BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trần Minh
MỘT ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trần Minh
MỘT ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC
Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN HÀ THANH
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh,
người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, truyền
thụ cho học viên cao học khóa 21 chúng tôi những kiến thức cơ bản, những
công cụ, phương pháp nghiên cứu khoa học hiệu quả để chúng tôi có thể tự
tin cho việc học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa
học công nghệ – Sau đại học, ban chủ nhiệm và các Thầy Cô là giảng viên
khoa Toán – Tin của trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo
điều kiện tốt nhất cho chúng tôi hoàn thành khóa học.
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn học viên cùng khóa đã luôn
chia sẽ buồn vui, hỗ trợ lẫn nhau, giúp đỡ nhau cùng vượt qua những lúc khó
khăn trong suốt quá trình học tập.
Bên cạnh đó, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn là học viên cao học
chuyên ngành hình học và tôpô các khóa trước đã nhiệt tình chia sẽ kinh
nghiệm nghiên cứu khoa học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân
yêu trong gia đình tôi, những người luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tôi về
mọi mặt.
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu................................................................................ 2
3. Đối tượng nghiên cứu .............................................................................. 3
4. Phạm vi nghiên cứu.................................................................................. 4
5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 4
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................... 6
1.1. Các khái niệm và ký hiệu ..................................................................... 6
1.2. Các ví dụ và nhận xét .......................................................................... 13
Chương 2: ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP ............................................. 19
2.1. Hyperbolic kéo theo phân thớ điểm .................................................. 20
2.2. Phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm hấp dẫn .............. 21
2.3. Một hệ hàm lặp với một điểm hấp dẫn thì co rút tôpô .................... 24
2.4. Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đối ....................................... 31
2.5. Một hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối là hyperbolic ............ 32
Tổng kết chương 2 ...................................................................................... 38
Chương 3: SỰ TỒN TẠI HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC ........ 39
3.1. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm hạn chế theo bao affine của tập hợp tự đồng dạng ........................................................ 39
3.2. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic ............................. 42
KẾT LUẬN .................................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 47
Trang 1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học Fractal được biết đến từ năm 1975, do Benoit Mandelbrot đã
củng cố từ hàng trăm năm ý tưởng và sự phát triển ban đầu của môn hình học
này. Dù còn rất mới nhưng hình học Fractal thu hút được sự quan tâm của
nhiều nhà toán học như Michael F. Barnsley, V. Ervin, D. Hardin, J.
Lancaster, John E. Hutchinson, Masayoshi Hata, Jun Kigami, Atsushi
Kameyama, Bernd Kieninger ....
Hệ hàm lặp được giới thiệu lần đầu bởi John E. Huntchinson [7] năm
1981 khi ông nghiên cứu về “Fractal và tính tự đồng dạng” và được phổ biến
bởi Michael F. Barnsley năm 1988. Nó cung cấp phương tiện nghiên cứu các
mô hình hình học tự đồng dạng trong tự nhiên. Ngày nay, hình học Fractal
được xem như là môn nghiên cứu cơ bản dành riêng cho ứng dụng đồ họa
máy tính hiện đại.
Năm 2004, khi nghiên cứu về khoảng cách trên các tập hợp tôpô tự
đồng dạng trong hình học Fractal và các ứng dụng của nó, Atsushi Kameyama
đã nêu ra một vấn đề cần quan tâm là:
“Cho một tập hợp tôpô tự đồng dạng, có hay không sự tồn tại của một
hệ liên kết của các ánh xạ co rút?”
Với nhiều công trình nghiên cứu về hình học Fractal, Michael F.
Barnsley cũng đã quan tâm đến việc tìm ra câu trả lời cho vấn đề này. Gần
đây nhất, năm 2011, kết quả nghiên cứu của ông cùng với Ross Atkins,
Trang 2
Andrew Vince, David C. Wilson cho ta thấy rằng các vấn đề mà Atsushi
Kameyama đã đặt ra là hợp lý.
Nghiên cứu sâu hơn về mối liên hệ giữa hệ hàm lặp affine và hệ hàm
lặp affine hyperbolic, ta xác định được một đặc tính của hệ hàm lặp affine
hyperbolic. Đặc tính này bao hàm câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của
m .
Atsushi Kameyama với các tập hợp tự đồng dạng cảm sinh từ các phép biến
đổi affine trên
2. Mục đích nghiên cứu
Năm 2002, Bernd Kieninger [10] nghiên cứu về hệ hàm lặp trên không
gian compact Hausdorff. Trong những năm thập niên 70, R. F. Williams [19]
và Solomon Leader [12] có các công trình nghiên cứu về phép co rút. Trong
khoảng những năm 1970 đến 2006, nhiều công trình nghiên cứu khác về hình
học lồi đã được quan tâm tới bởi các nhà toán học: R. Tyrrell Rockafellar
[15], Rolf Schneider [17], Roger Webster [18], Maria Moszyńska [13]. Tiếp
cận với các kết quả nghiên cứu khoa học này, nó hướng chúng ta đến các vấn
đề có liên quan quanh bài toán như
- Tính hyperbolic và phân thớ điểm của một hệ hàm lặp affine.
- Sự tồn tại của một điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp afiine.
- Tính co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine.
- Hệ hàm lặp affine với tính không xuyên tâm đối của nó.
Các mối liên hệ giữa các yếu tố ở trên như thế nào? Nó quyết định điều
gì trong việc tìm ra câu trả lời cho vấn đề của Atsushi Kameyama? Chúng sẽ
được làm sáng tỏ thông qua việc nghiên cứu vấn đề dưới đây:
Trang 3
m
F
Vấn đề 1
;
f
f
,...,
f
, 1
2
N
là một hệ hàm lặp affine, thì các phát biểu Nếu
sau đây là tương đương
(1) F là hyperbolic
(2) F là phân thớ điểm
m
(3) F có một điểm hấp dẫn
m
(4) F là một co rút tôpô theo vật lồi K nào đó chứa trong
(5) F không xuyên tâm đối theo vật lồi K nào đó chứa trong
Ngoài ra, bằng cách tổng hợp các mối liên hệ trên ta xác định được một
đặc tính về sự tồn tại của hệ hàm lặp affine hyperbolic, thông qua vấn đề 2
sau đây
m
F
Vấn đề 2
;
f
f
,...,
f
, 1
2
N
m
:
p , thì F là hyperbolic trên bao affine của ( )p .
m , thì F là
Nếu là một hệ hàm lặp affine với ánh xạ mã hoá
m .
Đặc biệt, nếu ( )p chứa một tập con mở khác rỗng của
hyperbolic trên
3. Đối tượng nghiên cứu
Như trên đã đề cập, đối tượng nghiên cứu của luận văn là “
đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic”.
Trang 4
4. Phạm vi nghiên cứu
Ở vấn đề 1, phân tích các tính chất được phát biểu tương đương của hệ
hàm lặp affine, chúng tôi thiết lập mối liên hệ giữa hệ hàm lặp affine và hệ
hàm lặp affine hyperbolic. Đây là nền tảng căn bản để nghiên cứu sâu hơn về
các tính chất của hệ hàm lặp affine hyperbolic.
Bên cạnh đó, vấn đề 2 cũng sẽ làm rõ mục tiêu chính của luận văn và
chỉ ra đặc tính về sự tồn tại của hệ hàm lặp affine hyperbolic. Vấn đề của
Atsushi Kameyama được nhắc đến từ đầu cũng được trả lời từ đây.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp và hoàn thiện những kết quả đã có từ những bài báo khoa học
và các tài liệu có liên quan trên thế giới.
Luận văn được viết thành 3 chương.
Phần đầu của chương 1 chứa các khái niệm, thuật ngữ và định nghĩa
được dùng trong suốt nội dung của luận văn. Phần tiếp theo của chương chứa
các ví dụ và nhận xét về các hệ hàm lặp và điểm hấp dẫn của chúng có liên
quan tới định lý 1 và định lý 2.
Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu việc chứng minh hai định lý
1 và 2, chứng minh hai định lý này được phân bố chủ yếu vào chương 2 và
chương 3.
