Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hệ phương trình toán tử - Tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ

Chia sẻ: Tri Lễ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài luận văn là trình bày phương pháp hiệu chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Banach, nêu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và đưa ra ví dụ minh họa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hệ phương trình toán tử - Tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ PHƢỢNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỬ: THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ PHƢỢNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỬ: THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Lâm Thùy Dƣơng THÁI NGUYÊN - 2017
iii Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 Chương 1. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Banach 5 1.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian Banach và toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov . . . . . . . . . . 10 1.2 Hệ phương trình toán tử trong không gian Banach . . . . . . 19 1.2.1 Phương trình toán tử và bài toán cực trị . . . . . . . 19 1.2.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . 20 Chương 2. Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 25 2.1 Nguyên lý tựa độ lệch và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch 25 2.1.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . 30 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp và ví dụ minh họa . . . . . . . 32 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iv Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42
1 Bảng ký hiệu R tập hợp số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu của X Lp [a, b], 1 < p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b] lp , 1 < p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc p ∅ tập rỗng ∀x với mọi x D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A I toán tử đồng nhất xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 Jq ánh xạ đối ngẫu tổng quát J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị
2 Mở đầu Nhiều bài toán của thực tiễn khoa học, công nghệ và kinh tế . . . được đưa về việc giải hệ phương trình toán tử: Ai x = fi , i = 0, 1, . . . , N, (1) ở đây, Ai : X → Y là các toán tử từ không gian X vào không gian Y , fi ∈ Y cho trước và N là một số dương cố định. Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều giải được. Nhưng thực tế chỉ ra quan niệm đó là sai lầm. Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó đã dẫn đến sự sai lệch đáng kể về nghiệm, tức là có một sự thay đổi nhỏ của các dữ kiện đầu vào có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn về nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử (1), nói chung, cũng là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa một thay đổi nhỏ trong dữ liệu của bài toán có thể dẫn đến một sai khác bất kỳ trong lời giải. Việc xây dựng phương pháp hữu hiệu giải bài toán này đã và đang được các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Mục đích của đề tài luận văn là trình bày phương pháp hiệu chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (1) trong không gian Banach, nêu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và đưa ra ví dụ minh họa. Nội dung của đề tài được
3 viết trên cơ sở bài báo [6] của Nguyễn Bường, Trần Thị Hương và Nguyễn Thị Thu Thủy công bố năm 2016 về những vấn đề sau: 1. Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (1) trong không gian Banach; sự hội tụ của phương pháp; tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch và tốc độ hội tụ của phương pháp. 2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ (1) và kết quả số minh họa. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày khái niệm và tính chất của không gian Banach phản xạ lồi chặt, toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, ngược đơn điệu mạnh, toán tử liên tục Lipschitz; giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh, trình bày chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp. Chương 2 giới thiệu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch, trình bày định lý đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp; giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh lặp, sự hội tụ của phương pháp, đồng thời đưa ra ví dụ số minh họa cho phương pháp đã giới thiệu. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Lâm Thùy Dương. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các Giáo sư của Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các thầy cô của khoa Toán – Tin và Trường Đại học Khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Bắc Mê - Hà Giang và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học.
4 Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học K9C và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Phượng
5 Chương 1 Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Banach Chương này giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach, giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh và sự hội tụ mạnh của phương pháp. Nội dung của chương được trình bày trong 2 mục. Mục 1.1 giới thiệu về phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov. Mục 1.2 giới thiệu hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach và phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh. Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1], [2], [3], [4] và [6]. 1.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian Banach và toán tử đơn điệu Cho X là không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu là X ∗ . Ta dùng ký hiệu k.k cho chuẩn trong X và X ∗ và viết tích đối ngẫu hx∗ , xi thay cho giá trị của phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ X ∗ tại điểm x ∈ X, tức là hx∗ , xi = x∗ (x).
6 Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X được gọi là phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ ∈ X ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai của X, đều tồn tại phần tử x ∈ X sao cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với mọi x∗ ∈ X ∗ . Định lý 1.1.2 (xem [3]) Cho X là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i) X là không gian phản xạ. (ii) Mọi dãy bị chặn trong X đều có một dãy con hội tụ yếu. Ví dụ 1.1.3 Các không gian lp , không gian Lp [a, b], 1 < p < ∞ là các không gian Banach phản xạ. Ký hiệu SX := {x ∈ X : kxk = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian Banach X. Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm x, y ∈ X, x 6= y, mà kxk = 1, kyk = 1 thì x + y < 1. 2 Ví dụ 1.1.5 Không gian X = Rn với chuẩn kxk2 được xác định bởi X n 1/2 kxk2 = x2i , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn i=1 là không gian lồi chặt. Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn kxk1 xác định bởi Xn kxk1 = |xi |, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn i=1 không phải là không gian lồi chặt. Thật vậy, lấy x = (1, 0, . . . , 0), y = (0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn . Ta thấy x 6= y, kxk1 = kyk1 = 1 nhưng kx + yk1 = 2. Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X được gọi là không gian trơn nếu với mỗi điểm x nằm trên mặt cầu đơn vị SX của X tồn tại duy nhất một phiếm hàm gx ∈ X ∗ sao cho hgx , xi = kxk và kgx k = 1.
7 Ví dụ 1.1.7 Các không gian lp , Lp [a, b], 1 < p < ∞ là không gian Banach trơn. Định nghĩa 1.1.8 (i) Chuẩn của không gian Banach X được gọi là khả vi Gâteaux nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn kx + tyk − kxk lim (1.1) t→0 t tồn tại với x ∈ SX , ký hiệu hy, 5kxki. 5kxk được gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn. (ii) Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SX , giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SX . Ví dụ 1.1.9 Không gian Hilbert H là không gian có chuẩn khả vi Gâteaux với 5kxk = x/kxk, x 6= 0. Thật vậy, với mỗi x ∈ H với x 6= 0, ta có kx + tyk − kxk kx + tyk2 − kxk2 lim = lim t→0 t t→0 t(kx + tyk + kxk) 2thy, xi + t2 kyk2 x = lim = y, . t→0 t(kx + tyk + kxk) kxk Định nghĩa 1.1.10 Không gian Banach phản xạ X được gọi là có tính chất Ephimov–Stechkin (hay tính chất ES) nếu X lồi chặt và với mọi dãy {xn } ⊂ X hội tụ yếu đến x ∈ X, kxn k → kxk thì dãy {xn } hội tụ mạnh đến x. Ví dụ 1.1.11 Không gian Hilbert H là không gian có tính chất ES. Định nghĩa 1.1.12 Toán tử đơn trị A : X → X ∗ được gọi là (i) đơn điệu nếu hAx − Ay, x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ X; A được gọi là đơn điệu chặt trên X nếu dấu "=" của bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi x = y;
8 (ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và thỏa mãn hAx − Ay, x − yi ≥ δ kx − yk ∀x, y ∈ X; nếu δ(t) = cA t2 , cA là hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh; (iii) bức nếu hAx, xi lim = +∞, x ∈ X. kxk→+∞ kxk Định nghĩa 1.1.13 Một toán tử đơn trị đơn điệu A : X → X ∗ được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) := {(x, Ax) : x ∈ D(A)} của nó không bị chứa thực sự trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác. Ví dụ 1.1.14 Toán tử A : R → R xác định bởi Ax = x3 là toán tử đơn điệu cực đại trên R. Định nghĩa 1.1.15 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là λ-ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số λ dương sao cho hAx − Ay, x − yi ≥ λkAx − Ayk2 ∀x, y ∈ X. Định nghĩa 1.1.16 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là (i) hemi-liên tục tại x0 ∈ X nếu A(x0 + tn x) * Ax0 khi tn → 0 với mọi x thỏa mãn x0 + tn x ∈ X và 0 ≤ tn ≤ t(x0 ); (ii) demi-liên tục trên X nếu từ xn → x suy ra Axn * Ax; (iii) thế năng nếu Ax là đạo hàm của một phiếm hàm lồi nào đó. Nhận xét 1.1.17 Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên X thì demi- liên tục trên X. Định nghĩa 1.1.18 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có kAx − Ayk ≤ Lkx − yk.
9 Nhận xét 1.1.19 Mọi toán tử λ-ngược đơn điệu mạnh là toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L = 1/λ. ∗ Ký hiệu 2X là tập các tập con của X ∗ . ∗ Định nghĩa 1.1.20 Ánh xạ J q : X → 2X (nói chung đa trị) được định nghĩa bởi J q x = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ kq−1 kxk = kxkq , x ∈ X}, q ≥ 2 gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X. Khi q = 2 thì J q được viết là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh xạ đơn vị I. Mệnh đề sau chỉ ra ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính đơn trị. Mệnh đề 1.1.21 (xem [4]) Giả sử X là không gian Banach thực, J : X → ∗ 2X là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Khi đó, (ii) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −Jx với mọi x ∈ X; (iii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJx với mọi λ > 0, mọi x ∈ X; (vi) Với mỗi x ∈ X, Jx là tập lồi đóng bị chặn và khác rỗng; (v) Nếu X ∗ là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn trị. Một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu chặt, có tính chất bức là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach X. Định lý 1.1.22 (xem [4]) Nếu X ∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Hơn nữa, nếu X cũng là không gian Banach lồi chặt thì J là toán tử đơn điệu chặt. Với toán tử r : X → X ∗ , ta sẽ viết r(x) = o(kxk) với x → 0X nếu r(x)/kxk → 0 khi x → 0X , ở đây 0X là phần tử không của không gian Banach X.
10 Định nghĩa 1.1.23 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T : X → X sao cho: A(x + h) = Ax + T h + o(khk), với mọi h thuộc một lân cận của điểm 0. Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại điểm x và ta viết A0 x = T . 1.1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov Cho X và Y là hai không gian Banach, A : X → Y là một toán tử từ không gian X vào không gian Y và f ∈ Y . Xét phương trình toán tử: Ax = f. (1.2) Khái niệm bài toán đặt chỉnh được Hadamard đưa ra vào đầu thế kỷ XX như sau: Định nghĩa 1.1.24 Bài toán (1.2) được gọi là bài toán đặt chỉnh nếu (i) Phương trình (1.2) có nghiệm với mọi f ∈ Y ; (ii) Nghiệm này là duy nhất; và (iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu A và f . Định nghĩa 1.1.25 Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.2) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Nhận xét 1.1.26 (1) Đối với hầu hết các bài toán phi tuyến thì điều kiện (ii) gần như không thỏa mãn, hơn nữa điều kiện (iii) cũng khó thực hiện được. Do đó, ta thường xét bài toán đặt không chỉnh (1.2) theo nghĩa nghiệm của phương trình không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu A và f . (2) Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này, nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác.
11 Ví dụ 1.1.27 Xét bài toán tính tổng của chuỗi Fourier ∞ X f0 (t) = an cos(nt) n=0 với hệ số (a0 , a1 , . . . , an , . . . ) ∈ l2 , không gian các dãy số khả tổng bậc 2, ε được cho xấp xỉ bởi cn = an + với n ≥ 1 và ε > 0 bé tùy ý cho trước, n c0 = a0 . Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng X∞ f (t) = cn cos(nt) n=0 với hệ số (c0 , c1 , . . . , cn , . . . ) ∈ l2 . Khoảng cách giữa hai bộ số này trong không gian l2 là: ∞ 1/2 ∞ 1/2 r π2 X X 1 (cn − an )2 =ε = ε n=0 n=0 n2 6 có thể làm nhỏ tùy ý. Trong khi đó khoảng cách giữa hai tổng của chuỗi Fourier tương ứng xét trong không gian C[0, 1] có thể làm lớn bao nhiêu cũng được, vì ∞ X 1 f (t) − f0 (t) = ε cos(nt). n=1 n Chẳng hạn tại t = 0 thì chuỗi trên phân kỳ. Do đó, trong trường hợp này bài toán tính tổng của chuỗi Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Nếu ta xét trong không gian L2 [0, π], không gian các hàm khả tích bậc hai trên đoạn [0, π], thì Z π 1/2 Z π ∞ 1/2 2 X (cn − an ) cos(nt) |2 dt f1 (t) − f0 (t) dt =ε | 0 0 n=0 ∞ X 1/2 r π π = (cn − an )2 = ε1 n=1 2 2 và bài toán lại ổn định. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và tính chất của tập nghiệm của phương trình toán tử (1.2) được trình bày trong các định lý sau đây.
