Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính siêu lồi, tính Taut và tính K- đầy của các tập mở không bị chặn trong Cn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Như chúng ta đã biết lý thuyết các không gian phức hyperbolic ra đời vào cuối những năm 60 của thế ký trước, sau những công trình nghiên cứu của nhà toán học Nhật Bản S. Kobayashi. Cho đến nay, lý thuyết này đã trở thành một ngành nghiên cứu quan trọng của giải tích phức hyperbolic. Nhiều kết quả sâu sắc và dẹp đẽ đã được chứng mình bởi những nhà toán học lớn trên thế giới như S. Kobayashi, M. Greene, J. Noguchi,.... Luận văn sẽ nghiên cứu về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính siêu lồi, tính Taut và tính K- đầy của các tập mở không bị chặn trong Cn

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM VANHNASONE THEPPHAVONG TNH SIU LÇI, TNH TAUT V TNH K - Y CÕA CC TP MÐ KHÆNG BÀ CHN TRONG Cn LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2017
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM VANHNASONE THEPPHAVONG TNH SIU LÇI, TNH TAUT V TNH K - Y CÕA CC TP MÐ KHÆNG BÀ CHN TRONG Cn Chuy¶n ng nh: GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC: TS. TRN HU MINH THI NGUYN - 2017
Líi cam oan Tæi cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi, d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v chu ¡o cõa TS. Tr¦n Hu» Minh. Trong khi nghi¶n cùu luªn v«n tæi ¢ k¸ thøa th nh qu£ khoa håc cõa c¡c nh khoa håc v çng nghi»p vîi sü tr¥n trång v bi¸t ìn ch¥n th nh. Håc vi¶n Vanhnasone THEPPHAVONG i
Líi c£m ìn Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v sü ch¿ b£o nghi¶m khc cõa TS. Tr¦n Hu» Minh, tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u sc ¸n cæ gi¡o. Tæi công xin k½nh gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m ¤i håc Th¡i Nguy¶n công nh÷ c¡c th¦y cæ gi¡o tham gia gi£ng d¤y khâa håc 2015-2017, nhúng ng÷íi ¢ em h¸t t¥m huy¸t v sü nhi»t t¼nh º gi£ng d¤y v trang bà cho chóng tæi nhi·u ki¸n thùc v kinh nghi»m. V cuèi còng, xin gûi líi c£m ìn gia ¼nh, c£m ìn c¡c çng nghi»p, b¤n b± ¢ luæn çng h nh gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu công nh÷ trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n n y. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2017 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Vanhnasone THEPPHAVONG ii
Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 nh x¤ ch¿nh h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 ành lþ Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 H m i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 H m a i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 H m a i·u háa d÷îi peak v antipeak . . . . . . . . . . 6 1.6 Gi£ m¶tric vi ph¥n Royden Kobayashi . . . . . . . . . . 6 1.7 Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8 T½nh hyperbolic cõa mët mi·n . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 Mi·n taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 T½nh si¶u lçi, t½nh taut v t½nh k-¦y cõa c¡c tªp mð trong Cn 10 iii
2.1 T½nh si¶u lçi cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . . . 10 2.2 T½nh hyperbolic v t½nh taut cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 T½nh hyperbolic ¦y cõa mët mi·n trong Cn . . . . . . . . 20 2.4 T½nh k - ¦y cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 C¡c mi·n Hartogs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 K¸t luªn 38 T i li»u tham kh£o 39 iv
Mð ¦u Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t lþ thuy¸t c¡c khæng gian phùc hyperbolic ra íi v o cuèi nhúng n«m 60 cõa th¸ k tr÷îc, sau nhúng cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa nh to¡n håc Nhªt B£n S. Kobayashi. Cho ¸n nay, lþ thuy¸t n y ¢ trð th nh mët ng nh nghi¶n cùu quan trång cõa gi£i t½ch phùc hyperbolic. Nhi·u k¸t qu£ s¥u sc v µp ³ ¢ ÷ñc chùng minh bði nhúng nh to¡n håc lîn tr¶n th¸ giîi nh÷ S. Kobayashi, M. Greene, J. Noguchi,.... Lþ thuy¸t n y ÷ñc ùng döng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷ H» ëng lüc phùc, Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà v x§p x¿ Diophantine. Tuy nhi¶n a sè c¡c k¸t qu£ ch¿ ¤t ÷ñc trong i·u ki»n câ t½nh compact t÷ìng èi cõa c¡c mi·n. Vîi mong muèn t¼m hiºu v nghi¶n cùu v· h¼nh håc cõa c¡c mi·n khæng bà ch°n, em ¢ lüa chån · t i "T½nh si¶u lçi, t½nh taut v t½nh k- ¦y cõa c¡c tªp mð khæng bà ch°n trong Cn " nh¬m t¼m hiºu mët sè c¡c k¸t qu£ àa ph÷ìng v· t½nh hyperbolic, t½nh taut v t½nh k- ¦y cõa c¡c tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . Luªn v«n gçm 39 trang, trong â câ ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v danh möc t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1: H» thèng l¤i c¡c kh¡i ni»m v c¡c k¸t qu£ c¦n thi¸t cho ch÷ìng sau. Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· t½nh hyperbolic, t½nh taut, 1
t½nh si¶u lçi cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn , nghi¶n cùu t½nh hyperbolic ¦y cõa mët mi·n khæng bà ch°n trong Cn qua sü tçn t¤i cõa mët h m ch¿nh h¼nh peak àa ph÷ìng t¤i méi iºm bi¶n v t¤i iºm ∞ cõa mi·n n y çng thíi t¼m hiºu mèi li¶n h» giúa t½nh taut àa ph÷ìng v t½nh taut to n cöc cõa mët mi·n trong Cn . Ph¦n cuèi cõa ch÷ìng tr¼nh b y ùng döng cõa c¡c k¸t qu£ tr¶n º nghi¶n cùu t½nh hyperbolic cõa mi·n Hartogs v ch¿ ra i·u ki»n c¦n v õ º mët mi·n Hartogs l taut (si¶u lçi). B£n luªn v«n chc chn khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t, em r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. 2
