Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– QUÁCH THỊ TUYẾT NHUNG PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 10/2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– QUÁCH THỊ TUYẾT NHUNG PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 10/2017
iii Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 Chương 1. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Ba- nach 4 1.1 Một số đặc trưng hình học của không gian Banach . . . . 4 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi đều và trơn . . . . 4 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Ánh xạ không giãn và điểm bất động . . . . . . . 12 1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach . . . . 15 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu . . . . . . . . . 15 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . . . . . 17 1.2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất . . . . . . . 19 Chương 2. Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân 20 2.1 Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất . . . . . . . 21 2.1.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Minh họa cho phương pháp (2.2) . . . . . . . . . . 34 2.2.3 Minh họa cho phương pháp (2.5) . . . . . . . . . . 35 2.2.4 Minh họa cho phương pháp (2.6) . . . . . . . . . . 36
iv Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39
1 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu của X SX mặt cầu đơn vị của X R tập các số thực ∀x với mọi x D(A) miền xác định của ánh xạ A R(A) miền ảnh của ánh xạ A I ánh xạ đồng nhất lp , 1 < p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], 1 < p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b] d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C lim supn→∞ xn giới hạn trên của dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T ∂f dưới vi phân của hàm lồi f
2 Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân được nhà toán học người Italia, Stampacchia (xem [11] và [16]), nghiên cứu và đưa ra đầu tiên vào cuối những năm 60 và đầu những năm 70 của thế kỷ trước. Từ đó đến nay, bất đẳng thức biến phân luôn là một đề tài thời sự, thu hút được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu do vai trò quan trọng của bài toán trong lý thuyết toán học cũng như trong nhiều ứng dụng thực tế. Khi tập ràng buộc C của bài toán bất đẳng thức biến phân Tìm điểm x0 ∈ C thỏa mãn: hAx0 , x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ C, (1) ở đây A : H → H là một ánh xạ trong không gian Hilbert H, C là tập con lồi đóng của H, được cho dưới dạng ẩn là tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn hoặc tập điểm bất động chung của một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các ánh xạ không giãn thì bài toán (1) còn có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, bài toán điều khiển tối ưu. . . . Đối với lớp bài toán này, năm 2001 Yamada đã đề xuất phương pháp lai ghép đường dốc nhất để giải. Dựa trên cách tiếp cận của Yamada, đã có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng và cải biên phương pháp lai ghép dạng đường dốc nhất cho bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc C là tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn, họ vô hạn đếm được hay nửa nhóm các ánh xạ không giãn. Luận văn trình bày phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach trên cơ sở bài báo [17] của
3 Nguyễn Thị Thu Thủy và các đồng tác giả công bố năm 2015. Nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 "Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach": giới thiệu về bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trong không gian Banach và một số kiến thức liên quan. Chương 2 "Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân": giới thiệu 3 phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn, trình bày sự hội tụ của 3 phương pháp và trình bày ví dụ minh họa. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Quách Thị Tuyết Nhung
4 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về đặc trưng hình học của không gian Banach, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử đơn điệu, toán tử j-đơn điệu, giới hạn Banach, ánh xạ không giãn và điểm bất động, nửa nhóm ánh xạ không giãn, phương pháp lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân. Các kiến thức của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3] và [5]. 1.1 Một số đặc trưng hình học của không gian Banach Cho X là một không gian Banach thực, X ∗ là không gian đối ngẫu của X và hx, x∗ i là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ký hiệu 2X là một họ các tập con khác rỗng của X. Cho T là một ánh xạ với miền xác định là D(T ), miền giá trị là R(T ) và Fix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T , nghĩa là Fix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x}. Kí hiệu mặt cầu đơn vị của X là SX , trong đó SX = {x ∈ X : kxk = 1}. 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi đều và trơn Định nghĩa 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là một không gian phản xạ nếu phép nhúng chuẩn tắc H không gian X
5 vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của nó là một toàn ánh. Ví dụ 1.1.2 Rn là một không gian phản xạ. Thật vậy, vì dim(Rn )∗∗ = dim Rn = n và phép nhúng chuẩn tắc H : Rn −→ (Rn )∗∗ là một đơn ánh tuyến tính. Do đó H là một toàn ánh. Vậy Rn là một không gian phản xạ. Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu ∀x, y ∈ SX , x 6= y ⇒ k(1 − λ)x + λyk < 1 λ ∈ (0, 1). Ví dụ 1.1.4 Không gian Hilbert H là một không gian lồi chặt. Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ), suy ra x + y 2 1 1 2 2 2 1 2 = kxk + kyk − kx − yk = 1 − kx − yk2 < 1. 2 4 4 Ví dụ 1.1.5 Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn kxk2 định nghĩa bởi n ! 21 X kxk2 = x2i , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn i=1 là một không gian lồi chặt. Ví dụ 1.1.6 Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn kxk1 định nghĩa bởi kxk1 = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn không phải là một không gian lồi chặt. Thật vậy, với x = (1, 0, . . . , 0), y = (0, 1, 0, . . . , 0), ta thấy x 6= y, kxk1 = kyk1 = 1 nhưng kx + yk1 = 2.
