Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu sự chuyển pha trong các mô hình lattice bằng phương pháp số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là tính toán điểm chuyển pha trật tự -hỗn loạn khi nhiệt độ của hệ spin tăng dần bằng việc sử dụng các chương trình để mô phỏng hệ spin Ising 2D và xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless (KT) trong mô hình XY. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu sự chuyển pha trong các mô hình lattice bằng phương pháp số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------- Nguyễn Thị Thuần NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------- Nguyễn Thị Thuần NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HOÀNG OANH Hà Nội – 2015
LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS. Nguyễn Hoàng Oanh. Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức chuyên ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập môn học và quá trình thực hiện luận văn này. Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy cô trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn cũng như trong suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường. Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học viên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tình giúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình học tập. Công trình này được hỗ trợ một phần bởi đề tài QG.15.09 "Nghiên cứu một số mô hình Vật lý thống kê bằng phương pháp Monte - Carlo trên hệ thống tính toán không đồng nhất sử dụng GPGPU hiệu năng cao". Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 4 tháng 01 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thuần
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO ..................4 1.1.Giới thiệu ..........................................................................................................4 1.2.Tích phân Monte Carlo ...................................................................................5 1.4.Số ngẫu nhiên ...................................................................................................7 1.5. Lấy mẫu điển hình ........................................................................................11 1.6. Chuỗi Markov ...............................................................................................11 CHƢƠNG II. NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH ISING ....12 2.1. Xây dựng thuật toán và chƣơng trình ........................................................12 2.2. Chạy chƣơng trình ........................................................................................15 CHƢƠNG III. NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH XY ........24 3.1.Thuật toán ......................................................................................................24 3.2. Đƣa hệ về cân bằng nhiệt. ............................................................................25 3.3. Chuyển pha KT định tính. ...........................................................................30 KẾT LUẬN ..............................................................................................................44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................45 PHỤ LỤC .................................................................................................................47
DANH MỤC BẢNG – HÌNH Danh mục bảng Bảng 2.1. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ β .............................................21 Danh mục hình Hình 1.1. Minh họa thuật toán loại trừ ......................................................................10 Hình 2.1. Quá trình tiến tới cân bằng ........................................................................15 Hình 2.2. Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với các giá trị Beta ..............16 Hình 2.3.a. Tìm kiếm điểm chuyển pha ....................................................................17 Hình 2.3.b. Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn) ..............................................18 Hình 2.4. Mô phỏng tại điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[10] .......................19 Hình 2.5.a. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n) ....................20 Hình 2.5.b. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n) ...................20 Hình 2.5. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ .................................................22 Hình 2.6. Kết quả thực nghiệm về sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising[14] ....23 Hình 2.7. Kết quả mô phỏng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising .................23 Hình 3.1. Độ lớn của độ từ hóa của lưới L = 32, T = 0.10 .......................................26 Hình 3.2. Năng lượng của lưới L = 32, T = 0.10 ......................................................26 Hình 3.3. Góc pha spin của lưới L = 32, T = 0.10 ....................................................27 Hình 3.4. Bình phương độ từ hóa của lưới L = 32, T = 0.10 ....................................27 Hình 3.5. Năng lượng, L = 32, T = 0.01. ..................................................................28 Hình 3.6. Độ lớn của độ từ hóa. L = 32, T = 0.01.....................................................29 Hình 3.7. Năng lượng trung bình trên từng spin. L = 32, T = 0.02. .........................29 Hình 3.8. Cấu hình spin giả bền. L = 32, T = 0.10. ..................................................31 Hình 3.9. Cấu hình spin L = 32, T = 0.01. ................................................................32 Hình 3.10. Cấu hình spin. L = 32, T = 0.50. .............................................................32 Hình 3.11 Cấu hình spin. L = 32, T = 0.70. ..............................................................33 Hình 3.12 Cấu hình spin. L = 32, T = 0.80 . .............................................................33 Hình 3.14. Cấu hình spin. L = 32, T = 1.00. .............................................................34 Hình 3.15. Cấu hình spin. L = 32, T = 2.50. .............................................................35
Hình 3.16. Độ lớn của độ từ hóa trên mỗi spin trong vùng nhiệt độ rất thấp với biểu thức xấp xỉ lý thuyết sóng pin. L = 32. .....................................................................36 Hình 3.17. Độ cảm từ của vài hệ với kích thước khác nhau. ....................................37 Hình 3.18 Năng lượng của hệ trên mỗi spin. L = 32. ...............................................37 Hình 3.19. Nhiệt dung riêng. Hệ L = 32. ..................................................................38 Hình 3.20 Bình phương của độ từ hóa tham chiếu với biểu thức xấp xỉ lý thuyết sóng spin. L = 32. ......................................................................................................39 Hình 3.21 ...................................................................................................................40 Hình 3.22. Bình phương góc pha của spin được đo tham chiếu với tổng độ từ hóa tức thời. L = 32. .........................................................................................................40 Hình 3.23. Xuất xoắn cho một vài hệ. Các phép đo liên tiếp được sử dụng, sai số chưa được ướng lượng chính đáng. ...........................................................................42 hình 3.24. Xuất xoắn cho hệ kích thước tuyến tính L = 32. .....................................42
MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu về pha vật chất và sự chuyển pha đã xuất hiện vào những năm 50 của thế kỷ trước. Từ đó đến nay các hiện tượng chuyển pha luôn được các nhà lý thuyết và thực nghiệm quan tâm. Chuyển pha liên quan đến nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau, từ vật lý thống kê, vật lý hạt nhân, hạt cơ bản, đến Vũ trụ học bằng nhiều phương pháp khác nhau, gần đây là phương pháp số dựa trên cơ sở của máy tính hiện đại, cụ thể là phương pháp Monte Carlo dựa trên việc sử dụng các giả số ngẫu nhiên. Phương pháp này được sử dụng rộng rãi có vai trò quan trọng trong vật lý tính toán, như tính toán trong sắc động lực học lượng tử, mô phỏng spin có tương tác mạnh,…Chính vì vậy, luận văn này chúng tôi nghiên cứu Sự chuyển pha trong các mô hình lattice bằng phƣơng pháp số nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình Vật lý thống kê như mô hình I sing và mô hình XY. Mục đích của luận văn : tính toán điểm chuyển pha trật tự - hỗn loạn khi nhiệt độ của hệ spin tăng dần bằng việc sử dụng các chương trình để mô phỏng hệ spin Ising 2D và xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless (KT) trong mô hình XY. Cấu trúc Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và kết luận. Chương 1:Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các phương pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được bằng các phương pháp giải tích.Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp. Giá trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng tích của 2 số hạng: i/ Giá trị trung bình của hàm số trong vùng cần tính; ii/ Kích thước của vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng trong tích phân 1 lớp, diện tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân 3 lớp và tương tự cho tích phân nhiều lớp hơn) 1
Chương 2: Nghiên cứu sự chuyển pha của mô hình Ising Khi nghiên cứu một màng mỏng từ tính của một chất sắt từ có tính bất đẳng hướng đơn trục mạnh, ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising 2 chiều với N spin Si tương tác với nhau và có tổng thống kê nhận giá trị  1   1  S S y     S x    H Z I sin g 2D   exp     2 x  e { S x  1 }    x ,y  x   { S x  1 } Bằng phương pháp giải tíchOnsager[10] đã tìm được điểm chuyển pha loại hai giữa mất trật tự - trật tự tại  c  ln 1    2  0 . 88137 . Thuật toán i, Khởi tạo chương trình; - Khởi tạo chuỗi số ngẫu nhiên - Khởi tạo cấu hình hay đọc cấu hình đã được lưu trữ - Khởi tạo các quy luật, điều kiện biên,... ii, Nâng cấp cấu hình theo một thuật toán nào đó ví dụ như Heat bath; iii, Tính toán đại lượng Vật lý cần đo đạc; iv, Quay lại bước ii cho đến khi lấy đủ thống kê. Để kiểm chứng kết quả với tính toán giải tích của Onsager ta cần phải tính độ từ hóa: 1 M   j S j . V Thực hiện các tính toán như mô tả ở trên với các giá trị β khác nhau từ 0.5 đến 1,5 với 12000 lần nâng cấp cấu hình, chúng tôi tìm được điểm chuyển pha là 0.88 phù hợp với kết quả của Onsager. Chương 3:Nghiên cứu sự chuyển pha của mô hình XY Mô hình XY sử dụngThuật toán Metropolis ngẫu nhiên đảm bảo quét đầy đủ các cấu hình cân bằng của hệ theo phân bố Boltzmann và thuật toán Heatbath với cách chọn spin ngẫu nhiên. Đo đạc trên một hệ Vật lý đòi hỏi hệ phải ở trạng thái cân bằng. Hệ ở đây là mô hình XY hai chiều, thông qua các phương pháp Monte Carlo tạo cấu hình thuộc chuỗi Markov từ cấu hình theo phân bố bất kỳ về trạng thái cân bằng tuân theo phân 2
