Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng véctơ đối với tổng của hai ánh xạ đa trị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Năm 1994, E. Blum và W. Oettli nghiên cứu bài toán cân bằng: Tìm điểm x¯∈K sao cho f(¯x, x)≥0 với mọi x∈K, (EP) trong đó K là tập con nào đó của không gian X và f:K×K→R là một hàm số thực thỏa mãn điều kiện f(x,x) 0 với mọi x∈K. Từ bài toán này ta có thể suy ra các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng véctơ đối với tổng của hai ánh xạ đa trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nengvue XOUA YI BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ ĐỐI VỚI TỔNG CỦA HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nengvue XOUA YI BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ ĐỐI VỚI TỔNG CỦA HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI THẾ HÙNG THÁI NGUYÊN - 2017
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Nengvue XOUA YI Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa Toán của người hướng dẫn khoa học TS. Bùi Thế Hùng i
Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tổ Toán Trường trung học phố thông (Tỉnh Xay Som Buon- Lào) cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả Nengvue XOUA YI ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu và viết tắt v Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tập lồi và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Khái niệm ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Một số tính chất của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Nón trong không gian tuyến tính . . . . . . . . . 9 1.4.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị . . . . 10 1.4.3 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị . . . . . . . 15 1.5 Nguyên lý ánh xạ KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Bài toán tựa cân bằng véctơ đối với tổng của hai ánh xạ đa trị 19 2.1 Định lý điểm cực đại của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . 19 2.2 Ánh xạ tựa đơn điệu suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Bài toán tựa cân bằng véctơ . . . . . . . . . . . . . . . 24 iii
Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iv
Một số ký hiệu và viết tắt N∗ tập các số tự nhiên khác không R tập các số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập các véctơ không âm của Rn Rn− tập các véctơ không dương của Rn Cn không gian các số phức n− chiều {xα } dãy suy rộng ∅ tập rỗng F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom F miền định nghĩa của ánh xạ đa trị F gph F đồ thị của ánh xạ đa trị F A := B A được định nghĩa bằng B A⊆B A là tập con của B A 6⊆ B A không là tập con của B A∪B hợp của hai tập hợp A và B A∩B giao của hai tập hợp A và B v
A\B hiệu của hai tập hợp A và B A+B tổng véctơ của hai tập hợp A và B A×B tích Descartes của hai tập hợp A và B conv A bao lồi của tập hợp A coreB A lõi của A theo B cl A bao đóng tôpô của tập hợp A int A phần trong tôpô của tập hợp A (EP ) bài toán cân bằng vô hướng 2 kết thúc chứng minh vi
Mở đầu Năm 1994, E. Blum và W. Oettli [6] nghiên cứu bài toán cân bằng: Tìm ¯ ∈ K sao cho điểm x x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K, f (¯ (EP ) trong đó K là tập con nào đó của không gian X và f : K × K → R là một hàm số thực thỏa mãn điều kiện f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K. Từ bài toán này ta có thể suy ra các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động, ...(xem [5], [6], [10], [13], [16]). Vì vậy bài toán này được nhiều người quan tâm nghiên cứu như E. Blum, W. Oettli, Ky Fan, Browder, Minty, Bianchi, S. Schaible, Hadjisavvas, .... Sau đó các tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của ¯∈K bài toán (EP ) với hàm mục tiêu f là tổng của hai hàm: Tìm điểm x sao cho g(¯ x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K, x, x) + h(¯ trong đó K là tập con nào đó của không gian X và g, h : K × K → R là các hàm số thực cho trước. Năm 1998, N. X. Tấn và P. N. Tĩnh [17] đã mở rộng kết quả trên cho ánh xạ mục tiêu là tổng của hai ánh xạ đa trị với ràng buộc cố định và ta gọi bài toán này là bài toán cân bằng véctơ đa trị: ¯ ∈ K sao cho Tìm điểm x G(¯ x, x) ⊆ Y \(− int C) với mọi x ∈ K, x, x) + H(¯ 1
trong đó K là tập con nào đó của không gian X , C là nón trong Y với int C 6= ∅ và G, H : K × K → 2Y là các ánh xạ đa trị. Năm 2016, G. Kassay, M. Miholca và N. T. Vinh [15] đã chứng minh lại kết quả của N. X. Tấn và P. N. Tĩnh cho bài toán cân bằng véctơ đa trị với ràng buộc di động và ta gọi bài toán đó là bài toán tựa cân bằng véctơ đa trị: Tìm điểm x¯ ∈ A(¯ x) sao cho G(¯ x, x) ⊆ Y \(− int C) với mọi x ∈ A(¯ x, x) + H(¯ x), trong đó K là tập con nào đó của không gian X , C là nón trong Y với int C 6= ∅ và A : K → 2K ; G, H : K × K → 2Y là các ánh xạ đa trị. Mục đích của luận văn là trình bày kết quả của G. Kassay, M. Miholca và N. T. Vinh trong bài báo [15]. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1 của luận văn dành cho việc trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi, giải tích đa trị như khái niệm ánh xạ đa trị, nón trong không gian tuyến tính, tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị, tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị cùng một số tính chất liên quan. Ngoài ra chúng tôi cũng trình bày nguyên lý ánh xạ KKM trong chương này. Chương 2 trình bày điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ đa trị với ánh xạ mục tiêu là tổng của hai ánh xạ đa trị dưới giả thiết về tính tựa đơn điệu suy rộng, tính liên tục và lồi theo nón của các ánh xạ mục tiêu. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Giải tích đa trị được hình thành từ những năm 30 của thế kỷ 20 do chính nhu cầu của các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn và cuộc sống. Từ khoảng 10 năm trở lại đây với công cụ giải tích đa trị, các ngành toán học như lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý và toán kinh tế, ... phát triển một cách mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả quen biết về giải tích đa trị được chúng tôi trích ra từ các cuốn sách chuyên khảo về giải tích đa trị như N. X. Tấn và N. B. Minh [1], N. Đ. Yên [2], J. P. Aubin [3]. 1.1 Tập lồi và một số tính chất Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian tuyến tính. Tập A ⊆ X được gọi là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ A ta luôn có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với mọi λ ∈ [0, 1]. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử Aα ⊆ X là các tập lồi với mọi α ∈ I , I là tập chỉ số bất kì. Khi đó tập A = ∩ Aα cũng lồi. α∈I 3
Chứng minh. Lấy x, y ∈ A. Khi đó x, y ∈ Aα , với mọi α ∈ I . Do Aα là lồi với mọi α ∈ I nên λx + (1 − λ)y ∈ Aα , với mọi λ ∈ [0, 1], α ∈ I. Do đó λx + (1 − λ)y ∈ A. Vậy A là tập lồi. Mệnh đề 1.1.3. Giả sử Ai ⊆ X là tập lồi và λi ∈ R (i = 1, 2, . . . , m). Khi đó λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am là tập lồi. Chứng minh. Đặt A = λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am . Lấy x, y ∈ A, khi đó tồn tại xi ∈ Ai , yi ∈ Ai , i = 1, 2, . . . , m sao cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm , y = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λm ym . Ta có λx + (1 − λ)y = λ(λ1 x1 + · · · + λm xm ) + (1 − λ)(λ1 y1 + · · · + λm ym ) = λ1 [λx1 + (1 − λ)y1 ] + · · · + λm [λxm + (1 − λ)ym ]. Do Ai là tập lồi nên λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai , với mọi λ ∈ [0, 1], i = 1, 2, . . . , m. Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1]. Vậy A là tập lồi. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là không gian tuyến tính, A là một tập con của X . Khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của tập A và kí hiệu là conv A. Định lý 1.1.5. Giả sử A là tập con của không gian tuyến tính X . Khi đó conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của tập A, tức là ( n n ) X X conv A = αi xi : xi ∈ A, αi ≥ 0, αi = 1 . i=1 i=1 Chứng minh. Ta có conv A là tập lồi. Vì A ⊂ conv A nên conv A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A. Hơn nữa tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi và chứa A, do đó nó chứa conv A (vì conv A là tập lồi nhỏ nhất chứa A).Vậy conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A. 4