6 Ví dụ 1.1.7 Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn kxk∞ định nghĩa bởi kxk∞ = max |xi | , i = 1, n, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) không phải là một không gian lồi chặt. Thật vậy, với x = (1, 0, . . . , 0), y = (1, 1, 0, . . . , 0), ta thấy x 6= y, kxk∞ = kyk∞ = 1 nhưng kx + yk∞ = 2. Định nghĩa 1.1.8 Không gian Banach X được gọi là một không gian lồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2], với mọi x, y ∈ X thỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho x + y 2 ≤ 1 − δ. Ví dụ 1.1.9 Không gian Hilbert H là một không gian lồi đều. Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) ∀x, y ∈ H, giả sử x, y ∈ SH với x 6= y và kx − yk ≥ ta có kx + yk2 ≤ 4 − ε2 . Suy ra x + y 2 ≤ 1 − δ(), p với δ(ε) = 1 − 1 − ε2 /4. Do đó, H là không gian lồi đều. Ví dụ 1.1.10 Không gian l1 không phải là không gian lồi đều. Thật vậy, chọn x = (1, 0, 0, . . . ), y = (0, −1, 0, 0, . . . ) và ε = 1, kxk1 = 1, kyk1 = 1, kx − yk1 = 2 > 1 = ε. x + y 2 = 1 và không tồn tại δ > 0 sao cho Tuy nhiên, 1 x + y 2 ≤ 1 − δ. 1 Do đó, l1 không phải là không gian lồi đều.
7 Ví dụ 1.1.11 Không gian l∞ không phải là không gian lồi đều. Thật vậy, chọn x = (1, 1, 1, 0, 0, . . . ), y = (1, 1, −1, 0, 0, . . . ) và ε = 1. Khi đó kxk∞ = 1, kyk∞ = 1, kx − yk∞ = 2 > 1 = ε. x + y 2 = 1 và không tồn tại δ > 0 sao cho Tuy nhiên, ∞ x + y 2 ≤ 1 − δ. ∞ Do đó, l∞ không phải là không gian lồi đều. Định lý 1.1.12 (xem [2]) Mọi không gian Banach lồi đều là không gian lồi chặt. Định nghĩa 1.1.13 Không gian Banach X được gọi là (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hay không gian trơn) nếu giới hạn kx + tyk − kxk lim t→0 t tồn tại với mỗi x, y ∈ SX ; (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đều với x ∈ SX . Ví dụ 1.1.14 lp , Lp [a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach trơn. Định nghĩa 1.1.15 Cho X là một không gian Banach, hàm số ρX : R+ −→ R+ được gọi là mô đun trơn của X nếu kx + yk + kx − yk ρX (t) = sup{ − 1 : kxk = 1, kyk = t} 2 kx + tyk + kx − tyk = sup{ − 1 : kxk = 1, kyk = 1}, t ≥ 0. 2 Định nghĩa 1.1.16 Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu ρX (t) ρ0X (0) = lim = 0. t→0 t
8 Ví dụ 1.1.17 Các không gian lp (1 < p ≤ 2) là những không gian trơn đều. Thật vậy, 1 ρlp (t) (1 + tp ) p − 1 lim = lim = 0. t→0 t t→0 t 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.18 Cho X ∗ là không gian đối ngẫu của không gian ∗ Banach X. Ánh xạ (nói chung đa trị) J : X −→ 2X được gọi là một ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc nếu Jx = {x∗ ∈ X ∗ : hx, x∗ i = kxk2 = kx∗ k2 }. Ví dụ 1.1.19 Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh xạ đồng nhất. Thật vậy, lấy x ∈ H, x 6= 0. Ta biết rằng H = H ∗ và hx, xi = kxk . kxk ⇒ x ∈ Jx. Giả sử y ∈ Jx. Từ định nghĩa của J, ta có hx, yi = kxk . kyk và kxk = kyk. Bởi vì kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi, suy ra x = y. Do đó, Jx = {x}. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính chất sau: Mệnh đề 1.1.20 (xem [3]) Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó (i) Jx là tập lồi, J(λx) = λJx, với mọi λ > 0; (ii) J là ánh xạ đơn trị nếu X ∗ là không gian lồi chặt. Trong trường hợp ánh xạ J đơn trị ta kí hiệu là j. Nếu X là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là đơn trị. Nếu X là không gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của X. Bổ đề 1.1.21 [14] Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó, bất đẳng thức sau thỏa mãn kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i ∀x, y ∈ X j(x + y) ∈ J(x + y).
9 1.1.3 Giới hạn Banach Cho S là một tập hợp khác rỗng. Ký hiệu B(S) chỉ không gian các hàm số thực xác định và giới nội trên S. Khi đó, l∞ = B(N). Với f ∈ l∞ , ta kí hiệu f (xm+1 , xm+2 , xm+3 , . . . , xm+n , . . . ) bởi fn (xn+m ). Định nghĩa 1.1.22 Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên l∞ được gọi là một giới hạn Banach nếu (i) kf k = f (1) = 1, (ii) fn (xn ) = fn (xn+1 ) với mỗi x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ l∞ . Ta kí hiệu giới hạn Banach bởi LIM . Định lý 1.1.23 (xem [3]) Tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên l∞ sao cho kf k = f (1) = 1 và fn (xn ) = fn (xn+1 ) với mỗi x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ l∞ . Chứng minh. Xét p : l∞ → R là phiếm hàm được xác định bởi x1 + x2 + · · · + xn p(x) = lim sup . n→∞ n Khi đó x1 + x2 + · · · + xn −p(−x) = lim inf . n→∞ n Với x ∈ c, ta có x1 + x2 + · · · + xn l(x) = lim xn = lim = p(x). n→∞ n→∞ n Hơn nữa, p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ c và p(αx) = αp(x) ∀x ∈ c, α ≥ 0. Do đó, p là một phiếm hàm dưới tuyến tính với l(x) = p(x). Theo định lí Hahn–Banach,tồn tại một mở rộng L : l∞ → R của l (từ c vào l∞ ) sao cho L(x) ≤ l(x) ∀x ∈ l∞
10 và −p(−x) ≤ Lx) ≤ p(x) ∀x ∈ l∞ . Do đó, ta có p(1, 1, 1, . . . ) = 1 và x1 − xn+1 p((x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) − (x2 , x3 , . . . , xn+1 , . . . )) = lim sup n→∞ n = 0. Do đó L((x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) − (x2 , x3 , . . . , xn+1 , . . . )) = 0, điều này kéo theo L(x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) = L(x2 , x3 , . . . , xn+1 , . . . ) với mọi x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) ∈ l∞ . Vậy L là một giới hạn Banach. Mệnh đề 1.1.24 Cho LIM là một giới hạn Banach. Khi đó lim inf xn ≤ LIM (x) ≤ lim sup xn n→∞ n→∞ với mỗi x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ l∞ . Hơn nữa, nếu xn → a thì LIM (x) = a. Mệnh đề 1.1.25 (xem [3]) Cho a là một số thực và (x1 , x2 , . . . ) ∈ l∞ . Khi đó, các khẳng định sau là tương đương (i) LIMn (xn ) ≤ a với mọi giới hạn Banach LIM ; (ii) Với mỗi > 0, tồn tại m0 ∈ N sao cho xn + xn+1 + · · · + xn+m−1
11 Bổ đề 1.1.27 (xem [3]) Cho C là tập con lồi trong không gian Banach X có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả sử {xn } là dãy bị chặn trong X, z là một điểm trong C và LIM là giới hạn Banach. Khi đó, LIM kxn − zk2 = min LIM kxn − uk2 u∈C khi và chỉ khi LIM hu − z, j(xn − z)i ≤ 0 với mọi u ∈ C. Chứng minh. Với u ∈ C và số thực λ thỏa mãn 0 ≤ λ ≤ 1, ta có kxn − zk2 = kxn − λz − (1 − λ)u + (1 − λ)(u − z)k2 ≥ kxn − λz − (1 − λ)uk2 + 2(1 − λ)hu − z, j(xn − λz − (1 − λ)u)i. Với ε > 0 cho trước, vì chuẩn của X là chuẩn khả vi Gâteaux đều, ánh xạ đối ngẫu là liên tục đều trên các tập con bị chặn của X từ tô pô mạnh của X tới tô pô∗ yếu của X ∗ nên |hu − z, j(xn − λz − (1 − λ)u) − j(xn − u)i| < ε nếu λ đủ gần 1. Vì vậy, hu − z, j(xn − z)i < ε + hu − z, j(xn − λz − (1 − λ)u)i 1 ≤+ {kxn − zk2 − kxn − λz − (1 − λ)uk2 } 2(1 − λ) và do đó 1 LIM hu − z, j(xn − z)i ≤ + {LIM kxn − zk2 2(1 − λ) − LIMn − λz − (1 − λ)uk2 } < ε. Từ đó, ta có LIM hu − z, j(xn − z)i ≥ 0, ∀u ∈ C. Ta chứng minh chiều ngược lại. Cho u, z ∈ C, từ kxn − uk2 − kxn − zk2 ≥ 2hz − u, j(xn − z)i với LIM hu − z, j(xn − u)i ≤ u, ta có LIM kxn − zk2 = min LIM kxn − uk2 . u∈C
12 1.1.4 Ánh xạ không giãn và điểm bất động Định nghĩa 1.1.28 Cho ánh xạ T : X → X. Điểm x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu T x = x. Tập hợp tất cả các điểm bất động được kí hiệu là Fix(T ) = {x ∈ C|T x = x} . Nhận xét 1.1.29 Việc tìm điểm bất động của ánh xạ T được qui về việc giải phương trình T x = x. Ví dụ 1.1.30 Xét ánh xạ A : R → R, Ax = x2 . Do x2 = x ⇔ x = 0 hoặc x = 1 nên Fix(A) = {0; 1}. Ví dụ 1.1.31 Xét ánh xạ A : R → R, Ax = x2 + 1. Do không tồn tại x thỏa mãn x2 + 1 = x nên Fix(A) = ∅. Ví dụ 1.1.32 Xét ánh xạ A : R → R, Ax = x. Do mọi số thực x đều thỏa mãn Ax = x nên Fix(A) = R. Định nghĩa 1.1.33 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach X. Ánh xạ T : C → C thỏa mãn kT x − T yk ≤ kx − yk ∀x, y ∈ C được gọi là một ánh xạ không giãn. Ví dụ 1.1.34 Ánh xạ A : R → R, Ax = 2x không phải là một ánh xạ không giãn vì tồn tại x = 1, y = 2 thỏa mãn |Ax − Ay| = 3 > |x − y| = 1. Ví dụ 1.1.35 Ánh xạ A : R → R, Ax = x là một ánh xạ không giãn vì với mọi x, y ∈ R, |Ax − Ay| = |x − y|. Định nghĩa 1.1.36 Ánh xạ A được gọi là giả co nếu kAx − Ayk ≤ kx − yk2 + k(I − A)x − (I − A)yk2 , ∀x, y ∈ D(A) trong đó I là ánh xạ đồng nhất.
13 Định nghĩa 1.1.37 Ánh xạ A : X → X được gọi là γ−giả co chặt nếu với mỗi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≤ kx − yk2 − γkx − y − (Ax − Ay)k2 với mỗi γ ∈ (0, 1). Định nghĩa 1.1.38 Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian Banach X. Tập hợp {T (s) : s > 0} được gọi là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C nếu nó thỏa mãn: (i) Với mỗi s > 0, T (s) là một ánh xạ không giãn trên C; (ii) T (0)x = x với mọi x ∈ C; (iii) T (s1 + s2 ) = T (s1 ) ◦ T (s2 ) với mọi s1 , s2 > 0; (iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (·)x từ (0, ∞) vào C là liên tục. Ví dụ 1.1.39 Cho ánh xạ T (t) : R → R xác định bởi T (t)x = e−3t x, x ∈ R. Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R với tập điểm bất động chung F = {0}. Thật vậy, hiển nhiên các điều kiện (ii) và (iv) thỏa mãn. Với t > 0, thì T (t)x = e−3t x là ánh xạ không giãn, đồng thời T (t + s)x = e−3t−3s x = e−3t (e−3s x), nên điều kiện (iii) cũng thỏa mãn. Lại có, với mọi t ≥ 0, T (t)x = x ⇔ e−3t x = x ⇔ x = 0 suy ra tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn này là F = {0}. Ví dụ 1.1.40 Cho ánh xạ T (t) : R3 → R3 xác định như sau    cos(2t) − sin(2t) 0 x1 T (t)x =  sin(2t) cos(2t) 0 x2  ,    0 0 1 x3 ở đây t cố định và x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 . Khi đó {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R3 với tập điểm bất động chung F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T }.
14 Thật vậy, với mọi t ≥ 0 và x, y ∈ R3 ta có T (t)x = (cos(2t)x1 − sin(2t)x2 , sin(2t)x1 + cos(2t)x2 , x3 ) và T (t)y = (cos(2t)y1 − sin(2t)y2 , sin(2t)y1 + cos(2t)y2 , y3 ). Suy ra p kT (t)x − T (t)yk = kx − yk = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 . Như vậy T (t) là ánh xạ không giãn, điều kiện (i) thỏa mãn. Ta có      1 0 0 x1 x1 T (0)x = 0 1 0 x2  = x2       0 0 1 x3 x3 với mọi x ∈ R3 do đó điều kiện (ii) thỏa mãn. Với mọi t1 , t2 ≥ 0, ta có T (t1 ) ◦ T (t2 )x   cos(2t2 )x1 − sin(2t2 )x2 = T (t1 ) sin(2t2 )x1 + cos(2t2 )x2    x3    cos(2(t1 + t2 )) − sin(2(t1 + t2 )) 0 x1 =  sin(2(t1 + t2 )) cos(2(t1 + t2 )) 0 x2  = T (t1 + t2 )x.    0 0 1 x3 Do đó điều kiện (iii) thỏa mãn. Dễ thấy điều kiện (iv) thỏa mãn. Lại có, T (t)x = x với mọi t ≥ 0 khi và chỉ khi (cos(2t)x1 − sin(2t)x2 , sin(2t)x1 + cos(2t)x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 ) với mọi t ≥ 0. Điều này tương đương với x1 = x2 = 0. Do đó tập điểm bất động chung là F = {x ∈ R3 : x = (0, 0, x3 )T }. Bổ đề 1.1.41 (xem [6]) Cho C là tập con khác rỗng, bị chặn, lồi và đóng trong không gian Banach lồi đều X. Cho {T (s) : s ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C. Khi đó, với bất kì r > 0 và h ≥ 0, Z t Z t 1 1 lim sup T (h) T (s)yds − T (s)yds = 0, t→∞ y∈C∩Br t 0 t 0 ở đây Br = {x ∈ X : kxk ≤ r}.
15 1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu Bài toán 1.2.1 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng của không gian Banach X và ánh xạ A : X → X ∗ , ở đây X ∗ là không gian đối ngẫu của X. Bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu là VI(A, C), được phát biểu như sau: Tìm phần tử x0 ∈ C thỏa mãn: hAx0 , x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.1) Ví dụ 1.2.2 Cho A là hàm số khả vi trên [a, b] ⊂ R. Tìm x0 ∈ [a, b] sao cho A(x0 ) = min A(x). [a,b] (1) Nếu x0 ∈ (a, b) thì A0 (x0 ) = 0; (2) Nếu x0 = a thì A0 (x0 ) ≥ 0; (3) Nếu x0 = b thì A0 (x0 ) ≤ 0. Trong cả ba trường hợp ta đều có A0 (x0 )(x − x0 ) ≥ 0. Đây là một bất đẳng thức biến phân dạng (1.1). Ví dụ 1.2.3 Cho A là một hàm số khả vi trên tập con lồi đóng C của không gian Rn . Tìm x0 ∈ C thỏa mãn: Ax0 = min Ax. x∈C Giả sử x0 là điểm cực tiểu cần tìm, x là một phần tử tùy ý của C. Do C là một tập lồi nên (1 − t)x0 + tx = x0 + t(x − x0 ) = x0 + t(x − x0 ) ∈ C ∀t ∈ [0; 1]. Hàm φ(t) = A(x0 + t(x − x0 ) ∀t ∈ [0; 1] đạt cực tiểu tại t = 0. Suy ra φ0 (t) ≥ 0. Hay φ0 (t) = A0 (x0 + t(x − x0 )).(x − x0 ). Như vậy, φ0 (0) = h∇Ax0 , x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ C.
16 Định nghĩa 1.2.4 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach X. Ánh xạ A : C → X ∗ được gọi là: (i) đơn điệu trên C nếu hAx − Ay, x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C; (1.2) (ii) đơn điệu chặt trên C nếu dấu ” = ” trong (1.2) xảy ra khi và chỉ khi x = y; (iii) đơn điệu đều trên C nếu tồn tại một hàm liên tục và tăng ngặt α : [0, ∞) → [0, ∞) với α(0) = 0 và α(t) → ∞ khi t → ∞ sao cho hAx − Ay, x − yi ≥ α(kx − yk)kx − yk ∀x, y ∈ C; (iv) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số η > 0 sao cho hAx − Ay, x − yi ≥ ηkx − yk2 ∀x, y ∈ C; (v) đơn điệu cực đại nếu A đơn điệu và đồ thị G(A) = {(x, Ax) ∈ C × X ∗ : x ∈ C} của A không thực sự bị chứa trong đồ thị của một ánh xạ đơn điệu nào khác. Định nghĩa 1.2.5 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Ba- nach X. Ánh xạ A : C → X ∗ được gọi là liên tục trên không gian con hữu hạn chiều của X nếu với mọi không gian con hữu hạn chiều U ⊂ X, thu hẹp của ánh xạ A trên C ∩ U là liên tục yếu, tức là ánh xạ A : C ∩ U → X ∗ là liên tục yếu. Định nghĩa 1.2.6 Ánh xạ A : C → X ∗ được gọi là bức trên C nếu tồn tại y ∈ C sao cho hAx − Ay, x − yi → +∞ khi kxk → +∞. kx − yk Định nghĩa 1.2.7 Ánh xạ A : X → X ∗ được gọi là liên tục theo tia tại điểm x ∈ X nếu A(x + th) * Ax, khi t → 0 và A được gọi là liên tục theo tia trên X nếu nó liên tục theo tia tại mọi x ∈ X. Nhận xét 1.2.8 Nếu A là một ánh xạ liên tục, thì A là liên tục theo tia. Điều ngược lại không đúng. Ngoài ra nếu A : X → X ∗ là ánh xạ