Chương 2, ta nghiên cứu đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic với
các tính chất được phát biểu tương đương trong định lý 1 như : F là
m
m
hyperbolic, F là phân thớ điểm, F có một điểm hấp dẫn, F là một phép co
K , F không xuyên tâm đối theo vật lồi
K .
rút tôpô theo vật lồi
Trang 5
Tiếp theo đó, ta nghiên cứu sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine
m trong nội dung chương 3.
hyperbolic trên một không gian con affine của
Trang 6
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trước tiên, chúng tôi đưa ra cơ sở lý thuyết nhằm phục vụ cho việc
nghiên cứu các chương tiếp theo. Mục tiêu của chương này là hệ thống toàn
bộ các ký hiệu, khái niệm và định nghĩa được sử dụng trong suốt luận văn.
Ngoài ra, chúng tôi đề cập đến vài ví dụ và nhận xét quan trọng minh họa cho
mục tiêu nghiên cứu luận văn.
Hầu hết các kiến thức được trình bày ngắn gọn, liên kết chặt chẽ với
nhau để làm rõ các vấn đề trong những phần tiếp theo sau. Để tìm hiểu chi
tiết, ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [6], [7], [9], [10], [11] và [19]
được trích dẫn tương ứng trong nội dung chương.
1.1. Các khái niệm và ký hiệu
m như là một không gian vectơ, một không gian affine và một
Ta xét
m
không gian mêtric.
x
x
,...,
với vectơ mà các tọa
2
m
x x , 1
Ta xác định một điểm
x .
x x , 1
,..., m
2
độ của nó là
m là một điểm trong
m mà các tọa độ của nó là 0.
Ta ký hiệu 0
e e 2, 1
e ,..., m
m
. Cơ sở định chuẩn được ký hiệu là
,x y .
x y được ký hiệu là ,
Tích trong giữa
Trang 7
x
x x ,
m x là
2
m
m
y
x
2-chuẩn của một điểm và mêtric Euclide
:
0,
Ed
Ed
x y ,
với mọi 2
m
x y . ,
được xác định bởi
Dưới đây là các ký hiệu và qui ước sẽ được dùng trong suốt luận văn.
m có phần trong khác
(1) Một thể lồi là một tập con lồi compact của
m
rỗng.
B , bao lồi của B được ký hiệu là
conv B .
m
(2) Với tập
B , bao affine của B , được ký hiệu là
aff B , là
(3) Với tập
không gian affine con nhỏ nhất chứa B , nghĩa là giao của tất cả các không
m , và d ký
gian affine con chứa B .
,m d
(4) là ký hiệu của tập con compact khác rỗng của
là một không gian mêtric
hiệu mêtric Hausdorff trên . Khi đó
đầy đủ.
(5) Cho X và Y là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric
)
(
m d , )
d X Y ( ,
d X Y ( ,
x X
y Y
x X
y Y
) max sup inf ( , ), sup inf ( , ) d x y d x y
. Khoảng cách Hausdorff của chúng xác định bởi
d X Y ( ,
)
e inf{
0 :
}
X Y Y X , e
e
tương đương
trong đó
}
X
{ : ( , ) z M d z x
e
:
e
x X
Trang 8
Minh họa khoảng cách Hausdorff của hai tập X và Y
m được gọi là tương đương Lipschitz với Ed
(6) Một mêtric d trên
m
nếu có các hằng số r và R sao cho
,
rd
Rd
x y . ,
E
E
, x y
d x y
, x y
với mọi
Nếu hai mêtric tương đương Lipschitz thì chúng cảm sinh tôpô giống
m , nhưng điều ngược lại thì không cần thiết là đúng.
nhau trên
m , ký hiệu
(7) Với bất kỳ hai
A B
:
y x A y B
,
:
x
được dùng để ký hiệu phép trừ theo từng tập con A và B của
điểm của các phần tử trong hai tập hợp.
1,2,...,N
k
là ký hiệu tập hợp (8) Với một số nguyên dương N ,
1,2,...,N .
1
k
của tất cả các dãy vô hạn của các ký hiệu s thuộc bảng
Tập hợp được trang bị tôpô tích. Một phần tử của s cũng sẽ được ký
Trang 9
s
s s s 1 2
3...
ks ký hiệu thành phần thứ k
hiệu bằng cách ghép , trong đó
của s . Khi được trang bị tôpô tích thì nó là không gian Hausdorff
compact.
Ngoài ra, vài khái niệm về bán kính phổ và bán kính phổ nối cũng được
nhắc đến trong ví dụ 3.4
(9) Bán kính phổ của một ma trận vuông hoặc của một toán tử tuyến
tính bị chặn là chặn trên của các giá trị tuyệt đối của các phần tử trong phổ
của nó.
l
l là các giá trị riêng của ma trận vuông A cấp
1,...,
n
Cụ thể hơn, cho
n . Khi đó bán kính phổ ( )Ar
l
Ar ( ) max
i
i
của nó được xác định như sau:
Phổ của một ma trận là tập hợp các giá trị riêng của nó.
n n
(10) Bán kính phổ nối (the joint spectral radius) của một tập hợp các ma
M
}
được xác định như sau:
A 1{ ,...,
A n
1/
k
)
...
:
r
( M
A M
A i
A i
i
1
k
lim max k
trận
Hệ thống lại các định nghĩa hệ hàm lặp và các khái niệm có liên quan
như sau:
Định nghĩa 1.1.1 (Hệ hàm lặp).
:
n
1,2,...,
N
m
m ,
nf
m
F
, là các Nếu N là số nguyên dương và
;
f
f
,...,
f
, 1
2
N
được gọi là một hệ hàm lặp. ánh xạ liên tục, thì
Trang 10
Từ đó, ta mở rộng thành khái niệm hệ hàm lặp affine, là một khái niệm
quan trọng được nhắc đến hầu hết trong cả luận văn.
m , thì F được gọi là một
Nếu mỗi f F là một ánh xạ affine trên
hệ hàm lặp affine.
m
F
Định nghĩa 1.1.2 (Hệ hàm lặp co rút).
;
f
f
,...,
f
, 1
2
N
Một hệ hàm lặp là co rút khi mỗi nf là phép co
rút.
d
f
,
a
E
n
d n E
na
x
x y ,
0,1
f y n
m
sao cho Cụ thể là, có một số
x y , với mọi n . ,
với mọi
m
F
Định nghĩa 1.1.3 (Hệ hàm lặp hyperbolic).
;
,...,
f
f
f
, 1
2
N
được gọi là hyperbolic nếu có Một hệ hàm lặp
m tương đương Lipschitz với mêtric đã cho sao cho mỗi nf
một mêtric trên
là phép co rút.
m
:
p được gọi là một ánh xạ mã hóa với hệ
m
F
Định nghĩa 1.1.4 (Ánh xạ mã hóa).
f
f
;
,...,
f
n
1,2,...,
N
, 1
2
N
hàm lặp nếu, với mỗi , sơ đồ sau đây Một ánh xạ liên tục
n
giao hoán
p
s p m m
n
f
(1.1.1)
Trang 11
:ns ký hiệu ánh xạ nâng ngược được xác định bởi
Trong đó
s n
ns
s
.
Ánh xạ mã hóa được Jun Kigami [11] và Kameyama [9] sử dụng như
một công cụ để xác định tập hợp tự đồng dạng. Như vậy, trong bài này, nó
được dùng để xác định điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp.
m
F
Định nghĩa 1.1.5 (Hệ hàm lặp phân thớ điểm).
;
,...,
f
f
f
, 1
2
N
s
, giới hạn về bên phải của
s s s 1 2
3...
...
là phân thớ điểm nếu, với mỗi Một hệ hàm lặp
:
f
f
f
s
s
s
1
2
k
p s
x
lim k
m
:
(1.1.2)
p là một ánh xạ
tồn tại, độc lập theo x với s cố định, và ánh xạ
mã hóa.
Không khó để chỉ ra rằng biểu thức (1.1.2) là ánh xạ mã hóa duy nhất
của một hệ hàm lặp phân thớ điểm. Khái niệm về một hệ hàm lặp phân thớ
điểm là tương tự với khái niệm của Kieninger [10]. Tuy nhiên, trong phạm vi
luận văn này nó được thiết lập trong không gian mêtric đầy đủ.
( )BF
m
F
F
với một hệ hàm lặp). Định nghĩa 1.1.6 (Ký hiệu
f
f
f
;
,...,
, 1
2
N
:
N
F
B ( )
f B ( ) n
n
1
xác định bởi Với một hệ hàm lặp
(Ký hiệu F tương tự được dùng cho hệ hàm lặp và ánh xạ.)
k BF ( )
Trang 12
....
ký hiệu sự hợp thành cấp k của F , nghĩa là, Với B , cho
s độ dài là k .
f
f
s
s
f B ( ) s
s s 1
2...
k
k
1
2
hợp của trên mọi
Định nghĩa 1.1.7 (Điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp).
m
F
Một tập hợp A được gọi là một điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp
;
f
f
,...,
f
, 1
2
N
nếu
A
A F ( )
k
F
(1.1.3) và
A
B ( )
lim k
B .
(1.1.4) , giới hạn theo mêtric Hausdorff, với mọi
Nếu một hệ hàm lặp có một điểm hấp dẫn A , thì rõ ràng A là điểm
hấp dẫn duy nhất. Ta cũng biết rằng một hệ hàm lặp hyperbolic có một điểm
hấp dẫn. Năm 1981, Jonh E. Huntchinon [7] đã chứng minh điều này. Ông
F
quan sát rằng một hệ hàm lặp co rút F cảm sinh một ánh xạ co rút
:
, từ kết quả kéo theo bởi định lý ánh xạ co rút.
A p .
( )
Chương tiếp theo chỉ ra rằng một hệ hàm lặp phân thớ điểm F có một
điểm hấp dẫn A , và hơn nữa, nếu p là ánh xạ mã hóa của F thì
Thường thì được xét như là “địa chỉ” của điểm ( )p s trong điểm hấp dẫn.
Có nhiều cách tiếp cận với khái niệm của một hệ tự đồng dạng mà không phụ
thuộc vào không gian xung quanh. Năm 2001, trong tài liệu fractals của Jun
Kigami [11] có ví dụ chỉ ra một cách tiếp cận với khái niệm trên, cách tiếp
cận này bắt đầu với ý tưởng của ánh xạ mã hóa liên tục p và xác định điểm
hấp dẫn như ( )p là có hiệu quả.
Trang 13
1.2. Các ví dụ và nhận xét
Phần này chứa các ví dụ và nhận xét có liên quan tới các định lý 1 và 2
2
F
trong nội dung chính của luận văn.
; )f
(
Ví dụ ngay dưới đây cho ta là một hệ hàm lặp phân thớ
điểm, tuy nhiên hàm f F là ánh xạ không co rút dưới mêtric thông thường
2 . Thông qua đó, nó cho thấy sự cần thiết của việc tái thiết lập một
trên
mêtric tương đương với mêtric thông thường, để mỗi nf F là phép co rút
dưới mêtric mới này.
Ví dụ 1.2.1.
2
Xét một hệ hàm lặp affine bao gồm một hàm đơn tuyến tính trên
f
0 2 1 0 8
1
được cho bởi ma trận
2 . Khi
n
0
2
1
n
1 2
f
T
lim n
lim n
0 0 0 0
0
T n 1 2
Chú ý rằng giá trị riêng của f bằng
Trong đó T là ma trận chuyển cơ sở, hệ hàm lặp này là phân thớ điểm.
f
0 2 0 1
, ánh xạ không là co rút dưới mêtric thông thường Tuy nhiên, khi
2 .
trên
Trang 14
2 một mêtric tương đương vì thế f là một phép co rút.
Tuy nhiên, phát biểu 1 đảm bảo cho ta có thể thiết lập (mã hóa lại) trên
Trong tài liệu hệ hàm lặp affine, đôi khi được giả định rằng các giá trị
riêng của các phần tuyến tính của các hệ hàm lặp affine có giá trị tuyệt đối
nhỏ hơn 1.
Nhưng giả thiết này không đủ để kéo theo bất kỳ phát biểu nào trong
năm phát biểu được cho trong định lý 1.
m f ; )
là phân thớ điểm nếu và chỉ nếu các Lúc đó hệ hàm lặp affine (
giá trị riêng của phần tuyến tính của f có giá trị tuyệt đối hoàn toàn nhỏ hơn
1, một phát biểu tương tự không thể được tạo nếu số hàm trong hệ hàm lặp
lớn hơn 1.
2
F
Ví dụ 1.2.2.
;
f
,f 1
2
Xét hệ hàm lặp affine , trong đó
f
f
1
2
0 2 1 0 8
1 0 8 2 0
và
Như được chú thích trong ví dụ 1.2.1
n f u 1
n f u 2
lim n
lim n
0 0
2
2
F
F
với vectơ u bất kỳ.
1
1; f
2
2; f
Do đó, cả và là phân thớ điểm.
Tích của chúng là ma trận
Trang 15
f
f
1
2
4 0
0 1 64
n
n
, vì thế
f
f
1
2
lim n
lim n
4 0
1 0
2
F
.
;
f
,f 1
2
không là phân thớ điểm. Suy ra hệ hàm lặp
Do vậy, điều kiện các thành phần tuyến tính của các hàm trong hệ hàm
lặp có giá trị tuyệt đối của các giá trị riêng nhỏ hơn 1 không được phát biểu
như một điều kiện tương đương trong định lý 1.
Nhận xét
Trong khi chứng minh một hệ hàm lặp hyperbolic là phân thớ điểm
trong định lý 1 là đúng ngay cả không giả định rằng hệ hàm lặp là affine, thì
điều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát. Thật vậy, năm 2004,
Atsushi Kameyama [9] đã chỉ ra rằng tồn tại một hệ hàm lặp điểm thớ không
là hyperbolic.
2
F
Ví dụ 1.2.3.
;
,L L 1
2
Xét hệ hàm lặp tuyến tính , trong đó
L
aR
L
q
2
1
q q
cos sin
q a sin q a cos
a a
0 2 1 0 8
a .
1
và ,
trong đó Rq dùng để chỉ việc quay một góc q , và 0
Trang 16
nL có các giá trị riêng 1 2n
nL
1
2
Khi đó trong khi các giá trị riêng của
na . 1
cùng có độ lớn
q
p
8
a
31 32
Ví dụ, nếu ta chọn và thì ít được xác minh rằng
2L L và
1
1L L có độ lớn nhỏ hơn 1 và có một trong các
2
các giá trị riêng của
L L L là 1,4014… . Suy ra, trong trường hợp này, độ lớn
1
2
2
giá trị riêng của
,
,
L L L L L L L L tất cả đều 2
, 1
, 1
1
2
2
2 2
2 , 1
n
2
x không hội tụ khi
x là một vectơ riêng bất
L L L 1 2
2
các giá trị riêng của các toán tử tuyến tính
ít hơn 1, nhưng
L L L tương ứng với giá trị riêng 1,4014… . Nó kéo theo hệ hàm lặp
1
2
2
2
kì của
;
,L L 1
2
không là phân thớ điểm.
Bằng cách sử dụng ý tưởng cơ bản tương tự, đơn giản để chứng minh
rằng, khi đưa ra bất kì một số nguyên dương M , ta có thể chọn a gần bằng 1
L L s
s
s (trong
1
2... L
k
và q gần bằng 0 theo cách như vậy thì các giá trị riêng của
j
1,2,...,
k
{1,2}
js
với đó , với k M ) tất cả đều có độ lớn ít hơn 1,
ML L có giá trị riêng của độ lớn lớn hơn 1.
1
2
trong khi
Điều này được liên hệ tới bán kính phổ nối của cặp toán tử tuyến tính
và tới các giả định hữu hạn có liên quan.
Như vậy, bằng ý tưởng của ví dụ 1.2.3, nó mở ra một hướng nghiên
cứu về một phát biểu mới tương đương với năm phát biểu đã biết trong định lí
1.
Trang 17
2
F
Ví dụ 1.2.4.
;
f
,f 0
1
Cho , trong đó
)
(
)
x
,
x
f x x ( , 0 1
2
x x , 1
2
f x x , 1
2
1
2
1 2
1 2
1 2
. và 1
{0,1}
p s ( )
s
(0. , 0)
và Hệ hàm lặp này có một ánh xạ mã hóa p với
...
f
f
f
)
x
)
(0. , s
, trong đó 0.s được xét như là một cơ sở hai số thập phân.
x x , ( 1
2
2
s
s
s
1
2
k
lim k
2
phụ thuộc vào việc chọn các Khi
)
x x , hệ hàm lặp này không thể là phân thớ điểm. Suy ra, theo (
, 1
2
điểm
định lý 1, hệ hàm lặp F cũng không là hyperbolic.
Tuy nhiên, nó rõ ràng là hyperbolic khi được hạn chế theo trục x , bao
p
[0,1] {0}
.
affine của khoảng đơn vị ( )
2 có ánh xạ mã hóa
Ví dụ này cung cấp một hệ hàm lặp affine trên
2 , nên theo định lý 1 nó cũng không là
nhưng không là phân thớ điểm trên
2 . Tuy nhiên, nó là phân thớ điểm và hyperbolic khi được
hyperbolic trên
giới hạn theo trục x là bao affine của ( )p .
