Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số bài toán đặc trưng của phân phối mũ hai chiều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài giới thiệu khái niệm phân phối nhiều chiều, phân phối có điều kiện, phân phối biên duyên, phân phối của tổng, phân phối đuôi, phân phối của các X, tính mất trí nhớ, hàm sống sót, tương ứng với phân phối mũ; phân phối mũ hai chiều,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số bài toán đặc trưng của phân phối mũ hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ................................................ VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG CỦA PHÂN PHỐI MŨ HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN .............................................. VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG CỦA PHÂN PHỐI MŨ HAI CHIỀU Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. ĐÀO HỮU HỒ Hà Nội, Năm 2014
LỜI NÓI ĐẦU Khi nghiên cứu một biến ngẫu nhiên nào đó, thông tin đầy đủ nhất, quan trọng nhất mà ta mong muốn có được là ta xác định xem quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên đó là phân phối nào. Chính vì vậy từ những thập niên 50 - 60 - 70 của thế kỷ trước bài toán đặc trưng phân phối xác suất đã phát triển rất mạnh mẽ. Tuyển tập các kết quả theo hướng này đã được ba nhà khoa học lớn trên thế giới: Linnik Yu.V, Kagan A.M và Rao C.R. tổng kết lại trong cuốn "Characterization Problems in Mathematical Statistics" xuất bản năm 1972. Một tính chất S được gọi là tính chất đặc trưng cho họ phân phối F = {F (x, θ), θ ∈ O} nếu X ≈ F ∈ F thì ta có tính chất S và ngược lại, nếu có tính chất S thì ta suy ra X có phân phối thuộc họ F . Trong cuốn chuyên khảo trên rất nhiều tính chất đặc trưng cho các họ phân phối xác suất quen thuộc đã được chỉ ra. Song kết quả chủ yếu tập trung vào biến ngẫu nhiên một chiều. Trên thực tế các phân phối nhiều chiều quen thuộc cũng chỉ là phân phối chuẩn và phân phối đa thức. Vì vậy xây dựng các phân phối nhiều chiều khác và các tính chất đặc trưng của chúng đang là bài toán mở, thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới. Luân văn ” Một số bài toán đặc trưng của phân phối mũ hai chiều ” đi theo hướng nghiên cứu trên đối với họ phân phối mũ. Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1: Một số kết quả cần dùng Chương này giới thiệu khái niệm phân phối nhiều chiều, phân phối có điều kiện, phân phối biên duyên, phân phối của tổng, phân phối đuôi, phân phối i
của các X , tính mất trí nhớ, hàm sống sót,...tương ứng với phân phối mũ. Chương 2: Phân phối mũ hai chiều Trong chương này luận văn giới thiệu một số dạng khác nhau của phân phối mũ hai chiều, theo các quan điểm dựa trên phân phối biên duyên, tốc độ thất bại, thời gian chờ đợi, dựa trên các đặc tính vật lý, tính mất trí nhớ, lý thuyết độ tin cậy... Chương 3: Đặc trưng của phân phối mũ hai chiều Chương này trình bày các kết qủa mới về các đặc trưng của phân phối mũ hai chiều dạng Gumbel. Các kết quả trình bày trong chương 2 và chương 3 của luận văn được dựa trên luân án tiến sỹ của tác giả Muraleedharan Nair K.R. thuộc trường Đại học Khoa học và Kỹ thuật Cochin - Ấn độ. ii
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. ĐÀO HỮU HỒ người đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học khóa 2011 - 2013. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 iii
Mục lục Lời nói đầu i Lời cảm ơn iii 1 Một số kết quả cần dùng 1 1.1 Phân phối nhiều chiều liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Vectơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên . . . . . . . . 1 1.1.3 Hàm phân phối đồng thời của vectơ ngẫu nhiên . . . . . . 1 1.1.4 Phân phối biên duyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.5 Phân phối có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số khái niệm liên quan đến phân phối mũ một chiều . . . . . 4 1.3 Phân phối của tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Phân phối mũ hai chiều 7 2.1 Phân phối mũ hai chiều của Gumbel . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Phân phối Freund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Phân phối Marshall và Olkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Phân phối Moran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Phân phối Downton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6 Phân phối Paulson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 iv
2.7 Phân phối Block và Basu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 Mô hình Raftery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Mô hình tổng quát của Sarkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Đặc trưng của phân phối mũ hai chiều 26 3.1 Phân phối Gumbel sửa đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.1 Phân phối biên duyên và phân phối có điều kiện . . . . . . 27 3.1.2 Tính mất trí nhớ địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.3 Các mômen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.4 Các mômen bị chặt cụt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.5 Các mômen riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.6 Phân phối của biến cực đại và cực tiểu . . . . . . . . . . . 31 3.2 Bài toán đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Các đặc trưng dựa trên các mômen bị chặt cụt (xem [26]) . . . . . 32 3.3.1 Các tính chất của các mômem bị chặt cụt . . . . . . . . . . 38 3.4 Các đặc trưng dựa trên phức hợp hình học . . . . . . . . . . . . . 45 3.5 Đặc trưng bởi phân bố có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 v
Chương 1 Một số kết quả cần dùng 1.1 Phân phối nhiều chiều liên tục 1.1.1 Vectơ ngẫu nhiên Giả sử X = (X1 , X2 , ..., Xn ) trong đó Xi , i = 1, 2, . . . , n là các biến ngẫu nhiên một chiều, X được gọi là vectơ ngẫu nhiên n chiều. 1.1.2 Hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên Hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 , ..., Xn ) là hàm f : Rn → R thỏa hai điều kiện: (i) f (x1 , x2 , ...xn ) ≥ 0 R (ii) f (x1 , x2 , ...xn ) dx1 dx2 ...dxn = 1 Rn 1.1.3 Hàm phân phối đồng thời của vectơ ngẫu nhiên Định nghĩa: Hàm F (x1 , x2 ..., xn ) = P {X1 < x1 , X2 < x2 , ..., Xn < xn } = Rx1 Rx2 Rxn = ... f (t1 , t2 , ..., tn )dt1 dt2 ...dtn . −∞ −∞ −∞ được gọi là hàm phân phối đồng thời của (X1 , X2 , ..., Xn ) với f (x1 , x2 , ..., xn ) là hàm mật độ đồng thời của (X1 , X2 , ..., Xn ). 1
Tính chất: (1) Liên tục bên trái đối với mỗi biến. (2) Không giảm đối với mỗi biến số. (3) lim F (x1 , . . . , xn ) = 1 x...1 →+∞ xn →+∞ F (x1 , ..., xn ) → 0 khi có ít nhất một xi → −∞ ∂ nF (4) Ta có f (x1 , . . . , xn ) = . ∂x1 , . . . , ∂xn (5) Xác suất để biến ngẫu nhiên (X, Y ) nhận giá trị trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = x1 , x = x2 (x1 < x2 ); y = y1 , y = y2 (y1 < y2 ) là: P (x1 < X < x2 , y1 < Y < y2 ) = F (x2 , y2 ) + F (x1 , y1 ) − F (x1 , y2 ) − F (x2 , y1 ). 1.1.4 Phân phối biên duyên Giả sử X = (X1 , X2 ..., Xn ) là vectơ ngẫu nhiên liên tục n chiều có hàm mật độ đồng thời f (x1 , x2 ..., xn ). Ta gọi hàm: Zxj1 Zxjm Z+∞ Z+∞ Fj1 ...jm (xj1 , xj2 , ..., xjm ) = ... ... f (x1 , . . . , xn )dx1 ...dxn −∞ −∞ −∞ −∞ là hàm phân phối biên duyên m chiều của vectơ X . Nói cách khác, ta lấy ra một nhóm m(m < n) biến bất kỳ, chẳng hạn xj1 , xj2 , ..., xjm (1 ≤ j1 < j2 < ... < jm ≤ n) và cho (n − m) biến còn lại dần tới +∞. Khi đó F (x1 , x2 ..., xn ) sẽ dần tới một hàm phân phối theo các biến xj1 , xj2 , ..., xjm . Hàm đó là phân phối biên duyên m chiều của vectơ X . Đó cũng chính là hàm phân phối của vectơ con m chiều (Xj1 , Xj2 , ..., Xjm ). Khi m = 1, đặt j1 = i ta có hàm phân phối biên duyên của vectơ ngẫu 2
nhiên X hay hàm phân phối của Xi : Zxi Z+∞ Z+∞ Fi (xi ) = ... f (x1 , . . . , xn )dx1 ...dxn = F (+∞, ..., xi , ..., +∞) −∞ −∞ −∞ Trường hợp hai chiều: Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X1 , X2 ) có hàm mật độ f (x1 , x2 ), khi đó ta chỉ có 2 phân phối biên duyên và đó chính là phân phối của thành phần thứ nhất X1 và phân phối của thành phần thứ hai X2 : Zx1 Z+∞ F1 (x1 ) = f (t1 , t2 )dt1 dt2 = F (x1 , +∞). −∞ −∞ Zx2 Z+∞ F2 (x2 ) = f (t1 , t2 )dt1 dt2 = F (+∞, x2 ). −∞ −∞ Tương ứng với hàm phân phối biên duyên, chúng ta cũng có hàm mật độ biên duyên. Trong trường hợp hai chiều hai mật độ biên duyên sẽ là: Z+∞ f1 (x1 ) = f (x1 , x2 )dx2 −∞ Z+∞ f2 (x2 ) = f (x1 , x2 )dx1 . −∞ 1.1.5 Phân phối có điều kiện Trong luận văn này chúng ta chỉ dừng lại ở phân phối hai chiều, do đó để đơn giản chúng tôi chỉ nhắc lại định nghĩa phân phối có điều kiện trong trường hợp hai chiều. Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ f (x, y) . Hàm mật độ có điều kiện của X đối với Y được định nghĩa bởi: f (x, y) f (x|y) = f2 (y) 3
trong đó Z+∞ f2 (y) = f (x, y) dx. −∞ Tương tự hàm mật độ có điều kiện của Y đối với X là: f (x, y) f (y|x) = f1 (x) trong đó Z+∞ f1 (x) = f (x, y) dy. −∞ Do đó hàm phân phối của X với điều kiên Y đã cho là: Zx Zx f (x, y) F (x|y) = f (x|y)dx = dx. f2 (y) −∞ −∞ Tương tự hàm phân phối của Y với điều kiện X đã cho là: Zy f (x, y) F (y|x) = dy. f1 (x) −∞ 1.2 Một số khái niệm liên quan đến phân phối mũ một chiều Biến ngẫu nhiên mũ một chiều có hàm mật độ λe−λx nếu x ≥ 0 f (x) = 0 nếu x < 0 1 1 với kỳ vọng và phương sai 2 . λ λ Trên thực tế một đại lượng T dương tùy ý, biểu thị thời gian sống hoặc thời gian chờ đợi chính là các đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ. 4
Đặt R(t) = P (T > t) Rõ ràng R(t) là xác suất để thời gian sống (kể từ lúc sinh ra) vượt qua t. R(t) được gọi là phân phối đuôi hoặc hàm sống sót. Giả sử, hệ hoặc cá thể đã sống qua thời gian s, biến cố {T > s + t} biểu thị cá thể sống thêm t thời gian sau khi đã sống qua thời gian s. Xác suất có điều kiện của biến cố này sẽ là: P (T > s + t) R(t + s) P (T > s + t/T > s) = = . P (T > s) R(s) Đây chính là phân phối của thời gian sống còn lại. Đối với phân phối mũ R(t) = e−λt . Do đó: R(s, t) = e−λ(s+t) = e−λs .e−λt = R(s).R(t). Như vậy đối với phân phối mũ ta có: P (T > s + t/T > s) = R(t) = P (T > t), ∀s, t ≥ 0. Thỏa mãn hệ thức trên đại lượng ngẫu nhiên T được gọi là thỏa mãn tính mất trí nhớ (lack of mermory) (xác suất P (T > t) không phụ thuộc gì vào biến cố (T > s), nó đã quên mất rằng T đã vượt qua s). 