BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

PHẠM THANH SƠN

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TÍNH

CHỨA SỐ HẠNG NHỚT PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60. 46. 01

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gửi đến Thầy TS. Trần Minh Thuyết

lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự tận tình hướng dẫn, chỉ bảo của thầy đối với

tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Qua  luận  văn  này,  tôi  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  đến  Thầy  TS.

Nguyễn  Thành  Long  và  Cô  TS.  Lê  Thị  Phương  Ngọc  đã  đọc  và  đóng  góp

nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi. Lòng say mê nghiên cứu khoa

học và sự tận tâm của các Thầy và Cô đối với học trò là tâm gương sáng để

thế hệ chúng tôi noi theo.

Xin  chân  thành  cảm  ơn  Quý  Thầy,  Cô  thuộc  Phòng  Khoa  học  Công

nghệ ‐Sau đại học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện

thuận lợi để tôi hoàn tất chương trình học và hoàn thành luận văn.

Qua đây tôi cũng tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các tác giả của các bài

báo mà tôi đã tham khảo trong quá trình viết luận văn này.

Xin cảm ơn các bạn lớp Cao học Toán Giải Tích khóa 18 và em Ngô

Vũ  Hoàng  Thanh,  nhân  viên  TTBDVH  THÀNH  TRÍ  đã  nhiệt  tình  động

viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.

Cuối cùng, lời thân thương nhất tôi muốn giử tới mọi người trong gia

đình  tôi,  những người đã hết lòng lo  lắng cho tôi và luôn ở bên tôi trong

những lúc tôi gặp khó khăn.

Vì kiến thức của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh

khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và

sự góp ý chân thành của bạn bè, đồng nghiệp.

PhạmThanh Sơn

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂM

Tập các số tự nhiên Tập các số nguyên Tập các số thực

(cid:96) (cid:93) (cid:92)

Tập các số nguyên không âm

+(cid:93)

Tập các số thực không âm

Khoảng (0,1)

+(cid:92) Ω

Ω×

(0,

T

),

T

Tích Descartes

∀ > 0

TQ

| |γ

γ

γ

γ

γ

= + + + Modun của đa chỉ số

1

2

3

4

1

3

4

4 ∈ (cid:93) +

γ = ( , , ) γ γ γ γ , 2

γ

=

(

,

,

)

Gia thừa của đa chỉ số

1

3

4

γ γ γ γ , 2

1

3

4

4 ∈ (cid:93) +

γ

γ

1

2

3

4

=

K Kγ

Đơn thức bậc | |γ theo 4 biến

1

γ λ λ 1

=

K K ( ,

,

)

2 ∈ ×

! = ! ! ! γ γ γ γ ! 2

(cid:92) (cid:92) ,

λ λ , 1

1

2 +

u t ( )

=

u x t ( , )

Hàm hai biến ( , )x t

′=

=

u t ( )

x t ( , )

Đạo hàm riêng cấp 1 theo biến t

∂ u ∂ t

tu t ( )

′′=

=

u t ( )

x t ( , )

Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến t

u t ( ) tt

2 u 2 t

∂ ∂

= ∇

u t ( )

=

x t ( , )

Đạo hàm riêng cấp 1 theo biến x

∂ ∂

u x

xu t ( )

= Δ

u t ( )

=

x t ( , )

Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x

u t ( ) xx

2 ∂ u 2 ∂ x

1

2

2 L

(0,1),

H

(0,1)

Để chỉ

1 ,L H

L

2(0,1)

Tích vô hướng hoặc tích đối ngẫu trong

.,.〈 〉

Chuẩn trong không gian X

||.||X

2(0,1)

L

Chuẩn trong không gian

γ (cid:71) γε (cid:71) ε

Chuẩn sup trên [0,

]T

||.|| 0

C

0( )

( )

Ω ≡ Ω C

Không gian các hàm số

:u Ω → (cid:92) liên tục trên Ω

u C∈

0( )

iD u C∈

0( )

Không gian các hàm

Ω với

mC Ω ( )

Ω sao cho

i

1,2,

,

= … m

Mọi

Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω

cC ∞ Ω ( )

( )ΩD

Không gian các hàm số

:u Ω → (cid:92) khả vi vô hạn có giá

compact trong Ω

1

||.||

Chương 1

TỔNG QUAN

1.1. Giới thiệu bài toán

Các bài toán biên về phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng là một

trong những lĩnh vực quan trọng của toán lý thuyết và ứng dụng. Các bài toán này xuất

hiện nhiều trong vật lý, hóa học, sinh học, . . ., và do đó là đề tài được quan tâm bởi

nhiều nhà toán học, chẳng hạn như trong [1, 2], [4 – 19] và các tài liệu tham khảo trong

đó. Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với

điều kiện biên hỗn hợp phi tuyến sau đây.

Tìm hàm u thoả phương trình sóng phi tuyến tính có dạng

μ−

+

)

=

1, 0

t u ( )

F u u ( ,

f x t ( , ), 0

x < <

t T < < ,

(1.1)

u tt

xx

t

liên kết với điều kiện biên biên hỗn hợp phi tuyến

t u ( )

t (0, )

Y t

( ),

=

x

(1.2)

− 2

t u ( )

t (1, )

K u t (1, )

|

u

α t (1, ) |

u

t (1, ),

=

+

1

λ 1

x

t

t

⎧⎪ μ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪− μ ⎪⎩

và điều kiện đầu

( , 0)

=

( ),

( , 0)

=

( ),

u x

(1.3)

(cid:4) u x 0

u x t

(cid:4) u x 1

F u u ( ,

=

Ku

+

uλ

K

,

Kλ ,

,

,

, với

λ α là các hằng số cho trước;

trong đó

)t

t

1

1

μ ,

,

u x t và

(cid:4) (cid:4) là các hàm cho trước thoả các điều kiện sẽ đặt ra sau. Ẩn hàm ( , ) f u u , 0

1

( )Y t thoả mãn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường

giá trị biên chưa biết

sau

γ

γ

t (0, ), 0

t T

,

+

+

=

< <

′ ( ) Y t 1

Y t ( ) 2

K u 0

tt

(1.4)

(0)

′ (0)

,

=

=

(cid:4) Y Y , 0

(cid:4) Y 1

⎧ ′′ ⎪ Y t ( ) ⎪⎪ ⎨ ⎪ Y ⎪ ⎪⎩

,

,

,

4

γ

γ−

trong đó

(cid:4) là các hằng số cho trước, với

> 0.

γ γ , 1

2

(cid:4) K Y Y 0 1

0

2 1

2

,

,

,

t (0, )

Từ (1.4), ta biểu diễn

( )Y t theo

và sau đó dùng tích

γ γ , 1

2

(cid:4) K Y Y u , 0

(cid:4) 1

0

tt

phân từng phần ta thu được

t

(1.5)

∫

0

2

Y t ( ) = g t ( ) + t (0, ) + k t ( − s u ) (0, ) s ds , K u 0

trong đó

γ

K

K

γ t

−

0

1 γ

ϖ

0 ω

0

γ t

−

2

2

ω t

e (0)) cos ω t ( (0) (0)) sin ω t , = + − (cid:4) Y + − − 0 (cid:4) Y 1 (cid:4) u 0 (cid:4) u 1 ⎡ (cid:4) (cid:4) Y K u ( − ⎢ ⎣ 0 0 ⎤ ⎥ ⎦

sin ω

(1.6)

Do đó bài toán (1.1) – (1.4) được đưa về (1.1) – (1.3), (1.5), (1.6).

2 cos γ ω t ( γ ω = + − K e 0 ⎡ − ⎢ ⎣ ⎤ ) , ⎥ ⎦ ⎧ ⎪ g t ( ) ⎪ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪ k t ( ) ⎪ ⎪⎩

1.2. Các kết quả liên quan đến bài toán

Những năm gần đây, bài toán (1.1) – (1.3), (1.5), (1.6) và các dạng tương tự với

các điều kiện biên khác nhau đã được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả và thu

được một số kết quả, chẳng hạn như: sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, tính trơn, tính

chính qui, tính ổn định, dáng điệu tiệm cận cũng như khai triển tiệm cận của nghiệm,

xem [1, 2], [4 – 19] và các tài liệu tham khảo trong đó. Sau đây, chỉ nêu ra vài khía

cạnh liên quan đến bài toán khảo sát trong luận văn.

Trong trường hợp ( )

toán (1.1), (1.3) với

1, tμ ≡ các tác giả N.T. An và N.Đ. Triều trong [1] đã xét bài

0,

f x t = ( , )

(1.7)

1

2

trong đó điều kiện biên (1.2) được thay thế bởi

γ γ= 0, 0, 0, > 0, (cid:4) u 0 (cid:4) = = u 1 =(cid:4) Y 0

(1.8)

xu

Trong trường hợp này, bài toán (1.1), (1.3), (1.7), (1.8) mô tả dao động của một vật rắn

và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên nền cứng.

t (0, ) = Y t ( ), u t (1, ) = 0.

Trong [2], cũng trường hợp ( )

P. N. Định, nghiên cứu bài toán (1.1), (1.3), với điều kiện biên (1.2) được thay thế bởi

=

( ),

−

=

+

u

t (0, )

Y t

u

t (1, )

K u t (1, )

t (1, ),

(1.9)

u λ 1

1

x

t

x

1, tμ ≡ các tác giả M. Bergounioux, N. T. Long, A.

với các hằng số cho trước

1

văn này với điều kiện biên phi tuyến tổng quát hơn (1.9).

Bằng sự tổng quát hoá của [2], các tác giả N. T. Long và A. P. N. Định [4], N.T.

Long và T. M. Thuyết [6], đã xét bài toán (1.1) – (1.3) với điều kiện biên tại

x = có 0

dạng

t

t (0, )

=

g t ( )

+

H u

( (0, ))

t

−

k t (

−

s u ) (0, )

s ds

,

(1.10)

xu

∫

0

3

0, K 0. ≥ Như vậy, bài toán chúng tôi xét trong luận λ > 1

,

trong đó

g H k là các hàm cho trước. ,

N. T. Long, A. P. N. Định, T. N. Diễm [5] nghiên cứu sự tồn tại, tính trơn và khai

triển tiệm cận nghiệm của bài toán (1.1) – (1.4) trong trường hợp

( ) tμ ≡ 1,

,

trong đó

x

1

t

xu

t (0, ) Y t= ( ) u t (1, ) = K u t (1, ) + t (1, ), ( )Y t xác định bởi (1.4) với λ u 1

ttu

ttu

1

N. T. Long, L. V. Ut, N. T. T. Truc [9] nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm

yếu, tính chính qui theo biến thời gian, tính ổn định và khai triển tiệm cận của nghiệm

yếu theo hai tham số (

, )K λ của bài toán (1.1), (1.3) với (1.2) được thay thế bằng

(0, ) (1, ) t thay thế bằng t và γ = 0.

t

(1.11)

t (0, ) = 0,

x

1

∫

0

Trong trường hợp này bài toán là mô hình toán học mô tả va chạm của thanh đàn

hồi nhớt tuyến tính.

μ t u ( ) t (1, ) K t u t ( ) (1, ) ′ ( ) (1, ) t t u g t ( ) k t ( s u s ds ) (1, ) , = + − − − λ 1 ⎧⎪ u ⎪⎪⎪⎨ ⎪ − ⎪⎪⎪⎩

1.3. Bố cục của luận văn

Nội dung của luận văn bao gồm các chương sau:

Chương 1. Trình bày phần tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn và điểm qua

các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn.

Chương 2. Nêu một số kết quả chuẩn bị chẳng hạn như nhắc lại một số không gian

hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian hàm quan trọng.

Chương 3. Bằng phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên

nghiệm và phương pháp compact yếu, chúng tôi chứng minh bài toán (1.1) – (1.3),

(1.5) tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục.

Chương 4. Chúng tôi khảo sát tính ổn định của nghiệm yếu phụ thuộc vào dữ kiện đầu

vào của bài toán.

Chương 5. Nội dung chính của chương này gồm hai phần. Phần 1, nghiên cứu dáng

điệu tiệm cận của nghiệm yếu khi

+→ Phần 2, trình bày một khai triển

,

,

tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp

, , ) 0 . K K λ λ ( , 1 1

K K λ λ ; .

1

1

N + theo bốn tham số bé 1 2

Chương 6. Chúng tôi xét một bài toán cụ thể để minh họa cho phương pháp tìm

nghiệm xấp xỉ bằng cách khai triển tiệm cận đã trình bày ở phần 2 của chương 5.

4

Kết quả thu được ở đây là một sự tổng quát hóa một cách tương đối các kết quả

trong [1, 4, 5, 6, 9]. Một phần kết quả liên quan đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu,

tính ổn định và khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số được công bố

trong công trình của chúng tôi [16].

Kế đến là Phần kết luận, nhằm tóm tắt kết quả thực hiện trong luận văn và cuối

cùng là danh mục các tài liệu tham khảo.

5

Chương 2

CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

2.1. Không gian hàm một chiều

Ta có

2L là không gian Hilbert đối với tích vô hướng

•

1

〈 u v ,

〉 =

u x v x dx ( ) ( )

,

2 ∈ u v L

,

.

(2.1)

∫

0

Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên xác định như sau

1

2

2 u L ∈

(2.2)

∫

0

1/2 ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠

W

p 1, ( )

p Ω = ∈ { u L

Ω ∃ ∈ ( ) :

p g L

u

ϕ

g

ϕ ,

∀ ∈ ϕ

C

Ω ( )}

Ω sao cho ( )

•

1 c

∫

∫ = −

Ω

Ω

1, ( )

pW Ω trang bị chuẩn

là không gian Sobolev. Trên

||

u

.

=

+

(2.3)

u || || W

1, ( ) p Ω

u || || p L

( ) Ω

′ || p L

( ) Ω

1

1,2

∈

H W =

2 v L v { = ∈

:

2 L

},

là không gian Hilbert đối với tích vô hướng

•

x

u || || u u , u x dx ( ) , . = 〈 〉 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

(2.4)

1

x

= 〈

v v ,

Ta ký hiệu

là chuẩn trong

1H .

1

1

v || || H

〉 H

〉 + 〈 u v 〈 , u v , 〉 . u v , x 〉 = 〈 H

Ta có định lý sau. Định lý 2.1. ([20, trang 129]) Tồn tại một hằng số K (chỉ phụ thuộc vào |

| +Ω ≤ ∞ )

sao cho

1,

p

≤

K u

,

∀ ∈

u W

1

Ω ∀ ≤ ≤ +∞ ( ), p ,

1,

p

u || || ∞ Ω ( ) L

|| || W

Ω ( )

1, ( )

Hay phép nhúng

L∞ Ω là liên tục với mọi 1

p≤ ≤ +∞ .

pW Ω ↪ ( ) Hơn nữa, nếu Ω bị chặn ta có

0( )

i) phép nhúng

C Ω là compact với mọi 1

p< ≤ +∞ ,

pW Ω ↪ 1, ( )

1, ( )

ii) phép nhúng

qL Ω là liên tục với mọi 1

q≤ < +∞ .

pW Ω ↪ ( )

Ω ≡

(0,1)

, thì từ (i) của định lý 2.1 ta suy ra bổ đề sau đây

Nếu

0( )

Bổ đề 2.1. Phép nhúng

C Ω là compact và

1H ↪

1

≤

,

∀ ∈

v H

.

(2.5)

0

1

v || || C

v 2|| || H

Ω ( )

6

Bổ đề 2.2. ([3, trang 5]) Ta đồng nhất

2L với đối ngẫu của nó. Khi đó, ta có bao hàm

thức sau

1

2 L

L ′ 2( )

≡

)H ′ , (

1H ↪

↪

với các phép nhúng liên tục và chứa trong trù mật.

2.2. Không gian hàm phụ thuộc thời gian

pL T X (0,

;

), 1

,

Ký hiệu

p≤ ≤ ∞ để chỉ không gian Banach các hàm thực

u

T

: (0,

)

X→ đo được, sao cho

< +∞ với

(0,

)

|| || pL u

T X ;

T

1 p

p u t || ( )|| X

∫

0

(2.6)

(0,

; T X

)

dt , khi 1 ≤ < +∞ , p ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ u || || p L

Khi đó, ta có các bổ đề sau mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy trong [3].

pL T X (0,

;

), 1

khi p = ∞ . u t sup|| ( )|| , X t T ⎧⎪⎪⎛ ⎪ ⎜ ⎪ ⎜ ⎪⎝ = ⎨ ⎪⎪⎪ ess ⎪⎪⎩ 0 < <

Bổ đề 2.3. ([3, trang 7])

p≤ ≤ +∞ là không gian Banach.

1, 1

< < ∞ ,

p

.X Với

ta có

Bổ đề 2.4. Gọi X ′ là đối ngẫu của

1 p

1 + = ′ p

′

pL

(0,

; T X

(0,

)

′ là đối ngẫu của )

pL T X . ;

(0,

)

;

Hơn nữa, nếu X phản xạ thì

pL T X cũng phản xạ.

1( (0, L T X

;

′ ))

∞ L

(0,

T X ;

′ )

=

Bổ đề 2.5.

.

(2.7)

∞ L

(0,

; T X

Hơn nữa, các không gian

1(0, ; ), L T X

′ không phản xạ. )

p

p L T L (0,

;

Ω = ( ))

), 1

p

Bổ đề 2.6. ([3, trang 7) Ta có

≤ < ∞ ,

p L Q ( T

2.3. Phân bố có giá trị vectơ

Định nghĩa 2.1. Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ

))TD ((0,

vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong .X Tập các phân

bố có giá trị trong X ký hiệu là

,X f→

:f

=

tuyến tính, liên tục} .

∞

((0,

T

))

)TD (0,

))TD ((0,

(0, )T X ; ); ′D )TD (0, (L D(0, T X = { )

Chú thích 2.2. Ta ký hiệu

thay cho

hoặc

để chỉ không

cC

).T

gian các hàm số thực khả vi vô hạn có giá compact trong (0,

7

)T X ;

Định nghĩa 2.2. Cho f ∈ (0,

. Ta định nghĩa đạo hàm

theo nghĩa phân bố

′D

df dt

của f bởi công thức

ϕ

ϕ

〈

,

〉 = −〈

f

,

〉 ∀ ∈ (0, ,

(2.8)

)TD

.

ϕ d dt

df dt

Các tính chất

p v L T X (0,

∈

;

)

1/. Cho

, ta làm tương ứng nó bởi ánh xạ như sau:

)T

,X→

:vT D(0,

T

,

〉 =

ϕ

ϕ ( ) ( ) , t dt v t

ϕ ∀ ∈

)TD (0,

(2.9)

.

〈 vT

∫

0

;

)T X . Thật vậy,

Ta có thể nghiệm lại rằng

vT ∈ D(0,

)TD (0,

X→ là tuyến tính.

i) Ánh xạ

:vT

)TD (0,

ii) Ta nghiệm lại ánh xạ

X→ là liên tục.

:vT

)TD

)TD (0,

, sao cho

. Ta có

Giả sử { }jϕ ⊂ (0,

jϕ → trong 0

T

T

,

ϕ

ϕ

ϕ

≤

v t ( )

t dt ( )

v t || ( )

dt

T 〈 || v

〉 = || X

j

j

t ( )|| X

j

∫

∫

0

0

X

T

T

1 ′ p

≤

→

dt

|

ϕ

′ p t dt ( )|

0,

khi

j

→ +∞ .

(2.10)

p v t || ( )|| X

j

∫

∫

0

0

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1 ⎞ ⎛ p ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

0

(0,

)T X ;

〉 → trong X khi j → +∞ . Vậy

.

Do đó

′D

jT ϕ〈 ,

v

vT ∈

(0,

)

(0,

)T X ;

′D

v T(cid:54) là một đơn ánh, tuyến tính từ

pL T X vào ;

. Do đó, ta

2/. Ánh xạ

v

v= . Khi đó, ta có kết quả sau.

có thể đồng nhất

vT

(0,

)

(0,

)T X ;

với phép nhúng liên tục.

Bổ đề 2.7.

′D

pL T X ↪ ;

(0,

pL T X ; )

2.4. Đạo hàm trong

p

∈

(0,

;

)

f

L T X

(0,

)T X ;

′D

ta có thể coi f là phần tử của

. Ta có

Do bổ đề 2.7, phần tử

các kết quả sau.

p

p

f

∈

L T X

(0,

;

)

f

′ ∈

L T X

(0,

;

), 1

p

và

≤ ≤ ∞ ,

Bổ đề 2.8. (Lions [3, trang 7]). Nếu

T

]

X→ .

thì f bằng hầu hết với một hàm liên tục từ [0,

2.5. Bổ đề về tính compact của Lions

8

,

,

< < +∞ ≤ ≤ +∞ =

, 1

,

0,1.

T

i

Cho

X X X là các không gian Banach và 0

0

1

p i

,X X là phản xạ,

(2.11)

0X ↪ X ↪ 1X ,

0

1

Phép nhúng

(2.12)

0X ↪ X là compact, X ↪ 1X liên tục.

Đặt

p = ∈ { v L 0

p L 1

.

(2.13)

1

′ W T (0, ) (0, ): ; ∈ (0, T X ; )} T X v 0

Trên

(0, ) W T ta trang bị chuẩn

.

(2.14)

W T

(0, )

(0,

T X ;

)

(0,

T X ;

)

1

0

v || || = + || v || || p 0 L v′ || p 1 L

Khi đó,

(0, ) W T là một không gian Banach.

;

pL

T X ).

Hiển nhiên ta có

Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact.

(0, W T ↪ 0 (0, )

< < +∞ = i , 0,1

Bổ đề 2.9. ([3, trang 57]). Với giả thiết (2.11), (2.12) và nếu 1

,

ip

(0,

)

;

pL

T X là compact.

thì phép nhúng

W T ↪ 0 (0, )

2.6. Bổ đề về sự hội tụ yếu

pL Q . ( )

Bổ đề sau đây liên quan đến sự hội tụ yếu trong

p

N(cid:92) và

, g L Q∈ ( ),

Bổ đề 2.10. ([3, trang 12). Cho Q là tập mở bị chận của

mg

1 p< < ∞ , sao cho

(

)

|| g g→ a.e. trong .Q C≤ và mg || pm L Q

pL Q yếu.

Khi đó, mg

( ) g→ trong

2.7. Một số bất đẳng thức cơ bản

1/. Bất đẳng thức Hölder

1

Cho

p q > thỏa 1 , 1 p

q+ = Khi đó 1.

p

q

p

q

ε ≥ ∀ > 0.

ε p

− ε q

ab ≤ a + b , ∀ a b , 0,

2/. Bất đẳng thức Cauchy

2

2

β a

β ∀ >

1 β

ab 2 ≤ + b , ∀ a b , ∈ , (cid:92) 0.

