Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn ánh xạ giả co chặt

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là nghiên cứu phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh để tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ giả co chặt, trường hợp riêng là một học ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn ánh xạ giả co chặt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀM THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀM THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. LÂM THÙY DƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2016
1 Môc lôc Lêi cam ®oan i Lêi c¶m ¬n ii Môc lôc iii Mét sè ký hiÖu vµ viÕt t¾t iv Më ®Çu 1 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 4 1.1. Mét sè kh¸i niÖm cña kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. §Þnh nghÜa kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Mét sè kh¸i niÖm liªn quan . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n chØnh vµ kh«ng chØnh . . . . . . . 11 1.3.2. C¸c ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n 17 1.4.1. Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2. Ph¬ng ph¸p bµi to¸n phô . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.3. ThuËt to¸n nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt 28
2.1. Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt . . . . . . . . . . . . . . 35 KÕt luËn 43 Tµi liÖu tham kh¶o 44
i lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan r»ng néi dung tr×nh bµy trong luËn v¨n nµy lµ trung thùc, kh«ng trïng lÆp víi c¸c ®Ò tµi kh¸c vµ c¸c tµi liÖu trÝch dÉn trong luËn v¨n ®· ®îc chØ râ nguån gèc. T¸c gi¶ §µm ThÞ Hång
ii lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh t¹i Trêng §¹i häc S ph¹m thuéc §¹i häc Th¸i Nguyªn díi sù híng dÉn cña TS. L©m Thïy D¬ng. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt tíi c« ®· chØ b¶o tËn t×nh vµ cho nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quÝ b¸u trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n tíi Ban Gi¸m hiÖu Trêng §¹i häc S ph¹m, Phßng sau ®¹i häc vµ Ban Chñ nhiÖm khoa To¸n Trêng §¹i häc S ph¹m - §¹i hoc Th¸i Nguyªn ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t¸c gi¶ trong suèt thêi gian lµm luËn v¨n. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n tíi c¸c anh, chÞ em häc viªn K22 ®· trao ®æi, ®éng viªn vµ khÝch lÖ t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu vµ lµm luËn v¨n. T¸c gi¶ xin kÝnh tÆng nh÷ng ngêi th©n yªu trong gia ®×nh cña m×nh niÒm vinh h¹nh nµy. T¸c gi¶ §µm ThÞ Hång
iii Môc lôc
iv Mét sè ký hiÖu vµ viÕt t¾t H kh«ng gian Hilbert thùc E kh«ng gian Banach thùc h., .i tÝch v« híng trªn H k.k chuÈn trªn H D(A) miÒn x¸c ®Þnh cña ¸nh x¹ A N tËp hîp c¸c sè tù nhiªn R tËp hîp c¸c sè thùc I to¸n tö ®ång nhÊt ∅ tËp rçng ∀x víi mäi x xn −→ x0 d·y {xn } héi tô m¹nh vÒ x0 xn * x0 d·y {xn } héi tô yÕu vÒ x0
1 Më ®Çu Bµi to¸n t×m ®iÓm bÊt ®éng cña mét ¸nh x¹ T lµ bµi to¸n cã nhiÒu øng dông trong gi¶i tÝch, nhÊt lµ trong lý thuyÕt c¸c ph¬ng tr×nh. Trong nhiÒu trêng hîp, viÖc gi¶i mét ph¬ng tr×nh ®îc quy vÒ viÖc t×m ®iÓm bÊt ®éng cña mét ¸nh x¹ thÝch hîp. Ch¼ng h¹n nh, cho X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh, f lµ ¸nh x¹ trong X, y lµ mét phÇn tö cè ®Þnh cña X th× nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f (x) = y lµ ®iÓm bÊt ®éng cña ¸nh x¹ F x¸c ®Þnh bëi F (x) = x + f (x) − y . Nh÷ng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng næi tiÕng ®· xuÊt hiÖn tõ ®Çu thÕ kû XX, trong ®ã ph¶i kÓ ®Õn: '' Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouder (1912)'', '' Nguyªn lý ¸nh x¹ co Bannach (1922)'' vµ c¸c kÕt qu¶ kinh ®iÓn nµy ®· ®îc më réng ra líp c¸c ¸nh x¹ vµ kh«ng gian kh¸c nhau. H¬n n÷a, c¸c ®Þnh lý vÒ ®iÓm bÊt ®éng kh«ng chØ cã øng dông trong to¸n häc mµ cßn cã nhiÒu øng dông trong c¸c lÜnh vùc kh¸c, nh lµ: xö lý tÝn hiÖu, xö lý ¶nh,... Do ®ã, bµi to¸n t×m ®iÓm bÊt ®éng lµ mét vÊn ®Ò ®îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc. Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ nghiªn cøu ph¬ng ph¸p Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh ®Ó t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt, trêng hîp riªng lµ mét hä ¸nh x¹ kh«ng gi·n, trong kh«ng gian Hilbert. Kh¸i niÖm ¸nh x¹ gi¶ co chÆt ®îc c¸c nhµ to¸n häc F. E. Brouder vµ W. V. Petryshyn [5] ®a ra n¨m 1967. Hä ®· ®Þnh nghÜa r»ng, mét ¸nh x¹ T x¸c ®Þnh trªn mét tËp låi ®ãng C cña kh«ng gian Hilbert H lµ λ - gi¶ co chÆt nÕu
2 ¸nh x¹ T tháa m·n: k T (x) − T (y) k2 ≤k x − y k2 +λ k (I − T )(x) − (I − T )(y) k2 víi 0 ≤ λ < 1. Trong trêng hîp khi λ = 0 th× ¸nh x¹ 0 - gi¶ co chÆt lµ mét ¸nh x¹ kh«ng gi·n. Cho mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹ λi - gi¶ co chÆt, {Ti }∞ i=1 tõ mét tËp låi ®ãng C cña kh«ng gian Hilbert H vµo H , sao cho F = ∞ T i=1 F ix (Ti ) 6= φ, ë ®©y F ix (Ti ) lµ tËp ®iÓm bÊt ®éng cña ¸nh x¹ Ti . XÐt bµi to¸n: T×m u∗ ∈ F. Ph¬ng ph¸p bµi to¸n phô ®îc ®Ò xuÊt bëi Cohen [7] vµo n¨m 1980 khi nghiªn cøu bµi to¸n tèi u. N¨m 1988, Cohen [8] vËn dông ph¬ng ph¸p nguyªn lý bµi to¸n phô ®Ó t×m nghiÖm cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n cæ ®iÓn: T×m u∗ ∈ C sao cho hF (u∗ ) , v − u∗ i ≥ 0 v ∈ C, (0.1) víi F : C→H lµ ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu m¹nh vµ liªn tôc Lipschitz. §èi víi ph¬ng ph¸p bµi to¸n phô ®ßi hái ¸nh x¹ F cã tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu m¹nh. VËy khi ¸nh x¹ F chØ cã tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu th× cã c¸ch nµo ®Ó t×m nghiÖm cho bµi to¸n (0.1) ®îc kh«ng? §Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy, n¨m 2000, J. Baasansuren vµ A. A. Khan [4] ®· ®Ò xuÊt ph¬ng ph¸p míi, lµ sù kÕt hîp gi÷a ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Brouder-Tikhonov víi ph¬ng ph¸p bµi to¸n phô vµ gäi lµ: ''Ph¬ng ph¸p nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh'' . Víi ph¬ng ph¸p nµy, thay cho viÖc x¸c ®Þnh chÝnh x¸c nghiÖm u∗ cña bµi to¸n (0.1), hä x¸c ®Þnh d·y nghiÖm xÊp xØ {zn }n≥0 cña c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®· chØnh hãa vµ chøng minh sù héi tô m¹nh cña d·y nghiÖm {zn }n≥0 tíi nghiÖm u∗ cña bµi to¸n (0.1).
3 Trªn tinh thÇn ®Æt ra nghiªn cøu, luËn v¨n ®îc chia thµnh 2 ch¬ng: Ch¬ng 1: KiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch¬ng nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña ¸nh x¹ trong kh«ng gian Hilbert. Tr×nh bµy kh¸i niÖm bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng vµ sù tån t¹i ®iÓm bÊt ®éng. Tr×nh bµy vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ mét sè ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh. Môc cuèi cña ch¬ng chóng t«i giíi thiÖu ph¬ng ph¸p bµi to¸n phô vµ thuËt to¸n nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh ®Ó gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n. Ch¬ng 2: Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt Trong ch¬ng nµy chóng t«i chia lµm hai phÇn: • Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt. • Nguyªn lý bµi to¸n phô hiÖu chØnh t×m ®iÓm bÊt ®éng chung cho mét hä v« h¹n c¸c ¸nh x¹ gi¶ co chÆt.
