Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Máy tính bỏ túi và lượng giác trong dạy học chủ đề “Giải tam giác”

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH --------------------------------

Nghiêm Thị Xoa

MÁY TÍNH BỎ TÚI VÀ LƯỢNG GIÁC

TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “GIẢI TAM GIÁC”

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2006

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các từ viết tắt

MỞ ĐẦU ………………………………………………………………...............1

1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát……………………………………...1

2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………………..3

3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu……………………………………………….3

4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu………………………..…………………..5

5. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn…………………………5

Chương1: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI LƯỢNG GIÁC

VÀ MÁY TÍNH BỎ TÚI ………………………………………….....8

1.1. MTBT trong các chương trình…………………………………..................9

1.2. MTBT với “lượng giác” trong các chương trình……………….................11

1.2.1. Chương trình trước thí điểm 2003 ………………………………….11

a) Chương trình THCS 1986……………………………………11

b) Chương trình THPT 1990……………………………………12

c) Chương trình THPT chỉnh lí hợp nhất 2000…………………12

1.2.2. Chương trình thí điểm 2003…………………………………………13

a) Chương trình THCS 2001……………………………………13

b) Chương trình thí điểm THPT 2003…………………………..14

1.3.

“Lượng giác” và ứng dụng để “giải tam giác” trong sách giáo khoa hình

học 10 thí điểm……………………………………………………………15 1.3.1. Tỉ số lượng giác của một góc bất kì (từ 00 đến 1800) …………………19

1.3.2. Hệ thức lượng trong tam giác………………………………………….24

1.3.3. KẾT LUẬN…………………………………………………………….44

Chương 2: PHÂN TÍCH THỰC HÀNH MỘT GIỜ LÊN LỚP CỦA GIÁO VIÊN 45

2.1. Mục đích………………………………………………………………... 45

2.2. Tổ chức toán học và tổ chức didactique: một quan điểm động………….45

2.3.Tổ chức toán học và tổ chức didactique: một quan điểm tĩnh……………51

2.4. Đánh giá tổ chức toán học (tổ chức OM)………………………………..53

Kết luận……………………………………………………………………….56

Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ………………………………….57

3.1. Thực nghiệm đối với giáo viên………………………………………………..58

3.1.1. Phân tích bộ câu hỏi điều tra…………………………………………58

3.1.2. Phân tích những câu trả lời thu được………………………………...63

3.1.3. Kết luận ……………………………………………………………...71

3.2. Thực nghiệm đối với học sinh………………………………………………...72

3.2.1. Mục đích, cách tiến hành thực nghiệm………………………………72

3.2.2. Phân tích a priori……………………………………………………..72

a) Cách xây dựng bộ câu hỏi………………………………………...72

b) Biến didactique…………………………………………………...76

c) Các chiến lược……………………………………………………78

3.2.3. Phân tích a posteriori………………………………………………...89

KẾT LUẬN………………………………………………………………………..98

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

1. Biên bản dự giờ một tiết dạy học của giáo viên

2. Bộ câu hỏi thực nghiệm giáo viên

3. Bộ câu hỏi thực nghiệm học sinh

4. Một số bài làm thu được của học sinh

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê thị Hoài

Châu, giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh,

người đã trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo đã tận tâm giảng dạy,

trang bị cho chúng tôi những kiến thức về didactique Toán và kiến thức của

toàn khoá học. Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:

♦ TS Lê Văn Tiến, Phó phòng đào tạo – ĐHSP TP Hồ Chí minh

♦ TS Đoàn Hữu Hải, Trưởng phòng đào tạo – ĐHSP TP Hồ Chí Minh

♦ GS TS Claude Comiti - Trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I,

Cộng Hoà Pháp

♦ GS TS Annie Bessot - Trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng

Hoà Pháp

♦ GS TS Alain Birebent - Trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I,

Cộng Hoà Pháp

Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Xuân Tú Huyên đã giúp đỡ tôi

chuyển luận văn này sang tiếng Pháp.

Trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu và các bạn đồng nghiệp trong tổ

Toán trường THPT Long thới, THPT Thanh Đa đã tạo điều kiện và giúp đỡ

cho tôi tham gia và hoàn tất khoá học này.

Lời cảm ơn chân thành gởi đến các bạn cùng khoá đã cùng tôi chia

sẻ những niềm vui cũng như những khó khăn trong suốt thời gian học tập.

Cuối cùng, luận văn này không thể hoàn thành nếu không có những

lời động viên và sự giúp đỡ của các thành viên trong gia đình. Xin cảm ơn

gia đình đã luôn ở bên tôi.

Nghiêm Thị Xoa

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

1. MTBT: máy tính bỏ túi

2. SGK: sách giáo khoa

3. THPT: trung học phổ thông

4. THCS: trung học cơ sở

5. SGV: sách giáo viên

6. SBT: sách bài tập

7. GV: giáo viên

MỞ ĐẦU

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT

Ngày nay, bên cạnh những phương tiện hỗ trợ cho việc dạy - học như máy vi tính,

các phần mềm hỗ trợ giảng dạy và học tập,… máy tính bỏ túi (MTBT) đã trở thành

một trong số đồ dùng học tập quen thuộc của hầu hết học sinh, nhất là học sinh ở các

thành phố lớn. Việc dạy - học Toán kết hợp với công cụ MTBT đã trở nên quen thuộc

với học sinh và giáo viên (GV). Vì thế chúng tôi tự hỏi MTBT đã tồn tại như thế nào

trong chương trình và SGK Toán ở trường phổ thông? Đó là câu hỏi đầu tiên khiến

chúng tôi quan tâm.

Như chúng ta đều biết các loại MTBT được sử dụng trong nhà trường phổ

thông hiện nay có chức năng ngày càng được nâng cao và rất dễ sử dụng, nó có thể

cho kết quả các phép tính rất nhanh và tiết kiệm được thời gian tính toán. Vì thế, trong

chương trình mới, với quan điểm tăng cường rèn luyện thực hành tính toán và tăng

cường MTBT trong dạy - học Toán thì chúng tôi có câu hỏi Vai trò của MTBT trong

chương trình mới là gì? Các chức năng và thuật toán có sẵn của MTBT có hạn chế

nào về mặt toán học? và chúng đã được khai thác như thế nào trong chương trình?

Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi gắn những câu hỏi trên với một

đối tượng dạy- học cụ thể là “lượng giác”. Sự lựa chọn này dẫn chúng tôi đến các câu

hỏi: Có những mối liên hệ nào giữa dạy-học “lượng giác” với MTBT? Chương trình

thí điểm có những thay đổi nào về “lượng giác” so với chương trình cũ? Trong dạy-

học “lượng giác”, GV và học sinh đã có những thay đổi gì cho phù hợp với những

quan điểm mới của chương trình?

“Lượng giác” là một nội dung dạy học phong phú. Trong chương trình môn

toán, “lượng giác” được dạy ở cả ba khối lớp của cấp trung học phổ thông(THPT). Đối

với cấp trung học cơ sở (THCS) thì “lượng giác” được đề cập ở cả ba lớp. Cụ thể:

- Ở lớp 10, lượng giác có mặt ở chương Hệ thức lượng trong tam giác và trong

đường tròn và ở phần Góc lượng giác và công thức lượng giác.

- Ở lớp 11, lượng giác được đề cập đến trong phần Hàm số lượng giác và phương

trình lượng giác. Các hàm số lượng giác sau đó còn tiếp tục được nghiên cứu

trong phần giới hạn hàm số, hàm số liên tục và Đạo hàm của các hàm số lượng

giác.

- Ở lớp 12, lượng giác có ở phần ứng dụng của đạo hàm, nguyên hàm-tích phân,

dạng lượng giác của số phức.

Trong số các nội dung này thì theo chúng tôi MTBT có thể được khai thác

nhiều nhất ở phần Hệ thức lượng trong tam giác. Vì thế, để trả lời cho những câu hỏi

đặt ra, đối tượng cụ thể mà chúng tôi lựa chọn là “lượng giác” với “hệ thức lượng

trong tam giác”. Sự lựa chọn này xuất phát từ những lý do sau:

- Các hệ thức lượng trong tam giác thường liên quan đến “lượng giác” và việc

giải một số bài toán mang tính thực tế có liên quan nhiều đến các hệ thức này.

- Các loại MTBT được sử dụng trong trường phổ thông có sẵn các chức năng về

lượng giác.

- Các tính toán liên quan đến lượng giác thường đưa đến vấn đề xấp xỉ số, làm

tròn số và đây lại là một trong số các yếu tố có thể khai thác ở MTBT.

Trong khi ở các nội dung khác thì việc giải các bài toán thường được cho ở dạng

suy luận, biến đổi logic kết hợp vận dụng các công thức lượng giác suy ra kết quả của

bài toán mà hầu như không có tính toán trên các giá trị số cụ thể. Ở những bài toán

này, chủ yếu có thể khai thác MTBT để kiểm tra kết quả cuối cùng.

Chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu chương trình và SGK để tìm các yếu tố trả lời

cho các câu hỏi ban đầu:

- MTBT có vai trò gì trong dạy- học lượng giác ở trường phổ thông ?

- Những nội dung nào của lượng giác đã được thay đổi trong chương trình thí

điểm?

- MTBT tồn tại như thế nào trong chương trình SGK môn toán ở trường phổ

thông?

- Các chức năng có sẵn của MTBT về lượng giác được quy định sử dụng như thế

nào trong chương trình? Và các chức năng này có những hạn chế nào?

Khi nghiên cứu lượng giác với Hệ thức lượng trong tam giác, chúng tôi chỉ xem

xét vấn đề “giải tam giác”. Lý do của sự thu hẹp nội dung nghiên cứu nằm ở chỗ:

- Bài toán giải tam giác thường được gặp trong những bài toán mang tính thực tế

và nó gắn liền với đời sống của con người.

- Các bài toán giải tam giác thường được xét trong trường hợp các số đo được

cho bằng số. Tính toán này thường dẫn đến những giá trị gần đúng mà ở đó

MTBT có thể được sử dụng.

Chúng tôi sẽ chỉ phân tích SGK lớp 10 thí điểm, vì bộ sách này sẽ được chỉnh

lý để đưa vào sử dụng đại trà trên toàn quốc.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Như đã nói ở trên, việc giải các bài toán “giải tam giác” thường đưa đến vấn đề

xấp xỉ số, làm tròn số. Hơn nữa , MTBT cũng chỉ cho kết quả là các số gần đúng nếu

như không là số tự nhiên, số nguyên hay số hữu tỷ. Tuy nhiên trong dạy- học, nhiều

GV không chấp nhận những kết quả có được từ việc sử dụng các chương trình cài sẵn

của MTBT hoặc các kết quả gần đúng nếu không được yêu cầu. Vậy thì, với quan

điểm tăng cường rèn luyện thực hành tính toán và tăng cường MTBT trong dạy- học

toán của chương trình mới thì các nhà làm chương trình đã tính đến những vai trò gì

của MTBT trong dạy- học Toán, nhất là trong các bài toán “giải tam giác”? Liệu

những vai trò đó có được sử dụng triệt để trong thực hành dạy- học “giải tam giác” của

GV và học sinh?

Một cách cụ thể, chúng tôi tự đặt ra cho mình nhiệm vụ tìm những yếu tố cho

phép trả lời các câu hỏi:

MTBT có vai trò gì trong dạy - học “giải tam giác”?

Quan niệm của GV và học sinh về MTBT với tư cách là một phương

tiện dạy- học và với tư cách là một công cụ hỗ trợ tính toán?

Trong thực tế dạy học, MTBT đã được GV và học sinh sử dụng như

thế nào?

3. PHẠM VI LÍ THUYẾT THAM CHIẾU

Để trả lời cho các câu hỏi trên, nghiên cứu của chúng tôi dựa vào khung lý

thuyết tham chiếu là Didactique toán, cụ thể là một số khái niệm của lý thuyết nhân

chủng học (mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học -

praxéologique), tổ chức didactique và khái niệm hợp đồng didactique. Sự lựa chọn này

xuất phát từ những lý do sau:

Khái niệm hợp đồng didactique cho phép ta “giải mã” các ứng xử của GV và

học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích

một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Việc nghiên

cứu các quy tắc của hợp đồng didactique là cần thiết, vì để chuẩn bị cho tương lai, GV

phải xem xét đến quá khứ mà dạng hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của

nó. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi.

Việc dựa vào lý thuyết nhân chủng học cho chúng tôi làm rõ những mối quan

hệ thể chế với tri thức và giữa tri thức với cá nhân nào đó. Qua đó cho chúng tôi biết

tri thức xuất hiện ở đâu, có vai trò gì trong thể chế và việc học tập của cá nhân về tri

thức bị ảnh hưởng bởi những ràng buộc nào trong mối quan hệ với thể chế.

Việc mô hình hoá các hoạt động toán học theo cách tiếp cận của tổ chức toán

học (trong lý thuyết nhân chủng học) sẽ giải thích được thực tế của hoạt động toán học

theo những quan điểm khác nhau và bằng những cách khác nhau thành một hệ thống

các nhiệm vụ xác định. Đánh giá từng thành phần của tổ chức toán học cho biết chúng

có được nêu lên một cách rõ ràng hay không? Có dễ hiểu không? phạm vi hợp thức

như thế nào? Có đáp ứng nhu cầu hiện tại và trong tương lai?

Nghiên cứu các tổ chức toán học là công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và là

công cụ phân tích thực tế dạy học. Việc chỉ rõ các mối quan hệ với tri thức cũng giúp

ta xác định một số quy tắc của hợp đồng didactique.

Việc nghiên cứu các tổ chức toán học có trong SGK sẽ cho phép tạo ra sự phá

vỡ hợp đồng diadctique, tạo nên sự phát triển cho tri thức mới.

Liệu thực tế dạy - học có có khác với những gì được trình bày trong SGK? Yếu

tố lý thuyết tham chiếu có thể trả lời cho câu hỏi này là “tổ chức didactique”. Việc

nghiên cứu các tổ chức didactique và các thành phần của nó cho phép giải thích sự

khác nhau giữa những gì được trình bày trong SGK với thực hành dạy - học của GV.

Trong tiết thực hành dạy- học đó, các tổ chức toán học nào đã được xây dựng và chúng

đã được xây dựng bằng cách nào? Nói cách khác, hiện thực toán học (tổ chức toán

học) được xây dựng trong lớp học nghiên cứu về một chủ đề toán học cụ thể nào đó là

gì? GV đã tổ chức cho học sinh nghiên cứu các tổ chức toán học đó như thế nào? Các

quy tắc hợp đồng didactique nào đã xuất hiện ngầm ẩn trong giờ học? Qua đó, chúng

ta có thể xây dựng những tình huống hoạt động toán học phù hợp với tri thức, nghĩa là

tạo ra những tình huống didactique thích đáng.

4. TRÌNH BÀY LẠI CÂU HỎI NGHIÊN CỨU

Với khung lý thuyết tham chiếu và giới hạn đề tài đã chọn, chúng tôi trình bày lại

dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm câu trả lời chính là mục đích nghiên cứu của

luận văn:

Q1: Những nội dung nào của lượng giác được trình bày trong các SGK phổ

thông. Nó xuất hiện ở lớp mấy? MTBT đóng vai trò gì?

Q2: Những tổ chức toán học nào được xây dựng liên quan đến nội dung “Giải

tam giác”? Những kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật nào được ưu tiên thể hiện trong SGK?

Q3: Những quy tắc hợp đồng didactique nào liên quan đến giải tam giác? đến

MTBT?

Q4: Những dấu hiệu nào của SGK thể hiện trong bài “giải tam giác” liên quan

đến vấn đề xấp xỉ và tính toán gần đúng?

Q5: Trong thực tế dạy học, những tổ chức toán học và tổ chức didactique nào

đã được xây dựng liên quan đến “giải tam giác”? và MTBT đã được sử dụng như thế

nào?

5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Trong phần mở đầu của luận văn chúng tôi nêu lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất

phát, giới hạn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp

nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.

Để trả lời các câu hỏi đã đặt ra ở phần mở đầu, chúng tôi tiến hành nghiên cứu

chương trình và SGK. Phần này được trình bày trong chương 1. Với mục đích làm rõ

vai trò của MTBT với “lượng giác” trong dạy- học giải tam giác, trước hết chúng tôi sẽ

nghiên cứu sự tiến triển của MTBT qua các chương trình phổ thông Việt Nam và phần

nghiên cứu này được kế thừa từ luận văn của Nguyễn Thị Như Hà “ Máy tính bỏ túi

trong dạy- học Toán: trường hợp Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10” (năm

2004). Sau đó, chúng tôi cũng cần tìm hiểu xem những nội dung lượng giác nào đã

được đưa vào chương trình phổ thông và MTBT có vai trò gì trong các nội dung đó.

Để tiến hành các nghiên cứu này, chúng tôi sẽ dựa vào SGK, sách bài tập (SBT),

chương trình, sách giáo viên (SGV) và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy. Qua đó,

chúng tôi cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactique đặc thù cho tri

thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hoá việc sử dụng tri thức, vì việc

sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của

tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức. Những tiêu chí xác định

tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc vào bản thân tri

thức nữa mà còn phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactique. Vì thế, chúng

tôi tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế với MTBT trong dạy học lượng giác mà

giới hạn là trong “giải tam giác”.

Theo Bosch.M và Chevallard Y, 1999: “Mối quan hệ thể chế với một đối

tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp

những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật

xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong

suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay

đồng thời) dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên.”

Do đó, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với một đối tượng tri thức, trong thể chế, có

thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với tri

thức. Việc chỉ rõ các tổ chức toán học liên quan đến tri thức cũng giúp ta xác định một

số quy tắc của hợp đồng didactique: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm

gì, có thể sử dụng tri thức như thế nào chẳng hạn.

Nghĩa là, với khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi cố gắng chỉ ra các

tổ chức toán học đã được trình bày trong phần lý thuyết, đồng thời làm rõ chúng trong

phần bài tập (trong cả SGK và SBT tương ứng). Việc chỉ ra các tổ chức toán học và

tìm cách phân tích, đánh giá chúng cũng giải thích phần nào các câu hỏi mà chúng tôi

đã nêu ở trên, từ đó cho phép chúng tôi chỉ ra những quy tắc của hợp đồng didactique

liên quan đến “giải tam giác” và liên quan đến MTBT.

Ở Chương 2, chúng tôi sẽ phân tích thực hành của GV về tiết học “giải tam giác

và ứng dụng” mà chúng tôi đã dự giờ ở một trường phổ thông Qua đó, làm rõ những

tổ chức toán học và tổ chức didactique đã được GV xây dựng trong tiết học này, từ đó

tiến hành so sánh và đối chiếu với những tổ chức toán học đã tìm được trong phần

phân tích SGK.

Kết quả nghiên cứu của chương 1 và 2 cho phép chúng tôi đưa ra các giả thuyết

liên quan đến MTBT trong dạy học giải tam giác. Để kiểm chứng tính thoả đáng của

những giả thuyết đó, chúng tôi phải tiến hành một nghiên cứu thực nghiệm. Nghiên

cứu này được trình bày trong chương 3. Chúng tôi tiến hành làm thực nghiệm trên hai

đối tượng là GV và học sinh - đang dạy và học theo chương trình thí điểm mà chúng

tôi nghiên cứu. Đối với GV, chúng tôi sẽ phát phiếu thăm dò ý kiến của họ. Đối với

học sinh, chúng tôi sẽ cho học sinh làm việc cá nhân trên các câu hỏi thực nghiệm

(chia làm hai phần). Học sinh sẽ được đặt trong những tình huống phá “vỡ hợp đồng”

(hay trong những tình huống khác lạ so với những gì các em đã từng làm quen). Các

kết quả thu được từ thực nghiệm sẽ được so sánh với các phân tích a priori trước đó, từ

đó dẫn chúng tôi đến chỗ khẳng định, phủ định hay phủ định một phần các giả thuyết

nghiên cứu đã nêu ra.

Cuối cùng là phần kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn.

CHƯƠNG 1:

NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI

LƯỢNG GIÁC VÀ MÁY TÍNH BỎ TÚI

Để tìm hiểu mối quan hệ thể chế với lượng giác và MTBT, chúng tôi sẽ tiến

hành nghiên cứu chương trình và SGK được sử dụng trong các trường THPT từ năm

1990 đến nay, qua đó làm rõ sự tiến triển trong quan điểm của noosphère về vai trò

của MTBT trong dạy- học toán. Mặt khác, việc tiến hành nghiên cứu sơ lược các

chương trình tương ứng ở tiểu học và THCS sẽ cho phép làm rõ sự liên thông giữa các

bậc học.

Năm 1981, cuộc cải cách giáo dục (bắt đầu từ lớp 1) diễn ra trên toàn quốc và

được thực hiện theo kiểu “cuốn chiếu”. Nghĩa là 5 năm sau, vào năm 1986-1987 thì

tiến hành thực hiện chương trình mới ở cấp THCS (bắt đầu là lớp 6) và chương trình

cải cách THPT bắt đầu triển khai ở lớp 10 vào năm 1990-1991 (4 năm sau). Trong 10

năm ở cấp THPT này tồn tại 3 bộ SGK trong khi ở tiểu học và THCS chỉ có 1 bộ.

Theo tinh thần giảm nhẹ nội dung và yêu cầu đối với học sinh, người ta đã hợp nhất ba

bộ sách này vào năm 2000 thành một bộ sách chung gọi là chương trình và SGK chỉnh

lí hợp nhất 2000 (không có sự thay đổi nào về chương trình và SGK ở tiểu học và

THCS).

Nhằm làm rõ sự liên thông và sự kế thừa giữa các chương trình, chúng tôi sẽ

xem xét chương trình tiểu học 1981, THCS 1986, THPT 1990 và chỉnh lí hợp nhất

2000 gọi là chương trình trước thí điểm 2003

Kể từ năm 2000-2001, SGK thí điểm soạn thảo theo chương trình mới được

triển khai ở cả hai cấp tiểu học (bắt đầu cho lớp 1) và THCS (bắt đầu cho lớp 6). Một

năm sau đó (vào năm 2001-2002) thì tiến hành triển khai SGK đại trà trên toàn quốc

cho cả hai khối lớp này. Nghĩa là song song với việc học SGK mới ở lớp 1 và lớp 6 thì

ở lớp 2 và lớp 7 tiếp tục học SGK thí điểm. Vào năm học 2003-2004, chương trình và

SGK THPT phân ban được tiến hành dạy thí điểm ở một số trường THPT và dự kiến

đến năm 2006-2007 tiến hành triển khai đại trà trên toàn quốc. Như vậy, lần thay đổi

chương trình này không thực hiện theo kiểu “cuốn chiếu” nữa.

Mặt khác, nội dung “lượng giác” trong chương trình thí điểm lại được dạy ở cả

lớp 9 và ở cấp THPT. Vì thế, khi phân tích chương trình và SGK thí điểm 2003, chúng

tôi sẽ xem xét sơ qua chương trình THCS 2001-2002 để tìm kiếm sự kế thừa liên quan

đến “lượng giác” và MTBT.

1.1. MTBT TRONG CÁC CHƯƠNG TRÌNH

Sự tiến triển của MTBT trong các chương trình phổ thông đã được Nguyễn Thị

Như Hà nghiên cứu và trình bày trong “Máy tính bỏ túi trong dạy-học Toán: trường

hợp Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10”. Vì thế, trong phần này, chúng tôi sẽ

tóm tắt những kết quả mà tác giả Như Hà đã nghiên cứu được để bổ sung và làm rõ

hơn trọng tâm nghiên cứu luận văn của mình.

1.1.1. Chương trình trước thí điểm 2003:

♦ Chương trình tiểu học 1981:

MTBT xuất hiện lần đầu tiên ở lớp 5, với vai trò chủ yếu là kiểm tra kết quả

phép tính. Yêu cầu đối với học sinh là “nắm được cách sử dụng máy tính bỏ túi để

kiểm tra kết quả tính toán thông thường với các phép tính cộng, trừ, nhân, chia”.

♦ Chương trình THCS 1986:

Chương trình lớp 6 giới thiệu bài “Máy tính điện tử- Máy tính bỏ túi”, đồng

thời người ta cũng đưa vào Bảng Brađixơ tích đúng của các số có hai chữ số. Tuy

nhiên, vai trò của MTBT vẫn rất mờ nhạt. Cụ thể là trong SGK chỉ có 1 bài tập có yêu

cầu tường minh dùng MTBT để tính toán (xuất hiện trong bài “Máy tính điện tử- Máy

tính bỏ túi”), sau đó thì không đề cập đến nó nữa.

Chương trình lớp 7 không đề cập gì đến MTBT mặc dù có nhiều nội dung có

thể khai thác việc sử dụng MTBT.

Ở chương trình lớp 8, MTBT cũng không được đề cập đến mặc dù người ta có

thể khai thác trong nhiều nội dung (điển hình như “lượng giác”). Tuy nhiên, chương

trình lại giới thiệu bảng lượng giác thay vì MTBT.

MTBT được đề cập trở lại vào chương trình lớp 9 (sau chương “Số thực- Căn

bậc hai”) nhưng vai trò của nó vẫn không được chú trọng bằng Bảng căn bậc hai. Điều

này được thể hiện ở các kiểu nhiệm vụ chỉ dành cho tính toán bằng tay và sử dụng

bảng căn bậc hai mà không có bài tập nào dành cho MTBT (ngoại trừ hai ví dụ trong

SGK).

Vì thế, chúng tôi đồng ý với tác giả Nguyễn Thị Như Hà: trong chương trình

THCS 1986 “Máy tính bỏ túi được giới thiệu cho học sinh biết như là một công cụ hỗ

trợ tính toán nhanh và gọn. Vai trò của máy tính bỏ túi vẫn “rất mờ nhạt” sau các

bảng, biểu”. ( Nguyễn Thị Như Hà, trang 12)

♦ Chương trình THPT 1990:

MTBT hoàn toàn không được đề cập đến trong chương trình này. Vì thế, có thể

kết luận rằng “Máy tính bỏ túi đã bị “lãng quên” trong chương trình THPT 1990”

(Nguyễn Thị Như Hà, trang 16).

♦ Chương trình THPT chỉnh lí hợp nhất 2000:

MTBT chỉ được đề cập đến trong phần “giải tam giác”. Điểm này được thể hiện

trong Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10, trang 70: “Mục giải tam giác bắt buộc

học sinh phải dùng máy tính bỏ túi, đây là dịp cho học sinh làm quen với việc sử dụng

loại máy tính này”. Hơn nữa, chương trình (Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10,

trang70) cũng yêu cầu “Khi tính toán, cần nhắc lại cho học sinh thực hiện đúng quy

tắc tính toán các số gần đúng”. Sau đó nó không còn được nhắc đến nữa.

KẾT LUẬN

Chúng tôi lấy lại kết luận mà tác giả Nguyễn Thị Như Hà đã nêu trong luận

văn của mình:

“Trong các chương trình trước thí điểm, máy tính bỏ túi mờ nhạt sau các bảng

biểu. Nó xuất hiện với hai vai trò chính là:

- Kiểm tra kết quả phép tính.

- Hỗ trợ tính toán.

Ở giai đoạn này kiểu nhiệm vụ tính gần đúng chưa được khai thác”. (trang 17)

1.1.2. Chương trình thí điểm 2003:

Như chúng tôi đã trình bày ở trên, chương trình mới THCS được triển khai đại

trà từ năm 2001-2002 (gọi là chương trình THCS 2001), tương ứng với chương trình

này, ở bậc THPT cũng có một chương trình mới, được tiến hành thí điểm vào năm

2003, nghĩa là đến thời điểm này, chương trình thí điểm đã được tiến hành triển khai

đủ ở cả ba khối lớp của bậc THPT (lớp 10, 11, 12) và chương trình mới THPT sẽ được

triển khai đại trà ở khối lớp 10, bắt đầu từ năm học 2006-2007.

♦ Chương trình THCS 2001:

Chủ trương chung của chương trình mới lần này là “tăng cường sử dụng MTBT

để giảm nhẹ những khâu tính toán không cần thiết”. Vì thế trong SGK, người ta tăng

cường giới thiệu các bài hướng dẫn sử dụng MTBT và thiết kế các kiểu nhiệm vụ có

yêu cầu tường minh việc tính toán bằng MTBT mà đặc biệt là các bài có tính toán gần

đúng.

MTBT vẫn giữ vai trò chủ yếu là công cụ hỗ trợ tính toán nhưng nó đã có vai

trò ngang hàng với các bảng, biểu.

♦ Chương trình thí điểm THPT 2003:

Ngoài vai trò hỗ trợ tính toán, MTBT trong chương trình thí điểm 2003 tiếp tục

được khai thác trong các bài toán có tính gần đúng, đặc biệt là việc sử dụng các

chương trình cài sẵn trong máy như các chức năng về lượng giác, giải phương trình

(bậc hai), hệ phương trình (bậc nhất hai ẩn)… Tuy nhiên thể chế chỉ mong muốn học

sinh “sử dụng các thuật toán kết hợp với máy tính bỏ túi”(Nguyễn Thị Như Hà, trang

20).

KẾT LUẬN

Chương trình thí điểm lần này có quan tâm đến MTBT nhiều hơn, thể hiện ở số

lượng bài tập có yêu cầu tường minh sử dụng MTBT đã xuất hiện và ngày càng tăng

so với các SGK trước đó; hơn nữa còn thể hiện ở những bài hướng dẫn sử dụng

MTBT; tuy nhiên nó vẫn chủ yếu được xem là công cụ hỗ trợ tính toán.

1.2. MTBT VỚI “LƯỢNG GIÁC ” TRONG CÁC CHƯƠNG TRÌNH

Các khái niệm của lượng giác chỉ xuất hiện từ bậc THCS. Vì thế, chúng tôi sẽ

xem xét các nội dung của “lượng giác” trong các chương trình THCS và THPT cùng

với vai trò cụ thể của MTBT trong các nội dung đó.

1.2.1. Chương trình trước thí điểm 2003:

a) Chương trình THCS 1986

“Lượng giác” chưa xuất hiện trong chương trình lớp 6 và 7. Nó được đưa vào

lần đầu tiên ở lớp 8 khi học sinh học về “Tỉ số lượng giác của góc nhọn”. Mục đích

chủ yếu là áp dụng “giải tam giác vuông” và “giải các bài toán thực tế” (đưa về giải

tam giác vuông).

MTBT không được đề cập đến trong chương trình này cho nên nó không có vai

trò gì đối với “lượng giác”.

b) Chương trình THPT 1990

Trong chương trình hình học 10, “lượng giác” được đưa vào chương “Hệ thức

lượng trong tam giác, trong đường tròn”. Để mở rộng khái niệm “Tỉ số lượng giác của

góc nhọn” đã học trong chương trình lớp 8, chương trình lớp 10 giới thiệu Hàm số lượng giác của góc α (00 ≤ α ≤ 1800) để ứng dụng chứng minh các công thức của tích

vô hướng, các hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn và các bài toán về giải

tam giác.

“Lượng giác” tiếp tục được giảng dạy trong chương trình lớp 11 qua hai phần

“Hàm số lượng giác” và “Phương trình lượng giác”. Lúc này, các hàm số lượng giác được định nghĩa cho các góc bất kì chứ không phải là góc trong đoạn từ 00 đến 1800

như ở lớp 10. Chương trình đưa vào các định nghĩa liên quan đến số đo góc, định

nghĩa góc (cung) lượng giác, các phương trình lượng giác; sơ lược về các hệ phương

trình lượng giác, bất đẳng thức và bất phương trình lượng giác và cả các khái niệm về

hàm số lượng giác ngược (biết các kí hiệu arcsinx, arccosx, arctgx và arccotgx; đồ thị

các hàm số lượng giác ngược và ý nghĩa của chúng).

Lượng giác tiếp tục được đề cập đến trong chương trình lớp 11 ở một số nội

dung như giới hạn của hàm số lượng giác, hàm số liên tục, phương trình (bất phương

trình) mũ và logarít (có chứa hàm số lượng giác) …

Trong chương trình lớp 12, lượng giác lại xuất hiện trong phần đạo hàm, tích

phân các hàm số lượng giác…. Tuy nhiên, nó chỉ có rải rác trong các nội dung này.

MTBT vẫn không có vai trò gì với lượng giác trong chương trình THPT 1990.

c) Chương trình THPT chỉnh lí hợp nhất 2000

Các nội dung của lượng giác vẫn như chương trình 1990. Tuy nhiên, theo tinh

thần giảm tải của Bộ giáo dục, chương trình lần này có lược bỏ bớt một số nội dung ở

lớp 11. Cụ thể như sau:

- Bỏ hàm số lượng giác ngược. Do đó, các kí hiệu liên quan đến hàm số

lượng giác ngược trong tích phân lớp 12 và trong giải các phương trình lượng

giác được viết cách khác, ví dụ như:

tgx = 1/5 ⇒ x = arctg1/5 + kπ, k∈Z.