bố Boltzmann cũng chính là phân bố mà chuỗi Markov hội tụ về sau một khoảng thời gian nào đó.Chúng tôi thực hiện làm nóng đột ngột để đưa hệ về cân bằng trong mọi phép đo. Chúng tôi xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless trong mô hình XY. Chuyển pha KT trong mô hình XY hai chiều là giữa hai pha nhiệt. Một pha ở nhiệt độ thấp không có các xoáy (dương hoặc âm) hoặc có thì các xoáy này ko tồn tại tự do mà đi theo cặp xoáy âm - xoáy dương và liên kết chặt chẽ.Một pha khác ở nhiệt độ cao hơn nhiệt độ nào đó TKT - nhiệt chuyển pha KT, trong pha này các xoáy âm dương xuất hiện ngày càng nhiều theo sự tăng của nhiệt độ. Nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless xác định tại T = 0.9 phù hợp với công bố TKT=0.89294. Phần kết luận dành cho việc tổng hợp những kết quả thu được và thảo luận. 3
CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO 1.1.Giới thiệu Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các phương pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được bằng các phương pháp giải tích. Phương pháp này được đặt tên là Monte Carlo, tên một sòng bạc nổi tiếng ở Monaco, do sự tương đồng về việc sử dụng số ngẫu nhiên trong đánh bạc và nghiên cứu khoa học. Bàn quay rô – lét chính là một máy tạo số ngẫu nhiên đơn giản. Theo nghĩa rộng nhất, bất cứ phương pháp nào sử dụng số ngẫu nhiên đều có thể được quy vào lớp phương pháp Monte Carlo. Quá trình lấy mẫu thống kê có thể tiến hành trên máy tính bằng việc lặp lại một số lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau. Các thuật toán Monte Carlo cũng là phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp tất định khác, chẳng hạn bài toán tính tích phân nhiều lớp. Hiệu quả của phương pháp này so với các phương pháp tất định khác tăng lên khi số chiều của bài toán tăng. Phương pháp Monte Carlo cũng được ứng dụng trong nhiều bài toán tối ưu hóa như trong các ngành tài chính, bảo hiểm. Thông thường phương pháp Monte Carlo được thực hiện với số giả ngẫu nhiên do không thể tạo ra số ngẫu nhiên thực sự trên máy tính mà chỉ có thể thu thập từ các quá trình ngẫu nhiên xảy ra trong thực tế. Các số giả ngẫu nhiên có tính tất định, được tạo ra từ các thuật toán có quy luật có thể lặp lại được khi sử dụng trong cùng điều kiện. Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét bài toán tính số π do nhà toán học Buffon đưa ra vào thế kỉ XVIII. Xét điểm M(x,y) trong đó hai tọa độ x,y được gieo một cách ngẫu nhiên trong khoảng 0
tìm M nằm trong hình tròn là . Bằng cách tính tỉ số giữa tổng điểm nằm trong đường tròn và tổng điểm được gieo ngẫu nhiên ta có thể tính toán xấp xỉ số π. Phương pháp đơn giản này hoạt động theo nguyên tắc thử và sai. 1.2.Tích phân Monte Carlo Trên đây, chúng ta đã nêu ra một ví dụ đơn giản về tính số π bằng phương pháp thử và sai. Trong phần này, chúng ta tìm hiểu một phương pháp chính xác và hệ thống hơn. Phương pháp này đưa bài toán tính số π về bài toán tính tích phân rồi tính tích phân đó bằng cách ước lượng giá trị trung bình của hàm trong vùng lấy tính phân. Diện tích của hình tròn có thể tính được bằng tích phân: với a là bán kính của hình tròn. Như vậy diện tích này có thể ước lượng được bằng phương pháp số truyền thống như phương pháp hình thang, phương pháp Simpson hay các phương pháp tất định khác có độ chính xác cao hơn. Ngoài các phương pháp kể trên, tích phân còn có thể lấy bằng tích của giá trị trung bình của hàm số trong khoảng lấy tích phân và độ lớn (chiều dài) của khoảng lấy tích phân. Giá trị trung bình của hàm số f(x) trong khoảng từ a đến b có thể ước lượng bằng việc sử dụng một tập số ngẫu nhiên {xi} phân bố đều trong khoảng [a,b]. Từ tập hợp đó chúng ta có thể ước lượng giá trị trung bình: 5
Giá trị tích phân khi đó ước lượng bằng: với N là tổng số điểm ngẫu nhiên được sử dụng. Diện tích của đường tròn được ước lượng theo công thức: Và như vậy ta có thể ước lượng giá trị của số pi là Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp. Giá trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng tích của 2 số hạng: - Giá trị trung bình của hàm số trong vùng cần tính. - Kích thước của vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng trong tích phân 1 lớp, diện tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân 3 lớp và tương tự cho tích phân nhiều lớp hơn) Ví dụ tích phân 3 lớp: 1.3. Ƣớc lƣợng sai số Độ lệch chuẩn của ước lượng trung bình một đại lượng trong Monte Carlo: là Với trường hợp N lần thử độ lệch chuẩn sẽ là: Từ công thức tính sai số ở trên ta thấy rằng sai số trong tính tích phân ước lượng tỉ lệ thuận với , độc lập với số lớp tích phân, vì thế phương pháp Monte Carlo 6
sẽ ưu việt hơn các phương pháp tính tích phân truyền thống khi số lớp tích phân càng lớn. Trên đây là ước lượng độ lệch chuẩn khi N giá trị số liệu là độc lập với nhau, khi N giá trị này phụ thuộc vào nhau, chúng ta phải sử dụng các phương pháp khác để tính đến sự tương quan của dữ liệu vào ước lượng của độ lệch chuẩn như kết hợp dữ liệu, Jackknife, Bootstrap. 1.4.Số ngẫu nhiên 1.4.1. Tạo số giả ngẫu nhiên Ta có thể tạo được các tập hợp nhỏ số ngẫu nhiên từ các quá trình ngẫu nhiên trong tự nhiên (như quá trình bức xạ hạt nhân) hay đời sống hàng ngày (như tập hợp kết quả xổ số mở thưởng hàng ngày). Tuy nhiên các tập hợp số ngẫu nhiên này thường quá nhỏ để sử dụng trong một bài toán Monte Carlo điển hình với yêu cầu hàng tỉ số ngẫu nhiên. Có một chương trình tạo số ngẫu nhiên chất lượng cao là việc quan trọng bậc nhất để đảm bảo một chương trình mô phỏng Monte Carlo hoạt động tốt. Số ngẫu nhiên được tạo ra từ một thuật toán nào đó không đảm bảo hoàn toàn được tính ngẫu nhiên vì thuật toán là xác định và có thể lặp lại được. Vì thế các số ngẫu nhiên tạo ra trên máy tính được gọi là các số giả ngẫu nhiên. Một chương trình tạo số giả ngẫu nhiên điển hình thường tạo ra các số ngẫu nhiên nguyên nhận giá trị từ 0 cho đến giá trị lớn nhất có thể được lưu trong máy tính. Mỗi chương trình tạo số ngẫu nhiên đều phải được khởi tạo với một hoặc một tập hợp giá trị bắt đầu, với mỗi tập hợp giá trị khởi tạo ta có một tập hợp số ngẫu nhiên riêng biệt. Một chương trình tạo số ngẫu nhiên phải thỏa mãn các tính chất quan trọng sau đây: - Tính lặp lại: sử dụng cùng một giá trị khởi tạo có thể thu được cùng một chuỗi số ngẫu nhiên với mỗi lần sử dụng chương trình. - Tính ngẫu nhiên: các số ngẫu nhiên trong tập hợp phân bố đồng nhất và không phụ thuộc vào nhau. - Có chu kì dài: các chương trình tạo số ngẫu nhiên phải có chu kì đủ lớn để phục vụ các nghiên cứu sử dụng nhiều số ngẫu nhiên. 7
- Chất lượng chuỗi số ngẫu nhiên không phụ thuộc nhiều vào giá trị khởi tạo. - Đủ nhanh để tạo ra một tập hợp số ngẫu nhiên trong thời gian nhất định. Trong các thư viện chuẩn, chúng ta thường dùng thuật toán đồng dư tuyến tính để tạo ra chuỗi số ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều. Chương trình này sử dụng các hằng số a,c,m để tạo chuỗi ngẫu nhiên là số nguyên phân bố đều trong khoảng từ 0 đến m-1: X i1   aX i  c  m od m Một tập hợp số ngẫu nhiên thực có thể tạo được bằng cách chia cả tập hợp số nguyên trên cho một hằng số phù hợp. Ví dụ chia cho m ta được tập số thực nằm trong khoảng [0,1).Chu kỳ lớn nhất của chuỗi ngẫu nhiên là m, vì vậy các hằng số a, c phải được chọn cẩn thận để đảm bảo chuỗi số có chu kỳ lớn nhất. Thuật toán đồng dư tuyến tính là thuật toán đơn giản nhất để tạo số ngẫu nhiên với chất lượng vừa phải sử dụng ít tài nguyên máy tính. Khi cần có các tập hợp số ngẫu nhiên có chất lượng cao, chúng ta phải sử dụng các phương pháp tốt hơn với nhiều tài nguyên tính toán hơn như thuật toán Fibonacci, thuật toán Mersenne Twister, các thuật toán kết hợp. 1.4.2. Phân bố xác suất Gọi P(x)dx là xác xuất tìm thấy số ngẫu