Do đó, ví dụ này minh họa định lý 2.
Nhận xét
Một điều quan trọng được dùng trong chứng minh định lý 1 là tập các
điểm xuyên tâm đối trong một thể lồi bằng với tập của các điểm đường kính.
Các định nghĩa về các điểm xuyên tâm đối và điểm đường kính được cho
trong các định nghĩa ở phần tương ứng.
Trang 18
Đẳng thức giữa hai tập điểm cũng sẽ được đề cập đến ở định lí 2.5.3.
Sự tương đương này giữa các điểm xuyên tâm đối và các điểm đường kính là
quan trọng cho việc nghiên cứu luận văn bởi vì nó cung cấp kỹ thuật mêtric
hóa ở định lý 2.5.4, nó kéo theo một hệ hàm lặp không xuyên tâm đối là
hyperbolic.
Trang 19
Chương 2
ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP
Như đã được nêu ở trên, chương này chủ yếu nghiên cứu về đặc tính
của hệ hàm lặp thông qua các vấn đề có liên quan quanh bài toán như:
- Tính hyperbolic và phân thớ điểm của một hệ hàm lặp affine.
- Sự tồn tại của một điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp afiine.
- Tính co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine.
- Hệ hàm lặp affine với tính không xuyên tâm đối của nó.
Mối liên hệ giữa các tính chất trên được thể hiện trong định lý sau
m
F
Định lý 1.
;
,...,
f
f
f
, 1
2
N
Nếu là một hệ hàm lặp affine, thì các phát biểu
F là hyperbolic.
sau đây là tương đương.
F là phân thớ điểm.
(1)
F có một điểm hấp dẫn.
(2)
m
F là một phép co rút tôpô theo thể lồi
(3)
K .
m
F không xuyên tâm đối theo thể lồi
(4)
K .
(5)
Như vậy, mục tiêu của chương này là nghiên cứu đặc tính của hệ hàm
lặp thông qua chứng minh định lý 1.
Trang 20
...
2.1. Hyperbolic kéo theo phân thớ điểm
f
f
f
s
s
s
kf s
1
2
k
x
x
Ta quy ước ký hiệu . Chú ý rằng, với k cố
kf s
x
định, là một hàm theo x và s .
Như đã nói ở nhận xét, khi chứng minh một hệ hàm lặp hyperbolic là
phân thớ điểm không cần giả định hệ hàm lặp là affine.
m
F
Định lý 2.1.1.
f
f
f
;
,...,
, 1
2
N
Nếu là một hệ hàm lặp hyperbolic, thì F là
phân thớ điểm.
Chứng minh
k
tồn tại là độc lập với x , Với s , chứng minh rằng giới hạn lim k f s
nó thật ra trùng với chứng minh định lý ánh xạ co rút cổ điển. Hơn nữa, sự
m
chứng minh như vậy chỉ ra rằng giới hạn là đều theo s .
:
p xác định bởi
p s
lim k f s k
Với , dễ dàng kiểm tra rằng,
n
1,2,...,
N
với mỗi , sơ đồ (1.1.1)giao hoán.
kf s
x
,s t là đóng đầy đủ trong tích
là một Còn lại là chứng minh rằng p là liên tục. Với x cố định,
hàm liên tục của s . Dễ thấy bởi vì, nếu
tôpô, thì nó phù hợp với k thành phần đầu tiên.
Theo định nghĩa 1.1.5 , hàm p khi đó là giới hạn đều của các hàm liên
tục (theo s ) xác định trên tập compact . Cho nên, p là liên tục.
Trang 21
Cho F là một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm, và cho A định nghĩa
:A p .
tập hợp
Theo định lý 2.2.2, A là một điểm hấp dẫn của F .
2.2. Phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm hấp dẫn
Mối liên hệ phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm hấp dẫn
trong định lý 1 được chứng minh trong phần này.
Trước tiên ta xét bổ đề sau.
m
F
Bổ đề 2.2.1.
f
f
f
;
,...,
, 1
2
N
m
m
Cho là một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm với
:
B là compact, thì sự hội tụ trong giới
p . Nếu
ánh xạ mã hóa
s
s s
và x B .
1
2...
x
p s
f lim k s k
là đều theo hạn
, trong đó
a
Chứng minh
L x n
n
nL
Ta chứng minh tính hội tụ đều. biểu diễn n f
là phần tuyến tính.
Khi đó
f
x ( )
L
a (
)
L
a (
)
...
)
a
s
s
s
s
s
s
s
k
k
2
L a ( s 1
k
k
2
1
1
f
1 k (0)
s
L x ( ) s k L x ( ) s k
k
(2.2.1)
,x y B ,
Từ đẳng thức (2.2.1) kéo theo, với bất kỳ
(2.2.2)
)
( ), x f
( )) y
y
( d f E
k
k
s
s
2
m
sup
2
)
:
c e
B
...
j
j
m m
c e 1 1
k
( c L e s
2
)
(0)
1 f
c
( e
f
j
k
k
s
s
( L x k s j max j
2
Trang 22
{ }m e
c
c
:
...
c e
B
là một cơ 1
j
j
j
j
c e 1 1
m m
m 2 .sup max
và trong đó
m .
sở của
e . Từ định nghĩa phân thớ điểm, có
0
jk độc lập với s , sao cho
Cho
k
k thì j
(0)
p s ( )
)
( e
( ) p s
j
kf s
kf s
2
2
e , c 4
e và 4 c
f
f
(0)
nếu
. Cái này và đẳng thức (2.2.2) suy
e ( ) j
k
k
s
s
2
e 2 c
Nó kéo theo
k
k
k
,x y B ta có
: max j
j
( ), x f
( )) y
c
ra rằng nếu thì với bất kỳ
( d f E
k
k
s
s
e . 2
e 2 c
(2.2.3)
bk độc lập với s , sao
( ), ( ))
k
max
Cho b là một phần tử cố định của B . Có một
k
d f ( E
k thì b
bs k
k k ,b
e p s . Nếu 2
thì theo đẳng cho nếu
p s ( ), ( )) x
x f ( ),
b ( ))
p s ( ), ( )) b
d f ( E
d f ( E
d f ( E
k
k
k
k
s
s
s
s
e e 2
e 2
thức (2.2.3), với bất kỳ x B ,
Trang 23
m
F
Định lý 2.2.2 (Một hệ hàm lặp phân thớ điểm có một điểm hấp dẫn).
;
f
f
,...,
f
, 1
2
N
m
F có một điểm hấp dẫn
A p , trong đó
( )
:
p là ánh xạ mã hóa
Nếu là một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm thì
của F .
Chứng minh
Nó kéo theo trực tiếp từ sơ đồ giao hoán (1.1.1) rằng A tuân theo đẳng
thức tự tham chiếu (1.1.3). Tiếp theo ta chỉ ra rằng A thỏa mãn đẳng thức
(1.1.4).
e . Ta phải chỉ ra rằng có một M sao cho nếu k M thì
0
k
Cho
M
max(
)
d
e
M M , 1
2
1M và
F
B p ( ), ( )
2M được xác định như dưới đây.
. Nó đủ để cho , trong đó
Trước hết, cho a là một phần tử tùy ý của A . Khi đó tồn tại một
s sao cho
a
p s ( )
k M
1M sao cho nếu
1
. Theo bổ đề 2.2.1, có một
, với mọi b B . Nói cách khác, A
e
b a ( ), )
p s b ( ), ( ))
d f ( E
d f ( E
k
k
s
s
thì
k BF ( )
. nằm trong một e -lân cận của
Tiếp theo, cho b là một phần tử bất kỳ của B và s là một phần tử bất
a
p s : ( )
thì có một
A
k M
2M sao cho nếu
2
thì kỳ của . Nếu
k BF ( )
b a ( ), )
p s ( ), ( )) b
. Nói cách khác,
e
d f ( E
d f ( E
k
k
s
s
e -lân cận của A .
nằm trong một
Trang 24
2.3. Một hệ hàm lặp với một điểm hấp dẫn thì co rút tôpô
Mục tiêu của phần này là thành lập sự kéo theo từ sự tồn tại của một
điểm hấp dẫn đến tính chất co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine trong định
lý 1. Ta sẽ chỉ ra rằng nếu một hệ hàm lặp affine có một điểm hấp dẫn như
được xác định trong định nghĩa 1.1.7, thì nó là một co rút tôpô.
Năm 1993, trong tài liệu nghiên cứu về thể lồi, Rolf Schneider [17] đã
cho thấy sự tiện ích khi ứng dụng mêtric Minkowski vào việc nghiên cứu các
đặc tính của thể lồi.
Như đã biết ở ví dụ 1.2.1, việc thiết lập lại một mêtric mới tương đương
với mêtric thông thường nhằm bảo đảm điều kiện co rút tôpô của một hệ hàm
lặp là cần thiết, do đó ta chọn mêtric Minkowski phục vụ cho chứng minh
phần này.
Năm 1970, R. Tyrrel Rockafellar [15] có xét đến một mêtric tương tự
như là mêtric Minkowski, điều này có nghĩa là, ngoài mêtric Minkowski còn
có mêtric khác có thể bảo đảm được điểu kiện co rút tôpô của hệ hàm lặp.
Tuy nhiên về tính chất mêtric mà ông đưa ra không thuận lợi cho việc chứng
minh tính co rút tôpô của một hệ hàm lặp.
Việc chứng minh có sử dụng các ký hiệu liên quan đến thể lồi, ta bổ
sung thêm vài định nghĩa và hệ quả có liên quan trong chứng minh.
Định nghĩa 2.3.1.
x K thì x K
.
Một thể lồi K là đối xứng tâm nếu nó có tính chất là bất cứ khi nào
Trang 25
Ta còn có một kỹ thuật tổng quát được biết đến trong việc tạo thành các
thể lồi đối xứng tâm từ một thể lồi cho trước được cung cấp bởi hệ quả tiếp
theo.
Hệ quả 2.3.2.
'K
là một
K K
m thì tập
Nếu một tập K là một thể lồi trong
m .
thể lồi đối xứng tâm trong
Định nghĩa 2.3.3 (Chuẩn Minkowski).
m thì chuẩn Minkowski trên
m được xác định bởi
Nếu K là một thể lồi đối xứng tâm trong
x
inf{
l
0 :
x
l
K
}
K
.
Hệ quả tiếp theo cũng khá phổ biến
Hệ quả 2.3.4.
x
m , thì hàm
K
xác định Nếu K là một thể lồi đối xứng tâm trong
m . Hơn nữa, tập K là quả cầu đơn vị theo chuẩn
một chuẩn trên
x
K
Minkowski .
Định nghĩa 2.3.5 (Mêtric Minkowski).
x
m và
K
là chuẩn Nếu K là một thể lồi đối xứng tâm trong
m theo qui tắc
Minkowski liên quan, thì xác định mêtric Minkowski trên
d x y
( , ) :
x
y
K
K
.
Trang 26
Khi đó, với bất kỳ một thể lồi K nào, luôn có các số dương r và R
R , và hệ quả tiếp theo sau là rõ ràng.
sao cho K chứa một quả cầu bán kính r và chứa trong một quả cầu bán kính
Hệ quả 2.3.6.
m .
Nếu d là một mêtric Minkowski, thì d tương đương Lipschitz với
mêtric chuẩn Ed trên
m
m
Hệ quả 2.3.7.
d
:
)
[0,
là một mêtric Minkowski nếu và Một mêtric
chỉ nếu nó bất biến qua phép tịnh tiến và khoảng cách là tuyến tính dọc theo
các đoạn thẳng. Cụ thể hơn,
d x (
z y ,
) z
d x y ( , )
l
x )
l y
)
l
d x y ( , )
(2.3.1) và ( ,(1 d x
l
[0,1]
,
m x y z và mọi ,
với mọi
Chứng minh
x
Thật vậy, không khó để chứng minh điều này
m , giả sử ta xác định
K
Với K là một thể lồi đối xứng tâm trong
là chuẩn Minkowski có liên quan.
x
K
d x y
( , ) :
x
y
thỏa các đẳng thức (2.3.1) nếu ta đặt Như vậy, dễ thấy rằng
K
Trang 27
m
F
Định nghĩa 2.3.8 (Hệ hàm lặp co rút tôpô).
;
,...,
f
f
f
, 1
2
N
F
Một hệ hàm lặp được gọi là co rút tôpô nếu có
K (
)
int(
K
)
. một thể lồi K sao cho
Chứng minh định lý 2.3.10 chủ yếu dựa vào bổ đề sau đây
m
Bổ đề 2.3.9.
g
m S , thì (
g conv S
( ))
conv g S
( ( ))
m
là affine và
. Nếu :
m
F
Định lý 2.3.10 (Sự tồn tại của một điểm hấp dẫn kéo theo sự co rút tôpô).
;
f
f
,...,
f
, 1
2
N
m
F
Với một hệ hàm lặp affine nếu tồn tại một điểm
;
f
f
,...,
f
, 1
2
N
, thì F là co rút hấp dẫn A của hệ hàm lặp affine
tôpô.
Chứng minh
Chứng minh định lý này theo ba bước sau.
1K và một số nguyên dương t với tính chất
F
(1) Tồn tại một thể lồi
t K (
)
int(
K
)
1
1
.
1K được dùng để xác định thể lồi
2K sao cho
(2) Tập
n
1,2,...,
N
a
)
int(
K
)
2
2
f x ( ) n
L x n
và n
nL K (
, trong đó .
K cK
2
F
có tính chất (3) Có một hằng số dương c sao cho tập
K (
)
int(
K
)
.
Bước (1)
Cho A là điểm hấp dẫn của F .
m
Trang 28
:
({ },
}
d
) x A
{ x
r
A r
Cho là phép giãn của A theo bán
r .
0
k
kính
d
0
F
A Ar ( ),
lim k
t
Khi đó ta giả sử , ta có thể tìm được một số
),
1
d
F
1( A A
F
. Do đó, nguyên dương t sao cho
t A (
)
int(
)
1
A 1
(2.3.2) .
K
:
(
)
conv A 1
1
t
...
F
)
(
)(
(
))
( K
f
f
f
1
conv A 1
i
i
i
1
2
t
... i
i
1
i 2
t
...
f
conv f (
))
i
i
f A ( i 1
t
1
2
... i
i
t
1
i 2
, thì Nếu ta đặt
conv
(int(
))
A 1
... i
i
t
1
i 2
conv
(int(
))
A 1
(theo bổ đề 2.3.9)
int(
(
))
int(
K
)
conv A 1
1
(theo bao hàm (2.3.2))
Lý luận này hoàn thành chứng minh bước (1).
Bước (2)
Xét tập
t
1
k
k
K
:
K (
conv
K (
Trang 29
2
1
1
F
)
F
conv
)
0
k
.
2K là một thể lồi đối xứng tâm bởi vì nó là tổng Minkowski hữu
Tập
hạn của các thể lồi đối xứng tâm.
nf nào trong F được viết dưới dạng
m
, trong đó
a
:
m
là thành phần tuyến tính, thì
f x ( ) n
L x n
n
nL
t
1
k
k
)
( K
conv
( K
( L K n
2
n
1
1
F
)
F
L conv
)
k
0
Nếu bất kỳ ánh xạ affine
nL là một ánh xạ tuyến tính)
t
1
k
k
K (
K (
1
1
n
n
F
F
)
conv L
(khi đó
conv L
)
0
k
t
1
k
k
K (
K (
n
n
1
1
F
F
)
conv f
(theo bổ đề 2.3.9)
conv f
)
k
0
t
1
1)
1)
( k
( k
( K
conv
( K
1
1
F
)
F
conv
)
0
k
t
t
conv
K (
K (
1
1
)
F
t
1
k
k
conv
conv
K (
) K (
1
1
F
)
F
F conv
)
k
1
(khi đó na s triệt tiêu)
int(
K
))
)
1
1
(int( t 1
k
k
K (
conv
K (
1
1
F
)
F
K conv
)
k
1
Trang 30
(theo bước (1))
int(
)K 2
.
k
1)
( k
F
Cách thứ hai để dẫn tới sự bao hàm kéo theo từ sự bao hàm sau đây
K (
K (
)
nf
1
1
F
)
int(
)
m , thì int( )
. Đẳng thức cuối cùng kéo theo từ việc là nếu O
O C
O C .
và C là các thể lồi đối xứng trong
Ta đã hoàn thành chứng minh bước (2).
Bước (3)
2K rằng có một hằng số
d L x L y ( ),
( ))
(
a d
x y ( , )
Nó kéo theo từ bước (2) và tính compact của
a
(0,1)
m x y và mọi ,
n
n
K
K
2
2
sao cho với mọi
n
1,2,...,
N
.