4 Ch¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1. Mét sè kh¸i niÖm cña kh«ng gian Hilbert 1.1.1. §Þnh nghÜa kh«ng gian Hilbert §Þnh nghÜa 1.1 Cho X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng sè thùc R. Mét tÝch v« híng trong X lµ mét ¸nh x¹ h·, ·i : X × X → R tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) hx, yi = hy, xi, ∀ x, y ∈ X ; (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀ x, y, z ∈ X ; (iii) hλx, yi = λhx, yi, ∀ x, y ∈ X; λ ∈ R; (iv) hx, xi > 0, ∀ x 6= 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh X cïng víi tÝch v« híng h·, ·i ®îc gäi lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert. ChuÈn cña phÇn tö x ∈ X , kÝ hiÖu kxk vµ ®îc x¸c ®Þnh: q kxk = hx, xi (1.1) Kh«ng gian tiÒn Hilbert ®Çy ®ñ víi metric sinh bëi chuÈn x¸c ®Þnh bëi (1.1) ®îc gäi lµ kh«ng gian Hilbert.
5 VÝ dô 1.1 Kh«ng gian Rn , víi tÝch v« híng ®îc x¸c ®Þnh: n X hx, yi = ξk ηk n=1 trong ®ã x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξk ), y = (η1 , η2 , . . . , ηn ) ∈ Rn , lµ kh«ng gian Hilbert. 2 L VÝ dô 1.2 Kh«ng gian C[a,b] gåm tÊt c¶ c¸c hµm liªn tôc trªn [a, b] víi c¸c phÐp to¸n tuyÕn tÝnh th«ng thêng vµ víi tÝch v« híng: Z b hf, gi = f (x) · g(x)dx. a 2 L trong ®ã f, g ∈ C[a,b] , lµ kh«ng gian Hilbert. Môc tiÕp theo sau ®©y chóng t«i xin tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm kh¸c. 1.1.2. Mét sè kh¸i niÖm liªn quan • Cho C lµ mét tËp con kh¸c rçng cña kh«ng gian X. (i) C ®îc gäi lµ bÞ chÆn, nÕu ∃ M > 0 sao chokxk ≤ M, ∀ x ∈ C . (ii) C ®îc gäi lµ låi ,nÕu ∀ x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1, ta cã: x + (1 − λ) y ∈ C. (1.2) (iii) C ®îc gäi lµ compact, nÕu mçi d·y {xn } ⊂ C ®Òu chøa d·y con {xnk } héi tô tíi mét ®iÓm thuéc C . NhËn xÐt 1.1 Mçi tËp con ®ãng, bÞ chÆn C cña mét kh«ng gian Hilbert lµ compact yÕu, tøc lµ mçi d·y bÞ chÆn trong C cã thÓ trÝch ra mét d·y con héi tô yÕu tíi mét phÇn tö cña kh«ng gian nµy. • D·y {xn } gåm c¸c phÇn tö xn ∈ X gäi lµ héi tô m¹nh tíi phÇn tö x∈X nÕu kxn − xk → 0 khi n → ∞.
6 MÖnh ®Ò 1.1 NÕu d·y {xn } ⊂ X héi tô m¹nh tíi x∈X th×: (i) Mçi d·y con {xnk } ⊂ {xn } còng héi tô tíi x; (ii) Mçi d·y {kxn − ξk} lµ bÞ chÆn, víi ξ ∈ X . • D·y {xn } ⊂ X ®îc gäi lµ ®ñ hay d·y Cauchy, nÕu víi mäi ε > 0, tån t¹i n0 (ε) sao cho kxm − xn k < ε, víi mäi m ≥ n0 (ε) vµo n ≥ n0 (ε). NÕu mäi d·y Cauchy trong X ®Òu héi tô tíi mét phÇn tö x∈X th× kh«ng gian X ®îc gäi lµ kh«ng gian ®ñ. ¸nh x¹ ϕ : X → R, víi R lµ tËp hîp c¸c sè thùc, ®îc gäi lµ mét phiÕm hµm. • PhiÕm hµm ϕ : X → R ®îc gäi lµ tuyÕn tÝnh, nÕu: (i) ϕ(x1 + x2 ) = ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ), ∀ x1 , x2 ∈ X ; (ii) ϕ(αx) = αϕ(x), ∀ x ∈ X, α ∈ R. • PhiÕm hµm ϕ:X →R ®îc gäi lµ bÞ chÆn, nÕu tån t¹i M >0 sao cho: |ϕ(x)| ≤ M kxk, ∀ x ∈ X. (1.3) Gi¸ trÞ M nhá nhÊt tháa m·n bÊt ®¼ng thøc (1.3) ®îc gäi lµ chuÈn cña ϕ vµ kÝ hiÖu