BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trịnh Văn Hạnh MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER VÀO BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh 2012
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trịnh Văn Hạnh MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER VÀO BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
Chuyên ngành Mã số
: Toán Giải Tích : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CAM
Thành phố Hồ Chí Minh 2012
2
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 4
LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 5
Chương 1: GIỚI THIỆU .................................................................................................. 6
1.1. Biến đổi Fourier .................................................................................................... 6
1.2. Đưa tích phân Mellin về biến đổi Fourier ........................................................... 12
Chương 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC BẰNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA
CHUỖI FOURIER ......................................................................................................... 14
2.1. Trường hợp hàm gốc f(x) giảm nhanh ................................................................ 14
2.2. Trường hợp giảm nhanh của giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F(p) ........................ 15
Chương 3: CÔNG THỨC NỘI SUY ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN FOURIER .................... 18
3.1. Một số chú ý sơ bộ .............................................................................................. 18
3.2. Phép nội suy đại số của hàm f(x) ........................................................................ 19
3.2.1. Các công thức bổ trợ. ................................................................................... 19
3.2.2 Xây dựng công thức tính toán ...................................................................... 20
3.3. Phép nội suy bởi các hàm hữu tỷ ........................................................................ 51
3.3.1. Chọn phép nội suy và sai số của nó ............................................................. 51
3.3.2. Công thức cầu phương nội suy tổng quát. ................................................... 63
3.3.3. Phép nội suy với các điểm cách đều ............................................................ 66
3.3.4. Quy tắc tính kết hợp với nghiệm của đa thức trực giao. .............................. 66
KẾT LUẬN .................................................................................................................... 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 77
3
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Cam, người Thầy đã
hướng dẫn, động viên, khuyến khích tôi trong suốt quá trình thực hiện luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy - Cô trong hội đồng chấm luận văn đã
dành thời gian quý báu của mình cho việc nhận xét và phản biện luận văn;
cảm ơn các Thầy đã truyền đạt kiến thức trong các học phần.
Cảm ơn quý Thầy – Cô thuộc các phòng, khoa, thư viện của trường
ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập, thực hiện và bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi gởi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè gần xa, người thân đã
hổ trợ, giúp đỡ nhiều mặt.
4
LỜI MỞ ĐẦU
Biến đổi Laplace có nhiều áp dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật.
Bài toán khôi phục hàm gốc từ hàm ảnh trong phép biến đổi Laplace được
nhiều nhà toán học quan tâm khảo cứu và cho đến nay có rất nhiều phương
pháp được đưa ra.
Trong luận văn này, chúng tôi tính xấp xỉ biến đổi Laplace ngược thông
qua việc áp dụng biến đổi Fourier vào biến đổi Laplace ngược. Cụ thể là tính
tích phân Mellin bằng biến đổi Fourier, từ đó xét các công thức nội suy để
tính tích phân Fourier.
5
Chương 1: GIỚI THIỆU
Bài toán tính tích phân Mellin có thể được quy về biến đổi Fourier, và đó
là một phương pháp cổ điển để nghiên cứu khá nhiều bài toán áp dụng.
Việc tính tích phân Mêllin bằng cách quy về tích phân Fourier là hữu ích,
do hai lý do sau đây. Thứ nhất, nó là một trong nhiều phương pháp có thể tính
toán khi các điểm của công thức cầu phương được lấy trên đường tích phân
τ
= + p c iτ (
)
−∞ < < ∞ . Thứ hai, phương pháp này có thể hữu ích trong thực
hành ít nhất như là để kiểm tra về mặt tính toán khi giải bằng các phương
pháp khác.
1.1. Biến đổi Fourier
Chúng ta xem xét tích phân Fourier kép
∞
∞
du
f t
( ) cos (
− u x t dt
)
(1.1.1)
∫
∫
1 π
−∞
0
Và giả sử rằng hàm f là khả tích tuyệt đối trên trục số
phân bên trong sẽ hội tụ tuyệt đối với mọi giá trị thực của x và u , và sự hội
tụ là hội tụ đều.
f x với giá trị hữu hạn trên khoảng [ , ]a b . Chia ( )
t −∞ < < ∞ . Tích
1.1.1Định nghĩa giả sử hàm
[ , ]a b thành hữu hạn phần bởi các điểm
Xét tổng
n
− 1
=
−
,
,...,
)
)
)
x n
V x x ( 0 1
f x ( k
f x ( k
+ 1
∑
=
k
0
= < a < < ... = . b x n x 0 x 1
Cận trên của tổng
,
=
f
)
,
,...,
)
x n
V x x ( 0 1
V ar ( ≤ ≤ a x b
sup ,..., x n
x 1
− 1
6
, ,..., x )n V x x ( 0 1
f
)
được gọi là biến phân toàn phần của hàm f trên đoạn [ , ]a b . Nếu
có
V ar ( ≤ ≤ a x b
giá trị hữu hạn, thì ta nói f là một hàm có biến phân hữu hạn trên [ , ]a b .
1.1.2.Định lý 1. Lấy f là một hàm khả tích tuyệt đối trên trục số
t
x
a b∈ [ , ]
−∞ < < ∞ . Cho f có biến phân hữu hạn trên đoạn [ , ]a b thì với
, ta
có công thức sau:
∞
∞
+
+
−
=
f x [ (
0)
f x (
0)]
du
f
t ( ) cos (
− u x t dt
)
(1.1.2)
∫
∫
1 π
1 2
−∞
0
x
a b∈ [ , ]
Nếu f có biến phân hữu hạn và liên tục trên đoạn [ , ]a b , thì với
, ta
có:
∞
∞
=
f x ( )
du
f
t ( ) cos (
− u x t dt
)
(1.1.3)
∫
∫
1 π
−∞
0
Ở đây, tích phân kép hội tụ đều về
f x với x ở trong bất kì đoạn đóng con ( )
của [ , ]a b .
Phương trình (1.1.2) và (1.1.3) gọi là các công thức Fourier.
Trong phần sau ta giả sử rằng
f x có biến phân hữu hạn trên bất kì các ( )
đoạn hữu hạn của trục thực. Vậy thì (1.1.2) sẽ đúng với tất cả các giá trị hữu
=
+
+
−
f x ( )
f x [ (
0)
f x (
0)]
đúng tại tất cả các
hạn của x . Ta giả sử hệ thức
1 2
điểm x . Khi đó (1.1.2) và (1.1.3) là giống nhau và từ bây giờ trở đi ta sẽ sử
dụng (1.1.3) .
−
)
)
− ( iu x t
− ( iu x t
, ta có:
Dùng
∞
∞
∞
∞
−
)
)
− ( iu x t
− ( iu x t
=
+
du
f t
− u x t dt
du
e
( ) cos (
)
f t e ( )[
dt ]
∫
∫
∫
∫
1 π
1 π 2
−∞
−∞
0
0
7
+ u x t e cos ( − = ) e [ ] 1 2
Bằng cách thay biến u bằng u− ta có thể đưa công thức Fourier (1.1.3) về
dạng
∞
∞
−
u ix
iut ( ) t e dt
∫
∫
−∞
−∞
Thật vậy:
∞
∞
∞
∞
−
− iu x t (
)
− iu x t (
)
= (1.1.4) ( ) f x e du f 1 π 2
∫
∫
∫
∫
−∞
−∞
0
0
∞
∞
∞
∞
−
− iu x t (
)
− iu x t (
)
= − = + ( ) f x du f ( ) cos ( t u x ) t dt du f ( ) t [ e e ] dt 1 π 1 π 1 2
2
∫
∫
∫
∫
−∞
−∞
0
0
Đổi biến u
u= − ta có:
−∞
∞
∞
0
−
−
(
)
)
i
− )( u x t
− ( iu x t
=
=
(
)
d
− u
f
( ). t e
dt
du
f
( ) t e
dt
I 1
∫
∫
∫
∫
1 π 2
1 π 2
−∞
−∞
−∞
0
∞
∞
∞
∞
−
−
− iu x t (
)
iux
+ = + = du f ( ) t e dt du f ( ) t e I I 1 1 π 2 1 π 2
iut t e dt ( )
2
∫
∫
∫
∫
−∞
−∞
−∞
−∞
(1.1.4) cho ta mối liên hệ giữa hai hàm sau:
∞
ϕ
=
u ( )
f
iut t e dt ( )
(1.1.5)
∫
−∞
∞
−
u
ix
=
ϕ
f x ( )
u e ( )
du
(1.1.6)
∫
1 π 2
−∞
Công thức (1.1.5) là phép biến đổi Fourier phức và đưa hàm gốc f vào trong
hàm ảnhϕ.Công thức (1.1.6) cho ta quy tắc chuyển từ hàm ảnh ϕ sang hàm
gốc f .
Cho hai công thức Fourier đặc biệt tương dương với công thức (1.1.3) :
∞
= + = = f x ( ) I du f t e ( ) dt e du f I 1 1 π 2 1 π 2
∫
0
8
= f x ( ) a u [ ( ) cos + ux b u ( )sin ux du ] , (1.1.7)
∞
∞
0
=
=
+
=
+
a u ( )
f
t ( ) cos
ut dt
f
t ( ) cos
utdt
f
t ( ) cos
utdt
J
J
1
2
∫
∫
∫
1 π
1 π
1 π
−∞
−∞
0
∞
∞
0
=
=
+
=
+
b u ( )
f
t ( )sin
ut dt
f
t ( )sin
utdt
f
t ( )sin
utdt H H
1
2
∫
∫
∫
1 π
1 π
1 π
−∞
−∞
0
t= − , ta có:
Khi f là hàm chẵn, đặt x
∞
0
0
2
1
∫
∫
∫
−∞
∞
0
∞
= − − − = = = f t ( ) cos utdt f ( x u ) cos ( x d ) ( x ) f x ( ) cos ux dx J J 1 π 1 π 1 π
.
2
1
2
∫
0
∞
0
0
=
=
−
−
−
= −
= −
H
f
t ( )sin
ut dt
f
(
x
u )sin (
x d ) (
x
)
f x
( )sin
uxdx
H
1
2
∫
∫
∫
1 π
1 π
1 π
−∞
∞
0
= + = = a u ( ) J J 2 J f t ( ) cos ut dt 2 π
1
2
2
và (1.1.7) trở thành công thức Fourier cosine:
∞
∞
=
=
cos
f x ( )
a u
( ) cos
uxdu
( ) cos
ut dt
(0
≤ < ∞ x
)
(1.1.8)
∫
∫
0
∞ ∫ ux du f t 0
0
2 π t= − ta có:
Khi f là hàm lẽ, đặt x
∞
0
0
=
=
−
−
−
= −
= −
J
f
t ( ) cos
ut dt
f
(
x c u ) os (
x d ) (
x
)
f x
( ) cos
ux dx
J
1
2
∫
∫
∫
1 π
1 π
1 π
−∞
∞
0
=
+
= −
+
a u ( )
J
J
J
J
Do đó
= 0
1
2
2
2
0
0
=
=
−
−
−
H
f
t ( ) sin
utdt
f
(
x
u ) sin (
x d ) (
x
)
1
∫
∫
1 π
1 π
−∞
∞
∞
0
=
−
−
=
=
(
f x
− ( ))( sin
ux
)(
dx
)
f x
( ) sin
uxdx H
2
∫
∫
1 π
1 π
∞
0
∞
=
+
=
=
b u H H
( )
2
H
f t
( )sin
utdt
Do đó
1
2
2
∫
2 π
0
khi đó (1.1.7) trở thành công thức Fourier sine:
9
= + = − b u H H ( ) = 0 + H H 2
∞
∞
=
=
f x ( )
b u
( )sin
uxdu
sin
( )sin
ut dt
(0
≤ < ∞ x
)
(1.1.9)
∫
∫
2 π
0
0
∞ ∫ ux du f t 0
Công thức Fourier tổng quát (1.1.3) có thể xem như sự tổ hợp của các công
thức riêng (1.1.8) và (1.1.9) . Thật vậy, mọi hàm f có thể miêu tả thành tổng
của phần chẵn và phần lẽ của nó:
=
+
=
+
−
=
−
−
f x ( )
g x ( )
h x
( ),
g x ( )
f x [ ( )
f
(
x
)],
h x ( )
f x [ ( )
f
(
x
)]
1 2
1 2
( )g x là phần chẵn, ( )h x là phần lẽ.
Tích phân bên trong của (1.1.3) sẽ có biểu diễn sau theo g và h :
∞
∞
=
+
+
f
t ( ) cos (
− u x t dt
)
g t ( ( )
h t
( ))(cos
ux
cos
ut
sin
ux
sin )
ut dt
∫
∫
−∞
−∞
=
+
+
+
cos
( ) cos
utdt
sin
( ) sin
utdt
cos
( ) cos
utdt
sin
( ) sin
utdt
∞ ∫ ux g t −∞
∞ ∫ ux h t −∞
∞ ∫ ux h t −∞
∞ ∫ ux g t −∞
Mà:
∞
∞
∞
0
0
=
+
=
g t
utdt
g t
utdt
g t
utdt
g t
utdt
( ) cos
( ) cos
( ) cos
− g t (
) cos (
− u t d ) (
− + t )
( ) cos
∫
∫
∫
∫
∫
−∞
−∞
∞
0
0
∞
0
=
−
+
g t
ut
dt
g t
utdt
( ) cos
(
)
( ) cos
∫
∫
∞
0
∞
=
g t
utdt
2
( ) cos
∫
0
∞
∞
∞
0
0
=
+
=
g t
( ) sin
utdt
g t
( ) sin
utdt
g t
( ) sin
utdt
− g t (
) sin (
− u t d ) (
− + ) t
g t
( ) sin
utdt
∫
∫
∫
∫
∫
−∞
−∞
∞
0
0
∞
0
=
−
−
+
g t
( )( sin )(
ut
dt
)
g t
( ) sin
utdt
∫
∫
∞
0
∞
∞
= −
+
g t
( ) sin
utdt
g t
( ) sin
utdt
∫
∫
0
0
=
0
Tương tự ta có:
10
∞
∞
∞
=
=
h t
( ) cos
utdt
0,
h t
( ) sin
utdt
2
h t
( ) sin
utdt
∫
∫
∫
−∞
−∞
0
Thay các kết quả vào phương trình trên ta có:
∞
=
+
f
t ( ) cos (
− u x t dt
)
2 cos
( ) cos
ut dt
2sin
( ) sin
ut dt
∫
−∞
∞ ∫ xu g t 0
∞ ∫ xu h t 0
và từ (1.1.3) ta có
∞
∞
=
+
=
+
f x ( )
g x ( )
h x ( )
cos
( ) cos
ut dt
sin
( ) sin
ut dt
∫
∫
2 π
2 π
0
∞ ∫ xu du g t 0
0
∞ ∫ xu du h t 0
và công thức Fourier tổng quát là tổng của công thức cosine cho
( )g x và công
thức sine cho ( )h x .
Công thức Fourier (1.1.8) cho ta mối liên hệ giữa hai hàm f và
cϕ :
∞
ϕ
=
(0
)
(1.1.10)
f
( ) os t c ut dt
≤ < ∞ x
( ) c u
∫
0
∞
=
(1.1.11)
( ) f x
( ) os u c
xu du
ϕ c
∫
2 π
0
Công thức (1.1.10) là biến đổi cosine của hàm gốc f thành hàm ảnh
cϕ , công
thức (1.1.11) là biến đổi ngược.
Công thức Fourier sine (1.1.9) cho ta mối liên hệ giữa hai hàm f và
sϕ :
∞
∫
0
= u ( ) f t ( )sin ut dt (0 ≤ < ∞ x ) (1.1.12) ϕ s
∞ ϕ s
∫
0
Phương trình (1.1.12) là biến đổi Fourier sine, và (1.1.13) là biến đổi ngược của
nó.
11
= xu du f x ( ) u ( )sin (1.1.13) 2 π
Ta có thể thấy rằng biến đổi Fourier phức (1.1.5) có thể quy về biến đổi
f t ( )
(1.1.10) và (1.1.12) . Trong (1.1.5) , thay
bởi tổng phần chẵn và phần lẽ
=
+
f t ( )
g t ( )
h t ( )
,
của nó
( )g t và ( )h t được chỉ ra ở trên
∞
∞
iut
ϕ
=
=
+
+
u ( )
f t e dt
( )
g t [ ( )
h t
( )][ os
c ut
isin ]
ut dt
∫
∫
−∞
−∞
∞
=
+
=
+
2
g t c ut dt
( ) os
( )sin
ut dt
2 ( ) 2
g u c
ih u ( ) s
∫
0
∞ ∫ i h t 2 0
Do đó biến đổi phức (1.1.5) là một sự tổ hợp tuyến tính đơn giản của các biến
đổi Fourier cosine và Fourier sine.
1.2. Đưa tích phân Mellin về biến đổi Fourier
Bây giờ chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa biến đổi Laplace ngược và
biến đổi Fourier. Xét tích phân Mellin
+ ∞
c i
xp
=
−∞ < < ∞ x
f x ( )
F p e dp )
(
(
)
(1.2.1)
∫
1 iπ 2
− ∞
c i
(
Với hàm
= + )F p xác định và khả tích tuyệt đối trên đường thẳng p c iτ
(
)
τ−∞ < < ∞ . Tích phân hội tụ đều với x nằm trên trục
hàm liên tục theo x trên trục đó.
Nếu trong (1.2.1) ta đặt p c iτ
= + , vậy thì ta có thể biến đổi (1.2.1) về dạng
+ ∞
∞
c i
xp
+ x c i (
τ )
=
=
f x ( )
F p e dp )
(
+ τ F c i e )
(
+ d c i (
τ )
∫
∫
1 π i 2
1 π i 2
− ∞
−∞
c i
∞
∞
τ
cx
cx
ix
ix
+
τ
=
+
τ
=
e
e
τ F c i e id )
(
τ τ F c i e d )
(
∫
∫
1 π 2
1 π i 2
−∞
−∞
Hay
∞
ix
x −∞ < < ∞ và là một
− cxe
∫
−∞
12
= + τ F c i e dττ f x ( ) ) ( (1.2.2) 1 π 2
Công thức trên cho thấy rằng việc tính tích phân Mellin
f x dẫn đến biến đổi ( )
F c iτ+ )
(
Fourier phức của hàm
.
F c iτ+ )
(
có thể quy
Trong mục 1.1 ta chú ý rằng biến đổi Fourier của hàm
về biến đổi Fourier cosine và sine của phần chẵn và phần lẽ của hàm
:
F c iτ+ ) (
= + τ ) τ ( ) τ ( ) g h
+ = τ τ ( ) τ ) )] g + [ ( F c i − ( F c i
∞
∞
−
cx
τ
=
+
=
+
+
e
h
τ ix e d
h
τ x
f x ( )
τ g [ ( )
τ ( )]
τ g [ ( )
τ ( )]( cos
isin
τ τ x d )
∫
∫
1 π 2
−∞
−∞
∞
1 π 2 ∞
+
=
+
=
g
τ τ x d
h
τ τ x d
τ c ( ) os
τ ( )sin
(1.2.3)
( )]
ih x s
∫
∫
1 g x [ ( ) c π
i π
1 π
0
0
13
− = τ τ ( ) τ ) )] h + [ ( F c i − ( F c i + ( F c i 1 2 1 2
Chương 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC BẰNG GIÁ TRỊ
TRUNG BÌNH CỦA CHUỖI FOURIER
2.1. Trường hợp hàm gốc f(x) giảm nhanh
Đặt :
− = cx
Vậy thì biến đổi Laplace
∞
− + c i (
+ F c i (
τ )
f t e ( )
dtτ ) t
= ∫
0
∞
ix
τ
=
+
− cxe
F c i e dττ
f x ( )
)
(
và biến đổi ngược
có thể viết như sau
∫
1 π 2
−∞
∞
−
τ i t
=
G
τ ( )
g t e ( )
dt
∫
0
∞
ix
τ
=
τ G e d
g x ( )
τ ( )
(2.1.1)
∫
1 π 2
−∞
f t ( )
Bây giờ giả sử hàm gốc
triệt tiêu ở mọi nơi bên ngoài khoảng hữu
( )g t
]T . Khai triển
dạng chuỗi Fourier trên [0,
]T và viết khai triển ở
hạn [0,
dạng phức:
∞
g t ( )
(2.1.2)
c e ω ik t k
= ∑
=−∞
k
ω π=
2 T
và
ở
đây
T
ω− ik t
=
dt
g t e ( )
(2.1.3)
kc
∫
1 T
0
Vì
( )g t có giá trị nhỏ không đáng kể bên ngoài khoảng [0,
]T , ta có xấp xỉ :
14
f x e ( ) g x ( ), + F c i ( = Gτ ) τ ( )
∞
−
ω ik t
≈
=
dt
g t e ( )
G k (
ω )
(2.1.4)
kc
∫
1 T
1 T
0
Sai số của phương trình có giá trị là
∞
−
ω ik t
−
=
dt
G k (
ω )
g t e ( )
c k
∫
1 T
1 T
T
Và có ước lượng bởi bất đẳng thức sau:
∞
−
≤
G k (
ω )
g t dt ( )
(2.1.5)
c k
∫
1 T
1 T
T
Ta thay thế giá trị xấp xỉ của kc ở (2.1.4) vào (2.1.2) , ta được biểu thức sau của
( )g t :
∞
−
ct
ω ik t
=
≈
e
f t e ( )
g t ( )
G k (
ω )
∑
1 T ∞
ω ik t
≈
+ F c ik
e
(
ω )
(2.1.6)
∑
=−∞ k ω π 2
=−∞
k
2.2. Trường hợp giảm nhanh của giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F(p)
=
G
τ ( )
+ F c i (
τ )
Xét hàm
là khả tích tuyệt đối trên trục
τ−∞ < < ∞ và nhỏ
− ≤ ≤
Tτ
T
]
không đáng kể bên ngoài khoảng hữu hạn [
. Khai triển
( )G τ ở dạng
chuỗi Fourier:
∞
τ
− Ω ik
=
Ω =
G
τ ( )
,
(2.2.1)
c e k
∑
=−∞
π T
k
T
Ω ik t
=
(2.2.2)
( ) G t e
dt
c k
∫
1 π 2
−
T
15
T T− ,
]
Vì bên ngoài khoảng [
hàm
( )G τ xem như nhỏ không đáng kể,
phương trình sau luôn đúng với độ chính xác chấp nhận được:
T
≈
τ
− ≤ ≤
(
)
(2.2.3)
( ) g x
ττ ix ( ) G e d
x T
T
1 ∫ π − 2
T
Sai số có thể ước lượng với sự giúp đỡ của bất đẳng thức:
T
ix
−
τ
τ ( )
( ) g x
τ G e d
∫
1 π 2
−
T
−
∞
T
ix
ix
=
+
τ
τ
τ ( )
τ ( )
τ G e d
τ G e d
∫
∫
1 π 2
−∞
T
∞
≤
+
[
τ ( )
(
G
G
− τ τ ) ] d
∫
1 π 2
T
( )G τ và thực
Trong tích phân (2.2.3) , ta đưa vào khai triển (2.2.1) thay cho
hiện phép lấy tích phân của chuỗi. Trước tiên ta có phương trình sau:
T
T
= τ
T
− Ω
− Ω
− Ω
i x k (
i x k (
i x k (
τ )
=
− Ω =
τ ) )
τ ) τ d
e
τ ) ( ( d i x
k
e
e
τ
=−
T
∫
∫
)
)
1 − Ω k
( i x
1 − Ω k
( i x
−
−
T
T
−
−
−
π )
π )
( i xT k
( i xT k
=
−
]
[ e
e
)
( i x
=
π )
2 sin( i
− xT k
)
1 − Ω k 1 − Ω k
( i x
k
= −
Ω =
( 1) 2
,
,
2.2.4
T
x
≠ Ω k
(
)
sin xT − xT k
π T
π Khi đó ta được biểu thức xấp xỉ sau:
T
T
∞
τ
−
cx
ix
− Ω ik
τ
τ
=
≈
=
( ) f x e
( ) g x
τ τ ( ) G e d
τ ix . e d
. c e k
∑
∫
∫
=−∞
1 π 2
1 π 2
k
−
−
T
T
T
∞
∞
− Ω
( i x k
k
=
−
=
.( 1) 2
τ ) τ d
e
T
c k
c k
∑
∑
∫
π
−∞
−∞
1 π 2
1 π 2
sin xT − xT k
−
T
∞
k
=
− ( 1)
(2.2.5)
c k
∑
T π
π
=−∞
sin xT − xT k
k
≠
− < <
x
k
x T
T
,
π T
=
m
Khi x m
= Ω , từ (2.2.2) và (2.2.3) , ta được giá trị sau của hàm
f x : ( )
π T
16
T
Ω
− Ω cm
im
=
=
(
Ω ≈ )
(2.2.6)
Ω ). f m e
( g m
τ ( ) G e
τ τ d
c m
∫
1 π 2
−
T
Áp dụng (2.2.5) để tính hàm gốc đòi hỏi phải tính các hệ số Fourier (2.2.2) của
F c iτ+ )
(
hàm
.
17
Chương 3: CÔNG THỨC NỘI SUY ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
FOURIER
3.1. Một số chú ý sơ bộ
Để tính các tích phân sau
∞
=
u ( )
f t c ut dt
( ) os
(3.1.1)
ϕ c
∫
0 ∞
=
u ( )
f t
( )sin
ut dt
(3.1.2)
ϕ s
∫
0 ∞
=
ϕ
u ( )
iut f t e dt
( )
(3.1.3)
∫
−∞
ta có thể làm bằng nhiều quy tắc cổ điển của phép lấy tích phân. Thế nhưng
f
t được biết gần đúng. ( )
chúng sẽ cho ta sai số khá lớn khi
Hàm được lấy tích phân trong (3.1.1) là tích
một số lớn, hàm cos ut sẽ dao động nhanh. Điều này có thể làm cho việc tính
toán trở nên khó khăn thậm chí không có lời giải. Điều tương tự đối với
f t c ut . Nếu tham số u là ( ) os
f
t tiến về 0 nhanh, khi t → ∞ , vì thế sự hội tụ của ( )
Ta giả sử rằng hàm
∞
∞
f x dx ( )
f x dx ( )
tích phân
hoặc
là chắc chắn. Ta giả sử rằng với giá trị
∫
∫
−∞
0
lớn của t bất đẳng thức sau đúng:
− − 1
≤
>
f t ( )
A t
ε ε ,
0
(3.1.4)
18
(3.1.2) và (3.1.3) .
3.2. Phép nội suy đại số của hàm f(x)
Phép nội suy đại số là sử dụng hàm xấp xỉ liên tục và đủ trơn trên các
khoảng hữu hạn.
3.2.1. Các công thức bổ trợ.
Chúng ta bắt đầu bởi việc đưa ra các công thức bổ trợ đơn giản để phục vụ
cho việc tính các tích phân của các hàm chứa các thừa số lượng giác.
Lấy [ , ]a b là một khoảng hữu hạn bất kì và ( )
l x là một đa thức đại số có
bậc n . Sử dụng phép lấy tích phân từng phần n lần ta đạt được phương trình
sau:
b
ipx l x e dx ( )
∫
a
///
ipb
/ ( ) l b 2 p
// ( ) il b 3 p
///
l = − + + − − e [ ...] ( ) il b p ( ) b 4 p
ipa
/ ( ) l a 2 p
// ( ) il a 3 p
///
ip
ip
l − − + + − − e [ ...] ( ) il a p ( ) a 4 p
+ b a 2
− b a 2
−
ip
− b a 2
/ l b ( ) 2 p / l a ( ) 2 p
// il b ( ) 3 p // il a ( ) 3 p
l x là một đa thức thực, và nếu thay thế hàm số mũ bởi biểu
Nếu ta xem ( )
thức Euler với các số hạng là hàm lượng giác, và so sánh phần thực và phần
ảo, ta sẽ được các công thức hữu dụng để tính các tích phân có chứa các thừa
số lượng giác:
19
l = − + + − − e {[ ...]e il b ( ) p b ( ) 4 p /// l + + − − } e ...] (3.2.1) − − [ il a ( ) p a ( ) 4 p
b
// ( ) l b
∫
a
///
// + ( ) l a 3 p ///
( ) l b ( ) l a = − + cos {[ ...]sin ( ) os l x c px dx p p − b a 2 + p
/ − ( ) l a 2 p
+ a b 2 / ( ) l b l ( ) b ( ) a + − + [ ...]cos p } − b a 2 − l 4 p
// ( ) l b
// − ( ) l a 3 p
///
/ ( ) l b
b
( ) l b ( ) l a + − + sin {[ ...]cos p p − b a 2 − p /// l ( ) b ( ) a − − + in p } (3.2.2) [ ...]s − b a 2 + a b 2 / + ( ) l a 2 p + l 4 p
// ( ) l b
∫
// + ( ) l a 3 p
a
///
///
/ ( ) l b
( ) l b ( ) l a = − + sin ...]sinp {[ ( )sin l x px dx p − b a 2 + p
l ( ) b ( ) a − + + [ ...]cos } p − b a 2 + b a 2 / − ( ) l a 2 p − l 4 p
// ( ) l b
// − ( ) l a 3 p
///
///
/ ( ) l b
( ) l b ( ) l a − − + {[ cos ...]cos p p − b a 2 − p
l ( ) b ( ) a − − + inp } (3.2.3) [ ...]s b a− 2 + b a 2 / + ( ) l a 2 p + l 4 p
3.2.2 Xây dựng công thức tính toán
3.1.1 , ta chia nửa trục của phép lấy tích phân [0,
]∞ thành
Xét biến đổi (
)
=
<
0
< < ...
...
hữu hạn các khoảng bởi các điểm
< Lấy một trong các
a 0
a 1
a k
]
khoảng
và trên nó nội suy hàm f . Chúng ta cho ví dụ chọn phép
a a + [ , 1 k k
]
chọn
nội suy với mối liên hệ các giá trị của hàm. Trên
1kn + điểm tùy
a a + [ , k k 1
=
≤
≤
x
(
j
0,1,...,
;
< < ...
)
và thực hiện phép nội suy với lưu
ý
k j
n k
k x 0
a k
a + 1 k
k x n k
k
)
f x (
f=
( )
ý các giá trị
bằng giá trị trung bình của đa thức
)k j
( j
kP x có bậc n
20
n k
n k
k
k
k
)
)
)
( j
( j
( j
∑
∑
=
=
j
j
0
0
k j
= = f l x f ( ) , P x ( ) k − ( x ) ( x ω k k x j x ( ) / ω ) k
k x 0
k x n k
= − − x ( ) ( x )...( x ), ω k
]
Xét tích phân (3.1.1) trên khoảng
thay vì trên nửa trục [0,
)∞ , và
a a + [ , 1 k k
( )
f x bởi đa thức nội suy ( )
thay thế hàm
kP x thì ta được phương trình xấp xỉ
sau
a k
+ 1
a k
+ 1
a k
+ 1
n k
k
k
)
)
≈
f
ut dt
ut dt
f
l
t ( ) cos
( ) cos
t c ut dt ( ) os
P t k
( j
( j
= ∑
∫
∫
∫
=
j
0
a k
a k
a k
Lấy tổng các phương trình trên tất cả các khoảng con thì ta xây dựng được
biểu thức xấp xỉ cho biến đổi Fourier Cosine
∞
a k
+ 1
a k
+ 1
∞
∞
n k
k
k
)
)
=
≈
≈
f
utdt
f
l
ut dt
u ( )
t c ut dt ( ) os
( ) cos
t ( ) cos
ϕ c
P t k
( j
( j
∑
∑∑
∫
∫
∫
=
=
=
k
k
j
0
0
0
0
a k
a k
(3.2.5)
Mỗi tích phân dưới dấu của tổng kép có thể tính được. Nếu ta kí hiệu
=
−
]
f x ( )
là sai số của phép nội suy trên khoảng
. Khi đó
a a + [ , k 1 k
r x ( ) k
P x ( ) k
sai số của (3.2.5) sẽ là
a
∞
+ 1
k
∞
=
−
( ) cos
f
( ) cos t
ut dt
utdt
( ) R u c
P t k
∑
∫
∫
=
k
0
a
0
k
a
a
+ 1
+ 1
k
k
∞
∞
=
−
=
(
( )) cos
( ) os
(3.2.6)
f
( ) t
ut dt
ut dt
P t k
r t c k
∑
∑
∫
∫
=
=
k
k
0
0
a
a
k
k
21
= + f x ( ) (3.2.4) P x ( ) k r x ( ) k
( )
Sự miêu tả này của
cR u có thể sử dụng để thu được một ước lượng sai
( )
số của biểu diễn xấp xỉ (3.2.5) cho
c uϕ . Ví dụ, từ (3.2.6) ta có ước lượng
( )
của
cR u với mọi u
+ 1
a k
∞
(3.2.7)
( ) R u c
( ) r t dt k
≤ ∑ ∫
=
k
0
a k
Ta giả sử rằng vế phải của bất đẳng thức (3.2.7) có giá trị hữu hạn. Giá trị
của vế phải phụ thuộc vào việc chọn các điểm
kn , các điểm nội suy
ka , các số
)k
và các tính chất của hàm f . Trong trường hợp đặc biệt thì nó có các đạo
( jx
hàm bậc đủ cao và tốc độ của phép xấp xỉ của chúng tiến về 0 khi t tăng vô
hạn.
( )
Sự nghiên cứu biểu diễn xấp xỉ (3.2.5) của
c uϕ trong trường hợp tổng
quát là phức tạp và chỉ có giá trị về mặt lý thuyết. Do đó ta hạn chế chỉ xem
xét biểu diễn này trong một số trường hợp đặc biệt và đơn giản.
=
>
=
kh h (
0,
k
0,1, 2,...)
]∞ được chia bởi các điểm
Giả sử nữa trục [0,
kx
thành các khoảng bằng nhau có độ dài h . Ta cũng giả sử đã biết các giá trị
=
=
)
f kh (
)
f
của hàm f tại các điểm chia
.
f x ( k
k
3.2.2.1 Các quy tắc tính dựa trên phép nội suy tuyến tính
Trước tiên ta xét một quy tắc tương tự quy tắc hình thang. Lấy một khoảng
[
kh
, (
k
h+ 1) ]
và biểu diễn phép nội suy tuyến tính của hàm f với chú ý hai
giá trị tại các điểm cuối của khoảng
+ 1
+ 1
x = + + f x ( ) ) ) ) f x ( k f x ( k r x f ( , k − − x x k − x k − x k
k
k
+ 1
22
1) x h = + + ) (3.2.8) f f ( , r x f k x k x + 1 k + − ( k − h x + 1 k − x kh h
)
Nếu f có đạo hàm cấp hai liên tục, sai số của phép nội suy
, được
kr x f ( ,
miêu tả như sau
1
2
//
=
− τ ξ τ ξ τ ξ τ τ
−
−
−
)
h
f
(
+ kh h
d )]
)[(
(1
E
)
(
)
(3.2.9)
r x f ( , k
∫
0
=
+
=
+
x
ξ h
h k (
ξ )
x k
Thật vậy: Biểu diễn (3.2.9) có thể đạt được nếu ta lợi dụng công thức
Taylor với phần dư ở dạng tích phân
x
//
=
+
−
+
=
+
−
+
f x ( )
f
(
x
)
f
f
− t x t dt ( )(
)
f
(
x
)
f
xϕ ( )
k
x k
/ k
k
x k
/ k
∫
x k
x
/ /
ϕ = ( ) x
f
− t x t dt ( )(
)
với
∫
x k
+
−
x
f
f
)
(
Vì hàm tuyến tính
x k
k
/ k
được nội suy chính xác, nên sai số của phép nội suy của f và ϕ là trùng nhau. Thay hàm f bởi hàm ϕ trong
(3.2.8) ta có:
−
−
x
x
x k
+ 1
ϕ ϕ =
+
−
)
ϕ (
)
ϕ (
)
( ) x
( , r x k
x k
x k
+ 1
x k h
h
) 0
(
Và vì
kxϕ = , suy ra
−
−
x
x
+ 1
x k
=
ϕ ϕ =
+
−
)
)
.0
ϕ (
)
( ) x
+ 1
( , r x f k
( , r x k
x k
x k h
h
x
+ 1
x k
−
x
/ /
/ /
x k
=
−
−
)
(
f
− ( )( t x t dt
f
( ) t
) t dt
+ 1
x k
∫
∫
h
x k
x k
+ 1
x k
/ /
=
−
−
−
− − )
(
)
(
)(
)]dt
f
( )[( t
x t E x t
x
t
x k
x k
+ 1
∫
1 h
x k
Bây
giờ
thay
thế
biến
x
và
t
bằng
cách
đặt
=
+
=
+
≤
x
ξ h ,
t
τ h
(0
ξτ ,
1)
≤ ta thu được phương trình (3.2.9) . Thật vậy:
x k
x k
23
x k
+ 1
//
=
+
+
−
+
+
−
+
)
f
(
τ h
)[((
ξ ) h
(
((
ξ ) h
(
τ h
))
r x f ( , k
x k
x k
x k
τ h E x )) k
x k
∫
x k
−
+
−
−
+
+
(
ξ h
)(
(
τ h
))] (
τ ) h
+ 1
x k
x k
x k
x k
d x k
1 h
1
/ /
=
−
−
τ
τ
)
(
)[(
(
(
)(
)] hd
f
+ kh h
τ ξ τ ) h h E h
− ξ τ ) h
ξ h
− h h
( , kr x f
∫
1 h
0
1
2
/ /
=
− τ ξ τ ξ τ ξ τ τ
−
−
−
(
)[(
(1
)
)
(
h
f
+ kh h
)] d
E
∫
0
Ở đây
( )E x là “hàm tắt”. Hàm này được định nghĩa như sau
=
( ) E x
> = <
0 0 0
x x x
1, 1 2, 0,
c os ux
Nhân hai vế của (3.2.8) với
và lấy tích phân trên khoảng
[
kh
, (
k
h+ 1) ]
. Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được tích phân
với đa thức nội suy:
(
k
+ 1)
h
−
x
(
1)
h
−
+
[
f
f
]cos
ux dx
k
k
+ 1
∫
+ k h
− x kh h
=
+
−
+
−
+
−
f
u k sin (
1)
h
f
sin
ukh
(
f
f
)[ cos
h c ukh os
]
( u k
) 1
+ 1
+ 1
k
k
k
k
kh 1 u
1 u
1 2 u h
kh
, (
k
h+ 1) ]
( ta coi
Có thể thấy rằng khi lấy tổng trên tất cả các khoảng [
0
kf → khi k → ∞ ) các số hạng chứa sin triệt tiêu.
=
+ kh hξ
Cuối cùng, nếu đặt x
ta đưa biến số ξ vào trong tích phân với
)
sai số
thay cho phép lấy tích phân biến số x , ta được một biểu diễn
kr x f ( ,
cho sai số ở dạng tích phân hai lớp, và sau khi lấy tổng trên các khoảng
[
kh
, (
k
h+
1) ] (k= 0,1,...)
ta được biểu diễn chính xác cho
c uϕ : ( )
24
∞
∞
uh
uh
=
=
+
f t
ut dt
f
f
u ( )
( ) cos
2
cos
+ ukh R u ( )
(3.2.10)
ϕ c
c
0
k
∑
∫
− 1 cos 2 u h
− 1 cos 2 u h
= 1
k
0
1
1
∞
3
/ /
=
−
−
−
−
×
τ
+
h
(1
[(
d
)
)
)]
f
(
+ kh h
) cos (
u kh h
ξ )
Với
R u ( ) c
∑
∫ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ d E (
∫
=
0
k
0
0
( )
Nếu ta loại bỏ phần dư
cR u , ta được một công thức xấp xỉ cho biến đổi
cosine liên hệ với các giá trị của hàm gốc f tại các điểm cách đều.