nhiên nằm trong khoảng (x,x+dx), P(x) được gọi là hàm mật độ xác suất. P(x)=0 tương ứng với không có khả năng tìm thấy x, và P(x)=1 tương ứng với khả năng chắc chắn tìm thấy x. Hàm mật độ xác suất P(x) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa sau: Vậy xác suất tìm thấy số ngẫu nhiên nằm trong khoảng [a,b] là . Cho một tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều trong một khoảng nào đó, có hai cách cơ bản để tạo một tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố bất kỳ là phương pháp đổi biến và phương pháp loại trừ. Phương pháp đổi biến 8
Nếu ta có một tập hợp số ngẫu nhiên {x} có hàm mật độ xác suất là p1(x) xác định thì hàm mật độ xác suất p2(y) của tập hợp số ngẫu nghiên {y} được tạo ra bằng cách tác dụng hàm y=y(x) lên tập hợp {x} được xác định theo quy tắc bảo toàn xác suất: |p1(x)dx| = |p2(y)dy| =>p2(y) = p1(x)| | Khi cả hai mật độ hàm mật độ p1(x) và p2(x) là đã biết, chúng ta có thể xác định hàm chuyển đổi y(x) bằng cách tích phân phương trình bảo toàn xác suất: =  P1(x)=P2(y)  y=P2-1(y)[P1(x)] Đối với hàm p1(x) ban đầu là hàm phân bố đều trong khoảng [0,1), p1(x)=1 thì = P1(x)=x.y được tính ngược từ hàm sau x= . Ví dụ: Lấy mẫu biến ngẫu nhiên x có hàm mật độ xác suất f(x)=ae-ax trong khoảng [0,∞) ta có: | |=f(x)=ae-ax nên t= e-ax hay x= - Khi x = 0 thì t = 1 và x = ∞ thì t = 0, do đó ta có thể thu được biến x bằng cách gieo ngẫu nhiên biến t trong khoảng (0,1) và áp dụng công thức: x= - để thu được một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố f(x)=ae-ax trong khoảng [0,∞). Phương pháp loại trừ Phương pháp đổi biến ở trên là một phương pháp tính toán hiệu quả cho phép thu thập các số ngẫu nhiên ở phân bố không đều, tuy nhiên phương pháp này có một nhược điểm là khó có thể áp dụng cho những hàm giải tích phức tạp. Không phải hàm nào cũng tính ra được hàm ngược một cách dễ dàng, do đó cần thiết phải có một phương pháp khác để giải quyết vấn đề này. Phương pháp loại trừ Von Neuman là một phương pháp rất đơn giản trong việc tạo ra số ngẫu nhiên tuân theo mọi phân bố mong muốn. Xét một hàm mật độ xác suất f(x) khác 0 trong khoảng [xmin, xmax] và bằng 0 ở ngoài khoảng này. Gọi C 9
là một hằng số lớn hơn hoặc bằng giá trị cực đại Fmax của hàm f(x). Phương pháp bao gồm gieo N cặp số ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều trong khoảng [xmin, xmax] và [0,C] và chỉ thu nhận những số nằm dưới đường cong f(x). Gọi M là tổng số những cặp số được thu nhận và vm(x)dx là số những cặp số có hoành độ nằm trong khoảng (x, x+dx). Khi mà số lần gieo tiến tới vô cùng tỉ số vm(x) tiến tới giá trị . Hình 1.1. Minh họa thuật toán loại trừ Thuật toán chi tiết: - Tạo một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố đều trong khoảng [xmin, xmax] - Với mỗi giá trị x, gieo một số ngẫu nhiên n theo phân bố đều trong khoảng [0,1]. Giá trị x được chấp nhận giữ lại trong tập hợp nếu >n, nếu không nó sẽ bị loại bỏ khỏi tập hợp. Thuật toán trên cho thấy rằng phương pháp này cho phép tạo ra một mật độ xác suất f(x) bất kì, ngay cả khi hàm này chưa được chuẩn hóa. Phương pháp loại trừ đòi hỏi cần nhiều số ngẫu nhiên hơn phương pháp biến đổi bởi vì một phần số ngẫu nhiên đã gieo bị loại bỏ. Khi đã tính toán được giá trị Fmax thì chúng ta có thể làm tăng hiệu suất tính toán bằng cách đặt C= Fmax. Phương pháp này còn một nhược điểm khác là không phải lúc nào ta cũng xác định được Fmax một cách dễ dàng, việc lựa chọn C theoFmax sẽ quyết định tỉ lệ loại bỏ cao hay thấp. 10
