Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

52
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về cơ sở của một số phương pháp xấp xỉ hàm và đạo hàm với độ chính xác bậc cao dựa trên khai triển Taylor và đa thức nội suy, từ đó áp dụng vào việc xây dựng các thuật toán giải số đối với một số bài toán biên cho phương trình vi phân với độ chính xác bậc cao và kiểm tra các thuật toán trên máy tính điện tửa

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------- LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------- LƯƠNG THỊ THANH GIANG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - 2017
i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu 1 Danh sách bảng 2 Mở đầu 3 1 Một số kiến thức cơ bản 5 1.1 Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nội suy và xấp xỉ hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Bài toán xấp xỉ hàm số tổng quát . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Bài toán nội suy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Lý thuyết về đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Chọn mốc nội suy tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.6 Sai phân và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.7 Một số quy tắc nội suy hàm số trên lưới đều . . . . . 14 1.2.8 Nội suy hàm số trên lưới không đều . . . . . . . . . . 20 1.2.9 Bài toán nội suy ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.10 Lý thuyết về hàm ghép trơn Spline . . . . . . . . . . 25 2 Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao 29 2.1 Trường hợp lưới đều sử dụng đa thức nội suy . . . . . . . . . 29 2.1.1 Mô tả phương pháp tổng quát . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Một số kết quả trong trường hợp lưới 5 điểm . . . . . 31 2.2 Phương pháp xấp xỉ đạo hàm trong trường hợp lưới không đều dựa trên thuật toán đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Một số ứng dụng xây dựng thuật toán số giải phương trình vi phân cấp cao 42 3.1 Hệ truy đuổi 3 đường chéo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Thuật toán số giải bài toán biên tuyến tính cấp 2 . . . . . . 44 3.2.1 Thuật toán thông thường . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.2 Thuật toán sai phân với độ chính xác bậc cao . . . . 45 3.3 Thuật toán số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao . 49 3.3.1 Phương trình phi tuyến cấp 4 . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.2 Phương trình phi tuyến cấp 6 . . . . . . . . . . . . . 52 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Phần phụ lục 59
Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi TS. Vũ Vinh Quang, người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề... nhờ đó tôi mới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình. Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin và đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luân văn. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ - những người luôn động viên, chia sẽ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thời gian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, ngày 27 tháng 6 năm 2017 Tác giả luận văn Lương Thị Thanh Giang
1 Bảng ký hiệu R trường số thực Rn không gian Euclide n-chiều f (n) đạo hàm cấp n của hàm số f(x) ∆n f (x) sai phân cấp n của hàm số f(x)
2 Danh sách bảng 3.1 Một số kết quả kiểm tra sai số đối với thuật toán . . . . . . 48 3.2 Một số kết quả so sánh với nghiệm đúng . . . . . . . . . . . 51 3.3 Một số kết quả so sánh với nghiệm đúng . . . . . . . . . . . 51 3.4 Một số kết quả so sánh với nghiệm đúng . . . . . . . . . . . 52 3.5 Hàm nghiệm đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.6 Hàm nghiệm đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7 Hàm nghiệm đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Mở đầu Khi nghiên cứu về các bài toán thực tế trong các môi trường liên tục thì đại đa số các bài, qua mô hình hóa toán học đều đưa đến các dạng bài toán biên đối với phương trình vi phân đối với hàm một biến số hoặc phương trình đạo hàm riêng đối với hàm nhiều biến số. Đối với các bài toán này, việc nghiên cứu về sự tồn tại duy nhất nghiệm đã được toán học lý thuyết giải quyết đối với từng mô hình chi tiết. Đối với toán học ứng dụng, người ta thường quan tâm đến vấn đề xác định nghiệm của các dạng bài toán cụ thể đối với từng mô hình. Có thể thấy rằng việc xác định nghiệm chính xác của các bài toán biên thông qua các phương pháp giải tích chỉ có thể thực hiện được đối với một số bài toán dạng rất đơn giản (vế phải, điều kiện biên,. . . ) còn đại đa số các bài toán phức tạp chỉ có thể tìm được nghiệm xấp xỉ của nó. Tư tưởng chính của các phương pháp xấp xỉ là chuyển miền xác định đối với các biến số độc lập của phương trình trong không gian vô hạn chiều về miền trong không gian hữu hạn chiều được cấu trúc bởi một số hữu hạn điểm, từ đó tìm cách xấp xỉ các hàm số cùng các đạo hàm tương ứng với các bài toán để chuyển các phương trình vi phân hoặc phương trình đạo hàm riêng cùng các hệ điều kiện biên tương ứng về các hệ phương trình đại số tuyến tính. Từ đó xây dựng các thuật toán giải hệ đại số để thu được nghiệm xấp xỉ của bài toán. Một trong các phương pháp truyền thống hiện nay là phương pháp lưới. Đối với phương pháp lưới, người ta thường quan tâm đến 2 vấn đề quan trọng: 1. Độ chính xác của phương pháp hay là sai số mắc phải trong quá trình xấp xỉ hàm và đạo hàm. 2. Độ phức tạp của thuật toán giải các hệ đại số tuyến tính.
4 Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về cơ sở của một số phương pháp xấp xỉ hàm và đạo hàm với độ chính xác bậc cao dựa trên khai triển Taylor và đa thức nội suy, từ đó áp dụng vào việc xây dựng các thuật toán giải số đối với một số bài toán biên cho phương trình vi phân với độ chính xác bậc cao và kiểm tra các thuật toán trên máy tính điện tử. Nội dung luận văn chia làm 3 chương Chương 1: Một số kiến thức cơ bản. Chương 2: Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao. Chương 3: Một số ứng dụng.
5 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả lý thuyết về công thức khai triển Taylor, lý thuyết về đa thức nội suy, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton và lý thuyết về hàm ghép trơn Spline. Những kết quả này là những kiến thức bổ trợ cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2 và chương 3. Nội dung của chương 1 được tham khảo trong các tài liệu [1],[2],[3]. 1.1 Công thức khai triển Taylor 1.1.1 Công thức khai triển Taylor đối với hàm một biến số Định lý 1.1.1 Cho n là số nguyên dương và f là hàm khả vi liên tục đến cấp n trên khoảng đóng [a, x] và khả vi cấp (n+1) trên khoảng mở (a, x) thì f 0 (a) f 00 (a) 2 f (n) (a) f (x) = f (a)+ (x−a)+ (x − a) +...+ (x − a)n +Rn (x) 1! 2! n! với Rn (x) là phần dư bậc n. Dạng Lagrange của phần dư trong công thức trên là: f (n+1) (ξ) Rn (x) = (x − a)n+1 (n + 1)! với ξ là số nằm giữa a và x.
6 Ngoài ra còn có dạng tích phân của phần dư: Zx f (n+1) (t) Rn (x) = (x − t)n dt (n + 1)! a với f (n) là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, x]. 1.1.2 Công thức khai triển Taylor đối với hàm nhiều biến số Định lý 1.1.2 Giả sử Ω là một tập hợp mở trong không gian Rp và f : Ω → R là một hàm số thuộc lớp C n trên Ω , a ∈ Ω, b = a + h ∈ Ω, h = (h1 , h2 , ..., hp ) ∈ Rp và [a, b] ∈ Ω . Khi đó tồn tại một điểm c ∈ (a, b) sao cho 1 1 f (a + h) = f (a) + df (a)(h) + d2 f (a)(h)2 + ... 1! 2! 1 1 + dn−1 f (a)(h)n−1 + dn f (c)(h)n . (n − 1)! n! 1.2 Nội suy và xấp xỉ hàm số 1.2.1 Bài toán xấp xỉ hàm số tổng quát Cho hàm số f ∈ [a, b] . Gọi Pn là tập hợp các đa thức có bậc không quá n trên [a, b] . Ta phải tìm đa thức P ∈ Pn có ”độ lệch” nhỏ nhất so với f trên [a, b] , tức là: max |f (x) − P (x)| = min max |f (x) − Q(x)| . x∈[a,b] Q∈Pn x∈[a,b] Có thể kể đến một số phương pháp xấp xỉ hàm số sau: Phương pháp nội suy, phương pháp xấp xỉ đều, phương pháp xấp xỉ trung bình phương. 1.2.2 Bài toán nội suy hàm số Một trong các bài toán cơ bản của giải tích số là nội suy hàm số. Bài toán này thường gặp trong các trường hợp sau : i) Cần phục hồi hàm số f (x) đối với mọi điểm x thuộc khoảng [a, b] nếu chỉ biết giá trị của nó tại một số điểm x0 , x1 , ..., xn ∈ [a, b] . Những giá trị
7 này thường là các giá trị quan sát, hoặc đo đạc được. ii) Khi hàm f (x) cho bởi công thức quá phức tạp chẳng hạn f (x) = Rx2 3 (x+t) /2 et +sin(xt) dt và cần tính f (x) ∀x ∈ [a, b]. Khi đó người ta tính gần cos(x) đúng f (x) tại một số điểm rồi xây dựng công thức nội suy để tính các giá trị khác. iii) Ngoài ra, nội suy hàm số còn được sử dụng để xây dựng các công thức tính đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm gần đúng nghiệm của phương trình. Bài toán nội suy hàm một biến số được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b] cho tập các điểm nút a ≤ x0 , x1 , ..., xn ≤ b và tại các điểm này cho các giá trị của hàm f (x). Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính và trùng với hàm f (x) tại các điểm nút trên tức là g(xi ) = f (xi ) (i = 0, n). Một số dạng hàm thường được dùng để nội suy hàm số là: - Đa thức đại số. - Hàm hữu tỉ tức là phân thức đại số. - Đa thức lượng giác. - Hàm ghép trơn (spline) tức là hàm đa thức từng mẩu. Trong phạm vi chương này chúng ta chỉ tập trung vào nội suy bởi đa thức đại số - một công cụ nội suy kinh điển và một phần vào nội suy bởi hàm ghép trơn - công cụ nội suy hiện đại. Các dạng nội suy khác sẽ chỉ được giới thiệu qua. 1.2.3 Lý thuyết về đa thức nội suy Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f (x), chỉ biết giá trị yi tại các điểm xi ∈ [a, b] i = 0, n . Cũng có trường hợp biểu thức giải tích f (x) đã cho nhưng quá cồng kềnh. Khi đó dùng phép nội suy ta có thể đễ dàng tính được f tại bất kì x ∈ [a, b] mà độ chính xác không kém bao nhiêu. Mục tiêu của phép nội suy khá nhiều, nhưng chủ yếu là tìm thuật toán đơn giản tính giá trị f (x) cho những x không nằm trong bảng xi , yi i = 0, n . Một bộ số liệu xi , yi i = 0, n và một chương trình ngắn gọn có thể thay thế một bảng rất dài các giá trị xi , f (xi ). Ngoài ra, sử dụng kết quả của phép nội suy có thể tìm đạo hàm f 0 (x) hoặc tích phân của f (x) trên đoạn [a, b].
8 Đa thức đại số thường được dùng trong phép nội suy vì lý do đơn giản sau: các phép toán cộng, trừ, nhân, đạo hàm tích phân dễ dàng thực hiện trên đa thức. Hơn nữa, nếu P(x) là đa thức, còn c là hằng số thì P(cx) và P(x+c) cũng là đa thức. Bài toán nội suy đặt ra như sau: Cho các mốc nội suy a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b m P Hãy tìm đa thức bậc m, Pm (x) = ai xi sao cho i=0 Pm (xi ) = yi = f (xi )(i =0, n) Ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: Hãy xây dựng đường cong đại số y = Pm (x) đi qua các điểm cho trước (xi , yi )(i =0, n) . Như vậy ta cần xác định (m+1) hệ số ai (i =0, m) từ hệ phương trình tuyến tính sau: m X aj xji = yi (i =0, n) (1.2.1) j=0 Dễ thấy nếu mn) hệ nói chung vô nghiệm (vô định). Khi m=n, hệ (1.2.1) có định thức Vandermond
1 x0 x2 ... xn
0 0
1 x x2 ... xn