Cho
c
r
(1
a
)
r
d max{
a (
d
a (
, 0),...,
d
a (
, 0)}
,
K
K
N
K
, 0), 1
2
2
2
2
. trong đó
x
cK
Lx
là một hàm bất kỳ trong hệ hàm lặp F
a
2
Nếu và ( ) f x
f x ( )
d
f x ( ( ), 0)
K
2
K
2
thì
d Lx (
a
, 0)
d Lx (
a Lx ,
)
d Lx (
, 0)
K
K
K
2
2
2
, 0)
d
( , 0) a
( d Lx
K
K
2
2
Trang 31
r
a d
( , 0) x
r
a
x
K
2
K
2
a c
c (
r
a c
)
c a c
F
(theo đẳng thức (2.3.1))
cK (
)
int(
cK
)
2
2
Bất đẳng thức này cho thấy
2.4. Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đối
Ta tiếp tục chứng minh một hệ hàm lặp affine là co rút tôpô thì không
1m
m
xuyên tâm đối theo thể lồi nào đó.
S là hình cầu đơn vị trong
m . Với một thể lồi
1m
Cho
u
S
}
m K và với
H H , u u
của các siêu phẳng thì tồn tại một cặp {
tựa khác nhau của K , lần lượt trực giao với u và với tính chất là chúng cùng
}
giao với K nhưng không chứa điểm nào thuộc phần trong của K . Cặp
{ , H H u u
thường được xét đến như là hai siêu phẳng tựa của K trực giao
với u . Khái niệm này được đề cập đến trong tài liệu về hình học lồi của
Solomon Leader [13].
Dựa vào các định nghĩa có liên quan, ta nhận thấy mục tiêu chứng minh
của phần này thật sự là đã quá rõ ràng.
m
1m
Định nghĩa 2.4.1 (Cặp xuyên tâm đối).
u
S
K là một thể lồi và
, thì xác định Nếu
Trang 32
K (
)
H (
)
H (
K
)
:
K
u
u
u
u
K : (
)
u
m
1
u S
và
( , )p q .
Ta nói rằng ( , )p q là một cặp điểm xuyên tâm đối theo K nếu
m
m
Định nghĩa 2.4.2 (Hệ hàm lặp không xuyên tâm đối).
K là một thể lồi, thì
f
:
m
là không xuyên tâm đối
Nếu
f K (
)
K , và ( , ) x y
K
(
)
f x f y
K
(
)
m
F
. theo K nếu kéo theo ( ( ), ( ))
f
f
f
;
,...,
, 1
2
N
Nếu là một hệ hàm lặp với tính chất là mỗi nf không
xuyên tâm đối theo K , thì F được gọi là không xuyên tâm đối theo K .
Hệ quả tiếp theo cho sự kéo theo từ tính co rút đến tính không xuyên
tâm đối trong định lý 1. Như vậy chứng minh được làm rõ.
m
F
Hệ quả 2.4.3 (Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đối).
;
f
f
,...,
f
, 1
2
N
là một hệ hàm lặp affine với tính chất là Nếu
)
int(
K
)
m K sao cho
n
1,2,...,
N
nf K (
tồn tại một thể lồi với mọi ,
thì F không xuyên tâm đối theo K .
2.5. Một hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối là hyperbolic
Ta trang bị vài định nghĩa cần thiết cho chứng minh các định lý tiếp
theo trong phần này.
Trang 33
m
1m
Định nghĩa 2.5.1 (Các cặp điểm đường kính).
u
S
K là một thể lồi và
K theo hướng u như sau
D u
( ) max
x
y
:
x y K x
,
,
y
ua a ,
2
.
Nếu , thì xác định đường kính của
Giá trị lớn nhất đạt được tại vài cặp điểm thuộc K bởi vì K K là
. Bây giờ ta xác định
x
y là liên tục với ( , )x y K K
2
lồi và compact, và
K
K D u : ( )
q
p
u
p q ( , )
2
u
u S 1m
và
p q là một cặp điểm đường kính theo hướng u và
u
là tập các cặp điểm đường kính của K .
Ta nói rằng ( , )
Định nghĩa 2.5.2 (Lồi ngặt).
,x y K , đoạn thẳng
Một thể lồi K là lồi ngặt nếu với mỗi hai điểm
mở nối x và y chứa trong phần trong của K .
Ta viết xy để ký hiệu đoạn thẳng đóng với các điểm mút tại x và y vì
x là vectơ có hướng từ x đến y , độ lớn của nó là độ dài của xy .
thế y
Để có được kỹ thuật mêtric hóa sẽ được sử dụng ở trọng tâm của định
lý 2.5.4, theo nhận xét đã đề cập, trước hết ta phải chứng minh sự tương đồng
của tập các điểm xuyên tâm đối và tập các điểm đường kính.
Trang 34
m
Định lý 2.5.3.
K là một thể lồi, thì tập các cặp điểm xuyên tâm đối của
K cũng giống như tập các cặp điểm đường kính của K , nghĩa là
Nếu
Chứng minh
1m
Trước hết, ta chỉ ra rằng .
u
S
q H
với K
p H
và K
u
u
. Rõ Nếu ( , )p q , thì
ràng, dây cung bất kỳ của K song song với pq nằm hoàn toàn trong vùng
uH và
uH , cho nên không thể có độ dài lớn hơn độ dài của pq . Vì thế
D q (
và ( , ) p q p
p
q
)
. Chú ý rằng nếu K là lồi ngặt, thì
q p
pq là dây cung duy nhất có độ dài lớn nhất theo hướng của nó.
giữa
1m
Ngược lại, để chỉ ra rằng , trước hết xét trường hợp trong đó
u
S
x
H
và K
K là một thể lồi ngặt. Với mỗi
u
u
m
1
m
1
, xét các điểm
x
. Hàm liên tục
K
:
S
S
nf
u
H u
u
u
f u ( )
x x
x x
u
u
2
được xác định bởi
0
f u f u u với mọi u . Nói cách khác, góc giữa u và ( ) ( ),
p .
có tính chất là
m
1
m
1
thì nhỏ hơn 2
f S :
S
Nếu ánh xạ không có điểm x nào thành điểm xuyên
tâm đối x của nó, thì f có cấp là 1 và đặc biệt nó là toàn ánh. Để chỉ ra
1m
v
S
Trang 35
p q với
v
1m
u
S
rằng , cho ( , ) . Theo tính toàn ánh của f , có
v . Ta biết rằng
x x là dây cung dài nhất và duy
u
u
p
q
p q .
sao cho ( ) f u
u
x và u
x u
, kết quả là ( , ) nhất song song với v . Cho nên,
1m
Trong trường hợp trong đó K không lồi ngặt thì được xử lý theo một
v
S
và một dây cung dài lý luận giới hạn tiêu chuẩn. Cho một vectơ
nhất pq song song với v , ta phải chứng minh rằng ( , )p q . Khi đó K là
}kK của các thể lồi ngặt
giao của tất cả các thể lồi ngặt chứa K , có một dãy {
chứa K với hai tính chất sau đây.
kp q của
k
kK song song với u sao
(1) Có dây cung dài nhất
p K
p
q
p
q
, và giới hạn lim k
kp
lim k
k
k
2
2
cho và
q K
lim k
kq
tồn tại.
1m
p
K
)
q
K
H
)
Theo kết quả của trường hợp lồi ngặt, có dãy các vectơ
S
k
k
H K ( u
k
k
k
K ( u
k
ku
k
k
sao cho và . Bởi
m
1
có lẽ sẽ đến một dãy con.
lim
u
S
ku
k
là
là tồn tại. (2)
q
p
q
p
q
2
2
Nó kéo theo từ mục (1) rằng và p
K song song với v . Nó kéo theo từ (2) rằng nếu H và H là các siêu
song song với v . Cho nên, pq, cũng như pq , là dây cung dài nhất của
phẳng vuông góc với u đi qua p và q tương ứng, thì H và H song
, và ta có song với siêu phẳng tựa của K . Cho nên p H và q H
p q
.
u
kết quả ( . )
Trang 36
Định lý tiếp theo cung cấp sự kéo theo, trong định lý 1, từ tính chất
không xuyên tâm đối theo thể lồi nào đó đến tính chất hyperbolic của một hệ
hàm lặp affine.
m
F
Định lý 2.5.4.
;
,...,
f
f
f
, 1
2
N
Nếu hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối
theo thể lồi K , thì F là hyperbolic.
Chứng minh
f F . Cho C K K
và đặt
f x ( )
Lx
F , trong đó L là phần
a
Giả sử rằng K là thể lồi sao cho f không xuyên tâm đối theo K với
L C
( )
L K (
)
L K (
)
f K (
)
f K (
)
K K C
tuyến tính của f . Theo hệ quả 2.3.2, tập C là một thể lồi đối xứng tâm và
L C
int( )
C
. Khi đó C là compact và L là tuyến tính, Ta yêu cầu ( )
( )L x
C với mọi
x
C . Bằng phản chứng, giả sử x
C và ( )L x
C . Khi đó vectơ x
để chứng minh yêu cầu trên, nó đủ để chỉ ra rằng
K sao cho
x
, và x
x
là vectơ dài nhất trong C theo chiều của nó.
, có
,x x 1
2
1
2
Khi x C K K
)
( K
)
( K
)
x x , ( 1
2
, trong đó đẳng thức cuối là theo định lý 2.5.3. Vì
)
x x , ( 1
2
K sao cho
Lx
, và y
y
thế là một cặp xuyên tâm đối theo K . Tương tự, khi Lx là vectơ dài
,y y 1
2
1
2
nhất trong C theo chiều của nó, có
)
( K
)
( K
)
y y , ( 1
2
.
Cho nên,
f x (
)
f x (
)
L x (
)
L x (
)
L x (
x
)
Lx
,
y
y
2
1
1
2
2
1
2
1
Trang 37
(
),
))
)
)
( K
( K
1
2
( f x n
( f x n
nó kéo theo rằng , điều này mâu thuẫn với f
là không xuyên tâm đối theo K .
Nếu Cd là mêtric Minkowski theo thể lồi đối xứng tâm C , thì theo hệ
quả 2.3.4, C là quả cầu đơn vị có tâm là gốc tọa độ theo mêtric mêtric này.
L C
( )
int( )
C
a
[0,1)
kéo theo rằng có một sao cho Khi C là compact,
m x . Thì
Lx
xa
C
C
d f x f y
Lx Ly
( ( ), ( ))
f x ( )
f y ( )
C
y
a
x
y
C
C a
L x (
)
d x y ( , )
C
C
C
với mọi
Cho nên, Cd là một mêtric với mỗi hàm trong hệ hàm lặp là một phép
co rút. Theo hệ quả 2.3.6, Cd là tương đương Lipschitz với mêtric chuẩn.
Trang 38
Tổng kết chương 2
Như vậy, chứng minh định lý 1 đã hoàn thành với sơ đồ chứng minh
được cung cấp như sau.
Chứng minh một hệ hàm lặp hyperbolic là phân thớ điểm được cung
cấp trong định lý 2.1.1.
Chứng minh một hệ phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm
hấp dẫn được cung cấp trong định lý 2.2.2.
Chứng minh sự kéo theo từ sự tồn tại của một điểm hấp dẫn đến tính
chất co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine được cung cấp trong định lý
2.3.10.
Chứng minh một hệ hàm lặp affine là co rút tôpô thì không xuyên tâm
đối theo một thể lồi nào đó được cung cấp trong hệ quả 2.4.3.
Cuối cùng, chứng minh một hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối là
hyperbolic được cung cấp trong định lý 2.5.4.
Trang 39
Chương 3
SỰ TỒN TẠI CỦA HỆ HÀM LẶP
AFFINE HYPERBOLIC
2 được trang bị một
Ví dụ 1.2.4 cung cấp một hệ hàm lặp affine trên
2 . Tuy nhiên, nó là
ánh xạ mã hóa nhưng không là hyperbolic trên
hyperbolic trên bao affine của một tập hợp tự đồng dạng. Từ ví dụ cụ thể trên,
một câu hỏi được đặt ra là “Một hệ hàm lặp là hyperbolic trên bao affine của
một tập hợp tự đồng dạng có còn đúng trong trường hợp tổng quát hay
không?”.
Mục tiêu của chương là trả lời cho sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine
hyperbolic trên bao affine của một tập hợp tự đồng dạng trong trường hợp
m
tổng quát.
F
f
X và
, 1
f ,..., N
2
X f ;
Nếu là một hệ hàm lặp trên X , thì
định nghĩa về ánh xạ mã hóa và phân thớ điểm với F chính xác giống như
m thay thế bởi X .
định nghĩa 1.1.4 và 1.1.5, với
3.1. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm hạn chế
theo bao affine của tập hợp tự đồng dạng
Để chứng minh định lý chính của phần này, trước hết, ta xét hệ quả
được chỉ ra dưới đây.
Trang 40
m
Hệ quả 3.1.1.
F
f
X và
, 1
f ,..., N
2
X f ;
m
là một hệ hàm lặp với ánh xạ Nếu
:
p , thì F là phân thớ điểm trên X .
p sao cho ( ) X
mã hóa
...
lim
f
f
f
Chứng minh
s
s
s
k
1
2
k
s
s s
. Ta sẽ
Theo định nghĩa 1.1.5, ta phải chỉ ra rằng tồn
1
2...
...
lim
f
f
f
x ( )
p s ( )
tại độc lập với x X , và liên tục như một hàm theo
k
s
s
s
1
2
k
. thực sự chỉ ra rằng
Khi p là ánh xạ mã hóa, ta biết rằng theo định nghĩa 1.1.4 thì
f
p s ( )
p
s
s ( )
n
1,2,...,
N
n
n
, với mọi . Theo giả thiết, nếu x là điểm
p t . Do đó, x
...
...
bất kỳ trong X , thì có t sao cho ( )
p t )
x
f
f
f
f
f
f
x ( )
( ( ))
s
s
s
s
s
s p t
k
k
1
2
1
2
lim k
lim k
(khi ( )
s
s
...
t ( ))
s
s
s
1
2
k
p s lim ( k
p
s
s
...
s
(theo sơ đồ (2.1))
s
s
s
1
2
k
lim k
t ( )
(khi p là liên tục)
( )p s
Định lý về sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm hạn chế
theo bao affine của tập hợp tự đồng dạng được phát biểu ngay sau đây.
Trang 41
m
F
Định lý 3.1.2.
;
,...,
f
f
f
, 1
2
N
p , thì F là phân thớ điểm khi được hạn chế theo bao affine của
X
:
( )p . Đặc biệt, nếu ( )p chứa một tập con mở khác rỗng của
m , thì F là
là một hệ hàm lặp affine với ánh xạ mã hóa Nếu
m .
phân thớ điểm trên
Chứng minh
A với mọi n , sự hạn chế của hệ hàm lặp
A p . Khi ( )
:
nf A ( )
Cho
F theo A, cụ thể là
f
,...,
f
F A
N
, 1
2
A f ;
được định nghĩa tốt. Nó kéo theo
AF
từ hệ quả 3.1.1 rằng là phân thớ điểm và bởi vì ánh xạ mã hóa với một
...
hệ hàm lặp phân thớ điểm là duy nhất,
.
A
f
f
f
p s ( )
a ( )
s
s
s
k
1
2
lim k
F
với ( , )a s
:
f
,...,
f
aff A ( )
, 1
2
N
aff A f ( );
Nó chỉ còn lại là chỉ ra rằng sự hạn chế
của hệ hàm lặp affine F theo bao affine của A là phân thớ điểm.
x
aff A ( )
Cho , bao affine của A. Nó được biết đến rằng bất kỳ điểm
m
m
x
l
1
nào trong bao affine có thể được biểu diễn dưới dạng một tổng,
l
p
al p
p
l l , 0
,..., m 1
p
p
0
0
với sao cho và
A . Suy ra, với ( , ) x
s
aff A ( )
a a , 0
a ,..., m 1
m
...
...
f
f
f
( ) x
f
f
f
l
a p
p
s
s
s
s
s
s
1
2
k
1
2
k
lim k
lim k
0
p
,
m
...
l
f
f
f
a (
)
p
p
s
s
s
1
2
k
lim k
0
p
m
Trang 42
p s ( )
l p s ( ) p
p
0
.
3.2. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic
Ta trở lại với vấn đề Atsushi Kameyama đã đặt ra
“Cho một tập hợp tôpô tự đồng dạng, có hay không sự tồn tại của một
hệ liên kết của các ánh xạ co rút?”.
Câu trả lời cho vấn đề này là gì? Định lý 2 được phát biểu ngay sau
đây, sẽ giải quyết cho vấn đề mà Atsushi Kameyama đã đề cập đến.
m
F
Định lý 2.
;
f
f
,...,
f
, 1
2
N
m
Nếu là một hệ hàm lặp affine với một ánh xạ mã
:
p , thì F là hyperbolic trên bao affine của ( )p . Đặc biệt, nếu
( )p chứa một một tập con mở khác rỗng của
m , thì F là hyperbolic trên
m .
hóa
Chứng minh
Bây giờ định lý 2 dễ dàng được kéo theo từ định lý 3.1.2 và định lý 1.
A p và dim ( ) aff A
( )
:
. k m
Cho
A với mỗi
Dễ dàng để kiểm tra từ sơ đồ giao hoán (1.1.1) rằng ( ) f A
f F kéo theo (
f aff A
( ))
aff A ( )
aff A là đẳng cấu
( )
với mỗi f F . Khi
k , định
lý 1 có thể được ứng dụng tới hệ hàm lặp với
F
Trang 43
:
f
,...,
f
aff A ( )
, 1
2
N
aff A f ( );
F
để kết luận rằng, khi nó là phân thớ điểm thì
aff A ( )
f x ( )
x không là
2
1
cũng là hyperbolic.
Chú ý rằng hệ hàm lặp ( ; )f , trong đó
{ 1} .
hyperbolic trên , nhưng nó là hyperbolic trên không gian con affine
Rõ ràng định lý này là câu trả lời khẳng định cho vấn đề của Atsushi
Kameyama đã đặt ra.
Trang 44
KẾT LUẬN
Trong khuôn khổ luận văn này, ta nghiên cứu các tính chất tương
đương có liên quan tới điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp affine thông qua
định lý 1.
Chứng minh một hệ hàm lặp hyperbolic là phân thớ điểm trùng với
chứng minh của định lý ánh xạ co rút cổ điển. Chứng minh này còn chỉ ra
k
là đều theo s . rằng giới hạn lim k f s
Từ đó, với tính chất giới hạn đều này, ta thiết lập một ánh xạ mã hóa
làm nền tảng để chứng minh rằng một hệ phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại
của một điểm hấp dẫn.
Để thành lập sự kéo theo từ sự tồn tại của một điểm hấp dẫn đến tính
chất co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine trong định lý 1. Ta sẽ chỉ ra rằng
nếu một hệ hàm lặp affine có một điểm hấp dẫn như được xác định như đã
nêu ở trên, thì nó là một co rút tôpô.
Tuy nhiên việc thiết lập một mêtric mới tương đương với mêtric thông
thường để đảm bảo điều kiện co rút tôpô của một hệ hàm lặp là cần thiết. Do
vậy ta chọn mêtric Minkowski phục vụ cho chứng minh phần này.
Bằng cách sử dụng các khái niệm và tính chất của hình học lồi, ta tiếp
tục chứng minh một hệ hàm lặp affine là co rút tôpô thì không xuyên tâm đối
theo vật lồi nào đó, và sự kéo theo từ tính chất không xuyên tâm đối theo vật
lồi nào đó đến tính chất hyperbolic của một hệ hàm lặp affine.
Trang 45
Cuối cùng, để trả lời cho sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine
hyperbolic trên bao affine của một tập hợp tự đồng dạng, ta chứng minh định
lý 2.
Hai định lý chính của luận văn cung cấp một đặc tính của hệ hàm lặp
m . Chúng bao hàm câu trả lời khẳng định
affine hyperbolic xác định trên
cho vấn đề của Atsushi Kameyama đã đặt ra với các tập hợp tự đồng dạng
m .
sinh bởi phép biến đổi affine trên
Mối liên hệ giữa công trình nghiên cứu này và các kết quả gần đây
hướng các nhà toán học tới một điều kiện khác, tương đương với các điều
kiện từ (1) đến (5) trong định lý 1, là điều kiện (6) F có bán kính phổ nối
nhỏ hơn 1. Điều này được đánh giá là quan trọng bởi vì nó kết nối từ sự tiếp
cận của việc nghiên cứu tới sự phát triển nhanh chóng các tài liệu về bán kính
phổ nối.
Từ ví dụ 1.2.3 và kết quả được giới thiệu bởi Vincent Blondel, Jacques
Theys và Alexander A. Vlladimirov năm 2003 [4] đã chỉ ra rằng : không có
bài toán tổng quát nào có thể xác định được bán kính phổ nối của một hệ hàm
lặp có nhỏ hơn 1 hay không, cho nên định lý 1 được cho là quan trọng bởi vì
nó cung cấp một điều kiện có thể kiểm tra dễ dàng một hệ hàm lặp có một
điểm hấp dẫn duy nhất.
Đặc biệt, các điều kiện co rút tôpô và không xuyên tâm đối (điều kiện
(4) và (5) trong định lý 1) cung cấp các kết quả hình học mà có thể được kiểm
tra dễ dàng với bất kỳ hệ hàm lặp affine nào. Ngoài việc đưa ra sự tồn tại của
một điểm hấp dẫn, hai điều kiện này cũng cung cấp thông tin liên quan đến vị
trí của điểm hấp dẫn. Chẳng hạn, điểm hấp dẫn là tập con của một vật lồi
riêng biệt.
Trang 46
Như vậy, với tính phổ biến của điều kiện co rút tôpô và không xuyên
tâm đối đã nêu ở trên thì định lý 1 được dự đoán rằng nó có thể được khái
quát vào trong các lớp khác rộng hơn của các hàm, trong đó kỹ thuật được
triển khai với lý thuyết bán kính phổ nối sẽ không áp dụng.
Trang 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Michael F. Barnsley, Fractal image compression, Notices Amer. Math.
Soc. 43 (1996), no. 6, 657–662.
[2] M. F. Barnsley, V. Ervin, D. Hardin, and J. Lancaster, Solution of an
inverse problem for fractals and other sets, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A. 83 (1986), no. 7, 1975–1977.
[3] Marc A. Berger and Yang Wang, Bounded semigroups of matrices,
Linear Algebra Appl. 166 (1992), 21–27.
[4] Vincent D. Blondel, Jacques Theys, and Alexander A. Vladimirov, An
elementary counterexample to the finiteness conjecture, SIAM J.
Matrix Anal. Appl. 24 (2003), no. 4, 963–970.
[5] Ingrid Daubechies and Je rey C. Lagarias, Sets of matrices all infinite
products of which converge, Linear Algebra Appl. 161 (1992), 227– ff
263.
[6] Masayoshi Hata, On the structure of self-similar sets, Japan J. Appl.
Math. 2 (1985), no. 2, 381–414.
[7] John E. Hutchinson, Fractals and self-similarity, Indiana Univ. Math. J.
30 (1981), no. 5, 713–747.
[8] Ludvík Janoš, A converse of Banach’s contraction theorem, Proc.
Amer. Math. Soc. 18 (1967), 287–289.
Trang 48
[9] Atsushi Kameyama, Distances on topological self-similar sets, in
Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoit Mandelbrot.
Ed. Michel L. Lapidus and Machiel van Frankenhuijsen. Proceedings
of Symposia in Pure Mathematics, Volume 72, Part 1. Providence, RI:
Amer. Math. Soc., 2004. 117–129
[10] Bernd Kieninger, Iterated Function Systems on Compact Hausdorff
Spaces. Aachen: Shaker Verlag, 2002.
[11] Jun Kigami, Analysis on Fractals. Cambridge Tracts in Mathematics,
143. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.
[12] Solomon Leader, A topological characterization of Banach
contractions, Pacific J. Math. 69 (1977), no. 2, 461–466.
[13] Maria Moszyńska, Selected Topics in Convex Geometry. Translated
and revised from the 2001 Polish original. Boston, MA: Birkh¨auser
Boston, Inc., 2006.
[14] James R. Munkres, Topology. 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice
Hall, 2000.
[15] R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis. Princeton Mathematical
Series, No. 28. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1970.
[16] Gian-Carlo Rota and Gilbert Strang, A note on the joint spectral radius,
Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 63 = Indag. Math. 22 (1960),
379– 381.
[17] Rolf Schneider, Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory.
Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 44. Cambridge:
Cambridge University Press, 1993.
Trang 49
[18] Roger Webster, Convexity. Oxford Science Publications. Oxford:
Oxford University Press, 1994.
[19] R. F. Williams, Composition of contractions, Bol. Soc. Brasil. Mat. 2
(1971), no. 2, 55–59.
![Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp phần lai tetrahydro-beta-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250816/vijiraiya/135x160/26811755333398.jpg)
