Luận văn Thạc sĩ toán học: Một số định lý hình học nổi tiếng và áp dụng

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:121

Thêm vào BST

Báo xấu

391
lượt xem 132
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học . Dãy số đó có một vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học không chỉ như là một đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ toán học: Một số định lý hình học nổi tiếng và áp dụng

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C VŨ VĂN Đ C M TS Đ NH LÝ HÌNH H C N I TI NG VÀ ÁP D NG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60.46.40 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Nguy n Văn Ng c Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Công trình đư c hoàn thành t i Trư ng Đ i h c Khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Nguy n Văn Ng c Ph n bi n 1: GS. TSKH. Hà Huy Khoái - Vi n Toán h c. Ph n bi n 2: PGS. TS. Lê Th Thanh Nhàn - Trư ng Đ i h c Khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên. Lu n văn đư c b o v trư c h i đ ng ch m lu n văn h p t i: Trư ng Đ i h c Khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên Ngày 09 tháng 09 năm 2011 Có th tìm hi u t i Thư vi n Đ i h c Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 M cl c M đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. Tam giác 8 1.1. Kí hi u và h th c cơ b n trong tam giác . . . . . . . . . 8 1.2. Đ nh lý Thales và đ nh lý Pythagoras . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Đ nh lý Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Đ nh lý Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Đ nh lý hàm s sin và đ nh lý hàm s cosin . . . . . . . . 13 1.3.1. Đ nh lý hàm s sin . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Đ nh lý hàm s cosin . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Đ nh lý Stewart và áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1. Đ nh lý Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2. Đ nh lý đư ng trung tuy n . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3. Đ nh lý v đư ng phân giác . . . . . . . . . . . . 17 1.4.4. Công th c góc chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5. Công th c v di n tích c a tam giác và áp d ng . . . . . 21 1.5.1. Công th c v di n tích c a tam giác . . . . . . . 21 1.5.2. T s di n tích hai tam giác . . . . . . . . . . . . 23 1.5.3. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6. Tam giác Pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.1. Pedal b t kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.2. Pedal tr c tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.3. Pedal tâm n i ti p . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chương 2. T giác 35 2.1. Ký hi u và h th c cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Đ nh lý Ptolemy và các m r ng . . . . . . . . . . . . . . 38 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 2.2.1. Đ nh lý Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2. B t đ ng th c Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3. Đ nh lý Bretschneider . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4. Đ nh lý Casey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5. Đ nh lý Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.6. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. T giác đ c bi t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.1. T giác n i ti p đư ng tròn . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2. T giác ngo i ti p đư ng tròn . . . . . . . . . . . 50 2.3.3. T giác đ ng th i n i và ngo i ti p . . . . . . . . 55 2.3.4. T giác v i nh ng đư ng chéo vuông góc . . . . . 56 2.4. Công th c di n tích c a t giác . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4.1. Công th c di n tích c a t giác n i ti p . . . . . 57 2.4.2. Công th c di n tích c a t giác ngo i ti p . . . . 58 2.4.3. Công th c di n tích c a t giác đ ng th i n i ti p và ngo i ti p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.4. Công th c di n tích c a t giác l i b t kỳ . . . . 59 2.5. T giác đi u hoà và tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5.1. Hàng đi m đi u hoà . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5.2. T giác đi u hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5.3. Tính ch t c a t giác đi u hoà . . . . . . . . . . 61 2.5.4. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Chương 3. Các đư ng th ng đ ng quy 67 3.1. Đ nh lý Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2. M t s m r ng c a đ nh lý Ceva trong m t ph ng . . . 68 3.2.1. Đ nh lý Ceva d ng sin . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.2. M r ng đ nh lý Ceva trong m t ph ng . . . . . . 69 3.3. M r ng đ nh lý Ceva trong không gian . . . . . . . . . . 71 3.3.1. Đ nh lý Ceva trong không gian . . . . . . . . . . 71 3.3.2. H qu c a đ nh lý Ceva trong không gian . . . . 72 3.4. Các đi m đ c bi t trong tam giác . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.1. Các đi m đ c bi t quen bi t . . . . . . . . . . . . 73 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 3.4.2. M t s đi m đ c bi t khác . . . . . . . . . . . . . 73 3.5. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Chương 4. Các đi m th ng hàng 83 4.1. Đ nh lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2. M r ng đ nh lý Menelaus trong m t ph ng . . . . . . . 84 4.2.1. M r ng đ nh lý Menelaus trong tam giác . . . . 84 4.2.2. M r ng đ nh lý Menelaus theo di n tích . . . . . 84 4.2.3. M r ng Đ nh lý Menelaus trong t giác . . . . . 85 4.3. M r ng đ nh lý Menelaus trong không gian . . . . . . . 86 4.3.1. M t ph ng phân giác góc nh di n . . . . . . . . . 86 4.3.2. Đ nh lý Menelaus trong không gian . . . . . . . . 86 4.4. Đ nh lý Desargues và Đ nh lý Pappus . . . . . . . . . . . 87 4.4.1. Đ nh lý Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4.2. Đ nh lý Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.5. Tam giác ph i c nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.6. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Chương 5. Đư ng tròn 95 5.1. Phương tích c a m t đi m - Tr c đ ng phương . . . . . 95 5.1.1. Đ nh lý v các dây cung c t nhau . . . . . . . . . 95 5.1.2. Phương tích c a m t đi m đ i v i m t đư ng tròn 95 5.1.3. Tr c đ ng phương và tâm đ ng phương . . . . . . 99 5.2. Đ nh lí Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.2.1. Đư ng th ng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.2.2. Đư ng tròn Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2.3. Công th c Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.3. Đư ng tròn Apolonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4. Đ nh lí Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.5. Đ nh lí Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5.1. Đư ng th ng Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5.2. Đ nh lí Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.6. Đ nh lý Pithot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 5.7. Đ nh lý Miquel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.8. Đ nh lý Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.9. Đ nh lý Pascal và Đ nh lý Newton . . . . . . . . . . . . . 115 5.9.1. Đ nh lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.9.2. Đ nh lý Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.10. Đ nh lý The’bault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 M đ u Các đ nh lý Thales (Talet), Pythagoras (Pitago), đ nh lý v đư ng phân giác, đ nh lý đư ng trung tuy n, đ nh lý hàm s cosin, đ nh lý hàm s sin... là nh ng đ nh lý cơ b n c a hình h c ph ng đã đư c gi i thi u trong sách giáo khoa hình h c b c ph thông h u h t các qu c gia. Nhi u tính ch t đ p và quan tr ng khác c a hình h c ph ng đư c gi i thi u ch y u dư i d ng các bài toán nâng cao, hay các bài toán c a các kỳ Olympic. Đ gi i các bài toán này thư ng ph i v n d ng các đ nh lý như đ nh lý Ptolemy (Ptôlêmê) v t giác n i ti p, đ nh lý Ceva (Xêva) v các đư ng th ng đ ng quy trong tam giác, đ nh lý Menelaus (Mênêlauys) v các đi m th ng hàng, đ nh lý Simson (Simsơn), đ nh lý Euler (Ơle), đ nh lý Brianchon, đ nh lý Newton (Niutơn)... Các tính ch t này r i rác đư c gi i thi u trong các tài li u dành cho các h c sinh gi i. Nhi u chuyên gia và tài li u nư c ngoài đã g i các đ nh lý nói trên là "Famous geometry theorems" - "Các đ nh lý hình h c n i ti ng". Hi n nay tài li u b ng Ti ng Vi t v các đ nh lý hình h c n i ti ng chưa có nhi u và còn t n m n. C n thi t ph i gi i thi u các đ nh lý trên và nh ng áp d ng c a chúng m t cách đ y đ hơn. Vì v y, vi c tìm hi u sâu thêm và gi i thi u Các đ nh lý hình h c n i ti ng là c n thi t cho công vi c h c t p và gi ng d y toán h c b c ph thông. B n lu n văn "M t s đ nh lý hình h c n i ti ng và áp d ng" đư c ti n hành vào gi a năm 2010 ch y u d a trên các tài li u [3,7-9], trong đó tài li u [3] chúng tôi m i đư c làm quen t tháng 3 năm 2011. B n lu n văn "M t s đ nh lý hình h c n i ti ng và áp d ng" g m có: M đ u, năm chương n i dung, k t lu n và tài li u tham kh o. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 Chương 1. Tam giác. Chương này trình bày các đ nh lý cơ b n c a hình h c ph ng đã đư c d y b c trung h c cơ s và trung h c ph thông như đ nh lý Thales, đ nh lý Pythagoras, đ nh lý đư ng phân giác, đ nh lý Stewart, đ nh lý Appollonius-Pappus, đ nh lý hàm s sin, hàm s cosin, các công th c v di n tích tam giác...Khác v i nhi u tài li u v hình h c sơ c p, b n lu n văn này đã gi i thi u cách ch ng minh đơn gi n các đ nh lý Thales, Pythagoras và đ nh lý Stewart. Chương này còn trình bày v tam giác pedal, trong đó pedal tr c tâm là s tìm tòi c a tác gi . Chương này cũng trình bày 17 bài toán v áp d ng các đ nh lý nói trên. Chương 2 . T giác. Chương này trình bày m t s đ nh lý liên quan đ n t giác và các bài toán áp d ng. Đó là đ nh lý Ptolemy, đ nh lý Bretchneider, đ nh lý Casey, đ nh lý Canot. Chương này còn đ c p đ n t giác đ c bi t như t giác n i ti p, t giác ngo i ti p, t giác đ ng th i ngo i và n i ti p, t giác đi u hoà, trong đó 10 tính ch t v t giác ngo i ti p là s tìm tòi c a tác gi b n lu n văn. Trong chương này tôi gi i thi u 20 bài toán áp d ng các đ nh lý liên quan đ n t giác. Chương 3. Các đư ng th ng đ ng quy. Chương này trình bày các ki n th c v đư ng th ng đ ng quy, đ c bi t là đ nh lý Ceva v i các m r ng trên m t ph ng và trong không gian. Chương này cũng gi i thi u m t s đi m đ c bi t trong tam giác đư c t o nên b i các đư ng th ng đ c bi t đ ng quy. Trong chương này trình bày 11 bài toán liên quan đ n các đư ng th ng đ ng quy, trong đó đa ph n đư c trích ra t các đ thi vô đ ch Qu c t và Vi t Nam. Chương 4. Các đi m th ng hàng. Chương này trình bày các ki n th c liên quan đ n các đi m th ng hàng, đ c bi t là đ nh lý Menelaus và các m r ng trong t giác, trong không gian. Chương này còn gi i thi u đ nh lý Desargues, đ nh lý Pappus và 10 bài toán liên quan đ n các đi m th ng hàng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 Chương 5. Đư ng tròn. Chương này gi i thi u m t s đ nh lý hình h c n i ti ng liên quan đ n đư ng tròn như đ nh lý Euler v đư ng tròn Euler, đ nh lý Simson v đư ng th ng Simson, đ nh lý Steiner, đ nh lý Newton, đ nh lý Brianchon và m t s đ nh lý khác. Trong chương đã trình bày 16 bài toán liên quan đ n đư ng tròn. Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n c a TS. Nguy n Văn Ng c - Vi n Toán H c Hà N i. Tác gi xin đư c bày t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c t i Th y hư ng d n, t i các th y cô giáo Trư ng Đ i h c Khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên. Đ ng th i tác gi xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao h c Toán K3 - Trư ng Đ i h c Khoa h c đã đ ng viên, giúp đ trong quá trình h c t p và làm lu n văn này. Tác gi xin c m ơn S Giáo d c - Đào t o t nh Hà Giang, Ban Giám hi u và đ ng nghi p c a trư ng THPT Hùng An, trư ng THPT Đ ng Yên - Huy n B c Quang đã t o đi u ki n v m i m t đ tác gi đư c tham gia h c t p và hoàn thành khoá h c. Thái Nguyên, ngày 25 tháng 06 năm 2011 Tác gi Vũ Văn Đ c Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 Chương 1 Tam giác 1.1. Kí hi u và h th c cơ b n trong tam giác Kí hi u ∆ABC là tam giác ABC v i các đ nh là A, B, C. Đ thu n ti n, đ l n c a các góc ng v i các đ nh A, B, C cũng đư c kí hi u tương ng là A, B, C. Đ dài các c nh c a tam giác: BC = a, CA = b, AB = c. a+b+c N a chu vi c a tam giác: p = . 2 Đư ng cao v i các c nh: ha , hb , hc . Đư ng trung tuy n v i các c nh: ma , mb , mc . Đư ng phân giác v i các c nh: la , lb , lc . Bán kính đư ng tròn ngo i ti p R, bán kính đư ng tròn n i ti p r. Bán kính đư ng tròn bàng ti p các c nh: Ra , Rb , Rc . Di n tích tam giác ABC: S = SABC hay [ABC]. H th c v góc: A + B + C = 180o (π). H th c v c nh: |b − c| < a < b + c; |c − a| < b < c + a; |a − b| < c < a + b. Công th c tính di n tích tam giác. Di n tích tam giác b ng m t n a tích c a m t c nh v i đư ng cao tương ng: 1 1 1 [ABC] = aha = bhb = chc . 2 2 2 1.2. Đ nh lý Thales và đ nh lý Pythagoras 1.2.1. Đ nh lý Thales Thales và Pythagoras là hai nhà toán h c xa xưa nh t mà l ch s Toán h c còn ghi l i đư c. Thales sinh trư c Pythagoras n a th k , t ng là th y d y c a Pythagoras và đã đánh giá r t cao tài năng c a c u h c trò nh tu i. Thales sinh kho ng năm 620 và m t kho ng năm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 546 trư c Công nguyên (TCN). Ông sinh ra thành ph Miletus giàu có c a x Ionia th nh vư ng ven bi n phía tây Ti u Á. Thales đã đ n Ba-bi-lon, Ai C p và thu th p đư c t nh ng x s y nhi u ki n th c toán h c. Ông đư c coi là ngư i sáng l p n n toán h c Hy L p. Thales là nhà buôn, nhà chính tr và tri t h c, nhà toán h c và thiên văn h c. Ông là ngư i đ u tiên trong L ch s toán h c đưa ra nh ng phép ch ng minh. Ông đã ch ng minh đư c đ nh lý v s t o thành các đo n th ng t l (Đ nh lý Thales) và các đ nh lý v hai góc đ i đ nh, hai góc đáy c a m t tam giác cân, góc n i ti p ch n n a đư ng tròn. Thales đã đo đư c chi u cao c a các Kim T Tháp b ng cách đo bóng n ng c a chúng, tính đư c kho ng cách t các con tàu đ n b n c ng nh các tam giác đ ng d ng. Thales cũng là ngư i đ u tiên trong L ch s toán h c đoán trư c đư c các ngày Nh t th c: Hi n tư ng x y ra đúng vào ngày mà ông d đoán, ngày 28 tháng 05 năm 585 TCN, trong s khâm ph c c a m i ngư i. Đ nh nghĩa 1.1. Hai đo n th ng AB và CD g i là t l v i hai đo n th ng A’B’ và C’D’ n u có t l th c AB AB AB CD = hay = . (1.1) CD CD AB CD Đ nh lý 1.1. (Đ nh lý Thales trong tam giác). N u m t đư ng c t hai c nh c a m t tam giác và song song v i c nh còn l i thì nó đ nh ra trên hai c nh còn l i nh ng đo n th ng t l . Ch ng minh. Xét tam giác ABC và gi s đư ng th ng xx //BC, c t c nh AB và AC tương ng t i D và E. Ta s ch ng minh AD AE = . (1.2) DB EC Vì DE song song v i BC, nên di n tích tam giác DEB b ng di n tích tam giác Hình 1.1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 DEC. Trong tam giác ABE k đư ng cao EF . Khi đó 1 [ADE] AD.EF AD = 2 = . (1.3) [BDE] 1 BD BD.EF 2 Tương t ta có [ADE] AE = . (1.4) [BDE] CE T (1.3) và (1.4) suy ra h th c (1.2) (đpcm). H qu 1.1. Trong tam giác ABC, n u đư ng th ng xx c t AB D và c t c nh AC E, thì AB AC AB AC = ; = . (1.5) AD AE DB EC Đ nh lý 1.2. (Đ nh lý Thalet đ o) N u m t đư ng c t hai c nh c a m t tam giác và đ nh ra trên hai c nh này nh ng đo n th ng tương ng t l thì đư ng th ng đó song song v i c nh còn l i c a tam giác. Ch ng minh. Gi s đư ng th ng xx c t các c nh AB, AC c a tam AB AC giác ABC theo th t t i D và E, sao cho = . DB EC Ta ph i ch ng minh DE//BC. Qua D k đư ng th ng song song v i c nh BC c t c nh AC t i đi m AB AE AE AE E . Theo đ nh lý thu n ta có = ⇒ = DB EC EC EC AE AE AE + E C AE + EC AC AC ⇔ +1= +1⇔ = ⇔ = , EC EC EC EC EC EC hay E C = EC , t c là E ≡ E . Do đó DE//BC (đpcm). H qu 1.2. N u m t đư ng th ng c t hai c nh (ho c ph n kéo dài c a hai c nh) c a m t tam giác và song song v i c nh còn l i thì nó t o thành m t tam gác m i có ba c nh tương ng t l v i ba c nh c a tam giác đã cho. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 H qu 1.3. Nhi u đư ng th ng song song đ nh ra trên hai cát tuy n nh ng đo n th ng tương ng t l . Bài toán 1.1. Cho hình thang ABCD v i AB//CD. M là trung đi m c a CD. G i I là giao đi m c a AM và BC, K là giao đi m c a BM và AC. Ch ng minh r ng IK//AB. L i gi i. Ta có ∆AIB ∼ ∆M ID (Do AB//M D, AIB = M ID) ⇒ IM MD = . IA AB M t khác M D = M C, AB//M C (gi thi t) KM MC IM KM ⇒ = nên = . KB AB IA KB ⇒ IK//AB (Theo Thalet đ o ta suy ra đi u ph i ch ng minh). Hình 1.2 1.2.2. Đ nh lý Pythagoras Đ nh lý này mang tên nhà tri t h c và nhà toán h c Hy L p s ng vào th k th VI TCN, m c dù đ nh lý này đã đư c bi t b i các nhà toán h c n Đ , Hy L p, Trung Qu c và Babylon t nhi u th k trư c. Hai cách ch ng minh c nh t c a Đ nh lý Pythagoras đư c cho là n m trong quy n "Chu b toán kinh" kho ng 500 đ n 200 TCN và "Các nguyên t " c a Euclid kho ng 300 năm TCN. Đ nh nghĩa 1.2. Tam giác vuông là tam giác có m t góc vuông. C nh đ i di n v i góc vuông đư c g i là c nh huy n, hai c nh k góc vuông đư c g i là hai c nh k hay hai c nh góc vuông. Cách phát bi u c a Euclid: T ng di n tích c a hai hình vuông v trên hai c nh góc vuông (hai c nh k góc vuông) b ng di n tích c a hình vuông v trên c nh huy n. Dùng đ i s sơ c p hay hình h c đ i s có th vi t đ nh lý Pythagoras dư i d ng hi n đ i, chú ý r ng di n tích c a hình vuông b ng bình phương đ dài c nh c a hình vuông đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 Đ nh lý 1.3. (Đ nh lý Pythagoras thu n) Trong tam giác vuông, bình phương đ dài c nh huy n b ng t ng bình phương đ dài hai c nh góc vuông. N u tam giác ABC vuông t i A thì a2 = b2 + c2 . Ch ng minh. Cách 1. Không m t tính t ng quát, gi s r ng b ≥ c. D ng hình vuông BCP Q có đ dài các c nh b ng a, d ng vào bên trong hình vuông 4 tam giác vuông b ng tam giác vuông ABC. Ta th y di n tích c a hình vuông c nh a b ng t ng di n tích c a 4 tam giác vuông b ng tam giác ABC v i di n tích c a hình vuông c nh (b − c). Hình 1.3 1 V y ta có a2 = 4. .bc + (b − c)2 = 2bc + b2 − 2bc + c2 = b2 + c2 . 2 Cách 2. Cách ch ng minh c đi n B đ 1.1. Trong tam giác vuông, bình phương đ dài m i c nh góc vuông b ng tích đ dài c nh huy n v i đ dài hình chi u c a c nh góc vuông đó lên c nh huy n b2 = ab , c2 = ac . Ch ng minh. Vì hai tam giác vuông ABC và HBA có ABC chung nên ∆ABC ∼ ∆HBA. Suy AB BC ra = hay AB 2 = HB.BC. V y HB AB c2 = ac . Ch ng minh tương t , ta có ∆ABC ∼ ∆HAC. Suy ra b2 = ab . Hình 1.4 2 2 Theo b đ trên ta có b = ab ; c = ac . C ng t ng v hai đ ng th c trên, ta đư c b2 + c2 = a(b + c ) = a2 . Đ nh lý 1.4. (Đ nh lý Pythagoras đ o) N u bình phương đ dài m t c nh c a tam giác b ng t ng bình phương đ dài c a hai c nh kia, thì góc c a tam giác n m gi a hai c nh đó b ng góc vuông. N u trong tam giác ABC mà a2 = b2 + c2 thì A = 90o . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 K t lu n: M t tam giác là vuông khi và ch khi bình phương đ dài c a m t c nh b ng t ng bình phương đ dài c a hai c nh kia. 1.3. Đ nh lý hàm s sin và đ nh lý hàm s cosin 1.3.1. Đ nh lý hàm s sin Đ nh lý 1.5. Trong tam giác ABC có các h th c a b c = = = 2R. (1.6) sin A sin B sin C Ch ng minh. V đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. Vì các góc A, B, C có vai trò như nhau, nên chúng ta ch ch ng minh (1.6) cho góc A. V đư ng kính BA . a) N u A = 90o , thì sin A = 1, a = 2R, nên (1.6) đúng. b) Xét trư ng h p A nh n. Ta có A = A (góc n i ti p cùng ch n m t cung nh BC) do đó: BC a a sin A = sin A = ⇔ = 2R. BA 2R sin A c) Xét trư ng h p A tù. Khi đó A + A = 180o , do đó Hình 1.5 BC a a sin A = sin (180o − A ) = sin A = = ⇔ = 2R. BA 2R sin A 1.3.2. Đ nh lý hàm s cosin Đ nh lý 1.6. Trong tam giác ABC có các h th c a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; (1.7) b2 = a2 + c2 − 2ac cos B; (1.8) c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. (1.9) Ch ng minh. Cách 1 (Dùng công c vectơ). Vai trò c a a, b, c như nhau, ta ch ch ng minh công th c (1.7). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 − −→ → − − → − −→ Đ đơn gi n ta đ t: → = BC, b = AC, → = BA. − a c → − − → − − → − →− − Ta có → = b + → ⇒ →2 = ( b + →)2 = b 2 + →2 + 2 b → −a c −a c −c c →2 →2 − → → − − ⇔→2 = b + − + 2bc. cos ( b , c ) −a c ⇔→2 = b2 + c2 + 2bc. cos (π − A) = b2 + c2 − 2bc. cos A. − a Cách 2 (Dùng công c đ i s ). Đây chính là ng d ng c a đ nh lý Pythagoras. Trư ng h p c hai góc B, C đ u là góc nh n. Áp d ng đ nh lý Pythagoras cho hai tam giác vuông ACH và ABH ta có AH 2 + CH 2 = AC 2 và AH 2 + BH 2 = AB 2 . Tr tương ng 2 v c a 2 đ ng th c trên ta đư c CH 2 − BH 2 = AC 2 − AB 2 Hình 1.6 ⇒ (BC − BH)2 − BH 2 = AC 2 − AB 2 ⇒ BC 2 − 2BC.BH = AC 2 − AB 2 hay a2 − 2a.BH = b2 − c2 . a2 + c 2 − b 2 ⇒ BH = . (1.10) 2a BH Trong tam giác vuông ABH có cos B = . K t h p v i (1.10) ta AB a2 + c2 − b2 suy ra: cos B = hay b2 = a2 + c2 − 2ac cos B. 2ac Tương t ta ch ng minh đư c c2 = a2 + b2 − 2ab cos C; a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. 1.3.3. Bài toán Bài toán 1.2. (F.Smarandache) Cho tam giác ABC, D là đi m tuỳ ý trên c nh BC. Gi s BD = m, CD = n, BAD = α, CAD = β. Khi đó m c. sin α = . (1.11) n b. sin β 1 1 L i gi i. Ta có [BAD] = m.ha = AB.AD. sin α; 2 2 1 1 [CAD] = n.ha = AC.AD. sin β. 2 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 T đó suy ra 1 1 [BAD] m.ha AB.AD. sin α = 2 = 2 [CAD] 1 1 n.ha AC.AD. sin β 2 2 m c. sin α Hình 1.7 ⇔ = (đpcm). n b. sin β A H qu 1.4. Gi s AD là phân giác c a góc A. Khi đó α = β = m c 2 nên t (1.11) ta có = . n b Bài toán 1.3. (J. Sandor) Gi s AD và AE là hai tia (D, E ∈ BC) tương ng t o v i AB và AC các góc α, β. N u A ≤ 90o và α ≤ β thì BD.BE AB 2 ≤ . (1.12) CD.CE AC 2 L i gi i. Th t v y theo công th c (1.11) ta có BD ABD AB. sin α = = CD ACD AC. sin (A − α) BE AB. sin (A − α) Tương t ta có = . CE AC. sin β 2 BD.BE AB sin α sin (A − β) ⇒ = . . . (1.13) CD.CE AC sin β sin (A − α) Vì 0 < α ≤ β < 90o và 0 < A − β ≤ A − α < 90o , t (1.13) ⇒ (1.12). 2 BD.BE AB Nh n xét r ng, n u α = β thì = . CD.CE AC 1.4. Đ nh lý Stewart và áp d ng 1.4.1. Đ nh lý Stewart Đ nh lý 1.7. Cho ∆ABC v i các đ dài BC = a, CA = b, AB = c. K tia Am c a góc A, c t c nh BC t i M . Gi s AM = p, BM = m, M C = n. Khi đó: a(p2 + mn) = mb2 + nc2 . (1.14) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 Ch ng minh. Áp d ng đ nh lý hàm s cosin cho các tam giác AM B và AM C, ta có c2 = p2 + m2 − 2pm cos (AM B); b2 = p2 + n2 − 2pn cos (AM C). Chú ý r ng cos (AM B) = cos (π − AM B) = − cos (AM C), nên ta có c2 = p2 + m2 + 2pm cos (AM C); b2 = p2 + n2 − 2pn cos (AM C). Suy ra nc2 + mb2 = p2 (n + m) + mn(m + n) = (m + n)(p2 + mn) = a(p2 + mn). ⇒ a(p2 + mn) = mb2 + nc2 (đpcm). 1.4.2. Đ nh lý đư ng trung tuy n Đ nh lý 1.8. Trong m t tam giác ba đư ng trung tuy n g p nhau t i m t đi m đư c g i là tr ng tâm c a tam giác. Trên m i đư ng trung tuy n, kho ng cách t tr ng tâm đ n đ nh b ng hai l n kho ng cách tr ng tâm đ n chân đư ng trung tuy n. Đ nh lý 1.9. (Đ nh lý Apollonius - Pappus). Trong tam giác ABC có các h th c sau đây v đư ng trung tuy n. b 2 + c 2 a2 c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 m2 = a − ; m2 = b − ; m2 = c − . (1.15) 2 4 2 4 2 4 Ch ng minh. Cách 1: Theo ph n ch ng minh đ nh lý cosin trong tam giác ta có a2 + c 2 − b 2 k t qu : BH = . 2a Gi s AB < AC thì BH < BM nên a a2 + c 2 − b 2 c2 − b2 b 2 − c2 HM = BM − BH = − = ⇒ HM = . 2 2a 2a 2a T đó m2 = AM 2 = AH 2 + HM 2 = AB 2 − BH 2 + HM 2 a 2 2 a2 + c2 − b2 2 c2 − b2 a4 + 2a2 (c2 − b2 ) 2 =c − + =c − 2a 2a 4a2 2 c2 + b2 a2 ⇒ ma = − . 2 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 c 2 + a2 b 2 a2 + b 2 c 2 Tương t ta có = m2 b − ; mc = 2 − . 2 4 2 4 a Cách 2: Trong công th c (1.14) đ t p = ma , m = n = , ta có 2 a2 a b2 + c2 a2 a(m2 + a ) = (b2 + c2 ) ⇒ m2 = a − . 4 2 2 4 Các công th c còn l i đư c ch ng minh tương t . Bài toán 1.4. Ch ng minh r ng, n u mb = mc , thì tam giác ABC cân t i A. L i gi i. Theo công th c đư ng trung tuy n ta có c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 m2 − m2 = 0 = b c − − + 2 4 2 4 1 2 = (3c − 3b2 ) = 3(c − b)(c + b). 4 T đây suy ra b = c và ta có đi u ph i ch ng minh. 1.4.3. Đ nh lý v đư ng phân giác Đ nh lý 1.10. Đư ng phân giác trong c a góc ng v i m t đ nh c a tam giác chia c nh đ i di n v i đ nh thành hai đo n t l v i hai c nh k . Ch ng minh. Cho tam giác ABC và AD là đư ng phân giác trong c a AB DB góc BAC. Ta ph i ch ng minh = . AC DC Qua đi m B v đư ng th ng song song v i c nh AC, c t đư ng th ng AD t i đi m E. Ta có BAE = EAC (gi thi t) và BEA=EAC (so le trong). Suy ra BAE = BEA. Do đó tam giác BAE cân, nên AB = BE. Áp d ng h qu c a đ nh lý Hình 1.8 BE DB Thales ta có = . AC DC Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18 AB DB Nhưng BE = AB, do đó = . AC DC Chú ý: Đ nh lý v n đúng đ i v i đư ng phân giác ngoài c a tam giác AB DB = . AC DC Đ nh lý 1.11. (Công th c đư ng phân giác). Đ dài các phân giác la , lb , lc c a góc A, B, C trong tam giác ABC tương ng đư c tính theo công th c 2bc A 2ca B 2ab C la = . cos ; lb = . cos ; lc = . cos . (1.16) b+c 2 c+a 2 a+b 2 Ch ng minh. S d ng công th c di n tích tam giác [ABC] = [ADB] + [ADC] A A A ⇔ b.c. sin ( ) = AD.c. sin ( ) + AD.b. sin ( ) 2 2 2 A A A ⇔ 2bc. sin ( ). cos ( ) = AD. sin ( )(b + c) 2 2 2 2bc A 2bc A ⇒ AD = . cos ( ) ⇒ la = . cos ( ). b+c 2 b+c 2 Ch ng minh tương t ta suy ra 2 công th c: 2ca B 2ab C lb = . cos ( ); lc = . cos ( ). c+a 2 a+b 2 Đ nh lý 1.12. (Đ nh lý Steiner - Lehmus). Tam giác có hai đư ng phân giác b ng nhau là tam giác cân. Ch ng minh. Gi s trong tam giác ABC có lb = lc . Ta s ch ng minh b = c. S d ng các công th c (1.16) và các bi n đ i đ i s c n thi t ta có 2 2 (a + b + c+)(bc + a2 ) + 2abc 0 = lb − lc = a(a + b + c)(c − b) . (1.17) (a + b)2 (a + c)2 Trong công th c (1.17) th a s duy nh t có th b ng không là c − b, v y b = c. 1.4.4. Công th c góc chia đôi Đ nh lý 1.13. Công th c góc chia đôi: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn