Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Fourier, định lý Sturm về nghiệm của đa thức và áp dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

67
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn gồm 2 chương: Chương 1 - Trình bày một số kiến thức liên quan để chứng minh cho các định lý ở chương 2. Chương 2 - Trình bày một số quy tắc, định lý về nghiệm thực của đa thức và một số ví dụ áp dụng các quy tắc để xác định số nghiệm của đa thức. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Fourier, định lý Sturm về nghiệm của đa thức và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - 2019
i Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Sơ lược về không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm liên tục, hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Ước chung lớn nhất của hai đa thức . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Một số định lý về nghiệm thực và áp dụng 8 2.1 Quy tắc Fourier và De Gua về số nghiệm thực của đa thức . . 8 2.2 Định lý Budan-Fourier về số nghiệm của đa thức trong khoảng 16 2.3 Một số ví dụ áp dụng định lý Fourier . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Quy tắc Budan và định lý của Fourier cho hàm khả vi k lần . 24 2.5 Định lý Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6 Cô lập nghiệm dựa vào dãy Sturm . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46
1 Mở đầu Trong chương trình ở bậc phổ thông, học sinh tiếp cận với đa thức từ bậc THCS, đến THPT chuyên. Bài toán đếm số nghiệm của đa thức với hệ số thực và khoanh vùng nghiệm của đa thức một ẩn hệ số thực xuất hiện hầu hết ở trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế. Hiện nay các tài liệu về đa thức cũng khá đa dạng và phong phú. Tuy nhiên, đa số đều khó đối với học sinh mới bắt đầu tiếp cận. Vì vậy tôi lựa chọn "Định lý Fourier, Định lý Sturm về nghiệm của đa thức và áp dụng" để nghiên cứu và phục vụ cho học sinh các lớp chuyên toán phổ thông. Để khảo sát số nghiệm của đa thức với các hệ số thực luận văn đã sử dụng quy tắc Fourier và quy tắc De Gua đếm số lần đổi dấu và số lần ổn định dấu của các dấu trong đa thức để xác định số nghiệm thực và số nghiệm ảo của đã thức đã cho. Tiếp theo luận văn sẽ trình bày định lý Budan-Fourier để khảo sát về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước. Và sau đó luận văn sẽ xét các hàm mở rộng hơn sử dụng quy tắc Budan, định lý của Fourier để khảo sát số nghiệm cho hàm khả vi k lần. Cuối cùng trong luận văn định lý Hurwitz và định lý Sturm xác định số nghiệm của một đa thức thực dựa vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số thực của đa thức đã cho. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Trình bày một số kiến thức liên quan để chứng minh cho các định lý ở chương 2. Chương 2. Trình bày một số quy tắc, định lý về nghiệm thực của đa thức và một số ví dụ áp dụng các quy tắc để xác định số nghiệm của đa thức. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Nguyễn Văn Hoàng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô, những người đã tận tâm giảng dạy và chỉ
2 bảo tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Tuyết Mai
3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhằm nhắc lại một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong luận văn, kiến thức này tham khảo ở một số tài liệu [7], [?]. 1.1 Sơ lược về không gian metric Định nghĩa 1.1.1. (i) Cho X là một tập hợp. Một ánh xạ khoảng cách d xác định trên X là một ánh xạ d : X × X → [0, ∞), (x, y) 7→ d(x, y) thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X : (1) d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). (ii) Một không gian metric là một cặp (X, d) trong đó X là tập hợp và d là một ánh xạ khoảng cách xác định trên X . Ví dụ 1.1.2. +) Tập số thực R với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = |x − y| là một không gian metric. +) Tập R = R ∪ {−∞, ∞} cùng với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = | arctan x − arctan y| cũng là một không gian metric. Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric (X, d). (i) Cho điểm x ∈ X và số thực ε > 0. Một hình cầu mở B(x, ε) được xác định bởi B(x, ε) = {y ∈ X | d(x, y) < ε}. (ii) Một tập con U của X được gọi là tập mở nếu mọi x ∈ U đều tồn tại ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊆ U . Một tập con V của X được gọi là tập đóng nếu X \ V là tập mở.
