Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp tựa đảo cho bài toán Parabolic phi tuyến ngược thời gian

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp tựa đảo cho bài toán Parabolic phi tuyến ngược thời gian tập trung tìm hiểu về không gian tuyến tính định chuẩn, không gian Hilbert, lý thuyết toán tử, phổ của toán tử, nửa nhóm các toán tử liên tục đều và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp tựa đảo cho bài toán Parabolic phi tuyến ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình làm luận văn này, tôi đã tìm và tham khảo ở nhiều sách vở, các bài báo toán học của các nhà khoa học và luận văn, luận án đã có. Nhưng tôi xin cam đoan không sao chép và xin chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình. Tác giả
Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy – GS.TS Đặng Đức Trọng, người đã trực tiếp hướng dẫn và luôn tạo điều kiện, giúp đỡ cho tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Bên cạnh đó, tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô đã hết lòng dạy bảo và truyền đạt kinh nghiệm trong suốt hai năm qua. Cảm ơn bạn bè, các bạn học viên cao học Giải tích khóa 23 đã luôn khuyến khích, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập. Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, là chỗ dựa vững chắc giúp tôi học tập và hoàn thành tốt luận văn của mình. Học viên Đoàn Thị Thủy Tiên.
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 5 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn ....................................................... 5 1.2. Không gian Hilbert............................................................................... 7 1.3. Lý thuyết toán tử ................................................................................ 10 1.4. Phổ của toán tử ................................................................................... 13 1.5. Không gian C ([ 0, T ]; H ) ................................................................... 14 1.6. Nửa nhóm các toán tử liên tục đều .................................................... 14 1.7. Định nghĩa bài toán không chỉnh ....................................................... 18 1.8. Lược đồ chỉnh hóa ............................................................................. 19 1.9. Bổ đề Gronwall .................................................................................. 22 1.10. Bổ đề: một số bất đẳng thức được sử dụng...................................... 22 Chương 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH ........................................................... 24 2.1. Các định lý quan trọng ....................................................................... 24 2.2. Chứng minh các định lý quan trọng ................................................... 26 Chương 3. ÁP DỤNG .................................................................................... 41 KẾT LUẬN .................................................................................................... 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48
1 MỞ ĐẦU Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh,... Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp. Trong đề tài này, ta đề cập đến phương trình parabolic ngược thời gian. Đó là bài toán cho phương trình parabolic khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nó khi biết điều kiện cuối cùng (đó là lí do tại sao bài toán này được gọi là ngược thời gian). Phương trình parabolic ngược thời gian là lĩnh vực được nghiên cứu rất sôi động thu hút nhiều nhà toán học nổi tiếng trong và ngoài nước bời nó có nhiều ứng dụng trong khoa học kĩ thuật như: vật lý, cơ học, vật lý địa cầu, xử lý ảnh, toán tài chính,… Cho đến nay ở nước ngoài đã có hơn 300 công trình công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín, trong đó có sự tham gia của nhiều nhà toán học nổi tiếng như John, Agmon, Nirenberg, Tikhonov,… Trong nước, có thể kể đến là hai nhóm nghiên cứu mà dẫn đầu là Đinh Nho Hào và Đặng Đức Trọng. Ngoài ra, một số nhà toán học có tên tuổi cũng quan tâm hướng nghiên cứu này như Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường,… Trong bài, ta xét bài toán giá trị cuối sau ut + Au ( t ) f ( t , u ( t ) ) = ( 0 ≤ t
2 0 < lll 1 ≤ 2 ≤ ..., lim p = ∞. p →∞ Cho ϕ ∈ H là giá trị cuối đã được xác định và f :  × H → H là một hàm Lipschitz. Ta cũng biết rằng bài toán phi tuyến không thuần nhất ( 0.1) là bài toán không chỉnh. Thật vậy, lời giải không nhất thiết phải tồn tại ϕ ∈ H , và ( 0.1) không ổn định vì S ( t ) không là họ các toán tử tuyến tính bị chặn. Một −1 ví dụ cho bài toán ( 0.1) là bài toán nhiệt ngược =ut − ∆u f ( x, t , u ) , ( x, t ) ∈ Ω × ( 0,T ) ,  =u ( x, t ) 0, ( x, t ) ∈ ∂Ω × ( 0,T ) , ( 0.2 )  =u ( x, t ) ϕ ( x ) , x ∈ Ω, = Ω ( 0,π ) ⊂  N . Đây là một ví dụ cho bài toán ( 0.1) tương ứng với N với = L2 ( Ω ) và H A = −∆ (được liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất) N /2 2 và có cơ sở riêng φ p ( x ) =   sin ( p1 x1 ) ...sin ( pN xN ) và giá trị riêng p  p ( p1 ,..., pN ) ∈  N= λ p = p . Ở đây ta kí hiệu = , x ( x1 ,..., xN ) ∈  N và 2 p = p12 + ... + pN2 . 2 Bài toán có một lịch sử lâu dài. Trường hợp f = 0 tuyến tính thuần nhất của bài toán này được nghiên cứu bởi khá nhiều tác giả với nhiều cách tiếp cận khác nhau. Sau công trình tiên phong của Lattès và Lions [9] vào năm 1967, Miller [13], Payne [14, 15] và nhiều tác giả khác, đa số họ đều xấp xỉ bài toán tuyến tính bằng cách nhiễu toán tử A . Phương pháp của họ gọi là phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility method, gọi tắt là phương pháp QR) hữu hiệu cho bài toán thuần nhất, tuy nhiên trong trường hợp phi tuyến vẫn chưa được hoàn tất. Năm 1983, Showalter [16] đưa ra một phương pháp khác gọi là phương pháp tựa giá trị biên (quasiboundary value, gọi tắt là phương pháp QBV) để chỉnh hóa bài toán phi tuyến thuần nhất, đưa ra ước lượng ổn
3 định hơn các phương pháp từng có. Năm 1994, Clark và Oppenheimer [4] chỉnh hóa bài toán tuyến tính bằng cách sử dụng phương pháp QBV. Gần đây, một số phiên bản khác của phương pháp QBV trong bài toán tuyến tính đã được đưa ra bởi Denche và Bessila [5] và Hao et al. [6]. Một số phương pháp chỉnh hóa khác cho bài toán tuyến tính được phát triển bởi Ames và Hughes [2], Huang et al. [7], Ivanov et al. [8], Lee và Sheen [10], và Mel’nikova et al. [12]. Mặc dù đã có nhiều công trình về bài toán ngược trong trường hợp tuyến tính thuần nhất, nhưng trường hợp phi tuyến thì hiếm hơn. Mới đây, Long và Dinh [11] đã xấp xỉ ( 0.1) với thời gian cuối T = 1 bởi bài toán v′β ( t )= + Aβ vβ ( t ) e −(1−t ) β AA β ( vβ ) , v β ϕ , f= Aβ A ( I + β A ) −1 trong đó = là một toán tử xấp xỉ của A . Tuy nhiên, họ thu được đánh giá sai số của t −2 ( ln (1 / ε ) ) −1 với mỗi t > 0 . Đánh giá này thuộc loại logarit tại t > 0 cố định nhưng không dùng được khi t = 0 . Nội dung chính của luận văn là dùng phương pháp QR để chỉnh hóa bài toán và cải tiến kết quả hội tụ của các phương pháp trước đây, đồng thời chứng minh phương pháp này có độ ổn định tốt hơn các nghiên cứu trước đó. Đặc biệt, phương pháp này thật sự hiệu quả khi xét đến bài toán phi tuyến. Bài toán ( 0.1) được xấp xỉ bởi u ( t ) + Aε u ε ( t ) B ( ε , t ) f ( t , u ε ( t ) ) = d ε = ( 0 ≤ t < T ) , u ε (T ) ϕ ( 0.3) dt trong đó Aε và B ( ε , t ) được định nghĩa theo ( 0.4 ) và ( 0.5 ) dưới đây. ∞ Với mỗi v ∈ H có khai triển = v ∑ p =1 v pφ p , v p ∈= , p 1,2,..., ta định nghĩa các toán tử như sau
4 ∞ S ( t )( v ) = ∑ e −tl p v pφ p , p =1 1 N ( Ae ( v ) = − ∑ ln el p + e p v pφ p , T p =1 −T l ) ( 0.4 ) t −T ( ) ∞ B ( ee , t )( v ) ∑ 1 + l p e v pφ p , t ∈ [ 0, T ] , ( 0.5) T lp = T p =1 t −T ( ) t −T ∞ , t )( v ) = ( A + S (T ) ) ( v ) = ∑ l p + e Q ( eee −T l p T T v pφ p , p =1 N ( ε ) sao cho lN ≤ T −1 ln (T ε −1 ) . với N ∈ * , N = Ngoài phần mở đầu giới thiệu về đề tài cũng như nội dung cần đạt được, luận văn được viết thành ba chương chính: Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần này trình bày cơ bản những định nghĩa, ví dụ, định lý về các không gian tuyến tính định chuẩn, không gian Hilbert, lý thuyết toán tử, đại số Banach, phổ của toán tử, lý thuyết nửa nhóm,… và các bổ đề là các bất đẳng thức được sử dụng để chứng minh trong chương 3. Chương 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Phần này nêu và chứng minh các định lý quan trọng. Chương 3. ÁP DỤNG Phần này đưa ra một ví dụ cụ thể để áp dụng phương pháp đã trình bày.
5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đa phần các kết quả dưới đây được tổng hợp từ [1], [3]. 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1. Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1.1. Kí hiệu K là trường số thực  hoặc trường số phức  . Một không gian vectơ (hay không gian tuyến tính) trên K là một tập X ≠ ∅ , trong đó có một phép cộng X × X → X và một phép nhân vô hướng K × X → X , thỏa mãn các điều kiện 1) x + y = y + x, 2) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) , 3) Tồn tại θ ∈ X , gọi là phần tử trung hòa sao cho x + θ =x, 4) ∀x ∈ X \ {θ } , tồn tại − x ∈ X , gọi là phần tử đối của x sao cho x + ( − x ) =θ , 5) λ ( x + y ) = λ x + λ y, 6) ( λ + µ ) x =λ x + µ x, 7) ( λµ ) x = λ ( µ x ) , 8) Tồn tại phần tử 1∈ K sao cho 1.x = x với mọi x, y, z ∈ X , mọi λ , µ ∈ K . Ví dụ. 1. C [ a, b ] tập hợp các hàm thực (hoặc phức) liên tục trên [ a, b ] là không gian tuyến tính thực (hoặc phức) với phép cộng hàm số và phép nhân thông thường.
6  ∞  2. l=  = ( x1 , x2 ,..., xn ,...) , xi ∈ K , ∑ xi < ∞  là không gian tuyến tính 2 2 x  i =1  với phép cộng và phép nhân một số theo tọa độ. 1.1.2. Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.2.1. Cho X là không gian vectơ trên trường K. Chuẩn trên X là một ánh xạ . :X → thỏa mãn các tiên đề chuẩn sau N1: x ≥ 0, ∀x ∈ X ; x = 0⇔ x= θ, λx λ x , N2:= ∀x ∈ X , λ ∈ K , N3: x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X . Định nghĩa 1.1.2.2. Một không gian vectơ X trên K cùng với chuẩn . trong nó được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn trên K (thường gọi là không gian định chuẩn), kí hiệu ( X , . ) . Định nghĩa 1.1.2.3. Một dãy { xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 , tồn tại n0 (phụ thuộc ε ) sao cho với mọi n, m ≥ n0 ta đều có xn − xm < ε . Định nghĩa 1.1.2.4. Một không gian được gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.2.5. Một không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach. Ví dụ. 1. C [ a, b ] với chuẩn x : = sup x ( t ) là không gian Banach. a ≤t ≤b 1/2  ∞ 2 2. l là không gian Banach với chuẩn x =  ∑ xi  . 2  i =1 
7 1.1.3. Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động Định nghĩa 1.1.3.1. Cho ( X , . ) là không gian định chuẩn và f : X → X . Ta có:  f là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số k ≥ 0 sao cho với mọi x, y ∈ X , f ( x ) − f ( y ) ≤ k x − y .  Số k bé nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là hệ số Lipschitz của f .  Nếu k < 1 ta nói f là ánh xạ co hệ số k hay đơn giản f là k – co.  Điểm x0 ∈ X là điểm bất động của f nếu f ( x0 ) = x0 . Định lý 1.1.3.2. (Định lý điểm bất động) Cho (X, . ) là không gian Banach. Khi đó mọi ánh xạ co f : X → X đều tồn tại điểm bất động duy nhất, nghĩa là phương trình f ( x ) = x có nghiệm duy nhất. 1.2. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1.  Cho X là một không gian vector trên trường số K ( K =  hoặc K =  ). Một ánh xạ từ X × X vào K , ( x, y )  x, y được gọi là một tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau i) x, x ≥ 0; x, x = 0 ⇔ x = θ , ii) y, x = x, y ( y, x = x, y nếu K =  ), iii) x + x′, y = x, y + x′, y , iv) λ x, y = λ x, y , với mọi x, x′, y ∈ X , λ ∈ K .
8  Nếu .,. là một tích vô hướng trên X thì cặp ( X , .,. ) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita, không gian với tích vô hướng).  Nếu .,. là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x  x = x, x là một chuẩn trên X, gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Một không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn (với chuẩn sinh bởi tích vô hướng). Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta nói ( X , .,. ) là không gian Hilbert. Từ đây về sau ta kí hiệu H là không gian Hilbert. Ví dụ. 1. Không gian L2 ( X , µ ) (với X là tập đo được Lebesgue bất kì trong  n , µ là độ đo Lebesgue) là không gian vector gồm tất cả các hàm đo 2 được f từ X vào K sao cho f khả tích Lebesgue. Với mọi f , g ∈ L2 ( X , µ ) , ánh xạ ( f ,g)  f , g = ∫ f g dµ X là một tích vô hướng trong L2 ( X , µ ) . Tích vô hướng này sinh ra 1/2  2 chuẩn f =  ∫ f  . L2 ( X , µ ) là không gian Hilbert. X   ∞  =2. l 2 ( x1 , x2 ,..., xn ,...) : xk ∈ , ∑ xk 2 < ∞ .  k =1  Trong l 2 , với x = { xi } , y = { yi } , ánh xạ ∞ ( x, y )  x, y = ∑ xk yk k =1
9 là một tích vô hướng. Tích vô hướng này sinh ra chuẩn 1/2  ∞  x =  ∑ xk 2  . ( l 2 , .,. ) là không gian Hilbert.  k =1  3. Trong C [ a, b ] các hàm thực liên tục trên [ a, b ] thì ánh xạ b ( x, y )  x, y = ∫ x ( t ) y ( t ) dt a là một tích vô hướng. Không gian ( C [ a, b ] , .,. ) không là không gian Hilbert. Tính chất 1.2.2. a) Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: x, y ≤ x y , ∀x, y ∈ X . b) Công thức nhị thức: x ± y = x + y ± 2Re x, y , ∀x, y ∈ X . 2 2 2 c) Đẳng thức bình hành: x + y + x − y= 2 x + y 2 2 ( 2 2 ) , ∀x, y ∈ X . Định nghĩa 1.2.3.  Hai vector x, y trong không gian tiền Hilbert X được gọi là trực giao với nhau (kí hiệu x ⊥ y ) nếu x, y = 0 .  Cho M ⊂ X . Tập M ⊥ := {x ∈ X : x, y = 0, ∀y ∈ M } được gọi là phần bù trực giao của M.  Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert X là một tập con A các vector khác 0 của X sao cho hai vector khác nhau bất kì của A đều trực giao với nhau.  Một hệ trực giao A được gọi là hệ trực chuẩn nếu x = 1 với mọi x ∈ A . Nói cách khác {en } là một hệ trực chuẩn nếu en = 1 với mọi n ∈ * và ei ⊥ e j ( i ≠ j ) .
10   x   Chú ý, nếu A là một hệ trực giao thì = hệ B  : x ∈ A là hệ trực   x   chuẩn, và ta gọi hệ B là trực chuẩn hóa của hệ A.  Hệ trực chuẩn {en } trong không gian Hilbert H gọi là đầy đủ (hay toàn vẹn) nếu và chỉ nếu nó có tính chất sau ∀n ∈ * , x ⊥ en ⇒ x =θ .  Một hệ trực chuẩn đầy đủ của không gian Hilbert H được gọi là một cơ sở trực chuẩn của H. Định lý 1.2.4. Cho {en } là một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Khi đó ∞ =a) x ∑ n =1 x, en en , ∀x ∈ H (Khai triển Fourier). ∞ ∑ ∀x ∈ H (Đẳng thức Parseval). 2 = 2 b) x x, en , n =1 1.3. Lý thuyết toán tử 1.3.1. Toán tử tuyến tính Giả sử X, Y là các không gian vectơ trên cùng một trường K. Định nghĩa 1.3.1.1. Một không gian S được gọi là không gian con tuyến tính của X nếu S ⊂ X và S là không gian tuyến tính. Định nghĩa 1.3.1.2. A là toán tử tuyến tính từ D ( A ) ⊂ X vào Y nếu miền xác định D ( A ) của nó là không gian con tuyến tính của X và với mọi x1 , x2 ∈ D ( A ) , mọi α , β ∈ K , A (α x1 + β x2 )= α A ( x1 ) + β A ( x2 ) . Đối với một toán tử tuyến tính, ảnh A ( x ) thường được viết là Ax .
11 Định lý 1.3.1.3. Cho X, Y là các không gian định chuẩn, A là toán tử tuyến tính từ D ( A ) ⊂ X vào Y. Khi đó, A liên tục trên D(A) nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số c sao cho với mọi x ∈ D ( A ) ta có Ax Y ≤c x X . (1.1) Cận dưới đúng của các hằng số c thỏa mãn (1.2) được gọi là chuẩn của A , hay A inf {c : Ax Y ≤ c x X , ∀x ∈ X } . Do đó và được kí hiệu là A= Ax = = sup A sup = Ax sup Ax . (1.2 ) x≠0 x x ≤1 x= 1 Một toán tử tuyến tính thỏa mãn (1.1) được gọi là bị chặn. Vì vậy ta có các kết quả quan trọng: Định lý 1.3.1.4. Các khẳng định sau tương đương i) A bị chặn. ii) A liên tục tại x = 0 , nghĩa là xn → 0 ⇒ Axn → 0 . iii) A liên tục với mọi x ∈ X . Định lý 1.3.1.5. Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A là toán tử tuyến tính từ X vào Y. Nếu X hữu hạn chiều thì A liên tục. 1.3.2. Không gian các toán tử tuyến tính Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên cùng một trường số K. Kí hiệu L ( X ,Y ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục A từ X vào Y. L ( X ,Y ) là không gian con tuyến tính của K – không gian vectơ L ( X , Y ) tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y. Bổ đề 1.3.2.1. L ( X ,Y ) là không gian định chuẩn, với chuẩn (1.2). Định nghĩa 1.3.2.2. Một dãy các toán tử tuyến tính liên tục { An } ⊂ L ( X ,Y ) gọi là hội tụ đến A nếu An − A → 0 khi n → ∞ , trong trường hợp đó ta nói An hội tụ đều về A.
12 Định lý 1.3.2.3. Nếu Y là không gian Banach thì L ( X ,Y ) là không gian Banach. 1.3.3. Toán tử nghịch đảo Định nghĩa 1.3.3.1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A là toán tử từ X vào Y. Nếu với y ∈ Y tùy ý có không quá một x ∈ X sao cho Ax = y , thì A được gọi là toán tử 1-1. Trong trường hợp này, tương ứng từ Y qua X xác định một toán tử; toán tử này được gọi là nghịch đảo của A, kí hiệu A−1 . Khi đó ta nói A là khả nghịch và AA−1 = 1 (1 = IY là ánh xạ đồng nhất trên Y). 1.3.4. Toán tử liên hợp Trong phần này, ta kí hiệu L (H ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H. Định nghĩa 1.3.4.1. Toán tử liên hợp của A∈ L (H ) là toán tử A* ∈ L (H ) sao cho Ax, y = x, A* y với mọi x, y ∈ H . Định lý 1.3.4.2. Với mọi A∈ L (H ) toán tử liên hợp A* tồn tại và duy nhất, hơn nữa ( A* )* = A và A* = A . Định nghĩa 1.3.4.3. Toán tử A trong không gian Hilbert H được gọi là tự liên hợp nếu A* = A . 1.3.5. Toán tử compact Định nghĩa 1.3.5.1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là compact nếu ảnh A ( B ) của hình cầu đơn vị đóng B trong X là compact tương đối trong Y, nghĩa là A ( B ) là tập compact. Định lý 1.3.5.2.
13 i) Giả sử An : X → Y là một dãy các toán tử compact từ không gian Banach X vào không gian Banach Y, A : X → Y bị chặn, An hội tụ đến A theo chuẩn, nghĩa là An x − Ax = An − A sup →0 ( n → ∞ ). x≠0 x Khi đó A cũng là toán tử compact. ii) Nếu A∈ L ( X , Y ) , B ∈ L (Y , Z ) và A hoặc B compact thì BA compact. 1.4. Phổ của toán tử Định nghĩa 1.4.1. Đại số Banach là một không gian Banach phức  cùng với phép toán nhân có tính chất kết hợp và phân phối với phép cộng (nhưng không giao hoán) thỏa mãn ( xy ) λ= (= λ x) y x (λ y ) và xy ≤ x y với mọi x, y ∈ , λ ∈ . Ví dụ. Nếu X là không gian Banach thì không gian L (X ) với phép nhân là phép hợp thành các ánh xạ là đại số Banach. Định nghĩa 1.4.2.  Số λ ∈ K được gọi là giá trị chính quy đối với A∈L (X ) nếu λ − A = λ.1 − A là khả nghịch trong L ( X ) . Trong trường hợp ngược lại ta nói λ là giá trị phổ của A. Kí hiệu S ( A ) và σ ( A ) lần lượt là tập các giá trị chính quy và phổ của A. Rõ ràng S ( A ) ∪ σ ( A ) = K , S ( A) ∩ σ ( A) = ∅.
14  Số λ được gọi là giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính A∈ L (X ) nếu tồn tại 0 ≠ x ∈ E sao cho λ x − A ( x ) = 0. Khi đó x được gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ . Nhận xét 1.4.3. Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ ∈ σ ( A ) . 1.5. Không gian C ([ 0, T ]; H ) Định nghĩa 1.5.1. Không gian C ([ 0, T ]; H ) bao gồm tất cả các hàm liên tục u : [ 0, T ] → H với u= C ([ 0,T ]; H ) max u ( t ) < ∞ . 0≤t ≤T 1.6. Nửa nhóm các toán tử liên tục đều Lấy X là không gian Banach phức với chuẩn . . Ta kí hiệu L (X ) là đại số Banach tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên X mà chuẩn cũng được kí hiệu là . . Bài toán 1.6.1. Tìm tất cả các ánh xạ T (.) :  + → L ( X ) thỏa mãn phương trình hàm T ( t + s ) T ( t ) T ( s ) = ∀t , s ≥ 0, ( FE )  T ( 0 ) = I . Định nghĩa 1.6.2. Một họ (T ( t ) )t ≥0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X được gọi là nửa nhóm (một tham số) trên X nếu nó thỏa mãn phương trình hàm (FE). Nếu (FE) đúng với mọi t , s ∈  , ta gọi (T ( t ) )t∈ là một nhóm (một tham số) trên X. Định nghĩa 1.6.3. Lấy tùy ý toán tử A∈ L ( X ) , ta định nghĩa ∞ t k Ak e := ∑ tA , (1.3) k =0 k !
15 với chuỗi hội tụ trong đại số Banach L ( X ). Mệnh đề 1.6.4. Với A∈ L ( X ) , ta định nghĩa ( etA )t ≥0 theo (1.3). Khi đó các tính chất sau đây đúng. i) (e ) tA t ≥0 là nửa nhóm trên X sao cho  +  t  etA ∈ (L ( X ), . ) là liên tục. ii) Ánh xạ  +  t  T ( t = ) : etA ∈ (L ( X ), . ) là khả vi và thỏa mãn phương trình vi phân d  T ( t ) AT ( t ) = ∀t ≥ 0, ( DE )  dt T ( 0 ) = I .  Ngược lại, mỗi hàm khả vi T (.) :  + → (L ( X ), . ) thỏa mãn (DE) đều có dạng T ( t ) = etA với A∈ L ( X ). d Cuối cùng, ta chú ý rằng A = T ( t ) 1.F 0 dt t =0 Chứng minh. Chứng minh i). k ∞ tk A Vì chuỗi ∑ hội tụ nên áp dụng công thức tích Cauchy của chuỗi k =0 k! vô hạn ta có t k Ak ∞ s k Ak ∞ n t n − k An − k s k A k ∞ ∑ k 0 k! = = .∑ k 0 k! = ∑∑ = k 0 ( n − k )! n 0= . k! ( tA + sA) (t + s ) n n n ∞ ∞ A = =n 0=n 0 ∑= n! ∑ n! .  d 1 Ở phần sau, ta kí hiệu đạo hàm với biến số thực t bởi “ . ”, nghĩa là T ( 0 ) = T (t ) . dt t =0