LUẬN VĂN THẠC SỸ " ĐANG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN THỨC "

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

87
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một họ các ánh xạ liên tục giữa hai đa tạp M và N được gọi là chuẩn tắc nếu nó chừa một dãy con hoặc compact tương đối trong C hoặc là phân kỳ compact. Một họ các ánh xạ liên tục giữa hai đa tạp M và N được gọi là chuẩn tắc nếu nó chừa một dãy con hoặc compact tương đối trong C hoặc là phân kỳ compact.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LUẬN VĂN THẠC SỸ " ĐANG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN THỨC "

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M NGUY N TH THÙY LINH DÁNG ĐI U TI M C N C A CÁC ÁNH X CHU N T C NHI U BI N PH C LU N VĂN TH C S TOÁN H C Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M NGUY N TH THÙY LINH DÁNG ĐI U TI M C N C A CÁC ÁNH X CHU N T C NHI U BI N PH C Chuyên ngành: GI I TÍCH Mã s : 60.46.01.02 LU N VĂN TH C S TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c PGS TS PH M VI T Đ C Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i M cl c M đ u i 1 M TS KI N TH C CHU N B 1 1.1 Gi kho ng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Không gian ph c hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Không gian ph c hyperbolic đ y . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Gi metric vi phân Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 DÁNG ĐI U TI M C N C A CÁC ÁNH X CHU N T C NHI U BI N PH C 15 2.1 M t s khái ni m và k t qu ban đ u . . . . . . . . . . . . 15 2.2 M t s trư ng h p đ c bi t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 M t s tính ch t cơ b n c a ánh x chu n t c . . . . . . . . 21 2.4 Các ánh x chu n t c vào các đa t p ph c compact . . . . . 24 2.5 M t s tính ch t m r ng c a ánh x chu n t c . . . . . . . 29 2.6 Dáng đi u ti m c n c a ánh x Bloch . . . . . . . . . . . . 34 K t lu n 39 Tài li u tham kh o 40 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ii M đ u M t h các ánh x liên t c gi a hai đa t p M và N đư c g i là chu n t c n u nó ch a m t dãy con ho c là compact tương đ i trong C(M, N ) ho c là phân kỳ compact. Vi c s d ng các h chu n t c đ nghiên c u tính hyperbolic c a các đa t p ph c đã và đang đư c nhi u nhà toán h c quan tâm nghiên c u như S. Kobayashi, S. Lang, P.J. Kiernan, T.J. Barth, P.Gauthier, ... Nhi u k t qu đ p đ v h chu n t c đã đư c ch ng minh. B ng vi c t ng quát các khái ni m c đi n v các hàm chu n t c, các hàm Bloch, các dãy chính quy và các dãy P - đi m trong gi i tích ph c m t bi n lên trong trư ng h p các ánh x ch nh hình gi a các đa t p ph c, K.T. Hahn [6] đã ch ng minh đư c m i liên h gi a các khái ni m trên và t đó đưa ra đư c các k t qu thú v v dáng đi u ti m c n c a các ánh x chu n t c, ánh x Bloch và t ng quát hơn là ánh x ch nh hình không chu n t c d c theo các dãy P - đi m, các