Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán điểm bất đông chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả trong bài báo của Tuyen T.M. và bài báo của Kim J.K., Tuyen T.M. về các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, cùng với tính ổn định của các phương pháp cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán điểm bất đông chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ THU THỦY PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐÔNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ THU THỦY PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐÔNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2016
i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trương Minh Tuyên, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ và truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường. Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh đạo trường Trung học phổ thông Gang Thép cũng như toàn thể các đồng nghiệp trong trường Trung học phổ thông Gang Thép đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn các học viên trong lớp Cao học Toán K8A và các bạn đồng nghiệp xa gần về sự động viên, khích lệ cũng như trao đổi về chuyên môn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
ii Mục lục Lời cảm ơn i Một số ký hiệu và viết tắt iii Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach, toán tử đơn điệu và ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . 13 1.2.1. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Phương pháp điểm gần kề quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 19 1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 21 2.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 29 2.3. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36
iii Một số ký hiệu và viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu của E θ phần tử không của không gian Banach E R tập hợp các số thực R+ tập các số thực không âm ∩ phép giao inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M max M số lớn nhất trong tập hợp số M min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M argminx∈X F (x) tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X ∅ tập rỗng ∀x với mọi x D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất Lp (Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω lp không gian các dãy số khả tổng bậc p d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M
iv H(C1 , C2 ) khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp C1 và C2 lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn } n→∞ αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm về α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi của không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn của không gian Banach E F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T ∂f dưới vi phân của hàm lồi f M bao đóng của tập hợp M d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M err sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác
1 Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợp riêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {Ci }i∈I của không gian Hilbert H hay không gian Banach E". Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, y học ... Khi Ci = F ix(Ti ), với F ix(Ti ) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, ..., N , thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựa trên các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng. Đó là các phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern và phương pháp xấp xỉ mềm. Chẳng hạn, tương tự như phương pháp chiếu xoay vòng để giải bài toán chấp nhận lồi trong không gian Hilbert, năm 1996 Bauschke H. H. đã đề xuất phương pháp lặp xoay vòng dựa trên phương pháp lặp Halpern cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert... Ta biết rằng, nếu T là một ánh xạ không giãn trong không gian Banach E, thì toán tử A = I − T là một toán tử j-đơn điệu, với I là toán tử đồng nhất trên E. Như vậy, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn Ti trong không gian Banach E có thể đưa về bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử j-đơn điệu Ai = I − Ti với i = 1, 2, ..., N . Đối với bài toán tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn các phương trình toán tử với các toán tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng. [11] đã đề xuất và nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho bài toán
2 tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn trị đơn điệu, thế năng, h-liên tục từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ . Ông đã quy bài toán giải hệ phương trình với các toán tử đơn điệu cực đại về việc giải một phương trình toán tử và thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán về một nghiệm của hệ khi các tham số hiệu chỉnh được chọn thích hợp. Năm 2008, trên cơ sở kết quả nghiên cứu đạt được của mình vào năm 2006, tác giả Buong Ng. [12] lần đầu tiên nghiên cứu kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, cho việc giải bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn điệu cực đại Ai = ∂fi , với ∂fi là dưới vi phân của các phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới yếu fi , i = 1, 2, ..., N trong không gian Hilbert H. Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả trong bài báo của Tuyen T.M. [25] và bài báo của Kim J.K., Tuyen T.M. [20] về các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, cùng với tính ổn định của các phương pháp cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Nội dung chính của luận văn được chia làm hai chương. Chương 1, giới thiệu sơ lược về một số vấn đề liên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, bài toán đặt không chỉnh với các toán tử loại đơn điệu, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính , phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh và cuối cùng là một số bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương sau của luận văn. Chương 2, trình bày về các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy [25], đồng thời tính ổn định của các phương pháp [20] cũng được giới thiệu trong chương này.
3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này bao bồm 5 mục. Mục 1.1 trình bày một số vấn đề về không gian Banach lồi đều, trơn đều, một số lớp toán tử loại đơn điệu, ánh xạ không giãn cùng những tính chất cơ bản của chúng. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Mục 1.3 và 1.4 trình bày về các phương pháp điểm gần kề quán tính và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh. Mục 1.5 trình bày một số bổ đề quan trọng thường xuyên sử dụng đến trong việc chứng minh các định lý chính ở chương sau của luận văn. 1.1. Một số vấn đề về hình học các không gian Banach, toán tử đơn điệu và ánh xạ không giãn Cho E là một không gian Banach và E ∗ là không gian đối ngẫu của nó. Để cho đơn giản và thuận tiện hơn, chúng tôi thống nhất sử dụng kí hiệu k.k để chỉ chuẩn trên E và E ∗ ; Sự hội tụ mạnh và yếu của dãy {xn } về phần tử x trong E lần lượt được kí hiệu là xn → x và xn * x trong toàn bộ luận văn. Trong luận văn này, chúng tôi thường xuyên sử dụng tính chất dưới đây của không gian Banach phản xạ. Mệnh đề 1.1. (xem [1] trang 41) Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) E là không gian phản xạ. ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu.
4 Tiếp theo, trong mục này chúng tôi đề cập đến một số vấn đề cơ bản về cấu trúc hình học các không gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, mô đun lồi, mô đun trơn ... Định nghĩa 1.1. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = 1 ta có x + y 2 < 1. Chú ý 1.1. Định nghĩa 1.1 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa kx + yk mãn = 1, suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ SE và x 6= y ta có 2 ktx + (1 − t)yk < 1 với mọi t ∈ (0, 1), trong đó SE = {x ∈ E : kxk = 1}. Định nghĩa 1.2. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta luôn có x + y 2 ≤ 1 − δ(ε). Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gian Banach lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ ra điều đó. Ví dụ 1.1. (xem [1] trang 54) Xét E = c0 (không gian các dãy số hội tụ về không) với chuẩn k.kβ xác định bởi ∞ 1/2 |xi |2 X kxkβ = kxkc0 + β 2 , x = (xi ) ∈ c0 . i=1 i Khi đó, (E, k.kβ ), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là không gian lồi đều. Để đo tính lồi của không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau: Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số x + y δE (ε) = inf 1 − 2 : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε .
5 Nhận xét 1.1. Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên đoạn [0; 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi δE (2) = 1 (xem [1] trang 59). Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi và chỉ khi δE (ε) > 0, ∀ε > 0 (xem [1] trang 60). Mệnh đề 1.2. (xem [1] trang 56) Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phản xạ. Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SE , tồn tại duy nhất fx ∈ E ∗ sao cho hx, fx i = kxk và kfx k = 1. Định nghĩa 1.4. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE , tồn tại giới hạn d kx + tyk − kxk (kx + tyk)t=0 = lim . (1.1) dt t→0 t Định nghĩa 1.5. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó: a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi x ∈ SE . b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ SE giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ SE . c) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mọi x ∈ SE , giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SE . d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x, y ∈ SE . Định lí 1.1. (xem [1] trang 92) Cho E là một không gian Banach. Khi đó, ta có các khẳng định sau: a) Nếu E ∗ là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn. b) Nếu E ∗ là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt.
6 Định nghĩa 1.6. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định bởi ρE (τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk − 1 : kxk = 1, kyk = τ }. Nhận xét 1.2. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên khoảng [0; +∞) (xem [1] trang 95). Ví dụ 1.2. [21] Nếu E là không gian lp hoặc Lp (Ω), thì ta có 1  (1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2,  ρE (τ ) = p (1.2) p − 1 p−1 2 τ 2 + o(τ 2 ) < τ , p ≥ 2.   2 2 Định lí dưới đây cho ta biết về mối liên hệ giữa mô đun trơn của không gian Banach E với mô đun lồi của E ∗ và ngược lại. Định lí 1.2. (xem [15] trang 70) Cho E là một không gian Banach. Khi đó ta có τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0. a) ρE ∗ (τ ) = sup{ 2 τε b) ρE (τ ) = sup{ − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0. 2 Nhận xét 1.3. Từ Định lí 1.2, suy ra ε0 (E ∗ ) ε0 (E) ρ0 (E) = và ρ0 (E ∗ ) = , 2 2 ρE (τ ) trong đó ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0 . τ Định nghĩa 1.7. Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu ρE (τ ) lim = 0. τ →0 τ Từ Nhận xét 1.3, ta có định lý dưới đây: Định lí 1.3. (xem [15] trang 70) Cho E là một không gian Banach. Khi đó ta có các khẳng định sau: a) Nếu E là không gian trơn đều thì E ∗ là không gian lồi đều;
7 b) Nếu E là không gian lồi đều thì E ∗ là không gian trơn đều. Ví dụ 1.3. Mọi không gian Hilbert, không gian lp hay Lp (Ω) với 1 < p < +∞ đều là không gian Banach lồi đều và trơn đều (xem [13] trang 54). Định nghĩa 1.8. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa ∗ trị J : X −→ 2X xác định bởi J(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Chú ý 1.2. Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh xạ đồng nhất I. Nhận xét 1.4. Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì X, ta luôn có J(x) 6= ∅ với mọi x ∈ X, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lý Hahn - Banach. Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn X. Mệnh đề 1.3. (xem [1] trang 69) Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó, i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x), ∀x ∈ X; ii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X; iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của X thì J(D) là một tập hợp bị chặn trong X ∗ ; iv) Nếu X ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị; v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của X khi và chỉ khi X là không gian Banach trơn đều.
8 Ví dụ 1.4. Xét không gian lp , với p > 1. Vì không gian đối ngẫu lq của không gian lp là lồi đều, nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của lp là đơn trị và dễ thấy nó được xác định như sau:  θ nếu x = θ  J(x) = {ηn } ∈ lq nếu x = {ξn } =  6 θ, trong đó ηk = |ξk |p−1 sgn(ξk )kxk2−p với mọi k ≥ 1. Định nghĩa 1.9. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E được gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và nếu {xn } ⊂ E thỏa mãn xn * x, thì J(xn ) * J(x). Chú ý 1.3. Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí hiệu nó bởi j. Ví dụ 1.5. Các không gian lp với p > 1 có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy, nhưng các không gian Lp (Ω) và Wpm (Ω) lại không có tính chất này (xem [1]). Bổ đề 1.1. [3] Cho E là một không gian Banach trơn đều. Khi đó, với mọi x, y ∈ E, ta có kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x)i + cρE (kyk), (1.3) trong đó c = 48 max(L, kxk, kyk) và L là hằng số Figiel, 1 < L < 1.7. Tiếp theo, trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của toán tử đơn điệu và j-đơn điệu. Định nghĩa 1.10. Cho E là một không gian Banach. Toán tử A : D(A) ⊂ ∗ E −→ 2E được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) ta luôn có hx − y, u − vi ≥ 0, ∀u ∈ A(x), ∀v ∈ A(y). (1.4) ∗ Định nghĩa 1.11. Một toán tử đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(u, x) : x ∈ D(A), u ∈ A(x)} của nó không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác trong E.
9 Ví dụ 1.6. [23] Cho f : E −→ R là một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới. Khi đó, toán tử dưới vi phân ∂f (x) = {x∗ ∈ E ∗ : f (y) − f (x) ≥ hy − x, x∗ i, ∀y ∈ E} là một toán tử đơn điệu cực đại. Định nghĩa 1.12. Cho E là một không gian Banach. Toán tử A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hu − v, j(x − y)i ≥ 0, ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y). (1.5) Chú ý 1.4. Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu và toán tử j-đơn điệu trùng nhau. Định nghĩa 1.13. Toán tử j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là m-j-đơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của toán tử I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E. Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn điệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại. Chú ý 1.5. Trong trường hợp E là một không gian Banach với ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy thì mọi toán tử m-j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E đều là toán tử demi-đóng, tức là nếu dãy {xn } ⊂ D(A) hội tụ yếu về x và dãy A(xn ) 3 yn −→ f , thì A(x) = f (xem [4] trang 98). Định nghĩa 1.14. Cho E là một không gian Banach. Một ánh xạ T : D(T ) −→ E được gọi là không giãn nếu kT (x) − T (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ D(T ). Phần tử x ∈ D(T ) được gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x. Tập các điểm bất động của T thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F (T ). Chú ý 1.6. Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm bất động của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E.
10 Chú ý 1.7. Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của không gian Banach E vào E thì toán tử I − T là j-đơn điệu. Trong trường hợp C trùng với E thì I − T là một toán tử m-j-đơn điệu [10]. Ngoài ra, bằng cách tiếp cận khác ta có mệnh đề tổng quát hơn dưới đây. Mệnh đề 1.4. Cho Ti : E −→ E, i = 1, 2, ..., N là một họ hữu hạn các ánh xạ PN không giãn từ không gian Banach E vào chính nó. Khi đó, toán tử A = i=1 Ai , với Ai = I − Ti , i = 1, 2, ..., N là một toán tử m-j-đơn điệu. Chứng minh. Với mỗi λ > 0 ta cần chỉ ra R(I + λA) = E. Thật vậy, với mỗi y ∈ E, xét phương trình x + λA(x) = y. (1.6) Dễ thấy, phương trình (1.6) tương đương với phương trình N λ X 1 x= Ti (x) + y. (1.7) 1 + λN i=1 1 + λN Để kết thúc chứng minh, ta chỉ ra phương trình (1.7) luôn có nghiệm. Xét ánh xạ f : E −→ E xác định bởi N λ X 1 f (x) = Ti (x) + y, với mọi x ∈ E. 1 + λN i=1 1 + λN Khi đó ta có, λN kf (x1 ) − f (x2 )k ≤ kx1 − x2 k, 1 + λN với mọi x1 , x2 ∈ E. Suy ra, f là một ánh xạ co trên E và do đó theo nguyên lí ánh xạ co Banach, f có duy nhất một điểm bất động, hay phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm. Mệnh đề được chứng minh. Dưới đây, chúng tôi sẽ đề cập đến khái niệm ánh xạ co rút không giãn theo tia cùng với một số tính chất cơ bản của nó và đây cũng là ánh xạ thường xuyên được đề cập đến trong luận văn. Định nghĩa 1.15. Cho E là một không gian Banach và C là một tập con lồi đóng của E. Một ánh xạ QC : E −→ C được gọi là:
11 a) co rút nếu Q2C (x) = QC (x), ∀x ∈ E; b) co rút không giãn nếu QC là co rút và là một ánh xạ không giãn, tức là kQC (x) − QC (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ E; c) co rút không giãn theo tia nếu QC là một co rút không giãn và thỏa mãn tính chất QC (QC (x) + t(x − QC (x))) = QC (x), ∀x ∈ E, t ∈ (0, 1). Định nghĩa 1.16. Một tập con lồi đóng C của không gian Banach E được gọi là: a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C; b) co rút và không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn từ E lên C; c) co rút và không giãn theo tia của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C. Mệnh đề 1.5. [1] Cho E là một không gian Banach lồi đều. Khi đó, mọi tập con lồi, đóng và khác rỗng C của E đều là tập con co rút của E. Chú ý 1.8. Ánh xạ co rút từ E lên C trong Mệnh đề 1.5 chính là phép chiếu mêtric PC : E −→ C được xác định bởi kx − PC xk = inf kx − uk, với mọi x ∈ C. u∈C Dễ thấy rằng nếu C là một tập con lồi và đóng trong không gian Hilbert H, thì phép chiếu mêtric PC : H −→ C từ H lên C được xác định bởi kx − PC xk = inf u∈C kx − uk với mọi x ∈ H là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ H lên C. Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian Banach. Mệnh đề dưới đây là một kết quả quan trọng, thường xuyên sử dụng trong chứng minh các kết quả của luận văn.
12 Mệnh đề 1.6. [16] Cho E là một không gian Banach trơn và cho C là một tập con lồi và đóng của E. Một ánh xạ QC : E −→ C là co rút không giãn theo tia khi và chỉ khi hx − QC (x), j(ξ − QC (x))i ≤ 0, ∀x ∈ E, ∀ξ ∈ C. (1.8) Nhận xét 1.5. Từ Mệnh đề 1.6 suy ra, nếu E là một không gian Banach trơn và C là tập con co rút và không giãn theo tia của E, thì ánh xạ co rút không giãn theo tia QC : E −→ C là duy nhất. Ví dụ 1.7. Xét không gian lp , p > 1 và tập con C của lp được xác định như sau: C = {x = {ξn } ∈ lp : ξk = 0 với mọi k > N }, trong đó N là một số nguyên dương cho trước. Khi đó, C là một tập con co rút và không giãn theo tia trong lp và ánh xạ co rút không giãn theo tia QC : lp −→ C được xác định bởi QC (x) = {ξ1 , ξ2 , ..., ξN , 0, 0, ...} với mọi x = {ξn } ∈ lp . Cuối cùng, trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp trong không gian Banach. Định nghĩa 1.17. Cho A và B là hai tập con của không gian Banach E. Khoảng cách Hausdorff giữa A và B được xác định bởi H(A, B) = max{β(A, B), β(B, A)}, trong đó β(A, B) = sup inf ku − vk = sup d(u, B). u∈A v∈B u∈A Bổ đề 1.2. [5] Cho C1 và C2 là hai tập con lồi và đóng của không gian Banach trơn đều E với H(C1 , C2 ) ≤ δ. Cho QC1 và QC2 là các ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C1 và C2 , tương ứng. Khi đó, 16Lδ kQC1 x − QC2 xk2 ≤ 16R(2r + d)hE ( ), (1.9) R trong đó L là hằng số Figiel, r = kxk, d = max{d1 , d2 }, R = 2(2r + d) + δ, di = dist(θ, Ci ), i = 1, 2.
13 1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm của nó không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn về nghiệm của bài toán, thậm chí còn làm cho bài toán trở nên vô nghiệm. Ta có thể nói rằng, lớp các bài toán nói trên có nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu và nó là một trường hợp riêng của lớp bài toán không chính qui hay bài toán đặt không chỉnh. Trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử, cùng với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp bài toán loại này. 1.2.1. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh Khái niệm bài toán chỉnh được Hadamard J. [18] đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabolic. Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình A(x) = f, (1.10) trong đó A là một toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y với các khoảng cách tương ứng là ρX , ρY và f0 ∈ Y . Theo Hadamard J. bài toán (1.10) gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) phương trình (1.10) có nghiệm xf với mọi f ∈ Y , ii) nghiệm xf được xác định một cách duy nhất, iii) nghiệm xf phụ thuộc liên tục vào f . Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm. Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy
14 ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn số đó đã dẫn đến những sai lệch đáng kể. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán (1.10) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. 1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.10) khi không biết thông tin về nghiệm chính xác x0 , Tikhonov A. N. đã đưa ra một khái niệm mới. Đó là phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của một tham số mới đưa vào. Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ : ρY (fδ , f ) ≤ δ → 0. Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, fδ ) và mức sai số δ, tìm một phần tử xδ xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán (1.10). Rõ ràng là ta không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1 fδ , vì thứ nhất là A−1 có thể không xác định với mọi f ∈ Y , thứ hai là A−1 không liên tục, nên nếu A−1 fδ tồn tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1 f . Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.10). Vì vậy một điều tự nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm x0 . Ta cũng thấy nếu được thì từ fδ ∈ Y ta có phần từ xấp xỉ thuộc X, tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từ không gian Y vào không gian X. Định nghĩa 1.18. Toán tử R(f, α) phụ thuộc tham số α tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.10) nếu: i) Tồn tại hai số dương α1 và δ1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi fδ ∈ Y : ρY (fδ , f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ); ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ , δ) sao cho với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn ρY (fδ , f ) ≤ δ ≤ δ1 thì ρX (xα , x0 ) ≤ ε, ở đây x0 là nghiệm chính xác của (1.10) và xα ∈ R(fδ , α(fδ , δ)).