Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐA I HO C THA I NGUYÊN
TRƢƠ NG ĐA I HO C SƢ PHA M
NGUYÊ N THI THU PHƢƠNG
PHP BIN HNH BO GIC
V MT S BI TON CƠ HC
LUÂ N VĂN THA C SI KHOA HC TOA N HO C
THI NGUYÊN - 2012
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐA I HO C THA I NGUYÊN
TRƢƠ NG ĐA I HO C SƢ PHA M
NGUYÊ N THI THU PHƢƠNG
PHP BIN HNH BO GIC
V MT S BI TON CƠ HC
Chuyên nga nh: TOÁN GIẢI TÍCH
M s: 60.46.01.02
LUÂ N VĂN THA C SI KHOA HC TOA N HO C
Ngươ i hươ ng dâ n khoa ho c: GS. TSKH Ha Huy Khoa i
THI NGUYÊN - 2012
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mở đầu iii
1. PHP BIN HNH BO GIC V MT S HM SƠ CẤP CƠ BN. . .1
1.1. Khái niệm về phép biến hình bảo giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1.1. Đi nh nghi a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Phép biến hình thực hiện bởi hàm giải tích. . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3. Bổ đề Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4. Nguyên lí đi xứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2. Phép biến hình bảo giác qua một s hàm sơ cấp. . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2.1. Phép biến hình tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2.2. Phép biến hình nghịch đảo
1
w=z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2.3. Phép biến hình Giucovski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
2. BI TON THẤM PHẲNG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Phương trình chuyển động nước thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.1.1. Khái niệm về nước thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Vận tc thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3. Định luật Darcy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4. Phương trình thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Bài toán thấm phẳng đồng chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1. Thế vị phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2. Đường dòng và đường thế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3. Điều kiện biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3.1. Biên không thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.2.3.2. Biên thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
2.2.3.3. Biên rỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
2.2.3.4. Đường bo hòa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. PHƢƠNG PHP BIN HNH BO GIC V BI TON THẤM CÓ P
DƢỚI CC CÔNG TRNH THỦY LỢi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.1. Biến hình đa giác thành nửa mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.1.1. Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.1.2. Công thức Schwart – Christoffel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3. Biến hình chữ nhật thành nửa mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . .23
3.1.4. Các hàm Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Thấm dưới công trình thủy lợi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1. Hình chữ nhật cơ sở của bài toán thấm có áp. . . . . . . . . . . 28
3.2.2. Hô đê phă ng trên lơ p thâ m sâu vô ha n. . . . . . . . . . . . . . . . .30
3.2.3. Hô đê phă ng trên lơ p thâ m hư u ha n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
3.2.4. Hô đê phă ng trên lơ p thâ m hư u ha n co va ch cư . . . . . . . . . .37
4. PHƢƠNG PHA P BIÊ N HI NH BA O GIA C TRONG BA I TOA N THÂ M
KHÔNG A P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1. Hàm Giucovski.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2. Vách c Giucovski.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
4.3. Thâ m qua ma ng lươ i co lo c đô i xư ng.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Kết luận 52
TI LIỆU THAM KHO 53
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
MƠ ĐÂ U
1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm ánh xạ bảo giác là một trong những khái niệm quan trọng nhất
của toán học và là một trong những phần lý thú của lý thuyết hàm biến phức.
Bài toán cơ bản và khó nhất của lý thuyết ánh xạ bảo giác là tìm hàm chỉnh
hình thực hiện ánh xạ bảo giác miền cho trước lên miền cho trước. Bài toán
này có ý nghĩa thực hành rất lớn, tuy nhiên cho đến ngày nay người ta chưa
có những phương pháp đủ hiệu lực để giải nó, nhưng trong nhiều trường hợp
đơn giản nhất (nhưng cũng đầy thú vị) bài toán có thể giải nhờ các hàm s sơ
cấp biến phức.
Đặc biệt năm 2005, GS. Darren Crowdy đ có một công trình đột phá về
việc ánh xạ bảo giác miền đa giác đa liên lên nửa mặt phẳng phức (công thức
Schwart-Christoffel cho trường hợp đa liên), một công cụ vô cùng quan trọng
cho tất cả các nhà toán học, kỹ sư cũng như các nhà khoa học khi mun chiếu
các thông tin về hình khi phức tạp thành các hình dạng đơn giản như hình
tròn để dễ dàng hơn trong việc phân tích. Kết quả trên còn được sử dụng trong
nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn trong mô hình hóa và trực quan hóa các cấu
trúc phức tạp của hệ thần kinh. Trong luận văn này, chúng ta mới sử dụng
công thức Schwart-Christoffel cho miền đơn liên.
Và nếu như trước đây một s các kỹ thuật giải tích được giới sinh viên
toán ứng dụng dùng đến nhiều hơn so với phương pháp chiếu bảo giác, ví dụ
như các phương pháp cổ điển để giải các bài toán cơ học continuum, tĩnh
điện, hay các lĩnh vực sử dụng phương trình Laplace và Poission hai chiều,
nhưng với những gì mà tính chất phép biến hình bảo giác và nhờ các hàm s
.