3/. Bất đẳng thức Hölder cho tích phân

9

q

1

p L∈

Cho

p q ≥ thỏa 1 , 1 p

q+ = Khi đó nếu

1( ) fg L∈ Ω và

||

≤

.

fg

f || || p L

|| 1( L

)

g || || q ) L

(

(

)

Ω

Ω

Ω

1. f ( ) Ω và ( ) g L∈ Ω thì ta có

2 ∈ Ω ( ). f g L ,

Nếu

p 2 〈 | f g , 〉 ≤ | || || || ||, g f ∀ q= = thì ta có

4/. Bất đẳng thức Gronwall (dạng tích phân)

]T và thỏa bất đẳng thức

Cho ζ là hàm khả tích, không âm trên [0,

t

t

T∈ [0,

],

ζ

t ( )

C

C

ζ

,

s ds ( )

hầu hết

2

1

≤ + ∫

0

,C C là các hàm số không âm. Khi đó

trong đó

1

2

t

T∈ [0,

].

C

exp(

),

ζ ≤ ( ) t

hầu hết

1

t

T∈ [0,

].

C = thì ( ) 0

C t 2

Đặc biệt, nếu

1

tζ ≡ hầu hết 0

Chú thích 2.1. Bất đẳng thức Gronwall ở trên còn được gọi là Bổ đề Gronwall.

0([0,

C ).m ];

2.8. Định lý Ascoli-Arzela. Cho A là một tập con của

T (cid:92) Khi đó A

0([0,

là một tập compact trong

t

f t

T∈ [0,

C ]; )m T (cid:92) nếu và chỉ nếu A thoả các điều kiện sau

f A∈ }

i) A bị chặn từng điểm, tức là: với mỗi

tập { ( ) :

bị chặn

.m(cid:92)

trong

ii) A liên tục đồng bậc, tức là

′

0 :

t t ,

[0,

T t ], |

t

′ |

f t || ( )

f A .

∀ > ∃ > 0,

ε

δ

∀

∈

− < ⇒

δ

−

< ∀ ∈ ε ,

m

′ ( )|| f t (cid:92)

],

2.9. Định lý Schauder. Cho X là một tập lồi đóng khác trống và bị chặn trong

.X

không gian Banach E và U là một ánh xạ compact từ X vào một điểm bất động trong

10

.X Khi đó U có

Chương 3

SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM

3.1. Giới thiệu

Trong chương này và các chương sau để tiện theo dõi ta gọi bài toán (1.1) – (1.3),

(1.5), (1.6) là bài toán (3.1), (3.2) như sau: Tìm hàm u thoả phương trình sóng phi

tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến dưới đây:

μ

t u ( )

F u u ( ,

)

f x t ( , ), 0

1, 0

t T

,

⎧⎪ − u

+

=

x < <

< <

tt

xx

t

=

−

=

+

t u ( )

t (0, )

Y t

( ),

μ

t u ( )

t (1, )

K u t (1, )

|

u

α t (1, )|

− 2 u

t (1, ),

(3.1)

μ ⎨

x

x

t

t

1

λ 1

=

=

( , 0)

( ),

( , 0)

( ),

u x t

(cid:4) u x 0

(cid:4) u x 1

⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ u x ⎪⎪⎩

trong đó

t

t

(3.2)

⎧⎪ F u u ( , ) = Ku + λ , u t

∫

0

,

,

,

,

μ ,

,

,

K K K λ λ α là các hằng số cho trước;

với

0

1

, 1

f g k u u , , 1

(cid:4) (cid:4) là các hàm cho 0

trước thoả các điều kiện mà ta sẽ đặt ra sau.

2

1,

1

= g t ( ) + t (0, ) + k t ( − s u ) (0, ) s ds , K u 0 ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪ Y t ( ) ⎪⎪⎪⎩

∞∈ u L

),

T H ;

∞∈ L

∞∈ L

2 T L ;

sao cho

1

2

T∞ (0, T H ; (0, ) ⋅ ∈ (0, (0, W ), ), u

Định nghĩa 3.1. Ta nói u là nghiệm yếu của bài toán (3.1), (3.2) nếu ), ttu (0, α −⋅

(1, )

⋅ ∈

(0,

1 u

H

T

u |

t

(1, )| ⎧⎪〈

tu và u thoả phương trình biến phân sau đây: ), 〉 + t (1, )

t u t v ( ),

α t (1, )|

− 2 u

x

t

t

tt

1

〉 + + + t v (1, )] (1) ( ) (0) Y t v u | μ ( ), 〈 ( ) t u t v x K u [ 1 λ 1

t

t

(3.3)

Ku t ( ) λ u t v ( ), f t v ( ), v H , + 〈 + 〉 = 〈 , 〉 ∀ ∈

∫

0

g t ( ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds , = + + − K u 0

t

Để chứng minh bài toán (3.1), (3.2) tồn tại duy nhất nghiệm yếu. Chúng tôi, dựa

vào phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó

trích ra các dãy con hội tụ yếu trong các không gian hàm thích hợp và nhờ một số các

11

⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪ Y t ( ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ (0) , u (0) . = = (cid:4) u 0 (cid:4) u 1 u ⎪⎪⎩

phép nhúng compact. Định lý Schauder và Ascoli – Arzela cũng được sử dụng trong

việc chứng minh sự tồn tại nghiệm xấp xỉ Faedo - Galerkin. Khó khăn chính trong

chương này là điều kiện biên tại đầu

x = 1.

3.2. Sự tồn tại duy nhất nghiệm

Trước tiên, ta thành lập các giả thiết sau:

1

)

∈

2 × H H

,

(H1)

(cid:4) (cid:4) u u ( , 0 1

1

f

,

∈

2 L T L (0,

;

),

(H2)

f t

μ

∈

2,1 W T

(0,

), ( ) t μ

0,

∀ ∈ t

[0,

T

],

(H3)

≥ > μ 0

2,1

(H4)

α

≥

2;

,

,

≥

0;

> 0.

(H5)

K K K 0

1

λ λ , 1

Khi đó, ta có định lý sau:

0.

g k W T , (0, ∈ ),

Định lý 3.1. Cho

T > Giả sử (H1) – (H5) đúng. Khi đó, bài toán (3.1), (3.2) tồn

tại duy nhất nghiệm yếu u thỏa

2

1

∈

∈

(0,

T H ;

),

∞ L

(0,

T H ;

),

∞ L

(0,

2 T L ;

),

u

u t

tt

(3.4)

1

1,

∞

α 2

∈

∈

(1,.)

H

(0,

T

),

u

(0,.)

W

(0,

T

).

(1,.)|

u

t

− 1 u t

⎧⎪ ∈ ∞ u L ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪ | ⎪⎪⎩

Chú thích 3.1.

i) Ta suy ra từ (3.4), rằng nghiệm yếu u của bài toán (3.1), (3.2) thỏa

0

1

1

2

∩

∩

⎧⎪ ∈ u C

([0,

T H ];

)

C

([0,

2 T L ];

)

∞ L

(0,

T H ;

),

0

1

(3.5)

([0,

2 T L ];

)

∞ L

(0,

T H ;

),

∞ L

(0,

2 T L ;

),

u

∩

∈

u C ⎨

t

tt

1

1,

∞

α 2

⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ∈ ⎪⎪⎪⎪⎪

u

(1,.)|

− 1 u

(1,.)

H

(0,

T u ),

(0,.)

W

(0,

T

).

∈

∈

t

t

| ⎪⎪⎩

ii) Hơn nữa, cũng từ (3.4) ta thấy rằng

,

,

,

u

,

∞∈ L

(0,

2 T L ;

)

⊂

).

u u u u , x

t

xx

xt

u tt

2 L Q ( T

Điều này dẫn đến nếu điều kiện đầu của bài toán (3.1), (3.3) thỏa giả thiết (H1) thì

u H Q

∈

2(

mà không nhất thiết cần

bài toán (3.1), (3.2) có nghiệm yếu duy nhất

),T

2

1

)

∈

C

Ω × Ω ( ) C

( ).

(cid:4) (cid:4) u u ( , 0 1

Chứng minh định lý 3.1. Chứng minh định lý gồm 4 bước.

12

2.H Nghiệm yếu

Bước 1. Xấp xỉ Faedo - Galerkin. Chọn cơ sở đặc biệt { }jw của

xấp xỉ của bài toán (3.1), (3.2) được tìm dưới dạng

m

t w ( )

,

u t ( ) m

c mj

j

= ∑

j

= 1

với,

t là nghiệm của hệ phương trình vi phân phi tuyến sau ( )

mjc

jx

m

j

mx

j

m

⎧ ′′ ⎪〈 〉 + 〉 + u t w ( ), μ 〈 ( ) t u t w ( ), Y t w ( ) (0)

α

m

j

(3.6)

+ t (1, ) u ( (1, ))] t w (1) K u [ 1 + Ψ λ 1 ′ m

j

j

⎪ ⎪ + 〈 + 〉 = 〈 = λ u t w ( ), f t w ( ), 〉 , j 1, m , Ku t ( ) m ′ m

0

m

m

t

= = (0) u , u (0) , ′ m u 1 m

m

m

∫

0

(3.7)

− 2

= + + − g t ( ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds , K u 0

α

và

m

u

=

α

w

→

2,H

(3.8)

m

j

mj

0

(cid:4) mạnh trong u 0

∑

j

= 1

m

β

=

w

→

1.H

(3.9)

(cid:4) mạnh trong u 1

u m 1

j

mj

∑

j

= 1

= z ( ) z | | zα , ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ u ⎪⎪⎩ trong đó ⎧⎪⎪ Y t ( ) ⎪⎪⎪⎨ m ⎪⎪⎪Ψ ⎪⎪⎩

t ( ),...,

t ( ))

Bỏ qua chỉ số

,m ta viết lại

dưới dạng

1

c t ( ) m

c ( m

c mm

c t ( )

=

( )).

c t ( ( ),..., 1

c t m

Khi đó, hệ phương trình (3.6) - (3.7) được viết lại như sau

m

m

=

ix

jx

j

i

j

0

∑

∑

i

i

1 =

1 =

t

m

m

〉 + + μ t ( ) , g t w ( ) (0) K (0) w (0) ′′ + ( ) c t j 〈 ( ) c t w w i c t w ( ) i

i

j

j

1

∑ )

∑

∫

i

i

1 =

1 =

0

(3.10)

m

+ − k t ( s (0) w (0) + ds K ( ) (1) c s w ( ) i c t w w (1) i i

i

j

j

α

∑

i

1 =

+ + = 〈 w (1) λ f t w ( ), 〉 , ′ ( ) c t w i Kc t ( ) j ′ c t ( ) j + Ψ λ 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ (1) ⎟ ⎟⎟ ⎠

j

j

j

13

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = = (0) α c β , j 1, m . ′ , (0)= j c ⎪⎪⎩

Ta viết gọn hệ (3.10) dưới dạng

t

=

F t c t c t ( , ( ),

′ ( ))

+

k t (

−

s F c s ds ) ,

( ( ))

1

2

j

j

∫

0

(3.11)

=

=

(0)

α

, (0)= ,

β

c

j

1,

m ,

j

j

j

′ j

⎧⎪⎪ ′′ c t ( ) ⎪⎪⎪⎨ j ⎪⎪⎪ c ⎪⎪⎩

m

2

:

(cid:92)

→

(cid:92)

j ,

=

1,

m ,

: [0,

T × ]

m →(cid:92)

với

(cid:92) ,

được xác định như sau:

jF

1

jF

2

m

m

= −

〉 −

−

F t c t c t ( , ( ),

′ ( ))

μ

t ( )

,

g t w ( )

(0)

K

(0)

w

(0)

j

〈 ( ) c t w w i

ix

jx

j

c t w ( ) i

i

j

1

0

∑

∑

i

i

1 =

1 =

m

m

m

− 2

−

+

(1)

α (1)|

w

(1)

1

λ 1

c t w ( ) i

i

′ ( ) c t w i

i

′ ( ) c t w i

i

j

∑

∑ |

∑

⎡ K ⎢ ⎣

⎤ (1) ⎥ ⎦

= 1

= 1

= 1

i

i

i

−

−

+ 〈

f t w ( ),

〉 ,

j

=

1,

m ,

(3.12)

Kc t ( ) j

λ ′ c t ( ) j

j

m

( ( ))

= −

w

(0),

j

=

1,

m

.

(3.13)

F c t j

c t w i

( ) (0) i

j

2

∑

i

= 1

Sau hai lần lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t , ta đưa hệ (3.11) về hệ

phương trình vi tích phân phi tuyến sau

t

τ

(3.14)

j

∫

∫

0

0

trong đó

t

=

F t c t c t ( , ( ),

′ ( ))

+

k t (

−

s F c s ds )

( ( ))

, 0

≤ ≤

t T

.

(3.15)

1

2

G c t [ ]( ) j

j

j

∫

0

β t + τ [ ]( ) , 0 ≤ ≤ t T j , = 1, m . c t ( ) j = + α j d G c s ds j

Với

0T > cho trước, ta sử dụng định lý điểm bất động Schauder để chứng minh

c t ( )

=

( ))

]

T⊂ [0,

].

trên khoảng [0,

Ta

hệ (3.14) – (3.15) có nghiệm

c t m

mT

c t ( ( ),..., 1

có bổ đề sau.

0

Bổ đề 3.1. Cho

mT > sao cho

0T > . Giả sử (H1) – (H5) đúng. Khi đó, tồn tại

hệ (3.14) – (3.15) có nghiệm

trên khoảng [0,

mT

ρ> 0,

c t ( ) = ( )) ] T⊂ [0, ]. c t m c t ( ( ),..., 1

0

Chứng minh. Với mỗi

mT

1

1

m

m

(cid:92)

(cid:92)

= X C

([0,

];

),

S

= ∈ c C {

([0,

];

c

≤

},

ρ

T m

T m

) : || || X

m

> , ta đặt

trong đó,

0

= 1

j

14

= + = || c c c t c t | ( )|, c || || X c t j c || || 0 ′ || , || || 0 = ∑ sup | ( )| , | ( )| 1 1 t T < < 0 m

thì S là tập con lồi đóng và bị chặn trong

.X

Ta viết lại hệ (3.14) dưới dạng phương trình điểm bất động

(3.16)

c t ( ) = U c t [ ]( ),

trong đó,

t

τ

β

+

τ

[ ]( )

, 0

≤ ≤

,

=

1,

.

t

j

m

U c t [ ]( ) j

= + α j

j

d G c s ds j

t T m

∫

∫

0

0

Khi đó

c = ) ∈ X , [ ]( )=( [ ]( ),..., [ ]( )), U c t c 1( ,..., c m U c t 1 U c t m

i U X ) : X→ liên tục

Trước tiên, ta chứng minh toán tử

[ ])

:U X

toán tử

X→ xác định, ta chỉ cần chứng minh rằng (

jU c ′ liên tục trên

[0,

c

=

)

∈

X

,

ta có

]mT . Lấy

c m

c 1( ,...,

t

[ ]( ))

G c s ds [ ]( )

U c t ( j

j

j

′ = + ∫ β

0

1

∈

L T (0,

)

Từ (3.12) – (3.13), (3.15) và các giả thiết (H2) – (H4), ta suy ra

jG c [ ]

[ ])

:U X

X→ xác định.

nên (

jU c ′ liên tục trên [0,

]mT . Vậy, toán tử

:U X

X⊂ sao cho ||

Chứng minh toán tử

X→ liên tục. Lấy { }kc

c k

c− → || 0 X

.X Ta có

trong

( ),

( ,

( ))

→

F t c t c t ( , ( ),

′ ( ))

trong

(3.17)

F t c t c t k

j

′ k

j

1(0, L T ),m

1

1

C

([0,

T

→

( ( ))

trong

(3.18)

F c t j

( ( )) k

F c t j

]).m

2

2

Do đó suy ra được rằng

t

t

k t (

−

→

k t (

−

s F c s ds ) ( ( ))

C

([0,

T

trong

(3.19)

]).m

s F c s ds ) ( ( )) k

j

j

2

2

∫

∫

0

0

Tổ hợp từ (3.17) - (3.19), ta có

]

G c→ [ ]

trong

G c [ j k

j

1(0, L T ),m

hay,

]

G c→ [ ]

trong

kG c [

).m 1(0, L T (cid:92) ; m

Khi đó, ta có

||

]

G c−

[ ]||

→

0.

m

G c [ k

1(0, L T

;

)

(cid:92)

15

:U X X→ xác định. Thật vậy, để chứng minh

Mặt khác, ta lại có

t

τ

]( )

d

]( )

, 0

t T j ,

1,

m ,

−

=

−

≤ ≤

=

τ

U c [ j k

t U c t [ ]( ) j

s G c s ds j

m

∫

∫

⎡ G c [ ⎢ ⎣ j k

⎤ [ ]( ) ⎥ ⎦

0

0

t

−

=

−

≤ ≤

=

′ ]) ( ) t

′ [ ]) ( ) t

]( )

, 0

t T j

,

1,

m ,

U c ( [ j k

U c ( j

s G c s ds j

m

∫

⎡ G c [ ⎢ ⎣ j k

⎤ [ ]( ) ⎥ ⎦

0

nên

]

−

U c [ ]

≤

]

−

G c [ ]

,m

1

U c [ k

T G c [ k

m

0

)

;

(cid:92)

L T (0,

′ ])

−

′ ( [ ]) U c

≤

]

−

G c [ ]

.m

U c ( [ k

G c [ k

)

;

(cid:92)

1(0, L T

0

Do đó

]

U c− [ ]

→ 0.

U c [ k

X

:U X

Vậy,

X→ liên tục.

ii U S

)

:

S→

:U S

được chọn thích hợp thì

S→

Ta sẽ nghiệm lại rằng với

, mTρ

Do giả thiết (H4) tồn tại hằng số dương

0,M độc lập với ρ sao cho

k t M t | ( )|

∀ ∈

≤

,

[0,

T

],

0

Mặt khác, từ các giả thiết (H2) - (H5) và các biểu thức (3.12), (3.13) ta suy ra, tồn tại

≤

|

c

dρ , |

hằng số dương

( )M ρ phụ thuộc vào ρ sao cho với

≤ thì ρ

| 1

| 1

|

F t c d

( , , )|

+

|

F c M ( )|

≤

∀ ∈ t

[0,

j ],

=

1,

m ,

ρ ( ),

1

2

j

j

T m

điều này dẫn đến

c

với mọi

S∈ mọi ,

m

c

Khi đó, với mọi

S∈ ta có ,

≤ + (1 ( ), t T∈ [0, G c t [ ]( ) j T M M ρ ) 0 ].m

1 2

j

j

2 T ( m

3 m

và

≤ | α | + | β | + + ) ρ ( ), U c t [ ]( ) j T m T M M 0

j

2 m

nên

||

U c

≤

m

[|

+

|

+

+

)

( )], ρ

m 2

[ ] || 0

| α 1

T M M 0

| T β 1 m

2 T ( m

3 m

′ [ ]) ( ) t ≤ | β | + + ) ρ ( ), U c ( j T ( m T M M 0

2 m

Do đó

16

′ ≤ m [| + + ) ρ ( )]. m T ( m U c ||( [ ]) || 0 β | 1 T M M 0

||

U c

|

|

β

m

(1

T M mT M M

)

≤

+

+

+

+

α | 1

| 1

0

0

| 1

[ ]|| X

T m

T + + m

m

2 m

⎤ ( ) . ρ ⎥ ⎦

⎡ | β ⎢ ⎣

Chọn ρ sao cho

+

m

(1

T M mT M M

+

)

≤

.

β | 1

0

0

T m

+ + T m

m

2 m

⎡ | ⎢ ⎣

⎤ ( ) ρ ⎥ ⎦

ρ 2

Khi đó

| . α | 1 β+ | | 1 ≤ Sau đó chọn mT sao cho ρ 2

X

U c [ ] U c [ ] ρ≤ , tức là S∈ .

Vậy,

U S : S→ .

c

,

Với mọi

S∈ ta có

≤ + (1

( ),

G c t [ ]( ) j

T M M ρ ) 0

m

suy ra

U c (

′′ [ ]) ( )

t

m

(1

)

Mρ ( )

≤

+

c

).

S∈

≡ (M độc lập với

T M M 0

m

1

′

U c

U c

là liên tục đồng bậc.

Từ đây ta suy ra các họ { [ ]} , {( [ ]) }

∈ c S

∈ c S

Vậy áp dụng định lý Ascoli-Arzela thì US compact.

:U S

)

ii

i Từ ), ),

iii và định lý điểm bất động Schauder ta suy ra rằng

S→ có

điểm bất động trong

.S Điểm bất động này là nghiệm của hệ (3.14).

Bổ đề 3.1 được chứng minh(cid:31)

Dùng bổ đề 3.1, ta suy ra hệ (3.6) - (3.7) có nghiệm mu trên một khoảng [0,

].mT

,

T= với mọi

.m

Các đánh giá tiên nghiệm dưới đây cho phép ta lấy

mT

t ( )

và lấy

) iii US compact trong X

Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm I. Thay (3.7) vào (3.6)1 rồi nhân với

′ mjc

tổng theo ,j sau đó lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t ta được

t

(0)

(0)

=

+

+

−

μ′

S

u g 2 (0)

s u ( )||

2 s ds ( )||

g t u 2 ( )

t (0, )

S t ( ) m

m

m

m

mx

0

∫

0

t

t

2

(0, )

(0, )

+

−

−

′ g s u ( )

s ds

u 2

k t (

s u )

s ds

m

m

m

∫ t (0, )

∫

0

0

17

s

t

t

(0, )

2

(0, )

(0, )

+

+

−

u

s ds

u

s ds

′ k s (

r u )

r dr

2 m

m

m

∫ k 2 (0)

∫

∫

0

0

0

t

7

=

S

(0)

+

u 2 (0) g

(0)

I

,

2

+

〈

〉 ( )

i

m

m

0

′ f s u s ds ( ), m

+ ∑ (3.20)

∫

i

= 1

0

trong đó,

( ) = ||

2 ( )||

t u ( )||

2 t ( )||

t (0, )

K u t ||

2 ( )||

t (1, )

+

+

+

+

K u 0

K u 1

S t m

′ u t m

2 m

mx

m

2 m

t

2

||

2 ( )||

|

.

+

+

u

α s (1, )|

ds

(3.21)

( λ

)

λ 1

′ u s m

′ m

∫

0

Sử dụng Bổ đề 2.1 và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cùng với bất đẳng thức

2

(cid:92)

,

,

0,

≤

+

∀

∈

ε ∀ >

ab 2

a ε

a b ,

(3.22)

21 b ε

ta lần lượt đánh giá các tích phân ở vế phải (3.20) như sau

Số hạng thứ nhất. Từ (H3) và (3.21) ta suy ra rằng

t

t

t

|

||

( )

,

≤

≤

≤

μ

I

′ s ( )|.||

u

2 s ds ( )||

S s ds C

S s ds ( )

(3.23)

1

mx

m

T

m

′ μ ∞ || L

(0, ) T

∫

∫

∫

1 μ 0

0

0

0

.T

ở đây, TC là hằng số bị chặn chỉ phụ thuộc vào

Số hạng thứ hai. Từ giả thiết (H4) và (3.21) ta có

≤

≤

+

ε ||

I

g t 2 2| ( )|.||

1

∞

1

2 ε

2

u t m

u t m

( )|| H

2 g || || L

(0, ) T

2 ( )|| H

≤

C

+

|| ε

,

với mọi

ε > 0.

