Luyện đề THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Đề 2

ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 2<br /> <br /> MÔN TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề<br /> <br /> Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y <br /> <br /> 2x  1<br /> (C).<br /> x1<br /> <br /> a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).<br /> b) Tìm hệ số góc k của đường thẳng d đi qua điểm M  1; 2  , sao cho d cắt  C  tại hai điểm phân biệt A, B<br /> . Gọi k A , kB là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị  C  tại A và B . Tìm các giá trị của k để k A <br /> giá trị nhỏ nhất.<br /> Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình<br /> <br /> 1<br /> đạt<br /> kB<br /> <br /> 1  sin x  2sin 2x  6cos x  2sin x  3  2 .<br /> 1<br /> <br /> Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I  <br /> <br />  2x  1<br /> <br /> 0<br /> <br /> x1<br /> <br /> 2cos x  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> ln  x  1 dx .<br /> <br /> Câu 4 (1,0 điểm).<br /> a) Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn 2 z  3  z  1  i và  z  i  z  1  2i là số thực.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> b) Trong một hộp gồm có 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác suất để 5<br /> viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.<br /> Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng () : x  2 y  2z  7  0 và đường<br /> thẳng d :<br /> cos  <br /> <br /> x2 y 1 z 2<br /> . Viết phương trình mặt phẳng    chứa d và tạo với    một góc  sao cho<br /> <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 4<br /> .<br /> 9<br /> <br /> Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A , AB  a, BC  a 2 , góc giữa<br /> hai mặt phẳng SAC  và mặt phẳng đáy bằng 600 , tam giác SAB cân tại S thuộc mặt phẳng vuông góc với<br /> mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng<br /> AB và SC .<br /> Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  C  có<br /> phương trình x2  y 2  25 , AC đi qua K  2;1 , hai đường cao BM và CN . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết<br /> A có hoành độ âm và đường thẳng MN có phương trình 4x  3y  10  0 .<br /> <br />  x  1 .<br /> 1 x1<br />  2x  1 <br /> Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình x  <br /> 2<br /> 4<br /> 8<br /> x<br /> ,<br /> y<br /> Câu 9 (1,0 điểm). Cho<br /> là các số thực dương thỏa mãn x  y  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br /> 2<br /> <br /> P<br /> <br /> 27 x3  10 3 y 2  4<br /> <br /> .<br /> 9y<br /> 8x<br /> <br /> ..................HẾT..................<br /> <br /> Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi<br /> <br /> Trang 1<br /> <br /> HƯỚNG DẪN GIẢI<br /> Câu 1.a.<br /> - Tập xác định: D  R / 1 .<br /> -<br /> <br /> Sự biến thiên:<br /> + Chiều biến thiên: y ' <br /> <br /> 1<br /> <br /> .<br /> <br />  x  1<br /> y '  0, x   ; 1  1;   , suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1<br /> 2<br /> <br /> và  1;   .<br /> <br /> + Cực trị: Hàm số không có cực trị.<br /> + Giới hạn:<br /> lim y  2; lim y  2 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  2 .<br /> x <br /> x <br /> lim y  ; lim y   đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  1 .<br /> <br /> x 1<br /> <br /> x 1<br /> <br /> + Bảng biến thiên<br /> x<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> y'<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> y<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> -<br /> <br /> <br /> <br /> Đồ thị:<br />  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> + Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm   ; 0  .<br /> 2<br /> + Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm  0;1 .<br /> <br /> + Đồ thị hàm số giao điểm I  1; 2  của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.<br />  3<br /> <br />   1<br /> <br />  <br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> + Đồ thị hàm số đi qua các điểm  2; 3  ,   ; 4  ,   ; 0  ,  1;  .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> -<br /> <br /> Vẽ đồ thị:<br /> <br /> Câu 1.b. Phương trình đường thẳng d là y  k  x  1  2 .<br /> 2x  1<br />  kx  k  2 có 2 nghiệm phân biệt<br /> x1<br /> Tức phương trình kx2  2kx  k  1  0 có 2 nghiệm khác 1 .<br /> <br /> Để d cắt  C  tại 2 điểm phân biệt khi phương trình<br /> <br /> Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi<br /> <br /> Trang 2<br /> <br /> <br />  k  0, k  2 k  k  1  0<br /> <br /> k0.<br /> 2<br /> <br />  '  k  k  k  1  0<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> ; kB <br /> Ta có y ' <br /> . Suy ra kA <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  xA  1<br />  xB  1<br />  x  1<br /> <br /> trong đó xA , xB là nghiệm của phương trình<br /> <br /> kx2  2kx  k  1  0 .<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br />   xB  1 và xA , xB thỏa mãn k  x  1  1 .<br /> Nên kA  <br /> 2<br /> kB  x  1<br /> A<br /> <br />  1<br /> <br />  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Suy ra kA  kB   k     k       2   k       2 , đẳng thức xảy ra khi k  1 .<br /> k<br /> k<br /> k<br /> 1<br /> <br /> Vậy k A <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi k  1 .<br /> kB<br /> <br /> Nhận xét: Phương trình đường thẳng đi qua một điểm nào đó và cắt đồ thị hàm số cho trước tại n điểm thỏa<br /> mãn tính chất của tiếp tuyến tại các hoàng độ giao điểm. Ta lập phương trình đường thẳng rồi tìm giao điểm<br /> của nó với hàm số , sau đó biện luận các yêu cầu của bài toán.<br /> Nhắc lại kiến thức và phương pháp:<br /> -Phương trình đường thẳng đi qua điểm Q  xQ , yQ  hệ số góc k có phương trình: y  k  x  xQ   yQ .<br /> -Bất đẳng thức AM  GM : a, b  0  a  b  2 ab . Dấu bằng xảy ra  a  b .<br /> Áp dụng cho bài toán:<br /> - Phương trình đường thẳng đi qua M hệ số góc k là y  k  x  1  2 .<br /> <br /> - Lập phương trình hoành độ giao điểm. d cắt  C  tại hai điểm phân biệt A, B  f  x   kx2  2 kx  k  1  0<br /> có hai nghiệm phân biệt x  1 .<br /> - Hệ số góc tiếp tuyến tại A, B lần lượt là k A , kB ( xA , xB là nghiệm của phương trình f  x   0 ). Khi đó tìm<br /> được k A <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> với k  x  1  1  k A  kB  k   2 ( theo AM  GM ).<br /> k<br /> kB<br /> <br /> Bài toán kết thúc.<br /> Bài tập tương tự:<br /> 2x  1<br /> . Lập phương trình tiếp tuyến của độ thị biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ<br /> x 1<br /> 1<br /> 5<br /> 1<br /> 13<br /> OA<br /> . Đáp số: y   x  ; y   x  .<br /> Ox , Oy lần lượt tại A,B thỏa mãn OB <br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 2x<br /> b. Cho hàm số y <br /> . Viết phương trìn tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo hai trục tọa độ một<br /> x2<br /> 1<br /> 9<br /> 1<br /> tam giác có diện tích bằng<br /> . Đáp số: y  x  .<br /> 18<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> Câu 2. Điều kiện x    k 2; k  .<br /> 3<br /> 1  sin x  4sin x cos x  6cos x  2sin x  3  2<br /> Phương trình tương đương<br /> 2cos x  1<br /> 1  sin x  2sin x  3  2cos x  1  2  1  sin x 2sin x  3  2  2sin 2 x  sin x  1  0  sin x  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> sin x  1<br /> 2cos x  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> a. Cho hàm số y <br /> <br /> Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi<br /> <br /> Trang 3<br /> <br /> <br /> <br />  x   2  k 2<br /> <br /> <br />   x   k 2 .<br /> <br /> 6<br /> <br />  x  5  k 2 <br /> 5<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> Phương trình có nghiệm: x    k 2; x <br /> <br /> <br /> 5<br />  k 2; x <br />  k 2; k Z .<br /> 6<br /> 5<br /> <br /> Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử, giải phương trình cơ bản. Để giải phương trình ta sử<br /> dụng công thức cơ bản nhân đôi, đặt nhân tử chung. Lưu ý kiểm tra điều kiện để kết hợp nghiệm.<br /> Nhắc lại kiến thức và phương pháp:<br /> -Sử dụng công thức góc nhân đôi sin2=2sin cos  .<br /> -Nhóm nhân tử chung , thu được phương trình bậc 2 cơ bản.<br /> -Giải phương trình bậc 2 ẩn duy nhất sin x tìm đươc x với công thức nghiệm:<br />  x    k 2<br /> <br /> + sin x    <br /> <br /> ; k Z .<br />  x      k 2<br /> + cos x  cos   x    k2; k  Z .<br /> <br /> -Kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của phương trình.<br /> Bài tập tương tự:<br /> sin 2 x cos 2 x<br /> <br /> <br />   cot x  tan x . Đáp số: x    k 2 .<br /> cos x<br /> sin x<br /> 3<br /> 7<br /> <br /> 3 <br /> b. Giải phương trình tanx  3 cos  x    sin x.tan x . Đáp số: x  k, x <br />  k 2 .<br /> 6<br /> 2 <br /> <br /> 1<br /> 1 ln  x  1<br /> Câu 3. I  4  x ln  x  1 dx  <br /> dx .<br /> 0<br /> 0<br /> x1<br /> <br /> a. Giải phương trình<br /> <br /> A  4  x ln  x  1 dx .<br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> dx<br /> du <br /> u  ln  x  1 <br /> x1.<br /> <br /> Đặt <br /> 2<br /> x<br /> dv<br /> <br /> xdx<br /> v   1<br /> <br /> <br /> 2<br /> 1<br />  x2  1<br /> <br />  1  x2<br /> <br /> 1 1<br /> A  4<br /> ln  x  1    x  1 dx   4     x    1 .<br /> 2 0<br />  2<br /> <br />   0<br />  2  2<br /> 0<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> B<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> ln  x  1<br /> x1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> dx   ln  x  1 d ln  x  1 <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> ln 2  x  1<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br />  ln 2 2 .<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Vậy I  1  ln 2 2 .<br /> Nhận xét: Đặc điểm biểu thức dưới dấu tích phân khó có thể đổi biến số và sử dụng tích phân từng phần. Ta<br /> tách tích phân ban đầu thành 2 tích phân nhỏ.<br /> Nhắc lại kiến thức và phương pháp:<br /> b<br /> <br /> -Công thức tính tích phân từng phần : I  u.v a   u ' vdu .<br /> b<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> -Công thức tính  xndx <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> x n 1<br /> .<br /> n1 a<br /> <br /> Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi<br /> <br /> Trang 4<br /> <br /> -Nhận thấy<br /> <br />  2 x  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> x1<br /> <br /> <br /> <br /> 4x  x  1 1<br /> x1<br /> <br /> , nên ta có I  A  B .<br /> <br /> u  ln  x  1<br /> <br /> - Tính A : Sử dụng công thức tính tích phân từng phần với  x 2  1 .<br /> v <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> ln  x  1<br /> 1<br /> dx . Nhận thấy ln  x  1  ' <br /> - Tính B : B <br /> nên ngầm đặt ẩn phụ t  ln  x  1 chuyển về công<br /> x1<br /> x1<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> thức  u '.undu .<br /> Bài tập tương tự:<br /> 1<br /> <br /> a. Tính tích phân I  <br /> <br /> x   x  2  ln x<br /> x  1  ln x <br /> <br /> 0<br /> <br /> e3<br /> <br /> b. Tính tích phân I  <br /> e2<br /> <br /> dx . Đáp số: I  e  3  2ln 2 .<br /> <br /> 2 x ln 2 x  x ln x 2  3<br /> dx . Đáp số: I  3ln 2  4e 3  2e 2 .<br /> x  1  ln x <br /> <br /> Câu 4.a. Giả sử số phức z có dạng: z  a  bi;  a, b <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   z  i  z  1  2i  a  a  1   b  1 2  b    a  1 b  1  a  2  b  i<br /> <br />   a  1 b  1  a  2  b   0  a  b  1<br /> <br /> 2z  3  z  1  i   2a  3   4b2   a  1  1  b <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  3a2  11a  6  0  a  3, b  2; a <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> ,b  .<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> Vậy z  3  2i; z   i .<br /> Nhận xét: Bài toán yêu cầu tìm số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó. Ta chỉ cần đặt số phức có dạng chung<br /> z  a  bi  a, b  R  rồi thay vào các điều kiện để giải ra z .<br /> Nhắc lại kiến thức và phương pháp:<br /> -Đặt z  a  bi  a, b  R  . Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0.<br /> - Thay vào đẳng thức 2 z  3  z  1  1 . Sử dụng tính chất modul của số phức.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> - Mặt khác ,  z  i  z  1  2i là số thực nên phần ảo bằng 0.<br /> - Giải hệ cơ bản <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br />  2a  3   4b2   a  1  1  b <br /> <br /> <br /> a  b  1<br /> <br /> tìm được a , b thu được số phức z cần tìm.<br /> <br /> Bài toán kết thúc.<br /> Bài tập tương tự:<br /> a. Tìm số phức z thỏa mãn z2  1  i  z  11i . Đáp số: z  3  2i , z  2  3i .<br /> b. Tìm số phức z thỏa mãn 1  2i  z  3z  i . Đáp số: z    i .<br /> 1<br /> 4<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> Câu 4.b. Số cách chọn ra 5 viên bi từ 14 viên bi là C145  2002 (cách), suy ra, không gian mẫu là   2002 .<br /> Gọi A là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.<br /> Ta có A  C81C64  C82C63  C83C62  C84C61  1940 .<br /> Vậy P  A  <br /> <br /> A<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1940 970<br /> .<br /> <br /> 2002 1001<br /> <br /> Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi<br /> <br /> Trang 5<br /> <br />