1 Giả sử T1 , T2 , ..., Tn độc lập, cùng phân phối mũ với ETi = . Ta sắp xếp λ theo thứ tự tăng dần: T(1) ≤ T(2) ≤ ... ≤ T(n) . Đại lượng T(k) được gọi là thống kê thứ tự k . Ta có: Các đại lượng ngẫu nhiên T(1) , T(2) − T(1) , ..., T(n) − T(n−1) độc lập và mật độ của T(k+1) − T(k) sẽ là (n − k) λe−(n−k)λt . P T(1) > t = e−nαt Đặc biệt n j j Cn 1 − e−λt e−(n−j)λt . P P T(k) ≤ t = j=k Mật độ của T(k) là: k−1 k−1 nCn−1 1 − e−λt e−(n−k)λt .λe−λt . 5
1.3 Phân phối của tổng Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập với các hàm phân phối F1 (x), F2 (y) và hàm mật độ f1 (x), f2 (y) tương ứng. Z = X + Y . Khi đó hàm phân phối FZ của Z được xác định bởi: Z+∞ FZ (x) = F1 (x − y) dF2 (y) = F1 ∗F2 −∞ trong đó phép toán "*" giữa hai hàm phân phối được gọi là tích chập. Rõ ràng F1 ∗ F2 = F2 ∗ F1 . Dưới dạng hàm mật độ, tích chập trên sẽ là: Z+∞ Z+∞ fZ (x) = f1 (x − y) f2 (y) dy = f2 (x − y) f1 (y) dy. −∞ −∞ Phép toán trên có thể mở rộng cho trường hợp n biến độc lập. 1 Đặc biệt nếu các Xi , i = 1, n, độc lập, cùng phân phối mũ với E(Xi ) = thì λ tổng (X1 + X2 + ... + Xn ) có phân phối Gamma với hàm mật độ: (λx)n−1 −λx λ e nếu x > 0. (n − 1)! 6
Chương 2 Phân phối mũ hai chiều Dưới đây chúng ta sẽ giới thiệu vắn tắt những phát triển chính của phân phối mũ hai chiều và các tính chất của chúng. Trong chương này chúng ta sẽ trình bày về phân phối mũ hai chiều. Lịch sử của phân phối mũ hai chiều có thể được giới hạn trong khoảng thời gian ba thập niên 60-70-80 của thế kỉ trước. Lý do chủ yếu là do sự nhận biết tương đối muộn về sự thay thế đáng tin cậy của mô hình mũ một chiều trong trường hợp không chuẩn. Mặc dù ý tưởng của phân phối mũ hai chiều đã được diễn đạt rõ ràng và đầy đủ trong công trình của Gumbel. Khi Ông mở rộng phân phối giá trị cực trị cũng như trong một vài sự phát triển sớm hơn liên quan tới phân phối Gamma nhiều chiều, nhưng dấu ấn thực sự trong lĩnh vực này có lẽ được bắt đầu từ bài báo của Gumbel năm 1960 về phân phối mũ hai chiều. Trong bài báo này Ông đã giới thiệu ba dạng của phân phối mũ hai chiều và vai trò của chúng trong các tình huống mà ở đó quần thể bố mẹ không phải là chuẩn. 2.1 Phân phối mũ hai chiều của Gumbel Năm 1960 Gumbel (xem [16]) đã giới thiệu 3 mô hình hai biến với các phân phối biên duyên là mũ. Mô hình đầu tiên trong chúng được xác định bởi 7
hàm mật độ xác suất sau: f (x1, x2 ) = [(1 + θx1 )(1 + θx2 ) − θ]exp[−x1 − x2 − θx1 x2 ] (2.1) nếu x1 , x2 > 0, 0 ≤ θ ≤ 1. Các phân phối biên duyên của X1 và X2 là các phân phối mũ chuẩn tắc, trong khi đó phân phối có điều kiện của Xi khi Xj đã cho là: f (xi |xj ) = [(1 + θx1 )(1 + θx2 ) − θ]exp[−xi (1 + θxj )] (2.2) i, j = 1, 2; i 6= j; xi > 0, với các mômen 0 r!(1 + θx1 + rθ) µr (X2 |X1 = x1 ) = , r = 1, 2, 3, ... (1 + θx1 )r+1 Hiệp phương sai giữa X1 và X2 nhận được từ −1 E(X1 , X2 ) = −θ−1 eθ Ei (θ−1 ) trong đó ∞ Ei (θ−1 ) = ∫ e−z z −1 dz. θ−1 −1 Hệ số tương quan giữa X1 và X2 là −θ−1 eθ Ei (θ−1 ) − 1. Khi θ = 1 thì các biến là độc lập. Không như các trường hợp chuẩn, các đường cong của các hàm mật độ xác suất không phải Elip và cũng không phải là các đường hồi quy tuyến tính mà chúng giao nhau tại các điểm giá trị trung bình chung. Khi tăng giá trị của một trong các biến, kỳ vọng có điều kiện của biến khác vẫn còn là trong giới hạn hữu hạn. Chú ý đến hệ số tương quan, nó tiến về 0 khi θ tiến về 0 và θ tăng, hệ số này giảm đến một giá trị cực tiểu là -0,40365 tại θ = 1. Mặc dù phân phối này đã công bố từ năm 1960 và có dạng toán học đơn giản nhưng lại có rất ít công trình nghiên cứu về các tính chất, kể cả các đặc 8