(3.24)

1

1 ε

T

u t m

2 ( )|| H

1,

ε = ta được

Số hạng thứ ba. Từ (H4) và (3.22) với

t

t

2 2 | ( )|.||

2||

||

≤

≤

+

I

′ g s

ds

g

ds

1

1

3

u s m

u s m

( )|| H

′ 2 || 2 L

(0, ) T

2 ( )|| H

∫

∫

0

0

t

||

.

≤

C

ds

(3.25)

1

T

u s m

2 ( )|| H

+ ∫

0

Số hạng thứ tư. Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và (3.22) ta có

t

4||

)|.||

≤

−

I

k t | (

s

ds

1

1

4

u t m

u s m

( )|| H

( )|| H

∫

0

t

2

)|.||

+

−

ε≤ ||

k t | (

s

ds

1

1

)

( .

4 ε

u t m

u s ( m

2 ( )|| H

)|| H

∫

0

18

μ

t

T

2

||

≤

ε ||

k

d θ θ ( )

ds

1

1

4 ε

u t m

u s m

2 ( )|| H

2 ( )|| H

+ ∫

∫

0

0

t

||

+

ε≤ ||

ds

1

1

4 ε

u t m

u s m

2 ( )|| H

2 k || || 2 L

(0, ) T

2 ( )|| H

∫

0

t

||

+

ε≤ ||

C

ds ,

với mọi

ε > 0.

(3.26)

1

1

1 ε

u t m

T

u s m

2 ( )|| H

2 ( )|| H

∫

0

Số hạng thứ năm. Từ (H4) ta suy ra rằng

t

t

t

(0, )

||

||

.

≤

≤

I

u

s ds

ds C ≤

ds

(3.27)

∞

1

1

5

2 m

u s m

T

u s m

k 4|| || L

(0, ) T

2 ( )|| H

2 ( )|| H

∫ k 2| (0)|

∫

∫

0

0

0

Số hạng thứ sáu. Từ (H4) ta thu được đánh giá sau

s

I

≤

|

′ ( k s

−

r

)|.||

drds

1

1

6

u s m

u r m

( )|| H

( )|| H

∫

t ∫ 4 || 0

0

s

t

2

4

|

)|.||

≤

+

−

′ k s (

r

dr

ds

1

1

( .

)

u s m

u r m

2 ( )|| H

| ( ) | H

∫

∫

⎡ || ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎦

0

0

t

s

s

t

≤

||

ds

+

4

′ | ( k s

−

2 r dr )|

||

dr ds

1

1

u s m

u r m

2 ( )|| H

2 ( )|| H

∫ ∫

∫

∫

0

0

0

0

t

t

||

||

≤

+

ds

T k 4 ||

ds

1

1

u s m

u s m

2 ( )|| H

′ 2 || 2 L

2 ( )|| H

T (0, )

∫

∫

0

0

t

t

T k 4 ||

||

ds

||

ds

.

(3.28)

1

1

u s m

T

u s m

′ 2 || 2 L

2 ( )|| H

2 ( )|| H

T (0, )

( ≤ + 1

)

∫

≤ ∫ C

0

0

Số hạng thứ bảy. Từ (H2) và (3.21) ta suy ra rằng

t

t

2 ( )|| )

≤

≤

+

I

u s ds ( )||

f s (|| ( )||

f s || ( )||.||

ds

7

′ m

′ u s m

∫ f s 2 || ( )||.||

∫

0

0

t

t

|| ( )||

|| ( )||

( )

.

≤

+

≤

+

f || ||

f s S s ds C ( )

(3.29)

1

T

f s S s ds m

m

2 L T L (0,

;

)

∫

∫

0

0

Tổ hợp (3.20) và (3.23) – (3.29) ta đuợc

≤

S

(0)

+

u 2 (0) g

(0)

2)

+

ε 2 ||

1

+ + ( 1 ε

S t ( ) m

m

C T

m

u t m

0

2 ( )|| H

t

t

+ + +

[1

(

2)

C

||

ds

+

C (

+

f s || ( )||)

S s ds ( ) ,

(3.30)

1

1 ε

T

u s m

T

m

2 ( )|| H

∫ ]

∫

0

0

19

0

.T

với mọi

ε > và ở đây TC là hằng số chỉ phụ thuộc vào

0( )

C Ω suy ra tồn

Từ các giả thiết (H1), (H3) - (H5), (3.8), (3.9) và phép nhúng

1H ↪

0

C > sao cho

tại hằng số

1

S

(0)

+

u 2 (0) g

(0) = ||

2 ||

+

μ

(0)||

u

2 ||

+

(0)

0

K u 0

0

m

m

u 1 m

2 0 m

mx

+

K u ||

2 ||

+

(1)

+

u 2 (0) g

(0)

≤

C

,

m

,

∀ ∈ (cid:96)

(3.31)

m

m

2 K u m 1 0

0

0

1

μ

(0),

g

(0),

,

,

,

trong đó,

K K K u u 1

(cid:4) (cid:4) , . 0

0

1

1C là hằng số chỉ phụ thuộc vào

Mặt khác, từ (H3), bổ đề 2.1 và (3.21), (3.31) ta lại suy ra rằng

2 ( )||

2 t ( )|| ,

mx

t

t

2 ( )||

( ) ≥ || + || u μ 0 ⎧ ⎪ S t m ′ u t m

2 ||

0

1

m

∫ t S s ds 2 m

∫ t S s ds 2 , m

0

0

t

(3.32)

2|| u ( ) C 2 ( ) ≤ + ≤ + u t m || ⎪

2 ( )||

2 t ( )||

1

1

mx

2 ( )|| H

∫ t S s ds 2 m

1 μ 0

0

t

t

2

⎨ || || || u C 2 ( ) , = + ≤ + + u t m u t m S t ( ) m

1

m

2 ( )|| H

∫

∫ )

0

0

Tổng hợp (3.30), (3.31) và (3.32), ta được

t

( )

,

≤

+

ε ( , )

ε ( , , )

D T s S s ds

(3.33)

1 2

1 2

D T 1

1

S t ( ) m

S t ( ) m

m

+ ∫

2 ε μ 0

0

0

ε > và trong đó

với mọi

ε ( , )

=

C

(1

+ + 4 ε

T 2 )

+ + (1

)(

+

2)

C

,

1 2

1 ε

D T 1

1

C T 2 1

T

(3.34)

2

ε ( , , ) D T s

=

C

+

f s || ( )||

+

4

ε T

T 2

)[1

2)

C

].

1 2

+ + ( 1 ε

1

T

T

+ + ( 1 μ 0

⎧⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎪⎩

ε = và sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta thu được từ (3.33) rằng

Chọn

μ 0 4

t

ε ( , , ) D T s ds

1

∫

0

,

, (cid:96)

[0,

],

0,

≤

≤

ε ( , ) e

C

m ∀ ∈

t ∀ ∈

T

T ∀ >

(3.35)

S t ( ) m

D T 1

T

hơn nữa, cũng từ bổ đề 2.1, (3.32) và (3.35) ta suy ra rằng

|| ds T 2 S s ds ( ) . ≤ C T 2 1 u s m ( + + 1 μ 0 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0

1

m

T

Ω ( )

(3.36)

u t (0, )| || 2|| C m , (cid:96) , [0, T ], ≤ ≤ ≤ ∀ ∈ t ∀ ∈ u t m u t m ( )|| C ( )|| H

0

1

m

T

Ω ( )

20

≤ ≤ ≤ ∀ ∈ u t (1, )| || 2|| C m , (cid:96) , ∀ ∈ t [0, T ], u t m u t m ( )|| C ( )|| H ⎧⎪ | ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪ | ⎪⎪⎩

,

μ ,

f g k K , ,

,

,

với

(cid:4) (cid:4) u u , 0 1

TC là hằng số dương không phụ thuộc

,m chỉ phụ thuộc vào

0

, , K K λ . 1

Đánh giá tiên nghiệm II. Trong (3.6)1 lấy đạo hàm theo ,t ta được

μ

t u ( )

t ( )

μ

′ ( ) t u

t w ( ),

(0)

〉 + 〈

+

〉 +

′′′ u t w ( ), 〈 m

j

′ mx

′ Y t w ( ) m

j

jx

mx

(3.37)

t (1, )

u (

t u (1, ))

(1, )]

t w

(1)

+

K u [ 1

λ + Ψ 1

′ α

′ m

′ m

j

′′ m

+ 〈

+

λ

u t w ( ),

〉 = 〈

f

′ ( ), t w

〉 ,

j

=

1,

m

,

′ Ku t ( ) m

j

′′ m

j

trong đó

t

(3.38)

m

m

∫

0

t ( )

Thay (3.38) vào (3.37) rồi nhân hai vế với

và lấy tổng theo ,j sau đó lấy tích

′′ mjc

phân theo biến thời gian từ 0 đến t và qua một số bước biến đổi đơn giản ta được

′ ( ) g t t (0, ) k u (0) t (0, ) ′ ( k t s u ) (0, ) s ds , = + + + − K u 0 ′ Y t ( ) m ′ m

μ′ 2 (0) u 〈

m

0

mx

m 1

0

m

t

X (0) , ′ 2[ (0) g k u (0) u (0)] (0) = + 〉 + + X t ( ) m u 1 mx

m

m

∫

0

t

t

|

2

(0, )

+

+

+

k 2[ (0)

k

u

2 s ds (0, )|

′′ g s u ( )

s ds

′ m

′ m

′ ∫ (0)]

∫

0

0

t u ( ),

t ( )

−

μ′ 〈 2 ( ) t u

〉

′ mx

mx

t

t

2

3

μ

μ

+

〉 +

′′ s u 〈 ( )

s u ( ),

s ds ( )

′ s u ( )||

2 s ds ( )||

′ mx

mx

′ mx

∫

∫

0

0

r

t

t

2

(0, )

2

′ ( ),

+

−

+

〉 ( )

u

′′ k r (

s u )

s ds dr

′ m

m

′′ F s u s ds 〈 m

∫ r (0, )

∫

∫

0

0

0

8

(0)

,

(0)

=

+

〉 +

−

X

′ u μ 〈 2 (0)

u

′ g 2[ (0)

k

u (0)

u (0)]

m

mx

i

m

0

mx 1

m 1

0

+ ∑ , (3.39) I

i

= 1

trong đó,

μ

u 2 (0, ) k u (0) t (0, ) ′ ( k t s u ) (0, ) s ds − + + − ′ m ⎡ ′ t g t ( ) ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦

2 ( )||

2 t ( )||

2 t (0, )|

2 t (1, )|

t

t

2

(1, ))|

2 (1, )|

2 ( )||

||

||

+

Ψ

+

+

λ 2

u (

s u

s ds K u t

2 u s ds ( )||

′ α

λ 1

′ m

′′ m

′ m

′′ m

∫

∫

0

0

μ

( ) = || t u ( )|| + + + X t m ′′ u t m ′ mx ′ m ′ m K u | 0 K u | 1

2 ( )||

2 t ( )||

2 t (0, )|

2 t (1, )|

21

= || t u ( )|| + + + ′′ u t m ′ mx ′ m ′ m K u | 0 K u | 1

t

1

−

1)

−

+

α s (1, )| 2

u

u

ds

( |

) 2 s (1, )

′ m

′ m

λ α 8 ( 1 2

∂ ∂∫ . s

α

0

t

2 ( )||

||

.

+

K u t ||

2 u s ds ( )||

(3.40)

′ m

′′ m

+ ∫ λ 2

0

Từ các giả thiết (H2) – (H5), (3.36), cùng với bất đẳng thức sơ cấp (3.22) ta bắt đầu

đánh giá các số hạng ở vế phải của (3.39) như sau:

Số hạng thứ nhất.

t

2 2||

≤

+

+

−

I

k | (0)|

′ k t | (

1

′ u t m

T

1

(

( )|| H

∫

⎡ ′ g t | ( )| ⎢ ⎣

s ds C ⎤ ) )| ⎥ ⎦

0

t

2

ε ||

≤

+

+

+

−

k | (0)|

′ k t | (

1

) s ds C )|

2 ε

′ u t m

T

(

2 ( )|| H

∫

⎡ ′ g t | ( )| ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

0

1

ε

(3.41)

1

T

2 ( )|| H

.T

trong đó TC là hằng số bị chặn chỉ phụ thuộc vào

Số hạng thứ hai.

t

t

|| ε , ≤ + 0, ∀ > Cε ′ u t m

2 s ds (0, )|

1,

1

∞

2

(0,

)

T

2 ( )|| H

∫ 2[| (0)|+| (0)|]

∫

0

0

t

||

.

ds

(3.42)

1

T

′ u s m

2 ( )|| H

≤ ∫ C

0

Số hạng thứ ba.

t

′ I k k | u || ds ≤ ≤ ′ m ′ u s m k 4|| || W

1

3

∫ 2 2 |

0

t ∫ 2 | 0

t

t

I ≤ ′′ ( )|.| g s u (0, )| s ds ≤ ′′ ( )|.|| g s ds ′ m ′ u s m ( )|| H

1

1

1

2 ( )|| H

2 ( )|| H

)

∫

∫

0

t ∫ 2 | 0

0

t

|

.

≤

C

′′ g s ( )|.||

ds

(3.43)

1

T

′ u s m

2 ( )|| H

+ ∫

0

Số hạng thứ tư.

μ

′′ ( )| g s ds + | ′′ ( )|.|| g s ds ≤ 2|| g + | ′′ ( )|.|| g s ds ≤ ′ u s m ′ u s m ′′ || L T (0,

4

mx

T

m

(0,

)

T

2 μ 0

≤

C

+

( ),

0.

ε

∀ >

(3.44)

1 ε

T

ε X t m

Số hạng thứ năm.

22

≤ ≤ I 2| ′ ( )|.|| t u t ( )||.|| u t ( )|| || C X t ( ) ′ mx ′ || μ ∞ L

C T

mx

m

5

μ 0

t ∫ 2 | 0

t ∫ 2 | 0

t

t

t

I ≤ μ ′′ ( )|.|| s u s ( )||.|| u s ds ( )|| ≤ μ ′′ ( )| s X s ds ( ) ′ mx

1

)

∫

∫

∫

C T 2 μ 0

C T 2 μ 0

0

0

0

t

|

( )

.

μ′′

≤

C

(3.45)

T

s X s ds ( )| m

+ ∫

0

Số hạng thứ sáu.

t

t

||

.

μ

≤

≤

I

′ s ( )|.||

u

2 s ds ( )||

X s ds ( )

X s ds ( )

(3.46)

′ mx

m

T

m

6

′ μ ∞ || L

T

(0,

)

∫

≤ ∫ C

3 μ 0

0

t ∫ 3 | 0

0

Số hạng thứ bảy.

t

s

2

(0, )

≤

−

I

u

s (0, )

′′ k s (

r u )

r dr ds

′ m

m

7

∫

∫

0

0

t

s

2 2

||

≤

−

C

′′ k s (

r dr ds )

1

T

′ u s m

( )|| H

∫

∫

0

0

t

T

| μ ′′ ( )| s ds + | μ ( ) ≤ || μ + μ | ( ) ≤ ′′ ( )| s X s ds m ′′ s X s ds ( )| m ′′ || L T (0,

1

T

∫

∫

0

0

t

t

≤ 2 2 C || k ′′ ( ) θ θ d ds ′ u s m ( )|| H

(3.47)

1

1

1

T

2 ( )|| H

2 ( )|| H

(0, )

∫

∫

0

0

Số hạng thứ tám.

t

t

≤ + || ≤ ds C + || ds . C k 2 || T ′ u s m ′ u s m ′′ 2 || L T

1

m

8

;

)

∫

0

0

t

′ || ( )||

( )

.

≤

C

f s X s ds

(3.48)

T

m

+ ∫

0

Tổ hợp (3.39) và (3.41) – (3.48) ta đuợc

≤

X

(0)

+

μ′ 〈 2 (0) u

,

〉 +

′ 2[ (0) g

−

k

u (0)

(0)

4)

C

+ + ( 2 ε

0

0

X t ( ) m

m

u 1 mx

mx

u (0)] 1 m

T

m

t

t

( )||

( )

( )

+

+

+

+

ε ||

ds

(3.49)

1

1

X t ε ( ) m

′ u s m

′ m

q s u s 1

q s X s ds , m 2

2 ( )|| H

2 ( )|| H

∫

∫

0

0

0

với mọi

ε > , ở đây TC là hằng số chỉ phụ thuộc vào T và

23

I ≤ u s ds ( )|| ≤ || f + ′ || ( )|| f s X s ds ( ) ′′ m ′ || 2 L T L (0, ′ ∫ 2 || ( )||.|| f s

= + 1

C

+

|

′′ ( )|, g s

T

(3.50)

=

C

+

|

μ

′′ ( )| + || ( )||. s

′ f s

T

⎧ ⎪ q s ( ) ⎪⎪ 1 ⎨ ⎪ q s ⎪ ( ) ⎪⎩ 2

0( )

Từ các giả thiết (H1), (H3) – (H5), (3.8) – (3.9) và phép nhúng

1H ↪

0

tồn tại hằng số

C > sao cho

2

(0)

,

(0)

||

2 ||

+

〉 +

−

+

X

μ′ u 〈 2 (0)

u

′ g 2[ (0)

k

u (0)

u

0

0

m

mx

1 mx

u (0)] 1 m

m

1 m

||

2 (0)||

(0)||

2 ||

2 (0)|

2 (1)|

μ

=

+

+

+

u

u

K u | 0

K u | 1

′′ m

1 m

1 m

1 mx

C Ω suy ra

2 ||

0

0

mx

1 mx

m

1 m

1 m

+ μ′ 〈 2 (0) u , u 〉 + ′ 2[ (0) g − k u (0) u (0)] (0) + || u

2 (0)||

2 ||

2 (0)|

0

0

1 m

m

mxx

1 m

1 mx

≤ μ || (0) u + Ku + λ u + f + μ (0)|| u + K u | 0

2 (1)|

0

0

1 m

mx

1 mx

1 m

m

2

≤

C

m

∀ ∈ (cid:96) ,

(3.51)

2 ,

1

||mu+ ||

,

μ

(0),

μ′

(0),

g

′ (0),

k

f (0), (0),

trong đó,

(cid:4) (cid:4) u u , 0 1

2C là hằng số chỉ phụ thuộc vào

,

.λ

K K K , , 0 1

Mặt khác, từ (3.40) và tương tự như trong (3.32) ta cũng có

( )

≥

||

2 ( )||

+

||

u

2 t ( )|| ,

′′ u t m

′ mx

μ 0

⎧ ⎪ X t ⎪ m

t

t

≤

+

≤

+

||

2 ( )||

2||

u

2 ||

( )

C 2

( )

,

′ u t m

m 1

2

∫ t X s ds 2 m

∫ t X s ds 2 m

0

0

t

(3.52)

=

+

≤

+

+

||

2 ( )||

||

u

2 t ( )||

C 2

( )

⎨ ||

1

′ u t m

′ u t m

′ mx

X t ( ) m

2

2 ( )|| H

∫ t X s ds 2 , m

1 μ 0

0

t

t

2

≤

||

ds

TC 2

T 2

X s ds ( )

.

1

′ u s m

m

2

2 ( )|| H

∫

∫ )

+ + ( 1 μ 0

0

0

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Tổng hợp (3.49), (3.51) và (3.52), ta thu được

t

≤

ε ( , )

+

ε (1

+

D T s X s ds ,

ε ( , , )

( )

(3.53)

1 2

1 2

X t ( ) m

X t ) ( ) m

m

D T 2

2

+ ∫

1 μ 0

0

0

với mọi

ε > và trong đó

24

+ + μ′ 〈 2 (0) u , u 〉 + ′ 2[ (0) g − k u (0) u (0)] (0) K u | 1

T

ε ( , )

= + (1

ε 2 )

C

5)

C

+

( )

+ + ( 2 ε

1 2

T

2

C q s ds 2 , 1

2

D T 2

∫

0

(3.54)

T

1

ε ( , , ) D T s

ε 2 T

( )

L T (0,

).

=

+

+

+

∈

1 2

q s ( ) 1

T q s ds 2 1

q s ( ) 2

2

∫

1 μ 0

0

1

⎧⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ ε > và 0

Chọn

1 2

)μ

0

rằng

t

ε ( , , ) D T s ds

2

∫

0

,

, (cid:96)

[0,

],

0,

≤

≤

ε ( , ) e

C

m ∀ ∈

t ∀ ∈

T

T ∀ >

(3.55)

X t ( ) m

D T 2

T

hơn nữa, từ bổ đề 2.1, (3.52) và (3.55) ta suy ra rằng

t (0, )|

||

2||

C m ,

[0,

T

],

≤

≤

≤

∀ ∈

t ∀ ∈

ε + ≤ và sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta thu được từ (3.53) (1

0

1

′ u t m

′ u t m

m

T

( )|| C

( )|| H

Ω ( )

(3.56)

t (1, )|

||

2||

C m ,

[0,

T

],

≤

≤

≤

∀ ∈

t ∀ ∈

(cid:96) ,

0

1

′ u t m

′ u t m

m

T

( )|| C

( )|| H

Ω ( )

⎧⎪ ′ | u ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪ ′ | u ⎪⎪⎩

,

μ ,

f g k K , ,

,

,

với

,m chỉ phụ thuộc vào

(cid:4) (cid:4) u u , 0 1

TC là hằng số dương không phụ thuộc

,

K K , 0

1

.λ λ , 1

Từ (3.7)1, (3.36)1, (3.38), và (3.56)1 ta suy ra rằng

t

|

( )|

(0, )|

≤

+

−

g t | ( )|

k t (0, )| + | (

t

s u )|.|

s ds

K u | 0

Y t m

m

m

∫

0

≤

,

∀ ∈ m

(cid:96) ,

∀ ∈ t

[0,

T

],

∀ > T

0,

(3.57)

TC

t

|

( )|

|

(0, )|

≤

+

+

+

−

′ g t | ( )|

t (0, )|

k | (0)|.|

u

t (0, )|

′ k t (

s u )|.|

s ds

′ Y t m

′ m

m

m

K u | 0

∫

0

≤

,

∀ ∈ m

(cid:96) ,

∀ ∈ t

[0,

T

],

∀ > T

0.

(3.58)

TC

Từ (3.36) và (3.56) ta thu được

(cid:96) ,

1,

∞

m

T

(0,

)

T

(3.59)

u C , ≤ m ∀ ∈ , (cid:96) (0,.)|| W

1,

∞

m

T

(0,

)

T

Từ (3.40) suy ra

1

−

α s (1, )| 2

≤ u C , ∀ ∈ m , (cid:96) (1,.)|| W ⎧⎪ || ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪ || ⎪⎪⎩

bị chận trong

2(0, L T

(3.60)

( |

) s (1, )

Mặt khác, từ (3.59) ta lại có

25

u u ) ′ m ′ m ∂ s ∂

−

α s (1, )| 2

1 u

α s , )| . 2

bị chận trong

mà

m

Do đó

−

s (1, ) L T∞ (0, ) . | u (1 s , ) . (1 ′∼ | u ′ mu ′ m ′ m

|

α s (1, )| 2

u

1 u

s (1, )

(3.61)

bị chận trong

′ m

′ m

Từ (3.60) và (3.61) suy ra rằng

−

≤

|| |

u

α s (1, )| 2

1 u

C

,

m

(3.62)

∀ ∈ (cid:96) .

1

′ m

′ m

T

s (1, )|| H

T (0, )

L T∞ (0, )

Bước 3. Qua giới hạn. Từ (3.21), (3.40) và (3.57) - (3.59), (3.62) ta suy ra rằng tồn

tại một dãy con của dãy mu mà vẫn kí hiệu là mu sao cho

1

∞ L

(3.63)

trong

yếu *,

mu

1

∞ L

(0, T H ; ) u→

(3.64)

trong

yếu *,

∞ L

(0, T H ; ) ′→ u ′ mu

2 T L ;

(3.65)

trong

yếu *,

−

α (1,.)| 2

1 u

|

u

(1,.)

H

1(0,

)

χ

→ trong

T yếu,

(3.66)

′ m

′ m

(0, ) ′′→ u ′′ mu

trong

yếu *,

(3.67)

mu

(1,.)

u→

(1,.)

W

T∞ 1, (0,

)

trong

yếu *,

(3.68)

mu

(0,.) u→ (0,.) W T∞ 1, (0, )

trong

yếu *,

(3.69)

(1,.) ′→ u (1,.) L T∞ (0, ) ′ mu

trong

yếu *.

(3.70)

mY

Theo bổ đề về tính compact của Lions [3, trang 57], từ (3.63) - (3.70) và các phép

W T∞ 1, (0, ) Y→ (cid:4)

1(0,

0([0,

0([0,

1(

nhúng

nW T ↪ 1, (0,

)TH Q ↪

2( ),TL Q

suy ra rằng tồn tại một dãy con của {

vẫn ký hiệu là {

sao cho

}mu

}mu

H C ) C ]) T ]), T là compact ta T ↪ )

mạnh trong

(3.71)

mu

2( )TL Q và

a e x t Q∈ . . ( , ) u→ ,T

mạnh trong

(3.72)

2( )TL Q và

(0,.)

u→

(0,.)

C

0([0,

mạnh trong

T , ])

(3.73)

mu

a e x t Q∈ . . ( , ) ′→ u ′ mu ,T

0([0,

mạnh trong

(3.74)

mu

−

α (1,.)| 2

1 u

|

u

(1,.)

C

0([0,

χ

→ mạnh trong

T , ])

(3.75)

′ m

′ m

(1,.) u→ (1,.) C T , ])

0([0,

mạnh trong

(3.76)

mY

Mặt khác, từ (3.7)1 và (3.79) và giả thiết (H4) ta suy ra rằng

26

C Y→ (cid:4) T . ])

t

0([0,

→ + ( ) g t

t (0, )

+

k t (

−

s u ) (0, )

≡ s ds Y t ( )

mạnh trong

K u 0

mY t ( )

∫

0

(3.77)

Y t ( )

Y t= (cid:4)

( ).

Vậy, từ (3.76) và (3.77) ta có

Bây giờ, ta sẽ chứng minh bổ đề sau

Bổ đề 3.2.

C T . ])

0([0,

mạnh trong

(3.78)

α

α

1

−

′ (1,.)) u ( (1,.)) C Ψ → Ψ T . ]) ′ mu (

α (1,.) | 2

Chứng minh Bổ đề 3.2. Đặt

. Từ (3.75) ta suy ra rằng

(1,.) | u u = χ m ′ m ′ m

0([0,

(3.79)

mχ

Nhưng, ta lại có

−

−

1

1

=

→

u

(1,.)

|

α | 2

C

0([0,

α χ | | 2

χ

mạnh trong

T . ])

(3.80)

′ m

χ m

χ m

Từ (3.69) và tính duy nhất của giới hạn, ta có

−

1

=

u

′ (1,.)

|

α χ | 2

χ .

(3.81)

′

Ψ

→ Ψ

(1,.))

u ( (1,.))

C

0([0,

mạnh trong

T . ])

Do đó, từ (3.80) và (3.81) ta suy ra

′ mu (

α

α

Bổ đề 3.2 được chứng minh hoàn tất(cid:31)

Qua giới hạn trong (3.6) – (3.9) và nhờ vào (3.63) – (3.65), (3.74), (3.75), (3.77)

và Bổ đề 3.2 ta có u thỏa bài toán sau

C χ→ mạnh trong T . ])

x

t

α

1

μ , Y t v ( ) (0) (1,.) u ( (1,.))] (1) v 〉 + 〉 + + ⎧⎪〈 u v , tt ( ) t u v 〈 x K u [ 1 + Ψ λ 1

(3.82)

f t v ( ), v H , λ Ku + 〈 + 〉 = 〈 , 〉 ∀ ∈ ⎨ u v , t

ở đây

t

Y t ( )

=

g t ( )

+

t (0, )

+

k t (

−

s u ) (0, )

s ds ,

K u 0

∫

0

Hơn nữa, từ giả thiết (H2) – (H3), (H5) và (3.63) – (3.65), (3.82)1,

(0) , (0) , = = (cid:4) u 0 (cid:4) u 1 u t ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ u ⎪⎪⎩

∞ L

2 T L ;

(3.83)

( u

) − ∈ f

xx

tt

t

2

∞∈ u L

λ u = + Ku + u (0, ). 1 t ( ) μ

và sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán đã được chứng minh.

Vậy,

27

(0, T H ; )

Bây giờ ta tiếp tục chứng minh tính duy nhất của nghiệm yếu.

,u u là hai nghiệm yếu của bài toán (3.1),

Bước 4. Sự duy nhất nghiệm. Giả sử

1

2

(3.2) sao cho

2

1

∞ L

∞ L

∞ L

2 T L ;

i

∞

1

1,

α 2

(0, T H ; ), (0, T H ; ), u u (0, ), ∈ ∈ ′ i ′′ i

1 − u

i

i

∈ ∈ = (1,.)| H (0, T u ), (0,.) W (0, T ), i 1, 2. ′ (1,.) i ⎧ ⎪ ∈ u ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪ ′ u | ⎪⎪⎩

Thì

2

u u = − là nghiệm của bài toán biến phân sau u 1

x

1

α

1

μ , Y t v ( ) (0) K u t v (1, ) (1) u ( (1, )) (1) t v ⎧⎪ ′′ u v , 〈 〉 + 〉 + + ( ) t u v 〈 x + Ψ λ 1 ′ 1

(3.84)

α

u ( t v (1, )) (1) ′ , u v v H , λ Ku + 〈 + 0, 〉 = ∀ ∈ ⎨ − Ψ λ 1 ′ 2

t

Y t ( )

=

t (0, )

+

k t (

−

s u ) (0, )

s ds

.

trong đó,

K u 0

∫

0

v

,

u′= sau đó lấy tích phân theo biến thời gian ,t ta được

Trong (3.84)1 ta thay

t

s

t

=

−

−

Z t ( )

2 ( )||

2

u

′ (0, )

s ds

k s (

r u ) (0, )

r dr

μ′

s u s ds ( )|| x

∫

∫

∫

0

0

0

t

t

t

2

=

−

−

+

2 ( )||

k t (

s u ) (0, )

s ds

u

(0, )

s ds

μ′

s u s ds ( )|| x

∫ 2 (0, ) t u

∫ 2 (0) k

∫

0

0

0

r

t

4

(0) (0) 0, ′= u = ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ u ⎪⎪⎩

(3.85)

∫

∫

i

1 =

0

0

trong đó,

2

2

2 (0, ) , u r dr ′ ( k r ) (0, ) s u s ds + − ˆ I i = ∑

2 ( )||

x

t

μ Z t ( ) = || ′ 2 ( )|| u t t u t ( )|| (0, ) t (1, ) + + K u 0 t K u + 1

α

α

∫

0

t

[ u ( ′ (1, )] (1, ) s u s ds + Ψ − Ψ 2 λ 1 ′ ( (1, ) s u 1 ′ 2

2 || ( )||

(3.86)

0

Lần lượt đánh giá các tích phân ở (3.86) ta được

K u s || ′ 2 ( )|| u s ds . + + ∫ 2 λ

Đánh giá 1

t

t

t

|

||

( )

.

≤

≤

≤

′ ( )|.|| s

2 ( )|| u s ds

( ) Z s ds

μ

(3.87)

ˆ I 1

x

ˆ Z s ds C T

′ μ ∞ || L

(0, ) T

∫

∫

∫

1 μ 0

0

0

0

28

ˆ.I

ˆ .I

Đánh giá 2

t

1

1

∫

0

t

2

≤ | ( k t − s ds ˆ I 2 4|| ( )|| u t H )|.|| ( )|| u s H

1

1

( .

)

4 ε

2 || ( )|| u t ε H

∫

0

T

t

2

≤

k

ds

θ θ ( ) d

1

1

4 ε

2 ε || ( )|| u t H

2 u s || ( )|| H

∫

+ ∫

0

0

t

≤ + | ( k t − s ds )|.|| ( )|| u s H

1

1

4 ε

2 u t || ( )|| H

2 k || || 2 L

(0, ) T

2 u s || ( )|| H

∫

0

t

.

+

ds

ε≤

(3.88)

1

1

1 ε

ˆ C T

2 || ( )|| u t H

2 || ( )|| u s H

∫

0

Đánh giá

ˆ .I

3

t

t

t

2

(0, )

.

≤

u

s ds

≤

ds

(3.99)

∞

1

1

ˆ I 3

ˆ ≤ ds C T

4|| || k L

(0, ) T

2 || ( )|| u s H

2 || ( )|| u s H

∫ 2| (0)| k

∫

∫

0

0

0

ε≤ + ds

Đánh giá

4

r

t

≤

u r

dr

′ | ( k r

−

s

ds

1

1

ˆ I 4

)|.|| ( )|| u s H

∫ 4 || ( )|| H

∫

0

0

t

s

2

≤

+

−

2

|

′ ( k s

r

u r )|.|| ( )|

dr

ds

1

1

( .

)

| H

∫

∫

⎡ 2 || ( )|| u s ⎢⎣ H

⎤ ⎥ ⎦

0

0

t

t

s

s

≤

ds

+

4

′ | ( k s

−

2 r dr )|

dr ds

1

1

2 u s || ( )|| H

2 u r || ( )|| H

∫

∫ ∫

∫

0

0

0

0

t

t

≤

ds

+

T k 4 ||

ds

1

1

2 u s || ( )|| H

′ 2 || 2 L

(0, ) T

2 u s || ( )|| H

∫

∫

0

0

t

t

.

T k 4 ||

ds

ds

(3.90)

1

1

′ 2 || 2 L

(0, ) T

2 u s || ( )|| H

2 || ( )|| u s H

ˆ .I

)

( ≤ + 1

∫

ˆ ≤ ∫ C T

0

0

Tổng hợp (3.85) và (3.87) – (3.90) ta được

t

t

3)

( ) Z t

ds

+

, ( ) Z s ds

ε≤

(3.91)

1

1

( + + 1 ε

ˆ C T

ˆ 2 C T

2 || ( )|| u t H

2 || ( )|| u s H

∫

∫

0

0

Do tính đơn điệu của hàm

αΨ và giả thiết (H3) nên từ (3.85) ta thu được

29

t

t

≥

+

=

≤

⎧⎪⎪ Z t ( )

||

′ 2 u t ( )||

||

2 ( )|| ,

2 u t || ( )||

′ ( ) u s ds

2 ||

T Z s ds ,

( )

μ 0

u t x

∫ ||

∫

0

0

t

=

+

≤

+

2 u t || ( )||

||

2 ( )||

Z t ( )

T Z s ds

( )

.

(3.92)

1

u t x

2 || ( )|| u t ⎨ H

∫

1 μ 0

0

t

t

2

ds

T

Z s ds ( )

.

1

2 u s || ( )|| H

∫

∫ )

≤ + ( 1 μ 0

0

0

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎩

Thay (3.92) vào (3.91) ta được

t

Z t ( )

≤

Z t ( )

+

Z s ds ( ) ,

(3.93)

D T 3

∫ ε ( , )

ε μ 0

0

2

[(

)(

2]

T

+

+

T

3) + +

ε ( , )

ε=

trong đó,

1 ε

D T 3

ˆ .T C

1 μ 0

ε

0

Chọn

ε > sao cho

μ ≤ và bất đẳng thức Gronwall ta thu được từ (3.93) rằng

1 2

0

( )

u

0,

Z t ≡ . Do đó 0

u ≡ nghĩa là

u≡ 2.

1

Vậy, nghiệm yếu u của bài toán (3.1), (3.2) là duy nhất. Ta hoàn tất chứng minh

Định lý 3.1(cid:31)

Chú thích 3.2. Chú ý rằng Định lý 3.1 vẫn còn đúng nếu ta thay thế giả thiết (H5) bởi

/

α

≥

2;

,

,

,

λ

∈

>

0.

(

5H ) :

K K K 0

1

λ 1

(cid:92) ,

Chú thích 3.3. Với phương pháp chứng minh tương tự cùng với các điều chỉnh trong

bước đánh giá tiên nghiệm, trong [16] chúng tôi cũng thu được kết quả tổng quát về

sự

tồn

tại duy nhất nghiệm cho bài

toán

(3.1),

(3.2) với

f u u = ( , )t

p K u | |

− 2 u

+

λ | u

q |

− 2 u

,

p q ≥ , 2.

t

t

30

Chương 4

ỔN ĐỊNH NGHIỆM

4.1. Giới thiệu

Trong chương này, chúng tôi khảo sát tính ổn định của nghiệm yếu của bài toán

)

,

2.

(3.1), (3.2) tương ứng với

α = Giả sử các hàm

u u(cid:4) (cid:4) thỏa giả thiết (H1). Theo (

0

1

định lý 3.1, thì bài toán (3.1), (3.2) có duy nhất nghiệm yếu u phụ thuộc vào

,

,

,

,

f g k , ,

.

K K K 0

λ λ μ , , 1

1

u

=

u K K K ,

(

,

,

,

f g k ,

, ).

(4.1)

0

λ λ μ , , 1

1

,

,

,

,

f g k , ) ,

trong đó

thỏa các giả thiết (H2) – (H5).

K K K ( 0

λ λ μ , , 1

1

Đặt

)

=

{(

,

,

,

,

f g k K K K ,

, ) : (

,

,

,

,

f g k , , )

thỏa (H2) – (H5)}

ℑ ( μ 0

K K K 0

λ λ μ , , 1

1

0

λ λ μ , , 1

1

0

với

μ > là hằng số cho trước.

0

Ở đây, ta ký hiệu

1

W T

( )

∞ = ∈ { v L

(0,

T H ;

) :

∈

∞ L

(0,

2 T L ;

)}

v t

là không gian Banach thực với chuẩn định bởi

v || ||

=

||

+

.

∞

∞

1

W T (

)

v || t L

(0,

2 T L ;

)

v || || L

(0,

T H ;

)

4.2. Tính ổn định của nghiệm yếu vào dữ kiện của bài toán

0,

T > nghiệm yếu của bài

Định lý 4.1. Giả sử (H1) – (H5) thỏa. Khi đó, với mỗi

,

,

,

,

f g k , , )

thuộc

nghĩa

toán (3.1), (3.2) là ổn định với dữ kiện

K K K ( 0

λ λ μ , , 1

1

),μℑ 0(

là:

j

j

j

j

j

,

,

,

,

f g k K K K ,

, ), (

,

,

,

,

,

,

j f g k ,

,

)

)

sao cho

Nếu

K K K ( 0

λ λ μ , , 1

1

j 0

j 1

j λ λ μ 1

μ∈ ℑ ( 0

j

j

0

1

j 1

j 0

j λ 1

j

j

j

K | K | K | K | | + | 0, ⎧⎪ | K | λ λ | K − + − + − + − | λ − → 1

(4.2)

1

T

([0,

])

(0,

2 T L ;

)

(0,

2 T L ;

)

j

j

f 0, || f 0, μ − → − + − → || ⎨ f || t f t || μ C || 1 L || 1 L

2,1

2,1

T

W

T

(0,

)

(0,

)

thì

1

0, k || k || 0, khi j , − → − → → ∞ g || W ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ || g ⎪⎪⎩

W T H ( )

×

(0,

× T L )

T∞ (0,

)

(

trong

(4.3)

j

j

j

j

j

j

=

j u K K K ,

(

,

,

,

,

,

j f g k ,

,

)

khi

.

j 0

j 1

j λ λ μ 1

ju

j → +∞ trong đó ,

30

⋅ (1, ), Y ) → u u ( , (1, ), ⋅ Y ), u u , j

thỏa

, , , , f g k , , )

Chứng minh. Trước hết, ta chú ý rằng, nếu các dữ kiện

1

mãn

*

*

K K K ( 0 , , λ λ μ 1

* K K , 0

1

* 1

0

* λ 1

*

*

λ λ , K , , , ≤ ≤ ≤ ≤ λ 1

(4.4)

1

1

1

([0,

])

;

)

;

)

T

2 L T L (0,

2 L T L (0,

*

*

μ f , || || f , ≤ + ≤ f || || t || || μ ⎨ C

2,1

2,1

(0,

)

T

T (0, )

*

*

*

*

g , k , ≤ ≤ k || || W ⎧⎪ ≤ K K K ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ || || g ⎪⎪⎩ W

* * f g k ,

trong đó

là các hằng số dương cố định. Khi đó, các

* 0

* 1

* λ λ μ 1

đánh giá tiên nghiệm cho dãy mu trong chứng minh định lý 3.1 thỏa

t

2 ( )||

+

||

u

2 t ( )||

+

|

u

2 (1, )|

s ds C

≤

,

∀ ∈ t

[0,

T

],

μ 0

λ 2 1

′ u t m

mx

′ m

T

∫

0

(4.5)

t

2 ( )||

||

u

2 t ( )||

|

u

2 (1, )|

s ds C

,

[0,

T

],

+

+

≤

t ∀ ∈

μ 0

λ 2 1

′′ u t m

′ mx

′′ m

T

∫

0

⎧⎪⎪ || ⎪⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪ || ⎪⎪⎪⎩

*

*

K K K ( , , , , , , , )

*,μ

trong đó

TC là các hằng số chỉ phụ thuộc vào

(cid:4) (cid:4) T u u , 0 1

* 0

* 1

* 1

*

*,f

* ,g

, , , K K K , , , λ λ , , μ 0

).

1

Do đó giới hạn u trong các không gian hàm thích hợp của dãy mu được xác định

bởi (3.6) – (3.9), là nghiệm yếu của bài toán (3.1), (3.2) thỏa các đánh giá tiên nghiệm

(4.5).

*

*

*

, , , , f g k , , k (độc lập với K K K 0 λ λ μ , , 1

Do (4.2) nên ta có thể giả sử rằng tồn tại các hằng số dương

* K K K λ λ μ , , 1

* 1

* 0

*

*

j

j

j

j

j

,

,

, , , ,

j f g k ,

* f g k sao cho bộ dữ kiện

thỏa mãn (4.4),

j 0

j 1

j λ λ μ 1

j

j

j

j

j

,

,

,

,

f g k , , )

=

K K K (

,

,

,

,

,

,

j f g k ,

,

).

với

K K K ( 0

λ λ μ , , 1

1

j 1

j λ λ μ 1

j 0

Khi đó, nhờ vào nhận xét trên, ta có nghiệm

ju của bài toán (3.1), (3.2) tương ứng

j

j

j

j

j

K K K ( , , , , , , , ) ) μ∈ ℑ ( 0

j f g k ,

với

thỏa

1

j 1

j λ λ μ 1

j 0

t

||

2 ( )||

||

2 ( )||

|

u

2 (1, )|

s ds C

,

[0,

T

],

+

+

≤

t ∀ ∈

′ u t j

u t jx

′ j

T

μ 0

λ 2 1

∫

0

t

||

||

2 ( )||

|

u

s ds C

,

[0,

T

],

+

+

≤

t ∀ ∈

′′ 2 ( )|| u t j

′ u t jx

′′ 2 (1, )| j

T

μ 0

λ 2 1

∫

(4.6)

0

|

u

t (0, )|

||

2||

C

,

[0,

T

],

≤

≤

≤

t ∀ ∈

0

1

j

u t j

u t j

T

Ω ( )

( )|| C

( )|| H

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

≤

C

,

∀ ∈ t

[0,

T

].

u

t (0, )|

||

2||

≤

≤

0

1

′ u t j

T

′ j

′ u t j

Ω ( )

( )|| H

( )|| C

| ⎪⎪⎩

31

, , , , f g k , , ) = K K K ( , , , , , , , ) K K K ( 0 λ λ μ , , 1

Đặt

j

j = − λ

j 0

1

0

j 1

1

j

j

j

(4.7)

j = − μ

K − (cid:4) K K , = K − = K − K , λ , (cid:4) K K , 0 (cid:4) λ j

j = − f

j = − g

j = − k

j λ 1

j

j

v

u

u

= − thỏa bài toán biến phân sau

Khi đó,

j

j

v t v ( ),

( ),

( ) (0)

t v (1, ) (1)

t v (1, ) (1)

⎧ ′′ ⎪〈

〉 +

μ

〉 +

+

+

j

( ) t v t v 〈 jx

x

(cid:4) Y t v j

K v 1

j

v λ 1

′ j

+ 〈

+

〉 = −

〉 −

v t v ( ),

( ),

t v (1, ) (1)

λ

(cid:4) μ

Kv t ( ) j

′ j

〈 ( ) t u t v jx

x

j

(cid:4) K u 1 j

j

(4.8)

1

−

−〈

+

〉 + 〈

u

t v (1, ) (1)

〉 ∀ ∈ ,

v H

,

(cid:4) λ 1

j

′ j

(cid:4) K u j

j

(cid:4) λ j

′ , u v j

(cid:4) f t v ( ), j

′=

=

( , 0)

( , 0)

0,

v x j

v x j

⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

với

t

=

+

−

( )

t (0, )

k t (

s v ) (0, )

s ds ,

ˆ + g t K v 0 j

j

j

∫

0

(4.9)

t

(cid:4)

=

+

−

s ds

( )

t (0, )

s u ) (0, )

.

0

(cid:4) + g t K u j

j

j

(cid:4) k t ( j

j

∫

0

⎧⎪⎪ (cid:4) Y t ( ) ⎪⎪⎪⎪ j ⎨ ⎪⎪⎪ ˆ ( ) g t ⎪⎪⎪⎩ j

v

v′= sau đó lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t

Thay (4.9) vào (4.8)1, rồi thế

j

và sau một số bước biến đổi đơn giản ta thu được

t

t

t

2 ( )||

μ , f , g , k . (cid:4) λ μ , 1 (cid:4) g j (cid:4) f j (cid:4) k j (cid:4) ⎧⎪ = K ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪ = − (cid:4) λ ⎪⎩ 1

2 j

∫ 2 (0) k

∫

∫

0

0

0

t

τ

t

−

−

+

2

′ ( τ

−

τ

k t (

s v ) (0, )

s ds

v

k

s v ) (0, )

s ds d

j

j

j

j

∫ t v 2 (0, )

∫ (0, ) τ

∫

0

0

0

t

t

2 (0, ) = μ′ − + s ds + v s ds ( ) S t j ( )|| s v s ds jx ˆ 2 ( ) (0, ) t g t v j j ′ ˆ g s v j ( ) (0, ) j

1

j

j

j

jx

jx

∫

∫

0

0

t

t

+

2

(cid:4) μ 〈

( ),

〉 +

( )

2

(cid:4) μ 〈

〉 ( )

( ),

s u s v s ds ( )

s u s v s ds ( )

′ j

jx

jx

j

jx

′ jx

∫

∫

0

0

t

t

13

2

( ),

( )

2

( ),

( )

J

,

−

+

〉 +

〈

(4.10)

(cid:4) K u s ( ) 〈 j j

(cid:4) λ j

′ u s v s ds j

′ j

(cid:4) ′ f s v s ds j j

i

〉 = ∑

∫

∫

= 1

i

0

0

trong đó

′= ||

2 ( )||

+

μ

2 ( )||

+

K v t ||

2 ( )||

+

t (0, )

+

t (1, )

K v 0

K v 1

S t ( ) j

v t j

t v t ( )|| jx

j

2 j

2 j

t

t

+

λ 2

||

2 v s ds ( )||

+

|

v

2 s ds (1, )|

.

(4.11)

′ j

′ j

λ 2 1

∫

∫

0

0

32

− (cid:4) K 2 u s v s ds − u s v s ds − 〉 ( ) t u t v t ( ), (cid:4) λ 2 1 ′ (1, ) (1, ) j ′ j ′ (1, ) (1, ) j (cid:4) 2 ( ) 〈 μ j

Sử dụng giả thiết (H3), (H5) cho (4.11) thì ta được

t

≥

||

2 ( )||

+

||

2 ( )||

+

|

v

2 s ds (1, )|

.

(4.12)

μ 0

λ 2 1

S t ( ) j

′ v t j

v t jx

′ j

∫

0

Sử dụng bất đẳng thức (4.12), bất đẳng thức ở (3.22) và các bất đẳng thức sau

t

t

2 ( )||

||

v

(0)

v s ds ( )

2 ||

( )

⎧⎪⎪ ||

=

+

≤

v t j

j

′ j

∫ t S s ds , j

∫

0

0

t

=

+

≤

+

||

2 ( )||

||

2 ( )||

( )

(4.13)

1

|| ⎨

v t j

v t j

v t jx

S t ( ) j

2 ( )|| H

∫ t S s ds , j

1 μ 0

0

t

t

2

||

ds

T

S s ds ( ) ,

1

1 2

v s j

j

2 ( )|| H

∫ )

∫

≤ + ( 1 μ 0

0

0

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎩

ta lần lượt đánh giá các số hạng bên vế phải của (4.10) như sau

Số hạng thứ nhất.

t

t

t

μ

≤

μ

≤

≤

|

′ s ( ) | . ||

2 ( ) ||

||

( )

( )

.

(4.14)

′ || 0

ˆ J 1

v s jx

S s ds D S s ds T

j

j

∫

∫

∫

1 μ 0

0

0

0

||

μ

=

sup{|

μ

′ ( )|: t

t

∈

[0,

T

]}.

Ở đây, ta sử dụng ký hiệu

′ || 0

Số hạng thứ hai.

1

1

2 ε

j

2 ˆ ( ) g t j

j

2 || H

(4.15)

t

2 2| ≤ ( )|.|| v ≤ + || ε v ˆ g t j ˆ J 2 || H

2 ε

2 || 0

j

∫ ( ) ε

ε μ 0

0

Số hạng thứ ba.

t

t

, 0. ≤ + + ( ) S s ds ∀ > ε ˆ|| g j ( ) S t j D T

1

1

2 ( )|| H

∫

∫ 2 2 |

0

t ∫ 2 | 0

0

t

t

2

( )|.|| || ≤ ds ≤ + ds ′ ˆ g s j v s j ′ 2 ˆ ( )| g s ds j v s j ˆ J 3 ( )|| H

(4.16)

1 2

j

T

T

(0,

)

T (0, )

∫ )

∫

0

0

Số hạng thứ tư.

t

t

2|| 2|| ( ) . T ( ) S s ds ≤ ≤ + D S s ds j ′ 2 ˆ || g 2 j L ′ 2 ˆ || g 2 j L ( + + 1 μ 0

1

2 j

2 ( )|| H

∫

∫ 2| (0)| k

0

0

(4.17)

t

t

2

(0, ) || ≤ v s ds ≤ ds v s j ˆ J 4 4|| || k 0

1 2

j

j

∫ )

∫

1 μ 0

0

0

Số hạng thứ năm.

33

( ) ( ) . ≤ + T ≤ S s ds D S s ds T 4|| || ( k 0

t

≤

−

s

ds

4||

k t | (

)|.||

1

1

v t j

v s j

ˆ J 5

( )|| H

( )|| H

∫

0

t

2

ε≤

||

+

k t | (

−

s

)|.||

ds

1

1

)

( .

4 ε

v t j

v s ( j

2 ( )|| H

)|| H

∫

0

t

T

2

1

1

4 ε

2 ( )|| H

2 ( )|| H

∫

0

0

t

ε≤

||

+

||

ds

1

1

4 ε

v t j

v s j

2 ( )|| H

2 k || || 2 L

2 ( )|| H

T (0, )

∫

0

t

2

≤

+

[

(

+

T

)

+

( )

1 2

4 ε

S t ( ) j

ε T S s ds j

2 k || || 2 L

(0, ) T

∫ ]

ε μ 0

1 μ 0

0

t

≤

+

S s ds , ( )

∀ > ε

0.

(4.18)

S t ( ) j

D T

j

∫ ( ) ε

ε μ 0

0

Số hạng thứ sáu.

s

≤

ds

−

r

dr

′ k s | (

)|.||

1

1

ˆ J 6

v s j

v r j

( )|| H

( )|| H

∫

0

t ∫ 4 || 0

s

t

2

≤ || k || ds ε θ θ ( ) d v t j v s j + ∫

1

1

( .

)

2 ( )|| H

∫

∫

0

0

s

t

s

t

≤ + − 4 ′ | ( k s r )|.|| dr ds v s j v r j | ( ) | H ⎡ || ⎢⎣ ⎤ ⎥ ⎦

2 r dr )|

1

1

2 ( )|| H

2 ( )|| H

∫

∫ ∫

∫

0

0

0

0

t

t

≤

||

ds

+

T k 4 ||

||

ds

1

1

v s j

v s j

2 ( )|| H

′ 2 || 2 L

T

2 ( )|| H

(0,

)

∫

∫

0

0

t

t

2

+

≤

≤ + (1

T k 4 ||

)(

T

( )

( )

.

(4.19)

1 2

S s ds D S s ds T

j

j

′ 2 || 2 L

T (0, )

∫ )

∫

1 μ 0

0

0

Số hạng thứ bảy.

t

≤

u

s ds

2|

|

s v (1, )|.|

(1, )|

ˆ J 7

1

j

j

′ j

∫(cid:4) K |

0

t

t

(cid:4) K

|

2 |

≤

+

|

u

2 s ds (1, )|

2

|

v

2 s ds (1, )|

ελ 1

j

′ j

∫

∫

2

0

0

1 j ελ 1

≤

|

ε ( )

+

( ),

∀ > ε

0.

(4.20)

ε S t j

(cid:4) 2 K D | j T 1

Số hạng thứ tám.

34

≤ || ds + 4 | ′ ( k s − || dr ds v s j v r j

t

≤

u

s ds

2|

|

s v (1, )|.|

(1, )|

ˆ J 8

j

′ j

′ j

∫(cid:4) λ | 1

0

t

t

|

2 |

≤

+

|

2

|

u

2 (1, )| s ds

v

2 (1, )| s ds

ελ 1

′ j

′ j

∫

∫

2

0

0

(cid:4) λ 1 j ελ 1

≤

2 |

ε ( )

+

( ),

∀ > ε

0.

(4.21)

j

D T

ε S t j

(cid:4) 1| λ

Số hạng thứ chín.

2 |

2||

( )||.||

( )||

≤

(cid:4) μ

( ) | t

( ), ( ) 〈 u t v t

〉 ≤

(cid:4) μ

ˆ J 9

j

jx

jx

|| || 0

u t jx

v t jx

j

(4.22)

(cid:4) μ

||

|| 0

2

.

||

( ),

0.

≤

C

≤

(cid:4) μ

( ) ε

+

∀ > ε

T

( ) S t j

2 || 0

D T

j

ε S t j

j μ 0

Số hạng thứ mười.

(cid:4) μ

( ),

≤

〈

s ds ( ) 〉

′ j

s u s v ( )| jx

jx

ˆ J 10

t ∫ 2 | 0

(cid:4) μ

v ( )||.||

t ds ( )||

≤

(4.23)

u t jx

jx

′ || || j 0

t ∫ 2 || 0

t

t

||

(cid:4) μ

|| 0

C

(cid:4) μ

.

( )

||

S s ds ( )

.

2

≤

+

≤

T

S s ds D T

j

j

′ 2 || j 0

∫

∫

′ j μ 0

0

0

Số hạng thứ mười một.

j

jx

t ∫ 2 | 0

≤ (cid:4) μ 〈 ( ), 〉 s ds ( ) ′ s u s v ( )| jx ˆ J 11

(4.24)

j

jx

t ∫ 2 || 0

t

t

||

(cid:4) μ

|| 0

≤ (cid:4) μ ( )||.|| v t ds ( )|| ′ u t jx || || 0

T

j

j

j

2 || 0

∫

∫

j μ 0

0

0

Số hạng thứ mười hai.

t

≤

+

2

〈 |

( )|,|

〉 v s ds ( )|

(cid:4) K u s ( ) j j

(cid:4) λ ′ j

u s j

′ j

ˆ J 12

∫

0

t

t

≤

(cid:4) K

2|

〈 |

( )|,|

v s ds ( )|

〉 +

2|

〈 |

( )|,|

〉 ( )| v s ds

j

u s j

′ j

′ u s j

′ j

(cid:4) λ j

∫ |

∫ |

0

0

t

t

≤

(cid:4) K

2|

||

( )||.||

v s ds ( )||

+

2|

||

( )||.||

v s ds ( )||

j

u s j

′ j

′ u s j

′ j

(cid:4) λ j

∫ |

∫ |

0

0

35

≤ + ≤ C (cid:4) μ . ( ) || S s ds ( ) . 2 S s ds D T

t

t

|

|

(cid:4) K

j

≤

2

C

.

S s ds ( )

+

2|

C

.

S s ds ( )

T

j

T

j

(cid:4) λ j

∫

∫ |

μ 0

0

0

t

(cid:4) K

|

2 |

≤

(

+

|

2 | )

S s ds ( )

.

(4.25)

D T

(cid:4) λ j

j

+ ∫ 2

j μ 0

0

Số hạng thứ mười ba.

t

0

t

t

≤ v s ds ( )|| ′ j ˆ J 13 (cid:4) ∫ f s 2 || ( )|| || j

2 v s ds ( )||

(4.26)

∫

∫

0

0

t

T

+ ≤ ds || (cid:4) 2 f s || ( )|| j ′ j

j

∫

∫

0

0

Tổ hợp (4.10) và (4.13) – (4.26), ta có

+ ≤ ds S s ds ( ) . (cid:4) 2 f s || ( )|| j

2 |

2 |

2 || 0

1

2 || ) 0

j

j

j

(0,

)

T

+

||

(cid:4) μ

+

ε (

+

3)

+ S t D K

( )

(|

+(cid:4) 2 |

|

2 | )

1

D T

j

j

j

(cid:4) λ j

T

([0,

])

2 || C

T

2 μ 0

T

t

+

+ + [5

+

S s ds ( )

,

(4.27)

(cid:4) 2 f s ds || ( )|| j

D 4 T

D 2 T

j

∫

∫ ( )] ε

0

0

t

T∈ [0,

].

với mọi

ε > và 0

2

3)

Chọn

με + ≤ . Từ (4.27) ta có (

1 2

0

( )

(4.28)

S t ( ) j

T

j

j

≤ + ∫

t R R S s ds , 0

trong đó

||

)

2 |

|

2 |

||

R

=

+

+

( )(| ε

(cid:4) K

+

+

(cid:4) μ

1 2

2( || 1 ε

j

ˆ g j

D T

j

j

j

2 || 0

1

(cid:4) λ 1

2 || ) 0

′ 2 ˆ || g 2 j L

T

(0,

)

T

+

||

(cid:4) μ

+

2 |

+

|

2 | )

,

(4.29)

1

D T

j

(cid:4) D K (| T

j

(cid:4) λ j

(cid:4) 2 f s ds || ( )|| j

([0,

])

2 || C

T

+ ∫

0

= + 5

+

( ).

(4.30)

1 2

R T

D 4 T

D ε 2 T

Sử dụng bổ đề Gronwalls vào (4.28) ta suy ra rằng

≤

exp(

)

≤

,

∀ ∈ t

[0,

T

].

(4.31)

S t ( ) j

R j

R T T

* C R T j

Từ (4.6)3 và (4.9)2 ta có đánh giá sau

36

|| ) || ≤ + + ( )(| ε (cid:4) K + + (cid:4) μ 2( || 1 ε (cid:4) | λ 1 ( ) S t j ˆ g j D T ′ 2 ˆ || g 2 j L

t

≤

+

+

−

s ds

( )|

|

( )|

|

t (0, )|

|

s u )|.|

(0, )|

ˆ| g t j

(cid:4) g t j

(cid:4) K u |.| j 0

j

(cid:4) k t ( j

j

∫

0

≤

( )|

+

+

C

,

(cid:4) g t | j

(cid:4) K C | | 0 j

T

(cid:4) T k || j

|| 0

T

lấy sup hai vế của bất đẳng thức trên ta được

.

≤

+

+

C

(4.32)

ˆ|| g j

|| 0

(cid:4) || g j

|| 0

(cid:4) | | K C 0 j

T

(cid:4) || T k j

|| 0

T

Cũng từ (4.6)3, 4 và (4.9)2 ta có

t

( )|

|

( )|

|

|

|

(0, )|

≤

+

(0, )| t

+

(0) u

(0, )| t

+

−

) s u

s ds

′ ˆ| g t j

′ (cid:4) g t j

(cid:4) K u j 0

′ j

(cid:4) k j

j

(cid:4) ′ ( k t j

j

∫

0

≤

|

( )|

+

(|

(cid:4) K

|

+

||

+

)

C

,

0

|| 0

′ (cid:4) g t j

j

(cid:4) k j

T

(0,

)

(cid:4) ′ || T k || 2 j L

T

do đó

2[||

(|

2 |

||

)].

≤

+

+

+

(4.33)

0

2 || 0

(cid:4) TC K T

j

(cid:4) k j

(0,

)

(0,

)

(0,

)

′ 2 ˆ|| || g 2 j L

T

′ 2 (cid:4) || g 2 j L

T

(cid:4) ′ 2 || || T k 2 j L

T

Mặt khác, từ (4.9)1, (4.13), (4.31) ta suy ra rằng

t

≤

+

+

−

s ds

|

( )|

( )|

t (0, )|

k t | (

s v )|.|

(0, )|

K v | 0

(cid:4) Y t j

ˆ g t | j

j

j

∫

0

( )|

)|.||

≤

+

2 || K v t

+

−

s

ds

1

1

0

ˆ| g t j

j

v s j

( )|| H

( )|| H

t ∫ 2 | ( k t 0

( )|

)|.||

≤

+

2 || K v t

+

−

s

ds

1

1

0

ˆ| g t j

j

v s j

( )|| H

( )|| H

t ∫ 2 | ( k t 0

t

2

2

( )|

2(

)|. 2(

)

≤

+

K

+

) T C R

+

| ( k t

−

s

+

0

ˆ| g t j

* T

j

* T C R ds T

j

∫

1 μ 0

1 μ 0

0

2

( )|

) 2(

,

≤

+

( K

+

|| || k

+

) T C R

1

0

ˆ| g t j

* T

j

)

L T (0,

1 μ 0

hay

2

||

||

) 2(

.

≤

+

( K

+

+

) T C R

(4.34)

|| 0

|| 0

0

(cid:4) Y j

ˆ g j

* T

j

(0,

)

|| || k 1 L

T

1 μ 0

Từ (4.2), (4.7) và các đánh giá (4.31) – (4.34) ta suy ra (4.3) đúng.

Định lý 4.1 được chứng minh đầy đủ(cid:31)

37

Chương 5

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN

5.1. Giới thiệu

Trong chương này, chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu sau. Tìm hàm u thỏa

xx

t

t

+ < < ⎧⎪ L u [ ] μ t u ( ) = − − Ku λ u f x t ( , ), 0 < < x 1, 0 t T , ≡ − u tt

x

0

∫

0

(cid:71)(cid:4) )Pε (

] μ t u ( ) (0, ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds g t ( ), ≡ t K u − − − =

x

t

1

] μ t u ( ) t (1, ) K u t (1, ) t (1, ) 0, ≡ + + = λ u 1

*

*

*

0

≤ ≤

K K

,

0

< ≤ λ

λ

,

0

≤

K

≤

K

, 0

,

K

,

* Kλ ,

,

< ≤ (

λ là các hằng

với

λ 1

* λ 1

* 1

1

* 1

* 1

,

, μ

f g k , , )

số cố định) và

là các hàm cho trước thỏa các giả thiết (H1) – (H4).

(cid:4) (cid:4) u u ( , 0 1

Ở đây, chúng tôi sẽ sử dụng các ký hiệu sau

α = 2,

Bài toán (

(cid:71)(cid:4) là bài toán (3.1), (3.2) tương ứng với )Pε

2

K

K

(cid:71) ε

=

λ ( , , K K

,

=

(0, 0, 0, 0), || ||=

+

2 + + λ

,

(cid:71) ), 0

(cid:71) ε

λ 1

1

2 1

2 λ 1

*

*

*

K

K

( , 0) ( ), ( , 0) ( ). = = u x t (cid:4) u x 0 (cid:4) u x 1 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ L u [ ⎪⎪⎨ 0 ⎪⎪⎪ L u [ ⎪⎪⎪⎪⎪ 1 u x ⎪⎪⎩

,

,

,

được hiểu là

1

* 1

* . ≤ λ 1

Kết quả mà chúng tôi thu được trong chương này được đúc kết bằng hai định lý 5.1

(cid:71) ε =

(cid:71) 0

và 5.2. Trong đó, định lý 5.1 khẳng định bài toán

)P(cid:71)(cid:4) tương ứng với (

0

(cid:71) ε

duy nhất nghiệm

u (cid:71) và khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu khi

nghĩa

tồn tại và (cid:71) +→ 0 ,

0

(cid:71) của bài toán (

( )W T về

là ta chứng được rằng nghiệm yếu uε

(cid:71)(cid:4) hội tụ mạnh trong )Pε

u (cid:71) 0

(cid:71) ε

của bài toán

)P(cid:71)(cid:4) khi (

Định lý 5.2 trình bày khai triển tiệm cận nghiệm yếu

(cid:71) 0 . +→

0

,

,

;

K K λ λ tức là ta có thể xấp xỉ nghiệm yếu

của bài toán (

1

1

(cid:71)(cid:4) theo bốn tham số bé )Pε

,

;

,

u bởi một đa thức theo bốn biến

K K λ λ và đánh giá được sai số giữa nghiệm

1

1

chính xác và nghiệm xấp xỉ.

38

(cid:71) ε (cid:71) ε≤ ≤ K K λ ≤ λ ≤ λ 1

5.2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu

*

,

f g k , , )

(cid:71) ε

(cid:71) ε≤

μ ,

và

Với

thỏa các giả thiết (H1) – (H4), thì từ định lý 3.1 ta có

(cid:4) (cid:4) u u ( , 0 1

=

K (

,

λ ,

K

,

)

(cid:71) ε

bài toán (

:

1

λ 1

(cid:71)(cid:4) tồn tại và duy nhất nghiệm yếu u phụ thuộc vào )Pε

u

u K (

,

λ ,

K

,

).

= =(cid:71) u ε

1

λ 1

Ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu u của bài toán (

(cid:71)(cid:4) phụ thuộc )Pε

K (

,

Kλ ,

).

,

vào các tham số bé

λ Kết quả thu được là định lý sau đây

1

1

0.

Định lý 5.1. Cho

T > Giả sử (H1) – (H5) đúng. Khi đó,

(cid:71) ε =

0

)P(cid:71)(cid:4) tương ứng với (

tồn tại và duy nhất nghiệm yếu

u(cid:71) thỏa

(i) bài toán

0

0

0

1

1

2

)

C

(0,

T H ;

)

C

(0,

2 T L ;

)

∞ L

(0,

T H ;

),

∩

∩

∩

2 H Q ( T

(cid:71) 0

(5.1)

0

1

C

(0,

2 T L ;

)

∞ L

(0,

T H ;

),

∞ L

(0,

2 T L ;

).

u

∩

∈

′′ (cid:71) 0

⎧⎪ ∈ u ⎪⎪ ⎨ ⎪ ′ ⎪ ∈ u (cid:71) ⎪⎩ 0

(cid:71) ε

(cid:71) hội tụ mạnh trong

( )W T về

u (cid:71) khi

(ii) Nghiệm yếu uε

+→ 0 .

0

Hơn nữa, chúng ta có đánh giá tiệm cận

||

u

u

||

u

(1, )

u

||

C

(cid:71) || ||, ε

−

+

⋅ −

+

≤

(5.2)

∞

(cid:71) ε

|| W T (

)

λ 1

′ (cid:71) ε

(cid:71) ε

T

(cid:71) 0

′ (cid:71) 0

Y Y − (cid:71) 0

(1, )|| ⋅ 2 L

|| L

T (0, )

T (0, )

.T

trong đó, TC là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào

Chứng minh định lý 5.1.

*

K K ,

≥

0;

0

(cid:71) ε

(cid:71) ε≤

Trước tiên, ta chú ý rằng, nếu các tham số bé

> thỏa

, thì

1

λ λ , 1

của bài toán (

các đánh giá tiên nghiệm của dãy xấp xỉ Galerkin {

}mu

(cid:71)(cid:4) thỏa )Pε

2 ( )||

2 t ( )||

2 ( )||

mx

m

2 m

2 m

t

t

+ + + + || || u K u s || t (0, ) t (1, ) ′ u t m μ 0 K u 0 K u 1

2 ( )||

2 (1, )|

T

∫

∫

0

0

+ + ≤ λ 2 || ds | u s ds C , ∀ ∈ t [0, T ], ′ u s m ′ m λ 1

2 ( )||

2 t ( )||

2 ( )||

2 t (0, )|

2 t (1, )|

t

t

+ + + + || || u K u s || ′′ u t m ′ mx ′ m ′ m ′ m μ 0 K u | 0 K u | 1

2 ( )||

2 (1, )|

T

∫

∫

0

0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ + + λ 2 || ds | u t ds C , [0, T ], ≤ t ∀ ∈ ′′ u s m ′′ m λ 1 ⎪ ⎪⎪⎪⎩

khi cho

Do đó, giới hạn u của dãy hàm {

hàm thích hợp là nghiệm yếu của bài toán (

(cid:71)(cid:4) và thỏa )Pε

39

, m → +∞ trong các không gian }mu

2 ( )||

2 ( )||

2 ( )||

(cid:71) ε

2 (cid:71) ε

2 (cid:71) ε

t

t

+ + + + || || K u s || t (0, ) t (1, ) ′ u t (cid:71) ε u t (cid:71) ε x μ 0 K u 0 K u 1

2 ( )||

2 (1, )|

T

∫

∫

0

0

(5.3)

+ + ≤ λ 2 || ds | u s ds C , ∀ ∈ t [0, T ], ′ u s (cid:71) ε ′ (cid:71) ε λ 1

2 ( )||

2 ( )||

2 t (0, )|

2 t (1, )|

t

t

+ + + + || || K u s || ′′ 2 ( )|| u t (cid:71) ε ′ u t (cid:71) x ε ′ (cid:71) ε ′ (cid:71) ε ′ (cid:71) ε μ 0 K u | 0 K u | 1

T

∫

∫

0

0

(cid:71) .ε

trong đó, hằng số TC độc lập với

Từ (5.3) ta suy ra rằng

T

T

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ + λ 2 || u ds | u t ds C , [0, T ], + ≤ t ∀ ∈ ′′ 2 s ( )|| (cid:71) ε ′′ 2 (1, )| (cid:71) ε λ 1 ⎪ ⎪⎪⎪⎩

2 ( )||

2 ( )||

T

(0,

)

2 || 2 L

2 ; T L

∫

∫

0

0

(5.4)

T

T

λ u || λ ds λ || , = = ds C ≤ ′ (cid:71) ε ′ u s (cid:71) ε ′ u s (cid:71) ε

T

(0,

2 T L ;

)

∫

∫

0

0

và

T

T

=

=

≤

u

u

2 s ds (1, )|

|

u

2 (1, )|

s ds C

,

|

′ (cid:71) ε

′ (cid:71) ε

′ (cid:71) ε

T

λ 1

λ 1

λ 1

2 (1,.)|| 2 L

T

(0,

)

∫

∫

0

0

(5.5)

T

T

u

u

|

u

s ds C

,

|

=

=

≤

′′ 2 (1, )| s ds (cid:71) ε

′′ 2 (1, )| (cid:71) ε

T

λ 1

λ 1

λ 1

′′ 2 (1,.)|| (cid:71) 2 ε L

T

(0,

)

∫

∫

0

0

⎧⎪⎪ || ⎪⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪ || ⎪⎪⎪⎩

do đó

≤

≤

C K u

||

,

C

,

1,

∞

(cid:71) ε

T

1

(cid:71) ε

T

(

)

(1,.)|| W

T (0, )

|| ∞ 1, W Q T

(5.6)

≤

≤

u

C

,

||

u

C

.

λ

1

T

λ 1

T

′ (cid:71) ε

′ (cid:71) ε

)

2 (1,.)|| H

(0,

T

)

2 || 1 H Q ( T

⎧⎪ K u || ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪ || ⎪⎪⎩

=

≥

K (

,

,

K

,

)

0;

là dãy sao cho

0 >

Xét dãy

(cid:71) { }, ε m

(cid:71) ε m

λ m

m

K K , m

1 m

λ 1 m

1 m

λ λ , 1 m m

.

khi

m → ∞ Ta suy ra từ (5.3) và (5.6) rằng tồn tại một dãy con của dãy

và

λ u || λ ds λ || , = = ds C ≤ ′′ 2 ( )|| u s (cid:71) ε ′′ 2 ( )|| u s (cid:71) ε ′′ 2 || (cid:71) 2 ε L ⎧⎪⎪ || ⎪⎪⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎪ || ⎪⎪⎪⎩

(cid:71) mε (cid:71) 0 , +→

mà vẫn kí hiệu là {

sao cho

uε

(cid:71) m

(cid:71) m

1

u

u

∞ L

} } { uε

trong

yếu *,

(5.7)

ε →(cid:71)

m

1

u

∞ L

(0, ; T H )

trong

yếu *,

(5.8)

′→(cid:71) ′ u ε m

u

(0,

)

∞ L

2 T L ;

trong

yếu *,

(5.9)

(0, ; T H )

40

′′→(cid:71) ′′ u ε m

u

u

)

W

T∞ 1, (0,

trong

yếu *,

(5.10)

(cid:71) ε m

→

(1,.)

(1,.)

2(0,

)

u

u

H

trong

T yếu,

(5.11)

(cid:71) ε m

W Q∞ 1, (

trong

yếu*,

(5.12)

(0,.) → (0,.)

)T

mmK uε

(cid:71)

(1,.)

)

W

T∞ 1, (0,

trong

yếu*,

(5.13)

1

χ→ 1

mmK uε

′ →(cid:71)

1(

trong

(5.14)

m uελ

χ 2

χ→(cid:71) 1

m

(1,.)

→

1(0,

)

)TH Q yếu,

trong

(5.15)

λ 1

χ 2

′ muε (cid:71) m

Theo bổ đề về tính compact của Lions ([3], tr.57) và ta có các phép nhúng

1(0,

0([0,

])

H T yếu.

1(

)TH Q ↪

2( )TL Q ,

}

}

(5.15) rằng tồn tại dãy con của {

vẫn ký hiệu là {

sao cho

H C T là compact nên suy ra từ (5.7) – (5.11) và T ↪ )

(cid:71) m

(cid:71) m

uε uε

mạnh trong

. .a e trên

(5.16)

2( )TL Q và

,TQ

ε →(cid:71)

m

u u

mạnh trong

. .a e trên

(5.17)

2( )TL Q và

,TQ

′→(cid:71) ′ u ε m

→

(0,.)

(0,.)

0([0,

u

C

u

mạnh trong

T , ])

(5.18)

(cid:71) ε m

(1,.)

→

(1,.)

u

1([0,

C

mạnh trong

T . ])

(5.19)

(cid:71) ε m

Từ (5.16) - (5.19) ta suy ra rằng

0

mạnh trong

(5.20)

2( )TL Q ,

mmK uε →(cid:71)

0

mạnh trong

(5.21)

m uελ ′ →(cid:71)

2( )TL Q ,

m

(cid:71)

(1,.)

→

0

1([0,

u u

mạnh trong

(5.22)

1

mmK uε

(1,.)

→

0

0([0,

C T , ])

mạnh trong

(5.23)

λ 1

′ m uε (cid:71) m

Tổng hợp (5.12) - (5.15), (5.20) – (5.23) dẫn đến

≡

0,

≡

0,

≡

0,

≡

0.

χ 1

χ 1

χ 2

χ 2

Mặt khác, từ (5.18) ta có

t

=

+

+

−

(0, )

g t ( )

t (0, )

k t (

s u )

s ds

K u 0

∫

Y t ( ) (cid:71) ε m

(cid:71) ε m

(cid:71) ε m

0

41

C T . ])

t

0([0,

+

−

g t ( ) → +

t (0, )

k t (

s u ) (0, )

s ds Y t ( ) ≡

mạnh trong

K u 0

∫

0

Bằng cách qua giới hạn giống như khi chứng minh định lý 3.1, ta suy ra u là

(cid:71) ε =

(cid:71) 0

nghiệm yếu bài toán

và thỏa (5.1). Hơn nữa, do tính duy nhất của

)P(cid:71)(cid:4) ứng với (

0

u

nghiệm yếu, nên chúng ta có

u= (cid:71) . 0

(cid:71)

C T . ])

Đặt

, thì u là nghiệm bài toán của bài toán biên phân sau

0

〉 +

μ

( ) (0)

,

+

+

λ

〉

u u u ε= − (cid:71)

′ t v (1, )] (1)

′ u v ,

⎧ ′′ ⎪〈 u v ,

x

1

1

+

−〈

+

λ

〉 ∀ ∈ ,

,

t u v Y t v 〉 + 〈 ( ) K u t [ (1, ) Ku + 〈 + u λ 1

(cid:71) 0

′ (cid:71) 0

′ u v , (cid:71) 0

(cid:71) 0

(5.24)

=

(0)

0,

(0)

′= u

t (1, ) t v (1, )] (1) Ku v H K u = − [ 1 u λ 1

t

=

=

+

−

( )

u

(cid:71) ε

(cid:71) 0

∫

0

⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ Y t ( ) ⎪⎪⎪⎩ trong đó

2

0

1

1

2

(

)

(0,

)

(0,

)

(0,

),

∩

∩

∩

Y t Y t − ( ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds , K u 0

2 T L ;

∞ L

(5.25)

0

1

∩

∈

(0,

)

(0,

),

(0,

).

C T H ; C T H ;

2 T L ;

∞ L

∞ L

2 T L ;

tt

tt

⎧⎪ ∈ u H Q ⎪⎪ T ⎨ ⎪⎪ ∈ u ⎪⎩

,

C T H ; u

Trong (5.26)1 ta thay

t

t

t

2

η ( ) t

=

μ′

2 ( )||

+

k t (

−

s u ) (0, )

s ds

−

u

(0, )

s ds

s u s ds ( )|| x

∫ 2 (0, ) t u

∫ 2 (0) k

∫

0

0

0

t

s

t

t

v u′= sau đó lấy tích phân theo biến thời gian ,t ta được

∫

∫

∫

∫

0

0

0

0

t

8

− 2 u (0, ) s ds ′ ( k s − r u ) (0, ) r dr − ′ 〉 − 〈 λ 2 ′ 〉 〈 u u ds , K u u ds 2 , (cid:71) 0 ′ (cid:71) 0

(5.26)

(cid:71) 0

∫

i

= 1

t ∫ K u 2 1 0

0

trong đó

t

2

2

− ′ (1, ) (1, ) s u s ds − u ′ (1, ) (1, ) s u s ds J λ 2 1 ≡ ∑ ,i ′ (cid:71) 0

2 ( )||

x

0

t

η ( ) = || t ′ 2 ( )|| u t + μ t u t ( )|| + t (0, ) + t (1, ) u | ′ 2 (1, )| s ds K u 0 K u 1 + ∫ 2 λ 1

2 || ( )||

(5.27)

0

Chú ý rằng từ (5.27) và bổ đề 2.1 ta dễ dàng suy ra rằng

42

+ K u s || ′ 2 ( )|| u s ds . + ∫ λ 2

t

2 ( )||

∫

0

t

t

+ + ≥ || ′ 2 u t ( )|| || | u ′ 2 (1, )| s ds , ⎧⎪⎪ η t ( ) μ 0 λ 2 1 u t x

2 ||

2 ⎪ || ( )|| u t

∫ ||

∫

0

0

(5.28)

t

= ≤ ′ ( ) u s ds t η s ds ( ) ,

2 u t || ( )||

2 ( )||

1

∫

1 μ 0

0

t

t

2

= + ≤ + || η ( ) t t η ( ) s ds , u t x

1

1 2

2 u s || ( )|| H

∫ )

∫

0

0

Sử dụng các bất đẳng thức ở (5.28) ta lần lượt đánh giá các tích phân ở (5.26) như sau

Đánh giá

1.J

t

t

t

J

|

μ

′ ( )|.|| s

2 u s ds ( )||

||

μ

η s ds ( )

η ( ) s ds ,

≤

≤

≤

(5.29)

∞

x

η T

1

′ || L

T (0, )

∫

∫

∫

1 μ 0

0

0

0

.T

trong đó, Tη là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào

Đánh giá

2.J

t

J

k t | (

s

ds

≤

−

1

1

2

u t 4|| ( )|| H

u s )|.|| ( )|| H

∫

0

t

2

k t | (

s

ds

≤

| β

+

−

1

1

( .

)

4 β

2 u t | ( )|| H

u s )|.|| ( )|| H

∫

0

t

T

2

ds T η ( ) s ds . ≤ + ( 1 μ 0 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪ 2 || ( )|| u t ⎪⎪⎪⎪⎪ H ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩

1

1

4 β

2 u t || ( )|| H

2 u s || ( )|| H

∫

∫

0

0

t

≤ β + k θ θ ( ) d ds

1

1

4 β

(0,

)

2 u t || ( )|| H

2 k || || 2 L

T

2 u s || ( )|| H

∫

0

t

≤

+

+

+

( ) t η

T β

(

2 T k

( ) s ds η

1 2

4 β

2 )|| || 2 L

T (0, )

β μ 0

1 μ 0

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎦ ∫ ⎥

0

t

β

≤

+

∀ > β

t ( )

( ) s ds , η

0.

(5.30)

μ η

∫ ( ) η β T

0

0

Đánh giá

3.J

t

t

2

≤

≤

J

u

(0, )

s ds

ds

∞

1

3

k 4|| || L

(0, ) T

2 u s || ( )|| H

∫ 2| (0)| k

∫

0

0

43

≤ β + ds

t

t

2

≤

+

≤

(

T

( ) s ds η

( ) s ds η

.

(5.31)

∞

1 2

η T

k 4|| || L

T

(0,

)

∫ )

∫

1 μ 0

0

0

Đánh giá

4.J

r

t

≤

−

J

u r

dr

′ | ( k r

s

ds

1

1

4

u s )|.|| ( )|| H

∫

∫ 4 || ( )|| H

0

0

s

t

2

1

1

( .

)

∫

∫

0

0

t

s

s

t

≤ + − 2 ′ | ( k s r u r )|.|| ( )| dr ds | H ⎡ 2 || ( )|| u s ⎢⎣ H ⎤ ⎥ ⎦

2 r dr )|

1

1

2 u s || ( )|| H

2 u r || ( )|| H

∫ ∫

∫

∫

0

0

0

0

t

t

≤

+

ds

T k 4 ||

ds

1

1

2 u s || ( )|| H

′ 2 || 2 L

T

2 u s || ( )|| H

(0,

)

∫

∫

0

0

t

T k 4 ||

ds

1

′ 2 || 2 L

(0, ) T

2 u s || ( )|| H

≤ ds + 4 ′ | ( k s − dr ds

( 1 ≤ +

)

∫

0

t

t

2

+

≤

T k 4 ||

(

T

( ) s ds η

( ) s ds η

.

(5.32)

1 2

η T

′ 2 || 2 L

T (0, )

( 1 ≤ +

)

∫ )

∫

1 μ 0

0

0

Đánh giá

5.J

t

t

= −

′ 〉 ≤

〈

J

K 2

||

( )||.||

′ ( )|| u s ds

5

K u u ds 2 , (cid:71) 0

u s (cid:71) 0

∫

∫

0

0

t

t

t

2

2

≤

+

≤

+

K

||

2 u s ds ( )||

||

u s ds K TC

′ 2 ( )||

( ) s ds η

.

(5.33)

T

(cid:71) 0

∫

∫

∫

0

0

0

Đánh giá

6.J

t

t

= −

J

2 λ

′ u u ds 〉 ≤ 〈

,

2 λ

||

( )||.||

′ ( )|| u s ds

6

′ (cid:71) 0

′ u s (cid:71) 0

∫

∫

0

0

t

t

t

2

λ

λ

≤

+

≤

+

||

2 u s ds ( )||

||

′ 2 ( )|| u s ds

2 TC

s ds ( ) η

.

(5.34)

T

′ (cid:71) 0

∫

∫

∫

0

0

0

Đánh giá

7.J

t

= −

=

−

J

′ (1, ) (1, )

s u

s ds

t u t (1, ) (1, )

(1, ) (1, )

s u s ds

u

7

(cid:71) 0

(cid:71) 0

′ (cid:71) 0

∫

⎡ K u 2 ⎢ ⎣ 1

⎤ ⎥ ⎦

t ∫ K u 2 1 0

0

44

t

≤

+

||

ds

1

1

1

1

1

(cid:71) 0

′ u s (cid:71) 0

( )|| H

u t || ( )|| H

( )|| H

u s || ( )|| H

∫

⎤ ⎥ ⎦

⎡ K u t || 4 ⎢ ⎣

0

t

∞

1

1

∞

1

1

4 β

2 K u || 1

2 TK u 4 1

(cid:71) 0

2 || L

2 + || ( )|| H

2 || L

2 u s || ( )|| H

(0,

T H ;

)

(0,

T H ;

)

∫

0

t

≤ + + β u t || ds ′ (cid:71) 0

∞

1

∞

1

1

1

4 β

2 1

(cid:71) 0

2 || L

2 || L

2 ] + || ( )|| H

2 u s || ( )|| H

(0,

T H ;

)

(0,

T H ;

)

∫

0

t

2

≤ + + K [ || u T u 4 || u t β ds ′ (cid:71) 0

∞

1

∞

1

4 β

1 2

2 1

(cid:71) 0

2 || L

2 || L

T

)

(0,

T H ;

)

(0,

H ;

∫ )

β t ] + ( ) μ 0

0

t

η

≤

+

∀ > β

( ) s ds η

,

0.

(5.35)

T

2 K C 1

∫ ( ) η β T

β ( ) + ( ) t β μ 0

0

Đánh giá

8.J

t

t

t

= −

≤

+

J

u

′ (1, ) (1, )

s u

s ds

|

u

2 s ds (1, )|

|

u

′ 2 (1, )| s ds

7

2 λ 1

λ 1

λ 1

′ (cid:71) 0

′ (cid:71) 0

∫

∫

∫

0

0

0

t

t

≤

+

≤

+

||

ds

( ) t η

||

u

( ) t η

1

∞

1

1 2

1 2

2 λ 1

2 λ 1

′ u s (cid:71) 0

′ (cid:71) 0

2 ( )|| H

2 || L

ds )

(0,

T H ;

∫

∫

0

0

≤ + K [ || u T u 4 || η T + β T η s ds ( ) ′ (cid:71) 0 + + ( 1 μ 0

(5.36)

∞

1

1 2

1 2

T

2 || L

(0,

T H ;

Tổng hợp (5.26) và (5.29) – (5.36) ta được

≤ + ≤ + u η ( ) t η ( ). t λ 2 || 1 λ TC 2 1 ′ (cid:71) 0 T )

T

T

T

T

1

1*

β 2 μ 0

t

η ( ) t η ) ( ) t + + + K K C β ( ) + TC 2 ≤ + ( 1 2 KK TC * λλ TC * λ 1

∫ ( )]

0

t

2

β

(cid:71) β ε

+

t ) ( )

( ) s ds η

,

(5.37)

( ≤ + 1 2

μ η

1 2

D T 1

D T 1

∫ ( , )|| || + ( , ) β

0

0

ở đây

=

+

+

+

β ( , )

2 )

2 )

2 β ( )]

(2

TC

2 ) ,

1 2

D T 1

K TC ( *

λ TC ( *

K C [ 1*

T

T

T

T

(5.38)

+

β ( , )

= + [2

3

( )].

η T

η β T

⎧⎪ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪ D T ⎪⎪⎩ 2

2

(

)β

Trong (5.37), chọn

β > thỏa 0

≤ và sử dụng bổ đề Gronwall, ta thu được

1 2

1 2

μ+

0

η ( ) t

≤

(cid:71) ( , )|| ||exp(2 β ε

β ( , )).

(5.39)

D T 1

D T 2

Điều này, dẫn đến

45

+ + [2 3 + η ( ) s ds η T η β T

||

||

(1, )

u

−

u

+

u

⋅ −

u

≤

(cid:71) || ||, ε

(5.40)

|| W T (

)

λ 1

ˆ C T

(cid:71) ε

′ (cid:71) ε

(cid:71) 0

′ (cid:71) 0

(0,

)

(1, )|| ⋅ 2 L

T

( , ) exp(

=

β

( , )) β

.T

trong đó,

ˆ TC

D T 1

D T 2

là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào

Mặt khác, từ (5.24)3, (5.28) và (5.39) ta suy ra rằng

t

≤

+

−

∫

0

t

t

1/2

1/2

≤

−

+

| ( )| | (0, )| Y t t | ( k t ) (0, )| s u s ds K u 0

2 )| s ds

2 | (0, )| s ds u

1

)

( .

)

( .

∫

∫

0

0

t

t

1/2

1/2

≤

+

θ

| ( k t 2 K u t 0 || ( )|| H

2 | ( )| k θ

1

1

( .

)

( .

)

2 || ( )|| u s H

∫

∫

0

0

≤

(cid:71) || ||. ε

(cid:4) TC

Do đó

≤

2 d ds 2 K u t 0 || ( )|| H

(cid:71) || ||, ε

∞

(cid:4) C T

(cid:71) ε

(0,

)

T

|| Y Y − (cid:71) 0 || L

trong đó, TC(cid:4) là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào

đủ(cid:31)

.T Định lý 5.1 được chứng minh đầy

, ,

5.2. Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo 4 tham số bé

1

γ

=

(

,

,

)

Trong mục này, chúng tôi sẽ dùng các ký hiệu sau, với đa chỉ số

, γ γ γ γ 2

1

3

4

4 ,+∈ (cid:93) ta đặt

γ

γ

γ

,

γ

!

!

!

!,

=

2

1

3

4

γ γ γ γ ! 2

3

1

4

(5.41)

γ

γ

γ

γ

γ 1

3

2

4

λ

,

α β ,

,

β

α

,

1, 4.

K

K

∈

(cid:93)

≤ ⇔ ≤

i ∀ =

λ 1

1

4 +

β i

α i

⎧⎪ = + + + | | γ γ ⎪⎪⎪⎨ (cid:71) ⎪⎪ = ε ⎪⎪⎩

K K λ λ ; 1

0

0

(cid:71) ε =

Giả sử (cid:71) 0,

nghĩa là

u (cid:71) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán )P(cid:71)(cid:4) (như trong định lý 5.1) ứng với (

(cid:71) 0

] f x t ( , ), 0 1, 0 t T , ⎧⎪ L u [ x < < < < F = ≡ (cid:71) 0

(cid:71) 0

(cid:71) 0

0

1

0

1

2

1

2 T L ;

∞ L

∞ L

(cid:71) 0

∞

1,

2

∞ L

] g t ( ), ] 0, ( , 0) ( ), ( , 0) ( ), = = = = L u [ 1 (cid:4) u x 0 (cid:4) u x 1 u x (cid:71) 0 ′ u x (cid:71) 0 )P(cid:71)(cid:4) ( C (0, ) C (0, T H ; ) (0, T H ; ), (0, T H ; ), u u ∈ ∩ ∩ ∈ ′ (cid:71) 0

2 T L ;

(cid:71) 0

(cid:71) 0

(cid:71) 0

46

(0, ), (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). u u ′′ ∈ ⋅ ∈ ⋅ ∈ ⎪⎪⎪⎪⎪ L u [ ⎪⎪⎪ 0 ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

4

Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu

được xác định bởi các

bài toán sau

=

< <

]

F x t

( , ), 0

< < x

1, 0

t T

,

⎧⎪ L u [

γ

γ

=

=

=

=

]

]

0,

( , 0)

0,

( , 0)

0,

L u [ 1

L u [ 0

γ

γ

u x γ

u x t γ

)Pγ (

1

0

1

2

1

∩

∩

∈

C

(0,

2 T L ;

)

C

(0,

T H ;

)

∞ L

(0,

T H ;

),

∞ L

(0,

T H ;

),

u

′ γ

⎪ ⎪ ∈ u γ

∞

1,

2

⋅ ∈

⋅ ∈

⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈

∞ L

(0,

2 T L ;

),

(0, )

W

(0,

T u ),

(1, )

H

(0,

T

).

u

γ

γ

γ

u ⎪⎪⎩

, 1

| |

N

,

trong đó

γ≤ ≤ được xác định lần lượt bằng các công thức truy hồi sau

F Z , γ

γ

đây

γ

0, 1

≤ ≤ | | γ

N

,

⎧⎪ 0,

1

= = γ 2

≥

=

γ

1,

γ

0, 1

≤ ≤ | | γ

N

,

u

,

−

1

2

1,0,

γ 1

γ γ , 3

4

(5.42)

F γ

=

≥

γ

0,

γ

1, 1

≤ ≤ | | γ

N

,

⎪ ′− u

,

−

1

2

0,

1,

γ

2

γ γ , 3

4

⎪⎪⎪⎪⎪− ⎪⎪⎪= ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪

−

≥

≥

u

,

γ

1,

γ

1, 2

≤ ≤ | | γ

N

,

−

−

1,

,

1,

1

2

γ 1

γ γ γ , 3

2

4

′ γ γ , 1

γ γ , 3

4

2

− u ⎪⎪⎩

và

γ

0, 1

≤ ≤ | | γ

N

,

⎧⎪ 0,

3

= = γ 4

≥

=

γ

1,

γ

0, 1

≤ ≤ | | γ

N

,

u

t (1, ),

−

3

4

,

1,0

γ γ γ , 2

1

3

Z

(5.43)

γ

=

≥

γ

0,

γ

1, 1

≤ ≤ | | γ

N

,

t (1, ),

3

4

,0,

1 −

γ

γ γ , 1

2

4

⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪= ⎨ ⎪ ′ u ⎪⎪⎪⎪⎪⎪

≥

≥

′+ u

t (1, )

t (1, ),

1,

γ

γ

1, 2

≤ ≤ | | γ

N

.

−

,

1 −

1,

3

,

,

4

γ

1

γ γ γ , 2

γ γ γ γ , 2

3

4

4

3

1

Khi đó

Giả sử u

u ⎪⎪⎩ uε= (cid:71) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (

(cid:71)(cid:4) ).Pε

v

(cid:71) u γ ε

,

(5.44)

γ

= − ∑ u

≤

|

|

N

γ

thỏa bài toán sau

′

+

∈

∈

⎧ ⎪ L v [ ]

= − − Kv

E

x

(0,1),

t

(0,

T

),

u , 1 ≤ ≤ | | γ N (cid:93) +∈ , γ γ

(cid:71) ε ( ),

=

=

=

=

0,

E

v x ( , 0)

′ ( , 0) v x

0,

N (cid:71) ε ( ),

L v [ ] 0

L v [ ] 1

N

(5.45)

1

0

1

2

1

′

∩

∩

∈

⎪ ⎪ ∈ v C

(0,

2 T L ;

)

C

(0,

T H ;

)

∞ L

(0,

T H ;

),

v

∞ L

(0,

T H ;

),

∞

1,

2

⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈

⋅ ∈

⋅ ∈

∞ L

(0,

2 T L ;

),

(0, )

W

(0,

T u ),

(1, )

H

(0,

T

).

u

γ

γ

v ⎪⎪⎩

trong đó

47

λ v

γ

Ku (

u

,

⎧⎪ E

+

N

γ

′ γ

∑

= − |

|=

N

γ

(5.46)

γ

=

+

t (1, )

.

(cid:71) ε ( ) λ (cid:71) ε )

K u ( 1

N

γ

′ γ

∑

|

|=

N

γ

⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪ ⎪ E ⎪⎪⎪⎩

Khi đó, ta có bổ đề sau

(cid:71) ε ( ) (cid:71) ε (1, )) t λ u 1

Bổ đề 5.1. Cho N ∈ (cid:96) và các giả thiết (H1) – (H4) thỏa. Khi đó

1 +

||

E

≤

C

,N

i)

∞

N

N 1

(0,

2 T L ;

)

t

t

≤

+

2

E

s ds

ds

(cid:71) ε || || (cid:71) ε ( )|| L

ii)

1

1

N

2 v t || ( )|| H

2 v s || ( )|| H

∫

∫

0

0

t

1 +

N

′

+

+

2 v | (1, )|

s ds C

,

0,

(cid:71) ′ ε ( ) (1, ) v β

2

N

∫

0

*,

C

,

( )

(cid:71) 2 β ε ( )|| || β ∀ > λ 1

trong đó

C β là các hằng số dương chỉ phụ thuộc vào các

với mọi

N 1

2

N

.N

||

u

, ||

u

||

hằng số

(cid:71) ε (cid:71) ε≤

∞

∞

1

1

γ

′ γ

|| L

(0,

T H ;

)

L

(0,

T H ;

, )

γ ≤ | |

Chứng minh.

1

, 1

N

∞ L

(0,

T H ;

)

∈

trong

ta thu

i) Sử dụng tính bị chặn các hàm

4 +

u u , γ

′ γ γ ,

*

||

(cid:93) γ | | ≤ ≤

.

được đánh giá từ (5.46)1 như sau, với chú ý

γ

γ

E

K u ( |

|

|

u

|)|

|

K u ( ||

||

u

|,

≤

+

≤

+

(cid:71) ε || || (cid:71) ε≤ ||

1

1

N

γ

′ γ

γ

′ γ

∑

∑

|| H

|| )| H

=

=

|

|

|

|

N

N

γ

γ

hay

γ

γ

E

(||

u

||

u

)||

||.|

|.

≤

+

(cid:71) ε ( ) λ (cid:71) ε λ (cid:71) ε

(5.47)

∞

1

∞

1

∞

N

γ

′ γ

∑

=

|

|

N

γ

(0,

)

(0,

)

|| L

; T H

|| L

; T H

(0,

)

L

2 ; T L

Áp dụng bất đẳng thức Holder

4

4

α 1

α 3

α 4

≤

x

,

0,

0,

=

1,

α x x x x 2 2

3

1

4

α i

i

∀ ≥ α i

∀ ≥ α i

α i

∑

∑

i

i

1 =

1 =

γ

γ

γ

2

x

=

2 K x ,

=

,

x

=

=

=

,

=

,

=

,

(cid:71) ε ( ) (cid:71) ε (cid:71) ε

= ta được

với

γ 1 N

2 N

3 N

4 N

1

2

3

2 K x , 1

4

2 λ α , 1 1

γ

γ

N 2

2

2

2

2

γ

γ

γ

2

γ 1

3

4

γ 1 N

γ 2 N

3 N

4 N

(cid:71) γε

|

|

=

|

K

λ

K

|

=

K

λ

K

1

λ 1

λ 1

1

N

γ

γ

γ

2

2

λ α 2 α 3 α 4

γ 1 N

2 N

3 N

4 N

2 1

2 λ 1

(

) 2

N

2

≤

2 + + λ

K

+

(cid:71) N || || , ε

=

∀ ∈ γ

(cid:93)

,

γ | |

=

N

.

(5.48)

( K

) 2

2 1

2 λ 1

4 +

48

≤ K + λ + K +

+ 1

Do đó (5.47) được viết lại dưới dạng (cid:71) (cid:71) N || || ( ) ε ε

≤

C

E

,

∀ ∈ γ

,

γ | |

=

N

,

(cid:93)

(5.49)

∞

N

N 1

4 +

L

(0,

2 T L ;

)

C

(||

u

||

u

).

=

+

trong đó

∞

1

∞

1

N 1

γ

′ γ

∑

|

γ

|

N

=

|| L

(0,

T H ;

)

|| L

(0,

T H ;

)

ii) Từ (5.46)2 ta có

t

t

2

(cid:71) ′ ( ) (1, ) ε v

s ds

E

u

′ (1, ) (1, )

s v

(cid:71) s ds γ ε

1

γ

N

= ∑ K 2

∫

∫

=

|

|

γ

N

0

0

t

u

′ (1, ) (1, )

s v

(cid:71) s ds γ ε

′ γ

+ ∑ ∫ λ 2 1

|

|

γ

N

=

0

(cid:71) ( ) ε

=

E

+

E

(cid:71) ( ). ε

(5.50)

N 1

2

N

1

, 1

N

∞ L

(0,

T H ;

)

∈

(cid:93)

| | γ ≤ ≤

Cũng từ tính bị chặn các hàm

trong

ta sẽ

u u , γ

′ γ γ ,

4 +

đánh giá các số hạng bên vế phải của (5.50) như sau

Bằng cách sử dụng tích phân từng phần và (5.48) ta có

Số hạng thứ nhất

(cid:71) 1 ( ). NE ε

t

γ

1

1

γ

N

∑

∫

|

|

=

γ

N

0

t

γ

= − (cid:71) ( ) ε E K 2 t (1, ) (1, ) t v u s v (1, ) (1, ) s ds (cid:71) ε ′ γ ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ u ⎢ ⎣

N ||

1

1

1

1

1

∑

∫

N

|

=

| γ

0

2

N

2 +

γ

≤ + K 4 || (cid:71) ε || ds u t γ ′ u s γ ( )|| H v t || ( )|| H ( )|| H v s || ( )|| H ⎡ || ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦

2 ||

1

1

∞

( .

) .

4 β

γ

∑

2 v t || ( )|| H

(0,

T H ;

)

N

|

| γ

=

t

2

N

γ

2 +

≤ + (cid:71) ε || || u β || L

2 |

∞

1

)1 .

( .

∑

2 v s ( )|| H

(0,

T H ;

)

∫

γ

=

N

|

|

0

t

N

γ

+ 2

β

(cid:71) ( )|| β ε

≤

C

2 ||

+

ds

,

(5.51)

1

1

N

2

2 v t || ( )|| H

2 v s || ( )|| H

+ ∫

0

trong đó

2

2

C

( ) β

||

u

T 4

||

u

|

.

=

+

1

1

∞

∞

) .

( .

) .

( .

4 β

2

γ

′ γ

N

∑

∑

(0,

)

(0,

)

|| L

T H ;

| L

T H ;

|

|

|

|

γ

γ

=

=

N

N

Số hạng thứ hai

Bằng cách sử dụng (5.48) và bất đẳng thức Cauchy ta cũng

(cid:71) 2 ( ). NE ε

thu được đánh giá

49

+ | u || ds + T 4 || | (cid:71) ε | ′ γ || L

t

t

γ

γ

2

N

∑

∑

∫

∫

|

|

|

|

γ

γ

N

N

=

=

0

0

t

(cid:71) ( ) ε E u ′ (1, ) (1, ) s v s ds (cid:71) ε | u ′ (1, ) (1, )| s v s ds (cid:71) ε | | = ≤ λ 2 1 λ 2 1 ′ γ ′ γ

∞

1

(0,

)

T H ;

∑ ∫

=

|

|

γ

N

0

t

′ || u v | (1, )| s ds ≤ (cid:71) N λ ε 2 2 || || 1 ′ γ || L

∞

1

(0,

)

T H ;

∑ ∫

=

|

|

γ

N

0

t

2

1 +

N

′ || v | (1, )| s ds ≤ (cid:71) N λ ε 2 2 || || 1 ′ u s γ ( )|| L

2 T 2 || ||

(5.52)

∞

( .

)1 .

∑

(0,

)

T H ;

∫

=

γ

|

|

N

0

Tổ hợp (5.50), (5.51) và (5.52), ta được

t

t

′ v | (1, )| s ds (cid:71) ε || . ≤ + ′ uγ λ 1 || L

1

1

N

2 v t || ( )|| H

2 v s || ( )|| H

∫

∫

0

0

t

1 +

N

(cid:71) ′ ( ) (1, ) ε v s ds E 2 ≤ β + ds

2 v | (1, )|

(5.53)

2

N

∫

0

trong đó

2

′ s ds C (cid:71) 2 β ε ( )|| || , + + λ 1

∞

( .

)1 .

2

2

N

N

∑

(0,

)

; T H

γ

=

|

|

N

Hoàn tất chứng minh Bổ đề 5.2(cid:31)

Kế tiếp, ta có định lý sau

4

*

+ C β ( ) = 2 T || u C . β ε ( ) * ′ γ || L

thì

. (cid:71) ε (cid:71) ε (cid:71) ε≤ (cid:92) thỏa

Định lý 5.2. Cho

+∈

N ∈ (cid:96) Giả sử (H1) – (H4) thỏa. Với mọi

thỏa đánh giá tiệm cận tới cấp

bài toán (

(cid:71)(cid:4) có duy nhất nghiệm yếu u )Pε

1

2N + như sau

γ

γ

( )W T∈ uε= (cid:71)

)

γ

∑

∑

|

|

N

|

|

N

γ

γ

≤

≤

(0,

T

)

(5.57)

+

γ

1 2

− + ⋅ − u u (cid:71) ε u u || || ′ (1, ) (cid:71) (1, ) ⋅ ε || W T ( λ 1 ′ γ || 2 L

∞

∑

|

|

N

γ

≤

(0,

T

)

4

*

+ − ≤ Y (cid:71) ε || (cid:71) N || || ε , (cid:4) * C N Y γ || L

+∈ (cid:93) 1 ,

NC(cid:4) là hằng số độc

với uγ là nghiệm yếu của bài toán

γ ), | | Nγ≤ ≤ và ( Pγ

lập với

(cid:71) .ε

Chứng minh.

,v′ sau đó lấy tích phân theo biến thời gian ,t sau

Lấy tích vô hướng của (5.45)1 với

một số biến đổi ta dễ dàng thu được kế quả sau

50

t

t

t

2

σ

μ′

t ( )

s v s ds ( )||

2 ( )||

k t (

s v ) (0, )

s ds

v

(0, )

s ds

=

−

−

+

x

∫

∫ 2 (0, ) t v

∫ 2 (0) k

0

0

0

t

r

t

2

v

(0, )

r dr

′ ( k r

s v ) (0, )

s ds

2

(cid:71) ( ), ε

+

−

+

E 〈

′ ( ) v s ds 〉

N

∫

∫

∫

0

0

0

t

6

E

s ds

(5.55)

N

∫

i

= 1

0

trong đó,

t

2

− 2 , (cid:71) ′ v ( ) (1, ) ε σ i ≡ ∑

2 ( )||

2 || ( )||

2 t ( ) = || ( )||

t (0, )

K v s

ds

t v t ( )|| x

K v 0

0

t

2

′

t (1, )

2 s ds v | (1, )|

.

+

(5.56)

K v 1

+ ∫ 2 λ 1

0

Từ (5.56) và bổ đề 2.1 ta dễ dàng suy ra rằng

t

σ + μ + + ′ v t ′ 2 v s || ( )|| + ∫ 2 λ

2 ( )||

t ( )

2 s ds v | (1, )| ,

v t x

∫

0

t

t

′ ⎧⎪⎪ σ ≥ + + || ′ 2 v t || ( )|| μ 0 2 λ 1

2 ||

2 ⎪ v t || ( )||

t

s ds ( ) ,

∫ ||

∫

0

0

(5.57)

t

= ≤ σ ′ v s ds ( )

2 ( )||

2 v t || ( )||

t ( )

t

s ds ( ) ,

1

v t x

∫

1 μ 0

0

t

t

2

= + ≤ + σ σ ||

ds

T

s ds ( )

1

1 2

2 v s || ( )|| H

∫

∫ )

0

0

Sử dụng các bất đẳng thức trên ta lần lượt đánh giá các số hạng bên vế phải của (5.55)

như sau

t

t

t

σ . ≤ + ( 1 μ 0 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪ 2 v t || ( )|| ⎪⎪⎪⎪⎪ H ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩

s ds ( )

s ds ( )

(5.58)

∞

2 v s ds ( )|| x

T

(0,

)

∫

∫

∫

1 μ 0

0

0

0

t

≤ ≤ ≤ μ μ σ σ | || . ′ s ( )|.|| σ 1 σ T 1 ′ || L

k t | (

s

ds

1

1

v t 4|| ( )|| H

v s )|.|| ( )|| H

∫

0

t

2

≤ − σ 2

k t | (

s

ds

1

1

( .

)

4 β

2 v t | ( )|| H

v s )|.|| ( )|| H

∫

0

t

≤ + − | β

ds

1

1

4 β

(0,

)

2 v t || ( )|| H

2 k || || 2 L

T

2 v s || ( )|| H

∫

0

51

β≤ +

t

2

σ

σ

≤

t ( )

+

[

T β

+

(

+

T

s ds ( )

1 2

4 β

(0,

)

2 k || || 2 L

T

∫ )]

β μ 0

1 μ 0

0

t

β

σ

≤

t ( )

+

s ds ( )

.

(5.59)

μ σ

∫ ( ) σ β T 2

0

0

t

t

2

v

s ds

ds

∞

1

3

k 4|| || L

2 v s || ( )|| H

T (0, )

∫ k 2| (0)|

∫

0

0

t

t

2

σ

σ

σ

≤

(

+

T

s ds ( )

≤

s ds ( )

(5.60)

∞

1 2

3 T

k 4|| || L

(0, ) T

∫

∫ )

1 μ 0

0

0

r

t

σ

v r

dr

′ | ( k r

s

ds

≤

−

1

1

4

v s )|.|| ( )|| H

∫

∫ 4 || ( )|| H

0

0

s

t

2

2

′ | ( k s

r

dr

ds

≤

+

−

1

1

( .

)

v r )|.|| ( )| | H

∫

∫

⎡ 2 || ( )|| v s ⎢⎣ H

⎤ ⎥ ⎦

0

0

s

t

s

t

σ ≤ ≤ (0, )

ds

2 r dr )|

dr ds

1

1

2 v s || ( )|| H

2 v r || ( )|| H

∫

∫ ∫

∫

0

0

0

0

t

t

≤ + − 4 ′ k s | (

ds

T k 4 ||

ds

1

1

(0,

)

2 v s || ( )|| H

T

2 v s || ( )|| H

∫

∫

0

0

t

t

2

σ

σ

σ

T k 4 ||

(

T

s ds ( )

s ds ( )

+

≤

(5.61)

1 2

4 T

(0,

)

′ 2 || 2 L

T

≤ + ′ 2 || 2 L

( 1 ≤ +

)

∫

∫ )

1 μ 0

0

0

t

+ 2

N

′

σ

σ

E

(cid:71) ( )||.|| ( )|| ε

v s ds TC

(cid:71) 2 || || ε

s ds ( )

≤

≤

+

(5.62)

5

N

2 N

∫

t ∫ 2 || 0

0

t

E

s ds

N

6

∫

0

t

t

N

+ 1

= − σ 2 (cid:71) ′ v ( ) (1, ) ε

ds

2 v | (1, )|

s ds C

1

1

N

2

2 v t || ( )|| H

2 v s || ( )|| H

∫

∫

0

0

t

N

2

+ 1

′ ≤ + + + β (cid:71) 2 ( )|| || β ε λ 1

t ) ( ) σ

C

T β

T

s ds ( )

1 2

N

2

∫ ]

β μ 0

0

t

+ 1

N

β

+ + σ [ (cid:71) 2 ( )|| || β ε ≤ + ( 1 2 + + 1 μ 0

t ) ( )

C

s ds ( )

(5.63)

μ σ

2

N

∫ ( ) σ β 6 T

0

0

Tổ hợp (5.55), (5.58) - (5.63) ta được

52

+ + σ ∀ > β (cid:71) 2 ( )|| || β ε , 0. ( ≤ + 1 2

*

N

+ 1

2 ( )].|| || β

t ( )

t ) ( ) σ

TC [

C

2

2 1 N

N

2 β μ 0

t

(5.64)

σ + + (cid:71) ε (cid:71) || ε || ( ≤ + 1 2

s ds ( )

3 T

4 T

∫ ( ))

0

2

, (1 + + + + σ + σ + σ σ 1 T ( ) σ β 2 T σ β 6 T

Trong (5.64), chọn

1 2

1 2

μ+

0

N

+ 1

( )β 0 β > thỏa ≤ và sử dụng bổ đề Gronwall, ta thu được

t ( )

(5.65)

D T 1

D T 2

ở đây

*

σ ≤ (cid:71) 2 ( , )|| || β ε exp(2 ( , )), β

1 2

N

2 N 1

2

(5.66)

= + β ( , ) TC || || C β ( ), (cid:71) ε D T 1

T 3

T 4

Điều này, dẫn đến

+

1 2

+

⋅

≤

v || ||

v

C

(cid:71) N || || ε

,

* N

W T (

)

λ 1

′ || (1, )|| 2 L

T (0, )

hay

+

γ

γ

1 2

′

||

u

||

u

(1, )

(cid:71) ε

u

u

C

(cid:71) N || || ε

,

−

+

⋅ −

(cid:71) ε (1, ) ⋅

≤

(5.66)

* N

γ

′ γ

|| W T (

)

λ 1

∑

∑

≤

N

≤

N

γ

γ

|

|

|

|

|| 2 L

T (0, )

trong đó,

*

=

( , ) exp(

β

D T T

β ( , ) ).

(5.67)

NC

D T 1

2

Mặt khác, từ (5.45)2 và (5.65) ta suy ra rằng

t

|

≤

| (0, )|

t

+

k t | (

−

s v ) (0, )|

s ds

L v [ ]| 0

K v 0

∫

0

≤

2

+

−

s

ds

1

1

K v t 0

|| ( )|| H

v s )|.|| ( )|| H

t ∫ 2 | ( k t 0

t

≤

2

+

k t | (

−

1

( K

0

(0,

)

) s ds v ∞ || || )| L

; T H

∫

0

+

1 2

≤

K

+

σ

≤

2(

k || ||

)

t ( )

(cid:71) N ε || ||

1

ˆ * C N

0

L T (0,

)

Do đó

+

γ

1 2

Y

−

(cid:71) ε

≤

||

(cid:71) N ε || ||

.

(5.68)

∞

ˆ * C N

Y γ

∑

N

γ

|

|

≤

|| L

T (0, )

Từ (5.56) và (5.68) ta hoàn tất chứng minh Định lý 5.2(cid:31)

53

+ + + + β ( , ) = + 1 σ σ ( ). σ T 1 σ β ( ) T 2 σ β T 6 ⎧⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪ D T ⎪⎩ 2

Chương 6

,

;

,

MINH HỌA BẰNG BÀI TOÁN CỤ THỂ Trong chương này, chúng tôi xét bài toán (3.1), (3.2) cụ thể, để minh họa cho việc K K λ λ đến cấp 2 đã khai triển tiệm cận nghiệm của yếu theo bốn tham số bé

1

1

được trình bày trong phần 2, chương 5. Bài toán cụ thể được phát biểu như sau. Tìm hàm u thỏa ⎧⎪ L u ] [

xx

t

t

t T 1, 0 t u ( ) , 0 μ λ u , Ku = − − x < < < < u ≡ − tt

0

x

∫

0

(6.1)

≡ − − = ] μ t u ( ) (0, ) − t K u t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0,

1

t

x

] ≡ μ t u ( ) t (1, ) + K u t (1, ) + t (1, ) = 0, λ u 1

*

*

*

( , 0) ( ), ( , 0) ( ). = = (cid:4) u x 0 (cid:4) u x 1 u x t

0

K K

,

0

< ≤ λ

λ

,

0

≤

K

≤

K

, 0

,

* Kλ ,

< ≤ (

với

λ 1

* λ 1

* 1

1

* 1

* 1

⎪⎪⎪⎪⎪⎪ L u [ ⎪⎪⎨ 0 ⎪⎪⎪ L u [ ⎪⎪⎪⎪ 1 u x ⎪⎪⎩ ≤ ≤ K , , λ là các hằng

f x t ( , )

≡

0,

g t ( )

≡

0,

K

số cố định),

≥ và 0

là các hàm cho trước thỏa

0

(cid:4) (cid:4) u u ( , 0 1

(cid:71) ε =

(cid:71) 0,

kμ , ) ,

nghĩa là

các giả thiết (H1), (H3), (H4). Giả sử

0

u (cid:71) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán )P(cid:71)(cid:4) ứng với (

0 L u [

(cid:71) 0

t

] 0, 0 < < x 1, 0 < < t T , = = F (cid:71) 0

x

0

(cid:71) 0

(cid:71) 0

(cid:71) 0

∫

0

] ≡ t u ( ) (0, ) − t K u t (0, ) − k t ( − s u ) (0, ) s ds = 0, μ L u [ 0

x

(cid:71) 0

0

1

0

1

2

1

≡ = = = ] t u ( ) t (1, ) 0, ( , 0) ( ), ( , 0) ( ), μ )P(cid:71)(cid:4) ( L u [ 1 (cid:4) u x 0 (cid:4) u x 1 u x (cid:71) 0 ′ u x (cid:71) 0

2 T L ;

∞ L

∞ L

(cid:71) 0

1,

∞

2

∈ ∩ ∩ ∈ C (0, ) C (0, T H ; ) (0, T H ; ), (0, T H ; ), u u ′ (cid:71) 0

∞ L

2 T L ;

(cid:71) 0

(cid:71) 0

(cid:71) 0

⋅ ∈ ⋅ ∈ ′′ ∈ (0, u ), (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). u

4

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩

được xác định bởi các bài toán

Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu

sau

, γ | | ≤ 1 uγ γ , (cid:93) +∈

1000

1000

1000

(cid:71) 0

t

− Δ < < L u [ ] ′′≡ u t ( ) u = − u , 0 < < x 1, 0 t T , μ

1000

1000

0 1000

1000

∫

0

≡ ∇ − − = ] t ( ) u (0, ) − t K u t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, μ L u [ 0

1000

1000

1000

1

0

1

2

1

= = = ] t ( ) u t (1, ) 0, u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, ≡ − ∇ μ ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ′ 1000 )P ( 1000

∞ L

2 T L ;

∞ L

1000

∞

1,

2

∈ ), (0, ), u ; T H ∩ ∩ ∈ C (0, ) C (0, T H ; ) (0, T H ; ′ 1000

∞ L

2 T L ;

1000

1000

1000

⋅ ∈ ⋅ ∈ (0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). u

54

L u [ ⎪⎪⎪ 1 ⎪ u ⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩

L u [

]

u

t ( )

u

, 0

1, 0

t T

,

μ

≡

−

Δ

u = −

x < <

< <

0100

′′ 0100

0100

′ (cid:71) 0

t

]

t ( )

u

(0, )

t (0, )

k t (

s u )

(0, )

s ds

0,

μ

≡

∇

t K u −

−

−

=

0100

L u [ 0

0100

0

0100

0100

∫

0

]

t ( )

u

t (1, )

0,

μ ≡ − ∇

=

L u [ 1

0100

0100

)P ( 0100

u

x ( , 0)

0,

u

x ( , 0)

0,

=

=

0100

′ 0100

2

1

1

0

1

u

C

(0,

2 T L ;

)

C

(0,

T H ;

)

∞ L

(0,

T

;

H

),

u

∞ L

(0,

T H ;

),

∈

∩

∩

′ ∈

0100

0100

∞

1,

2

∞ L

(0,

2 T L ;

),

u

(0, )

W

(0,

T u ),

(1, )

H

(0,

T

).

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈

⋅ ∈

⋅ ∈

0100

0100

0100

u ⎪⎪⎩

0010

0010

0010

t

− Δ = < < L u [ ] ′′≡ u t ( ) u 0, 0 < < x 1, 0 t T , μ

0010

0010

0

0010

0010

∫

0

≡ ∇ − − = ] t ( ) u (0, ) − t K u t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, μ L u [ 0

0010

0010

(cid:71) 0

)P ( 0010

= ] t ( ) u t (1, ) u t (1, ), ≡ − ∇ μ L u [ 1

0010

2

1

1

0

1

= = u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, ′ 0010

∞ L

2 T L ;

∞ L

0010

0010

1,

2

∞

′ ∈ ∈ ∩ ∩ T H ; ), u (0, T H ; ), u C (0, ) C (0, T H ; ) , (0

∞ L

2 T L ;

0010

0010

0010

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⋅ ∈ ⋅ ∈ (0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). u ⎪⎪⎩

0001

0001

0001

t

μ L u [ ] t ( ) u 0, 0 1, 0 t T , ′′≡ u − Δ = < < x < <

0001

0001

0

0001

0001

∫

0

μ ] t ( ) u (0, ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, ≡ ∇ − t K u − − = L u [ 0

0001

0001

)P ( 0001

] t ( ) u t (1, ) u t (1, ), ≡ − ∇ μ = L u [ 1 ′ (cid:71) 0

0001

2

1

1

0

1

= = u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, ′ 0001

∞ L

2 T L ;

∞ L

0001

0001

∞

1,

2

∞ L

T H ; ), u (0, T H ; ), u C (0, ) C (0, T H ; ) 0, ( ∈ ∩ ∩ ′ ∈

2 T L ;

0001

0001

0001

Khi đó, nghiệm của bài toán (6.1) có thể xấp xỉ bởi đa thức cấp một theo bốn biến

K

,

Kλ ,

,

λ như sau

1

1

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⋅ ∈ ⋅ ∈ u ⎪⎪⎩

ε

1000

0001

0010

0100

(cid:71) 0

và thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp 3

2 như sau

γ

γ

u x t ( , ) u x t ( , ) u x t K u ( , ) λ ( , ) x t u ≈ + + + + x t K u ( , ) 1 λ x t ( , ) , 1

γ

)

∑

∑

γ

γ |

|

1

|

|

1

≤

≤

(0,

)

T

γ

3 2

− + ⋅ − || u || u ′ (1, ) (cid:71) ε u (cid:71) ⋅ ε (1, ) u ′ γ || W T ( λ 1 || 2 L

∞

* 1

∑

γ

|

|

≤

(0,

)

T

55

+ − ≤ || Y (cid:71) ε (cid:71)(cid:4) C ε || || , Y γ 1 || L

*

K

,

Kλ ,

,

trong đó,

1

λ . 1

1C(cid:4) độc lập với bốn tham số bé

4

,

γ | |

2

được xác định bởi các bài

Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu

uγ γ ,

toán sau

≤ (cid:93) +∈

1100

1100

(cid:71) 0

t

L u [ ] u t ( ) u u ), 0 1, 0 t T , μ ≡ − Δ u ( = − + x < < < < ′′ 1100 ′ (cid:71) 0

1100

1100

0 1100

1100

∫

0

] t ( ) u (0, ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, μ ≡ ∇ t K u − − − = L u [ 0

1100

1100

1100

)P ( 1100

1

0

1

2

1

] t ( ) u t (1, ) 0, u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, μ ≡ − ∇ = = = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ′ 1100

∞ L

2 T L ;

∞ L

1100

∞

1,

2

∞ L

(0, T H ; ), u (0, T H ; ), C (0, ) C (0, T H ; ) ∩ ∩ ∈ ∈ ′ 1100

2 T L ;

1100

1100

1100

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). u ⋅ ∈ ⋅ ∈

L u [ ⎪⎪⎪ 1 ⎪ u ⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1010

1010

1010

(cid:71) 0

t

− Δ < < μ L u [ ] ′′≡ u t ( ) u = − u , 0 < < x 1, 0 t T ,

1010

1010

0 1010

1010

∫

0

≡ ∇ − − = μ ] t ( ) u (0, ) − t K u t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, L u [ 0

1000

1010

1010

1010

)P ( 1010

1

0

1

2

1

= = = ≡ − ∇ μ ] t ( ) u t (1, ) u t (1, ), u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ′ 1010

2 T L ;

∞ L

∞ L

1010

∞

1,

2

∞ L

∩ ∈ C (0, ) C (0, T H ; ) (0, T H ; ), u (0, T H ; ), ∩ ∈ ′ 1010

2 T L ;

1010

1010

1010

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). u ⋅ ∈ ⋅ ∈

L u [ ⎪⎪⎪ 1 ⎪ u ⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1001

1001

1001

(cid:71) 0

t

L u [ ] μ t ( ) u , 0 1, 0 t T , ′′≡ u − Δ u = − x < < < <

1001

0 1001

1001

1001

∫

0

] μ t ( ) u (0, ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, ≡ ∇ t K u − − − = L u [ 0

1001

1001

1001

1

0

1

2

1

] t ( ) u t (1, ) u t (1, ), u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, μ ≡ − ∇ = = = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ′ 1000 ′ 1001 )P ( 1001

∞ L

∞ L

2 T L ;

1001

∞

1,

2

∞ L

) (0, T H ; ), u (0, T H ; ), C (0, ) C (0, T H ; ∩ ∈ ∩ ∈ ′ 1001

2 T L ;

1001

1001

1001

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). u ⋅ ∈ ⋅ ∈

L u [ ⎪⎪⎪ 1 ⎪ u ⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0110

0110

t

L u [ ] u μ t ( ) u , 0 1, 0 t T , ≡ − Δ u = − x < < < < ′′ 0110 ′ (cid:71) 0

0110

0110

0

0110

0110

∫

0

] μ t ( ) u (0, ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, ≡ ∇ t K u − − − = L u [ 0

0100

0110

0110

0110

1

0

1

2

1

] t ( ) u t (1, ) u t (1, ), u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, μ ≡ − ∇ = = = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ′ 0110 )P ( 0110

∞ L

∞ L

2 T L ;

0110

∞

1,

2

∞ L

) (0, T H ; ), u (0, T H ; ), C (0, ) C (0, T H ; ∩ ∈ ∩ ∈ ′ 0110

2 T L ;

0110

0110

0110

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). u ⋅ ∈ ⋅ ∈

56

L u [ ⎪⎪⎪ 1 ⎪ u ⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0101

0101

t

≡ − Δ < < μ L u [ ] u t ( ) u = − u , 0 < < x 1, 0 t T , ′′ 0101 ′ (cid:71) 0

0101

0101

0

0101

0101

∫

0

≡ ∇ − − = μ ] t ( ) u (0, ) − t K u t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, L u [ 0

0101

0101

≡ − ∇ μ = ] t ( ) u t (1, ) u t (1, ), L u [ 1 ′ 0100 )P ( 0101

0101

1

0

1

2

1

= = u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, ′ 0101

2 T L ;

∞ L

∞ L

0101

∞

1,

2

∞ L

∈ ∩ u C (0, ) C (0, T H ; ) (0, T H ; ), u (0, T H ; ), ∩ ∈ ′ 0101

2 T L ;

0101

0101

0101

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⋅ ∈ ⋅ ∈ u ⎪⎪⎩

0011

0011

0011

t

− μ Δ = < < L u [ ] ′′≡ u t ( ) u 0, 0 < < x 1, 0 t T ,

0011

0011

0

0011

0011

∫

≡ μ ∇ − − = ] t ( ) u (0, ) − t K u t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, L u [ 0

0 ′ 0010

0011

0011

0001

)P ( 0011

≡ − ∇ μ = + ] t ( ) u t (1, ) u t (1, ) u t (1, ), L u [ 1

0011

0

1

2

1

1

= = u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, ′ 0011

2 T L ;

∞ L

∞ L

0011

∞

1,

2

∞ L

∈ ∩ u C (0, ) C (0, T H ; ) (0, T H ; ), u (0, T H ; ), ∩ ∈ ′ 0011

2 T L ;

0011

0011

0011

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⋅ ∈ ⋅ ∈ u ⎪⎪⎩

2000

2000

2000

1000

t

μ L u [ ] t ( ) u , 0 1, 0 t T , ′′≡ u − Δ u = − x < < < <

2000

2000

0 2000

2000

∫

0

μ ] t ( ) u (0, ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, ≡ ∇ t K u − − − = L u [ 0

2000

2000

)P ( 2000

] t ( ) u t (1, ) 0, μ ≡ − ∇ = L u [ 1

2000

2

1

1

0

1

u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, = = ′ 2000

2 T L ;

∞ L

∞ L

2000

2000

1,

∞

2

∞ L

u C (0, ) C (0, T H ; ) (0, T ∈ ∩ ∩ ; H ), u (0, T H ; ), ′ ∈

2 T L ;

2000

2000

2000

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⋅ ∈ ⋅ ∈ u ⎪⎪⎩

0200

0200

t

μ L u [ ] u t ( ) u , 0 1, 0 t T , ≡ − Δ u = − x < < < < ′′ 0200 ′ 0100

0200

0200

0

0200

0200

∫

0

μ ] t ( ) u (0, ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, ≡ ∇ t K u − − − = L u [ 0

0200

0200

)P ( 0200

] t ( ) u t (1, ) 0, μ ≡ − ∇ = L u [ 1

0200

2

1

1

0

1

u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, = = ′ 0200

2 T L ;

∞ L

∞ L

0200

0200

1,

∞

2

∞ L

u C (0, ) C (0, T H ; ) (0, ∈ ∩ ∩ T H ; ), u (0, T H ; ), ′ ∈

2 T L ;

0200

0200

0200

57

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⋅ ∈ ⋅ ∈ u ⎪⎪⎩

0020

0020

0020

t

μ L u [ ] t ( ) u 0, 0 1, 0 t T , ′′≡ u − Δ = x < < < <

0020

0020

0

0020

0020

∫

0

μ ] t ( ) u (0, ) t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, ≡ ∇ t K u − − − = L u [ 0

0020

0010

0020

] t ( ) u t (1, ) u t (1, ), μ ≡ − ∇ = L u [ 1 )P ( 0020

0020

2

1

1

0

1

u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, = = ′ 0020

2 T L ;

∞ L

∞ L

0020

0020

1,

∞

2

∞ L

u C (0, ) C (0, T H ; ) ∈ ∩ ∩ (0, T H ; ), u (0, T H ; ), ′ ∈

2 T L ;

0020

0020

0020

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⋅ ∈ ⋅ ∈ u ⎪⎪⎩

0002

0002

0002

t

− μ Δ = < < L u [ ] ′′≡ u t ( ) u 0, 0 < < x 1, 0 t T ,

0002

0002

0

0002

0002

∫

0

≡ μ ∇ − − = ] t ( ) u (0, ) − t K u t (0, ) k t ( s u ) (0, ) s ds 0, L u [ 0

0002

0002

)P ( 0002

≡ − ∇ μ = ] t ( ) u t (1, ) u t (1, ), L u [ 1 ′ 0001

0002

2

1

1

0

1

= = u x ( , 0) 0, u x ( , 0) 0, ′ 0002

2 T L ;

∞ L

∞ L

0002

0002

∞

1,

2

∞ L

∈ ∩ ∩ u C (0, ) C (0, T H ; ) (0, T H ; ), u (0, T H ; ), ′ ∈

2 T L ;

0002

0002

0002

Khi đó, nghiệm của bài toán (

(cid:71)(cid:4) có thể xấp xỉ bởi một đa thức cấp hai theo bốn biến )Pε

(0, ), u (0, ) W (0, T u ), (1, ) H (0, T ). ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ′′ ∈ ⋅ ∈ ⋅ ∈ u ⎪⎪⎩

1

1

u x t ( , )

≈

u x t ( , )

+

u

x t K u ( , )

+

λ ( , ) x t

+

u

+

1000

ε

x t K u ( , ) 1

λ ( , ) x t 1

0001

0010

0100

(cid:71) 0

+

u

x t K ( , )

λ

+

u

x t KK u ( , )

+

x t K ( , )

1010

1

1100

λ 1

1001

+

u

λ ( , ) x t K u

+

x t ( , )

+

u

x t K ( , )

1

λλ 1

λ 1 1

0011

0101

0110

2

2

+

u

x t K ( , )

+

u

λ ( , ) x t

+

u

x t K ( , )

+

u

x t ( ,

2 ,λ 1)

2000

2 1

0002

0020

0200

và đánh giá tiệm cận đến cấp 5

2 như sau

γ

γ

||

u

||

u

′ (1, )

K , Kλ , , λ như sau

u

u

−

+

⋅ −

γ

′ γ

|| ( W T

)

λ 1

∑

∑

≤

≤

γ

γ

|

|

2

|

|

2

|| 2 L

(0, ) T

γ

5 2

||

Y

(cid:71) ε (cid:71) ε (1, ) ⋅

+

−

≤

∞

Y γ

* 2

∑

≤

γ

|

|

2

|| L

(0, ) T

*

K

,

Kλ ,

,

trong đó,

1

λ . 1

2C(cid:4) độc lập với bốn tham số bé

58

(cid:71) ε (cid:71)(cid:4) C ε || || ,

KẾT LUẬN

Qua luận văn này, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu

khoa học một cách có hệ thống, có phương pháp và có định hướng rõ ràng. Tác giả

cũng học tập được phương pháp nghiên cứu trong việc đọc tài liệu, thảo luận trong

nhóm sinh hoạt học thuật do Thầy TS. Trần Minh Thuyết và Thầy TS. Nguyễn Thành

Long tổ chức. Ngoài ra, tác giả còn học tập được một số công cụ của Giải tích hàm để

khảo sát sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm yếu của bài toán biên phi tuyến tính chứa số

hạng nhớt phi tuyến, chẳng hạn như: phương pháp xấp xỉ Feado - Galerkin liên hệ với

các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật về tính compact và hội tụ yếu, phương pháp

khai triển tiệm cận.

Nội dung chính của luận văn tập trung ở các chương 3, 4, 5.

Ở chương 3, Chúng tôi thu được kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu

toàn cục.

Trong chương 4, chúng tôi thu được kết quả về tính ổn định của nghiệm yếu

theo các dữ kiện đầu vào của bài toán.

Trong chương 5, chúng tôi thu được khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo

bốn tham số bé đến cấp N + 1/2.

Ngoài ra, việc xét bài toán cụ thể để minh hoạ khai triển tiệm cận của nghiệm

yếu theo bốn tham số ở chương 6 đã giúp tác giả có cái nhìn chính xác và cụ thể hơn về

việc khai triển tiệm cận của nghiệm yếu ở chương 5.

Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân còn hạn chế và sự hạn hẹp khuôn khổ

của luận văn nên tác giả chưa tìm hiểu kỹ khả năng ứng dụng của các kết quả thu được

trong luận văn vào các bài toán vật lý và một số bài toán khác. Vì vậy, tác giả kính

mong được sự chỉ bảo và góp ý của Quý Thầy Cô trong và ngoài Hội đồng.

59

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyen Thuc An, Nguyen Dinh Trieu (1991), Shock between absolutely solid

body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J. Mech.

NCSR.Vietnam, 13 (2) (1991) 1 – 7.

[2] M. Bergounioux, Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh (2001),

Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar,

Nonlinear Anal. 43 (2001) 547 – 561.

[3] J. L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problems aux limites non-

linéares, Dunod; Gauthier – Villars, Paris, 1969.

[4] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh (1995), A semilinear wave equation

associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal. 24

(8) (1995) 1261 – 1279.

[5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem (2005), On a

shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound. Value Probl. 2005 (3)

337 – 358.

[6] Nguyen Thanh Long, Tran Minh Thuyet (2003), A semilinear wave equation

associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math. 36 (4) (2003) 915

– 938.

[7] Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc (2007), On a nonlinear Kirchhoff-

Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and

asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math. 40 (2) (2007) 365 – 392.

[8] Nguyen Thanh Long (2002), On the nonlinear wave equation utt – B(t, ||ux||²)uxx =

f(x, t, u, ux, ut) associated with the mixed homogeneous conditions, J. Math. Anal.

Appl. 274 (1) (2002) 102 – 123.

[9] Nguyen Thanh Long, Le Van Ut, Nguyen Thi Thao Truc (2005), On a shock

problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Analysis, Theory, Methods &

Applications, Series A: Theory and Methods, 63 (2) (2005) 198 – 224.

60

[10] Nguyen Thanh Long, Le Xuan Truong (2007), Existence and asymptotic

expansion for a viscoelastic problem with a mixed homogeneous condition,

Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and

Methods, 67 (3) (2007) 842 – 864.

[11] Nguyen Thanh Long, Le Thi Phuong Ngoc (2009), On nonlinear boundary value

problems for nonlinear wave equations, Vietnam J. Math. 37 (2 - 3)(2009) 141 – 178.

[12] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2010), Linear approximation and

asymptotic expansion of solutions in many small parameters for a nonlinear

Kirchhoff wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Acta Applicanda

Mathematicae, 112 (2) (2010) 137 – 169.

[13] Le Thi Phuong Ngoc, Le Nguyen Kim Hang, Nguyen Thanh Long (2009), On a

nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving

convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory

and Methods, 70 (11) (2009) 3943 – 3965.

[14] Le Thi Phuong Ngoc, Le Xuan Truong, Nguyen Thanh Long (2010), An N –

order iterative scheme for a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation associated

with mixed homogeneous conditions, Acta Mathematica Vietnamica, 35 (2) (2010)

207 – 227.

[15] Le Thi Phuong Ngoc, Le Khanh Luan, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh Long

(2009), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions:

Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Analysis,

Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11) (2009)

5799 – 5819.

[16] Le Thi Phuong Ngoc, Tran Minh Thuyet, Pham Thanh Son, Nguyen Thanh Long

(2010), On a nonlinear wave equation associated with a Cauchy problem for an

ordinary differential equation, (submitted)

[17] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2009), High-order

iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with

61

the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods &

Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (1 – 2) (2009) 467 – 484.

[18] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long (2009), The N –

order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated

with the mixed inhomogeneous conditions, Applied Mathematics and Computation,

215 (5) (2009) 1908 – 1925.

[19] Le Xuan Truong, Le Thi Phuong Ngoc, Alain Pham Ngoc Dinh, Nguyen Thanh

Long (2010), The regularity and exponential decay of solution for a linear wave

equation associated with two – point boundary conditions, Nonlinear Analysis Series

B: Real World Applications, 11(3) (2010) 1289 – 1303.

62