Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu áp dụng thuật toán Parker xác định dị thường trọng lực Bouguer khu vực biển Đông và kế cận

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, thuật toán và chương trình được viết bằng ngôn ngữ Matlab đã được sử dụng để tính toán thử nghiệm trên các mô hình bài toán thuận, ngược 2-3D trước khi áp dụng cho khu vực biển Đông và kế cận. Kết quả tính toán được so sánh với các phương pháp khác để thấy được ưu điểm của thuật toán Parker.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu áp dụng thuật toán Parker xác định dị thường trọng lực Bouguer khu vực biển Đông và kế cận

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Phạm Thành Luân NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG THUẬT TOÁN PARKER XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC BOUGUER KHU VỰC BIỂN ĐÔNG VÀ KẾ CẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Phạm Thành Luân NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG THUẬT TOÁN PARKER XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC BOUGUER KHU VỰC BIỂN ĐÔNG VÀ KẾ CẬN Chuyên ngành: Vật lý địa cầu. Mã số: 60440111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. ĐỖ ĐỨC THANH Hà Nội – 2015 2
Lời cảm ơn Lời đầu tiên, em muốn gửi lời cảm ơn tới thầy - PGS.TS. Đỗ Đức Thanh, Bộ môn Vật lý địa cầu, Khoa Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên , Đại học Quốc gia Hà Nội - người đã tận tình chỉ bảo , hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiê ̣n luận văn này. Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Bộ môn Vật lý Địa Cầu, Khoa Vật lý, Trường Đa ̣i ho ̣c Khoa ho ̣c Tự nhiên – Đa ̣i ho ̣c Quố c gia Hà Nô ̣i, những người đã hết lòng giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn. Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Vật lý và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em được tiếp tục học tập, rèn luyện và công tác tại khoa, trường. Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người luôn sát cánh, động viên, chia sẻ cùng em. Mô ̣t lầ n nữa xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu trên! Hà Nội, ngày 8/11/2015 Học viên Phạm Thành Luân 3
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 1 CHƢƠNG 1: PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER .................................................................... 2 1.1. Khái niệm biến đổi Fourier ....................................................................................... 2 1.2. Một số tính chất của biến đổi Fourier ....................................................................... 6 1.2.1. Tính chất đối xứng.......................................................................................... 6 1.2.2. Tính chất tuyến tính ........................................................................................ 7 1.2.3. Sự chuyển dịch ............................................................................................... 7 1.2.4. Đạo hàm.......................................................................................................... 7 1.3. Biến đổi Fourier của một số dị thường đơn giản ...................................................... 8 1.3.1. Các nguồn ba chiều ...................................................................................... 10 1.3.2. Các nguồn hai chiều ..................................................................................... 