trưng của nó. Năm 1964 Seshadri và Patil (xem [33]) là những người đầu tiên đưa ra các đặc trưng của phân phối này. Kết quả này có thể tóm tắt như sau: Định lý 2.1 Nếu (X1 , X2 ) là một vectơ ngẫu nhiên hai chiều sao cho f (x2 |x1 ) có dạng (2.2), khi đó fX1 (x1 ) = exp(−x1 ), x1 > 0 nếu và chỉ nếu fX2 (x2 ) = exp(−x2 ), x2 > 0. Chú ý rằng một đặc trưng của phân phối hai chiều tự nó có thể nhận được nếu hàm mật độ có điều kiện ở dạng trên được giả định cùng với phân phối biên duyên của X2 . Phân phối có điều kiện được xét ở đây không phải là dạng mũ hoặc thậm chí không tuân theo dạng phân phối chính tắc đã biết. Năm 1964 Seshadri và Patil (xem [33]) cũng chỉ ra rằng kết quả tương tự sẽ không thỏa mãn đối với dạng hai chiều thứ hai của Gumbel được xác định bởi (2.10) dưới đây. Một đặc trưng khác của phân phối Gumbel được dựa trên tính chất của tốc độ thất bại (failure rate) biến hai chiều. Trong trường hợp biến một chiều nếu biến số ngẫu nhiên có hàm mật độ f (.), hàm tốc độ thất bại được định nghĩa bởi f (x) r(x) = (2.3) R(x) ở đây R(x) = P [X > x] hay R(x) chính là phân phối “đuôi”. Chúng ta biết rằng r(x) là hằng số nếu và chỉ nếu phân phối là phân phối mũ. Mở rộng khái niệm này trong trường hợp nhiều chiều có thể được định nghĩa bởi nhiều cách. Năm 1971 Basu (xem [6]) sử dụng đại lượng vô hướng f (x) r(x) = (2.4) R(x) 9
để xác định tốc độ thất bại biến nhiều chiều (multivariate failure rate), ở đây x = (x1 , x2 , . . . , xn ); f (x) là hàm mật độ xác suất đồng thời của x và R(.) là hàm sống sót được định nghĩa là R(x) = P[Xi > xi , i = 1, 2, . . . , n]. Ông đã chứng minh được rằng không có hàm phân phối liên tục tuyệt đối nào khác có các biên duyên mũ với tốc độ thất bại hằng số khác 1 với các biên duyên độc lập. Một kết quả khá thú vị khác trong công bố của Puri và Rubin năm 1974 (xem [28]) chỉ ra rằng chỉ có phân phối liên tục tuyệt đối thỏa mãn r(x) = λ là hỗn hợp của các phân phối mũ được cho bởi n ! ∞ ∞ X f (x1, x2 , . . . xn ) = ∫ . . . ∫ exp − λ j xj D(dλ1 . . . dλn ) 0 0 1 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n và D là một độ đo xác suất xác định trên tập n Y A=[ λj = λ, λj > 0, j = 1, 2, . . . , n]. i=1 Một tốc độ thất bại nhiều chiều nhận giá trị vectơ khác đã được công bố độc lập với nhau bởi ba nhóm tác giả: Block (xem [7]), Esary và Marshall (xem [22]), Johnson và Kotz (xem [19]) được định nghĩa như sau: h(x) = (h1 (x), h2 (x), ...hn (x)) (2.5) với ∂logR(x) hr (x) = − , r = 1, 2, . . . , n. ∂xr Ta suy ra ngay rằng một tốc độ thất bại hằng số có dạng h(x) = c 10