1.2 Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một tập hợp không rỗng. Một họ τ những tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu (i) Hai tập ∅, X đều thuộc họ τ ; (ii) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ ; (iii) τ kín đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số hữu hạn hay vô hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ . Cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô. Các phần tử thuộc X ta gọi là điểm và các tập thuộc họ τ được gọi là tập mở. Định nghĩa 1.2.2. Giả sử τ, τ 0 là các tôpô trên X . Nếu τ ⊆ τ 0 , ta nói tôpô τ yếu hơn (thô hơn) tôpô τ 0 hay tôpô τ 0 mạnh hơn (mịn hơn) tôpô τ . Trường hợp không có quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh được. Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian tôpô (X, τ ) và A ⊆ X . (i) Tập con U của không gian X được gọi là lân cận của A nếu U là bao hàm của tập mở chứa A; (ii) Lân cận của phần tử x ∈ X là lân cận của tập con {x}. Họ tất cả các lân cận của một điểm gọi là hệ lân cận của điểm đó. Định nghĩa 1.2.4. Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian Haus- dorff nếu đối với hai điểm khác nhau tùy ý x, y ∈ X luôn tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U ∩ V = ∅. Định nghĩa 1.2.5. Cho X là không gian véctơ trên trường K. (i) Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X nếu các phép toán cộng và nhân vô hướng là các ánh xạ liên tục. (ii) Một không gian tôpô tuyến tính hay không gian véctơ tôpô trên trường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là không gian véctơ trên trường K và τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số của X . 5
Định nghĩa 1.2.6. Một không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không gian lồi địa phương (và tôpô của nó là tôpô lồi địa phương), nếu trong X có một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn tập lồi. Hơn vậy, nếu không gian lồi địa phương X đồng thời là không gian Hausdorff thì X được gọi là không gian lồi địa phương Hausdorff. Ví dụ 1.2.7. Không gian định chuẩn, không gian Hilbert là các không gian lồi địa phương Hausdorff. 1.3 Khái niệm ánh xạ đa trị Giả sử X và Y là hai tập hợp. Ký hiệu 2X là tập tất cả các tập con của X. Định nghĩa 1.3.1. Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y mà ứng với mỗi phần tử x ∈ X cho một tập con của Y , được ký hiệu F : X → 2Y . Thực chất, mỗi ánh xạ đa trị F : X → 2Y được đặc trưng bởi một tập con của X × Y , ký hiệu là gph F và được xác định bởi gph F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) . Tập hợp gph F được gọi là đồ thị của F . Miền định nghĩa của F , ký hiệu dom F , xác định bởi dom F := x ∈ X : F (x) 6= ∅ . Ví dụ 1.3.2. Xét phương trình đa thức với hệ số thực xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0, Quy tắc cho ứng mỗi véctơ a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn với tập nghiệm của phương trình trên, kí hiệu bởi F (a), cho ta một ánh xạ đa trị F : Rn → 2C từ không gian Euclide Rn vào không gian phức C. 6