Biểu thức của phần dư
cR của công thức cho phép thu được ước lượng của
nó. Ta sẽ thu được ước lượng đơn giản nhất. Nhân của tích phân hai lớp trong
ngoặc vuông có giá trị:
< τ ξ
− τ ξ − ) (1
khi
−
−
−
=
− ξ τ ξ τ ξ τ ( )
(1
E
)
(
)
> τ ξ
− ξ τ − (1 )
khi
ξτ< ,
1
Nhân âm trong miền lấy tích phân 0
< . Tích phân kép của nhân được
tính là
1
1
1
−
−
−
=
−
−
d )]
(1
[(
E
)
)
(
ξ τ ξ τ d (1
d
)
− ξ τ τ ]
(1
d
)
ξ [
ξ ξ τ ξ τ ξ τ τ − ∫ d
∫
∫
∫
1 + − ∫ ξ
0
0
0
0
1
3
=
−
= −
2 ξ ξ ξ (
d
)
∫
1 12
0
Điều này cho phép ta ước lượng
cR như sau:
1
∞
//
≤
−
−
−
−
[ (1
E
)
)
(
f
(
+ kh h
τ τ ) d
R c
∑ )]
ξ ξ τ ξ τ ξ τ ∫ (
= 1
k
1 3 ∫ h d 0
0
∞
3
//
=
< < θ
f
+ kh hθ
(
, 0
1
(3.2.11)
∑
=
0
h 12 k
/ /f
Ước lượng của tổng phụ thuộc vào tính chất của đạo hàm cấp hai
. Giả
/ /f
thỏa bất đẳng thức:
sử
25
≤
>
>
f
// ( ) x
1,
a
0
B a x α α , + )
(
Khi đó
∞
∞
∞
//
≤
<
f
+ kh h
B
B
(
τ )
∑
∑
∑
+
1 + a kh h
1 + a kh
(
α τ )
(
α )
=
=
=
0
0
0
k
k
k
Ta chứng minh được các bất đẳng thức sau:
k
+ 1
k
<
<
∫
∫
dt + a ht
(
α )
1 + a kh
(
α )
dt + a ht
(
α )
k
k
− 1
Thật vậy:
k
+ 1
k
+ 1
<
=
∫
∫
dt + a ht
(
α )
dt + a hk
(
α )
1 + a hk
(
α )
k
k
k
k
>
=
Và
∫
∫
dt + a ht
(
α )
dt + a hk
(
α )
1 + a hk
(
α )
k
k
− 1
− 1
1
1
<
=
Ta cũng có:
∫
∫
dt + a ht
(
α )
dt α a
1 α a
0
0
Áp dụng các bất đẳng thức trên ta được:
1
k
+∞ k 1
∞
∞
+
<
+
<
+
∑
∑
∑
∫
∫
∫
dt + a ht
(
α )
dt + a ht
(
α )
1 + a kh
(
α )
1 α a
dt + a ht
(
α )
1 α a
k
= 1
k
= 1
k
= 1
k
0
k
− 1
∞
∞
=
<
<
+
Hay
− α 1
− α 1
∑
∫
−
−
=
dt + a ht
(
α )
1 ha 1)
1 + a kh
(
α )
1 ha 1)
1 α a
α (
α (
0
k
0
Từ (3.2.11) và bất đẳng thức trên suy ra
∞
3
2
//
≤
≤
+
f
+ kh h
(
θ )
]
(3.2.12)
R c
∑
α
α − 1 a
h α a
h 12
h [ 12 (
1 1)
=
k
0
−
−
−
−
=
− ξ τ ξ τ ξ τ )
(1
)
(
)
(
E
Ta có
< τ ξ > τ ξ
khi khi
− τ ξ (1 ) − ξ τ (1 )
2
2
ξ
τ
≤
≤
=
τ ξ <
τ ξ − (1 )
khi
ξ τ− (1 )
Mà
và tương tự
+ − 1 2
1 2
1 4
1 < 4
26
−
−
−
− ξ τ ξ τ ξ τ )
(1
E
)
(
)
(
Do đó
1 ≤ 2
Vì vậy bất đẳng thức sau đúng:
1
∞
//
=
−
−
−
−
×
τ
+
(1
[(
d
)
)
)]
f
(
+ kh h
) cos (
u kh h
ξ )
R c
∑
ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ∫ E (
=
0
k
1 3 ∫ h d 0
0
1
∞
∞
//
3
//
≤
=
f
+ kh h d
h
f
+ kh h d
(
τ τ )
(
τ τ )
∑
∑
∫
1 2
1 2
=
=
0
0
k
k
0
1 3 ∫ h d 0
1 ξ ∫ 0
Nhưng
+
k
h
(
1)
1
/ /
/ /
/
=
=
(
f
+ kh h
τ τ ) d
f
( ) t dt
f
( ) t
∫
∫
h
ar V ≤ ≤ + kh t k (
1)
1 h
1 h
kh
0
Và
∞
/
/
=
f
t ( )
t ( )
∑
h
V ar ≤ ≤ + kh t k (
1)
V f ar ≤ <∞ t 0
=
k
0
cR u : ( )
Nên ta được xấp xỉ sau của
/
≤
f
t ( )
(3.2.13)
R u ( ) c
2 h V ar ≤ <∞ t 0
1 2
Đối với biến đổi sine (3.2.2) ta cũng làm như biến đổi cosine (3.1.1) như trên:
Nhân hai vế của (3.2.8) với sin ux và lấy tích phân trên khoảng
[
kh
, (
k
h+ 1) ]
. Bằng phương pháp tích phân từng phần ta được
+
(
k
1)
h
−
(
1)
x
h
−
+
[
]sin ux
f
f
dx
k
k
+ 1
∫
+ k h
− x kh h
kh
(
k
+ 1)
h
(
k
+ 1)
h
∫
∫
+ k 1 h
kh
kh
= −
−
+
+
−
[
cos
1)
sin
]
ukh
sin ( u k
h
ukh
h u
kf h
1 2 u
1 2 u
−
+
+
+
−
[
u k cos (
1)
h
u k sin (
1)
h
sin
ukh
]
kf ++ 1 h
h u
1 2 u
1 2 u
27
f = − − + + x [ ( k 1) ]sin ux h dx − x kh [ ]sin ux dx f k h
= −
+
+
+
−
f
u k cos (
1)
h
f
cos
ukh
(
f
f
)[sinu(k+1)h-sinukh]
k
+ 1
k
k
+ 1
k
1 u
1 u
1 2 u h
k =
0,1, 2,3,...
Thay lần lượt
vào vế phải
−
+
+
−
−
−
cos
uh
os0
uh
sin 0]
f
[sin
uh
sin 0]
Khi
0k = :
f 1
f c 0
f [sin 1
0
1 u
1 2 u h
1 2 u h
1 u
1k = :
Khi
+
+
−
−
−
−
f
cos 2
u h
cos
uh
[sin 2
u h
sin
uh
]
f
u h
sin
uh
]
2
f 1
2
f [sin 2 1
1 u
1 u
1 2 u h
1 2 u h
Khi
k = : 2
+
+
−
−
−
−
f
u h cos 3
f
cos 2
u h
f
u h [sin 3
u h sin 2 ]
f
u h [sin 3
u h sin 2 ]
3
2
3
2
1 u
1 u
1 2 u h
1 2 u h
Khi
k = : 3
−
+
+
−
−
−
f
cos 4
u h
f
u h cos 3
[sin 4
u h
u h sin 3 ]
f
[sin 4
u h
u h sin 3 ]
f
4
3
4
3
1 u
1 2 u h
1 2 u h
1 u …
Cộng các đẳng thức vế theo vế
(
k
+ 1)
h
∞
−
(
1)
x
h
−
+
[
]sin ux
f
f
dx
k
k
+ 1
∑ ∫
+ k h
− x kh h
=
k
0
kh
=
−
+
−
+
+
(1
sin
uh f )
uh
(sin 0 sin 2 ))
u h
0
f [ (2sin 1
1 u
1 2 u h
1 2 u h
+
−
+
+
−
+
+
f
u h
uh
u h
f
(2sin 2
(sin
sin 3 )) u h
(2sin 3 u h
(sin 2
sin 4 )) u h
...]
2
3
−
+
−
+
−
+
sin
uh f )
uh
2sin
uh
.cos
uh
)
f
(2sin 2
u h
u h 2sin 2 .cos
uh
)
0
f [ (2sin 1
2
1 = (1 u
1 2 u h
1 2 u h
+
−
+
f
u h 2sin 3 .cos
uh
)
...]
u h 3(2sin 3
28
∞
uh
−
+
sin
uh f )
2
f
ukh
0
sink
∑
1 = (1 u
1 2 u h
− 1 cos 2 u h
= 1
k
Ta được biểu diễn sau cho
s uϕ ( )
∞
∞
uh
=
=
−
+
u ( )
f t
( )sin
ut dt
(1
sin
uh f )
2
f
sin
+ ukh R u
( ) (3.2.14)
ϕ s
s
0
k
∑
∫
1 u
1 2 u h
− 1 cos 2 u h
= 1
k
0
1
∞
//
=
−
−
−
−
τ
+
(1
[(
d
)
)
f
(
+ kh h
)sin (
u kh h
ξ )
R u ( ) s
ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ∫ E (
=
0
∑ )] k
1 3 ∫ h d 0
0
( )
Công thức xấp xỉ của
s uϕ đạt được nếu trong (3.2.14) ta bỏ đi phần dư
( ) sR u .
Nếu hàm f có đạo hàm cấp hai liên tục trên [0,
)∞ và giảm đủ nhanh khi
x → ∞ , khi đó
∞
3
//
≤
< < θ
(
) ,
0
1
(3.2.15)
f
+ kh hθ
( ) R u s
∑
h 12
=
k
0
/
≤
f
t ( )
(3.2.16)
R u ( ) s
2 h V ar ≤ <∞ t 0
1 2
Nếu bất đẳng thức
≤
>
>
f
/ / ( ) x
α (
1,
a
0)
B a x α + )
(
đúng cho đạo hàm bậc hai, khi đó
2
≤
+
h
[
]
(3.2.17)
R u ( ) s
−
1 12
1 1)
α (
− α 1 a
h α a
Cuối cùng, với biến đổi phức (3.2.3) ta có biểu diễn sau với các giá trị của
=
= ± ±
kh k (
0, 1, 2,...)
f tại các điểm
kx
29
∞
∞
−
uh
ikt
iukh
ϕ
=
=
+
u ( )
f t e dt
( )
2
R u ( )
(3.2.18)
f e k
∑
∫
− 1 cos 2 u h
=−∞
k
−∞
1
∞
−
+
//
(
ξ )
iu kh h
=
−
−
−
−
×
R u ( )
(1
[(
d
)
)
)]
f
(
+ τ kh h e )
∑
ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ∫ E (
=−∞
k
0
∞
/ /
3
< < θ
≤
(
) ,
0
1
(3.2.19)
( ) R u
f
+ kh hθ
h
∑
=−∞
1 3 ∫ h d 0 1 12
/
≤
(3.2.20)
( ) R u
2 h V
f
( ) t
ar −∞< <∞ t
k 1 2
Nếu bất đẳng thức
≤
>
>
f
/ / ( ) x
α (
1,
a
0,
− ∞ < < ∞ x
)
B x α + )
(
a
đúng cho đạo hàm cấp hai của
f x , khi đó ( )
2
≤
+
R u ( )
h
[
]
(3.2.21)
−
1 6
1 1)
α (
− α 1 a
h α a
3.2.2.2 Phép nội suy bậc hai
kh k , (
h+ 2) ]
Lấy khoảng [
độ dài 2h và nội suy hàm f với liên hệ các giá trị
+
+
f
,
f
,
f
kh k , (
h k 1) , (
2)
h
với một đa thức bậc hai:
+ 1
+ tại các điểm 2
k
k
k
−
)
(
x
)
+ 1
2
=
+
+
f x ( )
)
)
f x ( k
f x ( k
+ 1
− −
− −
x k −
(
)( )(
)
(
)( )(
+
( x x k
x k x k
+ 1
x x k
− x + k − x k
2
x k
+ 1
x k x k
x x k x
(
+
+
)
+
f x ( k
2
r x ( ) k
+ 1 − −
+ 2 x k )( )(
(
)
+
+
x k x k
) + 2 − x x k
x k
2
x ) + k 1 − x k
2
+ 1
−
−
(
x
)
(
x
)
+
+
2
x k
2
=
+
+
f
f
k
k
+ 1
x k − (
− )( x x + 1 k − h h )( 2 )
x k (
−
− )( x − h h ) x (
)
x k
+ 1
+
+
f
(3.2.22)
+
k
2
r x ( ) k
− x x )( k h h .2
30
( )
Để thu được sai số
kr x ở dạng cần thiết, ta áp dụng công thức Taylor với
phần dư ở dạng tích phân, sử dụng hàm tắt E ta có:
x
2
/ / /
2
=
+
−
+
−
+
(
)
(
)
)
( ) f x
f
x
f
x
f
f
− ( )( t x t dt
k
x k
/ k
x k
/ / k
∫
1 2
1 2
x k
+
x k
2
/ / /
2
=
+
−
=
)
(
)
f
− ( )( ( ) t x t E x t dt P x
+ xψ ( )
( ) P x 2
2
∫
1 2
x k
Vì đa thức
f x và ( )
( )xψ
2 ( )P x nội suy chính xác, nên sai số nội suy của
( )xψ cho phép ta quy sai số này
trùng nhau. Bây giờ biểu thức tích phân của
−
(
2 x t E x t
)
(
về sai số nội suy của hàm sơ cấp
− : )
−
−
−
−
−
−
x
x
x
(
(
(
+
+
2
x k
2
x k
+ 1
ψ
=
+
+
+
x ( )
+
) ψ k
) ψ k
+ 1
) ψ k
r x ( ) k
2
x k − (
x x )( + 1 k − h h )( 2 )
x k (
x )( − h h )
x x )( k h h .2
Do đó
+
+
x k
x k
2
2
−
−
x
(
)
/ / /
/ / /
+
2
=
−
−
−
−
−
)
(
)
(
f
2 ( )( t x t E x t dt
f
) t dt
( ) r x k
( )( t x k
2 ) t E x k
∫
∫
1 2
x k − (
1 2
x x )( + k 1 − )( 2 ) h h
x k
x k
+
x k
2
−
(
x
///
+
2
x k
−
−
−
f
(
t dt )
+ 1
+ 1
t x ( )( k
2 t E x ) k
∫
x k (
− )( x − h h )
) 1 2
x k
+
x k
2
−
x
(
///
+ 1
x k
−
−
−
f
(
t dt )
+
+
2
2
t x ( )( k
2 t E x ) k
∫
− x x )( k h h .2
) 1 2
x k
< < t
t
Vì
t− = và ) 0
+ − = với ) 1
x k
x + k
2
( kE x
kE x (
2
nên
x
+
k
2
−
−
(
x
)
/ / /
+
x k
x k
2
=
−
−
−
− + )
)
(
(
(
)
f
( )[( t
2 x t E x t
t
( ) r x k
x k
2 ) t E x k
+ 1
+ 1
x 2
∫
1 2
)( h
x k
−
−
(
)
x
x k
x k
+ 1
−
−
(
2 ) ]
dt
t
+
x k
2
x 2
1 2
)( h Ta rút gọn biểu thức của sai số bằng cách đặt
≤
=
+
=
+
(0
ξτ≤ ,
2)
x
hξ ,
t
hτ
x k
x k
31
2
h 2 )
/ / /
2
2
=
+
−
+
−
−
f
(
τ ξ τ ) h )
h )[(
h
E h (
− ξ τ h )
(
− h h
τ )
E h h
(
τ )
r x ( ) k
x k
∫
− ξ ξ h h ( 2 h
1 2
0
−
h
)
τ
τ
−
− h h
hd
(2
2 ) ]
ξ ξ h h ( 2 h
1 2
23
///
2
2
=
+
−
−
+
−
−
−
(
)[(
)
(
)
2)(1
τ )
(1
τ − )
f
τ ξ τ ξ τ ξξ ( h E
E
x k
∫
h 2
0
−
−
−
ξξ (
1)(2
2 τ τ ) ] d
1 2
(3.2.23)
[
]
c
, lấy tích phân trên khoảng
, cho
Nhân hai vế của (3.2.22) với os ux
x x + , k k
2
k =
0, 2, 4,...
và lấy tổng ta được biểu diễn sau của biến đổi Fourier cosine:
∞
∞
∞
=
=
+
+
+
f x
uxdx
f
k
θ k
u ( )
( ) cos
1)
os2
ϕ c
k
R c
α γ f 2 0 2
c os(2 + 1
2
+ θ α 2 2
f c k 2
∑
∑
∫
=
k
k
0
= 1
0
(3.2.24)
=
+
− − 2 1 = α θ
θ
− 2 θ
− 3 − θ θ
θ
sin 2
, uh h
os2 c
2
− 2
=
−
θ
3 2 − − 1 1 γ θ θ 4 sin
[
h
1 2 θ os ] c
2
+
+
x k
x k
2
2
23
///
=
=
+
−
−
( ).cos
(
)[(
(
uxdx
f
2 τ ξ τ ξ τ ) ) h
E
( ) R u c
r x k
x k
∑
∑
∫
∫
∫
h 2
=
=
k
k
0,2,...
0,2,...
0
x k
x k
2
2 ξ τ τ ) ]d .cosu(x +h )d(x +h ) k
k
2
2
4
2
=
+
−
−
−
−
−
−
−
−
τ
[(
d
(
)
(
)
2)(1
τ )
E
(1
τ )
ξξ (
1)(2
2 ) ]
∫
2 ξ τ ξ τ ξ τ ξξ ∫ d E
h 2
1 2
0
0
∞
///
×
+
+
(
) cos (
(3.2.25)
f
τ h
ξ ) h
x 2
u x 2
k
k
∑
=
0
k
Để đưa ra ước lượng
cR , ta cần nghiên cứu các tính chất đã biết của nhân
ξτ≤ ,
2
≤ ta chia
trong dấu ngoặc vuông. Miền lấy tích phân là hình vuông 0
ξ τ τ ξ
=
=
1,
,
1
= .Dấu và ước
miền này thành 6 phần bởi các đường thẳng
32
− − − − − − ξ + ξξ ( 2)(1 τ ) E (1 τ ) ξξ ( 1)(2 1 2
lượng của nhân bên trong các phần được nghiên cứu sau đây. Kí hiệu
nhân:
K ξτ ( , )
1
Phần I 0
τ ξ≤ ≤ ≤
2
2
=
+
−
−
−
−
−
−
−
−
K
E
2 ξτ ξ τ ξ τ ξξ E ( , )
)
)
(
(
(
2)(1
τ )
(1
τ )
ξξ (
1)(2
τ )
1 2
2
=
+
−
−
τ
−
−
−
− ξ τ (
2 ) .1
ξξ (
2)(1
2 ) .1
ξξ (
1)(2
τ )
1 2
2
2
=
+
−
2 + τ τ
−
2 ξ
−
ξ
2 + τ τ
− ξ τ ( )
− ξ ξ (
2 )(1 2
)
(
− )(4 4
)
1 2
1 2
2
2
2 2
2
2 ξ ξτ τ ( 2
2 − ξ ξτ ξτ ξ ξτ ξτ (
2
2 2
2
= − + + + − − ) 2 4 2 )
2 ξ ξτ ξτ ξ ξτ ξτ
2
− + − − − + (2 2 2 2 ) 2 1 2 + 1 2
2 τ
2 2 ξτ
2 ξτ
2 ξ ξ τ (
−
ξ
− ≤
ξ
ξ (
1)(
2 − ξ τ 2)
Ta có
− < nên
≥ 0
1 0,
2 0
1 2
− ≤ − ≤ ξ
ξ
−
1 0, 2
1
ξ ξ− 1)(
2) 2
Vì 1
− ≤ − ≤ − nên ( 2
≤ và
2 1τ ≤
−
≤
ξ (
1)(
2 − ξ τ 2)
1
K ξτ
( , ) 1
suy ra
≤ , bất đẳng thức sau đúng cho nhân: 0
≤ .
1 2
≤ ≤ τ
ξ
1, 1
2
= + − = + = − − (2 − ξ ξ 3 ) 1)( 2) (3.2.26) 3 2 1 2 τ 2 1 2 1 2
Phần II 0
≤ ≤ . Khi đó
2
−
+
−
=
−
−
−
(
)
(
)
(
2)(1
τ )
(1
τ )
K
2 ξτ ξ τ ξ τ ξξ ( , ) E
E
2
−
−
−
=
−
−
ξξ (
1)(2
τ )
2 ξ ξ τ (
1)(
2)
1 2
1 2
−
−
ξ
− ≥
ξ
2 ξ ξ τ (
1)(
2)
1 0,
2 0
Do
− ≤ nên
≤ . 0
1 2
τ
ξ
≤
2 1, 0 2
≤ − ≤ và 0 1
ξ≤ − ≤ ta có 1 1
Vì
2
−
−
≤
ξ (
1)(2
ξ )
ξ (
ξ )
− + − 1 2 2
1 = . 4
Suy ra
≥
−
−
≥
=
0
K ξτ ( , )
2 ξ ξ τ (
1)(
2)
.1
. Vậy .
1 2
− 1 1 . 2 4
− 1 8
1 ≥ − 8
33
1
Phần III
τ ξ≤ ≤ ≤ 2
2
2
−
=
−
−
−
−
− + )
(
(
(
)
2)(1
τ )
(1
− − )
(
1)(2
τ )
K
2 ξτ ξ τ ξ τ ξξ ( , ) E
E
1 τ ξξ 2
2
=
+
−
−
−
−
−
τ
− ξ τ (
2 ) .1
ξξ (
2)(1
2 ) .0
ξξ (
1)(2
τ )
1 2
2
2
=
−
−
−
− ξ τ ( )
ξξ (
1)(2
τ )
1 2
2
=
−
+
−
2 + τ τ
2 ξ ξτ τ 2
2 − ξ ξ (
− )(4 4
)
1 2
2
2 2
2
2
2
=
2 − ξ ξτ τ ξ ξτ ξτ ξ ξτ ξτ
+
−
+
−
+
+
−
2
2
2
2
2
1 2
1 2
2 2
2
=
−
+
+
2 − ξ ξ
2 τ (
)
(2
− ξτ ξτ )
4
(2
)
1 2
1 2 ξτ ξτ 2
2
=
−
−
+
−
+
−
(2
ξ ξτ ξξ τ ξξ 2 (
)(1
2)
(
)
2)
1 2
Trên biên của phần III, nhân K nhận giá trị không dương. Thật vậy:
2
= −
−
−
K ξξ ( , )
ξξ (
1)(2
ξ )
Với τ ξ= ,
≤ 0
1 2
2
=
−
−
−
ξ
K ξ
( ,1)
ξ (
1)
ξξ (
− = 1)
ξ (
1)(
Với
1τ = ,
− ≤ 1) 0
1 2
1 2
2
2
=
−
−
−
K τ (2, )
(2
τ )
(2
τ )
2,ξ=
= 0
Với
Vậy tại tất cả các điểm của phần III ta có
K ξτ ≤ ( , ) 0
Mặt khác,
2
≥ −
−
−
K ξτ ( , )
ξξ (
1)(2
τ )
2 ≥ − × × × = − 1 2 1 1
1 2
1 2
Vậy tại tất cả các điểm của phần III ta có
≥
0
K ξτ ( , )
≥ − 1
2
≤ ≤ ≤ ξ τ
= −
−
−
K
1
2,
ξτ ( , )
ξξ (
1)(2
τ )
Phần IV
.
1 2
2
≥ −
−
−
0
ξξ (
1)(2
τ )
1
Ta thấy
2 ≥ − × × × = − . 2 1 1
1 2
1 2
34
≥
K ξτ ( , )
Vậy 0
≥ − 1
ξ
τ
Phần V 0
≤ ≤ ≤ ≤ 1 2
2
2
=
−
−
+
−
−
−
−
−
−
K
2 ξτ ξ τ ξ τ ξξ ( , ) E
(
)
(
)
(
2)(1
τ )
E
(1
τ )
ξξ (
1)(2
τ )
1 2
2
= −
−
−
ξξ (
1)(2
τ )
1 2
2
−
−
−
ξξ (
1)(2
τ )
Ta có
ξ− ≤ nên 1 0
≥ và 0
1 2
ξ
2
2
−
−
−
=
−
≤
ξξ (
1)(2
τ )
− ξ ξ (1
)(2
τ )
ξ (
2 2 ) .1
1 2
1 2
+ − 1 2
1 = 8
1 2
≤
0
K ξτ ( , )
Vậy
1 ≤ 8
0
≤ ≤ ≤ ξ τ 1
Phần VI
2
2
=
−
−
+
−
−
−
−
−
−
K
2 ξτ ξ τ ξ τ ξξ ( , ) E
(
)
)
(
(
2)(1
τ )
E
(1
τ )
ξξ (
1)(2
τ )
1 2
2
2
=
−
−
−
−
−
ξξ (
2)(1
τ )
ξξ (
1)(2
τ )
1 2
2
=
−
2 + τ τ
−
2 + τ τ
− ξ ξ (
2 )(1 2
)
2 − ξ ξ (
− )(4 4
)
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
−
−
−
+
+
2 + ξ τξ τ ξ ξ τξ τ ξ ξ τξ 4
2
2
2
2
2
− τ ξ ξ τξ τ ξ 2
2
1 2
1 2
2
2
2
= −
2 ξ
+
τ ξ τξ τ ξ
−
+
2
1 2
3 2
2
=
−
−
−
ξ [
(3
+ ξτ τ ξ 2 ]
)
1 2
( , )
Trên biên của phần VI,
K ξτ không âm, vì:
Với ξ τ= ,
2
2
=
−
−
2 ξξ ξ ξ ξ
+
−
=
−
−
−
ξ
+
K ξξ ξ [ )
( ,
(3
2
]
)
[
(3
ξξ )
+ = 1]
1]
1 2
1 2
1 2 ξ ξ [ 2
3 2
2
=
2 ξ ξ ξ
−
+
=
−
ξ
−
≥
3
[
2]
(1
)(2
2 ξξ )
0
1 2
1 2
35
2
=
−
+ τ τ
−
K τ
(0, ) 0.[
− (3 0).
2
Với
0ξ= ,
= 0] 0
1 2
1τ = ,
Với
=
−
−
ξ
+
−
ξ
=
K ξ
( ,1)
ξ [
(3
2 ).1
2.1
= ξ ξ ] [
+ − 2
ξ ]
− ξ ξ [1
≥ ] 0
3 1 − + 2 2
1 2
1 2
( , ) 0
K ξτ ≥ , hơn nữa:
Vậy tại tất cả các điểm của phần VI ta có
2
2
2
2
=
−
−
−
−
−
−
−
=
−
K ξτ ξξ
( , )
(
2)(1
τ )
ξξ (
1)(2
τ )
≤ − 0
ξξ (
1)(2
τ )
− ξ ξ (1
)(2
τ )
1 2
1 2
1 2
ξ
2
2
≤
−
<
<
ξ (
2 ) (2
τ )
. 2
1
1 2
+ − 1 2
1 1 2 4
Vậy trên tất cả các miền, nhân thỏa bất đẳng thức sau:
K ξτ ≤ 1 ( , )
Từ đó ta thu được ước lượng sau đây của phần dư
cR :
2
2
4
∞
/ / /
=
+
f
τ h
c
(
R u ( ) c
k
k
x 2
ξ ). os u(x +h ) 2
∑
∫ ξ τ ξτ d K d . ( , ).
∫
=
h 2
k
0
0
0
2
2
4
∞
/ / /
+
≤
f
τ h
c
(
ξ ) . os u(x +h )
k
k
x 2
2
∑
∫ ξ τ ξτ d d K ( , ) .
∫
=
h 2
k
0
0
0
2
4
∞
/ / /
≤
+
f
(
τ h )
k
x 2
∑
∫
=
h 2
0
0
2 ∫ ξ τ d d k 0
2
4
∞
2
/ / /
=
+
f
(
τ h )
k
x 2
= ξ ξ . = ξ
0
=
h 2
∑∫ τ d . k
0
0
2
∞
4
/ / /
=
+
h
f
(
τ h )
( 3.2.27)
k
x 2
=
∑∫ τ d k
0
0
∞
2
∞
/ / /
/ / /
/ /
+
=
=
(
f
τ ) h
f
( ) x dx
f
( ) x
k
x 2
Ta chứng minh
∫
ar V ≤ <∞ x 0
=
1 h
1 h
∑∫ τ d k
0
0
0
Thật vậy:
36
+
(2
2)
k
h
2
∞
∞
/ / /
/ / /
+
=
+
+
(
(2
(2
τ )
τ )
f
τ τ ) h d
f
kh h d kh h
k
x 2
∑
∑
∫
∫
=
=
1 h
k
k
0
0
kh
0
2
+
∞
k
h
(2
2)
∞
/ / /
/ / /
=
=
f
( ) x dx
f
( ) x dx
∫
=
1 ∑ ∫ h
1 h
0
k
2
0
kh
Ta được ước lượng sau
∞
/ /
3
/ / /
≤
=
f
x ( )
h
f
x dx ( )
(3.2.28)
R u ( ) c
∫
3 h V ar ≤ <∞ x 0
0
∞
1
∞
/ / /
/ / /
=
+
+
f
x dx ( )
f
(
(
ht
)
Mà
x k
ht d x ) k
∑
∫
∫
=
0
k
0
0
1
∞
∞
∞
/ / /
/ / /
/ / /
=
+
≤
+
≤
+
h
f
(
ht dt )
f
(
ht
) ]
dt
f
(
ht
)
x k
x k
x k
∑
∑
∑
∫
h m 0
ax ≤ ≤ t 1
=
=
=
k
k
k
0
0
0
0
1 ∫ h m [ ax ≤ ≤ t 1 0 0
Và điều này cho phép thay thế (3.2.28) bởi một ước lượng thô hơn, nhưng
thuận lợi hơn cho việc tính toán, ít nhất trong các trường hợp đã biết:
∞
/ / /
≤
+
(
)
(3.2.29)
f
ht
( ) R u c
x k
∑
4 h m 0
ax ≤ ≤ t 1
=
k
0
Đối với biến đổi Fourier sine, tương tự ta có các công thức cho sự tính
toán và ước lượng sai số có dạng sau
∞
∞
∞
β
=
=
+
+
+
u ( )
f x
( ) sin
uxdx
f
sin(2
k
1)
f
sin 2
θ k
( ) (3.2.30)
f 2 0
γ 2
2
+ 1
θ α + 2 2
2
ϕ s
k
k
R u s
∑
∑
∫
=
0
= 1
k
k
0
− − − 3 1 1 β θ θ
−
=
+
− 2 θ
− 3 + θ θ
θ
h
sin 2
c os2
2
1 2
,
,θ α γ được chỉ ra ở (3.2.24)
giá trị của các tham số
2
2
2
2
4
2
=
−
+
−
−
−
−
−
−
−
τ
×
[(
)
)
(
(
2)(1
τ )
(1
τ )
ξξ (
1)(2
2 ) ]
d
E
( ) R u s
2 ξ τ ξ τ ξ τ ξξ ∫ d E
∫
1 2
h 2
0
0
∞
///
+
+
f
τ h
(
)sin (
ξ h ),
k
k
x 2
u x 2
∑ ×
=
k
0
37
∞
3
///
//
≤
=
h
f
3 x dx h Var f ( )
x ( )
R u ( ) s
∫
≤ <∞ x
0
0
∞
///
≤
+
f
(
ht
)
R u ( ) s
x k
∑
4 h m 0
ax ≤ ≤ t 1
=
k
0
Cuối cùng, đối với biến đổi Fourier phức các quy tắc và ước lượng là
∞
∞
∞
−
−
−
+
θ
θ
iux
i k 2
i
(2
k
1)
ϕ
=
=
+
+
u ( )
f x e ( )
dx
f
R u ( )
(3.2.31)
α 2 2
γ 2
k
f e k 2
e + 1
2
∑
∑
∫
=−∞
=−∞
k
k
−∞
2
2
4
2
=
−
+
−
−
−
−
[(
)
)
(
(
2)(1
τ )
(1
τ )
( ) R u
d
E
∫
2 ξ τ ξ τ ξ τ ξξ ∫ d E
h 2
0
0
∞
−
+
ξ ) h u
///
( i x 2
x
−
−
−
τ
+
f
ξξ (
1)(2
(
τ h e )
(3.2.32)
x 2
x
∑
1 2
=−∞
2 ) ] k
∞
3
/ / /
/ / /
≤
=
( ) R u
h
f
( ) x dx
3 h V
f
( ) x
∫
ar −∞< <∞ x
−∞
∞
/ / /
≤
+
(
( ) R u
f
τ ) h
x k
∑
3 ax h m τ ≤ ≤ 0 1
=−∞
k
3.2.2.3 Phép nội suy bậc ba
Ta có thể xây dựng các quy tắc tương tự trên với bậc bất kì. Độ chính xác của
các quy tắc càng cao, chúng càng phức tạp, và sự phức tạp của chúng tăng
nhanh khi bậc tăng. Ta xét các quy tắc sau tương ứng với phép nội suy bậc ba.
,
,
Lấy 4 điểm
+
x x , k k
x k
x k
+ 1
2
+ và biểu diễn phép nội suy của hàm f 3
với mối liên hệ các giá trị của f tại các điểm này:
38
)
(
x
x
+
2
3
2
=
+
f x ( )
)
)
+ 1
f x ( k
f x ( k
− −
− −
x + 3 k −
(
)
)( x )(
)
(
+
+
3
3
− )( x x )( k
x + k − x k
− x + k − x k
) x k
x k
)(
(
x k
+ 1 x k
+
+
+
)
)
+
+
2
f x ( k
3
( f x k
+ 2 −
x −
+ 3 −
+ 2 x )( )(
)
(
(
x k )(
x k x k x )(
)
+
+
+
+
+
+
+
+
2
2
+ 1
2
3
x k
( x k − x k
)( x x + 1 k x x )( + 1 k k − x )( x k
x + 1 k − x k
+ 2 − x k
) x k
3
3
+ 1
3
2
− x − x + 1 k − x x )( ( k − )( x x k k
)( x k x )( + 1 k − x x + 1 k − x k
− x k − x k
) x k
x k
+
( ) r x 3
−
−
−
−
(
x
)
(
x
)
+
+
3
3
x k
x k
x k
x k
=
+
f x ( )
f
f
+ 1
k
k
−
−
−
−
)
(
x
x
)
(
x
+
+
3
2
x k
x k
+
+
+
f
f
+
+
r x ( ) 3
2
3
k
k
− )( )( x x x + + 2 1 k − − − h h h ( 2 )( 3 ) − )( x x x x )( + 1 k k − 2 . ( h h h )
− )( )( x x x + 2 k − − h h h )( 2 ) ( − )( x x x )( + 1 k k 3 .2 . h h h
Nhân phương trình này với cosux và lấy tích phân trên khoảng
h+ 3 ]
k =
0,3, 6,...
, lấy tổng trên các giá trị
ta được biểu diễn của biến
x x [ , k k
f
,...
đổi cosin trong các số hạng có các giá trị
,
0
f 1,
∞
∞
=
=
α
+
u ( )
f x
( ) cos
ux dx
θ k sin 3 )
f
ϕ c
f 3 0
γ ( 3
− θ δ k os3 c 3
k
3
+ 1
∑
∫
=
k
0
0
∞
∞
+
+
+
θ ) k sin 3
f
θ k os3
(3.2.33)
R u ( ) c
γ ( 3
+ θ δ k os3 c 3
α 2 3
k
3
− 1
f c k 3
∑
∑
k
= 1
3
= 1 3
3
3
=
−
−
−
ξ
−
−
−
E
d
E
[(
(
)
ξξ (
2)(
3)(1
τ )
(1
τ )
R u ( ) c
∫ ξ τ ξ τ ξ τ − d )
∫
1 2
k 5 h 6
0
0
3
+
− ξξ ξ
−
−
−
−
− ξξ ξ
−
−
τ
1)(
(
3)(2
τ )
(2
τ )
1)(
(
2)(3
3 ) ]
E
1 6
1 2
∞
IV
+
+
(
) cos (
f
τ h
ξ ) h
k
k
x 3
u x 3
∑ ×
=
k
0
Đối với biến đổi Fourier sine và phức, ta cũng có các biểu diễn sau:
∞
∞
=
=
β
+
u ( )
f x
( ) sin
uxdx
θ ) k os3 c
f
ϕ s
f 3 0
γ ( 3
+ θ δ k sin 3 3
3
k
+ 1
∑
∫
=
k
0
0
∞
∞
+
+
+
θ ) k os3 c
f
f
θ k sin 3
(3.2.34)
γ ( 3
− θ δ k sin 3 3
3
− 1
α 2 3
3
k
k
R u ( ) s
∑
∑
= 1
= 1
k
k
39
3
3
5
3
3
=
−
−
−
ξ
−
−
−
[(
E
d
)
(
ξξ (
2)(
3)(1
τ )
E
(1
τ )
R u ( ) s
∫ ξ τ ξ τ ξ τ − d )
∫
h 6
1 2
0
0
3
+
− ξξ ξ
−
−
−
−
− ξξ ξ
−
−
τ
1)(
(
3)(2
τ )
(2
τ )
1)(
(
2)(3
3 ) ]
E
1 2
1 6
∞
IV
+
+
(
) sin (
f
τ h
ξ ) h
k
k
x 3
u x 3
∑ ×
=
k
0
∞
∞
∞
−
θ
θ
iux
i k 3
i k 3
ϕ
=
=
+
u ( )
f x e ( )
dx
i
)
f
i
)
f
γ δ − ( 3
3
γ δ + ( 3
3
k
k
3
e + 1
3
e − 1
∑
∑
∫
=−∞
=−∞
k
k
−∞
∞
−
θ
i k 3
+
R u ( )
(3.2.35)
α + 2 3
f e k 3
∑
=−∞
k
3
3
5
3
3
=
−
−
−
−
−
−
ξ
E
d
E
R u ( )
[(
(
)
ξξ (
2)(
3)(1
τ )
(1
τ )
− ξ τ ξ τ ξ τ ∫ d )
∫
1 2
0
3
−
−
−
−
−
−
+
− ξξ ξ
− ξξ ξ
τ
E
1)(
(
3)(2
τ )
(2
τ )
1)(
(
2)(3
3 ) ]
h 6 0 1 2
1 6
∞
−
+
ξ h u )
IV
i x ( 3
k
+
f
(
τ h e )
x k
∑
=−∞
× k
,
,
,
Trong (3.2.33), (3.2.34), (3.2.35) các hệ số
α β γ δ có các giá trị sau:
3
3
3
3
uhθ =
− 2
=
−
+
−
− − 4 4 θ θ θ
− 3 + θ θ
θ
h
(
c ) os3
sin 3
− 1 α 3
11 6
1 − 2 θ 3
−
−
− − 1 1 = β θ
− 3 − θ θ
θ
h
− − 4 3 + θ θ 2
(
)sin 3
c os3
3
1 − 2 θ 3
− − 4 1 = γ θ
−
+
− − 4 2 − θ θ
θ
3
h
− 2 θ 3
3(
c ) os3
− 3 − θ θ 4
sin 3
3
1 2
− − 3 1 = δ θ
+
− − 4 2 − θ θ
θ
h
5
3(
)sin 3
− 3 + θ θ 4
c os3
(3.2.36)
3
1 2
Ở trên ta cho các công thức tính đạt được với sự giúp đỡ của phép nội suy
của hàm f với liên hệ các giá trị của f tại các điểm
kx . Ta có thể làm tăng
độ chính xác của sự tính toán bởi việc yêu cầu phép nội suy không chỉ liên hệ
40
với các giá trị của hàm f mà còn với các giá trị của các đạo hàm của nó tại
các bậc đã biết. Vậy thì phép nội suy sẽ là với các điểm bội. Ở dạng tổng quát
nó là phức tạp và để đơn giản hóa ta sẽ kiểm tra trường hợp của các điểm kép,
khi phép nội suy được thực hiện với mối liên hệ các giá trị của f và giá trị
/f
. Như phần trước, ta xét các điểm cách đều:
của đạo hàm bậc nhất
=
=
>
kh k (
0,1,...;
h
0)
,...,
. Lấy
1n + điểm
kx
x x , k k
x + và xây dựng một đa k n
+ 1
có bậc 2
1n + thỏa mãn các điều kiện sau:
thức
nP 2
x+ 1( )
=
=
=
(
)
f
,
(
)
f
(
j
n 0,1,..., )
+
+
+
n
P 2
+ 1
/ P n 2
+ 1
x k
j
k
j
x k
j
/ + k
j
Biểu thức chi tiết của đa thức này được biết trong lý thuyết của phép nội
suy và ta sẽ không trình bày ở đây. Biểu diễn thích hợp của hàm f là
n
+
j
=
×
−
−
+
−
+
{[1
(
(
)
}
( ) f x
x
)] f
x
f
( ) x
+
+
+
k ( ) r n
x k
j
k
j
x k
j
/ + k
j
( ) x / ω
// ω / ω
2 ω 2 ) [
(
2 )]
) )
−∑ ( x
=
j
0
+
+
+
x k
j
x k
j
( x k ( x k
j
n
( ) k j
( ) k r n
∑
=
j
0
ω
=
−
−
−
x ( )
(
x
)(
x
)...(
x
)
x k
x k
+ 1
x + k n
Nếu ta nhân hai vế của (3.2.37) với cos ux , và lấy tích phân trên khoảng
kh k n h+ [ ) ]
, (
, và lấy tổng các kết quả trên các giá trị k , với k là các bội của
=
k
0,
n n , 2 ,...)
n (
, ta được một biểu diễn của biến đổi Fourier cosine trong đó
các số hạng có các giá trị của
/ kf
kf và
∞
=
+
+
u ( )
u f ( )
u f ( )
]
(3.2.38)
ϕ c
R u ( ) c
0 α [ k
k
1 α k
/ k
∑
k
= 1
41
= + H x ( ) x ( ) (3.2.37)
1 ( )
Các hệ số
0 ( ) k uα và
k uα có thể biểu thị trong các số hạng của nhân của
k
) ( )
( )
c
và các hệ số
x của phép nội suy, phần dư
biến đổi os ux
( jH
cR u được
k
) ( )
c
và sai số
x trên tất cả các khoảng
biểu thị trong các số hạng của os ux
( nr
j =
0,1,...)
jn j , (
n+ 1) ]
của phép nội suy [
, (
.
IV. Phép nội suy bậc ba với hai điểm kép.
Lấy khoảng [kh, (k+1)h] và nội suy hàm f trên nó với mối liên hệ với cá giá
f
f
trị
,k
f + , k 1
/ ,k
/ f + với sự giúp đỡ của đa thức bậc ba: k
1
1n = ta có:
Từ (3.3.37) cho
=
−
−
+
−
x
x
f
f x ( )
.{[1
(
f )]
(
)
}
x k
k
x k
/ k
x ( ) / ω
// ω / ω
−
x
(
(
2 )]
) )
2 ω 2 x ) [ k
x k
−
−
+
−
+
x
f
x
f
+
.{[1
(
)]
(
)
+ 1
+ 1
+ 1
x k
k
x k
/ } + 1 k
r x ( ) k
x ( ) / ω
x ( k x ( k // ω / ω
−
x
2 ω 2 ) [
(
(
2 )]
) + 1 )
+ 1
+ 1
+ 1
x k
x k
x ( k x ( k
Trong đó:
2
ω
=
−
−
=
−
+
+
x
x
x
x
x ( )
(
)(
)
(
)
+ 1
+ 1
+ 1
x k
x k
x k
x k
x x k k
/ ω
=
−
+
x
x ( )
2
(
)
+ 1
x k
x k
/ ω
=
−
+
=
−
=
−
+
(
)
2
(
)
kh
(
k
1)
h
= − h
+ 1
+ 1
x k
x k
x k
x k
x k
x k
−
+
=
−
=
+
−
= ) 2
(
)
(
k
1)
= h kh h
+ 1
+ 1
+ 1
/ ω + x ( 1 k
x k
x k
x k
x k
x k
// ω
// ω
= ( ) 2, x
(
= ) 2,
= ) 2
x k
// ω + ( x 1 k
Thế các kết quả vào biểu thức trên ta có:
[(
2 )]
=
−
−
+
−
{[1
(
)]
(
)
}
( ) f x
x
f
x
f
x k
k
x k
/ k
x (
+ 1 2 )
− x
− x x k 2 − ) ( h
2 − h
)( x k − x k
2 )]
[(
x
x
−
−
+
−
+
+
{[1
(
)]
(
)
x
f
x
f
x k
k
x k
( ) r x k
+ 1
+ 1
+ 1
/ } + k 1
+ 1 2
− )
− x k − ( x
x k 2 h
2 h
)( x k
+ 1
42
Hay
2
)
(
x
x
x k
+ 1
=
+
−
f x ( )
+ [(1 2
)
f
(
x
)
f
)]
k
x k
/ k
− x k 2 h
− h
2
(
x
)
x
+ 1
+
+
−
+
− [(1 2
)
f
(
x
)
f
]
(3.2.39)
k
x k
r x ( ) k
+ 1
+ 1
/ + k 1
x k 2
− h
− x k h
( )
Để đạt được biểu thức cần tìm cho sai số
kr x , xét công thức Taylor:
x
2
3
3
IV
=
+
−
+
−
+
−
+
(
)
(
)
(
)
)
( ) f x
f
x
f
x
f
x
f
f
− ( )( t x t dt
k
x k
/ k
x k
/ / k
x k
/ / / k
∫
1 2
1 6
1 6
x k
+ 1
x k
3
IV
=
+
−
=
)
)
(
f
− ( )( ( ) t x t E x t dt P x
+ xψ ( )
( ) P x 3
3
∫
1 6
x k
Vì đa thức
3( )P x được nội suy chính xác, nên sai số của phép nội suy của f
x k
+ 1
IV
ψ
=
−
−
(
)
)
( ) x
f
3 ( )( t x t E x t dt
là trùng nhau. Và điều này quy việc
và của
∫
1 6
x k
−
(
3 x t E x t
(
)
)
− . Thay hàm f
tìm phần dư cho f về tìm phần dư của hàm bởi hàm ψ trong biểu thức (3.2.39) ta có:
2
x
x
)
(
+ 1
x k
ψ
=
+
−
x
x ( )
+ [(1 2
(
]+
ψ ) k
x k
/ ψ ) k
− x k 2 h
− h
2
x
x
(
)
+ 1
+
+
−
+
x
− [(1 2
(
]
+ 1
+ 1
+ 1
ψ ) k
x k
/ ψ ) k
r x ( ) k
x k 2
− h
− x k h
Ta có:
+ 1
+ 1
x k
x k
IV
IV
/
2
/ ψ
=
−
−
=
−
−
(
)
)
(
)
)
)
( ) x
f
3 ( )( t x t E x t dt
f
( )3.( t
( x t E x t dt
∫
∫
1 6
1 6
x k
x k
+ 1
x k
IV
=
−
−
=
(
0
f
) t dt
ψ k
( )( t x k
3 ) t E x k
∫
1 6
x k
(
(
) 0)
− = t
do E x k
+ 1
x k
IV
=
−
−
(
f
( )3.( t
) t dt
/ ψ k
x k
2 ) t E x k
∫
1 6
x k
= 0
43
x k
+ 1
x k
+ 1
IV
IV
=
−
−
=
−
(
( ).( t
) t dt
f
( ).( t
3 ) . t dt
f
ψ k
x k
3 ) . t E x k
x k
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
∫
∫
1 6
1 6
x k
x k
(
(
) 1)
− = t
do E x k
+ 1
x k
+ 1
x k
+ 1
IV
IV
=
−
−
=
−
(
2 ) .
( ).3( t
) t dt
f
( ).3( t
dt
t
f
/ ψ k
x k
2 ) . t E x k
x k
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
∫
∫
1 6
1 6
x k
x k Thế vào trên ta có
2
−
(
x
)
x
x k
1
ψ
=
−
−
x ( )
+ [(1 2
+ ).0 (
x
).0]
r x ( ) k
x k
+− x k 2 h
h
2
)
(
+ 1
−
− [(1 2
+ − (
]
+ 1
+ 1
+ 1
ψ ) k
x x k
/ ψ ) k
− x x k h
− x x k 2 h
x k
x k
+ 1
+ 1
2
)
(
IV
IV
+ 1
−
−
−
−
f
f
3 t x t E x t dt ( )( )
)
(
− [(1 2
)
t ( ).(
3 t dt ) .
=
x k
+ 1
∫
∫
− x x k h
1 6
1 6
− x x k 2 h
x k
x k
x k
+ 1
IV
−
+ − (
)
]
f
( ).3( t
2 ) . t dt
x x k
+ 1
x k
+ 1
∫
1 6
x k
Hay
x k
+ 1
IV
=
−
f
3 − x t E x t
t ( ){(
)
(
)
r x ( ) k
∫
1 6
x k
2
x
x
(
)
3
+ 1
−
−
+
−
−
t
x
dt
t
− [(1 2
)(
)
3(
)(
2 ) ]}
+ 1
+ 1
+ 1
x k
x k
x k
x k 2
− h
− x k h
=
+
=
+
≤
x
ξ , h
t
τ h
(0
ξτ ,
1)
Để đơn giản hóa kí hiệu, đặt
≤ ta được
x k
x k
14
3
IV
=
+
−
−
−
−
−
+
ξ
−
−
τ
(
){(
)
(
)
[(3 2 )(1
ξ τ )
3(
1)(1
2 ) ]}
f
3 2 τ ξ τ ξ τ ξ h E
τ d
( ) r x k
x k
∫
h 6
0
14
2
2
IV
+
−
−
−
+
ξτ ξ τ
−
=
(
){(
(1
)
)
(
2 − ) [(3 2 )
]}
f
τ ξ τ ξ τ ξ τ h
E
d
x k
∫
h 6
0
kh k , (
h+ 1) ]
Nhân hai vế (3.2.39) với cos ux , lấy tích phân trên khoảng [
và
k =
0,1, 2,...
cộng các kết quả với
, ta có thể xây dựng một biểu diễn của
44
( )
( )
c uϕ từ các giá trị của
c uϕ , nếu bỏ phần dư sẽ cho một quy tắc tính để tìm
kf và
/ kf
∞
∞
=
=
−
u ( )
f x
( ) cos
uxdx
os
θ k
ϕ c
/ / / α γ f f 1 0 1 0
f c k
+ ∑ / α 2 1
∫
k
= 1
0
∞
+
f
θ k
sin
(3.2.40)
R u ( ) c
/ − δ 2 1
/ k
∑
k
= 1
Ở đây
=
θ
h
(3.2.41)
c os
h
θ
4
− 3 − − θ θ (1 c os ) 6 − − 3 4 + θ θ 6 2 − 4 − θ 6
θ sin − 4 + θ θ sin 6 − 3 + θ θ 2
c os
sin
uh − − 4 1 / = α θ 12 1 − − 2 2 / − = γ θ 1 − − 3 2 / = δ θ 1
θ
h
( )
Trong biểu diễn của
cR u , biến x được thay thế bởi biến chính tắc
=
+
−
x
hξ
ξ −= h
x
1(
,
:
x k
x )k
1 1
5
2
3
=
ξ τ ξ τ ξ τ −
−
−
+
ξτ ξ −
{(
(
(1
)
)
2 − ) [(3 2 )
]}
E
( ) R u c
∫ ∫
h 6
0 0
∞
IV
+
+
(
(3.2.42)
f
ξ τ ξ ) h d d
x k
τ ) os ( h c u x k
∑ ×
=
0
k
Để đánh giá
cR , trước tiên ta xác định các tính chất đã biết của nhân trong
K ξτ : ( , )
ngoặc của tích phân kép. Kí hiệu nhân là
−
=
+
−
−
τ
3 2 ξτ ξ τ ξ τ ξ ( , ) )
(
)
(
(1
2 − ) [(3 2 )
− ξτ ξ ]
K
E
+
−
τ
< < < τ ξ
(1
2 ξ τ ξ ) [(3-2 ) - ],
0
1
=
−
τ
< < < ξ τ
(1
2 ξ τ ξ ) [(3-2 ) - ]
0
1
3 2 − ξ τ ξ ( ) 2 ξ
ξτ≤ ,
1]
Trước hết ta thấy giá trị của nhân trên biên của hình vuông [0
≤ đều
bằng 0 (hình 2). Thật vậy:
45
2
−
τ
τ
K τ
= (0, ) 0 (1
2 ) [(3-20) -0]=0
Khi
0ξ= :
3
+
−
τ
τ
K τ (1, )
= − (1
τ )
2 1 (1
2 ) [(3-2.1) -1]=0
Khi
1ξ= :
3
2
=
−
+
2 ξ
ξ
−
−
−
ξ
K ξ
( , 0)
ξ (
0)
(1 0) [(3 2 ).0
0τ = :
= ] 0
Khi
2
2 ξ
=
ξ ξ −
−
−
K ξ
( ,1)
(1 1) [(3 2 ).1
Khi
0τ = :
= ] 0
Trên đường chéo OB của hình vuông, nhân có giá trị dương:
−
−
=
+
−
ξ
K
3 2 ξξ ξ ξ ξ ξ ξ ( , )
E
)
(
)
(
(1
2 − ) [(3 2 ) − ξ ξ =
>
< < ξ
− ξξ ξ ] 3 )]
2[ (1
0
(0
1)
τ
C
0 B
D
(1 2,1 2)
0
+ 0
0 0
A ξ
2
ξ τ
1
do đó
2 ξ τ ξ ) [(3-2 ) - ]
Trong tam giác OBC : 0
≤ ≤ ≤ nên
−
( , )
dấu của của
− . K ξτ trong tam giác OBC là dấu của đa thức (3 2 )ξτ ξ
Với ξ cố định (0
1)ξ< < , khi τ tăng từ ξđến 1, giá trị của đa thức tăng từ
ξξ ξ ξ ξ
− =
−
ξ ξ
− =
−
−
ξ
− (3 2 )
2 (1
3(1
> đến (3 2 ).1 ) 0
> . Do đó, ) 0
K ξτ ≥ ( , ) 0
ξ τ
≤ ≤
ξ
1, 0
1
khi
≤ ≤ . Ngoài ra, trong tam giác OBC , nhân đạt giá trị lớn nhất
D
(1 2, 1 2)
tại trung điểm của đường chéo,
, và
1
1
1 1
1
1
=
=
−
−
=
ξτ ( , )
K
(
)
(
2 ) (1
2 − ) [(3 2 )
]
m K ax ≤ ≤ ≤ ξ τ 1 0
1 1 , 2 2
2
2
2 2
2
32
1
τ ξ≤ ≤ ≤ , bên dưới đường chéo OB , nhân là đa
Trong tam giác OAB : 0
thức bậc ba theo biến τ:
46
− = K ξτ ξ τ ( , ) (1
3
=
−
+
−
τ
( , )
)
(1
2 − ) [(3 2 )
− ξτ ξ ]
2
3
2
2
2 K ξτ ξ τ ξ ( 3 +
−
=
+
−
+
−
2 ξ ξτ ξτ τ ξ 3
3
− (1 2
)(3
− τ τ τ ξτ ξ ) 2
2 2
3
2
2
3
2
3
3
=
2 − − ξ ξτ ξτ τ ξ τ ξτ ξ τ ξτ ξτ τ ξτ ξτ
+
−
−
+
+
−
+
+
−
−
3
3
3
6
2
)
3
2
2
(3 2
4 3 2
2 2 3
2 2
3
=
−
+
−
−
3
2
+ 2 2
− 3 2
3 3
2 3
2
− =
2 3 3 3 ξ ξτ ξτ τ ξτ ξ ξτ ξτ ξτ ξτ +
+ −
+ −
3 +
−
3 2
6
6 3 2
3 3 3 ξτ τ ξτ ξτ ξτ ξτ 3 3 2 3 ξ ξ τ
2 τ ξ
−
−
+
=
3 + ξ ξ 2 )
3 (1 2
− (1 3
)
2
2
=
−
2 3 − ξ τ
+
+
+
2 ξτ 3
(1
)
− (1 2
3 − ξ ξ ξ ξ ξ 2 )
2
2
=
−
2 3 − ξ τ
−
+
2 ξτ 3
(1
)
[(1
ξ )
4 2 ) ]
− ξ ξ 2 (1 2
2 ξ τ ξ
− +
[3
)
= − (1
ξτ (1 2 ) ]
ξ
− +
ξτ
( , )
(1 2 )
2 2 ξ τ− )
vì
K ξτ trùng với dấu của biểu thức 3
.
Với
1ξ≤ và τ ξ≤ ta có:
− +
≥ ξτ ξ
− +
ξξ ξ ξ
−
=
ξ 3
(1 2 )
3
(1 2 )
2 (1
(1 0 ≥ nên dấu của
≥ ( 0 ) 0
( , )
K ξτ không âm trong miền 0
τ ξ≤ ≤ ≤ . 1
Vì vậy
2
2 ξ τ ξ
1 τ ξ≤ ≤ ≤ )
τ ξ≤ ≤ ≤ ,
1
Trong tam giác OAB : 0
, nhân
D
(
)
( , )
K ξτ đạt giá trị lớn nhất tại điểm
:
1 1 , 2 2
=
− +
=
ξτ ( , )
K
(
)
= − (1
2 ) (
2 ) [3
(1 2 )
]
m K ax ≤ ≤ ≤ τ ξ 1 0
1 2
1 2
1 1 2 2
1 32
1 1 , 2 2
1 2
Ta tính tích phân kép của nhân:
1
1
1
1
2
=
+
−
−
−
{(
E
d
)
(
(1
τ )
∫ ξ τ ξτ d d K ( , )
3 2 ∫ ξ τ ξ τ ξ τ ξ d )
∫
∫
0
0
0
0
1
1
3
=
+
−
−
τ
=
2 ξ ξ τ τ ξ d )
d
(1
2 − ) [(3 2 )
− ξτ ξ τ }
d ]
(3.2.43)
∫
∫
1 120
ξ ∫ { ( 0
0
0
( )
Các tính chất ở trên của nhân cho phép ước lượng
cR u . Nếu trong biểu
( )
hξ+ )
diễn (3.2.42) của
bằng các lượng lớn
cR u ta thay thế nhân và os ( c u x k
47
− + K ξτ ( , ) = − (1 [3 ) ξτ (1 2 ) ]
hơn tương ứng là
và 1, ta được ước lượng sau
1 32
∞
1
5
4
4
∞
IV
IV
/ / /
≤
+
=
=
f
(
τ ) h
f
x dx ( )
f
x ( )
(3.2.44)
R u ( ) c
x k
∑
∫
∫
V ar ≤ <∞ x 0
=
h 1 . 6 32
h 192
h 192
0
0
1 ∫ ξ τ d d k 0
0
Bây giờ nếu trong tích phân (3.2.42) ta thay tất cả các số hạng của tổng vô
hξ+ )
bằng 1, và sử dụng
c u x hạn bằng giá trị tuyệt đối của chúng và os ( k
tính dương của nhân, ta áp dụng vào tích phân định lý giá trị trung bình cho
trọng lượng, ta được bất đẳng thức sau:
1
1
5
∞
IV
≤
+
×
−
+
−
−
τ
− ξτ ξ
f
E
d
(
ϑ h )
{(
(
)
(1
2 − ) [(3 2 )
]}
R u ( ) c
x k
∑
3 2 ∫ ξ τ ξ τ ξ τ ξ d )
∫
=
h 6
0
k
0
0
5
∞
IV
=
+
< < ϑ
f
ϑ h
(
) ,
0
1
(3.2.45)
x k
∑
=
h 720
0
k
Lý luận tương tự đối với biến đổi Fourier sine và phức cho ta các biểu
thức sau trong các số hạng có các giá trị
:
kf và
/ kf
∞
∞
=
=
+
+
( ) sin ux
sin
( ) u
f x
dx
f
f
f
θ k
ϕ s
k
/ β 1
0
/ δ 1
/ 0
/ α 2 1
∑
∫
k
− 1
0
∞
+
os
(3.2.46)
θ k
/ f c k
( ) R u s
/ δ + 2 1
∑
k
= 1
1
1
5
=
−
−
+
−
τ
− ξτ ξ
E
d
{(
(
)
(1
2 − ) [(3 2 )
]}
R u ( ) s
3 2 ∫ ξ τ ξ τ ξ τ ξ d )
∫
h 6
0
0
∞
+
+
) sin (
(3.2.47)
τ h
ξ ) h
( f x k
u x k
∑ ×
=
k
0
∞
4
4
/ / /
IV
≤
=
f
f
x dx ( )
x ( )
R u ( ) s
,
∫
V ar ≤ <∞ 0 x
h 192
h 192
0
5
∞
IV
≤
+
< < ϑ
f
hϑ
(
) ,
0
1
,
R u ( ) s
x k
∑
=
h 720
0
k
48
∞
∞
∞
θ
θ
−
−
−
iux
ik
ik
ϕ
=
=
−
+
u ( )
f x e ( )
dx
R u ( )
(3.2.48)
/ α 2 1
f e k
/ δ i 2 1
/ f e k
∑
∑
∫
−∞
−∞
−∞
,
,
,
α γ δ θ được chỉ ra trong (3.2.41) và
Các giá trị của
/ 1
/ 1
/ 1
− − 3 1 = β θ
− 3 + θ θ
+
2 θ
h
6
c os
− 4 − θ θ 12
sin
(6
)
/ 1
1
1
∞
−
+
ξ ) h
2
( iu x k
=
−
−
−
+
d
τ h
R u ( )
2 )+ (1- ) [(3 2 )
{(
)e
}
f x ( k
∑
3 ∫ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ d ) E(
∫
=−∞
h 6
− ξτ ξ ] k
0
0
(3.2.49)
∞
4
4
/ / /
IV
≤
=
f
f
R u ( )
x dx ( )
x ( )
∫
V ar −∞< <∞ x
h 192
h 192
−∞
5
∞
IV
≤
+
< < ϑ
f
hϑ
R u ( )
(
) ,
0
1
x k
∑
−∞
h 720
V. Phép nội suy của hàm số với ba điểm kép
Lấy các điểm
f với các giá trị của
x x , k k
x+ , 1 k
+ và nội suy hàm 2
f
,
f
,
f
,
f
,
f
,
f
+
k
/ k
k
k
+ 1
/ + k 1
2
/ + : k 2
2
(
)
+
x k
j
=
×
−
−
f x ( )
{[1
(
x
)]
f
+
+
x k
j
k
j
∑
−
/ / ω k / ω
=
2 ω k 2 ) [
(
x
(
2 )]
(
)
0
j
+
+
+
x ( ) / ω k
j
x k
x k
j
x k
j
+
+ − ( x
)
f
}
( ),
(3.2.50)
+
x k
j
/ + k
j
r x k
+
+ 1
2
Để nghiên cứu sai số phép nội suy, ta bỏ qua biểu diễn tích phân của nó (vì
phức tạp) như đã sử dụng trong các trường hợp đã nói ở trên và lợi dụng biểu
( )
thức quen thuộc của
kr x ở dạng phần dư Lagrange:
= − − − x ( ) ( x )( x )( x ) ω k x k x k x k
VI
2( ) x 6!
49
ω = + ≤ ≤ f ( h ), 0 2 (3.2.51) r x ( ) k x k ϑ k ϑ k
, lấy tích phân trên khoảng
, và lấy
Nhân hai vế (3.2.50) với os ux
c
2
k k = (
0, 2, 4,...)
được biểu thức sau
tổng các kết quả theo các giá trị chẵn của
của
c uϕ : ( )
∞
∞
θ
=
=
+
+
( ) os ux
1)
( ) u
f x c
dx
f
k
ϕ c
/ / α γ f 2 0 2
k
os (2 c + 1
2
∑
∫
=
k
0
0
∞
∞
θ
−
−
+
os2
sin (2
1)
f
k
/ α + 2 2
/ / / θ δ η f k 2 0 2
f c k 2
/ k 2
+ 1
∑
∑
=
k
0
= k 1 ∞
+
sin 2
(3.2.52)
f
θ k
( ) R u c
/ ζ − 2 2
/ k 2
∑
k
= 1
∞
27
2
VI
=
−
ξ
−
+
×
+
2 ξ ξ (
2 1) (
2)
(
)
(3.2.53)
f
h
ξ ξ ) d h
( ) R u c
x 2
ϑ 2
os ( c u x 2
k
k
k
∑
∫
h 6!