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n sû döng cho ch÷ìng sau nh÷: ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh, ành lþ Ascoli, h m i·u háa d÷îi, h m a i·u háa d÷îi, h m a i·u háa d÷îi peak v antipeak, gi£ m¶tri vi ph¥n, gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi, t½nh hyperbolic cõa mët mi·n, mi·n taut. C¡c nëi dung trong ch÷ìng n y ÷ñc vi»t theo c¡c t i li»u [1], [2], [5]. 1.1 nh x¤ ch¿nh h¼nh Gi£ sû X l mët tªp mð trong Cn v f : X → C l mët h m sè. H m f ÷ñc gåi l kh£ vi phùc t¤i x0 ∈ X n¸u tçn t¤i ¡nh x¤ tuy¸n t½nh λ : Cn → C sao cho |f (x0 + h) − f (x0 ) − λ (h)| lim = 0, |h|→0 |h| n 2 1/2 trong â h = (h1 , ..., hn ) ∈ C v |h| = n . P |hi | i=1 H m f ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh t¤i x0 ∈ X n¸u f kh£ vi phùc trong mët l¥n cªn n o â cõa x0 v ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh tr¶n X n¸u f ch¿nh h¼nh t¤i måi iºm thuëc X . 3
Mët ¡nh x¤ f : X → Cm câ thº vi¸t d÷îi d¤ng f = (f1 , ..., fm ), trong â fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, ..., m l c¡c h m tåa ë. Khi â f ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh tr¶n X n¸u fi ch¿nh h¼nh tr¶n X vîi måi i = 1, ..., m. nh x¤ f : X → f (X) ⊂ Cn ÷ñc gåi l song ch¿nh h¼nh n¸u f l song ¡nh, ch¿nh h¼nh v f −1 công l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. 1.2 ành lþ Ascoli ành ngh¾a 1.2.1. Gi£ sû F l mët hå n o â c¡c ¡nh x¤ tø khæng gian tæ pæ X v o khæng gian tæ pæ Y . Hå F ÷ñc gåi l li¶n töc çng ·u (even continuous) tø x ∈ X tîi y ∈ Y n¸u vîi méi l¥n cªn U cõa iºm y ·u t¼m ÷ñc mët l¥n cªn V cõa iºm x v l¥n cªn W cõa iºm y sao cho n¸u f (x) ∈ W th¼ f (V ) ⊂ U vîi måi f ∈ F . N¸u F l li¶n töc çng ·u vîi måi x ∈ X v måi y ∈ Y th¼ F ÷ñc gåi l li¶n töc çng ·u tø X ¸n Y . ành lþ 1.2.1. (ành lþ Ascoli èi vîi hå li¶n töc çng ·u) Gi£ sû F l tªp con cõa tªp c¡c ¡nh x¤ li¶n töc C(X, Y ) tø khæng gian ch½nh qui compact àa ph÷ìng X v o khæng gian Hausdorff Y v C(X, Y ) câ tæ pæ compact mð. Khi â F l compact t÷ìng èi trong C(X, Y ) n¸u v ch¿ n¸u hai i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: i.) F l hå li¶n töc çng ·u; ii.) Vîi méi x ∈ X , tªp hñp Fx = {f (x)|f ∈ F } l compact t÷ìng èi trong Y . 4
1.3 H m i·u háa d÷îi Gi£ sû G l mët mi·n trong Cn . H m u : G → [ − ∞, ∞) ÷ñc gåi l i·u háa d÷îi trong mi·n G ∈ Cn n¸u u thäa m¢n hai i·u ki»n sau: i) u l nûa li¶n töc tr¶n trong G, tùc l tªp {z ∈ G|u(z) < s} l tªp mð vîi méi sè thüc s, ii) Vîi méi tªp con mð compact t÷ìng èi Ω cõa G v måi h m h : Ω → R ¯ , ta câ n¸u u ≤ h ð tr¶n ∂Ω l i·u háa trong Ω v li¶n töc trong Ω th¼ u ≤ h ð tr¶n Ω. Ta câ ti¶u chu©n i·u háa d÷îi sau: º h m nûa li¶n töc tr¶n trong mi·n G l i·u háa d÷îi trong G, i·u ki»n c¦n v õ l vîi méi iºm z ∈ G, tçn t¤i r0 (z) > 0 sao cho R0 u(z) ≤ 1 2π 2π u(z + reit )dt, vîi måi r < r0 (z). 1.4 H m a i·u háa d÷îi ành ngh¾a 1.4.1. Gi£ sû G l mët mi·n trong Cn . H m ϕ : G → [ − ∞, ∞) ÷ñc gåi l a i·u háa d÷îi trong mi·n G ⊂ Cn (kþ hi»u ϕ ∈ P SH(G)) n¸u i) ϕ l h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n G sao cho ϕ 6= −∞ tr¶n méi th nh ph¦n li¶n thæng cõa G, ii) Vîi méi iºm a ∈ G, vîi måi b ∈ Cn , b 6= 0, h m λ → ϕ(a + λb) l i·u háa d÷îi ho°c çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n méi th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp { λ ∈ C : a + λb ∈ G} . 5
ành lþ 1.4.1. Cho ϕ : G → [ − ∞, ∞) l mët h m nûa li¶n töc tr¶n v ϕ 6= −∞ tr¶n b§t cù th nh ph¦n li¶n thæng cõa G. Khi â ϕ ∈ P SH(G) khi v ch¿ khi vîi méi a ∈ G, b ∈ Cn m { a + λb : λ ∈ G, |λ| 6 1} ⊂ G, ta câ ϕ(a) 6 l(ϕ; a, b), R 2π trong â l(ϕ; a, b) = 1 2π 0 ϕ(a + eit b)dt. 1.5 H m a i·u háa d÷îi peak v antipeak Cho D l mët mi·n trong Cn . - Mët h m ϕ ÷ñc gåi l mët h m a i·u háa d÷îi peak àa ph÷ìng t¤i mët iºm p thuëc ∂D ∪ { ∞} n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa p sao cho ϕ ¯ ∩ U v thäa m¢n l a i·u háa d÷îi tr¶n D ∩ U , li¶n töc tr¶n tr¶n D   ϕ(p) = 0  ϕ(z) < 0, vîi måi z ∈ D ¯ ∩ U. - Mët h m ϕ ÷ñc gåi l mët h m a i·u háa d÷îi antipeak t¤i mët iºm p thuëc ∂D ∪ {∞} n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa p sao cho ϕ l a i·u ¯ ∩ U v thäa m¢n háa d÷îi tr¶n D ∩ U , li¶n töc tr¶n tr¶n D   ϕ(p) = −∞  ϕ(z) > −∞, vîi måi z ∈ (D ¯ ∩ U¯ )\{p}. 1.6 Gi£ m¶tric vi ph¥n Royden Kobayashi Cho D l mët mi·n trong Cn . H m FG : G × Cn → [0, ∞) x¡c ành bði FG (z; X) := inf{γ(λ)|α| : ∃ϕ ∈ Hol(∆, D), ∃λ ∈ ∆ : ϕ(λ) = z, α.ϕ0 (λ) = X} 6
÷ñc gåi l gi£ m¶tric vi ph¥n Royden Kobayashi tr¶n D, ð â 1 γ(λ) := , λ ∈ ∆. 1 − |λ|2 Rã r ng a) FD (z, X) = inf{α > 0 : ∃ϕ ∈ Hol(∆, D) : ϕ(0) = z, αϕ0 (0) = X} ¯ D) : ϕ(0) = z, αϕ0 (0) = X}. = inf{α > 0 : ∃ϕ ∈ Hol(∆, b) FD (z, λX) = |λ|.FD (z, X), λ ∈ C, z ∈ D ⊂ Cn , X ∈ Cn . c) FG (F (z); F 0 (z)X) 6 FD (z; X), F ∈ Hol(∆, G), z ∈ D ⊂ Cn , X ∈ Cn . °c bi»t, n¸u F : D → G l ¡nh x¤ song ch¿nh h¼nh, th¼ d) FG (F (z); F 0 (z)X) = FD (z; X), z ∈ D; X ∈ Cn . e) F∆ (λ, X) 6 γ(λ).|X|, λ ∈ ∆, X ∈ C. 1.7 Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi Cho D l mët mi·n trong Cn , cè ành hai iºm z00 , z000 thuëc D. Tçn t¤i mët ÷íng cong α : [0, 1] → D nèi hai iºm z00 , z000 . p döng ành lþ x§p x¿ Weierstrass, ta t¼m ÷ñc mët ¡nh x¤ a thùc P : [0, 1] → D m P (0) = z00 , P (1) = z000 . D¹ chån ÷ñc mët mi·n li¶n thæng G ⊂ C, [0, 1] ⊂ G sao cho P (λ) ∈ D vîi λ ∈ G. Theo ành lþ ¡nh x¤ Riemann, ta câ thº k¸t luªn r¬ng z00 , z000 n¬m tr¶n mët ¾a gi£i t½ch ϕ : ∆ → G m ϕ(0) = z00 v ϕ(σ) = z000 , (0 6 σ < 1). L§y z00 , z000 ∈ D. Ta °t ¯ D) : ϕ(λ0 ) = lD (z 0 , z 00 ) := inf{p(λ0 , λ00 ) : λ0 , λ00 ∈ ∆, ∃ϕ ∈ Hol(∆, z 0 , ϕ(λ00 ) = z 00 } 7
¯ D) : ϕ(0) = z 0 , ϕ(λ00 ) = z 00 } , = inf{p(0, λ00 ) : λ00 ∈ ∆, ∃ϕ ∈ Hol(∆, ð ¥y p(z 0 , z 00 ) := inf{Lγ (α)| α : [0; 1] → ∆ l ÷íng cong lîp C 1 , λ0 = α(0), R1 λ00 = α(1)} , Lγ (α) := 0 γ(α(t)|α0 (t)|dt. Ta gåi lD l h m Lempert cõa D. - Vîi z 0 , z 00 ∈ D, ta °t N kD (z 0 , z 00 ) := inf{ lD (zj−1 , zj ) : N ∈ N, z0 = z 0 , z1 , ..., zN −1 ∈ D, P j=1 zN = z }. H m kD ÷ñc gåi l gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n D. 00 Nhªn x²t 1.7.1. Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi kD (z 0 , z 00 ) cán ÷ñc ành ngh¾a bði Z 1 0 00 kD (z , z ) = inf FD (γ(t), γ 0 (t))dt, 0 trong â inf l§y theo t§t c£ c¡c ÷íng cong kh£ vi nèi z 0 v z 00 . 1.8 T½nh hyperbolic cõa mët mi·n - Mët mi·n D ⊂ Cn ÷ñc gåi l k - hyperbolic n¸u kD l kho£ng c¡ch tr¶n D. - Mët mi·n k - hyperbolic D ÷ñc gåi l k - hyperbolic ¦y (hay k - ¦y) n¸u nâ ¦y èi vîi kho£ng c¡ch kD . M.L.Royden [Ro] ¢ chùng minh r¬ng mët mi·n D l hyperbolic n¸u vîi måi iºm p ∈ D, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa p v mët h¬ng sè d÷ìng c sao cho FD (y, x) > c||x|| vîi måi y ∈ U . Trong tr÷íng hñp hå c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh tø ∆ v o D l çng li¶n töc èi vîi kho£ng c¡ch dD , th¼ mi·n hyperbolic D l hyperbolic ¦y n¸u vîi méi iºm z ∈ D v méi sè thüc d÷ìng r, h¼nh c¦u { y ∈ D : dD (z, y) 6 r} l compact trong D. 8
1.9 Mi·n taut Cho D l mët mi·n trong Cn , tr¶n Hol(∆, D) ta trang bà tæ pæ compact mð. ∞ - D¢y { fj } j=1 ⊂ Hol(∆, D) ÷ñc gåi l ph¥n ký compact n¸u vîi méi tªp con compact K cõa ∆, méi tªp con compact L cõa D, tçn t¤i f0 ∈ N sao cho fj (K) ∩ L = ∅ vîi måi j > j0 . Hå Hol(∆, D) ÷ñc gåi l hå chu©n ∞ tc n¸u méi d¢y { fj } j=1 trong Hol(∆, D) chùa mët d¢y con { fjν } ho°c l hëi tö ·u tr¶n méi tªp con compact tîi ¡nh x¤ f ∈ Hol(∆, D) (kþ K hi»u fjν → − f ) ho°c l ph¥n ký compact. → - Mi·n D ÷ñc gåi l mi·n taut n¸u hå Hol(∆, D) l mët hå chu©n tc. - Mi·u D ÷ñc gåi l taut àa ph÷ìng t¤i mët iºm p ∈ ∂D n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa p sao cho D ∩ U l mët mi·n taut. 9
Ch÷ìng 2 T½nh si¶u lçi, t½nh taut v t½nh k-¦y cõa c¡c tªp mð trong Cn 2.1 T½nh si¶u lçi cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn Tr÷îc ti¶n ta nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m sau: - Mët iºm bi¶n a cõa mët tªp mð D trong Cn ÷ñc gåi l mët iºm chn cõa D n¸u tçn t¤i mët h m a i·u háa d÷îi ¥m ϕ tr¶n D m lim u(z) = 0, z→a ϕ ÷ñc gåi l mët h m chn cõa D t¤i a. iºm a gåi l iºm chn àa ph÷ìng cõa D n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn mð U cõa a sao cho a l mët iºm chn cõa D ∩ U . - Mët iºm bi¶n a cõa mët tªp mð D trong Cn gåi l mët iºm peak a i·u háa d÷îi cõa D n¸u tçn t¤i mët h m a i·u háa d÷îi ϕ tr¶n D m lim ϕ(z) = 0 v lim sup ϕ(z) < 0 vîi b§t ký b ∈ ∂D\{a}. H m ϕ ÷ñc gåi z→a z→b l h m peak a i·u háa d÷îi cõa D t¤i a. - Mët tªp mð D trong Cn ÷ñc gåi l si¶u lçi n¸u tçn t¤i mët h m v²t c¤n a i·u háa d÷îi li¶n töc, ¥m tr¶n D, tùc l lim ϕ(z) = 0. z→∂D Nhªn x²t 2.1.1. [6] D l si¶u lçi n¸u v ch¿ n¸u måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa nâ l si¶u lçi. 10
Thªt vªy, ta x²t tr÷íng hñp khi D câ væ sè th nh ph¦n li¶n thæng D1 , D2 , ... Gi£ sû måi Dj l si¶u lçi v ϕj l c¡c h m v²t c¤n a i·u háa d÷îi ¥m t÷ìng ùng cõa Dj . Khi thay ϕj , j ∈ N bði ϕ˜ := max{ϕj , −j −1 } th¼ D l si¶u lçi vîi h m a i·u háa d÷îi ϕ˜ tr¶n D, ð â ϕ| ˜ Dj := ϕ˜j . Ta câ m»nh · sau: M»nh · 2.1.1. [6] N¸u ∞ l mët iºm chn cõa mët tªp mð (khæng bà ch°n) D trong Cn th¼ tr¶n D câ mët h m chn a i·u háa d÷îi ng°t bà ch°n t¤i ∞. °c bi»t, b§t ký th nh ph¦n li¶n thæng n o cõa D ·u l hyperbolic. Chùng minh. Gi£ sû ψ l mët h m chn cõa D t¤i ∞. Ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng −1 < ψ < 0 . L§y {Dj } l mët d¢y c¡c tªp mð sao cho Dj ⊂⊂ Dj+1 ∞ v Dj = D. Khi â tçn t¤i c¡c h¼nh c¦u S j=1 B(0, rj ) = {z ∈ Cn : kzk ≤ rj }, j ∈ N, sao cho αj := inf ψ > βj := sup ψ. D\B(0,rj ) Dj   ψ(z), z ∈ D\B(0, rj )  °t ϕj (z) :=  max{ψ(z), r−2 (αj − βj )||z||2 + βj } , z ∈ D ∩ B(0, rj ).  j ∞ D¹ kiºm tra ÷ñc h m ϕ := 2j l h m c¦n t¼m. ϕi P j=1 ành ngh¾a 2.1.1. [6] Cho D l mët tªp con mð cõa Cn v a l mët iºm thuëc D. Ta x¡c ành h m gD (a, · ) := sup{u( · ) : u ∈ La , u ≤ 0}, trong â La = {u ∈ P SH(D) : u( · ) − log k · − ak ≤ o(1) , khi · → a}. H m gD ÷ñc gåi l h m Green a phùc vîi cüc t¤i a. Rã r ng gD (a, ·) l mët h m a i·u háa d÷îi. 11
N¸u D l mët mi·n bà ch°n trong Cn , a ∈ D th¼ ta câ k¸t qu£ sau: M»nh · 2.1.2. [2] N¸u D l mët mi·n bà ch°n trong Cn v a ∈ D th¼ D l si¶u lçi khi v ch¿ khi lim gD (a, z) = 0 , b ∈ ∂D. z→b Trong ph¦n ti¸p theo, ta s³ tr¼nh b y mët k¸t qu£ v· t½nh si¶u lçi cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . Tr÷îc h¸t ta câ bê · sau: Bê · 2.1.1. [6] Cho D2 ⊂ D1 ⊂ D l c¡c tªp mð trong Cn vîi D1 6= D v ∂D2 ∩ D ⊂ D1 . Gi£ sû ψ l mët h m a i·u háa d÷îi ¥m tr¶n D sao cho α := inf ψ > β := sup ψ. D∩∂D1 D∩∂D2 Vîi a ∈ D2 , °t d(a) := inf gD1 (a, ·). Khi â D∩∂D2 α gD (a, z) ≥ gD1 (a, z) + d(a) n¸u z ∈ D1 , β−α v ψ(z) gD (a, z) ≥ d(a) n¸u z ∈ D\D1 . β−α Chùng minh. Ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng d(a) > ∞. Khi â h m ψ(z) − α u(a, z) := d(a), z ∈ D β−α thäa m¢n u(a, z) ≤ gD1 (a, z), z ∈ D ∩ ∂D2 , v u(a, z) ≥ 0 ≥ lim sup gD1 (a, ζ), z ∈ D ∩ ∂D1 . D1 ζ→z 12
Do â ta câ  g (a, z) , z ∈ D2   D1    v(a, z) := max{gD1 (a, z), u(a, z)}, z ∈ D1 \D2     u(a, z)  , z ∈ D\D1 l mët h m a i·u háa d÷îi èi vîi bi¸n thù hai vîi cüc logarit t¤i a. Hìn núa α v(a, z) ≤ d(a), z ∈ D. α−β V¼ vªy, tø ành ngh¾a cõa gD , ta câ α gD (a, z) ≥ v(a, z) + α−β d(a). Tø bê · tr¶n, ta chùng minh ÷ñc m»nh · sau v· t½nh si¶u lçi cõa mët tªp mð khæng bà ch°n trong Cn . Ta câ m»nh ·: M»nh · 2.1.3. [6] Cho D l mët tªp con mð khæng bà ch°n trong Cn v D l si¶u lçi àa ph÷ìng t¤i b§t ký iºm bi¶n húu h¤n (tùc l vîi b§t ký iºm húu h¤n a ∈ ∂D, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa a sao cho måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa D ∩ U l si¶u lçi). N¸u ∞ l mët iºm peak a i·u háa d÷îi, th¼ D l si¶u lçi. Chùng minh. Ta ch¿ c¦n chùng tä lim gD (z, w) = 0, (2.1) D w→a vîi måi a ∈ ∂D v z ∈ D. Tr÷îc ti¶n, l§y a = ∞. Ta s³ chùng minh (2.1) d÷îi i·u ki»n y¸u hìn r¬ng ∞ l mët iºm chn. Theo m»nh · 2.1.1, tçn t¤i mët h m chn a i·u háa d÷îi ng°t ϕ t¤i ∞. Chån mët h m trìn χ sao cho χ = 1 g¦n z 13
v sup pχ ⊂⊂ D. Khi â tçn t¤i mët h¬ng sè c > 0 sao cho uz (w) := cϕ(w) + χ(w) log kw − zk , w∈D l mët h m a i·u háa d÷îi tr¶n D vîi cüc logarit t¤i z . V¼ vªy gD (z, w) ≥ uz (w), w ∈ D, do â ta câ (2.1). B¥y gií, gi£ sû a ∈ ∂D ∩ Cn . L§y r > 0 sao cho a, z ∈ B(0, r). N¸u ψ l mët h m peak a di·u háa d÷îi cõa D t¤i ∞, th¼ sup ψ < 0. D∩∂ B(0,r) Do â tçn t¤i r0 > r sao cho 2 inf ψ> sup ψ. D∩∂ B(0,r0 ) D∩∂ B(0,r) ˆ := D ∩ B(0, r0 ). Khi â, ¡p dung bê · 2.1.1, ta câ °t D gD (z, ω) > gDb (z, ω) + inf gDb (z, ·) > gDb (z, ω) + inf gD (z, ·). D∩∂ B(0,r) D∩∂ B(0,r) ˜ l th nh ph¦n li¶n thæng cõa D K½ hi»u D ˆ chùa z . V¼ D ˜ l mi·n si¶u lçi (trong [6]), n¶n ta câ lim g ˆ (z, w) = 0. ˜ w→a D D M°t kh¡c, gDˆ (z, w) = 0 n¸u w ∈ /D˜ . Do â lim inf gD (z, w) ≥ inf gD (z, ·). w→a D∩∂ B(0,r) V¼ r l tòy þ v theo tr÷íng hñp thù nh§t ta chùng minh ÷ñc inf g(z, ·) → 0 khi r → ∞. D∩∂B(0,r) Do â (2.1) ÷ñc chùng minh. 14