Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Sylvester và bài toán Fermat - Torricelli cho các hình cầu Euclid

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG<br /> -----------------------------------------<br /> <br /> HOÀNG THỊ THÙY LINH<br /> <br /> BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN<br /> FERMAT – TORRICELLI CHO<br /> CÁC HÌNH CẦU EUCLID<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Hà Nội - Năm 2016<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG<br /> -----------------------------------------<br /> <br /> HOÀNG THỊ THÙY LINH<br /> <br /> BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT–<br /> TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> MÃ SỐ : 60 46 01 13<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC<br /> PGS. TS. ĐỖ VĂN LƯU<br /> <br /> Hà Nội – Năm 2016<br /> <br /> Thang Long University Library<br /> <br /> Lời cảm ơn<br /> Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới<br /> PGS.TS. ĐỗVăn Lưu – Người Thầy đã luôn giúp đỡ và hướng dẫn em trong<br /> suốt học tập và làm luận văn này.<br /> Em xin cảm ơn tới trường Đại học Thăng Long Hà Nội. Em xin cảm ơn<br /> tới các Giáo sư, Tiến sỹ và các Thầy, cô giáo trong bộ môn Toán đã giảng dạy<br /> cho em những kiến thức cơ bản, nền tảng quý báu trong thời gian học cao học.<br /> Em xin cảm ơn phòng Quản lý Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi<br /> để em hoàn thành khóa luận này.<br /> Cảm ơn các bạn trong lớp cao học Toán K3 Đại học Thăng Long,<br /> chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, đã luôn thân thiện và nhiệt tình<br /> giúp đỡ tôi trong thời gian học tập vừa qua.<br /> Tôi cảm ơn những người thân yêu trong gia đình và các bạn bè luôn<br /> ủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinh thần vững chắc trong suốt quá trình học<br /> tập và thời gian làm luận văn.<br /> Tác giả<br /> <br /> Hoàng Thị Thùy Linh<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> Trang<br /> Mở đầu......................................................................................................1<br /> Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚI<br /> VI PHÂN HÀM LỒI<br /> 1.1.<br /> <br /> Tập lồi và nón lồi.....................................................................3<br /> <br /> 1.1.1. Tập lồi......................................................................................3<br /> 1.1.2. Nón lồi.....................................................................................4<br /> 1.2.<br /> <br /> Hàm lồi.....................................................................................8<br /> <br /> 1.2.1. Hàm lồi.....................................................................................8<br /> 1.2.2. Các phép toán về hàm lồi.......................................................14<br /> 1.3.<br /> <br /> Dưới vi phân hàm lồi.............................................................17<br /> <br /> 1.4.<br /> <br /> Dưới vi phân hàm max..........................................................23<br /> <br /> Chương 2: BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID<br /> 2.1.<br /> <br /> Khái niệm và định nghĩa.......................................................25<br /> <br /> 2.2.<br /> <br /> Bài toán Sylvester cho hình cầu Euclid...........................26<br /> <br /> 2.2.1. Sự tồn tại, duy nhất nghiệm và điều kiện tối ưu..............26<br /> 2.2.2. Bài toán Sylester suy rộng cho ba hình cầu....................32<br /> 2.3.<br /> <br /> Bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid.............49<br /> <br /> 2.3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nghiệm tối ưu............49<br /> 2.3.2. Cấu trúc nghiệm...............................................................56<br /> KẾT LUẬN.......................................................................................63<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................64<br /> <br /> Thang Long University Library<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài<br /> Giải tích lồi cho ta một lý thuyết phong phú và đẹp đẽ về hàm lồi<br /> và ứng dụng trong tối ưu hóa với nhiều kết quả nổi tiếng chẳng hạn như:<br /> Bất đẳng thức Jensen, Định lý Fenchel – Moreau về hàm liên hợp, Định<br /> lý Moreau – Rockafellar về dưới vi phân hàm lồi, Định lý Kuhn – Tucker<br /> cho bài toán tối ưu lồi có ràng buộc,…Có thể nói tập lồi, hàm lồi các đối<br /> tượng đẹp trong tối ưu hóa.Với các bài toán lồi ta có các điều kiện đặc<br /> trưng cho nghiệm của bài toán đó dưới ngôn ngữ dưới vi phân của hàm<br /> lồi.<br /> Trong toán sơ cấp nhiều bài toán được phát biểu với các hàm lồi.<br /> Với các bài toán cực trị, hàm lồi đóng một vai trò rất quan trọng. Cực trị<br /> địa phương của hàm lồi trên miền lồi cũng là cực tiểu toàn cục, cực đại của<br /> một hàm lồi trên một đa giác lồi đạt tại một trong các đỉnh của đa giác đó.<br /> Nhiều bài toán sơ cấp hay được phát biểu theo hướng này. Bài toán<br /> Sylvester cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “ Cho hai họ<br /> hữu hạn các hình cầu Euclid. Tìm một hình cầu Euclid nhỏ nhất chứa các<br /> hình cầu của họ thứ nhất và cắt tất cả các hình cầu của họ thứ hai”. Bài<br /> toán Fermat – Torricelli cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “<br /> Cho hai họ các hình cầu Euclid. Hãy tìm một điểm làm cực tiểu tổng<br /> khoảng cách xa nhất đến các hình cầu của họ thứ nhất và khoảng cách gần<br /> nhất đến các hình cầu của họ thứ hai”. Các bài toán đó được nghiên cứu<br /> bằng công cụ giải tích lồi trong [3]. Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “BÀI<br /> TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLI<br /> CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID ”<br /> 4<br /> <br />