……………………84 4.4.3. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 3 ……………………86 4.4.4. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 4 …………………. ..87 Thực nghiệm 2 4.5. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm …………………………88 4.5.1. Giới thiệu các câu hỏi thực nghiệm …………………………….88 4.5.2. Phân tích các câu hỏi thực nghiệm …………………………......91 4.5.3. Phân tích các chiến lược và cái có thể quan sát ………………...92 4.6. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ………………………….95 4.6.1. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 1 …………………….95 4.6.2. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 2 …………………….96 4.6.3. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 3 ……………………..97

4.6.4. Phân tích sản phẩm thu được của câu hỏi 4 …………………. …99 4.7. Kết luận về thực nghiệm …………………………………………….......100 KẾT LUẬN…………………………………………………………………..102 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT

1. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2003), Toán 7, tập 1 và 2, sách giáo

khoa , NXB giáo dục

2. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2003), Sách giáo viên Toán 7, tập 1

và 2, NXB giáo dục

3. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), Toán 8, tập 1 và 2, sách giáo

khoa , NXB giáo dục

4. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), Sách giáo viên Toán 8, tập 1

và 2, NXB giáo dục

5. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2005), Toán 9, tập 1 và 2, sách giáo

khoa , NXB giáo dục

6. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2005), Sách giáo viên Toán 9, tập 1

và 2, NXB giáo dục

7. Hoàng Chúng (1994), Logic học phổ thông, NXB Giáo dục

8. Hoàng Chúng (1978), Những yếu tố logic trong môn Toán trường

phổ thông cấp II, NXB Giáo dục

9. Đỗ Ngọc Đạt (1996), Logic Toán và ứng dụng trong dạy- học, NXB

giáo dục

10. Tôn Thân chủ biên (2003), Bài tập Toán 7, tập 1 và 2, NXB giáo

dục

11. Tôn Thân chủ biên (2004), Bài tập Toán 8, tập 1 và 2, NXB giáo

dục

12. Tôn Thân chủ biên (2005), Bài tập Toán 9 , tập 1 và 2, NXB giáo

dục

13. Nguyễn Đình Trí chủ biên (1995), Toán học cao cấp, tập 1, NXB

giáo dục

14. Nguyễn Đình Trí chủ biên (1996), Bài tập Toán học cao cấp, tập 1,

NXB giáo dục

TIẾNG PHÁP

15. Annie Bessot- Claude Comiti, Apport des etudes comparatives aux

recherches en didactique des mathématiques: Les cas Việt- Nam/

France, DIAM, LIG, Grenoble

16. Alain Bouvier, Michel George Francois

le Lionnais (1979),

Dictionnaire des Mathématiques, Presses Universitaires de France

17. Michèle Artaut, Crehsto, Orléans, L écologie des organizations

mathématiques et didactiques

18. www.momes.net/education/problemes/problemes.html

19. www.homeomath.imingo.net/logique.htm

20. www.chronomath.com