=
0
k
0
Ta có ước lượng sau của
(cR u ):
∞
27
2
VI
≤
−
−
+
ξ
2 ξ ξ (
2 1) (
2)
(
)
f
ϑ h
( ) R u c
x k
∫
ax m ≤ ≤ ϑ 0 2
h 6!
=
∑ ξ d k
0
0
∞
VI
7
=
+
h
ϑ h
(
)
(3.2.54)
x k
∑
m f ax ≤ ≤ ϑ 1 2
1 9450
=
k
0
Đối với biến đổi Fourier sine, tương tự trên ta có:
∞
∞
∞
=
=
+
+
f x
ux dx
f
k
f
θ k
u ( )
( )sin
sin(2
1)
sin 2
ϕ s
/ β f 2 0
/ γ 2
/ + θ α 2 2
k
k
2
+ 1
2
∑
∑
∫
=
k
k
= 1
0
0
∞
∞
+
+
+
f
k
f
θ k
cos (2
1)
cos 2
(3.2.55)
R u ( ) s
/ / + ζ f 2 0
/ η 2
/ + θ ζ 2 2
/ k 2
+ 1
/ k 2
∑
∑
=
k
k
0
= 1
∞
27
2
VI
ξ
=
−
−
×
+
+
2 ξ ξ (
2 1) (
2)
(
)sin (
(3.2.56)
f
ξ ξ ) h d
( ) R u s
x 2
ϑ h 2
u x 2
k
k
k
∑
∫
h 6!
=
0
k
0
∞
7
VI
≤
+
(
h
f
ϑ ) h
( ) R u s
x 2
k
∑
max ϑ ≤ ≤ 0 2
=
1 9450
k
0
50
] x x + [ , k k
Đối với biến đổi Fourier phức tương tự trên ta có:
∞
∞
∞
−
−
−
+
θ
θ
iux
(2
1)
2 i k
i
k
=
=
+
ϕ
( ) u
( ) f x e
dx
f
/ α 2 2
/ γ 2
k
f e k 2
e + 1
2
∑
∑
∫
=−∞
=−∞
k
k
−∞
∞
∞
−
−
+
θ
θ
i
k
i k 2
(2
1)
−
+
( ) (3.2.57)
f
R u
/ − ζ 2 i 2
/ η i 2
/ f e k 2
/ k 2
e + 1
∑
∑
=−∞
=−∞
k
k
27
∞
−
+
h
)
VI
2
iu x ( 2
k
=
−
ξ
−
×
+
ξ
f
e
dξ
R u ( )
2 ξ ξ (
2 1) (
2)
(
)
(3.2.58)
k
k
x 2
ϑ h 2
∑
∫
=−∞
h 6!
k
0
∞
7
VI
≤
+
(
( ) R u
h
f
ϑ ) h
x 2
k
∑
ax m ϑ ≤ ≤ 0 1
=−∞
1 9450
k
,...,
,
Các tham số
α β θ trong (3.2.52), (3.2.55) và (3.2.57) có giá trị sau:
/ 2
/ 2
uhθ=
,
2 θ
2 θ
2 θ
−
+
−
5 6 h u
(156 7
) sin
θ θ os c
+ 3(60 17
c ) os
2 θ − 15(12 5 )
,
/ α θ = 2
4
+
=
−
+
−
2 θ
+
2 θ
5 6 h u
2 β θθ θ (
8
24)
2 θ θ (7
c 156) os
− 3(60 17
) sin
θ θ os c
,
/ 2
2
θ θ θ
=
2 θ θ −
−
5 6 h u
16 (3
) sin
c os
48
,
/ γ 2
2
6 2 δ θθ
=
−
+
2 θ
−
2 4 + θ θ
+
+ θ θ
4 h u
2 (
24) sin
θ θ os c
15(
c 4) os
27
6
/ 2
6 2 = ζ θ θ
−
−
2 θ
2 + θ θ θθ
−
4 h u
(5
+ 12) 15(4
) sin
2 (
c os
c 24) os
2 θ
/ 2
=
2 θθ
−
θ
+
−
2 θ
θ
4 h u
16 (
c 15) os
48(5 2
) sin
6 / η 2
3.3. Phép nội suy bởi các hàm hữu tỷ
3.3.1. Chọn phép nội suy và sai số của nó
Ở phần mở đầu của chương này ta chú ý rằng mặc dù phép nội suy bởi giá trị
trung bình của các đa thức đại số dẫn tới các quy tắc áp dụng cho sự tính
toán. Nó đòi hỏi chia nữa trục hoặc cả trục của phép nội suy thành một số vô
hạn các khoảng con hữu hạn, phụ thuộc vào tốc độ giảm của hàm f khi
51
x → ∞ . Nếu tốc độ giảm của hàm f không đủ nhanh, thì nhiều khoảng con
sẽ cần tìm và điều này sẽ làm phức tạp sự tính toán.
Để tránh phải chia miền lấy tích phân thành các phần hữu hạn, ta phải
chuyển hệ các hàm mà phép nội suy dựa vào. Việc chọn hệ tùy thuộc vào, thứ
0x ≥ .
nhất, miền của phép lấy tích phân, thường là cả trục x hoặc nữa trục
Chúng ta sẽ chỉ xem xét biến đổi Fourier cosine và sine, và như đã nói, thừa
nhận miền lấy tích phân là nữa trục
0x ≥ . Điều này không hạn chế bài toán,
vì biến đổi Fourier phức có thể quy về biến đổi cosine và sine. Thứ hai, việc
chọn hệ phụ thuộc vào các tính chất của tập hợp các hàm được nội suy. Ở
trên, ta đồng ý rằng hàm
f thỏa mãn (với giá trị lớn của x ) điều kiện
−
s
≤
Ax
s
f x ( )
,
1
> . Từ đó ta chọn các hàm thường xuyên gặp trong ứng dụng
và có thể biểu diễn dưới dạng:
ở đây
( )F x liên tục trên nữa trục [0,
)∞ và có giới hạn hữu hạn,
F
(
= ∞ . Hàm )
( )F x với các tính chất như trên được gọi là liên tục
F x lim ( ) →∞ x
(
trên nữa trục đóng [0,
]∞ và giá trị giới hạn
)F ∞ được xem như giá trị của
hàm tại điểm ở vô cực.
Để xấp xỉ hàm F ta có thể lấy nhiều hệ các hàm sơ cấp giới hạn trên nữa
trục [0,
)∞ . Để đơn giản hóa sự tính toán, lấy hệ các hàm cơ sở của các phân
(
m =
0, 1, 2,...)
số đơn giản
và nội suy hàm F với sự giúp đỡ của các
(1
1 )mx+
52
= > f x ( ) , s 1 (3.3.1) ( ) F x )s + x (1
đa thức trong đối số
1 1 x+ :
n
=
(3.3.2)
( ) P x n
m
=
)
a +∑ m (1 x
0
m
( )F x liên tục trên nữa trục đóng [0,
]∞ các đa thức
Trong tập hợp các hàm
=
( )
z
biến
nP x tạo thành một hệ đầy đủ trong mê tric C . Phép biến đổi
1 +
1
x
]∞ thành khoảng đóng [0,1] của trục z . Hàm
( )F x liên tục trên
nữa trục [0,
[0,
]∞ trở thành hàm
( )zψ liên tục trên [0,1] , và các hàm hữu tỷ
nP x trở ( )
thành các đa thức
np z . ( )
≤
<
(0
< < ...
)
)∞ lấy
1n + điểm
< ∞ và chọn các hệ số
Trên [0,
x n
x 0
x 1
kx
ka của hàm
nP sao cho các giá trị của nó tại các điểm
kx trùng với các giá trị
của hàm F
n
−
i
=
+
=
=
k
)
(1
)
) (
n 0,1, 2,..., )
(3.3.3)
a i
P x ( n k
x k
F x ( k
∑
=
i
0
Những phương trình này cho ta một hệ tuyến tính các phương trình với hệ số
=
(
k
0,1,..., ) n
, định
ia . Định thức là định thức Vandermonde với đối số
1
1 + x k
thức này khác không vì tất cả các
kx là phân biệt. Hệ có nghiệm duy nhất và
( )
do đó tồn tại một hàm hữu tỷ duy nhất
nP x có dạng (3.3.2) thỏa (3.3.3) .
Khi giải hệ (3.3.3) , các hệ số
ia tìm được là các hàm tuyến tính của
=
k
) (
n 0,1,..., )
. Thế chúng vào (3.3.2) ta thấy rằng
nP cũng là một hàm
kF x (
tuyến tính của
:
)kF x (
53
=
+
(
)
( )
(
)
+ + ...
(
)
(3.3.4)
P x ( ) n
l x F x ( ) n n
l x F x ( ) 0 0
l x F x 1 1
( )
Ở đây
kl x là các đa thức bậc n theo biến
1 1 x+ . Chúng là các hàm tác
dụng của phép nội suy các điểm
kx và thỏa mãn các điều kiện sau:
)
l x ( i k
≠ =
khi khi
i i
k k
0 = 1
Ta có
−
−
)[
− 1 )]
(3.3.5)
l x ( ) k
1 +
x
1 + x
1 + x
( 1
1
( 1
1
j
j
1 + x k
m = Π = j o ≠ j k
m Π = j o ≠ j k
Do đó
n
ω n
=
( ) l x k
+ +
−
(1 (1
(
(
)
) x k n ) x
x
+ 1
( ) x + 1 / ω ) n
x k
x k
(3.3.6)
)
( ) x
x
x
+ 1
ω n
j
n = Π − ( = 0
j
( )
Ta tìm khai triển của
nP x theo các lũy thừa của
1 1 x+ . Ta xây dựng như
theo các lũy thừa của 1 x+ :
sau, khai triển đa thức
ω + 1( ) x n − x x k
n
)
k
l
=
+
x
(1
)
( c l
∑
=
ω + 1 n − x
0
l
x ( ) x k
và thế khai triển này vào (3.3.6) và (3.3.4) ta được:
54
n
n
n
=
=
(
)
( ) P x n
) ( ) F x l x k
k
( F x k
∑
∑
−
(
(
)
x
=
=
0
0
k
k
+ 1
ω ( ) x + 1 n / ω ) x n k
x k
) x k n ) x n
n
n
l
=
+
)
(1
)
x
( F x k
k ( ) c l
∑
∑
) x k n ) x
)
=
=
k
l
0
0
1 ( x k n
n
+ (1 + (1 + (1 + (1 n
=
)
(3.3.7)
( F x k
k ( ) c l
− n l
∑
∑
+
)
) (1
1 x
=
=
k
l
0
0
+ (1 / ω n
+ 1
/ ω + n 1 ) x k ( x k
n
=
n 0,1,..., )
Các thừa số
chỉ phụ thuộc vào các điểm
,
kx k (
( ) k c l
)
+ x ) (1 k / xω + ( n 1 k
chúng có thể tính sẵn, và được tìm bằng cách tra bảng.
=
−
F x ( )
. Ta sẽ
Bây giờ ta sẽ kiểm tra sai số của phép nội suy
r x ( ) n
P x ( ) n
đạt được biểu diễn cần thiết bằng cách lợi dụng mối liên hệ giữa bài toán này
=
z
và phép nội suy dựa vào các đa thức đại số. Nhắc lại rằng nếu ta thế
,
1 +
1
x
x
1
= − , vậy thì nữa trục 0
x≤ ≤ ∞ trở thành khoảng đơn vị 1
z≥ ≥ của 0
1 z
n
=
( ) P x n
trục z , khi đó đa thức
trở thành đa thức đại số bậc n của
m
=
)
a +∑ m (1 x
0
m
biến z :
n
k
=
(
− = 1)
(3.3.8)
( ) P x n
P n
( ) p z n
=∑ a z k
=
1 z
0
k
Hàm
( )F x biến đổi thành một hàm đã biết theo đối số z :
=
ψ
F x ( )
F
(
− = 1)
z ( )
1 z
Các
điểm
nội
suy
chuyển
thành
các
kx
1
≥
>
>
(1
z
> > ...
z
0)
z
= + (1
x − )
điểm
0
z 1
n
k
k
55
Và trên trục z ta thu được bài toán nội suy hàm
( )zψ bởi đa thức
np z ở ( )
(3.3.8) . Sai số của phép nội suy trong bài toán mới này trùng với sai số
nr x : ( )
ψ=
−
=
−
=
z ( )
z ( )
F x ( )
ρ n
p z ( ) n
P x ( ) n
r x ( ) n
( )zψ , giả sử trên [0,1] hàm
( )zψ có
Ta lợi dụng công thức Taylor cho
đạo hàm cấp
1n + liên tục:
z
(
( ) n
/ ψ
n ψ
=
+
−
−
+
−
(1)
(
1)
(1)
+ + ...
(
1)
(1)
( )(
ψ ψ ( ) z
z
z
z
n τ τ ) d
1 ! n
1 ! n
+ 1) n ∫ ψ τ 1
n
11 +
+
n
(
τ
= Π
+
−
( )(
( ) z
n ) z d
n
1) ∫ ψ τ τ
− ( 1) ! n
z
n
11 +
+
n
(
τ
= Π
+
−
−
( )(
τ (
( ) z
n ) z E
) z d
n
− ( 1) ! n
1) ∫ ψ τ τ 0
Đa thức
( )zψ trùng
nΠ nội suy chính xác, do đó sai số nội suy
n zρ của ( )
n
11 +
+
n
(
−
−
τ
( )(
τ (
nz E )
) z d
.
với sai số của phép nội suy của
− ( 1) ! n
1) ∫ ψ τ τ 0
Ta có
n
n
=
=
−
−
(
)
1).
(
1)
(
F
( ) P x n
( ) l x F x k k
l k
∑
∑
1 z
1 z
=
=
0
0
k
k
k
theo (3.3.5)
=
= Λ
(
1)
z
(
z
)[
− 1 )]
z
z ( )
j
j
l k
k
/
1 z
(
(
)
z
z
Ω ( ) z − Ω ). z k
k
n − = Π − = 0 j ≠ j k
n Π − ( z k = 0 j ≠ j k
n
z
z
z ( )
(
)
và
với
j
=
Ω = Π − j
0
k
nên
=
−
=
ψ
−
ρ ψ ( ) z
z ( )
z ( )
n
p z ( ) n
P x ( ) n n
ψ
=
z
z ( )
z ( )
ψ (
)
k
k
− Λ∑
=
0
k
Do đó
56
F ( ψ− = ( 1) z )k 1 z
+ 1
+ 1
n
n
+
+
n
n
n
(
(
n z E )
k
k
n ∑ − Λ = k 0
1 1) ψ τ τ ∫ 0
n
1 1) ψ τ τ ∫ 0 11 +
+
n
n
(
= − − τ − − τ z E z ( ) τ ( z d ) ( )( z ( ). ( )( ) τ ( ρ n z d ) k − ( 1) n ! − ( 1) n !
n z E )
k
k
k
n ∑ − Λ = k 0
( ) (
1) ψ τ τ ∫ 0
τ
=
t
,
1
Đặt
1 = − τ
1 +
t
1
Vì
, nên
τ= − d
dt
2
(1
2
= − + (1
)
t
(3.3.10)
1 + ) t d dt
ψτ = ( )
( )F t
d τ d Áp dụng (3.3.10)
1n + lần cho phương trình
, ta được quy tắc sau
để tính đạo hàm:
2
=
/ ψ τ ( )
ψτ ( )
= − + (1
t
)
F t ( )
d τ d
d dt
2
2
2
2
=
= −
+
+
/ / ψ τ ( )
/ ψ τ ( )
= − + (1
t
)
[
− + (1
t
)
F t
( )]
2 ( 1) (1
t
)
(1
t
)
F t ( )
d τ d
d dt
d dt
d dt
d dt
. . .
(
n
+ 1
2
2
2
= −
+
+
+
t
t
t
F t ( )
ψ τ+ 1) n ( )
( 1)
(1
)
(1
)
. . . (1
)
d dt
d dt
d dt
Ta thấy rằng sau khi tính các đạo hàm, ta được một phương trình có dạng cho
dưới đây mà ta sẽ không tính các hệ số
a 1,...,
a : n
+
−
(
n
+ 1
n
+ 1
n
+ 1
(
n
1)
n ( )
n
− 1
(
n
1)
= −
+
+
+
+
ψ τ+ 1) n ( )
( 1)
(1
t
[(1
t
)
t ( )
(1
t
)
F
t ( )
a 1
a 2
)
+
t ( )
(1
n t F )
+
F
2
//
+
+
+
+
+
. . .
(1
t F t ) ( )
(1
/ t F t )
( )]
a n
na
− 1
n
+ 1
n
+ 1
= −
+
( 1)
(1
t
)
(
F
)
(3.3.11)
L n
+ 1
Ta chứng minh đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp:
57
τ = − − − − z z E z τ d τ ( ) z ( )( ) τ ( ) (3.3.9) − ( 1) n !
Khi
0n = :
+ (0 1)
/
2
=
= −
+
+
ψ τ ψ τ ( ) ( )
= − + (1
t
)
F t ( )
1 ( 1) (1
t
)[(1
/ t F t )
( )]
d dt
n
1
k= + :
Giả sử đẳng thức đúng đến n k= , ta chứng minh nó cũng đúng với
+ +
+
k
1 1)
(
2
k
+ 1
k
+ 1
k
+ 1
(
k
1)
=
+
+
( ψ
t
t
t
F
τ ( )
+ 1) k ψ τ (
( ))
= − + (1
)
− {( 1)
(1
)
[(1
)
t ( )
−
(
k
− 1
(
k
1)
2
/ /
+
+
+
+
+
+
+
d dt +
t
F
(1
k t F )
(1
)
t ( )
. . .
(1
t F t ( ) )
(1
/ t F t )
( )]}
d τ d ) k t ( )
a 1
a 2
a k
− 1
a k
+
+
+
+
2
2
2
2
(
1)
2
+ 1
(
)
k
k
k
k
k
= −
+
+
+
+
+
t
t
F
t
F
( 1)
(1
)
{(1
)
t ( )
(1
)
t ( )
a 1
−
+
+
k
k
k
(
1)
3
2
+
+
+
+
+
+
+
t
F
t
t
/ F t
d dt k 2 )
(1
t ( )
. . .
(1
)
/ / F t ( )
(1
)
( )}
a k
a k
a 2
− 1
+
+
+
+
2
2
2
(
2)
2
+ 1
(
1)
k
k
k
k
k
= −
+
+
+
+
( 1)
(1
2 ) {[(1+t)
1)(1
)
t
F
t
F
+ 1
1)
(
)
( )] t 2
( ) t 2 k
(2 k + ( k
k
k
+
+
+
+
+
(1
)
(2
1)(1
)
F
t
( ) t
k
F
( )] t
t
[ a 1
a 1
+
+
k
k
3
2
+
+
+
+
+
(1
(
3)(1
( )]
k
/ / F t
[ a k
a k
− 1
) t + k
k
2
) t + 1
+
+
− 1 +
+
(1
)
2)(1
)
( )]
t
. . . / / / ( ) F t / / ( ) F t
t
/ F t
+[ a k
( a k k
+
+
+
+
+
k
2
k
2
k
2
(
k
2)
k
+ 1
(
k
1)
= −
+
+
+
+
( 1)
(1
t
)
[(1
t
)
F
t ( )
(2
k
+ + 1
t
)
F
t ( )
a 1
)(1 / /
2
+
+
+
+
+
+
+
+
. . .
(
(
k
3)
)(1
t F t ) ( )
2)(1
/ t F t )
( )]
a k
a k
a k ( k
− 1
Suy ra điều phải chứng minh.
(
nψ τ+
1) ( ) 0
Xét phương trình vi phân
= . Nghiệm tổng quát là đa thức
( )ψ τ
bậc n với hệ số bất kỳ, ta có thể lấy hệ đầy đủ các nghiệm độc lập của phương
1,
2 ττ ,
,...,
n τ .
trình này là
(
nψ τ+
1) ( ) 0
= là
Phương trình tương đương với
58
+
n
+ 1
(
n
1)
n ( )
n
− 1
(
n
− 1)
n t F )
+ 1
2
2
//
+ + + + ( F ) = + (1 t ) F t ( ) (1 t ( ) a (1 t ) F t ( ) L n a 1
/ t F t ) ( )
− 1
+ + + + + = . . . (1 t F t ( ) ) 0 (3.3.12) a n a n
1
Đây là phương trình Euler với các điểm kì dị là
t = − và t = ∞ . Do
−
n
1
τ
1,
2 ττ ,
,...,
= + (1
)t
ψτ = ( )
( )F t
biến đổi
thay vào các nghiệm
τ ta có hệ đầy
( )F t
(1
1n + nghiệm
độc lập tuyến tính của phương trình (3.3.12) là
đủ
− 2
+
+
. Các nghiệm này cho ta một phương pháp đơn giản để tính các
(1
t
)
,...,(1
− ) n
t
=
1, 2,. . ., ) n
hệ số
.
( ja j
1
Với
− 3
= −
= −
+
F t ( ) 1 ( 1) .(1
= + (1 + t
)
t − ) − 2 ,
, // F t ( )
/ F t ( )
2 ( 1) .2!(1
t
)
,. . .