1.5. Lấy mẫu điển hình Phương pháp Monte Carlo hoạt động dựa trên việc lấy mẫu không gian nghiệm của bài toán. Khi trong không gian nghiệm có các vùng có đóng góp lớn hơn đáng kể so với các vùng khác, quá trình lấy mẫu đều trong toàn bộ không gian nghiệm sẽ không hiệu quả, nhất là khi yêu cầu đạt được kết quả chính xác với một khối lượng tính toán không quá lớn. Ví dụ như khi ước lượng giá trị trung bình của hàm số một biến f(x) nào đó trong khoảng [a, b] với N số ngẫu nhiên phân bố đều trong [a, b], độ chính xác của kết quả thu được sẽ phụ thuộc cả vào hình dạng của hàm số f(x) và giá trị N. Trọng số đóng góp của mỗi giá trị f(xi) trong giá trị trung bình tỉ lệ với độ lớn của f(xi). Với cùng giá trị N, hàm số f(x) càng ít biến đổi trong [a, b] thì giá trị trung bình ước lượng được sẽ càng chính xác. Nếu vẽ một đường thẳng song song với trục x và cắt trục y tại giá trị trung bình chính xác, giao điểm này sẽ nằm gần các vùng có giá trị f(x) lớn. Mục đích của chúng ta là tìm giao điểm một cách chính xác nhất có thể với N nhỏ nhất. Để đạt được điều này ta nên sử dụng tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố có dáng điệu gần với dáng điệu của f(x) nhất thay vì dùng tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều. Đây là kỹ thuật lấy mẫu điển hình. 1.6. Chuỗi Markov Trong các phần trên đây chúng ta đã tìm hiểu các tính chất và ứng dụng đơn giản của các tập hợp số ngẫu nhiên. Trong các nghiên cứu khoa học, chúng ta sẽ mở rộng nghiên cứu giải các bài toán bằng việc sử dụng các quá trình ngẫu nhiên. Chuỗi các quá trình ngẫu nhiên được sử dụng nhiều nhất là các chuỗi có tính chất Markov: sự xuất hiện của một sự kiện nào đó chỉ phụ thuộc trực tiếp vào sự kiện xuất hiện ngay trước nó. Ví dụ đơn giản chính là các chuỗi số ngẫu nhiên được tạo ra bởi thuật toán tuyến tính đồng dư được kể đến trong phần 2.2. Trong chương 3 chúng ta sẽ sử dụng các chuỗi cấu hình Markov được tạo ra bởi thuật toán nâng cấp cấu hình Heat bath (buồng nhiệt) với 2 mô hình Ising và XY 2 chiều để giải quyết bài toán chuyển pha giữa hỗn loạn và trật tự. Một số tính chất quan trọng của chuỗi Markov cũng sẽ được đề cập đến khi nghiên cứu các bài toán trên. 11
CHƢƠNG II. NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH ISING 2.1. Xây dựng thuật toán và chƣơng trình Để nghiên cứu các bài toán Vật lý thống kê ta phải mô hình hóa[3,5,9,17]chúng bằng cách đơn giản hóa hệ Vật lý nhưng vẫn giữ được những đặc tính Vật lý đặc thù, chúng ta có thể xây dựng các mô hình thống kê để mô tả tương tác của các hệ Vật lý. Khi nghiên cứu một màng mỏng từ tính của một chất sắt từ có tính bất đẳng hướng đơn trục mạnh, ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising 2 chiều với N spin Si tương tác với nhau và có tổng thống kê nhận giá trị  1   1  S   H Z I sin g 2D   exp     x S y    x    S e (2.1) { S x  1 }  2  x ,y  x   { S x  1 } với spin Si tại nút mạng i có thể hướng lên trên hoặc xuống dưới theo trục dễ định hướng của chất sắt từ đang xét. Tính sắt từ biểu hiện khi một tập hợp các spin nguyên tử sắp xếp sao cho các mô-men từ của chúng đều có cùng hướng, do đó tạo nên mô-men tổng hợp có độ lớn đáng kể. Giả sử rằng mỗi nguyên tử đều có spin là bán nguyên. Như vậy Si = +1 (spin hướng lên), hoặc Si= −1 (spin hướng xuống), trong đó Si là thành phần theo phương z của spin nguyên tử thứ i. Các chỉ số i, j trong (2.1) được thay đổi sao cho chỉ tính đến khoảng cách gần nhất. β tương ứng với số hạng 1/kT thường gặp trong Vật lý thống kê. Số hạng thứ nhất trong (2.1) cho thấy tổng năng lượng bị giảm xuống khi các spin nguyên tử lân cận được sắp xếp cùng chiều. Hiệu ứng này chủ yếu là do nguyên lý ngoại trừ Pauli. Các electron không thể chiếm giữ cùng một trạng thái lượng tử, vì vậy hai electron của hai nguyên tử cạnh nhau, có cùng spin song song (nghĩa là chiếm cùng trạng thái orbital), thì không thể tiến sát nhau. Sẽ không có sự ngăn cản như vậy nếu các electron có spin phản-song song. Những ngăn cách không gian khác nhau ngụ ý rằng tồn tại những năng lượng tương tác tĩnh điện khác nhau. Số hạng thứ hai trong (2.1) đặc trưng cho tương tác với từ trường ngoài. Khi H bằng 0 ta không xét tương tác với trường ngoài, trong trường hợp này mô hình Ising sẽ có 12
chuyển pha loại hai ở tất cả các mô hình có số chiều không gian lớn hơn 1. Trong trường hợp 2 chiều, mô hình này đã được giải bằng phương pháp giải tích bởi Onsager[10], ông tìm được điểm chuyển pha loại hai giữa mất trật tự - trật tự tại   c  ln 1   2  0 . 88137 . Chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp Monte Carlo để kiểm chứng kết quả giải tích này. Bước đầu tiên trong việc sử dụng phương pháp Monte Carlo là xây dựng chương trình mô phỏng. Chương này sau đó được chạy trên máy tính để thu được đủ mẫu thống kê cần thiết. Các kết quả sẽ được xử lý thống kê để thu được giá trị ước lượng và sai số tương ứng. Trong bước đầu tiên, chúng ta phải xác định bài toán và thuật toán mô phỏng một cách rõ ràng. Bài toán Ising 2D sẽ được mô phỏng trên một lưới vuông có kích thước NxN với điều kiện biên tuần hoàn, điều kiện biên phổ biến nhất để giảm ảnh hưởng do sự hữu hạn của lưới mô phỏng mang lại. Như đã đề cập đến trong chương 2, phương pháp Monte Carlo là phương pháp sử dụng các mẫu thống kê để ước lượng giá trị của các đại lượng cần tính toán. Do kích thước lưới không gian ở đây là NxN với mỗi điểm trên lưới được đặt một spin, số lượng cấu hình khả dĩ sẽ là 2NxN. Một cấu hình dạng nhỏ thường được sử dụng trong các nghiên cứu đơn giản có giá trị N = 64 sẽ có 24096 ≈ 101233 cấu hình khả dĩ, một con số vô cùng lớn. Vì thế nếu ta chỉ gieo ngẫu nhiên đơn giản để chọn lựa cấu hình, ta cần phải cần rất nhiều cấu hình so với con số 101233 để có thể có được một kết quả tin cậy được. Việc này là bất khả thi, chúng ta bắt buộc phải sử dụng phương pháp lấy mẫu điển hình để tính tích phân dạng:     1   1 A  Z  dS  A  S  exp  SxS y (2.2)  2  x ,y   ước lượng giá trị trung bình của đại lượng Vật lý A. Phương pháp lấy mẫu điển hình trong trường hợp này sử dụng các thuật toán phù hợp để tìm được một tập hợp các cấu hình tuân theo phân bố:  H     1   0 1 e p S  exp   SxS y  (2.3) Z  2  x ,y   Z 13
với H0 là Hamiltonian khi không có trường ngoài. Các thuật toán được xây dựng bắt đầu từ một cấu hình nào đó được gọi là cấu hình ban đầu. Cấu hình này sẽ được nâng cấp với một thuật toán xác định để tạo thành một chuỗi Markov các cấu hình {S1} {S2}{S3}... Chuỗi này dần sẽ hội tụ đến một tập hợp các cấu hình tuân theo phân bố cân bằng (2.3). Đây là một trong những tính chất quan trọng nhất của chuỗi Markov. Các chuỗi cấu hình này cũng thỏa mãn tính chất Ergodic: bắt đầu chuỗi từ một cấu hình khả dĩ bất kỳ, chuỗi có thể tiến hóa đến bất kỳ cấu hình khả dĩ nào khác (ứng với giá trị năng lượng nào đó). Thuật toán đơn giản nhất để tạo ra một tập hợp cấu hình điển hình là thuật toán Heat bath với xác suất chuyển cấu hình là W  S  S    Ce  H ( S ) , (2.4) không phụ thuộc vào trạng thái của cấu hình xuất phát. Thuật toán này kết hợp với các yếu tố cần thiết khác của phương pháp Monte Carlo được trình bày trong phụ lục B1. Nhìn chung một chương trình Monte Carlo cụ thể sẽ bao gồm các bước sau đây: i, Khởi tạo chương trình; - Khởi tạo chuỗi số ngẫu nhiên - Khởi tạo cấu hình hay đọc cấu hình đã được lưu trữ - Khởi tạo các quy luật, điều kiện biên,... ii, Nâng cấp cấu hình theo một thuật toán nào đó ví dụ như Heat bath; iii, Tính toán đại lượng Vật lý cần đo đạc; iv, Quay lại bước ii cho đến khi lấy đủ thống kê. Để kiểm chứng kết quả với tính toán giải tích của Onsager ta cần phải tính độ từ hóa: 1 M  V  j S j . (2.5) Tính toán độ tự hóa đã được tích hợp trong chương trình được đưa đầy đủ trong phụ lục (Xem phụ lục B1: Chương trình Ising 2D). 14