với c = (c1 , c2 , . . . , cn ) là một hằng số tuyệt đối đối với các biến nếu và chỉ nếu X có luật phân phối mũ nhiều chiều với các biên duyên mũ độc lập. Hai định nghĩa đã biểu thị một điều là hằng số tuyệt đối của tốc độ thất bại trong số chiều cao hơn sẽ chỉ ra duy nhất luật phân phối mũ nhiều chiều tầm thường. Mặt khác nếu hằng số tuyệt đối được làm yếu bởi tính hằng số địa phương thì một phân phối mũ hai chiều đầy đủ có thể đạt được. Các kết quả thích hợp được phát biểu trong định lí sau, được chứng minh Galambos và Kotz năm 1978 (xem [15]). Định lý 2.2 Tốc độ thất bại nhiều chiều h(x) (multivariate hazard rate) là liên tục và được cho ở dạng (2.4) với hr (x) độc lập với xr nếu và chỉ nếu " ( n )# X X R(x) = exp − θi xi + θij xi xj + . . . + θ1...n x1 x2 . . . xn . (2.6) i=1 i
với mọi ∆ ≥ 0, t, ti x > 0 trong đó ri (t) là thành phần thứ i trong vectơ r(t) = E [X − t|X > t] . (2.7) Dựa trên khái niệm này, định lý đặc trưng sau đã được chứng minh. Định lý 2.3 Một hàm mật độ xác suất f khả vi, liên tục n - chiều là DMMRL(2) và IMMRL(2) nếu và chỉ nếu f tương ứng với phân phối trong (2.6). Năm 1988 Nair và Nair (xem [26]) đã xem xét dạng hai chiều của (2.6) và cho kết quả sau. Định lý 2.4 Phân phối đồng thời của X = (X1 , X2 ) chấp nhận hàm mật độ xác suất trong R2+ có phân phối mũ hai chiều với P [X1 > x1 , X2 > x2 ] = e−λ1 x1 −λ2 x2 −θx1 x2 (2.8) nếu và chỉ nếu E [X − t|X > t] = [a1 (t2 ) , a2 (t1 )] (2.9) trong đó ai là các hàm không tăng, sao cho ai (tj ) độc lập đối với ti với i, j = 1, 2 và i 6= j với mọi t1 , t2 > 0 thỏa mãn a1 (o) = λ−1 1 và a2 (o) = λ−1 2 . Gumbel (xem [16]) đã giới thiệu hai dạng phân phối mũ hai chiều khác mà mỗi chúng được suy ra như là một dạng đặc biệt của mô hình Morgenstern (xem [25]) với các phân phối biên duyên hàm mũ đã cho. Ở đây hàm phân phối đồng thời của X1 , X2 được cho bởi −x1 −x2 h −(x1 +x2 ) i F (x1 , x2 ) = 1 − e 1−e 1 + αe (2.10) trong đó x1 , x2 > 0 và |α| < 1. Có thể nhận thấy rằng X1 và X2 là độc lập khi α = 0. 12
Mô hình thứ ba được xác định bởi hàm phân phối h i m 1/m F (x1 , x2 ) = 1 − e−x1 − e−x2 + exp −(xm 1 + x2 ) . (2.11) Trường hợp m = 1 dẫn đến tính độc lập của các biến thành phần . Việc giới thiệu các phân phối mũ hai chiều có thể cung cấp cho ta một mô hình để thay thế và sử dụng trong trường hợp phân phối chuẩn nhiều chiều không còn đúng nữa. Gumbel không đưa ra một tình huống nào mà ở đó các mô hình này xuất hiện theo một cách tự nhiên, trừ việc đề cập đến các mô hình một chiều đã được công bố trước đó. Hơn nữa, các tham số được chứa trong mỗi mô hình không được hiểu theo nghĩa là tham số thông dụng theo cùng một cách. Chẳng hạn tham số trong biến hai chiều thông thường được hiểu theo nghĩa hệ số tương quan. Các phân phối biên duyên là mũ chính tắc đã làm giảm đáng kể tính linh hoạt của mô hình. Trong một số nghiên cứu, giả thuyết về tính hằng số của tốc độ thất bại dẫn đến phân phối mũ. Trong tất cả các mô hình trên, tốc độ thất bại của các biến X1 và X2 là 1 và điều này là một bất lợi nghiêm trọng. Để truyền đạt nhiều ý nghĩa hơn cho mô hình, ta sẽ tập trung nghiên cứu xung quanh các dạng đã được điều chỉnh mà trong đó các biến thành phần có kỳ vọng là α1−1 và α2−1 thay cho 1 trong (2.1). 2.2 Phân phối Freund Năm 1961 Freund (xem [14]) là người đầu tiên đề xuất một mô hình biến hai chiều mà có sự giải thích vật lý đầy đủ. Giả sử X1 và X2 là hai biến đại diện cho thời gian sống của hai thành phần A và B . Giả sử X1 và X2 là các biến ngẫu nhiên mũ độc lập với các tham số α, β sao cho sự thất bại của mỗi thành phần làm thay đổi các tham số của phân phối sống của thành phần còn lại, nghĩa là bất cứ khi nào A hỏng sẽ được thay thế bởi B dẫn đến luật phân phối sống của 13