−
(
n
− 1)
n
− 1
n
= −
−
F
t ( )
(
t
)
n ( )
( 1) n
+ 1)!(1 − + 1) ( n
= −
n +
F
t ( ) + 1)
(
2)
n
n !(1 + 1 n
− + ( n
( 1) = −
) t +
+
F
t ( )
( 1)
(
n
1)!(1
t
)
Thế vào phương trình (3.3.12) ta được
n
n
− 1
− 1
− 1
− 1
+
+
−
+
+
−
+
+ 1 .(
n
n .( 1) . !(1
n
t
)
− .( 1)
(
n
1)!(1
t
)
a 2
+ − 1
− ( 1) +
+
−
t ) +
a 1 =
. . .
1)!(1 1 .( 1) .1!(1
t
)
0
a n
1
1
Nhân hai vế của phương trình với
và đặt
làm thừa số chung ta có
(1
)t −+
( 1)n− −
+
−
+
+ −
n
(1
−+ 1 t ) [(
+ − 1)!
1)!
. . .
= .1!] 0
n a ( 1) . n
a n . ! 1
a n .( 2
+
−
+
+ −
Suy ra
(
n
+ − 1)!
1)!
. . .
= .1! 0
n a ( 1) . n
a n . ! 1
a n .( 2
2
Với nghiệm
F t ( )
= + (1
t − )
,
3
= −
+
/ F t ( )
1 ( 1) .
.(1
t − )
2! 1!
4
= −
+
// F t ( )
2 ( 1) .
.(1
t − )
3! 1!
. . .
59
1,(1 )t −+ 1
(
n
− 1)
n
− 1
− + ( n
1)
= −
+
F
t ( )
( 1)
.
.(1
t
)
n ! 1!
(
n
1)!
n ( )
(
n
2)
= −
+
F
t ( )
n ( 1) .
.(1
t − + )
+ 1!
+
n
(
2)!
n
n
(
1)
+ 1
− + n (
3)
= −
+
F
t
t ( )
( 1)
.
.(1
)
+ 1!
Thế vào phương trình (3.3.12) ta có
n
n
(
2)!
(
1)!
n
n
− 2
− 2
− 2
+
+
+
+
+
t
t
t
− ( 1)
+ 1 .
.(1
)
n − .( 1) .
.(1
)
− .( 1)
− 1 .
.(1
)
a 1
a 2
+ 1!
+ 1!
n ! 1!
− 2
+
+
+
=
t
. . .
1 − .( 1) .
.(1
)
0
a n
2! 1!
2
(1
1
và đặt
làm thừa số chung ta có
Nhân hai vế với
( 1)n− −
t −+ ) 1!
(1
+
+
+
−
+ −
[(
− 2)!
1)!
!
. . .
= .2!] 0
n
n ( 1) . a n
( a n 1
a n 2
−+ 2 ) t 1!
+
+
+
−
+ −
Suy ra
(
n
− 2)!
1)!
!
. . .
= .2! 0
n a ( 1) . n
a n ( 1
a n 2
Với nghiệm
F t ( )
= + (1
t − )
,n
− + ( n
1)
− + ( n
1)
/ F t ( )
1 ( 1) .
1 ( 1) .
− + n (
2)
= − + = − + n .(1 t ) (1 t ) ! n − 1)! ( n
// F t ( )
2 ( 1) .
…
−
(
n
− 1)
n
− 1
(2
n
− 1)
= − + .(1 t ) + − ( ( n n 1)! 1)!
n ( )
− 2
n
= − + F t ( ) ( 1) . .(1 t ) n (2 n ( − 2)! − 1)!
n ( 1) .
+
−
+
(
n
1)
n
+ 1
(2
n
1)
= − + F t ( ) .(1 t ) − n 1)! (2 − 1)! n (
Thế vào phương trình (3.3.12) :
60
= − + F t ( ) ( 1) . .(1 t ) (2 )! n − n 1)! (
−
−
−
n
+ 1
n
n
n
− 1
n
+
+
+
+
+
− ( 1)
.
.(1
t
)
n − ( 1) .
.(1
t
)
a
− .( 1)
.
.(1
t
)
a 1
2
(2 )! n − n 1)!
(
− n 1)! (2 − 1)! n (
(2 n n (
−
n
+
+
+
=
. . .
1 − .( 1) .
.(1
t
)
0
a n
− 2)! − 1)! n ! − 1)!
(
n
n
1
Nhân hai vế với
và đặt
làm thừa số chung ta có
( 1)n− −
−+ t ) (1 − n ( 1)!
n
n
−
−
+
−
+ −
n .[(2 )!
.(2
n
1)!
(2
n
− 2)! . . .
( 1)
= . !] 0
a n n
a 1
a 2
−+ ) (1 t − n ( 1)!
n
Suy ra
Ta có một hệ gồm
1n + phương trình sau:
+
n
n
n
n
+ 1
(
1)
n ( )
− 1
(
− 1)
/
+
+
+
+
+
+
+
+
=
t
F
a
t
F
a
(1
)
(1
n t F )
(1
)
. . .
(1
t F )
0,
n
a 1
n
2 + −
+
−
+
+
−
n
( 1)
(
1)!
!
1)!
. . .
= 1! 0,
a n
a n 1
a n ( 2
n
+
−
+
+
+ −
n
(
2)!
1)!
− ! . . .
( 1)
= 2! 0,
a n
a n ( 1
a n 2
.................................................................
... n
−
−
+
−
−
+ −
(2
1)!
(2
2)!
. . .
( 1)
= ! 0
(2 )! n
n
a
n
a n n
a 1
2
Ta có thể xem hệ các phương trình thuần nhất tuyến tính, các số
− − + − + − n (2 )! .(2 n 1)! (2 n − 2)! . . . ( 1) = . ! 0 a 1 a 2 a n n
một nghiệm khác 0 của hệ. Định thức của hệ phải triệt tiêu, do đó cho phép ta viết
(3.3.12) theo cách khác:
+
n
+ 1
(
n
1)
n ( )
n
− 1
(
n
− 1)
/
1, ,. . ., a a , 1 2 a là n
n t F )
n
+ + + + (1 t ) F (1 (1 t ) F . . . (1 t F ) n + − − ( n 1)! n ! ( n 1)! − . . . ( 1) 1!
+ = ( n 1)! − + ( n 1)! n ! − . . . ( 1) 2! 0
Nếu ta khai triển định thức theo các phần tử của hàng thứ nhất, ta được một
phương trình với các hệ số là hằng số. Do đó các hệ số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n − − − (2 n 1)! (2 n 2)! − . . . ( 1) n ! n (2 )!
các
tỉ
số
của
các
phần
phụ
đại
số
của
các
phần
tử
n ( )
n
− 1
(
n
− 1)
/
+
+
+
chia
cho
phần
phụ
đại
số
của
(1
n t F )
(1
t
)
F
. . . (1
t F )
+ 1
+
.
(1
nt )
F + ( 1) n
61
,. . ., a a , 1 2 a tương ứng bằng n
τ =
,
Bây giờ ta trở lại biến đổi tích phân (3.3.9) theo các biến cũ
1 + 1 t
(
n
+ 1
n
+ 1
=
= −
+
. Khi đó
.
z
ψ τ+ 1) n ( )
( 1)
(1
t
)
(
F
)
L n
+ 1
1 +
1
x
1
Đưa nhân tử
( !)n − vào trong tích phân ở (3.3.9) ta được:
n
n
n
(
+ 1
,x t ; đặt
n ) z E
k
k
k
∑
=
k
0
1 + n 1) ∫ ψ τ 0
= − − − − Λ τ − − ( ){ ( 1) τ ( τ ( ) ) τ ( )} ( ) z z ( )( z z E z τ d ρ n 1 ! n 1 ! n
Xét hàm số
nz E )
, ta xem z như biến độc lập và τ như một tham số.
= , hàm số trở thành
, hàm số này là một
τ− (
nz )
Với z τ< . Khi đó
E
zτ− (
) 1
1 ! n
n
+ 1
nghiệm của phương trình
0
n
y + = , tại z τ= nghiệm này thỏa các điều kiện: 1
d dz
/
(
n
=
=
=
= , hàm
y
τ ( )
y
τ ( )
. . .
τ− 1) ( )
y
= và 0
E
zτ− (
)
0
ny τ = . Với z τ> , khi đó ( ) ( ) 1
n
− − τ ( τ ( ) z 1 ! n
số
nz E )
n z E )
k
k
k
n ∑ − Λ = k 0
−
−
chính là sai số của phép nội suy của hàm
τ (
τ (
)
nz E )
z
bởi một đa thức bậc n
1 ! n
n
n
− − − − τ − − = . Và nhân τ ( τ ( ) 0 z τ ( τ ( z ) z ( )( z ) E τ ( z ) 1 ! n
là
.
k
k
k
∑
=
0
k
Các phần riêng rẽ theo các biến
,x t của nhân có dạng sau:
n
n
n
−
=
−
=
τ (
)
)
,
z
n
1 +
1 +
) +
( 1
1
(1
)
t
x
− ( t x n + ) (1 t
x
Λ τ − − z ( )( z ) E τ ( z )
(
− 1
=
Λ
=
( ) z
k
− −
− z −
z n −
(
(
)
) . . . ( z ) . . . (
(
)
z
z
− z − z
). . . ( z z 0 ) . . . ( z
z k z
)( z )( z
+ 1 k z
− z
) z
z
Ω ( ) z / − Ω ) z k
k
k
k
k
k
k
k
n
0
− 1
+ 1
62
− = τ ( ) [ ]= E( x - t), E z E + (1 ) − t x + )(1 t x
−
−
x
x
− 1 )]
(
).[
(
− 1 )]
= Π ≠ j k
Π ≠ j k
x +
+
+
x k +
(1
(1
)
)(1
)
j )(1 x
x
x
j
j
j
j x k
j
n
n
−
x
x
=
=
.
,
.
Π ≠ j k
−
−
x
+ (1 + (1
x ) k n x )
(
)
(
+ (1 + (1
) x k n ) x
j x
ω x ( ) + n 1 / ω x ). k n
x k
+ 1
x k
j
− − ).[ = Π ≠ j k Π ≠ j k 1 + x 1 + x 1 + x ( 1 1 ( 1 1 1 + x k
+ 1
j
2
n = Π − ( = 0
j
Thế các biểu thức trên vào (3.3.9) cho ta sai số của phép nội suy
nr x : ( )
11 +
n
+
(
n
n
= = − x ( ) x x ), τ d d ) ω n 1 + t dt + t ( 1 ) (1
n ) z E
k
k
k
n ∑ − Λ = 0 k
1) ∫ ψ τ τ 0
01 +
n
n
+ 1
+ 1
n
n
= = − − − − τ ( ){( τ ( ) ) τ ( )} ( ) z z ( )( z z E z τ d ( ) r x n ρ n − ( 1) ! n
+ 1
n
∫
∞
n
n
n
= + − ( 1) (1 ) ( ).{ t F ( E x − − ) t L n ) + (1 ) − ( 1) ! n − ( t x n + ) (1 t x
n
2
∑
=
k
0
+ 1
∞
n
=
−
−
−
(
).
{(
(
.(
(
)}
F
x
n ) t E x
− − ) t
t
+ 1
L n
x k
n ) t E x k
n
∑
∫
1 +
−
=
!(1
)
(
(
)
dt + 1
n
x
x
t
0
k
+ 1
ω n x k
( ) x + 1 / ω ) n
x k
0
(3.3.14)
Ta có
n
=
−
−
−
là sai số của phép
x
t
K x t ( , )
(
n t E x )
(
− − t )
.(
(
)
x k
n t E x ) k
=
−∑ x (
(
)
k
0
ω n x k
x ( ) + 1 / ω ) n
x k
+ 1
−
− với các giá trị của hàm này tại các
x
n t E x )
(
)
t
nội suy theo biến x của hàm (
điểm
kx .
− − . t ) } ( E x k ) t + + (1 + (1 ( ) ) x k n ) x x . ( ) (1 x − ( x k n + ) (1 t − dt + t (1 ) ω n − x k ( ) x + 1 / ω ) n x k
3.3.2. Công thức cầu phương nội suy tổng quát.
Xét biểu thức
∞
iux
ϕ
e
f x dx ( )
(3.3.15)
e u ( )
= ∫
0
Ta có
∞
∞
∞
ϕ
=
+
=
+
(cos
isin
( )
)
cos
sin
ux
ux f x dx
( ) ux f x dx
i
( ) ux f x dx
( ) e u
∫
∫
∫
0
0
0
63
∞
∞
và
tương
Nếu f là một hàm số có giá trị thực thì
cos
ux f x dx ( )
sin
ux f x dx ( )
∫
∫
0
0
ứng là phần thực và phần ảo của
e uϕ . ( )
Ta giả sử ở trên
, (
s > và 1)
( )F x là một hàm liên tục và đủ
trơn trên nữa trục 0
x≤ ≤ ∞ .
1
và
= + F x f x ( ) ( )(1 x − ) s
Nội suy hàm F với sự giúp đỡ của đa thức
(1
)x −+
nP x bậc n theo biến
viết
( )
nP x theo dạng (3.3.7) :
n
n
n
k
)
=
)
P x ( ) n
F x ( k
( c l
− n l
∑
∑
+
=
=
. ) (1
1 x
)
k
l
0
0
+ (1 / ω n
) x k x ( k
+ 1
−
−
s
+
ta được
f x ( )
= + (1
s x F x ) ( )
= + (1
x
)
( )]
Trong (3.3.15) ta thay hàm
x [P ( ) n
r x n
∞
∞
−
iux
iux
s
=
=
+
+
(1
)
[
( ) u
e
( ) f x dx
e
x
ϕ e
( ) P x n
( )] r x dx n
∫
∫
0
0
∞
n
k
)
n
n
−
iux
s
( c l
=
+
+
(1
)
[
)
.
e
x
( F x k
( )] r x dx n
− n l
∑
∑
∫
+
=
=
)
(1
1 x
l
0
k
0
(1 / ω n
+ 1
+ ) x k ( ) x k
0
n
k
)
n
n
iux
− + − n l s
( c l
+
=
(1
)
(3.3.16)
)
e
x
+ ( ) dx R u
n
( F x k
∑
∑
∞ ∫ .
=
=
k
l
0
0
(1 / ω n
+ ) x k ( ) x k
+ 1
0
∞
−
s
iux
( )
Với
.
∫
0
)
n
k
( c l
=
Các hệ số
chỉ phụ thuộc vào
A kl
kx và có thể tra bảng.
+ ) (1 x k / xω + ( ) n
k
1
∞
iux
− + − n l s
+
Cách tính tích phân
được trình bày ở mục 3.3.e.
e
(1
x
)
dx
∫
0
Ta có ước lượng :
∞
∞
∞
iux
iux
= + e x (1 ) R u ( ) n r x dx ( ) n
s
s
s
∫
∫
∫
0
0
0
Nếu thay
= ≤ ≤ e dx e . dx dx (3.3.17) R u ( ) n ( ) r x n + x ) (1 ( ) r x n + x ) (1 ( ) r x n + x ) (1
nr x bởi biểu thức ở dạng (3.3.14) vào
nR x ta có
64
( ) ( )
∞
iux
=
e
( ) R u n
( ) r x dx n
s
∫
)
(1
1 + x
0
∞
∞
iux
=
−
−
(
).
{(
(
)
e
F
x
n ) t E x
t
L n
+ 1
s
n
∫
∫
1 +
)
(1
!(1
)
1 + x
n
x
0
0
n
−
−
−
.(
(
)}
t
dx
x k
n ) t E x k
∑
−
=
(
(
)
dt + 1
x
t
k
0
ω n x k
( ) x + 1 / ω ) n
x k
+ 1
∞
∞
n
iux
=
−
(
(
dx e
){( F x
n ) t E x
− − ) t
L n
+ 1
+ n s
∫
∫
1 +
!(1
)
(
)
n
x
−∑ ( x
k
= 1
ω n x k
( ) x + 1 / ω ) n
x k
+ 1
0
0
n t E x ) k
Xét nhân trong tích phân kép
n
− − × ( ( t )} (3.3.19) x k dt + (1 t )
* K x t ( , )
n t E x )
n t E x ) k
∑
=
k
0
+ 1
= − − − {( x ( − − ) t ( ( t )} x k + + − n !(1 x (1 t ) 1 + n s ) ( x ( ) ω n x k x ( ) + 1 / ω ) n x k
. Biểu thức
Dấu của
K x t ( , )
K x t ( , )
đã gặp ở (3.3.9) .
K x t trùng với dấu của
*( , )
là nhân trong biểu diễn tích phân của sai số trong bài toán sau về phép nội suy
K x t ( , )
= K x t ( , ) + + 1 + n s ) n !(1 x (1 t )
đại số: lấy các điểm
và điểm nội suy x nằm trên [ ,
kx k (
= n 0,1,..., ) ]a b và giả sử hàm
( )g x được nội suy theo các giá trị của nó
nP x bậc n . Nếu
( ( ) )kg x và bởi đa thức
1n + liên tục trên [ ,
( )g x có một đạo hàm cấp ]a b , vậy thì sai số nội suy
được miêu tả theo đạo hàm cấp
1n + của g có dạng:
n
b
n
+ 1
n
+
n
n
(
1)
=
−
−
−
−
−
g
x
dt
x ( )
τ t ( ){(
n x E t ) (
)
t (
)
E t (
)}
ρ n
x k
x k
∫
=
− ( 1) n !
−∑ x (
(
)
k
0
ω n x k
x ( ) + 1 / ω ) n
x k
+ 1
a
65
− ρ = ( ) x g x ( ) P x ( ) n
b
n
+ 1
n
+
n
n
(
1)
+ 1
n t E x )
n t E x ) k
∑
∫
=
k
0
+ 1
a
b
+
n
(
1)
− − − − = t ( )( 1) {( x ( − − t ) g ( ( t dt )} x k − ( x ( ) − ( 1) n ! ω n x k x ( ) + 1 / ω ) n x k
∫
a
= (3.3.20) g t K x t dt ( ). ( , ) 1 n !
3.3.3. Phép nội suy với các điểm cách đều
Ta lấy các điểm cách đều
cho các điểm nội suy. Trong
kx
)k
= = > kh k ( 0,1, 2, ...; h 0)
trường hợp này
và các hệ số
được xác định bởi:
( lc
n
n
k
)
l
= − x x h ( ). . .( − x nh ) ω + x 1( )
( c l
∑
=
l
0
= − − − + = + − x x h ( x ). . .[ ( k h 1) ].[ x ( k 1) ] . . .( h − x nh ) (1 x ) ω + n 1 − x ( ) x x k
= ( k n 0,1,..., )
+ 1
+ 1
/ ω n
+ 1
+ 1 −
( ) ω n x k = = ( ) x k lim → x x k lim → x x k − − x ( ) x
ω n x − x ( ) x k + − − = ω n x k x ). . .[ ( k h 1) ].[ x ( k 1) ] . . .( h − x nh ) − x x h lim ( → x x k
= − − − − + − h k h nh ( h 1) ].[ ( 1) ] . . .( ) x k
n
k
)
)
k
n
+
)
( c l
=
=
(3.3.22)
A kl
) −
( c l − n k − ( 1)
kh .(1 n h k n k !(
)!
.(1 / ω n
+ x k ( x ) k
+ 1
klA được tra bằng bảng.
Quy tắc tính trong (3.3.16) trường hợp nội suy với các điểm cách đều có dạng:
∞
n
n
− − + n s l
iux
iux
=
=
+
)
(1
)
(3.3.23)
( ) u
e
dx
( F kh
x
+ ( ) dx R u
ϕ e
n
s
∑
∑
∫
=
=
( ) F x + ) (1 x
k
l
0
0
0
∞ ∫ A e kl 0
Sự hội tụ của quy tắc tính xảy ra khi
= − k − − x k − h h − n k h )( 2 ). . .( 1)( ) x x ( k k kh k ( n h 1) . . . − n k = k n k h x ). . .[ k h ( − )! !( − .( 1)
nR u ( )
n→ 0,( → ∞ . )
3.3.4. Quy tắc tính kết hợp với nghiệm của đa thức trực giao.
Sự hội tụ của phương pháp cầu phương nội suy (3.3.23) :
66
∞
n
n
− − + n s l
iux
iux
=
=
+
với các điểm
u ( )
e
dx
F kh (
)
(1
x
)
+ dx R u ( )
ϕ e
n
s
∑
∑
∫
=
=
( ) F x + x ) (1
k
l
0
0
0
∞ ∫ A e kl 0
cách đều cho một lớp rất hẹp các hàm. Do đó cần xây dựng các quy tắc tính khác
thuận tiện hơn, có quan hệ với miền hội tụ và sự tính toán đơn giản.
Từ lý thuyết của xấp xỉ phép cầu phương ta biết rằng khi tính một tích phân với
một hàm trọng lượng, theo công thức tính sau:
b
n
P z
z dz
z
ϕ ( ) ( )
)
(3.3.27)
ϕ A ( k
k
≈ ∑
∫
k
= 1
a
Phép chứng minh cho rằng nếu hàm trọng lượng
một sự chọn lựa của
( )p z không đổi dấu, vậy thì do
kz và
kA thì (3.3.27) có thể đúng khi
bậc 2
1n − ; ở đây
kz và
kA được xác định duy nhất:
kz phải là nghiệm của một đa
thức
( )zϕ là một đa thức tùy ý
( )p z ,
nP z bậc n lấy từ hệ các đa thức trực giao tương ứng với trọng lượng
và
b
=
( ) p z
dz
A k
∫
−
)
(
z
( ) P z n / ( ) z P z n k
k
a
Điều này có nghĩa là quy tắc cầu phương (3.3.27) phải là phép nội suy.
Công thức (3.3.27) hội tụ trên một tập hợp các hàm rất rộng: nếu [ , ]a b là hữu
hạn, và hàm trọng lượng
( )p z không đổi dấu trên [ , ]a b và khác 0 , vậy thì sự hội tụ
của
b
n
→
→ ∞
z
)
p z
ϕ ( ) ( )
z dz
(
n
)
ϕ A ( k
k
∑
∫
k
= 1
a
Điều này đủ để
( )
tích phân
theo dạng
( )zϕ bị chặn và tập hợp các điểm gián đoạn có độ đo 0 . Bây giờ lấy
e uϕ ( )
∞
=
>
s
u ( )
iux e F x ( )
(
1)
(3.3.28)
ϕ e
s
∫
dx + x
)
(1
0
67
(3.3.15)
Ta xét hàm
( )F x liên tục và đủ trơn trên nữa trục đóng [0,
]∞ . Thừa số (1
) sx −+
ở dưới với hàm trọng lượng.
có một điểm kì dị đơn là x = ∞ . Ta nối (1
) sx −+
xác định sự dao động của biểu thức dưới dấu tích phân;
là
= cos
iuxe
iuxe
một lượng phức và phần thực và phần ảo của nó là đổi dấu. Tất cả điều này làm cho
khó để quy
về trọng lượng theo cách thông thường mà không biến đổi sơ bộ.
iuxe
Biến đổi (3.3.28) về một tích phân với một hàm trọng lượng cổ điển, thực hiện
=
=
hoặc
phép thế
x
t
. Nửa trục 0
x≤ ≤ ∞ sẽ trở thành [-1,1] và tích phân
− +
− +
t t
1 1
x x
1 1
(3.3.28) có dạng
∞
=
>
s
u ( )
iux e F x ( )
(
1)
ϕ e
s
∫
dx + x
)
(1
0
∞
1
s
iux
iux
−
(1
)
s
− 1 + 1
− 1 + 1
t t
t t
=
+
=
e
F
d
e
F
dt
)(1
)
)
)
2
t s
∫
∫
− +
− +
− +
− +
t t
t t
t t
t t
− 2 + t
1 ( 1
1 1
1 ( 1
1 ( 1
+ 2
)
(1
0
− 1
1
iux
−
2
s
s
− 1 + 1
t t
=
+
e
F
t
dt
− 1 2
)(1
)
(3.3.29)
∫
− +
t t
1 ( 1
− 1
−
−
2
2
+
có thể xem như hàm trọng lượng
, đây là một trường hợp
t
p t ( )
= + (1
)s
(1
)st
−
+
với
= − . Ta lấy phần còn
α β= 0,
2s
đặc biệt của trọng lượng Jacobi (1
α ) (1
t
β )
t
iu
− 1 + 1
t t
+ ux isin ux
lại
cho hàm được lấy tích phân . Khi đó tích phân (3.3.29) có
thể được tính bởi quy tắc cho phép lấy tích phân với trọng lượng Jacobi:
1
n
−
s
s
s
2
= ψ t ( ) e ) F − + 1 ( 1 t t
− 1 2
k
k
= 1
∫ ψ − 1
−
s
2) ( ) t
bậc n và
(0, nJ
kA là các hệ số cầu
Ở đây kt là nghiệm của đa thức Jacobi
phương tương ứng với các nghiệm này. Giá trị của kt và
kA có thể tra bảng.
68
= + u ( ) t ( )(1 t ) dt ) (3.3.30) ϕ e ψ A t ( k ≈ ∑ − 1 2
iu
Vì ta giả sử rằng
liên tục trên nữa trục 0
x≤ ≤ ∞ ,
e
− 1 t + ≤ và 1 t 1
iu
iu
− 1 + 1
t t
= F x ( ) F ) − + 1 ( 1 t t
− < ≤ , nên hàm
bị chặn và liên tục với
− 1 t + liên tục với 1 1 t
1t
e
1t
1
− < ≤ . Vậy khi n tăng vô hạn , với u bất kỳ, ta có sự hội tụ của phương pháp
tính (3.3.30) :
1
n
−
s
s
s
2
= ψ t ( ) e ) F − + 1 ( 1 t t
− 1 2
k
∑
− 1 lim 2 →∞ n
k
= 1
∫ ψ − 1
Phương pháp tính nói trên chỉ là chuyển tích phân (3.3.29) về tích phân có độ
chính xác cao nhất với trọng lượng Jacobi. Ta giả sử
là đủ trơn, khi
F
)
− +
1 ( 1
t t
iu
− 1 t + tăng vô hạn và điểm 1 t
t = − là một điểm gián đoạn của
1
t → − , dao động của
1
e
iu
− 1 t + . Vì lý do này, gần 1 t
t = − hàm 1
e
( )tψ sẽ không được xấp xỉ chính xác bởi các đa
thức đại số. Các điểm
kt trong (3.3.30) được xem như là nghiệm của đa thức
−
s
.
2) ( ) t
(0, nJ
iu
− 1 t + vào trọng lượng và đặt 1 t
Ta đưa thừa số
e
iu
−
s
2
t t
− 1 + 1
= + = ) t ( )(1 t ) dt u ( ) ψ ( t A k ϕ e
* p t ( )
* ψ ,
Bây giờ ta nội suy
*( )tψ với các giá trị của
*( )tψ tại các điểm nội suy kt :
n
* ψ
= + = e (1 t ) t ( ) F ) − + 1 ( 1 t t
* ψ
* k
k
* r t ( ) n
∑
k
= 1
*
=
,
l
t ( )
* k
t (
t (
)
Ω t ( ) */ − Ω ) t k
k
−
*
2)
s
Ω
−
=
)
( ) t
= − ( t
). . .( t
t
J
( ) t
t 1
n
(0, n
1 q n
−
s
.
ở đây
2) ( ) t
(0, nJ
nq là hệ số của nt trong đa thức
69
= + (3.3.31) t ( ) l t ( ) t ( )
Thay các giá trị của
*( )tψ và
*( ) p t vào (3.3.29) ta được:
1
1
iu
−
s
s
s
2
t t
− 1 + 1
* ψ
− 1 2
− 1 2
* ( ) p t
∫
∫
− 1
− 1
1
n
s
= + = (1 ) ) ( ) u t F dt ( ) t dt e ϕ e − + t t 1 ( 1
* ψ
* p t
− 1 2
* k
k
* r t dt ( )] n
∑
∫
= 1
k
− 1
1
1
n
*
= + l ( )[ t ( ) t ( )
* p t l ( )
− 1 s 2 [
* k
* p t r t dt n
k
∑
∫
∫
* ψ = 1
k
− 1
n
+ = t dt ( ) ( ). ( ) ] t ( ). − 1
* * ψ A k
k
* R n
∑
k
= 1
1
1
s
s
*
+ = t ( ) (3.3.32)
Với
− 1 2
* p t
− 1 2
* A k
* l ( ). ( ) k
* R n
* p t r t dt n
∫
∫
− 1
− 1
*
Sau khi bỏ
nR , biểu thức (3.3.32) cho ta một quy tắc tính xấp xỉ cho
e xϕ . ( )
Sau đây là ví dụ khác của việc chọn các điểm kt .Trong tích phân (3.3.29) ta lấy
iu
−
s
2
t t
− 1 + 1
=
* ψ
= = t dt , ( ). ( )
cho hàm trọng lượng và
cho hàm được lấy
)
( ) t
F
* p t ( )
− +
1 ( 1
t t
tích phân.
Lấy một đa thức Jacobi tùy ý
) ( ) x
có bậc n với các số mũ
α β > − . Ta lấy 1
,
α β ( , nJ
các nghiệm của
cho các điểm nội suy của hàm
) ( ) x
*( )tψ và ta kí hiệu các
α β ( , nJ
= + e (1 t )
nghiệm này bởi
.
kt
Công thức nội suy sẽ có cùng dạng (3.3.31) như ở trên nhưng với ý nghĩa khác của kt
n
* ψ
= ( k n 1, 2,. . ., )
* ψ
* L t ( ) k
k
* r t ( ) n
∑
= 1
k
*
=
* L t ( ) k
t (
t (
)
Ω ( ) t */ − Ω ) t k
k
*
Ω
=
)
( ) t
t
J
( ) t
k
α β ( ) , n
k
n = Π − ( t − 1
q
1 α β ( , ) n
70
= + t ( ) t ( )
/
=
− 1 )]
(3.3.33)
J
( ).[ t J
( t
* ( ) L t k
α β ( ) , n
α β ( ) , n
k
1 −
t
t
k
,
)
(
.
) ( ) x
nq α β là hệ số của nt trong đa thức
α β ( , nJ
=
,
Để thu được các công thức tính toán cần thiết, ta trở lại biến cũ và đặt
x
− +
t t
1 1
k
=
ứng với
.
x k
− +
1 1
t t
k
Ta có:
t t= thì k
j
j
j
*
j
n = Π − t ( = 1
j
n = Π = 1 j
j x
j )
j
j
n
n
− + 1 x (1 x − − x ) x + − x xx ) Ω − t ( ) t ) ) − + + xx + − − (1 + 1 n = Π ( 1 = 1 j x x 1 x )(1 x (1
n
n
n = Π = j 1
n Π ( = j 1
j )(1
j x
j
j
Với
x ( )
x
x
)
ω n
j
n = Π − ( = 1
j
−
+
−
−
+
−
x
x
x
1
(1
)
)
j
j
x k
x k
x x k
j
/*
Ω
−
t
t (
)
)
)
k
k
j
= Π − t ( ≠ j k
= Π ≠ j k
= Π ≠ j k
− +
+
x x k +
− − (1 +
x
x
1 ( 1
1
(1
)(1
j )
x k x k
j
j x k
j
− 1
− 1
n
n
n
−
x
(
)
x k
j
−
x
)
=
= −
.
.
−
2
n
n
= Π ≠ j k
2( +
x k +
x
j )(1
)
(1
− 1 − 2 .( 1) − 2 n + )
(1
− .( 1)
)
(1
x ) ( k − ( 1)
x k
j
x k
2 + x k
/ ω n ω n
x
)
j
Π ≠ j k n Π − − ( 1 = 1 j
+
(1
)
+ − x
x k
xx k
−
=
= −
.
t
− = t k
− +
− +
x k +
1 1
1 1
− − x (1
x k )
)
(1
x x
− 2( x + )(1 x
x k x k
− − (1 ) xx k + + )(1 x x k
) x k
*
/
( ) t
=
=
− 1 )]
J
( ).[ t J
( t
* ( ) L t k
α β ( ) , n
α β ( ) , n
k
1 −
t
t
t
)
( t
k
Ω 1 . / − Ω * t k
k
−
n
2
− + (1
(1
)
= −
.
.
x k )
n 2 . + x
+ )(1 x − 2( x
ω ( ) x n n − ω ( 1) ) . n
) x k − n 1 / ω 2 . n
− ω ( 1) . n ) ( x k
+ x k
n
− 1
=
=
.
)
(3.3.34)
( ) l x k
−
+ 1 ( + 1
(
(
)
x k x
x
(1 ω ( ) x n / ω ). x n k
x k
* ψ
=
=
= −
)
),
)
( t
( ) d x
d
dt
k
( F x k
2
− +
1 ( 1
)
(1
t t
2 + t
71
− − ) x = = ) . 2( + x + 2 + 2 + x (1 x ) (1 x ) x x − − 1 (1 x ) ω x ( ) n − ω ( 1) n
=
=
* ψ
Nếu thay thế hàm
và thay biểu diễn nội suy của
F
t ( )
)
F x ( )
*( )tψ vào
− +
t t
1 ( 1
e uϕ : ( )
1
iu
−
s
s
2
t t
− 1 + 1
+
− 1 = ( ) 2 u
e
F
)(1
t
)
dt
ϕ e
∫
− +
1 ( 1
t t
− 1
1
iu
−
s
s
2
− 1 + 1
t t
=
+
− 1 2
* ψ .
t ( ).(1
t
)
dt
e
∫
− 1
1
n
iu
−
s
s
2
t t
− 1 + 1
(3.3.29) ta được phương trình sau cho
* ψ
− 1 2
* L t ( ) k
k
* r t n
∑
∫
= 1
k
− 1
1
n
iu
−
2
s
s
− 1 + 1
t t
= + + e [ t ( ) ( )](1 t ) dt
− 1 2
* L t F x ( ) k k
* r t n
∑
∫
= 1
k
− 1
1
n
iu
−
s
s
2
− 1 + 1
t t
= + + e [ ( ) ( )](1 t ) dt
− 1 2
* L t k
* n
∑
∫
= 1
k
− 1
Với
1
iu
−
s
s
2
t t
− 1 + 1
= + + e ) ( )(1 t ) dt R u ( ) (3.3.35) F x ( k
− 1 2
* R u ( ) n
* r t n
∫
− 1
1n − theo biến t . Ta khai triển
* ( ) kL t là đa thức bậc
* ( ) kL t theo lũy thừa của
1t + :
n
− 1
k
)
l
= + ( )(1 t ) dt e
* L t ( ) k
( a l
∑
=
0
l
Thế vào (3.3.35) ta được:
1
− 1
n
n
iu
−
)
2
s
k
s
− 1 + 1
t t
= + t ( 1)
− 1 2
l 1) )](1
( a l
* n
∑
∑
∫
=
0
= 1
l
k
− 1
1
− 1
n
n
iu
)
2
k
s
+ − s l
− 1 + 1
t t
= + + + u ( ) ) t ( t ) dt R u ( ) e [ ϕ e F x ( k
− 1 2
( a l
* n
∑
∑
∫
=
0
= 1
l
k
− 1
=
=
:
x
,
t
Từ (3.3.35) ta trở lại biến
− +
− +
1 1
t t
1 1
x x
72
+ + = ) (1 t ) dt R u ( ) e (3.3.36) F x ( k
1
n
iu
−
2
s
s
t t
− 1 + 1
− 1 2
* L t k
* n
∑
∫
= 1
k
− 1
1
n
−
s
s
2
= + + u ( ) ) e ( )(1 t ) dt R u ( ) ϕ e F x ( k
− 1 2
iux e l x k
* ( ) R u n
∑
∫
= 1
k
− 1
0
−
2
s
n
s
= + + ) ( )(1 ) ) d ( F x k − + − + 1 1 1 ( 1 x x x x
− 1 )2
iux e l x k
* n
−
2
2
s
∑
∫
= 1
k
∞
∞
n
=
+
(3.3.37)
)
F x ( k
iux e l x ( ) k
R u ( ) n
s
∑
∫
dx + x
)
(1
k
= 1
0
=
.
ở đây
R u ( ) n
* R u ( ) n
:
Ta khai triển
= ( ). . + ( ) dx R u ( F x k 2 + (1 ) ) (1 x − 2 + x
kl x theo lũy thừa của
− 1
n
−
− 1
)
n
k
l
=
=
+
.
)
(1
)
x
( ) l x k
( b l
∑
−
=
+ 1 ( + 1
(
(
)
x k x
x
0
l
ω ( ) x n / ω ). x n k
x k
Thế vào (3.3.37) ta có :
∞
n
n
− 1
−
iux
k
)
l
( ) 1 1 x+
( b l
s
∑
∑∫ e [
=
= 1
0
k
l
0
∞
− 1
n
n
)
iux
k
− − s l
= + + x u ( ) ) (1 ) ] ϕ e F x ( k R u ( ) n dx + x ) (1
n
∑
∑ ∫ ( b l
=
= 1
0
k
l
0
∞
iux
+
trong phần 3.3.5
Ta sẽ đánh giá tích phân
e
(1
− − ) s l
x
dx
∫
0
∞
iux
+
(1
− − ) m
e
dxα
x
= + e x (3.3.38) ) (1 ) + dx R u ( ) F x ( k
3.3.5. Cách tính tích phân
+ =
m aJ
∫
0
< .
1α≤
Ở đây m là số nguyên không âm và 0
Bằng cách tính tích phân từng phần:
∞
iux
+
e
(1
− − ) m
dxα
x
+ =
m aJ
∫
0
Đặt
73
iux
iux
=
=
,
u
e
du
. iu e
α
α
1
− − m
− + − m
=
+
= + (1
)
.(1
)
dv
x
, dx v
x
α
− 1 − + 1
m
→∞
x
∞
∞
iux
α
α
− − m
m
iux
iux
− + 1
=
+
= −
+
+
J
e
x
dx
e
x
(1
)
(1
)
+ m a
α
m
− + 1
∫
∫
α
+
m
x
m
e α )(1
(
− + 1
)
iu − + 1
0
0
=
0
x
∞
α
iux
− + 1
m
=
+
+
e
x
(1
)
∫
α
α
m
m
1 − + 1
iu − + 1
0
=
J
J
(3.3.39)
+ m a
m
− + 1
a
α
1 − + 1
m
+ mα
iu − + 1
=
J
J
Áp dụng (3.3.39) ta có:
m
− + 1
a
m
− + 2
a
α
m
+ mα
1 − + 2
iu − + 2
cuối cùng ta chỉ
Quá trình trên cứ lặp lại, tính được các tích phân
m
− + 2
a
m
− + 3
a
J , J , . . .
còn phải tính
aJ
∞
iux
α< (0 ≤ . 1)
∫
α )
0
=
Đổi biến
. Khi đó:
t
= + 1
x dt ,
dx
∞
∞
∞
−
iux
iu t
− ( 1)
iu
iut
=
=
=
e
e
e
e
J α
∫
∫
∫
dx + x
dt α t
dt α t
α )
(1
0
1
1
Khi
1α= , ta được phương trình
∞
∞
−
−
iu
iut
iu
= e J α dx + x (1
1
∫
∫
1
1
∞
∞
−
= = + J e e e ut (cos ut isin ) dt t dt t
iu
iu
− [ ( ) e Ci u
∫
∫
1
1
( )Ci u và
Si u được tra bảng.
( )
< ta có
Khi 0
1α<
∞
∞
1
iut
iut
iut
=
−
e
e
e
∫
∫
∫
dt α t
dt α t
dt α t
0
0
1
∞
i
(1
α − )
iut
π 2
ut ut = + = + [ ] (3.3.40) e dt i dt iS ( )] i u cos t sin t
α − 1 Γ − u (1
∫
0
74
= > e e u α ) , 0 dt α t
1
1
1
k
k
k
∞
∞
∞
− α
iut
k
=
=
=
e
dt
t
∑
∑
∑
∫
∫
∫
α
=
=
=
dt α t
iut ( ) k !
dt α t
iu ( k
) !
iu ( k
) !
1 + − 1
k
0
0
0
k
k
k
0
0
0
Vậy
∞
k
∞
−
i
u
(1
α − )
]
−
iu
iux
π [ 2
=
=
+
e
α − 1 Γ − (1 u
α )
e
e
(3.3.42)
J α
∑
∫
=
dx + x
α )
(1
iu ) ( + − 1 k k !(
α )
k
0
0
75
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, tôi đã trình bày được việc tính tích phân Mêllin quy
về tính tích phân Fourier. Khảo sát các phép nội suy để tích các tích phân
Fourier, xét các sai số tương ứng. Phép nội suy với bậc càng cao thì sai số
càng nhỏ, và độ chính xác của quy tắc tính tích phân Fourier càng tăng nhưng
sự tính toán càng phức tạp. Do đó đối với các phép nội suy bậc cao tôi chưa
thể trình bày rõ việc tính toán mà chỉ đưa ra kết quả, về sau tôi tiếp tục nghiên
cứu làm rõ thêm. Trong luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong quý
Thầy – Cô và các bạn góp ý giúp tôi hoàn thiện luận văn. Tôi xin chân thành
cảm ơn!
76
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân,
Nguyễn Văn Nhân, Biến Đổi Tích Phân, NXB Giáo Dục (2001).
[2] Krylov V.I., Skoblya N.S, A handbook of Methods of Approximate
Fourier Transfomation and Inversion of The Laplace Transformation, Mir
publishers, Moscow (1985).
[3] Krylov V.I., Skoblya N.S, Handbook of Numerical Inversion of Laplace
Transforms, IPST Press, Jerusalem (1977).
[4] Sveshnikov A.G., Tikhonov N.A, The Theory of Functions of a Complex
Variable, Nauka, Moscow (1978).
77