dãy chính quy và qu đ o ti m c n t i biên c a đa t p ph c M . M c đích c a lu n văn là h c t p, nghiên c u và trình bày l i các k t qu trên c a K.T. Hahn. Lu n văn g m 2 chương: Chương 1 trình bày các ki n th c chu n b v gi kho ng cách Kobayashi, không gian ph c hyperbolic, không gian ph c hyperbolic đ y đ và gi metric vi phân Kobayashi. Chương 2 là n i dung chính c a Lu n văn, trình bày m t s k t qu v ánh x chu n t c, ánh x chu n t c vào các đa t p ph c compact, m t s tính ch t cơ b n, m r ng c a ánh x chu n t c và cu i cùng là dáng đi u ti m c n c a các ánh x Bloch. 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
iii Lu n văn đư c hoàn thành t i Trư ng Đ i h c sư ph m - Đ i h c Thái Nguyên. Đ hoàn thành đư c b n Lu n văn này, trư c h t tôi xin bày t lòng kính tr ng và bi t ơn sâu s c t i PGS.TS Ph m Vi t Đ c, ngư i th y đã t n tình hư ng d n, giúp đ tôi trong su t quá trình làm và hoàn thành Lu n văn. Tôi cũng xin bày t lòng kính tr ng và bi t ơn t i các th y cô giáo trong khoa Toán, Trư ng Đ i h c sư ph m Thái Nguyên, Vi n Toán h c Vi t Nam, Trư ng Đ i h c sư ph m Hà N i đã t n tình gi ng d y và giúp đ tôi hoàn thành khóa h c. Tôi xin c m ơn t i gia đình và b n bè đã luôn đ ng viên, giúp đ tôi trong su t quá trình h c t p và làm Lu n văn t t nghi p. Lu n văn ch c ch n không tránh kh i nh ng thi u sót và h n ch , r t mong nh n đư c s góp ý c a các th y cô và các b n. Tôi xin chân thành c m ơn! Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 H c viên Nguy n Th Thùy Linh 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 Chương 1 M TS KI N TH C CHU N B 1.1 Gi kho ng cách Kobayashi Trên đĩa đơn v ∆ = {z ∈ C; |z| < 1} cho metric Bergman - Poincaré 1 + |a| ρ∆ = ln v i a ∈ ∆. 1 − |a| 1.1.1 Đ nh nghĩa Gi s X là m t không gian ph c, x và y là hai đi m tùy ý c a X . Hol(∆, X) là t p t t c các ánh x ch nh hình t ∆ vào X , đư c trang b tô pô compact m . Xét dãy các đi m p0 = x, p1 , ..., pk = y c a X , dãy các đi m a1 , a2 , ..., ak c a ∆ và dãy các ánh x f1 , ..., fk trong Hol(∆, X) th a mãn fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k. T p h p α = {p0 , ..., pk , a1 , ..., ak , f1 , ..., fk } th a mãn các đi u ki n trên đư c g i là m t dây chuy n ch nh hình n i x và y trong X . Ta đ nh nghĩa k dX (x, y) = inf ρ∆ (0, ai ), α ∈ Ωx,y , α i=1 trong đó Ωx,y là t p h p t t c các dây chuy n ch nh hình n i x và y trong X. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 Khi đó dX : X × X → R là m t gi kho ng cách trên X và g i là gi kho ng cách Kobayashi trên không gian ph c X . k T ng i=1 ρ∆ (0, ai ) đư c g i là t ng Kobayashi c a dây chuy n ch nh hình α. Nh n xét: N u X là liên thông thì v i m i x, y ∈ X , luôn t n t i dây chuy n ch nh hình trong X n i x v i y . Th t v y, l y x ∈ X và g i Z là t p g m t t c các đi m trong X mà có th n i v i x b i m t dây chuy n ch nh hình. Ta s ch ng minh Z v a là t p m v a là t p đóng. N