Thay cho cách viết này, ta sẽ viết x = α+ kπ, k∈Z với α là cung mà tgα=1/5.

- Bỏ phần bất đẳng thức và bất phương trình lượng giác.

- Giảm bớt các bài tập biện luận theo tham số khi giải các phương trình

lượng giác, giảm các bài tập về nhận dạng một tam giác thoả mãn một hệ thức

lượng giác nào đó.

Điểm khác biệt trong chương trình lần này là thuật ngữ “tỉ số lượng giác” được

sử dụng thay cho thuật ngữ “hàm số lượng giác” (của chương trình 1990).

Như đã nghiên cứu trong phần 1.1, MTBT được chương trình lần này quan tâm

hơn, đó là “bắt buộc” học sinh phải sử dụng nó trong phần “giải tam giác”. Sau đó,

MTBT không được đề cập đến nữa.

Kết luận

Các nội dung “lượng giác” trong chương trình 2000 đã được giảm nhẹ hơn so

với chương trình trước đó. MTBT chỉ “bắt buộc” phải được sử dụng trong bài giải tam

giác ở lớp 10 với vai trò hỗ trợ tính toán.

1.2.2. Chương trình thí điểm 2003:

Như chúng tôi đã giới thiệu, tương ứng với chương trình thí điểm THPT 2003

là chương trình THCS 2001. Vì vậy, chúng tôi sẽ xem xét sơ qua chương trình này

trước khi nghiên cứu chương trình THPT 2003 để tìm sự kế thừa của chúng.

a) Chương trình THCS 2001

Trong chương trình 2001, lượng giác xuất hiện ở lớp 9 (chứ không phải ở lớp 8

như chương trình trước thí điểm) trong phần Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cũng như chương trình THCS 1986, “Tỉ số lượng giác của góc nhọn” được đưa vào

với mục đích để áp dụng Giải tam giác vuông và các bài toán mang tính thực tế (đưa

về giải tam giác vuông). Nó cũng có trong chương trình Đại số 9 với mục đích là tính

các “hệ số góc” của đường thẳng (hệ số góc của đường thẳng y=ax+b là a=tgα với α là

góc hợp bởi chiều dương của trục Ox với phần đường thẳng nằm trên trục Ox).

“Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi” được giới thiệu tường minh. Tuy nhiên

MTBT chỉ được thể hiện trong SGK dưới dạng “bài đọc thêm” nên việc luyện tập sử

dụng MTBT là trách nhiệm của học sinh, không phải là trách nhiệm của GV.

Kết luận: Trong chương trình THCS 2001, Lượng giác chỉ xuất hiện ở lớp 9,

ngoài ra nó không còn xuất hiện ở đâu nữa. MTBT đã được giới thiệu tường minh

nhưng vẫn giữ vai trò ngang hàng với bảng lượng giác (như đã kết luận trong phần

1.1).

b) Chương trình thí điểm THPT 2003

SGV Đại số 10 thí điểm, trang 7, ở phần những điểm mới trong chương trình có

nói rõ sự thay đổi một số nội dung: “…có thêm hai nội dung mới là thống kê (8 tiết) và

góc lượng giác và công thức lượng giác (12 tiết)”; “Điểm đặc biệt là trong chương

trình có một chương về lượng giác, đúng ra là mở đầu về lượng giác” (trang 8), “Hầu

hết các chương đều đề cập đến vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi và tính gần đúng”.

Như vậy, lượng giác được đưa vào trong cả chương trình Hình học và Đại số 10 thí

điểm. Cụ thể, nó được trình bày ở Đại số 10 qua chương “Góc lượng giác và công

thức lượng giác”; và ở hình học 10 là chương “Hệ thức lượng trong tam giác, trong

đường tròn”. Nghĩa là nếu như “góc lượng giác và công thức lượng giác” được dạy ở

lớp 11 (chương trình 2000) thì bây giờ đưa xuống lớp 10 thí điểm.

Vì lí do trên nên ở lớp 11 lúc này chỉ còn Hàm số lượng giác và phương trình

lượng giác. Hơn nữa, chương trình thí điểm phân ban lại đưa nội dung “Đạo hàm”

xuống lớp 11 nên lượng giác cũng liên quan đến đối tượng này.

Chương trình lớp 12 giới thiệu thêm nội dung mới là “Số phức”; như thế lượng

giác có mặt trong “Dạng lượng giác của số phức”.

Các nội dung khác của lượng giác vẫn là các nội dung của chương trình chỉnh lí

hợp nhất THPT 2000 (theo chương trình giảm tải của bộ giáo dục).

Về MTBT, chương trình lần này có quan tâm hơn. Ở chương “Hệ thức lượng

trong tam giác và trong đường tròn”, SGV hình học 10 thí điểm (bộ thứ nhất, trang

41) nêu rõ “Ngoài một số công thức cần nhớ, chương này giúp học sinh luyện tập tính

toán, và đây là dịp tốt để học sinh sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT) nếu có điều kiện”,

“Nếu có điều kiện nên hướng dẫn học sinh sử dụng MTBT loại…..”. Trên tinh thần

này, SGK có các phần hướng dẫn sử dụng MTBT sau những nội dung có thể ứng dụng

MTBT chẳng hạn như sau các định lí cosin và định lí sin trong tam giác, hay sau bài

Giải tam giác. Các phím chức năng về lượng giác có trên MTBT đã được giới thiệu

tường minh. Tuy nhiên, MTBT vẫn giữ vai trò chính là công cụ hỗ trợ tính toán (đã kết

luận ở 1.1).

1.3. “LƯỢNG GIÁC” VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ “GIẢI TAM GIÁC” TRONG SÁCH

GIÁO KHOA HÌNH HỌC 10 THÍ ĐIỂM.

Nghiên cứu của chúng tôi dựa trên các khái niệm của tổ chức toán học và khái

niệm hợp đồng didactique. Cụ thể hơn, trong nghiên cứu dưới đây chúng tôi sẽ sử

dụng những khái niệm này để là rõ quan hệ của thể chế được nghiên cứu với MTBT,

những quy tắc của hợp đồng didactique liên quan đến MTBT và lượng giác.

Như chúng tôi đã giới hạn trong phần lý do chọn đề tài, nghiên cứu SGK sẽ tập

trung vào nội dung Hệ thức lượng trong tam giác – mà trọng tâm là “giải tam giác”.

“Giải tam giác” có thể được hiểu theo hai nghĩa “hẹp” và “rộng”. Theo nghĩa “hẹp” thì

giải tam giác là tìm góc và cạnh của tam giác khi biết một số yếu tố của nó; còn theo

nghĩa “rộng” là tìm các yếu tố của tam giác như góc, cạnh, chiều cao, diện tích, độ dài

đường trung tuyến,...

Luận văn này sẽ nghiên cứu “giải tam giác” theo nghĩa “hẹp”. Chúng tôi giới

hạn như vậy với lý do sau: Trong các hệ thức lượng trong tam giác, có thể kể ra ở đây

là định lý sin, định lý cosin, các hệ thức về độ dài đường trung tuyến và các công thức

tính diện tích tam giác (liên quan đến chiều cao, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại

tiếp,..) thì chỉ có định lý sin, cosin và một công thức tính diện tích tam giác có gắn với

lượng giác.

Theo nghĩa đó, chúng tôi cho rằng có thể có các kiểu nhiệm vụ sau:

- T1: Giải tam giác khi biết hai góc và một cạnh.

- T2: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc.

Trong đó chúng tôi phân biệt:

T21: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc xen giữa.

T22: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa.

- T3: Giải tam giác khi biết ba cạnh.

- T4: Giải tam giác khi biết các yếu tố khác (không phải là cạnh và góc như các

kiểu nhiệm vụ trên).

Trước hết, chúng ta hãy xem xét những kỹ thuật có thể sử dụng để giải quyết

các kiểu nhiệm vụ này. Đây chỉ là một sự phân tích thuần tuý về mặt toán học. Chúng

tôi sẽ dựa vào phân tích này để xem xét SGK.

►T1: Giải tam giác khi biết hai góc và một cạnh của nó

Có hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này.

• τ1s: Dùng định lí sin

Tính góc thứ ba (dựa vào tính chất tổng ba góc trong tam giác).

Tính hai cạnh bằng định lí sin

θ1s: Công thức định lí sin, tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800.

Θ1s: Chứng minh của định lí sin và các yếu tố để chứng minh nó. Định lí về tổng

ba góc trong một tam giác bằng 1800.

(trong kỹ thuật này bao gồm cách tính qua trung gian hoặc không qua trung gian

bán kính đường tròn ngoại tiếp R)

• τ1sc: Kết hợp định lí sin và cosin.

Tính góc thứ ba (dựa vào tính chất tổng ba góc trong tam giác)

Tính cạnh thứ hai nhờ định lí sin, tính cạnh thứ ba nhờ định lí cosin

θ1sc: Công thức định lí sin và cosin, tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng

1800

Θ1sc: Đó là Θ1s và chứng minh của định lí cosin (cùng với các yếu tố để chứng

minh nó).

► T2: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc

(cid:153) T21: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc xen giữa.

Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này có 2 kỹ thuật sau

• τ21c: Dùng định lí hàm số cosin

Tính cạnh còn lại bằng định lí hàm số cosin

Tính số đo một trong hai góc còn lại bằng định lí cosin

Tính góc thứ ba (tổng ba góc trong tam giác hoặc công thức cosin)

θ21c: Công thức định lí cosin

Θ21c: Chứng minh của định lí cosin và các yếu tố để chứng minh nó.

• τ21cs: Kết hợp định lí cosin và sin

Tính cạnh còn lại dựa vào định lí hàm số cosin

Tính 1 trong 2 góc còn lại bằng định lí sin.

Tính góc thứ ba

θ21cs: Như θ1sc

Θ21cs: Như Θ1s và Θ21c

(cid:153) T22: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa

Có 3 kỹ thuật sau:

• τ22s: Dùng định lí sin

Tính góc thứ hai (tương ứng với một trong hai cạnh đã biết) bằng định

lí sin (trực tiếp, hoặc qua trung gian bán kính R)

Tính góc thứ ba

Tính cạnh thứ ba bằng định lí sin

θ22s: Như θ1s

Θ22s: Như Θ1s

• τ22c: Dùng định lí cosin

Tính cạnh thứ ba nhờ định lí cosin tương ứng với góc đã biết

Tính góc thứ hai bằng định lí cosin

Tính góc thứ ba

θ22c: Như θ21c

Θ22c: Như Θ21c

• τ22cs: Kết hợp định lí sin và cosin

Thực hiện bước thứ nhất và thứ hai giống τ22s, bước thứ ba tính bằng định lí

cosin.

Hay thực hiện τ22c giữ nguyên bước 1 và 3, còn bước hai thì dùng định lí sin.

θ22cs: Như θ1sc

Θ22cs: Như Θ22cs

► T3: Giải tam giác khi biết ba cạnh

Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, có thể dùng các kĩ thuật sau:

• τ3c: Dùng định lí cosin

Tính ba góc bằng định lí cosin (hoặc hai góc, góc còn lại tính theo tính chất về

tổng ba góc trong một tam giác).

θ3c: Như θ21c

Θ3c: Như Θ21c

• τ3cs: Kết hợp định lí cosin và sin

- Tính góc thứ nhất bằng định lí cosin

- Tính góc thứ hai bằng định lí sin

- Tính góc thứ ba

Phạm vi hợp thức của kĩ thuật này là: Góc thứ nhất hoặc góc thứ ba là góc lớn

nhất của tam giác và góc thứ ba luôn được tính bằng tính chất tổng ba góc trong một

tam giác (nếu tính góc thứ hai là góc nhọn được suy ra từ định lí sin)

θ3cs: Như θ1sc

Θ3cs: Như Θ21cs

Ngoài ba kĩ thuật trên, có thể tính các góc của tam giác thông qua tính diện tích

tam giác, từ đó tính các góc bằng định lí sin.

►T4: Giải tam giác khi biết các yếu tố khác (không phải là cạnh và góc như các

kiểu nhiệm vụ trên).

Kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là dựa vào các công thức tương ứng

với giả thiết đã cho để tìm các cạnh và góc chưa biết.

Dựa vào các tổ chức toán học này, trong phần nghiên cứu SGK dưới đây, chúng

tôi sẽ tìm và phân tích những tổ chức tương ứng có mặt trong cả hai bộ sách và đối

chiếu chúng với nhau. Những lời giải minh hoạ cho các bài tập được chúng tôi trích

dẫn từ các SGV và SBT tương ứng. Các lời giải này sẽ là các yếu tố quan trọng để xác

định các quy tắc của hợp đồng didactique. Qua đó có thể chỉ rõ sự tồn tại của chúng và

những tổ chức toán học nào được ưu tiên.

Trước khi phân tích các tổ chức toán học có trong phần lý thuyết và bài tập,

chúng tôi sẽ nghiên cứu phần trình bày của SGK về các hệ thức lượng trong tam giác

để có sự kế thừa trong phần giải tam giác - trọng tâm nghiên cứu của luận văn.

Vì khái niệm tỉ số lượng giác của một góc bất kì từ 00 đến 1800 được giới thiệu

trong bài “Tích vô hướng của hai vectơ” ở chương I, do đó chúng tôi sẽ nghiên cứu sơ

lược phần này trước khi ngiên cứu các hệ thức lượng trong tam giác, để tìm sự kế thừa

của nó trong các bài học về hệ thức lượng trong tam giác ở chương II.

Để thuận tiện trong việc nghiên cứu hai bộ sách, chúng tôi kí hiệu như sau:

- Bộ thứ nhất: SGK1 (sách giáo khoa bộ thứ nhất), SGV1 (sách giáo viên bộ thứ

nhất), SBT1 (sách bài tập bộ thứ nhất).

- Bộ thứ hai: SGK2 (sách giáo khoa bộ thứ hai), SGV2 (sách giáo viên bộ thứ

hai), SBT2 (sách bài tập bộ thứ hai).

1.3.1. Tỉ số lượng giác của một góc bất kì (từ 00 đến 1800)

◦ Đối với bộ sách thứ nhất:

Ở phần giới thiệu bài “Tích vô hướng của hai vectơ”, SGK1(trang24) nêu rõ:

“Để có thể xác định tích vô hướng của hai vectơ ta cần đến khái niệm tỉ số lượng giác

của một góc bất kì”. Như vậy, “tỉ số lượng giác” được đưa vào phần này với mục đích

chủ yếu là dùng trong công thức tích vô hướng.

Về định nghĩa Tỉ số lượng giác của một góc bất kì (từ 00 đến 1800), SGK1 ôn

lại tỉ số lượng giác của góc nhọn (đã học ở lớp 9 thí điểm), sau đó giới thiệu định nghĩa cho góc bất kì (từ 00 đến 1800) dựa vào toạ độ của điểm M trên nửa đường tròn

đơn vị. Để áp dụng định nghĩa đó, SGK1 cho ví dụ 1: Tìm các tỉ số lượng giác của góc 1350.

Bằng các suy luận, dựa vào các tính chất hình học và tỉ số lượng giác trong tam

giác vuông (đã học ở lớp 9), tìm được:

Toạ độ của điểm M=(-

2 , 2

2 ), do đó có sin1350 = 2

2 ; cos1350 = - 2

2 ; 2

tg1350 = -1; cotg1350 = -1 (theo định nghĩa).

Ngay sau đó là 2 câu hỏi yêu cầu trả lời nhanh và đúng: Tìm tỉ số lượng giác của các góc 00, 1800, 900

Sau đó, SGK1 giới thiệu tính chất về tỉ số lượng giác của 2 góc bù nhau mà

việc chứng minh chúng lại dựa vào các tính chất hình học; áp dụng để tìm tỉ số lượng giác của góc 1500 (dựa vào các tỉ số lượng giác của góc bù với nó là 300).

Kết hợp với bảng lượng giác của các góc (nhọn) đặc biệt đã học ở lớp 9, SGK1 đưa ra bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt (từ 00 đến 1800), với nhấn

mạnh là “các em học sinh nên nhớ”, nghĩa là nếu gặp các giá trị hay góc đặc biệt có

trong bảng thì phải sử dụng bảng. Đó là các giá trị đúng, không có giá trị gần đúng.

Như vậy việc xây dựng bảng này được SGK1 tiếp cận bằng hai con đường:

- Tính chất hình học.

- Tính chất tỉ số lượng giác của hai góc bù nhau.

Các ví dụ trong bài này cho thấy học sinh chủ yếu được làm quen với các góc

đặc biệt và các giá trị đúng. Đối với góc bất kì thì SGK1- trang 27 có nêu rằng “Tỷ số

lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trên bảng số hoặc trên máy tính bỏ túi”,

nhưng sau đó không đề cập đến bảng số nữa.

Bảng số mà các tác giả nói ở đây chính là bảng số lượng giác có 4 chữ số thập

phân của V.M. Bra-đi-xơ được giới thiệu trong SGK lớp 9 tương ứng (trang 77). Bảng

số này chỉ dành cho các góc nhọn mà thôi.

Chúng tôi nhận thấy có 4 bài tập của SGK1 liên quan đến tỉ số lượng giác có

trong bài “Tích vô hướng”. Chẳng hạn như:

Bài 29. Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi

hoặc bảng số) a) (2sin300 + cos1350-3tg1500) (cos1800 – cotg600); b) sin2900 + cos21200 + cos200 – tg2600 + cotg21350.

Với yêu cầu bài toán là tính giá trị đúng thì các góc cho trước đều là góc đặc

biệt (có trong bảng cần nhớ) và hiển nhiên kết quả được cho trong SGV1 là giá trị

đúng.

Bài 34. Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B = 300. Tính các giá trị của các

biểu thức sau

)

(

) cos(

)

sin(

)

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AC CB 2

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AB BC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AC ,

)sin(

)

cos(

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BA BC tg , (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC BA ,

Bài tập này không yêu cầu tính giá trị đúng mà là “tính giá trị” và giả thiết cho

góc đặc biệt. Kết quả trong SGV1 là giá trị đúng.

Như vậy, có lẽ khi gặp các góc đặc biệt thì dù có hay không có yêu cầu “tính

giá trị đúng” vẫn phải “tính” theo giá trị đúng.

Hai bài còn lại là “đơn giản biểu thức” và “chứng minh các công thức”. Trong

bài đơn giản biểu thức thì các góc cho là không đặc biệt và câu trả lời dựa vào tính

chất của hai góc bù nhau. Trong bài chứng minh các công thức:

sin

cos

x 2 tg x

2 g x

1 cot +

x 1 2cos =

x 1 2sin

Công thức thứ nhất được chứng minh trong trường hợp góc tù (vì nó đã được

chứng minh ở lớp 9 khi x là góc nhọn) và sử dụng tính chất hai góc bù nhau đưa về

góc nhọn. Chứng minh hai công thức còn lại dựa vào công thức thứ nhất vừa chứng

minh.

Trong SBT1 chỉ có duy nhất một bài (trong bài “Tích vô hướng” ) có liên quan

đến tỉ số lượng giác đó là bài 48 -trang 10: Tìm dạng của tam giác ABC nếu:

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB BC CA

)

(

)

(

(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC CA AB CA AB BC ( +

(cid:71) 0=

Sử dụng công thức tích vô hướng và tính chất hai góc bù nhau, với các kỹ thuật tính toán, lời giải trong SBT1 tìm được cả ba góc đều bằng 600 hoặc 1200. Tuy nhiên, do tổng ba góc của tam giác bằng 1800 nên suy ra ba góc đều bằng 600, vậy tam giác

đều.

Như vậy, trong phần tỷ số lượng giác của một góc, SGK1 đề cập đến các góc

đặc biệt, các tính toán cũng chủ yếu dựa vào các góc này và các kết quả phải để ở giá

trị đúng. Các góc không đặc biệt hầu như không được nhắc đến. Bảng số lượng giác

cho các góc bất kì không được giới thiệu trong SGK1 này.

◦ Đối với bộ sách thứ hai:

Khác với SGK1, tỷ số lượng giác của góc bất kì được SGK2 định nghĩa qua hai

giai đoạn riêng biệt: qua góc nhọn sau đó đến góc tù (và bẹt). Vì tỷ số lượng giác của

các góc nhọn đã học ở lớp 9, đó là tỷ số giữa các cạnh trong tam giác vuông, nên ở lớp

10 chỉ yêu cầu học sinh nhắc lại. Sau đó, SGK2 định nghĩa tỷ số lượng giác của hai góc đặc biệt là 00 và 900. Thông qua tỷ số lượng giác của hai góc bù nhau, SGK2 đã

định nghĩa tỷ số lượng giác của các góc tù và bẹt (định nghĩa này trong SGK1 được

nêu dưới dạng tính chất).

Để áp dụng định nghĩa đó, SGK2 có yêu cầu “Tính các tỉ số lượng giác của các góc 1200, 1350 và 1500” và các kết quả này được tìm ra nhờ định nghĩa tỉ số lượng giác

của hai góc bù nhau. Kết hợp với bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt (góc nhọn) đã học ở lớp 9, SGK2 đưa thêm vào bảng này góc đặc biệt nữa là 1800. Đó là bảng sau

(SGK2, trang 22):

BẢNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

Góc α

00 300 450 600 900 1800

Tỉ số lượng giác

sin

cos

-1

cotg

Như vậy, góc 1200, 1350 và 1500 không được đưa vào bảng này. Đây cũng là

điểm khác biệt thứ hai của SGK2 so với SGK1.

Điểm khác biệt thứ ba của hai bộ sách nữa là SGK2 có phần hướng dẫn sử dụng

MTBT trong khi SGK1 không có phần này. Với 4 ví dụ sử dụng MTBT là Tính sin63052’41”, Tính cotg38010’, Tìm x biết sinx = 0,3502 và tìm x biết cotgx= 2,619 thì

kết quả khiến chúng tôi chú ý trong 4 ví dụ trên là: khi biết sinx=0,3502 thì x≈20029’58”, nghĩa là chỉ có góc nhọn được suy ra từ giá trị sin cho trước. Vấn đề

này có thể giải thích là vì việc xây dựng chức năng các phím bấm của MTBT “trong

phép tính ngược (tìm góc) máy chỉ cho kết quả góc ở định trị chính mà thôi” (trang

69, Máy tính Casio fx 570MS- hướng dẫn sử dụng và giải toán dùng cho các lớp 10-

11-12, sách tặng kèm theo máy của các tác giả TS. Nguyễn Văn Trang (chủ biên),

Nguyễn thế Thạch, Nguyễn Trường Chấng, Trần Văn Vuông (biên soạn)).

Rõ ràng, chúng ta đều biết có hai góc bù nhau cùng thoả sinx = 0,3502. Như

vậy, hướng dẫn trên của SGK2 có gây nên những trở ngại hay hiểu lầm nào cho học

sinh trong các ứng dụng sau này (nhất là các bài về tính số đo góc của tam giác)?

Trong phần bài tập chỉ có 1 bài liên quan trực tiếp đến các tỉ số lượng giác, đó

là: Tính tỷ số lượng giác của các góc sau đây: c) 1500 b) 1200

d) 1350

a) 600

Các kết quả tìm được dựa vào bảng các giá trị đặc biệt và dựa vào bài tập trình

bày ở phần lí thuyết đã nêu trên.

Các bài tập còn lại liên quan đến công thức tích vô hướng với các giả thiết là

các góc đặc biệt, và các kết quả đều để ở các giá trị đúng.

Trong SBT2 có 7/25 bài tập liên quan đến tỉ số lượng giác (trừ những bài về

tích vô hướng), gồm những dạng sau:

- Với những giá trị nào của góc α thì sinα cùng dấu và trái dấu với cosα, tgα,

cotgα.

- Tìm các tỉ số lượng giác của các góc 1200, 1350, 1500

- Tính giá trị của biểu thức, tính và so sánh các giá trị của hai biểu thức.

- Rút gọn biểu thức

- Sử dụng máy tính (hoặc bảng số) tính các giá trị lượng giác của các góc cho

trước, hay tính góc x khi biết một giá trị lượng giác của nó.

Đối với dạng bài có liên quan đến MTBT, chúng tôi thấy các góc hay giá trị

lượng giác của một góc đều không đặc biệt. Còn đối với dạng bài rút gọn, tính giá trị

(hay tính và so sánh) thì các góc cho đều đặc biệt và kết quả tương ứng trong SBT2 là

các giá trị đúng. Trong khi đó, SGK2 cũng không đề cập gì đến bảng số lượng giác

cho góc bất kì. Vì thế, theo chúng tôi, đối với dạng bài sử dụng máy tính (hoặc bảng

số) thì SGK2 ưu tiên sử dụng MTBT.

Nhận xét chung

Vì các đặc điểm trên của hai bộ sách, chúng tôi có những nhận xét sau liên quan

đến tỉ số lượng giác của một góc từ 00 đến 1800:

- Đối với các góc đặc biệt thì luôn tính giá trị đúng (dù có hay không có yêu

cầu tính “giá trị đúng”), và sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc

biệt đã được trình bày trong SGK.

- Không có sự giới thiệu về bảng số lượng giác với 4 chữ số thập phân.

- Tính chất (định nghĩa) sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau chỉ được phát

biểu dạng công thức và một số áp dụng. Ngoài ra, không có một bài tập hay

chú ý nào trong SGK (hay SBT) củng cố cho học sinh về vấn đề với cùng một giá trị sinα ≥ 0 thì có hai số đo góc α thuộc [00; 1800] thoả mãn giá

trị đó.

- MTBT chỉ cho góc nhọn từ tỷ số lượng giác sin của góc đó. Bảng số lượng

giác chỉ dành cho các góc nhọn.

Những đặc điểm này có được biểu hiện ở chương Hệ thức lượng trong tam giác

và trong đường tròn, nhất là đối với Hệ thức lượng trong tam giác? Để có câu trả lời,

chúng tôi tiến hành nghiên cứu sau:

1.3.2. Hệ thức lượng trong tam giác

Vì trọng tâm nghiên cứu là “Giải tam giác” theo nghĩa “hẹp” mà chúng tôi đã

giới thiệu ở trên, cho nên phần Hệ thức lượng trong tam giác sẽ liên quan đến các vấn

đề sau:

- Định lí cosin và định lí sin trong tam giác

- Độ dài trung tuyến và diện tích tam giác

- Giải tam giác và ứng dụng

a) Bộ sách thứ nhất

♦Phần lý thuyết

Sau khi cho học sinh thực hành tìm ra công thức tính cạnh thứ ba của tam giác

khi biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó trong trường hợp tổng quát (đây chính là

hoạt động chứng minh định lí cosin), SGK1 phát biểu định lí cosin:

Trong tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c, ta luôn có

a2 = b2 + c2 – 2bc cosA b2 = a2 + c2 – 2ac cosB c2 = a2 + b2 -2ab cosC

Sau đó, SGK1 nêu ra hệ quả của định lí cosin:

−

cos

b + 2 ab

c bc 2

c + ac 2

Có hai ví dụ áp dụng định lí và hệ quả vừa nêu:

- Ví dụ 1 là bài toán mang tính thực tế đưa về bài toán tính cạnh còn lại của

tam giác nếu biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó. Ví dụ này cho giả thiết là góc đặc biệt 600, sử dụng định lí cosin SGK1 cho kết quả là giá trị gần

đúng sau khi có giá trị đúng của cạnh. Bắt đầu từ đây, học sinh đã tiếp cận với

kiểu nhiệm vụ T21. Kĩ thuật được dùng trong trường hợp này là τ21c(Dùng

định lí hàm số cosin).

- Ví dụ 2 là bài toán cho trước ba cạnh của tam giác ABC, yêu cầu tính số đo

góc A. Vì góc A là góc nhọn và không đặc biệt, nên từ hệ quả của định lí

cosin tính cosA, suy ra A nhọn (lấy đến đơn vị là phút) và tính theo các giá trị

gần đúng. Ví dụ này thuộc kiểu nhiệm vụ T3, và trong trường hợp này người

ta tính số đo của một góc bằng công thức cosin.

Ngay sau ví dụ 2 này, SGK1 có chú ý về sử dụng MTBT để tính số đo góc A

nếu biết cosA.

Như vậy, học sinh đã có thể tính góc và cạnh tam giác bằng công thức cosin

và cũng biết sử dụng MTBT để suy ra số đo góc từ cosin của góc đó.

Sau khi phát biểu định lí sin:

Với mọi tam giác ABC, ta có

b sinA sinB sinC

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. SGK1 suy ra hệ quả:

Với mọi tam giác ABC, ta có a = 2R.sinA, b = 2R.sinB, c = 2R.sinC

Để áp dụng định lý sin, SGK1 đưa ra ví dụ 3 (là bài toán mang tính thực tế) đó

là tìm cạnh của tam giác nếu biết một cạnh và hai góc của tam giác đó. Giả thiết cho 1 góc đặc biệt (300), góc còn lại là 15030’, cho nên các giá trị tìm được là các góc cũng

không đặc biệt và vì vậy kết quả được để ở giá trị gần đúng. Như vậy, kiểu nhiệm vụ

T1 đã được đưa vào từ ví dụ này và kĩ thuật được sử dụng là τ1s. Nghĩa là từ định lý

sin này, lại có thêm một công thức để tính cạnh của tam giác.

Như vậy, cả hai ví dụ 2, 3 vừa nêu có đặc điểm chung là giả thiết cho các góc

không đặc biệt, còn ví dụ 1 cho độ dài cạnh tam giác là số thập phân nên các kết quả

cho trong SGK1 là các giá trị gần đúng. Phải chăng khi gặp các giả thiết như thế thì

tính gần đúng? Các nghiên cứu sau này sẽ cho phép trả lời câu hỏi vừa nêu.

Ngoài ra, SGK1 có chú ý giới thiệu sử dụng MTBT để tính giá trị của biểu thức

(đây là

số sao cho ít sai số nhất, cụ thể là tính giá trị của biểu thức

b =

70.sin105 30' 0 sin14 30'

biểu thức có trong ví dụ 3 vừa rồi). Giá trị sin của các góc không được thể hiện cụ thể

là bao nhiêu trong biểu thức cần tính, mà được giữ nguyên theo công thức rồi dùng

MTBT để tính kết quả gần đúng một lần (chỉ bấm một lần dãy các phím bấm theo thứ

tự của biểu thức cần tính toán). Nhìn lại các ví dụ trong SGK1, chúng tôi cũng thấy

các biểu thức chỉ tính gần đúng một lần. Lí do được nêu ra trong SGK1 là “phải tính

sao cho ít sai số nhất”. Như vậy, yêu cầu đặt ra khi tính gần đúng là phải tính sao

cho ít sai số nhất.

Các công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác không liên quan đến lượng

giác mà chỉ phụ thuộc vào độ dài ba cạnh của tam giác. Tuy nhiên nó lại được chứng

minh nhờ định lí cosin trong tam giác. Vì thế, định lí cosin vẫn giữ vai trò chính đối

với công thức này.

Với 5 công thức tính diện tích tam giác thì chỉ có 1 công thức có liên quan đến

tỉ số sin trong tam giác, đó là:

S = ab.sinC = ac.sinB = bc.sinA

1 2

SGK1 không có ví dụ nào về diện tích tam giác có liên quan đến công thức này.

Như vậy, liên quan đến lượng giác trong hệ thức lượng trong tam giác chủ yếu

là các định lý sin và cosin, nghĩa là đến lúc này thì học sinh có thể tính góc và cạnh

của tam giác bằng:

Định lí cosin

Định lí sin

Kết hợp cả định lí sin và cosin

Với các hệ thức lượng trong tam giác vừa nêu thì trong bài “Giải tam giác và

ứng dụng”, SGK1 giới thiệu 5 bài toán thuộc ba kiểu nhiệm vụ đó là T1, T21, T3. Vậy

SGK1 đã lựa chọn định lí nào để giải tam giác hay là lựa chọn sự kết hợp cả hai định

lý? Sau đây là một số bài toán đó:

Bài toán 1: Cho tam giác ABC biết a = 17,4; B = 44030’; C = 640. Tính

góc A và các cạnh b, c của tam giác.

Giải. Ta có A = 1800 – (B + C) = 1800 – (640 + 44030’) = 71030’.

Theo định lí sin ta có

17, 4.sin 44 30'

17, 4.sin 64

12,9;

16,5

≈

.sin B a sin A

.sin C a sin A

0 sin 71 30'

Như chúng tôi đã phân tích ở trên thì SGK1 ưu tiên giải quyết kiểu nhiệm vụ T1

(Giải tam giác khi biết 2 góc và 1 cạnh) bằng kĩ thuật τ1s( Dùng định lí sin), nghĩa là - Tính góc thứ ba (dựa vào tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 1800)

- Tính hai cạnh bằng định lí sin

Việc tính góc thứ ba bằng tính chất tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 1800 và tính hai cạnh còn lại của tam giác bằng định lí sin (τ1s) là đơn giản nhất. Còn

kĩ thuật τ1sc: Dùng định lí sin và cosin không được quan tâm bởi vì chỉ có thể sử dụng

định lí cosin để tính c (sau khi tìm được A, b) nhưng như vậy việc tính toán sẽ phức

tạp hơn khi dùng định lí sin.

Giả thiết của bài toán 1 này cho góc không đặc biệt và độ dài cạnh là số thập

phân nên kết quả tính gần đúng. Các giá trị sin của các góc không được ghi cụ thể là

bao nhiêu, chỉ tính gần đúng kết quả một lần. Như vậy, MTBT đã can thiệp từ đây và

đây cũng là thể hiện tinh thần tính sao cho ít sai số nhất mà sách đã yêu cầu (như phân

tích ở trên)?

Bài toán 2: Cho tam giác ABC, biết a = 49,4; b = 26,4; C = 47020’. Tính hai

góc A, B và cạnh c.

Giải. Theo định lí cosin ta có

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC = (49,4)2 + (26,4)2 – 2.49,4.26,4.cos47020’ ≈ 1369,5781

1369,5781 37,0

Vậy

c ≈

≈

−

cos

0,1914

≈

≈ −

696,96 1369,5781 2440,36 2.26, 4.37

c 2 bc

0,1914 ≈ cos78058’.

Vậy - 0,1914 ≈ cos(1800 – 78058’)= cos10102’. Suy ra A ≈ 10102’ ; B ≈ 1800 – (10102’ + 47020’) = 31038’.

Trong lời giải này có chi tiết: 0,1914 ≈ cos78058’. Vậy - 0,1914 ≈ cos(1800 – 78058’) = cos10102’.

Các tác giả đã không suy ra trực tiếp góc A (tù) từ giá trị cosA nhỏ hơn 0, mà

lại qua trung gian góc nhọn (giá trị cosA dương), rồi lấy A bù với góc nhọn đó. Chúng

tôi cho rằng ở đây có sự ngầm ẩn về việc sử dụng bảng số lượng giác (bảng này có 4

chữ số thập phân và chỉ dùng cho góc nhọn mà chúng tôi đã nêu trong phần 1.3.1) để

tìm số đo góc A từ cosA. Nghĩa là, các tác giả SGK1 trình bày cách này cho những

vùng miền, hay cho những trường hợp không có MTBT (loại máy có chức năng lượng

giác). Trong khi đó, nếu sử dụng MTBT có chức năng lượng giác thì sẽ cho trực tiếp

kết quả góc A là góc tù mà không cần phải thông qua giá trị trung gian (góc nhọn bù

với nó) dựa vào hướng dẫn sử dụng MTBT trong SGK1 đã nêu. Phải chăng MTBT chỉ

được sử dụng để hỗ trợ tính toán trong bài toán này, bảng số chỉ được sử dụng ngầm

ẩn?

Bài toán 2 này thuộc kiểu nhiệm vụ T21: giải tam giác khi biết hai cạnh và một

góc xen giữa. Kỹ thuật được sử dụng trong bài toán này là τ21c: Dùng định lí hàm số

cosin

Tính cạnh còn lại dựa vào định lí hàm số cosin

Dùng định lí cosin tính số đo một trong hai góc còn lại

Tính góc thứ ba

Ở đây có thể dùng định lí sin để tính số đo góc A thay vì tính bằng cosA như

trình bày trong bài toán, nghĩa là sử dụng kỹ thuật τ21cs: Kết hợp định lí cosin và sin

(Tính cạnh còn lại dựa vào định lí hàm số cosin, dùng định lí sin trong tam giác để

tính 1 trong 2 góc còn lại, tính góc thứ ba). Tuy nhiên, nếu tính sinA thì theo tính chất

tỉ số sin sẽ có hai số đo góc A bù nhau thoả sinA =

. Trong trường hợp này, khi

.sina c

sử dụng bảng số hay MTBT thì từ sinA sẽ suy ra góc A nhọn, trong khi góc A lại là

góc tù. Vì thế, nếu tính bằng sinA thì phải suy ra hai số đo góc bù nhau nhận cùng giá

trị sin và để có kết quả cuối cùng thì phải tiến hành loại bỏ góc nhọn bằng các tính chất

của tam giác mà cụ thể là sử dụng mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam

giác (góc tương ứng với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Do đó, dùng định lí cosin để tính góc A trong trường hợp này là tốt nhất, nghĩa là với mỗi giá trị cosx (00 ≤ x ≤ 1800) thì chỉ cho một số đo x duy nhất mà thôi, hơn

nữa còn biết được góc đó là góc tù hay nhọn. Như vậy, có phải chỉ nên dùng định lí sin

để tính số đo của góc khi biết rõ góc đó là nhọn hay tù?. Nói cách khác, dùng công

thức cosin để tính số đo góc thì an toàn hơn định lí sin?.

Vậy, với T21 thì SGK1 ưu tiên τ21c.

Kiểu nhiệm vụ T22 không được các tác giả trình bày trong phần bài học này.

Vậy thì, liệu nó có được yêu cầu trong phần bài tập hay trong SBT1 tương ứng hay

không? Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này trong phân tích hệ thống bài tập sau khi trình

bày bài toán 3 dưới đây.

Bài toán 3. Cho tam giác ABC biết a = 24; b = 13; c = 15. Tính các góc A, B,C.

Giải. Theo hệ quả của định lí cosin ta có

−

cos

0, 4667

= −

≈ −

c bc 2

169 225 576 − + 2.13.15

7 15

Do 0,4667≈ cos62011’ nên - 0,4667≈cos(1800 – 62011’)=cos117049’. Vậy A≈117049’.

0, 4791.

sin

≈

Vì

nên

b .sin a

13.sin117 49' 24

13.sin 62 11' 24

a sin

b sin

Suy ra B ≈ 28038’ ; C ≈ 1800 – (117049’ + 28038’) = 33033’.

SGK1 ưu tiên τ3cs: Kết hợp định lí cosin và sin để giải quyết kiểu nhiệm vụ T3

(bài toán 3). Như chúng tôi đã nói phạm vi hợp thức của kỹ thuật này là Góc thứ nhất

hoặc góc thứ ba là góc lớn nhất của tam giác và góc thứ ba luôn được tính bằng tính

chất tổng ba góc trong một tam giác. Do đó, bài toán này nằm trong phạm vi hợp thức

của kỹ thuật đã chỉ ra. Như vậy, đặt trường hợp góc A ban đầu là góc nhọn, góc B tính

bằng công thức sin như bài toán đã làm thì sẽ lấy kết quả nào (tù hay nhọn)- vì MTBT

hay bảng số chỉ suy ra góc nhọn mà thôi? Chúng tôi cho rằng trước tiên phải suy ra

được hai số đo của góc B (bù nhau), sau đó sử dụng mối quan hệ giữa góc và cạnh

trong tam giác để loại bỏ một trường hợp.

Với khuyết điểm đã nêu của τ3cs (chỉ đúng trong phạm vi hợp thức) thì tại sao

kỹ thuật τ3c (Dùng định lí cosin) lại không được sử dụng. Liệu τ3cs có tiếp tục là kỹ

thuật được ưu tiên trong phần bài tập?

Cũng như bài toán 2, cách suy ra góc A của bài toán có sự ngầm ẩn về vai trò

của bảng số lượng giác. Như vậy, tại sao góc B được suy ra từ sinB lại không được các

tác giả giải thích cụ thể, nghĩa là không xét trường hợp góc bù với nó?

Cả 5 bài toán được trình bày trong SGK1 đều cho số đo góc không đặc biệt, độ

dài cạnh là số thập phân và các kết quả đều lấy giá trị gần đúng. SGK1 không trình bày

cụ thể các giá trị lượng giác của các góc đem tính là bao nhiêu trong biểu thức tính

toán mà tính gần đúng một lần kết quả cuối cùng của biểu thức. Chúng ta lại thấy thể

hiện quan điểm tính sao cho ít sai số nhất trong các bài toán này. Nghĩa là có quy tắc

hợp đồng didactique

R1: Phải tính sao cho ít sai số nhất

Với quy tắc này thì một số dạng thể hiện của nó là:

Dùng công thức để có biểu thức số, sau đó dùng MTBT để tính kết

quả cuối cùng). Nghĩa là, với mỗi biểu thức tính toán thì không làm

tròn nhiều lần các kết quả trung gian và phải lấy hết các chữ số có

trên màn hình MTBT để cho ra kết quả cuối cùng (dạng này thể

hiện trong các ví dụ đã phân tích)

Lấy càng nhiều chữ số thập phân thì kết quả càng ít sai số.

Các tam giác giải được của 5 bài toán đều tồn tại nhưng không có sự giải thích

nào về cách sử dụng định lí sin để tính số đo góc, và luôn suy ra số đo góc là nhọn từ

sin góc đó. Nghĩa là luôn có một tam giác thoả mãn yêu cầu bài toán. MTBT vẫn chỉ là

công cụ hỗ trợ tính toán.

Phần nghiên cứu bài tập sau đây sẽ cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi đã đặt

ra ở trên, đồng thời cũng cho biết các tổ chức toán học đã phân tích trong phần lý

thuyết được thể hiện như thế nào trong phần này.

♦Phần bài tập

Trong số các bài tập của phần hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác có

ở SGK1, có 5 bài thuộc kiểu T1, 4 bài thuộc T21 và 1 bài thuộc T3.

- Đối với T1, lời giải trong SGV1 ưu tiên kĩ thuật τ1s và không có bài nào sử

dụng τ1sc. Việc sử dụng τ1s có thể được tính qua trung gian bán kính đường

tròn ngoại tiếp R hoặc không qua R. Tuy nhiên, cách tính qua trung gian R

cũng không được thể hiện trong bất cứ bài tập nào. Như vậy, τ1s được cả phần

lý thuyết và bài tập ưu tiên tuyệt đối.

- Đối với T21, SGV1 lại ưu tiên τ21cs trong khi ở phần lý thuyết thì lại ưu tiên

τ21c. Chẳng hạn ví dụ về (T21, τ21cs) -SGK1, bài tập 25b.

ˆA

Giải tam giác ABC biết b = 32, c = 45, = 870 .

Giải

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA = 322 + 452 – 2.32.45.cos870 ≈ 2898,27, suy ra a ≈ 53,8

0,5940

sinB =

b.sinA 32.sin87 ≈

≈

53,8

ˆA ˆB

Suy ra B ≈ 360, C = 1800 – ( + ) ≈ 570

Bài tập này suy ra góc B nhọn từ sinB. Vậy tại sao B không phải là góc tù? Rõ

ràng các quan hệ về góc và cạnh đối diện trong tam giác đã cho phép các tác giả kết

luận góc B nhọn (vì cạnh a lớn nhất tương ứng với A nhọn, cho nên B phải là góc

nhọn), nên kết quả này là phù hợp. Nếu tính B từ cosB thì sẽ suy ra ngay B nhọn,

nhưng công thức tính toán lại phức tạp hơn công thức sin. Bài toán này vẫn thể hiện

tinh thần tính sao cho ít sai số nhất (R1)

Còn ở câu c (cho a = 7, b = 23, C = 1300), góc C là góc tù. Vì thế góc A được

suy ra từ sinA là góc nhọn. Trong khi đó ở bài toán 2 của phần lí thuyết thì cạnh c tìm

được không phải là cạnh lớn nhất, mà cạnh a lớn nhất, vì thế người ta tính A theo định

lí cosin. Nghĩa là trong phần lý thuyết thì SGK1 ưu tiên τ21c còn trong bài tập thì lại ưu tiên τ21cs. Trong ba câu trên, các góc được suy ra từ sin của góc đó luôn nhỏ hơn 900.

Như vậy, chúng tôi thấy ở đây có quy tắc của hợp đồng:

R2: Số đo của một góc được suy ra từ giá trị sin của góc đó luôn nhỏ hơn 900

Trong kĩ thuật τ21cs, khi dùng định lí sin tính góc thứ hai thì phải hợp thức kết

quả (như những gì phân tích trong các ví dụ trước đó). Nếu tính góc thứ ba không theo tính chất tổng ba góc trong tam giác bằng 1800 mà tính bằng định lí sin thì cũng phải

suy luận như ở bước thứ hai. Rõ ràng, khi dùng định lí sin thì tính toán sẽ nhanh hơn

nhưng lại phải để ý đến vấn đề lựa chọn kết quả phù hợp.

Trong SBT1, chúng tôi tìm thấy 1 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T22 đó là bài tập

4, trang 41 như sau

ˆA

Tính các cạnh và góc còn lại của tam giác ABC biết a = 20, b = 13, = 670 23’.

Giải

0,6

suy ra sinB

Từ đẳng thức

;

≈

13.sin67 23' 20

= sinA sinB

ˆB ≈ 36052’, C ≈ 1800 – (67023’ + 36052’) ≈ 75045’; c =

≈

20.sin 75 45' sin 67 23'

Việc ưu tiên kĩ thuật τ22s trong bài toán này là hợp lý và chỉ có một tam giác tồn

tại. Tuy nhiên, vấn đề vẫn là không có sự giải thích nào cho việc suy ra góc nhọn từ

sin của góc đó, trường hợp còn lại thì không hề được bàn đến. Nghĩa là quy tắc hợp

đồng R2 vừa nêu trên lại được thể hiện trong bài tập này.

- Đối với T3, trong SGK1 có một bài tập và SBT1 có 3 bài. Điểm khác biệt

trong hai sách này là ở chỗ các bài tập của SGK1 được SGV1 ưu tiên giải

quyết theo τ3cs(Kết hợp định lí cosin và sin) đây cũng là kỹ thuật được sử

dụng trong phần lý thuyết đã trình bày. Trong khi đó SBT1 lại ưu tiên τ3c.

Vậy thì sự khác biệt này có từ đâu? Có phải nó xuất phát từ việc áp dụng

sông thức sin thì biểu thức tính toán sẽ không phức tạp bằng công thức

cosin? Nếu thế thì các tác giả có tính đến việc đưa ra những lý do để hợp

thức góc nhọn tìm được từ định lí sin đó?

Chẳng hạn như bài tập 26, trang 54- SGK1:

Giải tam giác ABC biết

a) a = 4, b = 5, c = 7

b) a = 6, b = 7,3; c = 4,8

c) a =14; b = 18, c = 20

Như chúng tôi vừa nói trên, cả ba câu này đều được SGV1 tính theo thứ tự sau:

Tính cosA, suy ra góc A

Tính sinB, suy ra góc B là góc nhọn Tính góc C = 1800 – (A + B)

Thứ tự này cũng được thể hiện ở bài toán 3 (trong phần phân tích lý thuyết). Cả

hai câu a và c đều thuộc phạm vi hợp thức của kiểu nhiệm vụ này (góc thứ ba là góc

lớn nhất của tam giác), còn trong bài toán 3 của phần lý thuyết thì góc thứ nhất là góc

lớn nhất. Chúng tôi quan tâm nhiều đến câu b của bài tập này, lời giải trong SGV1 là:

b) Tương tự câu a, ta tính được:

2 7,3

2 4,8 - 6

cos

0,5755

≈

ˆ A ⇒ ≈

c - + bc 2

2.7,3.4,8

b.sinA 7,3.sin 55

sinB=

0,9966

≈

. Suy ra B ≈ 850

C ≈ 1800 – 550 – 850 = 400.

Trong câu này thì cạnh b lớn nhất, vì thế góc lớn nhất sẽ là góc B, hay nói cách

khác là góc B có thể là góc tù. Thế thì tại sao SGV1 lại không đề cập đến trường hợp thứ hai này? Vì theo tính chất tỷ số sin thì từ sinB ≈ 0,9966 sẽ suy ra B ≈ 850 hoặc B≈950, do đó tương ứng là C ≈ 400 hoặc C ≈ 300. Vậy thì, các tác giả đã dựa vào tính chất nào để loại bớt trường hợp B ≈ 950 và C ≈ 300? Chúng tôi đã thử thay các giá trị tìm được này vào công thức sin hoặc cosin thì kết quả B ≈ 950 và C ≈ 300 không thoả

các công thức đó, thế nhưng nếu xét mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam

giác, hay kiểm tra theo bất đẳng thức tam giác (đối với 3 cạnh), hay tổng 3 góc của

tam giác thì kết quả này vẫn chấp nhận được. Vậy, các tác giả đã dựa vào đâu để loại

trường hợp đã nêu?

Chúng tôi nhận thấy, trong lời giải a, các tác giả có nhắc đến việc sử dụng định

lí cosin để tính hai góc A và B, nhưng chỉ nói tương tự cho góc B (tính cosB), sau đó

tính góc B theo định lí sin. Có lẽ vì định lí sin dễ tính toán hơn định lí cosin? Trong

các lời giải, mỗi khi các tác giả dùng định lí sin để tính số đo của góc nào đó thì luôn

suy ra góc đó là góc nhọn mà không có giải thích nào cho trường hợp góc tù còn lại,

nghĩa là quy tắc R2 luôn được thể hiện trong SGK1.

Chúng ta biết rằng, liên quan đến góc và cạnh của tam giác thì có thể kiểm tra

sự tồn tại của tam giác bằng các tính chất sau:

(1)

- Tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800.

- Góc tương ứng với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

(2)

- Bất đẳng thức tam giác.

(3)

Như vậy, các tác giả SGK1 có tính đến việc kiểm tra sự tồn tại của tam giác sau

khi giải được hay không? Hay là nếu đề bài yêu cầu giải tam giác thì hiển nhiên là có

một tam giác tồn tại? Như chúng tôi đã phân tích, các kết quả mà SGV1, SBT1 và

SGK1 nêu ra đều là các kết quả hợp lí, nghĩa là tam giác sau khi giải được là tồn tại và

thậm chí bài toán chỉ có một nghiệm hình. Như vậy, họ đã sử dụng điều kiện tồn tại

nào của tam giác?

Còn trong SBT1, cũng bài tập này, các tác giả lại sử dụng τ3c. Như vậy, không

có sự thống nhất về kỹ thuật giải quyết T3 giữa hai sách tương ứng của bộ thứ nhất.

Nghĩa là đối với T3 thì SGK1 ưu tiên τ3cs còn SBT1 thì ưu tiên τ3c. Hoàn toàn

không có dấu hiệu nào cho biết là đã kiểm chứng sự tồn tại của tam giác tìm

được.

Để ý rằng, MTBT trong các bài tập này vẫn giữ vai trò hỗ trợ tính toán và tính

sao cho ít sai số nhất. Các chức năng về lượng giác đã được khai thác nhưng chỉ với

hai tỷ số lượng giác là cosin và sin.

- Đối với T4, chúng tôi chỉ tìm thấy 3 bài trong SBT1 mà trong SGK1 không có.

Ví dụ về kiểu nhiệm vụ T4: SBT1, trang42, bài 11

Tam giác ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8.

a) Tính diện tích tam giác. b) Tính góc B.

−

Giải: b) Ta có AM2 =

suy ra AB2 = c2 = 2AM2 – b2 +

= 2.64 + 72 – 169 = 31 ⇒ c= 31

2a 2

31 144 169

−

≈

cosB =

0, 045 ; B ≈ 87025’

24 31

4 31

Nhờ giả thiết cho trung tuyến AM nên tính được cạnh còn lại của tam giác. Khi

đó có ba cạnh, có thể tính góc B bằng định lí cosin.

Một ví dụ khác: Bài tập 28, trang43, SBT1

Cho tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến bằng 15; 18; 27.

a) Tính diện tích tam giác.

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Giải: b) Giả sử ma = 15, mb = 18, mc = 27. Ta có:

2 2 b +c =2m +a

2 2

⇒

2 a +b +c = (m +m +m )=1704 a

2 c

2 b

2 2

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ 2 c +a =2m + ⎨ ⎪ ⎪ 2 2 a +b =2m +c ⎪ ⎩

-m

Ta lại có b2 – a2 =

) = -132; b2 – c2 =

(

) = 540

2 a

2 b

2 c

2 b

Giải hệ phương trình ta được b = 8 11 , a = 2 209 , c = 2 41

Như chúng tôi đã giới thiệu ở trên, các bài tập thuộc T4 chủ yếu dùng công thức

tương ứng để tính cạnh của tam giác (không liên quan đến tỉ số lượng giác nào), khi

muốn tính góc thì lại dùng định lí sin hoặc cosin.

Qua các kiểu nhiệm vụ đã nghiên cứu ở trên, chúng tôi không thấy có sự kiểm

chứng về sự tồn tại của tam giác giải được mà các tam giác đã tìm được đều tồn tại.

Nghĩa là, đối với bài toán giải tam giác có quy tắc của hợp đồng:

R3: Không có sự kiểm chứng về sự tồn tại của tam giác tìm được.

KẾT LUẬN

Đối với bộ sách thứ nhất

- Phần lý thuyết chỉ có ba kiểu nhiệm vụ là T1, T21, T3, còn các kiểu nhiệm vụ

khác thì chỉ xuất hiện trong SBT1. Nghĩa là các kiểu nhiệm vụ theo chúng tôi

dự định từ ban đầu đã có trong bộ sách này. Đối với T21 thì SGK1 ưu tiên kĩ

thuật τ21c ở phần lý thuyết nhưng lại ưu tiên τ21cs trong phần bài tập. Đối vớiT3

thì SGK1 và SGV1 ưu tiên kĩ thuật τ3cs nhưng SBT1 lại ưu tiên τ3c.

- Có ba quy tắc hợp đồng didactique được tìm thấy:

R1: Phải tính sao cho ít sai số nhất

Với quy tắc này thì một số dạng thể hiện của nó là:

Dùng công thức để có biểu thức số, sau đó dùng MTBT để tính kết

quả cuối cùng). Nghĩa là không làm tròn nhiều lần các kết quả

trung gian và phải lấy hết các chữ số có trên màn hình MTBT để

cho ra kết quả cuối cùng.

Lấy càng nhiều chữ số thập phân thì kết quả càng ít sai số.

R2: Số đo của một góc được suy ra từ giá trị sin của góc đó luôn nhỏ hơn 900

R3: Không có sự kiểm chứng về sự tồn tại của tam giác tìm được.

Ngoài ra, chúng tôi còn nhận thấy mỗi khi giả thiết cho góc không đặc biệt hay

số đo cạnh là số thập phân thì kết quả luôn tính ra giá trị gần đúng, sau khi có giá trị

đúng.

MTBT vẫn giữ vai trò tính toán. Bảng số lượng giác được sử dụng ngầm ần,

không rõ ràng.

b) Bộ sách thứ hai

♦Phần lý thuyết

Các hệ thức lượng trong tam giác được trình bày trong bộ sách thứ hai này cũng

giống như bộ sách thứ nhất. Tuy nhiên, các ví dụ và lời giải có trong SGK2 có một vài

điểm khác so với bộ thứ nhất. Cụ thể là:

Trước khi phát biểu định lí cosin, SGK2 nêu hoạt động 2 sau đây nhằm áp dụng

công thức tính cạnh thứ ba của tam giác nếu như biết hai cạnh và góc xen giữa hai

cạnh đó (sau khi đã chứng minh công thức ở hoạt động 1 về tính cạnh của tam giác):

ˆA=60

Cho tam giác ABC có

, cạnh b = 8cm và cạnh c = 5cm. Hãy tính cạnh a

dựa vào công thức đã tìm được ở bài toán trên.

Ngay từ đây đã có kiểu nhiệm vụ T21 và tính cạnh nhờ công thức cosin nhưng

chưa được phát biểu tường minh trong SGK2. Sau đó, SGK2 phát biểu vừa bằng lời và

vừa bằng công thức cho định lí cosin (trong khi đó SGK1 chỉ phát biểu bằng công

thức) và không suy ra hệ quả từ định lí này.

Khác với SGK1, SGK2 đưa ra ví dụ 1 áp dụng:

(cid:110)ACB

Cho tam giác ABC có cạnh AC=10cm, BC=16cm,

=1100. Tính cạnh

c=AB, góc A và góc B của tam giác.

Ví dụ này thuộc kiểu nhiệm vụ T21. Vì mục đích của SGK2 là áp dụng định lí

cosin, nên cạnh c và góc A đều được tính theo định lí này. Góc B được tính dựa vào

tổng ba góc trong một tam giác, nghĩa là SGK2 đã sử dụng kĩ thuật τ21c. Cũng như

SGK1, giả thiết của bài này cho góc không đặc biệt nên các kết quả đều lấy giá trị gần

đúng và chỉ tính một lần trong biểu thức tính toán, nghĩa là thể hiện tinh thần tính sao

cho ít sai số nhất, nói cách khác SGK2 cũng thể hiện quy tắc của hợp đồng R1 như

SGK1. Ví dụ này của SGK2 cho phép phác thảo cách giải quyết dạng toán này ở các

kiểu nhiệm vụ tương tự sau đó.

Cũng như định lí cosin, sau khi phát biểu định lí sin (bằng lời và công thức),

SGK2 không nêu ra hệ quả như SGK1. Có hai ví dụ để minh hoạ cho việc áp dụng

định này:

ˆA

ˆB

ˆC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có

ˆB

ˆC

ˆA

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có

= 600, b = 3cm, c = 6cm. Tính a, R, và = 200, = 310 và cạnh b = 210cm. Tính

và

các cạnh còn lại.

Trong ví dụ 1, các kết quả đều là các giá trị đúng (giả thiết cho góc đặc biệt).

ˆB

Cạnh a tính bằng định lí cosin, các yếu tố R và

tính bằng công thức sin. Từ sinB=

ˆB

1 2 suy ra = 300 mà không giải thích gì về trường hợp còn lại ( = 1500). Chúng ta có thể

giải thích là vì cạnh b nhỏ hơn cạnh c nên góc B không thể là góc tù (tam giác chỉ có

một góc tù lớn nhất). Thế thì có phải SGK2 đã ngầm giải thích như vậy? Ví dụ 1 này

là kiểu nhiệm vụ T21 và kĩ thuật ở đây là τ21s. Đây là một ví dụ sử dụng định lí sin để

tính số đo của góc trong khi SGK1 không có ví dụ áp dụng nào như vậy.

Như vậy, sau ví dụ 1 này thì SGK2 đã giới thiệu hai kĩ thuật để giải quyết

T21 đó là τ21s và τ21c.

Còn đối với T1 (ví dụ 2) thì vẫn là kĩ thuật τ1s như SGK1, các kết quả đều lấy

gần đúng.

Về độ dài trung tuyến và diện tích của tam giác thì cả hai bộ sách đều trình bày

như nhau. Tuy nhiên, trong khi SGK1 không có ví dụ nào áp dụng công thức tính diện

tích tam giác liên quan đến tỉ số lượng giác thì ở SGK2 có ví dụ:

Tam giác ABC có a = 2 3 , b = 2 và = 300. Tính cạnh c, góc A và diện tích ˆC

tam giác đó.

Cạnh c tính bằng định lí cosin suy tam giác ABC cân tại A, nên tìm được

.sin

B . Vì các góc cho là đặc biệt

A=1200, từ đó tính diện tích bằng công thức S = 1 2

nên kết quả lấy giá trị đúng.

Trong Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc, SGK2 cũng giới thiệu 5 bài

toán làm ví dụ. Trong đó 3 bài đầu tiên cũng chính là 3 bài đầu có trong SGK1 mà

chúng tôi đã phân tích ở trên.

Lời giải Bài toán 1 của hai bộ sách đều được trình bày giống nhau, nghĩa là

dùng kĩ thuật τ1s cho kiểu nhiệm vụ T1. Các nhận xét về cách lấy số gần đúng cũng

giống SGK1.

Đối với bài toán 2, lời giải trong SGK2 khác SGK1 về cách lấy chữ số thập

phân và khác ở cách suy ra góc A từ cosA. Người ta không thông qua giá trị dương của nó để suy ra A mà nhận xét “Như vậy A là một góc tù và ta có A ≈ 1010”. Nghĩa là

MTBT đã được sử dụng trong bài toán này và các chức năng về lượng giác cũng đã

được khai thác triệt để. Kĩ thuật giải quyết T21 cũng như SGK1.

Đối với bài toán 3, thì SGK2 cũng không thông qua góc nhọn trung gian bù với

A để suy ra A mà cũng nhận xét như bài toán 2.

Trong SGK1, các tác giả không trình bày cụ thể các giá trị lượng giác của các

góc đem tính là bao nhiêu trong biểu thức tính toán nhưng trong SGK2 thì lại ghi cụ

thể giá trị lượng giác của các góc (lấy 4 chữ số thập phân), sau đó mới tính kết quả

cuối cùng của biểu thức tính toán. Có lẽ đây là một cách sử dụng ngầm ẩn bảng số

lượng giác của các tác giả SGK2 và với đặc điểm này, chúng tôi cho rằng MTBT vẫn

giữ vai trò hỗ trợ tính toán.

Điểm khác biệt nhất có trong SGK2 so với SGK1 là các tác giả có trình bày

tường minh phần “giải tam giác bằng máy tính bỏ túi”. Với 3 ví dụ minh hoạ, SGK2

hướng dẫn bấm liên tiếp các phím của MTBT để có kết quả một lần và có sử dụng

phím chức năng ANS (lưu kết quả vừa tính được).

Như vậy, đặc điểm này của SGK2 đã quan tâm đến việc tính “sao cho ít sai số

nhất” (chỉ tính gần đúng một lần trong biểu thức tính toán). Kết hợp với phân tích

trong các phần trên, chúng tôi nhận thấy cả hai bộ sách đều có quy tắc của hợp đồng

didactique trong các tính toán gần đúng, đó chính là quy tắc đã nêu:

R1: Phải tính sao cho ít sai số nhất.

Ngoài ra, trong các bài toán và ví dụ xem xét ở trên thì giả thiết cho các góc

không đặc biệt và các cạnh là các số thập phân (trừ bài toán 2), vì thế các kết quả đều

tính ra các giá trị gần đúng.

♦Phần bài tập

Một đặc điểm chung trong lời giải của các sách là tính góc thứ ba của tam giác nhờ tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 1800. Do đó, các kĩ thuật giải quyết cho

từng kiểu nhiệm vụ trong phần phân tích dưới đây sẽ không trình bày cách tính góc

thứ ba của tam giác nữa, mà chúng tôi chỉ nêu là tính góc thứ ba (trong trường hợp tính

góc thứ ba theo công thức cosin hoặc sin thì chúng tôi sẽ ghi chú thêm).

Trong SGK2 chúng tôi thấy có 5 bài và 2 bài trong ôn tập thuộc T1 và đều được

ưu tiên tính theo kĩ thuật τ1s (giống như SGK1). Trong SBT2 cũng có 3 bài và không

có bài nào giải theo kĩ thuật τ1sc và cũng không có bài nào tính qua trung gian bán kính

R. Như vậy, kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật giải quyết T1 hoàn toàn giống SGK1.

Kiểu nhiệm vụ T21 có 9 bài ( SGK2 có 3 bài- không tính các ví dụ, và 6 bài

trong SBT2). Tất cả các bài của bộ thứ hai này đều tính theo kĩ thuật τ21c.

Ví dụ về (T21, τ21c) ( SGK2, Bài tập 4- trang50)

ˆA

ˆB ˆC ,

Cho tam giác ABC biết , = 360, b = 85m và c = 54m. Tính a, Giải Ta có a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA. Do đó

a= 2714,22

a2 = 852 + 542 – 2.85.54.cos360 ≈ 2714,22

≈ 52,1m

⇒

cosB =

-0,2834

ˆ B=106 28'

≈

⇒

a +c -b 2ac

2714,38+2916-7225 2.52,1.54

ˆC = 1800 – (360 + 106028’) ≈ 37032’

Ví dụ này cũng thể hiện tinh thần tính gần đúng khi có các góc không đặc biệt

và tính sao cho ít sai số nhất (đó chính là R1).

Cũng như trong phân tích lí thuyết, các tác giả suy ra ngay số đo của góc (nhọn

hay tù) từ cosin của góc đó mà không qua trung gian như SGK1.

Nếu các tác giả không tính góc B bằng định lí cosin mà tính bằng sinB=

b.sinA a

thì kết quả sẽ như thế nào? Chúng ta biết rằng MTBT hay bảng số lượng giác chỉ suy

ra góc nhọn từ sin của góc đó. Vì thế, nếu tính sinB thì phải lấy giá trị góc tù bù với

giá trị góc nhọn đó mới phù hợp với kết quả của bài tập. Việc bác bỏ trường hợp góc

nhọn có thể dựa vào quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác. Vì lý do này mà bộ sách

thứ hai ưu tiên công thức cosin để tính góc hơn định lí sin (nghĩa là không phải chọn

lựa kết quả sau khi tính).

Chỉ có 1 bài tập trong SBT2 thuộc kiểu niệm vụ T22 và các tác giả ưu tiên kĩ

thuật τ22s . Đó là bài tập II.18, trang 59:

Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác

định một điểm B có khoảng cách AB = 12m và đo được góc

(cid:110)ACB

= 370. Tính khoảng

cách AC biết rằng BC = 5m.

Giải Theo định lý sin đối với tam giác ABC ta có:

sinA=

0,2508

⇔

⇒

≈

⇒ ˆA ≈ 14031’

BC AB = sinA sinC

5 sinA

5.sin37 12

sin37

ˆB ≈ 1800 – (370 + 14031’) = 128029’

12.sinB 12.sin128 29'

AC=

15,61(m)

⇒

≈

.Vậy khoảng cách AC≈15,61(m)

= sinB sinC

sinC

sin 37

Rõ ràng, từ sinA người ta suy ra góc A là góc nhọn mà không có một lời giải

thích nào cũng giống như SGK1. Có thể các tác giả đã ngầm hiểu là vì cạnh AB > BC

nên góc C lớn hơn góc A. Lại một lần nữa, chúng ta thấy số đo của một góc được suy

ra từ sin góc đó luôn là góc nhọn, nói cách khác chúng ta lại thấy sự tồn tại R2 đã tìm

được trong SGK1.

Kĩ thuật τ22c(định lí cosin) và τ22cs(Kết hợp định lí sin và cosin) không được thể

hiện trong bài tập nào.

Đối với kiểu nhiệm vụ T3 có tất cả 12 bài tập của cả SGK2 và SBT2 ưu tiên kĩ

thuật τ3c(định lí cosin). Do đó chỉ có một tam giác giải được vì với mỗi giá trị của cosx thì chỉ cho duy nhất một góc x (từ 00 đến 1800). Như vậy, đây có thể được xem là một

cách để suy ra số đo góc của tam giác và số đo góc đó là duy nhất. Đây là điểm khác

biệt lớn so với SGK1.

Với việc ưu tiên các kĩ thuật khác nhau của hai bộ sách như vậy thì trong thực

tế dạy học, GV chọn cách trình bày nào? còn kĩ thuật nào khác tối ưu hơn, hay tốt hơn

không? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi tìm thấy trong bộ sách thứ hai còn có

kiểu nhiệm vụ sau mà bộ thứ nhất không có, đó là

T’3: Tính góc lớn nhất của tam giác (khi biết ba cạnh của nó)

Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này thì phải tìm được góc nào là lớn nhất của tam

giác? Đó chính là góc đối diện với cạnh lớn nhất. Vì thế các kĩ thuật để giải quyết kiểu

nhiệm vụ này là:

τ’3a: - Tìm cạnh lớn nhất, suy ra góc lớn nhất.

- Tính góc lớn nhất đó bằng định lí cosin.

τ’3b: - Tính ba góc của tam giác(theo các kĩ thuật trong T3), suy ra góc lớn nhất.

Ví dụ về (T’3, τ’3a), SGK2, Bài tập 2, trang 49

Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết

a) a = 3cm, b = 4cm, c = 6cm.

b) a = 40cm, b = 13cm, c = 37cm.

ˆC

Giải a)Vì cạnh c lớn nhất nên góc

lớn nhất. Ta có:

ˆ C 117 16 ⇒ ≈

cosC =

a +b -c 2ab

2 3 +4 -6 2.3.4

11 24

Một ví dụ khác về (T’3, τ’3a), SGK2, bài tập 3, trang 50

Cho tam giác XYZ có các cạnh x = 8, y = 10 và z = 13. Hỏi tam giác đó có góc tù không?

Nếu có hãy tính góc đó.

Giải Nếu tam giác XYZ có góc tù thì góc đó phải đối diện với cạnh lớn nhất là z=13. Ta có

công thức tính cạnh theo định lý cosin:

z2 = x2 +y2 – 2xy.cosZ

169 = 64 + 100 – 2.8.10.cosZ

⇔

ˆ Z 91 47' ⇒ ≈

⇔ cosZ =

64+100-169 160

5 160

Kĩ thuật τ’3a cũng có thể được xem là một gợi ý để tìm các góc của tam giác

một cách tối ưu nếu biết ba cạnh của nó. Đây cũng là một bước suy luận để dẫn đến

phạm vi hợp thức của kĩ thuật τ3cs trong kiểu nhiệm vụ T3. Bởi vì, khi đã tính góc lớn

nhất bằng định lí cosin rồi thì hai góc còn lại chắc chắn là góc nhọn và dùng định lý

sin (suy ra một số đo góc và góc đó là nhọn) hay cosin tính hai góc này bằng MTBT

hay bảng số thì kết quả hoàn toàn chính xác.

Rõ ràng, đây là loại bài tập không được các tác giả biên soạn sách quan tâm. Và

như vậy, hai kĩ thuật còn lại đã không được trình bày. Vì thế, chúng tôi tự hỏi Trong

thực hành dạy- học các bài toán giải tam giác, GV có cho học sinh làm quen với loại

toán này hay không? Nếu có thì ưu tiên kĩ thuật nào? Đây cũng là một trong các

nguyên nhân dẫn chúng tôi đến việc xây dựng thực nghiệm sau này.

Đối với kiểu nhiệm vụ T4, chúng tôi thấy trong phần câu hỏi trắc nghiệm của ôn

tập chương (SGK2, trang 63) có câu hỏi 9 là

c) 9cm;

Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 8cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và AM=3cm. Khi đó cạnh BC có độ dài bằng a) 2 6 cm; b) 2 31 cm;

d) (4+2 13 ) cm

Hãy chọn kết quả đúng.

Qua các kiểu nhiệm vụ đã nghiên cứu ở trên, chúng tôi không thấy có sự kiểm

chứng về sự tồn tại của tam giác giải được mà các tam giác đã tìm được đều tồn tại.

Nghĩa là, đối với bài toán giải tam giác thì SGK2 cũng có quy tắc hợp đồng như SGK1

là R3: Không có sự kiểm chứng về sự tồn tại của tam giác tìm được.

KẾT LUẬN

Đối với bộ sách thứ hai

- Có đủ các kiểu nhiệm vụ mà ở phần giới thiệu chúng tôi đã chỉ ra. Trong phần

lý thuyết bài tập của SGK2, ngoài ba kiểu nhiệm vụ đó là T1, T21, T3, còn có

thêm kiểu nhiệm vụ T’3 mà bộ thứ nhất không có. Riêng đối với T3 thì SGK2

và SBT2 ưu tiên τ3c. Đối với T21 thì SGK2 giới thiệu hai kĩ thuật là τ21c và

τ21cs.

- Có ba quy tắc hợp đồng didactique giống như SGK1.

- MTBT vẫn giữ vai trò hỗ trợ tính toán, tuy nhiên chức năng lượng giác cũng

được khai thác hơn (thể hiện ở bài hướng dẫn sử dụng MTBT).

Dưới đây là bảng thống kê số lượng bài tập theo các kiểu nhiệm vụ đã

phân tích của hai bộ sách

ộ thứ nhất

B

Tổng

SGK1

SBT1

cộng

VD BT ÔN VD BT

3

5

13 T1

4

5

12 T21 3

1 T22

2

1

3

6 T3

0 T’3

3 T4

Bộ thứ hai

Tổng

SGK2

SBT2

cộng

VD BT ÔN VD BT ÔN

5 2 1 2

14 T1 4

2 1 3 2 1

15 T21 6

1 T22

3 3 2 1

12 T3 3

2 1

3 T’3

2 T4

Bảng thống kê cho thấy số lượng bài tập thuộc ba kiểu nhiệm vụ T1, T21, T3

chiếm ưu thế tuyệt đối trong các ví dụ và bài tập liên quan đến “giải tam giác” theo

nghĩa mà chúng tôi đã xét ( tổng số 72/82 bài của cả hai bộ sách).

Đối với kiểu nhiệm vụ T1 (13 bài của bộ thứ nhất và bộ thứ hai có14 bài), như

góc và cạnh của tam giác, kĩ thuật còn lại hoàn toàn không được trình bày trong cả hai

chúng tôi đã phân tích ở trên, các tác giả ưu tiên kĩ thuật τ1s: Dùng định lí sin để tính

bộ sách.

Quan trọng và chiếm ưu thế như T1 là T21 (tổng số có 12+15=27 bài). Kỹ thuật

để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là τ2c, nhưng chỉ có SGV1 ưu tiên τ2cs và luôn suy ra

góc nhọn từ sin của góc đó (thay vì dùng cosin như các sách khác).

Kiểu nhiệm vụ T3 (18/82 bài) cũng được các sách quan tâm. Việc lựa chọn kỹ

thuật τ3cs dẫn đến vấn đề hợp thức kết quả tìm được lại không được các sách lưu ý. Vì

lí do này cũng đưa chúng tôi đến việc hình thành các giả thuyết nhiên cứu của luận văn

sau này.

Chỉ có 2/82 bài thuộc T22 (mỗi bộ sách một bài) và chỉ có trong phần bài tập

của SBT1 và SBT2 và ngoài ra nó không xuất hiện trong bất kì phần nào nữa. Như

vậy, giải tam giác khi biết trước hai cạnh và một góc không xen giữa là kiểu nhiệm vụ

không được các SGK quan tâm. Vì thế chúng tôi cho rằng sẽ khó khăn cho học sinh

nếu như gặp phải kiểu nhiệm vụ này và đây cũng là một trong số những gợi ý dẫn

chúng tôi đến việc xây dựng bài thực nghiệm của chương sau.

Cũng như T22, kiểu nhiệm vụ T’3 (tính góc lớn nhất của tam giác) cũng không

được các tác giả quan tâm. Điều này thể hiện ở số lượng 3/82 bài tập có trong bộ sách

thứ hai, còn bộ thứ nhất thì không có bài tập nào. Nếu như trong T’3 các tác giả có

thêm câu hỏi: từ đó có kết luận gì về các góc còn lại của tam giác? thì có lẽ câu hỏi

này sẽ là gợi ý giúp học sinh có cách vận dụng tốt hơn công thức cosin và sin để tính

các góc của một tam giác, đặc biệt là trong việc sử dụng công thức sin.

Như chúng tôi đã nêu trong các phần phân tích ở trên, việc tính cạnh và góc

của tam giác chủ yếu là dựa vào công thức sin và cosin, ngay cả đối với các công thức

trung tuyến hay diện tích của tam giác thì chỉ có duy nhất một công thức diện tích là

có liên quan đến tỷ số lượng giác sin. Cho nên, kiểu nhiệm vụ giải tam giác khi biết

các yếu tố không phải là ba cạnh, hai cạnh và một góc, hay hai góc và một cạnh đã

không được quan tâm. Vì thế, chỉ có 5/82 bài tập thống kê được là thuộc kiểu nhiệm

vụ T4.

c) Liên hệ giữa lí thuyết và bài tập

Cả hai bộ sách đều ưu tiên kiểu nhiệm vụ T1, T21, T3 và cả ba nhiệm vụ này đều

có trong các ví dụ của phần lí thuyết. Phần bài tập của bộ sách thứ nhất hoàn toàn vắng

bóng kiểu nhiệm vụ T’3. Tuy có xuất hiện trong SBT của hai bộ sách nhưng T22 chỉ

xuất hiện trong một bài duy nhất đối với mỗi bộ.

Trong cả lí thuyết và bài tập đều không có lưu ý về kiểm chứng sự tồn tại của

tam giác giải được và không hề có mặt bài tập hay ví dụ nào mà kết quả có hai nghiệm

hình.

Ngoài ra, trong các ví dụ và bài tập về Giải tam giác của cả hai bộ sách (như

chúng tôi đã nhiều lần nhận xét trong các phân tích ở trên) đều có đặc điểm là các tính

toán sẽ lấy giá trị gần đúng nếu như giả thiết cho số đo góc không đặc biệt hay độ dài

cạnh tam giác là số thập phân. Vì thế, chúng tôi cho rằng có quy tắc hợp đồng

didactique sau:

R4: Nếu giả thiết cho góc không đặc biệt và số thập phân thì tính gần đúng.

Liên quan đến MTBT và bảng số chúng tôi có kết luận: bảng số lượng giác với

4 chữ số thập phân không đươc ưu tiên, MTBT chiếm ưu thế hơn.

1.3.3. KẾT LUẬN

Qua phân tích SGK thí điểm liên quan đến Hệ thức lượng trong tam giác, mà trọng

tâm là giải tam giác theo nghĩa hẹp, chúng tôi nhận thấy:

- Các kiểu nhiệm vụ T1, T21, T3 có mặt trong SGK, còn các kiểu nhiệm vụ khác

thì không được xuất hiện (chúng chỉ có trong SBT)

- MTBT chiếm ưu thế hơn bảng số lượng giác có 4 chữ số thập phân (thể hiện ở

các bài hướng dẫn tường minh cách sử dụng MTBT).

- Định lý cosin được ưu tiên hơn định lý sin trong việc tính góc của tam giác khi

biết ba cạnh của nó. Chỉ có SGK1 dùng định lý sin, còn các sách khác (cả

SBT1) đều dùng định lý cosin.

- Từ phân tích chương trình và SGK, chúng tôi đã rút ra được 4 quy tắc hợp đồng

didactique, chúng tôi phát biểu lại như sau:

Liên quan đến MTBT và tính toán gần đúng có 2 quy tắc:

R1: Phải tính sao cho ít sai số nhất. Cụ thể:

- Dùng công thức để có biểu thức số, sau đó dùng MTBT để tính kết quả cuối

cùng). Nghĩa là, với mỗi biểu thức tính toán thì không làm tròn nhiều lần

các kết quả trung gian và phải lấy hết các chữ số có trên màn hình MTBT để

cho ra kết quả cuối cùng (dạng này thể hiện trong các ví dụ đã phân tích)

- Lấy càng nhiều chữ số thập phân thì kết quả càng ít sai số.

R4: Nếu giả thiết cho góc không đặc biệt và số thập phân thì tính gần đúng.

Liên quan đến giải tam giác có hai quy tắc:

R2: Số đo của một góc được suy ra từ giá trị sin của góc đó luôn nhỏ hơn 900

R3: Không có sự kiểm chứng về sự tồn tại của tam giác tìm được.

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH THỰC HÀNH MỘT GIỜ LÊN LỚP CỦA GIÁO VIÊN

2.1. Mục đích

Chương này phân tích một tiết học về “giải tam giác” mà chúng tôi đã dự giờ

của một giáo viên lớp 10. Theo giáo viên này thì đây là lớp có trình độ trung bình

trong khối lớp 10 của trường và đang học theo chương trình thí điểm - bộ sách thứ

nhất. Hạn chế của phần này là ở chỗ chúng tôi đã không ghi âm hay quay phim được

tiết học này. Tuy nhiên, chúng tôi cố gắng dựng lại một cách chính xác nhất với những

gì mà chúng tôi đã ghi nhận được trong tiết học.

Thực ra tiết học này không phải là một tiết học nhằm đưa vào một tri thức mới,

nhưng nó lại là tiết học nhằm xây dựng các kỹ thuật để tính góc và cạnh của tam giác.

Với hai định lý chính là sin và cosin thì nên sử dụng định lí cosin để tính góc và cạnh

của tam giác, hay là định lí sin, hay nên kết hợp cả hai định lí? Những kĩ thuật này có

dễ sử dụng đối với học sinh?

tổ chức toán học và tổ chức didactique nào đã được xây dựng trong giờ học?Liệu các

tổ chức toán học đã tìm được trong sách giáo khoa và được xây dựng trong tiết học là

như nhau? Các kĩ thuật và phạm vi hợp thức của nó có được trình bày tường minh?

MTBT được sử dụngnhư thế nào trong giờ học? Các quy tắc của hợp đồng didactique

đã tìm được trong phần phân tích SGK có được thể hiện rõ?

Việc nghiên cứu tiết học này cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi: Có những

Trả lời được những câu hỏi này cũng là một cơ sở giúp chúng tôi đưa ra giả

thuyết nghiên cứu của luận văn.

2.2. Tổ chức toán học và tổ chức didactique: một quan điểm động

GV bắt đầu tiết học bằng cách giới thiệu trực tiếp bài học, thể hiện ở câu nói

Hôm nay chúng ta học bài “ Giải tam giác và ứng dụng”(ghi lên bảng) . Trước hết thầy muốn các em nhắc lại cho thầy định lý sin, cosin và hệ quả của chúng. Thầy mời hai bạn lên bảng ghi lại cho thầy

Đoạn sau đây

GV: Như vây hai bạn viết rất đúng. Chúng ta vào bài mới “Giải tam giác và ứng dụng”. GV giới thiệu “Giải tam giác là tính độ dài của một cạnh hay số đo góc chưa biết dựa vào một số yếu tố đã biết” (GV chỉ phát biểu nhưng không cho học sinh ghi vào vở).

Đây là đoạn mà khái niệm giải tam giác được GV giới thiệu đến học sinh. Vấn

đề ở đây là “thế nào là giải tam giác?”. Theo GV thì “giải tam giác” được hiểu theo

“nghĩa hẹp”, nghĩa là chỉ tìm góc và cạnh của tam giác.

GV nêu ví dụ 1 như sau: Vd 1: Cho tam giác ABC biết a = 17,4; B = 44030’; C = 640. Tính góc A, b, c.

Đây chính là kiểu nhiệm vụ T1 đã có trong sách giáo khoa. Tuy nhiên, GV chọn

cách trình bày câu hỏi của ví dụ không bằng thuật ngữ “giải tam giác” mà chỉ rõ những

yếu tố cần tìm. Có lẽ GV muốn học sinh vẫn quen thuộc với kiểu nhiệm vụ cần nghiên

cứu.

GV vừa ghi xong ví dụ trên bảng thì ngay lập tức vẽ hình minh hoạ và ghi các

giả thiết tương ứng trên hình vẽ. Như vậy, với học sinh thì hình vẽ chỉ mang tính chất

minh hoạ và họ không cần thiết phải vẽ hình này.

Đây chính là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ T1: Giải tam giác khi biết hai

góc và một cạnh của nó. Đoạn sau đây:

Sau đó GV hỏi cả lớp “Chúng ta có thể tính góc A theo công thức nào?” HS: Lấy 1800 trừ góc B và C. GV: Muốn tính cạnh b các em sử dụng công thức nào? Một nhóm học sinh nói to “Cosin”. Nhóm khác nói “sin”. GV: Dựa vào hình vẽ và các giả thiết đã cho, “các em dò trên bảng”, nếu sử dụng định lý cosin, ta sẽ áp dụng cho góc nào? Còn nếu sử dụng định lý sin, các em sẽ sử dụng tỉ số nào? Đa số học sinh không trả lời câu thứ nhất về định lý cosin, chỉ có 2 học sinh trả lời lớn “Định lý cosin cho góc B”. GV yêu cầu một trong hai học sinh này giải thích cách làm. HS: “Đối với góc B, dùng định lý cosin ta sẽ được phương trình bậc 2 theo cạnh b, vì a, góc B đã biết và c …(học sinh không trả lời tiếp), không tính được Thầy ơi! GV: Như vậy chúng ta sẽ chọn định lý sin để tính cạnh b. Với công thức của định lý sin này (GV chỉ vào công thức có trên bảng) chúng ta nên sử dụng tỉ số … Em nào trả lời?

HS:

, vì a, A, B đã biết.

a sin

b sin

GV: Bạn trả lời rất chính xác. Tuy nhiên, muốn tính cạnh nào thì chúng ta nên để phân số tương ứng đứng trước( trong trường hợp này chúng ta nên để b trước) vì các

em dễ suy ra

hơn, đúng không?

.sin B a sin A

Kĩ thuật mà GV hướng dẫn học sinh tìm để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là τ1s.

Học sinh trong lớp quan sát công thức (còn ghi trên bảng) và tìm các giả thiết tương

ứng. Nếu trong công thức chỉ còn một yếu tố chưa biết thì có thể dùng công thức đó.

Sau khi thống nhất kỹ thuật (tìm góc còn lại, sau đó dùng công thức sin để tính 2

cạnh), GV nhường lại phần làm việc cho học sinh cả lớp bằng cách gọi học sinh đại

diện lên trình bày cụ thể lời giải trên bảng, còn học sinh ở dưới lớp vừa theo dõi vừa

làm việc. Phần sau đây là phần làm việc với kĩ thuật của học sinh.

a .sin

17, 4.s in44 30 '

12,86

≈

sin

0 sin 71 30 ' 0

a .sin

17, 4.sin 64

16, 49

≈

sin

0 sin 71 30 '

GV gọi 1 học sinh lên bảng làm bài. HS trình bày trên bảng: Ta có A = 1800 – B – C = 1800 – 44030’ – 640 = 71030’.

GV: Ở đây chúng ta nên lấy độ dài của cạnh chính xác đến hàng chục thôi, nghĩa là chỉ lấy một chữ số thập phân (Thầy nhắc lại cho các em điều này). Như vậy, cạnh b≈12,9 và c ≈ 16,5.

Trong hoạt động vừa rồi, kỹ thuật được xây dựng là:

- Tính góc còn lại bằng cách lấy 1800 trừ tổng hai góc đã biết (dựa vào tính

chất tổng ba góc trong một tam giác).

Dùng công thức của định lí sin để tính các cạnh còn lại. -

Khi GV gọi học sinh lên bảng làm ví dụ này cũng chính là thời điểm làm việc

với kĩ thuật. Công nghệ giải thích cho kĩ thuật này đó là tính chất tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 1800. Hơn nữa, với hai định lí sin và cosin còn ghi trên bảng

cũng là công nghệ giải thích cho kĩ thuật đã làm. Vấn đề thể chế hoá được GV đặt ra

trong ví dụ này chính là những quy tắc và yêu cầu mà GV mong đợi ở học sinh. Đó là

vấn đề lấy bao nhiêu chữ số thập phân đối với độ dài của một cạnh (GV yêu cầu 1 chữ

số), và cách ghi công thức sao cho tiện lợi để suy ra yếu tố cần tính (ghi phân số có

yếu tố cần tính trước phân số đã có đủ các yếu tố của nó). Như vậy, T1 đã được trình

bày trong tiết học và kĩ thuật sử dụng là τ1s. Phải chăng, việc tính sao cho ít sai số nhất

được thể hiện trong kiểu nhiệm vụ này là cách lấy các chữ số thập phân và không tính

qua trung gian các kết quả gần đúng trong một biểu thức tính toán? Nghĩa là quy tắc

R1 đã xuất hiện? Để khẳng định, chúng ta xét tiếp tiến trình tiết học.

GV giới thiệu ví dụ 2, đây là thời điểm gặp gỡ với kiểu nhiệm vụ T21: giải tam

giác khi biết hai cạnh và một góc xen giữa.

Vd 2 : Cho ∆ABC, a = 30,4; b = 22,6; C = 30025’. Tính c và hai góc A, B. GV: “Bạn nào xung phong lên bảng tính câu này cho Thầy?”. Có vài cánh tay giơ lên. GV gọi “Mai Anh lên trình bày cho Thầy”.

Mai Anh: Ta có c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC = 30,42 + 22,62 – 2.30,4.22,6.cos30025’

= 1434,92 – 1184,96 = 249,96 249,96 15,81. =

c ⇒ =

22, 6

30, 4

−

cos

...

c − + bc 2

2 15,81 2.22, 6.15,81

249,9595 15,81.

≈

30, 4

22, 6

−

0, 2293

cos

≈ −

Học sinh chưa kịp tính tiếp thì: GV: Cách tính của em là đúng nhưng sai số nhiều quá. GV: Chúng ta không nên tính riêng (chỉ vào ba dấu “=” sau cùng trong lời giải của học sinh khi tính c2) vì sai số rất nhiều. Một bạn khác lên sửa lại cho Thầy. Trước khi tính Thầy nhắc lại nguyên tắc: chỉ bấm máy tính một lần để cho ra kết quả cuối cùng thì sẽ ít sai số. HS lên sửa lại: c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC = 30,42 + 22,62 – 2.30,4.22,6.cos30025’ ≈ 249,9595 c⇒ = GV nhắc: “Ta lấy một chữ số thập phân cho cạnh”. HS liền sửa lại c ≈ 15,8. c − + bc 2

2 15,81 2.22, 6.15,81

0 103 15'

A ⇒ =

cos

c − + ac 2

HS chưa kịp tính, GV nhắc “Không cần thiết tính góc B theo công thức này”. HS sửa lại (sau một hồi suy nghĩ) là:

B = 1800 – (A+C) ≈ 1800 – (35025’ + 103015’) ≈ 46020’.

GV đề nghị : “Cả lớp chú ý Thầy nhắc lại phần này: c2 lấy bốn chữ số thập phân” (rồi GV sửa lại bài của học sinh) là c2 ≈ 249,9596 (vì phải làm tròn). Tính cosA cho ít sai số thì khi dùng c2 chúng ta nên thế số 249,9596 (sai số sẽ ít hơn), vì sao làm như thế lại ít sai số? Bởi vì khi tính c2 chúng ta đã làm tròn, rồi suy ra c cũng làm tròn, như thế nếu sử dụng c thì sẽ bị làm tròn 2 lần trong khi c2 chỉ làm tròn một lần. Do đó cosA ≈ ─ 0,2289 nên A≈103014’, suy ra B ≈ 46021’. Như thế, sau khi GV nêu ví dụ 2 và vẽ hình trên bảng, học sinh bắt đầu nghiên

cứu kiểu nhiệm vụ T2 để tìm các kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này, đồng thời tìm

các yếu tố công nghệ - lí thuyết để giải thích cho kĩ thuật đã sử dụng. Kĩ thuật giải

quyết T21 chính là τ21c (sử dụng định lí cosin) thông qua bài giải của học sinh Mai Anh.

Dùng công thức định lí cosin để tính cạnh còn lại. -

Dùng định lí cosin để tính một trong hai góc còn lại chưa biết . Góc chưa biết cuối cùng lấy 1800 trừ hai góc đã biết. -

Tuy nhiên, chúng ta cũng có thể tính theo kĩ thuật τ21cs: Kết hợp định lí cosin và

sin:

Tính cạnh còn lại dựa vào định lí hàm số cosin -

Dùng định lí sin trong tam giác để tính 1 trong 2 góc còn lại. -

- Tính góc thứ ba

Kĩ thuật τ21cs được SGK1 và SGV1 ưu tiên sử dụng trong lý thuyết và bài tập,

thế nhưng cách trình bày trên bảng lại thiên về τ21c. Phải chăng, với học sinh, để tính

số đo góc của tam giác thì định lí cosin được ưu tiên?.

Vấn đề vẫn là tính sao cho ít sai số nhất. Đối với học sinh, phải có biểu thức số

cụ thể rồi mới tính kết quả (trong bài làm của học sinh, em đó đã lấy cụ thể giá trị của cos30025’, rồi tính tiếp kết quả của c2 ). Như vậy, đối với GV, cách tính như học sinh

Mai Anh đã làm cho kết quả bị sai số nhiều. Vì vậy, GV yêu cầu chỉ bấm MTBT một

tính một lần để cho ra kết quả cuối cùng thì sẽ ít sai số ). Như vậy, hợp đồng R1 được quy

lần các phép toán trong một công thức mà thôi (Thầy nhắc lại nguyên tắc: chỉ bấm máy

định trong tiết học. Sau khi nhắc nhở học sinh trong lớp, một học sinh khác trình bày

cần thiết tính góc B theo công thức này”. Với tác động này, học sinh phải tự nhận biết cách

lời giải của mình. GV can thiệp vào phần tính góc cuối của học sinh “GV nhắc “Không

tính khác sao cho nhanh và phù hợp với mong đợi của GV. Phần thể chế hoá kĩ thuật

vừa được HS trình bày để giải quyết T2 là vấn đề về phần làm tròn số, cách lấy kết quả

để ít bị sai số nhất và lấy bao nhiêu chữ số thập phân thì phụ thuộc vào câu nói của

““Cả lớp chú ý Thầy nhắc lại phần này: c2 lấy bốn chữ số thập phân” ( rồi GV sửa lại bài của học sinh) là c2 ≈ 249,9596 (vì phải làm tròn). Tính cosA cho ít sai số thì khi dùng c2 chúng ta nên thế số 249,9596 (sai số sẽ ít hơn), vì sao làm như thế lại ít sai số? Bởi vì khi tính c2 chúng ta đã làm tròn, rồi suy ra c cũng làm tròn, như thế nếu sử dụng c thì sẽ bị làm tròn 2 lần trong khi c2 chỉ làm tròn một lần. Do đó cosA ≈ ─ 0,2289 nên A ≈ 103014’, suy ra B ≈ 46021’”

thầy (HS không ghi vào vở):

Chúng tôi thấy rằng khi lấy c2 đã tìm được để tính tiếp có làm cho kết quả ít sai

số nhất như GV giải thích thì chưa hẳn là ít sai số nhất. Nếu ngay từ đầu lấy

2 .cos

−

c= =…. thì chắc chắn kết quả sẽ ít sai số hơn. Có lẽ, GV này cho

rằng nếu tính sao cho càng ít sai số nhất là càng tốt? Việc tính ít sai số nhất không có

cách tối ưu?

Trong ví dụ 2 này, chỉ có một kĩ thuật được xây dựng là ưu tiên định lí cosin để

trả lời yêu cầu của bài toán. Nghĩa là dùng τ21c để giải quyết T21. GV không đề cập gì

về định lí sin (để tính số đo của hai góc còn lại). Nói cách khác, kĩ thuật mà học sinh

đã sử dụng cũng là kĩ thuật mà GV giới thiệu đến học sinh cả lớp. Các kĩ thuật khác đã

không được xây dựng tường minh.

Sau khi nêu kiểu nhiệm vụ T3: giải tam giác khi biết ba cạnh của tam giác đó

thông qua ví dụ 3, học sinh làm việc ngay với kĩ thuật mà không hề có sự tìm kiếm

trước đó. Có thể là vì học sinh đã được gặp yêu cầu này ở bài “Định lí sin và cosin

trong tam giác”, cách tính số đo góc của một tam giác khi đã có ba cạnh của nó với

công cụ là định lí cosin.

Vd 3: Cho ∆ABC có a = 15, b = 7, c = 9.Tính các góc A, B, C. GV vẫn vẽ hình, ghi các giả thiết trên hình vẽ và gọi học sinh Trúc lên giải bài. Trúc giải: 2

−

0, 7539

cos

≈ −

bc 2

2.7.9

A ⇒ ≈

0 138 56 ' 2 2

−

cos

0, 9518

≈

2.15.9

0 17 51'

B ⇒ ≈

180

(

)

0 23 13'

≈

−

A B +

≈

Học sinh sử dụng định lí cosin để tính các góc của tam giác trong trường hợp T3

(góc thứ ba vẫn dùng tính chất tổng ba góc trong tam giác), nghĩa là theo kĩ thuật τ3c

và làm việc độc lập mà không có sự hướng dẫn hay gợi ý của GV để tìm kĩ thuật này.

GV chỉ can thiệp vào khâu cuối cùng là hợp thức kết quả tìm được của học sinh. Đó

vẫn là quy tắc làm tròn số, cách lấy chữ số thập phân và sử dụng MTBT sao cho kết

quả ít sai số nhất. Nghĩa là vẫn thể hiện quy tắc R1.

GV giới thiệu kĩ thuật thứ hai τ3cs, nghĩa là tính số đo góc B (sau khi tính được

góc A bằng định lí cosin) bằng định sin (vì nhanh hơn- theo GV), vẫn cho kết quả

giống như kĩ thuật mà học sinh đã làm trên bảng, với giải thích:

“Tuy nhiên, có một nhược điểm khi sử dụng định lý sin đó là: hai góc bù nhau có cùng giá trị sin, nghĩa là có một góc nhọn và góc tù tương ứng có sin giống nhau. Do đó trong trường hợp tính sinB mà chỉ suy ra góc B là góc nhọn thì làm cách nào để bỏ đi góc tù tương ứng của nó? Nói cách khác khi sử dụng sinB thì góc B sẽ có hai trường hợp. Như vậy, để đảm bảo an toàn và cho kết quả duy nhất của số đo góc thì chúng ta nên dùng định lý cosin”. Lời giải thích này không nói rõ tại sao trong ví dụ đang xét ta lại lấy góc nhọn

hai trường hợp). Nói cách khác, phạm vi hợp thức của kĩ thuật đã không được trình bày

(giống kết quả giải trên bảng) mà không lấy góc tù? (vì khi sử dụng sinB thì góc B sẽ có

rõ ràng. Cách kiểm tra sự tồn tại của tam giác đã không được trình bày ở thời điểm nào

của tiết học, nghĩa là R3 đã tồn tại trong tiết học này? Lựa chọn “an toàn nhất” đối với

học sinh trong T3 này là dùng định lí cosin và lý do cũng không được giải thích cụ thể.

Có thể do thời gian tiết học đã hết, hoặc học sinh phải tự tìm hiểu lý do với gợi ý này

của GV.

2.3.Tổ chức toán học và tổ chức didactique: một quan điểm tĩnh

2.3.1. Tổ chức toán học

Tổ chức toán học về giải tam giác đã được xây dựng trong tiết học:

Giải tam giác theo “nghĩa hẹp” Kiểu nhiệm

vụ T1 (2 góc và 1 cạnh) T21 (2 cạnh và 1 góc xen giữa) T3 (3 cạnh)

Kĩ thuật τ

τ21c:Cos-cos

τ1s: sin

τ3c: cos-cos

- Tính cạnh thứ ba bằng định lí

- Tính các góc bằng

cosin. - Tính góc thứ ba (1800 trừ cho tổng định lí cosin.

hai góc đã biết). - Tính góc thứ hai bằng định lí

τ3cs: cos-sin

- Dùng định lí sin - Tính góc thứ nhất

tính hai cạnh còn bằng định lí cosin. cosin. - Tính góc thứ ba (1800 trừ cho

lại. - Tính góc thứ hai tổng hai góc đã biết, hay tính

bằng định lí sin. bằng định lý cosin).

- Tính góc thứ ba (1800 trừ cho tổng

hai góc đã biết).

Đây là các tổ chức toán học nhất thời liên quan đến chủ đề “giải tam giác” được

phát biểu với yêu cầu “Tính” góc và cạnh của tam giác được chỉ ra qua ba kiểu nhiệm

vụ T1, T21, T3.

Yếu tố kĩ thuật xuất hiện ngầm ẩn (thông qua lời giải của học sinh), đến một

cách tự nhiên. Việc thể chế hoá các kĩ thuật cũng như nhắc nhở của GV đã không được

ghi vào vở.

Các kĩ thuật để giải quyết một kiểu nhiệm vụ không được xây dựng một cách

tường minh (như τ3cs ) và việc tìm kiếm nhiều kĩ thuật cũng không được đặt ra.

2.3.2. Tổ chức didactique (tổ chức OD)

Xuất phát từ các thời điểm nghiên cứu đã được thực hiện (các kiểu nhiệm vụ

didactique) và cách thức thực hiện chúng (kĩ thuật), các tổ chức didactique đã quan sát

Thời điểm gặp gỡ đầu tiên

trong tiết học được chúng tôi mô tả như sau:

Ta thấy rằng thời điểm này xuất hiện lần đầu tiên ở 3 dịp đối với T1, T21, T3 qua

3 ví dụ mà GV đã nêu cho học sinh thực hiện trong tiết học. Thực ra các thời điểm này

có thể được xem là thời điểm gặp lại ba nhiệm vụ T1, T21, T3 bởi vì chúng không có gì

chưa biết của tam giác thay vì trước đây là tính góc và cạnh nào đó (có thể không tính

hết các cạnh và góc còn lại) và việc vận dụng định lí cosin và sin như thế nào. Đối với

mới đối với học sinh. Cái mới trong tiết học này là việc tính tất cả các góc và cạnh

T1, thời điểm gặp gỡ lại là một nhiệm vụ hợp tác; còn T21 và T3 đó là nhiệm vụ cần

nghiên cứu. Trong thời điểm này thì công việc là của toàn thể học sinh. Nó được thực

hiện do học sinh được gọi lên bảng trình bày câu trả lời, còn các học sinh khác thì làm

việc dưới lớp đồng thời theo dõi phần làm việc trên bảng của bạn. Việc trình bày trên

ii) Thời điểm nghiên cứu

bảng của học sinh được GV sử dụng như là điểm tựa để cụ thể hoá thời điểm này.

Thời điểm này cũng được thể hiện thông qua các ví dụ mà GV nêu ra và chúng

được chọn làm mẫu cho các kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu. Chính câu trả lời của học

sinh trình bày trên bảng đã cho phép thực hiện thời điểm này, mỗi 1 ví dụ là một mẫu

cho các kiểu nhiệm vụ nêu ra. Ở thời điểm này, học sinh ở phía khối thực hành kĩ

thuật- cho phép thực hiện kiểu nhiệm vụ, còn GV chỉ can thiệp vào phần kết luận “câu

trả lời của học sinh là đúng hay sai?”. Với mỗi kiểu nhiệm vụ, không có nhiều kĩ thuật

được xây dựng, chúng chỉ được xây dựng theo cách học sinh đã trình bày trên bảng mà

iii) Thời điểm xây dựng môi trường công nghệ- lý thuyết

thôi.

Thời điểm này chỉ xảy ra đối với T1 và T3. Có sự hợp tác giữa GV và học sinh,

nhưng sự hợp tác này xảy ra rất ít trong giờ học. Với hai nhiệm vụ này, việc xây dựng

môi trường công nghệ- lý thuyết thể hiện ở chỗ:

-. Đối với T1:

HS: “Đối với góc B, dùng định lý cosin ta sẽ được phương trình bậc 2 theo cạnh b, vì a, góc B đã biết và c …(học sinh không trả lời tiếp), không tính được Thầy ơi! GV: Như vậy chúng ta sẽ chọn định lý sin để tính cạnh b. Với công thức của định lý sin này (GV chỉ vào công thức có trên bảng) chúng ta nên sử dụng tỉ số … Em nào trả lời?

- Đối với T3, GV có giải thích tại sao lại sử dụng cosin, nhưng sự giải thích đó có lẽ

chưa thật sự được đầy đủ:

“để đảm bảo an toàn và cho kết quả duy nhất của số đo góc thì chúng ta nên dùng định lý cosin”.

iv) Thời điểm thể chế hoá

GV là người chủ chốt ở thời điểm này. Mục đích của thời điểm này chỉ là phần hợp

thức hoá các kết quả về số các chữ số thập phân, về cách ghi số gần đúng, quy tròn số

và tính sao cho ít sai số nhất bằng MTBT. Đối với T1, T3 có sự hợp thức về công thức

sin hay cosin để tính số đo góc. Các kĩ thuật đã không được GV thể chế hoá. Công

thức sử dụng để tính số đo góc (được GV và học sinh nêu lí do sử dụng) không được

GV thể chế hoá bằng cách ghi vào vở. Thời điểm này được thể hiện ở hầu hết các ví

v) Thời điểm đánh giá

dụ.

Dường như thời điểm này không diễn ra. Qua lần lượt các ví dụ thì ở ví dụ 3, GV

nhắc nhở những yêu cầu của mình, học sinh cũng đã nhận ra yêu cầu đó. Tuy nhiên,

học sinh vẫn chưa làm đúng được theo những gì mà GV mong đợi- không phải là

mong đợi điều gì đó về tổ chức toán học đã xây dựng, mà là mong đợi về những quy

vi) Thời điểm làm việc với kĩ thuật

tắc của cá nhân GV yêu cầu.

Thời điểm này không xảy ra trong giờ học.

Trong tổ chức OD thực hiện trong giờ học, chính GV là người quyết định các thời

điểm xảy ra, thời điểm nào không xảy ra. Học sinh làm theo hướng dẫn và yêu cầu của

GV, tiến hành các hoạt động toán học.

2.4. Đánh giá tổ chức toán học (tổ chức OM)

Chúng tôi sẽ phân tích tổ chức toán học đã quan sát và được trình bày trong tiết

học theo những tiêu chuẩn trình bày trong bài giảng.

2.4.1. Đánh giá kiểu nhiệm vụ

Với tựa đề bài học là “giải tam giác”, đáng lí ra các kiểu nhiệm vụ liên quan

đến giải tam giác nên được yêu cầu bằng thuật ngữ “giải tam giác” thì phần giới thiệu

của GV sẽ phù hợp hơn. Tuy nhiên, thuật ngữ này lại không xuất hiện trong các ví dụ

của SGK, trong phần bài tập và trong cả SBT. Vì thế, GV đã không trình bày nhiệm vụ

theo thuật ngữ đó. Cho nên, GV cũng chọn cách trình bày nhiệm vụ bằng yêu cầu tính

cụ thể các góc và cạnh (nào đó) của tam giác.

- Tiêu chuẩn xác định: ba kiểu nhiệm vụ nêu ra đã được xác định rõ ràng. Đối

với T1 thì 1 ví dụ (1 tập mẫu) có thể xem là đủ. Đối với T2 thì với 1 tập mẫu đã cho (2

cạnh và 1 góc xen giữa hai cạnh đó) thì chưa đủ, nghĩa là mới chỉ có T21, nhưng thiếu

T22. Đối với T3, tập mẫu sẽ phong phú và đầy đủ nếu cho các tam giác có các vị trí góc

tù khác nhau. Qua đó sẽ dẫn đến việc thể chế hóa về việc sử dụng công thức sin và

cosin và những ảnh hưởng của chúng đến phần hợp thức các kết quả tìm được.

- Tiêu chuẩn về lí do tồn tại: Nhiệm vụ tính cạnh và góc của tam giác sau này

vẫn được áp dụng trong các phần toán học khác chẳng hạn như tính khoảng cách, diện

tích, chu vi…. (trong hình học không gian); hơn nữa các nhiệm vụ này cũng còn có ý

nghĩa về mặt thực tiễn (trong đo đạc, tính toán). Tuy nhiên, lí do tồn tại các nhiệm vụ

này đã không được nói rõ. Các hoạt động trực tiếp trên các ví dụ cụ thể chỉ tạo nên câu

trả lời trong hành động, còn trong tổ chức didactique thì người ta sử dụng chúng với

mục đích tạo ra kĩ thuật tính số đo của góc và cạnh một tam giác mà thôi.

- Tiêu chuẩn thoả đáng: tính thoả đáng của các kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu

có mối liên hệ chặt chẽ với lý do tồn tại của chúng. Việc không nói rõ lí do tồn tại

không phải vì thế mà chúng không thoả đáng về mặt nhu cầu toán học của học sinh

“ngay sau đó” và trong tương lai.

2.4.2. Đánh giá kỹ thuật

Kĩ thuật liên quan đến nhiệm vụ T1 thật sự đã được soạn thảo, cho dù nó không

được thể chế hoá bằng chữ viết. Kĩ thuật này dựa trên các ví dụ và bài tập của các bài

học trước đó (liên quan đến định lí sin và cosin) mà học sinh đã làm quen. Nó dễ dàng

được sử dụng đối với học sinh và tầm cỡ cũng như khả năng vận hành của nó là thoả

đáng.

Do các nhiệm vụ liên quan đến T2 (như chúng tôi đã đánh giá ở trên) là không

đủ về mặt mẫu, cho nên kĩ thuật τ21c được soạn thảo tương ứng với T21 đã nêu là thoả

đáng, dễ vận hành đối với học sinh, mặc dù nó không được thể chế hoá bằng chữ viết.

Kĩ thuật τ21cs không được xây dựng trong tiết học. Có lẽ, dùng công thức sin để tính số

đo góc không được ưu tiên (điều này chỉ được giải thích ở ví dụ 3). Như chúng tôi

định lí sin, cạnh nhờ sin (hay cosin). Như vậy, trong τ22s sẽ dùng định lí sin để tính số

đánh giá trong phần kiểu nhiệm vụ, nếu thêm vào T22 thì có thêm τ22s: Tính góc nhờ

đo góc thì sẽ dễ giải thích cho kĩ thuật τ3cs ở T3 . Trong trường hợp này, sử dụng τ22c

sẽ đưa về phương trình bậc hai theo cạnh thứ ba chưa biết, như thế sẽ chính xác hơn và

dễ hiểu hơn. Vậy τ22c vận hành tốt hơn mặc dù trong trường hợp thứ hai thì nó dài hơn,

các kĩ thuật khác liên quan đến sử dụng định lí sin để tính số đo góc sẽ vận hành không

tốt bằng τ21c và khó sử dụng đối với học sinh.

Với T3 thì kĩ thuật τ3c đã được soạn thảo, nhưng cũng không được thể chế hoá

bằng chữ viết. Kĩ thuật tính góc bằng định lí cosin thật sự quen thuộc, dễ sử dụng đối

với học sinh và dễ vận hành (chỉ cho 1 đáp số)- khác với định lí sin. Với kĩ thuật τ3cs,

nếu tính theo thứ tự A, B, C thì trong các trường hợp cụ thể như:

- A tù: τ3cs dễ sử dụng và nhanh hơn τ31.

- B tù: τ3cs sẽ dễ sai, vận hành không tốt. Bởi vì dùng sin tính B thì sẽ cho góc B

nhọn (dùng MTBT hay bảng số), nếu suy ra góc tù thì phải thông qua góc nhọn trước;

vậy thì cơ sở nào để loại góc nhọn? Tuy nhiên, nếu không tính theo thứ tự A, B, C mà

tính theo thứ tự B đầu tiên hay B cuối cùng thì τ3cs khả năng vận hành của kĩ thuật này

tốt hơn.

- C tù: τ3cs vận hành tốt (nếu như không tính C thứ hai).

Như vậy, kĩ thuật dể sử dụng đối với học sinh và tầm cỡ cũng như khả năng vận

hành của nó là thoả đáng nhất đối với T3.

Với T21, T3 thì sử dụng cosin để tính số đo góc là tốt nhất. Trong trường hợp đặc

biệt “tam giác nhọn” thì các kĩ thuật đều mang tầm cỡ như nhau (định lí sin hay cosin

đều tốt). Với T1 thì định lí sin sẽ nhanh và tốt hơn.

2.4.3. Đánh giá công nghệ- lý thuyết

Trong các tổ chức toán học được xem xét có các khẳng định về công nghệ

(khẳng định về sử dụng công thức sin hay cosin), nhưng vấn đề giải thích chúng ít

được đặt ra. Chính lời giải của học sinh cho phép tạo ra các khẳng định chứ không

phải là nó giải thích cho các khẳng định đó. Các khẳng định đó lại được sử dụng để

biện minh, giải thích cho những kĩ thuật đã được triển khai- chính GV là người chịu

trách nhiệm làm điều này. Tuy nhiên, các khẳng định công nghệ này lại không được

thể chế hoá bằng chữ viết.

Chúng ta nhận thấy, trong cả ba ví dụ, không có thời điểm nào mà GV đề cập

đến vấn đề: đánh giá về tam giác giải được (nghĩa là tam giác giải được có thật sự tồn

tại?).

KẾT LUẬN

Trong giờ học được quan sát, tổ chức toán học nêu ra không có gì là mới đối

với học sinh, có thể xem là tiết học này nhằm củng cố về cách vận dụng công thức

định lí sin, cosin và là cơ hội rèn luyện sử dụng MTBT.

Cách GV đưa vào các kiểu nhiệm vụ trong giờ học này chính là thông qua các

ví dụ cụ thể. Học sinh có thể tự giải các ví dụ này mà không cần đến sự giúp đỡ của

GV. GV gọi học sinh lên bảng làm bài, sau mỗi lần học sinh giải xong thì GV đều

kiểm tra lại kết quả và củng cố các quy tắc về làm tròn số, về số thập phân, cách bấm

MTBT, và làm sao để bài làm cho đáp số ít sai số nhất; nghĩa là quy tắc R1 đã được thể

hiện trong tiết học. GV có củng cố và đưa ra quy ước (không ghi vào vở) như sử dụng

công thức cosin để tính số đo góc thì an toàn hơn và cho đáp số duy nhất. Các kĩ thuật

để giải quyết các nhiệm vụ nêu ra chỉ là các kĩ thuật theo những gì được học sinh trình

bày trên bảng, các kĩ thuật khác thì không được xây dựng. Việc thể chế hoá kĩ thuật

không được phát biểu tường minh.

So với phần phân tích sách giáo khoa, chúng tôi nhận thấy:

- Chỉ có ba kiểu nhiệm vụ T1, T21 và T3 được trình bày trong giờ học tương

ứng với các kĩ thuật τ1s, τ21c, τ3c. Các kiểu nhiệm vụ này cũng có mặt trong

SGK, còn các kiểu nhiệm vụ khác thì chỉ có trong SBT mà thôi. Riêng đối

với T’3 và T22 thì không có trong giờ học và trong SGK1. Điểm khác biệt là

kĩ thuật τ21c và τ3c được ưu tiên trong khi ở SGK1 lại ưu tiên τ21cs và τ3cs.

- Các kĩ thuật được xây dựng trong tiết học thật sự chưa được giải thích tường

minh, các kĩ thuật khác đã không được xây dựng.

- Tiết học thể hiện rõ quy tắc của hợp đồng R1 và R3.

CHƯƠNG 3:

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Qua phân tích chương trình và SGK liên quan đến các Hệ thức lượng trong tam

giác, mà chủ yếu là “Giải tam giác”; đồng thời qua nghiên cứu một tiết học thực tế về

bài “Giải tam giác và ứng dụng” , chúng tôi đưa ra 3 giả thuyết nghiên cứu sau:

H1: Tồn tại các quy tắc hợp đồng didactique sau:

(cid:153) Liên quan đến MTBT và tính gần đúng có 2 quy tắc

R1: Phải tính sao cho ít sai số nhất. Cụ thể:

Dùng công thức để có biểu thức số, sau đó dùng MTBT để tính kết quả -

cuối cùng). Nghĩa là, với mỗi biểu thức tính toán thì không làm tròn

nhiều lần các kết quả trung gian và phải lấy hết các chữ số có trên màn

ví dụ đã phân tích)

hình MTBT để cho ra kết quả cuối cùng (dạng này thể hiện trong các

- Lấy càng nhiều chữ số thập phân thì kết quả càng ít sai số.

R4: Nếu giả thiết cho góc không đặc biệt và số thập phân thì tính gần đúng.

(cid:153) Liên quan đến giải tam giác có hai quy tắc:

R2: Số đo của một góc được suy ra từ giá trị sin của góc đó luôn nhỏ hơn 900

R3: Không có sự kiểm chứng về sự tồn tại của tam giác tìm được.

Ngoài ra, việc phân tích tiết học đã quan sát và cách trình bày của các SGK

cũng dẫn chúng tôi đến việc đặt ra hai giả thuyết sau:

H2: MTBT là công cụ được ưu tiên hơn các bảng số.

H3: Khi giải tam giác thì ưu tiên định lí cosin để tính số đo góc hơn là định lí sin.

Để kiểm chứng các giả thuyết này, chúng tôi tiến hành làm thực nghiệm trên

hai đối tượng dạy - học là GV và học sinh. Đối với GV, chúng tôi sẽ tham khảo ý kiến

của họ qua bộ câu hỏi điều tra bằng phiếu; đối với học sinh, chúng tôi cho học sinh

làm việc cá nhân, trả lời các câu hỏi mà chúng tôi nêu ra.

Dưới đây là phần trình bày về các thực nghiệm đó.

3.1. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN

3.1.1. Phân tích bộ câu hỏi giáo viên

Bộ câu hỏi được chia thành 5 nhóm.

1> Liên quan đến “lượng giác”, sách giáo khoa có các bài hướng dẫn sử dụng

máy tính bỏ túi. Theo thầy cô, giáo viên có cần thiết phải dạy trên lớp các

hướng dẫn đó không?

a) Không cần thiết..

b) Đó là trách nhiệm của học sinh.

c) Nên dạy trên lớp.

d) Rất cần thiết.

e) Ý kiến khác:---------------------------------------------------------------------

2> Thầy, cô có hướng dẫn học sinh sử dụng bảng số lượng giác có 4 chữ số thập

phân?

a) Có

b) Không

●Nhóm thứ nhất: câu 1 và 2

Thầy cô có thể cho biết lí do:----------------------------------------------------

Thông qua hai câu hỏi 1 và 2 chúng tôi muốn tìm hiểu xem việc hướng dẫn sử

dụng các dụng cụ học tập liên quan đến nội dung lượng giác, cụ thể là MTBT và bảng

số lượng giác có 4 chữ số thập phân có được GV xem là quan trọng? giữa MTBT và

bảng số luợng giác (4 chữ số) thì GV ưu tiên công cụ nào hơn? Qua đó, chúng tôi có

thể tìm hiểu được giả thuyết nghiên cứu H2.

3> Khi hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán, thầy cô có yêu

cầu học sinh phải bấm máy tính bỏ túi sao cho ít sai số nhất không?

a) Có

b) Không

●Nhóm thứ hai: câu 3

Nếu thầy cô chọn “Không”, thầy cô vui lòng cho biết lí do:-------------------

Nếu thầy cô chọn “Có”, xin thầy cô trả lời tiếp câu hỏi dưới đây:

Thầy cô hướng dẫn học sinh bấm máy tính bỏ túi sao cho kết quả ít sai số nhất

bằng các cách nào? Xin thầy cô vui lòng kể ra:-------------------------------------------

Trong thực hành giải toán, chúng tôi quan sát thấy việc tính toán gần đúng hầu

như không được các GV quan tâm, vấn đề tính chính xác được coi trọng hơn. Khi nào

thì GV chấp nhận các giá trị gần đúng, khi nào thì học sinh phải tính các giá trị đúng?

Vì thế, câu hỏi 3 cho chúng tôi biết quan điểm của GV khi gặp những bài toán có tính

gần đúng. Lấy bao nhiêu chữ số thập phân thì có thể chấp nhận được? kết quả gần

đúng có được tính qua nhiều kết quả gần đúng trung gian? Tính như thế nào thì ít sai

số nhất? sử dụng MTBT như thế nào để có được kết quả đó? GV có hướng dẫn học

sinh hay yêu cầu học sinh tính sao cho ít sai số nhất không? Họ đã hướng dẫn bằng

những cách nào? Với mục đích trả lời cho các câu hỏi đó và nhằm kiểm chứng phần

nào quy tắc hợp đồng R1 và R2, chúng tôi đã đưa ra câu hỏi 3. Hơn nữa, câu hỏi 3 này

cũng phần nào giải thích cho các điểm số mà GV sẽ cho trong các câu hỏi 7,8 sau này.

4> Để tính số đo các góc của tam giác, thầy cô thường yêu cầu học sinh dùng định

lí cosin hay định lí sin?

a) Định lí cosin

b) Định lí sin

Thầy cô vui lòng cho biết lí do:------------------------------------------------------

5> Thầy cô có những lưu ý nào khi hướng dẫn học sinh dùng định lí sin để tính số

đo các góc?---------------------------------------------------------------------------------

●Nhóm thứ ba: câu 4 và 5

Câu 4 và 5 giúp chúng tôi tìm hiểu về vai trò và vị trí của hai định lí sin và

cosin. Giữa công thức sin và cosin thì công thức nào được ưu tiên hơn, và những lí do

nào GV sẽ đưa ra nhằm giải thích cho việc ưu tiên công thức đó? có những lưu ý nào

để biết được khi nào thì nên dùng công thức cosin, hay dùng công thức sin? Nhờ hai

câu hỏi này, chúng tôi tìm hiểu được giả thuyết nghiên cứu H3.

6> Thầy cô có thường xuyên hướng dẫn học sinh kiểm chứng sự tồn tại của tam

giác trước và sau khi giải được hay không?

a) Không

b) Thường xuyên

c) Thỉnh thoảng

●Nhóm thứ tư: câu 6

d) Ít khi

e) Không cần thiết

Nếu thầy cô trả lời có, xin thầy cô vui lòng kể các cách mà thầy cô đã hướng dẫn

học sinh kiểm chứng sự tồn tại của tam giác:

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Nhằm tìm hiểu một phần R3, chúng tôi đưa ra câu hỏi 6. Trong thực hành, GV

có hướng dẫn học sinh cách kiểm chứng, hay yêu cầu học sinh kiểm chứng sự tồn tại

của tam giác sau khi giải xong không, và bằng cách nào có thể kiểm chứng được điều

đó? các cách kiểm chứng đó có đảm bảo cho tam giác tìm được là tồn tại? Việc kiểm

chứng này có thường xuyên diễn ra khi gặp bài toán giải tam giác hay không?

7> Cho bài toán sau:

Giải tam giác ABC biết: a = 1, b = 3 ; A = 300.

●Nhóm thứ năm: câu 7 và 8

Sau đây là một số lời giải của một số học sinh:

Học sinh 1

b .sin

sin

060 0

3 = ⇒ 2

120

⎡ ⎢ ⎢⎣

Với B = 600 thì C = 900 (vì A+B+C = 1800), nên c =

= 2

Với B = 1200 thì C = 300 (vì A+B+C = 1800), nên c = 1

.sin C a sin A

Học sinh 2

.sin b

sin

= ⇒ =

Do đó, C = 900 (vì A+B+C = 1800), nên c = 2 (theo định lí sin) Học sinh 3

Theo định lí hàm cosin, ta có

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ⇔ c2 – 3c + 2 = 0 ⇔ c = 1 hay c = 2 Với c = 1 thì cosB = -1/2 nên B = 1200, do đó C = 300 (A+B+C = 1800) Với c = 2 thì cosB = 1/2 nên B = 600, do đó C = 900 (vì A+B+C = 1800)

Học sinh 4

b .sin

3.sin 30

sin

0,866

0 59 59 '

≈

B ⇒ ≈

Nên C = 1800 – (A + B) ≈ 9001’. Do đó c =

2 ≈

C a .sin A sin

sin 90 1' 0 sin 30

Thầy cô hãy cho điểm các em học sinh trên với thang điểm 10 và vui lòng cho biết lí

do thầy cô trừ điểm?

Học sinh Điểm

Lí do trừ điểm

8> Cũng câu hỏi trên cho bài toán sau:

Cho tam giác ABC, biết a = 1, b = 6, c = 31 . Tính các góc A, B, C của tam

giác.

Học sinh A

−

cos

0,9878

0 8 58'

≈

A ⇒ ≈

c 2 bc

36 31 1 − 12 31 0

sin

0,9354

0 69 18'

≈

B ⇒ ≈

b .sin a

6.sin 8 58' 1

6.0,1559 1

180

(

) 101 44 '

−

A B +

≈

Học sinh B

−

cos

0,9878

0 8 58'

≈

A ⇒ ≈

c 2 bc

36 31 1 − 12 31 0

0 69 18'

⎡ ≈ B

sin

0,9354

≈

⇒ ⎢

6.sin 8 58' 1

6.0,1559 1

.sin b a

0 110 42 '

B ≈⎣

0 69 18'

(

) 101 44 '

180

. B

≈

C ⇒ =

A B +

≈

0 110 42 '

(

) 60 20 '

− 0 180

. B

≈

C ⇒ =

−

A B +

≈

Học sinh C

36 31 1

−

cosA

0, 98

0 11 29 '

≈

A ⇒ ≈

bc 2

12 31

1 31 36

−

cosB

0, 36

0 111 6 '

≈ −

B ⇒ ≈

c − + 2 ac

2 31

C = 1800 – ( A + B )

057 25'

≈

Học sinh D

36 31 1

−

cos

0, 9878

0 8 58 '

≈

⇒

≈

12 31

c − + bc 2 2

1 31 36

−

cos

0, 3592

0 111 3'

≈ −

B ⇒ ≈

c − + ac 2

2 31

180

0 59 59 '

≈

(

)

−

A B +

Học sinh E

36 31 1

−

cos

0 8 57 '

≈

⇒

12 31

c − + bc 2 2

1 31 36

−

cos

0 111 3'

B ⇒ ≈

= −

c − + ac 2

2 31

11 2 31 2 31

180

≈

(

)

−

A B +

Học sinh F

−

cos

0,9878

0 8 58'

≈

A ⇒ ≈

36 31 1 − 12 31

c bc 2 2

−

cos

0,3592

0 111 3'

≈ −

B ⇒ ≈

1 31 36 − + 2 31

c + ac 2 2

−

cos

0,5

0 60

= ⇒ =

b + ab 2

36 1 31 + − 12

Bảng điểm cho học sinh và ý kiến

Học sinh Điểm Lí do trừ điểm (cho điểm cao)

Lời giải mà thầy cô mong đợi ở học sinh là lời giải nào? Thầy cô vui lòng cho biết

lí do:----------------------------------------------------------------------------------------------

Hai câu hỏi 7,8 là các câu hỏi mà chúng tôi cũng tiến hành làm thực nghiệm ở

học sinh. Mục đích đưa hai câu hỏi này vào phiếu tham khảo ý kiến của GV là vì

chúng tôi muốn đối chiếu và so sánh quan điểm của học sinh và GV trong các câu trả

lời của họ; từ đó làm rõ hơn một số quy tắc hợp đồng và giả thuyết nghiên cứu cần

kiểm chứng. Tuy nhiên, chúng tôi không lấy lại chính xác toàn bộ hai câu hỏi này mà

có thay đổi một số câu trả lời giả định. Bởi vì chúng tôi muốn tìm hiểu rõ sự thay đổi ở

học sinh về vấn đề mà chúng tôi đặt ra cho mỗi thực nghiệm.

3.1.2. Phân tích những câu trả lời thu được

Chúng tôi đã phát phiếu tham khảo cho 24 GV dạy chương trình thí điểm lớp

10, trong đó có 11 GV của trường Nguyễn Hiền, 7 GV của trường Marie Curie và 6

GV của trường Mạc Đĩnh Chi. Các kí hiệu G là sự mã hoá theo thứ tự GV mà chúng

tôi tham khảo ý kiến (kí hiệu này giúp dễ trình bày). Kết quả được thống kê như sau:

a b c d e Ghi chú

Câu 1

Nguyễn Hiền 8 2 1

Marie curie 4 2 Có 1 GV chọn hai lựa chọn b và e

Mạc Đĩnh Chi 4 2

Tổng cộng 16 6 1

Bảng thống kê cho thấy có 16 ý kiến cho rằng nên dạy trên lớp cách sử dụng

MTBT cho học sinh và có 6 ý kiến cho rằng rất cần thiết phải dạy trên lớp. Như vậy,

có 22/24 GV cho rằng cần thiết và nên hướng dẫn sử dụng MTBT trên lớp học. Do đó,

có thể kết luận rằng việc hướng dẫn sử dụng MTBT trên lớp học được đa số GV quan

tâm và có thể nói là các GV này đều xem đó là trách nhiệm họ.Các GV có ý kiến khác:

G4: “hướng dẫn khi làm bài tập kết hợp dạy trên máy tính”

G13: “đó là trách nhiệm của học sinh vì học sinh tự đọc+ hiểu nếu có máy”,

“Nếu dạy học sinh không nghe vì một số em đã có máy tính một số em không”.

Ghi chú a b

Câu 2

Nguyễn Hiền Số lượng 2 GV không cho lí do chọn a, và 2 GV 2 9

không cho lí do chọn b 7 Lí do

Marie Curie Số lượng 7

7 Lí do

6 Mạc Đĩnh Chi Số lượng 3 GV không cho biết lí do

3 Lí do

Tổng cộng 2 22 5 GV không cho lí do chọn b

Rõ ràng sự hiện diện của bảng số lượng giác có 4 chữ số thập phân trong thực

hành dạy-học lượng giác đã không tồn tại. MTBT chiếm vai trò ưu thế. Có 22/24 GV

cho rằng họ không hướng dẫn bất kì chút gì về bảng này. Đa số các GV này giải thích

dùng bảng đi thi cũng không được mang theo”, hay “trong chương trình sách giáo

khoa không đề cập tới”, hay “bảng số lượng giác đã trở thành đồ cổ”, hay “quá lạc

hậu”.

rằng “đã có máy tính bỏ túi” (13 ý kiến), hay “Ngày nay các em dùng máy tính, không

Như vậy, qua hai câu hỏi 1 và 2, chúng tôi có thể kết luận rằng MTBT được ưu

tiên hơn các bảng số lượng giác, nghĩa là kiểm chứng được giả thuyết H2. Hơn nữa,

MTBT cũng được hầu hết GV quan tâm hướng dẫn học sinh sử dụng trên lớp học.

Nhóm thứ hai

b Ghi chú a

Câu 3

Nguyễn Hiền Số lượng 3 GV không nêu lí do chọn a và 2 GV 8 3

không nêu lí do chọn b 5 1 Lí do

Marie Curie Số lượng 1 GV không nêu lí do chọn a 6 1

5 1 Lí do

6 Mạc Đĩnh Chi Số lượng 2 GV không cho lí do

4 Lí do

Tổng cộng 20 4 6 GV không nêu lí do chọn a, 2 GV không

nêu lí do chọn b

Có 20/24 GV nêu ý kiến là họ có yêu cầu học sinh phải tính sao cho ít sai số

nhất khi tính toán bằng MTBT. Như vậy, R1 được kiểm chứng. Trong số 14/20 lí do

nêu ra thì đa số các lí do đều cho rằng phải bấm liến tiếp các phím của MTBT, và lấy

chính xác đến chữ số thập phân mà đề bài yêu cầu. Điều này thể hiện rất rõ quy tắc R1.

• Một số lí do giải thích cho lựa chọn a:

G3: “không làm tròn các kết quả trung gian”

G4: “Lập các phép toán dẫn đến kết quả cần tìm, chỉ bấm máy tại kết quả cuối

cùng”

G6: “Cho học sinh làm tới một kết quả gọn nhất sau đó mới dùng máy tính (tuỳ

loại máy tính)”

G12: “có căn thức và phân số đừng bấm kết quả số thập phân ở phần đáp số

(nếu cần ước lượng khoảng bao nhiêu mới bấm)”

G19: “Nếu tính toán nhiều lần thì không nên làm tròn ngay mà dùng kết quả đó

rồi làm tiếp sau đó cho kết quả cuối cùng mới làm tròn”

G21: “Giữ nguyên kết quả trên màn hình của các bước trung gian, chỉ viết ra

kết quả cuối cùng”

G22: “Nhập hết biểu thức cần tìm vào máy một lần, lấy kết quả trước ở trong

máy để tính các kết quả khác có liên quan”.

G23: “Không làm tròn khi tính các kết quả trung gian”

• Các lí do chọn b:

G2: “Thể hiện trên máy tính, từ yêu cầu đề bài, học sinh chọn số gần đúng”

G14: “Chỉ dùng máy tính cho một số công việc đơn giản”

Nhóm thứ ba

b Ghi chú a

Câu 4

Nguyễn Hiền Số lượng 3 GV lựa chọn cả hai, có đưa ra các lí do 8

8 Lí do

Marie Curie Số lượng 1 GV không nêu lí do chọn a, 2 GV chọn 5

cả hai (có lí do) 4 Lí do

Mạc Đĩnh Chi Số lượng 1 GV không cho lí do 6

5 Lí do

Tổng cộng 19

Qua bảng thống kê câu hỏi 4, chúng ta nhận thấy 19/24 GV trả lời đều thống

nhất quan điểm chọn câu trả lời a (dùng định lí cosin để tính số đo của góc) trong đó

có 2 GV không nêu ra lí do. Có 5/24 GV lựa chọn cả hai định lí sin và cosin và đưa ra

các lí do như sau:

G8: “phối hợp, vì thường chưa có góc hoặc có góc thì cạnh đối diện chưa biết

nhưng dùng định lí sin thì nhanh”

G10+G11+G13+G17: Tuỳ theo giả thiết bài toán

Các lí do giải thích cho lựa chọn a được nêu ra như:

G1+G9+G22: tính cosin để học sinh phân biệt góc nhọn hoặc tù của tam giác

G2: “vì với mỗi giá trị cosin của 1 góc chỉ cho 1 góc duy nhất (của tam giác)”

G3+G7+G16+G23: dễ áp dụng, dễ nhớ, không chia trường hợp loại bớt, áp

dụng nhiều hơn trong tính toán.

G14: “Đlí cos phù hợp với giả thiết của các bài toán trong SGK hơn so với đlý

sin”

G15: “do sinα = a, 0< a< 1, thì α nhọn hoặc tù→ khó chọn”

G19: “Vì trên [0;п] hs f(x) = cosx là song ánh còn sinx thì không”

G21: “sai số nhỏ (chỉ có một góc cần ra kết quả)”

Như vậy, trong thực hành, tất cả các GV đều ưu tiên định lí cosin để tính góc

hơn là định lí sin với lý do tỉ số cosin chỉ cho một số đo của góc tương ứng nên dễ hiểu

và dễ áp dụng hơn tỉ số sin (cho hai số đo góc, khó khăn trong việc phải hợp thức kết

quả). Điều này chứng tỏ H3 đã được kiểm chứng.

Trả lời Không trả lời

Câu 5

Nguyễn Hiền 11

Marie Curie 5 2

Mạc Đĩnh Chi 5 1

Tổng cộng 21 3

Qua câu hỏi 4, chúng ta nhận thấy hầu hết GV chọn định lí cosin để tính số đo

góc của tam giác. Vì thế trong câu hỏi 5, chúng tôi tìm kiếm các lưu ý khi sử dụng

định lí sin mà GV yêu cầu học sinh (có thể là những lí do giải thích cho việc lựa chọn

câu trả lời cho câu hỏi 4). Các lí do được GV nêu ra như sau:

- Phải biết góc đó là góc nhọn hoặc tù (5 ý kiến)

- Phải kiểm tra vì cho hai góc bù nhau (7 ý kiến)

- Lập tỉ số cho đúng

- Cần kiểm chứng sự tồn tại của tam giác

- Định lí sin không phải lúc nào cũng được dùng để tính góc

- Giữ nguyên kết quả sin của góc trung gian không làm tròn để giảm sai số

- Dùng trong trường hợp biết 1 góc 2 cạnh, hay 2 góc 1 cạnh

Như vậy, chỉ nên dùng định lí sin khi biết góc đó là nhọn hay tù, cần kiểm

chứng sự tồn tại của tam giác và định lí sin không phải lúc nào cũng dùng để tính góc.

Nghĩa là H3 lại được kiểm chứng một lần nữa.

Nhóm thứ tư

a b c d e Ghi chú

Câu 6

Nguyễn Hiền Số lượng 2 2 232 1 Gv viên không trả lời, 1 Gv chọn

cả a và e (không nêu lí do) Lí do 1

Marie Curie Số lượng 4 2 1 6 GV không nêu lí do chọn các câu

trả lời của mình Lí do 1

Mạc Đĩnh Chi Số lượng 1 311 3 GV không nêu lí do

Lí do 1 2

Tổng cộng 6 5 553

Có 9/24 GV chọn a và c cho rằng mình hoàn toàn không hướng dẫn, hay không

cần thiết phải hướng dẫn học sinh kiểm chứng sự tồn tại của tam giác sau khi giải

được. Có 5/24 GV nói rằng họ “ít khi” hướng dẫn học sinh kiểm chứng sự tồn tại của

tam giác, thế nhưng không GV nào trong số họ trả lời cách nào để kiểm chứng. Có

5/24 GV trả lời thỉnh thoảng có hướng dẫn học sinh kiểm chứng sự tồn tại của tam

giác (chỉ có 2 GV đưa ra cách kiểm chứng mà thôi). Có 5/24 GV trả lời thường xuyên

hướng dẫn học sinh kiểm chứng sự tồn tại của tam giác giải được. Tuy nhiên, trong số

5 GV này thì chỉ có 3 GV nêu cách kiểm chứng, 2 GV còn lại thì không trả lời cách

nào kiểm chứng sự tồn tại của tam giác. Các cách mà các GV nêu ra để kiểm chứng sự

tồn tại của tam giác như sau:

G4: “Ba điểm không thẳng hàng” G16: “Tổng ba góc bằng 1800, hay tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba”

G19: “Trong tam giác, đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn”

G21: “Tuỳ trường hợp, dựa vào các tính chất tam giác”

G24: “Tuỳ theo bài toán, sử dụng tính chất bất đẳng thức của 3 cạnh trong tam

giác”

Như vậy, đa số GV không quan tâm đến vấn đề kiểm chứng sự tồn tại của tam

giác, hay có thể khẳng định là đối với GV thì quy tắc R3 đã được kiểm chứng phần

nào. Hơn nữa, chúng ta nhận thấy có các cách kiểm chứng sự tồn tại của tam giác theo

GV là:

(1) Ba điểm không thẳng hàng (2) Tổng ba góc bằng 1800

(3) Bất đẳng thức của ba cạnh tam giác.

(4) Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.

Nhóm thứ năm

Câu 7: Đây là loại câu cho điểm 4 lời giải giả định và nêu lí do cho điểm.

Chúng tôi nhận thấy khó khăn khi thực hiện loại câu hỏi này thường là yêu cầu GV

nêu ra những lí do khi cho điểm các học sinh giả định (ít được nêu rõ). Bởi vì, thông

thường thì họ chỉ cho điểm nhưng không nêu lí do, hay lí do nêu ra rất chung chung.

Đối với câu hỏi này, chúng tôi thu được kết quả như sau:

Có 2/24 GV không trả lời câu hỏi (không cho điểm các học sinh), có 1/22 GV

còn lại cho 10 điểm tất cả các học sinh. Trong số 21 GV, chúng tôi nhận thấy:

- - Đối với học sinh 1 và học sinh 3: Có 19/21 GV cho điểm 10 tuyệt đối và không ai

trong số họ đưa ra lí do, có thể do câu trả lời của hai học sinh này thật sự đã

“hoàn hảo” (theo họ)? Có 1 GV (G17) cho 9,5 điểm (cả hai học sinh) với lí do “không giải thích 0

(cả hai học sinh) với lí do “chưa kiểm tra lại sự hợp lí của tam giác”.

- Trong số 21 GV, có 1 GV cho 0 điểm cả hai học sinh 2 và học sinh 4 với lí do

“không vững kiến thức lượng giác”. Tất cả 21 GV này đều cho điểm của học sinh

2 nhiều hơn học sinh 4. Trong số đó: + Đối với học sinh 2 (từ sinB suy ra B = 600, thiếu một trường hợp) thì có 14/21

GV cho 5 điểm và 4/21 GV cho điểm 6 (hoặc 7) với các lí do thiếu 1 trường hợp, hay

kết quả chưa đủ, thiếu nghiệm. Có 2/21 học sinh cho điểm dưới 5 (4 điểm) với lí do

vận dụng sai định lí, hay mất nghiệm.

+ Đối với học sinh 4: có 3/21 GV cho 0 điểm với lí do không vững kiến thức

lượng giác, hay không sử dụng giá trị đặc biệt. 14/21 GV cho điểm dưới 5 với các lí do không nhớ được giá trị đặc biệt phải học thuộc (sin300 = ½), hay mất nghiệm (thiếu

trường hợp)-làm tròn không chính xác, vận dụng sai định lí- vận dụng máy tính máy

móc, hay chỉ có thể tính gần đúng khi đó là kết quả cuối cùng mà không thể tính đúng.

3/21 GV cho điểm 5 với lí do kết quả gần bằng hay thiếu kết quả. 1/21 GV cho điểm

lớn hơn 5 với lí do làm sai bước cuối.

Theo các kết quả thu được vừa nêu trên, chúng tôi thấy rằng hầu như GV không

quan tâm đến việc kiểm chứng sự tồn tại của tam giác giải được, vấn đề tính gần đúng

không được chấp nhận nếu như có thể tính được giá trị đúng, các giá trị đặc biệt thì

phải học thuộc.

Câu 8:Với 24 GV chúng tôi thăm dò ý kiến thì có 3 GV không trả lời câu hỏi

này, có 2 GV cho điểm nhưng không cho biết lí do, có 1 GV cho điểm 10 cả 5 học

sinh mà không cho lí do. Như vậy, phần phân tích dưới đây chúng tôi chỉ nghiên cứu

điểm số và câu trả lời của 20/24 GV (trừ 3 GV không trả lời và 1 GV cho điểm 10 tất

cả học sinh như chúng tôi vừa nêu trên).

Học sinh Điểm số Không cho điểm

1

2 5(5.5)

9(9.5)

10

3

4

6

7

8

5 2 9 2 1 1 A

1 1 4 7 2 3 2 B

3 2 3 5 3 4 C

4 6 1 9 D

1 8 1 10 E

4 4 12 F

Các học sinh được cho 10 điểm đều không được các GV giải thích lí do, nếu có

thì chỉ là lí do “chính xác”.

Với học sinh A (tính cosA, sinB suy ra góc B nhọn- 1 trường hợp), có 7/20 GV

cho điểm dưới trung bình với các lí do như tính B sai suy ra C sai, hay B phải lớn hơn

A và C, hay cách tính B, C sai, hay vận dụng sai định lí. Có 9/20 GV cho điểm 5 (1

GV cho 5,5) với lí do thiếu 1 trường hợp và thiếu thử, hay sai số lớn, hay chưa đủ; có

1 GV cho điểm 10 (không lí do), còn lại 3 GV với các lí do trừ điểm là mất trường

hợp, hay học sinh sử dụng định lí sin dẫn đến kết quả sai (sin 2 góc bù nhau thì bằng

nhau).

Với học sinh B (cho hai trường hợp số đo góc B và kết luận có 2 tam giác giải

được): Có 14/20 GV cho điểm trên trung bình, trong đó có 2 GV cho điểm 10 (không

lí do); còn các lí do khác để trừ điểm là: thiếu thử→loại 1 trường hợp, hay vì dư đáp số

vô lí, hay B là góc lớn nhất, hay thừa nghiệm, hay sai số lớn, hay lí luận chưa tốt, điều

kiện? hay không kiểm tra tính hợp lí; 4 GV cho điểm 5 với lí do chưa biết loại bớt

nghiệm, hay tam giác có 3 góc nhọn; 2 GV cho điểm dưới trung bình với lí do lấy sai

góc, hay tính B, C không đúng.

Với học sinh C(cosA, cosB suy ra góc C- lấy 2 chữ số thập phân): có 3 GV cho

điểm 5 với lí do sai số lớn; 17/20 GV cho điểm trên trung bình với các lí do là không

nên làm tròn cos mà sử dụng liên tục máy tính để suy ra góc A, hay sai số lớn, hay làm

tròn quá nhiều (hay sai số nhiều lần), hay không chính xác vì số lẻ không phù hợp dẫn

đến độ lớn góc sai số quá lớn, hay sử dụng máy tính hời hợt, hay kết quả trung gian có

sai số dẫn đến kết quả cuối cùng sai số nhiều; trong đó có 4 GV cho điểm 10 (không lí

do).

Với học sinh D (cosA, cosB, suy ra C - lấy 4 chữ số thập phân): có 9 giáo viên

cho 10 điểm (không lí do); 10 GV cho điểm 8→9.5 với lí do lấy đúng nhiều lần, hay

làm tròn hơi nhiều, hay “tương đối”, hay có sai số; 1 GV không cho điểm học sinh này

và không nêu lí do.

Với học sinh E (cosA, cosB, suy ra C-để giá trị đúng rồi suy ra luôn số đo góc):

có 10 GV cho 10 điểm ( không lí do); 9 GV cho điểm 8→9.5 với lí do lấy gần đúng 2

lần cho góc C, hay làm tròn hơi nhiều, hay tương đối; 1 GV không cho điểm học sinh

này và không nêu lí do.

Với học sinh F (cosA, cosB, cosC- lấy 4 chữ số thập phân, từ đó suy ra số đo

góc): có 12 GV cho 10 điểm với lí do là chính xác (nhất là C), hay vận dụng tốt công

thức + máy tính + logic toán tự nhiên; 8 GV cho điểm 8→9.5 với lí do vì tổng ba góc tam giác lớn hơn 1800, hay góc C chưa chính xác, hay chưa chính xác và dài ( sử dụng tổng ba góc bằng 1800), hay A + B + C ≠ 1800.

Với câu hỏi thêm là lời giải mà thầy cô mong đợi ở học sinh là lời giải nào?

Thầy cô vui lòng cho biết lí do? Thì chúng tôi nhận được:

+Có 9/24 GV không trả lời.

+Có 1 GV chọn cả ba cách trả lời của ba học sinh giả định (D, E, C) với lí do

đưa ra là “vì dùng định lí hàm số cosin đối với học sinh ít sai sót hơn”; GV này cho cả

ba học sinh D, C, E điểm 10, còn học sinh F điểm 8 (với lí do tổng ba góc lớn hơn 1800).

+Có 1 GV chọn học sinh D hoặc E với lí do là “chính xác” (GV này cho học

sinh D, E điểm 10, còn F điểm 9 vì góc C chưa chính xác).

+Có 1GV chọn D (chính xác) hoặc B với lí do “có bổ sung thêm nhận xét góc

B> C > A”.

+Có 1 GV chọn cả học sinh E và F mà không nêu lí do.

+Có 5/24 GV chọn học sinh F với lí do “chính xác” hay “xác định được chính

xác góc C” hay “biết cách vận dụng định lí, làm bài chính xác, ít sai số”.

+Có 3 GV chọn học sinh E với lí do “E ít sai số, kết quả hợp lí” hay “học sinh

E→ có thể chỉ cho học sinh biết cách bấm máy tính ít sai số và đây là cách giải cho

đáp số gần đúng kết quả chính xác nhất”.

+Có 1 GV chọn học sinh D với lí do “nhưng không nên dừng ở kết quả cos →

sử dụng tiếp kết quả máy tính→ góc?”.

+Có 2 GV cho câu trả lời khác các học sinh giả định. Hai GV này đưa ra câu trả

cos

A ⇒ ≈

0180

(

)

B ⇒ =

−

A C +

≈

lời như sau:

cos

C ⇒ =

0 ⎫ 8 57' ⎪ ⎬ 0 60 ⎪⎭

G4 “ ”;

A B C

cos cos cos

⇒ ⇒ ⇒

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

G12 “tính sau đó điều chỉnh sai số làm tròn sao cho tổng ba góc

A+B+C=1800”, chính GV này cho học sinh F điểm 9 và lí do là A+B+C>1800, còn

học sinh D và E thì lại không cho điểm.

3.1.3. Kết luận

Qua kết quả phần thực nghiệm đối với GV mà chúng tôi phân tích ở trên, có thể

thấy rằng bảng số lượng giác có 4 chữ số không được ưu tiên bằng MTBT và việc

hướng dẫn sử dụng MTBT trên lớp cho học sinh được hầu hết GV xem là cần thiết.

Nghĩa là giả thuyết H2 được thể hiện. Khi sử dụng MTBT, GV có quan tâm đến yêu

cầu học sinh tính sao cho ít sai số nhất, chủ yếu là dùng lại các chữ số của màn hình

MTBT để cho kết quả cuối cùng, không tính kết quả gần đúng trung gian và phải nhập

hết các phép toán trước khi cho kết quả. GV chỉ chấp nhận tính gần đúng khi không

thể tính theo giá trị đúng hay khi có yêu cầu của đề bài, đồng thời để tránh sai số thì

phải lấy càng nhiều chữ số thập phân càng tốt. Nghĩa là R1 thật sự tồn tại nơi GV.

Về việc ứng dụng định lí sin và cosin vào giải tam giác: hầu hết GV đều ưu tiên

dùng định lí cosin để tính số đo góc của tam giác (vì cho kết quả duy nhất, phân biệt

được góc tù- nhọn). Có lẽ vì lí do này mà chúng tôi thấy hầu như GV không hướng

dẫn học sinh các cách để kiểm chứng sự tồn tại của tam giác. Nghĩa là R3 và H3 đã

được kiểm chứng ở GV.

3.2. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI HỌC SINH

3.2.1. Mục đích, cách tiến hành thực nghiệm

Như chúng tôi đã nói ngay từ phần mở đầu, muốn kiểm chứng các giả thuyết

nghiên cứu đã nêu, chúng tôi sẽ tiến hành làm thực nghiệm trên đối tượng học sinh.

Với mục đích chính là kiểm chứng sự tồn tại của 4 quy tắc hợp đồng didactique đã tìm

được, và các giả thuyết nghiên cứu.

Thực nghiệm được tiến hành trên 4 lớp 10 học theo chương trình thí điểm

2003-bộ thứ nhất- ở TP HCM. Học sinh sẽ làm việc cá nhân trong thời gian 45 (đến

50) phút. Bộ câu hỏi gồm 3 câu, trong đó 2 câu đầu tiên, chúng tôi cho cá nhân học

sinh làm bài trong 30 phút; sau khi thu hết các phiếu câu hỏi và trả lời, chúng tôi tiếp

tục đưa ra câu hỏi 3 và cho học sinh làm việc cá nhân trong 15 phút nữa.

3.2.2. PHÂN TÍCH A PRIORI

Bộ câu hỏi gồm 3 câu và được tổ chức thực nghiệm như giới thiệu ở trên.

a) Cách xây dựng bộ câu hỏi

● Đối với câu hỏi 1:

Tính các góc B, C và cạnh c của tam giác ABC trong các trường hợp sau: a) a = 6, b = 7,3; A = 550.

b) a = 1, b = 3 ; A = 300.

quen thuộc với nhiệm vụ đã gặp trong các SGK và bài tập. Các giả thiết được lựa chọn

Với yêu cầu bài toán là tính góc và cạnh đã chỉ ra, chúng tôi muốn học sinh vẫn

là lựa chọn khác với lựa chọn trong SGK (cho trước hai cạnh và góc xen giữa). Nghĩa

đó là tam giác cho trước hai cạnh và một góc đối diện với một trong hai cạnh đó; đây

là, nhiệm vụ thì quen thuộc nhưng đã có sự phá vỡ hợp đồng. Học sinh biết phải làm

gì khi gặp yêu cầu này, tuy nhiên giả thiết đã khác so với các bài toán mà học sinh

quen gặp. Với lựa chọn số đo góc đặc biệt (câu b) và không đặc biệt (câu a), chúng tôi

tìm hiểu được học sinh có sử dụng MTBT trong trường hợp này hay không? Khi sử

dụng định lí sin để tìm số đo góc chưa biết thì nếu sử dụng MTBT sẽ chỉ cho góc

nhọn, khi đó để có kết quả đúng thì phải có kiến thức về tỉ số sin (chọn góc nhọn hay

tù hay cả hai loại góc) và cần có sự kiển chứng về sự tồn tại của tam giác trong trường

hợp này (nghĩa là phải vận dụng các tính chất của tam giác). Câu a cho các góc không

đặc biệt, chúng tôi cho rằng chắc chắn học sinh sẽ sử dụng MTBT; còn ở câu b là giá

trị có trong bảng đặc biệt cần nhớ, tuy nhiên học sinh có sử dụng bảng hay không?

Nếu sử dụng bảng thì học sinh sẽ dễ dàng nhận ra có hai số đo góc cùng thoả mãn giả

SGK và SBT không có bài toán nào cho kết quả là hai nghiệm hình (nghĩa là bài toán

có hai tam giác cùng tồn tại). Tuy nhiên, nếu học sinh dùng MTBT thì chỉ suy ra được

thiết, và đây là điều mong đợi của chúng tôi khi lựa chọn bài tập này. Bởi vì, trong

số đo của góc nhọn mà thôi, như vậy còn một trường hợp nữa phải dựa vào tính chất tỉ số sin (nghĩa là sinx = sin (1800 - x)). Với lựa chọn như vậy, chúng tôi kiểm chứng

được quy tắc hợp đồng R2, R4 và giả thuyết H2; thông qua cách trình bày chúng tôi

cũng kiểm chứng được phần nào R1.

Cho tam giác ABC, biết a = 3 , b = 4, c = 7

a) Tính các góc A, B, C theo nhiều cách khác nhau (trình bày ít nhất 2 cách)

b) Trong các cách giải ở câu a, em chọn cách nào nộp cho giáo viên? Vì sao?

● Đối với câu hỏi 2:

Chúng tôi chọn tam giác ABC có góc B là góc tù. Như vậy, với yêu cầu tính ba

góc của tam giác sẽ cho chúng tôi thấy được học sinh ưu tiên công thức sin hay cosin

theo nhiều cách khác nhau (ít nhất là hai cách) chúng tôi dự đoán là học sinh sẽ tính

để tính các góc; do đó giả thuyết H3 sẽ được kiểm chứng. Với yêu cầu thêm là tính

theo thứ tự:

Cách 1: Tính các góc theo định lí cosin (Tính cosA, suy ra A; tính cosB, suy ra

B; suy ra C (hoặc tính cosC, suy ra C)).

Cách 2: Tính các góc theo định lí cosin + sin (Tính cosA, suy ra A; tính sinB,

suy ra B; suy ra C).

Như vậy, với cách tính thứ nhất, học sinh sẽ dễ dàng tính được các góc của tam

giác một cách chính xác và tìm được góc B là góc tù. Kết quả chính xác này có được là

do đặc điểm hàm cosin chỉ cho một kết quả duy nhất và có phân biệt được góc nhọn

hay tù. Nếu tính theo cách 2, ngay khi tính sinB, thì sẽ suy ra góc B nhọn (bằng MTBT

hoặc bảng số thập phân), như vậy sẽ cho kết quả khác với cách 1, còn nếu học sinh

nhớ được đặc điểm của tỉ số sin thì sẽ suy ra hai số đo góc B; vậy làm cách nào để loại

đi trường hợp có kết quả khác với cách 1(loại một trường hợp)? trong trường hợp này,

học sinh có thể không tính sinB mà tính sinC suy ra góc C, sau đó tính góc B dựa vào

tổng ba góc trong tam giác. Với sự do dự giữa hai cách làm cho hai kết quả khác nhau

như vậy, chúng tôi đưa ra câu hỏi b với mục đích tìm hiểu trong thực hành dạy - học,

giữa GV và học sinh có ngầm quy ước gì không? Liệu học sinh có biết cách kiểm

chứng sự tồn tại của tam giác tìm được? và bằng cách nào? Như vậy, học sinh sẽ chọn

kết quả nào? Thông qua đó chúng tôi có thể tìm hiểu rõ hơn về giả thuyết H3. Với các

lí do trên, chúng tôi đã phần nào kiểm chứng được R2 và R3.

Với 2 câu hỏi cho phần làm việc cá nhân đầu tiên, chúng tôi cũng có thể kiểm

chứng quy tắc R1, đồng thời giả thuyết H2 cũng được thể hiện qua cách giải hai câu

hỏi này.

Đối với câu hỏi 3:

Cho tam giác ABC, biết a = 1, b = 6, c = 31 . Tính các góc A, B, C của tam

giác.

điểm 10) các lời giải đó và hãy cho biết lí do em trừ điểm các lời giải (hay cho

điểm cao các lời giải).

- Theo em, các kết quả của các bạn đã hoàn toàn chính xác chưa? Em có thể

cho một kết quả khác mà em tìm được (hãy trình bày lời giải đó và trình bày

vào mặt sau của tờ giấy này).Nếu dùng MTBT, em hãy trình bày thứ tự các

phím bấm để có kết quả đó.

- Dưới đây là một số lời giải của một số học sinh, em hãy cho điểm (theo thang

Học sinh A

−

cos

0,9878

0 8 58'

≈

A ⇒ ≈

c 2 bc

36 31 1 − 12 31 0

sin

0,9354

0 69 18'

≈

B ⇒ ≈

6.sin 8 58' 1

6.0,1559 1

.sin b a

0 180

(

) 101 44 '

−

A B +

≈

Học sinh B

36 31 1

−

0, 98

0 11 29 '

cosA

≈

A ⇒ ≈

bc 2

12 31

1 31 36

−

cosB

0, 36

0 111 6 '

≈ −

B ⇒ ≈

c − + 2 ac

2 31

C = 1800 – ( A + B )

057 25'

≈

Học sinh C

36 31 1

−

cos

0, 987

0 9 15 '

A ⇒ ≈

≈

c − + 2 bc

12 31

1 31 36

−

cos

0, 359

0 111 2 '

≈ −

B ⇒ ≈

c − + 2 ac

2 31

180

0 59 43'

≈

(

)

−

A B +

Học sinh D

36 31 1

−

cos

0, 9878

0 8 58 '

≈

⇒

12 31

c − + 2 bc 2

1 31 36

−

cos

0, 3592

0 111 3'

≈ −

B ⇒ ≈

c − + 2 ac

2 31

180

0 59 59 '

≈

(

)

−

A B +

Học sinh E

−

≈

⇒ ≈ A

cos

0,9878

0 8 58'

− 36 31 1 12 31

c bc 2 2

−

≈ −

B ⇒ ≈

cos

0,3592

0 111 3'

− + 1 31 36 2 31

c + ac 2 2

−

= ⇒ =

cos

0,5

b + ab 2

+ − 36 1 31 12

Bảng điểm cho học sinh và ý kiến

Học sinh Điểm Lí do trừ điểm (cho điểm cao)

- Theo em, các kết quả của các bạn đã chính xác chưa? tại sao?---------------------

- Lời giải có kết quả khác của em:--------------------------------------------------

- Thứ tự các phím bấm MTBT:------------------------------------------------------------

Chúng tôi cho học sinh làm việc cá nhân sau khi đã thu lại phần câu hỏi và trả

lời của hai câu hỏi đầu tiên 1 và 2. Tại sao chúng tôi lại không cho học sinh làm đồng

thời với hai câu hỏi đó? Bởi vì hai câu hỏi 2 và 3 gần như giống nhau. Chỉ khác là ở

câu 3, chúng tôi cho trước các lời giải, còn câu 2 thì học sinh phải tự tìm cách giải, như

vậy nếu cho hai câu đồng thời thì học sinh sẽ dễ bị chi phối và không tự làm việc.

Với 5 lời giải giả định cho trước cho câu hỏi 3, chúng tôi lấy số chữ số thập

phân tăng dần. Mỗi cách lấy đó sẽ cho các số đo góc gần đúng và sai lệch nhau rất rõ

rệt. Việc lấy số các chữ số thập phân như vậy và thông qua cách cho điểm các lời giải

cho trước đó sẽ giúp chúng tôi tìm hiểu được quan điểm của học sinh về sai số, về các

kết quả mà học sinh có thể tin tưởng và chấp nhận được và về cả việc ưu tiên công

thức sin hay cosin để tính số đo góc. Qua đó kiểm chứng R1 và H3.

Với yêu cầu cho lời giải khác (kết quả khác), nếu có, sẽ cho phép chúng tôi tìm

hiểu việc sử dụng các giá trị gần đúng trung gian trước khi cho kết quả cuối cùng có

phải là thao tác thường gặp ở học sinh? Hay việc ghi các kết quả trung gian chỉ là hình

thức, còn việc lấy toàn bộ các chữ số có trên màn hình MTBT để tính toán tiếp là việc

thường dùng. Đó là quan điểm tính sao cho ít sai số nhất, và do đó kiểm chứng R1.

Trên đây là những lí do giải thích cho việc lựa chọn và xây dựng thực nghiệm.

Sau đây, chúng tôi sẽ phân tích các biến didacque, các chiến lược có thể cho

từng câu hỏi.

b) Biến didactique

Liên quan đến “lượng giác”, các số đo góc (góc đặc biệt hay không đặc biệt)

ảnh hưởng rất lớn đến quá trình tính toán và đưa ra kết quả của học sinh; đặc biệt là

các quan điểm về tính toán các giá trị đúng và gần đúng trên các số đo góc đó. Ngoài

ra, MTBT cũng là một công cụ hỗ trợ tính toán rất tiện ích và hiện nay MTBT cũng có

các chương trình cài sẵn liên quan đến lượng giác; tuy nhiên MTBT cũng có khuyết

điểm riêng, như là chỉ cho số đo của một góc là nhọn nếu suy ra từ giá trị sin của góc

đó, chỉ hiển thị các giá trị gần đúng của các số không thuộc tập hợp các số hữu tỉ….

Với đối tượng tam giác, chúng tôi nhận thấy học sinh đã được tiếp xúc với tam

giác từ rất nhỏ chẳng hạn như cho ba que tính và yêu cầu học sinh xếp thành một tam

giác; hay yêu cầu học sinh cấp THCS dựng một tam giác nào đó nếu biết một số yếu tố

của nó;… và nhiệm vụ của học sinh là phải có được tam giác. Vì thế, đối với cấp

THPT, cụ thể là lớp 10, với yêu cầu giải tam giác, tìm các yếu tố của tam giác, … thì

học sinh luôn luôn bắt tay vào tìm kiếm lời giải mà không bao giờ xem xét tính thoả

đáng của các giả thiết; nghĩa là nếu học sinh tìm được các yếu tố nào đó của tam giác

theo yêu cầu bài toán bằng các công thức nào đó thì tam giác đó đã có, đã tồn tại, và

như vậy là đã tìm được tam giác theo yêu cầu của đề bài. Hầu hết học sinh không quan

tâm đến vấn đề có 1, hay 2, hay nhiều hơn số tam giác thoả đề bài? các tính chất hay

công thức đã sử dụng có đảm bảo các kết quả tìm được là duy nhất (là thoả đáng, là

chứng tỏ tam giác tồn tại)?

Vì những lí do trên, cùng với mục đích kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu

đã nêu, chúng tôi lựa chọn các biến didactique sau:

_ V1: Các biến có liên quan đến số đo góc

Chúng tôi lấy hai giá trị sau:

V11: Số đo góc đặc biệt (có trong bảng lượng giác của một số góc đặc

biệt - được trình bày trong sách giáo khoa).

V12: Số đo góc không đặc biệt (không có trong bảng lượng giác của một

số góc đặc biệt trình bày trong sách giáo khoa).

_ V2: Tính chất của tam giác (là tam giác gì?)

Nếu tam giác nhọn thì khi dùng định lí sin tính góc sẽ không gây khó khăn cho

học sinh, nếu tam giác đặc biệt (vuông, cân, đều…) thì học sinh sẽ sử dụng tính chất

hình học để trả lời câu hỏi trước khi phải vận dụng các công thức liên quan đến “lượng

giác”. Nếu là tam giác tù, khi sử dụng định lí sin thì góc tìm được sẽ cần có sự chọn

lựa sao cho phù hợp và chính xác, nếu không cẩn thận sẽ dẫn đến câu trả lời sai (không

đầy đủ) hay thừa nghiệm hình. Nghĩa là nếu sinx = a (0≤ a ≤ 1) thì có hai số đo góc x (từ 00 đến 1800) thoả sinx = a. Như vậy có hai giá trị biến tương ứng:

V21: Tam giác nhọn

V22: Tam giác tù (vị trí góc tù )

Trong thực nghiệm, chúng tôi chọn tam giác ABC có góc B tù.

_ V3: Số lượng tam giác giải được

V31: một tam giác

V32: hai tam giác

V33: không có tam giác

Chúng tôi lựa chọn cho thực nghiệm hai biến V31 và V32 .

_ V4: Số đo cạnh của tam giác

V41: Số nguyên

V42: Số thập phân

V43: số vô tỉ

_ V5: Yêu cầu bài toán (biến tình huống)

V51: Tính

V52: Cho điểm các lời giải cho trước

V53: Lựa chọn lời giải cho trước

c) Các chiến lược

a) Phân tích từng câu hỏi và các chiến lược có thể

Câu 1

Tính các góc B, C và cạnh c của tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) a = 6, b = 7,3; A = 550.

b) a = 1, b = 3 ; A = 300.

■Giá trị biến Didactique

►Đối với câu a), chúng tôi lựa chọn các biến:

V12: Số đo góc không có trong bảng lượng giác của một số góc đặc biệt.

V32: Hai tam giác

V42: Số thập phân

V51: Tính (góc và cạnh của tam giác)

Chúng tôi chọn các biến này vì muốn học sinh vẫn quen thuộc với kiểu nhiệm

vụ Tính góc và cạnh còn lại của tam giác được chỉ ra khi biết 2 cạnh và một góc của

tam giác đó. Tuy nhiên, trong trường hợp này, 1 góc cho trước đó không phải là góc

xen giữa hai cạnh như những bài tập mà học sinh gặp trong SGK, hay đã gặp (có)

trong SBT. Hơn nữa, có 2 tam giác cùng tồn tại. Vì vậy, chúng tôi xem bài tập này là

một tình huống phá vỡ hợp đồng.

Trong bài tập này, khả năng xuất hiện định lí sin để tính số đo góc và cạnh còn

lại nhiều hơn định lý cosin. Điểm này không giống như một số bài tập mà học sinh đã

gặp. Qua đó, chúng tôi có thể tìm hiểu được quy tắc hợp đồng R2 (nếu dùng công thức

sin tính số đo góc thì có phải luôn suy ra góc đó là góc nhọn?).

Chúng tôi lấy số đo góc là 550 không có trong bảng các giá trị lượng giác của

các góc đặc biệt, và độ dài cạnh tam giác là số thập phân, qua đó chúng tôi muốn tìm

hiểu quan điểm của học sinh về việc biểu diễn các góc tìm được và độ dài cạnh tam

giác. Các kết quả đó sẽ lấy đến đơn vị nào? lấy giá trị đúng hay gần đúng, độ chính

xác như thế nào? MTBT can thiệp từ lúc nào? Có hạn chế việc tính toán sai số hay

không? Qua đó kiểm chứng được quy tắc R4.

►Đối với câu b) chúng tôi lựa chọn các biến:

.V11: Số đo góc có trong bảng lượng giác của một số góc đặc biệt

. V32: hai tam giác

. V41: Số nguyên

. V51: Tính (góc và cạnh của tam giác)

Câu hỏi này cho biết giả thiết tương tự như của câu a. Hai góc còn lại đều là

góc có số đo đặc biệt (có trong bảng lượng giác của các góc đặc biệt), hai cạnh cho

trước có độ dài không là số thập phân và là các số quen thuộc gần với các số có trong

bảng giá trị đặc biệt. Nếu ưu tiên sử dụng tỷ số sin để tính số đo góc sẽ giúp chúng tôi

tìm hiểu xem học sinh có tính đến hai giá trị số đo góc từ tỉ số sin hay không? Câu hỏi

này khác câu hỏi a) ở chỗ là các giá trị đặc biệt tìm được có trong bảng giá trị các góc

đặc biệt và nếu học sinh thuộc bảng này thì rất dễ dàng phát hiện ra có hai số đo góc

thoả điều kiện bài toán, nghĩa là có 2 tam giác cùng tồn tại. Và do đó sẽ kiểm chứng

được phần nào R2.

Cả hai câu a và b đều cho phép chúng tôi kiểm chứng giả thuyết H2. Bởi vì, nếu

sử dụng sin cho câu a thì MTBT sẽ cho số đo góc là nhọn, hay nếu câu b mà học sinh

không thuộc bảng giá trị đặc biệt của các góc và chỉ suy ra 1 số đo góc nhọn thì có thể

kết luận MTBT đã được học sinh ưu tiên sử dụng hơn các bảng số.

■Các chiến lược có thể

S1: Sin (Tính góc và cạnh theo định lí sin)

- S1R: Tính bán kính R (= a/sinA), từ R vừa tìm suy ra sinB, sau đó B, rồi C.

- S1gc: Tính sinB (= b.sinA/a), suy ra B, C, tính c = a.sinC/sinA = b.sinC/sinB.

- Nếu gặp lời giải tính sinB mà suy ra có 2 số đo góc B thì chúng tôi kí hiệu là

S’1 (cho cả hai trường hợp trên). Còn 2 chiến lược trên chỉ xét trong trường hợp

có 1 số đo góc được suy ra từ sin của nó. Hai chiến lược này cho phép kiểm

chứng R3.

S2: Cosin (Tính cạnh theo định lí cosin và suy ra góc theo định lí cosin)

S3: S-C (sin-cos) hoặc C-S (cos-sin)

- S3sc: Dùng định lí sin tính góc, sau đó dùng định lí cosin tính cạnh

- S3cs: Dùng định lí cosin tính cạnh, sau đó dùng định lí sin tính góc

Nếu dùng định lí sin tính góc mà suy ra 2 số đo của góc đó thì chúng tôi kí hiệu

trường hợp này là S’3.

Chúng tôi cho rằng S3cs sẽ khó gặp trong các lời giải. Trong các chiến lược trên,

chúng tôi không đề cập đến vấn đề tính giá trị đúng hay gần đúng. Tuy nhiên khi phân

tích các lời giải (có thể) ở câu 1b, chúng tôi sẽ thêm vào lời giải có tính gần đúng.

► Các lời giải có thể

Đối với câu a:

LG1: Theo định lí sin ta có

b .sin

0 7,3.sin 55

sin

0,9966

0 85 17 '

⇒

≈

B ⇒ ≈

sin

sin 0

180

(

)

0 39 43'

−

A B +

≈

4, 68

≈

c =

a.sinC 6.sin 39 43' sinA

0 sin 55

LG2: Như LG1 tính được sinB ≈ 0,9966 suy ra B ≈ 85017’ hoặc B ≈ 94043’

4, 68

≈

Với B ≈ 85017’ thì C ≈ 39043’, nên c =

a.sinC 6.sin 39 43' sinA

0 sin 55

3, 69

≈

Với B ≈ 94043’ thì C ≈ 30017’, nên c =

C a .sin A sin

6.sin 30 17 ' 0 sin 55

Với cả hai lời giải trên, có thể góc C tính theo định lí hàm sin (không dùng tính

chất về tổng ba góc của tam giác) hay số chữ số thập phân trong các lời giải được lấy

khác nhau.

Dùng công thức cosin cho góc A ta sẽ được một phương trình bậc 2 theo cạnh

c, giải phương trình này ta được hai giá trị của c. Chẳng hạn như:

LG3: ta có

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ⇔ c2 – 8,37c + 17,29 = 0 ⇔ c ≈ 4,66 hay c ≈ 3,71

Với c ≈ 4,66 thì cosC ≈ 0,7714, do đó C ≈ 39031’, nên B ≈ 85029’

Với c ≈ 3,71 thì cosC ≈ 0,8622, do đó C ≈ 30026’, nên B ≈ 94034’

Trong chiến lược này, có thể xuất hiện câu trả lời mà trong đó có vận dụng cả

định lí sin và cosin trong tam giác.

Dùng định lí cosin tính cạnh c, sau đó tính B, C theo định lí sin

Đối với câu b

. LG1:

sin

sin. b a

3 ⇒= 2

120

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

Với B = 600 thì C = 900 (vì A+B+C = 1800), nên c =

= 2

sin. a C sin A

Với B = 1200 thì C = 300 (vì A+B+C = 1800), nên c = 1

. LG2:

sin

060

=⇒=

b sin. a

3 2

Do đó, C = 900 (vì A+B+C = 1800), nên c = 2 (theo định lí sin)

. LG3:

Theo định lí hàm cosin, ta có

Dùng định lí sin tính B, C, sau đó tính cạnh c theo định lí cosin

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ⇔ c2 – 3c + 2 = 0 ⇔ c = 1 hay c = 2 Với c = 1 thì cosB = -1/2 nên B = 1200, do đó C = 300 (A+B+C = 1800)

Với c = 2 thì cosB = 1/2 nên B = 600,

do đó C =900 (vì A+B+C = 1800)

Học sinh có thể tính cosC suy ra góc C, rồi tính B cũng được.

b .sin

3.sin 30

sin

0,866

0 59 59 '

≈

B ⇒ ≈

Tính gần đúng

Sau đó tính như các LG đã nêu trên.

Trong trường hợp này, việc tính gần đúng chỉ được thể hiện khi nêu ra cụ thể

giá trị sinB. Nếu lấy toàn bộ các số có trên màn hình MTBT thì được số đo góc B là

giá trị đúng, nếu chỉ lấy các số gần đúng khi đã làm tròn thì góc B sẽ gần bằng giá trị

đúng của nó.

Câu 2

Cho tam giác ABC, biết a = 3 , b = 4, c = 7

a) Tính các góc A, B, C theo nhiều cách khác nhau (trình bày ít nhất 2 cách)

b) Trong các cách giải ở câu a, em chọn cách nào nộp cho giáo viên? Vì sao?

■Giá trị biến Didactique

. V12: Số đo góc không có trong bảng lượng giác của một số góc đặc biệt

(nhưng góc C tìm được lại là góc đặc biệt, C = 300)

. V22: Tam giác tù (vị trí góc tù là B)

. V31: 1 tam giác

. V43: Số vô tỉ

. V51: Tính

Với các biến đã lựa chọn, chúng tôi nhằm kiểm chứng các quy tắc R3, R2 và hai

giả thuyết H2, H3.

■Các chiến lược có thể

S1: Cosin

Chúng tôi kí hiệu như sau:

- S1a: Tính cosin cả ba góc

- S1b: Tính cosin 2 góc, góc còn lại dựa vào định lí tổng ba góc trong một tam

giác

S2: C-S (cosin-sin)

Tính cosin của góc thứ nhất, suy ra số đo góc đó. Sau đó tính sin của góc thứ

hai, suy ra số đo của góc; rồi tính góc thứ ba. Trong cách tính này, việc tính góc thứ

hai bằng định lí sin không phải lúc nào cũng đúng. Nếu tính góc B bằng định lí sin và

tam giác được cho là tam giác tù ở B. Nếu sử dụng tính chất tỉ số sin, suy ra hai số đo

bằng MTBT suy ra góc B thì B sẽ là góc nhọn, trong trường hợp này kết quả là sai vì

góc B (bù nhau) thì tìm cách loại đi một kết quả không phù hợp với bài toán? Nghĩa là

phải kiểm tra tính hợp thức (sự tồn tại) của các tam giác giải được.

Chúng tôi phân biệt các lời giải và kí hiệu như sau:

S2B1: Dùng cosin tính B trước tiên, sau đó tính góc thứ hai theo sin

S2B2: Dùng cosin tính A (hoặc C) trước tiên, sau đó dùng sin tính B, nếu trường

hợp ra hai số đo B thì kí hiệu là S’2.

S2B3: Dùng cosin và sin tính A và C trước, sau đó suy ra B (bằng tính chất tổng

ba góc trong một tam giác).

Nếu tính B sau cùng bằng công thức sin thì phải lấy góc B tù.

Các lời giải S2B1 và S2B3 đều cho các kết quả đúng.

►Các lời giải có thể

Đối với câu a:

_ S1: Cosin

cos

0,9449

0 19 6 '

⇒

≈

⇒ ≈A

c − + bc 2

16 7 3 + − 8 7

LG1:

tương tự, ta có cosB ≈ - 0,6547 nên B ≈ 130053’. Suy ra C ≈ 3001’ ( theo tính

chất tổng 3 góc trong một tam giác hoặc tính cosC suy ra C)

_ S2: C-S

sin

0, 7557

0 49 5'

≈

⇒ ≈B

LG2: Tương tự trên có cosA ≈ 0,9449 nên A ≈ 1906’

.sin b a

. Do đó C ≈ 111049’

sin

0, 7557

0 49 5'

≈

⇒ ≈B

LG3: Ta có cosA ≈ 0,9449 nên A ≈ 1906’

b .sin a

hoặc B ≈ 130055’ .

Với B ≈ 4905’ thì C ≈ 111049’ Với B ≈ 130055’ thì C ≈ 29059’

Lưu ý: Trong lời giải này, có thể học sinh sẽ nhận ra trường hợp đầu tiên phải

loại đi. Chúng tôi không phân biệt lời giải đó. Nếu xuất hiện trường hợp đặc biệt này,

chúng tôi sẽ phân tích các giải thích của học sinh.

Ngoài ra chúng tôi đã nói rất rõ trong phần phân tích các chiến lược, thứ tự của

các góc cũng rất quan trọng nếu tính theo chiến lược S2. Với S2B1 và S2B3 thì lúc nào

cũng cho kết quả đúng (nếu góc B trong S2B3 tính theo định lí tổng ba góc trong một

tam giác).

Đối với câu b:

Chúng tôi dự đoán cách giải thứ nhất, theo chiến lược cos-cos, sẽ được đa số

học sinh lựa chọn. Với cách giải thứ hai, chiến lược cos-sin, rõ ràng lời giải đầu tiên là

không chính xác; còn đối với LG2 thì vấn đề đối với học sinh là làm sao có thể loại

bớt một trường hợp? Như vậy, lời giải theo chiến lược cos-cos là an toàn trên hết.

Riêng lời giải theo S2B1 và S2B3 cũng được coi là an toàn, bởi vì: Theo quan hệ giữa

góc và cạnh trong tam giác, cạnh lớn nhất tương ứng với góc lớn nhất. Như vậy, nếu B

lớn nhất thì định lí sin cho A và C và suy ra A và C là góc nhọn thì luôn tìm được tam

giác thoả yêu cầu bài toán.

Câu 3

Chúng tôi lựa chọn số đo các cạnh của tam giác sao cho góc C là góc có số đo đặc biệt ( góc 600) xem đây là góc có giá trị đúng duy nhất để học sinh so sánh với các lời

gaỉi khác, còn hai góc A và B là hai góc không đặc biệt bất kì với góc B là góc tù.

Trước 5 lời giải giả định cho trước và với yêu cầu câu hỏi là hãy cho điểm các lời giải

này và cho biết lí do, chúng tôi cho rằng câu hỏi này cũng là một tình huống phá vỡ

hợp đồng về kiểu nhiệm vụ. Các số đo góc được tính gần đúng và làm tròn theo

nguyên tắc sau:

- Về số quy tròn (có dạy tường minh trong sách giáo khoa)

- Về đơn vị đo góc (quy tắc này không có trong chương trình): chúng tôi làm tròn đến đơn vị “phút”. Nếu phần đơn vị “giây” lớn hơn hoặc bằng 30 thì tăng thêm 1 phút,

ngược lại sẽ giữ nguyên phần đơn vị trước đó.

Chúng tôi phân tích 5 lời giải giả định như sau:

• Học sinh A

Lời giải này cho đáp số sai. Sai lầm khi sử dụng định lí sin là từ sinx=a (0≤a≤1)

thì phải suy ra có hai số đo góc (bù nhau), nghĩa là phải có hai góc B thoả mãn sinB

vừa tìm. Độ phức tạp còn thể hiện ở chỗ là chỉ có một tam giác thoả yêu cầu đề bài,

tam giác đó có góc B tù. Do đó, vấn đề đặt ra là phải kiểm chứng lại các kết quả tìm

được xem các tam giác giải được đó có phù hợp với giả thiết và có tồn tại hay không?

Trong khi đó học sinh A này chỉ lấy một số đo góc B thoả kết quả sinB tìm được và đó

lại không phải là góc tù mà là góc nhọn. Điều này cho phép kiểm chứng phần nào giả

thuyết H3.

• Học sinh B

Lời giải này cho đáp số đúng, tuy nhiên sai số quá lớn. Các công thức sử dụng

để tính số đo góc là đảm bảo an toàn về số tam giác tồn tại. So với kết quả đúng của

góc C = 600 thì rõ ràng cách lấy 2 chữ số thập phân đối với tỉ số lượng giác cosin làm

cho kết quả này lệch nhiều so với kết quả gốc. Sai số trong trường hợp này vừa thể

hiện ở khâu tính tỉ số cosin, vừa ở khâu suy ra số đo góc từ giá trị cosin đã được làm

tròn.

• Học sinh C

Cũng như học sinh B. Nhưng học sinh C lấy 3 chữ số thập phân. Sự khác biệt

này dẫn đến kết quả của học sinh C có phần chính xác hơn học sinh B. Tuy nhiên, góc

C vẫn chưa ra được giá trị đúng. Rõ ràng, khi quan sát kết quả của hai học sinh B và

học sinh C thì có sự sai lệch rất lớn về số đo góc, đặc biệt là ở góc A và C.

• Học sinh D

Học sinh D lấy nhiều chữ số thập phân hơn học sinh C (hơn 1 chữ số), nghĩa là

lấy 4 chữ số thập phân. Do đó, kết quả của học sinh D gần bằng với kết quả của bài

toán nhất. Rõ ràng góc C đã gần bằng với giá trị đúng của nó. Như vậy, điều này cũng

giải thích cho lí do tại sao người ta thiết kế bảng số lượng giác với 4 chữ số thập phân

mà không phải là 2 hay 3,… chữ số thập phân. Và đây cũng là lí do giải thích cho yêu

cầu “tính sao cho ít sai số nhất” khi phải tiếp xúc với những kết quả mà không thể cho

ra giá trị đúng. Nghĩa là, nếu lấy càng nhiều chữ số thập phân thì kết quả sẽ càng chính

xác.

• Học sinh E

Tính như học sinh D nhưng góc C thì lại tính theo định lí cosin. Cách tính này

cho góc C tìm được là giá trị đúng. Tuy nhiên, do góc A và B đã được làm tròn theo quy tắc làm tròn nêu trên, nên khi cộng ba góc thì lại không đạt được kết quả là 1800

mà sai lệch 1”. Thế nhưng kết quả này vẫn gần chính xác với kết quả của bài toán.

Chúng tôi tự hỏi: có còn cách tính nào khác cho kết quả chính xác và gần với

kết quả của bài toán nhất hay không?

Có một đặc điểm chung trong các lời giải trên là chúng tôi không sử dụng hết

tất cả các chữ số thập phân có trên màn hình MTBT. Kết quả mong đợi của chúng tôi

là kết quả mà chỉ cho gần đúng 1 lần, bằng cách sử dụng hết các phím chức năng của

MTBT (ở đây là phím nhớ hoặc phím ANS: lấy lại kết quả vừa có trên màn hình máy

tính). Cách này cho sai số ít nhất. Cụ thể, chúng tôi không tính cosA bằng bao nhiêu, mà sử dụng luôn kết quả trên màn hình MTBT thì có kết quả A ≈ 8057’. Tương tự có B≈11103’; do đó góc C tính theo định lí tổng ba góc trong một tam giác hay tính theo cosC thì vẫn ra được số đo chính xác của C = 600.

Thông qua các điểm số được cho và lí do mà học sinh làm thực nghiệm nêu ra

cho các lời giải giả định, chúng tôi có thể kiểm chứng được quy tắc R1.

Với lí do trên, trong câu hỏi 3 này chúng tôi có yêu cầu học sinh trình bày cách

giải và kết quả mà học sinh cho là chính xác hơn các kết quả của các lời giải giả định.

Đây là yêu cầu khó với nhiều học sinh, bởi vì với những lời giải cho trước thì chắc

chắn có lời giải đã phù hợp với ý kiến của học sinh rồi, vì thế sẽ có em không trả lời

phần hỏi thêm này. Thông qua những câu trả lời cho câu hỏi thêm này (có hay không

câu trả lời), chúng tôi tìm hiểu được: vấn đề tính sao cho ít sai số nhất có được GV

quan tâm hay yêu cầu học sinh thể hiện trong thực hành dạy- học?

☺Những cái cần quan sát

Vấn đề không phải là điểm số cho từng lời giải, mà là học sinh có phân biệt các

lời giải khác nhau về số chữ số thập phân hay không? đặc biệt là sự khác nhau giữa

các kết quả của học sinh B, C, D?

Học sinh có chấp nhận lời giải A không? Không chấp nhận là do số đo góc B

tìm được là góc nhọn khác hẳn với các kết quả của các học sinh khác, hay vì sử dụng

công thức sin để tính số đo góc là không chính xác?

Đối với lời giải của học sinh E, liệu các học sinh làm thực nghiệm có phát hiện ra tổng số đo ba góc tìm được không bằng 1800 hay không? Đó có là lí do để trừ điểm

câu trả lời này? Hơn nữa, việc sử dụng công thức cosin để tính cả ba góc và tìm được

góc C là góc đặc biệt có ảnh hưởng gì đến học sinh không? (nhất là so với các học sinh

giả định khác).

Học sinh làm thực nghiệm có cho câu trả lời khác và có tính cụ thể các kết quả

khác này? Hay chỉ trả lời bằng cách chọn một trong số các câu trả lời của các học sinh

giả định được cho là chính xác nhất? Để có kết quả khác, học sinh làm thực nghiệm có

ghi rõ cách bấm MTBT, hay là chỉ ghi “bấm máy tính ta có…”? Công thức nào được

học sinh ưu tiên lựa chọn hơn? Có giải thích tại sao?

☺Những câu trả lời có thể

Chúng tôi mã hoá các câu trả lời như sau:

S1: Nhóm các câu trả lời liên quan đến lời giải của học sinh A

- Lời giải được cho điểm thấp nhất so với các điểm khác vì lí do sử dụng công

- Lời giải này được cho điểm cao hoặc không giải thích lí do tại sao cho điểm

thức sin thì không chính xác. Chúng tôi kí hiệu câu trả lời này là S1a.

như thế, hoặc các ghi chú về tính toán (tính sai-do học sinh bấm MTBT sai, hay

- Kết quả góc B không phù hợp với các kết quả khác, kí hiệu S1c.

các giải thích không liên quan đến công thức và sai số) chúng tôi kí hiệu là S1b.

S2: Nhóm các câu trả lời liên quan đến lời giải của học sinh B và học sinh C

- Học sinh B bị cho điểm ít hơn học sinh C, với lí do tương tự như “Vì học sinh

B lấy ít chữ số thập phân nên sai số lớn”, kí hiệu là S2a. Với giải thích này,

chúng tôi kiểm chứng được phần nào R1.

- Nếu vì lí do nào đó (hoặc không có lí do) mà cho điểm học sinh B lớn hơn học

sinh C, kí hiệu S2b. Nghĩa là trong các trường hợp này, học sinh tham gia thực

nghiệm không nhận ra những khác nhau giữa hai kết quả, hoặc quan điểm về

lấy các chữ số ở các học sinh là khác nhau, đối với học sinh này thì sai số (hay

không) sẽ không quan trọng khi đã tính được kết quả bài toán, hay cho rằng cả

hai học sinh B và C đều có sai số như nhau.

- Nếu điểm của B bằng với C, kí hiệu S2c.

S3: Nhóm các câu trả lời liên quan đến lời giải của học sinh D

- Học sinh D được cho 10 điểm với lí do “sai số ít, chấp nhận được”, kí hiệu S3a.

- Học sinh D bị trừ điểm (nhưng vẫn cao hơn các học sinh A, B, C), với lí do

“vẫn còn sai số”, kí hiệu S3b.

- Học sinh D bị cho điểm thấp hơn hoặc bằng các học sinh A, B, C với những lí

do nào đó, kí hiệu S3c.

S4: Nhóm các câu trả lời liên quan đến lời giải của học sinh E

- Học sinh E được cho điểm 10 với lí do “tính chính xác”, “công thức đúng”, “sai

số chấp nhận được” kí hiệu S4a.

- Học sinh E bị trừ điểm vì lí do nào đó, kí hiệu S4b. Nếu trừ điểm vì lí do “tổng

ba góc không bằng 1800”, kí hiệu S4c.

- Học sinh E được cho điểm bằng hoặc ít hơn các học sinh A, B, C; kí hiệu S4d.

3.2.3. PHÂN TÍCH A POSTERIORI

Chúng tôi tiến hành làm thực nghiệm trên 185 học sinh của 4 lớp 10 của hai trường

THPT Nguyễn Hiền (hai lớp)và Mạc Đĩnh Chi (2 lớp). Trong đó có một lớp mà chúng

tôi đã tiến hành dự giờ tiết học về “giải tam giác”. Đây là hai trường đang dạy theo

chương trình thí điểm phân ban 2003, bộ sách giáo khoa thí điểm thứ nhất.

Câu hỏi 1: Bảng số liệu thu được

S1: Sin S3: C-S (S-C) Chiến lược Tổng

Câu 1

S2: Cosin khác cộng S’1 S1R

S1gc

S3cs S3sc S’3

Câu 1a 0 1 11 0 0 7 185

109

57

Câu 1b 3 1 11 0 1 2 185

107

60

Tổng cộng 3 2 22 0 9 370

216 117 1

Theo bảng thống kê trên, có 216/370 câu trả lời sử dụng S1gc, và có 117/370 câu

trả lời S3sc cho cả hai câu a và b, nghĩa là có tất cả 90% lời giải có dử dụng định lí sin

để tính góc và cho ra số đo góc đó là góc nhọn (chỉ có 1 số đo mà thôi). Với tỉ lệ này,

có thể thấy rằng quy tắc hợp đồng R2: “Số đo của một góc được suy ra từ giá trị sin của góc đó luôn nhỏ hơn 900” thật sự tồn tại.

Thống kê cũng cho thấy chỉ có 4 trường hợp dùng định lý sin (xảy ra đối với câu b)

suy ra hai số đo góc tương ứng (các góc đều đặc biệt). Nghĩa là, hầu hết học sinh không nhận thấy được tính chất quan trọng của tỉ số sin đó là (sinx=sin(1800-x)). Như

vậy, với các giá trị đặc biệt cho ở câu b thì cũng chỉ có 4 học sinh nhận ra tính chất đó

mà thôi. Tuy nhiên, 4 học sinh này đã không xét lại câu a (vì trong câu a thì cả 4 học

sinh này cho một số đo góc từ sin góc đó), đáng lẽ phải có 2 tam giác thoả mãn giả

thiết bài toán. Do đó chúng tôi cho rằng, với số thập phân và góc không đặc biệt thì

việc sử dụng MTBT để tính toán và tính gần đúng đã chi phối học sinh. Vì vậy, quy

tắc R4 và giả thuyết H2 cũng được kiểm chứng.

Có 11/185 câu trả lời ở mỗi câu hỏi a, b dùng định lí cosin để tính cạnh và góc.

Trường hợp này sẽ ra được 2 tam giác theo kết quả của bài toán. Tuy nhiên, đối với

câu a, chiến luợc này dẫn đến các tính toán rất phức tạp vì nó liên quan đến các số gần

đúng và sẽ phải dùng đến MTBT và làm tròn số nhiều lần. Như vậy, chiến lược này

cho kết quả chính xác nhất (nhất là đối với câu b) về số tam giác giải được, nhưng về

các kết quả thì có sự sai số lớn (ở câu a).

Câu hỏi 2: Bảng số liệu thu được

Câu 2a Câu 2b

Câu 2

số lượng tổng cộng số lượng tổng cộng

45 28 S1: cosin S1a(cosin 2 góc)

140

175

130 112 S1b(cosin 3 góc)

8 1 7

137

S2: Cosin - Sin S2B1(cosB trước)

96

S2B2(sinB thứ hai)

28 3 S2B3(sinB cuối )

5 0 S’2(hai số đo góc)

5 Chiến lược 9 9 5

khác

Không trả lời 49 49 33 33

đủ hai cách

Tổng cộng 370 370 185 185

Đối với câu 2a, chúng tôi nhận thấy các cách thứ nhất mà học sinh sử dụng để

tính số đo các góc đều bằng định lí cosin (S1); còn cách thứ hai (theo yêu cầu trình bày

ít nhất 2 cách) thì học sinh tính theo S2 (thứ tự góc B khác nhau ở mỗi học sinh). Có

những học sinh không trả lời cách tính thứ 2, mà chọn cách tính đầu tiên nộp cho GV;

hoặc cách thứ hai là một lời giải khác.

Bảng thống kê các câu trả lời nêu trên cho chúng ta thấy:

Có 175/185 câu trả lời dùng định lí cosin (cách tính thứ nhất) và có 140/185 lựa

chọn cách tính theo định lí cosin để nộp bài cho GV. Như vậy, có thể khẳng định H3

thật sự tồn tại.

Trong 137 cách thứ hai (tính góc theo cosin- sin), có 96/137 câu trả lời tính

sinB sau khi tính cosin của một góc và chỉ cho số đo góc B là góc nhọn. Như vậy, việc

kiểm tra sự tồn tại của tam giác sau khi tìm được đã không được học sinh để ý đến

trong trường hợp này (vì rõ ràng kết quả này khác với cách thứ nhất). Do đó, quy tắc

R3 tồn tại. Ngoài ra, trong 36/137 câu trả lời tính theo S2B1 và S2B3 thì chúng tôi quan

sát thấy có rất nhiều học sinh tính sinB suy ra góc B nhọn, và nhận thấy kết quả này

không phù hợp với cách thứ nhất (tính theo cosin) nên đã gạch bỏ cách tính này và tính

lại sinC, sau đó mới tính B; hoặc tính cosB trước, sau đó tính sin A hoặc sinC (kết quả

này phù hợp với cách 1). Điều này chứng tỏ quy tắc hợp đồng R2 và giả thuyết H2

được thể hiện rất rõ.

Có 49 học sinh không trả lời đủ hai cách (chỉ trả lời cách thứ nhất- tính theo

định lí cosin và chọn luôn kết quả đó làm câu trả lời nộp cho GV). Chỉ có 5 học sinh nhận ra tính chất sinx = sin (1800 - x). Tuy nhiên, cả 5 học sinh này đều giữ lại hai kết

quả đã tính được và không xem xét để loại đi một kết quả. Như vậy, R3 cũng được

khẳng định.

Có 9 lời giải khác (cho cách 2), các lời giải này có đặc điểm:

- Tính diện tích tam giác theo công thức Hêrông (tính gần đúng), sử dụng diện tích

tính sinC, sinA, sau đó tính B (hoặc tính sinA, sinB suy ra góc nhọn, tính C).

- Tính theo các công thức tính góc nhưng không biết tính các phép toán nên kết

luận sai, chẳng hạn như: tam giác không tồn tại,…

Tuy nhiên, ở đặc điểm thứ nhất thì hầu hết học sinh đều suy ra số đo góc là

nhọn mỗi khi tính theo đính lí sin. Do đó quy tắc R2 lại thể hiện trong cả trường hợp

này.

Rõ ràng trong các câu trả lời của học sinh hầu hết đều thể hiện phần thứ nhất

của R1.

Câu hỏi 3

Trong số 185 học sinh làm thực nghiệm, có 2 học sinh cho tất cả các lời giải

đều bằng điểm nhau: một học sinh cho điểm 0 tất cả các lời giải và một học sinh cho

điểm 2 tất cả các lời giải. Có 2/185 học sinh không làm các phần hỏi sau của câu hỏi.

Có 3/185 học sinh không cho điểm các lời giải.

Như vậy, chúng tôi chỉ thống kê trên 180 học sinh có tham gia trả lời. Dưới đây

là bảng thống kê câu trả lời của học sinh:

Số Tổng Tỉ lệ

Câu 3

lượng cộng

S1a (điểm thấp, công thức sin không chính 90 50% xác)

Học sinh S1b(điểm cao+không lí do hay “do tính toán 180 56 31,1% A sai”)

S1c(góc B sai- lí do nào đó, hay không phù 34 18,9% hợp các kết quả khác)

Học sinh 143 79,4% S2a(điểm B<điểm C, sai số nhiều)

B và C S2b(điểm B> điểm C, không lí do hay lí do 180 9 5% nào đó)

28 15,6% S2c(điểm B = điểm C)

S3a(điểm 10, sai số ít-chấp nhận được hay 13 7,2% “tính chính xác”)

Học sinh 180 149 82,8% S3b(trừ điểm nhưng > A, B, C + “còn sai số”) D

S3c(điểm thấp hơn B, A, C+ lí do nào đó hay 18 10% không có lí do)

S4a(điểm 10, tính chính xác, sai số ít, chấp 94 52,2% nhận được)

Học sinh 58 32,2% S4b(trừ điểm, còn sai số+ lí do khác) 180 E

14 7,8% S4c(trừ điểm + tổng ba góc không bằng 1800)

14 7,8% S4d(điểm bằng hay ít hơn A, B, C, D)

Bảng thống kê câu hỏi 3 nêu trên cho chúng ta thấy:

Với học sinh A, có 90/180 (50%) câu trả lời cho rằng A sử dụng công thức sin để

tính góc B là sai (trong đó có 28 câu trả lời của học sinh lớp dự giờ )- chứng tỏ H3 tồn

tại trong cả câu hỏi 3 này. Có 56/180 câu trả lời cho rằng A “tính toán sai” hoặc cho A

điểm cao mà không nói rõ lí do tại sao. Có thể giải thích là do học sinh chưa nắm vững

các quy tắc tính toán các phép toán trong một biểu thức- nhất là tính bằng MTBT, nên

khi bấm máy tính thì không ra được kết quả. Có 34/180 (12 câu của lớp dự giờ) câu trả

lời cho rằng “góc B sai” mà không nêu lí do hay lí do đưa ra là không phù hợp với các

kết quả khác. Rõ ràng, khi chúng tôi cho 5 kết quả thì học sinh A có kết quả góc B là

không phù hợp nhất với các học sinh khác. Cũng có thể trong số các em tham gia trả

lời bài thực nghiệm này (các em không nêu lí do), có một số em cũng ngầm cho rằng

góc B tính theo sin là sai.

Đối với học sinh B và C, có 143/180 (79,4%) (có 45 câu trả lời của học sinh lớp dự

giờ) câu trả lời cho điểm học sinh B ít hơn học sinh C với lí do như nhau. Các lí do

đưa ra đều cho rằng do học sinh B lấy ít chữ số thập phân hơn học sinh C, nên sai số

nhiều hơn. Điều này chứng tỏ quan điểm của học sinh về sai số đó là sai số ít thì chính

xác hơn, hay lấy càng nhiều chữ số thập phân thì càng chính xác và ít sai số. Điều này

còn được thể hiện ở 149/180 câu trả lời cho học sinh D điểm cao hơn học sinh B và C,

với các lí do như còn sai số, hay sai số ít hơn B và C; và còn thể hiện ở 13/180 câu trả

lời cho học sinh D điểm 10 (tuyệt đối) với lí do tính chính xác, hay “sai số ít, chấp

nhận được”. Như vậy, quy tắc R1 được kiểm chứng.

Với 28/180 câu trả lời cho học sinh B và C bằng điểm nhau. Đa số các câu trả lời

này đều cho lí do là vì cả B và C đều tính gần đúng, nên vẫn sai số. Học sinh E nhận

được 94/180 câu trả lời cho điểm 10(có 38 câu của lớp dự giờ) và có 58/180 câu trả lời

trừ điểm học sinh E cũng với lí do như học sinh D. Chỉ có 14 câu trả lời nhận ra tổng ba góc của tam giác không bằng 1800, và trừ điểm học sinh E nhưng vẫn cho điểm cao.

Trong số các câu trả lời cho điểm 10 học sinh E, ngoài các lí do giống học sinh D, còn

có lí do chung là vì góc C tính chính xác hơn các bạn khác.

Với các phần hỏi thêm, đa số học sinh đều cho rằng kết quả của các học sinh giả

định là “chưa chính xác”. Trong số 185 học sinh làm thực nghiệm có 163/185 (88,1%)

học sinh trả lời “chưa chính xác”, 22/185 học sinh không trả lời.

♦Với yêu cầu học sinh đưa ra câu trả lời khác mà học sinh cho là chính xác nhất

(hay kết quả mà học sinh tìm được khác với kết quả của các bạn), chúng tôi nhận được

156/185 câu trả lời của các em và có 27/185 không trả lời. Trong số các câu trả lời,

chúng tôi thấy có các trường hợp sau:

- Tính góc A, B, C bằng công thức cosA, cosB, cosC. Tuy nhiên, học sinh không

ghi kết quả cosA, cosB, cosC bằng bao nhiêu mà suy ra ngay góc A, B, C. Trong

trường hợp này, học sinh trình bày rất rõ cách bấm MTBT để được kết quả và đó là

cách bấm liên tiếp các phím của MTBT (sử dụng phím nhớ ANS).

- Tính các góc A, B, C bằng công thức cosin, và có ghi kết quả cosA, cosB, cosC

(lấy gần đúng 2, 3, hay 4 chữ số thập phân), nhưng kết quả lại là số đo các góc được

suy ra từ tất cả các chữ số có trên màn hình MTBT- như mong đợi “tính sao cho ít sai

số nhất”. Thể hiện cụ thể nhất là phần trình bày về cách ấn các phím của MTBT như:

tính cosA thì nhấn

(/6/x2/+(/ /3/1/)/x2/-/1/x2/)/ ÷ /(/2/x/6/ /3/1/)=

shift / cos

.,,,

Nghĩa là trong trường hợp này, học sinh dù có ghi cụ thể giá trị lượng giác của

một góc là bao nhiêu nhưng lại ý thức được vấn đề xấp xỉ số, cho nên đã giữ nguyên

các con số trên màn hình MTBT để tính ra số đo góc tương ứng.

Ví dụ: có học sinh đã trình bày như sau: “lời giải giống học sinh E dù cách giải

cos

0 8 58'

A ⇒ =

c − + bc 2

36 31 1 − + 12 31

−

cos

0 111 3'

B ⇒ =

c + ac 2

1 31 36 − + 2 31

−

cos

0 60

C ⇒ =

36 1 31 + − 12

b + 2 ab

có dài và mất thời gian hơn nhưng sẽ cho những kết quả chính xác”

(có học sinh tính C=1800 – (A+B))

Học sinh này đã nhầm lẫn dấu “=” trong bài làm của mình.

- Tính cosA, sinB (suy ra B nhọn), C=1800-(A+B). Trong trường hợp này học sinh

bấm liên tiếp các phím của MTBT để có kết quả cuối cùng. Như vậy, quan điểm “tính

sao cho ít sai số nhất” được các em rất chú ý.

- Giống như cách làm của bạn E. Nhưng lại cho kết quả khác E bằng cách bấm liên

tiếp các phím của MTBT.

- Một số học sinh hiểu sai câu hỏi nên trả lời bằng cách sửa lại các kết quả của các

học sinh giả định và chỉ ra cách bấm liên tiếp các phím của MTBT.

♦ Với yêu cầu trình bày cách ấn phím của MTBT để có kết quả khác đó, có

124/185 học sinh trả lời (có trình bày cách bấm MTBT), 61/185 học sinh không trả lời

câu hỏi này. Tất cả các câu trả lời đều thể hiện một điểm chung đó là: cách bấm liên

tiếp các phím của MTBT theo công thức, sau đó không lấy gần đúng mà lấy kết quả có

trên màn hình máy tính để tính tiếp thì sẽ có kết quả chính xác nhất. Có nhiều em trình

bày rất cụ thể từng phím bấm MTBT, có nhiều em chỉ mô tả như: nhập các số liệu cần

tính, sau đó nhấn tiếp dãy các phím là SHIFT COS = .,,,, sẽ cho kết quả. Có nhiều em

lấy kết quả số đo của góc đến đơn vị là “giây”.

Như vậy, quan điểm tính sao cho ít sai số nhất thể hiện ở học sinh là việc phải

sử dụng hết các con số trên màn hình MTBT để có kết quả cuối cùng và lấy càng

nhiều chữ số thập phân thì càng ít sai số nhất (thể hiện trong phần cho điểm các lời

giải giả định). Do đó quy tắc R1 hoàn toàn được kiểm chứng.

Cũng câu hỏi này trong phần thực nghiệm đối với GV, chúng tôi có những nhận

xét như sau:

- Với học sinh A: Hầu hết GV đều cho điểm thấp hơn các học sinh khác với lí

do là thiếu 1 trường hợp hay vận dụng sai định lí. Như vậy, với kết quả thu được trong

phần thực nghiệm đối với học sinh, chúng tôi thấy có sự tương đồng. Tuy nhiên, học

sinh cho điểm thấp vì lí do là học sinh A sai công thức (nghĩa là dùng sin để tính góc

thì sai).

- Với các học sinh khác thì, cả GV và học sinh đều có chung quan điểm là kết quả

lấy càng nhiều chữ số thập phân thì càng chính xác, chỉ nên bấm kết quả sau cùng và

sử dụng lại kết quả có trên màn hình MTBT.

KẾT LUẬN

Kết quả nghiên cứu của chúng tôi được trình bày trong ba chương của luận văn.

Chương 1 trình bày nghiên cứu mối quan hệ thể chế là cơ sở để đưa ra các quy tắc hợp

đồng didactique và các giả thuyết nghiên cứu. Để tăng thêm cơ sở cho việc đưa ra các

giả thuyết nghiên cứu, chúng tôi tiến hành nghiên cứu một tiết dạy học thực tế ở một

trường THPT ở Việt Nam về chủ đề của luận văn, phần này được trình bày trong

chương 2. Việc khẳng định, phủ định hay phủ định một phần các giả thuyết nghiên cứu

nêu ra là mục tiêu của chương 3.

Chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây:

Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trong chương 1 về MTBT và lượng giác trong

dạy - học chủ đề “Giải tam giác” theo nghĩa hẹp cho phép chúng tôi tìm hiểu được:

- MTBT trong các chương trình toán ở trường phổ thông Việt Nam vẫn chủ yếu

giữ vai trò là công cụ tính toán.

- Những nội dung “lượng giác” được đưa vào giảng dạy trong SGK được xuất

hiện sớm nhất là ở lớp 9 khi học về “Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông”.

Từ lớp 9 này, MTBT chỉ là công cụ hỗ trợ tính toán cho các bài toán liên quan

đến “lượng giác” nhưng lại chiếm ưu thế hơn bảng số lượng giác có 4 chữ số

thập phân. Chức năng “lượng giác” có trong MTBT vẫn là hỗ trợ tính toán. Hạn

chế của các chức năng này là từ sinx thì chỉ suy ra được góc x là góc nhọn.

Kết quả phân tích mối quan hệ thể chế đã dẫn chúng tôi đến giả thuyết tồn tại

các quy tắc hợp đồng didactique với MTBT gắn liền với đối tượng “lượng giác” trong

dạy- học chủ đề “Giải tam giác”.

Nghiên cứu một tiết dạy học thực tế về bài “Giải tam giác”cho phép chúng tôi

so sánh các tổ chức toán học đã được xây dựng trong tiết học với các tổ chức toán học

có trong sách giáo khoa. Các tổ chức toán học trong tiết thực hành dạy - học của GV

có sự khác biệt với SGK, nhất là các kĩ thuật để giải quyết 3 kiểu nhiệm vụ T1, T21, T3.

Đồng thời chúng tôi cũng nghiên cứu các tổ chức Didactique mà GV đã sử dụng trong

tiết học này. Tiết học thể hiện rõ quy tắc của hợp đồng R1 và R3. Nhờ nghiên cứu các

vấn đề trên, chúng tôi đã làm tăng thêm cở sở để đưa ra các giả thuyết nghiên cứu của

luận văn.

Nghiên cứu thực nghiệm ở chương 3 với hai đối tượng GV và học sinh cho

phép kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã đưa ra và khẳng định câu trả lời cho các

câu hỏi cần nghiên cứu.

Tuy nhiên do nhiều lí do khác nhau (chủ yếu là về thời gian không phù hợp với

tiến trình dạy học trong nhà trường), chúng tôi tiến hành thực nghiệm khi năm học đã

kết thúc, và mới chỉ tiến hành ở hai trường dạy theo bộ thứ nhất. Hạn chế nữa là việc

phân tích biên bản dự giờ một tiết thực hành dạy học của GV chỉ được dựng lại theo

sự ghi chép chứ không phải từ việc ghi âm hay quay phim. Cho nên chắc chắn kết quả

chưa thật sự thuyết phục lắm. Đó là hạn chế của luận văn.

Như chúng tôi đã nêu trong phần lí do chọn đề tài, nội dung lượng giác trong

giải tam giác tuy có hẹp so với các nội dung của nó nhưng lại có thể khai thác việc sử

dụng MTBT. Việc nghiên cứu các nội dung khác liên quan đến lượng giác như góc

lượng giác, các công thức lượng giác, phương trình lượng giác,…có gắn với MTBT

cũng sẽ giúp luận văn hoàn thiện hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hợp đồng didactique, bài giảng lớp thạc sĩ Didactique Toán, Đại học Sư Phạm

TP. HCM.

2. Lý thuyết nhân chủng học, bài giảng lớp thạc sĩ Didactique Toán, Đại học Sư

Phạm TP. HCM.

3. Nguyễn Thị Như Hà (2004), Máy tính bỏ túi trong dạy- học Toán: Trường hợp

hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10, Luận văn Thạc sĩ Khoa học

chuyên ngành lý luận và phương pháp giảng dạy Toán, Trường Đại Học Sư

Phạm TP. HCM.

4. TS. Nguyễn Văn Trang (chủ biên), Nguyễn Thế Thạch, Nguyễn Trường Chấng,

Trần Văn Vuông (biên soạn), Máy tính Casio fx 570MS-hướng dẫn sử dụng

và giải toán dùng cho các lớp 10,11,12 (sách tặng kèm theo máy), Vụ giáo

dục Trung học

5. Sách giáo khoa Toán 6, 7, 8, 9 chương trình CCGD.

6. Sách giáo khoa Toán 10, 11, 12(chương trình CCGD và chỉnh lý hợp nhất 2000).

7. Sách giáo viên 6, 7, 8, 9 chương trình CCGD.

8. Tài liệu Hướng dẫn giảng dạy Toán 10, 11, 12 (2000), Nhà Xuất Bản Giáo Dục.

9. Phan Đức Chính (tổng chủ biên), Tôn Thân (chủ biên), Vũ Hữu Bình, Trần

Phương Dung, Ngô Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2005),

Sách giáo khoa Toán 9 tập 1, Nhà Xuất Bản Giáo Dục.

10. Phan Đức Chính (tổng chủ biên), Tôn Thân (chủ biên), Vũ Hữu Bình, Trần

Phương Dung, Ngô Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2005),

Sách giáo viên Toán 9 tập 1, Nhà Xuất Bản Giáo Dục.

11. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Đặng Hùng

Thắng, Trần Văn Vuông (2003), Sách giáo khoa thí điểm Đại Số 10 ban

khoa học tự nhiên (bộ sách thứ nhất), Nhà Xuất Bản Giáo Dục.

12. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xuân

Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng (2004), Sách

giáo khoa thí điểm Đại Số 11 ban khoa học tự nhiên (bộ sách thứ nhất), Nhà

Xuất Bản Giáo Dục.

13. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần Phương

Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2005), Sách giáo khoa thí

điểm Đại Số 12 ban khoa học tự nhiên (bộ sách thứ nhất), Nhà Xuất Bản

Giáo Dục.

14. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Vũ Khuê, Bùi

Văn Nghị (2005), Sách giáo khoa thí điểm Hình học 10 ban khoa học tự

nhiên (bộ sách thứ nhất), Nhà Xuất Bản Giáo Dục.

15. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Vũ Khuê, Bùi

Văn Nghị (2005), Sách giáo viên thí điểm Hình học 10 ban khoa học tự

nhiên (bộ sách thứ nhất), Nhà Xuất Bản Giáo Dục.

16. Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam (2005), Sách bài

tập Hình học 10 thí điểm ban khoa học tự nhiên (bộ sách thứ nhất), Nhà

Xuất Bản Giáo Dục.

17. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn

Đoành, Trần Đức Huyên (2003), Sách giáo khoa thí điểm Hình học 10 ban

khoa học tự nhiên (bộ sách thứ hai), Nhà Xuất Bản Giáo Dục.

18. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn

Đoành, Trần Đức Huyên (2003), Sách giáo viên thí điểm Hình học 10 ban

khoa học tự nhiên (bộ sách thứ hai), Nhà Xuất Bản Giáo Dục.

19. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Trần Đức Huyên, Nguyễn Cao Thắng (2003),

Sách bài tập Hình học 10 thí điểm ban khoa học tự nhiên (bộ sách thứ hai),

Nhà Xuất Bản Giáo Dục.

PHỤ LỤC

BIÊN BẢN DỰ GIỜ MỘT TIẾT DẠY CỦA GIÁO VIÊN

GV chia bảng làm hai, một bên ghi định lý cosin, một bên ghi định lý sin. Sau đó,

Kịch bản GV: Hôm nay chúng ta học bài “ Giải tam giác và ứng dụng”(ghi lên bảng) . Trước hết thầy muốn các em nhắc lại cho thầy định lý sin, cosin và hệ quả của chúng. Thầy mời hai bạn lên bảng ghi lại cho thầy GV lấy sổ điểm gọi tên hai học sinh Đô và Bảo Hoàng lên bảng.

GV: Thầy mời “Đô viết định lý và hệ quả của định lí cosin; Bảo Hoàng ghi định

lý và hệ quả của định lý sin”.

Hai học sinh này lên bảng viết rất đúng công thức (các công thức đều được viết

với những ký hiệu được quy ước như: Các cạnh là: a, b, c; ….). GV: Cả lớp thấy các bạn ghi có đúng không? HS: Dạ đúng! GV: Như vây hai bạn viết rất đúng. Chúng ta vào bài mới “Giải tam giác và ứng dụng”. GV giới thiệu “Giải tam giác là tính độ dài của một cạnh hay số đo góc chưa biết dựa vào một số yếu tố đã biết” (GV chỉ phát biểu nhưng không cho học sinh ghi vào vở). GV ghi ví dụ 1 trang 50 đồng thời vẽ hình, chú thích các giả thiết tương ứng

Vd 1: Cho tam giác ABC biết a = 17,4; B = 44030’; C = 640. Tính góc A, b, c.

Đa số học sinh không trả lời câu thứ nhất về định lý cosin, chỉ có 2 học sinh trả

GV yêu cầu một trong hai học sinh này giải thích cách làm. HS: “Đối với góc B, dùng định lý cosin ta sẽ được phương trình bậc 2 theo cạnh

Sau đó GV hỏi cả lớp “Chúng ta có thể tính góc A theo công thức nào?” HS: Lấy 1800 trừ góc B và C. GV: Muốn tính cạnh b các em sử dụng công thức nào? Một nhóm học sinh nói to “Cosin”. Nhóm khác nói “sin”. GV: Dựa vào hình vẽ và các giả thiết đã cho, “các em dò trên bảng”, nếu sử dụng định lý cosin, ta sẽ áp dụng cho góc nào? Còn nếu sử dụng định lý sin, các em sẽ sử dụng tỉ số nào? lời lớn “Định lý cosin cho góc B”. b, vì a, góc B đã biết và c …(học sinh không trả lời tiếp), không tính được Thầy ơi! GV: Như vậy chúng ta sẽ chọn định lý sin để tính cạnh b. Với công thức của định lý sin này (GV chỉ vào công thức có trên bảng) chúng ta nên sử dụng tỉ số … Em nào trả lời?

HS:

, vì a, A, B đã biết.

a sin

b sin

GV: Bạn trả lời rất chính xác. Tuy nhiên, muốn tính cạnh nào thì chúng ta nên để phân số tương ứng đứng trước( trong trường hợp này chúng ta nên để b trước) vì các em

dễ suy ra

hơn, đúng không?

B a .sin sin A

GV gọi 1 học sinh lên bảng làm bài. HS trình bày trên bảng: Ta có A = 1800 – B – C = 1800 – 44030’ – 640 = 71030’.

a .sin

17, 4.s in44 30 '

12,86

≈

sin

0 sin 71 30 ' 0

a .sin

17, 4.sin 64

16, 49

≈

sin

0 sin 71 30 '

GV giới thiệu ví dụ 2 (ghi lên bảng, đồng thời tiếp tục vẽ hình và điền các giả

GV: Ở đây chúng ta nên lấy độ dài của cạnh chính xác đến hàng chục thôi, nghĩa là chỉ lấy một chữ số thập phân (Thầy nhắc lại cho các em điều này). Như vậy, cạnh b≈12,9 và c ≈ 16,5. thiết tương ứng).

Vd 2 : Cho ∆ABC, a = 30,4; b = 22,6; C = 30025’. Tính c và hai góc A, B. GV: “Bạn nào xung phong lên bảng tính câu này cho Thầy?”. Có vài cánh tay giơ lên. GV gọi “Mai Anh lên trình bày cho Thầy”. Mai Anh: Ta có c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC = 30,42 + 22,62 – 2.30,4.22,6.cos30025’

= 1434,92 – 1184,96 = 249,96

c ⇒ =

249,96 15,81. =

22, 6

30, 4

−

cos

...

c − + bc 2

2 15,81 2.22, 6.15,81

Học sinh chưa kịp tính tiếp thì: GV: Cách tính của em là đúng nhưng sai số nhiều quá. GV: Chúng ta không nên tính riêng (chỉ vào ba dấu “=” sau cùng trong lời giải của học sinh khi tính c2) vì sai số rất nhiều. Một bạn khác lên sửa lại cho Thầy. Trước khi tính Thầy nhắc lại nguyên tắc: chỉ bấm máy tính một lần để cho ra kết quả cuối cùng thì sẽ ít sai số.

249,9595 15,81.

≈

30, 4

22, 6

−

0, 2293

cos

≈ −

HS lên sửa lại: c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC = 30,42 + 22,62 – 2.30,4.22,6.cos30025’ ≈ 249,9595 c⇒ = GV nhắc: “Ta lấy một chữ số thập phân cho cạnh”. HS liền sửa lại c ≈ 15,8. c − + bc 2

2 15,81 2.22, 6.15,81

0 103 15'

A ⇒ =

cos

c − + ac 2

HS chưa kịp tính, GV nhắc “Không cần thiết tính góc B theo công thức này”. HS sửa lại (sau một hồi suy nghĩ) là:

B = 1800 – (A+C) ≈ 1800 – (35025’ + 103015’) ≈ 46020’.

GV đề nghị : “Cả lớp chú ý Thầy nhắc lại phần này: c2 lấy bốn chữ số thập phân” ( rồi GV sửa lại bài của học sinh) là c2 ≈ 249,9596 (vì phải làm tròn). Tính cosA cho ít sai số thì khi dùng c2 chúng ta nên thế số 249,9596 (sai số sẽ ít hơn), vì sao làm như thế lại ít sai số? Bởi vì khi tính c2 chúng ta đã làm tròn, rồi suy ra c cũng làm tròn,

như thế nếu sử dụng c thì sẽ bị làm tròn 2 lần trong khi c2 chỉ làm tròn một lần. Do đó cosA ≈ ─ 0,2289 nên A ≈ 103014’, suy ra B ≈ 46021’.

Trước khi qua ví dụ 3, các em phải nhớ những gì Thầy đã nhắc hồi nãy về cách

lấy chữ số thập phân và ghi dấu “≈”.

GV ghi ví dụ 3 lên bảng như sau: Vd 3: Cho ∆ABC có a = 15, b = 7, c = 9.Tính các góc A, B, C. GV vẫn vẽ hình, ghi các giả thiết trên hình vẽ và gọi học sinh Trúc lên giải bài. Trúc giải:

−

0, 7539

cos

≈ −

2.7.9

bc 2

A ⇒ ≈

0 138 56 ' 2 2

−

0, 9518

cos

≈

2.15.9

0 17 51'

B ⇒ ≈

0 23 13'

(

)

180

≈

−

≈

A B +

C GV: Thầy nhắc quy tắc bấm máy tính một chút. Trên màn hính máy tính cho kết quả của cosA là ─ 0,753968254, như vậy cosA ≈ ─ 0,7540. Để có được góc A sao cho ít sai số nhất, chúng ta sử dụng hết các con số có trên màn hình máy tính bằng cách nhấn các phím như sau: shift cos ans = , có kết quả chúng ta nhấn phím ◦,,, , ta được kết quả là 158056’. Cách bấm máy tính như thế này sẽ cho kết quả chính xác và ít sai số nhất. Tương tự cho cosB.

Trong ví dụ này, sau khi tính được cosA chúng ta có thể tính góc B nhanh hơn

sin

0,3066

⇒

≈

b .sin a

a sin

bằng cách sử dụng định lý sin. Ta có thể tính như sau: b 7.sin138 56 ' sin 15 Chúng ta bấm máy tính như sau: shift sin ans = rồi bấm ◦,,, ta được kết quả góc B ≈ 17051’, giống kết quả khi dùng định lý cos. Tuy nhiên, có một nhược điểm khi sử dụng định lý sin đó là: hai góc bù nhau có cùng giá trị sin, nghĩa là có một góc nhọn và góc tù tương ứng có sin giống nhau. Do đó trong trường hợp tính sinB mà chỉ suy ra góc B là góc nhọn thì làm cách nào để bỏ đi góc tù tương ứng của nó? Nói cách khác khi sử dụng sinB thì góc B sẽ có hai trường hợp. Như vậy, để đảm bảo an toàn và cho kết quả duy nhất của số đo góc thì chúng ta nên dùng định lý cosin.

Các em về nhà làm cho Thầy bài tập 24, 25, 26,27, 28, 29 trang 54, 55 sách giáo

khoa.

Chuông reo, giờ học kết thúc!

THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN

Kính thưa quý thầy cô,

Chúng tôi đang tiến hành một nghiên cứu nhỏ mà để hoàn thành xin được tham khảo ý

kiến của quý thầy cô. Mong thầy, cô trả lời (dấu tên) các câu hỏi sau (đánh dấu chéo vào

các câu lựa chọn):

1> Liên quan đến “lượng giác”, sách giáo khoa có các bài hướng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi. Theo thầy cô, giáo viên có cần thiết phải dạy trên lớp các hướng dẫn đó không?

a) Không cần thiết.. b) Đó là trách nhiệm của học sinh. c) Nên dạy trên lớp. d) Rất cần thiết. e) Ý kiến khác:----------------------------------------------------------------------

2> Thầy, cô có hướng dẫn học sinh sử dụng bảng số lượng giác có 4 chữ số thập

phân?

a) Có b) Không Thầy cô có thể cho biết lí do:---------------------------------------------------------

3> Khi hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán, thầy cô có yêu cầu

học sinh phải bấm máy tính bỏ túi sao cho ít sai số nhất không?

a) Có b) Không Nếu thầy cô chọn “Không”, thầy cô vui lòng cho biết lí do:----------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- Nếu thầy cô chọn “Có”, xin thầy cô trả lời tiếp câu hỏi dưới đây:

Thầy cô hướng dẫn học sinh bấm máy tính bỏ túi sao cho kết quả ít sai số nhất bằng các cách nào? Xin thầy cô vui lòng kể ra:----------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4> Để tính số đo các góc của tam giác, thầy cô thường yêu cầu học sinh dùng định lí

cosin hay định lí sin? a) Định lí cosin b) Định lí sin Thầy cô vui lòng cho biết lí do:-------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5> Thầy cô có những lưu ý nào khi hướng dẫn học sinh dùng định lí sin để tính số đo

các góc?

------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6> Thầy cô có thường xuyên hướng dẫn học sinh kiểm chứng sự tồn tại của tam giác

trước và sau khi giải được hay không?

a) Không b) Thường xuyên c) Thỉnh thoảng d) Ít khi e) Không cần thiết

Nếu thầy cô trả lời có, xin thầy cô vui lòng kể các cách mà thầy cô đã hướng dẫn học sinh kiểm chứng sự tồn tại của tam giác: ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7> Cho bài toán sau:

Giải tam giác ABC biết: a = 1, b = 3; A = 30 0.

Sau đây là một số lời giải của một số học sinh: Học sinh 1

sin

060 0

3 ⇒= 2

sin. b a

120

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

Với B = 600 thì C = 900 (vì A+B+C = 1800), nên c =

= 2

sin. a C A sin

Với B = 1200 thì C = 300 (vì A+B+C = 1800), nên c = 1

Học sinh 2

060

sin

=⇒=

3 2

b sin. a

Do đó, C = 900 (vì A+B+C = 1800), nên c = 2 (theo định lí sin)

Học sinh 3 Theo định lí hàm cosin, ta có

Học sinh 4

sin

866,0

'59

≈

B ≈⇒

b sin. a

sin.3 1

a .sin

Nên C = 1800 – (A + B) ≈ 9001’. Do đó c =

2 ≈

sin 90 1' 0

sin

sin 30

Thầy cô hãy cho điểm các em học sinh trên với thang điểm 10 và vui lòng cho biết lí do

thầy cô trừ điểm?

Học sinh Điểm 1 2 3 4

Lí do trừ điểm

8> Cũng câu hỏi trên cho bài toán sau:

Cho tam giác ABC, biết a = 1, b = 6, c = 31 . Tính các góc A, B, C của tam giác.

Học sinh A

−

cos

0,9878

0 8 58'

≈

A ⇒ ≈

c 2 bc

36 31 1 − 12 31 0

sin

0,9354

0 69 18'

≈

B ⇒ ≈

6.sin 8 58' 1

6.0,1559 1

.sin b a

180

(

) 101 44 '

−

A B +

≈

C

Học sinh B

−

cos

0,9878

0 8 58'

≈

A ⇒ ≈

c 2 bc

36 31 1 − 12 31 0

0 69 18'

⎡ ≈ B

sin

0,9354

≈

⇒ ⎢

6.sin 8 58' 1

6.0,1559 1

.sin b a

0 110 42 '

B ≈⎣

0 69 18'

180

(

) 101 44 '

. B

≈

C ⇒ =

A B +

≈

− 0

0 110 42 '

180

(

) 60 20 '

≈

C ⇒ =

−

A B +

≈

B .

Học sinh C

36 31 1

−

cosA

0, 98

0 11 29 '

≈

A ⇒ ≈

2 bc

12 31

1 31 36

−

cosB

0, 36

0 111 6 '

≈ −

B ⇒ ≈

c − + 2 ac

2 31

057 25'

≈

C = 1800 – ( A + B )

36 31 1

−

cos

0, 9878

0 8 58 '

≈

⇒

≈

12 31

Học sinh D 2 2 a c b − + bc 2 2

1 31 36

−

cos

0, 3592

0 111 3'

≈ −

B ⇒ ≈

c − + ac 2

2 31

180

0 59 59 '

(

−

A B +

36 31 1

−

cos

0 8 57 '

⇒

≈

12 31

) ≈ Học sinh E 2 2 a c b − + bc 2 2

1 31 36

−

cos

0 111 3'

B ⇒ ≈

= −

c − + 2 ac

2 31

11 2 31 2 31

180

≈

(

−

A B +

) Học sinh F

36 31 1

−

cos

0, 9878

0 8 58 '

≈

⇒

12 31

c − + bc 2 2

1 31 36

−

cos

0, 3592

0 111 3'

≈ −

B ⇒ ≈

2 31

c − + ac 2 2

36 1 31 + −

cos

0, 5 = ⇒

b − + ab 2

Lí do trừ điểm (cho điểm cao)

Bảng điểm cho học sinh và ý kiến Học sinh Điểm A B C D E F

Lời giải mà thầy cô mong đợi ở học sinh là lời giải nào? Thầy cô vui lòng cho biết lí

do:---------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

*********************************************************************

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN QUÝ THẦY CÔ!

Họ tên:

Lớp:

Trường:

Học sinh không dùng bút xoá và bút chì trong quá trình làm bài. Làm bài ngay trên giấy đã phát, tờ

giấy trắng kèm theo để các em làm bài và làm nháp trên đó.

*******************

Câu 1:

Tính các góc B, C và cạnh c của tam giác ABC trong các trường hợp sau: a) a = 6, b = 7,3; A = 550. b) a = 1, b = 3 ; A = 300.

Câu 2:

Cho tam giác ABC, biết a = 3 , b = 4, c = 7 a) Tính các góc A, B, C theo nhiều cách khác nhau (trình bày ít nhất 2 cách) b) Trong các cách giải ở câu a, em chọn cách nào nộp cho gíao viên? Vì sao?