Khóa học LTĐH môn Toán Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH!
Tích có hướng của hai véc tơ:
Cho hai véc tơ:
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; ) ; ; ;
y z z x x y
u x y z v x y z u v
y z z x x y
= = → =
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Tính tích có h
ướ
ng c
ủ
a các véc t
ơ
sau:
a)
( )
(1;1;2)
; 6; 4;5
( 2;3;0)
uu v
v
=
→ = − −
= −
b)
( )
( 1;3;1)
( 2;1; 2)
uu v
v
= −
→ = −
= − −
c)
( )
(2;0; 1)
; 2;4;4
( 2;2; 1)
uu v
v
= −
→ =
= − −
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho
(
)
(
)
= = − −
1;1;2 , 1; ; 2 .
u v m m Tìm
m
để
a)
⊥
; ,
u v a
v
ớ
i
(
)
= − −
3; 1; 2 .
a
b)
=
; 4.
u v c)
(
)
=
0
; ; 60 ,
u v a v
ớ
i
(
)
= −
1;2;0 .
a
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
( )
( ) ( )
1;1;2
; 2; ; 1
1; ; 2
uu v m m m
v m m
=
→ = − − − +
− −
a)
( ) ( )
; ; . 0 2; ; 1 . 3; 1; 2 0 3 6 2 2 0 4 8 2.
u v a u v a m m m m m m m m
⊥ ⇔ = ⇔ − − − + − − = ⇔ − − + − − = ⇔ = − ⇔ = −
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1
; 4 2 1 4 5 6 5 4 5 6 11 0
11
5
m
u v m m m m m m m m
=
= ⇔ − − + − + + = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔
= −
c)
(
)
(
)
( )
0 2
2
1 2 2 1
; ; 60 cos ; ; 2 2 5. 5 6 5
2 2
5 6 5. 5
m m
u v a u v a m m m
m m
+ −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = + +
+ +
( )
( )
222
2
2 0 2
227 23
23 227
4 2 5 5 6 5 42
21 46 9 0 42
m
mmm
m m m m m m
≤
− ≥
≤
−
⇔ ⇔ ⇔ → =
− ±
− = + + + + = =
Các
ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a tích có h
ướ
ng:
+)
Ứ
ng d
ụ
ng 1:
Xét s
ự
đồ
ng ph
ẳ
ng c
ủ
a ba véc t
ơ
(ho
ặ
c tính
đồ
ng ph
ẳ
ng c
ủ
a b
ố
n
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C, D).
Ba véc t
ơ
; ;
a b c
đồ
ng ph
ẳ
ng khi
; . 0
=
a b c và không
đồ
ng ph
ẳ
ng khi
; . 0.
≠
a b c
B
ố
n
đ
i
ể
m A, B, C, D
đồ
ng ph
ẳ
ng khi
; . 0
=
AB AC AD và không
đồ
ng ph
ẳ
ng khi
; . 0.
≠
AB AC AD
+)
Ứ
ng d
ụ
ng 2:
Tính di
ệ
n tích tam giác.
Ta có 1 1 1
; ; ;
2 2 2
∆
= = =
ABC
S AB AC BC BA CA CB
02. TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH!
Từ đó
; ;
1 1
; .
2 2
∆
= = → = =
ABC a a
AB AC AB AC
S AB AC a h h
a BC
+) Ứng dụng 3:
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp tam giác ho
ặ
c t
ứ
di
ệ
n.
Ta có
1 1 3
; . . .
6 3
∆
∆
= = → =
ABCD ABC
ABC
V
V AB AC AD S h h S
⇒
th
ể
tích kh
ố
i hình h
ộ
p
. ' ' ' '
ABCD A B C D
là
; . '
=
V AB AC AA
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
a)
( 6;3;3), ( 4;2;4), ( 2;3; 3)
= − = − = − −
AB AC AD
Ta có 3 3 3 6 6 3
, ; ; ( 18; 36;0)
2 4 4 4 4 2
− −
= = − −
− − − −
AB AC
, . 18.( 2) 36.3 72 0
⇒= − − − = − ≠
AB AC AD nên ba vect
ơ
, ,
AB AC AD
không
đồ
ng ph
ẳ
ng.
V
ậ
y A, B, C, D là 4
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t t
ứ
di
ệ
n
b)
1 1
, . .72 12
6 6
= = =
ABCD
V AB AC AD (đvtt)
c)
(2; 1; 7), (4;0; 6)
= − − = −
BC BD
2 2 2
1 7 7 2 2 1 1 1
, ; ; (6; 16;4) , 6 16 4 77
0 6 6 4 4 0 2 2
− − − −
= = − → = = + + =
− −
BCD
BC BD S BC BD
Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có
1 12 36
. . 3. 3.
3
77 77
= → = = =
ABCD
ABCD BDC
BDC
V
V S AH AH S
d)
( 6;3;3), (2;1;1)
= − =
AB CD
Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là φ ta có:
2 2 2 2
6.2 3.1 3.1
6 1
cos
φ.
3
324
6 3 3 . 2 1 1
− + +
= = =
+ + + +
Vậy góc giữa hai đường thẳng
AB và CD là φ sao cho
1
cosφ
3
=
Ví dụ 4: [ĐVH].
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng A(1; 2; –1), B(–1; 1; 3), C(–1; –1; 2) và D’(2; –2; –3)
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
b) Tính thể tích hình hộp.
c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số
. ' ' ' '
. ' ' '
ABCD A B C D
A A B C
V
V
d) Tính thể tích khối đa diện
ABCDD’.
Hướng dẫn giải:
Khóa học LTĐH môn Toán Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH!
a) Đặt D(a; b; c) ta có
(
)
1; 2; 1 ; (0; 2; 1)
= − − + = − −
AD a b c BC
1 0 1
2 2 0 (1;0; 2)
1 1 2
− = =
= ⇔ − = − ⇔ = → −
+ = − = −
 a a
AD BC b b D
c c
Làm t
ươ
ng t
ự
' ' '(0; 1;2); ' ' '(0; 3;1); ' ' ' (2;0; 2)
=⇒− = ⇒− = ⇒= −
A B AB B B C BC C AA DD A , ;
b)
1 4 4 2 2 1
, ; ; (9; 2;4) , . ' 9.1 2.( 2) 4.( 1) 9
2 1 1 0 0 2
− − − −
= = − ⇒= − − + − =
− − − −
AB AD AB AD AA
. ' ' ' '
, . ' 9
= =
ABCD A B C D
V AB AD AA (
đ
vtt)
c)
. ' ' ' '
'. . ' ' ' . ' ' ' '
. ' ' '
1 1 3
.9 6
6 6 2
= = = = ⇒=
ABCD A B C D
A ABC A A B C ABCD A B C D
A A B C
V
V V V V
d)
' . ' . '
9 9
3
6 6
= + = + =
ABCDD D ACD B ACD
V V V (đvtt)
Ví dụ 5: [ĐVH].
Cho ba vectơ
(
)
(
)
(
)
11 2 2 1 0 3 2
= = − = −
; ; , ; ; , ; ;
a b c m m
. Tìm m để
a)
; 3 5
=
a c
(
Đ
/s: m = 1)
b)
; 2 5
=
b c
(
Đ
/s: m = 2)
Ví dụ 6:
[ĐVH].
Cho ba vect
ơ
(
)
(
)
1 3 2 2 1= − = −
; ; , ; ;
a b m m m
. Tìm m
để
a)
0
=
.a b
b)
; . 0,
=
a b c
v
ớ
i
(3;1;1)
=
c
c)
; 3 10
=
a b
(
Đ
/s: m = –1)
Ví dụ 7:
[ĐVH].
Cho
(
)
(
)
2;1;3 , 1; 1;2 1
= − = + −
u v m m . Tìm m
để
a)
; ,
u v a
⊥
v
ớ
i
(
)
1;1; 3 .
= −
a
b)
; 2 2.
=
u v
c)
(
)
0
; ; 30 ,
=
u v a
v
ớ
i
(
)
2;1;1 .
= −
a
Ví dụ 8:
[ĐVH].
Cho ba vect
ơ
(
)
(
)
3 2 1 0 1 3 3 2 11
= − = − = + −
; ; , ( ; ; ), ; ;
a b c m m
. Tìm m
để
a)
; 3 6
=
a c
(
Đ
/s: m = 0)
b)
; 2 26
=
b c
(
Đ
/s: m = –1)
c)
ba véc t
ơ
đ
ã cho
đồ
ng ph
ẳ
ng
Ví dụ 9:
[ĐVH].
Cho ba vect
ơ
(
)
(
)
2 3 1 3 11 2 2 3 1
= + + = − = −
; ; , ( ; ; ), ; ;
a m m b c
. Tìm m
để
a)
; 110
=
a b
(
Đ
/s: m = 0)
b)
(
)
. 6
+ =
a b c
(
Đ
/s: m = –1)
Khóa học LTĐH môn Toán Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH!
c)
; . 0
=
a b c
Ví dụ 10:
[ĐVH].
Cho ba vectô
, ,
a b c
. Tìm
m, n
bi
ế
t
,
=
c a b
:
a)
(
)
(
)
(
)
3; 1; 2 , 1;2; , 5;1;7
= − − = =a b m c
b)
(
)
(
)
(
)
6; 2; , 5; ; 3 , 6;33;10
= − = − =a m b n c
c)
(
)
(
)
(
)
2;3;1 , 5;6;4 , ; ;1
= = =
a b c m n
Ví dụ 11:
[ĐVH].
Xét s
ự
đồ
ng ph
ẳ
ng c
ủ
a ba véc t
ơ
, ,
a b c
cho d
ướ
i
đ
ây:
a)
(
)
(
)
(
)
1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3
= − = =a b c
b)
(
)
(
)
(
)
4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1
= = − =a b c
c)
(
)
(
)
(
)
3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1
= − − = = −a b c
d)
(
)
(
)
(
)
4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1
= = =a b c
Ví dụ 12:
[ĐVH].
Tìm m
để
ba véc t
ơ
, ,
a b c
đồ
ng ph
ẳ
ng:
a)
(
)
(
)
(
)
1; ;2 , 1;2;1 , 0; 2;2
= = + = −a m b m c m
b)
(2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1;2)
= + − = + + = +a m m b m m c m m
d)
(
)
(
)
(
)
1; 3;2 , 1; 2;1 , 0; 2;2
= − = + − − = −a b m m m c m
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1:
[ĐVH].
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxyz cho 4
đ
i
ể
m A(–4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; –1); D(7; –2; 3).
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A, B, C, D
đồ
ng ph
ẳ
ng.
b)
Tính di
ệ
n tích t
ứ
giác ABDC.
Bài 2:
[ĐVH].
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxyz cho 4
đ
i
ể
m A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A, B, C, D là 4
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t t
ứ
di
ệ
n.
b)
Tính th
ể
tích c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n ABCD.
c)
Tính
đườ
ng cao c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n h
ạ
t
ừ
đỉ
nh A.
d)
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Bài 3:
[ĐVH].
Trong không gian cho các
đ
i
ể
m A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3).
a)
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng A, B, C không th
ẳ
ng hàng.
b)
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng b
ố
n
đ
i
ể
m A, B, C, D không
đồ
ng ph
ẳ
ng.
c)
Tính di
ệ
n tích tam giác ABC.
d)
Tính th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n ABCD.
Bài 4:
[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABCD có A(2; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; –1), S(0; 0; 7).
a)
Tính di
ệ
n tích tam giác SAB.
b)
Tính di
ệ
n tích t
ứ
giác ABCD.
c)
Tính th
ể
tích hình chóp S.ABCD. T
ừ
đ
ó tính kho
ả
ng cách t
ừ
S
đế
n (ABCD).
d)
Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n (SCD).