13 CHƢƠNG 2. THUẬT TOÁN PARKER VÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP KHÁC XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC ..................................................................... 16 2.1. Thuật toán Parker .................................................................................................... 16 2.2. Một số phương pháp khác xác định dị thường trọng lực ........................................ 22 CHƢƠNG 3. MÔ HÌNH HÓA VÀ KẾT QUẢ ÁP DỤNG THUẬT TOÁN PARKER XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG BOUGUER KHU VỰC BIỂN ĐÔNG VÀ KẾ CẬN ...... 27 3.1 Mô hình ranh giới phân chia dạng vòm 2D ............................................................. 27 3.1.1. Thông số mô hình .......................................................................................... 27 3.1.2. Kết quả tính toán ............................................................................................ 27 3.2. Mô hình ranh giới phân chia dạng vòm 3D ............................................................ 30 4
3.2.1. Thông số mô hình .......................................................................................... 30 3.2.2. Kết quả tính toán ............................................................................................ 30 3.3. Mô hình bể trầm tích 3D ......................................................................................... 34 3.3.1. Thông số mô hình .......................................................................................... 34 3.3.2. Kết quả tính toán ............................................................................................ 35 3.4. Xác định dị thường Bouguer trên biển Đông và kế cận ......................................... 40 3.4.1. Nguồn số liệu ................................................................................................. 40 3.4.2. Kết quả tính toán ............................................................................................ 43 KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 47 5
DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1: Hệ trục tọa độ ................................................................................................... 08 Hình 1.2: Phổ mật độ năng lượng của các dị thường gây bởi một số vật thể đơn giản... 12 Hình 1.3: Nguồn đường thẳng đứng nằm dọc theo trục z giữa z1 và z2 và được quan sát trên mặt phẳng nằm ngang z0 < z1. ................................................................................... 13 Hình 1.4: Hệ tọa độ và sắp xếp hình học của các nguồn đường khi dùng cho các biến đổi Fourier các dị thường của chúng. ..................................................................................... 14 Hình 2.1: Bể trầm tích có mật độ thay đổi theo độ sâu .................................................... 18 Hình 2.2: Xấp xỉ vật thể có tiết diện ngang ...................................................................... 22 Hình 2.3: Việc phân chia mỗi cạnh đa giác ..................................................................... 22 Hình 2.4: Mô hình lăng trụ 3 chiều .................................................................................. 24 Hình 3.1: Ranh giới phân chia dạng vòm 2D ................................................................... 27 Hình 3.2: Dị thường trọng lực gây bởi ranh giới phân chia dạng vòm 2D bằng thuật toán Parker . .............................................................................................................................. 28 Hình 3.3: Kết quả xác định dị thường trọng lực gây bởi ranh giới phân chia dạng vòm 2D bằng hai phương pháp. ................................................................................................ 28 Hình 3.4: Chênh lệch dị thường trọng lực tính theo hai phương pháp ............................ 29 Hình 3.5: Kết quả giải bài toán ngược xác định độ sâu ranh giới phân chia dạng vòm 2D ...................................................................................................................................... 29 Hình 3.6: Độ sâu ranh giới phân chia dạng vòm 3D ....................................................... 30 Hình 3.7: Dị thường trọng lực của ranh giới phân chia dạng vòm 3D tính theo thuật toán Parker ................................................................................................................................ 31 6
Hình 3.8: Dị thường trọng lực của ranh giới phân chia dạng vòm 3D tính theo phương pháp của Bhaskara Rao trong miền không gian ............................................................... 31 Hình 3.9: Dị thường trọng lực theo thuật toán Parker biểu diễn dưới dạng các đường đồng mức ........................................................................................................................... 32 Hình 3.10 Dị thường trọng lực theo phương pháp của Bhaskara Rao trong miền không gian biểu diễn dưới dạng các đường đồng mức ................................................................ 32 Hình 3.11: Chênh lệch dị thường trọng lực tính theo thuật toán Parker và theo phương pháp của Bhaskara Rao trong miền không gian ............................................................... 33 Hình 3.12: Kết quả xác định độ sâu ranh giới phân chia dạng vòm 3D .......................... 34 Hình 3.13: Chênh lệch độ sâu tính toán và độ sâu mô hình ............................................. 34 Hình 3.14: Độ sâu tới đáy bể trầm tích ............................................................................ 35 Hình 3.15: Dị thường trọng lực theo thuật toán Parker................................................... 35 Hình 3.16: Dị thường trọng lực theo phương pháp của Bhaskara Rao trong miền không gian ................................................................................................................................... 36 Hình 3.17: Dị thường trọng lực theo thuật toán Parker biểu diễn dưới dạng các đường đồng mức ........................................................................................................................... 36 Hình 3.18: Dị thường trọng lực theo phương pháp của Bhaskara Rao trong miền không gian biểu diễn dưới dạng các đường đồng mức ................................................................ 36 Hình 3.19: Chênh lệch dị thường trọng lực tính theo thuật toán Parker và theo phương pháp của Bhaskara Rao trong miền không gian ............................................................... 37 Hình 3.20: Dị thường trọng lực theo phương pháp Chai và Hinze trong miền tần số..... 38 Hình 3.21: Chênh lệch dị thường trọng lực tính theo thuật toán Parker và theo phương pháp Chai và Hinze ........................................................................................................... 39 7
Hình 3.22: Kết quả xác định độ sâu bể trầm tích ............................................................. 39 Hình 3.23: Chênh lệch độ sâu tính toán và độ sâu mô hình ............................................. 40 Hình 3.24: Bản đồ đồng mức địa hình khu vực biển Đông và kế cận .............................. 41 Hình 3.25: Bản đồ đồng mức dị thường Free-air khu vực biển Đông và kế cận ............. 42 Hình 3.26: Bản đồ đồng mức hiệu chỉnh trọng lực gây ra bởi địa hình và độ sâu đáy biển .................................................................................................................................... 43 Hình 3.27: Hiệu chỉnh trọng lực gây ra bởi địa hình và độ sâu đáy biển dạng 3D ......... 44 Hình 3.28: Bản đồ đồng mức dị thường Bouguer khu vực biển Đông và kế cận ............. 45 Hình 3.29: Bản đồ dị thường Bouguer khu vực biển Đông và kế cận dạng 3D ............... 46 8
MỞ ĐẦU Thăm dò trọng lực là một trong những phương pháp nghiên cứu cấu trúc bên trong Trái Đất, cấu tạo địa chất, tìm kiếm và thăm dò các loại khoáng sản. Thăm dò trọng lực kết hợp cùng với các phương pháp thăm dò khác đã góp phần giải quyết các vấn đề phân vùng, kiến tạo, thạch học, phát hiện ra các vùng có triển vọng khoáng sản để tiến hành các công tác thăm dò địa chất, Địa Vật lý chi tiết. Thực tế, hiện nay ở nước ta, phương pháp thăm dò trọng lực được áp dụng thường xuyên và phổ biến như một trong các phương pháp cơ bản nhất trong việc nghiên cứu địa chất cũng như tìm kiếm khoáng sản, tài nguyên thiên nhiên. Tuy nhiên, với số điểm quan sát lớn, việc phân tích, xử lý các số liệu đo đạc trọng lực mất khá nhiều thời gian. Để khắc phục nhược điểm đó, các nhà Địa Vật lý đã chuyển việc tính toán trong miền không gian sang miền tần số. Một trong các phương pháp nổi bật và rút ngắn thời gian nhất là sử dụng thuật toán của Parker. Chính vì những lý do đó, chúng tôi quyết định lựa chọn luận văn với đề tài: “Nghiên cứu áp dụng thuật toán Parker xác định dị thường trọng lực Bouguer khu vực biển Đông và kế cận”. Thuật toán và chương trình được viết bằng ngôn ngữ Matlab đã được sử dụng để tính toán thử nghiệm trên các mô hình bài toán thuận, ngược 2-3D trước khi áp dụng cho khu vực biển Đông và kế cận. Kết quả tính toán được so sánh với các phương pháp khác để thấy được ưu điểm của thuật toán Parker. Khoá luận này được chia làm ba chương sau: - Chương 1: Phép biến đổi Fourier - Chương 2: Thuật toán Parker và một số phương pháp khác xác định dị thường trọng lực. - Chương 3: Mô hình hóa và kết quả áp dụng thuật toán Parker xác định dị thường Bouguer khu vực biển Đông và kế cận. 1
CHƢƠNG 1: PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Trong chương này, chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết của phép biến đổi Fourier. Richard J. Blakely [17] đã khái quát những nội dung quan trọng của phép biến đổi Fourier và áp dụng chúng để phân tích, xử lý tài liệu từ và trọng lực. Về quá trình phát triển, có thể nói Tsuboi và Fuchida [20, 21] là những người đầu tiên áp dụng các phép biến đổi Fourier vào việc minh giải các dị thường trường thế. Họ sử dụng chuỗi Fourier để chỉ ra mối liên hệ giữa các dị thường trọng lực và các phân bố khối lượng, trong cả hai trường hợp hai và ba chiều, được giới hạn trong các mặt phẳng ngang. Vào những năm 60, nhiều tác giả đã sử dụng biến đổi Fourier trong việc minh giải các dị thường từ biển, tiêu biểu là Gudmundson [9], Heirtzler và Le Pichon [13]. Tiếp đó, Harrison [12] đã đưa ra cái nhìn khái quát về chủ đề này. Cùng thời gian đó, Bhattacharryya [5] đã công bố một số bài báo quan trọng về biến đổi Fourier của các dị thường từ và trọng lực. Có lẽ đóng góp có ý nghĩa nhất của ông là ông đã nhận ra rằng nhiều phép biến đổi, chẳng hạn như nâng trường, hạ trường, chuyển trường về cực, … dễ dàng được thực hiện trong miền tần số. Sau đây, chúng tôi sẽ tóm lược lại phép biến đổi này. 1.1. Khái niệm biến đổi Fourier Một hàm tuần hoàn có thể được tổng hợp bằng tổng vô hạn các hàm sin có trọng số, trong đó các trọng số của các hàm sin được xác định qua phân tích hàm tuần hoàn đó. Nếu f(x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ X, nó có thể được biểu diễn bằng: ∞ (1.1) 𝑓 𝑥 = 𝐹𝑛 𝑒 𝑖𝑘 𝑛 𝑥 𝑛=−∞ 2𝜋 trong đó 𝑘𝑛 = và 𝑖 = −1. Các trọng số 𝐹𝑛 trong tổng này là các số phức và được xác 𝑋 định bằng tích phân: 𝑥 0 +𝑋 1 𝐹𝑛 = 𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖𝑘 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 (1.2) 𝑋 𝑥0 2
Bây giờ chúng ta giả sử rằng f(x) không tuần hoàn trên một khoảng hữu hạn của trục x. Thay vì thế, chúng ta đòi hỏi rằng f(x) có dáng vẻ hợp lý và có biến thiên giam hãm trong một khoảng hữu hạn của trục x. Nói một cách khác, chúng ta đòi hỏi rằng: ∞ (1.3) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 < ∞ −∞ Các dị thường từ và trọng lực thoả mãn đặc trưng này nếu phạm vi đo đạc lớn hơn nhiều kích thước ngang của tất cả các vật thể gây dị thường. Việc cho X → ∞ trong phương trình (1.2) tạo ra biến đổi Fourier của một hàm không chu kỳ f(x). +∞ (1.4) 𝐹 𝑘 = 𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑥 −∞ Biến k trong phương trình (1.4) được gọi là số sóng và có đơn vị là nghịch đảo khoảng cách; tương tự với tần số góc trong biến đổi Fourier miền thời gian, số sóng có đơn vị nghịch đảo thời gian. Số sóng tỷ lệ nghịch với bước sóng λ, tức là: 2𝜋 𝑘= 𝜆 Chú ý từ phương trình (1.4) rằng biến đổi Fourier của hàm f(x) được ước lượng ở k = 0 đơn giản là trung bình của f(x) trên toàn trục x, tức là: +∞ 𝐹 0 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞ Biến đổi Fourier F(k) nói chung là một hàm phức với các phần thực và phần ảo, F(k) = ReF(k) + iImF(k). Ta cũng có thể biểu diễn: 𝐹 𝑘 = 𝐹 𝑘 𝑒 𝑖𝛩 𝑘 trong đó: 2 2 𝐹 𝑘 = 𝑅𝑒𝐹 𝑘 + 𝐼𝑚𝐹 𝑘 , 3
𝐼𝑚𝐹 𝑘 𝛩 𝑘 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑅𝑒𝐹 𝑘 Các hàm 𝐹 𝑘 và 𝛩 𝑘 tương ứng được gọi là biên độ và pha. Năng lượng tổng cộng của f(x) là: +∞ 2 𝐸= 𝐹 𝑘 𝑑𝑥 −∞ 2 và 𝐹 𝑘 được gọi là mật độ phổ năng lượng. Điều đặc biệt quan trọng là biến đổi Fourier có biến đổi ngược. Tương tự phương trình 1.1, biến đổi Fourier ngược được cho bởi: +∞ 1 𝑓 𝑥 = 𝐹 𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑘 (1.5) 2𝜋 −∞ Nếu f(x) thỏa mãn bất đẳng thức (1.3), thì biến đổi Fourier F(k) tồn tại và thỏa mãn cả hai phương trình (1.4) và (1.5). Thảo luận ở trên đề cập tới hàm một biến, nhưng biến đổi Fourier có thể được mở rộng một cách dễ dàng cho các hàm hai biến. Biến đổi Fourier của hàm f(x,y) và biến đổi ngược của nó được cho bởi : +∞ +∞ 𝐹 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑒 −𝑖 𝑘 𝑥 𝑥+𝑘 𝑦 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 (1.6) −∞ −∞ +∞ +∞ 1 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐹 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 𝑒 𝑖 𝑘 𝑥 𝑥+𝑘 𝑦 𝑦 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 (1.7) 4𝜋 2 −∞ −∞ trong đó 𝑘𝑥 và 𝑘𝑦 tương ứng tỉ lệ nghịch với số sóng theo các hướng x và y:: 2𝜋 𝑘𝑥 = 𝜆𝑥 2𝜋 𝑘𝑦 = 𝜆𝑦 4
Điều quan trọng là phải chú ý rằng f(x) và F(k) đơn giản là những cách khác nhau xem xét cùng một hiện tượng. Biến đổi Fourier là biểu diễn một hàm từ miền này (không gian hoặc thời gian) sang một miền khác (số sóng hoặc tần số). Do đó, các thảo luận sau đây sẽ đề cập đến miền không gian hoặc miền tần số như hai cách khác nhau để xem xét cùng một hiện tượng. Trong phần này và những phần tiếp theo, biến đổi Fourier được ký hiệu bằng ký hiệu ngắn F[f], tức là: +∞ 𝐹𝑓 = 𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑥 −∞ Những thảo luận ở trên là biến đổi Fourier của một hàm liên tục. Trong thực tế chúng ta thường gặp các tài liệu được lấy mẫu. Khi đó, chúng ta sử dụng biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đôi khi còn được gọi là biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực hoặc số phức, biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên các máy tính. Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong một tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng, và để làm các phép như tích chập. Biến đổi này có thể được tính nhanh bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT). Phép biến đổi này có những hạn chế cả ở bước sóng dài nhất và bước sóng ngắn nhất. Ví dụ các bước sóng ngắn hơn hai lần khoảng cách mẫu không thế được biểu diễn một cách đầy đủ bằng biến đổi Fourier rời rạc. Hạn chế này được biểu diễn trong miền tần số bằng cách sau: Biến đổi Fourier rời rạc là tuần hoàn với chu kỳ tỷ lệ nghịch với khoảng cách mẫu. Hãy xem N mẫu liên tiếp của f(x) lấy cách đều nhau một khoảng ∆x. Nếu chúng ta giả sử rằng f(x) bằng 0 ngoài N mẫu này, thì chúng ta có thể xem N là vô hạn. Trong trường hợp này, biến đổi Fourier rời rạc 𝐹𝐷 𝑘 liên hệ với biến đổi Fourier thực F(k) bởi tổng: 5
+∞ 1 2𝜋𝑗 𝐹𝐷 𝑘 = 𝐹 𝑘– (1.8) ∆𝑥 ∆𝑥 𝑗 =−∞ Tại 𝑘0 cho trước bất kỳ, rõ ràng chúng ta muốn 𝐹𝐷 𝑘0 bằng 𝐹 𝑘0 . Không may thay, theo phương trình trên 𝐹𝐷 𝑘0 thực tế là bằng 𝐹 𝑘0 cộng với F(k) được đánh giá ở vô hạn các số sóng khác. “Sự tự gây nhiễu” này được gọi là aliasing. Chu kỳ của biến đổi 2𝜋 𝜋 Fourier rời rạc là 𝑘𝑠 = , và 𝑘𝑠 được gọi là số sóng mẫu; một nửa số sóng mẫu được ∆𝑥 ∆𝑥 2𝜋 gọi là sóng Nyquist. Vì biến đổi Fourier rời rạc tự lặp lại sau , tất cả các thông tin duy ∆𝑥 ±𝜋 nhất nằm giữa . Vì vậy, số sóng Nyquist là số sóng lớn nhất trong cách sử dụng của ∆𝑥 chúng ta. Chú ý rằng có một bước sóng gấp đôi khoảng cách mẫu. Các dị thường của trường thế, như nhiều hiện tượng vật lý, có thể được xem như một dải bị hạn chế, tức là, chúng có các biến đổi Fourier giảm theo sự tăng của số sóng. Vì vậy, các số hạng số sóng cao gây nhiễu trong tổng trên đây có thể tương đối nhỏ, đặc biệt nếu khoảng cách mẫu được lấy tương đối so với các bước sóng chính của f(x). Các nguyên lý này là những nguyên lý rất quan trọng trong việc phát triển tính toán số. 1.2. Một số tính chất của biến đổi Fourier Biến đổi Fourier có một số đặc trưng quan trọng đặc biệt hữu ích trong các thảo luận sau. Dưới đây chúng ta dùng các ký hiệu ngắn gọn sau f(x) ↔ F(k) sẽ được hiểu là f(x) có biến đổi Fourier là F(k). 1.2.1. Tính chất đối xứng Nếu f(x)↔F(k),và nếu f(x) là một hàm thực, thì F(k) có phần thực là đối xứng và phần ảo là phản đối xứng đối với k = 0; tức là, nếu f(x) là thực, thì F(k)=F*(-k) trong đó dấu sao ký hiệu liên hợp phức, và biến đổi Fourier của một hàm thực được gọi là Hermit. Hơn nữa nếu F(k)= F*(-k) thì f(x) phải là một hàm thực; tức là, đặc trưng Hermit là điều kiện cần và đủ đối với f(x) là thực. 6
1.2.2. Tính chất tuyến tính Biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính. Ví dụ, nếu 𝑓1 𝑥 ↔𝐹1 𝑘 , và 𝑓2 𝑥 ↔𝐹2 𝑘 thì: 𝑎1 𝑓1 𝑥 + 𝑎2 𝑓2 𝑥 ↔ 𝑎1 𝐹1 𝑘 + 𝑎2 𝐹2 𝑘 trong đó 𝑎1 và 𝑎2 là các hằng số tùy ý. Nếu f(x) ↔F(k), thì: 1 𝑘 𝑓 𝑎𝑥 ↔ 𝐹 𝑎 𝑎 trong đó a là hằng số tùy ý. Điều này ngụ ý rằng khoảng x chứa hầu hết năng lượng của f(x) tỉ lệ nghịch với độ rộng của dải chứa hầu hết năng lượng của F(k). Đối với các dị thường trọng lực và từ, đặc trưng tỉ lệ chỉ ra rằng dị thường rộng có phổ biên độ hẹp hơn dị thường hẹp. Vì độ rộng của dị thường tỉ lệ thuận với độ sâu nguồn của nó, chúng ta có thể hy vọng rằng sự co hẹp của dị thường đã biến đổi Fourier cũng liên quan với độ sâu của nguồn 1.2.3. Sự chuyển dịch Chuyển dịch một hàm dọc theo trục x trong miền không gian tương đương với việc bổ xung thêm một nhân tử pha tuyến tính vào phép biến đổi Fourier của hàm, tức là, nếu f(x)↔F(k), thì: 𝑓 𝑥 − 𝑥0 ↔ 𝐹 𝑘 𝑒 −𝑖𝑥 0 𝑘 Chú ý rằng phổ biên độ và phổ mật độ năng lượng của f(x) là không bị ảnh hưởng bởi sự dịch chuyển f(x) dọc theo trục x. 1.2.4. Đạo hàm Đạo hàm trong miền không gian tương đương với việc nhân lũy thừa thừa số sóng trong miền tần số. Ví dụ, nếu f(x)↔F(k), thì 7
𝑑𝑛 𝑓 𝑥 ↔ 𝑖𝑘 𝑛 F 𝑘 (1.9) 𝑑𝑥 𝑛 Nếu hàm phụ thuộc vào hai biến và nếu f(x,y)↔F(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ), thì: 𝜕𝑛 𝜕𝑚 𝑛 𝑛 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑖𝑘𝑥 𝑖𝑘𝑦 𝐹 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 (1.10) 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑦 𝑚 1.3. Biến đổi Fourier của một số dị thƣờng đơn giản Dùng các lý thuyết được trình bày ở phần trước, chúng tôi, có thể suy ra biến đổi Fourier của các trường thế gây bởi các dạng nguồn khác nhau, như nguồn lưỡng cực, nguồn đơn cực, nguồn đường và nguồn dải. Các biến đổi này sẽ tạo ra cơ sở cho các nguồn trọng lực phức tạp, dẫn tới nhiều các ứng dụng bao gồm các tính toán thuận và ngược, biến đối trường và đánh giá độ sâu đến nguồn. Gọi r là khoảng cách giữa điểm P ở tọa độ (x, y, z) và điểm Q ở tọa độ (x', y', z'). 1 Biến đổi Fourier của là nền tảng quan trọng của thảo luận này vì các trường thế phụ 𝑟 1 1 thuộc nhiều vào đạo hàm của . Với biến đổi Fourier của đã biết và với sự trợ giúp của 𝑟 𝑟 lý thuyết đạo hàm, nhiều dẫn giải tiếp theo được suy ra. Spector và Bhattacharyya [19] đã dùng cùng một kiểu phương pháp luận để đưa ra mật độ phổ năng lượng và các hàm tự tương quan đối với các dị thường lưỡng cực và nguồn đường. x P(0,0,z’) y Q(0,0,z’) z Hình 1.1: Hệ trục tọa độ Ở đây, trường được đo tại mặt phẳng nằm ngang ở 𝑧0 , và nguồn định xứ trên trục z tại z'. Chúng ta xem P nằm trên mặt phẳng ngang ở độ cao 𝑧0 và xem Q là cố định và 8
1 nằm trên trục z tại (0, 0, z'), trong đó 𝑧′ > 𝑧0 (hình 1.1). Biến đổi Fourier 2 chiều của 𝑟 được cho bởi: +∞ +∞ 1 1 𝐹 = 𝑒 −𝑖 𝑘 𝑥 𝑥+𝑘 𝑦 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 (1.11) 𝑟 −∞ −∞ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧0 − 𝑧′ 2 1 Chúng ta có thể đơn giản phương trình này bằng cách chú ý rằng hàm là đối xứng trụ 𝑟 xung quanh trục z và chuyển tích phân về tọa độ cực. Nếu chúng ta đặt 𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝜃 ; 𝑦 = 𝑎𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑘𝑥 = 𝑘𝑐𝑜𝑠 𝛷 ; 𝑘𝑦 = 𝑘𝑠𝑖𝑛 𝛷 𝑎= 𝑥2 + 𝑦2 ; 𝑘 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 1 Biến đổi Fourier 2 chiều của trở thành: 𝑟 2𝜋 ∞ 1 1 (1.12) 𝐹 = 𝑒 −𝑖𝑎𝑘𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝛷 𝑎𝑑𝑎𝑑𝜃 𝑟 0 0 𝑎2 + 𝜔2 Tích phân thên 𝜃 có dạng hàm Bessel bậc 0, 2𝜋 1 𝐽0 𝑧 = 𝑒 −𝑖𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 Thay vào biến đổi Fourier tạo ra biến đổi Hankel bậc 0 ∞ 1 1 (1.13) 𝐹 = 2𝜋 𝐽0 𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝑟 0 𝑎2 + 𝜔2 Tích phân này minh họa một kết quả tổng quát là biến đổi Fourier hai chiều của một hàm đối xứng trụ đưa tới một biến đổ Hankel. Lời giải của biến đổi Hankel đặc biệt này là: 9
1 𝑒 𝑘 𝑧 0 −𝑧′ 𝐹 = 2𝜋 , z'>𝑧0 , 𝑘 ≠0 (1.14) 𝑟 𝑘 Chúng ta chú ý rằng, mặc dù chúng ta đã tìm được biểu diễn thích hợp đối với 1 1 F , không thỏa mãn bất đẳng thức (1.3) vì tích phân 𝑟 𝑟 +∞ +∞ 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞ −∞ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧0 − 𝑧′ 2 2𝜋 ∞ ∞ 1 1 = 𝑎𝑑𝑎𝑑𝜃 = 2𝜋 𝑎𝑑𝑎 0 0 𝑎2 + 𝑧0 − 𝑧′ 2 0 𝑎2 + 𝑧0 − 𝑧′ 2 1 là không hữu hạn. Vì vậy, biến đổi Fourier của không tồn tại theo nghĩa chặt chẽ của 𝑟 bất đẳng thức (1.3), một thực tế được biểu diễn trong phương trình (1.14) bởi bản chất 1 không xác định của 𝐹 ở bước sóng vô hạn ( 𝑘 = 0). Tuy nhiên, chúng ta lại có một 𝑟 1 điều may mắn là đạo hàm không gian bất kỳ của (và vì vậy các dị thường trọng lực và 𝑟 từ nói chung) thỏa mãn bất đẳng thức (1.3). 1.3.1. Các nguồn ba chiều Trong phần này và phần sau, biến đổi Fourier của một số nguồn 2D và 3D đơn giản sẽ được thảo luận. Dị thường của một vật thể 3D (ví dụ quả cầu) đo được một cách thích hợp trên một mặt 2D, và nghiên cứu dị thường trong miền tần số đòi hỏi biến đổi Fourier hai chiều. Cũng vậy, một nguồn 2D đo được dọc theo một tuyến đòi hỏi biến đổi Fourier một chiều. Chúng ta sẽ tiếp tục gán các nguồn như là các nguồn 2D hoặc 3D tùy theo hình dáng hình học của chúng, hiểu rằng các dị thường của chúng được phân tích trong miền tần số ở trường hợp một hoặc hai chiều, một cách tương ứng. Đơn cực Hãy xem biến đổi Fourier của hấp dẫn trọng lực quan sát được trên mặt phẳng tại nằm ngang z = z0 và gây bởi một khối lượng điểm (tương đương với một khối cầu có mật 10
độ đồng nhất) định xứ dưới mặt phẳng. Biến đổi Fourier của thế này có thể được viết ngay lập tức từ phương trình (1.14). Thế trọng lực của khối lượng điểm 𝜇 được cho bởi 𝛾𝜇 𝑈= trong đó 𝛾 là hằng số hấp dẫn; biến đổi Fourier của thế quan sát được trên mặt 𝑟 phẳng nằm ngang đơn giản là: 1 𝑒 𝑘 𝑧 0 −𝑧′ 𝐹 𝑈 = 𝛾𝜇𝐹 = 2𝜋𝛾𝜇 , 𝑧′ > 𝑧0 (1.15) 𝑟 𝑘 Gia tốc trọng lực 𝑔 liên quan với thế bởi phương trình 𝑔 = 𝛻𝑝 𝑈, như vậy thành phần bất kỳ của 𝑔 đơn giản là đạo hàm có hướng của U. Đặc biệt, thành phần thẳng đứng 𝛾𝜇 gây bởi một khối lượng điểm là đạo hàm thẳng đứng của , tức là: 𝑟 𝜕 1 𝑔𝑧 = 𝛾𝜇 𝜕𝑧 𝑟 được quan sát trên mặt phẳng nằm ngang, trường này có biến đổi Fourier được cho bởi: 𝜕 1 𝜕 1 𝐹 𝑔𝑧 = 𝛾𝜇𝐹 = 𝛾𝜇 𝐹 = 2𝜋𝛾𝜇𝑒 𝑘 𝑧0 −𝑧′ , 𝑧′ > 𝑧0 (1.16) 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑧 𝑟 Một số đặc trưng quan trọng của dị thường trọng lực có thể thấy được từ phương trình (1.16) và được minh họa trên hình 1.2a. Năng lượng cực đại của trường trọng lực xảy ra ở 𝑘 = 0 tỷ lệ với khối lượng tổng cộng. Năng lượng giảm dần theo sự tăng của số sóng; tức là năng lượng tại mỗi bước sóng chiếm ưu thế so với tất cả các bước sóng ngắn hơn. Tuy nhiên, tốc độ giảm năng lượng so với số sóng phụ thuộc vào độ sâu tới khối lượng; khối lượng càng sâu, các bước sóng ngắn càng ít ý nghĩa so với các bước sóng dài của dị thường. Nói cách khác, phương trình (1.16) và hình 1.2 chỉ ra rằng dị thường trọng lực xấp xỉ là một dải bị giới hạn; mặc dù tất cả các số sóng đóng góp vào dị thường, các số sóng lớn nhất tương đối không có ý nghĩa. 11
Hình 1.2. Phổ mật độ năng lượng của các dị thường gây bởi một số vật thể đơn giản. a) Đơn cực tại độ sâu 1km; b) Đường khối lượng thẳng đứng với đỉnh ở 1 km và đáy ở 2 km; Đường thẳng đứng Hãy xem hấp dẫn trọng lực quan sát được trên mặt phẳng nằm ngang và gây bởi một đường thẳng đứng dọc theo trục z từ (0, 0, z1) đến (0, 0, z2), trong đó z2 > z1, như được chỉ ra trên hình 1.3. Khối lượng của một yếu tố dây là 𝜇 = 𝜆𝑑𝑧, trong đó 𝜆 là khối lượng của độ dài đơn vị. Biến đổi Fourier của trường này tìm được bằng cách tích phân phương trình (1.16) dọc theo trục z từ 𝑧1 đến 𝑧2 , ta có: 𝑧2 2𝜋𝛾𝜆 𝑘 𝑧 − 𝑘 𝑧 𝐹 𝑔𝑧 = 2𝜋𝛾𝜆 𝑒𝑘 𝑧0 −𝑧′ 𝑑𝑧′ = 𝑒 0 𝑒 1 − 𝑒 − 𝑘 𝑧2 (1.17) 𝑧1 𝑘 Với 𝑧2 > 𝑧1 , 𝑧1 > 𝑧0 12