Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các tính chất của chuẩn Orlicz trong không gian Orlicz

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai chương. Chương 1: Không gian Orlicz, chương này trình bày về hàm lồi, hàm Young, hàm Young liên hợp, đây là các khái niệm cơ bản để ta đi xây dựng lớp Orlicz và không gian Orlicz. Chương 2: Một số tính chất chuẩn Orlicz, chương này trình bày về tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các tính chất của chuẩn Orlicz trong không gian Orlicz

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THANH THÚY CÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUẨN ORLICZ TRONG KHÔNG GIAN ORLICZ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ NHẬT HUY Hà Nội - 2014
Lời cám ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Vũ Nhật Huy, người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội và Khoa sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa Cao học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên và khuyến khích tôi rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và học tập. Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, năm 2015 Nguyễn Thanh Thúy 2
Mục lục Mở đầu 4 1 KHÔNG GIAN ORLICZ 5 1.1 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hàm Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Cặp hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Lớp Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Không gian Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ 26 2.1 Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg . . . . . . . . 32 2.3 Công thức tính chuẩn Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Định lý về hàm dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 46 3
Mở đầu Năm 1931, W. Orlicz và Z.W. Birnbaum đã đề xuất một lớp không gian Banach mà ngay sau đó được chính Orlicz phát triển. Lớp không gian này ngày sau được gọi là không gian Orlicz.Lớp không gian Orlicz là một mở rộng của lớp không gian Lp và được xác định qua một hàm Young φ. Lý thuyết về không gian Orlicz có nhiều ứng dụng trong giải tích hàm, phương trình vi phân đạo hàm riêng, lý thuyết nhúng... Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Không gian Orlicz. Chương này trình bày về hàm lồi, hàm Young, hàm Young liên hợp, đây là các khái niệm cơ bản để ta đi xây dựng lớp Orlicz và không gian Orlicz, cũng trong chương này luận văn còn trình bày về chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg là cơ sở xây dựng chương sau. Chương 2: Một số tính chất chuẩn Orlicz. Chương này là nội dung cốt lõi của luận văn, trong chương này luận văn trình bày về tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg, các kết quả liên quan đến chuẩn Orlicz, cũng trong chương này luận văn còn trình bày đến bất đẳng thức Kolmogorov-Stein đối với chuẩn Orlicz và định lý về hàm dịch chuyển. 4
Chương 1 KHÔNG GIAN ORLICZ Trong chương này chúng tôi trình bày về các khái niệm và các kết quả cơ bản về không gian Orlicz, các kết quả này được sử dụng để xây dựng và chứng minh các kết quả ở chương sau (xem [1, 3, 4]). 1.1 Hàm lồi Định nghĩa 1.1. Hàm φ : R → R được gọi là hàm lồi nếu φ (λx + (1 − λ) y) ≤ λφ (x) + (1 − λ) φ (y) ∀x, y ∈ R, λ ∈ [0; 1] . Định lý 1.1. Giả sử hàm φ : (a; b) → R. Khi đó, hàm φ là hàm lồi nếu và chỉ nếu với mỗi đoạn con đóng [c; d] ⊂ (a; b), ta có Z x φ (x) = φ (c) + ϕ (t) dt với c ≤ x ≤ d, c ở đây, ϕ : R → R là một hàm đơn điệu không giảm và liên tục trái. Ngoài ra, φ còn có đạo hàm trái và phải tại mỗi điểm thuộc (a; b) và các đạo hàm này chỉ khác nhau tại không quá đếm được các điểm. Chứng minh. Điều kiện cần. Do φ là hàm lồi nên ta có φ (c1 ) − φ (c) φ (y) − φ (x) φ (d) − φ (d1 ) ≤ ≤ (1.1) c1 − c y−x d − d1 ∀c < c1 ≤ x < y ≤ d1 < d. Vậy ta có
φ (c1 ) − φ (c)
φ (d) − φ (d1 )
|φ (y) − φ (x)| ≤ K1 |y − x| với K1 = max
;
. c1 − c
d − d1