Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là giới thiệu lại một số kết quả nghiên cứu của các tác giả J. Górnickibvà H. Garai, L. K. Dey, T. Senapati về định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Kannan. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Kannan trong không gian metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN VĂN CHIỂU ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU KANNAN TRONG KHÔNG GIAN METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN VĂN CHIỂU ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU KANNAN TRONG KHÔNG GIAN METRIC Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2020
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020 Người viết luận văn Phan Văn Chiểu Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa Toán của người hướng dẫn khoa học TS. Bùi Thế Hùng
Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020 Tác giả Phan Văn Chiểu ii
Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Một số ký hiệu và viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Định lý điểm bất động Kannan . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Định lý điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Định lý điểm bất động Kannan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Định lý điểm bất động đối với hằng số co là ánh xạ điều khiển 15 Chương 2. Một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ kiểu Kannan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1. Một số khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Định lý điểm bất động của ánh xạ co kiểu Kannan . . . . . . . . . . . 23 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 iii
Một số ký hiệu và viết tắt N tập các số tự nhiên N∗ tập các số tự nhiên khác không R tập các số thực R+ tập số thực không âm {xn } dãy số lim sup giới hạn trên ∅ tập rỗng A∪B hợp của hai tập hợp A và B A×B tích Descartes của hai tập hợp A và B (X, d) không gian metric O(x; ∞) quỹ đạo của ánh xạ T tại điểm x 2 kết thúc chứng minh iv
Mở đầu Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Lý thuyết điểm bất động là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến tính. Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực, ... Hơn nữa, nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế, ... Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có thể nói bắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó. Nguyên lý ánh xạ co Banach [1] là trung tâm của lý thuyết điểm bất động trên không gian metric. Sự ra đời của nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó đã mở ra sự phát triển mới của một lý thuyết điểm bất động metric. Như ta đã biết mọi ánh xạ co Banach đều là ánh xạ liên tục. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Liệu có tồn tại ánh xạ co không liên tục nhưng vẫn có điểm bất động hay không? Năm 1968, Kannan [7] đã chứng minh một lớp ánh xạ co không liên tục luôn có điểm bất động duy nhất: Định lý 1. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là 1 ánh xạ thỏa mãn tồn tại K < 2 sao cho d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X. 1
Khi đó T có điểm bất động duy nhất. Năm 2017, J. Górnicki [4] đã chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ liên tục và co kiểu Kannan trên không gian metric compact. Năm 2018, H. Garai, L. K. Dey, T. Senapati [3] đã thiết lập một số định lý điểm bất động cho ánh xạ liên tục theo quỹ đạo và co kiểu Kannan trên không gian metric compact bị chặn và không gian metric compact theo quỹ đạo. Các kết quả của H. Garai, L. K. Dey, T. Senapati [3] hoàn toàn khác biệt kết quả của J. Górnicki [4]. Mục đích của luận văn là giới thiệu lại một số kết quả nghiên cứu của các tác giả J. Górnicki [4] và H. Garai, L. K. Dey, T. Senapati [3] về định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Kannan. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1 chúng tôi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach và một số mở rộng dạng đơn giản, định lý điểm bất động của ánh xạ Kannan và một số mở rộng. Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co với hằng số là hàm điều khiển. Chương 2 dành cho việc trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Kannan trong không gian metric compact, không gian metric compact theo quỹ đạo, không gian metric compact bị chặn và không gian metric đầy đủ với điều kiện kiểu Meir- Keeler. Một đặc trưng của ánh xạ co kiểu Kannan cũng được trình bày. 2
Chương 1 Định lý điểm bất động Kannan Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định lý điểm bất động của ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Kannan, định lý điểm bất động đối với ánh xạ tiệm cận chính quy và định lý điểm bất động đối với hằng số co là ánh xạ điều khiển. Các kết quả chính của chương này được chúng tôi trích từ các tài liệu [?], [4]-[6]. 1.1. Định lý điểm bất động Banach Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là tập hợp khác rỗng. Hàm d : X × X → R được gọi là metric trên X nếu thỏa mãn (i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y. (ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X. (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X. Khi đó cặp (X, d) gọi là không gian metric. Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, d) là không gian metric, {xn } là một dãy các phần tử của X , ta nói {xn } hội tụ đến x ∈ X nếu lim d(xn , x) = 0. n→∞ Ta kí hiệu lim xn = x hoặc xn → x khi n → ∞. n→∞ 3
Định lý 1.1.3. Giả sử (X, d) là không gian metric. Khi đó (i) Giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất. (ii) Nếu lim xn = a; lim yn = b thì lim d(xn , yn ) = d(a, b). n→∞ n→∞ n→∞ Chứng minh. (i) Trong X giả sử lim xn = a; lim yn = b . Ta có n→∞ n→∞ d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , b) với mọi n. Cho n → ∞ ta thu được d(a, b) = 0. Điều này kéo theo a = b. (ii) Với mọi n ta đều có d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , b). Suy ra d(a, b) − d(xn , yn ) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b). Tương tự ta cũng có d(xn , yn ) − d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b). Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được |d(xn , yn ) − d(a, b)| ≤ d(a, xn ) + d(yn , b). Theo giả thiết, lim d(xn , a) = lim d(yn , b) = 0. Từ đó suy ra n→∞ n→∞ lim d(xn , yn ) = d(a, b). n→∞ Định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử (X, d) là không gian metric. Dãy {xn } các phần tử của X được gọi là dãy Cauchy (cơ bản ) nếu lim d(xm , xn ) = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ trong nó. Định nghĩa 1.1.6. Không gian metric (X, d) được gọi là compact nếu mọi dãy trong X đều chứa một dãy con hội tụ trong nó. 4
¯ ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ Định nghĩa 1.1.7. Điểm x T : X → X nếu T x¯ = x¯. Định lý dưới đây chính là nguyên lý điểm bất động của ánh xạ co Banach (1922). Định lý 1.1.8. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X, trong đó k ∈ [0, 1) là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ¯ ∈ X. Hơn nữa, với mỗi x ∈ X, lim T n x = x ¯. n→∞ Chứng minh. Lấy x0 ∈ X cố định. Ta xây dựng dãy {xn }n≥1 bởi công thức xn = T xn−1 với mọi n ≥ 1. Ta có d(x1 , x2 ) = d(T x0 , T x1 ) ≤ kd(x0 , x1 ). d(x2 , x3 ) = d(T x1 , T x2 ) ≤ kd(x1 , x2 ) ≤ k 2 d(x0 , x1 ). Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được d(xn , xn+1 ) ≤ k n d(x0 , x1 ) với mọi n ≥ 1. Với m > n, ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm ) ≤ k n d(x0 , x1 ) + k n+1 d(x0 , x1 ) + ... + k m−1 d(x0 , x1 ) = (k n + k n+1 + ... + k m−1 )d(x0 , x1 ) kn ≤ d(x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞. 1−k Từ đó suy ra lim d(xn , xm ) = 0. Vậy dãy {xn } là dãy Cauchy trong X . n,m→∞ ¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Vì T Vì X đầy đủ nên tồn tại một phần tử x n→∞ liên tục nên x¯ = lim xn+1 = lim T xn = T ( lim xn ) = T x¯. n→∞ n→∞ n→∞ 5
Vậy x ¯ là điểm bất động của ánh xạ T . Để kết thúc ta sẽ chứng minh x¯ là duy nhất. Thật vậy, giả sử y¯ là một điểm bất động của T . Khi đó ta có x, y¯) = d(T x¯, T y¯) ≤ kd(¯ d(¯ x, y¯). Suy ra d(¯ x, y¯) = 0 hay x¯ = y¯. Định lý 1.1.9. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau d(T x, T y) ≤ k max{d(T x, x); d(T y, y)} với mọi x, y ∈ X, trong đó k ∈ [0, 1) là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ¯ ∈ X. Hơn nữa, với mỗi x ∈ X , ta có lim T n x = x ¯. n→∞ Chứng minh. Với mỗi x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức xn = T n x0 với mọi n ≥ 1. Nếu tồn tại n ∈ N sao cho xn+1 = xn thì xn chính là điểm bất động của ánh xạ T. Giả sử xn+1 6= xn với mọi n ∈ N. Khi đó ta có d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) ≤ k max{d(T xn , xn ); d(T xn−1 , xn−1 )} = k max{d(xn+1 , xn ); d(xn , xn−1 )} = kd(xn , xn−1 ). Bằng quy nạp ta suy ra d(xn+1 , xn ) ≤ k n d(x1 , x0 ), với mọi n ∈ N. Với m > n ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm ) ≤ (k n + k n+1 + ... + k m−1 )d(x1 , x0 ) kn ≤ d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞. 1−k 6
Suy ra lim d(xn , xm ) = 0. Vậy {xn } là dãy Cauchy trong X . Vì X đầy n,m→∞ ¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Mặt khác từ bất đẳng thức đủ, tồn tại x n→∞ d(T x¯, x¯) ≤ d(T xn , T x¯) + d(T xn , x¯) ≤ k max{d(T xn , xn ); d(T x¯, x¯)} + d(xn+1 , x¯) = k max{d(xn+1 , xn ); d(T x¯, x¯)} + d(xn+1 , x¯). Cho n → ∞, ta thu được d(T x¯, x¯) ≤ kd(T x¯, x¯) Điều này kéo theo d(T x ¯, x¯) = 0. Tức là T x¯ = x¯. Vậy x¯ là một điểm bất động của T . Giả sử tồn tại y¯ ∈ X sao cho T y¯ = y¯. Khi đó ta có x, y¯) = d(T x¯, T y¯) ≤ k max{d(T x¯, x¯); d(T y¯, y¯)} = 0. d(¯ Suy ra x ¯ = y¯. Vậy x¯ là điểm bất động của duy nhất của T . Định lý 1.1.10. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau d(T x, T y) ≤ k max{d(T x, y); d(T y, x)} với mọi x, y ∈ X, trong đó k ∈ [0, 21 ) là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ¯ ∈ X. Hơn nữa với mỗi x ∈ X , ta có lim T n x = x ¯. n→∞ Chứng minh. Với mỗi x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức xn = T n x0 với mọi n ≥ 1. Khi đó ta có d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) ≤ k max{d(T xn , xn−1 ); d(T xn−1 , xn )} = kd(xn−1 , xn+1 ) ≤ k(d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )). Từ đó suy ra k k d(xn+1 , xn ) ≤ d(xn , xn−1 ) = hd(xn , xn−1 ), ở đây h = . 1−k 1−k 7
Bằng quy nạp ta suy ra d(xn+1 , xn ) ≤ hn d(x1 , x0 ), với mọi n ∈ N. Với m > n ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm ) ≤ (hn + hn+1 + ... + hm−1 )d(x1 , x0 ) hn ≤ d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞. 1−h Suy ra lim d(xn , xm ) = 0. Vậy {xn } là dãy Cauchy trong X . Vì X đầy n,m→∞ ¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Mặt khác từ bất đẳng thức đủ, tồn tại x n→∞ d(T x¯, x¯) ≤ d(T xn , T x¯) + d(T xn , x¯) ≤ k max{d(T xn , x¯); d(T x¯, xn )} + d(xn+1 , x¯) = k max{d(xn+1 , x¯); d(T x¯, xn )} + d(xn+1 , x¯). Cho n → ∞, ta thu được d(T x¯, x¯) ≤ kd(T x¯, x¯) Điều này kéo theo d(T x ¯, x¯) = 0. Tức là T x¯ = x¯. Vậy x¯ là một điểm bất động của T . Giả sử tồn tại y¯ ∈ X sao cho T y¯ = y¯. Khi đó ta có x, y¯) = d(T x¯, T y¯) ≤ k max{d(T x¯, y¯); d(¯ d(¯ x, T y¯)} = kd(¯ x, y¯). Suy ra x ¯ = y¯. Vậy x¯ là điểm bất động của duy nhất của T . Định lý 1.1.11. Giả sử (X, d) là không gian metric compact và ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều co sau d(T x, T y) < d(x, y), với mọi x, y ∈ X, x 6= y. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X. 8
Chứng minh. Xét hàm số f : X → R xác định bởi f (x) = d(x, T x) với mọi x ∈ X. Khi đó f liên tục trên X . Vì X compact nên f đạt được giá ¯ ∈ X sao cho trị nhỏ nhất trên X , tức là tồn tại x f (¯ x, T x¯) ≤ f (x) = d(x, T x) với mọi x ∈ X. x) = d(¯ ¯ = x¯. Thật vậy, giả sử T x¯ 6= x¯. Khi đó theo giả thiết Ta chứng minh T x ta có f (T x¯) = d(T 2 x¯, T x¯) < d(¯ x, T x¯) = f (¯ x). x) ≤ f (x) với mọi x ∈ X. Vậy T x¯ = x¯. Do đó Điều này mâu thuẫn với f (¯ x¯ là điểm bất động của T . Tính duy nhất điểm bất động của ánh xạ T là hiển nhiên. 1.2. Định lý điểm bất động Kannan Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (X, d) là một không gian metric. Ta nói rằng 1 ánh xạ T : X → X là Kannan nếu tồn tại K < 2 sao cho d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X. Hằng số K ∈ (0, 21 ) nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là hằng số Kannan. Bổ đề 1.2.2. Giả sử C là tập con không rỗng, đóng của không gian metric đầy đủ (X, d) và T : C → C là ánh xạ thỏa mãn tồn tại K ∈ [0, 1) sao cho d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X. Hơn nữa, giả sử tồn tại các hằng số a, b ∈ R sao cho 0 ≤ a < 1 và b > 0. Khi đó nếu với mỗi x ∈ C , tồn tại u ∈ C sao cho d(u, T u) ≤ ad(x, T x) và d(u, x) ≤ bd(x, T x) thì T có ít nhất một điểm bất động. Chứng minh. Lấy x0 ∈ C tùy ý. Xét dãy {xn } trong C thỏa mãn d(T xn+1 , xn+1 ) ≤ a.d(T xn , xn ) 9
d(xn+1 , xn ) ≤ b.d(T xn , xn ) với mọi n ∈ N. Từ bất đẳng thức d(xn+1 , xn ) ≤ b.d(T xn , xn ) ≤ b.an .d(T x0 , x0 ), ta suy ra dãy {xn } là Cauchy trong C . Vì C đầy đủ nên tồn tại v ∈ C sao cho lim xn = v. Mặt khác, ta lại có n→∞ d(T v, v) ≤ d(T v, T xn ) + d(T xn , xn ) + d(xn , v) ≤ K{d(v, T v) + d(xn , T xn )} + d(T xn , xn ) + d(xn , v) với mọi n ∈ N. Từ đó suy ra K +1 1 d(T v, v) ≤ d(T xn , xn ) + d(xn , v) 1−K 1−K K +1 n 1 ≤ a .d(T x0 , x0 ) + d(xn , v) với mọi n ∈ N. 1−K 1−K Cho n → ∞ ta thu được T v = v . Vậy v là điểm bất động của T. Định lý 1.2.3. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ Kannan với hằng số K . Khi đó T có điểm bất động duy nhất z ∈ X và với mỗi x ∈ X , ta có lim T n x = z n→∞ và K n n+1 d(T x, z) ≤ K .d(x, T x) với mọi n ∈ N. 1−K Chứng minh. Với mỗi x ∈ X , ta đặt u = T x. Khi đó ta có d(u, T u) = d(T x, T u) ≤ K.{d(x, T x) + d(u, T u)}. Từ đó suy ra K d(u, T u) ≤ .d(x, T x), 1−K 10
K ở đây 1−K < 1 và d(u, x) = d(T x, x). Lấy x0 ∈ X cố định. Ta định nghĩa dãy {xn } trong X xác định bởi xn = T n x0 với mọi n ∈ N. Theo Bổ đề 1.2.2, tồn tại z ∈ X sao cho lim xn = z và T z = z . Giả sử n→∞ v ∈ X là điểm bất động của T . Khi đó d(z, v) = d(T z, T v) ≤ K{d(z, T z) + d(v, T v)} = 0. Từ đó suy ra z = v . Vậy z là điểm bất động duy nhất của T. Mặt khác với mỗi x ∈ X , ta có d(T n+1 x, T n x) ≤ K{d(T n x, T n+1 x) + d(T n−1 x, T n x)}. Điều này kéo theo K d(T n+1 x, T n x) ≤ .d(T n x, T n−1 x). 1−K Từ đó bằng quy nạp ta suy ra d(T n+1 x, z) = d(T n+1 x, T z) ≤ K{d(T n x, T n+1 x) + d(z, T z)} = K.d(T n x, T n+1 x) K n ≤K .d(x, T x) với mọi n ∈ N. 1−K Định lý 1.2.4. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau d(T x, T y) ≤ K{d(T x, y) + d(T y, x)}, với mọi x, y ∈ X, trong đó K ∈ [0, 21 ) là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ¯ ∈ X. Hơn nữa, với mỗi x ∈ X , lim T n x = x ¯. n→∞ 11
Chứng minh. Với x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức xn = T n x0 , với mọi n ≥ 1. Khi đó ta có d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) ≤ K{d(T xn , xn−1 ) + d(T xn−1 , xn )} = Kd(xn+1 , xn−1 ) ≤ K{d(xn+1 , xn ) + d(xn−1 , xn )} Từ đó suy ra K K d(xn+1 , xn ) ≤ d(xn , xn−1 ) = hd(xn , xn−1 ), ở đây h = . 1−K 1−K Với m > n ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm ) ≤ (hn + hn+1 + ... + hm−1 )d(x1 , x0 ) hn ≤ d(x1 , x0 ) → 0 khi n → ∞. 1−h Suy ra lim d(xn , xm ) = 0. Vậy {xn } là dãy Cauchy trong X . Vì X là n,m→∞ ¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. Mặt khác từ bất đẳng thức đầy đủ, tồn tại x n→∞ d(T x¯, x¯) ≤ d(T xn , T x¯) + d(T xn , x¯) ≤ K{d(T xn , x¯) + d(T x¯, xn )} + d(xn+1 , x¯) ≤ K{d(xn+1 , x¯) + d(T x¯, xn )} + d(xn+1 , x¯) ≤ K{d(xn+1 , x¯) + d(T x¯, x¯) + d(xn , x¯)} + d(xn+1 , x¯). Suy ra 1+K 1 d(T x¯, x¯) ≤ d(xn+1 , x¯) + d(xn , x¯). 1−K 1−K Cho n → ∞ ta thu được d(T x ¯, x¯) = 0. Tức là T x¯ = x¯. Vậy x¯ là một điểm bất động của T . Giả sử tồn tại y¯ ∈ X sao cho T y¯ = y¯ , khi đó ta có d(¯ x, y¯) = d(T x¯, T y¯) 12
≤ K{d(T x¯, y¯) + d(T y¯, x¯)} = 2Kd(¯ x, y¯). Vì K ∈ [0, 12 ) nên d(¯ x, y¯) = 0. Điều này kéo theo x¯ = y¯. Vậy x¯ là điểm bất động duy nhất của T . Định nghĩa 1.2.5. Cho (X, d) là không gian metric. Ánh xạ T : X → X được gọi là tiệm cận chính quy nếu lim d(T n+1 x, T n x) = 0 với mọi x ∈ X . n→∞ Định lý 1.2.6. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ tiệm cận chính quy sao cho d(T x, T y) ≤ K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X, ở đây K < 1 là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất. Chứng minh. Với x ∈ X , ta có d(T n+1 x, T m+1 x) ≤ K{d(T n x, T n+1 x) + d(T m x, T m+1 x)}, với mọi m, n. Cho m, n → ∞, bởi tính tiệm cận chính quy của T , ta suy ra lim d(T n+1 x, T m+1 x) = 0. n,m→∞ Vậy dãy {T n+1 x} là Cauchy trong X. Vì X đầy đủ nên tồn tại x ¯ ∈ X sao cho lim T n x = x ¯. Mặt khác, ta lại có n→∞ x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T x¯) x, T x¯) ≤ d(¯ d(¯ x, T n+1 x) + K{d(T n x, T n+1 x) + d(¯ ≤ d(¯ x, T x¯)}. Điều này kéo theo K 1 x, T x¯) ≤ d(¯ d(T n x, T n+1 x) + x, T n+1 x), d(¯ 1−K 1−K với mọi n. Cho n → ∞, ta được T x ¯ = x¯. Tính duy nhất điểm bất động của ánh xạ T là hiển nhiên. 13
Định lý 1.2.7. Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ liên tục và tiệm cận chính quy sao cho d(T x, T y) ≤ M d(x, y) + K{d(x, T x) + d(y, T y)} với mọi x, y ∈ X, ở đây K ≥ 0, M ∈ [0, 1) là các hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất z ∈ X và T n x → z với mọi x ∈ X . Chứng minh. Với x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn } ⊆ X bởi công thức xn = T n x0 , với mọi n ≥ 1. Khi đó với mỗi n ∈ N và k ∈ N∗ , ta có d(xn+k , xn ) ≤ d(xn+k , xn+k+1 ) + d(xn+k+1 , xn+1 ) + d(xn+1 , xn ) ≤ d(xn+k , xn+k+1 ) + M d(xn+k , xn ) + d(xn+1 , xn ) + K{d(xn+k , xn+k+1 ) + d(xn , xn+1 )}. Từ đó suy ra (1 − M )d(xn+k , xn ) ≤ (K + 1){d(xn+k , xn+k+1 ) + d(xn , xn+1 )}, với mọi n ∈ N và k ∈ N∗ . Bởi tính tiệm cận chính quy của T nên cho n → ∞ ta thu được lim d(xn+k , xn ) = 0 với mọi k ∈ N∗ . Vậy {xn } là n→∞ ¯ ∈ X sao cho lim xn = x¯. dãy Cauchy trong X . Vì X là đầy đủ, tồn tại x n→∞ ¯ = x¯. Giả sử tồn tại y¯ ∈ X sao cho Bởi tính liên tục của T kéo theo T x T y¯ = y¯, khi đó ta có d(¯ x, y¯) = d(T x¯, T y¯) ≤ M d(¯ x, y¯) + K{d(¯ x, T x¯) + d(¯ y , T y¯)} = M d(¯ x, y¯). Vì M ∈ [0, 21 ) nên d(¯ x, y¯) = 0. Điều này kéo theo x¯ = y¯. Vậy x¯ là điểm bất động duy nhất của T . Mặt khác ta có d(T n x, x¯) = d(T n x, T n x¯) 14