12 Định lý 1.1.28 (xem [4]) Nếu A : X → X ∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bức từ không gian Banach phản xạ thực X vào X ∗ thì phương trình toán tử Ax = f có nghiệm với mọi f ∈ X ∗ . Định lý 1.1.29 (xem [4]) Nếu A : X → X ∗ là một toán tử đơn điệu chặt, hemi-liên tục và bức từ không gian Banach phản xạ thực X vào X ∗ thì phương trình toán tử Ax = f có nghiệm duy nhất với f ∈ X ∗ . Định lý 1.1.30 (xem [4]) Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X ∗ là không gian liên hợp của X. Nếu A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu cực đại thì tập nghiệm {x : A(x) = f, f ∈ R(A)} của phương trình toán tử (1.2) là tập con lồi đóng trong X. Tiếp theo, ta xét phương trình toán tử đặt không chỉnh (1.2) trong trường hợp toán tử A được cho chính xác còn vế phải f được cho xấp xỉ bởi fδ thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ, δ > 0, δ → 0. (1.3) Gọi x0 là nghiệm của phương trình toán tử đặt không chỉnh (1.2) (giả sử tồn tại nghiệm). Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán (1.2), ta cần phải có thêm tiêu chuẩn cho sự lựa chọn nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗ -chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 thỏa mãn Ax0 = f, và kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : Ax = f }, (1.4) x∗ là phần tử bất kỳ của X, đóng vai trò như là một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn nghiệm. Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm ta mong muốn. Như vậy, với dữ liệu (fδ , δ) ta cần tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác x0 của phương trình đã cho khi δ → 0. Phần tử xδ có tính chất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử đặt không chỉnh (1.2).
13 Trong trường hợp không biết thêm thông tin về nghiệm với vế phải f được cho bởi xấp xỉ fδ thỏa mãn điều kiện (1.3) thì nghiệm xấp xỉ rõ ràng là không thể xây dựng theo quy tắc xδ = A−1 fδ , vì: (1) Hoặc A−1 có thể không xác định với f ∈ Y ; (2) Hoặc A−1 không liên tục, nên A−1 fδ nếu tồn tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1 f . Để nhận được nghiệm ổn định ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh do A.N. Tikhonov đề xuất dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của một tham số mới đưa vào. Sau đây là định nghĩa toán tử hiệu chỉnh. Định nghĩa 1.1.31 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử R(f, α) phụ thuộc vào tham số α, tác động từ Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.2) nếu: (i) tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ); (ii) tồn tại một hàm α = α(δ, fδ ) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi ε > 0, luôn tìm được δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ ≤ δ(ε) thì kxδα − x0 k ≤ ε, ở đây xδα ∈ R(fδ , α(δ, fδ )) và x0 là nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ nhất của phương trình (1.2). Phần tử xấp xỉ xδα ∈ R(fδ , α(δ, fδ )) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (1.2), α = α(δ, fδ ) được gọi là tham số hiệu chỉnh. Tham số hiệu chỉnh α(δ, fδ ) phải được chọn sao cho lim α(δ, fδ ) = 0. δ→0
14 Nhận xét 1.1.32 Từ định nghĩa này, ta thấy việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương trình (1.2) gồm hai bước: (i) Xây dựng toán tử hiệu chỉnh R(f, α); (ii) Xác định tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán về phần tử fδ và sai số δ. Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương pháp hiệu chỉnh. Để đánh giá được giá trị kxδα − x0 k, người ta phải sử dụng thêm thông tin về nghiệm. Một giả thiết thông dụng là điều kiện trơn của nghiệm, tức là tồn tại phần tử z ∈ X sao cho x0 − x∗ = (A0 x0 )∗ z, ở đây (A0 x0 )∗ là toán tử liên hợp của toán tử A0 x0 . Tiếp theo ta xét một phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu (1.2) với A : X → X ∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục trong không gian Banach phản xạ thực X có tính chất ES. Nếu không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh đặt lên toán tử A thì phương trình (1.2), nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục dữ kiện ban đầu. Giả sử phương trình (1.2) có nghiệm.Ký hiệu S là tập nghiệm của phương trình (1.2). Khi đó, S là một tập con lồi đóng khác rỗng trong X. Trước hết ta nhắc lại bổ đề sau: Bổ đề 1.1.33 (xem [4]) (Bổ đề Minty) Cho X là một không gian Ba- nach thực, X ∗ là không gian liên hợp của X, f ∈ X ∗ và A là một toán tử hemi-liên tục từ X vào X ∗ . Khi đó, nếu tồn tại x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức hAx − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ X, thì Ax0 = f . Nếu A là một toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với hAx0 − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ X.
15 Bổ đề trên được gọi là bổ đề Minty, tên của nhà toán học Mỹ, người đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp X là không gian Hilbert. Sau này cũng chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập trong không gian Banach. Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov là sử dụng một toán tử M : X → X ∗ có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X là một dạng của toán tử M . Năm 1975 Y.I. Alber (xem [4]) đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh: Ax + αJ(x − x∗ ) = fδ , fδ ∈ X ∗ , (1.5) để hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.2) trong trường hợp toán tử A được cho chính xác, fδ là xấp xỉ của f thỏa mãn (1.3), ở đây x∗ là một phần tử bất kỳ trong X, J : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Định lý 1.1.34 (xem [4]) Giả sử X ∗ , không gian liên hợp của không gian Banach X, là lồi chặt, A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục có miền xác định D(A) ≡ X. Khi đó với mỗi α > 0, fδ ∈ X ∗ , phương trình (1.4) có duy nhất nghiệm xδα . Chứng minh. Vì X ∗ là không gian lồi chặt nên J là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Vì vậy, A + αJ cũng là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục từ X vào X ∗ . Mặt khác, do J là toán tử bức nên với mỗi α > 0 toán tử A + αJ cũng là một toán tử bức. Thật vậy, ta xét h(A + αJ)x, xi = hAx + αJx, xi = hAx − A0X + A0X + αJx, x − 0X i = hAx − A0X , x − 0X i + hA0X , x − 0X i + αhJx, xi. Vì A là toán tử đơn điệu nên hAx − A0X , x − 0X i ≥ 0 ∀x ∈ X. Mặt khác, theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J ta có αhJx, xi = αkxk2 .
16 Do đó h(A + αJ)x, xi ≥ αkxk2 − kA0X kkxk. Từ bất đẳng thức này suy ra h(A + αJ)x, xi αkxk2 − kA0X kkxk ≥ kxk kxk = αkxk − kA0X k. Suy ra h(A + αJ)x, xi lim = +∞. kxk→+∞ kxk Vì A là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục với D(A) ≡ X nên A là toán tử đơn điệu cực đại. Suy ra, với mỗi α > 0 toán tử A + αJ cũng là một toán tử đơn điệu cực đại, bức và hemi-liên tục. Do đó, phương trình (1.4) có duy nhất nghiệm với mỗi α > 0, ký hiệu là xδα . Định lý 1.1.35 (xem [4]) Giả sử X là không gian Banach phản xạ thực có tính chất ES; X ∗ , không gian liên hợp của X, là lồi chặt; A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục có D(A) ≡ X; tập nghiệm S của phương δ trình toán tử (1.2) khác rỗng. Khi đó, nếu α, → 0 khi δ → 0 thì dãy α nghiệm {xδα } hội tụ mạnh đến nghiệm x0 của phương trình (1.2) thỏa mãn kx0 − x∗ k = min kx − x∗ k. (1.6) x∈S Chứng minh. Từ (1.2) và (1.5) ta có hAxδα − Ax + f − fδ , xδα − xi + αhJ(xδα − x∗ ) − J(x − x∗ ), xδα − xi = αhJ(x − x∗ ), x − xδα i ∀x ∈ S. Do A là toán tử đơn điệu và J là toán tử đơn điệu mạnh nên từ bất đẳng thức này ta suy ra αmJ kxδα − xk2 ≤ hfδ − f, xδα − xi + αhJ(x − x∗ ), x − xδα i ≤ kfδ − f kkxδα − xk + αhJ(x − x∗ ), x − xδα i ≤ δkxδα − xk + αhJ(x − x∗ ), x − xδα i,