lµ kϕk. TËp hîp tÊt c¶ c¸c phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn X ®îc gäi lµ kh«ng gian liªn hîp ( hay kh«ng gian ®èi ngÉu) cña kh«ng gian X , kÝ hiÖu lµ X ∗ . • D·y {xn } ⊂ X gäi lµ héi tô yÕu tíi x ∈ X ( viÕt lµ xn * x) nÕu hϕ, xn i → hϕ, xi víi ϕ ∈ X ∗ . MÖnh ®Ò 1.2 NÕu d·y {xn } ⊂ X héi tô yÕu tíi x∈X th× d·y {kxn k} lµ bÞ chÆn. • PhiÕm hµm ϕ : X → R ®îc gäi lµ låi, nÕu: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y), ∀ x, y ∈ X, t ∈ [0, 1] . (1.4)
7 NÕu dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y , th× phiÕm hµm ϕ ®îc gäi lµ låi chÆt. NÕu tån t¹i mét hµm liªn tôc, t¨ng γ : [0, +∞) → R, γ(0) = 0 sao cho: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ (kx − yk) (1.5) víi mäi x, y ∈ X, t ∈ [0, 1], th× phiÕm hµm ϕ ®îc gäi lµ låi ®Òu vµ hµm γ(t) ®îc gäi lµ m«®un låi cña ϕ. NÕu γ(t) = ct2 , víi c lµ h»ng sè d¬ng, th× phiÕm hµm ϕ ®îc gäi lµ låi m¹nh. • PhiÕm hµm ϕ : X → R ®îc gäi lµ nöa liªn tôc díi t¹i x0 ∈ X , nÕu víi mçi d·y xn ⊂ X sao cho xn → x0 ta cã: ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ). (1.6) n→∞ NÕu xn ⊂ X héi tô yÕu tíi x0 ∈ X vµ ϕ(x0 ) ≤ lim inf n→∞ ϕ(xn ) th× ϕ ®îc gäi lµ nöa liªn tôc díi yÕu t¹i x0 ∈ X . • PhiÕm hµm ϕ : X → R ®îc gäi lµ kh¶ vi theo híng h t¹i mét ®iÓm x∈X nÕu giíi h¹n ϕ(x + th) − ϕ(x) 0 lim = V (x, h) (1.7) n→∞ h tån t¹i víi mäi h ∈ X. NÕu giíi h¹n (1.7) tuyÕn tÝnh liªn tôc theo h, tøc lµ: 0 0 V (x; h) = ϕ (x).h, 0 th× ϕ ®îc gäi lµ kh¶ vi G©teaux ( hay kh¶ vi yÕu) t¹i ®iÓm x∈X vµ ϕ (x) gäi lµ ®¹o hµm G©teaux cña ϕ t¹i x. • PhiÕm hµm ϕ:X→R ®îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet (hay kh¶ vi m¹nh) t¹i x ∈ X, nÕu tån t¹i mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc F : X → X∗ sao cho
8 víi mäi x+h∈X ta cã: ϕ(x + h) − ϕ(x) = hF (x), hi + w(x, h) trong ®ã, w(x, h) = o(khk), nghÜa lµ: w(x, h) lim =0 h→ 0 ||h|| §¹i lîng F (x) = ϕ0 (x) ®îc gäi lµ ®¹o hµm FrÐchet cña hµm ϕ t¹i x. Chó ý 1.1 : NÕu ϕ kh¶ vi FrÐchet t¹i x0 ∈ X th× kh¶ vi G©teaux t¹i ®ã. §iÒu ngîc l¹i kh«ng ®óng. Tuy nhiªn, nÕu ®¹o hµm G©teaux ϕ0 liªn tôc trong l©n cËn cña x0 ∈ X th× còng lµ ®¹o hµm FrÐchet t¹i x0 . • Cho X vµ Y lµ hai kh«ng gian Hilbert. ¸nh x¹ A : X → Y ®îc gäi lµ: (i) liªn tôc t¹i x0 ∈ X , nÕu víi mçi d·y {xn } ⊆ X sao cho khi xn → x0 th× A(xn ) → A(x0 ). (ii) h - liªn tôc t¹i x0 ∈ X , nÕu A(x0 + tn h) * A(x0 ) khi tn → 0 víi mçi vect¬ h tháa m·n x0 + tn h ∈ X vµ 0 ≤ tn ≤ t(x0 ). (iii) d - liªn tôc t¹i x0 ∈ X , nÕu mçi d·y {xn } ⊆ X sao cho khi xn → x0 th× A(xn ) * A(x0 ). (iv) liªn tôc Lipschitz, nÕu tån t¹i L ≥ 0 sao cho: kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk, ∀ x, y ∈ X. (v) bÞ chÆn, nÕu nã biÕn mçi tËp bÞ chÆn trong X thµnh mét tËp bÞ chÆn trong Y. • Cho X lµ kh«ng gian Hilbert. ¸nh x¹ A : X → X ®îc gäi lµ: (i) ®¬n ®iÖu, nÕu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀ x, y ∈ X.
9 NÕu dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x=y th× ¸nh x¹ A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt (ii) ®¬n ®iÖu ®Òu, nÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m δ(t), kh«ng gi¶m víi t ≥ 0, δ(0) = 0 vµ tháa m·n tÝnh chÊt hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀ x, y ∈ X. NÕu δ(t) = ct2 , víi c lµ h»ng sè d¬ng, th× A ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu m¹nh. 1.2. Bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng §Þnh nghÜa 1.2 Cho X lµ mét kh«ng gian mªtric bÊt kú vµ T :X →X lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Bµi to¸n t×m ®iÓm bÊt ®éng ®îc ph¸t biÓu nh sau: T×m x∗ ∈ X sao cho x∗ = T (x∗ ). (1.8) Trong trêng hîp T : X → 2X lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ th× bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng ®îc ph¸t biÓu: T×m x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ T (x∗ ). TËp hîp nh÷ng ®iÓm x∗ ∈ X tháa m·n (1.8) ®îc gäi lµ tËp ®iÓm bÊt ®éng cña T vµ ký hiÖu lµ F ix(T ). VÝ dô 1.3 Cho X = R vµ T (x) = x2 + 5x + 4. Ta cã T (−2) = −2, do ®ã F ix(T ) = {−2}. Nguyªn lý ¸nh x¹ co cho ta biÕt kÕt qu¶ cña sù tån t¹i ®iÓm bÊt ®éng trong kh«ng gian mªtric, thËm chÝ cßn lµ duy nhÊt. §Ó tr×nh bµy Nguyªn lý ¸nh x¹
10 co, tríc tiªn ta sÏ ®Þnh nghÜa ¸nh x¹ co. §Þnh nghÜa 1.3 (Xem [2]) Mét ¸nh x¹ T tõ kh«ng gian mªtric (X, d) vµo kh«ng gian mªtric (Y, ρ) ®îc gäi lµ ¸nh x¹ co nÕu tån t¹i sè k ∈ [0, 1) sao cho ρ (T x, T y) ≤ kd (x, y), víi mäi x, y ∈ X . Nh vËy, ta thÊy ¸nh x¹ co lµ trêng hîp riªng cña ¸nh x¹ Lipschitz vµ hiÓn nhiªn lµ ¸nh x¹ liªn tôc. §Þnh lÝ 1.1 (Xem [2]) Cho (X, d) lµ mét kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ vµ T lµ mét ¸nh x¹ co trong X . Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt x∗ ∈ X sao cho T (x∗ ) = x∗ . Ngoµi ra, víi mäi x0 ∈ X , d·y lÆp {xn } x¸c ®Þnh bëi xn+1 = T (xn ), ∀ n = 1, 2, . . . héi tô ®Õn x∗ . Chøng minh. LÊy x0 tïy ý trong X vµ ta cã xn+1 = T xn víi n = 1, 2 . . .. V× T lµ ¸nh x¹ co nªn tån t¹i k ∈ [0, 1) sao cho d(x2 , x1 ) = d(T (x1 ), T (x0 )) ≤ kd(x1 , x0 ) d(x3 , x2 ) = d(T (x2 ), T (x1 )) ≤ kd(x2 , x1 ) ≤ k 2 d(x1 , x0 ) ...... d(xn+1 , xn ) ≤ k n d(x1 , x0 ). LÊy m > n, ta cã d (xn , xm ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + . . . + d (xm−1 , xm ) ≤ k n d(x0 , x1 ) + k n+1 d(x0 , x1 ) + . . . + k m−1 d(x0 , x1 ) ≤ k n + k n+1 + ... + k m−1 d (x0 , x1 ) ≤ k n 1 + k + ... + k m−n−1 + ... d (x0 , x1 ) kn ≤ d (x0 , x1 ) . 1−k
11 V× k ∈ [0, 1) nªn kn → 0 khi n → ∞. Do ®ã, {xn } lµ d·y Cauchy. MÆt kh¸c (X, d) lµ mét kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ nªn {xn } héi tô ®Õn mét phÇn tö x∗ ∈ X . Víi mçi n ta cã 0 ≤ d (x∗ , T (x∗ )) ≤ d (x∗ , xn ) + d (xn , T (x∗ )) ≤ d (x∗ , xn ) + d(T (xn−1 ), T (x∗ )) (1.9) ≤ d (x∗ , xn ) + kd (xn−1 , x∗ ) . Cho n → ∞ ta ®îc 0 ≤ d(x∗ , T (x∗ )) ≤ 0, tõ ®ã suy ra d (x∗ , T x∗ ) = 0, tøc lµ T (x∗ ) = x∗ . Gi¶ sö cßn cã y∗ ∈ X mµ T (y ∗ ) = y ∗ th× ta cã d (x∗ , y ∗ ) = d (T (x∗ ), T (y ∗ )) ≤ kd (x∗ , y ∗ ) . V× k ∈ [0, 1) nªn d (x∗ , y ∗ ) = 0, tøc lµ x∗ = y ∗ . VËy ®iÓm bÊt ®éng cña T lµ duy nhÊt vµ nguyªn lý ®· ®îc chøng minh. 1.3. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.3.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n chØnh vµ kh«ng chØnh Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n chØnh ®îc J. Hadamard ®a ra khi nghiªn cøu ¶nh hëng cña c¸c ®iÒu kiÖn biªn lªn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh elliptic còng nh parabolic. ViÖc t×m nghiÖm x cña bÊt kú bµi to¸n nµo còng ph¶i dùa vµo d÷ kiÖn ban ®Çu f, cã nghÜa x = R(f ). Ta sÏ coi nghiÖm còng nh c¸c d÷ kiÖn ®ã lµ nh÷ng phÇn tö thuéc kh«ng gian X vµ Y víi c¸c ®é ®o t¬ng øng ρX (x1 , x2 ) vµ ρY (f1 , f2 ), víi x1 , x2 ∈ X; y1 , y2 ∈ Y . Gi¶ sö ®· cã mét kh¸i niÖm thÕ nµo lµ nghiÖm cña mét bµi to¸n. Khi ®ã, bµi to¸n t×m nghiÖm x = R(f ) ®îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian
12 (X, Y ), nÕu víi mçi > 0 cã thÓ t×m ®îc mét sè δ() > 0, sao cho tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ() cho ta ρX (x1 , x2 ) ≤ , ë ®©y x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ), x1 , x2 ∈ X; y1 , y2 ∈ Y XÐt bµi to¸n ë d¹ng ph¬ng tr×nh A(x) = f (1.10) ë ®©y, A lµ ¸nh x¹ tõ kh«ng gian mªtric X vµo kh«ng gian mªtric Y vµ f lµ phÇn tö thuéc Y. §Þnh nghÜa 1.4 (Xem [1] ) Cho A : X −→ Y lµ mét ¸nh x¹ tõ kh«ng gian mªtric X vµo kh«ng gian mªtric Y. Bµi to¸n (1.10) ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt chØnh nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1. ph¬ng tr×nh A(x) = f cã nghiÖm víi mäi f ∈Y; 2. nghiÖm nµy lµ duy nhÊt; 3. vµ nghiÖm nµy phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. NÕu Ýt nhÊt mét trong ba ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tháa m·n th× bµi to¸n (1.10) ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. §«i khi ngêi ta cßn gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chÝnh quy hoÆc bµi to¸n thiÕt lËp kh«ng ®óng ®¾n. Còng cÇn lu ý r»ng, mét bµi to¸n cã thÓ thiÕt lËp kh«ng ®óng ®¾n trªn cÆp kh«ng gian metric nµy, nhng l¹i thiÕt lËp ®óng ®¾n trªn cÆp kh«ng gian metric kh¸c. §èi víi bµi to¸n t×m nghiÖm xÊp xØ cña ph¬ng tr×nh (1.10), víi d÷ kiÖn ban ®Çu ë ®©y lµ A vµ vÕ ph¶i f, trong nhiÒu ¸p dông, thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c (A, f ), ta chØ biÕt ®îc c¸c xÊp xØ (Ah , fδ ) cña chóng. Ta gi¶ sö r»ng ¸nh x¹ A cho tríc mét c¸ch chÝnh x¸c, cßn vÕ ph¶i f cho bëi fδ tháa m·n