4 (iii) Một lân cận của điểm x ∈ X là bất kì tập con A nào của X thỏa mãn hai điều kiện: (a) x ∈ A; (b) A chứa một cầu mở B(x, ε) (với số thực ε > 0 nào đó). (iv) Một dãy (xn ) trong không gian metric (X, d) gọi là hội tụ về a ∈ X nếu với mọi > 0 tồn tại n0 ∈ N để d(xn , a) < với mọi n > n0 . (v) Không gian metric (X, d) gọi là compact nếu mọi dãy trong X đều có một dãy con hội tụ trong X . Ví dụ 1.1.4. Tập R cùng với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = | arctan x − arctan y| là một không gian metric compact. Định nghĩa 1.1.5 (Điểm giới hạn). Cho tập hợp A trong không gian metric (X, d) và x ∈ X . Ta nói x là điểm giới hạn (hoặc điểm dính) của A nếu mọi lân cận U của x đều có giao với A tại một ít nhất một điểm khác x. Định nghĩa 1.1.6 (Điểm cô lập). Cho tập hợp A trong không gian metric (X, d) và x ∈ A. Ta nói x là điểm cô lập của A nếu tồn tại lân cận U của x mà U không giao với A tại bất kì điểm nào khác x. 1.2 Hàm liên tục, hàm khả vi Tiếp theo ta nhắc lại một số khái niệm của hàm liên tục đối với hàm số biến số thực. Định nghĩa 1.2.1. Cho X ⊆ R, hàm số f : X → R và điểm x0 ∈ X . Nếu với mọi ε > 0 bao giờ cũng tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ {x ∈ X : |x − x0 | < δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε thì ta nói hàm f liên tục tại x0 . Nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ X thì ta nói f liên tục trên X . Như vậy, một cách phát biểu tương đương, ta thấy f là hàm số liên tục tại điểm x0 nếu và chỉ nếu lim f (x) = f (x0 ). x→x0 Định nghĩa 1.2.2. Cho A ⊆ R, hàm số f : A → R gọi là liên tục bên phải tại điểm x0 ∈ A nếu mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ {x ∈ A : x0 ≤ x < x0 + δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε. Tương tự ta nói f liên tục bên trái tại x0 ∈ A nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho x ∈ {x ∈ A : x0 − δ ≤ x < x0 } ta có |f (x) − f (x0 )| < ε.
5 Như vậy hàm số f : A → R liên tục tại x0 ∈ A khi và chỉ khi f liên tục bên phải và liên tục bên trái tại x0 . Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm số f : [a, b] → R. Nếu f liên tục trên (a, b), liên tục bên phải tại điểm a và liên tục bên trái tại điểm b thì ta nói f liên tục trên đoạn [a, b]. Tiếp theo nhắc lại các khái niệm về hàm khả vi. Xét hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận của điểm x0 ∈ R. Cho x0 một số gia ∆x khá bé sao cho x0 + ∆x ∈ U . Khi đó ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) được gọi là số gia đối số ∆x tại điểm x0 . Định nghĩa 1.2.4. Nếu tỉ số ∆x ∆y = f (x0 +∆x)−f ∆x (x0 ) có giới hạn hữu hạn khi ∆x → 0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f đối với x tại x0 và được kí hiệu là f 0 (x0 ); ta cũng nói rằng hàm f khả vi tại x0 . Như vậy, ta có f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f 0 (x0 ) = lim . ∆x→0 ∆x Định nghĩa 1.2.5. Cho U là tập hợp mở trong R, f : U → R là một hàm xác định trên U . Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểm của U . Khi đó ta cũng nói hàm số f có đạo hàm f 0 trên U . Tiếp theo ta nhắc lại định lý giá trị trung bình cho hàm khả vi. Định lý 1.2.6 (Định lí Lagrange). Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b), sao cho f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a). Định lý 1.2.7 (Định lí Cauchy). Giả sử f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và có các đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b), ngoài ra g 0 (x) 6= 0 với mọi x ∈ [a, b]. Khi đó tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) f 0 (c) = 0 . g(b) − g(a) g (c) Định lí Lagrange là trường hợp riêng của Định lý Cauchy với g(x) = x. f (x0 +∆x)−f (x0 ) Định nghĩa 1.2.8. Nếu giới hạn lim ∆x tồn tại và hữu hạn thì ∆x→0− 0 giới hạn đó gọi là đạo hàm bên trái của f (x) tại x0 , ký hiệu là f− (x0 ). Nếu ∆y giới hạn lim + ∆x tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên phải ∆x→0 0 của f (x) tại x0 , ký hiệu f+ (x0 ).
6 Quy tắc 1.2.9. Quy tắc L’Hospital (đọc là Lô-pi-tan) là một quy tắc trong toán học dùng để khử các dạng vô định 00 và ∞ ∞ khi tính giới hạn và nhiều ứng dụng khác. Quy tắc L’Hospital được phát biểu như sau: Nếu lim fg(x) (x) có x→a f 0 (x) 0 dạng 0 0 thì nó có giới hạn bằng giới hạn của g 0 (x) nếu lim fg0 (x) (x) tồn tại. x→a Định lý 1.2.10. Giả sử f và g là các hàm liên tục trong tập [a, b] và khả vi trong (a, b). Giả sử g 0 (x) khác 0 trong (a, b), và limx→a+ f 0 (x)/g 0 (x) là tồn tại, và limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0. Khi đó f (x) f 0 (x) lim+ = lim+ 0 . x→a g(x) x→a g (x) 1.3 Ước chung lớn nhất của hai đa thức Mục này ta xét k là một trường và xét các đa thức trong vành k[x]. Định lý 1.3.1 (Định lý phép chia và dư). Cho các đa thức f (x), g(x) ∈ k[x] với g(x) 6= 0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp q(x), r(x) ∈ k[x] sao cho f (x) = q(x)g(x) + r(x), trong đó nếu r(x) 6= 0 thì deg(r(x)) < deg(g(x)). Ta gọi q(x) là thương và gọi r(x) là phần dư của phép chia f (x) cho g(x). Định nghĩa 1.3.2 (Ước của đa thức). Trong phép chia p(x) cho q(x), nếu phần dư r(x) đồng nhất bằng 0 thì ta nói rằng đa thức p(x) chia hết cho đa thức q(x). Như vậy, p(x) chia hết cho q(x) nếu tồn tại đa thức s(x) sao cho p(x) = q(x).s(x). Trong trường hợp này ta cũng nói q(x) chia hết p(x), hoặc q(x) là một ước của p(x). Định nghĩa 1.3.3 (Ước chung của hai đa thức). Nếu g(x) chia hết p(x) và g(x) chia hết q(x) thì ta nói g(x) là một ước chung của p(x) và q(x). Định nghĩa 1.3.4 (Ước chung lớn nhất). Cho p(x) và q(x) là các đa thức không đồng thời là 0. Ước chung lớn nhất của p(x) và q(x) là đa thức d(x) thoả mãn đồng thời các hai điều kiện: (1) d(x) là một ước chung của p(x) và q(x); (2) Nếu d0 (x) là một ước chung của p(x) và q(x) thì d0 (x) cũng là ước của d(x).
7 Chú ý 1.3.5 (Thuật toán Euclide). Cho các đa thức f0 , f1 ∈ k[x] với f1 6= 0. Đặt f2 là phần dư khi chia f0 cho f1 , và tiếp tục bằng quy nạp, ta đặt fi+1 là phần dư khi chia fi−1 cho fi (nếu fi 6= 0). Rõ ràng là dãy f0 , f1 , . . . , fi , . . . (dãy này gọi là dãy các phần dư đa thức của f0 , f1 ) là hữu hạn, vì nếu trái lại thì mọi fi 6= 0 nên ta có dãy giảm vô hạn các số tự nhiên deg(f1 ) > deg(f2 ) > . . . > deg(fi ) > . . . điều này là không xảy ra. Lấy d(x) là phần dư fr cuối cùng khác không, và chú ý rằng r ≤ min{deg(f0 ), deg(f1 )}. Khi đó d(x) chính là ước chung lớn nhất của f0 và f1 .
8 Chương 2 Một số định lý về nghiệm thực và áp dụng Phương trình đa thức được sử dụng thường xuyên trong toán học. Khi giải phương trình đa thức có nhiều câu hỏi phát sinh như: "Có nghiệm thực nào không? Nếu có, đa thức có bao nhiêu nghiệm? Vị trí của chúng ở đâu trên trục tọa độ? Các nghiệm đó là dương hay âm?". Phụ thuộc vào vấn đề cần được giải quyết, đôi khi chỉ cần một ước lượng thô về xác định khoảng nào đó trên trục số mà nó chứa nghiệm là đủ. Có nhiều cách để trả lời cho các câu hỏi này. Trong chương này sẽ trình bày Quy tắc Fourier và định lý Fourier. Định lý Fourier sử dụng các đạo hàm của đa thức để xác định số lượng có thể của nghiệm. 2.1 Quy tắc Fourier và De Gua về số nghiệm thực của đa thức Mục này tham khảo ở tài liệu [5]. Kí hiệu 2.1.1. (i) Cho đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 hệ số thực, trong đó các hệ số ai có thể bằng không. - Nếu hai hệ số liên tiếp ai+1 và ai cùng dương hoặc cùng âm, thì cặp (ai+1 , ai ) cho ta 1 lần ổn định dấu và 0 lần đổi dấu của các hệ số. - Nếu một trong hai hệ số ai+1 và ai là dương và hệ số còn lại là âm, thì cặp (ai+1 , ai ) cho ta 1 lần đổi dấu và 0 lần ổn định dấu. - Nếu đa thức có một hoặc nhiều hệ số bằng “0”, thì trong tiến trình đếm số lần đổi dấu của P các hệ số ai = 0 được xem như cùng dấu với dấu của
9 ai+1 . Ví dụ, với đa thức P (x) = 3.x5 − 1.x2 + 3, ta gán dấu cho các hệ số “bị khuyết” như sau P (x) = 3.x5 + 0.x4 + 0.x3 − 1.x2 − 0.x + 3. Trong cách làm này, đó là điều tương tự việc ta bỏ qua các hệ số bị khuyết khi đếm số lần đổi dấu của đa thức P . Theo đó đa thức P (x) = 3x5 − x2 + 3 có số lần đổi dấu là 2. (ii) Khi xem xét theo nghĩa đối ngẫu, trong tình huống đếm số lần ổn định của các dấu của P , ta xét dấu của một hệ số ai = 0 là dấu đối với dấu của ai+1 . Vì vậy, các dấu của dãy gồm nhiều hệ số “0” liên tiếp là đan dấu, bắt đầu từ hệ số đầu tiên khác “0” phía trái của dãy. Ví dụ, đối với đa thức P (x) = 3.x5 − 1.x2 + 3 đã xét ở trên, khi đó dấu của P được thể hiện bởi P (x) = 3.x5 − 0.x4 + 0.x3 − 1.x2 + 0.x + 3. Điều quan trọng là chú ý rằng theo cách biểu diễn này thì số lần đổi dấu ở đó sẽ là 4 và nó khác số lần đổi dấu là 2 của P sau khi bỏ qua các hệ số “0” như đã thấy ở trên. Trong thực tế, ta kiểm tra thấy “quy luật” sau đây là đúng: một dãy các hệ số có dạng ai , 0, 0, . . . , 0, aj (với ai aj 6= 0) sẽ cho ta 1 lần ổn định dấu nếu ai aj < 0 và số các số “0” ở giữa là số lẻ; hoặc nếu ai aj > 0 và số các số “0” ở giữa là số chẵn. Các trường hợp khác nó cho ta 0 lần ổn định dấu. Dường như là một chiến thuật khi sử dụng hai phương pháp để đếm số lần đổi dấu và đếm số lần ổn định dấu, nhưng có hai điều thuận tiện của cách này như sau: Thứ nhất, với quy ước này, số các lần đổi dấu và số lần ổn định dấu luôn là tối thiểu trong các đa thức khuyết thiếu, vì ta có thể dễ kiểm chứng. Thứ hai, hai cách này là đối ngẫu nhau theo nghĩa rằng số lần ổn định dấu của P (x) bằng với số lần đổi dấu của P (−x). Ví dụ xét đa thức P (x) = 3.x5 − 1.x3 + 1.x + 3, ta có P (−x) = −3.x5 + 1.x3 − 1.x + 3. Suy ra số lần ổn định dấu của P (x) = 3.x5 − 0.x4 − 1.x3 + 0.x2 + 1.x + 3
10 là 3; và vì P (−x) = −3.x5 − 0.x4 + 1.x3 + 0.x2 − 1.x + 3, nên số lần đổi dấu của P (−x) là 3. (iii) Cho đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 hệ số thực. Ta kí hiệu z + (P ) là số các nghiệm dương của P ; kí hiệu z − (P ) là số nghiệm âm của P ; kí hiệu z 0 (P ) là số các nghiệm 0 của P (ở đây các nghiệm luôn được tính cả số bội). Ta kí hiệu v(P ) là số lần đổi dấu của P ; kí hiệu c(P ) là số lần ổn định dấu của P (khi đó c(P (x)) = v(P (−x))); n được gọi là bậc của đa thức và ký kiệu là n = deg(P ) . Ta nói rằng hệ số ai là hệ số có đuôi nếu ai = ai−1 = . . . = a0 = 0. (iv) Ta chú ý rằng nếu đa thức P không bị khuyết thiếu (ngoại trừ trường hợp đa thức có hệ số có đuôi, nó sẽ có hệ số khuyết thiếu ở đuôi), thì ta có v(P ) + c(P ) = deg(P ) − z 0 (P ). (Ví dụ cho đa thức P (x) = 2x5 − 3x4 − 5x3 + 2x2 , khi đó ta có v(P ) = 2, c(P ) = 1, z 0 (P ) = 2. Do đó v(P ) + c(P ) = 2 + 1 = 3 = 5 − 2 = deg(P ) − z 0 (P )). Giải thích cho trường hợp tổng quát. Thật vậy, một cặp hệ số liên tiếp hoặc là đổi dấu hoặc ổn định dấu. Mặt khác, nếu P là khuyết thiếu, thì theo kí hiệu của ta như đã giới thiệu vắn tắt ở trên, thì một khối các hệ số liên tiếp có dạng ai , 0, 0, . . . , 0, aj (với ai aj 6= 0) sẽ cho ta nhiều nhất 1 lần đổi dấu và 1 lần ổn định dấu. Vì bất kì khối nào như vậy đều chứa ít nhất là 3 hệ số (và do đó có ít nhất 2 cặp hệ số liên tiếp), nên tổng của số lần đổi dấu và số lần ổn định dấu của P không lớn hơn số tất cả các cặp hệ số liên tiếp (và không là hệ số có đuôi) của P . Nói cách khác, nó không lớn hơn deg(P ) − z 0 (P ), tức là v(P ) + c(P ) ≤ deg(P ) − z 0 (P ). (1) Dưới đây tham khảo ở tài liệu [5, Mục 2.2]. Quy tắc 2.1.2 (Quy tắc Fourier). Đối với bất kỳ đa thức P (x) hệ số thực, ta luôn có v(P ) và z + (P ) là có cùng tính chẵn lẻ. Điều tương tự cũng đúng cho c(P ) và z − (P ). Chứng minh. Ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát rằng P (0) 6= 0 (vì nếu P (0) = 0, thì đa thức Q(x) thu được bằng cách chia P (x) cho một
11 lũy thừa lớn nhất có thể xk ; khi đó đa thức Q(x) thỏa mãn Q(0) 6= 0, có cùng số lần đổi dấu và cùng số nghiệm dương như của P (x). Ta có thể viết P = AP1 P2 , với P1 , P2 là hai đa thức có hệ tử cao nhất bằng 1, A ∈ R, P1 không có nghiệm thực dương, và mọi nghiệm của P2 là số thực dương. Đặt deg(P2 ) = n. Vì các hệ số của P1 là các số thực, nên các nghiệm phức của nó sẽ xuất hiện theo từng cặp liên hợp γ , γ . Do đó, đa thức P1 có thể được viết dưới dạng P1 (X) = (X − γ1 )(X − γ1 )(X − γ2 )(X − γ2 ) . . . (X + α1 )(X + α2 ) . . . , trong đó γi , γi là các nghiệm phức của P1 , và −αi là các nghiệm thực âm của nó (tức là αi > 0). Hệ số tự do của P1 rõ ràng chính là số P1 (0) = (−γ1 )(−γ1 )(−γ2 )(−γ2 ) . . . α1 α2 . . . = |γ1 |2 |γ2 |2 . . . α1 α2 . . . > 0. Vì vậy, hệ số tự do của P1 là một số thực dương, tức là P1 (0) > 0. Đặt P2 = (X − β1 )(X − β2 ) . . . , trong đó β1 , β2 , . . . > 0. Hệ số tự do của P là P (0) = AP1 (0)P2 (0), do đó P (0) cùng dấu với dấu của AP2 (0) = A(−β1 )(−β2 ) . . .. Đặc biệt ta suy ra rằng dấu của A và dấu của P (0) là bằng nhau nếu và chỉ nếu P2 (0) > 0 khi và chỉ khi P2 có một số chẵn các nghiệm thực dương. Do đó, ta thấy rằng định lý của ta tương đương với bài toán mới đó là "Một đa thức chứa một số chẵn số lần đổi dấu nếu và chỉ nếu hệ số cao nhất của nó và hệ số tự do của nó có cùng dấu". Để kết thúc chứng minh quy tắc này, ta chỉ cần chứng tỏ điều khẳng định sau đây là đúng: Yêu cầu: Một dãy gồm các dấu chứa một số chẵn lần đổi dấu nếu và chỉ nếu hai đầu mút của dãy đó có dấu cùng loại. Thật vậy, điều này là rõ ràng nếu độ dài của dãy là 2 (vì nếu dãy là +, + hoặc −, − thì số lần đổi dấu là 0). Giả sử quy nạp rằng điều khẳng định ở “Yêu cầu” này là đúng cho dãy có độ dài n−1, và ta xét dãy các dấu S = (s1 , s2 , . . . , sn ) có độ dài n (với si ∈ {+, −}). Đặt S 0 = (s1 , s2 , . . . , sn−1 ). Nếu sn−1 = sn thì số lần đổi dấu của S và S 0 là bằng nhau và các đầu mút của S và S 0 là các cặp đôi cùng dấu; vì S 0 đã đúng theo giả thuyết quy nạp, nên rõ ràng S cũng thỏa mãn yêu cầu. Nếu sn−1 6= sn , thì số lần đổi dấu của S nhiều hơn
12 số lần đổi dấu của S 0 là 1; do đó tính chẵn lẻ của S 0 và S là trái ngược nhau. Nhưng các đầu mút của S hoặc là trái dấu nhau hoặc là cùng dấu nhau (phụ thuộc vào các đầu mút của S 0 là cùng dấu nhau hoặc trái dấu nhau, tương ứng). Điều này kéo theo rằng từ giả thiết quy nạp suy ra S cũng thỏa mãn khẳng định của “Yêu cầu”. Chú ý 2.1.3. Quy tắc vừa phát biểu và chứng minh của nó là đúng nếu các hệ số của P thuộc vào trường số thực. Tổng quát hơn, phép chứng minh ở trên chứa đựng một mệnh đề thú vị, điều đó cũng đúng cho cả một trường sắp thứ tự bất kì, tức là ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.4. Đối với hai đa thức P và Q thuộc F [x] (với F là trường sắp thứ tự), khi đó ta luôn có v(P Q) ≡ v(P ) + v(Q) (mod 2). (Ở đây khái niệm trường sắp thứ tự F là một trường F có một quan hệ thứ tự toàn phần "≤" thỏa mãn các điều kiện sau đây với mọi a, b, c ∈ F : nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c; nếu 0 < a và 0 < b thì 0 < ab). Chứng minh. Ta kí hiệu A và a là hệ số cao nhất và hệ số tự do của P ; và ta kí hiệu B và b là hệ số cao nhất và hệ số tự do của Q. Khi đó hệ số cao nhất của P Q là AB và hệ số tự do của P Q là ab. Theo như khẳng định trong“Yêu cầu” ở trong chứng minh Quy tắc Fourier, ta thấy v(P ) ≡ 0 (mod 2) nếu và chỉ khi A, a có cùng dấu. Tương tự, v(Q) ≡ 0 (mod 2) nếu và chỉ khi B và b có cùng dấu; và v(P Q) ≡ 0 (mod 2) nếu và chỉ khi AB và ab có cùng dấu. Nhưng vì (AB)(ab) = (Aa)(Bb), nên rõ ràng là dấu của AB và dáu của ab bằng nhau khi và chỉ khi Aa và Bb đều dương hoặc đều âm, nghĩa là, nếu v(P ) và v(Q) đều chẵn hoặc đều lẻ. Vì vậy, v(P Q) là chẵn khi và chỉ khi v(P ) + v(Q) là chẵn. Trước khi phát biểu và chứng minh quy tắc De Gua, ta cần nhắc lại về quy tắc Descarte về dấu ở bổ đề sau, đồng thời bổ đề đó cũng cho ta một chặn trên cho số các nghiệm thực dương, nghiệm thực âm của đa thức: Dưới đây tham khảo ở [5, Mục 2.1]. Bổ đề 2.1.5 (Quy tắc Descarte về dấu). Với bất kì đa thức P hệ số thực, ta luôn có v(P ) ≥ z + (P ) và c(P ) ≥ z − (P ). Hơn nữa, nếu mọi nghiệm của P là thực thì v(P ) = z + (P ) và c(P ) = z − (P ).
13 Chứng minh. Khẳng định đầu tiên của định lý suy ra được khẳng định thứ hai, vì nếu tất cả các nghiệm của P đều là nghiệm thực và thỏa mãn v(P ) > z + (P ) hoặc c(P ) > z − (P ), thì ta có deg(P ) − z 0 (P ) = z + (P ) + z − (P ) < v(P ) + c(P ), điều này mẫu thẫn với (1). Để chứng minh v(P ) ≥ z + (P ), thì ta chú ý rằng nếu α là một nghiệm thực của P , thì P = (x − α)Q(x) với Q là đa thức bậc nhỏ hơn bậc của P . Vì vậy theo giả thiết quy nạp đối với bậc của P , ta chỉ cần chứng minh một bổ đề sau đây (gọi là chiến thuật của Descarte): (Chiến thuật của Descarte): Việc nhân một đa thức Q(x) với x − α (trong đó α > 0), sẽ gia tăng số lần đổi dấu của đa thức. Ta thấy rằng c(P ) ≥ z − (P ) được suy ra từ v(P ) ≥ z + (P ) bởi cách đổi P (X) thành P (−X). Ta đặt Q(x) = an xn + . . . + ak xk và P (x) = (x − α)Q(x) = bn+1 xn+1 + . . . + bk xk , với k ≥ 0 và ak 6= 0. Bằng cách đồng nhất hệ số hai vế của P (x) ta thu được quan hệ sau đây   ai−1 nếu i = n + 1, bi = ai−1 − αai nếu k < i ≤ n, (2) −αai nếu i = k.  Ta kí hiệu dấu của ai là si , và dấu của bi là s0i , như vậy ta có si , s0i ∈ {+, −} . Ta đưa các dấu của ai và bi vào một bảng có dạng sau đây i n + 1 n n − 1 ... k dấu của ai sn sn−1 . . . sk dấu của bi sn+1 s0n s0n−1 . . . 0 s0k Để đơn giản, ta thường kí hiệu một bảng như trên bởi (sn , sn−1 , . . . , sk ; s0n+1 , s0n , . . . , s0k ) và gọi n − k là độ lớn của bảng. Do ta có quan hệ (2), nên bất kì bảng nào như trên để thỏa mãn ba tính chất sau:
14 1. s0n+1 = sn . 2. s0k 6= sk . 3. Nếu si 6= si−1 , thì s0i = si−1 . Điều quan trọng là ta chú ý rằng những tính chất 1, 2, 3 vẫn đúng thậm chí nếu P và Q có các hệ số khuyết thiếu (do quy ước ở trên). Để chứng minh chiến thuật của Descarte, ta chỉ cần chứng minh rằng dòng thứ 3 trong bảng chứa nhiều số lần đổi dấu hơn ở số lần đổi dấu ở dòng thứ 2 của bảng. Để thực hiện điều này, ta chỉ cần kiểm chứng ba tính chất nêu trên. Nếu độ lớn của bảng là 1, thì rõ ràng tính chất thứ nhất và thứ hai là đúng; đối với tính chất thứ ba khi sn 6= sn−1 thì s0n = sn−1 nên nó cũng đúng. Ta giả sử quy nạp rằng ba tính chất 1, 2, 3 là đúng cho các bảng có độ lớn nhiều nhất là n − k − 1. Ta đặt T = (sn , sn−1 , . . . , sk ; s0n+1 , s0n , . . . , s0k ) là bảng có độ lớn n − k . Trước tiên ta giả sử không có sự đổi dấu nào xảy ra trong chuỗi (sn , . . . , sk ) (tức là, nó là dãy hằng). Khi đó s0n+1 , . . . , s0k phải có ít nhất một lần đổi dấu (thật vậy, theo giả thiết ta có s0n+1 = sn và s0k 6= sk , suy ra s0n+1 6= s0k ). Do vậy, phải tồn tại i ∈ {1, . . . , n+1} sao cho s0i 6= s0i−1 . Điều này cho thấy trong trường hợp này, dãy s0n+1 , . . . , s0k có số lần đổi dấu nhiều hơn dãy sn , . . . , sk . Bây giờ ta giả sử rằng có một lần đổi dấu xảy ra ở bước i nào đó với i > k trong dãy sn , . . . , sk , tức là si 6= si−1 . Do tính chất thứ ba, ta có s0i = si−1 , suy ra s0i 6= si . Ta có thể thu hẹp từ bảng T thành bảng sau đây, nó có độ lớn nhỏ hơn: T 0 = (sn , . . . , si ; s0n+1 , . . . , s0i ). Vì độ lớn của bảng này là n − i < n − k , nên áp dụng giả thiết quy nạp cho T 0 , ta thấy T 0 thỏa mãn ba tính chất 1, 2, 3. Do đó, sử dụng A1 để kí hiệu cho số lần đổi dấu trong dãy sn , . . . , si và kí hiệu A01 là số lần đổi dấu trong dãy s0n+1 , . . . , s0i ; ta thấy từ giả thiết quy nạp rằng A01 > A1 . Mặt khác, từ bảng T ta có thể lập một bảng mới T 00 khác nữa có độ lớn nhỏ hơn độ lớn của T , cụ thể là T 00 = (si−1 , . . . , sk ; s0i , . . . , s0k ).
15 Nó cũng thỏa mãn ba tính chất 1, 2, 3; do đó dãy s0i , . . . , s0k phải có số lần đổi dấu nhiều hơn dãy si−1 , . . . , sk , tức là A02 > A2 . Nhưng số lần đổi dấu của dãy sn+1 , . . . , sk nhiều nhất là bằng A1 + A2 + 1, vì dãy này là kết hợp của dãy sn , . . . , si và si−1 , . . . , sk , nên nó chỉ chứa số lần đổi dấu của dãy này, và nếu có thể có chỉ cộng thêm 1 lần đổi dấu của si si−1 (khi si 6= si−1 ). Vì A01 + A02 ≥ A1 + 1 + A2 + 1 > A1 + A2 + 1, nên dãy s0n+1 , . . . , s0k có số lần đổi dấu nhiều hơn dãy sn , . . . , sk . Bây giờ ta sẽ xét đến quy tắc De Gua (định lý về những khoảng trống của đa thức, viết trong sách bằng tiếng Pháp). Quy tắc được phát biểu như sau: Quy tắc 2.1.6 (Quy tắc De Gua). Nếu trong một đa thức P , một nhóm r hệ tử liên tiếp bị bỏ trống (ở đây không tính trường hợp đa thức có hệ số có đuôi), thì P có ít nhất r nghiệm ảo khi r chẵn, hoặc P có ít nhất r + 1 hay r − 1 nghiệm ảo nếu r lẻ (phụ thuộc vào việc những hạng tử ngay trước và ngay sau của nhóm đó có cùng dấu hoặc khác dấu, tương ứng). Ta thấy rằng quy tắc De Gua là yếu hơn quy tắc sau đây (Quy tắc 2.1.7), và nó là một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2.1.5 (bởi vì số nghiệm ảo của đa thức P bằng số bậc của P trừ đi số nghiệm thực dương của P , tiếp tục trừ đi số nghiệm thực âm của P , và tiếp tục trừ đi số nghiệm 0 của P ). Dưới đây tham khảo ở [5, Hệ quả 2.3.1]. Quy tắc 2.1.7. Số các nghiệm ảo của một đa thức P ít nhất là bằng với số deg(P ) − z 0 (P ) − v(P ) − c(P ). Vì thế tất cả những gì ta phải làm dưới đây ở mục này là ta phải chứng tỏ rằng Quy tắc 2.1.7 suy ra cả Quy tắc De Gua. Chứng minh Quy tắc 2.1.7 suy ra Quy tắc De Gua. Trong tiến trình đếm số lần đổi dấu và số lần ổn định của các dấu của P , ta thấy rằng chỉ có các cặp hệ số khác 0 liên tiếp (ai , ai−1 ) là có liên quan, hoặc là liên quan đến các khối gồm các hệ số liên tiếp ở dạng (ai , 0, . . . , 0, aj ) với ai aj 6= 0, chứa đựng một hoặc nhiều số “0”, chẳng hạn là chứa r số “0”, tức là (ai , 0, . . . , 0, aj ). | {z } r Bây giờ, một cặp (ai , ai−1 ) cho ta 1 lần đổi dấu hoặc 1 lần ổn định dấu trong tổng v(P ) + c(P ).
16 Tuy nhiên, đối với khối dạng (ai , 0, . . . , 0, aj ) với ai aj 6= 0, thì ta thấy rằng khối đó sẽ cho ta: * 1 lần đổi dấu nếu ai aj < 0; * 0 lần đổi dấu nếu ai aj > 0; * 1 lần ổn định dấu (nếu ai aj > 0 và r chẵn) hoặc (nếu ai aj < 0 và r lẻ); * 0 lần ổn định dấu cho các trường hợp còn lại, tức là cho trường hợp (ai aj > 0 và r lẻ) hoặc (ai aj < 0 và r chẵn). Đặt q là số các cặp liên tiếp trong khối có r số "0" ở giữa, thì rõ ràng q = r + 1. Nếu r chẵn thì ta đã vừa thấy rằng khối đã cho ta 1 lần đổi dấu hoặc 1 lần ổn định dấu. Do đó “sự sai khác” (giữa số các cặp liên tiếp và tổng của số lần đổi dấu và số lần ổn định dấu xảy ra trong khối) là q − 1 = r. Tương tự, nếu r lẻ và ai aj < 0 thì khối đó cho ta 1 lần đổi dấu và 1 lần ổn định dấu; do đó "sự sai khác" sẽ là q − 2 = r − 1. Cuối cùng, nếu r lẻ và ai aj > 0 thì khối cho ta 0 lần đổi dấu và 0 lần ổn định; do đó "sự sai khác" sẽ là q = r + 1. Trong mọi trường hợp, ta thấy "sự sai khác" đều là số ≥ 0 (ở trường hợp cặp (ai , ai−1 ) thì "sự sai khác" là 0). Hơn nữa, rõ ràng là tiến trình tính toán các "sự sai khác" liên kết với một khối là trùng khớp với phương pháp nêu ra ở quy tắc De Gua. Vì deg(P ) − z 0 (P ) bằng với số các cặp liên tiếp (của các hệ số không có đuôi), nên ta suy ra rằng deg(P ) − z 0 (P ) − v(P ) − c(P ) là tổng của các “sự sai khác” của mỗi khối như trên. 2.2 Định lý Budan-Fourier về số nghiệm của đa thức trong khoảng Mục này tham khảo ở tài liệu [4, Chương 4]. Để cô lập nghiệm thực của một đa thức P ta phải tìm kiếm tập hợp các khoảng rời nhau, mà mỗi khoảng chứa đúng một nghiệm của P , khi đó gộp các nghiệm đó lại ta được tất cả các nghiệm thực của P .
17 Định lý nguyên gốc của Fourier có hai phần. Phần thứ nhất người ta giả thiết rằng đa thức và đạo hàm của nó không có nghiệm chung. Trong phần thứ hai họ giả thiết giữa đa thức và đạo hàm có nghiệm chung. Ở mục này bây giờ ta sẽ trình bày một phiên bản cải tiến một chút cho chứng minh của Fourier nó sẽ chứa cả hai phần nêu trên. Định lý 2.2.1 (Định lý Fourier). Ta kí hiệu N (x) là số lần đổi dấu của dãy P (x), P 0 (x), P 00 (x), . . . , P (n) (x) trong đó P (x) là đa thức bậc n với hệ số thực. Nếu a < b và P (a)P (b) 6= 0, thì N (a) ≥ N (b), và số các nghiệm thực của P (kể cả số bội) nằm trong khoảng (a, b) không vượt quá số N (a) − N (b). Hơn nữa độ sai khác giữa số nghiệm thực của P trong khoảng (a, b) và số N (a) − N (b) là một số chẵn (tức là tồn tại số u ∈ N để z + (P ) + z − (P ) + z 0 (P ) = N (a) − N (b) − 2u). Chứng minh. Ta hình dung danh sách các số P (x), P 0 (x), P 00 (x), . . . , P (n) (x) với x cho thay đổi từ a đến b. Khi đó số N (x) chỉ thay đổi khi x chuyển qua một nghiệm của đạo hàm P (m) (x) (với số m < n nào đó) (thực tế, ta thấy P (n) (x) là hằng số, vì thế m < n). Tiếp theo ta sẽ sử dụng một nhận xét đơn giản sau đây: Nhận xét. Dấu của bất kì đa thức p(x) và đạo hàm của nó p0 (x), xét trong một lân cận của nghiệm α của p, là khác nhau khi x < α, là như nhau khi x > α (xem Hình 2.1): Bây giờ, ta trở lại chứng minh của định lý, xét trường hợp thứ nhất khi x chuyển qua một nghiệm α bội r của P (x). Trong một lân cận của α, với x < α, ta có P (r−1) (x) phải có dấu khác với dấu của P (r) (x) (do có Nhận xét ở trên). Theo cách tương tự, ta thấy dấu của P (r−2) (x) phải khác dấu của P (r−1) (x), dấu của P (r−3) (x) phải khác dấu của P (r−2) (x), và tiếp tục như vậy. Vì vậy các dấu của các số trong dãy P (r) (x), P (r−1) (x), . . . , P (x) (với x trong lân cận của α, x < α) là đan dấu (xem Hình 2.13). Ta cũng biết rằng trong một lân cận của α, với x > α, thì các dấu của các số trong dãy P (r) (x), P (r−1) (x), . . . P (x) là như nhau. Vì vậy ta thấy rằng khi x chuyển qua một nghiệm α bội r của P , thì số lần đổi dấu trong dãy P (x), P 0 (x), . . . , P (r−1) (x), P (r) (x) là giảm bớt đi r (xem Hình 2.3). Bây giờ xét trường hợp khi x chuyển qua nghiệm α bội r của P (i) (x)