ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
VŨ XUÂN SANG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
VŨ XUÂN SANG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI
THÁI NGUYÊN - 2017
1
Mục lục
Lời cảm ơn i
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Kháiniệm .................. 3
1.1.2 Quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Véctơvàtọađộ................... 6
1.2.1 Véc tơ trong không gian . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . 7
1.3 Sơ lược về các phép biến hình . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Phép vị tự và phép đồng dạng . . . . . . . . 11
1.3.3 Một số ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . 12
2 Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không
gian 16
2.1 Phương pháp quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng trong không gian . . . 19
2.2.1 Quỹ tích phẳng trong không gian . . . . . . 19
2.2.2 Quỹ tích hình chiếu của điểm lên đường thẳng 23
2
2.2.3 Quỹ tích hình chiếu của điểm lên mặt phẳng . 27
2.3 Phương pháp véc tơ và tọa độ . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Tìm quỹ tích nhờ véc tơ . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Tìm quỹ tích nhờ tọa độ . . . . . . . . . . . 33
2.4 Phương pháp biến hình . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Ứng dụng các phép dời hình . . . . . . . . . 38
2.4.2 Ứng dụng phép vị tự và phép đồng dạng . . . 41
2.5 Một số bài toán quỹ tích nâng cao . . . . . . . . . . 44
2.5.1 Kết hợp các phương pháp giải . . . . . . . . 44
2.5.2 Một số cách giải đặc biệt . . . . . . . . . . . 49
Tài liệu tham khảo 59
3
Danh mục hình
1.1 Bài toán mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Quỹ tích các điểm M, N, G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Quỹ tích I, H, E, F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Quỹ tích trung điểm I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Quỹ tích I,K,H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Bài toán A: Quỹ tích H, E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Bài toán A: quỹ tích E, N, H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu H của A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu N của A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9 Quỹ tích hình chiếu của A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10 Mặt phẳng trung trực và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.11 Phương pháp tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.12 Đối xứng tâm SD................................ 38
2.13 Đối xứng trục SBC ............................... 40
2.14 Quỹ tích M′................................... 41
2.15 Quỹ tích trọng tâm Q............................. 42
2.16 Quỹ tích A′,B′,C′,G.............................. 43
2.17 Hai phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.18 Quỹ tích S.................................... 47
2.19 Quỹ tích A,B,C,D............................... 50
2.20 M nhìn mặt cầu dưới góc vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.21 Quỹ tích trọng tâm tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.22 Quỹ tích H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55