Định nghĩa 1.3.3. Cho X, Y là các không gian tuyến tính và ánh xạ đa trị F : X → 2Y . Ta nói rằng: (i) F có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi trong Y , với mọi x ∈ X . (ii) F là ánh xạ lồi nếu gph F là tập lồi trong X × Y. Định nghĩa 1.3.4. Cho X, Y là các không gian tôpô và F : X → 2Y là ánh xạ đa trị. Ta nói rằng: (i) F có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng trong Y , với mọi x ∈ X . (ii) F là ánh xạ đóng nếu gph F là tập đóng trong X × Y. (ii) F là ánh xạ mở nếu gph F là tập mở trong X × Y. (iii) F là ánh xạ compact nếu F (X) là tập compact tương đối trong Y. Mệnh đề 1.3.5. (Xem [2]) Giả sử X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh xạ đa trị F : X → 2Y . Khi đó: (i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng. (ii) Nếu F là ánh xạ mở thì F có giá trị mở. (iii) Nếu F là ánh xạ lồi thì F có giá trị lồi. (iv) F là ánh xạ lồi khi và chỉ khi (1 − t)F (x) + tF (x0 ) ⊆ F ((1 − t)x + tx0 ) với mọi x, x0 ∈ X và t ∈ [0, 1]. Các ví dụ dưới đây chỉ ra rằng ánh xạ đa trị có giá trị lồi chưa chắc là ánh xạ lồi và ánh xạ đa trị có giá trị đóng chưa chắc là ánh xạ đóng. Ví dụ 1.3.6. Cho ánh xạ đa trị F : N∗ → 2R định nghĩa như sau conv 1, 2, ..., n − 1 , nếu n ≥ 2, F (n) = {0}, nếu n=1. Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị với giá trị lồi. Tuy nhiên F không là ánh xạ lồi. Ví dụ 1.3.7. Xét ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi [0, 1], nếu x = 0, F (x) = R, trong trường hợp còn lại. 7
Hiển nhiên ánh xạ F có giá trị đóng. Mặt khác ta có gph F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} × R) là tập không đóng trong R2 và như vậy F không là ánh xạ đóng. Định nghĩa 1.3.8. Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính và các ánh xạ đa trị F, G : X → 2Y , H : Y → 2Z . (i) Ánh xạ tổng của F và G là ánh xạ đa trị F + G : X → 2Y xác định bởi (F + G)(x) = F (x) + G(x) với mọi x ∈ X. (ii) Ánh xạ giao của F và G là ánh xạ đa trị F ∩ G : X → 2Y xác định bởi (F ∩ G)(x) = F (x) ∩ G(x) với mọi x ∈ X. (iii) Ánh xạ hợp của F và G là ánh xạ đa trị F ∪ G : X → 2Y xác định bởi (F ∪ G)(x) = F (x) ∪ G(x) với mọi x ∈ X. (iv) Ánh xạ hợp thành của F và H là ánh xạ đa trị H ◦ F : X → 2Z xác định bởi [ [ [ (H ◦ F )(x) = H(F (x)) = H(y). x∈X x∈X y∈F (x) 2 (v) Ánh xạ tích Descartes của F và G là ánh xạ đa trị F × G : X → 2Y xác định bởi (F × G)(x) = F (x) × G(x). (vi) Ánh xạ bao lồi của F là ánh xạ đa trị conv F : X → 2Y xác định bởi conv F (x) = conv(F (x)) với mọi x ∈ X. Định nghĩa 1.3.9. Cho X, Y là các không gian tôpô. Ánh xạ bao đóng của F là ánh xạ đa trị cl F : X → 2Y mà đồ thị của nó là bao đóng của đồ thị của ánh xạ F , tức là gph(cl F ) = cl(gph F ). 8
Định nghĩa 1.3.10. Giả sử F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Ta gọi ánh xạ ngược của F , ký hiệu là F −1 : Y → 2X , được xác định bởi F −1 (y) = x ∈ X : y ∈ F (x) , với y ∈ Y. Ta nói F −1 (y) là ảnh ngược của y . Mọi ánh xạ đa trị đều có ánh xạ ngược, điều này không đúng đối với ánh xạ đơn trị. Ta cũng dễ dàng kiểm tra được mọi ánh xạ đa trị có ảnh ngược tại mỗi điểm là mở đều là ánh xạ nửa liên tục dưới và điều ngược lại không đúng. 1.4 Một số tính chất của ánh xạ đa trị Trong phần này chúng tôi trình bày tính chất liên tục theo nón của ánh xạ đa trị và tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị. Các khái niệm trong phần này là sự mở rộng của các khái niệm về tính liên tục, tính lồi của ánh xạ đa trị. Trước tiên, ta trình bày khái niệm nón trong không gian tuyến tính. 1.4.1 Nón trong không gian tuyến tính Định nghĩa 1.4.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là một tập con không rỗng trong Y . Ta nói rằng C là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu tc ∈ C , với mọi c ∈ C và t ≥ 0. Nếu C là nón có đỉnh tại gốc thì C + x0 là nón có đỉnh tại x0 . Vì vậy trong luận án này chúng tôi chỉ quan tâm đến nón có đỉnh tại gốc và để tránh nhầm lẫn ta gọi nón thay cho nón có đỉnh tại gốc. Định nghĩa 1.4.2. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y . Ta nói rằng (i) C là nón lồi nếu C là tập lồi. (ii) C là nón nhọn nếu l(C) = {0}, trong đó l(C) = C ∩ (−C). 9
Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y , ta ký hiệu cl C, int C, conv C là bao đóng tôpô, phần trong tôpô và bao lồi của C , tương ứng. Nón C gọi là đóng nếu C là tập đóng trong Y . Ta nói C là nón lồi đóng nhọn nếu C là nón lồi, đóng và nhọn. Dưới đây là một số ví dụ về nón trong không gian tuyến tính. Ví dụ 1.4.3. 1. Cho Y là không gian tuyến tính. Khi đó 0 , Y là các nón trong Y và ta gọi chúng là các nón tầm thường trong Y . 2. Cho không gian tuyến tính Rn . Khi đó tập Rn+ = x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n là nón lồi đóng nhọn trong Rn và ta gọi là nón orthant dương trong Rn . 3. Gọi C[0, 1] là không gian tuyến tính các hàm số xác định và liên tục trên đoạn [0, 1] với các phép toán cộng và nhân vô hướng: (x + y)(t) = x(t) + y(t), (λx)(t) = λx(t). Khi đó tập C+ [0, 1] = x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, 1] là nón lồi đóng nhọn trong C[0, 1]. 1.4.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị giữa các không gian tôpô. Định nghĩa 1.4.4. Một ánh xạ đơn trị f : X → Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở V trong Y chứa f (x0 ), tồn tại lân cận mở U trong X chứa x0 sao cho f (U ) ⊆ V . 10
Trong trường hợp F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y , Berge [4] đã đưa ra khái niệm về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị. Định nghĩa 1.4.5. Ánh xạ đa trị F : X → 2Y được gọi là nửa liên tục trên (dưới) tại x0 nếu với mỗi tập mở V trong Y thỏa mãn F (x0 ) ⊆ V (tương ứng, F (x0 ) ∩ V 6= ∅), tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho F (x) ⊆ V (tương ứng, F (x) ∩ V 6= ∅) với mọi x ∈ U . Giả sử X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính và C là nón trên Y. Ta nhắc lại khái niệm liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Khái niệm này là mở rộng khái niệm của Berge về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị. Định nghĩa 1.4.6. Cho ánh xạ đa trị F : X → 2Y . ¯ ∈ dom F nếu với mỗi lân (i) F được gọi là C - liên tục trên (dưới) tại x cận V của gốc trong Y , tồn tại lân cận U của x ¯ trong X sao cho F (x) ⊆ F (¯ x) + V + C x) ⊆ F (x) + V − C, tương ứng) (F (¯ với mọi x ∈ U ∩ dom F . (ii) Nếu F là C - liên tục trên và C - liên tục dưới tại x ¯ đồng thời, thì ta nói F là C - liên tục tại x ¯. (iii) Nếu F là C - liên tục trên, C - liên tục dưới và C - liên tục tại mọi điểm trong dom F , ta nói F là C - liên tục trên, C - liên tục dưới và C - liên tục trong X . Các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge là hoàn toàn khác nhau. Do đó khái niệm liên tục trên theo nón và liên tục dưới theo nón cũng hoàn toàn khác nhau. Các ví dụ dưới đây minh họa cho điều khẳng định đó. 11
Ví dụ 1.4.7. Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi công thức R, nếu x = 0, F (x) = {0}, nếu x 6= 0. Khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị F là nửa liên tục trên tại x0 = 0, nhưng F không nửa liên tục dưới tại x0 = 0. Ví dụ 1.4.8. Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi công thức {0}, nếu x = 0, F (x) = R, trong trường hợp còn lại. Khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới tại x0 = 0, nhưng F không nửa liên tục trên tại x0 = 0. Mệnh đề sau đưa ra điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị liên tục theo nón (có thể xem trong [1]). Mệnh đề 1.4.9. Giả sử X là không gian tôpô, Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón lồi C và ánh xạ đa trị F : X → 2Y với F (x0 ) là tập compact trong Y . Khi đó: (i) F là C - liên tục trên tại x0 nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V , F (x0 ) ⊆ V + C đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ⊆ V + C, với mọi x ∈ U ∩ dom F. (ii) F là C - liên tục dưới tại x0 nếu và chỉ nếu với mỗi y ∈ F (x0 ) và lân cận V của y , tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F . (iii) F là C - liên tục dưới tại x0 nếu và chỉ nếu với mọi tập mở G thỏa mãn F (x0 ) ∩ (G + C) 6= ∅, luôn tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F. Chứng minh. (i) Giả sử F là C - liên tục trên tại x0 . Lấy V là tập mở trong Y sao cho F (x0 ) ⊆ V + C . Vì F (x0 ) compact nên tồn tại lân cận V0 của 12