u X là đa t p ph c thì hi n nhiên Z = X . N u X là không gian ph c. L y z ∈ Z . Theo đ nh lý Hironaka v gi i kỳ d , t n t i lân c n U c a z và m t ánh x ch nh hình toàn ánh, riêng π : M → U, v i M là đa t p ph c có h u h n thành ph n liên thông và π là đ ng c u ch nh hình bên ngoài t p các đi m kỳ d c a X trong U . Vì X là đa t p ph c, và vì π là toàn ánh nên Z là m . Đ ch ng minh Z đóng ta l y m t dãy {yn } trong Z và yn → z ∈ X. Ta l i l y m t lân c n U c a z và gi i kỳ d π : M → U. V i n đ l n ta có yn ∈ U . Vì π là toàn ánh, ta có th nâng {yn } thành {un } ⊂ M . Do {yn , z} là t p compact và π là ánh x riêng nên {π −1 (yn ), π −1 (z)} là t p compact. T đó ta có th trích đư c dãy con h i t cũng kí hi u là {un }, t i đi m u ∈ M và π(u) = z . Vì M là đa t p nên t n t i dây chuy n ch nh hình trong M n i u v i un . V y qua π , t n t i dây chuy n ch nh hình n i yn v i z v i n đ l n. Mà yn n i đư c v i x b i m t dây chuy n ch nh hình, do 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 đó có dây chuy n ch nh hình n i z v i x. Suy ra z ∈ Z . V y Z đóng. Mà X liên thông nên Z = X . 1.1.2 M t s tính ch t c a gi kho ng cách Kobayashi a) N u f : X → Y là ánh x ch nh hình gi a hai không gian ph c thì f làm gi m kho ng cách đ i v i gi kho ng cách Kobayashi, nghĩa là dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)) ∀x, y ∈ X. Hơn n a, dX là gi kho ng cách l n nh t trên X th a mãn m i ánh x ch nh hình f : ∆ → X là gi m kho ng cách. b) + d∆ ≡ ρ∆ . + dCm ≡ 0. c) Đ i v i b t kì các không gian ph c X, Y, ta có dX×Y ((x, y), (x , y )) = max{dX (x, x ), dY (y, y )} v i m i x, x ∈ X và m i y, y ∈ Y . d) Gi s X là không gian ph c. Khi đó, gi kho ng cách Kobayashi dX : X × X → R là hàm liên t c. Ch ng minh. Theo b t đ ng th c tam giác ta có |dX (xn , yn ) − dX (x, y)| ≤ dX (xn , x) + dX (yn , y) v i m i xn , yn , x, y ∈ X . Do đó đ ch ng minh tính liên t c c a dX ta ch c n ch ng minh dX (yn , y) → 0 khi yn → y . a) Trư ng h p X là đa t p ph c. G i U là m t lân c n t a đ quanh y mà song ch nh hình v i ∆n , n = dimX . Ta có d∆n ((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) = max{d∆ (xi , yi ), i = 1, ..., n}. Vì U song ch nh hình v i ∆m nên theo tính ch t gi m kho ng cách c a gi kho ng cách Kobayashi ta có dU = d∆m liên t c. Do đó, dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) → 0 khi yn → y . V y dX liên t c. 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 b) Trư ng h p y là đi m kỳ d . Theo đ nh lý Hironaka v gi i kỳ d , t n t i lân c n m U c a y trong X và ánh x ch nh hình riêng, toàn ánh π : M → U , v i U là đa t p ph c. Vì yn → y nên t n t i lân c n compact tương đ i V c a y sao cho V ⊂ V ⊂ U và yn ∈ V . Do π là toàn ánh riêng nên π −1 (V ) là compact tương đ i trong M . Vì v y, t n t i dãy {zn } ⊂ M sao cho π(zn ) = yn và zn → z ∈ M . Rõ ràng π(z) = y . Theo a), vì M là đa t p ph c, ta có dM (zn , z) → 0 khi n → ∞. T đó, theo tính ch t gi m kho ng cách c a gi kho ng cách Kobayashi ta có dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) ≤ dM (zn , z) → 0 khi n → ∞. V y dX là hàm liên t c. 1.2 Không gian ph c hyperbolic 1.2.1 Đ nh nghĩa Không gian ph c X đư c g i là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) n u gi kho ng cách Kobayashi dX là kho ng cách trên X , t c là dX (p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X. 1.2.2 M t s tính ch t c a không gian ph c hyperbolic a) N u X ,Y là các không gian ph c, thì X × Y là không gian hyperbolic n u và ch n u c X và Y đ u là không gian hyperbolic. b) Gi s X là không gian con ph c c a không gian ph c Y . N u Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con c a không gian hyperbolic là hyperbolic. c) (Đ nh lý Barth) Gi s X là không gian ph c liên thông. N u X là hyperbolic thì dX sinh ra tô pô t nhiên c a X . Ch ng minh. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 Ta có không gian ph c X là compact đ a phương v i tô pô đ m đư c, do đó nó metric hóa đư c b i đ nh lý metric hóa Urưxơn. Vì v y có hàm kho ng cách ρ xác đ nh tô pô t nhiên c a X . Ta ph i ch ng minh dX và ρ là so sánh đư c, t c là v i {xn } ⊂ X ta có ρ(xn , x) → 0 ⇔ dX (xn , x) → 0 khi n → ∞. Do dX liên t c nên t ρ(xn , x) → 0 suy ra dX (xn , x) → 0 khi n → ∞. Ngư c l i, gi s dX (xn , x) → 0 mà ρ(xn , x) 0 khi n → ∞. Khi đó t n t i s > 0 sao cho có dãy con (v n ký hi u là {xn }) mà các xn n m ngoài ρ- c u tâm x, bán kính s. N i xn v i x b i m t dây chuy n ch nh hình. G i γ là nh c a các tr c đ a trong đĩa qua dây chuy n trên, γ : [a, b] → X . Xét hàm t → ρ(γ(t), x), đây là m t hàm liên t c do đó t n t i t0 ∈ [a, b] sao cho ρ(γ(t0 ), x) = s. V y đi m yn = γ(t0 ) n m trên m t c u tâm x bán kính s (đ i v i metric ρ). T đó theo đ nh nghĩa gi kho ng cách Kobayashi ta có dX (yn , x) ≤ dX (xn , x) → 0 khi n → ∞. Do tính compact đ a phương, dãy {yn } có dãy con {ynk } h i t t i y thu c m t c u tâm x, bán kính s. Khi đó, dX (y, x) = lim dX (ynk , x) = 0, n→∞ mà y = x. Đi u này mâu thu n t i gi thi t X là không gian hyperbolic. d) ( B đ Eastwood) Gi s π : X → Y là ánh x ch nh hình gi a các không gian ph c. Gi s Y là hyperbolic và v i m i đi m y ∈ Y có lân c n U c a y sao cho π −1 (U ) là hyperbolic. Khi đó X là hyperbolic. 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 1.3 Không gian ph c hyperbolic đ y 1.3.1 Đ nh nghĩa Không gian ph c X đư c g i là hyperbolic đ y n u X là hyperbolic và đ y đ i v i kho ng cách Kobayashi dX , t c là m i dãy Côsi đ i v i kho ng cách dX đ u h i t . 1.3.2 M t s tính ch t c a không gian ph c hyperbolic đ y a) Gi s X là không gian hyperbolic liên thông. Khi đó X là hyperbolic đ y n u và ch n u v i m i x ∈ X và m i r > 0, hình c u đóng B(x, r) là compact. Đ ch ng minh tính ch t trên ta c n các b đ sau B đ 1: Gi s X là không gian ph c, a ∈ X và r, r > 0. Khi đó U [U (a, r), r ] = U (a, r + r ), trong đó U (A, r) = {x ∈ X; ∃y ∈ A, dX (x, y) < r} v i A là t p con tùy ý c a X. Ch ng minh. Trư c h t ta ch ng minh U [U (a, r), r ] ⊂ U (a, r + r ). L y x ∈ U [U (a, r), r ], theo đ nh nghĩa t p U , có đi m y ∈ U (a, r) sao cho dX (x, a) ≤ dX (x, y) + dX (y, a) < r + r. Do đó, x ∈ U (a, r + r ). Ngư c l i, v i b t kỳ x ∈ U (a, r + r ), l y ε > 0 sao cho dX (a, x) < r + r − 3ε. T n t i dây chuy n ch nh hình trong X n i a v i x, g i đư ng n i {γ1 , γ2 , ..., γm } là nh c a dây chuy n đó trong X , th a mãn dX (a, x) ≤ t ng Kobayashi < dX (a, x) + ε. G i j là s l n nh t sao cho đ dài c a đư ng n i L{γ1 , ..., γj−1 } < r−ε. Chia cung γj thành hai cung γj và γj b i đi m xj trên γj sao cho L{γ1 , ..., γj−1 , γj } = r − ε. 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 Khi đó, dX (a, xj ) < r, t c là xj ∈ U (a, r). Xét đư ng n i {γ1 , ..., γj , γj , ..., γm }, ta có dX (xj , x) ≤ dX (a, x) + ε − (r − ε) < r + r − 3ε + 2ε − r = r − ε. V y t n t i xj ∈ U (a, r) sao cho dX (xj , x) < r . T đó x ∈ U [U (a, r), r ]. B đ đư c ch ng minh. B đ 2: Gi s X là không gian ph c compact đ a phương v i hàm kho ng cách d th a mãn đ ng th c U [U (a, r), r ] = U (a, r + r ) v i m i a ∈ X và v i m i r, r > 0. Khi đó v i a ∈ X và r > 0, n u t n t i s > 0 sao cho U (x, s) là compact v i m i x ∈ U (a, r) thì U (a, r) là compact. Ch ng minh. Vì X là compact đ a phương nên có t > 0 sao cho t < r và U (a, t) là compact. Ta ch c n ch ng minh U (a, t + (s/2)) là compact. L y {xn } là m t dãy trong U (a, t). Ta ch ng minh {xn } có dãy con h i t . Theo gi thi t, v i m i n t n t i đi m yn ∈ U (a, t) sao cho 3 d(xn , yn ) < s. 4 Vì U (a, t) là compact, b ng cách l y dãy con n u c n ta có th gi thi t {yn } h i t t i y ∈ U (a, t). Khi đó U (y, s) ch a xn v i n đ l n. Vì U (y, s) là compact theo gi thi t, nên dãy {xn } → x ∈ U (y, s). Rõ ràng x ∈ U (a, t + (s/2)). B đ đư c ch ng minh. B đ 3:Gi s X là không gian compact đ a phương v i hàm kho ng cách d th a mãn đ ng th c U [U (a, r), r ] = U (a, r + r ) v i m i a ∈ X và v i m i r, r > 0. Khi đó X là đ y đ i v i hàm kho ng cách d n u và ch n u bao đóng U (x, r) là compact v i m i x ∈ X và v i 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 m i s dương r. Ch ng minh. N u m i hình c u đóng U (a, r) là compact v i m i a ∈ X , thì hi n nhiên X là đ y. Th t v y, gi s {xn } là dãy Cauchy trong X , khi đó {xn } b ch n, do đó t n t i r > 0, x ∈ X sao cho {xn } ⊂ U (x, r). Theo gi thi t U (x, r) là compact, nên t n t i dãy con {xnk } ⊂ {xn }, {xnk } → y ∈ U (x, r). Mà {xn } là dãy cơ b n nên {xn } → y ∈ X . V y X là đ y. Ngư c l i, gi s X là đ y. Theo B đ 2, ta ch c n ch ng minh t n t i s s > 0 sao cho v i m i x ∈ X hình c u đóng U (x, s) là compact. Gi s ngư c l i, khi đó t n t i x1 ∈ X sao cho U (x1 , 1 ) không là compact. Theo 2 B đ 2, t n t i 1 1 x2 ∈ U (x1 , ) sao cho U (x1 , 2 ) 2 2 không là compact. L p lu n tương t , t n t i 1 xn ∈ U (xn−1 , ) 2n−1 sao cho U (xn , 21n ) không là compact. (*) Theo gi thi t, dãy Cauchy {xn } h i t t i đi m x. Vì X là compact đ a phương, t n t i hình c u đóng U (x, t) v i t > 0 nào đó th a mãn U (xn , 21n ) n m trong U (x, t) v i n đ l n, và do đó U (xn , 21n ) là compact. Đi u này mâu thu n v i (*). Tính ch t a) đư c suy ra t các B đ 1 và 3. b) Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đ y. c) Tích h u h n các không gian hyperbolic đ y là hyperbolic đ y. d) M t không gian con đóng c a không gian hyperbolic đ y là hyperbolic đ y. e) Gi s π : X → Y là ánh x ch nh hình gi a các không gian ph c. Gi s Y là hyperbolic đ y và v i m i y ∈ Y , t n t i m t lân c n U sao cho π −1 (U ) là hyperbolic đ y. Khi đó X là hyperbolic đ y. 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 f) Gi s π : X → X là ánh x ph ch nh hình. Khi đó X là hyperbolic đ y n u và ch n u X’ là hyperbolic đ y. 1.4 Gi metric vi phân Kobayashi 1.4.1 Đ nh nghĩa Gi s X là m t không gian ph c. + Gi s x là m t đi m trong X . Nón ti p xúc Tx X g m các vectơ có d ng f∗ (u), trong đó u ∈ T ∆ và f ∈ Hol(∆, X). Khi đó, kX : Tx X → R đư c đ nh nghĩa b i: kX (v) = inf{ u , u ∈ T ∆, f∗ (u) = v}, v ∈ Tx X, trong đó u là đ dài c a vectơ ti p xúc u đư c đo b i metric Poincaré ds2 c a đĩa đơn v ∆ và infimum l y v i m i f ∈ Hol(∆, X) và u ∈ T ∆ sao cho f∗ (u) = v . N u x là đi m chính quy, thì v i m i v ∈ Tx X luôn t n t i vectơ u ∈ T ∆ sao cho f∗ (u) = v , do đó kX (v) < ∞. N u x là đi m kỳ d và n u không t n t i u như trên thì ta đ t kX (v) = ∞. Ta g i kX là metric vi phân Kobayashi trên không gian ph c X . + Ngoài ra kX có th đư c đ nh nghĩa m t cách tương đương như sau: Gi s ∆R = {z ∈ C; |z| < R} v i metric Poincaré 4R2 dzd¯ z ∗ ds2 R = 2 2 )2 = jR ds2 (R − |z| z trong đó jR : ∆R → ∆ là đ ng c u bi n hình z thành R và 4dzd¯z ds2 = . (1 − |z|2 )2 ∂ N u kí hi u e là vectơ ti p xúc ( ∂z ) c a ∆R t i g c O thì vectơ f∗ (e) ∈ Tf (0) X và đư c kí hi u là f (0). 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 2 Vì đ dài c a e đư c đo b i metric Poincaré ds2 là e = R R nên kX có th đư c đ nh nghĩa như sau: 2 kX (v) = inf R trong đó infimum đư c l y v i m i s th c dương R mà t n t i ánh x ch nh hình f : ∆R → X sao cho f (0) = f∗ (e) = v . 1.4.2 M t s tính ch t cơ b n c a gi metric vi phân Kobayashi a) (Tính ch t gi m metric) N u X và Y là hai không gian ph c, thì kY (f∗ (v)) ≤ kX (v) v i f ∈ Hol(X, Y ), x ∈ T X . Đ c bi t d u b ng x y ra thì f là song ch nh hình. b) + Trong đĩa đơn v ∆, k∆ đ ng nh t v i metric Bergman - Poincaré, t c là k∆ = ds2 . 2 +kCm = 0. c) Trong không gian ph c X ta có kX (f ∗ u) ≤ u , ∀f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆. Hơn n a, n u E là m t hàm t a chu n xác đ nh trên T X th a mãn E(f ∗ u) ≤ u v i f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆, thì E(v) ≤ kX (v), ∀v ∈ T X. d) Gi s X, Y là các không gian ph c, ta có kX×Y (u, v) = max{kX (u), kY (v)} v i u ∈ T X, v ∈ T Y . e) Gi s X là không gian ph c và π : X → X là không gian ph ch nh hình c a X . Khi đó kX = π ∗ kX . K t qu sau là m t bi u di n tích phân c a gi kho ng cách Kobayashi trên đa t p ph c. 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 1.4.3 Đ nh lý Gi s X là đa t p ph c, x, y ∈ X . Khi đó 1 dX (x, y) = inf { kX (γ(t))dt}, ˙ γ 0 trong đó infimum đư c l y theo t t c các đư ng cong trơn t ng khúc γ : [0, 1] → X n i x v i y và γ(t) = γ∗ ((∂/∂t)t ). ˙ Ch ng minh. Đ t 1 dX (x, y) = inf { kX (γ(t))dt}. ˙ γ 0 Trư c h t ta ch ng minh tính ch t gi m kho ng cách qua các ánh x ch nh hình c a dX . Th t v y, gi s f : X → Y là ánh x ch nh hình gi a các đa t p ph c. Ta ch ng minh dY (f (x), f (y)) ≤ dX (x, y) v i m i x, y ∈ X . (1.1) Gi s γ : [0, 1] → X là đư ng cong C ∞ t ng khúc n i x và y trong X. Khi đó f ◦ γ : [0, 1] → Y cũng là đư ng cong C ∞ t ng khúc n i f (x) và f (y) trong Y. T đó áp d ng tính ch t a) trên ta nh n đư c (1.1). M t khác, t k∆ = ds2 , ta có 2 d∆ = ρ∆ = d∆ . (1.2) T đó theo đ nh nghĩa c a dX ta suy ra dX (x, y) ≥ dX (x, y) v i m i x, y ∈ X . Đ ch ng minh chi u ngư c l i, ta l y ε > 0 tùy ý. Khi đó có đư ng cong C ∞ t ng khúc γ : [0, 1] → X t x t i y sao cho 1 kX (γ(t))dt < dX (x, y) + ε. ˙ 0 L i có kX (γ(t)) là n a liên t c trên t i t trong đó γ(t) là liên t c. T ˙ ˙ đó có hàm h : [0, 1] → R+ th a mãn v i phép chia 0 = t0 < t1 < ... < tl = 1, (1.3) 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 ta có i) h(t) > kX (γ(t)) ≥ 0; ˙ ii) h|[tj−1,tj ] , 1 ≤ j ≤ l là các h n ch c a các hàm liên t c xác đ nh trên các lân c n c a [tj−1 , tj ]; 1 1 iii) 0 kX (γ(t))dt < 0 h(t)dt < dX (x, y) + ε. ˙ 1 Do tích phân 0 h(t)dt là tích phân Riemann nên t n t i δ > 0 sao cho v i m i phép chia 0 = s0 ≤ s1 ≤ ... ≤ sk = 1 mà max{sj − sj−1 ; 1 ≤ j ≤ k} < δ và v i m i pj ∈ [0, 1]; 1 ≤ j ≤ k mà |pj − sj | < δ thì ta có k h(pj )(sj − sj−1 ) < dX (x, y) + ε. (1.4) j=1 L y tùy ý đi m p ∈ [tj−1 , ti ], 1 ≤ j ≤ l. Trư c h t gi s r ng γ(p) = ˙ Oγ(p) . L y (U, φ, ∆m ) là h t a đ đ a phương ch nh hình quanh γ(p) v i φ(γ(p)) = O, trong đó m = dimX . Khi đó ta đ t F = φ−1 : ∆m → U ⊂ X. Ti p theo gi s r ng γ(p) = Oγ(p) . Khi đó có ánh x ch nh hình f : ∆r → ˙ X sao cho f (0) + f (0) = γ(p); ˙ kX (γ(p)) = 2kX (f (0)); ˙ 1 1 kX (f (0)) < < h(p). r 2 L y r đ nh , ta có ánh x ch nh hình F : ∆r × ∆m−1 → X là song ch nh hình đ a phương quanh O th a mãn 1 1 < h(p), F (O) = γ(p), r 2 F∗ ((∂/∂z 1 )O ) + F∗ ((∂/∂z 1 )O ) = γ(p). ˙ (1.5) Trong b t kỳ trư ng h p nào ta cũng có lân c n Ip c a p và đư ng cong C ∞ t ng khúc α : Ip → ∆r × ∆m−1 sao cho α(p) = O và F ◦ α = γ|Ip . 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 V i s ∈ Ip , α(s) = O(|s − p|2 ) ho c α(s) = (s − p, 0, ..., 0) + O(|s − p|2 ). T (1.2) ta có kho ng m I (p) trong Ip sao cho p ∈ Ip , đ dài c a p ∈ Ip nh hơn δ và 2 d∆r ×∆m−1 (α(s), α(s )) ≤ (1 + ε) |s − s | r v i s, s ∈ Ip . Theo tính ch t d) và đ nh nghĩa c a d ta có d∆r ×∆m−1 = d∆r ×∆m−1 . T đó, theo tính ch t gi m kho ng cách qua ánh x ch nh hình c a dX và (1.5) nh n đư c dX (γ(s), γ(s )) = dX (F (α(s)), F (α(s ))) ≤ d∆r ×∆m−1 (α(s), α(s )) ≤ d∆r ×∆m−1 α(s), α(s ) ≤ (1 + ε)|s − s |h(p). (1.6) Vì [tj−1 , tj ] là compact v i 1 ≤ j ≤ l, có s dương η < δ sao cho v i b t kỳ s, s ∈ [tj−1 , tj ] mà |s − s | < η , ta có p ∈ [tj−1 , tj ] v i s, s ∈ Ip . Th c hi n phép chia đo n [0, 1] như sau: 0 = s0 < s1 < ... < sk = 1 mà là làm m n c a (1.3) và sj − sj−1 < η v i m i j . L y pj ∈ [0, 1] sao cho sj−1 , sj ∈ Ipj . Khi đó t (1.4) và (1.6) ta có k dX (x, y) = dX (γ(0), γ(1)) ≤ dX (γ(sj−1 ), γ(sj )) j=1 k ≤ (1 + ε)(sj − sj−1 )h(pj ) ≤ (1 + ε)(dX (x, y) + ε). j=1 Cho ε → 0, ta nh n đư c dX (x, y) ≤ dX (x, y). 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 1.4.4 H qu Gi s X là không gian ph c và H là m t hàm đ dài trên X . Khi đó X là hyperbolic n u và ch n u v i m i p ∈ X , có các lân c n U c a p và h ng s C > 0 sao cho kX (ξx ) ≥ CH(ξx ) v i m i ξx ∈ Tx X v i x ∈ U . Ch ng minh. Trư c h t ta nh c l i đ nh nghĩa: Gi s X là không gian ph c v i hàm kho ng cách d. M t c p (X, d) đư c g i là tight n u h Hol(M, N ) là đ ng liên t c đ i v i d, và v i m i đa t p ph c M . Gi s D là m t đa đĩa quanh đi m p. Vì X là hyperbolic, (X, dX ) là tight [3] và do đó h Hol(∆, X) là h liên t c đ ng đ u. T đó có đĩa ∆δ quanh 0 và m t lân c n U c a p sao cho n u Φ(0) = x ∈ U thì Φ(∆δ ) ⊂ D. Vì v y v i x ∈ U , ta có δkD (ξx ) ≤ kX (ξx ). Ta có th gi s U là t p con compact c a D. Khi đó v i x ∈ U, ξx ∈ Tx X , ta có kX (ξx ) ≥ δkD (ξx ) ≥ CH(ξx ) v i h ng s dương C nào đó. Ngư c l i, g i dCH là kho ng cách trên X sinh b i CH . Theo gi thi t, f ∗ (CH) ≤ ds2 v i m i f ∈ Hol(∆, X), trong đó ds2 là metric Bergman - Poincaré trên ∆. T đó ta có dCH (x, y) ≤ dX (x, y) v i x, y ∈ X. Đi u này kéo theo X là hyperbolic. 19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 Chương 2 DÁNG ĐI U TI M C N C A CÁC ÁNH X CHU N T C NHI U BI N PH C 2.1 M t s khái ni m và k t qu ban đ u Gi s M và N là các đa t p Hermit liên thông có s chi u là m và n v i metric Hermit tương ng là hM và hN . Kí hi u C(M, N ) là không gian các ánh x liên t c gi a M và N . 2.1.1 Đ nh nghĩa Dãy {fn } trong C(M, N ) đư c g i là dãy phân kỳ compact n u v i m i t p compact K trong M và t p compact K trong N , t n t i n0 > 0 sao cho fn (K) ∩ K = ∅ v i m i n ≥ n0 . Đ c bi t, dãy {pn } các đi m trong N là dãy phân kỳ compact n u v i m i t p compact K trong N t n t i n0 > 0 sao cho pn ∈ K v i m i n ≥ n0 . / Nh n xét: N u metric hN là đ y đ trong N thì dãy {pn } là phân kỳ compact tương đương v i lim dN (p0 , pn ) = ∞, n→∞ trong đó p0 là đi m c đ nh trong N và dN là hàm kho ng cách trên N sinh b i hN . 20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn