Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Số phức và ý nghĩa hình học trong chương trình phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Huyền

SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 601410

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CẢM ƠN

Lời ñầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến TS. Nguyễn Ái Quốc, người ñã

tận tình hướng dẫn và ñộng viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn ñến quí thầy cô: PGS. TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê

Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh về

những bài giảng didactic thú vị.

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot và TS.

Alain Birebent về những lời góp ý cho luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quí thầy cô và các em học sinh trường

THPT Gia Định; Khoa Toán trường Đại học Nông Lâm và các sinh viên ngành

quản lý môi trường khóa 2010 ñã luôn hỗ trợ và giúp ñỡ tôi ñể tôi hoàn thành tốt

khóa học và hoàn thành luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, khoa

Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh ñã tạo ñiều kiện học

tập tốt nhất cho chúng tôi.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn ñến các bạn và các anh chị cùng lớp didactic toán

khóa 18 ñặc biệt là anh Đinh Quốc Khánh về những sẻ chia và giúp ñỡ trong thời

gian học tập và làm luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn ñến gia ñình và những người bạn vì những sự

quan tâm và ñộng viên giúp tôi hoàn thành khóa học.

Lê Thị Huyền.

DANH MỤC VIẾT TẮT

SGK : Sách giáo khoa.

SGV : Sách giáo viên.

KNV : Kiểu nhiệm vụ.

T1 : Giáo trình “A first Course in Complex Analysis” của Matthias

Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton.

T2 : Giáo trình “Introduction to complex analysis” của W W L Chen.

: giáo trình “Số phức” của TS Nguyễn Văn Đông, giáo trình dành T3

cho sinh viên sư phạm. : Mathématiques 12ème, Ministère de l’Éducation et de la formation, [P]

Hanoi 2002.

M

1

: TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo

dục.

M

2

: ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản

giáo dục.

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN

Tôi tên: Lê Thị Huyền

Ngày sinh: 12/04/1985

Nơi sinh: Quảng Ngãi

Là học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học Toán khóa: 18

Tôi đã bảo vệ luận văn thạc sĩ với đề tài: “Số phức và ý nghĩa hình học trong chương

trình phổ thông”

tại hội đồng chấm luận văn ngày 20 tháng 01 năm 2010

Tôi đã sửa chữa và hoàn chỉnh luận văn đúng với các góp ý, yêu cầu của Hội đồng và

ủy viên nhận xét, gồm các ý chính như sau:

+ Phát biểu lại giả thuyết H3 thành: “Việc thiếu vắng định nghĩa hai số phức bằng nhau

dưới dạng lượng giác gây khó khăn cho học sinh trong việc giải phương trình trong tập số

phức bằng dạng lượng giác.”

+ Phát biểu lại Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường

mắc phải khi học số phức? Những hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học

sinh khi dạy học số phức”

+ Thêm một chiến lược trong phần phân tích thực nghiệm bài thực nghiệm số 3.

+ Sửa một số lỗi chính tả, một số phần diễn đạt ý….

Nay tôi xin báo cáo đã hoàn thành sữa chữa luận văn như trên và đề nghị Hội đồng

chấm luận văn, cán bộ hướng dẫn xác nhận.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 3

năm 2011

Học viên

Lê Thị Huyền

Xác nhận của cán bộ hướng dẫn

Xác nhận của chủ tịch Hội đồng

Nguyễn Chí Thành

1

MỞ ĐẦU

1. Ghi nhận ban ñầu và câu hỏi xuất phát:

Khái niệm số phức ñược ñưa vào cuối chương trình Toán giải tích lớp 12, sau

2

Ax

+

+ Bx C

0

= mà

khi hoàn thành chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng.

Như ta ñã biết, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực

0∆ < ñều không có nghiệm thực, sự phát triển của khoa học nói chung

biệt thức

và toán học nói riêng ñòi hỏi phải mở rộng tập hợp các số thực thành một tập hợp

số mới gọi là tập hợp các số phức, trong ñó các phép tính cộng và nhân các số

phức với các tính chất tương tự phép toán cộng và nhân các số thực sao cho các

phương tình nói trên ñều có nghiệm.

Ở chương trình phổ thông, số phức ñã xuất hiện từ rất lâu trong chương trình

toán ở nhiều nước trên thế giới. Tuy nhiên ở Việt Nam, ñối tượng số phức ñược

ñưa vào giảng dạy trong chương trình SGK trước cải cách giáo dục và phân ban

thí ñiểm năm 1998. Sau ñó ñến năm học 2008-2009 mới ñưa vào. Như vậy có một

sự ngắt quãng. Tại sao có sự khác biệt và ngắt quãng này? Vị trí và vai trò của

khái niệm số phức trong chương trình phổ thông Việt Nam giống và khác nhau

như thế nào so với các nước khác? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñưa ra như thế

nào?

Những ghi nhận ban ñầu nói trên ñưa chúng tôi ñến việc ñặt ra các câu hỏi sau:

Q1’: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñã ñược hình thành và phát

triển như thế nào?

Q2’: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào ở bậc ñại học?

Q3’: Số phức ñược ñưa vào chương trình toán THPT với mục tiêu gì? Nó ñược

tiếp cận ra sao? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñề cập như thế nào và các ứng dụng

của nó ra sao? Có sự tương ñồng hay khác biệt nào giữa lịch sử và hệ thống dạy

học?

2

Q4:’ Những ràng buộc của hệ thống dạy học ảnh hưởng như thế nào trên giáo

viên và học sinh về khái niệm số phức?

Q5’: Học sinh hiểu như thế nào về khái niệm số phức; những khó khăn học

sinh thường gặp phải khi học tập những kiến thức về số phức; có những hợp ñồng

nào hình thành trong giáo viên và học sinh không; có những quan niệm sai lầm

nào của học sinh trong khi học số phức?

2. Khung lý thuyết tham chiếu:

Chúng tôi ñặt mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán. Cụ thể chúng

tôi sử dụng thuyết nhân chủng học, hợp ñồng dạy học với các khái niệm sau:

2.1. Chuyển ñổi Didactic:

Trong nhà trường phổ thông, ñối với một môn học, người ta không thể dạy cho

học sinh toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại ñã tích lũy ñược trong lịch sử.

Hơn nữa, ñể tri thức bộ môn trở nên có thể dạy ñược, cần phải lựa chọn, sắp xếp

và tái cấu trúc lại nó theo một kết cấu logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác

ñịnh. Chuyển ñổi didactic, nói khác hơn là quá trình biến ñổi một tri thức bác học

thành một ñối tượng tri thức dạy học. Việc qui ñịnh các ñối tượng cần dạy ñược

thể hiện thông qua chương trình, SGK, ñề thi, tài liệu ôn thi của Bộ giáo dục, các

tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK.

Khái niệm này ñược vận dụng nhằm xác ñịnh khoảng cách giữa tri thức khoa

học và tri thức cần dạy ñối với khái niệm số phức. Nó cũng giúp nghiên cứu tính

hợp pháp của tri thức cần dạy và giải thích ñược một số ràng buộc của thể chế dạy

học ở trường phổ thông ñối với các kiến thức nêu trên.

2.2. Quan hệ thể chế

Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại mà

thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở ñâu,

có vai trò gì và tồn tại ra sao … trong I.

3

2.3. Quan hệ cá nhân

Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại

mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào

về O, có thể thao tác O ra sao?

Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần ñặt nó trong R(I, O).

2.4. Tổ chức toán học:

,

,

,

[ T τθ Θ , trong ñó T là kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θ là công

]

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần

nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ.

Một praxéologie mà các thành phần ñều mang bản chất toán học ñược gọi là một

tổ chức toán học (TCTH).

Việc phân tích các TCTH liên quan ñến ñối tượng tri thức O cho phép ta làm

rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O, từ ñó hiểu ñược quan hệ mà

các nhân X duy trì với tri thức O.

2.5. Hợp ñồng Didactic:

Hợp ñồng didactic là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ tiềm ẩn của

học sinh và giáo viên về các ñối tượng tri thức toán học. Thông thường, nó là tập

hợp các quy tắc phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên – học sinh

và giáo viên – về một tri thức toán học ñược giảng dạy. Hợp ñồng didactic là qui

tắc giải mã các hoạt ñộng của quá trình học tập. Chỉ có thể hiểu thấu ý nghĩa của

những gì ñịnh hướng cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải thích một

cách rõ ràng và chính xác những sự kiện ñã quan sát bằng những khuôn khổ của

hợp ñồng.

3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu ñã lựa chọn, câu hỏi xuất phát

ñã ñược chúng tôi cụ thể hóa như sau:

4

Q1: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển

như thế nào? Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao?

Q2: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc ñại học?

Q3: Số phức ñược ñưa vào chương trình trung học phổ thông với mục tiêu gì?

Nó ñược tiếp cận ra sao? Sự ràng buộc của thể chế có ảnh hưởng như thế nào ñến

việc dạy và học của giáo viên và học sinh về khái niệm số phức?

Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc

phải khi học số phức? Những hợp ñồng nào ñược hình thành giữa giáo viên và học

sinh khi dạy học số phức”

4. Mục ñích và phương pháp nghiên cứu.

Mục ñích nghiên cứu của chúng tôi là ñi tìm câu trả lời cho những câu hỏi ñã

ñặt ra ở mục 2. Để ñạt ñược mục ñích ñề ra, chúng tôi xác ñịnh phương pháp

nghiên cứu như sau:

- Tìm hiểu quá trình hình thành và phát triển của số phức trong lịch sử toán

học, trong ñó làm rõ mối liên hệ giữa hình học và số phức. Số phức ñược xây

dựng như thế nào, các mô hình hình học của số phức ñược các nhà toán học xây

dựng như thế nào?

- Tìm hiểu việc xây dựng số phức trong các giáo trình ñại học. Cụ thể là giáo

trình của Mỹ, Anh và Việt Nam. Từ ñó làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể

chế trong chương sau.

- Phân tích chương trình và sách giáo khoa Song ngữ Pháp Việt về vấn ñề số

phức ñể thấy ñược mong muốn của thể chế ñưa ra ở ñây là gì? Từ ñó so sánh với

thể chế dạy học toán ở Việt Nam về khái niệm số phức.

- Xây dựng và tiến hành thực nghiệm ñối với học sinh ñể cho phép tìm câu

trả lời cho các giả thuyết nghiên cứu ñã ñặt ra.

5

5. Tổ chức của luận văn.

Luận văn gồm 6 phần: Phần mở ñầu, 4 chương và phần kết luận chung.

Trong phần mở ñầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban ñầu, khung lý

thuyết tham chiếu; mục ñích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn.

Chương 1, dành cho việc nghiên cứu khoa học luận; Vài nét về lịch sử xuất

hiện số phức; các mô hình học của số phức trong lịch sử.

Chương 2, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức trong

lịch sử và trong một số giáo trình của Mỹ, Anh và Việt Nam.

Chương 3, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa của hai thể chế

Pháp (chương trình song ngữ) và Việt Nam về khái niệm số phức. Từ ñó so sánh

và ñưa ra một số hợp ñồng didactic, sai lầm của học sinh và các giả thuyết nghiên

cứu.

Chương 4, nghiên cứu thực nghiệm ñối với học sinh nhằm kiểm chứng các

hợp ñồng didactic và giả thuyết của luận văn.

Trong phần kết luận chung, chúng tối tóm tắt các kết quả ñã ñạt ñược ở

chương 1,2, 3 và 4 và nêu ra một số hướng mở ra từ luận văn.

6

Chương 1

NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NÓ TRONG

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN.

Mở ñầu

Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời câu hỏi Q1: “Trong

lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển như thế nào?

Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao?”.

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu, phân tích và tổng hợp một số tài liệu về sự

hình thành và phát triển của toán học nói chung cũng như số phức nói riêng.

Các tài liệu chúng tôi chọn làm tư liệu trong chương này gồm có:

1. LÊ THỊ HOÀI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trò của phân tích

khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn

Toán, Báo cáo tổng kết ñề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh.

2. HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch

sử toán học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học

thành phố HCM.

3. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen

dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục.

4. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản

ñại học quốc gia thành phố HCM.

5. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ.

6. WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math

through the Ages, a gentle history for teachers and others.

7. Remark on the history of Complex Numbers

8. FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company,

London 1909.

7

1. Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức

Trong cuốn “The Great Art” xuất bản năm 1545, Cardano ñưa ra vấn ñề về

việc tìm hai số sao cho tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng là 40. Theo

15

15

+ −

− −

những kiến thức lúc bấy giờ thì không tồn tại hai số ñó nhưng Cardano chỉ ra rằng

và 5 quả nếu bỏ qua sự vô lý của các kí hiệu thì hai số có dạng 5

thực có tổng là 10 và tích là 40. Nhưng ông chỉ ñưa ra một cách qua loa những

dạng này như là một “trò chơi vô nghĩa” của những “kẻ rỗi việc”. Trong một cuốn

9− cũng là +3 hay -3 nhưng

sách khác, ông nói rằng 9 cũng là 3 hay -3 và

chúng là “số 3 không có gì cả”.

Trong một ví dụ ñầu thế kỉ 17, Descartes lưu ý rằng khi tìm giao ñiểm của một

ñường tròn và một ñường thẳng ta phải giải một phương trình bậc hai. Công thức

nghiệm của phương trình bậc hai dẫn ñến căn bậc hai của số âm khi ñường thẳng

trong thực tế không cắt ñường tròn. Vì vậy trong hầu hết các phần, sự cảm nhận có

sự xuất hiện của nghiệm “không thể” hay “nghiệm ảo” thì ñơn giản là câu trả lời

cho phương trình không có bất kì nghiệm nào.

3

0

x

+

px q

Thành tựu lớn nhất của Cardano là tìm công thức giải cho phương trình bậc ba.

+ = , công thức nghiệm của Cardano ñược

2

3

2

3

3

x = − + 3

+

+ − −

+

Cho một phương trình dạng

q 2

q 4

p 27

q 2

q 4

p 27

3

2

x

+

ax

+

bx

c

viết lại bằng ngôn ngữ hiện ñại là: . Công

+ = 0

x

= − z

thức này dùng cho mọi phương trình bậc 3 (phương trình dạng

a 2

1 3

3

2

2

z

+

+ Bz C

0

B c

= −

a C c

= −

,

ab

+

2

a

= với

có thể ñưa về dạng trên bằng cách ñặt . Khi ñó phương trình trên trở

1 3

1 27

1 3

). Tuy nhiên, một vài thành

x

3 15 =

x

4

x

3 15 −

x

4 0

trường hợp gặp phải rắc rối.

+ ta viết lại thành

− = , và áp

3

3

x =

2

+ −

121

+

2

− −

121

Giả sử cho phương trình

dụng công thức trên, ta ñược .

8

Dựa vào những ñiều ñã biết khi giải phương trình bậc hai, dường như kết luận

x = 4

ñúng nhất trong trường hợp này là phương trình vô nghiệm. Nhưng rõ ràng

là nghiệm của phương trình trên. Vậy kết luận trên là sai lầm.

Cardano ñã ñưa ra vấn ñề này nhưng hầu như không ai biết ñến nó. Ông ñã ñề

cập hai lần trong những cuốn sách của mình

Vào năm 1560, Bombelli ñã ñưa cách thoát khỏi những bối rối ñó. Ông tranh

+ −

121

luận rằng, ta có thể khai triển với loại “căn số mới” này. Để nói về căn bậc hai của

là 2 số âm, ông phát minh ra một ngôn ngữ mới lạ. Thay cho việc nói 2

cộng căn trừ 121, thì ông nói rằng 2 cộng của trừ căn của 121. Do ñó, “cộng của

+ −

= + 121 2 11

1

− nên ông ñề cập ñến

trừ” trở thành mật mã cho việc cộng căn bậc hai của số âm. Tất nhiên, trừ căn bậc

hai như thế trở thành “trừ của trừ”. Vì 2

nó như “hai cộng của trừ 11” và giải thích qui luật của phép toán như sau:

“Cộng của trừ nhân cộng của trừ thành trừ

Trừ của trừ nhân trừ của trừ là trừ.

i

i

i

i

× = − − × − = − i

1;

1 ;

Cộng của trừ nhân trừ của trừ là cộng”

× − = 1 i

Theo ngôn ngữ hiện ñại, có nghĩa:

Nhưng Bombelli không thực sự nghĩ về “căn số mới” này như là một số. Đúng

3

2

+ −

121

−

2

+ −

121

hơn, ông dường như ñưa ra những qui tắc mà cho phép ông chuyển những công

2

± −

1

= ± −

2

121

về những biểu thức ñơn giản hơn. thức phức tạp như 3

)3

3

3

2

+ −

121

+

2

− −

121

=

2

2

− − 1

4

. Ông ñưa ra (

= . Đây là nghiệm của

(

) + − + 1

(

)

Vì vậy,

phương trình bậc ba, và bắt ñầu theo hướng này, ông tìm ñược nghiệm của phương

trình bậc 3. Những công trình của Bombelli cũng chỉ ra rằng thỉnh thoảng việc tìm

căn bậc hai của số âm cũng cần thiết cho việc tìm nghiệm thực của phương trình.

Nói cách khác, ông chỉ ra rằng sự xuất hiện của những biểu thức như thế không

luôn là những tín hiệu cho những phương trình không thể giải ñược. Đây là dấu

9

hiệu ñầu tiên nói rằng số phức là công cụ toán học thực sự hữu ích. Nhưng

những ñiều ñó ñều vấp phải sự phản ñối của những ñịnh kiến cũ.

Nữa thế kỷ sau ñó, cả hai ông Girard và Descartes biết rằng phương trình bậc n

sẽ có n nghiệm. Nó cho phép căn bậc hai ñúng (căn bậc hai của số dương) và căn

bậc hai sai (căn bậc hai của số âm) và nghiệm phức. Nó giúp tạo ra những công

thức nghiệm tổng quát và ñơn giản hơn. Nhưng những nghiệm phức vẫn thường

ñược mô tả như là “”ngụy biện”, “không thể”, “ảo” hay là “vô nghĩa, vô lý”.

n

x

+

i

sin

x

=

cos

nx

+

i

sin

nx

Vào ñầu thế kỉ 18, Moivre ñưa ra công thức nối tiếng sau

( cos

)

(Công thức này ngầm ẩn trong các công trình của

1− và ñi ñến

Moivre, mặc dù nó không ñược phát biểu dưới dạng này).

eix

=

cos + x

i

sin

x

Một năm sau ñó, Leonhard Euler ñã ñưa ra ký hiệu i thay cho

1−=πie

01 =+πie

π=x

sự liên kết tất cả với nhau khi ông phát minh ra công thức . Khi

, ta ñược hay , công thức này là một công thức quan trọng

vì nó liên kết một số khái niệm quan trọng nhất trong toán học.

Giữa thế kỷ 18, người ta biết ñến số phức như là một bước cần thiết ñể giải

quyết các vấn ñề về số thực. Nó ñóng vai trò quan trọng trong những thuyết về

phương trình, và có mối liên hệ sâu sắc giữa số phức, hàm lượng giác và dạng

mũ.

Nhưng cũng còn rất nhiều vấn ñề. Ví dụ, Euler làm rối tung những căn thức

2− . Căn của một số thực ñược ñịnh nghĩa: 2 có nghĩa là căn bậc hai

giống

dương của 2. Vì số phức không dương, không âm nên không có sự lựa chọn căn

−

.2

−=− 2

;2

−

3

=−−=−

2.3

2

6

bậc hai nào tốt nhất. Do ñó, Euler nói rằng:

nhưng ông không chú ý rằng nếu ông áp

dụng công thức thứ 2 vào công thức thứ nhất thì kết quả không ñúng.

Mặc dù Euler sử dụng số phức rất nhiều, nhưng ông không giải quyết lại những

ñiều mà chúng ta ñã nói ở trên. Trong cuốn Đại số sơ cấp, ông viết:

10

“ Vì mọi số ñều có thể so sánh với 0, nhỏ hơn hay lớn hơn hay bằng 0. Do ñó,

ta không thể ñưa căn bậc hai của một số âm vào ñội ngũ “những số có thể”. Trong

−

;1

−

,2

−

...3

cách này, những số ñó ñược gọi là những ñại lượng ảo vì nó tồn tại trong sự tưởng

là những số không thể, số ảo. Và chúng ta tượng. Mọi ký hiệu

thừa nhận những số này không là gì cả, không lớn hơn hay nhỏ hơn bất cứ thứ gì.

Điều ñó có nghĩa chúng là ảo hay không tồn tại.

Nhưng dù sao ñi nữa, những số này vẫn ở trong ñầu chúng ta, chúng tồn tại

trong sự tưởng tượng của chúng ta và chúng ta vẫn có những ý tưởng về chúng”.

Quan ñiểm của hầu hết các nhà toán học thế kỷ 18 là “Số phức là những số

tưởng tượng có ích”.

Gauss là người thực sự có ý tưởng ñầu tiên về số phức vào năm 1831 và dùng

kí hiệu a+bi ñể chỉ số phức, trong ñó a, b là các số thực, i là ñơn vị ảo. Khi a = 0

thì a+bi = bi là số ảo; khi b = 0 thì a+bi = a là một số thực.

Thế kỷ 19, bắt ñầu xuất hiện những nhu cầu về số phức. Argand, một người

bán sách ở Paris là người ñầu tiên ñưa ra ñề nghị trong một xuất bản 1806. Nó làm

iy

x

+֏, yx

rõ một số giả thuyết về những số tưởng tượng hay những số ảo kỳ quái bằng cách

)

. Giả thuyết của Argand bị bác bỏ cho ñến khi Gauss ñề xuất biểu diễn chúng bằng hình học. Các ñiểm với toạ ñộ của chúng có sự tương ñồng, (

nhiều ý tưởng tương tự vào 1931và chỉ ra rằng nó có thể là một thành phần toán

học có ích.Và Gauss cũng ñề xuất các ñiều kiện cho số phức. Hai năm sau ñó,

Hamilton chỉ ra rằng, ta có thể bắt ñầu từ mặt phẳng ñể ñịnh nghĩa những cặp sắp

thứ tự trong một cách thuận lợi và kết thúc là sự ñồng nhất với số phức.

Hamilton nó rằng số “hư cấu” i chỉ là một ñiểm (0, 1).

Các nhà toán học luôn tìm kiếm ñề tài cho số phức bởi vì sau ñó, chúng quá

hữu ích ñến nỗi mà chúng ta khó tránh tiếp xúc với nó. Euler và Gauss dã chỉ ra

rằng ta có thể sử dụng chúng ñể giải quyết những vấn ñề về ñại số và lý thuyết số.

11

Hamilton ñã ñúc kết những ứng dụng của số phức trong vật lý. Cauchy và

Gauss cũng chỉ ra rằng có thể phát minh ra 1 phương pháp tính ứng dụng cho số

phức. “Phép tính phức” này ñóng vai trò to lớn, một phần bởi vì nó chứng minh dễ

dàng hơn phép tính chỉ ñơn thuần dựa vào số thực.

Trong sổ tay của Riemann,Weierstrass và những người khác, số phức trở

thành một công cụ hết sức mạnh mẽ, ñóng vai trò trung tâm trong toán học

thuần túy và toán học ứng dụng. Thậm chí, Hadamard nói rằng “nếu chúng ta chỉ

quan tâm về số thực và những câu trả lời về số thực, cách dễ nhất thường chứa

ñựng số phức”. Vì vậy, lý do mà chúng ta phải tin vào số phức là: “tại vì số phức

rất hữu dụng”

Nhận xét: Khái niệm số phức nảy sinh từ chính nhu cầu giải quyết các bài

toán của khoa học toán học. Tuy nhiên, ñó không phải là bài toán bậc hai như

chúng ta thường thấy trong chương trình toán ở trường phổ thông hay thậm chí

trên bậc ñại học mà là những bài toán gắn liền với việc tìm nghiệm thực của

phương trình bậc ba.

Tóm lại, chính trong quá trình ñi tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba

mới là ñộng cơ nảy sinh ra số phức.

2. Vấn ñề biểu diễn hình học của số phức trong lịch sử.

Từ thế kỷ 16, mầm mống của số phức ñã xuất hiện. Việc mở rộng hệ thống

tính toán ñại số ñã ñòi hỏi phải ñưa vào căn bậc hai của số âm với tư cách là trung

gian của tính toán.

Tuy nhiên, ñến tận thế kỷ 19, vấn ñề hợp thức căn bậc hai của số âm vẫn luôn

là một trong những nổi bận lòng của các nhà toán học về phương diện triết học.

Người ta gọi ñây là những ñại lượng ảo, xem nó là sản phẩm của trí tuệ thuần túy,

là một ký hiệu hình thức, là ñối tượng ñược lấy làm trung tâm cho các tính toán

ñại số. Người ta luôn quan tâm ñến câu hỏi: nó biểu diễn cho ñối tượng nào của

thực tế toán học?

12

Việc tìm thấy nghĩa của ñại lượng ảo ñược thực hiện trong phạm vi hình học

thông qua các công trình của nhiều nhà toán học.

2.1. Mô hình của Wallis:

Năm 1673, Wallis ñề nghị một hình ảnh phát họa cho các ñại lượng ảo. Trong

cuốn “Algebra” xuất bản năm 1685, ông chính thức ñưa ra một giải thích các ñại

lượng ảo:

“Nếu ta giả sử rằng mặt rộng này là -1600 perches, nghĩa là 1600 perches mất,

và nó có dạng hình vuông, thì liệu có hay không cạnh của hình vuông này? Nếu có

−

1600

thì bằng bao nhiêu? Chắc chắn, cạnh này không thể là +40 hay -40, vì hình vuông

−

16 , 20

−

4 , 40

tương ứng cho 1600perches chứ không phải là -1600 perches. Đó phải là

− ” 1

(căn giả ñịnh của một số âm), hay 10

1− như là cạnh của một hình vuông diện tích

Như vậy, Wallis tưởng tượng 40

là -1600 perches, nhưng trong hình ảnh hình học sơ khai này các ñại lượng ảo

vẫn tồn tại trong sự tưởng tượng.

Tuy nhiên mô hình của ông thất bại vì ông không ñem lại một sự giải thích

thỏa ñáng cho phép nhân. Phương pháp của ông là khái quát hóa vào mặt phẳng

mô hình cộng của những cái ñược và mất ñã ñược sử dụng ñể giải thích cho các

ñai lượng âm.

Theo ngôn ngữ hiện ñại thì ta có thể nói rằng, việc mở rộng từ R vào C của

Wallis có cùng bản chất với việc mở rộng từ N vào Z. Thực ra, phép tương tự ở

ñây chỉ là sự tương tự bề ngoài, nó không tính ñến cấu trúc nhân. Trong thực tế,

mô hình của những cái ñược và mất ñã ñược dùng cho các ñại lượng âm không chỉ

vì nó mang lại nghĩa cho số âm mà trước hết nó tính ñến cấu trúc cộng của Z. Thế

nhưng ở ñây cái liên quan ñến tập hợp các số ảo không phải là cấu trúc cộng mà là

cấu trúc nhân của nó. Mô hình ñược và mất không còn thích hợp ở ñây nữa.

13

2.2. Mô hình của Wessel:

Khám phá ñầu tiên về việc biểu diễn hình học các số phức dường như là công

trình nghiên cứu của Wessel ñược công bố năm 1797.

Wessel không trực tiếp tìm cách giải thích sự tồn tại của các số phức, mà theo

cách nói của ông là tìm cách biểu diễn các phương bằng giải tích. Ông nhận thấy

rằng, với kỹ thuật của ñại số cổ ñiển thì một hướng chỉ có thể ñược biến ñổi thành

hướng ñối của nó, ñến nổi mà khi ñã cố ñịnh một phương thì người ta chỉ có thể

xét cùng lúc các ñường có hai hướng ñối nhau. Để khắc phục các thiếu sót này,

Wessel tìm cách mở rộng các tính toán ñại số trên mọi ñường của không gian sao

cho không làm thay ñổi các qui tắc tính toán quen thuộc.

Để xây dựng một hệ thống tính toán như vậy, ñầu tiên ông ñịnh nghĩa phép

cộng hai ñường. Trong ñịnh nghĩa của ông về tổng hai ñường, ta tìm thấy quan

niệm (ngầm ẩn) về ñại diện của vectơ. Ông cũng lưu ý rằng thứ tự các ñường

trong phép cộng không quan trọng. Sau ñó, ông ñưa vào phép nhân hai ñường

ñồng phẳng. Tích hai ñường ñồng phẳng là một ñường ñồng phẳng có chiều dài

bằng tích các chiều dài và ñộ nghiêng bằng tổng các ñộ nghiêng của hai ñường ban

ñầu.

Theo qui ước của Wessel, một ñường ñơn vị ñược ñược cố ñịnh và kí hiệu là

δ+ . Ông ký hiệu -1 là ñơn vị ñối của +1 và chỉ ra rằng với phép toán ñã ñược ñịnh

+1. Một ñường ñơn vị khác vuông góc với nó và có cùng ñiểm gốc ñược kí hiệu là

= − 1

1 δ− = và (

)( ) + + δ δ

nghĩa như trên thì

1− . Ông

Như vậy, Wessel ñã ñưa ra ñược một cách giải thích hình học cho

cos

v

vδ+ sin

bδ+

cũng chứng minh ñược rằng các bán kính của ñường tròn ñơn vị ñược viết ở dạng

hay a và người ta có thể nhân, chia, nâng lên lũy thừa hửu tỷ

những biểu thức như vậy.

14

2.3. Mô hình của Argand

Năm 1806 Jean Robert Argand (1768-1822) công bố Tiểu luận về một cách

biểu diễn ñại lượng ảo trong phép dựng hình học, trong ñó ông ñưa ra cách biểu

diễn hình học của phép cộng và phép nhân các số phức.

Điểm xuất phát ñầu tiên của Argand là ñại số.

x .

=

Argand tìm cách biểu diễn trung bình nhân của hai ñơn vị có hướng ñối nhau,

x− = − . Vì ñại 1

+ 1 x

x − 1

. Hiển nhiên ta có ñó là ñại lượng x thỏa mãn tỉ lệ thức:

lượng x không thể âm, cũng không thể dương nên cần một hướng thứ 3 chứa x.

Với tư tưởng này, ông biểu diễn các số thực trên cùng một trục, sau ñó xét trục

1

+ − và 1

− − . Như vậy, nguyên lý biểu

vuông góc với trục thứ nhất tại ñiểm gốc của nó. Trên trục thứ hai, hai ñại lượng

ñơn vị theo thứ tự ñược biểu diễn bởi

diễn hình học ñã ñược ñặt ra.

Ông cũng ñưa vào khái niệm ñường ñịnh hướng:

“Đường ñịnh hướng ñược phân biệt với ñường tuyệt ñối- ñường mà người ta

chỉ có thể xem xét chiều dài, không quan tâm gì về hướng”

Để liên kết các ñường ñịnh hướng với nhau, ông chỉ ra rằng những ñường song

1

a b

b±

± ±

− và cuối cùng thì mọi ñường của mặt phẳng ñược biểu diễn bởi

− . 1

song với trục thực ñược viết là a± , những ñường vuông góc với nó ñược viết là

Sau ñó ông thiết lập sự tương ứng giữa các số ảo với các phép dựng hình học

ñược thực hiện trên các ñường ñịnh hướng.

Nhận xét

Trong quá trình tìm nghiệm của phương trình bậc ba thì mầm mống của số

phức ñã bắt ñầu xuất hiện. Tuy nhiên, nó chỉ là cách viết trung gian ñể tìm nghiệm

của phương trình bậc 3. Chính bài toán tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba

15

mới dặt ra vấn ñề là: mọi phương trình bậc ba có nghiệm thực không? Nếu có thì

làm sao xác ñịnh ñược chúng.

Người Hy Lạp cổ ñặc biệt Euclide (330-275 trước công nguyên) ñã tìm ra cách

3

x

3 x=

1

060 ” dẫn tới phương trình

+ . Việc giải phương trình

giải nhưng không thành công các bài toán dẫn ñến phương trình bậc ba. Như bài

toán “chia ba góc

này ñược thực hiện nhờ vào phép dựng hình học.

Phép dựng hình học nghiệm thực của phương trình bậc ba ñã thành công ở

3

2

ax

+

2 a b

=

cx

nhiều nhà toán học, chẳng hạn Al – Haytham (965-1093) khi giải bài toán của

2x

ay=

x

ab

−

=

và Archimede. Bài toán này dẫn tới phương trình bậc ba dạng

( y c

)

và hyperbol . nghiệm ñược xác ñịnh từ giao của parabol

Nhưng biểu thức ñại số của các nghiệm này vẫn chưa xuất hiện trong lời giải.

Cũng chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hình học của số phức mà hệ

thống tính toán vectơ ñã ñược tạo ra.

Kết luận

Trong phân tích trên chúng ta thấy rõ nếu chỉ có các số thực thì ta sẽ gặp bế

tắc trong việc giải các phương trình bậc ba và việc giải quyết bế tắc này ñã ñưa

ñến việc phát minh ra số phức. Và cũng từ số phức người ta chứng minh ñược mọi

phương trình bậc n ñều có n nghiệm. Đây là ñịnh lý mà ngày nay người ta gọi là

“ Định lý cơ bản của Đại Số Học”. Hơn nữa việc phát minh ra số phức còn thúc

ñẩy các lĩnh vực khác tiến thêm một bước nữa và có những ngành Toán học mới

ra ñời như: lý thuyết hàm số biến số phức… . Có thể nói số phức là cầu nối giữa

Đại Số và Giải Tích.

16

Chương 2

SỐ PHỨC DƯỚI GÓC ĐỘ MỘT TRI THỨC KHOA HỌC

Mở ñầu

Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời cho câu hỏi Q2:

“Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc ñại học?” .

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức

trong lịch sử và các cách xây dựng trường số phức trên bậc ñại học. Cụ thể, chúng

tôi nghiên cứu ba giáo trình ñại học khác nhau của ba nước Mỹ, Anh và Việt Nam.

Để thực hiện chương này, chúng tôi ñã sử dụng một số tài liệu tham khảo sau:

1. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen

dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục.

2. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản

ñại học quốc gia thành phố HCM.

3. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ.

4. ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Sách giáo viên, Nhà

xuất bản giáo dục.

5. MATTHIAS BECK, GERALD MARCHESI, and DENNIS PIXTON, A

First Course in Complex Analysis, Department of Mathematics San Francisco

State University, San Francisco CA 94132.

6. W W L CHEN, Introduction to complex analysis, University of London.

7. NGUYỄN VĂN ĐÔNG, Số phức, Giáo trình dành cho sinh viên sư phạm,

Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.

1. Các quan ñiểm về xây dựng khái niệm số phức trong lịch sử.

Năm 1799, Gauss ñưa ra một cách chứng minh ñịnh lý cơ bản của Đại số học.

Nhưng Gauss có thói quen không hay vội vã công bố công trình của mình. Mãi

17

a bi+

ñến năm 1831 những ý tưởng của ông về số phức mới ra công khai dưới dạng

; a và b ñược ñời sau gọi là số nguyên Gauss. Tuy công bố chậm nhưng trên

thực tế, bạn bè cùng học trò của Gauss ñều biết rằng những phát minh ñó hình

thành ñã lâu trong ñầu óc ông và ñã nằm khá lâu trên bàn viết của ông rồi. Gauss

ñã ý tưởng về số phức dưới góc ñộ số học và sau ñó biểu diễn số phức dưới dạng

hình học

Hamilton (1805 – 1865) là người Anh, ông ñã nghiên cứu số phức. Ông xem số

phức như ñược cấu thành từ một cặp số thực (a,b) và trên cở sở ñó Hamilton xây

+

=

+

+

a, b

a', b '

a a', b b '

dựng phép cộng phép nhân :

)

(

)

(

)

=

−

+

aa' bb',ab' ba'

Phép cộng: (

)( a, b a', b'

)

(

)

Phép nhân: (

Các số thực ñược ñồng nhất với cặp số (a,0) và người ta có :

(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0).(1,0) + (b,0).(0,1)

+

Cặp (1,0) gọi là ñơn vị sơ cấp; cặp (0,1) gọi là ñơn vị thứ cấp và từ ñó người

− 1

2

x, y

1, 0

ta có thể ñồng nhất số phức (a,b) với a b

)

( = −

)

có nghiệm là cặp (0,1), Hamilton Đối với phương trình hai biến (

1− là vô lý,

viết “trong lý thuyết về các số ñơn giản (simple number) thì ký hiệu

1− có một ý nghĩa, nó chỉ ra một

nhưng trong lý thuyết các cặp số thì ký hiệu

khai căn có ý nghĩa hay một cặp thực. Trong lý thuyết này ta có thể dùng ký hiệu

mà trước ñây ta cho là vô lý”.

Tuy ñã ñạt ñến ñỉnh khá cao của lý thuyết số phức nhưng Cauchy vẫn luôn ám

ảnh bởi tính chất kỳ diệu của nó. Ông không hài lòng về những cái gì ông ñã ñạt

ñược về số phức và lúc nào cũng tìm cách nghĩ ra một cái gì ñó mới cho nó. Một

trong lý thuyết mới ñó là sự tương ñương ñại số. Cauchy viết: “Lý thuyết số phức

ngày nay ñã quá rõ ràng, trong sáng, dễ hiểu và sẽ thích hợp với mọi tầm cỡ hiểu

18

biết nếu chúng ta bớt ñược biểu thức ảo, không còn chữ i nữa, và thay vào ñó là

một lượng thực”

2 1 x + .

Cauchy phát biểu: hai ña thức là tương ñương nghĩa là cùng biểu diễn một số

phức nếu hiệu của chúng chia hết cho

Lý thuyết trường ra ñời vào giữa thế kỷ thứ 19, sau khi việc công bố các công

trình của các nhà bác học Pháp E.Galois và J. Larange về lý thuyết nhóm và của

nhà bác học Đức K. Gauss về lý thuyết số ñã cho thấy rõ sự cần thiết khảo sát bản

chất của chính hệ thống số. Nhà bác học Đức R. Dedekind ñã ñưa ra khái niệm

tổng quát ñầu tiên về trường, mà ông gọi là “miền hữu tỷ”. Thuật ngữ tương ứng

với “trường” xuất hiện lần ñầu năm 1871 trong công trình “lý thuyết số” của nhà

Bác học Đức P. Dirichlet

2. Các cách xây dựng số phức theo quan niệm lý thuyết trường.

Trường là một khái niệm ñược sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành của toán

2

ℂ

laø taäp

ℝ các cặp số thực (tức mỗi số phức là cặp số thực (a;b) và

học. Trường số phức có thể ñược xây dựng bởi các cách sau:

(cid:1) Coi tập

hiển nhiên coi hai số phức (a,b), (a’,b’) bằng nhau nếu a = a’, b = b’)

+

+

a b ,

a a b b ',

'

( aa

ba

) =

−

a b ,

( a b ',

'

'

bb ab ',

) + '

'

( (

) + ) ( .

a b ', ' )

= (

)

Định nghĩa phép toán cộng và nhân số phức bởi :

Chứng minh ñược rằng ℂ với hai phép toán ñó làm thành một trường.

→ℝ ℂ ( ֏ a a , 0

)

Đơn cấu trường:

a

b

a bi

i =

=

+

= +

a b ,

, 0

cho phép ñồng nhất ℝ với ảnh của nó trong ℂ

(

)0,1

)

(

)

(

) ) ( , 0 . 0,1

Đặt thì viết ñược (

Ở vế phải là phép cộng, nhân trên các số phức.

19

a b

  

− b  a 

(cid:1) Coi ℂ là tập hợp các ma trận cấp hai dạng (a, b là số thực) với

phép toán cộng nhân các ma trận cấp hai.

Dễ thấy ñó là một vành giao hoán, có ñơn vị và mọi ma trận khác 0 thuộc tập

a

hợp ℂ ñều có ma trận nghịch ñảo trong ℂ , tức ℂ là một trường.

0 a

0

  

  

Đồng nhất số thực a ∈ ℝ với ma trận trong ℂ và coi i là ma trận

0 1

  

− 1  0 

a

b

−

a bi

=

+

= +

a b

b − a

0 a

0 b

0

0

0 1

1 0

  

  

  

  

  

  

  

thì viết ñược

a b

  

− b  a 

khác không, coi nó là ma trận của một biến ñổi tuyến tính Chú ý: Khi

2ℝ thì ñó là ma trận của một phép ñồng dạng bảo tồn hướng, giữ bất ñộng gốc

của

2ℝ (hợp thành của một phép quay gốc O (góc quay là một acgumen của số

2

2

a

b+

O của

2 1

phức ñang xét) với phép vị tự tâm O, hệ số vị tự (môñun của số phức ñó))

R x X + của

[ ]

(cid:1) Nhìn theo quan ñiểm trường, có thể coi C là vành thương

2 1

2 1

X + . Do ña thức

X + bất khả qui nên nó là một trường.

vành ña thức một ẩn X(trên trường số thực) chia cho iñêan sinh bởi ña thức

3. Số phức trong một giáo trình của Mỹ.

Tài liệu mà chúng tôi chon nghiên cứu ở ñây là “A first Course in Complex

Analysis” của Matthias Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton.

C

x y ,

:

=

3.1. Về xây dựng số phức

)

{ (

} ∈ với x y R ,

x y ,

a b ,

x a y b ,

,

xa yb xb ya ,

+

=

+

+

=

+

−

Số phức có thể ñược ñịnh nghĩa như một cặp số thực,

)

(

)

(

)

)( x y a b ,

)

(

)

. phép cộng ( và phép nhân (

20

, 0x

Định nghĩa hai phép toán trên là “tốt” và C là mở rộng của R. Trong cách ñịnh

)

x

, 0

y

, 0

x

y

, 0

x

, 0

y

,0

x y .

, 0

+

=

+

=

có tính chất giống số thực, có nghĩa nghĩa này, số phức có dạng (

(

)

(

)

(

)

)(

)

(

)

. Vì vậy chúng ta có thể nghĩ rằng và (

số thực là tập con của số phức, khi những phần tử phức có thành phần thứ 2 bằng

,.C + ,

0.

)

a b C x y

1.

, x y

,

,

:

,

∀

∈

) C

2.

, x y

:

, a b

, c d

, x y

, a b

, c d

∈

+

+

=

+

+

( ( ∀

) ( , ) ( ,

) ∈ ) ( , , a b

( ) , c d

( (

) a b C ( ) , x y

)

(

)

(

)

(

)

(

)

+ (

)

(

)

3.

, x y

,

,

:

, a b

, x y

∀

∈

+

(

)

(

)

4.

, x y

,

) , x y

∀

( +

( =

) ( , ) ∈

) ( : C x y

a b C x y )

) + ) 0, 0

(

, a b (

= )

( (

5.

x y ,

,

,

y

0, 0

∀

∈

+ − − x

=

)

( C x y :

)

(

)

(

)

(

6.

x y ,

a b ,

c d ,

:

,

c d ,

a b ,

x y ,

a b ,

x y ,

c d ,

∀

∈

+

=

+

) ( ,

) ( ,

)

( C x y

)

(

)

(

) ( .

)

(

)(

)

(

( ) (

)

a b C x y

7.

, x y

:

,

,

,

∀

8.

, x y

, a b

, c d

, a b

, c d

, x y

.

, a b

, c d

∀

∈

=

) ( , ) ( ,

) ∈ ) ( ,

( )

) ∈ a b C ) ( ( , . x y

)

)

(

)

(

) ( .

)

( (

) ( . ( : C

) ( .

(

)

9.

,

,

a b ,

x y ,

∀

(

) ( .

)

10.

x y ,

1, 0

,

) x y ,

( ∀

x y , (

) ( , ) ∈

) ( a b C x y . ) =

) ∈ ( C x y :

( : )(

a b , (

= )

11.

∀

x y ,

∈

C

x y ,

,

=

0

(

)

)

{ } ( ) ( \ 0, 0 :

2

2

2

2

x +

x

y

x

y − + y

  

  

là một trường với 11 tính chất T1 cũng ñưa ra ñịnh lý “(

C

Với cách xây dựng nêu trên, (C, +) là một nhóm Aben với phần tử ñơn vị là (0,

(

) { } \ 0, 0 ,.

1, 0

a

, 0

x y ,

ax ay ,

=

0) và là một nhóm Aben với phần tử ñơn vị là (1, 0).

)( ) 0,1 0,1

( = −

)

)(

)

(

)

x y ,

x

, 0

0,

y

x

y

=

+

=

+

. Với cách xây dựng trên thì ( và (

)

(

)

(

)

(

) ( , 0 . 1, 0

)

(

) ( ) , 0 . 0,1

x

y

,0

,x y ñều ñược viết

. Từ ñó suy ra (

) , 0 ,

(

)

)

Nếu coi ( là những số thực thì mọi số phức (

dưới dạng tuyến tính của (1, 0) và (0, 1) với những hệ số thực x và y. (1, 0) ñược

.1 x

y i+ .

xem là số 1. Và nếu ñặt cho (0, 1) là i thì số phức (x, y) có thể ñược viết là

iy+ .

, gọn hơn là x

21

x ñược gọi là phần thực của số phức x+iy, ký hiệu là Re(x+iy).

y ñược gọi là phần ảo của số phức x+yi, ký hiệu là Im(x+yi).

i = − 1

Và theo cách xây dựng trên thì 2

Nhận xét:

- T1 xây dựng trường số phức theo quan ñiểm C là một cặp số thực.

- Cách xây dựng số phức trong T1 không theo trật tự của lịch sử.

- Số phức ñược ñưa ra không phải là bước trung gian ñể giải phương trình

bậc 3, mà ñược xây dựng là một trường mở rộng của trường số thực.

- Đơn vị ảo i ñược ñưa ra như là một ký hiệu ngắn gọn cho số (0, 1).

3.2. Về biểu diễn hình học

2R , ta gọi trục x là trục thực, trục y là trục ảo. Phép

Nếu xem ký hiệu (x, y) như một cặp số thực 2 chiều. Khi biểu diễn những

vectơ này trong mặt phẳng

cộng mà ta ñịnh nghĩa cho số phức hoàn toàn tương tự như phép cộng tọa ñộ trong

vectơ. Nhưng phép nhân thì không có tương tự, nhân hai số phức là một số phức,

2

2

r

= + x

yi

=

x

+

y

nhưng nhân vô hướng hai vectơ thì là một số thực.

x

r ϕ cos

y

r ϕ sin

=

=

Mô ñun của số phức x+yi ñược ñịnh nghĩa và argument

của nó là số ϕ sao cho và .

2π.

Như vậy, mọi số phức ñều có vô số argument và chúng hơn kém nhau bội của

T1 cũng ñưa ra ý nghĩa hình học của phép trừ và phép nhân hai số phức.

Môñun của hiệu hai số phức chính là khoảng cách của hai ñiểm ảnh của hai số

phức ñó trên mặt phẳng tọa ñộ.

Ý nghĩa hình học của phép nhân ñược ñưa ra dựa vào mô ñun và argument của

số phức.

22

z

=

+

=

+

,r ϕ ;

x 1

y i 1

1

2

x 2

y i 2

,r ϕ , thì khi ñó

có mô ñun và Nếu 1 z có mô ñun và argument là 1

2

cos

sin

cos

sin

=

+

=

+

(

(

)

)

)

)

r r . 1 2

x 1

y i 1

x 2

y i 2

r 1

ϕ 1

( i r 1

ϕ 1

r 2

ϕ 2

( i r 2

ϕ 2

( ) (

)

os

( sin

i

=

+

)

) )

)( ( ϕ ϕ + 2

1

( ϕ ϕ + 2

1

+ ( r r c 1 2

+ )

argument là 2

2ϕ ϕ+

1

. Như vậy tích của hai số phức có mô ñun là 1 2.r r và có một argument là

y

M

z z 1 2

M2

φ1+φ2

φ2

M1

φ1

x

O

Về mặt ý nghĩa hình học, chúng ta nhân mô ñun của hai vec tơ biểu diễn hai số

x

yi

i re ϕ

+

=

siniϕ

ϕ+

phức và cộng các argument của chúng.

ie ϕ và

là Người ta còn ký hiệu dạng cos

. ir e ϕ là

Người ta cũng ñưa vào ñịnh nghĩa dạng x+yi là dạng ñại số và dạng

dạng mũ của số phức.

23

x

yi

= − x

= + là z iy

Số phức liên hợp của z , hai ñiểm liên hợp có ñiểm ảnh ñối

xứng nhau qua Ox.

Nhận xét

- T1 ñưa ra rất tường minh và rõ ràng ý nghĩa hình học của các phép cộng

trừ nhân số phức.

- Không ñưa ra ñịnh nghĩa tường minh mặt phẳng phức.

- Biểu diễn hình học ở ñây rất ñược chú ý và xem trọng.

- Không ñưa ra công thức căn bậc 2 và bậc n của số phức dựa vào công thức

Moivre.

- Dạng lượng giác của số phức ñược ñưa ra chủ yếu ñể nêu lên ý nghĩa hình

học của phép nhân chứ không có kiểu nhiệm vụ nào liên quan ñến nó.

3.3. Các tổ chức toán học trong T1

3.3.1. Kiểu nhiệm vụ T1: Tìm số phức (Xác ñịnh phần thực, phần ảo của số

phức, tìm số phức liên hợp, mô ñun của số phức), gồm các kiểu nhiệm vụ con

T1.1. Tìm tổng và hiệu các số phức.

T1.2. Tìm tích hai số phức.

T1.3. Tìm thương hai số phức.

3.3.2. Kiểu nhiệm vụ T2: Viết các số phức từ dạng lượng giác sang dạng ñại

số.

3.3.3. Kiểu nhiệm vụ T3: Viết số phức từ dạng ñại số sang dạng lượng giác.

3.3.4. Kiểu nhiệm vụ T4: Giải phương trình lượng giác trong tập hợp số phức,

gồm các kiểu nhiệm vụ con:

T4.1: Giải phương trình bậc nhất.

T4.2. Giải phương trình bậc hai.

24

T4.3. Giải phương trình bậc cao.

3.3.5. Kiểu nhiệm vụ T5: Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng phức.

4. Số phức trong một giáo trình của Anh

Tài liệu mà chúng tôi chon nghiên cứu ở ñây là “Introduction to complex

analysis” của W W L Chen.

4.1. Về xây dựng số phức

i + = và có thể

Trước khi xây dựng số phức, T2 ñưa vào số i, ñó là số thỏa 2 1 0

i+ 0a

,

+

∈ ñược gọi là số phức. và số có dạng

kết hợp với mọi số thực bằng các phép toán cộng và nhân trong trường số thực.

( a bi a b R

)

, a R∈ là Số có dạng

số thực.

1

Qui tắc cộng, trừ, nhân giống như việc cộng trừ nhân chia các ña phức (biến i)

i = − .

i

=

+

và lưu ý 2

2

2

+ a ib + c di

+ ac bd 2 + d c

− bc ad 2 + d c

yi

= − x

C

z

:

=

= + x

Phép chia hai số thức ñược ñưa ra

∈ ñược gọi là tập hợp số phức. số z

{

} yi x y R ,

Tập hợp

ñược gọi là số phức liên hợp của z.

Nhận xét

- Số phức ñược xây dựng ở T2 như sự mở rộng hệ thống số thực bằng cách

thêm số i. với mục ñích ñể mọi phương trình không có nghiệm trong R ñều giải

ñược.

- Đơn vị ảo ñưa ra trước và số phức ñược xây dựng theo nó.

- Cách xây dựng này ñi theo tương tự tiến trình của lịch sử, tuy nhiên

phương trình bậc hai không phải là ñộng cơ trong lịch sử.

25

4.2. Về tọa ñộ cực và dạng mũ.

Mô ñun và argument của số phức ñược ñưa ra. Tuy nhiên T2 không ñưa ra biễu

diễn hình học của số phức.

T2 cũng ñưa ra công thức nhân chia hai số phức bằng dạng lượng giác và công

thức Moivre trong trường hợp r=1.

k

k

n

α

α

cos

i

sin

R

, α

0

= z R

+

∈

>ℝ , R

w

=

R

cos

+

i

sin

T2 ñưa ra công thức căn bậc n của số phức

(

) ( ,

)

+ 2 α π n

+ 2 α π n

  

  

là .

4.3. Các tổ chức toán học của T2.

4.3.1. Kiểu nhiệm vụ T1: Chứng minh hệ thức liên quan ñến số phức.

4.3.2. Kiểu nhiệm vụ T2: Đưa các biểu thức về dạng chứa x, y (ñây là dạng

toán tương ñồng với dạng toán tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức).

4.3.3. Kiểu nhiệm vụ T3: Giải phương trình.

Nhận xét

- T2 không ñưa vào biển diễn hình học của số phức.

- Ý nghĩa hình học của số phức không ñược thể hiện ở ñây. Do ñó, sẽ không

tồn tại các kiểu nhiệm vụ liên quan ñến biểu diễn hình học của số phức.

5. Số phức trong một giáo trình Việt Nam

Tài liệu mà chúng tôi chọn nghiên cứu ở ñây là giáo trình “Số phức” của TS

Nguyễn Văn Đông, giáo trình dành cho sinh viên sư phạm.

,.+ℝ 2,

C

x y ,

:

=

∈

5.1. Xây dựng trường số phức

)

{ (

} ∈ Với x R y R ,

)

. Trường số phức C ñược T3 ñịnh nghĩa là (

,

=

=

y

=

phép cộng và phép nhân ñược ñịnh nghĩa

(

)

(

)

x y , 1 1

x y , 2

2

x 1

x 2

y 1

2

y

+

=

+

+

nếu +

(

)

(

)

(

)

x y , 1 1

x y , 2

2

x 1

x y , 2 1

2

+

26

=

−

+

(

)(

)

(

)

x y , 1 1

x y , 2

2

x x 1 2

y y x y , 1 2 1 2

x y 2 1

+ .

Số phức ñược ñịnh nghĩa là một phần tử của C.

T3 cũng ñưa ra ñịnh nghĩa mặt phẳng phức:

,

,

“Có một tương ứng 1-1 giữa các ñiểm trong một mặt phẳng với số phức:

( M x y

)

( x y֏

)

. Số phức (x, y) có thể ñồng nhất với một ñiểm trong mặt phẳng

tọa ñộ Descartes vuông góc Oxy. Mặt phẳng với tương ứng như vậy gọi là mặt

phẳng phức”

, 0x

Trường số thực là một trường con của trường số phức và số thực x ñồng nhất

)

. với số phức (

)0,1 và ký hiệu là i, theo ñịnh nghĩa phép nhân

1

i = − .

Đơn vị ảo là số phức có dạng (

,x y là một tổ hợp tuyến

nói trên thì 2

)

x y ,

x

y

=

+

= + . x iy

Dạng ñại số của số phức từ nhận xét mỗi số phức(

1, 0 , 0,1 . (

) (

)

)

( 1, 0

)

(

) 0,1

tính của (

1

2 i = − .

Cộng và nhân hai số phức giống như cộng, nhân hai ña thức ẩn i và lưu ý

iy

x

T3 cũng ñưa ra một cách tương minh ý nghĩa hình học của các phép toán: “Mô

= + ñược ñưa ra là khoảng cách từ ñiểm

) ,M x y ñến gốc

(

ñun của số phức z

z

=

−

( ρ

)

,z z 1

2

z 1

2

tọa ñô O(0, 0) trong mặt phẳng phức.

,z z ” 2

là khoảng cách giữa hai số 1

Nhận xét

- Đơn vị ảo i ñược ñưa ra sau khi giới thiệu số phức, là một số phức với

,

2 ,

R + × , ñược xây dựng không

thành phần ñầu bằng 0.

)

- Tập hợp số phức ñược xem là một trường (

tuân theo tiến trình của lịch sử.

27

5.2. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức

Dạng lượng giác của số phức ñược ñưa ra nhờ biểu diễn ñiểm M qua tọa ñộ

cực của ñiểm M trong mặt phẳng phức. Có nghĩa là:

=

= z OM

“Trong mặt phẳng phức vị trí của ñiểm M ứng với số phức khác không z = x +

Ox, OM

ϕ=

, ϕ là góc lượng yi, còn có thể biểu diễn qua tọa ñộ cực r vàϕ, ở ñây r

)

(

giác từ tia Ox ñến tia OM hay . Ta gọi ϕ là argument của z và ký

2k

π

+

hiệu là argz. Có rất nhiều giá trị ϕ ứng với một số phức. Các giá trị này có thể

= ϕ ϕ 0

0ϕ là một giá trị ñặc biệt nào ñó của argz.

2ϕ π

≤ <

ϕ

z

r

cos

sin

=

+ iϕ

ñược viết , k nguyên, với

)( ) 1

(

sao cho thì ϕ ñược gọi là argument Nếu chọn 0

chính của z và dạng (1) ñược gọi là dạng lượng giác của số phức z.”

Như vậy, mỗi số phức z chỉ có duy nhất một dạng lượng giác, tùy vào

argument chính của nó. Cách xây dựng dựng lượng giác này khác với 2 giáo trình

trên.

ie ϕñược ñưa vào như là một cách viết ngắn gọn của dạng lượng giác

cos

siniϕ

Dạng mũ

. ϕ+

i

)2 ( + k θ π n

n

zρ=

;

k

0,1,...,

n

=

−

ρ e

Giáo trình cũng ñưa ra công thức tổng quát cho căn bậc n của số phức z. Đó là

    

  1   

n giá trị khác nhau , với .

5.3. Các tổ chức toán học trong T3.

5.3.1. Kiểu nhiệm vụ T1: Xác ñịnh các “yếu tố” của số phức.

5.3.2. Kiểu nhiệm vụ T2: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác.

5.3.3. Kiểu nhiệm vụ T3: Biểu diễn số phức dưới dạng mũ.

5.3.4. Kiểu nhiệm vụ T4: Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình

chứa ñơn vị ảo i.

28

Kiểu nhiệm vụ T5: Giải phương trình trong C (tìm số phức thỏa 5.3.5.

phương trình cho trước).

Kiểu nhiệm vụ T6: Giải thích ý nghĩa hình học của các hệ thức 5.3.6.

chứa số phức.

Kiểu nhiệm vụ T7: Chứng minh các hệ thức liên quan ñến số phức. 5.3.7.

29

Chương 3

NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC

Phần A: Số phức trong thể chế Pháp (chương trình song ngữ)

1. Về ñịnh nghĩa và biểu diễn số phức.

1.1. Định nghĩa.

1

2 −=i

Tập hợp số phức C là tập mở rộng của tập số thực với phép nhân và phép cộng

z

+= a

∈

. Mỗi phần tử thuộc C có có tính chất tương tự, và thêm phần tử i sao cho

)Rbabi ,

(

dạng .

Ký hiệu phần thực, phần ảo Re(z), Im(z) ñược trình bày một cách tường minh

trong SGK.

eeO 1, ,

)2

. Số phức z = x+iy có 1.2. Biểu diễn số phức. Mặt phẳng phức là mặt phẳng có ñịnh hướng (

)yxu , (

ảnh là ñiểm M(x, y) hay M(z) hay vectơ .

Hai số phức bằng nhau nếu chúng có cùng ñiểm hay vectơ biểu diễn trên mặt

phẳng phức.

2. Về các phép toán trên số phức.

2.1. Các phép toán.

1

2 −=i

Phép cộng, trừ nhân hai số phức ñược ñịnh nghĩa như phép cộng trừ nhân chia

. hai ña thức biến i với

[P] ñưa ra ñịnh nghĩa phần tử ñối của z =a+ib là –z=-a-ib và phần tử nghịch

ñảo của một số phức khác 0.

Phép chia một số phức với một số phức khác 0 chính là phép nhân số phức này

với nghịch ñảo của số phức kia.

30

2.2. Ý nghĩa hình học của các phép toán.

Tổng của hai vectơ có biểu diễn hình học là vectơ tổng của hai vectơ biểu diễn

'֏

hai số phức ñó.

( ) zM

)α+zM (

là một phép tịnh tiến Phép biến ñổi trên mặt phẳng phức từ

theo vectơ u , là vectơ biểu diễn của số phức α

• [P] ñưa ra nhận xét - Tập C với hai phép toán cộng và nhân ở trên thỏa mãn tính giao hoán, kết

*C ñều có phần tử

,C

hợp ñối với phép cộng, tính chất phân phối ñối của phép nhân ñối với phép cộng;

)×+,

là một trường giao hoán. mọi phần tử thuộc C ñều có phần tử ñối và mọi phần tử thuộc nghịch ñảo. Với những tính chất như trên, (

3. Số phức liên hợp, mô ñun và ý nghĩa hình học.

z

,

z

)( zM

−− , z

OxS →

OS →

- SGK ñưa ra các phép biến hình trong mặt phẳng phức liên quan ñến ảnh

( ) zM

)zM ( − '

( )zM

1

. Đó là ; . của z,

- Mô ñun của số phức z là khoảng cách từ gốc tọa ñộ ñến ñiểm biểu diễn của

nó trong mặt phẳng phức hay ñộ dài của vectơ biểu diễn nó.

n

n

z

z

'

z

' ;

z z z ; .

'

z z .

' ;

z

z

;

z

+

= + z

− = − z

=

=

=

=

≠ ' 0

- [P] còn ñưa ra các phép toán trên các số phức liên hợp

(

)

1 z '

z z

'

1 z '

z z

'

  

  

  

  

và .

z

0

- Các phép toán và tính chất của môñun ñược [P] ñưa ra như sau:

= ⇔ = z 0

z

z

'

z

z

'

+

≤

+

+

z z .

'

z z

'

=

+

+

31

z

=

=

' 0

z ≠

)

1 z '

1 z '

z z

'

z

'

z

+ và với (

z − B

A

z

z

AB

−

=

- Môñun của hiệu là khoảng cách giữa hai ñiểm ảnh của chúng trên

B

A

mặt phẳng phức, có nghĩa . Tính chất này ñược ñưa vào một cách

tường minh trong thể chế Pháp.

4. Argument và dạng lượng giác của số phức.

)OMe ,1

πθ 2k+

. 4.1. Về argument - Argument của z, ký hiệu arg(z) là góc lượng giác (

arg

- Nếu θ là một argument của số phức z thì mọi argument có dạng ,

( ) =z

)πθ 2 (

và kí hiệu . Ở ñây, ký hiệu argument có thêm modulo π2 , khác với

thể chế VN. Điều này giúp học sinh hiểu rõ hơn về agument của số phức. ( thông

thường học sinh nghĩ argument của z chỉ là θ mà thôi).

- Các phép toán trên argument cũng ñược [P] ñưa ra một cách tường minh

như sau:

z

arg

= −

arg

; arg

=

arg

−

arg

'

+ arg(z.z’) = arg(z) + arg(z’).

( ) ( z

) π 2

( ) z

(

) (

) π 2

1 z

z z

'

  

  

  

  

arg

nz

=

n

arg

+

( ) z

(

) 2 π

(

)

+

z

;

− ; z

−

z

- Trong [P] có nêu sự tương quan giữa argument của các số phức z,

. Điều này không có trong thể chế Việt Nam.

- Argument của một số phức có thể lấy số gần ñúng. Điều này trong thể chế

Việt Nam hoàn toàn vắng bóng.

32

a

.=

αiek

)

M z ( )

) ( , r O α →

( h O k , →

- Phép biến ñổi trên mặt phẳng phức biến M(z) thành M’(az) với

( M az '

)

1

( i α M e z

)

ñược mô tả bởi sơ ñồ sau: . Phép biến ñổi

M thành M’ là tích của phép quay tâm O, góc quay α với phép vị tự tâm O tỉ số k.

4.2. Về dạng lượng giác

- Trong thể chế Pháp, có ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau dưới dạng lượng

giác. Đó là nếu mô ñun và argument của chúng bằng nhau.

2

x

y

;2

=

+

α =

x α sin; r

y cos r z ==   r

→

z

r

=

+ α sin i

- Sự chuyển ñổi từ dạng lượng giác sang dạng ñại số ñược cho bởi sơ ñồ sau:

( cos

)α

Dạng z = x+yi dạng

Trong ví dụ của SGK Pháp, kiểu nhiệm vụ chuyển từ dạng ñại số sang dạng

lượng giác chủ yếu dựa vào hình vẽ. Từ hình vẽ, ta có thể suy ra argument và ñộ

lớn của số phức, từ ñó suy ra dạng lượng giác của số phức.

−

i+ α sin

Trong [P] còn có KNV chuyển từ dạng chứa các hàm số lượng giác sang dạng

( 2 cos

)α

i

sin

+

không phải là dạng lượng giác, ñược lượng giác ví dụ như

( 2 cos

( ) + πα

)πα ( ) +

chuyển thành dạng lượng giác .

- Phép nhân và phép chia số phức dưới dạng lượng giác ñược ñưa vào. Nhân

hai số phức có nghĩa là tìm tích mô ñun và tổng argument; chia hai số phức tức là

tìm thương các mô ñun và hiệu các argument của chúng.

- Giải phương trình trong tập hợp số phức bằng phương pháp sử dụng lượng

giác ñược trình bày một cách tường minh thông qua một ví dụ ñược trình bày

trong [P]. Kỷ thuật giải này vắng bóng hoàn toàn trong thể chế Việt Nam.

α

cos

i+ α sin

5. Dạng mũ của số phức, công thức Moivre và công thức Euler.

ñược ký hiệu gọn hơn là αie . - Số phức dạng

33

n

α

cos

+

i

sin

=

cos

+

i

sin

) α

( ) n α

( )α n

n

α

−

i

sin

=

cos

−

i

sin

- và [P] ñưa vào hai công thức Moivre là (

( cos

) α

( ) n α

( )α n

. Công thức thứ 2 không ñược ñưa vào tường

α i

α i

α i

α i

−

−

e

e

e

e

α

α

=

=

cos

sin;

minh trong thể chế VN.

+ 2

− 2

- Công thức Euler cũng ñược ñưa ra:

Ứng dụng của công thức Euler và dạng mũ ñược [P] trình bày khá nhiều. Thể

chế VN hoàn toàn vắng bóng chúng. Do ñó các KNV liên quan ñến chúng ñều

không ñược ñưa vào.

6. Căn bậc hai và phương trình trong tập hợp số phức.

Trong thể chế Pháp, SGK chỉ ñưa vào căn bậc hai của số thực âm và số thực

dương. Căn bậc hai của số phức dạng z = a+bi không ñược ñưa vào. Điều này kéo

theo phương trình bậc hai ñược ñưa vào [P] chỉ ñược giới hạn có hệ số thực mà

thôi.

Thế nhưng ñối với phương trình bậc ba thì các hệ số có thể là số phức. Tuy

nhiên, khi ñưa về phương trình bậc hai thì cũng chỉ có hệ số là số thực mà thôi.

7. Các tổ chức toán học liên quan ñến số phức.

7.1. Nhóm 1: Viết dưới dạng ñại số của một số phức.

Trong nhóm 1, có các kiểu nhiệm vụ:

T1: “Tìm tổng của hai số phức”.

T2: “Tìm hiệu của hai số phức”.

T3: “Tìm tích của hai số phức”

T4: “Tìm thương của hai số phức”

T5: “Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức”

7.2. Nhóm 2: Xác ñịnh liên hợp của một số phức.

Trong nhóm 2, có các kiểu nhiệm vụ.

34

T1: “Tìm tổng của hai số phức”.

T2: “Tìm hiệu của hai số phức”.

T3: “Tìm tích của hai số phức”

T4: “Tìm thương của hai số phức”

T5: “Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức”

Yêu cầu của các bài toán thuộc nhóm này bao gồm việc ñưa về dạng ñại số của

1 số phức. Sau ñó mới tìm số phức liên hợp.

7.3. Nhóm 3: Giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất.

Các kiểu nhiệm vụ gồm:

T5: “Giải phương trình bậc nhất”

T6: “Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn”.

7.4. Nhóm 4: Biểu diễn hình học của ñiểm, của vectơ trong mặt phẳng

phức.

Gồm có KNV T7: “Biểu diễn hình học của ñiểm, của vectơ trong mặt phẳng

phức”

7.5. Nhóm 5: Tính môñun của một số phức.

Trong nhóm 5, có các KNV

T1: “Tìm tổng của hai số phức”.

T2: “Tìm hiệu của hai số phức”.

T3: “Tìm tích của hai số phức”

T4: “Tìm thương của hai số phức”

T5: “Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức”

Yêu cầu của các bài toán thuộc nhóm này bao gồm việc ñưa về dạng ñại số của

1 số phức. Sau ñó mới tìm môñun của nó.

35

7.6. Nhóm 6: Tìm argurment của một số phức (kể cả tính gần ñúng).

T8: “Dựa vào ñồ thị, hãy xác ñịnh argurment của số phức có ñiểm biểu diễn

cho trước trên mặt phẳng phức”.

T9: “Xác ñịnh argurment của số phức cho dưới dạng ñại số”.

7.7. Nhóm 7: Viết số phức dưới dạng lượng giác.

T10: “Viết số phức từ dạng ñại số sang dạng lượng giác”.

7.8. Nhóm 8: Sử dụng dạng lượng giác ñể tính các biểu thức ñại số.

Gồm các KNV:

T11: “Sử dụng dạng lượng giác ñể tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức

phức”.

T12: “Sử dụng dạng lượng giác ñể giải phương trình bậc cao”

7.9. Nhóm 9: Viết số phức dưới dạng mũ.

T13: “Viết số phức từ dạng ñại số sang dạng mũ”.

7.10. Nhóm 10: Giải phương trình bậc hai trong C với hệ số thực.

T14: “Giải phương trình bậc hai trong C”

7.11. Nhóm 11: Xác ñịnh và biểu diễn tập hợp ñiểm M thỏa ñiều kiện cho

trước.

T15: “Xác ñịnh và biểu diễn tập hợp ñiểm M thỏa ñiều kiện cho trước”.

Các dạng toán trong KNV này thường liên quan ñến: mô ñun, argurment, liên

hợp…

7.12. Nhóm 12: Xác ñịnh phép biến hình biến M(z) thành M’(z’).

T16: “Xác ñịnh phép biến hình biến M(z) thành M’(z’)”

36

Nhận xét

- Thể chế Pháp rất chú trọng ñến ý nghĩa hình học của số phức, các phép toán

trên số phức thông qua khá nhiều kiểu nhiệm vụ có kỹ thuật giải là dùng hình học.

- Cách xây dựng trường số phức của thể chế Pháp xây dựng là vết của quan

ñiểm mở rộng trường R của ñại học.

- Dạng mũ của số phức cũng ñược ñưa vào chương trình.

37

Phần B: Số phức trong thể chế Việt Nam

1. Phân tích chương trình

Chương số phức ñược ñưa vào cuối chương trình toán 12. Đây là một chương

mới ñược ñưa vào giảng dạy ở bậc trung học phổ thông.

Mục tiêu của chương

- Kiến thức

Giúp học sinh hiểu ñược:

+ Dạng ñại số, biểu diễn hình học của số phức, phép toán cộng trừ nhân chia số

phức dưới dạng ñại số, mô ñun của số phức, số phức liên hợp và căn bậc hai của

số phức.

+ Dạng lượng giác, acgumen của số phức, phép nhân, chia hai số phức dưới

dạng lượng giác, công thức Moivre.

- Kỹ năng

Giúp học sinh thành thạo các kĩ năng:

+ Biểu diễn hình học số phức.

+ Thực hiện phép cộng trừ, nhân chia số phức dưới dạng ñại số, phép nhân

chia số phức dưới dạng lượng giác.

+ Biết chuyển ñổi ñược dạng ñại số của số phức sang dạng lượng giác.

+ Biết cách tìm căn bậc hai của số phức dưới dạng ñại số và dạng lượng giác

và áp dụng ñể giải phương trình bậc hai.

+ Ứng dụng ñược công thức Moivre vào một số tính toán lượng giác.

Cấu trúc chương trình

Nội dung gồm 3 bài, giảng dạy trong 13 tiết, phân phối như sau

38

Bài 1: Số phức 4 tiết.

Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai.3 tiết.

Bài 3: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng , 3 tiết.

Nhận xét

- Số phức ñược ñưa vào cuối chương trình toán phổ thông nhằm kết thúc việc

giới thiệu hệ thống các tập hợp số cho học sinh : số tự nhiên, số nguyên, số thập

phân, số hữu tỉ, số thực và số phức.

- Mục tiêu chính của chương là làm cho học sinh thấy nhu cầu mở rộng tập

hợp số thực thành tập hợp số phức và tính toán thành thạo số phức.

- Biểu diễn hình học của số phức và ý nghĩa hình học của các khái niệm liên

quan ñến các phép toán về số phức cũng ñược SGK chú trọng nhằm giúp học sinh

hiểu rõ hơn về tập hợp số phức và các khái niệm liên quan.

2. Phân tích sách giáo khoa.

2.1. Về ñịnh nghĩa và các phép toán trên tập hợp số phức.

2M trình bày là sự mở rộng tập hợp các số thực, trong

Tập hợp Số phức ñược

ñó các phép cộng và nhân với tính chất tương tự phép toán cộng và nhân các số

0∆ < ñều có nghiệm.

thực sao cho các phương trình bậc hai hệ số thực có biệt số

2 1 0 x + =

Muốn thế, ñể mọi phương trình bậc hai ñều có nghiệm, người ta ñưa ra số i sao

cho bình phương của nó bằng -1. Khi ñó, i là nghiệm của phương trình

2 4 0 x + = …

và 2i là nghiệm của phương trình

2M ñưa ra như sau:

Định nghĩa số phức ñược

a bi

= +

1

i = − . Kí hiệu số phức ñó là z và viết z

“ Một số phức là một biểu thức dưới dạng a+bi, trong ñó a và b là những số

. thực và số i thỏa mãn 2

a bi

= +

i ñược gọi là ñơn vị ảo, a ñược gọi là phần thực và b ñược gọi là phần ảo của số

phức z .

39

Tập hợp số phức ñược kí hiệu là C”.

2M mô tả cũng gồm hai thành phần, phần thực và

Khái niệm số phức ñược

phần ảo ñược liên kết bằng dấu “+”, trong phần ảo gồm một số thực liên kết với

2M ñưa ra chú ý:

z

a = +

i 0

số i bằng dấu “.”.

0a i +

= ∈ ⊂ a R C

“ Số phức có phần ảo bằng 0 ñược coi là số thực và viết là

z

bi

i

=

∈

= + 0

;

= + = i i 1 0 1

( bi b R

)

= +

Số phức có phần thực bằng 0 ñược gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):

2M không ñưa ra tường minh kí hiệu Rez, Imz ñể chỉ phần thực, phần ảo của

Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo.”

số phức z theo giải thích là cho ñỡ nặng nề.

SGK cũng ñưa ra ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau nếu chúng có phần thực và

,

+

phần ảo bằng nhau.

∈ bằng 0 » sẽ làm cho học sinh

( a bi a b R

)

Hoạt ñộng H1 : « Khi nào số phức

hiểu rõ hơn rằng, số 0 vừa ñược xem là số thực (phần ảo bằng 0), vừa ñược xem là

0

z

= +

a bi

=

0

a b R

,

số ảo (phần thực bằng 0). Ngoài ra, từ hoạt ñộng này học sinh sẽ suy ra một tính

(

0

a = ) ∈ ⇔  = b

chất mà sẽ sử dụng rất nhiều về sau là

a bi

= +

Từ sự bằng nhau của hai số phức này, ta nhận thấy: mỗi cặp số thực (a ; b)

xác ñịnh một số phức duy nhất và ngược lại mỗi số phức z cho ta một cặp

số (a ; b) duy nhất. Chính ñiều này là cơ sở của việc biểu diễn hình học của số

2M ñưa ra như sau: “ Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa ñộ Oxy.

= +

,

phức.

∈ ñược biểu diễn bởi M có tọa ñộ (a ; b). Ngược lại,

( z a bi a b R

)

Mỗi số phức

40

a bi

= +

rõ ràng mỗi ñiểm M(a ; b) biểu diễn một số phức z . Ta còn viết M(a+bi)

hay M(z)”.

2M không nêu lên một cách tường minh ánh xạ song ánh giữa tập hợp

Ở ñây,

các số phức và mặt phẳng phức, song ánh này ñược ngầm ẩn thông qua mối tương

quan 1-1 giữa ba ñối tượng

z = a + bi ↔ (a; b) ↔ M(a; b),

2M ñưa ra.

mà

1M ñiểm biểu diễn số phức z=ai+b là M(a, b) trong một hệ tọa ñộ

Nếu như ở

( M a bi+

)

( )M z cho ta

2M còn ñưa ra kí hiệu

vuông góc của mặt phẳng, thì ở hay

thấy rõ hơn mối liên hệ giữa M và số phức mà nó biểu diễn. Ký hiệu M(a, b) chỉ

ñơn thuần là tọa ñộ của ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ, còn ký hiệu M(a+bi) cho ta

2M cũng ñưa ra tường minh ñịnh nghĩa mặt phẳng phức, trục thực, trục ảo.

thấy rõ hơn M là ñiểm biểu diễn của số phức trong mặt phẳng tọa ñộ.

“Mặt phẳng tọa ñộ với việc biểu diễn các số phức như thế ñược gọi là mặt

phẳng phức.

Gốc tọa ñộ O biểu diễn số 0.

Các ñiểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, do ñó trục Ox còn ñược gọi

là trục thực.

Các ñiểm trên trục tung biểu diễn các số ảo, do ñó trục Oy còn ñược gọi là trục

ảo. ”

41

y (trục ảo)

M(a, b)

b

a+bi

a

x (trục thực)

O

2M ñịnh nghĩa như sau

z a bi z

R

= +

,

'

a = + '

b i a a b b ,

',

,

'

'

Tổng của hai số phức ñược

∈ là số phức

(

)

z

a a

z

+ = + +

+

'

'

'

“ Tổng của hai số phức

(

) b b i

”.

Trong ñịnh nghĩa trên, cộng hai số phức có nghĩa là cộng phần thực với nhau

và cộng phần ảo với nhau, và tổng của hai số phức là một số phức. Điều này cho

thấy phép cộng trong tập hợp các số phức C có tính chất nội tại.

M2 nêu rõ một cách gián tiếp rằng tập hợp (R,+,×) là một trường giao hoán

con của (C,+,×) bằng cách, trước khi ñưa vào khái niệm số phức, nêu rõ phần

nhận xét ban ñầu là phép toán cộng và phép toán nhân trong tập hợp số phức có

các tính chất tương tự phép toán cộng trong tập số thực : tính chất giao hoán, tính

chất kết hợp, phần tử trung hòa 0, phần tử ñơn vị, tính chất phân phối của phép

nhân ñối với phép cộng, phần tử ñối, phần tử nghịch ñảo...

Hai số phức ñối nhau có biểu diễn hình học là hai ñiểm ñối xứng nhau qua gốc

tọa ñộ. Phép biến ñổi của mặt phẳng phức biến ñiểm M biểu diễn số phức z thành

ñiểm M’ biểu diễn số z’=-z là phép ñối xứng qua tâm O.

42

y

+

+

z

'

(cid:2)(cid:1) (cid:1) ( ' u u z

)

'

(cid:1) ( u z '

)

−

−

z

'

(cid:2)(cid:1) (cid:1) ( ' u u z

)

x

O

2M ñịnh nghĩa là phép cộng giữa một số và số ñối

Phép trừ hai số phức ñược

1M không ñưa ra ñịnh nghĩa số

1M , do

của số kia. Điều này có sự khác biệt với

1M ñưa ra hiệu 2 số phức là một số phức có phần thực là hiệu 2 phần

phức nên

2M phép trừ chẳng qua là phép cộng các

thực và phần ảo là hiệu 2 phần ảo. Còn

phần tử của tập hợp phức.

Sau khi trình bày ñịnh nghĩa phép cộng và trừ hai số phức, M2 ñưa ra ý nghĩa

hình học của phép cộng và phép trừ số phức.

z

a bi

a bi

= +

= +

(cid:4) . Ta cũng coi mỗi vectơ u

“Trong mặt phẳng phức, ta ñã coi ñiểm M có tọa ñộ (a ; b) biểu diễn số phức

có tọa ñộ (a ; b) biểu diễn số phức z .

(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:4) Khi ñó, nói M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa vectơ OM

biểu diễn số phức

ñó.

43

(cid:4) (cid:5)(cid:4) u u , '

Do ñó: nếu theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ thì

(cid:5)(cid:4) (cid:4) u u+ ' (cid:5)(cid:4) (cid:4) u u− '

biểu diễn số phức z+z’

biểu diễn số phức z-z’ ”.

Như vậy, tổng của hai số phức có biểu diễn hình học là một vectơ tổng của hai

vectơ biểu diễn hai số phức ñó. Hiệu của hai số phức cũng có biểu diễn hình học

chính là hiệu của hai vectơ lần lượt biểu diễn hai số phức ñó.

(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:4) 'MM

Như vậy, về mặt hình học, việc cộng hai số phức z và z’ là thực hiện phép tịnh

trong mặt phẳng phức biến ñiểm M thành ñiểm M’, trong ñó tiến theo vectơ

M là ñiểm biểu diễn cho z và M’ biểu diễn cho z’.

a

a bi+

'

b i+ '

1

Phép nhân hai số phức ñược thực hiện bằng cách nhân hình thức hai biểu thức

i = − .

2M ñưa ra ñịnh nghĩa sau: “Tích hai số phức

z

a bi

z

R

zz

aa

bb

= +

=

−

+

'

a = + '

b i a b a b ,

',

,

'

'

'

'

'

'

'

và rồi thay 2

∈ là số phức

(

)

(

) a b ab i +

và ”. Tuy

2M không ñề cập ñến ý nghĩa hình học của phép nhân.

2M cũng ñưa ra chú ý về tích của một số thực và một số phức “ Với mọi số thực

k

+

=

+

=

ka kbi +

,

nhiên,

( a bi a b R

) ∈ ta có

( k a bi +

)

(

)( i a bi + 0

)

k và mọi số phức ”.

Tích của một số thực và một số phức ñược thực hiện thông qua tích của hai số

phức (coi số thực là một số phức có phần ảo bằng 0).

SGV trang 227 : « với học sinh giỏi có thể nói thêm: phép biến ñổi trong mặt

phẳng phức biến ñiểm M biểu diễn số phức z thành M’ biểu diễn số phức z’=kz (k

là số thực khác 0 cho trước) là phép vị tự tâm O với hệ số vị tự là k.

Ví dụ 5 trang 185 “Trong mặt phẳng phức, nếu M biểu diễn số phức z, ñiểm

z

z+

'

M’ biểu diễn số phức z’ (M khác M’) thì trung ñiểm P của ñoạn thẳng MM’ biểu

(

)

1 2

diễn số phức ”. Tính chất này tương tự như tính chất trung ñiểm của ñoạn

thẳng trong hình học phẳng.

44

z

x = +

yi x y R ,

∈ . Tính

2z và tìm các

(

)

Hoạt ñộng 4 trang 186 “Xét số phức

2z là số thực ”.

ñiểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho

Từ ñây, chúng tôi tìm thấy một kiểu nhiệm vụ “Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt

phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa ñiều kiện cho trước”. Kiểu nhiệm vụ này sẽ

ñược chúng tôi ñề cập kỹ phần sau.

Các tính chất của phép nhân số phức ñược ñề cập ở ñây là tính chất giao hoán,

tính chất kết hợp, tính chất nhân với 1 và tính chất phân phân phối của phép nhân

ñối với phép cộng.

Các tính chất trong phép nhân số phức tương tự các tính chất của phép nhân số

thực, nên các hằng ñẳng thức, các phép tính nào ñược thực hiện trong số thực thì

2M ñịnh nghĩa số phức liên hợp như sau:

a bi

= −

= +

,

∈ là a bi−

cũng ñược thực hiện trong số phức. Ví dụ 6 trang 186 ñã làm rõ ñiều ñó.

( z a bi a b R

)

và ñược kí hiệu bởi z ” “Số phức liên hợp của

Về mặt hình học, hai số phức liên hợp có biểu diễn hình học là hai ñiểm ñối

xứng nhau qua trục hoành và số thực là số có liên hợp bằng chính nó. Tích của hai

số phức liên hợp luôn là một số thực.

2M ñược trình bày một cách ñầy ñủ cả về phương diện

Số phức liên hợp ñược

ñại số lẫn hình học. Điều này giúp học sinh hiểu một cách trực quan khái niệm này.

Tuy nhiên những tính chất quan trọng của chúng ñều trình bày dưới dạng câu hỏi.

2M ñịnh nghĩa là khoảng cách từ ñiểm M biểu diễn

Môñun của số phức z ñược

số phức z ñến gốc tọa ñộ O.

45

y

M(z)

x

O

1

z = là ñường tròn có bán kính là 1 với tâm tại gốc tọa ñộ”.

Từ ví dụ 9 trang 188 “Trong mặt phẳng phức, tập hợp các ñiểm biểu diễn số

2

2

a bi

z

a

b

= +

=

+

phức z sao cho

= 1

2

2

a

b+

1

= . Khi ñó tọa ñộ của

;M a b biểu diễn số phức z thỏa phương

Lời giải ñược chúng tôi trình bày như sau: Gọi z . Khi ñó

(

)

2

2

2

a

x

b+

y+

1

2 1

Suy ra

= . Do ñó, M thuộc ñường tròn có phương trình

= , là ñường

trình

tròn có tâm O và bán kính bằng 1. Đây là kiểu nhiệm vụ nêu lên mối quan hệ giữa

tập hợp phức và mặt phẳng phức một cách rõ ràng nhất.

2M ñưa ra khái niệm số phức

z

z

− = 1

Trước khi ñưa vào phép chia cho số phức khác 0,

1 2

z

nghịch ñảo. “Số phức nghịch ñảo của số phức z khác 0 là ”.

'z z

−

1

=

z z '.

“ Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số

z ' z

=

phức nghịch ñảo của z, tức là

z ≠ thì 0

z z '. 2

z ' z

z

Như vậy nếu ”.

2M , ta có thể nói phép chia (cho số phức khác 0) là phép toán

Từ ñịnh nghĩa của

ngược của phép toán nhân.

46

Như vậy, M2 ñịnh nghĩa phép chia hai số phức bằng cách sử dụng phần tử

nghịch ñảo của một số phức khác 0, ñiều ñó cho thấy việc xây dựng tập hợp các số

phức C với các phép cộng và nhân như một trường giao hoán theo cấu trúc ñại số.

Nhận xét

Qua cách giới thiệu của SGK, số phức xuất hiện nhầm giải quyết vấn ñề giải

phương trình bậc hai không có nghiệm thực. Ta thấy cách làm này không phù hợp

với sự tiến triển của khái niệm số phức trong lịch sử thông qua việc phân tích khoa

học luận ở trên. Vì việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai có thể thực hiện trong

phạm vi số thực. Nó không tạo ra sự mất cân bằng về mặt nhận thức. Vậy tại sao

SGK lại lựa chọn cách giới thiệu này ? Theo giải thích của SGV (trang 226) « giáo

viên chỉ nên giới thiệu một cách nhẹ nhàng ñể nói lên sự cần thiết phải xét các số

phức ».

2.2. Về căn bậc hai của số phức.

2M ñưa vào ñịnh nghĩa căn bậc hai của số phức w là số phức z

2 w z =

Trong mục 1,

z −

thỏa .

Nói cách khác, mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình 2 w 0 =

2M cũng ñưa ra cách tìm căn bậc hai của số phức w như sau:

(ẩn z).

a= ≠ 0

,a

a−

• Nếu w là số thực: w

−

,ai

- Nếu a>0 thì hai căn bậc hai của a là

− − ai

w

ai b a b R b ,

,

=

∈

+

- Nếu a<0 thì hai căn bậc hai của a là

≠ 0

(

)

2 w z =

z

yi x y R ,

= + x

• Nếu

∈ là căn bậc hai của w khi và chỉ khi

(

)

2

2

a

=

2

2

x

+

yi

a bi

x

+

yi

=

x

−

y

+

2

xyi

2 =wz

Gọi , tức là

(

)2

= + . Do (

)2

x 2

− xy

b

y =

  

nên khi và chỉ khi

Vậy ñể tìm căn bậc hai của w, ta chỉ cần giải hệ phương trình này.

47

2M giới thiệu cách xây dựng công thức tổng quát căn bậc hai của một số phức

có phần ảo bằng 0, tức là số thực âm và dương thông qua việc giải phương trình tích

2

2

a

=

A.B = 0. Còn ñối với số phức dạng a + bi thì SGK chỉ hướng dẫn cách tìm căn bậc

2M không ñưa ra công thức

x 2

− xy

b

y =

  

. Việc hai bằng cách giải hệ phương trình

tổng quát căn bậc hai này theo giải thích là « không muốn ñòi hỏi học sinh phải nhớ

công thức này (hơi phức tạp, vả lại về sau khi ñã học dạng lượng giác của số phức

thì việc tìm căn bậc hai dễ dàng nhờ công thức Moivre).

Ngoài ra, có một sự khác biệt giữa căn bậc hai của số phức và căn bậc hai của số

thực. Trường số thực là một trường sắp thứ tự còn C không phải. Do ñó không thể

ñể chỉ căn bậc hai của số phức w 0≠ vè có hai căn bậc hai và dùng kí hiệu

không có sự ưu tiên nào trong chúng. SGK cũng ñề cập vấn ñề này thông qua bài

1− và

−

1.

1

tập ñố vui 22 trang 197: Một học sinh ký hiệu căn bậc hai của của –1 là

− như sau:

−

1.

1

tính

− = − 1

−

−

−

=

1.

− = 1

= 1 1

a. Theo ñịnh nghĩa căn bậc hai của 1− thì :

(

)( 1

) 1

b. Theo tính chất của căn bậc hai thì :

i2

−

=

1.

− = 1

i i 1. . 1.

Giải

= − 1

−

−

1.

a. Kết quả trên là ñúng. Vì

− = , các 1

− chỉ là một căn bậc hai của ( 1

)( 1

) 1

−

−

b. Lập luận trên sai ở chỗ

(

)( 1

) 1 & 1

ký hiệu chưa xác ñịnh

1M - các phương trình bậc hai ñược ñưa vào ñều có hệ số là số thực,

Khác với

2M mọi phương trình bậc hai

2

Az

+

+ Bz C

0

nhờ tính ñược căn bậc hai của số phức, trong

= trong ñó A, B, C là những số phức (

)0A ≠

ñều có hai nghiệm phức,

∆ =

B

2 4 −

AC

có thể trùng nhau. Việc giải phương trình bậc hai ñó ñược tiến hành như sau :

• Xét biệt thức

48

δ

δ

z

=

,

=

0∆ ≠ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 z

2

− + B 2 A

− − B A 2

- Nếu ,

=

z

=

trong ñó δlà một căn bậc hai của ∆

0∆ = thì phương trình có nghiệm kép 1 z

2

− 2

B A

- Nếu

Việc mở rộng thành trường số phức từ trường số thực là tính ñóng với các

phương trình ñại số. Mỗi phương trình ñại số bậc n ñều có ñúng n nghiệm. Nói riêng, phương trình xn có n nghiệm, hay là căn bậc n của số phức khác 0 bất kì có n

giá trị.

0

0

2.3. Về dạng lượng giác của số phức.

z ≠ : «Cho số phức

z ≠ . Gọi M là

2M ñưa vào acgumen của số phức

Ở mục 1,

một ñiểm trong mặt phẳng phẳng biểu diễn số phức z. Số ño (radian) của mỗi góc

lượng giác tia ñầu Ox, tia cuối OM ñược gọi là một acgumen của z »

2M :

Vậy, theo

ϕ π+ k 2 ,

k Z

∈ .

0

• Một số phức có thể có nhiều acgumen. • Nếu ϕ là một acgumen của số phức z thì mọi acgumen của z có dạng

z ≠ và l là số thực dương) có acgumen sai khác

k

k Zπ ∈ . 2 ,

• Hai số phức z và lz (

y

N(lz)

M(z)

.l r

r

φ

x

O

49

2M ñưa vào như sau:

0

z

r

cos

sin

=

+ iϕ

Dạng lượng giác của số phức ñược

r > , ñược gọi là dạng lượng giác của số

(

) ϕ

« Dạng , trong ñó

z ≠ » 0

phức

r

cos

iϕ

z

a bi

,

a b R

,

= +

Từ nhận xét trang 201, ta có thể ñưa ra một kiểu nhiệm vụ: « tìm dạng lượng

∈ khác 0 ».

(

) ϕ+ sin

)

(

giác của số phức

2

2

r

a

b

=

+

Kỹ thuật giải ñược tìm thấy:

ϕ

cos

=

• Tìm r:

ϕ

=

    sin 

a r b r

• Tìm ϕ: giải hệ phương trình

2M trình bày như sau:

ϕ

z

r

cos

i

sin

,

z

'

r

i

sin ' ϕ

r

=

+

=

+ ' ϕ

r≥ 0,

≥ ' 0

Nhân và chia số phức ở dạng lượng giác ñược

(

) ϕ

( ' cos

)

)

zz

'

=

rr

+

i

sin

cos

+

i

sin

=

( − ' ϕ ϕ

)

( − ' ϕ ϕ

)

( + ' ϕ ϕ

)

( + ' ϕ ϕ

)

 

 » 

' cos  

 và 

z z

'

r r

'

« Nếu thì , (

y

M

z z 1 2

M2

φ1+φ2

φ2

M1

φ1

x

O

50

Dưới dạng lượng giác:

- Để nhân các số phức, ta lấy tích các môñun và tổng các acgumen.

- Để chia các số phức, ta lấy thương các môñun và hiệu các acgumen.

Nét nổi bật của bài này là ý nghĩa hình học của phép nhân và chia các số phức

ñược thể hiện rõ ràng nhờ dạng lượng giác của chúng. Đồng thời về hình học, số

phức giúp khảo sát nhiều ñiều trong mặt phẳng như phép tịnh tiến, phép vị tự,

phép dời hình ….SGV trang 225: “Dễ thấy biến ñổi của mặt phẳng phức biến ñiểm

z

z

(cid:4) ' = + β ( β là số phức cho trước) là phép tịnh tiến theo vectơ u

M tùy ý biểu diễn số phức z thành ñiểm M’ biểu diễn số phức z’ sao cho:

biểu diển số -

z

z

− '

phức β .

1α = ,

0z là số phức cho trước) là

z 0

z 0

( = α −

)

- (α là số cho trước,

0z ) với góc quay là một argument của α.

z

(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:4) AM

= α −

z = −

=

z '= −

(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:4) Điều ñó suy ra từ AM '

phép quay tâm A (biểu diễn số phức

z 0

z 0

z 0

0

α

=

và khi M A≠ , một góc

'z − − z

z z

0

lượng giác tia ñầu là AM, tia cuối là AM’ có số ño là một argument của

z

=

−

'−

- Cho số phức z biểu diễn bởi ñiểm M tùy ý trong mặt phẳng phức. Phép biến

z 0

z 0

( k z

)

ñổi ñiểm M thành M’ biểu diễn số phức z’ sao cho : (với k là số

' = α + β ( z

,α β là số phức cho

thực khác 0) là phép vị tự tâm A (biểu diễn số phức z0 ) với hệ số vị tự k.

Từ ñó suy ra phép biến ñổi xác ñịnh bởi z

1α = và một phép quay khi

1α≠ (vì khi

'z

=

zα β

z

=

'z

z

z

zα−

=

−

1α≠ thì

+ có thể ñược viết thành

trước, α = 1) là một phép tịnh tiến khi

(

)

0

0

0

α

β −

1

với )”

2M không trình bày những ñiều này. Việc không trình bày các

Tuy nhiên

phép biến hình về số phức. Nhưng lại giới thiệu ý nghĩa hình học của dạng lượng

2M là gì? Tìm câu trả lời cho vấn ñề này trước hết chúng

giác. Vậy mục ñích của

51

ta cần xem xét yêu cầu của thể chế ñược thể hiện thông qua Sgv trang 248 về kỹ

năng và kiến thức mà học sinh cần ñạt ñược:

Kiến thức:

- Hiểu rõ khái niệm acgument của số phức - Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức - Biết công thức nhân chia số phức dưới dạng lượng giác - Biết ứng dụng công thức Moivre vào lượng giác

Kỹ năng:

- Biết tìm argumen của số phức - Biết ñổi từ dạng ñại số sang dạng lượng giác của số phức - Tính toán thành thạo phép nhân chia số phức dưới dạng lượng giác - Sử dụng ñược công thức Moivre

Như vậy qua các yêu cầu ta thấy việc giới thiệu ý nghĩa hình học dạng

lượng giác của số phức cũng chỉ dừng ở việc giúp học sinh trực quan và nắm ñược

khái niêm mới chứ không ñi sâu vào khảo sát và giải quyết các vấn ñề ñã nêu ở

trên.

M2 không ñưa ra ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau trong dạng lượng giác. Có

phải chăng ñiều này có thể gây khó khăn cho học sinh khi giải phương trình

trong tập hợp phức bằng phương pháp dùng dạng lượng giác của số phức ?

Ứng dụng dạng lượng giác của số phức ñược tìm thấy rõ nhất trong công thức

Moivre và ứng dụng của công thức này.

n

n

r

cos

+

i

sin

=

r

cos

+

i

sin

ϕ

ϕ n

(

) ϕ

(

) ϕ n

 

n

cos

+

i

sin

=

cos

+

i

sin

ϕ

ϕ n

ϕ n

) ϕ

  (

Công thức Moa-vrơ:

52

2M :

, sin

Ứng dụng của công thức Moivre ñược tìm thấy trong

nϕ ϕ: bằng cách ñối chiếu công thức khai triển lũy thừa bậc n n

siniϕ

ϕ+

- Tính cos

sin nϕtheo các lũy thừa của cos ,sinϕ ϕ.

của nhị thức cos với công thức Moivre, ta có thể biểu diễn cos nϕ và

0

z

r

cos

sin

=

+ iϕ

- Chứng minh một hệ thức chứa tổ hợp.

r > có hai căn bậc

(

) ϕ

r

cos

+

i

sin

Từ công thức Moa-vrơ, dễ thấy số phức ,

ϕ 2

ϕ 2

  

  

−

r

cos

+

i

sin

=

r

cos

+

i

sin

+

+

ϕ 2

ϕ 2

ϕ 2

ϕ 2

  

  

 π  

  

 π  

  

  

  

hai căn bậc hai là và

Nhận xét

- SGK trình bày về cách xây dựng tập hợp số phức không thật chặt chẽ về mặt

,a b R∈ , i là ñơn vị ảo,

1

2 i = − ) trong khi chưa giới thiệu về phép cộng và phép nhân số phức. Rồi dựa vào

toán học, M2 coi số phức là một biểu thức dạng a+ bi (

phép tính cộng nhân các biểu thức quen thuộc ñể ñịnh nghĩa cộng nhân các số

2M trình bày là sự mở rộng tập hợp các số thực, trong

phức. Tập hợp Số phức ñược

ñó các phép cộng và nhân với tính chất tương tự phép toán cộng và nhân các số

0∆ < ñều có nghiệm.

thực sao cho các phương trình bậc hai hệ số thực có biệt số

- Trong lịch sử, số phức xuất hiện trước hết với cơ chế là công cụ cho việc

tìm nghiệm của phương trình bậc ba và chỉ là những ký hiệu hình thức chứ chưa

có một nghĩa cụ thể nào. Trong thể chế VN, tiến trình dạy học số phức lại ñi theo

trình tự ngược lại. Với tư cách là ñối tượng nghiên cứu, dạng ñại số của số phức

trong thể chế lại ñưa ra ñầu tiên, còn trong lịch sử dạng ñại số của số phức ñược

ñưa ra sau cùng với vai trò là ñối tượng nghiên cứu. Khi các khái niệm liên quan

ñến số phức ñược ñưa ra thì mới kết thức cơ chế ñối tượng ñể chuyển sang cơ chế

53

công cụ. Đó là áp dụng số phức ñể giải phương trình bậc hai với hệ số thực, hay

là các ứng dụng lượng giác.

z

+= a

∈

3. Các tổ chức toán học liên quan ñến số phức.

)Rbabi ,

(

1T : Biểu diễn số phức

3.1. Kiểu nhiệm vụ trong mặt

phẳng phức.

1τ .

z

+= a

∈

a. Kỹ thuật

)Rbabi ,

(

- Đưa số phức về dạng

- Dựng ñiểm M có hoành ñộ là a và tung ñộ là b trong mặt phẳng phức.

b. Công nghệ 1θ . - Biểu diễn hình học của số phức.

c. Ví dụ.

Bài tập 1 trang 189:

Cho các số phức 2+3i; 1+2i; 2-i

a. Biểu diễn các số ñó trong mặt phẳng phức.

b. Viết số phức liên hợp của mỗi số ñó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng

phức.

c. Viết số ñối của mỗi số phức ñó và biểu diễn chung trong mặt phẳng phức.

Bài giải:

54

y

10

5

A

B

C''

C'

x

2

-2

-6

-4

4

6

8

10

C

B''

B'

A''

A'

-5

a. Điểm A(2+3i), B(1+2i), C(2-i).

A

) ( − ' 2 3 , i B

) ( − ' 1 2 , i C

( ' 2

) + i

b. Các số phức liên hợp của 2+3i, 1+2i, 2-i ñược biểu diễn bởi

A

''

''

''

2

− −

− −

(

) i B 2 3 ,

(

) i C 1 2 ,

(

) − + i

c. Các số ñối của 2+3i, 1+2i, 2-i ñược biểu diễn bởi

d. Nhận xét.

- KNV rõ ràng, KTG ñơn giản, yếu tố công nghệ tường minh trong SGK.

e. Số lượng bài tập và ñặc trưng của kiểu nhiệm vụ ñược trình bày trong

SGK.

- Có 9 bài tập thuộc KNV T1 ñược trình bày.

- Các số phức ñều có a, b là những số nguyên khác 0.

- Biểu diễn số liên hợp, số ñối của số phức z trên cùng mặt phẳng tọa ñộ, cho

ta thấy ñược mối liên hệ giữa chúng trên mặt phẳng phức.

55

2T : Xác ñịnh số phức (xác ñịnh phần thực và phần ảo

3.2. Kiểu nhiệm vụ

của số phức)

Kỹ thuật 2τ :

• Đưa số phức về dạng a+bi. • Phần thực là a. • Phần ảo là b.

2T

Các kiểu nhiệm vụ con của

2.1T : Tính tổng hiệu của hai hay nhiều số phức.

3.2.1. Kiểu nhiệm vụ

2.1τ : “cộng trừ từng phần”

z

a

;

...

=

+

=

+

• Kỹ thuật

1

a 1

zib ; 1

2

2

ib 2

- Đưa các số phức về dạng

- Cộng (trừ) các phần thực với nhau và phần ảo với nhau.

- Tổng hay hiệu là số phức có phần ảo là tổng (hiệu) các phần ảo và phần

thực là tổng (hiệu) các phần thực.

2.1θ :

(cid:2) Công nghệ

- Quy tắc cộng (trừ) số phức. - Dạng ñại số của số phức. - Cộng trừ các ña thức một biến.

3

− 2 3 i

) + + i

(

)

3

i

− 2 3 i

=

+ 3 2

(cid:2) Ví dụ: Tính tổng (

= − 5 2 i

(

) + + i

(

)

(

)

( + − 1 3

)

Bài giải

Nhận xét

- Đây là một KNV khá ñơn giản nên ít ñược quan tâm ở ñây, chỉ có 1 bài về

KNV này. Tuy nhiên, KNV này xuất hiện lồng trong nhiều KNV khác.

2.1τ ñược ưu tiên vì khá ñơn giản thông qua việc cộng trừ các ña thức

- KTG

biến i ñã biết từ trước.

56

2.2T : Nhân các số phức.

3.2.2. Kiểu nhiệm vụ

2.2.1τ : “khai triển”

z

+= a

bi

z

'

+= '

' iba

,

∈'

• Kỹ thuật

)Rbaba , ,'

- Đưa hai số phức về dạng và (

- Thực hiện phép nhân khai triển thành phần của hai số phức

.- Thu gọn “i”.

- Viết kết quả dưới dạng ñại số a+bi.

2.1.2θ :

2 i = − 1

(cid:2) Công nghệ

- Qui tắc nhân hai số phức. - Nhân các ña thức một biến. -

2.2.2τ : “Dạng lượng giác”.

• Kỹ thuật

ϕ

r

z

z

,

i

sin

'

r

'

i

sin

rr ,

+

=

=

+ ' ϕ

số về dạng lượng giác

( cos

)0' ≥

zz '.

rr '.

i

sin

=

+

- Đưa ( cos hai ) ϕ phức ) ( ' ϕ

( + ' ϕϕ

)

[ cos

]' ( ) + ϕϕ

- Tích

2.1.2θ :

(cid:2) Công nghệ

- Dạng lượng giác của số phức. - Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác.

i+ 3

2

+

−

+

Ví dụ: Bài tập 2 trang 189: Xác ñịnh phần thực, phần ảo của các số sau:

)( )i 3232 i

)( − 3 i

)i

)2

c. ( d. ( 2 i

b. ( Nhận xét

- Đây là KNV khá cơ bản, xuất hiện lồng trong rất nhiều KNV khác.

2.2.1τ ñược ưu tiên vì xuất hiện tường minh và khá ñơn giản. Nó chỉ

- KTG

'

z

≠

0

ñơn giản là việc áp dụng qui tắc nhân các ña thức một biến.

(

)

2.3T : Tìm thương của hai số phức

z z

3.2.3. Kiểu nhiệm vụ

2.3.1τ “Nhân liên hợp”

z

+= a

bi

z

'

+= '

' iba

,

∈'

• Kỹ thuật

)Rbaba , ,'

- Đưa hai số phức về dạng và (

57

z' z

- Thực hiện phép thương như sau:

'

=

=

+ Tìm số phức liên hợp z

z z ' 2

z z

' z z z z .

z

+ Nhân cả tử và mẫu số cho z :

2.1.2θ :

(cid:2) Công nghệ

- Dạng ñại số của số phức. - Định nghĩa số phức liên hợp của một số phức. - Quy tắc nhân hai số phức.

2.3.2τ : “Nhân nghịch ñảo”

1−z

z

=− 1

z

• Kỹ thuật

1 2

z

− 1

=

zz '.

- Tìm số phức nghịch ñảo của số phức z (khác 0) là

z ' z

- Tính thương

2.1.2θ :

(cid:2) Công nghệ

- Định nghĩa số phức nghịch ñảo. - Quy tắc nhân hai số phức.

2.3.3τ : “Dạng lượng giác”

• Kỹ thuật

ϕ

z

,

r

z

i

sin

'

r

'

i

sin

rr ,

+

=

=

+ ' ϕ

số về dạng lượng giác

( cos

)0' ≥

=

+

i

sin

>

hai ) ϕ - Đưa ( cos phức ) ( ' ϕ

( ) ϕϕ − '

)0

[ cos

] ( ( ) ϕϕ r − '

z ' z

r ' r

- Thương

2.1.2θ :

(cid:2) Công nghệ

- Dạng lượng giác của số phức. - Thương hai số phức dưới dạng lượng giác.

1

;

;

;

23 − i i

43 − i i 4 −

1 − i 32

−

i

1 2

3 2

Ví dụ: Bài tập 4 trang 189: Thực hiện phép tính:

58

Nhận xét - Những số phức “chia” ñều có phần ảo khác 0.

2.3.1τ ñược ưu tiên nhiều hơn vì nó ñược áp dụng từ các qui tắc ñã biết

- KTG

trên R[x]

- Nhân và chia số phức ở dạng lượng giác ñược ưu tiên sử dụng trong các

trường hợp có biểu thức phức bậc cao.

Nhận xét

Qua những ñiều ñã phân tích, chúng tôi dự ñoán sự tồn tại của các qui tắc của

hợp ñồng didactic sau:

R1: “ Học sinh có nghĩa vụ tìm tích thương của hai số phức bằng PP ñại số

nếu các số phức ban ñầu cho ở dạng ñại số, bằng phương pháp lượng giác nếu

các số phức ban ñầu cho ở dạng lượng giác”.

R2: “Học sinh có nghĩa vụ tìm lũy thừa bậc cao một biểu thức phức bằng

phương pháp ñưa về dạng lượng giác và dùng công thức Moivre”.

= + ” a bi

R3: “ Học sinh khi thực hiện phép toán trên số phức bằng dạng ñại số, có

nghĩa vụ phải ñưa về dạng chuẩn tắc z

Chúng tôi cũng dự ñoán sai lầm học sinh có thể mắc phải trong dạng toán này

là:

M1: “Khi tất cả các số cho ở dạng chứa các hàm số lượng giác, học sinh

không ñưa về dạng lượng giác trước khi tính toán”

3T : “Chứng minh một hệ thức liên quan ñến số

3.3. Kiểu nhiệm vụ

phức”.

a

+

∈

• Kỹ thuật 3.1τ : “Dạng ñại số”

)Rbabi ,

(

- Số phức có dạng .

59

- Dùng các tính chất của số phức liên hợp, số ñối, môñun của số phức và các

phép biến ñổi sơ cấp…ñể suy ra các hệ thức trên.

3.1θ :

(cid:2) Công nghệ

- Định nghĩa dạng ñại số của số phức, số phức liên hợp, mô ñun của số

phức…

- Các phép toán và các tính chất của nó trên trường số phức. - Các phép biến ñổi tương ñương.

• Kỹ thuật 3.2τ : “Dùng biểu diễn hình học của số phức”

- Gọi M là ñiểm biểu diễn số phức z.

- Dựa vào tính chất hình học của số phức, môñun, số phức liên hợp và các

phép biến ñổi sơ cấp… ñể chứng minh các hệ thức.

3.2θ :

(cid:2) Công nghệ

- Biểu diễn hình học của số phức.

( z +

1 2

−

a. Phần thực của số phức z bằng , phần ảo của số phức z bằng Ví dụ 1: Bài tập 6 trang 190: Chứng minh rằng )z

( z

)z

1 i 2

z −=

z

.

z

'

z

+

z

'

+= z

z

'

0≠z

=

zz '.

zz = '

b. Số phức z là số ảo khi và chỉ khi

' z z

z

  

  

c. Với mọi số phức z, z’, ta có , , và nếu thì

a

=

z

+

z

z

,

a bi

= +

= −

Bài giải

( a bi a b R

) ∈ thì z

(

)

1 2

b

=

z

−

z

a. nên phần thực của z là , phần ảo

(

)

1 i 2

z

z

z

của z là

⇔ + = ⇔ = − z 0

b. z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0

60

z

a bi z

,

'

b i a b a b ,

',

,

'

'

= +

= + a '

(

) ∈ R

z

+

z

'

'

+

=

+ a a

+

'

= + − a a

'

+

'

(

) b b i

( ) ( + − ' = − a bi a

) b b i = + z

b i '

z

'

=

=

z z .

'

− '

bb

ab

aa

+ '

bb

− '

ab

+ '

(

) ba i '

( =

− a bi

a

( − '

=

b i '

'

aa (

) + ' ) ( .

) + ' ba i ' ) z z .

'

'

=

=

z z '.

=

z z '.

=

z z

z z

'. z z z z .

1 z z .

1 z z .

  

  

  

  

z= ”

c. thì

Ví dụ 2: “Chứng minh rằng số phức z là số thực khi và chỉ khi z

Bài giải:

Ta có: z biểu diễn ñiểm M thì z là số thực khi và chỉ khi M nằm trên trục thực,

tức là khi và chỉ khi ñiểm M’ ñối xứng của M qua trục thực phải trùng với M.

z=

Nhưng M’ biểu diễn số phức z nên suy ra z là số thực khi và chỉ khi z

Nhận xét

3.1τ ñược ưu tiên vì xuất hiện tường minh trong SGK. Mặt khác, các

- Yêu cầu bài toán chứa số ñối, số phức liên hợp và mô ñun của số phức. - KTG

bài toán chứng minh bằng các phép biển ñổi sơ cấp khá ñược chú trong trong thể

chế Việt Nam.

3.2τ không ñược ưu tiên vì KTG này không xuất hiện tường minh

- KTG

trong SGK và trong thể chế VN ít xuất hiện các phương pháp dùng hình học ñể

chứng minh các hệ thức ñại số.

4T : Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức

3.4. Kiểu nhiệm vụ

biểu diễn các số phức thoả ñiều kiện cho trước.

4.1τ : “Phương trình ñường”

a

+

∈

• Kỹ thuật

)Rbabi ,

(

- Giả sử z có dạng .

61

- Thay z trong biểu thức ñiều kiện rồi biến ñổi ñiều kiện ñã cho về dạng

( =baf ,

) 0

.

( =yxf ,

) 0

- Khi ñó tập hợp ñiểm M trong mặt phẳng phức là ñường cong

2.1.2θ :

(cid:2) Công nghệ

- Biểu diễn hình học của số phức. - Số phức liên hợp, mô ñun của số phức… - Các phép biến ñổi tương ñương. - Các phép toán trên trường số phức như cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa. - Định nghĩa phương trình ñường. (cid:2) Ví dụ:

=

1

Bài tập 9b trang 190: “Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu

z z

− +

i i

z

yi x y R ,

= + x

” diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện

∈ ta có

(

)

= ⇔ − = + z

1

z

i

i

z z

− +

i i

2

2

2

2

⇔ + x

y

−

i

= + x

y

+

i

⇔ + x

y

−

=

x

+

y

0

y

z

+ ⇔ = ⇔ là số thực.

(

) 1

(

) 1

(

) 1

(

) 1

Bài giải: (lời giải trong SGV trang 232) Nếu

4.2τ : “dùng biểu diễn hình học của số phức”

• Kỹ thuật

- Gọi M là ñiểm biểu diễn số phức z.

- Dùng tính chất của môñun, số phức liên hợp…ñể suy ra M thỏa tính chất

nào ñó.

- Suy ra quĩ tích của M.

2.1.2θ :

(cid:2) Công nghệ

- Biểu diễn hình học của số phức, ñịnh nghĩa mô ñun của số phức, argument

của số phức.

- Các phép biến ñổi tương ñương. - Các phép toán trên trường số phức như cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa. - Định nghĩa phương trình ñường.

62

(cid:2) Ví dụ:

=

1

Bài tập 9b trang 190: “Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu

z z

− +

i i

” diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện

=

Bài giải: (lời giải trong SGV trang 232) Gọi M là ñiểm biểu diễn số phức z, I là

z z

− +

i i

(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:4) IM (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:4) , vậy JM

= ⇔ = ⇔

IM JM

1

ñiểm biểu diễn số i, J là ñiểm biểu diễn số -i thì

z z

− +

i i

M nằm trên ñường trung trực của IJ ⇔ M thuộc trục Ox.

Nhận xét - KNV này khá ñược chú trọng trong thể chế Việt Nam, KTG rõ ràng, dễ sử

dụng.

4.1τ ñược ưu tiên vì KTG ñơn giản và dễ sử dụng hơn. Tuy nhiên, có

- KTG

4.1τ thì rất khó ñưa ra tập hợp ñiểm M.

một số dạng toán nếu sử dụng KTG

- Có thể ñưa ra sai lầm của HS khi giải quyết dạng này

M2: “Học sinh xem dấu mô ñun là dấu trị tuyệt ñối như trong số thực”

Từ những phân tích trên với việc hạn chế dùng hình học làm công cụ trong các

dạng toán liên quan ñến ñại số trong thể chế Việt Nam, chúng tôi ghi nhận một giả

ñịnh (ñây cũng chính là giả thuyết nghiên cứu sau này): “Học sinh ít khi sử dụng

biểu diễn hình học của số phức trong việc chứng minh hay giải quyết các dạng

,

= +

toán liên quan ñến số phức”

( w a bi a b R

) ∈ với

5T : Tìm căn bậc hai của số phức

b ≠ 0

3.5. Kiểu nhiệm vụ

z

yi

+= x

• Kỹ thuật 5.1τ : “ñồng nhất ñại số”

(

)Ryx ∈ ,

2

2

2

2

z

+⇔=

w

x

yi

−⇔+=

bi

a

x

y

+

2

xyi

+= a

bi

- Gọi là căn bậc hai của w.

(

)

-

63

2

2

=

a

x 2

y − = xy b

  

- Suy ra hệ (*)

5.1θ :

1

2 i = − .

- Giải (*), tìm ñược x, y. - Kết luận. (cid:2) Công nghệ

z

yi x y R ;

= + x

- Định nghĩa căn bậc hai của số phức. - Các phép biến ñổi tương ñương. - Định nghĩa sự bằng nhau của hai số phức. - Giải hệ phương trình ñại số. - Các phép toán trên C. - (cid:2) Ví dụ: Ví dụ 2b trang 193 Tìm các căn bậc hai của i

∈ . Khi ñó

(

)

2

2

x

+

yi

= ⇔ −

x

i

y

+

2

xyi

= , i

Bài giải: Gọi căn bậc hai của i là

(

)2

x

=

x

= −

2

2

=

0

⇔

∨

x 2

− xy

y =

1

  

=

= −

y

y

      

      

2 2 2 2

2 2 2 2

±

suy ra hệ phương trình

( 1

) + i

2 2

Vậy i có hai căn bậc hai là

ϕ

i

sin

,

r

0

= rw

+

>

• Kỹ thuật 5.2τ : Dùng lượng giác

( cos

) ϕ

- Đưa số phức w về dạng lượng giác .

=

+

=

+

+

z

r

cos

i

sin

,

z

r

cos

i

sin

1

2

ϕ 2

ϕ 2

ϕ 2

  

ϕ   2 

  

 + π 

  

 π  

  

  

- Hai căn bậc hai z của w là

5.2θ :

(cid:2) Công nghệ

- Dạng lượng giác của số phức. - Căn bậc hai của số phức bằng dạng lượng giác.

64

i

=

+

i .sin

(cid:2) Ví dụ: ví dụ 2b trang 193 Tìm các căn bậc hai của i

π 2

π 2

 1 cos  

  

+

i .sin

=

+

i

Bài giải: Ta có

( 1

)

π 4

π 4

2 2

 1 cos  

  

sin

−

+

i

= −

+

i

( 1

)

π 4

π 4

2 2

 1 cos  

  

Do ñó i có các căn bậc hai là và

Nhận xét:

- KNV rõ ràng, KTG tường minh. Nếu yêu cầu tìm căn bậc hai của số phức ở

5.2τ , còn nếu của số phức ở dạng ñại

dạng lượng giác thì câu trả lời thiên về KTG

5.1τ

số thì câu trả lời thiên về KTG

Từ những nhận xét trên, chúng tôi có thể dự ñoán những sai lầm thường gặp

của học sinh khi giải quyết dạng toán này:

−

1,

2 i 4 ...

M4: “ Học sinh quen với kí hiệu ở số thực, và vận dụng trong số phức như

”

6T : Giải phương trình (với hệ số là số thực hay số

3.6. Kiểu nhiệm vụ

phức).

3.6.1. Giải phương trình bậc nhất (chứa z hay z )

6.1.1τ : “ñồng nhất ñại số”

z

+= a

∈

• Kỹ thuật

)Rbabi ,

(

y

+

=

+

- Giả sử nghiệm của phương trình là .

R∈

( f a b ;

)

) g a b i ;

(

x 0

0

;x y 0 0

;

=

x 0

- Biến ñổi phương trình về dạng với

=

( ) f a b ( ) g a b ;

y 0

  

- Giải hệ với a, b là hai ẩn.

- Kết luận nghiệm của phương trình ban ñầu.

6.1.1θ :

(cid:2) Công nghệ

- Dạng ñại số của số phức. - Định nghĩa sự bằng nhau của hai số phức.

65

iz

=−+

2

i

0

- Các phép biến ñổi tương ñương. - Giải hệ phương trình ñại số. - Các phép toán trên trường số phức như cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa. (cid:2) Ví dụ:

= +

a bi

Bài tập 13 trang 191: Tìm nghiệm phức của phương trình

Bài giải: Gọi z .

i

0

ai b i

2

( + i a bi

) 2 + − = ⇔ − = − 1

⇔ = + z

i 1 2

⇔

2

a =  = b

Phương trình tương ñương với

6.1.2τ : “Biến ñổi tương ñương”.

• Kỹ thuật

z

=

- Đưa phương trình ñã cho về dạng Az B= .

B A

- Suy ra .

6.1.2θ :

(cid:2) Công nghệ

iz

=−+

2

i

0

2

i

iz

+ − = ⇔ = − ⇔ = iz

2

2

0

z

i

i

= +

i 1 2

- Các phép biến ñổi tương ñương, các qui tắc biến ñổi ña thức biến i. - Các phép toán trên trường số phức. - Dạng ñại số của số phức. (cid:2) Ví dụ: Bài tập 13 trang 191: Tìm nghiệm phức của phương trình

− i

Bài giải:

Nhận xét:

6.1.2τ ñược ưu tiên vì ñơn giản và khá quen

- KNV xuất hiện tường minh. KTG

2

Az

+

Bz

+

C

=

thuộc (giống như giải phương trình bậc nhất một ẩn trong tập hợp số thực).

( )10

3.6.2. Giải phương trình bậc hai

=∆

B

2 −

4

AC

• Kỹ thuật 6.2.1τ : “biệt số delta”

- Xét biệt thức

66

0≠∆

δ

δ

−

−

z

=

,

z

=

- Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

1

2

B 2

+ A

B 2

− A

0=∆

z

=

z

−=

trong ñó δ là một căn bậc hai của ∆ .

1

2

B 2 A

- Nếu thì phương trình (1) có nghiệm kép .

2.1.2θ :

2

(cid:2) Công nghệ

z

+ z 2

=+

05

2

∆ =

2 ' 1

− = − =

4

5

4i

- Căn bậc hai của số phức. - Công thức nghiệm của phương trình bậc hai. (cid:2) Ví dụ: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai sau:

= − +

i 1 2

Bài giải: Ta có: . Suy ra căn bậc hai của ∆ là 2i±

z 1 z

= − −

i 1 2

2

  

Suy ra hai nghiệm của phương trình là

6.2.2τ : “ñồng nhất ñại số”

z

,

= +

• Kỹ thuật

( a bi a b R

) ∈ .

y

+

=

+

- Đặt

R∈

( f a b ;

)

) g a b i ;

(

x 0

0

;x y 0 0

;

=

x 0

với - Biến ñổi phương trình về dạng

=

( ) f a b ( ) g a b ;

y 0

  

- Giải hệ với a, b là hai ẩn.

6.2.2θ : - Định nghĩa sự bằng nhau của hai số phức. - Giải hệ phương trình ñại số. - Các phép toán trên trường số phức. - Các phép biến ñổi tương ñương. (cid:2)

(cid:2) Công nghệ

2

z

+ z 2

=+

05

Ví dụ: bài tập 19 trang 196: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc

z

,

= +

hai sau:

( a bi a b R

) ∈ .

Bài giải: Đặt

Phương trình trở thành

67

2

+

+ a bi

5 0

2

)

(

2

2

ab

2

+

=

0

b

+

2

a

+

5

+

) + = (

) b i 2

⇔

∨

= − 1 = − 2

+ a bi ) = − 1 = 2

( ( ⇔ − a a   b 

a   b 

= − +

i 1 2

z 1 z

= − −

i 1 2

2

  

Suy ra hai nghiệm của phương trình là

6.2.3τ : “phương trình tích”

−

−

Kỹ thuật •

= 0

( A z

)

)( zω 1

ω 2

- Đưa phương trình về dạng tích

= và 0

= . 0

z ω− 1

z ω− 2

- Giải

6.2.3θ :

= ⇔ =

0

0

hay z

= 0

(cid:2) Công nghệ

z z . 1

2

z 1

2

-

2

z

+ z 2

=+

05

(cid:2) Ví dụ: bài tập 19 trang 196: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc

hai sau:

2

2

2

2

z

+

2

z

+ = ⇔ +

5 0

z

z

4 0

+ = ⇔ +

−

i 4

=

0

(

) 1

) 1

z

i 1 2

+ −

i 1 2

( z ⇔ + +

)(

)

( i z 1 2 = − −  = ⇔  = − + 0 i z 1 2 

Bài giải: Ta có:

6.2.4τ : “hằng ñẳng thức”

z

=

ω



0

−

z

z

Kỹ thuật •

)2

0

z − 2 ω = ⇔  − z

z

= −

0



- Đưa về dạng ( ω

6.2.4θ :

2

2

A

±

2

+ AB B

=

± A B

(cid:2) Công nghệ

(

)2

- Hằng ñẳng thức

- Định nghĩa căn bậc hai của một số phức. (cid:2) Ví dụ:

2

z

+ z 2

=+

05

Bài tập 19 trang 196: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai sau:

Bài giải: Ta có:

68

2

2

2

2

z

+

2

z

+ = ⇔ +

5 0

z

= − ⇔ +

4

z

=

i 4

(

) 1

( z

) 1 = − − i 1 2

+ =

i 1 2

z

⇔

⇔

z

+ = − 1 i 2

z

= − +

i 1 2

  

  

Nhận xét:

6.2.1τ ñược ưu tiên vì khá quen thuộc và dễ sử dụng (giống như giải

- KTG

phương trình bậc hai trong tập hợp số thực).

3.6.3. Giải phương trình bậc cao

z

,

= +

• Kỹ thuật 6.3.1τ : “ñồng nhất ñại số”

( a bi a b R

) ∈ .

y

+

=

+

- Đặt

R∈

( f a b ;

)

) g a b i ;

(

x 0

0

;x y 0 0

;

=

x 0

- Biến ñổi phương trình về dạng với

=

( ) f a b ( ) g a b ;

y 0

  

- Giải hệ với a, b là hai ẩn.

6.3.1θ :

(cid:2) Công nghệ

2 i = − 1

- Các phép toán trên trường số phức. - Định nghĩa hai số phức bằng nhau.

- (cid:2) Ví dụ:

Bài tập 24 trang 199: Giải phương trình sau trên C (tức là tìm nghiệm phức

3 1 z =

z

,

= +

của các phương trình ñó)):

( a bi a b R

) ∈

Bài giải: Đặt

3

2

3

3

a

+

+

bi

=

1

)

( a bi 3

)

(

)

3

2

3

2

ab 3

+

=

1

( + a bi ( ⇔ − a

= ⇔ + 1 ( )

2 a bi 3 ) − a b b i 3

=

=

a

a

3

2

−

=

1

1

a

3 ab

⇔

⇔

∨

∨

2

3

0

− 1 2 −

3

=

0

= a  b = 

   3 − a b b  

=

=

     b  

     b  

− 1 2 3 2

2

Phương trình trở thành

69

S

=

i

;

i

1 − + 2

3 2

1 − − 2

3 2

  1;   

    

Vậy nghiệm của phương trình trên là

• Kỹ thuật 6.3.2τ : “phương trình tích”

6.3.2θ :

- Đưa phương trình về dạng tích A.B=0. - Giải A=0 hay B=0. (cid:2) Công nghệ

0

A B .

0

- Hằng ñẳng thức, các phép toán trên trường số phức…

0

-

= A = ⇔  = B Ví dụ:

(cid:2)

Bài tập 24 trang 199: Giải phương trình sau trên C (tức là tìm nghiệm phức

3 1 z =

của các phương trình ñó)):

1

3

2

− = ⇔ −

z

1 0

z

z

+ + z

(

)( 1

) 1

= z 2

z

+ + =

1 0

z

= ⇔  0 

1

i 3

i

i 3

i

1 − + 2 1 − − 2

1 = − + 2 1 = − − 2

3 2 3 2

  = z  ⇔ = z    = z 

S

=

i

;

i

Bài giải: Ta có:

1 − + 2

3 2

1 − − 2

3 2

  1;   

    

Vậy nghiệm của phương trình trên là

n

z

r

cos

sin

=

+ iϕ

• Kỹ thuật 6.3.3τ : “lượng giác”

(

) ϕ

+

2

k

 = R r  α ϕ π = n 

α

os

i

sin

cos

i

sin

+

=

+

- Gọi trong ñó

( R c

) α

(

)

R 0

α 0

α 0

,r ϕ.

- Biến ñổi phương trình về dạng

- Dùng ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau ñể suy ra

70

6.3.3θ :

(cid:2) Công nghệ

- Dạng lượng giác của số phức. - Định nghĩa hai số phức bằng nhau. - Công thức Moivre. (cid:2) Ví dụ:

3 1 z =

Bài tập 24 trang 199: Giải phương trình sau trên C (tức là tìm nghiệm phức

của các phương trình ñó)):

ϕ

ϕ

z

r

cos

i

sin

r

0

=

+

>

Bài giải 1:

(

) (

)

3

1

⇔

Đặt .

1 2

=

∈ k Z

k

∈ k Z

(

)

(

)

 = r  α π = 3 2  

π k 3

= r   α  

S

=

i

;

i

Khi ñó ta có

1 − + 2

3 2

1 − − 2

3 2

  1;   

    

Do ñó, nghiệm của phương trình trên là

ϕ

ϕ

z

r

cos

i

sin

r

0

=

+

>

Bài giải 2:

(

) (

)

Đặt .

3

3

= ⇔ 1

cos 3

+

sin 3

=

cos 0

+

sin 0

z

r

i

i

ϕ

(

3

=

0

) ϕ ϕ

=

cos 0

cos 3

r

ϕ

⇔

⇔

3

3

ϕ

cos 3

1

=

r

ϕ

sin 0

sin 3

=

r

sin 3   

3

ϕ

cos 3

1

=

r

     ϕ π = 3 k  ⇔  

0

k

= ⇒ 0

⇒ = z

1

Khi ñó ta có

ϕ=  = r 1

k

Với

π  ϕ = = ⇒  1 3  = − 1 r 

Với loại

71

k

cos

i

sin

i

2 = ⇒

z ⇒ =

+

π 2 3

π 2 3

π 2 3

1 = − + 2

3 2

1

 ϕ =   = r

k

Với

ϕ π= = − r 1

= ⇒  3 

k

cos

i

sin

i

4 = ⇒

z ⇒ =

+

Với loại

π 4 3

π 4 3

π 4 3

1 = − − 2

3 2

1

 ϕ =   = r

k

Với

π 5  ϕ = 5 = ⇒  3  = − r 1 

S

=

i

;

i

Với loại

1 − + 2

3 2

1 − − 2

3 2

  1;   

    

Do ñó, nghiệm của phương trình trên là

Nhận xét - Chỉ ưu tiên KTG ñưa về dạng tích.

- KTG dùng lượng giác hoàn toàn vắng bóng trong thể chế Việt Nam do ñịnh

nghĩa hai số phức bằng nhau bằng dạng lượng giác không ñược ñưa ra.Tuy nhiên

dùng lượng giác nhưng giải bằng cách dùng ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau vẫn

cho ra kết quả.

- Các phương trình bậc cao ñược ñưa ra ñều có hệ số thực.

Từ những phân tích trên chúng tôi ñưa ra một ghi nhận (ñây cũng chính là các

giả thuyết nghiên cứu sau này): “Có phải việc thiếu vắng ñịnh nghĩa hai số phức

bằng nhau dưới dạng lượng giác gây khó khăn cho học sinh trong việc giải

phương trình trong tập hợp số phức bằng dạng lượng giác”.

- Chúng tôi cũng dự ñoán sự xuất hiện của sai lầm

M3: “Học sinh giải phương trình trong tập hợp số phức mà tương tự như giải

trong tập hợp số thực”.

72

Có thể nhận thấy một sự khác biệt ở nhiệm vụ mà thể chế ñưa ra với học sinh

trong KNV giải phương trình. Trước ñây, KNV ñưa ra là “Giải phương trình” và

học sinh có trách nhiệm tự hiểu là tìm nghiệm của phương trình trong tập số thực.

Tuy nhiên ở ñây, KNV luôn là “Giải phương trình trên tập số phức” hay “Tìm

nghiệm phức của phương trình”. Không có sự giải thích nào cho sự khác nhau này

cả, nhưng theo chúng tôi nghĩ, phải chăng có sự nhấn mạnh này là nhằm tránh cho

học sinh khó khăn khi giải các phương trình trong tập hợp phức. Có thể lí giải cho

ñiều này như sau:

- KNV giải phương trình bậc hai trong tập hợp số thực khá quen thuộc với

học sinh (từ lớp 9 ñến ñầu lớp 12 ) có thể dẫn ñến thói quen kết luận phương trình

vô nghiệm khi biệt số delta âm.

- Mặt khác, bên cạnh việc giải các phương trình bậc hai, trong thể chế Việt

Nam còn có rất nhiều loại phương trình khác như phương trình mũ, phương trình

siêu việt…và việc giải các phương trình này chỉ ñòi hỏi tìm nghiệm trên tập số

thực mà thôi. Do ñó, theo chúng tôi nghĩ việc nhấn mạnh như vậy ñể khỏi gây sự

r

+ ϕ sin i

lúng túng hay nhầm lẫn cho học sinh .

( cos

)ϕ

7T : Tìm dạng lượng giác

z

+= a

∈

)Rbabi ,

(

của số phức 3.7. Kiểu nhiệm vụ

2

2

r

a

b

=

+

• Kỹ thuật:

ϕ

=

- Tìm r,

=

ϕ

a r b r

 cos    sin  

- Tìm ϕ, ϕ là một nghiệm của hệ phương trình

- Kết luận dạng lượng giác của z.

• Công nghệ: - Dạng lượng giác của số phức. - Định nghĩa mô ñun, argument của số phức.

73

−

3i

- Nghiệm phương trình lượng giác cơ bản.

r =

21

3

= 2

• Ví dụ: Tìm dạng lượng giác của số phức 1 .

( + −

)2

cos

=

ϕ

ϕ= −

Ta có

π 3

1 2 −

3

=

ϕ

2

    sin 

1

2

sin

−

3 i

=

−

i

=

−

+

i

−

Xét hệ . Lấy

1 2

3 2

π 3

π 3

  

  

  

  

 2 cos  

  

   

   

Do ñó

Đặc trưng của KNV

2M .

- KNV rõ ràng, KTG tường minh trong

Từ những phân tích trên, chúng tôi dự ñoán sự xuất hiện của sai lầm:

M4: “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra số phức ñã cho ñúng dạng

lượng giác mà chỉ có trách nhiệm tính toán trên nó theo công thức”.

1

i = − .

3.8. Kiểu nhiệm vụ 8T : Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức.

i = − 1

• Kỹ thuật 8.1τ : - Khai triển biểu thức với 2 (cid:2)

Công nghệ - Hằng ñẳng thức. - Công thức 2 - Khai triển nhị thức Newton.

1 i+

)2000

(cid:2) Ví dụ: Tính (

Bài giải:

Ta có

74

1000

2000

2

1000

2

+

i

=

+

i

+

i

=

i 2

( 1

)

( 1

)

(

)

( = + i 1 2

)

 

500

500

2

=

1000 1000 i 2

=

1000 2

i

=

1000 2

−

=

1000 2

(

) 1

1000   )

(

r

cos

iϕ

• Kỹ thuật 8.2τ : Dùng công thức Moivre

(

) ϕ+ sin

n

n

n

n

r

cos

+

i

sin

=

r

cos

+

i

sin

=

r

cos

+

i r .

sin

ϕ

ϕ n

ϕ n

- Viết biểu thức dưới dạng lượng giác

(

) ϕ

(

) ϕ n

 

 

ϕ n -

(cid:2) Công nghệ

- Công thức Moivre. - Định nghĩa dạng lượng giác của số phức.

1 i+

)2000

(cid:2) Ví dụ: Tính (

Bài giải:

2000

2000

2000

π

π

c os

+

i

sin

=

2

cos

+

i

sin

+

i

=

2

( 1

)

(

)

π 4

π 4

2000 4

2000 4

  

  

  

  

=

=

   1000 2

1000 2

   ( ) 1

nϕ , cos n

Ta có

ϕ qua sin , cosϕ ϕ

9T : Biểu diễn sin

3.9. Kiểu nhiệm vụ

n

cos

+

i

sin

=

A

sin , cos

+

iB

sin , os

ϕ

• Kỹ thuật 9τ :

) ϕ

(

) ϕ ϕ

(

) ϕ ϕ c

n

cos

+

i

sin

=

cos

+

i

sin

ϕ

ϕ n

- Khai triển (

) ϕ

cos

=

sin , cos

ϕ n

ϕ n - Theo công thức Moivre (

=

B

ϕ n

( A ( sin , cos

) ϕ ϕ ) ϕ ϕ

  sin 

- Suy ra

• Công nghệ - Định nghĩa hai số phức bằng nhau. - Dạng lượng giác của số phức. - Công thức Moivre.

75

- Định nghĩa hai số phức bằng nhau.

ϕ theo sin , cosϕ ϕ.

Ví dụ: Tính cos 3 , sin 3ϕ

Bài giải:

3

2

3

=

+

+

c os +i sin

c os

i

sin

i sin

i

sin

ϕ

3 ϕ

(

) ϕ

( 2 ϕ

) ϕ

) ϕ

(

) ϕ

2

3

2

3

=

−

+

−

cos

c 3 os sin

sin

3cos

i

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ sin

c 3 os + (

( ϕ 3cos ) ϕ

cos

+

i

sin

=

cos 3

+

i

sin 3

ϕ

ϕ

Ta có:

)3 ϕ

ϕ Theo công thức Moivre, ta có (

2

3

−

=

−

c 3 os sin

4 cos

c 3 os

ϕ os 3 =cos c

3 ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

3

3

−

=

−

sin

3sin

4sin

ϕ sin3 =3cos

2 ϕ ϕ sin

ϕ

ϕ

ϕ

Từ ñó suy ra

2M

Nhận xét - KNV này ít ñược chú ý. - Có KTG tường minh thông qua một ví dụ trong

76

BẢNG THỐNG KÊ TẦN SỐ XUẤT HIỆN CỦA CÁC KIỂU NHIỆM VỤ

TRONG SGK NÂNG CAO.

Số lần xuất Tỉ lệ Kiểu nhiệm vụ

hiện (%)

T1: Biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức 9 8.25

T2: T2.1. Tính tổng hiệu (2) 16 14.68

Xác ñịnh T2.2. Tính tích (9)

số phức T2.3. Tính thương (5)

T3: Chứng minh hệ thức liên quan ñến số phức 18 16.51

T4: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng 12 11.01

phức biểu diễn số phức thỏa ñiều kiện cho trước

T5: Tìm căn bậc hai của số phức 5 4.59

T6: T6.1: Giải phương trình bậc nhất (5) 22 20.18

Giải T6.2: Giải phương trình bậc hai (8)

phương T6.3: Giải phương trình bậc cao (9)

trình

T7: Tìm dạng lượng giác của số phức 21 19.26

T8: Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức 3 2.76

phức

nϕ , cos n

ϕ qua sin , cosϕ ϕ

3 2.76 T9: Biểu diễn sin

Tổng 109

77

Kết luận

- Tất cả các số phức trong các phép toán hay các bài toán ñều cho ở dạng

chuẩn tắc (dạng ñại số và dạng lượng giác).

- Ý nghĩa hình học của số phức ñược ñề cập trong SKG thông qua KNV

“Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức”. Ý nghĩa hình học của các phép toán

cũng ñược ñề cập, tuy nhiên không ñược quan tâm nhiều.

- Các kiểm nhiệm vụ T2, T6, T7 chiếm tỉ lệ vượt trội hơn hẳn so với các

kiểu nhiệm vụ khác. Điều này cho thấy thể chế ưu tiên ñến bản chất “số” của số

phức nhiều hơn thông qua việc cộng trừ, nhân, chia các số phức và việc giải các

phương trình phức thông qua việc biến ñổi ñại số một cách ñơn thuần. Kiểu nhiệm

vụ Tìm dạng lượng giác của số phức cũng ñược ưu tiên khá nhiều cho thấy SGK

chú trọng ñến việc biến ñổi qua lại giữa dạng ñại số và dạng lượng giác.

- Trong khi ñó, kiểu nhiệm vụ T4 “Xác ñịnh tập hợp ñiểm trong mặt phẳng

phức biểu diễn số phức cho trước” chỉ chiếm 11.01 % cho thấy vai trò hình học

của số phức rất mờ nhạt và không ñược chú trọng trong thể chế.

78

4. So sánh cách xây dựng số phức và các tổ chức toán học giữa thể chế Việt

Nam và Pháp.

Việt Nam Pháp

1. Định - Đưa vào ñịnh nghĩa số - Đưa vào ñịnh nghĩa tập hợp

nghĩa phức là một biểu thức có dạng z số phức là tập mở rộng của tập hợp

= a+bi (a, b là các số thực). số thực, và số phức là một phần tử

- Các phép biến hình trên của tập hợp số phức.

mặt phức không ñưa vào tường - Kí hiệu Im(z), Re(z) ñược

minh. Vì thế, các kiểu nhiệm vụ ñưa vào.

liên quan ñến ý nghĩa hình học - Các phép biến hình trên mặt

của số phức khá ñơn giản phẳng phức ñược chú trọng.

2. Các - Ý nghĩa hình học của các - Ý nghĩa hình học của các

phép toán phép toán có ñược ñề cập. Tuy phép toán ñược ñề cập khá chi tiết

nhiên, thể chế chú trọng ñến và ñược thể chế rất chú trọng trong

bản chất “số” của số phức nhiều việc ứng dụng ñể giải quyết các

hơn. kiểu nhiệm liên quan.

)2α π (

3. - Một Argument của một số - Argument có dạng

Dạng phức có dạng α. - Định nghĩa một cách tường

lương giác - Không có ñịnh nghĩa hai số minh hai số phức bằng nhau dưới

của số phức bằng nhau dưới dạng dạng lượng giác.

phức lượng giác. - Kiểu nhiệm vụ chuyển từ

- Dạng lượng giác của số dạng lượng giác sang ñại số hay

phức ñược ñưa vào chủ yếu ñể ngược lại chủ yếu dựa trên biểu

phục vụ kiểu nhiệm vụ : “Tính diễn hình học của số phức.

lũy thừa bậc cao của số phức” - Có giải phương trình bậc cao

bằng dạng lượng giác một cách

tường minh.

79

4. Căn - Đưa ra căn bậc hai của số - Chỉ ñưa vào căn bậc hai của

bậc hai và thực âm, số phức. số thực âm.

phương - Căn bậc hai của số phức - Phương trình bậc hai chỉ có

trình bậc dạng z = a+bi (a, b là số thực). hệ số thực.

hai - Phương trình bậc hai có hệ - Phương trình bậc 3 có hệ số

số thực hay phức. phức.

- Phương trình bậc ba, bậc - Có ñưa vào hệ phương trình

cao chỉ có hệ số thực. bậc nhất hai ẩn có hệ số phức.

5. - Không ñưa vào dạng mũ - Dạng mũ và công thức Euler

Dạng mũ và công thức Euler. ñược ñưa vào tường minh.

và công - Có khá nhiều kiểu nhiệm vụ

thức Euler liên quan ñến dạng mũ của số

phức.

Sự khác nhau của các tổ chức toán học ñược ñưa vào trong hai thể chế.

Việt Nam - Không có các KNV liên quan Pháp - Không có KNV tìm CBH của số

ñến dạng mũ và công thức Euler. phức z = a+bi.

- Không có giải hệ phương trình - Không có KNV giải phương

bậc nhất hai ẩn có hệ số phức. trình bậc hai với hệ số phức.

- Các kiểu nhiệm vụ liên quan ñến - Có rất nhiều kiểu nhiệm vụ dùng

ý nghĩa hình học của số phức khá ñơn các phép biến hình trong mặt phẳng

giản (do các phép biến ñổi trên mặt phức ñể giải quyết.

phẳng phức không ñược chú trọng). - Kiểu nhiệm vụ chuyển từ dạng

- Không có KNV chuyển một số lượng giác sang dạng ñại số hay ngược

phức ở dạng lượng giác chưa chuẩn tắc lại chủ yếu dựa trên biểu diễn hình học

về dạng lượng giác chuẩn tắc. trong mặt phẳng phức.

80

- Có KNV xác ñịnh phép biến

hình biến ñiểm M(z) thành M’(z’).

- Có KNV xác ñịnh ảnh của M(z)

qua một phép biến hình.

5. Kết luận:

Tóm lại, qua những phân tích mối qua hệ thể chế Việt Nam với khái niệm số

phức cho phép chúng tôi xác ñịnh các quy tắc hợp ñồng R1, R2, R3; dự kiến các

sai lầm M1, M2, M3, M4 mà học sinh sẽ mắc phải trong khi giải quyết các kiểu

nhiệm vụ mà chúng tôi nêu ra; cũng như trả lời các câu hỏi nghiên cứu chúng tôi

ñặt ra lúc ñầu. Điều này hướng chúng tôi tới việc phát biểu các giả thuyết nghiên

cứu sau:

Giả thuyết H1: Tồn tại các quy tắc hợp ñồng R1, R2, R3.

R1: “ Học sinh có nghĩa vụ tìm tích thương của hai số phức bằng dạng ñại số

nếu số phức ban ñầu cho ở dạng ñại số; bằng dạng lượng giác nếu hai số phức ban

ñầu cho ở dạng lượng giác”

R2: “Học sinh có nghĩa vụ tìm lũy thừa bậc cao (bậc lớn hơn 4) của một biểu

thức phức bằng phương pháp ñưa về dạng lượng giác và dùng công thức Moivre”.

= +

a bi

R3: “ Học sinh khi thực hiện phép toán trên số phức bằng dạng ñại số, có

” nghĩa vụ phải ñưa về dạng chuẩn z

Giả thuyết H2: Học sinh ít khi sử dụng hình học trong việc chứng minh hay

giải quyết các dạng toán liên quan ñến số phức.

Giả thuyết H3: Việc thiếu vắng ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau dưới dạng

lượng giác gây khó khăn cho học sinh trong việc giải phương trình trong tập số

phức bằng dạng lượng giác.

81

Liệu các giả thuyết chúng tôi ñặt ra có thỏa ñáng trong thực tế dạy học hay

không? Việc nghiên cứu thực nghiệm ñể kiểm chứng các giả thuyết trên và trả lời

các câu hỏi nghiên cứu ñược ñặt ra là nhiệm vụ của chúng tôi trong chương 4.

82

Chương 4

THỰC NGHIỆM

1. Mục ñích của thực nghiệm.

Trong chương này chúng tôi triển khai một thực nghiệm cho phép nghiên cứu

ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân học sinh. Đặc biệt, thực

nghiệm sẽ ñưa vào kiểm chứng tính thỏa ñáng của ba giả thuyết mà chúng tôi nêu

ra ở cuối chương 3 như sau:

Giả thuyết H1: Tồn tại các quy tắc hợp ñồng R1, R2, R3.

R1: “ Học sinh có nghĩa vụ tìm tích thương của hai số phức bằng dạng ñại số

nếu số phức ban ñầu cho ở dạng ñại số; bằng dạng lượng giác nếu hai số phức ban

ñầu cho ở dạng lượng giác”

R2: “Học sinh có nghĩa vụ tìm lũy thừa bậc cao (bậc lớn hơn 4) của một biểu

thức phức bằng phương pháp ñưa về dạng lượng giác và dùng công thức Moivre”.

= +

a bi

R3: “ Học sinh khi thực hiện phép toán trên số phức bằng dạng ñại số, có

” nghĩa vụ phải ñưa về dạng chuẩn z

Giả thuyết H2: Học sinh ít khi sử dụng biểu diễn hình học của số phức trong

việc chứng minh hay giải quyết các dạng toán liên quan ñến số phức.

Giả thuyết H3: Việc thiếu vắng ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau dưới dạng

lượng giác gây khó khăn cho học sinh trong việc giải phương trình trong tập số

phức bằng dạng lượng giác.

Ngoài ra thực nghiệm còn cho phép chúng tôi kiểm chứng những sai lầm học

sinh có thể mắc phải mà chúng tôi ñã ñưa ra như sau:

M1: “Học sinh xem dấu mô ñun như dấu trị tuyệt ñối trong số thực”

83

2. Hình thức và tổ chức thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên hai ñối tượng: học sinh cuối lớp 12 (vừa

mới ñược học chương số phức) và sinh viên năm nhất ñại học.

2

=

−

z

;

z

=

+

i

i

;

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm gồm 6 bài tập.

1

2

zz . 1

2

1 2

3 2

3 2

1 2

z 1 z

2

   

   

=

+

i

cos

z

=

−

i c

os

. Tính Bài 1: Cho

2

2.z z và

z 1 z

π 6

π 6

π 3

π 3

 4 sin  

  

 2 sin  

  

2

1 i+

và Bài 2: Cho 1 z . Tính 1

)2012

Bài 3: Tính (

z

i

i

− + + = z

Bài 4: Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa

( ) 3 4

z=

mãn

3

z

0

Bài 5: Chứng minh ñẳng thức z bằng nhiều cách

i− = trong tập số phức bằng cách sử dụng dạng

Bài 6: Giải phương trình

lượng giác của số phức.

84

Phần A

PHÂN TÍCH A-PRIORI

2

=

−

z

;

z

=

+

i

i

;

zz . 1

2

1

2

1 2

3 2

3 2

1 2

z 1 z

2

   

   

Câu 1: Cho . Tính

• Mục ñích:

- Kiểm chứng R1: “ Học sinh có nghĩa vụ tìm tích thương của hai số phức bằng

dạng ñại số nếu số phức ban ñầu cho ở dạng ñại số; bằng dạng lượng giác nếu

hai số phức ban ñầu cho ở dạng lượng giác”

,a b R∈ ”

- Kiểm chứng R3: “Học sinh khi thực hiện phép toán trên số phức, có nghĩa vụ

ñưa về dạng z = a+bi,

• Các biến didactic và giá trị của nó.

V1: Dạng số phức ban ñầu, có các giá trị sau:

+ GT1: Dạng lượng giác ( dạng lượng giác hay có chứa các hàm số lượng

giác).

+ GT2: Dạng ñại số.

V2: Phần thực, phần ảo:

+GT1: Phần thực và phần ảo là những số nguyên.

+ GT2: Phần thực và phần ảo là những số vô tỉ chứa nhiều căn số phức tạp.

Câu 1a. Các chiến lược và những cái có thể quan sát (1a)

(cid:2) Chiến lược ñại số S1:

2

2

=

−

i

i

+

i

i

− = − −

i

+ Chiến lược S1.1:

z 1

1 2

3 2

1 = − 2

3 2

3 4

1 = − 2

3 2

3 4

1 2

3 2

   

   

−−=

i

+

i

−

i

−

i

+

−=

i

zz . 2 1

3 4

1 2

3 2

3 2

1 2

3 4

3 4

1 4

  −= 

   

       

Có

85

−

i

i

−

−

i

i

1 − − 2

3 2

3 2

1 2

3 2

1 2

=

=

=

= −

−

i

z 1 z

1

3 2

1 2

2

+

i

+

i

−

i

1 − − 2 3 2

3 2 1 2

3 2

1 2

3 2

1 2

     

        

     

i

i

=

+

−

z z 1 2

3 2

3 2

1 2

1 2

2        

   

   

2

2

3

i

i

i

i

i

i

i

i

−

=

+

+

=

+

−

−

+

+

1 4

3 2

3 4

3 2

1 2

3 8

1 8

3 4

3 3 8

3 4

3 8

   

   

   

2

3

2

=

−

i

+

i

+

i

= −

i

+

i

+

2 i i

i

−

−

i

= −

i

= −

3 8

5 8

3 4

3 8

3 5 8 8

3 4

3 5 8 8

3 4

3 8

3 8

2

2

2

−

i

−

i

+

i

−

i

+

i

−

i

1 2

3 2

1 4

3 2

3 4

1 4

3 2

3 4

3 2

1 2

  

  

  

  

=

=

=

z 1 z

2

+

i

−

i

+

i

+

i

3 2

1 2

      3 2

1 2

3 2

1 2

3 2

1 2

     

     

  

  

  

  

  

2

2

3

−

−

+

+

−

i

i

i

i

i

2

3

3 4

3 8

1 8

3 8

3 3 8

=

=

−

i

+

i

−

i

3 8

7 8

5 3 8

3 8

+

3 4 3 4

1 4

−

3

=

−

i

−

−

2 i i

=

−

i

−

+

i

=

3 8

7 8

5 3 8

3 8

3 8

5 3 8

3 8

7 8

2

1 i− 2

+ Chiến lược S1.2:

=

−

−

+

i

i

i

zz 21

1 2

3 2

1 2

3 2

3 2

1 2

   

       

       

  = 

−

=

+

−

+

−

−

i

i

i

i

i

1 2

1 2

1 4

3 2

3 4

3 4

3 4

1 2

3 2

3 2

   

       

  = 

   

       

   

i

i

i

=

−

−

−

−=

3 4

3 4

1 4

3 4

+ Chiến lược S1.3:

86

−

i

−

i

3 2

1 2

1 2

3 2

i

i

i

i

=

−

−

−

−

=

−

z 1 z

1 2

3 2

3 4

1 4

3 4

3 4

1 2

3 2

2

   

       

   

   

   

i

i

−

+

3 2

1 2

3 2

1 2

     

     

        

i

i

i

=

−

−

(

) − = −

3 2

1 2

3 2

1 2

   

   

(cid:2) Chiến lược lượng giác S2:

+ Chiến lược S2.1:

2

2

=

−

i

=

cos

−

+

i

sin

−

=

cos

−

+

i

sin

−

z 1

1 2

3 2

π 3

π 3

2 π 3

2 π 3

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

   

   

z

=

cos

+

i

sin

2

π 6

π 6

  

  

=

cos

−

+

i

sin

−

cos

+

i

sin

=

cos

−

+

i

sin

−

= −

i

z z . 1

2

2 π 3

2 π 3

π 6

π 6

π 2

π 2

  

  

  

  

  

  

  

  

  

        

2

−

+

−

i

cos

sin

−

+

−

i

cos

sin

π 3

2 π 3

2 π 3

  

  

  

  

  

  

=

=

=

z 1 z

2

cos

+

i

sin

cos

+

i

sin

π   3  π 6

   π 6

   π 6

   π 6

=

cos

−

+

i

sin

−

=

cos

−

+

i

sin

−

= −

−

i

2 π π − 6 3

2 π π − 6 3

5 π 6

5 π 6

3 2

1 2

  

  

  

  

  

  

  

  

Có

+ Chiến lược S2.2:

−

i

=

cos

−

+

i

sin

−

1 2

3 2

π 3

π 3

  

  

  

  

z

=

cos

+

i

sin

2

π 6

π 6

  

  

Ta có

87

=

cos

−

+

i

sin

−

cos

−

+

i

sin

−

cos

+

i

sin

z z 2. 1

π 3

π 3

π 6

π 6

π 3

π 3

  

  

  

  

  

  

  

  

        

  

     

cos

i

sin

cos

i

sin

=

−

+

−

+

π π − + 3 6

π π − + 3 6

π 3

π 3

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

     

cos

i

sin

cos

sin

+

i

−

=

=

−

+

−

−

π 6

π 6

π 3

π 3

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

cos

sin

=

−

+

i

−

= − i

π 2

π 2

  

  

  

  

cos

i

sin

cos

i

sin

−

+

−

+

−

−

π 3

π 3

π 3

  

  

  

  

  

  

     

  

  

=

z 1 z

2

cos

i

sin

+

   π 6

cos

i

sin

cos

i

sin

=

−

+

−

+

π   3  π 6 π 3

π 3

π π − − 3 6

π π − − 3 6

  

  

  

  

  

  

  

  

  

     

  

cos

i

sin

cos

i

s

in

=

−

+

−

−

+

π 3

π 3

π 2

π 2

 − 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

=

cos

+

i

sin

=

cos

−

+

i

sin

−

= −

−

i

π π − − 3 2

π π − − 3 2

5 π 6

3 2

1 2

5 π 6

  

  

  

  

2

=

−

i

i

− = − −

i

=

cos

+

i

sin

+ Chiến lược S2.3:

z 1

1 2

3 2

1 = − 4

3 2

3 4

1 2

3 2

4 π 3

4 π 3

   

   

z

=

+

i

=

cos

+

i

sin

2

3 2

1 2

π 6

π 6

= − −

i

+

i

=

cos

+

i

sin

cos

+

i

sin

z z . 1

2

3 2

3 2

1 2

1 2

π 4 3

π 4 3

π 6

π 6

  

  

  

   

=

cos

+

i

sin

=

cos

+

i

sin

= −

i

π π 4 + 6 3

    π π 4 + 6 3

π 3 2

π 3 2

  

      

  

  

Có

88

cos

+

i

sin

i

=

=

z 1 z

2

cos

+

i

sin

i

+

4 π 3 π 6

4 π 3 π 6

1 − − 2 3 2

=

cos

+

i

sin

=

cos

+

i

sin

= −

−

i

3 2 1 2 4 π π − 6 3

4 π π − 6 3

7 π 6

3 2

1 2

7 π 6

  

  

  

  

(cid:2) Chiến lược dạng lượng giác S3: (có nghĩa sử dụng ñịnh nghĩa dạng

=

z

=

−

i

+

i

=

= 1.1 1

z z . 1

2

z 1

2

1 2

3 2

3 2

1 2

arg

=

arg

+

arg

z

= −

+

(

)

(

)

(

)

z z . 1

2

z 1

2

2 π π π = − 2 3 6

=

−

+

i

sin

−

= − i

lượng giác của một số phức)

z z 2.

π 2

π 2

  

  

  

  

 1 cos  

  

−

i

1 2

3 2

z 1

=

=

1

z 1 z

z

1 = = 1

2

2

+

i

3 2

1 2

=

−

= −

= −

arg

arg

arg

z

(

)

(

)

z 1

2

π π 2 − 6 3

π 5 6

z 1 z

2

  

  

=

−

+

i

sin

−

= −

−

i

Suy ra 1

z 1 z

5 π 6

5 π 6

3 2

1 2

  

  

  

  

2

 1 cos  

  

Suy ra

• Sự ảnh hưởng của các biến và giá trị của chúng ñến các chiến lược:

V1: Dạng số phức ban ñầu, có các giá trị sau:

+ GT1: Dạng lượng giác ( dạng lượng giác hay chứa các hàm số lượng giác).

+ GT2: Dạng ñại số.

Nếu V1 chọn giá trị lượng giác thì sẽ tạo ñiều kiện cho chiến lược S2 xuất hiện

nhiều hơn.

89

Ở ñây chúng tôi chọn cho biến V1 giá trị là dạng ñại số. Sự lựa chọn này sẽ

làm cho chiến lược S1 xuất hiện với tần suất lớn và chiến lược S2 ít khả năng xuất

hiện.

V2: Phần thực, phần ảo:

+GT1: Phần thực và phần ảo là những số nguyên.

+ GT2: Phần thực và phần ảo là những số vô tỉ chứa nhiều căn số phức tạp.

Nếu V2 nhận giá trị 1, có nghĩa phần thực và phần ảo là những số nguyên thì

chiến lược S1 trở nên tối ưu vì việc cộng trừ, nhân chia các số nguyên rất dễ dàng.

Tuy nhiên, ở ñây chúng tôi lựa chọn cho V2 giá trị 2, phần thực và phần ảo ñều

chứa nhiều căn thức. sự lựa chọn này làm cho S1 không còn trở nên tối ưu nữa, vì

bình phương và lập phương phần thực và phần ảo rất phức tạp. Chiến lược S2 tỏ ra

tối ưu hơn. Tuy nhiên, theo dự ñoán của chúng tôi, rất ít học sinh sử dụng chiến

lược S2 vì ban ñầu dạng số phức cho là dạng ñại số. Và qui tắc R1 sẽ ñược tôn

=

+

i c

os

z

=

−

i

cos

trọng.

2

2.z z và

z 1 z

π 6

π 6

π 3

π 3

 4 sin  

  

 2 sin  

  

2

và Bài 2: Cho 1 z . Tính 1

• Mục ñích: kiểm chứng R1: “ Học sinh có nghĩa vụ tìm tích thương của hai

số phức bằng dạng ñại số nếu số phức ban ñầu cho ở dạng ñại số; bằng dạng lượng

giác nếu hai số phức ban ñầu cho ở dạng lượng giác”

Kiểm chứng R3: “Học sinh khi thực hiện phép toán trên số phức, có nghĩa vụ

,a b R∈ ”

ñưa về dạng z = a+bi,

• Các biến didactic và giá trị của nó.

V1: Dạng số phức ban ñầu, có các giá trị sau:

+ GT1: Dạng lượng giác

+ GT2: Dạng ñại số.

V2: Phần thực, phần ảo:

+GT1: Phần thực và phần ảo là những số nguyên.

+ GT2: Phần thực và phần ảo là những số vô tỉ chứa nhiều căn số phức tạp.

90

+ GT3: Phần thực và phần ảo chứa các hàm số lượng giác của các góc ñặc biệt

quen thuộc.

• Các chiến lược và những cái có thể quan sát. (cid:2) Chiến lược ñại số S1:

+

ic

os

=

4

+

i

= +

i 2 2 3

=

z 1

π 6

π 6

1 2

3 2

 4 sin  

  

z

=

−

i

cos

=

2

−

i

=

3

−

i

2

π 3

π 3

3 2

1 2

 2 sin  

  

       

       

2

=

i 2 2 3

+

3

i 2 3 2

−

+

i 6

−

i 2 3

=

i 4 3 4

+

z z 2. 1

(

) − = i

2

+

+

3

+

+

i 2 3

)

)( (

=

=

=

=

=

i 2

z 1 z

+ i i 2 3 2 6 2 − 3 i

i 8 4

+ i 2 2 3 3 i

−

2

−

3

i

3

+

i

)( i 2 2 3 )( (

i )

Bài giải 1: Ta có

Bài giải 2:

ic

os

4

i

=

+

=

z 1

π 6

π 6

3 2

 4 sin  

  

z

i

i

cos

2

=

−

−

=

2

π 3

π 3

3 2

1 2

 2 sin  

  

 1 +  2     

       

2

=

4

+

i

−

i

=

8

−

i

+

i

−

i

z z . 1

2

3 2

3 2

1 2

3 4

1 4

3 4

3 4

1 2

   

   

   

i

=

=

8

+

i 4 3 4

+

1 2

3 2

  2          

       

2

4

+

i

2

+

i

+

i

2

+

i

+

i

+

i

1 2

3 2

1 2

3 2

3 2

1 2

3 4

1 4

3 4

  

  

=

=

=

=

i 2

z 1 z

2

+

2

−

i

−

i

+

i

3 4 1 4

3 4

3 2

1 2

3 2

1 2

3 2

1 2

     

     

     

     

     

Ta có

91

(cid:2) Chiến lược lượng giác S2:

+ Chiến lược S2.1:

=

+

i

cos

=

+

i

sin

Bài giải 1:

π 6

π 6

π 3

π 3

 4 sin  

  

 4 cos  

  

z

=

−

i

cos

=

−

+

i

sin

−

2

π 3

π 3

π 6

π 6

 2 sin  

  

  

  

  

  

 2 cos  

  

sin

sin

=

+

i

−

+

i

−

2. z z 1

π 3

π 3

π 6

π 6

 4 cos  

  

  

  

  

  

 2 cos  

  

sin

sin

=

+

=

+

i

i

π π − 3 6

π π − 3 6

π 6

π 6

  

  

  

  

 8 cos  

  

 4.2 cos  

  

=

8

+

=

+

i

4 3 4 i

3 2

1 2

   

   

4

c os

+

i

sin

=

=

cos

+

i

sin

z 1 z

4 2

π π + 3 6

π π + 3 6

  

  

  

  

2

  

  

2

c os

−

+

i

sin

−

   π 6

     

π 3 π   6 

π 3   

  

  

  

=

+

i

sin

=

i 2

π 2

π 2

 2 cos  

  

Có 1 z

=

+

i

cos

−

i

cos

z z 2. 1

π 6

π 6

π 3

π 3

 4 sin  

  

 .2 sin  

  

i

=

+

cos

π π + 6 3

π π − 6 3

  

  

  

  

 8 sin  

  

ic

os

i

i 8 4 3

=

+

−

=

+

= +

π 2

π 6

3 2

  

  

 8 sin  

  

 8 1   

   

+

i

cos

=

=

sin

+

i

cos

z 1 z

4 2

π π − 6 3

π π + 6 3

  

  

  

  

2

  

  

i

−

cos

π 6 π 3

π 6 π 3

 4 sin    2 sin  

     

i

=

−

+

=

= −

cos

2

i .0

1

π 6

π 2

1 − + 2

  

  

  

  

 2 sin  

  

Bài giải 2:

92

=

+

cos

−

cos

i

i

z z . 1

2

π 6

π 6

π 3

π 3

 4 sin  

  

  

2

=

−

sin

+

cos

−

cos

i

i

i

 .2 sin   π π cos 6 3

π π sin 3 6

π π sin 3 6

π π cos 6 3

 8 sin  

  

=

8

sin

+

cos

+

cos

−

sin

i

π π sin 3 6

π π cos 6 3

π π sin 3 6

π π cos 6 3

  

  

  

  

  

  

=

+

i

sin

=

8

+

i

=

i 4 3 4

+

=

+

sin

i

π 6

π 6

3 2

1 2

π π − 3 6

π π − 3 6

 8 cos  

  

  

  

  

  

  

 8 cos  

   

   

+

cos

+

sin

sin

cos

+

cos

i

i

i

=

=

2

z 1 z

2

−

−

+

cos

sin

sin

cos

cos

i

i

i

π 6 π 3

π 6 π 3

π 6 π 3

π 6 π 3

π 3 π 3

π 3 π 3

 4 sin    2 sin  

     

2

sin

+

sin

+

cos

+

cos

i

i

i

π π sin 3 6

      π π cos 6 3

  

  

=

2

2

2

sin

+

cos

cos

+

i

+

sin

=

2

sin

− s co

      π π cos 3 6 π 3 π π cos 6 3

         π π sin 6 3 π 3 π π sin 3 6

π π cos 6 3

π π sin 3 6

  

  

  

  

  

  

=

2

−

cos

+

i

sin

=

2

−

cos

+

i

sin

=

i 2

π π + 3 6

π 2

π 2

π π + 3 6

  

  

  

  

  

  

  

  

+ Chiến lược S2.2:

i

cos

i

cos

=

+

−

z z . 1

2

π 6

π 6

π 3

π 3

 4 sin  

  

  

2

=

−

i

sin

+

i

cos

−

i

cos

 .2 sin   π π cos 6 3

π π sin 3 6

π π sin 3 6

π π cos 6 3

 8 sin  

  

=

8

−

i

+

i

.

+

=

8

+

i

=

i 4 3 4

+

3 1 . 2 2

1 1 . 2 2

3 2

3 2

3 1 . 2 2

3 2

1 2

   

   

   

   

+ Chiến lược S2.3:

93

+

cos

+

cos

+

sin

cos

sin

i

i

i

=

=

2

z 1 z

2

−

+

−

i

cos

i

cos

sin

i

cos

sin

π 6 π 3

π 6 π 3

π 3 π 3

π 3 π 3

π 6 π 3

π 6 π 3

 4 sin    2 sin  

     

2

+

+

+

sin

i

sin

i

cos

i

cos

π π sin 3 6

      π π cos 6 3

  

  

=

2

2

2

sin

+

cos

      π π cos 6 3 π 3

2

=

i

.

+

i

=

2

+

i

+

3 2

3 2

3 1 . 2 2

3 1 . 2 2

1 1 . 2 2

         π π sin 3 6 π 3    

   

=

2

+

i

+

i

−

=

i 2

3 4

1 4

3 4

3 4

   

   

• Sự ảnh hưởng của các biến và giá trị của chúng ñến các chiến lược:

V1: Dạng số phức ban ñầu, có các giá trị sau:

+ GT1: Dạng lượng giác (dạng lượng giác chuẩn hay là chứa các giá trị lượng

giác)

+ GT2: Dạng ñại số.

Nếu V1 chọn giá trị lượng giác thì sẽ tạo ñiều kiện cho chiến lược S2 xuất hiện

nhiều hơn.

Ở ñây chúng tôi chọn cho biến V1 giá trị là dạng lượng giác. Sự lựa chọn này

sẽ làm cho chiến lược S2 xuất hiện với tần suất lớn và khả năng xuất hiện chiến

lược S1 ít hơn.

V2: Phần thực, phần ảo:

+GT1: Phần thực và phần ảo là những số nguyên.

+ GT2: Phần thực và phần ảo là những số vô tỉ chứa nhiều căn số phức tạp.

+GT3: Phần thực và phần ảo là chứa các giá trị lượng giác của các góc ñặc

biệt.

94

1 i+

)2012

Bài 3: Tính (

• Mục ñích: kiểm chứng R2: “Học sinh có nghĩa vụ tìm lũy thừa bậc cao (bậc

lớn hơn 4) của một biểu thức phức bằng phương pháp ñưa về dạng lượng giác và

dùng công thức Moivre”.

• Các biến didactic và giá trị của nó.

V1: Số mũ:

+ GT1: số mũ thấp (nhỏ hơn 5).

+GT2: số mũ cao (lớn hơn hay bằng 5).

V2: Dạng số phức dưới dấu lũy thừa.

+ GT1: Dạng ñại số.

+GT2: Dạng lượng giác.

V3: Phần thực, phần ảo của số phức dưới dấu lũy thừa.

+ GT1: Phần thực và phần ảo bằng nhau.

+GT2: Phần thực và phần ảo khác nhau. • Các chiến lược và những cái có thể quan sát ñược: (cid:2) Chiến lược ñại số S1:

1006

1006

503

2012

2

1006

2

2

i

i

i

i 2

1006 1006 i . 2

1006 . 2

i

+

+

=

+

=

=

=

( 1

)

( 1

)

(

)

( = + i 1 2

)

(

)

503

( 1006 . 2

=

1006 = − 2

) ) − 1

(

Có

2012

2012

2012

π

π

i

i

sin

2

cos

i

sin

+

+

=

=

+

( 1

)

(

)

π 4

π 4

2012 4

2012 4

  

  

  

   1006 2

cos 503

i

   sin 503

1006 2

π

=

+

= −

 2 cos   (

) π

(cid:2) Chiến lược lượng giác S2:

• Sự ảnh hưởng của biến và các giá trị của biến ñến các chiến lược:

V1: Số mũ:

+ GT1: số mũ thấp (nhỏ hơn 5).

+GT2: số mũ cao (lớn hơn hay bằng 5).

95

Nếu V1 nhận GT1, có nghĩa số mũ thấp thì chiến lược S3 (khai triển nhị thức

newton hay là hằng ñẳng thức) hay S2 sẽ xuất hiện với tần số lớn vì bài toán trở

thành việc khai triển một hằng ñẳng thức khá ñơn giản.

Ở ñây, chiến lược ñại số tỏ ra tối ưu hơn hai chiến lược còn lại vì khá ñơn giản,

tuy nhiên với sự chọn lựa giá trị của biến là số mũ cao sự sẽ làm cho chiến lược

lượng giác xuất hiện với tần số cao.

V2: Dạng số phức dưới dấu lũy thừa.

+ GT1: Dạng ñại số.

+GT2: Dạng lượng giác.

Theo hợp ñồng R1, nếu ở ñây chúng tôi chọn GT2 (số phức dưới dấu lũy thừa

cho ở dạng lượng giác) thì chiến lược S2 xuất hiện chắc chắn gần như tuyệt ñối và

sẽ hạn chế tất cả các chiến lược khác.

Tuy nhiên, sự lựa chọn ở ñây là V1, ñiều này sẽ có thể làm cho chiến lược ñại

số và nhị thức Newton có thể xảy ra. Nhưng theo dự ñoán của chúng tôi, chiến

lược lượng giác vẫn áp ñảo hai chiến lược còn lại.

Chiến lược Nhị thức Newton sẽ rất ít (có thể là không) ñược sử dụng ở ñây.

V3: Phần thực, phần ảo của số phức dưới dấu lũy thừa.

+ GT1: Phần thực và phần ảo bằng nhau.

+GT2: Phần thực và phần ảo khác nhau.

Nếu V3 nhận GT2 thì chỉ có một chiến lược lượng giác tỏ ra có hiệu quả, 2

chiến lược còn lại không ñem lại kết quả.

V3 nhận GT1, thì hai chiến lược S1, S3 cũng có thể cho ta kết quả.

z

1

1

− + + = z

Bài 4: Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa

( ) 3 4

mãn

• Mục ñích: kiểm chứng H2: “Học sinh ít khi sử dụng biểu diễn hình học của

số phức trong việc chứng minh hay giải quyết các dạng toán liên quan ñến số

phức”

96

• Các biến didactic và giá trị của chúng.

V1: yêu cầu học sinh giải bằng phương pháp nào

+ GT1: có.

+GT2: không.

z

z

k

k

0

−

=

>

V2: Tính phức tạp của hệ thức

(

)

0

z

z

−

= − z

+ GT1:

z 1

2

+GT2:

• Các chiến lược và những cái có thể quan sát ñược: (cid:2) Chiến lược ñại số S1:

+ Chiến lược S1.1.

2

2

2

2

⇔ − + x

yi

+

x

yi

= ⇔ −

3

x

+

y

+

x

+

+

y

=

3

( ) 4

) 1

(

(

) + + 1

(

) 1

(

) 1

2

2

2

2

+

= − 3

+

+

y

x

y

x

) 1

(

) 1

2

2

2

2

2

2

+

= −

9 6

+

+

+

+

+

y

x

y

x

y

) 1

(

) 1

(

) 1

2

2

+

+

≤

3

x

y

(

) 1

2

2

2

= −

9 6

+

+

+

2

x

x

y

x

) 1

(

2

2

+

+

≤

3

x

y

(

) 1

( ⇔ −  − ( x  ⇔    −  ⇔   

2

2

2

+

=

1

2

2

2

36

45

+

=

+

y

= +

9 4

x

6

x

+

(

⇔

⇔

⇔

y 5 4

x

− ≤ ≤

0

3

≤

≤

20 x 9 4

y 9 4

    

) 1 9 4 x + 6

    

x

− ≤ ≤

x 9 4 9 4

9 4

      

2

2

E

:

+

= 1

Gọi z = x + yi (x, y là những số thực).

)

y 5 4

x 9 4

Tập hợp các ñiểm M là Elip: (

(cid:2) Chiến lược hình học S2:

MI MJ

3

3

(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:4) (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:4) ⇔ + MI MJ

= ⇔ +

=

Gọi M là ñiểm biểu diễn số phức z, I là ñiểm biểu diễn số 1, J là ñiểm biểu diễn

số -1 thì ( )4

97

Vậy tập hợp M là Elip có trục lớn là ñường thẳng IJ, nhận I, J làm hai tiêm

3 a = . 2

ñiểm có

(cid:2) Chiến lược “sử dụng giá trị tuyệt ñối”:

Ta có bảng xét dấu:

−∞ -1 1 +∞

z

z-1 - ا - 0 +

1

1

z

z

z

z+1 - 0 + ا +

z ≤ − : (4) trở thành:

3 − + − − = ⇔ = − 1 3 2

1z

2 3

1 3

1

z

z

Khi

− < ≤ : (4) trở thành

− + + + = ⇔ = (sai).

z

1

z

z

Khi 1

1z > : (4) trở thành:

3 − + + = ⇔ = 1 3 2

Khi

• Sự ảnh hưởng của các biến và giá trị của chúng ñến các chiến lược.

V1: yêu cầu học sinh giải bằng phương pháp nào

+ GT1: có.

+GT2: không.

Chúng tôi dự ñoán sự xuất hiện của chiến lược ñại số chiếm tỉ lệ lớn mặc dầu

giải bằng chiến lược hình học có vẻ tối ưu hơn (rất ngắn gọn và không cần biến

ñổi phức tạp). Tuy nhiên do thể chế Việt Nam không chú trọng ñến chiến lược

z=

hình học nên rất ít học sinh giải bằng chiến lược này.

Bài 5: Chứng minh ñẳng thức z bằng nhiều cách

• Mục ñích: Kiểm chứng giả thuyết H2: “Học sinh ít khi sử dụng biểu diễn

hình học của số phức trong việc chứng minh hay giải quyết các dạng toán liên

quan ñến số phức”

• Các biến didactic và các giá trị của chúng:

V1: yêu cầu học sinh giải bằng phương pháp nào

+ GT1: có.

98

+GT2: không.

V2: Yêu cầu học sinh giải bằng nhiều cách

+GT1: có

+GT2: không • Các chiến lược có thể và những cái có thể quan sát ñược. (cid:2) Chiến lược ñại số S1:

+ Chiến lược S1.1.

2

2

z

=

x

+

y

Gọi z = x + yi (x, y là những số thực).

2

2

+

z

yi = − ⇒ =

x

z

x

y

Suy ra

z=

Có

Suy ra z

2

2

2

2

= ⇔ +

= − ⇔ +

=

z

x

z

yi

yi

x

x

y

x

y

+ ⇔ = (Đúng) 0 0

+ Chiến lược S1.2.

(cid:2) Chiến lược hình học S2:

Gọi M, M’ là ñiểm biểu diễn số phức z, z

Vì z là số phức liên hợp của z nên M’ ñối xứng với M qua Ox.

Vì O là ñiểm bất ñộng trong phép ñối xứng qua Ox.

z=

Phép ñối xứng bảo toàn khoảng cách nên OM = OM”.

Do ñó z

• Sự ảnh hưởng của các biến và giá trị của chúng ñến các chiến lược.

V1: yêu cầu học sinh giải bằng phương pháp nào

+ GT1: có.

+GT2: không.

V2: Yêu cầu học sinh giải bằng nhiều cách

+GT1: có

+GT2: không

99

Theo chúng tôi dự ñoán, chắc chắn học sinh giải bài này theo chiến lược ñại số.

Vì vậy yêu cầu giải bằng nhiều cách ñể là xuất hiện chiến hình học. Tuy nhiên,

theo dự ñoán thì hầu hết học sinh không nghĩ ñến chiến lược này.

3

z

0

i− = .

Bài 6: Giải phương trình sau trong tập số phức bằng cách sử dụng dạng lượng

giác của số phức

• Mục ñích: Kiểm chứng H3: “Có phải sự thiếu vắng ñịnh nghĩa hai số phức

bằng nhau dưới dạng lượng giác gây khó khăn cho học sinh trong việc giải

phương trình trong tập số phức bằng dạng lượng giác”.

,a b R∈ ”

Kiểm chứng R3: “Học sinh khi thực hiện phép toán trên số phức, có nghĩa vụ

ñưa về dạng z = a+bi,

• Các biến didactic và giá trị của chúng.

V1: yêu cầu học sinh giải bằng phương pháp nào

+ GT1: có.

+GT2: không.

V2: Yêu cầu của bài toán:

+ GT1: có yêu cầu giải trong tập hợp số phức.

+GT2: không yêu cầu giải trong tập hợp số phức. • Các chiến lược và những cái có thể quan sát ñược: (cid:2) Chiến lược S1: Dùng ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau ở dạng lượng

giác:

ϕ

ϕ

z

r

cos

i

sin

r

0

=

+

>

+ Chiến lược S1.1:

(

) (

)

3

=

+

+

z

r

i

sin 3

i = =

i

sin

ϕ

Đặt nghiệm của phương trình là .

( 3 cos 3

) ϕ

π 2

π 2

 1 cos  

  

=

r

⇔

Khi ñó ta có

2

=

+

k Z ∈

=

+

k Z ∈

2

π k

(

)

(

)

1 π 6

π k 3

   α 

3  = r   α 3  

1 π 2

Khi ñó ta có

100

= ⇒ = ⇒ =

+

=

+

k

0

z

cos

i

sin

i

α

π 6

π 6

3 2

1 2

π 6

+

= −

+

k

1

z

cos

i

sin

i

Với

π 5 α= ⇒ = ⇒ = 6

3 2

1 2

π 5 6

π 5 6

= ⇒ = ⇒ =

+

k

2

z

cos

i

sin

α

Với

= − i

π 3 3

π 3 3

π 3 2

+

−

+

S

i

;

i

;

i

Với

3 2

1 2

3 2

1 2

  = −   

    

Do ñó, nghiệm của phương trình trên là

(cid:2) Chiến lược S2: Dùng ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau ở dạng ñại số:

ϕ

ϕ

z

r

cos

i

sin

r

0

=

+

>

+ Chiến lược S2.1:

(

) (

)

. Đặt

3

3

+

=

z

i = ⇔

r

cos 3

i

sin 3

i

ϕ

(

3

=

) ϕ 0

cot 3

ϕ

=

r

cos 3

0

ϕ

⇔

⇔

3

3

=

r

sin 3

1

ϕ

=

r

sin 3

1

ϕ

  

    

=

+

=

π k

⇔

⇔

3

3

=

1

r

π 2 ϕ sin 3

π π k + 6 3 sin 3 =

1

r

ϕ

 ϕ 3    

 ϕ    

+

=

+

k

0 = ⇒

z ⇒ =

cos

i

sin

i

Khi ñó ta có

π 6

π 6

3 2

1 2

π 6 1

 ϕ =   = r

k

Với

π  ϕ = 1 = ⇒  2  = − 1 r 

+

= −

+

k

2 = ⇒

z ⇒ =

cos

i

sin

i

Với loại

2 π 3

5 π 6

5 π 6

3 2

1 2

1

 ϕ =   = r

k

Với

7 π  ϕ = 3 = ⇒  6  = − r 1 

Với loại

101

+

4 = ⇒

cos

sin

k

z ⇒ =

i

i = −

3 π 2

3 π 2

3 π 3

1

 ϕ =   = r

k

Với

11 π 6 1

 ϕ = 5 = ⇒   = − r 

+

−

+

S

i

;

i

;

i

loại Với

3 2

1 2

3 2

1 2

  = −   

    

Do ñó, nghiệm của phương trình trên là

=

z

cos

iϕ +

sin

1

+ Chiến lược S2.2:

i = nên ñặt nghiệm của phương trình là

Vì . ϕ

=

+

2 π

k

=

ϕ

1

k

3

=

+

⇔

+

ϕ

ϕ

ϕ ⇔ =

z

cos 3

i

sin 3

i = ⇔

k Z ∈

(

)

=

ϕ

cos 3

0

π 6

2 π 3

sin 3   

=

+

k π

 3 ϕ     3 ϕ 

π 2 π 2

= ⇒ = ⇒ =

+

=

+

α

k

0

z

cos

i

sin

i

Khi ñó ta có

π 6

π 6

3 2

1 2

π 6

+

= −

+

k

1

z

cos

i

sin

i

Với

5 π α= ⇒ = ⇒ = 6

3 2

1 2

5 π 6

5 π 6

= ⇒ = ⇒ =

+

α

k

2

z

cos

i

sin

Với

= − i

3 π 3

3 π 2

3 π 3

+

−

+

S

i

;

i

;

i

Với

3 2

1 2

3 2

1 2

  = −   

    

Do ñó, nghiệm của phương trình trên là

ϕ

ϕ

z

r

cos

i

sin

r

0

=

+

>

+ Chiến lược S2.3:

(

) (

)

Đặt .

Khi ñó ta có

102

3

2

3

3

3

2

ϕ

z

r

+

cos

3cos

. sin i ϕ ϕ

+

3cos . ϕ

i

sin

i

sin

=

i

+

(

(

) ϕ

)

3

3

2

2

3

ϕ

⇔

r

cos

( − 3cos .sin

ϕ ϕ sin

−

sin

i

i

3

3

3

2

2

3

ϕ

⇔

r

r

) ϕ sin

−

i

=

i

−

3cos .sin

3cos

= ⇔ i ( (

3

2

2

2

3

=

−

=

−

r

3cos ( 0

) ϕ ) = ) ϕ 3sin

cos

0

cos

3cos .sin

ϕ

ϕ

⇔

⇔

3

3

3

2

2

2

ϕ

−

r

sin

1

sin ϕ ϕ ( ϕ 3co

s

r

1

sin

3cos

=

−

sin ϕ ϕ

cos ( (

( ϕ ϕ + ) + ϕ ϕ ) ϕ ϕ ) = ϕ

cos (

) ϕ ) sin ϕ ϕ

   

   

2

2

ϕ

−

3sin

0

ϕ

=

0

⇔

∨

3

2

2

3

2

2

ϕ

r

3cos

−

sin

=

1

ϕ

3cos

−

sin

=

1

cos (

) ϕ ϕ sin

cos (

) = ϕ ) ϕ ϕ sin

   

(    r  

2

2

π k

=

+

ϕ

ϕ

cos

3sin

=

⇔

∨

3

3

ϕ

1

=

   3 8 sin r 

ϕ

r

π 2 3 sin

1

= −

 ϕ    

2

ϕ

cos

=

ϕ

ϕ

cos

cos

= −

=

π k

π k

=

+

=

+

3 2

∨

⇔

∨

⇔

∨

π 2 ϕ

π 2 ϕ

r

sin

r

sin

1

1 = −

= −

ϕ

r

sin

=

ϕ

ϕ

n

=

r

sin

=

r

si

 ϕ    

 ϕ    

3 4 1 2

     

      

      

3 2 1 2

1 2

k

= ⇒ 0

⇒ = z

cos

+

i

sin

=

+

i

π 6

π 6

3 2

1 2

π 6 1

 = ϕ   = r

k

Với

π  = ϕ = ⇒  1 2  = − 1 r 

k

= ⇒ 2

⇒ = z

cos

+

i

sin

= −

+

i

Với loại

2 π 3

5 π 6

5 π 6

3 2

1 2

1

 = ϕ   = r

k

Với

7 π  = ϕ = ⇒  3 6  = − r 1 

k

= ⇒ 4

⇒ = z

cos

+

i

sin

= − i

Với loại

3 π 2

3 π 2

3 π 3

1

 = ϕ   = r

Với

103

k

11 π 6 1

 = ϕ 5 = ⇒   = − r 

S

i

;

+

i

;

−

+

i

Với loại

3 2

1 2

3 2

1 2

  = −   

    

Do ñó, nghiệm của phương trình trên là

(cid:2) Các chiến lược khác.

Có thể giải phương trình bằng phương pháp ñại số, sau ñó ñổi kết quả ra lượng

giác. Các bài giải trong chiến lược này có thể là:

z

,

= +

+ Chiến lược S3.1:

( a bi a b R

) ∈

Đặt

3

2

3

3

a

bi

i

+

+

=

)

( a bi 3

)

(

)

3

3

2

2

ab 3

+

=

i

( a bi + ( ⇔ − a

i = ⇔ + ( )

2 a bi 3 ) − a b b i 3

3

2

a

=

a

= −

0

0

a

−

3 ab

=

3 2

⇔

⇔

∨

∨

2

3

= −

1

=

1

= a  b 

   3 − a b b  

= −

=

     b  

     b  

3 2 1 2

1 2

z

i

cos

i

sin

=

+

=

+

1 2

3 2

π 6

π 6

+

i

+

z

= −

=

cos

i

sin

Phương trình trở thành

3 2

5 π 6

z

= − = i

cos

+

i

sin

1 2 3 π 2

5 π 6 3 π 2

        

Suy ra phương trình có các nghiệm là

S

=

cos

+

i

sin

;cos

+

i

sin

; cos

+

i

sin

5 π 6

π 6

π 6

3 π 2

5 π 6

3 π 2

  

  

Vậy nghiệm của phương trình trên là

z

= − i

3

3

3

2

z

− = ⇔ + = ⇔ + i

0

0

z

z

i

i

z

iz

0

(

2

)(

z

− − =

iz

( ) 1 0 *

 ) − − = ⇔  1 

+ Chiến lược S3.2.

104

i

2 4 −

( ∆ = −

)

(

) − = 3 1

i

3

=

=

+

i

z 1

3 2

1 2

Giải (*): có

i

3

z

=

= −

+

i

2

     

+ 2 − 2

3 2

1 2

z

i

cos

i

sin

=

+

=

+

1 2

3 2

π 6

π 6

z

i

i

= −

=

cos

sin

+

+

Suy ra nghiệm

3 2

5 π 6

z

= − = i

+

i

cos

sin

1 2 3 π 2

5 π 6 3 π 2

        

Suy ra phương trình có các nghiệm là

S

=

cos

+

i

sin

;cos

+

i

sin

; cos

+

i

sin

5 π 6

π 6

π 6

3 π 2

5 π 6

3 π 2

  

  

Vậy nghiệm của phương trình trên là

• Sự ảnh hưởng của các biến và giá trị của chúng ñến các chiến lược.

V1: yêu cầu học sinh giải bằng phương pháp nào

+ GT1: có.

+GT2: không.

Do sự vắng bóng ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau bằng dạng lượng giác nên

sẽ ảnh hưởng ñến việc giải phương trình bằng chiến lược lượng giác. Nếu không

có yêu cầu giải bằng phương pháp lượng giác thì theo dự ñoán của chúng tôi,

phương pháp lượng giác hầu như sẽ không xuất hiện và chiến lược S2 sẽ xuất hiện

với tần số lớn. Việc chúng tôi yêu cầu giải bằng phương pháp lượng giác sẽ hạn

chế tất cả các phương án khác của học sinh, ñể các em chỉ thực hiện chiến lược S3

mà thôi. Tuy nhiên theo dự ñoán của chúng tôi, sự lúng túng sẽ thể hiện rất rõ ở

ñây.

Sự khó khăn của việc giải phương trình bằng lượng giác theo chúng tôi xuất

hiện ở chổ sự bằng nhau giữa hai số phức (thể chế Việt Nam không có sự ñịnh

nghĩa này).

105

V2: Yêu cầu của bài toán:

+ GT1: có yêu cầu giải trong tập hợp số phức.

+GT2: không yêu cầu giải trong tập hợp số phức.

Nếu như V1 chọn giá trị là GT2 thì chiến lược S1 và S3 không xảy ra, và ở

chiến lược 2 học sinh sẽ kết luận phương trình có một nghiệm duy nhất (như cách

giải phương trình bậc hai ñã biết từ trước).

Chúng tôi chọn giá trị của biến là GT2, có nghĩa là trong bài toán có yêu cầu

giải nghiệm của phương trình trong tập hợp số phức. Điều này sẽ làm hạn chế kết

luận phương trình vô nghiệm.

106

PHẦN B

PHÂN TÍCH A-POSTERIORI

Chúng tôi ñã tiến hành thực nghiệm trên 70 học sinh của lớp 12A1, 12A2 năm

học 2009-2010 của trường THPT Gia Định và 110 sinh viên năm thứ nhất của Đại

học Nông Lâm.

Sau khi thực nghiệm, chúng tôi tiến hành thống kê số liệu trên từng lớp về các

chiến lược giải mà học sinh ñã thể hiện trong các phiếu trả lời.

Bài 1 (cid:2) Bảng thống kê về chiến lược giải câu 1a

Câu Chiến Chiến Chiến Chiến Không

1a lược S1 lược S2 lược S3 lược khác trả lời

Đúng 114 Đúng 29 Đúng 0 0 0

Sai 28 sai 7 sai 0 0 0

Tổng 36 0 0 2 142

cộng

(cid:2) Bảng thống kê về chiến lược giải câu 1b

Câu Chiến Chiến Chiến Chiến Không

1b lược S1 lược S2 lược S3 lược khác trả lời

Đúng 102 Đúng 27 Đúng 0 0 0

Sai 40 sai 9 Sai 0 0 0

36 0 0 2 Tổng 142

cộng

107

Qua thống kê, chúng tôi thấy có một số lượng lớn học sinh 142 HS chọn chiến

lược S1: “Chiến lược ñại số”, trong khi chỉ có 36 học sinh chọn chiến lược S2

“Chiến lược lượng giác” ñể giải bài toán trên. Tuy nhiên những học sinh sử dụng

chiến lược này hầu hết ñều cho kết quả ñúng. Chiến lược S3 “Chiến lược

argument” không ñược học sinh nào ñề cập ñến. Điều này cho thấy chiến lược ñại

số chiếm tối ưu.

Trong chiến lược S1, có ñến 103/142 học sinh sử dụng chiến lược S1.1, có

nghĩa là khai triển bình phương biểu thức trước khi thực hiện phép tính.

Sai lầm học sinh thường mắc phải khi chúng tôi tiến hành thực nghiệm bài 1 là:

i

− = − −

i

+ Học sinh nhân chia ra kết quả sai với số 3 , và i.

1 = − 4

3 2

3 4

1 2

3 2

HS75: “ Ta có 1 z

2

= − −

i

+

i

= −

−

i

i

z z . 1

2

1 2

3 2

3 2

1 2

3 4

1 4

3 − − 4

3 4

   

   

   

Mà

= −

−

i

i

3 4

1 4

3 − + 4

3 4

3 = − − 4

1 4

2

2

− a b

=

a

−

b

”

)2

2

2

−

i

=

+ Học sinh khai triển hằng ñẳng thức sai (

z 1

1 2

3 2

1 = − 4

3 2

3 = − = − 4

1 4

1 2

   

   

   

   

HS 53: “có

………………”

2

2

a

b−

+ Khi chia hai số phức, nhân và chia tử mẫu cho số phức liên hợp, kết quả dưới

mẫu thường là

i

−

i

i

1 − − 2

3 2

3 2

1 2

  

  

=

=

=

2

−

−

+

−

i

= −

− 3 2 i

HS 102 “ Có

z 1 z

3 4

3 4

1 4

3 4

  

  

2

   

   

   

   

−

+

i

      1 4

3 4

1 − − 2 3 2

3 2 1 2

”

108

Bài 2: (cid:2) Bảng thống kê về chiến lược giải câu 2a

Câu Chiến Chiến Chiến Chiến Không

2a lược S1 lược S2 lược S3 lược khác trả lời

Đúng 95 Đúng 33Đúng 0 0 0

Sai 37 sai 12 sai 0 0 0

Tổng 45 0 0 3 132

cộng

(cid:2) Bảng thống kê về chiến lược giải câu 2b

Câu Chiến Chiến Chiến Chiến Không

1a lược S1 lược S2 lược S3 lược khác trả lời

Đúng 89 Đúng 30 Đúng 0 0 0

Sai 43 sai 15 0 0 0

Tổng 45 0 0 3 132

cộng

Qua thống kê, chúng tôi thấy có một số lượng lớn học sinh 132 HS chọn chiến

lược S1: “Chiến lược lượng giác”, trong khi có 45 học sinh chọn chiến lược S2

“Chiến lược ñại số” ñể giải bài toán trên. Điều này cho thấy chiến lược lượng giác

chiếm tối ưu tuy nhiên nó không vượt trội như trong bài tập 1. Điều này ñồng

nghĩa với việc học sinh quen với việc tính toán số phức bằng dạng ñại số hơn.

Sai lầm học sinh thường mắc phải khi chúng tôi tiến hành thực nghiệm bài 2 là:

+ Học sinh không ñưa về dạng lượng giác, ñể các giá trị lượng giác và dùng

công thức nhân và chia dưới dạng lượng giác…

109

Bài 3 (cid:2) Bảng thống kê về chiến lược giải bài 3

Bài 3 Chiến lược Chiến lược Chiến Không

S1 S2 lược khác trả lời

Đúng 86 Đúng 37 Đúng 0

7 Sai 37 sai 11 sai 2

Tổng 48 2 123

cộng

Qua thống kê kết quả bài 3 cho thấy có 123/170 học sinh sử dụng chiến lược

Moivre, trong khi ñó có 48/170 học sinh sử dụng chiến lược ñại số.

10062

cos 503

sin 503

+ iπ

Trong chiến lược S1, có 7 học sinh giữ nguyên kết quả là

(

) π

. Có 2 học sinh sử dụng nhị thức Newton nhưng ñều

không cho ra kết quả.

Bài 5 (cid:2) Bảng thống kê về chiến lược giải bài 5

Bài 5 Chiến lược S1 Chiến Chiến

lược S2 lược S3 và

không trả lời

Đúng Kết luận là Kết luận là 1

22 Elip ñường

17 49

0 Sai Kết luận sai Biến ñổi sai

23 68

1 Tổng 157

cộng

110

Qua bảng thống kê cho thấy chiến lược ñại số chiếm áp ñảo 157/180 chiếm

87,22%, chỉ có 1/180 học sinh sẻ dụng chiến lược hình học chiếm 0,55%. Trong

chiến lược ñại số S1, chỉ có 17/157 tỉ lệ là 10,82% học sinh kết luận là Elip;

2

2

36

x

+

20

y

=

45

49/157 chiếm 31,21% học sinh kết luận là ñường có phương trình:

2

2

36

x

+

20

y

=

45

. Có tới 23/157 học sinh (tỉ lệ 14,65%) kết luận và ñường tròn

mặc dù kết quả các em ra phương trình có dạng . Có 68/157 học

sinh biến ñổi sai.

Có thể giải thích con số 10,82% kết luận là Elip và 14,65% kết luận là ñường

tròn như sau:

+ Học sinh làm quen nhiều với ñường tròn (cấp 2 và cấp 3) và phương trình

ñường tròn.

+ Phương trình ñường Elip chỉ ñược ñề cập 2 tiết trong chương trình hình học

= + x

yi

10 vào cuối năm.

có ñiểm biểu diễn là M trên mặt phẳng phức. HS77: Xét z

2

2

6

x

+

+

y

= +

9 4

x

(

) 1

2

2

2

2

+

+

+

+

3

x

y

x

y

( ) 1

( ⇔ −

) 1

(

) 1

2

2

+

+

x

y

(

) 1

  = ⇔   ≥ 3 

2

2

x

+

36

y

=

45

20

  ⇔  ≤ x 

9 4

2

2

E

:

+

= 1

Khi ñó

)

x 9 4

y 5 4

= +

a bi

Vậy tập hợp ñiểm M là Elip: (

HS 56: Đặt z

111

2

2

2

2

⇔ − + a

bi

+

a

+

b

+

a

−

+

b

=

3

bi

a

3

( ) 1

) 1

(

(

) 1

(

) 1

(

2

2

2

2

2

2

⇔ + 2 a

b 2

+ +

2 2

a

+

b

+

−

a

+

b

=

9

(

) 1

) 1

) + + 1 (

)

2

2

2

2

4

4

2

b 2

+

=

9

−

2

a

−

b 2

⇔

4

a

+

b

+

2

2 2 a b

+

2

a

−

= ⇔ + ( ) ( ) 1

(

)

(

(

)

2

2

2

2

⇔

44

a

+

b 44

= ⇔ +

77

a

b

=

7 4

r =

Vậy tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức z là ñường tròn tâm O(0; 0) bán

7 2

kính

1z + và

1z − là những số phức với phần thực là z, phần ảo là 1 (-1) nên

Những sai lầm học sinh thường gặp trong bài toán này là:

+ Coi

biến ñổi như sau:

2

2

2

z

+ + − = ⇔ + + 3

1

1

1

z

z

z

+ = ⇔ + =

1 3

1

z

3 2

2

2

⇔ + = ⇔ = ⇔ = ± z

1

z

z

9 4

5 4

5 4

HS 73:

+ Coi dấu mô ñun như dấu trị tuyệt ñối. Biến ñổi như sau:

2

2

2

z

−

+

z

+

i

2 1

+

2

z

−

1

z

+ = ⇔ + +

2 2

1

9

2

z

z

− = 1

9

(

) 1

(

)

2

2 ⇔ + + z

2 2

2

z

2 − = ⇔ = ⇔ = ± z

1

9

4

9

z

3 2

2

2

a

b

+ a bi

=

+

HS21: Bình phương 2 vế của (1), ta ñược:

+ Sai công thức mô ñun

x

+

yi

− + +

1

x

yi

+ = ⇔ − +

1

3

x

yi

+

x

yi

=

3

(

) 1

(

) + + 1

2

2

2

2

2

2

2

2

x

+

y

+

x

−

+

y

= ⇔ +

3

2

x

2

y

= ⇔ +

1

x

y

=

( ⇔ −

) 1

(

) 1

1 2

2

a

+

b

= ⇔ + =

a b

c

c

HS 37:

+ Sai công thức biến ñổi

112

x

+

yi

− + +

1

x

yi

+ = ⇔ − +

1

3

x

yi

+

x

yi

=

3

(

) 1

(

) + + 1

2

2

2

2

2

2

2

2

x

y

x

y

x

y

x

y

+

+

+

+

= ⇔ −

3

+

+

+

+

=

9

( ⇔ −

) 1

(

) 1

(

) 1

(

) 1

2

2

2

2

⇔ + 2 x

2

y

= ⇔ +

7

x

y

=

7 2

Bài 6 (cid:2) Bảng thống kê về chiến lược giải bài 6

Bài 6 Chiến lược Chiến lược Chiến Không

S1 S2 lược khác trả lời

Đúng 139 Đúng 0 0

14 Sai 24 0 3

Tổng 0 3 163

cộng

Qua bảng thống kê cho thấy, chiến lược S1 áp ñảo với 163/180 chiếm tỉ lệ

90,56%. Không có học sinh nào sử dụng chiến lược S2. Mặc dù ñề bài yêu cầu

giải bằng nhiều cách, nhưng chỉ có 13 học sinh giải bằng 2 cách và toàn sử dụng

ñại số như sau:

H37:

Cách 1:

2

2

z

x

y

=

+

Gọi z = x + yi.

2

2

z

= − ⇒ = yi

x

z

x

+

y

Suy ra

z=

Mà

Do ñó z

2

2

2

2

z

= ⇔ +

x

z

yi

= − ⇔ +

yi

x

x

y

=

x

y

+ ⇔ = (Đúng) 0 0

Cách 2:

113

Từ kết quả thực nghiệm của bài 4 và bài 5, giả thuyết H2 mà chúng tôi ñưa ra

ñã ñược kiểm chứng.

Bài 7 (cid:2) Bảng thống kê về chiến lược giải bài 7

Bài 3 Chiến lược Chiến lược Chiến Không

S1 S2 lược khác trả lời

Đúng 2 7 98

33 Sai 1 22 17

Tổng 29 115 3

cộng

Qua bảng thống kê cho thấy, mặc dù ñề bài yêu cầu dùng dạng lượng giác của

số phức ñể giải phương trình nhưng có ñến 115/180 học sinh chiếm tỉ lệ 63,89%

sử dụng chiến lược ñại số (chiến lược khác ở phần phân tích tiên nghiệm), trong

ñó có khoảng 19 học sinh chuyển nghiệm từ dạng ñại số sang dạng lượng giác.

Có 31/180 học sinh chiếm tỉ lệ 17,22% học sinh sử dụng chiến lược lượng

giác, trong ñó có 3 học sinh dùng ñịnh nghĩa bằng nhau của 2 số phức ở dạng

lượng giác. Có 29/180 học sinh sử dụng chiến lược S2 dùng ñịnh nghĩa sự bằng

nhau của hai số phức (bằng ñại số), tuy nhiên gặp sinh gặp lúng túng trong việc

giải hệ phương trình (do ñịnh nghĩa argument không có mod 2π).

ϕ

z

=

cos

+ iϕ

sin

H12:

ϕ

ϕ

ϕ

cos

+

i

sin

= ⇔ i

cos 3

+

i

sin 3

i

(

)3 ϕ

= 0 ϕ = 1 ϕ

cos 3  = ⇔  sin 3 

k

⇔ = ϕ

+

π 6

2 π 3

k

k

=

cos

+

+

sin

+

z

i

Đặt . Phương trình trở thành:

π 6

2 π 3

π 6

2 π 3

  

  

  

  

Vậy

114

3

3

ϕ

ϕ

r

cos 3

+

sin 3

−

0

r

i

= rồi dừng.

(

) 1

Một học sinh biến tới phương trình

Có 3 học sinh dùng dạng ñại số ñể giải phương trình rồi sau ñó chuyển nghiệm

z

,

= +

về dạng lượng giác như sau:

( a bi a b R

) ∈

HS139: Đặt

3

2

3

3

a

+

+

bi

=

i

)

( a bi 3

)

(

)

3

3

2

2

ab 3

+

=

i

( + a bi ( ⇔ − a

= ⇔ + i ( )

2 a bi 3 ) − a b b i 3

3

2

a

=

a

= −

a

−

ab 3

=

0

0

3 2

⇔

⇔

∨

∨

2

3

1

= −

1

=

= a  b 

   3 a b b −  

= −

=

3 2 1 2

1 2

     b  

     b  

z

=

+

i

=

cos

+

i

sin

3 2

1 2

π 6

π 6

+

+

= −

=

i

z

cos

i

sin

Phương trình trở thành

3 2

5 π 6

+

z

= − = i

cos

i

sin

1 2 3 π 2

5 π 6 3 π 2

        

Vậy nghiệm của phương trình là

Những sai lầm học sinh gặp phải trong bài toán này là:

+ Nghĩ rằng giải bằng dạng lượng giác có nghĩa là kết quả ra dạng lượng giác

z

,

= +

của số phức.

( a bi a b R

) ∈

HS139: Đặt

3

2

3

3

a

+

+

bi

=

i

)

( 3 a bi

)

(

)

3

2

3

2

3 ab

+

=

i

( + a bi ( ⇔ − a

= ⇔ + i ( )

2 3 a bi ) 3 − a b b i

3

2

a

=

a

= −

a

−

ab 3

=

0

0

3 2

⇔

⇔

∨

∨

2

3

1

= −

1

=

= a  b 

   3 a b b −  

= −

=

3 2 1 2

1 2

     b  

     b  

Phương trình trở thành

115

z

i

i

=

+

=

cos

+

sin

1 2

3 2

π 6

π 6

z

i

i

= −

=

+

+

cos

sin

3 2

5 π 6

z

= − = i

+

i

cos

sin

1 2 3 π 2

5 π 6 3 π 2

        

3

3

3

− = ⇔ −

0

z

z

i

i

Vậy nghiệm của phương trình là

= 0

(

z

=

cos

+ iϕ

sin

HS99: + Sử dụng kí hiệu căn bậc ba của số phức như sau: )3

+ Dạng lượng giác của số phức là . ϕ

ϕ

z

=

cos

+ iϕ

sin

H12:

. Đặt

+ Không nắm ñược ñịnh nghĩa argument của số phức.

ϕ

z

=

cos

+ iϕ

sin

H12:

ϕ

ϕ

ϕ

cos

+

i

sin

= ⇔ i

cos 3

+

i

sin 3

i

(

)3 ϕ

= 0 ϕ = 1 ϕ

cos 3  = ⇔  sin 3 

k

⇔ = ϕ

+

π 6

2 π 3

k

k

z

=

cos

+

+

i

sin

+

Đặt . Phương trình trở thành:

π 6

2 π 3

π 6

2 π 3

  

  

  

  

Vậy

Như vậy với kết quả thực nghiệm cho thấy H3 ñã hoàn toàn ñược kiểm chứng.

Kết luận về thực nghiệm

Qua thực nghiệm chúng tôi ñã kiểm chứng ñược các giả thuyết nghiên cứu H1,

H2, H3 trong ñó có các hợp ñồng didactic R1, R2, R3.

Đồng thời qua thực nghiệm chúng tôi cũng phát hiện một số sai lầm mà học

2

2

− a b

=

a

−

b

sinh thường gặp phải khi giải các dạng toán liên quan ñến số phức.

)2

+ Học sinh khai triển hằng ñẳng thức sai (

116

2

2

a

b−

+ Khi chia hai số phức, nhân và chia tử mẫu cho số phức liên hợp, kết quả dưới

mẫu thường là

i+ và z

i− là những số phức với phần thực là z, phần ảo là 1 (-1)

+ Coi z

2

2

a

b

+ a bi

=

+

+ Coi dấu mô ñun như dấu trị tuyệt ñối.

. + Sai công thức mô ñun

+ Quen với kí hiệu như ở số thực và ñưa dấu vào trong số phức.

+ Khi số phức cho dưới dạng các giá trị lượng giác, học sinh thường không ñưa

về dạng lượng giác của số phức mà vẫn ñể nguyên và sử dụng công thức nhân chia

số phức dưới dạng lượng giác.

117

KẾT LUẬN CHUNG

Một số ñiểm chính trong những kết quả nghiên cứu ñã ñạt ñược của luận văn.

(cid:2) Trong chương 1, qua sự nghiên cứu số phức và ý nghĩa hình học của nó

trong lịch sử hình thành và phát triển, chúng tôi nhận thấy:

- Mầm mống của số phức ñã xuất hiện từ khoảng thế kỉ 16, việc mở rộng hệ

thống tính toán ñại số ñòi hỏi phải ñưa vào căn bậc hai của số âm với tư cách là

trung gian của tính toán.

- Tuy nhiên ñến tận thế kỷ 19, vấn ñề hợp thức căn bậc hai của số âm vẫn

luôn là một trong những nổi bận lòng của các nhà toán học về phương diện triết

học. Người ta gọi ñây là những ñại lượng ảo, xem nó là sản phẩm của trí tuệ thuần

túy, là một kí hiệu hình thức, là một ñối tượng lấy làm trung gian cho các tính toán

ñại số. Người ta luôn quan tâm ñến câu hỏi: Số phức biểu diễn cho ñối tượng nào

của thực tế toán học? Và việc tìm thấy nghĩa của ñại lượng ảo ñược thực hiện

trong phạm vi hình học thông qua các công trình của các nhà toán học như Wallis,

Wessel hay Argand…Tuy nhiên các mô hình ñó vẫn chưa thành công và hoàn

thiện.

(cid:2) Trong chương 2, Số phức dưới góc ñộ một tri thức khoa học chúng tôi ñã

ñưa ra 3 quan ñiểm xây dựng số phức ở bậc ñại học và phân tích 3 giáo trình số

phức ñược sử dụng ở bậc ñại học ở Mỹ, Anh và Việt Nam. Có ba cách xây dựng

2R các cặp số thực (tức mỗi số phức là một cặp số

trường số phức mà chúng tôi tìm thấy ở bậc ñại học:

- Coi tập C là tập hợp

a

− b

thực (a,b)).

b

a

  

  

- Coi C là tập hợp các ma trận cấp 2 dạng (a, b là các số thực) với

các phép toán cộng, nhân các ma trận cấp hai.

118

[ ] R x

X +

2 1

- Coi C là vành thương của vành ña thức một ẩn X (trên trường

2 1 X + .

số thực) chia cho iñêan sinh bởi ña thức

(cid:2) Nghiên cứu số phức trong thể chế Việt Nam và Pháp, chúng tôi rút ra các

kết luận sau:

- Thể chế Việt Nam chỉ chú trọng ñến việc khai thác dạng ñại số của số phức,

và cơ chế “công cụ” của số phức trong việc giải phương trình bậc hai. Thể chế

không chú trọng ñến ý nghĩa hình học của số phức.

- Trong khi ñó, thể chế Pháp rất chú trọng ñến ý nghĩa hình học của số phức

và sử dụng làm công cụ cho việc giải toán. Số phức ñược ñưa ra nghiên cứu rất chi

tiết thông qua nhiều dạng bài tập và các ứng dụng của nó.

(cid:2) Nghiên cứu ảnh hưởng của thể chế lên việc học số phức của học sinh qua

các bài thực nghiệm cho cúng tôi các khẳng ñịnh sau:

- Học sinh ít khi sử dụng biểu diễn hình học của số phức trong việc chứng

minh hay giải các bài toán liên quan ñến số phức.

- Học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc sử dụng dạng lượng giác ñể giải

phương trình.

- Học sinh có thói quen ñưa kết quả về dạng ñại số chuẩn z = a + bi.

(cid:2) Về việc học sinh ít khi sử dụng biểu diễn hình học của một số phức trong

việc chứng minh hay giải quyết các dạng toán liên quan ñến số phức, theo chúng

tôi có 2 lí do sau: Thứ nhất, ý nghĩa hình học của số phức không ñược thể chế chú

trọng thông qua việc ñưa rất ít bài tập liên quan ñến ý nghĩa hình học. Thứ hai,

việc sử dụng hình học làm công cụ ñể giải toán liên quan ñến “ñại số” ít ñược sử

dụng trong thể chế Việt Nam từ khi hình học ñược ñưa vào chương trình.

(cid:2) Về việc học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc sử dụng dạng lượng

giác của số phức ñể giải phương trình, theo chúng tôi có những lí do sau. Thứ

nhất, do việc thiếu vắng ñịnh nghĩa sự bằng nhau của số phức dưới dạng lượng

119

giác làm cho việc giải ñồng nhất các các số phức bằng nhau dướu dạng ñại số dẫn

ñến các phương trình lượng giác phức tạp. Thứ hai, do ñịnh nghĩa argument của số

phức làm cho học sinh khó khăn trong việc tìm nghiệm lượng giác nào là

argument. Thứ 3, do các phương trình trong thể chế ñưa ra là các phương trình bậc

2, bậc 3 khá ñơn giản, phương pháp ñại số luôn là phương pháp tối ưu nên việc

dùng dạng lượng giác của số phức ñể giải rất hiếm khi (thật tế là không) ñược ñề

cập ñến.

(cid:2) Hướng mở ra từ luận văn: thiết lập một tiểu ñồ án cho thấy sự cần thiết ñưa

ý nghĩa hình học của số phức và các ứng dụng của nó vào trong chương trình.

Tiếng Việt

1. LÊ THỊ HOÀI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trò của phân tích

khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn

Toán, Báo cáo tổng kết ñề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh.

2. HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch

sử toán học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học

thành phố HCM.

3. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen

dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục.

4. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản

ñại học quốc gia thành phố HCM.

5. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ.

6. NGUYỄN VĂN ĐÔNG, Số phức, Giáo trình dành cho sinh viên sư phạm,

Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.

7. ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Sách giáo viên, Nhà

xuất bản giáo dục.

8. ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục.

9. ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản

giáo dục.

10. TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo dục.

11. TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Sách giáo viên, Nhà xuất

bản giáo dục.

12. TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Bài tập Giải tích 12, Nhà xuất bản

giáo dục.

13. NGUYỄN THẾ THẠCH (chủ biên), hướng dẫn thực hiện chương trình,

sách giáo khoa lớp 12 môn Toán, Nhà xuất bản giáo dục (2008).

14. TRƯƠNG VĂN THƯƠNG, Hàm số biến số phức, Nhà xuất bản giáo dục,

tháng 3 năm 2002.

15. TUYỂN TẬP 30 NĂM TẠP CHÍ TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ, Nhà xuất

bản giáo dục, tháng 6 năm 2000.

Tiếng Anh.

1. WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math

through the Ages, a gentle history for teachers and others.

2. Remark on the history of Complex Numbers.

3. FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company,

London 1909.

4. MATTHIAS BECK, GERALD MARCHESI, and DENNIS PIXTON, A

First Course in Complex Analysis, Department of Mathematics San Francisco

State University, San Francisco CA 94132.

6. Orlando Merino (2006), A short history of Complex Numbers.

7. FLORIAN CAJORI, Ph.D, A history of Mathematics, the Macmilan Company

1909.

8. GEORGE CAIN, Complex Analysis, 2001

5. W W L CHEN, Introduction to complex analysis, University of London.

Tiếng Pháp

1. Mathématiques 12ème, Ministere DeL’education et de la formation, Hanoi

2002.

Họ và tên: PHIẾU THỰC NGHIỆM

2

z

i

z

i

=

−

;

=

+

;

Trường:

1

2

zz . 1

2

z 1 z

1 2

3 2

3 2

1 2

2

   

   

Bài 1: Cho . Tính

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

z

=

cos

=

os

.....................................................................................................................................

và

z Bài 2: Cho 1

2

2.z z và

z 1 z

iπ + 6

π 6

i cπ − 3

π 3

 4 sin  

  

 2 sin  

  

2

. Tính 1

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

1 i+

.....................................................................................................................................

)2012

Bài 3: Tính (

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

z

i

i

z − + + =

( ) 3 4

Bài 4: Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

z=

.....................................................................................................................................

bằng nhiều cách Bài 5: Chứng minh ñẳng thức z

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

3

z

0

Bài 6: Giải phương trình sau trong tập số phức bằng cách sử dụng dạng lượng giác

i− = .

của số phức

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................